高考数学专题1812月第单次周考第八章解析几何测试3测试卷理
(新课标)2018年高考数学专题1812月第单次周考(第八章解析几何测试3)测试卷理
12月第三周 解析几何测试三测试时间：120分钟 班级： 姓名： 分数：试题特点：本套试卷重点考查直线方程与圆的方程的求法、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、椭圆、双曲线及抛物线的简单的几何性质的应用、直线与圆锥曲线的位置关系等．在命题时，注重考查基础知识如第1-8，13-15及17-20题等；整套试卷注重数形结合能力和运算能力以及转化与化归能力的考查．讲评建议：评讲试卷时应注重圆锥曲线定义的应用、椭圆双曲线及抛物线简单几何性质的运用、整体思想及常用解题方法的总结；关注运算能力的培养；加强直线、圆及圆锥曲线的位置关系综合题的求解能力的培养．试卷中第5，10，16，17，19，21，22各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线2310x y +-=与直线4110x my ++=平行，则m 的值为（ ） A ．83 B ．83- C ．6- D ．6 【答案】D 【解析】由题设可得411321m =≠-，则6m =，应选答案D ． 2．抛物线264y x =的准线方程为（ ）A ．8x =B ．8x =-C ．16x =-D ．16x = 【答案】C【解析】根据抛物线22y px =的准线方程为2p x =-可知264y x =的准线方程为16x =-．故选择C ．3．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】设椭圆的方程为 ，直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得，，故选B．4．离心率为，且过点的椭圆的标准方程是( )A ．B ．或C ．D ．或【答案】D5．已知椭圆22:143x yC+=，直线:1l y x=-，点()1,0P，直线l交椭圆C于A B、两点，则22PA PB+的值为( )A．32149B．32449C．32749D．33049【答案】B【解析】设点,A B的坐标分别为()()1122,,,x y x y，由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点()1,0F，此时直线1y x=-经过点F，可得11122PA a ex x=+=+，22122PB a ex x=+=+，所以()()222221112121211122822224PA PB x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++++-⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭联立方程组221{143y xx y=-+=，得27880x x--=，所以121288,77x x x x+==-，代入上式可得()()2221212121324822449PA PB x x x x x x⎡⎤+=++++-=⎣⎦，故选B．点睛：本题考查至直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆标准方程及其简单的几何性质，椭圆的定义等知识点的综合考查，解答中合理转化为直线与圆锥曲线联立，根据根与系数的关系，利用韦达定理是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． 6．直线，且不同为经过定点（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A7．已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]1,2 【答案】B【解析】把圆的方程22230x y y +--+=化为(()2211x y +-=，以AB 为直径的圆的方程为222x y a +=，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则两圆有交点，所以121a a -≤≤+，解得13a ≤≤ ，选B ． 8．下列说法正确的是（ ）A ．若命题p ： 0x R ∃∈， 20010x x -+<，则p ⌝： x R ∀∉， 210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ24yx =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位 C ．命题“若圆C ： ()()2211x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题D ．已知随机变量()2~2,X N σ，若()0.32P X a <=，则(4)0.68P X a >-=【答案】C【解析】命题2000",10"x R x x ∃∈-+<的否定是2000",10"x R x x ∀∈-+≥，A 错误；相关变量(),x y 满足回归方程ˆ24yx =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均减少4个单位，B 错误； 若圆()()2211x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则1{11m m ≤-≤，解得01m ≤≤，C 正确；随机变量()22,X N σ~，若()0.32P X a <=，则(4)0.32P X a >-=，D 错误．故选C ．9．已知椭圆（）的右顶点和上顶点分别为、，左焦点为．以原点为圆心的圆与直线相切，且该圆与轴的正半轴交于点，过点的直线交椭圆于、两点．若四边形是平行四边形，则该椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A解得： ．故选A ．10．已知抛物线2:4C y x =，过焦点F C 相交于,P Q 两点，且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点，则MFN S ∆=（ ）A ．83 B C ．163 D 【答案】B【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12121211222MFN S p y y y y y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯-=-，直线方程是)1y x =- 与抛物线方程联立， 214y y ⎫=-⎪⎭，整理为： 240y --= ，12124y y y y +==-，所以12y y -===B ． 11．已知抛物线2:4C y x =的交点为F ，直线1y x =-与C 相交于,A B 两点，与双曲线2222:2x y E a b-=(0,0)a b >>的渐近线相交于,M N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，则双曲线E 离心率为（ ）A ．2 C 【答案】C 【解析】故选C ．考点：直线与圆锥曲线的位置关系．12(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c +=在y 轴右侧交于点P ，若P 在抛物线2=2y px 上，则2e =（ ）A C 1 D 【答案】D 【解析】试题分析：设抛物线y 2=4cx 的准线为l ，作PQ ⊥l 于Q ，设双曲线的右焦点为F′，P （x ，y ），利用抛物线的定义、双曲线的渐近线以及直线平行的性质、圆的性质：直径所对的圆周角为直角即可得出所求值． 解：如图，设抛物线y 2=4cx 的准线为l ，作PQ ⊥l 于Q ，设双曲线的右焦点为F′，P （x ，y ）．由题意可知FF′为圆x 2+y 2=c 2的直径，∴PF′⊥PF ，且tan ∠PFF′=，|FF′|=2c，满足，将①代入②得x 2+2cx ﹣c 2=0，则x=﹣c±c ，即x=（﹣1）c ，（负值舍去），代入③，即y=，再将y 代入①得，=2（﹣1）c 2，即为b 2=c 2﹣a 2=（﹣1）a 2，由e=，可得e 2=．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知点，直线，则点到直线的距离为__________，点关于直线对称点的坐标为__________．【答案】利用对称的性质得：，解得：x =5，y =−2，∴点P 到直线l 的距离为，点M 的坐标为(5，−2)．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>__________．【答案】y =【解析】22213,b be a a=+=∴= y =15．已知点(),p x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为__________． 【答案】2 【解析】考点：1、直线的方程及圆的方程；2、切线的性质及根据几何性质求最值．【方法点晴】本题主要考查直线的方程及圆的方程、切线的性质及根据几何性质求最值，属于难题．解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用平面几何的有关结论求得四边形面积的最值后解出k 值的．16．已知椭圆22:14x C y +=，过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N （M 在,D N 之间），有以下四个结论：①若''2x x y y⎧=⎨=⎩，椭圆C 变成曲线E ，则曲线E 的面积为4π；②若A 是椭圆C 的右顶点，且MAN ∠的角平分线是x 轴，则直线l 的斜率为2-；③若以MN 为直径的圆过原点O ，则直线l 的斜率为±；④若DN DM λ= ，则λ的取值范围是513λ<≤．其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【解析】试题分析：①根据点的坐标变换，代入椭圆方程12422=⎪⎭⎫⎝⎛'+'y x ，得到422='+'y x ，为圆的方程，半径为2，那么面积就是π4=S ，正确，②根据椭圆关于x 轴对称，若角平分线是x 轴，那么N M ,关于x 轴对称，直线斜率不存在，显然错误；③设直线方程4+=kx y ，与椭圆方程联立，得到()()06032414442222=+++⇔=++kx x k kx x ，2214132k k x x +-=+，2214160k x x +=，()()()16444212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ，根据条件，当过原点时，满足02121=+y y x x ，代入根与系数的关系，得到19±=k ，故不正确；④根据③0>∆得到4152>k ，又根据条件可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+=+-=+14160413212221221λλx x k x x k k x x ，代入整理为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4115256411525612222k k k λλ，整理为()1564142<+<λλ，解得3553<<λ，又1>λ，∴351<<λ，当斜率不存在时，此时35=λ，故351≤<λ故填：①④． 考点：1．命题；2．圆锥曲线的综合问题．【易错点睛】主要考察了圆锥曲线的命题问题，属于中档题型，比较好判断前三个命题，而对于第四个命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题，设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，消参后得到关于λ的不等式，计算量比较大，容易出错在忘了当斜率不存在时的情况，导致错误，∴在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况，一是相切时，1=λ，∵有两个交点，∴1>λ，二是斜率不存在时，此时35=λ，能取到，这样就比较好选择此问． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知点C 是圆()22:116F x y ++=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点F '与点F 关于平面直角系的坐标原点对称，线段CF '的垂直平分线与线段CF 交于点P ． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M，直线:l y kx =+E 于,A B 两点，求ABM ∆面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）⎛ ⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）根据圆的的性质及对称的几何性质可得，动点P 的轨迹是以,F F '为焦点，4为长轴长的椭圆，从而可得结果；（2）把直线:l y kx =+，代入椭圆方程消去y 得：()2234360k x+++=，根据韦达定理、弦长公式 及点到直线的距离公式、三角形面积公式可将ABM ∆的面积表示为关于k 的函数，利用基本不等式求最值即可．试题解析：（1）由题意知圆F 的圆心为()1,0F -，半径为4，所以4|2PF PF CF FF =='+='，由椭圆的定义知，动点P 的轨迹是以,F F '为焦点，4为长轴长的椭圆，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），且焦距为2c (0)c >，则：22224{1a c abc ===+，即2{1a c c ===，故椭圆E 的方程为22143x y +=；则12x x +=1223634x x k =+，因为点(M ，直线l 与y轴交于点(0,D ABM ∆的面积12121•2ABM S MD x x x x ∆=-=-==243k ==+6=≤==k =时取等号，k =满足0∆>， 所心ΔABM 面积的取值范围是⎛⎝⎦． 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围，属于难题．解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形范围的．18．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点()1,0F-，且长轴长与短轴长的比是 (1)求椭圆C 的方程；(2)设点1,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，点是椭圆上任意一点，求MP 的最小值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3． 【解析】试题分析：（1）用待定系数法求解即可；（2）设(),P x y 为椭圆上的动点，可得21413433MP x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ，再根据22x -≤≤求解可得结果．试题解析：（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得2221{ c a b a b c ===+，解得224{ 3a b ==，∴椭圆C 的方程为22143x y +=．又22x -≤≤，所以当43x =时， 2||MP 有最小值为83，所以MP．19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(，离心率为12，左右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -．（I ）求椭圆的方程； （II ）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F ，为直径的圆交于C ，D两点，且满足AB CD=l 的方程． 【答案】（1）22143x y +=（2）12y x =-+或12y x =-．【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得b=利用离心率求出2a=（2）由垂径定理求出CD，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB，代入条件ABCD=m试题解析：解：（1）由题设b=12ca=，222b a c=-解得2,1a b c==，∴椭圆的方程为221 43x y+=．由22143{12x yy x m+==-+得：2230x mx m-+-=，12x x m+=，2123x x m=-∴AB==．由ABCD=1=，解得m=∴直线l的方程为12y x=-或12y x=-．20．（本小题满分12分）已知12,F F分别是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的两个焦点，(1,2P是椭1122|,||PF F F PF成等差数列．（I）求椭圆C的标准方程；、（II）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A B、两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得716QA QB⋅=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（I1122|,||PF F FPF成等差数列，∴12212||||||)F F PF PF=+．将1212||||2,||2PF PF a F F c+==，代入化简，得a=，∴，由222221112a ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，解得1,1a b ===，∴椭圆的标准方程为2212x y +=． （II ）假设在x 轴上存在点0Q m （，），使得716QA QB ⋅=-恒成立． ①当直线l的斜率不存在时，A，(1,B ，由于（7(1,(1,2216m m ---=- ，解得54m =或34m =；下面证明54m =时，716QA QB ⋅=- 恒成立．当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由1x ty =+及2212x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， ∴0∆>，∴12122221,22t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+，∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2(1)t +121211()416y y t y y -++＝ 22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++． 综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得716QA QB ⋅=- 恒成立．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>O 为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线260x +=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点,A B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问:在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB λ=⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22162x y +=；（Ⅱ）7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）由()222{162y k x x y =-+=得()222213121260k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使EA EB ⋅ 为定值，定点为7,03⎛⎫⎪⎝⎭．试题解析：（Ⅰ）由e =c a =，即c =，① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为222x y a +=， 且圆M与直线260x +=相切， 所以a ==2c =，则2222b a c =-=．所以椭圆的方程为22162x y +=． （Ⅱ）由()222{x 162y k x y =-+=得()222213121260k x k x k +-+-=，且0∆> 设()()1122,,,A x y B x y ，则212221221213{12613k x x k k x x k +=+-⋅=+，根据题意，假设x 轴上存在定点(),0E m ，使得EA EB λ=⋅为定值，则有()()()()11221212,,EA EB x m y x m y x m x m y y λ=⋅=-⋅-=-⋅-+()()()()()()()()222221212121222124x m x m k x x k x x k m x x k m =-⋅-+-⋅-=+-++++()()()()()22222222222231210612612124131313m m k m k k k k m k m k k k -++--=+-+++=+++ 要使上式为定值，即与k 无关，则应()223121036m m m -+=-，即73m =，此时2569EA EB m λ=⋅=-=- 为定值，定点为7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把直线方程与椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答的关键．22．（本小题满分12分）已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（2）设出直线的，分斜率存在和不存在两种情形，以为直径的圆过坐标原点可转化为．再把直线方程和椭圆方程联立 试题解析：（I ）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，∴圆由题意，，得即将代入，得曲线的方程为由求根公式得（*）∵以为直径的圆过坐标原点，即即化简可得，将（*）代入可得，即即，又将代入，可得∴当且仅当，即时等号成立．又由，，．（2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得同理求得故．综上，得．点睛：本题第（2）容易忘记讨论斜率不存在的情形．。
