湘教版九年级数学下二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 同步练习含答案
2017年春季新版湘教版九年级数学下学期1.2、二次函数的图象与性质同步练习4
第4课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质知识要点1 二次函数＝(－)2＋的图象与性质(教材P13探究变式)在平面直角坐标系中，把抛物线y ＝12x 2＋1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的表达式是______________．分析：先求出原抛物线的顶点坐标为(0，1)，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后抛物线的顶点坐标．方法点拨：二次函数图象的几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”．关于x 的二次函数y ＝－(x －1)2＋2，下列说法正确的是AA ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小B ．图象与y 轴的交点坐标为(0，2)C ．图象的开口向上D ．图象的顶点坐标是(－1，2)分析：参照上述“知识要点1”中“a＜0”的情况画出函数y ＝－(x －1)2＋2的大致图象，然后利用图形进行判断．方法点拨：熟练掌握二次函数的对称轴、增减性、开口方向等性质是解题的关键．已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．分析：(1)把点(3，0)的坐标代入函数表达式计算即可得解；(2)方法一：根据y1＝y2列出关于m、n的方程，然后开方整理即可得解；方法二：根据二次函数的对称性列出关于m、n的方程，然后整理即可得解．方法点拨：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．1．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( )2．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )A．m>1 B．m>0C．m>－1 D．－1<m<03．关于二次函数y＝－12(x－3)2－2的图象与性质，下列结论错误的是( )A．抛物线开口方向向下B．当x＝3时，函数有最大值－2C．当x＞3时，y随x的增大而减小D．抛物线可由y＝12x2经过平移得到4．抛物线y＝(x－1)2＋2的对称轴是________．5．将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位得到二次函数的表达式是____________，再将所得的二次函数图象向上平移2个单位得到二次函数的表达式是____________．6．已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象上，若x1＞x2＞2，则y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”)．7．已知二次函数的图象经过(0，0)，且它的顶点坐标是(1，－2)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)判断点P(3，5)是否在这条抛物线的图象上．参考答案:要点归纳知识要点1：上下(h，k) (h，k) x＝h x＝h减小增大增大减小kk a(x－h)2＋k典例导学例1 y＝12(x＋1)2＋4.例2 A例3 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m＋n＝2.当堂检测1.D2.B3.D4.x＝15．y＝(x＋1)2y＝(x＋1)2＋2 6.<7．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－2，将点(0，0)代入得a－2＝0，解得a＝2，∴抛物线的表达式为y＝2(x－1)2－2；(2)当x＝3时，y＝2×(3－1)2－2＝6，∴点P(3，5)不在这条抛物线的图象上．。
《22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》同步练习含答案详解
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质测试时间:20分钟一、选择题1.抛物线y=-2x2先向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得抛物线的解析式为( )A.y=-2(x+1)2+2B.y=-2(x+1)2-2C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2-22.(2018上海徐汇一模)对于抛物线y=-(x+2)2+3,下列结论中正确的个数为( )①抛物线的开口向下; ②对称轴是直线x=-2;③图象不经过第一象限; ④当x>2时,y随x的增大而减小.A.4B.3C.2D.13.(2017广东韶关曲江三模)已知二次函数y=a(x-1)2+c的图象如图,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是( )二、填空题4.(2018上海宝山一模)抛物线y=5(x-4)2+3的顶点坐标是.5.(2018上海杨浦一模)点A(-1,m)和点B(-2,n)都在抛物线y=(x-3)2+2上,则m与n的大小关系为m n(填“<”或“>”).6.(2017江苏苏州常熟月考)已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是.三、解答题7.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).(1)求a的值;(2)若点A(,y1)、B(4,y2)、C(0,y3)都在该抛物线上,试比较y1、y2、y3的大小.8.(2017内蒙古呼和浩特回民中学月考)已知二次函数y=(x+1)2+4.(1)写出其图象的开口方向、顶点坐标和对称轴;(2)画出此函数的图象,并说出此函数图象与y=x2的图象的关系.9.在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).(1)求该二次函数的解析式;(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质一、选择题1.答案 C 由二次函数图象的平移规律可知,将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位所得抛物线的解析式为y=-2(x-1)2,再向上平移2个单位后,所得抛物线的解析式为y=-2(x-1)2+2,故选C.2.答案 A ∵y=-(x+2)2+3,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,3),故①、②都正确;在y=-(x+2)2+3中,令y=0可求得x1=-2+3,x2=-2-3,又x1,x2<0,∴抛物线不经过第一象限,故③正确;∵抛物线开口向下,对称轴为x=- ,∴当x>-2时,y随x的增大而减小,∴当x>2时,y 随x的增大而减小,故④正确.综上,正确的结论有4个,故选A.3.答案 B 根据二次函数图象开口向上知a>0,根据c是二次函数图象顶点的纵坐标,得出c<0,故一次函数y=ax+c的大致图象经过第一、三、四象限,故选B.二、填空题4.答案(4,3)解析∵抛物线的解析式是y=5(x-4)2+3,∴其顶点坐标为(4,3).5.答案<解析∵抛物线的解析式为y=(x-3)2+ ,∴该抛物线开口向上,对称轴为x=3,在对称轴左侧y 随x的增大而减小,∵-1>- ,∴m<n.6.答案x≥-3解析∵y=-2(x+3)2+5中a=- <0,∴其图象开口向下,在对称轴右侧y随x的增大而减小,又对称轴为x=-3,∴若y随x的增大而减小,则x的取值范围为x≥-3.三、解答题7.解析( )∵抛物线y=a(x-3)2+2过点(1,-2),∴-2=a(1-3)2+2,解得a=-1.(2)易知抛物线y=-(x-3)2+2的对称轴为x=3.∵抛物线开口向下,点B(4,y2)到对称轴的距离最近,点C(0,y3)到对称轴的距离最远,∴y3<y1<y2.8.解析(1)二次函数y=(x+1)2+4图象的开口向上,顶点坐标为(-1,4),对称轴为x=-1.(2)此函数的图象如图,将二次函数y=(x+1)2+4的图象向右平移1个单位,再向下平移4个单位可得到y=x2的图象.9.解析( )∵二次函数图象的顶点为A(1,-4),∴设二次函数解析式为y=a(x-1)2-4,把点B(3,0)代入二次函数解析式,得0=4a-4,解得a=1,∴二次函数解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.(2)令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1.∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标为(3,0)和(-1,0),∴二次函数图象向右平移1个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点.故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0).。
九年级数学下册1、2二次函数的图像与性质第3课时二次函数y=ax-h2的图象与性质习题新版湘教版
11．已知二次函数 y＝2(x－1)2. (1)当 x＝2 时，函数值 y 是多少？
解：当 x＝2 时，y＝2×(2－1)2＝2.
(2)当 y＝4 时，x 的值是多少？ 当 y＝4 时，2(x－1)2＝4，解得 x＝1± 2.
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图
象与性质
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新知笔记 1 x＝h；(h，0) 2 3 (1)＞ (2)＜
1D 6D
2B 7C
3A 8B
4 5 5A 9 A 10 ＜；－5；0
11 见习题 12 C
13 B
14 ＞
15 见习题
∵P(m，n)在抛物线 y＝(x－3)2 上，∴(m－3)2＝n，
∴(m－3)2＝m＋15，解得
m＝7±2
73 .
∵－3＜m＜1，
∴m＝7－2 73，
∴n＝m＋15＝37－2
73 .
【答案】B
14．若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线 y＝(a2＋1)(x－5)2 上的两 点，当 x1＜x2＜5 时，则 y1___＞___y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
15．在如图所示的坐标系中，画出函数 y1＝2x2，y2＝2(x－2)2 与 y3＝2(x＋2)2 的大致图象．
16 见习题 17 见习题 18 见习题
1．二次函数 y＝a(x－h)2 的图象是抛物线，它的对称轴是直线 __x_＝__h___，它的顶点坐标是_(_h_，__0_)__．
2．抛物线 y＝ax2 向左平移 h 个单位(其中 h＞0)，得到的抛物线 的表达式为 y＝a(x＋h)2；抛物线 y＝ax2 向右平移 h 个单位(其 中 h＞0)，得到的抛物线的表达式为 y＝a(x－h)2.
二次函数的图象与性质第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件数学湘教版九年级下册
随 x 的增大而增大.
随 x 的增大而增大.
例 画函数y=(x-2)².
解：抛物线y=(x-2)²的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，0).
列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.
y
x 2 3 4 5 ···
y=(x-2)² 0 1 4 9 ···
描点连线： 画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到了y=(x-2)²的图象，如图.
轴右边，y 随 x 的增大而增大.
l' F
8 6 4 2
－4－2 2 4
O'
二次函数y=a(x-h)²的图象是抛物线，它的对称轴是直线 x=h，它的顶点坐标是(h，0). 当a＞0时，抛物线的开口向上； 当a＜0时，抛物线的开口向下.
类似地，可以证明二次函数 y = a(x-h)2的下列性质
y = a(x-h)2
O2
x
1.在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( A ) A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2 C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
2.对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( D ) A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m C．有最高点 D．与y轴不相交
所以 h＝－5或 h＝－13， 1 2
1
所以平移后的函数为 y ＝－ 2(x＋5)2 或 y ＝－ 2 (x＋13)2.
