1.3.3排列组合综合3
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
1.3组合(3)备课笔记
1．3 组合（三）一、教学目标1．进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2．熟练进行组合数的运算与排列数的运算；3．熟练运用排列与组合，解决一些简单的应用题．二、教学重点对计数问题进行清晰分类，合理分步．三、教学难点对计数问题进行清晰分类，合理分步．四、教学过程1．引入在计数问题中，重点要做到“分类清晰，分步合理”，那么问题将“迎刃而解”．2．思考一有6个工人，按下列条件，各有多少种分法？（1）分配到3个不同的车间，每车间2人；（2）分为3组，每组2人；（3）分为3组，一组1人，一组2人，一组3人；（4）分配到3个不同的车间，一车间1人，一车间2人，一车间3人；（5）分配到3个不同的车间，每车间至少1人．答案：（1）90； （2）15；（3）60； （4）360； （5）450．3．思考二现有6个不同的白球和7个不同的黑球，从中取5个，至少有2个黑球的概率是多少？选取至少两个黑球为31127C C ，这样做对吗？如果不对，错在那里？ 4．思考三你会求方程10721=+++x x x 有多少组正整数解吗？这个问题等价于：（1）要从7个班中选出10个人参加数学竞赛，每个班至少一个 人，这10个名额有多少种分配方案？（2）当然，这个问题还可以等价于：把10个球放入7个不同的盒子，每个盒子中至少放一个球，至少有多少种放法？答案：84种．5．随堂练习（1）今欲从1，2，3，8，9，10，12这七个数中选取两数，使其和为偶数，问共有几种选法？（答案：9）（2）（05江西）将9个（含甲、乙）人平均分成3组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为多少种？（答案：70）（3）某段马路上有7盏路灯，为了节约用电，现关掉其中的2盏，但要求关掉的2盏不能相邻，且不在马路的两段，那么关灯的不同方案共有多少种？（答案：6种）（4）学校准备把12个三好学生的名额分给高二10个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方案？（答案：55种）6．课堂小结解决一个排列组合题首先必须分清它是排列问题还是组合问题；其次，分析求解过程要注意掌握处理排列与组合的基本思想：即按元素的性质分类或按事件发生过程分步．另外，对于同一个问题应从多个角度去思考，一题多解，这样既可以防止重复与遗漏问题，又可提高分析问题、解决问题的能力．。
1.3组合(3)
三．例题讲解
例 2．从编号为 1，2，3，…，10，11 的共 11 个球 中，取出 5 个球，使得这 5 个球的编号之和为奇数， 则一共有多少种不同的取法？
例 5．6 本不同的书全部送给 5 人，每人至少 1 本，有 多少种不同的送书方法？
四．课堂练习
1．在一次考试的选做题部分，要求在第 1 题的 4 个小
题中选做 3 个小题，在第 2 题的 3 个小题中选做 2 个小
题，第 3 题的 2 个小题中选做 1 个小题，有 种不同
的选法 新疆 王新敞 奎屯
例 3．现有 8 名青年，其中有 5 名能胜任英语翻译工 作；有 4 名青年能胜任德语翻译工作（其中有 1 名青 年两项工作都能胜任），现在要从中挑选 5 名青年承 担一项任务，其中 3 名从事英语翻译工作，2 名从事 德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
三．例题讲解
例 4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两 天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不 同的值周表 ？
该科技小组中女生的人数 新疆 王新敞 奎屯
7. 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个
新疆 王新敞
奎屯
一．复习引入
组合数的性质
2：
C
m n
1
＝ Cnm
+
C
m n
1
说明：①公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合 数之和，等于下标比原下标多 1 而上标与大 的相同的一个组合数；
数学运算之排列组合专题
但此类题型还是可以用挡板法，只需做一些小变化，可以假想从每个盒子中借一个球，
这样共有 11 个球，然后用挡板法进行计算考虑，故有 C120 = 45 种分法。
（二）9 个完全相同的球全部放入 3 个相同的盒子中，每个盒子要求至少有一个，
有
种不同的分法。
【解析】本题跟上面两题又有所差别，放入三个相同的盒子，就要考虑排除盒子排列产生的
多余次数，即除以 A33 。但是直接拿 C82 来除显然有问题，因为比如像（1，1，7）（2，2， 5）（4，4，1）这样的情况只有 3 种排列可能，并不是 A33 种排序，所以要在除以 A33 之前补 足，同样 3，3，3 也是一种特殊情况，要补足 5 种，这样就有了答案共[ C82 +3*3+5]/ A33 =7
【例九】六人站成一排，求： ①甲不在排头，乙不在排尾的排列数； ②甲在乙的前面的排列数； ③甲乙丙按从左到右依次排列的排列数。
【解析】特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
5
①方法一：上图，A 为甲在排头的情况种数，B 为乙在排尾的情况种数，T 为符合两种情况 的种数，M 为 6 人排列种数。根据题目要求可知蓝色区域种数=M-A-B+T=6！-5！-5！ +4！=504 种。 方法二：可以判断出先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类（甲、乙 均可）。
6
【例十】对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试，至区分出所 有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有 多少种可能?