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第8章 平面解析几何8-5含答案
（时间：40分钟）1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0)，离心率等于错误!，则C的方程是( ）A。
错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C。
错误!＋错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1答案D解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝错误!＝错误!⇒a＝2,b2＝a2－c2＝3,因此椭圆C的方程是错误!＋错误!＝1。
2．已知椭圆错误!＋错误!＝1的长轴在x轴上，焦距为4,则m等于( ）A．8 B．7C．6 D．5答案A解析∵椭圆错误!＋错误!＝1的长轴在x轴上，∴错误!解得6〈m<10.∵焦距为4,∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.3．椭圆错误!＋错误!＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则｜ON｜等于（)A．2 B．4C．8 D.错误!答案B解析如图,连接MF2，已知｜MF1｜＝2，又｜MF1｜＋｜MF2|＝10，∴｜MF2|＝10－｜MF1｜＝8.由题意知|ON｜＝错误!｜MF2|＝4.故选B。
4．设F1，F2是椭圆E：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左、右焦点，P为直线x＝错误!上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A。
错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!答案C解析设直线x＝32a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q＝60°，|F2P|＝|F1F2｜＝2c，｜F2Q|＝错误!a－c，所以错误!a－c＝错误!×2c,e＝错误!＝错误!，故选C.5．椭圆错误!＋y2＝1的右焦点为F，直线x＝t与椭圆相交于点A、B,若△FAB的周长等于8，则△FAB的面积为( ）A．1 B. 2C。
错误!D．2答案C解析∵a＝2,△FAB的周长为8＝4a,∴由椭圆的定义得直线x ＝t经过椭圆的左焦点，把x＝－错误!代入椭圆方程，得错误!＋y2＝1，|y|＝错误!，∴△FAB的面积为错误!·2｜y｜·2c＝错误!。
高考数学一轮复习第八章 解析几何答案
第八章解析几何第40讲直线的方程及位置关系链教材·夯基固本激活思维1. ABCD 【解析】对于A，该方程不能表示过点P且垂直于x轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A不正确；对于B，该方程不能表示过点P且平行于x轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B不正确；对于C，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C不正确；对于D，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D不正确；对于E，经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E 正确．故选ABCD.2. B 【解析】化直线方程为y＝3x＋a，所以k＝tan α＝3.因为0°≤α<180°，所以α＝60°.3. B 【解析】由已知得k1＝1，k2＝m＋15.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，所以1×m＋15＝－1，即m＝－6. 故选B.4. C 【解析】由直线l的倾斜角为3π4得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率为33－a，故33－a＝－1，解得a＝6.5. ABC 【解析】当直线经过原点时，斜率为k＝2－0 1－0＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，解得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上可知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选ABC.知识聚焦1. (1) 向上方向平行或重合(2) [0，π)2. (1) tan α (2) y2－y1x2－x13. y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b Ax ＋By ＋C ＝0 A 2＋B 2≠04. (1) ①l 1∥l 2 l 1⊥l 2 k 1＝k 2，b 1＝b 2②A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1A 1A 2＋B 1B 2＝0 A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2＝A 2C 1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝05. (1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2) |Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)|C1－C2|A2＋B2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B【解析】 设直线的倾斜角为θ，因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ π3，3π4，所以当θ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3，π2时，k ＝tan θ＞3.当θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，k ＝tan θ＜－1，所以其斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选B.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞) 【解析】若要使l 过点P (2,2)，且与线段AB 相交，则k ≥k AP ＝4－23－2＝2或k ≤k BP ＝－3－2－4－2＝56，即k ≥2或k ≤56.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞)．(1) 【答案】 D 【解析】 因为sin θ＋cos θ＝55，①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ cos θ＝15，所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.故选D. (2) 【答案】 AD【解析】 方法一：如图，当l 过点B 时，k l ＝－1，当l 过点A 时，k l ＝1，所以k l ∈[－1,1]，又k ＝tan α(α∈[0，π))，所以α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.(变式(2))方法二：由题可知l 的斜率存在，可设l ：y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，易知A ，B 两点在直线l 两侧，所以(k ＋1)·(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1，以下同方法一．【解答】 (1) 由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0；(2) x ＝－3，即x ＋3＝0；(3) y ＝4x －2，即4x －y －2＝0； (4) y ＝3，即y －3＝0；(5) 由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0；(6) 由截距式方程得x－3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.【解答】(1)由题意知，直线的点斜式方程为y －5＝4(x －2)，整理得4x －y －3＝0.(2) 由题意可知，直线的斜率k ＝tan 150°＝－33，所以直线的斜截式方程为y ＝－33x －2，整理得3x ＋3y ＋6＝0.(3) 根据题意可得，直线的两点式方程为y ＋12＋1＝x ＋22＋2，整理得3x －4y ＋2＝0.【解答】 方法一： (1) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1.(2) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23. 方法二：(1) 由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1.(2) 因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，解得a＝2 3.【答案】－10【解析】因为l1∥l2，所以4－m m＋2＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.(1) 【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1【解析】方法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－13，所以直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．故直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.方法二：当AB∥l时，有k＝k AB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，所以直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.(2) 【答案】 2或－6【解析】依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋132＋(－2)2＝21313，解得c＝2或－6.(1) 【答案】 BC【解析】直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172或－232，故选BC.(2) 【答案】 2 2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 【解析】显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意．设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k2，所以k ＝2或k ＝－23. 所以直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 课堂评价 1.D【解析】由题意，直线的斜率为k ＝－33，即直线倾斜角的正切值是－33.又倾斜角∈[0°，180°)，因为tan 150°＝－33，故直线的倾斜角为150°，故选D.2.C【解析】因为A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，所以1＋m2＋2×0－2＝0，所以m ＝3.故选C.3.A【解析】若l 1∥l 2，则(3＋m )(5＋m )＝4×2，解得m ＝－1或m ＝－7.经检验，当m ＝－1时，l 1与l 2重合，所以m ＝－7.故“l 1∥l 2”是“m <－1”的充分不必要条件，故选A.4.x ＋2y －3＝05【解析】 当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0，最大距离为AB ＝5.5. 【解答】 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n|9＋1＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.第41讲 圆的方程链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. D 3.A【解析】根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4. (x －2)2＋y 2＝10【解析】 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，所以圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.5.5【解析】方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以⎩⎨⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，所以a ＋b －2＝0，① 又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以|a |＝|b |，②由①②得a ＝b ＝1，所以圆C 的半径为5. 方法二：因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C 到两坐标轴的距离相等，所以圆心C 在直线y ＝±x 上，因为直线y ＝－x 和直线y ＝－x ＋2平行，所以圆心C 为直线y ＝x 和直线y ＝－x ＋2的交点(1,1)，所以圆C 的半径为5.知识聚焦1. 定点 定长 (a ，b ) r D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2 12D2＋E2－4F研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AB 【解析】由题知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r (r ＞0)，则r sinπ3＝1，r cosπ3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ±332＝43. (2) 【答案】 213【解析】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，所以△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＝213. (1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918 【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎨⎧(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2，消去r 2，得b ＝5a －5.① 令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r2－a2， 所以在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r2－b2， 所以在x 轴上的截距之和是2a . 所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，所以b ＝56.所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－562＝16918.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918. (2) 【答案】 x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解析】 由题知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又因为半径长r ＝D2＋E2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D2＜0，即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解答】 (1) 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图(1)，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.