即抛物线的顶点坐标为 (－5，0) 或 (－13，0)，
所以应向左平移 5 或 13 个单位．
当向右平移 ︱h︱ 时 y = ax2
当向左平移 ︱h︱ 时
y = a(x-h)2 y = a(x+h)2
湘教版九年级数学下册《二次函数》小结与复习同步练习(含答案解析)
湘教版九年级数学下册《二次函数》小结与复习同步练习（含答案解析）类型之一 二次函数的有关概念1．下列函数：①y ＝1－2x 2，②y ＝1x 2，③y ＝x (1－x )，④y ＝(1－2x )(1＋2x )中，是二次函数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知函数y ＝(m －1)xm 2＋1＋5x ＋3是关于x 的二次函数，则m 的值为________． 类型之二 二次函数的图象和性质3．二次函数y ＝－x 2－2x ＋3的图象大致是( )图1－X －14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图1－X －2所示，则下列结论中错误的是( )图1－X －2A ．函数有最小值B ．当－1＜x ＜2时，y ＞0C ．a ＋b ＋c ＜0D ．当x ＜12时，y 随x 的增大而减小5．把抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的函数表达式是y ＝x 2－3x ＋5，则a ＋b ＋c 的值为________．6．已知二次函数y ＝x 2＋2x －3.(1)把函数表达式配成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)求函数图象与x轴的交点坐标；(3)画出函数图象；(4)当y＞0时，求x的取值范围．类型之三 用待定系数法求二次函数的表达式7．若二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该二次函数的表达式是( ) A ．y ＝2x 2＋x ＋2 B ．y ＝x 2＋3x ＋2 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝x 2－3x ＋28．2017·冷水滩区一模已知某抛物线的顶点坐标为(－2，1)，且与y 轴交于点(0，4)，则这个抛物线表示的二次函数的表达式是__________．9．如图1－X －3，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A (2，0)． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；(3)若抛物线上有一点B ，且S △OAB ＝1，求点B 的坐标．图1－X －3类型之四 二次函数与一元二次方程的联系10．2017·朝阳若函数y ＝(m －1)x 2－6x ＋32m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为( )A．－2或3 B．－2或－3 C．1或－2或3 D．1或－2或－311．2018·孝感如图1－X－4，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是________．图1－X－412．已知抛物线y＝x2－2x－8.(1)试说明该抛物线与x轴一定有两个不同的交点；(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B的左边)，且它的顶点为P，求△ABP的面积．类型之五二次函数的应用13．2018·连云港已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是( )A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B．点火后24 s火箭落于地面C．点火后10 s的升空高度为139 mD．火箭升空的最大高度为145 m14．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)与车流密度x(单位：辆/千米)的函数图象如图1－X－5.若车流密度不超过20辆/千米，此时车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数；当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0.(1)求当20≤x≤200时，大桥上的车流速度v与车流密度x之间的函数表达式；(2)车流量y(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)满足y＝x·v，当车流密度x为多大时，车流量y可以达到最大？并求出这个最大值(精确到1辆/时)．图1－X－515．2018·合肥模拟浩然文具店新到一种计算器，进价为25元/个，营销时发现，当销售单价定为30元/个时，每天的销售量为150件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．(1)写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数表达式(不需写出自变量的取值范围)．(2)求销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大是多少？(3)商店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；方案B：为了满足商场需要，每天的销售量不少于120个．请比较商店采用哪种方案获得的最大利润更高，并说明理由．教师详解详析1．C [解析] ①③④是二次函数．2．－1 [解析] 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝2，m －1≠0，解得m ＝－1.3．A [解析] 二次函数y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∵a ＝－1＜0，∴图象开口向下，∴顶点坐标为(－1，4)，符合条件的图象是选项A.4．B [解析] 由抛物线，可知当－1＜x ＜2时，y ＜0，故选B.5．17 [解析] ∵y ＝x 2－3x ＋5＝(x －32)2＋114，将抛物线y ＝x 2－3x ＋5向左平移4个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，即y ＝(x －32＋4)2＋114＋2＝x 2＋5x ＋11，∴a ＋b ＋c ＝17.6．解：(1)y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.(2)当y ＝0时，有x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴函数y ＝x 2＋2x －3的图象与x 轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)．(3)函数图象如下：(4)结合函数图象，可知当x ＜－3 或 x ＞1时，y ＞0.7．D [解析] 设这个二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋2，把(1，0)，(2，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.所以该函数的表达式为y ＝x 2－3x ＋2.8．y ＝34(x ＋2)2＋1 [解析] 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋2)2＋1，把(0，4)代入，得4＝4a ＋1，即a ＝34，则抛物线的函数表达式为y ＝34(x ＋2)2＋1.9．解：(1)抛物线的函数表达式为y ＝x (x －2)，即y ＝x 2－2x .(2)因为y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x ＝1.(3)设点B 的坐标为(t ，t 2－2t )． 因为S △OAB ＝1，所以12×2×|t 2－2t |＝1，所以t 2－2t ＝1或t 2－2t ＝－1， 解方程t 2－2t ＝1得t 1＝1＋2，t 2＝1－2，则B 点坐标为(1＋2，1)或(1－2，1)；解方程t 2－2t ＝－1得t 1＝t 2＝1， 则B 点坐标为(1，－1)． 所以B 点坐标为(1＋2，1)或(1－2，1)或(1，－1).10.C [解析] 当m ＝1时，函数表达式为y ＝－6x ＋32，是一次函数，图象与x 轴有且只有一个交点；当m ≠1时，函数为二次函数，∵函数y ＝(m －1)x 2－6x ＋32m 的图象与x 轴有且只有一个交点，∴(－6)2－4×(m －1)×32m ＝0，解得m ＝－2或3，故选C. 11．x 1＝－2，x 2＝1 [解析] 方程ax 2＝bx ＋c 的解是两个函数图象交点的横坐标．12．解：(1)解方程x 2－2x －8＝0，得x 1＝－2，x 2＝4.故抛物线y ＝x 2－2x －8与x 轴一定有两个不同的交点．(2)如图，由(1)得A (－2，0)，B (4，0)，故AB ＝6.由y ＝x 2－2x －8＝x 2－2x ＋1－9＝(x －1)2－9，得点P 的坐标为(1，－9)．过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，则PC ＝9， ∴S △ABP ＝12AB ·PC ＝12×6×9＝27.13．D [解析] 因为h ＝－t 2＋24t ＋1＝－(t －12)2＋145，故对称轴为直线t ＝12，显然t ＝9和t ＝13时h 不相等；当t ＝24时，h ＝1≠0；当t ＝10时，h ＝141≠139；当t ＝12时，h 有最大值145.所以选项A ，B ，C 均不正确，故选D.14．解：(1)设v ＝kx ＋b ，把(20，60)，(200，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧60＝20k ＋b ，0＝200k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝2003，所以当20≤x ≤200时，大桥上的车流速度v 与车流密度x 之间的函数表达式为v ＝－13x＋2003.(2)当0≤x ≤20时，y ＝60x ； 当x ＝20时，y 最大＝1200；当20＜x ≤200时，y ＝x ·v ＝－13x 2＋2003x ，当x＝100时，y最大≈3333.因为3333＞1200，所以当车流密度x为100辆/千米时，车流量y可以达到最大，最大值约为3333辆/时．15．解：(1)由题意，得销售量＝150－10(x－30)＝－10x＋450，则w＝(x－25)(－10x ＋450)＝－10x2＋700x－11250.(2)w＝－10x2＋700x－11250＝－10(x－35)2＋1000，∵－10<0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x＝35时，w最大＝1000，故当销售单价定为35元/个时，每天的销售利润最大，最大为1000元．(3)商店采用B方案获得的最大利润高．理由如下：A方案中：25×24%＝6(元)，最大利润是6×(150－10)＝840(元)；B方案中：若每天的销售量为120个，则单价为33元/个，∴最大利润是120×(33－25)＝960(元)．∵840<960，∴商店采用B方案获得的最大利润更高．11。
湘教版九年级数学下册《1.2.3二次函数y=a(x-h)2》同步练习(含答案解析)