【解析】由题意可得，第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而可按下列
步骤分步完成。
①
Байду номын сангаас
数字的组合与分解
数字的组合与分解1. 数字的组合数字的组合是指将不同的数字进行排列组合，形成新的数字。
组合的方式有很多，下面将介绍其中几种常见的组合方法。
1.1 两位数的组合两位数的组合是将十位和个位的数字进行排列组合。
例如，以数字1和2为例，可以组合成12和21。
1.2 三位数的组合三位数的组合是将百位、十位和个位的数字进行排列组合。
以数字1、2和3为例，可以组合成123、132、213、231、312和321等。
1.3 多位数的组合多位数的组合原理与两位数和三位数的组合类似，只是位数更多，例如四位数、五位数等。
以数字1、2、3和4为例，可以组合成1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312和4321等。
2. 数字的分解数字的分解是将一个多位数按照位数分解为各个数字的和。
以下将介绍两种常见的数字分解方法。
2.1 十进制分解十进制分解是将一个多位数按照其位数逐一分解，每位上的数字乘以对应的权重再相加，得到最终的结果。
例如，将数字123分解，分别为1×100 + 2×10 + 3×1 = 100 + 20 + 3 = 123。
2.2 二进制分解二进制分解是将一个多位数按照二进制位上的权重逐一分解，每位上的数字乘以对应的权重再相加，得到最终的结果。
例如，将二进制数1101分解为1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13。
3. 数字的应用数字的组合与分解在数学和计算机科学等领域有广泛的应用。
3.1 数字密码在密码学中，数字的组合与分解常用于生成密码。
通过组合不同的数字可以产生大量的密码的组合，提高密码的安全性。
三中三公式计算方法
三中三公式计算方法三中三是指在一定范围内，从中选择三个数字进行排列组合，共有多少种可能性。
在数学中，三中三的排列组合问题是一种常见的问题，也是解决实际问题中经常遇到的计算方法。
下面我们将介绍三中三公式的计算方法，希望能对大家有所帮助。
首先，我们来介绍三中三的排列组合公式。
在数学中，排列组合是指从n个不同元素中取出m个元素的所有可能情况的数目。
而三中三就是从n个数中任选3个数进行排列组合。
其排列组合公式如下：C(n,m) = n! / (m! (n-m)!)。
其中，C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的排列组合数目，n!表示n的阶乘，即n(n-1)(n-2)...1，m!表示m的阶乘，(n-m)!表示n-m的阶乘。
接下来，我们以一个具体的例子来说明三中三的排列组合计算方法。
假设我们有1、2、3、4、5这5个数字，现在要从中选取3个数字进行排列组合，那么根据排列组合公式，计算过程如下：C(5,3) = 5! / (3! (5-3)!)。
= 543 / (321)。
= 60 / 6。
= 10。
因此，从1、2、3、4、5这5个数字中选取3个数字进行排列组合，共有10种可能性。
除了使用排列组合公式进行计算外，我们还可以利用数学问题的特点进行简化计算。
比如在三中三的排列组合中，我们可以利用数字的特点进行简化。
以1、2、3、4、5这5个数字为例，我们可以发现，任选3个数字进行排列组合，实际上就是从5个数字中选取3个数字，因此排列组合的数目就是5的组合数。
而5的组合数可以直接用数学公式进行计算，不需要进行阶乘的计算。
综上所述，三中三的排列组合计算方法可以通过排列组合公式进行计算，也可以通过数字特点进行简化计算。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的计算方法，以便更快更准确地解决问题。
希望通过本文的介绍，大家能够对三中三的排列组合计算方法有所了解，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
祝大家在数学学习和实际问题解决中取得好成绩！。
概率论常见公式应用解析
概率论常见公式应用解析概率论是数学中的一个分支，主要研究随机事件的发生概率及其规律。
在概率论的学习中，常见公式的应用十分重要。
本文将通过解析常见的概率论公式，探讨它们在实际问题中的应用。
一、排列组合公式排列组合公式是概率论中最基础的公式之一，用于解决对象的排列组合问题。
在排列组合问题中，需要考虑对象的顺序、个数和选择情况。
下面我们来讨论常见排列组合公式的应用。
1.1. 阶乘公式阶乘公式（n!）在排列组合问题中经常使用，表示连乘从1到n的所有正整数。
例如，4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
阶乘公式可以简化排列组合问题的计算过程。
1.2. 排列公式排列公式（A(n, m)）应用于计算从n个对象中选取m个对象，并考虑对象的顺序。