(例2(1))(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图(2)，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(例2(2))(3)如图(3)，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.(例2(3))【解答】(1) 因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C(2,7)，半径r＝2 2.设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|1×2＋2×7－t|12＋22≤22，解得16－210≤t≤16＋210，所以m＋2n的最大值为16＋210.(2) 记点Q(－2,3)．因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有公共点，知|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，解得2－3≤k≤2＋3.所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(1) 【答案】 BC【解析】 由题意知AB ＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB ：2x －y ＋2＝0，圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线l AB 的距离d ＝|2－0＋2|4＋1＝45＝455，所以S △PAB 的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455＋1＝2＋52， S △PAB 的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455－1＝2－52. (2) 【答案】 5－27【解析】如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．则A (0,0)，B (4,0)，C (1，3)，设P (x ，y )，则PB→＝(4－x ，－y )，PC →＝(1－x ，3－y )，所以PB →·PC →＝(4－x )(1－x )－y (3－y )＝x 2－5x ＋y 2－3y ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322－3，其中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322表示圆A 上的点P 与点M⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，32之间距离PM 的平方，由几何图形可得PM min ＝AM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－1＝7－1，所以(PB →·PC →)min＝(7－1)2－3＝5－27.(例3(2))(1) 【答案】 A【解析】由点P 是x 轴上任意一点，知PM 的最小值为PC 1－1，同理PN 的最小值为PC 2－3，则PM ＋PN 的最小值为PC 1＋PC 2－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，所以PC 1＋PC 2＝P C 1′＋PC 2≥C 1′C 2＝52，即(PM ＋PN )min ＝PC 1＋PC 2－4≥52－4，故选A.(2) 【答案】 22【解析】设P (x ，y )，因为PA→·PB→≤3，所以x 2＋y 2≤4，即点P 在以原点为圆心，2为半径的圆O 上或圆内，又因为点P 在圆C 上，所以圆O 与圆C 内切或内含，即圆心距(－a )2＋a2≤2－1，所以－22≤a ≤22，所以a 的最大值为22.课堂评价 1.A【解析】 由题意可知圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，a ＋32，因为该圆过原点，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝1242＋(a －3)2，解得a ＝1，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝5，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故选A.2.ABD【解析】由圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，化为标准形式得(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.圆M 的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.令y ＝0，得x ＝0或x ＝8，故圆M 被x 轴截得的弦长为8；令x ＝0，得y ＝0或y ＝－6，故圆M 被y 轴截得的弦长为6，显然选项C 不正确．ABD 均正确．3.CD【解析】 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1，0)为圆心、1为半径的圆，y x －1表示圆上的点P (x ，y )与点M (1,0)连线的斜率，如图，易知，y x －1的最大值为33，最小值为－33.故选CD.(第3题)4. (0，－1)【解析】 因为圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆心为(0，－1)．5.3【解析】因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以P 为以原点为圆心的单位圆上一点，而直线x －my －2＝0过定点A (2,0)，所以d 的最大值为OA ＋1＝2＋1＝3.第42讲 直线与圆、圆与圆的位置关系链教材·夯基固本 激活思维 1.D【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0的圆心坐标为(2,3)，半径为2，因为直线l 过点(0,2)，被圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0截得的弦长为23，所以圆心到所求直线的距离为1，易知所求直线l 的斜率k 存在，设所求直线方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，所以|2k －1|k2＋1＝1，解得k ＝0或43，所以所求直线方程为y ＝43x ＋2或y ＝2.故选D.2. C 【解析】 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， 因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，所以点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内部，所以直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交． 3.D【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心C 1(－1，－1)，半径长r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 2(2,1)，半径长r 2＝1.所以圆心距d ＝(－1－2)2＋(－1－1)2＝13，r 1＋r 2＝3，所以d ＞r 1＋r 2，所以两圆相离，所以两圆有4条公切线．4. A 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4x ＋1＝0，x2＋y2－2x －2y ＋1＝0，解得x －y ＝0.圆C 1可化成(x －2)2＋y 2＝3，故C 1(2,0)，半径为3，圆心(2,0)到直线x －y＝0的距离为d ＝|2|12＋12＝2，故弦长为23－(2)2＝2.5.ACD【解析】将点(0,1)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得4＋16＝20>16，所以点(0,1)在圆C 外，故A 不正确；由圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16知圆心为(2，－3)，半径为r ＝4，则圆心(2，－3)到直线3x ＋4y －14＝0的距离d ＝|3×2＋4×(－3)－14|32＋42＝4＝r ，故B 正确；将点(2,5)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得0＋64＝64>16，所以点(2,5)在圆C 外，故C 不正确；圆心(2，－3)到直线x ＋y ＋8＝0的距离d ＝|2－3＋8|12＋12＝72≠r ，故D 不正确，故选ACD.知识聚焦1. < > ＝ ＝ > <2. d >r 1＋r 2 无 d ＝r 1＋r 2 一组 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的 |r 1－r 2| ≤<研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 26【解析】 圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝8，圆心C (0,1)，直线l ：kx －y －k ＋2＝0，即k (x －1)－(y －2)＝0，过定点P (1,2)，当AB 取最小值时，AB ⊥PC ，此时CP ＝2，故AB min ＝2CA2－CP2＝26.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53，53【解析】 因为A (0，a )，B (3，a ＋4)，所以AB ＝5，直线AB 的方程为y ＝43x ＋a .因为S△ABC ＝12AB ·h ＝52h ＝5，故h ＝2，因此，问题转化为在圆上存在4个点C ，使得它到直线AB 的距离为2.因为圆的半径为3，因此，圆心O 到直线AB 的距离小于1，即|3a|5<1，解得－53<a <53.(1) 【答案】 1023 【解析】易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC ＝2，所以最短弦的长为2r2－PC2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.(2) 【答案】 3 【解析】圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．【解答】 (1) 设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b|2＝10，所以b ＝1±25，所以切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2) 设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m|5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3) 因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.【解答】由方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径长为2.当切线过原点时，设切线方程为y ＝kx ，则|k ＋2|k2＋1＝2，所以k ＝2±6，即切线方程为y ＝(2±6)x .当切线不过原点时，设切线方程为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a|2＝2，所以a ＝－1或a ＝3，即切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.【解答】因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m .(1) 当两圆外切时，由(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2) 当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0，故两圆的公共弦长为2(11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. (1) 【答案】 9或－11 【解析】依题意可得C 1(0,0)，C 2(3,4)，则C 1C 2＝32＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m，25－m ＞0.当两圆外切时，r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9；当两圆内切时，|r 2－r 1|＝5，即|25－m －1|＝5，得25－m＝6，解得m ＝－11.(2) 【答案】 1 【解析】将x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4两式相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由题知22－(3)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ，a ＞0，解得a ＝1. 课堂评价 1.C【解析】圆C 2化简得(x －4)2＋(y －5)2＝35－m ，由圆的方程得C 1(1,1)，C 2(4,5)，半径分别为2和35－m ，因为两圆外切，所以(4－1)2＋(5－1)2＝35－m ＋2，解得m ＝26.故选C. 2.B【解析】由题意，过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.3. A【解析】因为圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以AB＝22，所以△ABP 的面积S ＝12AB ·d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．4.BD【解析】 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a|12＋(－2)2＝1，所以a ＝±5，故选BD.5. 4【解析】 连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5，所以AC ＝5×255＝2，所以AB ＝4.(第5题) 第43讲 椭 圆链教材·夯基固本 激活思维1. C2. D3. 724. x236＋y227＝15. 45 18 【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.知识聚焦1. (1) 焦点 焦距 (2) PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)2. F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2ca＝1－b2a21 0研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 C 【解析】 设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知设BF 的方程为x c ＋y b＝1，因为点O 到直线BF 的距离为3，所以bc a ＝3，又因为过F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以2b2a＝2，结合a 2＝b 2＋c 2，知a ＝4，b ＝2，故选C.(2) 【答案】x236＋y216＝1 【解析】 依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝25.又由OP ＝OF ＝OF ′，知∠FPF ′＝90°.在Rt△PFF ′中，PF ′＝FF ′2－PF2＝(4 5 )2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝PF ＋PF ′＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故椭圆C 的方程为x236＋y216＝1.(1) 【答案】x24＋y23＝1【解析】因为3AF1＝5AF2，由椭圆定义有AF1＋AF2＝4，解得AF2＝32，又AF2⊥x轴，故AF2＝b2a＝b22，所以b2＝3，故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2) 【答案】x23＋y22＝1【解析】如图，由已知可设F2B＝n，则AF2＝2n，BF1＝AB＝3n，由椭圆的定义有2a＝BF1＋BF2＝4n，所以AF1＝2a－AF2＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝4n2＋9n2－9n22·2n·3n＝13.在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·13＝4，解得n＝32.所以2a＝4n＝23，所以a＝3，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1.(变式(2))(1) 【答案】 C【解析】椭圆方程可化为x211＋m＋y21m＝1，由题意知m>0，所以11＋m＜1m，所以a＝mm，所以椭圆的长轴长2a＝2mm.故选C.(2) 【答案】 8【解析】 因为椭圆x2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，10－m ＞0，m －2＞10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.(3) 【答案】 3【解析】由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知2b2a＝3，所以b 2＝3，即b ＝3.(1) 【答案】 D【解析】 由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， 设F 1F 2＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， 所以PF 2＝F 1F 2＝2c ，因为OF 2＝c ，所以点P 的坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )． 因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3 c 2c ＋a＝36，解得c a＝14，所以e ＝14，故选D.(例3(1))(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1 【解析】不妨设椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，所以c2a2≥14，即e ≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. (1) 【答案】255【解析】 不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得OP ＝PQ 2＝a 2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝OP OA＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a216b2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2—c 2)，所以椭圆C 的离心离e ＝255.