第3课时二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质知识要点分类练夯实基础知识点1二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2的图象的关系1．把抛物线y ＝3x 2向左平移1个单位后，所得的抛物线表示的二次函数的表达式为()A ．y ＝3x 2－1B ．y ＝3(x －1)2C ．y ＝3x 2＋1D ．y ＝3(x ＋1)22．将抛物线y ＝x 2平移得到抛物线y ＝(x ＋2)2，则下列平移过程正确的是()A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位3．下列关于抛物线y ＝2(x －1)2与y ＝2x 2的说法，错误的是()A ．形状相同B ．开口方向相同C ．顶点相同D ．对称轴不同4．抛物线y ＝12(x ＋3)2向________平移________个单位后得到抛物线y ＝12x 2.知识点2二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质5．函数y ＝－3(x ＋1)2，当x________时，y 随x 的增大而减小；当x ＝________时，函数取得最________值，最________值为________．6．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝3(x －2)2的图象可能是()图1－2－47．下列抛物线中，对称轴为直线x ＝12的是()A ．y ＝12x 2B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝x ＋12D ．y x －1228．关于二次函数y ＝(x ＋2)2的图象，下列说法正确的是()A ．开口向下B ．最低点是(2，0)C ．对称轴是直线x ＝2D ．对称轴右侧的部分是上升的9．在函数y ＝2(x ＋1)2中，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围为()A ．x ＞－1B ．x ＞1C ．x ＜－1D ．x ＜110．画出函数y ＝－4(x －5)2的图象，并指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标．11．已知二次函数y＝2(x－1)2.(1)当x＝2时，函数值y是多少？(2)当y＝4时，x的值是多少？(3)当x在什么范围内时，y值随着x值的增大逐渐增大？当x在什么范围内时，y值随着x值的增大逐渐减小？(4)这个函数有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少？这时x的值是多少？规律方法综合练提升能力12．若点M(－3，a)，N(－1，b)均在函数y＝－3(x－1)2的图象上，则()A．a<bB．a＝bC．a>bD．a与b的大小关系不确定13．二次函数y＝a(x－h)2的图象的顶点位置()A．只与a有关B．只与h有关C．与a，h有关D．与a，h无关14．2017·衡阳已知函数y＝－(x－1)2的图象上的两个点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“<”“>”或“＝”)．15．写出一个对称轴是直线x＝－3，且开口向下的抛物线所表示的二次函数的表达式_____________________________________________．16．已知抛物线y＝(x－h)2，当x＝2时，y有最小值．(1)写出该抛物线表示的二次函数的表达式；(2)若(－100，y1)，(－99，y2)，(103，y3)三点都在该抛物线上，请比较y1，y2，y3的大小．17．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同．(1)求这条抛物线表示的二次函数的表达式；(2)将(1)中的抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线表示的二次函数的表达式是什么？拓广探究创新练冲刺满分18．将二次函数y＝2x2的图象(如图1－2－5①)向右平移1个单位，所得的二次函数的图象的顶点为D(如图1－2－5②)，并与y轴交于点A.(1)写出平移后的二次函数图象的对称轴与点A的坐标．(2)设平移后的二次函数图象的对称轴与函数y＝2x2的图象的交点为B，试判断四边形OABD是哪种特殊的四边形，并证明你的结论．(3)能否在函数y＝2x2的图象上找到一点P，使△DBP是以线段DB为直角边的直角三角形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请简要说明理由．图1－2－5教师详解详析1．D[解析]把抛物线y＝3x2向左平移1个单位后，得到的抛物线表示的函数的表达式为y＝3(x＋1)2.故选D.2．A[解析]将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程是向左平移2个单位．故选A.3．C 4.右3 5.>－1－1大大06．D[解析]二次函数y＝3(x－2)2的图象的顶点坐标为(2，0)，它的顶点坐标在x轴右半轴上．故选D.7．D[解析]已知对称轴为直线x＝12，表明在抛物线y＝a(x－h)2中，h＝12，在四个选项中只有抛物线yx－122符合．故选D.8．D[解析]二次函数y＝(x＋2)2的图象在对称轴右侧的部分是上升的．9．C[解析]函数y＝2(x＋1)2的图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故选C.10．解：图略．图象的开口向下，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为(5，0)．11．解：(1)当x＝2时，y＝2×(2－1)2＝2.(2)当y＝4时，2(x－1)2＝4，解得x＝1± 2.(3)当x>1时，y值随着x值的增大逐渐增大；当x<1时，y值随着x值的增大逐渐减小．(4)这个函数有最小值，最小值是0，这时x的值为1.12．A13．B[解析]∵二次函数y＝a(x－h)2的图象的顶点坐标为(h，0)，当h＝0时，顶点在原点处，当h＞0时，顶点在x轴的正半轴上，当h＜0时，顶点在x轴的负半轴上，∴图象的顶点位置只与h有关．14．>[解析]因为函数的二次项系数为－1，小于0，对称轴为直线x＝1，所以在对称轴的左侧，y随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．因为a>2>1，所以y1>y2.故填“>”．15．答案不唯一，如y＝－2(x＋3)216．解：(1)∵函数y＝(x－h)2在x＝2处取得最小值，∴该抛物线的顶点坐标为(2，0)，则此抛物线表示的二次函数的表达式为y＝(x－2)2.(2)由题意，知函数y＝(x－2)2有最小值，图象开口向上，函数的增减性为“左降右升”．∵－100<－99<2，∴y1>y2.又∵|－99－2|＝|103－2|，根据抛物线的对称性，可知y2＝y3.综上所述，y1>y2＝y3.17．解：(1)∵所求抛物线的顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同，∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2.∵所求抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，∴a＝3.∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝3(x＋2)2.(2)点(－2，0)向右平移4个单位后得点(2，0)，故平移后的抛物线表示的二次函数的表达式为y＝3(x－2)2.18．解：(1)平移后的二次函数图象的对称轴为直线x＝1，点A的坐标为(0，2)．(2)四边形OABD是矩形．证明：把x＝1代入y＝2x2，得y＝2，∴点B的坐标为(1，2)．根据题意，得平移后的二次函数的图象表示的函数表达式为y＝2(x－1)2，∴顶点D的坐标为(1，0)，∴OA＝DB＝2，OA∥BD，∴四边形OABD是平行四边形．又∵∠AOD＝90°，∴▱OABD是矩形．(3)能．①当∠DBP＝90°时，∵四边形OABD是矩形，∴∠DBA＝90°，即点P在直线AB上，直线AB表示的一次函数的表达式为y＝2.把y＝2代入y＝2x2，得x＝±1(正值舍去)．∴点P的坐标为(－1，2)．②当∠BDP＝90°时，∵四边形OABD是矩形，∴∠BDO＝90°，即点P在x轴上．又∵点P在函数y＝2x2的图象上，∴点P与点O重合，即点P的坐标为(0，0)．综上所述，点P的坐标为(－1，2)或(0，0)．。
2022-2023学年湘教版数学九年级下册《二次函数的图象与性质》练习题 (原卷版)
1.2 二次函数的图象与性质1、［2022朝阳·中考］如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（）A．abc＞0B．3a+c＞0C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）D．﹣1＜a＜﹣2、［2022邯郸·三模］如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x+b．我们规定：若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．有下列结论：①当x＝2时，M为4；②当b＝﹣3时，使M＝y1的x的取值范围是﹣1≤x≤3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．结论正确的是（）A．②③B．①④C．②④D．②③④3、［2022惠安县·模拟］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过P（﹣1，y1），Q（3，y2），M（m，y3）三点，若2am+b＝0，且m＜1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1≤y3D．y3≤y2＜y14、［2022日照·中考］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、［2022章丘区·模拟］点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）上，若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，则t的取值范围是（）A．t≥1B．t≤0C．t≥1或t≤0D．t≥1或t≤﹣1 6、［2021青县·期末］二次函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（）A．有最大值1，有最小值﹣2B．有最大值2，有最小值﹣2C．有最大值1，有最小值﹣1D．有最大值2，有最小值17、［2021铜仁市·中考］已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个8、［2021大连·期末］将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣4）2+6B．y＝（x﹣4）2﹣2C．y＝（x+2）2﹣2D．y＝（x+2）2+6 9、［2022黑龙江·中考］把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．10、［2021哈尔滨·中考］二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为．11、［2021广东·中考］把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．12、［2021益阳·中考］已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：x…﹣2﹣101234…y…11a323611…由此判断，表中a＝．13、［2019雅安·中考］已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为．14、［2022贵港·中考］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac ＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有个．15、［2022易县·一模］已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点；（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为．16、［2022长春·中考］已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为．17、［2022南京·模拟］在直角坐标系中，画出函数y＝2x2的图象（取值、描点、连线、画图）．18、［2022房山区·二模］在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．19、［2022庆云县·模拟］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1．（1）若点（2，﹣1）在抛物线上，求此时m的值以及顶点坐标；（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始在一条直线上，求该直线的解析式；（3）求抛物线的顶点M与原点O的距离的最小值；（4）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，求m的取值范围．20、［2022鹿城区·三模］已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M （﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．21、［2022沂水县·二模］抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q（x0，y0）是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．22、［2022鼓楼区·二模］已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为；②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为；③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为．（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．23、［2022深圳·中考］二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）24、［2022安徽·T12教育二模］已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．。
湘教版九年级数学下册《1.2二次函数的图象与性质》同步测试题带答案