例如，从5个不同的书中选取3本，可以使用排列公式A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60种不同的排列方式。
1.3. 组合公式组合公式（C(n, m)）用于计算从n个对象中选择m个对象，不考虑对象的顺序。
例如，从10个人中选取3个人组队，可以使用组合公式C(10, 3) = 10! / (3! × (10-3)!) = 120种不同的组合方式。
二、事件概率公式事件概率公式是概率论中的核心公式之一，用于计算随机事件的概率。
概率表示事件发生的可能性大小，是一个介于0和1之间的实数。
下面我们来讨论常见的事件概率公式及其应用。
2.1. 总则公式总则公式（P(A∪B)）用于计算两个事件A和B至少发生一个的概率。
根据总则公式，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
2.2. 条件概率公式条件概率公式（P(A|B)）用于计算事件A在事件B发生的条件下发生的概率。
根据条件概率公式，P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
(教师用书)高中数学 1.3.3 组合组合数公式配套课件 苏教版选修2-3
证 明
C
m n
＋ C
m－1 n
n！ ＝ ＋ m！（n－m）！
n！ （m－1）！[n－（m－1）]！ n！（n－m＋1）＋n！m （n＋1）！ ＝ ＝ ＝Cm n＋1， m！（n－m＋1）！ m！（n＋1－m）！
m m－1 即 Cm ＝ C ＋ C ＋ n 1 n n .
1．组合数公式：Cm n＝
2．组合数具有哪些性质？各自应当怎样证明？
n－ m 【提示】性质 1Cm n ＝Cn .
证明：因为 C n！ ， m！（n－m）！ 又 Cm n＝
n－ m n
n！ ＝ ＝ （n－m）！[n－（n－m）]！
n！ ， m！（n－m）！
n－ m 所以 Cm ＝ C n n . m m－1 性质 2Cm ＝ C ＋ C ＋ n 1 n n .
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有组合 的个 数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cm n表 示．
组合数公式
【问题导思】 1．组合数公式有几个？各自作用是什么？
【提示】与排列数公式类似，组合数也有两个公式．第
m n（n－1）…（n－m＋1） A n m 一个公式 Cn ＝ m＝ 中的分子是 m Am m！
(3)设集合 A＝{a，b，c，d，e}，则集合 A 的含有 3 个元 素的子集有多少个？
【思路探究】是排列还是组合，关键是元素之间有序还 是无序．
【自主解答】(1)是排列问题，因为三个人担任哪一科的 课代表是有顺序区别的，排列数为 A3 10＝720(个)． (2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑 谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C2 10＝45(个)． (3)是组合问题，因为集合的子集与元素的顺序无关．组 合数为 C3 5＝10(个)．
排列组合大班教案
排列组合大班教案一、引言在数学学科中，排列组合是一个重要的内容。
掌握排列组合的概念和方法，对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力具有重要意义。
本教案针对大班学生，结合幼儿园的实际情况，设计了一堂生动有趣的排列组合课程，旨在激发学生的学习兴趣，提高他们的思维能力。
二、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解排列和组合的概念；2. 掌握排列和组合的基本计算方法；3. 运用排列和组合的知识解决问题。
三、教学内容与教学方法1. 教学内容1.1 排列的概念及其计算方法；1.2 组合的概念及其计算方法；1.3 排列组合的实际应用。
2. 教学方法2.1 概念讲解与示例分析：通过教师的讲解和示例分析，引导学生理解排列和组合的概念；2.2 问题引导与讨论：教师提出一些有趣的问题，引导学生进行思考和讨论；2.3 练习与巩固：通过练习题的完成，巩固学生对排列组合知识的掌握；2.4 游戏与活动：设计一些排列组合的游戏或活动，增加学生的参与度和学习兴趣。
四、教学过程1. 导入与激发兴趣1.1 教师通过一段插科打诨的小故事导入，引发学生对排列组合的兴趣；1.2 教师提出一个趣味问题，如：“班级里有5个男生和3个女生，他们排队拍照，一共有多少种不同的排列方式？”师生共同探讨这个问题，并引入排列的概念。
2. 概念讲解与示例分析2.1 教师简要介绍排列的概念，并通过一个简单的示例说明如何计算排列的数量；2.2 教师同样对组合的概念进行讲解，并通过示例分析让学生理解如何计算组合的数量；2.3 教师与学生共同解答一些排列和组合的练习题，确保学生掌握了计算方法。