(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1 【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，PF 1＝2PF 2， 所以PF 1＝43a ，PF 2＝23a ，又PF 1－PF 2≤F 1F 2，即23a ≤2c ，所以e ≥13，又0<e <1，所以椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1.【解答】(1)由题意得c ＝3，c a＝32，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x212＋y23＝1.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x2a2＋y2b2＝1，y ＝kx ，得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a2b2b2＋a2k2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2. 因为F2A →＝(x 1－3，y 1)，F2B →＝(x 2－3，y 2)， 所以F2A →·F2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即－a2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)＋9＝0，将其整理为k 2＝a4－18a2＋81－a4＋18a2＝－1－81a4－18a2.因为22＜e ≤32，所以23≤a ＜32，即12≤a 2＜18.所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫24，＋∞. 课堂评价 1. A2. C 【解析】 由椭圆x216＋y2m＝1的焦距为27，可得216－m ＝27或2m －16＝27，解得m ＝9或23.故选C.3. ACD【解析】由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，所以椭圆C 的方程为y23＋x 2＝1.如图，PQ ＝2b2a＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝43.故选ACD.(第3题)4.C【解析】 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝ca ＝12，故选C.5.4【解析】如图，设AB 的方程为ty ＝x ，F (c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝－y 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x ，x2a2＋y2b2＝1，可得y 2＝a2b2b2t2＋a2＝－y 1y 2，所以△ABF 的面积S ＝12c |y 1－y 2|＝12c (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ca2b2b2t2＋a2≤cb ，当且仅当t ＝0时取等号．所以bc ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝4， 当且仅当b ＝c 时取等号，此时a ＝2. 所以椭圆E 的长轴长的最小值为4.(第5题) 第44讲 双曲线链教材·夯基固本 激活思维 1.A【解析】由双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，知c ＝4，a ＝2，b 2＝12，即双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.2.A【解析】 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，所以2a ＝bc a2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝c 2，所以e 2＝c2a2＝5，所以e ＝5.3. AC 【解析】 设双曲线方程为x29－y23＝λ，代入(3，2)得λ＝13，即x23－y 2＝1，故A 正确；由a ＝3，c ＝2，得e ＝23，故B 错误；焦点(2,0)在y ＝e x －2－1上，故C 正确；联立⎩⎪⎨⎪⎧x23－y2＝1，x －2y －1＝0，消去x 得y 2－22y ＋2＝0，可得Δ＝0，所以直线x －2y －1＝0与曲线C 只有1个交点，故D 错误．故选AC.4. A 【解析】 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.故选A.5. 5＋12 【解析】 将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b4a2⇒y ＝±b2a，则2c ＝2b2a，即有ac ＝b 2＝c 2－a 2，由e ＝c a，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)．知识聚焦 1. 焦点 焦距2. |x |≥a ，y ∈R |y |≥a ，x ∈R F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )ca ＝1＋b2a2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B 【解析】由y28＋x22＝1，得a 2＝8，b 2＝2，所以c 2＝6，得c ＝6，即椭圆的半焦距为6.设与双曲线x22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝λ，因为所求双曲线的焦点在y 轴上，则λ<0，双曲线方程化为y2－λ－x2－2λ＝1，设双曲线的实半轴长为m ，虚半轴长为n ，则m 2＝－λ，n 2＝－2λ， 所以m 2＋n 2＝－λ－2λ＝(6)2，解得λ＝－2.所以所求双曲线的方程为y22－x24＝1.故选B.(2) 【答案】 x24－y26＝1【解析】不妨设B (0，b )，由BA→＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c2a2－19＝1，即49·a2＋b2a2＝109，所以b2a2＝32①.又|BF →|＝b2＋c2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16②.由①②可得a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x24－y26＝1.(1) 【答案】 y22－x24＝1【解析】因为所求双曲线与已知双曲线x22－y 2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为x22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x22－y 2＝－2，即y22－x24＝1.(2) 【答案】 x 2－y23＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得B (2,0)，C (2,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a2＋b2，4a2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.(1) 【答案】 (0,2) 【解析】对于焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx ±ay ＝0的距离为|bc|b2＋a2＝b .本题中，双曲线x28－m＋y24－m＝1，即x28－m－y2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．故焦点到渐近线距离的取值范围是(0,2)．(2) 【答案】 y ＝±2x 【解析】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .(1) 【答案】 D 【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，则PF 1>PF 2.由双曲线的定义得PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＋PF 2＝6a ，所以PF 1＝4a ，PF 2＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c ＞2a ，4a ＞2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理可得(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a ·2c ＝32， 即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选D. (2) 【答案】 x23－y29＝1【解析】 因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以e 2＝1＋b2a2＝4，所以b2a2＝3，即b 2＝3a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， 因为b2a2＝3，所以渐近线方程为y ＝±3x .则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|2 3 a －3a|2＝2 3 －32a ，d 2＝|2 3 a ＋3a|2＝23＋32a .又因为d 1＋d 2＝6， 所以23 －32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3， 所以b 2＝9.所以双曲线的方程为x23－y29＝1.(1) 【答案】655【解析】 设BF 1＝x ，则AF 2＝3x .由图及双曲线的定义知AF 1－AF 2＝2a ，BF 2－BF 1＝2a ，则AB ＋x －3x ＝2a ，BF 2－x ＝2a .因为AF 2⊥BF 2，所以AB 2＝AF2＋BF 2，即(2a ＋2x )2＝9x 2＋(2a ＋x )2，解得a ＝3x 2，所以AB ＝5x ，BF 2＝4x ，所以cos ∠BAF 2＝35.在△AF 1F 2中，由余弦定理知AF 21＋AF 2－2·AF 1·AF 2·cos ∠BAF 2＝F 1F 22＝4c 2，所以36x 2＋9x 2－108x25＝4c 2，所以c ＝313x 2 5，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝655.(例3(1))(2) 【答案】3【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc|a2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，F 2O ＝c ，所以PO ＝a ，所以PF 1＝6a .又F 1O ＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定理得cos∠POF 1＝a2＋c2－( 6 a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝3.(1) 【答案】 (1,2) 【解析】若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，AF ＝b2a，FE ＝a ＋c ，则b2a＜a ＋c ，b 2＜a 2＋ac,2a 2－c 2＋ac ＞0，e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2.又e ＞1，则1＜e ＜2.(2) 【答案】 53【解析】 由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＝4PF 2，所以PF 1＝83a ，PF 2＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a2＋49a2－4c22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值．因为cos ∠F 1PF 2≥－1，所以cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得e ≤53，即e 的最大值为53.【题组强化】 1.D【解析】由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，所以3b a＝4，即3b ＝4a ，所以9b 2＝16a 2，所以9c 2－9a 2＝16a 2，所以25a 2＝9c 2，所以e ＝53.故选D.2. C 【解析】 由F 1F 2＝2OP ，可得OP ＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，PF 1⊥PF 2，则PF 21＋PF 2＝F 1F 2.由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，则PF 1＝2a ＋PF 2，所以(PF 2＋2a )2＋PF 22＝4c 2，整理得(PF 2＋a )2＝2c 2－a 2.又PF 1≥3PF 2，即2a ＋PF 2≥3PF 2，可得PF 2≤a ，所以PF 2＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a .由e ＝ca ，且e ＞1，可得1<e ≤102.故选C.3.2【解析】由题知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，不妨设右焦点F (c,0)，过点F 与渐近线平行的直线为l ：y ＝b a(x －c )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b ax ，y ＝b a (x －c )，得x ＝c 2，则y ＝－b a×c 2＝－bc 2a ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2，－bc 2a ，PF 的中点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 4，－bc 4a .又点A 在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 42a2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－bc 4a 2b2＝1，化简得c2a2＝2，即e ＝c a＝2.4.53【解析】由线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，可得PF 2＝F 1F 2＝2c ，由直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，可得OA ＝a ，设PF 1的中点为M ，由中位线定理可得MF 2＝2a ，在Rt △PMF 2中，可得PM ＝4c2－4a2＝2b ， 即有PF 1＝4b ，由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，即4b －2c ＝2a ，即2b ＝a ＋c ，即有4b 2＝(a ＋c )2， 即4(c 2－a 2)＝(a ＋c )2，可得a ＝35c ，即e ＝53.(第4题)课堂评价 1. B 2. C【解析】 根据渐近线方程为x ±y ＝0，可得a ＝b ，所以c ＝2a ，则该双曲线的离心率为e ＝ca＝2，故选C. 3. A 【解析】 由题意知，e ＝ca＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c2－a2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A.4. x28－y28＝1 【解析】 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a＝1，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.5. 23 23 【解析】 由题意知a ＝2，b ＝23，c ＝4，F (4,0)，PF ＝b ＝23，△POF 的面积为12ab ＝12×43＝23.第45讲 抛物线链教材·夯基固本 激活思维 1. C2. AC 【解析】根据抛物线定义知选项A 正确；对于B ，符合条件的抛物线的焦点可能在x 轴上也可能在y 轴上，故B 错误；对于C ，抛物线焦点为(－1,0)，所以p ＝2，抛物线方程是y 2＝－4x ，故C 正确；对于D ，因为p 的符号不确定，所以方程不唯一，故D 错误．故选AC.3.B【解析】因为M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516. 4.B【解析】抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF ＝3BF ，所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32，所以x 1＝3x 2＋3， 因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32＝8.故选B. 5.y 2＝8x 6【解析】由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (2,0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，所以FN ＝2FM ＝2(x M ＋2)＝2×(1＋2)＝6.知识聚焦1. 相等 焦点 准线 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 22【解析】 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点为F 1(－2，0)，且抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p 2＝－2，解得p ＝22.(2) 【答案】 13 【解析】由题意得抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2.因为AF ＝(6－2)2＋32＝5，所以求△PAF 周长的最小值即求PA ＋PF 的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，如图，连接PD ，根据抛物线的定义，可知PF ＝PD ，所以PA ＋PF 的最小值即PA ＋PD 的最小值．根据平面几何的知识，可得当D ，P ，A 三点共线时PA ＋PD 取得最小值，所以PA ＋PF 的最小值为x A －(－2)＝8，所以△PAF 周长的最小值为8＋5＝13.(例1(2))(1) 【答案】 A 【解析】设焦点为F ，准线为l ，过P 作PA⊥l ，垂足为A ，则PF ＝PA ，PF ＋PQ ＝PQ ＋PA ，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，和最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1，故选A. (2) 【答案】 4 【解析】因为双曲线的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(2,0)，所以p ＝4.【解答】 (1) 由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 易知y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 2＝2px 2， 所以y 21y 2＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.