湘教版九年级数学下册《1.2二次函数的图象与性质》同步测试题带答案知识点1二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1.抛物线y=2(x+4)2的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上2.抛物线y=2(x+1)2不经过的象限是( )A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限3.(2023·湘潭韶山市质检)点A(-1，y1)，B(4，y2)是二次函数y=(x-1)2图象上的两个点，则y1y2.(填“>”“<”或“=”)4.二次函数y=(x-1)2，当x<1时，y随x的增大而.(填“增大”或“减小”)5.抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，开口向上，与y轴相交于点B，且OA=OB.求点B的坐标.知识点2二次函数y=a(x-h)2与y=ax2(a≠0)之间的关系6.二次函数y=(x-2)2向右平移1个单位后的表达式是()A.y=(x-3)2B.y=(x-1)2C.y=(x-2)2+1D.y=(x-2)2-1(x+1)2向右平移m个单位长度后经过点(2，-2)，则m=. 7.若抛物线y=-128.将函数y=1x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y=x分别相2交于A，B两点(点A在点B的左边).(1)求平移后的函数表达式及顶点C的坐标;(2)求△ABC的面积.9.已知二次函数y=-2(x+b)2，当x<-3时，y随x的增大而增大;当x>-3时，y随x 的增大而减小.则当x=1时，y的值为( )A.-12B.12C.32D.-3210.抛物线y=-3(x+2)2不经过的象限是( )A.第一、二象限B.第一、四象限C.第二、三象限D.第三、四象限11.同一坐标系中，抛物线y=(x-a)2与直线y=ax+a的图象可能是( )12.关于抛物线y1=(1+x)2与y2=(1-x)2，下列说法不正确的是( )A.图象y1与y2的开口方向相同B.y1与y2的图象关于y轴对称C.图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象D.图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象13.将函数y=3(x-4)2的图象沿y轴对折后得到的抛物线是.14.已知二次函数y=2(x-h)2的图象上，当x>3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是.15.如图，把函数y=1x2的图象经过平移后得到新的函数m的图象，新函数m的图2象经过点A(-6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与函数y=1x2的2图象交于点Q，则图中阴影部分的面积为.16.已知二次函数y1的图象经过P(-2，2)，顶点为O(0，0)，将该图象左右平移，当它再次经过点P且不与原图象重合时，求平移后抛物线y2的表达式.17.已知抛物线y=1x2的图象如图所示.3(1)当抛物线向右平移m(m>0)个单位后，经过点A(0，3)，试求m的值;(2)画出平移后的图象;(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为点C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP+CP的距离最短，求出点P的坐标.参考答案知识点1二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1.抛物线y=2(x+4)2的顶点在(C)A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上2.抛物线y=2(x+1)2不经过的象限是(C)A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限3.(2023·湘潭韶山市质检)点A(-1，y1)，B(4，y2)是二次函数y=(x-1)2图象上的两个点，则y1<y2.(填“>”“<”或“=”)4.二次函数y=(x-1)2，当x<1时，y随x的增大而减小.(填“增大”或“减小”)5.抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，开口向上，与y轴相交于点B，且OA=OB.求点B的坐标.【解析】∵y=a(x-2)2，∴顶点A的坐标为(2，0).∵抛物线y=a(x-2)2开口向上，与y轴相交于B点，OA=OB，∴B(0，2).知识点2二次函数y=a(x-h)2与y=ax2(a≠0)之间的关系6.二次函数y=(x-2)2向右平移1个单位后的表达式是(A)A.y=(x-3)2B.y=(x-1)2C.y=(x-2)2+1D.y=(x-2)2-1(x+1)2向右平移m个单位长度后经过点(2，-2)，则m=5或1.7.若抛物线y=-128.将函数y=1x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y=x分别相2交于A，B两点(点A在点B的左边).(1)求平移后的函数表达式及顶点C的坐标;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)将函数y =12x 2的图象向右平移4个单位后的函数为y =12(x -4)2，则顶点C 的坐标为(4，0).(2)解方程组{y =12(x -4)2,y =x ,得{x =2,y =2,或{x =8,y =8.∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8).∴S △ABC =S △OBC -S △OAC =12OC ×8-12OC ×2=12.9.已知二次函数y =-2(x +b )2，当x <-3时，y 随x 的增大而增大;当x >-3时，y 随x 的增大而减小.则当x =1时，y 的值为 (D) A .-12 B .12 C .32 D .-3210.抛物线y =-3(x +2)2不经过的象限是 (A) A .第一、二象限 B .第一、四象限 C .第二、三象限 D .第三、四象限11.同一坐标系中，抛物线y =(x -a )2与直线y =ax +a 的图象可能是 (B)12.关于抛物线y 1=(1+x )2与y 2=(1-x )2，下列说法不正确的是 (D) A.图象y 1与y 2的开口方向相同 B.y 1与y 2的图象关于y 轴对称C.图象y 2向左平移2个单位可得到y 1的图象D.图象y 1绕原点旋转180°可得到y 2的图象13.将函数y =3(x -4)2的图象沿y 轴对折后得到的抛物线是 y =3(x +4)2 . 14.已知二次函数y =2(x -h )2的图象上，当x >3时，y 随x 的增大而增大，则h 的取值范围是h≤3.15.如图，把函数y=1x2的图象经过平移后得到新的函数m的图象，新函数m的图2象经过点A(-6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与函数y=1x2的2.图象交于点Q，则图中阴影部分的面积为27216.已知二次函数y1的图象经过P(-2，2)，顶点为O(0，0)，将该图象左右平移，当它再次经过点P且不与原图象重合时，求平移后抛物线y2的表达式.【解析】设原来的抛物线表达式为y1=ax2(a≠0).把P(-2，2)代入，得2=4a，解得a=1.2故原来的抛物线表达式是y1=1x2.2设平移后的抛物线表达式为y2=1(x-b)2.2把P(-2，2)代入，得2=1(-2-b)2.2解得b=0(舍去)或b=-4.所以平移后抛物线的表达式是y2=1(x+4)2.2x2的图象如图所示.17.已知抛物线y=13(1)当抛物线向右平移m(m>0)个单位后，经过点A(0，3)，试求m的值;(2)画出平移后的图象;(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为点C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP+CP的距离最短，求出点P的坐标.【解析】(1)把抛物线y=13x2向右平移m个单位得到y=13(x-m)2.∵经过点(0，3)，∴3=13(0-m)2.解得m1=3，m2=-3(不合题意，舍去).即m的值是3.(2)抛物线y=13x2的顶点坐标是(0，0)，平移后抛物线y=13(x-3)2的顶点坐标是(3，0)，其图象如图所示:(3)略。
《22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》练习题(含答案)
12．已知 y＝ax2＋k 的图象上有三点 A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且 y2<y3<y1，则 a 的取值范围是(A)
A．a>0
B．a<0
C．a≥0
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线 y＝－2x2＋3 与抛物线 y＝－2x2 有什么关系？
解：如图所示：
(1)抛物线 y＝－2x2 开口方向向下，对称轴为 y 轴，顶点坐标为(0，0)． 抛物线 y＝－2x2＋3 开口方向向下，对称轴为 y 轴，顶点坐标为(0，3)． (2)抛物线 y＝－2x2＋3 可由抛物线 y＝－2x2 向上平移 3 个单位长度得到．
知识点 2 二次函数 y＝ax2＋k 的性质 7．(河池中考)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线 y＝x2－1 上，下列说法中正确的是(D)
A．若 y1＝y2，则 x1＝x2 B．若 x1＝－x2，则 y1＝－y2 C．若 0＜x1＜x2，则 y1＞y2 D．若 x1＜x2＜0，则 y1＞y2 8．下列关于抛物线 y＝－x2＋2 的说法正确的是(D)
解：图象如图： 抛物线 y＝x2 的对称轴是直线 x＝0，顶点坐标为(0，0)． 抛物线 y＝(x＋2)2 的对称轴是直线 x＝－2，顶点坐标为(－2，0)． 抛物线 y＝(x－2)2 的对称轴是直线 x＝2，顶点坐标为(2，0)．
知识点 2 二次函数 y＝a(x－h)2 的性质 5．下列对二次函数 y＝2(x＋4)2 的增减性描述正确的是(D)
知识点 1 二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 同步练习(附答案)
22.1.3 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1．抛物线y ＝x 2＋1的图象大致是( )2．将二次函数y ＝x 2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是 ．3．在同一个直角坐标系中，作出y ＝12x 2，y ＝12x 2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y ＝12x 2－1与抛物线y ＝12x 2有什么关系？4．对于二次函数y ＝3x 2＋2，下列说法错误的是( )A ．最小值为2B ．其图象与y 轴没有公共点C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．其图象的对称轴是y 轴5．与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是( )A ．y ＝－54x 2－1B ．y ＝45x 2－1C ．y ＝－45x 2＋1D ．y ＝45x 2＋16．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是 (填“上升”或“下降”)的． 7．抛物线y ＝ax 2－1(a ＞0)上有两点A(1，y 1)，B(3，y 2)，则y 1 y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)8．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是( )A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 29．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是( )A ．a>0B ．a<0C ．a ≥0D ．a ≤010．一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0，b ≠0)的图象如图所示，则二次函数y ＝bx 2＋a 的大致图象是( )11．将抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移3个单位长度，得到抛物线y ＝－2x 2－1，则a ＝ ，c ＝ ．12．若抛物线y ＝ax 2＋k(a ≠0)与y ＝－2x 2＋4关于x 轴对称，则a ＝2，k ＝ ． 13．直接写出符合下列条件的抛物线y ＝ax 2－1的函数关系式：(1)通过点(－3，2)；(2)与y ＝12x 2的图象顶点相同，开口大小相同，但方向相反；(3)当x 的值由0增加到2时，函数值减少4.14．把y ＝－12x 2的图象向上平移2个单位长度．(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x 的值．15．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m ，宽是2 m ，抛物线可以用y ＝－14x 2＋4表示．一辆货运卡车高4 m ，宽2 m ，它能通过该隧道吗？