3. 问题引导与讨论3.1 教师设计一些与学生生活经验相关的问题，引导学生进行思考和讨论，加深他们对排列组合的理解；3.2 教师鼓励学生提出自己的问题，并引导他们运用排列组合的知识进行解答。
4. 练习与巩固4.1 学生独立完成一些排列和组合的练习题，教师提供必要的指导和帮助；4.2 教师带领学生一起讨论和解答练习题，确保学生掌握了基本的计算方法。
1.3组合
手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。
教学重点 教学难点 运用组合概念分析简单的实际实际问题
换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。
教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：运用组合概念分析简单的实际实际问题，提高分析问题的能力。 教学过程： 学生探究过程：回顾如下知识点 组合的定义 组合数公式 组合数性质 1： C P P
教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：运用组合概念分析简单的实际实际问题。 教学过程： 学生探究过程： 一、组合的定义: 二、组合数公式:
C
m n
m n
m m
n(n 1)( n 2) (n m 1) m!
C
m n
n! m !( n m) !
求证 : C n
问题： （1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合
1
例 2.写出从 a、b、c、d 四个元素中，每次取出 2 个元素的可能情况；
从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组 m C 合数，用符号 n 表示 学生活动：根据排列与组合的关系，如何去求组合数呢？ 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下 2 步： 第 1 步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ． 第 2 步，求每一个组合中 个元素的全排列数 m m m 根据分步计数原理，得到 An Cn Am
3
例 4 证明
c
m n 1
cn cn
m
m 1
分析：1 可用组合数公式来证明 2 可用组合数定义证明
排列组合知识点总结
排列组合知识点总结一、排列组合的基本概念1.1 排列的概念排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干元素的方式。
例如，从元素集合{a, b, c}中选择2个元素，按照顺序选择的话可能得到的排列有ab, ac, ba, bc, ca, cb。
可以看出，排列与元素的顺序有关。
通常情况下，从n个元素中取出m个元素，按照顺序排列的方式有n*(n-1)*(n-2)* ... *(n-m+1)种。
1.2 组合的概念组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干元素的方式，但是不考虑元素的顺序。
例如，从元素集合{a, b, c}中选择2个元素，组合的情况有ab, ac, bc，并且ba, ca, cb这三种情况都属于ab, ac, bc中的一种。
通常情况下，从n个元素中取出m个元素，不考虑顺序的组合方式有C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)种。
1.3 排列组合的关系排列和组合是紧密相关的，它们之间的关系可以通过以下公式表示：A(n,m) = n! / (n-m)!C(n,m) = A(n,m) / m!也就是说，排列是组合乘以选取的元素顺序的情况。
二、排列组合的性质2.1 基本性质（1）排列和组合的个数都是离散的，不能是负数，也不能是小数。
（2）从n个元素中取出m个元素的排列个数一定是比组合个数多的，即A(n,m) > C(n,m)。
2.2 乘法原理乘法原理是排列组合问题中的重要原理，它指出，如果一个问题可以分解为多个步骤，每个步骤有若干种选择，那么整个问题的解法个数就等于各个步骤选择方式的乘积。
例如，如果有4个选择项，分别为A、B、C、D，每个选择项都有3种情况，那么根据乘法原理，一共有3*3*3*3=81种选择方式。
2.3 加法原理加法原理是排列组合问题中的另一个重要原理，它指出，如果一个问题可以分解为多个独立的子问题，那么整个问题的解法个数就等于各个子问题解法个数之和。
例如，从n个元素中取出m个元素的排列个数等于从n个元素中取出m个元素放在前面或者放在后面的情况之和。
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式323数学
;
题型一
题型二
题型三
题型一
组合的概念
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
(2)一个班中有52人,任意两个人握一次手,共握多少次手?
