北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学(文) 试题
【解析版】北京市东城区2013届高三一模数学文试题
2013年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•东城区一模）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合∁U A=﹣3．（5分）（2013•东城区一模）已知ABCD为平行四边形，若向量，，则向量﹣B+﹣﹣=4．（5分）（2013•东城区一模）执行如图所示的程序框图，输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（）++S=++﹣，=5．（5分）（2013•东城区一模）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），那么这个几何体的侧面积是（）BS==4+6．（5分）（2013•东城区一模）已知点A（2，1），抛物线y2=4x的焦点是F，若抛物线上存的横坐标为数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则8．（5分）（2013•菏泽二模）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3 x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•东城区一模）已知i是虚数单位，那么i（1+i）等于﹣1+i．10．（5分）（2013•东城区一模）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是84，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是2．==84==8411．（5分）（2013•东城区一模）不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为2，z=x+y的最大值为2．×12．（5分）（2013•东城区一模）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为．=．故答案为：．13．（5分）（2013•东城区一模）函数的图象为C，有如下结论：①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；③函数f（x）在区间内是增函数，其中正确的结论序号是①②③．（写出所有正确结论的序号）=k+，x=+x=﹣≤得﹣，[，真包含于[]所以函数在上单调递增，故14．（5分）（2013•东城区一模）数列{a n}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若（a≠0），则位于第10行的第8列的项等于a89，a2013在图中位于第45行的第77列．（填第几行的第几列）=，三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•东城区一模）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求ac的最大值．Ⅰ）因为，由正弦定理求得，由正弦定理可得，所以，所以．，因为，当且仅当16．（14分）（2013•东城区一模）如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．17．（13分）（2013•东城区一模）为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？（Ⅱ）若x≥245，y≥245，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．因此，所求概率为人数比女生人数多的概率为18．（14分）（2013•东城区一模）已知函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x（m∈R）．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（III）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．．知知，得在区间在区间在区间在区间．，所以有，解之得的取值范围是19．（13分）（2013•东城区一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ 分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．由离心率为：再把点的方程为（Ⅰ）解：由已知，得，即过点，所以的方程为．的方程为由方程组==．=20．（13分）（2013•东城区一模）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，a n）为B=（b1，b2，…b n）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+a n b n．（Ⅰ）若，B=（﹣1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值．．，且达到最大值．时，计算取得最大值，此时。
2013届北京市东城区高三一模数学文科试题(WORD解析版)
北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ）{3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3}【答案】B【解析】因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.（2） “1a =”是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的（A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】因为两直线平行，则有1112a +=，解得1a =。
所以1a =是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的充要条件，选C 。
（3）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB = a ，AC = b ，则向量BC为（A ）-a b （B ）a +b （C ）-b a （D ）--a b 【答案】C【解析】因为=BC AC AB - ，所以=BC b a -，选C.（4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是56，则判断框内应填入的条件是（A ）5?n ≤ （B ）5?n <（C ）5?n > （D ）5?n ≥ 【答案】A 【解析】本程序计算的是1111223(1)S n n =+++⨯⨯+ ，因为1111111=122311S n n n =-+-++--++ ，由15116S n =-=+，解得5n =。