(2) 由题意知AF ＝x 1＋p2，BF ＝x 2＋p2，所以1AF ＋1BF＝1x1＋p 2＋1x2＋p 2＝x1＋x2＋px1x2＋p 2(x 1＋x 2)＋p24.因为x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝AB －p ，所以1AF ＋1BF ＝ABp24＋p 2(AB －p )＋p 24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(例2)【解答】 (1) 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2.因为直线OP 的方程为y＝y1x1·x ，它与准线的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y0，所以y 0＝y1x1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝2p y1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝－p2y1＝y1y2y1＝y 2，故直线MQ ∥x 轴．(2) 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y2，则k OM ＝y2－p 2＝－2y2p ，k OP ＝y1x1＝2p y1. 因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－p2y1，所以k OM ＝－2y2p ＝2py1，所以k OM ＝k OP ，所以P ，O ，M 三点共线． (3)如图，连接PF 并延长交抛物线于Q ′，由(1)知MQ ′∥x 轴，所以Q 与Q ′重合，故PQ 为焦点弦．(例3)【解答】 (1) 由题意，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1，x212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2，x222p ，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )． 由x 2＝2py 得y ＝x22p ，则y ′＝xp ，所以k MA ＝x1p ，k MB ＝x2p.因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x2p (x －x 0)．所以x212p ＋2p ＝x1p (x 1－x 0)，①x222p ＋2p ＝x2p (x 2－x 0)．② 由①②得x1＋x22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x1＋x22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．。
高三数学-理科解析几何-专题练习 (含答案与解析)
3．在平行四边形ABCD 60，AD ，若P 是平0xAB y AD PA ++=(,x y ∈在以A 为圆心，||BD 为半径的圆上时，实数系式为（ ）．22421x y xy ++= 21xy -= ．22421x y xy +-=21xy +=是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点的直线与抛物线交于点(Ⅰ)求曲线C 方程；(Ⅱ)设点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P ，Q ，求APQ △面积的最小值及此时点A 的坐标．8．如图，已知点1F ，2F 是椭圆1C ：2212x y +=的两个焦点，椭圆2C ：222x y λ+=经过点1F ，2F ，点P 是椭圆2C 上异于1F ，2F 的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆1C 的交点分别是A ，B 和C ，D ．设AB ，CD 的斜率分别为k ，k '．(Ⅰ)求证kk '为定值； (Ⅱ)求||||AB CD 的最大值．9．在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段PD 上，且||2||DP DM =，点P 在圆上运动．(1)求点M 的轨迹方程；(2)过定点(1,0)C -的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在N ，使NA NB 为常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．121244x kx b+==-，且1112k y ==为切点的切线方程为2y y -01)(1)y x - 是椭圆2C 上的点，故联合①②两式得kk '=-PF 的方程可表示为：212()x x + 24[41|||4(114CD k =++当且仅当k =±|||AB CD 的最大值等于【解析】(Ⅰ)设00(,)P x y 在2x +2224x y ∴+=即(Ⅱ)假设存在．当直线1+212212k x x k -=+12(,)NA NB x n y ∴=--=2(412412k n n k-++ 21(21)(4(41)421k n n +--NA NB 是与k 7202n ∴+= 74n ∴=-即(4N -此时1516NA NB =-当直线AB 与x 轴垂直时，若则1516NA NB =-综上所述，在x 轴上存在定点，使NA NB 为常数．。
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第8章 平面解析几何8-3含答案
（时间：40分钟)1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋（a－1)2＝0,若0<a<1，则原点与圆的位置关系是( ）A．原点在圆上 B．原点在圆外C．原点在圆内 D．不确定答案B解析将圆的一般方程化成标准方程为（x＋a）2＋(y＋1)2＝2a,因为0<a〈1，所以(0＋a)2＋（0＋1）2－2a＝(a－1）2>0，即错误!〉错误!，所以原点在圆外．2．圆心在y轴上，半径为1,且过点（1，2)的圆的方程为（）A．x2＋（y－2)2＝1 B．x2＋（y＋2）2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋（y－3)2＝1答案A解析设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b）2＝1.又因为该圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，即圆的方程为x2＋(y－2）2＝1。
3．若点A,B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1，1)，则直线AB的方程是( )A．x－y＝0 B．x＋y＝0C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0答案D解析因为直线OD的斜率为k OD＝1，所以由垂径定理得直线AB的斜率为k AB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－（x－1)，即x＋y－2＝0，故选D.4．点P（4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（)A．(x－2）2＋（y＋1)2＝1 B．(x－2）2＋（y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2）2＝4 D．(x＋2）2＋(y－1)2＝1答案A解析设M(x0,y0)为圆x2＋y2＝4上任一点，PM中点为Q（x，y），则错误!∴错误!代入圆的方程得(2x－4)2＋（2y＋2）2＝4,即（x－2)2＋（y ＋1）2＝1。
5．若方程错误!－x－m＝0有实数解,则实数m的取值范围（) A．－4错误!≤m≤4错误!B．－4≤m≤4错误!C．－4≤m≤4D．4≤m≤42答案B解析由题意知方程16－x2＝x＋m有实数解,分别作出y＝错误!与y＝x＋m的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m≤4错误!.6．已知a∈R,方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案(－2，－4）5解析由题可得a2＝a＋2,解得a＝－1或a＝2。
2018高考数学文大一轮复习习题 第八章 解析几何 含答
第八章⎪⎪⎪解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是1．(教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________． 答案：－22．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．答案：x ＋13y ＋5＝03．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________． 解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a．依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2．答案：1或－21．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．1．经过点A (2，－3)，倾斜角等于直线y ＝x 的2倍的直线方程为________． 解析：直线y ＝x 的斜率k ＝1，故倾斜角为π4，所以所求的直线的倾斜角为π2，则所求的直线方程为x ＝2．答案：x ＝22．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0． ②若直线不过原点． 设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ． 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0． 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透1．(2016·绥化一模)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．1．倾斜角与α斜率k 的关系当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞． 当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．考点二 直线的方程重点保分型考点——师生共研(1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43．又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0．(2)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2， 解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0．故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0．求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ． ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0．②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1， 又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a＝1，∴a ＝7．∴直线的方程为x ＋y －7＝0．综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0． (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1． 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0． 考点三 直线方程的综合应用题点多变型考点——多角探明直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程的问题．角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：设直线l ：x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1．(1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时， △AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0．(2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0．角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B ．[]－1，0C ．D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2．因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12．角度三：与圆相结合求直线方程的问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是____________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32．所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0． 答案：3x ＋y －3－1＝0处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5．答案：52．(2017·衡阳一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM ＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13．所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A ．33B ． 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33．2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0．3．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－5，－3)C ．(－∞，－6)D ．(－2，＋∞)解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2．故选A ．4．(2017·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈ B ．(－∞，－2]∪D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是．5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8．6．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0．答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝07．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是．答案：8．(2016·沈阳一模)若直线l ：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b＝1．于是a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b≥2b a ·2ab＝22当且仅当b a ＝2ab时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋22．答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16．解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83．故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0．(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1．∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．10．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程． 解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ． 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0．该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12．答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0．故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0．第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2． (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2． 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 121．(教材习题改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1解析：选C 由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1．2．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0．若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 解析：由题意，得aa －3＝－2，解得a ＝2．答案：21．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1．所以P 是Q 的充要条件．2．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2． 答案：2考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0．2．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3．若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A ∵l 1∥l 2，∴4－mm ＋2＝－2(m ≠－2)，解得m ＝－8(经检验，l 1与l 2不重合)，∵l 2⊥l 3，∴2×1＋1×n ＝0，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10．