(3)4个人去干5种不同的工作,每人(měi rén)干一种,有多少种分工方法?
分析:交换任何两个元素的顺序,看结果有无影响,如无影响则是组合问题.
·A66 .
【做一做 3】 A6100 =
6
答案: C100
12/12/2021
第七页，共三十页。
1
2
4. C
3
=
4
A
A
5
=
(-1)(-2)…(-+1)
!
=
【做一做 4】 C72 + C63 + C54 =
答案:46
12/12/2021
第八页，共三十页。
!
, 规定: C0
②“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关,无序性是组合的特征性质.
(2) 只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同
的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同),就是不同的
组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同点:对于排
列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序有要求,而组合
C31 ·C94 = 378 种不同的选法.
12/12/2021
第二十页，共三十页。
题型一
题型二
题型三
反思解答简单的组合问题的步骤:
(1)弄清要做的这件事是什么事;
1.3组合(三)
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中
至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 9
。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果
其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数
为（ C ）
A.(C83 C72 )(C73 C82 )
B.(C83 C72 ) (C73 C82 )
生和护士.
(C13
C 62)
(C12
C
2 4
)
1
540
作业:P25 7, 8.
分类组合,隔板处理
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.
解:采用“隔板法” 得:C259 4095
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解:
(1)
C160
1 2
C64
C21
C11
3150
(2) C160 C62 C42 C22 18900
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
高中数学课件-1.3组合
n! m)![n (n
m)]!
n! m!(n
m)!
Cnm
C nm n
从n个元素总选出m个元素，相当于从n个元素中留下n m个元素
说明：
（1）等式两边下标相同，两边上标之和等于下标
(2)当m n 时,用此性质可以简化运算 2
•组合数性质2：
Cnm
C m1 n
Cm n1
下列等式不正确的是 A．Cmn ＝m！（nn！－m）！ B．Cmn ＝Cnn－m C．Cmn ＝mn＋＋11Cmn＋＋11 D．Cmn ＝Cmn＋＋11
C82
87 2
28
(3) 以每3点为顶点画一个三角形，不含原点的三角形一共有多少个？
C83
876 3 21
56
•y •4 •3
•2
C93 C82 C83
•1
(n 2) 问题：C C CC? mm
m1
m
•0 •1 •2 •3 •4 •5 •x
nn
n 1
n
学以致用
练习．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中 任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤 菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少 还需准备不同的素菜品种________种．(结果用数值表示)
C.8
D.9
An3
6
An4 A44
nn 1n 2 6 nn 1n 2n 3
4 3 31
n 3 4,n 7.
探究三
一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？
• (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ 解 (1)从口袋里的 8 个球中任取 5 个球，不同取法的种 数是 C58＝C38＝83× ×72× ×61＝56.