北京市东城区2013届高三上学期期末考试 数学理科试题
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（A)1 (B) 3(C)4（D ）8 【答案】C【KS5U 解析】因为{1,2,3}A B =，所以3B ∈,所以{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}B =共有4个，选C.(2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于(A ）1- (B)1 （ （D ）【答案】B【KS5U 解析】因为i 1ia +-是纯虚数，所以设i,0,1ia bib b R +=≠∈-。
所以(1)a i bi i b bi +=-=+，所以1a b ==，选B 。
（3）已知{}na 为等差数列，其前n 项和为nS ，若36a=，312S =，则公差d等于(A)1 (B)53（C ）2 (D ）3【答案】C【KS5U 解析】因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222aa d d ==+=+，解得2d =，选C 。
(4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D)7 【答案】A【KS5U 解析】第一次循环得0021,1S k =+==；第二次循环得1123,2S k =+==;第三次循环得33211,3S k =+==，第四次循环得111122059,4S k =+==，但此时100S <，不满足条件，输出4k =，所以选A 。
北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 〔理科〕学校_____________班级_____________________________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷〔选择题 共40分〕一、本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是〔A 〕1 (B) 3 (C)4 (D)8 〔2〕已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 〔A 〕1- 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕2-〔3〕已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，假设36a =，312S =，则公差d 等于〔A 〕1 〔B 〕53〔C 〕2 〔D 〕3 〔4〕执行如下图的程序框图，输出的k 的值为〔A 〕4 〔B 〕5 〔C 〕6 〔D 〕7〔5〕假设a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件〔6〕已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是〔A 〕[6,15]〔B 〕[7,15] 〔C 〕[6,8] 〔D 〕[7,8]〔7〕已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则△AFK 的面积为〔A 〕4 〔B 〕8 〔C 〕16 〔D 〕32〔8〕给出以下命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②假设log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③假设函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕4第Ⅱ卷〔共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
导数专题复习题
导数专题复习一、求下列函数的导数1．（08浙江）()()f x x x a =-2．（07天津）2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． 3．（08陕西）21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ） 4．（06山东） ()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中1a ≥- 5．（08安徽）1()(01)ln f x x x x x=>≠且6．（09全国）()()21f x x aIn x =++ 7．（07海南）2()ln(23)f x x x =++． 8．（07海南理） 2()ln()f x x a x =++ ．*9．（09辽宁）f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a > 10．（07四川） 已知函数()()22ln 0f x x a xx x=++>，11．（08山东）1()1ln(1),(1)ng x x x x =-----其中n ∈N*,a 为常数. 12．（09陕西）1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > 13．08辽宁设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． 14．（11全国）h (x )＝2ln x ＋k －1x 2－1x (x >0)，15．（07安徽）a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.16．（05全国）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，17.（11北京）kx e k x x f 2)()(-=18．（08重庆）2333()()422x g x x x e -=+- ,19．（09重庆）2()(0)xe g x k x k =>+20．（06全国）()11axx f x e x-+=- 21.（13年一模）2()=(1)x a f x x ，2()()e xf x x ax a -=++，2()xax x a f x e++=，()ln 1a f x x x =+-，x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=，1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R二、导数的几何意义1．