3．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7． 即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2． (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2． 又－n8＝－1，∴n ＝8．即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1．1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1． 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法在判断两直线位置关系时，比例式1A 2与1B 2，1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2．解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0．∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0．①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87．处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝a ＋2＋b －2，解得a ＝3，b ＝4．∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行， 所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)． 又因为l 1与l 2的距离是2， 所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝03．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围为________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5．又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是．答案：．考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0． 答案：x ＋4y －4＝0角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．答案：A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0．1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________．解析：设A (x ，y )为所求直线上的任意一点， 则A ′(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，即3x －4(－y )＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0． 答案：3x ＋4y ＋5＝02．已知点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是________．解析：由题意得线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2在直线y ＝kx ＋b 上，故⎩⎪⎨⎪⎧23·k ＝－1，－12k ＋b ＝2，解得k ＝－32，b ＝54，所以直线方程为y ＝－32x ＋54．令y ＝0，即－32x ＋54＝0，解得x ＝56，故直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距为56．答案：563已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． 答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2．所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0．故选C ．3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)． 又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0．4．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0．答案：12x ＋8y －15＝05．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)， 代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2， 所以a ＝23．答案：23二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (2,3)，B (－4,0)，P (－3,1)，Q (－m ，m ＋1)，若直线AB ∥PQ ，则m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵AB ∥PQ ， ∴k AB ＝k PQ ，即0－3－4－2＝m ＋1－1－m －－， 解得m ＝1，故选C ．2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( )A ．423 B ．4 2 C ．823D ．2 2解析：选C ∵l 1∥l 2， ∴1a －2＝a 3≠62a， 解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823．3．(2016·浙江温州第二次适应性)已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A ．4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．5．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．6．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79．答案：－13或－797．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－－3－0＝－43．k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34． 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形． 故S ＝|AB |·|AD |＝－2＋－2×－2＋－2－2＝25．答案：258．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y－3＝0．答案：x ＋2y －3＝09．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0． (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋，解得a ＝－1．综上可知，a ＝－1．法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧aa －－1×2＝0，aa 2－－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－⇒a ＝－1．(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23．法二：∵l 1⊥l 2， ∴A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23．10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D 因为P (x 0，y 0)是直线l 1：Ax ＋By ＋C ＝0外一点， 所以Ax 0＋By 0＋C ＝k ，k ≠0．若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0， 则Ax ＋By ＋C ＋k ＝0．因为直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 斜率相等， 但在y 轴上的截距不相等，故直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 平行． 因为Ax 0＋By 0＋C ＝k ，而k ≠0， 所以Ax 0＋By 0＋C ＋k ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0不过点P ．2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5．故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x＋y＋7＝0．第三节圆的方程1．圆的定义及方程点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．1．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )A．－43B．－34C ． 3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43．2．(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )， 则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)． 半径r ＝12|AB |＝12[1－－]2＋－2＝2．∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2． 答案：x 2＋(y －3)2＝23．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4． 即a 2＜1，故－1＜a ＜1． 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．(2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1．当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5．答案：(－2，－4) 5考点一 圆的方程基础送分型考点——自主练透1．(2017·石家庄质检)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1．2．圆心在y 轴上且经过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2．因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5．所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0．3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：选C 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0． 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)， ∴|MN |＝46，故选C ．4．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2， 所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．答案：(x－2)2＋y2＝91．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题题点多变型考点——多角探明与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题．角度一：斜率型最值问题1．(2016·抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最大值和最小值．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx．当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3．所以y x的最大值为3，最小值为－3．角度二：截距型最值问题2．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6．所以y －x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．角度三：距离型最值问题3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－43．与圆有关的最值问题的3种常见转化法(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．1．设点P 是函数y ＝－4－x －2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a∈R)，则|PQ |的最小值为________．解析：函数y ＝－4－x －2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下半圆．令点Q 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x2－3，即x－2y －6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1,0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋－2＝5＞2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2．答案：5－22．已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径1，所以|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋2＋n ＋2＝1，即|m ＋n |＝m ＋2＋n ＋2．两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1．由基本不等式mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22． 当且仅当m ＝n 时等号成立．答案：已知A (2,0)为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4．。
2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何测评答案
小题必刷卷(十一)题组一刷真题角度11. B ［解析］方法一:易得△ ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时易得b=1-—；当a=时，易得b=-当a=1时，易得b= 一- 1A.故选B.方法二:(直接法)？ y=——,y=ax+b与x轴交于--，结合图形与a>0- x——x2 一(a+b) =a(a+1)>0? a=—T a>0,・••一>0? b~,当a=0 时,极限位置易得b=1-一，故答案为B.2. —［解析］由两平行线间的距离公式得d〜=J.角度2. . 2 2 2 2 . . . .3. A ［解析］圆x +y -2x- 8y+13=0化为标准方程为(x- 1) +(y- 4) =4，故圆心为(1,4),圆心到直线的距离d= — =1,解得a=__.4. A ［解析］由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|= 2 _.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为一「=2 ：设点2 2 ————P到直线AB的距离为d,圆(x- 2) +y =2的半径为r则d € [2 -r ,2 +r],即d€ [ ,3 ],又A ABP的面积S^B P=-|AB|• d= _d,所以A ABP面积的取值范围是[2,6].5. C ［解析］方法一：由点到直线的距离公式得d==m.方法二:该题考查圆周上一点到动直线的距离的最值问题，由题知动直线过定点(2,0),观察下图可知，所求距离的最大值为点(2,0)到单位圆上点的距离的最大值，故为3.角度32 26. C ［解析］方法一:设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F：0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x +y - 2x+4y- 20=0,即(x- 1) +(y+2) =25,所以=2 - =4 _方法二：因为k AE=--,k BC=3，所以k AB k BC=-1所以AB丄BC所以△ ABC为直角三角形所以△ ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r=- =5,所以=2 -=4：方法三：由•=0得AB丄BC下同方法二.7. (x-2)2+y2=9 ［解析］设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得_J,解得a=2(a=-2舍去)，所以圆的半__ . . 2 2径r= - - =3,所以圆的方程为(x-2) +y =9.2 2 28. (-2,-4) 5 ［解析］由题意知a=a+2,则a=2或a=-1.当a=2 时方程为4x +4y +4x+8y+10=0,即2 2 方法二:设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为- -+y - =0,整理得x-4X+y-y+3=0,2 2 I J 2 2 . . 2 2 2 2x +y +x+2y+-=0? x+- +(y+1)=--,不能表示圆；当a=-1 时方程为x +y +4x+8y- 5=0,即(x+2) +(y+4) =25, 所以圆心坐标是(-2,- 4),半径是5.角度49. A ［解析］设所求直线方程为2x+y+m=0,则圆心到该直线的距离为 ^一= 一,「.|m|=5,即m=± 5.10. D ［解析］设反射光线所在直线的斜率为k,反射光线过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),二反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2).又T 其与圆(x+3)2+(y- 2)2=1 相切，—==一=1,解得k=--或k=--.11. A ［解析］方法一:设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y-1=k -，由题意得-==1,解之得k=0或-,即切线方程为y=1或4x- 3y- 9=0.联立得一切点为，又Tk PC=——, .k AB=-一=- 2，即弦AB所在直线方程为y-仁-2 -，整理得2x+y- 3=0.联立两式相减得2x+y- 3=0.12. 4 n ［解析］x +y -2ay-2=0,即x +(y-a ) =a +2，则圆心为C(0,a).又|AB|= 2 _,C到直线y=x+2a 的距离为一所以(二)2+( ) 2=a2+2，得a2=2，所以圆C 的面积为n (a2+2)=4 n .13. 