第2课时 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝12(x －2)2的图象可能是( )2．抛物线y ＝－3(x ＋1)2不经过的象限是( )A ．第一、二象限B ．第二、四象限C ．第三、四象限D ．第二、三象限3．将抛物线y ＝x 2平移得到抛物线y ＝(x ＋3)2，则这个平移过程正确的是( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向上平移3个单位长度D ．向下平移3个单位长度4．在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．5．抛物线y ＝－2(x －1)2的顶点坐标和对称轴分别是( )A ．(－1，0)，直线x ＝－1B ．(1，0)，直线x ＝1C ．(0，1)，直线x ＝－1D ．(0，1)，直线x ＝16．函数y ＝－3(x ＋1)2，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当 时，函数取得最 值，最 值y ＝ ． 7．完成表格：8.已知抛物线y ＝2x 2和y ＝2(x －1)2，请至少写出两条它们的共同特征．9．已知二次函数y ＝2(x －h)2的图象上，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足 ．10．对于函数y ＝－2(x －m)2的图象，下列说法不正确的是( )A ．开口向下B ．对称轴是x ＝mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交11．顶点为(－6，0)，开口向下，形状与函数y ＝12x 2的图象相同的抛物线所对应的函数解析式是( )A ．y ＝12(x －6)2B ．y ＝12(x ＋6)2C ．y ＝－12(x －6)2D ．y ＝－12(x ＋6)212．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 和二次函数y ＝a(x ＋c)2的图象大致为( )13．已知A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 ．14．已知二次函数y ＝－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为 ．15．已知抛物线y ＝a(x －h)2，当x ＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．16．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y ＝3x 2都相同，顶点与抛物线y ＝(x ＋2)2相同．(1)求这条抛物线的解析式；(2)将上面的抛物线向右平移4个单位长度会得到怎样的抛物线解析式？ (3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式．17．如图，直线y 1＝－x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y 2＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A ，且经过点B.(1)求该抛物线的解析式；(2)求当y 1≥y 2时，x 的取值范围．第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质1．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( )2．将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋33．画出函数y＝(x－1)2－1的图象．4．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是( )A．(－2，5) B．(－2，－5) C．(2，5) D．(2，－5)5．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论不正确的是( )A．抛物线的开口向下B．对称轴为直线x＝1C．顶点坐标为(－1，3)D．此抛物线是由y＝－x2＋3向左平移1个单位长度得到的6．已知二次函数y＝2(x－3)2－8.(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？(3)当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值．7．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为．8．若抛物线y＝(x－h)2＋(h＋1)的顶点在第二象限，则h的取值范围是( )A. h＞1 B．h＞0C．h＞－1 D．－1＜h＜09．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y210．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是( )A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－111．已知抛物线y＝34(x－1)2－3.(1)写出抛物线的开口方向、对称轴；(2)函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大(小)值；(3)设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．12．已知抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的交点为A，B(B在A的右边)，与y轴的交点为C.(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论；(2)当点B在原点的右边，点C在原点下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案：22.1.3 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1．C2．y ＝x 2＋2．3．解：(1)如图所示：y ＝12x 2开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标(0，0)； y ＝12x 2－1开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标(0，－1)． (2)抛物线y ＝12x 2－1可由抛物线y ＝12x 2向下平移1个单位长度得到．4．B 5．B 6．上升 7．＜ 8．D 9．A 10．C11．－2，2． 12．2，－4．13．解：(1)y ＝13x 2－1.(2)y ＝－12x 2－1.(3)y ＝－x 2－1.14．解：(1)y ＝－12x 2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y 轴．(2)略．(3)当x ＝0时，y 有最大值，为2.15．解：把y ＝4－2＝2代入y ＝－14x 2＋4得2＝－14x 2＋4，解得x ＝±2 2.∴此时可通过物体的宽度为22－(－22)＝42＞2. ∴能通过．第2课时 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质1．D 2．A 3．A4．解：图象如图：抛物线y＝x2的对称轴是直线x＝0，顶点坐标为(0，0)．抛物线y＝(x＋2)2的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)．抛物线y＝(x－2)2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，0)．5．B6．x＞－1，＝－1，大，大, 0．9．h≤3．10．D11．D12．B13．y3<y1<y2．14．1或6．15．解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2.解得a＝－3.∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小．16．解：(1)y＝3(x＋2)2.(2)y＝3(x－2)2.(3)y＝－3(x－2)2.17．解：(1)∵直线y1＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，∴点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(0，－2)．∵抛物线y2＝ax2＋bx＋c的顶点为A，设抛物线为y 2＝a (x ＋2)2， ∵抛物线过点B (0，－2)，∴－2＝4a ，a ＝－12.∴y 2＝－12(x ＋2)2＝－12x 2－2x －2.(2)x ≤－2或x ≥0.第3课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质1．D 2．A3．解：列表：4．C 5．B6．解：(1)抛物线开口向上，对称轴是直线x ＝3，顶点坐标是(3，－8)．(2)当x ＞3时，y 随x 的增大而增大；当x ＜3时，y 随x 的增大而减小． (3)当x ＝3时，y 有最小值，最小值是－8.7．y ＝3(x ＋1)2－1． 8．D 9．A 10．C11．解：(1)抛物线y ＝34(x －1)2－3，∵a ＝34＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x ＝1.(2)∵a ＝34＞0，∴函数y 有最小值，最小值为－3.(3)令x ＝0，则y ＝34(0－1)2－3＝－94，∴点P 的坐标为(0，－94)．令y ＝0，则34(x －1)2－3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.∴点Q 的坐标为(－1，0)或(3，0)．当P (0，－94)，Q (－1，0)时，设直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－94，－k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－94，b ＝－94. ∴直线PQ 的解析式为y ＝－94x －94. 当P (0，－94)，Q (3，0)时，设直线PQ 的解析式为y ＝mx ＋n ， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－94，3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝34，n ＝－94. ∴直线PQ 的解析式为y ＝34x －94. 综上所述，直线PQ 的解析式为y ＝－94x －94或y ＝34x －94. 12．解：(1)正确的结论有：①顶点坐标为(1，1)；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线x ＝1；④函数有最大值1；⑤当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；⑥当x ＞1时，y 随x 的增大而减小等．(2)由题意，若△BOC 为等腰三角形，则只能OB ＝OC.由－(x －m )2＋1＝0，解得x ＝m ＋1或x ＝m －1.∵B 在A 的右边，∴B 点的横坐标为x ＝m ＋1＞0，OB ＝m ＋1.又∵当x ＝0时，y ＝1－m 2＜0，由m ＋1＝m 2－1，解得m ＝2或m ＝－1(舍去)．∴存在△BOC 为等腰三角形的情形，此时m ＝2.。
湘教版九年级下册数学 第1章 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
3．将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表
达式为________________．
y＝2(x＋1)2－2
4．【中考·凉山州】将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移________个单位后经过点 A(2，2)． 3
5．二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象是( )
C
B 不在平移后的抛物线上．
h)，函数值y随x的 函数值y随x的增
增大而增大 大而________
2.画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的步骤： 第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶 点； 第二步：列表(自变量x从顶点的________坐标开始取值)，描点和连线，画出图 象在对称轴右边的部分； 第三步：利用________性，画出图象在对称轴左边的部分． 横
14．已知二次函数y＝2(x＋1)2＋1，若－2≤x≤1，则函数y的最小值是________
，最大值是________．
1
9
【点拨】∵函数y＝2(x＋1)2＋1的图象开口向上， 对称轴为直线x＝－1， 且－2≤x≤1，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为 9，当x＝－1时，y有 最小值，最小值为1.