（2010全国卷2文数）（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 2．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是【 A 】.A ．B ．C ．D ．3．如图，已知函数()y f x =的图象，画出()f x '的图象 ~ab ab axyy y ）b4．如图，已知函数()y f x '=的图象，画出()y f x =的图象5．（2010辽宁文数）（12）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ6．（11山东理科）函数2sin 2xy x =-的图象大致是|A ．B ．C ．D ．7.(2011石景山一模文8)．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ ）A ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞8. （2013届北京丰台区一模理科）已知函数1()f x x a=+，2()3g x x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；；9. （2013届房山区一模理科数学）已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++ ,.（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；10. （2013届门头沟区一模理科）已知函数2()xax x af x e ++=．（Ⅰ）函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值； 11. （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=xyOO yx(Ⅰ)若2=a ，求函数)(x f 在（1，)1(f ）处的切线方程；12. （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数()()()12,03123-+=>-=b bx x g a ax x x f . (I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; 13. （【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；}三、利用导数研究函数的性质（一）单调性与导数的符号1．已知函数2()2ln 1f x x a x =--(0)a ≠，求函数()f x 的单调区间 2.求函数()ln f x a x x =+的单调区间3.求函数2()ln f x a x x =+，a ∈R ，的单调区间 4.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >，讨论函数()f x 的单调性。
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三理科数学
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|02}A x x =<<，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则A B =（A ）(0,1) （B ） (1,2)（C ）(,1)(0,)-∞-+∞ （D ） (,1)(1,)-∞-+∞ （2）在复平面内，复数2ii+ 的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）设a ∈R ，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行右图所示的程序框图，输出的a 的值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（5）在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cos B =（A ）13（B）3（C）3 （D）3（6）已知直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M ，N两点，若MN ≥，则k 的取值范围为（A）[ （B ）11[,]33- （C ）(,-∞ （D）)+∞（主视图）（侧视图）（俯视图）（7）在直角梯形ABCD 中，90A ∠= ，30B ∠= ，AB =,2BC =，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+ ，则μ的取值范围是（A ）[0,1] （B ） （C ）1[0,2 （D ）1[,2]2（8）定义,,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设实数,x y 满足约束条件2,2,x y ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩则max{4,3}z x y x y =+- 的取值范围是（A ）[6,10]- （B ）[7,10]- （C ）[6,8]- （D ）[7,8]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题06 数列
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题06 数列一．基础题1.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】 在正项等比数列{}n a 中，1a 和19a 为方程016102=+-x x 的两根，则=12108a a a ( ) (A)16 (B)32 (C)64 (D)2562.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则的值为（ ）==15a =．3.【安徽省2013届高三开年第一考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（ ）A ．11B ．10C ．9D ．84.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知等比数列{a n }的前三项，公比为nn 123146. [安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考]设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．152 D ．172【答案】C【解析】()4142112151222a S a a --==⨯7.