高考数学 基础知识清单 第10章 排列组合二项定理 新人教A版
高考数学基础知识清单第10章排列组合二项定理新人教A版考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．§10. 排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．的排列.．．元素．．重复从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多m种）少种不同放法？（解：n二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑷排列数公式： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m mm nmn-=+--==⑶两个公式：①;m n n mn CC -= ②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有m n m n m n C C C11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A nn ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m ！；解法二：（比例分配法）m m n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!2/102022818CC C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
高中数学选修23《1.3组合》
章节与课1．3组合〔一〕课时安排：1课时题[来源:学科网ZXXK]学习目标1．正确理解组合与组合数的概念；2．弄清组合与排列之间的关系；3．会做组合数的简单运算．重点，难点1．组合与排列的区别与联系；2．组合数公式的推导．3．组合数公式的推导．活动一问题情境建构数学一．问自学准备与知识导学：前面我们研究的排列问题，许多计数问题可归结为排列问题来处理．思考下面两个问题：问题一：有5本不同的书，1〕取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，有几种不同的分法？2〕取出3本给甲，有几种不同的取法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名，1〕分别去参加某天的上、下午活动，有多少种不同的选法？2〕去参加一项活动，有多少种不同的选法？分析：两个问题的第〔1〕问都涉及顺序，而第〔2〕问都没有顺序．前者是排列问题，后者就是今天要研究的组合问题．2．数学理论1组合：思考：排列和组合有什么区别与联系？[来源:学。
科。
网]组合数：注意：Cnm是一个数．5．数学理论3：如何求组合数C n m？范例：〔1〕写出从a，b，c三个元素中取出两个元素的所有组合．2〕写出从a，b，c，d四个元素中取出两个元素的所有组合．3〕写出从a，b，c，d四个元素中取出三个元素的所有组合．一般地，如何求Cnm呢？〔尝试用组合与排列的联系来思考〕一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数Cnm．m第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数Am．根据分步计数原理得到：A n m C n m A m m．这里m，n∈N*，m≤n，这个公式就叫做组合数公式．又因为A n mn!，所以，上面的组合数公式还可以写成C n m!，(nm)!m!(nm)!特别地，当m=0时，C n0n!1，即C n01，同理：C n n1．!n!活动二建构数学例1求〔1〕C74；〔2〕C107．例2117，求C8n．C5n C6n10C7nm 1例3求证C n m nmn．例4解不等式C8m13C8m．例5以下问题是排列问题还是组合问题，请用排列数或组合数表示其结果．〔1〕某铁路线上有5个车站，那么这条铁路线上共需多少种不同的车票？Cm1〔2〕某铁路线上有5个车站，那么这条铁路线上共有多少种不同的票价〔相连两站来去票价一样〕？ [来源:学科网]〔3〕集合A={a，b，c，d，e，f}，那么集合A含有4个元素的子集有多少个？〔4〕从1，3，5，9中任取两个数相加，可得多少个不同的和？〔5〕从1，3，5，9中任取两个数相除，可得多少个不同的商？既不是排列数问题也不是组合数问题，可用分步计数原理解决〔需删除局部相同的商值〕．活动三．课堂小结组合只取元素，排列既取元素又排顺序；排列问题可看成先取元素，后排顺序．组合数公式的推导过程．活动四课堂反响单分析以下问题，那些是求排列数问题？〔1〕有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？〔2〕有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？〔3〕用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？〔4〕用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？〔5〕从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？〔6〕从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？答案：拓展：求出上面问题的答案．四．课后反思学不是一朝一夕的事情，需要平累，需要平的勤学苦。
排列组合教材
排列组合教材排列组合是数学中常见的一个分支，学习排列组合可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
本教材旨在帮助学生系统地学习和掌握排列组合的基本概念、原理和应用，为进一步深入学习高等数学奠定基础。
第一章：基本概念1.1 排列和组合的概念排列和组合是排列组合学中的基本概念，本节介绍其定义和区别，并讲解基本计数原理。
1.2 排列和组合的性质本节介绍排列和组合的性质，包括乘法原理、加法原理、逆运算等，例如乘法原理可以用来计算多个事件同时发生的情况。
1.3 阶乘和二项式系数介绍阶乘的定义和性质，以及二项式系数的计算方法和应用。
第二章：排列2.1 无重复对象的排列讲解无重复对象的排列问题，包括计算无重复对象的全排列和部分排列的方法，并通过例题进行实践。
2.2 有重复对象的排列介绍有重复对象的排列问题，讲解如何考虑重复元素的情况，以及计算有重复对象的全排列和部分排列的方法。
2.3 圆排列讲解圆排列的概念和计算方法，包括圆排列的种类、计数原理和例题分析。
第三章：组合3.1 无重复对象的组合介绍无重复对象的组合问题，包括计算无重复对象的组合数和求具体组合的方法，并通过实例演示。
3.2 有重复对象的组合讲解有重复对象的组合问题，讨论如何考虑重复因素，并通过例题进行实际演练。
3.3 组合恒等式介绍组合恒等式的概念和证明方法，以及组合恒等式在排列组合问题中的应用。
第四章：应用示例4.1 简单应用举例通过实际例题，引导学生将所学的排列组合知识应用于实际问题解决，例如生日悖论、球的抽签等问题。
4.2 综合应用题提供一些综合性的应用题，旨在让学生综合运用所学的排列组合知识，提高问题解决能力和应用能力。
4.3 拓展阅读为有进一步学习兴趣和需求的学生提供一些拓展阅读资源，包括相关的研究论文和教材推荐。
结语通过本教材的学习，学生可以系统地学习和掌握排列组合的基本概念、原理和应用，提高数学思维和问题解决能力。
希望本教材能够成为学生学习排列组合的重要辅助教材，为他们的学习之路增添亮色。
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6.某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某 校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱 乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有 一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，
180 ． 且同学甲不参加“围棋苑”， 则不同的参加方法的种数为________
60 种（用数字作答） 不同的获奖情况有_____
2.【2013 浙江】将 A, B, C , D, E , F 六个字母排成一排, 且 A, B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________ 240 种.