A．y＝(x＋3)2＋5
B．y＝(x－3)2＋5
D
C．y＝(x＋5)2＋3
D．y＝(x－5)2＋3
2．抛物线y＝(x＋3)2－2可由抛物线y＝x2如何平移得到？( )
A
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
湘教版 九年级下
第1章 二次函数
湘教版九年级数学下册《1.2二次函数的图象与性质》课时达标试卷含答案3
湘教版九年级数学下册《1.2二次函数的图象与性质》课时达标试卷含答案3第3课时二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质01基础题知识点1二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象的平移1．(上海中考)如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的表达式是( C ) A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1C．y＝(x－1)2D．y＝(x＋1)22．(海南中考)将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( A ) A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度知识点2画二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象3．已知二次函数y＝－14(x＋1)2.(1)完成下表；解：(1)如表．(2)如图所示．知识点3二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质4．对称轴是x＝1的二次函数是( D )A．y＝x2B．y＝－2x2C．y＝(x＋1)2D．y＝(x－1)25．在函数y＝(x＋1)2中，y随x的增大而减小，则x的取值范围为( C ) A．x＞－1 B．x＞1C．x＜－1 D．x＜16．(沈阳中考改编)在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－2)2(a≠0)的图象可能是( D )7．对于抛物线y＝35(x＋4)2，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝4；③顶点坐标为(－4，0)；④x＞－4时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( B ) A．1 B．2 C．3 D．48．(1)抛物线y＝3(x－1)2的开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)；(2)抛物线y＝－3(x－1)2的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)．9．抛物线y＝－(x＋3)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小．10．如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，那么a<0，当x＝－3时，函数的最大值是0. 11．已知抛物线y＝2x2和y＝2(x－1)2，请至少写出两条它们的共同特征．解：答案不唯一，如：开口方向相同，开口大小相同，顶点均在x轴上等．02中档题12．抛物线y＝－3(x＋1)2不经过的象限是(A)A．第一、二象限B．第二、四象限C．第三、四象限D．第二、三象限13．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为(B)14．已知A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝－2(x＋2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y3<y1<y2．15．若函数y ＝a(x ＋m)2的图象是由函数y ＝5x 2的图象向左平移32个单位长度得到的，则a ＝5，m ＝32. 16．某一抛物线和y ＝－3x 2的图象形状相同，对称轴平行于y 轴，并且顶点坐标是(－1，0)，则此抛物线的表达式是y ＝－3(x ＋1)2.17．已知二次函数y ＝2(x －1)2.(1)当x ＝2时，函数值y 是多少？(2)当y ＝4时，x 的值是多少？(3)当x 在什么范围内时，随着x 值的增大，y 值逐渐增大？当x 在什么范围内时，随着x 值的增大，y 值逐渐减少？(4)这个函数有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少？这时x 的值是多少？ 解：(1)当x ＝2时，y ＝2×(2－1)2＝2.(2)当y ＝4时，2(x －1)2＝4，解得x ＝1± 2.(3)当x>1时，随着x 值的增大，y 值逐渐增大；当x<1时，随着x 值的增大，y 值逐渐减小．(4)这个函数有最小值，最小值是0，这时x ＝1.18．已知点P(m ，a)是抛物线y ＝a(x －1)2上的点，且点P 在第一象限内．(1)求m 的值；(2)过P 点作PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a(x －1)2于点Q ，若a 的值为3，试求P 点，Q 点及原点O 围成的三角形的面积．解：(1)∵点P(m ，a)是抛物线y ＝a(x －1)2上的点，∴a ＝a(m －1)2.解得m ＝2或m ＝0. ∵点P 在第一象限内，∴m ＝2.(2)∵a 的值为3，∴二次函数的表达式为y ＝3(x －1)2.∵点P 的横坐标为2，∴点P 的纵坐标y ＝3(x －1)2＝3.∴点P 的坐标为(2，3)．∵PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a(x －1)2于点Q ，∴3＝3(x －1)2.解得x ＝2或x ＝0.∴点Q 的坐标为(0，3)．∴PQ ＝2.∴S △PQO ＝12×3×2＝3.03 综合题19．已知一条抛物线y ＝a(x －h)2的顶点与抛物线y ＝－(x －2)2的顶点相同，且与直线y ＝3x －13的交点A 的横坐标为3.(1)求这条抛物线的表达式；(2)把这条抛物线向右平移4个单位长度后，求所得的抛物线的表达式．解：(1)由题意可知：A(3，－4)．∵抛物线y＝a(x－h)2的顶点与抛物线y＝－(x－2)2的顶点相同，∴h＝2.由题意，把点A的坐标(3，－4)代入y＝a(x－2)2，得－4＝a(3－2)2.∴a＝－4.∴这条抛物线的表达式为y＝－4(x－2)2.(2)把抛物线y＝－4(x－2)2向右平移4个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y＝－4(x－6)2.。
湘教版九年级数学下册二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质同步练习题
第4课时 二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质一、选择题：1、抛物线21)1(22+--=x y 的顶点坐标为（ ） A 、（-1，21） B 、（1，21） C 、（-1，—21） D 、（1，—21）2、对于2)3(22+-=x y 的图象，下列叙述正确的是（ ）A 、顶点坐标为（-3,2）B 、对称轴是直线3-=yC 、当3≥x 时，y 随x 的增大而增大D 、当3≥x 时，y 随x 的增大而减小3、将抛物线2x y =向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）A 、3)1(2++=x yB 、3)1(2+-=x yC 、3)1(2-+=x yD 、3)1(2--=x y4、抛物线2)1(22-+-=x y 可由抛物线22x y -=平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5、如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ）A 、y=（x+1）2-1B ．y=（x+1）2+1C ．y=（x-1）2+1D ．y=（x-1）2-16、设A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （3，3y ）是抛物线k x y +--=2)21(21上的三个点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A 、1y <2y <3yB 、2y <1y <3yC 、3y <1y <2yD 、2y <3y <1y7、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m =lB ．m >lC ．m ≥lD ．m ≤l8、二次函数n m x a y ++=2)(的图象如图所示，则一次函数n mx y +=的图象经过（ ）A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限二、填空题：1、抛物线1)3(22-+-=x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 取最 值为 。
九年级数学下册二次函数y=ax_h2、k的图象与性质试题新版湘教版
九年级数学下册二次函数y=ax_h2、k的图象与性质试题新版湘教版知识要点1 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质－h)2＋k≠0)a＞0(k>0，h＞0)a＜0(k<0，h＞0) 口方向向上向下点坐标(h，k)(h，k)称轴直线____________直线____________减性当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.最值当x＝h时，y最小＝k.当x＝h时，y最大＝k. 草图题策略已知抛物线的顶点坐标求表达式：常设二次函数的模型为y＝________，通过代入顶点及一点坐标再求解.知识要点2 抛物线的平移内容图例移题略二次函数平移的实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式.九年级数学下册二次函数y=ax_h2、k的图象与性质试题新版湘教版分析：先求出原抛物线的顶点坐标为(0，1)，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后抛物线的顶点坐标．方法点拨：二次函数图象的几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”．关于x的二次函数y＝－(x－1)2＋2，下列说法正确的是AA．当x＞1时，y随x的增大而减小B．图象与y轴的交点坐标为(0，2)C．图象的开口向上D．图象的顶点坐标是(－1，2)分析：参照上述“知识要点1”中“a＜0”的情况画出函数y＝－(x－1)2＋2的大致图象，然后利用图形进行判断．方法点拨：熟练掌握二次函数的对称轴、增减性、开口方向等性质是解题的关键．已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．分析：(1)把点(3，0)的坐标代入函数表达式计算即可得解；(2)方法一：根据y1＝y2列出关于m、n的方程，然后开方整理即可得解；方法二：根据二次函数的对称性列出关于m、n的方程，然后整理即可得解．方法点拨：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．1．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( )2．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )A．m>1 B．m>0C．m>－1 D．－1<m<03．关于二次函数y＝－12(x－3)2－2的图象与性质，下列结论错误的是( )A．抛物线开口方向向下B．当x＝3时，函数有最大值－2C．当x＞3时，y随x的增大而减小D．抛物线可由y＝12x2经过平移得到4．抛物线y＝(x－1)2＋2的对称轴是________．5．将二次函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位得到二次函数的表达式是____________，再将所得的二次函数图象向上平移2个单位得到二次函数的表达式是____________．6．已知点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)在二次函数y＝－(x －2)2＋1的图象上，若x 1＞x 2＞2，则y 1________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．7．已知二次函数的图象经过(0，0)，且它的顶点坐标是(1，－2)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)判断点P (3，5)是否在这条抛物线的图象上．参考答案: 要点归纳知识要点1：上 下 (h ，k ) (h ，k ) x ＝h x＝h 减小 增大 增大 减小 k k a (x －h )2＋k典例导学例1 y ＝12(x ＋1)2＋4.例2 A例3 解：(1)将(3，0)代入y ＝a (x －1)2－4，得0＝4a －4，解得a ＝1；(2)方法一：根据题意，得y 1＝(m －1)2－4，y 2＝(m ＋n －1)2－4，∵y 1＝y 2，∴(m －1)2－4＝(m ＋n－1)2－4，即(m －1)2＝(m ＋n －1)2.∵n ＞0，∴m －1＝－(m ＋n －1)，化简，得2m ＋n ＝2；方法二：∵函数y ＝(x －1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y 轴的直线，∴m ＋n －1＝1－m ，化简，得2m ＋n ＝2. 当堂检测1.D2.B3.D4.x ＝15．y ＝(x ＋1)2 y ＝(x ＋1)2＋2 6.<7．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)2－2，将点(0，0)代入得a －2＝0，解得a ＝2，∴抛物线的表达式为y ＝2(x －1)2－2；(2)当x ＝3时，y ＝2×(3－1)2－2＝6，∴点P (3，5)不在这条抛物线的图象上．。