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，21249a a ∙=，则7a 的最小值为（ ）A.7B. 8C. 9D. 108.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】已知等比数列}{n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，则3q 等于（ ）A.12-B.1C.12-或1D.112-或 【答案】A【解析】若1q =，则31a +61a =2⨯91a ，得1a =0，而等比数列任何一项都不为0，故1q ≠；所以369111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q ---+=---，换元解方程得3q =12-或1（舍） 9.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 的值为（ ）A. 55B. 65C. 60D.7010.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）311.【惠州市2013届高三第三次调研考试】在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 ．【答案】7【解析】1212721712nn n S n -===-⇒=-12【广州市2013届高三年级1月调研测试】 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ， 若34512a a a ++=，则7S 的值为 .【答案】28二．能力题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】因为124,,S S S 成等比数列，所以2142S S S =，即2111(46)(2)a a d a d +=+，即2112,2d a d d a ==，所以211111123a a d a a a a a ++===，选C. 2.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ） （B ）53（C ）2 （D ）33.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若1r =，则11n n a a +=+，即11n n a a +-=，所以数列{}n a 成等差数列。
北京市东城区2013届高三上学期期末统一练习数学理科试题含答案
东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教课一致检测高三数学（理科）学校 _____________ 班级 _______________ 姓名 ______________ 考号 ___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、本大题共 8 小题，每题 5 分，共40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
（1）设会合A{1,2} ，则知足 A B{1,2,3} 的会合B的个数是（A）1(B)3(C) 4(D) 8（2）已知a是实数，a i是纯虚数，则 a 等于1i（A）1（B）1（ C）2（D）2（3）已知{ a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a36， S3 12，则公差d等于（A）1（B）5（C）2（D）3 3（4）履行如下图的程序框图，输出的k 的值为（A）4（B）5（C）6（D）7（5）若a ，b是两个非零向量，则“ a b a b ”是“a b”的（ A）充足不用要条件（ C）充要条件（ B）必需不充足条件（ D）既不充足也不用要条件x 0,（6）已知x ，y知足不等式组y 0,当 3s 5 时，目标函数z3x 2 y的最大值的x y s,y 2x 4.变化范围是（ A）[6,15]（B）[7,15]（C）[6,8]（D）[7,8]（7）已知抛物线y2 2 px 的焦点F与双曲线x2y2 1的右焦点重合，抛物线的准线与79x 轴的交点为K，点A在抛物线上且 | AK | 2 | AF | ，则△AFK的面积为（A）4（ B）8（C）16（ D）32(0,) 上，函数y 1 ,11)2, y x3中有三（8）给出以下命题：①在区间x y x2, y ( x个是增函数；②若log m 3log n 30，则0n m1；③若函数 f ( x) 是奇函数，则f (x1) 的图象对于点A(1,0) 对称；④已知函数 f ( x)3x 2 ,x2,log3 (x1),x 则方程2,f (x)1有 2 个实数根，此中正确命题的个数为2（A）1（B）2（C）3（D）4第Ⅱ卷（共 110 分）yy=3x2二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
北京市东城区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)
北京市东城区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合A=x0<x<2，B=x x−1x+1>0，则A∪B=A. 0,1B. 1,2C. −∞,−1∪0,+∞D. −∞,−1∪1,+∞2. 在复平面内，复数2+ii对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设a∈R，则" a=−1 "是" 直线ax+y−1=0与直线x+ay+5=0平行"的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图，输出的a值为A. 3B. 5C. 7D. 95. 在△ABC中，a=15，b=10，A=60∘，则cos B=A. 13B. 33C. 63D. 2236. 已知直线y=kx+3与圆x−22+y−32=4相交于M，N两点，若 MN ≥23，则k的取值范围为A. −33,33B. −13,13C. −∞,−33D. 33,+∞7. 在直角梯形ABCD中，∠A=90∘，∠B=30∘，AB=23，BC=2，点E在线段CD上，若AE=AD+μAB，则μ的取值范围是A. 0,1B. 0,C. 0,12D. 12,28. 定义max a,b=a,a≥b,b,a<b，设实数x，y满足约束条件x ≤2,y≤2，则z=max4x+y,3x−y的取值范围是A. −6,10B. −7,10C. −6,8D. −7,8二、填空题（共6小题；共30分）9. 若函数f x为奇函数，且当x≥0时，f x=x2+x，则f−2的值为．10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11. 若点P4,4为抛物线y2=2px上一点，则抛物线焦点坐标为；点P到抛物线的焦点的距离为．