4 ［解析］直线丨：n(x+3)+y- _=0 过定点(-3, 一)又|AB|= 2 一,二(『^)2+( _)2=12,解得m=二.直线方程中，当x=0时,y=2 ".又(-3, _),(0,2 一)两点都在圆上，•••直线丨与圆的两交点为A(-3, _),B(0,2 ").设过点A(-3, 一)且与直线丨垂直的直线为_x+y+c i=0，将(-3, 一)代入直线方程_x+y+c i=0，得c i=2 _.令y=0,得x c=-2，同理得过点B且与I垂直的直线与x轴交点的横坐标为X D=2,• |CD|=4.题组二刷模拟214. A ［解析］若11 II l 2,则a x (- 1)=a(a+2),即a +3a=0,「.a=0 或a=- 3,经检验都符合题意，故选A15. C ［解析］•「△ ABC是等腰直角三角形，•圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d^= =—,.•. a= ±, 故选C16. A ［解析］由M为PQ的中点，=- ，得PA X QA即I 1丄l 2,. 1 x m+-2)x 1=0,解得m=2.故选A17. B ［解析］点B在直线y=2 一上，过点A(0,-2 一)作圆的切线，设切线的斜率为k,由点斜式求得切线方程为kx-y- 2 _=0.由圆心到直线的距离等于半径，得^== 一,解得k=± 一,•切线方程为y=± _x-2 一,与直线y=2 一的交点坐标为(士4,2 _), •要使视线不被圆C挡住，实数a的取值范围是(-%，- 4) U (4,+ 叼,故选B.18. D ［解析］如图，点A关于直线BC的对称点为D(-6,2),则直线DB的方程为x+2y+2=0直线DC的方程为y=2.由---- =——=——,| 2a-2|=——,得a=-1,-,1 士——，结合图像可知-1W 1 —，故选D.2 219. D ［解析］圆的标准方程为(x+2)+y=4,作CD丄AB于点D.由圆的性质可知/ ACB=20° ,△ ABC为等腰三角形,其中|CA|=|CB|，则|CD|=|CA| si M 30 ° =2X-=1,即圆心(-2,0)到直线4x- 3y+a=0的距离为1, 据此可得一-=1,即|a- & = 5,解得a=3或a=13,故选D20. A ［解析］设A(X1,y1),B(X2,y2)，联立-可化为5y2-4ay+a2- 2=0，则△ =16a2- 20(a2-2)>0,即a2<10,且y’+y2=—,y’y2 ----------------- .若=0,则X1X2+y1y2=0，即卩(2yy )(2y2-a )+y1y2=0, 5y’y2-2a(y1+y2)+a =0,二5X -2a x—+a =0,解得a=±，故"a= ”是“•=0”的充分不必要条件，故选A.21. C ［解析］由题可知直线I ：y=-(x+2)，即x- _y+2=0.设圆心C(a,0)(a>0),则_ :=a,解得a=2,所以圆C的方程为(x-2) +y =4.将y=—(x+2)代入圆C的方程，可得x - 2x+1=0，所以x<=1,故P(1,0).设M(x,y),2 2则----= ------------ =--------------- ,将x +y =4x代入，得-- =——=4,所以——=2,故选C22. 士2 ［解析］由题得/PMO M PN0h M0N90° ,|M0|=|0N|=1,.四边形PMO是正方形,••• |PO|= 一. •••满足以上条件的点P有且只有一个，••• O»l ,. 一=^,.・.b= ±.23. —懈析］若直线丨1与直线丨2垂直，则-2X- =-1?- =,则使得直线丨1丄l 2的{(a,b)}={(1,2),(2,4),(3,6)},故直线丨1丄I 2的概率P —=—.24. 2 —［解析］由得-即直线恒过定点q-1,-2).以C为圆心,5为半径的圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=25,圆心C(- 1，- 2)到直线3x+4y+1 =0 的距离d=- --- •=—=2，则|AB|= 2 - =2 - =2 (R为圆的半径).25. ①②③［解析］连接BC作CE_LAB于点E,易知|CE|=1,|BE|= 1,则|BC|= 一，则C(1, 一),所以圆C的方程为(x-1) +(y- 一)=2,A(0, _-1),B(0, _+1).因为MN在圆Qx+y=1 上，所以可设M(cos a ,sin a ),N(cos B ,sin B )，所以|NA|= - ,|NB|= - - _ ==2.角度24. A ［解析］—=-—=_-1=e-1=2所以-=± 一,所以渐近线方程为y=± "x.5.C ［解析］由题易知|PF 2|=b,|0P|=a.过P 向x 轴作垂线，垂足为E,可知|PE|=—,戶£|=—,所以 2 — _ 2 2 — |PF i |=— + -一 =( |0P|)=6a,从而可得e=. 6. D ［解析］由题意知A(-a,O),过A 且斜率为一的直线方程为y=—(x+a),设P(x °,y °),则有y o —(x o +a)①.又厶PFF 2为等腰三角形，且/F i F 2P=120 °所以①②③,消去x o ,y o ,得一 =_，即C 的离心率为_. 7. B ［解析］由双曲线方程知a= 一卩=1,则F(2,0).不妨设过点F 的直线垂直渐近线x- _y=0于M 交渐 近线 x+ _y=0 于 N.在 Rt △ OM 中，/MOF30 °」OF|= 2，所以 |OM|= 一.在 Rt △ OMF 中，/MON60 °」OM|=- 所以 |MN|=3.角度38. A ［解析］•••以线段AA 为直径的圆与直线bx-ay+ 2ab=0相切，•••圆心到此直线的距离 d 等于圆的半径，即 d= =a.2 2又a>b>0,则上式可化简为a =3b .Tb =a-c ,「.a =3(a -c )，即一=-，…e=-=—.9. A ［解析］设双曲线的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心到该直线的距离.根据已知得= ---- =tan 30 =—②, =一=tan 60° = 一③.联立2 2 21 + — =4,即—=3,所以b =-c ,所以e=-=—:=2.10. D ［解析］由题意及双曲线的对称性画岀示意图如图所示，渐近线OBy=_x.设Bx o,_x。
新课标高考试题分类汇编文科数学8选填题第8章 解析几何
2 63 第八章 解析几何▲ T1-2007 年 (7) 已 知 抛 物 线y 2 = 2 px ( p > 0) 的 焦 点 为 F , 点P 1 (x 1，y 1 )，P 2 (x 2，y 2 )，P 3 (x 3，y 3 ) 在抛物线上,且2x 2 = x 1 + x 3 ,则有( )Ａ. FP + FP = FPＢ. FP 2 + FP 2 = FP 21 2 3 1 23Ｃ. 2 FP = FP + FP Ｄ. FP 2= FP ⋅ FP213213▲T2-2007 年(13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率为 .x 2 - y 2 =▲T3-2008 年(2)双曲线10 21的焦距为( )A. 3B. 4 2C. 3 3D. 4 3 ▲T4-2008 年(10)点 P (x , y ) 在直线 4x + 3y = 0 上,且满足 -14 ≤ x - y ≤ 7 ,则点 P 到坐标原点距离的取值范围是( ) A. [0,5]B.[0,10]C.[5,10]D.[5,15]x 2 ▲T5-2008 年(15)过椭圆 y 2+ = 1的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A , B 两 5 4点, O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 . ▲T6-2009 年(5)已知圆C : (x +1)2 + ( y -1)2=1,圆C 与圆C 关于直线 x - y -1 = 0 对称,1则圆C 2 的方程为( ) A. (x + 2)2+ ( y - 2)2=1 C. (x + 2)2+ ( y + 2)2=121B. (x - 2)2 + ( y + 2)2=1D. (x - 2)2+ ( y - 2)2=1▲T7-2009 年(14)已知抛物线C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y = x 与抛物线C 交于 A , B 两点,若 P (2, 2) 为 AB 的中点,则抛物线C 的方程为 . ▲T8-2010 年(5)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4, -2) ,则它的离心率为( )A. B. 6 5 C.D.22▲ T9-2010 年 (13) 圆 心 在 原 点 且 与 直 线 .x + y - 2 = 0 相 切 的 圆 的 方 程 为 x 2 ▲T10-2011 年(4)椭圆 y 2+ = 1的离心率为( )1 1 A. B.3 216 8 C. D. 3 2 ▲T11-2011 年(9)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直. l 与C 交于 A , B 两点, | AB |= 12 , P 为C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( )A.18B.24C.36D.48x 2 y 2▲ T12-2012 年(4) 设 F 1、F 2 是椭圆 E : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点, P 为直线x = 3a 上一点, △F PF 是底角为30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( )2 2 11 2 A.B.233 4C.D.455222 3 5302 2 0▲T13-2012 年(10)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2= 16x 的准 线交于 A , B 两点, | AB |= 4 ,则C 的实轴长为( ) A. B. 2x 2 y 2 C.4 D.8▲T14-2013 年 I(4)已知双曲线C : a 2 方程为( )- = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为b 2 ,则C 的渐近线2A. y = ± 1 x4B. y = ± 1x3C. y = ± 1 x2D. y = ± x▲T15-2013 年 I(8) O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y 2= 4 2x 的焦点, P 为 C 上一点,若| PF |= 4 ,则 ∆POF 的面积为( )A.2B. 2x 2 y 2C. 2D.4▲T16-2013 年II(5)设椭圆C : + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2, P 是C 上的点, PF ⊥ F F , ∠PF F = 30,则C 的离心率为( )21 21 21A.B.631C.D.2 3▲T17-2013 年 II(10)设抛物线C : y 2= 4x 的焦点为 F ,直线l 过 F 且与C 交于 A , B 两点. 若| AF |= 3 | BF | ,则l 的方程为( )A. y = x -1或 y = -x + 1B. y = (x -1) 或 y = - 3 (x -1) 3C. y = 3(x -1) 或 y = - 3(x -1)x 2 y 2D. y = 2(x -1) 或 y = - 22(x -1) 2▲T18-2014 年 I(4)已知双曲线 a 2 - = 1(a > 0) 的离心率为2,则 a = ( ) 3A.2B. 2C.D.12▲T19-2014 年 I(10)已知抛物线C : y 2= x 的焦点为 F , A (x , y ) 是C 上一点, | AF |= 5 x ,则 x 0 = ( )0 04 0 A.1 B.2 C.4D.8▲T20-2014 年 II(10)设 F 为抛物线C : y 2= 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点,则| AB |= ( )A.B.6C.12D. 7 3▲ T21-2014 年 II(12) 设 点 M (x 0 ,1) , 若 在 圆 O : x 2+ y 2= 1 上 存 在 点 N , 使 得∠OMN = 45 ,则 x 的取值范围是( ) 1 1 A.[-1,1] B.[- , ] 2 2C.[- 2, 2]D.[-, ]2 21▲ T22-2015 年 I(5) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 离心率为 , E 的右焦点与抛物线2C : y 2 = 8x 的焦点重合, A , B 是C 的准线与 E 的两个交点,则| AB |=( )3 25 2333 3 6 32 5 23 A.3 B.6 C.9D.122y 2 ▲ T23-2015 年 I(16) 已知 F 是双曲线 C : x -= 1 的右焦点, P 是 C 的左支上一8点, A (0, 6 6) .当△APF 周长最小时,该三角形的面积为.▲T24-2015 年 II(7)已知三点 A (1, 0), B (0, 3), C (2, 3) ,则 ∆ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) 5 A.B.334 C.D.33▲T25-2015 年 II(15)已知双曲线过点(4, 3 ),且渐近线方程为 y = ± 1 x ,则该双曲线的标 准方程为 .▲T26-2016 年 I(5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴 1长的 ,则该椭圆的离心率为( ) 41 12 3A.B.C.D.3234▲T27-2016 年 I(15)设直线 y = x + 2a 与圆 C : x 2 + y 2- 2ay - 2 = 0 相交于 A , B 两点,若 | AB |= 2 ,则圆C 的面积为.▲ T28-2016 年 II(5) 设 F 为抛物线 C : y 2= 4x 的焦点, 曲线 y = k(k > 0) 与 C 交于点xP , PF ⊥ x 轴,则 k =( ) 1 3A.B.1C.22D.2▲T29-2016 年 II(6)圆 x 2+ y 2- 2x - 8y + 13 = 0 的圆心到直线 ax + y -1 = 0 的距离为 1, 则 a =( )A. - 3B. -C. 4D.2x 2 y 2▲ T30-2016 年 III(12) 已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C : a 2 + = 1(a > b > 0) 的左焦b 2点, A , B 分别为C 的左,右顶点. P 为 C 上一点,且 PF ⊥ x 轴.过点 A 的直线l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ) 1 1 2 3A.B.C. D.323 4▲ T31-2016 年 III(15) 已知直线 l : x - 3y + 6 = 0 与圆 x 2 + y 2= 12 交于 A , B 两点, 过 A , B 分别作l 的垂线与 x 轴交于C , D 两点,则| CD |= .2y 2 ▲T32-2017 年 I(5)已知 F 是双曲线C : x - = 1 的右焦点, P 是C 上一点,且 PF 与 x 轴3垂直,点 A 的坐标是(1, 3) ,则△APF 的面积为( ) 1 1 2 A.B.C.3233D.2x 2 y 2▲T33-2017 年 I(12)设 A , B 是椭圆C : 3 ∠AMB = 120 ,则m 的取值范围是( )+ = 1 长轴的两个端点,若C 上存在点 M 满足m21 3 3 456 233 2 A. (0,1] [9, +∞)B. (0, 3] [9, +∞)x 2 -C. (0,1] [4, +∞)D. (0, 3] [4, +∞)2▲T34-2017 年 II(5)若 a > 1,则双曲线 a 2y = 1的离心率的取值范围是( )A.（ 2，+∞） C.（1，2） D.（1，2）▲ T35-2017 年 II(12) 过抛物线 C : y 2= 4x 的焦点 F , 且斜率为 的直线交 C 于点 M ( M 在 x 轴上方), l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MN ⊥ l ,则 M 到直线 NF 的距离为( ) A. B. 2 C. 2 D. 3 x 2 y 2 ▲T36-2017 年 III(11)已知椭圆C : + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1 , A 2,且以线段 A 1 A 2 为直径的圆与直线bx - ay + 2ab = 0 相切,则C 的离心率为( )1 A.B.33C.D.33x 2 y 2 3▲ T37-2017 年 III(14) 双 曲 线 a = .- = 1(a > 0) 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 a 2 9 y = x , 则5▲T38-2018 年 I(4)已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1的一个焦点为 4(2, 0) ，则C 的离心率为（ ）1 1 A. B. 3 2C. 2 2D. 2 2 3 ▲ T39-2018 年 I(15) 直 线 | AB |= ．y = x + 1 与 圆 x 2 + y 2+ 2y - 3 = 0 交 于 A , B 两 点 ， 则 x 2 y 2 ▲T40-2018 年 II(6)双曲线 - a 2 b 2（ ）= 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A. y = ± 2x B. y = ± 3xC. y = ±2x 2 D. y = ±3x2▲T41-2018 年 II(11)已知 F 1 , F 2 是椭圆C 的两个焦点， P 是C 上的一点，若 PF 1 ⊥ PF 2 ，且∠PF 2 F 1 = 60，则C 的离心率为（ ）A.1- 3 2B. 2 -C. 3 -1 2D. -1 ▲ T42-2018 年 III(8) 直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A , B 两点， 点 P 在圆 (x - 2)2 + y 2 = 2 上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A.[2, 6] B.[4,8] C.[ 2, 3 2] D. [2 2, 3 2]x 2 y 2(4, 0) ▲T43-2018 年 III(10)已知双曲线C : - a 2 b 2到C 的渐近线的距离为（ ） = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 ，则点A. B.2 C. D. 2 B.（ 2，2） 3 2333 3 2 3 2222。
专题16 12月第一次周考第八章 解析几何测试一-2018年
或 .
14.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60，则圆M的方程为．
【答案】
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15 .已知圆 经过点 ，与直线 相切，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）已知直线 经过点 ，并且被圆 截得的弦长为2，求直线 的方程.
【答案】(1) ;(2) ， .
【解析】
（1） .
（2） 不存在时， 符合题意，
存在时， ，综上，直线方程为 ， .