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1 - 2第1课时二次函数y^ax\a>0）的图象与性质卩知识要点分类练______________ 、夯实基础知识点1二次函数y = axYa>0）的图象1・二次函数y=2x?的图象可能是（）图1_2_132.画出函数尸討的图象.知识点2二次函数y = a/（a>0）的性质3 •函数y = 3x?的图象的开口向_______ ，顶点坐标是________对称轴是________ ，当x ________ 时，y随x的增大而减小，当x ______ 吋，y随x的增大而增大.4・二次函数y = 8x?的图象的开口方向是（）A・向上B.向下C •向上或向下D.不能确定5•关于函数y=5x2的图象与性质的叙述，错误的是（）A・其图象的顶点是原点B・y有最人值C・当x>0时，y随x的增大而增大D •当xvO时，y随x的增大而减小6•若原点是二次函数y = (m—2)x?的图象上的最低点，则m的取值范围是()A・ m>2 B・ m>—2C• m<2 D・ m<07-2017-连云港已知抛物线y = ax2(a>0)过A( —2，B(1 5 y?)两点，则下列关系式一定正确的是()A・ yi>0>y2B. y2>O>yiC ・ yi>y2>0 D. y2>yi>08・分别写出下列各抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(l)y = x3 (2)y=|x2.9 •若E（a，hj，F（b，h2）是二次函数y 的图象上不同的两个点，且hi=h2，则a，b的大小关系是（）A・ a=b B・ a=—bC・a>b D・无法确定10・二次函数yi=mx2与y2 = nx2的图象如图1-2-2所示，则m _______ n（填”或“<”）・图1一2—2墜—肛探渤---------------------- 、冲刺满分11・已知点A（2，Q）在抛物线上.（1）求点A的坐标.（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在、请写出点戶的坐标；若不存在，请说明理市・教师详解详析1. c2 •解：列表:描点、连线如图所示:3•上（0 0） y 轴<0 >04・A ［解析］二次函数y=ax\a>0）的图象开口向上.5・B6.A ［解析］•・•原点是二次函数图象的最低点，・••图象开口方向向上j Am—2>0，・••加>2.7・C ［解析］・・・Q>0，•:抛物线少=做2的开口向上,对称轴为y 轴，点A（-2，/）在对称轴的左侧，点B（1，）9在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，・」1>力>0，因此选C.8•解：（1）抛物线的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标是（0 ， 0）.⑵抛物线尸牙的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）・9・B10・> [解析[根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，可得m>n・11・解:（1）7点A（2，°）在抛物线y=F上，•••尸22=4，•••点4 的坐标为（2，4）.⑵存在.如图所示，在RtAAOE中，AO=^22+42 = 2诟•以O 为顶角的顶点时，AO=PyO=2 书或AO=P2O=2 y[5，・・・Pi（—2萨，0），巴（2萨，0）；以A为顶角的顶点时^AO=AP ・・・P（4，0）；以P为顶角的顶点时，OP f =AP r.在Rt AAEP f中，AE1-\-P f E1=AP f2.设AP r=x，则4?+（兀一2）2=# ,解得无=5，••・"（5，0）・综上所述，使△Q4P是等腰三角形的点P的坐标为（一2 y/5，0）或（2 y[5，0）或（4 ‘ 0）或（5 ‘ 0）.第2课时二次函数y^ax\a<0）的图象与性质A 知识要点分类练夯实基础知识点1二次函数y=ax2（av0）的图象1・已知函数『=-3x2 ,当xVO时，函数图象在（）A・第一象限B.第二象限C •第三象限D.第四象限2・画出二次函数y=—X?的图象.知识点2二次函数y = ax2（av0）的性质3・抛物线y= —5x2的开口 _______ ,当____________ 时，y有最 _______ 值，是_______ ;当x ________ 时，y随x的增大而减小.4・二次函数丫=一亍^的最大值是（）2 2A・ x=—亍B. x = O C. y = —D. y = O5・若二次函数y = —2x2的函数值y随x的增大而增大，则自变量x的取值范围为（）A・ x>0 B. x>—2C・ x<0 D・ x< —276・下列关于二次函数的图象与性质的描述，正确的是7A・顶点坐标为（0，—§）B.对称轴是y轴7 —C •当y=—§时，x=l D・函数有最小值规律方法综合练_____________ 、提升能力7・下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是（）8・函数y = 2x?，y=—2x2，的图象的共同特征是()A・开口都向上，且都关于y轴对称B•开口都向下，且都关于x轴对称C・顶点都是原点，且都关于y轴对称D・顶点都是原点，且都关于x轴对称9•若二次函数y=—x?的图象过点A(-l，B( — 2巧2)，C(3，『3)，则yi，y2，y3的大小关系是()A ・ yi<y2<y3 B・ yi<y3<y2C・ y2<yi<y3D・ y3<y2<yi10•已知y = (k+2)xl?+k-4是二次函数，且函数图象有最高点.(1)求k的值；(2)求该函数图象的顶点坐标和对称轴.3—拓广探究创新练--------------- 、冲刺满分11・如图1-2-3，在抛物线)=—/上取三点A，B，C，设点A，3的横坐标分别为d(d>0)，d+1，直线BC与兀轴平行.(1)把厶ABC的面积S用Q表示出来；(2)当△ABC的面积S为15时，求a的值.教师详解详析1. C2 •解：列表:描点和连线如图所示:3•向下0大0 >0 ［解析］因为〉=—5/的二次项系数小于0，所以抛物线的开口向下有最大值.4・D ［解析］二次函数y=ax1(a<0)的图象的顶点坐标为(0，0) 其最大值为y=0.5 ・ C 6.B7・D ［解析］函数y=-2x2的对称轴为直线x=0，在对称轴的左侧，y随兀的增大而增大，在对称轴的右侧，y随兀的增大而减小，故D选项正确.8・C9・D ［解析］开口向下的抛物线上，离对称轴越远的点，其纵坐标越小.10・解:(1)・・了=伙+2)戏2+£—4是二次函数，・•・/+£—4=2，・•・/+*—6=0，・•・伙+3)伙一2) = 0，・•・《=—3或R=2・•・•函数图象有最高点，・・・£+2<0，・•・£< —2、：・k 的值为一3.(2)•・•£=—3，・••二次函数的表达式为y=—/，・••该函数图象的顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴.11•解：(1)当x=a时，y= ——a2，则A(a，— tz2)；当x—a + 1 时，y= -x2= 一@+1)2，则B(d+1 一@+1)2).•・•抛物线y = -x2的对称轴为y轴，且BC与无轴平行，・••点C与点B为对称点，二点C 的坐标为(一(°+1)，—(d+lF)，•I /\ABC的面积S=0Q+ 1 +Q+ 1)- [—6i2+(tz +1)2]=2°2+3°+1.(2)当厶ABC的面积S为15时，2/+3a+l = 15，整理得2/+3° -14=0，解得a x =7—2，。
2018_2019学年九年级数学下册二次函数的图象与性质1.2.4二次函数y=a(x_h)2+k的图象与性质练习(新版)
1.2 二次函数的图象与性质第4课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质知|识|目|标1．通过回顾图象的平移，理解抛物线y＝ax2平移到抛物线y＝a(x－h)2和抛物线y＝a(x－h)2＋k的过程．2．运用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并通过观察二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象归纳其性质．3．在回顾用待定系数法求一次函数的表达式的基础上，能根据抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标求二次函数的表达式.目标一理解二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系例1 教材补充例题已知二次函数y＝－2x2，y＝－2(x－2)2，y＝－2(x－2)2＋2，请回答下列问题：(1)通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－2x2得到抛物线y＝－2(x－2)2和y＝－2(x－2)2＋2?(2)如果要得到抛物线y＝－2(x－2017)2－2018，应将抛物线y＝－2x2怎样平移？这样的平移方法唯一吗？【归纳总结】抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移：(1)抛物线的平移规律可以总结为“左加右减自变量，上加下减常数项”，即抛物线y＝ax2向左平移时，在自变量x中加上平移的单位数h，向右平移时，在自变量x中减去平移的单位数h; 向上平移时，在常数项中加上平移的单位数k，向下平移时，在常数项中减去平移的单位数k.(2) 抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移方法不是唯一的，既可以先左右平移，也可以先上下平移．(3) 由抛物线y＝a(x－h)2＋k平移得到抛物线y＝ax2与由抛物线y＝ax2平移得到抛物线y ＝a(x－h)2＋k的方法恰好相反．(4)由于抛物线平移后的形状不变，故二次项系数a不变，所以求平移后的抛物线的函数表达式通常有两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出函数表达式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出函数表达式．目标二理解二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质例2 教材例4针对训练已知二次函数y＝(x－2)2－4.(1)在图1－2－2给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)求出图象的顶点坐标、对称轴与最值；(3)当x满足什么条件时，函数值y随自变量的增大而增大？当x满足什么条件时，函数值y随自变量的增大而减小？(4)根据图象，写出当y＜0时x的取值范围．图1－2－2【归纳总结】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质：(1)在二次函数y＝a(x－h)2＋k中，a决定了图象的开口方向与开口大小，h决定了图象的对称轴，h，k决定了图象的顶点的位置．(2)从二次函数的表达式y＝a(x－h)2＋k中，可以直接看出抛物线的顶点坐标(h，k)，对称轴，即直线x＝h，因此通常把表达式y＝a(x－h)2＋k叫作二次函数的顶点式．(3)二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝a(x－h)2的增减性相同．(4)求函数值y＜0时自变量x的取值范围的方法：①求出y＝0时x的值(即确定抛物线与x 轴的交点坐标)；②找出x轴下方的图象对应的自变量x的取值范围．目标三能根据抛物线的顶点坐标求二次函数表达式y＝a(x－h)2＋k例3 教材例5针对训练已知二次函数图象的顶点为A(－1，4)，且过点B(2，－5)．(1)求该函数的表达式；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)将该函数图象向右平移，当图象经过坐标原点时，A，B两点随图象移至点A′，B′，求△OA′B′的面积．【归纳总结】根据抛物线的顶点坐标求函数表达式的方法：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(2)将抛物线的顶点坐标与另一点的坐标或一组x，y的对应值代入，计算出a的值；(3)将所求的a值代入顶点式y＝a(x－h)2＋k中，得到二次函数表达式．知识点一画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的步骤由于我们已经知道了二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的性质，因此画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的步骤如下：第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步：列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)、描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点)．知识点二二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质图象二次函数图象平移的规律：左加右减(对x变化)，上加下减(对y变化)．