12. 函数y=x+1−x的最大值为．13. 如图，已知点A0,14，点p x0,y0x0>0在曲线y=x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x0=．14. 设等差数列a n满足：公差d∈N∗，对任意n∈N∗，有a n∈N∗，且a n中任意两项之和也是该数列中的一项．①若a1=1，则d=；②若a1=25，则d的所有可能取值之和为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=23sin x cos x−2sin2x+1．（1）求fπ12；（2）求f x在区间0,π2上的最大值和最小值．16. 已知a n是公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足：b12+b22+⋯+b n2=a n+1n∈N∗，求数列b n的前n项和．17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1B⊥平面A1B1C1，AC=CB=CC1=2，∠ACB=90∘，D，E分别是A1B1，CC1的中点．（1）求证：C1D∥平面A1BE；（2）求证：平面A1BE⊥平面AA1B1B；（3）求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值．18. 已知a∈R，函数f x=ln x+1x+ax．（1）当a=0时，求f x的最小值；（2）若f x在区间2,+∞上是单调函数，求a的取值范围．19. 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的点到其两焦点距离之和为4，且过点0,1．（1）求椭圆的方程；（2）O为坐标原点，斜率为k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点A x1,y1，B x2,y2，若x1x2a +y1y2b=0，求△AOB的面积．20. 若无穷数列a n满足：（i）对任意n∈N∗，a n+a n+22≤a n+1；（ii）存在常数M，对任意n∈N∗，a n≤M，则称数列a n为“ T数列”．（1）若数列a n的通项为a n=8−2n（n∈N∗），证明：数列a n为“ T数列”；（2）若数列a n的各项均为正整数，且数列a n为“ T数列”，①证明：对任意n∈N∗，a n≤a n+1，②证明：存在n0∈N∗，数列a n0，a n0+1，a n0+2，⋯为等差数列．答案第一部分1. C2. D3. A4. C 【解析】a=3，S=3；a=5，S=15；a=7，S=105，结束循环，输出a=7．5. C【解析】根据正弦定理asin A =bsin B，得sin B=33，因为b<a，所以B<60∘，则cos B=63．6. A 【解析】圆的半径为r=2，由题可求得圆心2,3到直线y=kx+3的距离为d=1+k2，所以MN=2 r2−d2=24−4k21+k ，由 MN ≥23，解得k∈ −33,33．7. C 【解析】过C作CP AD交AB于点P，由BC=2，∠B=30∘得CP=1，即AD=1，又AB=23，所以PB=3，所以DC=3．以A点为原点建立直角坐标系如图所示，则A0,0，B 23,0，C 3,1，D0,1．设E x,1，所以由AE=AD+μAB得x,1=0,1+μ 23,0，所以x=23μ，又因为x∈0,3，所以μ∈0,12．8. B 【解析】提示：由题意等价于当 x ≤2,y≤2,x+2y≥0,时，求z=4x+y的范围；当x ≤2,y≤2,x+2y≤0,时，求z=3x−y的范围；然后再求两者的并集．第二部分9. −6【解析】由函数f x为奇函数，知f−2=−f2=−6．10. 12+π【解析】该几何体是一个长方体和一个圆柱的组合体．由三视图可知长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面半径为1，高为1，故该组合体的体积为V=4×3×1+π×1×1=12+π．11. 1,0；5【解析】将点P4,4代入抛物线y2=2px，得p=2；因此，抛物线的焦点为1,0，准线方程为x=−1；故点P4,4到抛物线y2=4x的焦点的距离等于它到准线的距离，为4−−1=5．12. 2【解析】由题可知，原函数的定义域为0,1，令x=sin2θ,θ∈0,π2，则原函数化为y=sinθ+cosθ=2sin θ+π4，θ∈0,π2，故当 θ=π4 时，原函数取得最大值为 2． 13. 64【解析】由题可知，S △AOP =12⋅ OA ⋅x 0=18x 0；阴影部分面积为： x 2d x x00=13x 03；所以 18x 0=13x 03，再结合 x 0>0，解得 x 0= 64．14. 1；63【解析】①若 a m 为数列 a n 中任意一项，则 a m +1 为 a m 的下一项，结合 d ∈N ∗，知 a m +1>a m ； 又任意两项之和也是该数列中的一项，所以 a m +a 1 为数列 a n 中的一项，且 a m +a 1≥a m +d ； 所以 d ≤1，结合 d ∈N ∗，可知 d =1； ②在数列 a n 中任取两项 a m ，a n ；由等差数列，得 a m =a 1+ m −1 d ，a n =a 1+ n −1 d ；所以 a m +a n =2a 1+ m +n −2 d 也为数列 a n 中的一项，假设为第 t 项，则 a t =a 1+ t −1 d =2a 1+ m +n −2 d ；整理得 d t +1−m −n =25，即 d =25t +1−m−n，结合 d ，m ，n ，t 均为正整数，知 d 可取 1,2,4,8,16,32，所以 d 的所有可能取值的和为 63． 第三部分15. （1） 由 f x =2 3sin x cos x −2sin 2x +1= 3sin2x +cos2x ． 得 f x =2sin 2x +π6 ． 所以 f π12 =2sin π3= 3． （2） 因为 0≤x ≤π2， 所以 π6≤2x +π6≤7π6，当 2x +π6=π2 时，即 x =π6 时， 函数 f x 在区间 0,π2 上的最大值为 2． 当 2x +π6=7π6时，即 x =π2 时， 函数 f x 在区间 0,π2 上的最小值为 −1．16. （1） 设等差数列 a n 的公差为 d ，则依题意设 d >0． 由 a 2+a 4=14，可得 a 4=7．由 a 3a 5=45，得 7−d 7+d =45，可得 d =2． 所以 a 1=7−3d =1． 可得 a n =2n −1．（2） 设 c n =bn 2n ，则 c 1+c 2+⋯+c n =a n +1． 即 c 1+c 2+⋯+c n =2n ．可得 c 1=2，且 c 1+c 2+⋯+c n−1=2 n −1 ．所以c n=2n∈N∗．所以b n=2n+1．所以数列b n是首项为4，公比为2的等比数列．所以数列b n的前n项和S n=41−2n1−2=2n+2−4．