3.【2011 浙江】有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上， 48 则同一科目的书都不相邻的排法有 种
4.某兴趣小组有9人,4人仅会唱歌，3人仅会跳 舞，其余2人既会唱歌又会跳舞，从中选取2 人唱歌，3人跳舞参加一场演出，且每人只能 担任一个任务，有多少种不同的选法？
1.【2014 浙江】在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张， 其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，
4.【2009 浙江】甲、乙、丙 3 人站在共有 7 级台阶上，若每级 台阶最多站 2 人，同一台阶上的人不区分位置，则不同的站法
336 ． 种数、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海 世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司 机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会 开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工
3.将 2 名师傅，6 名学徒分成 2 个小组，分别安 排到甲、乙两地参加工作，每个小组由 1 名师傅
40 和 3 名学徒组成，不同的安排方案共有_____.
1.在 5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员．现从中选 出 3 名队员排成 1,2,3 号参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少
48 有 1 名老队员且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法有________种．
3.【2014 重庆】某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1
B 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（
A.72 B.120 C.144 D.3
）
4.【2014 辽宁】6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的做法 种数为（ A.144 ） D B．120 C．72 D．24
1.如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜 色全部使用 )，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区 域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有( A．72 种 B．96 种 C．108 种 ) B D．120 种
2.停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车要停放， 5 若要使三个空位连在一起，则停放的方法有 A5 种.
作，则不同安排方案的种数是( B ) A．152 B．126 C．90 D．54 按从事司机工作的人数进行分类： 按从事司机工作的人数进行分类： 按从事司机工作的人数进行分类： (1)有 1 人从事司机工作： (1)有 1 人从事司机工作： 按从事司机工作的人数进行分类： 按从事司机工作的人数进行分类： (1) 有 1 人从事司机工作： 1 2 3 2 3 C C人从事司机工作： A3＝108(种)； C1 C 43 1 32 (1) 有 1 3 4A3＝108(种)； (1) 1 人从事司机工作： C有 C A ＝ 108( 种 ) ； 3 4 3 2 3 2 3 12 人从事司机工作： 2 3 (2)有 C · A ＝ 18( 种 ) ． 1 2 3 (2) 有 2 人从事司机工作： C · A 3 3 2 3 C C A ＝ 108( 种 ) ； 3 3＝18 3 4A3＝108(种)； C · C4 (2)有 C 23 人从事司机工作： A ＝ 18( 种 ) ． 3 3 3 ∴不同安排方案的种数是 108 2 3 ＋18＝126. ∴ 不同安排方案的种数是 108＋18 2 3 (2) 有 2 人从事司机工作： C · A ＝ 18( 种 ) ． ∴ 不同安排方案的种数是 108 ＋ 18 ＝ 126. 3· 3＝18(种)． (2)有 2 人从事司机工作：C3 A3 ∴ 不同安排方案的种数是 108 108＋ ＋18 18＝ ＝126. 126. ∴不同安排方案的种数是
1.用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复
数字的八 位数，要求 １与 ２相邻， ３与 ４相邻， ５
与 ６ 相邻 ，而 ７ 与 ８ 不相 邻 ，这 样的八 位数共 有
576 ___________ 个．）
2.用0, 1, 2, 3, 4这五个数字，可以组成多少个满足下 列条件的没有重复数字的五位数? (1)比21 034大的偶数； 39 (2)左起第二、四位是奇数的偶数． 8 3. 从6双不同颜色的手套中任取4只， 240 _____种 (1)没有同色的手套的不同取法共有 240 (2)其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有 _____种
5.【2013 北京】将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人 至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数______.
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