知识点四已知抛物线的顶点及另一点的坐标求函数表达式我们把y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)叫作二次函数的顶点式，其中________为其图象的顶点坐标．已知抛物线的顶点坐标与图象上另一点的坐标求函数表达式时，设函数表达式为y＝a(x－h)2＋k计算较为简单．[点拨] 符合用顶点式求函数表达式的情形：①已知抛物线的顶点坐标与图象上另一点的坐标；②已知抛物线的对称轴及两点的坐标．1．已知二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( ) A．m＝3 B．m＞3C．m≥3 D．m≤3答案：A或B上述答案正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．2．抛物线y＝(x－1)2＋2的顶点坐标是________．答案：(－1，2)以上答案正确吗？若不正确，请给出正确答案．教师详解详析【目标突破】例1 解：(1)抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y ＝－2(x －2)2的顶点坐标为(2，0)，抛物线y ＝－2(x －2)2＋2的顶点坐标为(2，2)，所以抛物线y ＝－2x 2向右平移2个单位得到抛物线y ＝－2(x －2)2，抛物线y ＝－2x 2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线y ＝－2(x －2)2＋2.(2)∵抛物线y ＝－2(x －2017)2－2018的顶点坐标为(2017，－2018)，∴应将抛物线y ＝－2x 2先向右平移2017个单位，再向下平移2018个单位． 这样的平移方法不唯一． 例2 解：(1)列表：描点、连线如图．(2)顶点坐标为(2，－4)，对称轴为直线x ＝2，当x ＝2时，函数值y 有最小值，y 最小值＝－4.(3)当x ＞2时，函数值y 随自变量的增大而增大；当x ＜2时，函数值y 随自变量的增大而减小．(4)由于抛物线与x 轴交于点(0，0)，(4，0)，∴当y ＜0时，0＜x ＜4.例3 解：(1)由顶点为A(－1，4)，可设函数表达式为y ＝a(x ＋1)2＋4(a≠0)，将B(2，－5)代入表达式，得－5＝a(2＋1)2＋4，解得a ＝－1，则二次函数的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4.(2)令x ＝0，得y ＝－(0＋1)2＋4＝3，故函数图象与y 轴的交点坐标为(0，3)；令y ＝0，得0＝－(x ＋1)2＋4，解得x 1＝－3，x 2＝1，故函数图象与x 轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)．(3)设原函数图象与x 轴的交点为M ，N(点M 在点N 的左侧)，由(2)知M(－3，0)，N(1，0)．当函数图象向右平移至经过坐标原点时，点M 与点O 重合，因此函数图象向右平移了3个单位，故A′(2，4)，B ′(5，－5)，如图所示，过点A′作A ′D ⊥y 轴于点D ，过点B′作B′E⊥y 轴于点E ，∴S △OA ′B ′＝12×(2＋5)×9－12×2×4－12×5×5＝15.【总结反思】[小结] 知识点二上直线x＝h (h，k) 减小增大下直线x＝h (h，k) 增大减小知识点四(h，k)[反思] 1.不正确．正确答案为C.因为二次函数y＝(x－m)2－1的图象的对称轴为直线x＝m，而抛物线开口向上，所以当x＜m时，y随x的增大而减小．又因为当x≤3时，y随x的增大而减小，所以m≥3.故答案为C.反思：画出函数图象，根据图象进行分段分析．2．不正确．正确答案为(1，2)．反思：识记抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标公式时，切勿弄错符号．。
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湘教版九年级数学下二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质同步练习含答案
a知识要点分类练
知识点1 二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象的关系
1．2017·常德将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为( )
A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5
C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－5
2．抛物线y＝(x－3)2＋2可以由抛物线y＝x2先向右平移________个单位，再向上平移________个单位得到．
3．函数y＝－2(x－1)2－1的图象可以由函数y＝－2(x＋2)2＋3的图象先向右平移________个单位，再向________平移________个单位得到．
知识点2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
4．教材习题1.2第6题变式二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象大致是( )
图1－2－6
5．2017·长沙抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )
A ．(3，4)
B ．(－3，4)
C ．(3，－4)
D ．(2，4)
6．设二次函数y ＝(x －3)2－4的图象的对称轴为直线l ，若点M 在直线l 上，则点M 的坐标可能是( )
A ．(1，0)
B ．(3，0)
C ．(－3，0)
D ．(0，－4)
7．设A(6，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三个点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____________(用“>”连接)．
8．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
9.在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝12(x ＋1)2－3和y ＝1
2(x －1)2＋3的图象，并写出
它们的顶点坐标和对称轴．
知识点 3 根据图象的顶点坐标求二次函数的表达式
10．已知抛物线的顶点坐标为(－1，－2)，且过点(1，6)，求抛物线所表示的二次函数的表达式．
解：设二次函数的顶点式为____________， 把点(1，6)代入表达式得____________， 解方程得________，
所以抛物线所表示的二次函数的表达式为____________．
11．若某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝1
2x 2相同，顶点坐标为(－2，1)，则此抛
物线表示的二次函数的表达式为( )
A ．y ＝12(x －2)2＋1
B ．y ＝1
2(x ＋2)2－1
C ．y ＝12(x ＋2)2＋1
D ．y ＝－1
2(x ＋2)2＋1
c 规律方法综合练 提升能力
12．关于二次函数y ＝2－(x ＋1)2，下列说法：(1)函数的图象开口向上；(2)有最小值2；(3)有最大值2；(4)函数图象的对称轴是直线x ＝1；(5)函数图象的对称轴是直线x ＝－1.其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
13．图1－2－7中有对称轴相同的两条抛物线，则下列关系不正确的是( )
图1－2－7
A．h＝m B．k＞n C．k＝n D．h＞0，k＞0
14．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( ) A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
15．在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝－2x 2不动，而将x 轴，y 轴分别向上、向左各平移3个单位，那么新抛物线表示的二次函数的表达式是( )
A ．y ＝－2(x －3)2＋3
B ．y ＝－2(x ＋3)2＋3
C ．y ＝－2(x －3)2－3
D ．y ＝－2(x ＋3)2－3
16．如图1－2－8，二次函数的图象的顶点坐标是(－1，3)，当函数值y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是________．
图1－2－8
17．将二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y ＝1
2
(x ＋1)2－1的图象．
(1)试确定a ，h ，k 的值；
(2)请写出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．如图1－2－9，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且图象经过点B(3，0)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
图1－2－9
c 拓广探究创新练冲刺满分
19．如图1－2－10，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于点C，D.P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
图1－2－10
详解详析
1．A [解析] 抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为(0，0)，将(0，0)向右平移3个单位，再向下平移5个单位后的坐标为(3，－5), ∴平移后的抛物线的表达式为y ＝2(x －3)2－5.故选A.
2．3 2 3.3 下 4
4．C [解析] ∵a ＝2＞0，∴抛物线开口向上． ∵二次函数的表达式为y ＝2(x ＋2)2－1，
∴图象的顶点坐标为(－2，－1)，对称轴为直线x ＝－2. 5．A 6.B 7．y 2＞y 3>y 1 8．解：
9.解：它们的图象如图所示．
抛物线y ＝1
2
(x ＋1)2－3的顶点坐标是(－1，－3)，对称轴是直线x ＝－1；
抛物线y ＝1
2(x －1)2＋3的顶点坐标是(1，3)，对称轴是直线x ＝1.
10．y ＝a (x ＋1)2－2 6＝a (1＋1)2－2 a ＝2 y ＝2(x ＋1)2－2 11．C 12.B
13．C [解析] 由题意，可知抛物线y ＝14(x －h )2＋k 的顶点坐标为(h ，k )；抛物线y ＝
1
2(x －m )2＋n 的顶点坐标为(m ，n )．选项A ，由两抛物线有相同的对称轴，可得h ＝m ，故本选项不合题意；选项B ，由两抛物线顶点的位置可知，k ＞n ，故本选项不合题意；选项C ，
由两抛物线顶点的位置可知，k >n ，故本选项符合题意；选项D ，由抛物线y ＝1
4(x －h )2＋k
的位置可知，h ＞0，k ＞0，故本选项不合题意．
14．B
15．C [解析] 如果抛物线y ＝－2x 2不动，把x 轴，y 轴分别向上、向左平移3个单位，相当于平面直角坐标系不动，将抛物线向下、向右各平移3个单位，得到的新抛物线表示的二次函数的表达式为y ＝－2(x －3)2－3.故选C.
16．x ＜－1
17．解：(1)∵平移不改变图象的形状和大小， ∴a ＝12
.
将二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得图
象的顶点坐标为(h －2，k ＋4)，故h －2＝－1，k ＋4＝－1，解得h ＝1，k ＝－5.∴a ＝1
2，h
＝1，k ＝－5..
(2)由(1)知二次函数的表达式为y ＝1
2
(x －1)2－5，故其图象的开口向上，对称轴为直线x
＝1，顶点坐标为(1，－5)．
18．解：(1)设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4.
∵二次函数的图象经过点B(3，0)，
∴0＝4a－4，解得a＝1，
∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4.
(2)令y＝0，得(x－1)2－4＝0，
解方程，得x1＝3，x2＝－1，
∴二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(3，0)和(－1，0)，
∴将该二次函数的图象向右平移1个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为(4，0)．
19．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)，
∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋4.
∵抛物线过点B(0，3)，
∴3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4，
即y＝－x2＋2x＋3.
(2)作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连接AE，交x轴于点P，连接PB，此时PA ＋PB的值最小．
设直线AE的函数表达式为y＝kx＋b，
11 则⎩⎪⎨⎪⎧
k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7，b ＝－3， ∴y ＝7x －3. 当y ＝0时，x ＝37， ∴点P 的坐标为(37，0)．。