17. （1）取AB的中点F，连接DF，交A1B于点M，可知M为DF中点，连接EM．易知四边形C1DME为平行四边形，所以C1D∥EM．又C1D⊄平面A1BE，EM⊂平面A1BE，所以C1D∥平面A1BE．（2）因为A1C1=C1B1，且D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1，因为BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥C1D，所以C1D⊥平面AA1B1B．又C1D∥EM，所以EM⊥平面AA1B1B．又EM⊂平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面AA1B1B．（3）如图建立空间直角坐标系C−xyz，则B0,2,0，C10,0,2，E0,0,1，A12,0,2．BC1=0,−2,2，EA1=2,0,1，EB=0,2,−1，设平面A1BE的法向量为n=x,y,z，则EA1⋅n=0,EB⋅n=0,所以2x+z=0,2y−z=0,令x=1．则n=1,−1,−2．设向量n与BC1的夹角为θ．则cosθ=BC1⋅nBC1⋅ n =−36，所以直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值为36．18. （1）当a=0时，f x=ln x+1x （x>0），fʹx=1x−1x2=x−1x2．所以，当0<x<1时，fʹx<0；当x>1时，fʹx>0．所以，当x=1时，函数有最小值f1=1．（2）fʹx=1x −1x+a=ax2+x−1x．当a≥0时，ax2+x−1在x∈2,+∞上恒大于零，即fʹx>0，符合要求．当a<0时，要使f x在区间2,+∞上是单调函数，当且仅当x∈2,+∞时，ax2+x−1≤0恒成立，即a≤1−xx恒成立．设g x=1−xx ，则gʹx=x−2x，又x∈2,+∞，所以gʹx≥0，即g x在区间2,+∞上为增函数，g x的最小值为g2=−14，所以a≤−14．综上，a的取值范围是a≤−14或a≥0．19. （1）依题意有a=2，b=1，故椭圆方程为x24+y2=1．（2）因为直线AB过右焦点3,0，设直线AB的方程为y=k x−3．联立方程组x24+y2=1,y=k x−3,消去y并整理得4k2+1x2−83k2x+12k2−4=0. ⋯⋯①故x1+x2=83k22,x1x2=12k2−42,又x1x2a2+y1y2b2=0，即x1x24+y1y2=0．所以3k2−14k+1+−k24k+1=0，可得k2=12，即k=±22．方程①可化为3x2−43x+2=0，由 AB =1+k2x1−x2，可得 AB =2，原点O到直线AB 的距离d=3kk2+1=1．所以S△AOB=12AB ⋅d=1．20. （1）由a n=8−2n，可得a n+2=8−2n+2，a n+1=8−2n+1，所以a n+a n+2−2a n+1=8−2n+8−2n+2−28−2n+1=−2n<0，所以对任意n∈N∗，a n+a n+22≤a n+1．又数列a n为递减数列，所以对任意n∈N∗，a n≤a1=6．所以数列a n为“ T数列”．（2）①假设存在正整数k，使得a k>a k+1，由数列a n的各项均为正整数，可得a k≥a k+1+1．由a k+a k+22≤a k+1，可得a k+2≤2a k+1−a k≤2a k−1−a k=a k−2．且a k+2≤2a k+1−a k<2a k+1−a k+1=a k+1．同理a k+3≤a k+1−2≤a k−3．依此类推，可得，对任意n∈N∗，有a k+n≤a k−n．因为a k为正整数，设a k=m，则m∈N∗．在a k+n≤a k−n中，设n=m，则a k+m≤0．与数列a n的各项均为正整数矛盾．所以，对任意n∈N∗，a n≤a n+1．②因为数列a n为“ T数列”，所以，存在常数M，对任意n∈N∗，a n≤M．不妨设M∈N∗（否则可取比M大的一个正整数M0，对任意n∈N∗，a n≤M0）．由①可知，对任意n∈N∗，a n≤a n+1，则a1≤a2≤a3≤⋯≤a n≤a n+1≤⋯．若a n=a n+1，则a n+1−a n=0；若a n<a n+1，则a n+1−a n≥1．而n≥2时，有a n=a1+a2−a1+a3−a2+⋯+a n−a n−1．所以a1，a2−a1，a3−a2，⋯，a n−a n−1，⋯，中最多有M个大于或等于1，否则与a n≤M矛盾．所以，存在n0∈N∗，对任意的n>n0，有a n−a n−1=0．所以，对任意n∈N∗，a n0+n −a n0+n−1=0．所以，存在n0∈N∗，数列a n0，a n0+1，a n0+2，⋯为等差数列．。
北京市东城区2013届高三上学期期末教学统一检测数学文试题
北京市东城区2013届高三上学期期末教学统一检测数学文试题学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U AB ð等于(A) {2,3} (B) {1,4,5} (C) {4,5} (D) {1,5} （2）复数21i-等于 （A ）1i -- (B) 1i -+ ( C) 1i - ( D) 1i +（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）“2230x x -->成立”是“3x >成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组28,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 则目标函数3z x y =+的最大值为(A)332 (B)12 (C)8 (D)24（7）已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为（A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）4（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-, 3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④若函数()323x f x x =--，则方程()0f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2013届高三上学期期末教学统一检测数学理试题
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
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第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （A ）1- （B ）1 （C（D） （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为 （A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2013年北京东城区高三上学期期末数学试题(理)
