江科大概率论ppt (6)

同理可给出 的边缘分布为
F2 ( y ) P{ y} lim F ( x, y )
x
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第六章 二维随机变量
( 例1 设二维随机变量 , )的联合分布函数为
x y F x， y A B arctan C arctan 2 3
1
0 1 12 1 12 1 6
2
3 12 1 12 0
pi
1 3 1 3 1 3
0 3 2 2
p j
2 6
1
求、的边缘分布律 .
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第六章 二维随机变量
已知联合密度函数求边缘密度函数(连续型) 对于二维连续型随机变 ( , )，已知其联合密度 量 函数为 ( x, y),则的边缘分布为连续型的 ：
pij pi
j
pi1 pi 2 pij
i 1,2,
j 1,2,
同理得的边缘分布律
P{ b j } P{ ai , b j } pij p j
i i
第六章 二维随机变量
已知联合分布律求边缘分布律(离散型)
以及的边缘分布律也可以由 下表表示
2

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第六章 二维随机变量
例 8（续）
所以，随机变量 的密度函数为
当0 y 2 时，

2 2 2 x x 0 x 1 1 x 3 0 其它
1
1 1 2 1 2 y f x， y dx x xy dx y 3 3 6 0

y 1
y2 1 8 p22
y3 p13 p23
pi
x1 x
p j
p11
1 2 8
第六章 二维随机变量
连续型随机变量的独立性 连续型随机变量相互独 立
( x, y) 1 ( x)2 ( y) or F ( x, y) F1 ( x) F2 ( y)
例7 设( , )服从例5中的二维正态分布，证明、 相互独立等价于 0.
§5
随机变量的相互独立性
由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量 相互独立的概念. 若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立.
故有事件 x}， y}相互独立 { { P{ x, y} P{ x}P{ y}
设 、 是两个随机变量，若对任意的x,y, 有
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若 ( , )是离散型随机变量 ，则上述独立性的 定义等价于： 对( , )的所有可能取值(a i , b j),有
P{ ai , b j } P{ ai }P{ b j )} 则称和相互独立 . 即和相互独立 pij pi p j i, j 1,2,
条件概率为
P({ ai } | { b j })
P{ ai , b j } P{ b j }

pi j p j
边缘分布律
i=1,2, …
第六章 二维随机变量
这组等式定出了一个离散型分布，表明了在事件 { b j }出现的条件下的取值规律，称这个分 布为在条件
第六章
二维随机变量
• 边缘分布函数 • 边缘分布律 • 边缘分布密度
• 独立性
• 条件分布
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第六章 二维随机变量
§4 边缘分布
如果( , )是一个二维随机变量， 则事件{ x} { x, } ,
由二维分布函数的定义 知
F1 ( x) P{ x} P{ x, } F ( x边际分布．
P{ x, y} P{ x}P{ y}
则称 、 相互独立 .
第六章 二维随机变量
用分布函数表示,即
设 、 是两个随机变量，若对任意的x,y,有 F (x, y) F1 ( x) F2 ( y)
则称 、 相互独立 .
它表明，两个随机变量相互独立充要条件是，它 们的联合分布函数等于两个分布函数的乘积 .
例 1（续）
同理，得到 的边缘分布
1 x y F2 ( y ) lim F ( x, y ) lim 2 ( arctan )( arctan ) x x 2 2 2 3
1 y ( arctan ) 2 3
y (,)
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第六章 二维随机变量
已知联合分布律求边缘分布律(离散型)
对于二维离散型随机变 ( , )，已知其联合分布律为 量
pij P ai， b j i，j 1 2， ，
现求的边缘分布律 P{ ai } P{ ai , b1} P{ ai , b2 } P{ ai , b j }
从而得到 0.
1
第六章 二维随机变量
例 8
设二维随机变量 , )的密度函数为 (
2 1 x xy 0 x 1，0 y 2 x， y 3 0 其它
试判断随机变量 与是否相互独立？
解： 当0 x 1时，
2 2 1 2 1 x x， y dy x xy dy 2 x x 3 3 0
{ b j }下的条件分布，其分布密 度或分布律为

P
a1
p1 j p j
a2
p2 j p j
…

ai
pij p j
24 f1 ( x) y (2 x)dy 0 5 12 2 y=x x (2 x ), 0 x 1
x
5
0
1
x
注意取值范围
注意积分限
解:
24 f 2 ( y) y (2 x)dx y 5
1
y
24 3 y y ( 2 y ), 0 y 1 5 2 2
2 ( y)
1 y 2 0
注意积分限
y 1 dx 1 , 2
0 y2
2 A 0 1
y x 1 2
第六章 二维随机变量
例5
设( , )服从正态分布，它的分 布密度为
x， y
1 2 1
2

e
1 ( x 2 2 x y y 2 ) 2 (1 2 )
证明：“ ”设 0，这时( , )的分布密度为
1 ( x, y) e 2 x2 y 由例5知 1 2 1 1 ( x) e 2 ( y) e 2 2 2 故 ( x, y) 1 ( x)2 ( y), 因此、相互独立 .
x2 y 2 2

a1
a2

b1
b2
p12 p22

„ „ „ „ „
bj
p1 j
„ „ „ „ „
pi
p1
p11
p21

p2 j

p2

ai

pi1

pi 2

pij

pi

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p j
p1
p2
p j
第六章 二维随机变量
( 例 2 设二维随机变量 , )的分布密度为


-1
1 12 2 12 3 12 3 6
例 1（续）
(2) 的边缘分布函数为
1 x y F1 ( x) lim F ( x, y ) lim 2 ( arctan )( arctan ) y y 2 2 2 3
1 x ( arctan ) 2 2
x (,)
第六章 二维随机变量
F1 ( x)
x




( x, y)dy dx

它的边缘分布密度为
1 ( x) ( x, y)dy


同理的边缘分布密度为：
2 ( y) ( x, y)dx


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例3 设 ( , ) 的联合密度是 24/5 y (2 x), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 0 , 其它 注意积分限 求 ： 两个边缘密度 . 解: y
2
“” 设、相互独立，那么 ( x, y) 1 ( x)2 ( y)
即
1 2 1 2
1 2 (1 2 ) ( x 2 2 x y y 2 )
e
1 e 2
x2 2
1 e 2
y2 2
令x 0, y 0, 此时上式化为
1 2 2 2 1
y=x
注意取值范围
1
2
0
x
度 例4 设( , )服从区域上A的均匀分布，即它的密 函数为 1 , ( x, y) A ( x, y) S ( A)
y S ( A) 0为A的面积，设是由 轴、y轴及直线x 1所 x 2 围成的三角区域 求关于、的边缘分布密度 , .

. 例6 设( , )的分布密度如下: 证明、相互独立

1 2
1 2 20 2 20 4 20 2 5 0 1 20 1 20 2 20 1 5 2 2 20 2 20 4 20 2 5
pi
1 4 1 4 2 4
1 2
p j
例7 设 ,相互独立，下表列出( , )分布律，及关 于，的边缘分布律中的部分值，将其余值求出.
dy
v
y x 1 2
x2 2

e
x2 2
2


1 e 2
v2 2
1 dv e 2
x (, )
即的边缘密度为 (0,1) N
同理得到的边缘密度为