北京东城区期末高三数学 （理科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （A ）1- （B ）1 （C（D） （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8] （D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
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第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U A B ð等于 (A) {2,3} (B) {1,4,5} (C) {4,5} (D) {1,5} （2）复数21i-等于 （A ）1i -- (B) 1i -+ ( C) 1i - ( D) 1i +（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）“2230x x -->成立”是“3x >成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组28,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 则目标函数3z x y =+的最大值为(A)332 (B)12 (C)8 (D)24（7）已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则AFK ∆的面积为（A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）4（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-, 3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④若函数()323x f x x =--，则方程()0f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且a ，b 的夹角为3π，则⋅a b = ，+=a b ．（10）若3sin 5α=-，且tan 0α>,则cos α= ．（11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（12）已知圆C ：22680x y x +-+=，则圆心C 的坐标为 ；若直线y kx =与圆C 相切，且切点在第四象限，则k = ．（13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价%p ,第二次提价%q ；方案乙：每次都提价%2p q+，若0p q >>，则提价多的方案是 . （14）定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =，②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+- 则(2,2)f = ；(,2)f n = .三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）已知函数2()3sin cos cos f x x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N . （Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .（17）（本小题共13分）如图，在菱形ABCD 中， MA ⊥平面ABCD ，且四边形ADNM 是平行四边形． （Ⅰ）求证：AC ⊥BN ；（Ⅱ）当点E 在AB 的什么位置时，使得//AN 平面MEC ，并加以证明.（18）（本小题共13分）已知函数1331(223+-+=x m mx x x f ），m ∈R . （Ⅰ）当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 的取值范围.AB CDENM（19）（本小题共14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上且过点1(3,)2P ，离心率是32． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点(1,0)E -且与椭圆C 交于A ，B 两点，若2EA EB =，求直线l 的方程.（20）（本小题共14分）已知实数组成的数组123(,,,,)n x x x x 满足条件： ①10nii x==∑； ②11ni i x ==∑.(Ⅰ) 当2n =时，求1x ，2x 的值；（Ⅱ）当3n =时，求证：123321x x x ++≤； （Ⅲ）设123n a a a a ≥≥≥≥ ,且1n a a >(2)n ≥， 求证：111()2ni in i a xa a =≤-∑.东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）D （3）C （4）A （5）B （6）B （7）A （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1 7 （10）45-（11）54 （12）(3,0) 24-（13）乙（14）2 22n- 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）31cos 2()sin 222xf x x +=+1sin(2)62x π=++.…………………………………………………4分 所以T =π．……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为63x ππ-≤≤， 所以52666x πππ-≤+≤．所以1sin(2)126x π-≤+≤．………………………………………………………10分当6x π=-时，函数()f x 的最小值是0，当6x π=时，函数()f x 的最大值是32．…………………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）当1n =时，1120S a a ==+≠.……………………………………1分 当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=.……………………………………………3分 因为{}n a 是等比数列，所以111221a a -=+==，即11a =.1a =-.…………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=*()n ∈N .…………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得12n n n b na n -==⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T .则231112232422n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯++⋅ . ①2312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ . ②①-②得 21111212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ ……………………9分 211(222)2n n n -=++++-⋅112(12)2n n n -=---⋅……………………………………11分 (1)21n n =--⋅-.…………………………………………………12分所以(1)21nn T n =-⋅+.……………………………………………………………13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）连结BD ，则AC BD ⊥.由已知DN ⊥平面ABCD ， 因为DN DB D = ， 所以AC ⊥平面NDB . 又因为BN ⊂平面NDB ，所以AC BN ⊥. ………………………………………………6分 （Ⅱ）当E 为AB 的中点时，有//AN 平面MEC .……7分CM 与BN 交于F ，连结EF .由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，F 是BN 的中点， 因为E 是AB 的中点，所以//AN EF .……………………10分 又EF ⊂平面MEC ， AN ⊄平面MEC ，所以//AN 平面MEC .……………………13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）当1=m 时，321()313f x x x x =+-+， 又2'()23f x x x =+-，所以'(2)5f =. 又5(2)3f =， 所以所求切线方程为 55(2)3y x -=-，即153250x y --=. 所以曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为025315=--y x .………6分（Ⅱ）因为2232('m mx x x f -+=），令'(0f x =），得3x m =-或x m =.………………………8分 当0m =时，2'(0f x x =≥）恒成立，不符合题意. ……………………………9分 当0m >时，()f x 的单调递减区间是(3,)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，则32,3.m m -≤-⎧⎨≥⎩解得3m ≥.……………………………………………11分当0m <时，()f x 的单调递减区间是(,3)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，则2,3 3.m m ≤-⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-.综上所述，实数m 的取值范围是3m ≥或2m ≤-. …………………………13分ABCDENMF解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=(0)a b >>.由已知可得222223,23114.c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，………………………………………………3分解得24a =，21b =.故椭圆C 的方程为2214x y +=．………………………………………………………6分 （Ⅱ）由已知，若直线l 的斜率不存在，则过点(1,0)E -的直线l 的方程为1x =-， 此时33(1)(1)22A B --，，，-，显然2EA EB =不成立．…………………………7分 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为(1)y k x =+．则2214(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 整理得2222(41)8440k x k x k +++-=．………………………………………………9分 由2222(8)4(41)(44)k k k ∆=-+-248160k =+>． 设1122()()A x y B x y ，，，．故2122841k x x k +=-+，① 21224441k x x k -=+． ②………………………………10分 因为2EA EB =，即1223x x +=-．③ ①②③联立解得156k =±． ………………………………13分 所以直线l 的方程为156150x y ++=和156150x y -+=．……………14分(Ⅰ)解：12120,(1)1.(2)x x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩由（1）得21x x =-，再由（2）知10x ≠，且20x ≠.当10x >时，20x <.得121x =，所以121,21.2x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩……………………………2分当10x <时，同理得121,21.2x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………………………4分（Ⅱ）证明：当3n =时，由已知1230x x x ++=,123=1x x x ++.所以12311233322()x x x x x x x x ++=+++-13x x =-131x x ≤+≤.………………………………………………9分（Ⅲ）证明：因为1i n a a a ≥≥，且1n a a >(1,2,3,,)i n = .所以1()()i i n a a a a ---1()()i i n a a a a ≤-+-1n a a =-,即112n i n a +a a a a -≤- (1,2,3,,)i n = .……………………………11分1n i i i a x =∑n1i 1111122n n i i i n ii i a x a x a x ====--∑∑∑111(2)2ninii a a a x==--∑111(22n n i i i a a a x =≤+-∑)111()2nn i i a a x =≤-∑ 1112nn ii a a x==-∑11()2n a a =-.……………………………………………………………14分。