16.已知圆 内有一点 ，过点 作直线 交圆 于 两点．
（1）求新桥 的长；
（2）当 多长时，圆形保护区的面积最大？
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
（1）建立如图所示的平面直角坐标系 ，由题设可知： ，则直线 的斜率为 ，又因为 ，所以直线 的斜率为 。设点 的坐标为 ，则 ，即 ，解之得： ，因此 ，所以新桥 的长为150。
（2）设保护区的边界圆 的半径为 ，由题设条件可知直线 的方程为斜率为 ，即 ，由于圆 与直线 相切，因此点 到直线 的距离 是 ，即 ，注意到 ，所以 。因为直线 与圆 相切，所以点 到圆的距离都不少于 ，所以 ，即 ，解之得： ，注意到半径 是 的一次函数，且该函数在 上单调递减，所以当 时， 最大，也即圆形 保护区域圆 的面积最大。
（1）若直线 ， 互相垂直，求圆 的方程；
（2）若直线 ， 的斜率存在，并记为 ， ，求证： ；
（3）试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
高考数学 专题17 12月第二次周考(第八章 解析几何测试
专题17 12月第二次周考（第八章 解析几何测试二）测试时间：120分钟班级：姓名：分数：试题特点：本套试卷重点考查直线方程与圆的方程的求法、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、椭圆、双曲线及抛物线的简单的几何性质的应用、直线与圆锥曲线的位置关系等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；整套试卷注重数形结合能力和运算能力的考查．讲评建议：评讲试卷时应注重选择适当的方法求直线和圆的方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系的判断方法的总结；关注运算能力的培养；加强直线、圆及圆锥曲线的位置关系综合题的求解能力的培养．试卷中第6，9，10，14，19，21各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 过点()()1,1,2,1A B --，则l 的斜率为（） A ．23-B ．32-C ．23D ．32【答案】A【解析】直线l 的斜率()112123k --==---，故选A ．2．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，P 为一个交点，则2PF =（）A ．3 B ．3 C ．72D ．4 【答案】C3．已知双曲线2222:1(1,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．2y x =±C ．3y x =±D ．4y x =±【答案】A4．设椭圆的方程为222231(0)2x y b a a b +=≥>右焦点为(),0(0)F c c >，方程20ax bx c +-=的两实根分别为12,x x ，则2212x x +的取值范围是（）A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．31,4⎛⎤⎥⎝⎦ D ．71,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】23310,,012b b b a e a a ⎛⎫≥>∴≥∴<=-≤ ⎪⎝⎭Q ，因为方程20ax bx c +-=的两根分别为12,,0x x ∆>，1212,b c x x x x a a∴+=-=-，则()2222121212222b c x x x x x x a a +=+-=+()2222222112a c e e e e a -=+=-++=--+，221210,2e x x <≤∴+Q 的取值范围是71,4⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选D ． 5．已知抛物线x y 42=的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若FB F A 3=ρ，O 为坐标原点，则AOB∆的面积为（） A ．33 B ．338 C ．334 D ．332 【答案】C 【解析】试题分析：抛物线x y 42=的焦点为()0,1，设直线l 的方程为：1+=my x ，代入抛物线方程可得0442=--my y ．设()11,y x A ，()22,y x B ，则m y y 421=+，421-=⋅y y ，由B F F A ρρ3=，得213y y -=，则312=m ．()3341616214212122122121=+=⋅-+=-⋅=∴∆m y y y y y y OF S AOB ．故选C ． 【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．6．设p 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若15PF =，则2PF =（） A ．1或5 B ．1或9 C ．1 D ．9 【答案】B【名师点睛】解答本题的过程中，容易忽视双曲线定义中的绝对值的符号，从而失去一个解而致错． 7．过点(－2，0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5相交于M 、N 两点，且线段MN=2，则直线l 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设直线的斜率为，则直线的方程为，圆的圆心，半径，圆心到直线：的距离，∵过点的直线与圆相交于、两点，且线段，∴由勾股定理得，即，解得，故选C ．8．已知点()11,P x y 是椭圆2212516x y +=上的一点，1F ，2F 是焦点，若12F PF ∠取最大时，则12PF F ∆的面积是（） A 163B ．12C ．(1623D ．(1623【答案】B【解析】∵椭圆方程为2212516x y +=，5,425163a b c ∴===-=，，因此，椭圆的焦点坐标为123030F F -（，）、（，）．根据椭圆的性质可知当点P 与短轴端点重合时，12F PF ∠取最大值，则此时12PF F ∆的面积1234122S =⨯⨯⨯=，故选B ．9．双曲线221:145x y E -=的左右焦点分别为12,F F ，椭圆22222:1(0)x y E a b a b+=>>与双曲线1E 有公共的焦点，且12,E E 在第一象限和第四象限的交点分别为,M N ，弦MN 过2F ，则椭圆2E 的标准方程为（）A ．221814544x y += B ．221134x y += C ．221167x y += D ．22154x y += 【答案】A10．经过点()2,1M 作直线l 交双曲线2212y x -=于,A B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为 A ．470x y ++= B ．470x y +-= C ．470x y --= D ．470x y -+= 【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，可得221112y x -=，222212y x -=，两式相减可得：()()()()1212121202y y y y x x x x -+-+-=，M 为AB 的中点，即有124x x +=，122y y +=，可得直线AB 的斜率为()1212121222442x x y y k x x y y +-⨯====-+，即有直线AB 的方程为()142y x -=-，即为470x y --=，由47y x =-代入双曲线的方程2212y x -=，可得21456510x x -+=，即有256414512800=-⨯⨯=>V ，故存在直线AB ，其方程为470x y --=，故选C ．【名师点睛】本题考查双曲线的中点弦所在直线方程的求法，注意运用点差法，注意检验直线的方程的存在性，考查运算能力，属于中档题；设()11,A x y ，()22,B x y ，代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线AB 的方程，代入双曲线的方程，由判别式的符号，即可得到判断直线的存在性． 11．方程()()22224410x y x y -++++=化简的结果是（ ）．A ．2212516x y += B ．221259x y += C ．2212516y x += D ．221925y x += 【答案】B12．已知双曲线Γ：的焦距为2c ，直线:l y kx kc =-．若3k =，则l 与Γ的左、右两支各有一个交点；若15k =，则l 与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为A ．()1,2B ．()1,4C ．()2,4D ．()4,16 【答案】C【解析】由题意可知：直线l :y =k (x −c )过焦点F (c ，0)．双曲线的渐近线方程by x a=，可得双曲线的渐315ba <<，∵221cb e a a==+2222315,4116b b a a <<<+<，∴2<e <4，∴双曲线离心率的取值范围为(2，4)．故选C ．【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为______．【答案】14．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为__________． 【答案】27【解析】画出图像如下图所示，由于4sin 5A =、16BD =为定值，故A 在以BD 为弦的圆上运动，由正弦定理得16220,1045R R ===，故圆心的坐标为()8,6-，AC 的最大值即为CA '的值，也即是CO R +的值，由两点间的距离公式有228151027CO R +=+=．15．已知，是椭圆在左，右焦点，是椭圆上一点，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率等于__________．【答案】或角或角为直角，不妨令角为直角，此时，代入椭圆方程，得．又等腰直角，得，故得，即，即．得，又，得．故椭圆离心率为或．【名师点睛】这个题目考考查了分类讨论的思想，已知是等腰直角三角形，可得到要讨论哪个角是直角，若为直角顶点，可得，进而求得离心率．令角为直角，此时，代入椭圆方程得到基本量的关系． 16．已知的周长为26且点的坐标分别是，，则点的轨迹方程为．【答案】()22104913x y x +=≠【方法点晴】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点；求曲线方程的一般步骤（直接法）：（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用(),x y 表示曲线上任一点M 的坐标；（2）列式：写出适合条件p 的点M 的集合(){|}p M M ；（3）代入：用坐标表示出条件()p M ，列出方程(),0f x y =；（4）化简：化方程(),0f x y =为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴，焦距为2，2倍． （I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）设()20P ，，过椭圆E 左焦点F 的直线l 交E 于A B 、两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式()PA PB R λλ⋅≤∈u u u r u u u r恒成立，求λ的最小值．【答案】（I ）2212x y +=；（II ）172． 【解析】试题分析：(1)利用题意求得2221a b ==，，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=．(2)直线l垂直于x轴时，172 PA PB⋅=u uu r u u u r；当直线l不垂直于x轴时，联立直线与椭圆的方程，整理可得()2221721713172122221kPA PBk k+⋅==-<++u u u r u u u r．综上，有λ的最小值为172．试题解析：（I）依题意，21a b c==，．解得2221a b==，，∴椭圆E的标准方程为2212xy+=．当直线l不垂直于x轴时，设直线():1l y k x=+，由()221{22y k xx y=++=，，整理得()2222124220k x k x k+++-=，所以2122412kx xk+=-+，21222212kx xk-=+，所以()()()21212122411PA PB x x x x k x x⋅=-+++++u u u r u u u r()()()()()222222221212222241241241212k kk x x k x x k k k kk k-=++-+++=+⋅--⋅++++()2221721713172122221kk k+==-<++．要使不等式()PA PB Rλλ⋅≤∈u u u r u u u r恒成立，只需()max172PA PBλ≥⋅=u u u r u u u r，即λ的最小值为172．【名师点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．18．（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>经过点23⎛⎝⎭，左右焦点分别为1F、2F，圆222x y+=与直线0x y b++=相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，Q 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）试探究2||MN OQ的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．（2）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值．【答案】（Ⅰ）22132x y +=；（Ⅱ）（1）223||MN OQ =；（2）max23S =．试题解析：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线0x y b ++=的距离为112=，所以2b = 又椭圆C 经过点23⎛ ⎝⎭，所以221413a b +=，得到3a = 所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=． （Ⅱ）（1）设()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，OQ 的方程为x my =， 则MN 的方程为1x my =+．由22,{1,32x my x y =+=得222226,23{6,23m x m y m =+=+即22022026,23{6.23m x m y m =+=+所以201OQ m y =+226123m m +=+，由221,{1,32x my x y =++=，得()2223440m y my ++-=， 所以122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，2121MN m y y=+⋅-()22121214m y y y y=+⋅+-()22222161612323mmmm=+⋅+++()2222243143112323mmmm m++=+⋅=++，所以()()222224312323||36123mMN mOQ mm++==++．∴()22222431112312223231m mS MN dm mm++=⋅=⨯⨯=+++，令21m t+=，则221m t=-（1t≥），()2323232132t tSt tt===-++，令()()121g t t tt=+≥，()21'20g tt=->，∴()g t在[)1,+∞上为增函数，()()min13g t g==，max23S=．【点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题．解答此类题目，利用,,,a b c e的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解．本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出．．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．19．（本小题满分12分）椭圆2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足丨PQ丨=2，∠PF2Q=90°，且△PF2Q的面积为1．（1）求椭圆的方程；（2）直线l不经过点A（0，1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22x y 12+=（2）m=-13，定点（0，-13）试题解析：（1）∠PF 2E =90°⇒口PF 1QF 2为矩形⇒丨F 1F 2丨=丨PQ 丨=2⇒c =112PF F S 口=2PF Q S =1⇒PF 1·PF 2=2又PF 1+PF 2=2a ，则a 2=2，b 2=1椭圆方程：22x y 12+= (2)22x y 1{ 2y kx m +==+⇒（2k 2+1）x 2+4kmx +2（m 2-1）=0 ⇒∆ =8（2k 2+1-m 2），x 1+x 2=24km2k 1-+，x 1x 2=222m 12k 1-+（） ⇒AM ·AN =（x 1，y 1-1）·（x 2，y 2-1）=0 ⇒3m 2-2m -1=0又直线不经过A （0，1），所以m ≠1，m =-13，定点（0，-13） 20．（本小题满分12分）已知点，圆．（）设，求过点且与圆相切的直线方程． （）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．（）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程．【答案】（1）切线方程为或；（2）直线的方程为或；（3）方程为即．线的距离为，得到结果．（3）首先要分析出来线段最短时直线和圆的位置关系：，故当时，，再根据垂径定理得到直线的斜率．（）解：如图所示，此时，设切线为或，验证知与题意相符；当切线为，即时，圆心到切线的距离，解得，所以，切线方程为或．（）如图所示，此时，设直线为或（舍），设弦的中点为，则，，所以，即圆心到直线的距离为，于是，解得或，所以，直线的方程为或．（）如图所示，此时，设所截得的线段为，圆心到直线的距离为，则，21．（本小题满分12分）已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在直线x+y﹣2=0上．（1）求圆M的方程．（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）2．【解析】试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；（2）四边形PAMB的面积为S＝2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．试题解析：(1) 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得解得a＝b＝1，r＝2．故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|．又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S＝2|PA′|．而|PA′|＝．即S＝2．因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min ＝，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2．22．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦点为12F F、，过右焦点2F的直线l与椭圆C相交于P Q，两点，若1PQF∆的周长为短轴长的23倍．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在椭圆C上是否存在一点M，使得2OM OP OQ=+u u u u r u u u r u u u r？若存在，求出点M的坐标．【答案】（1）6e=（2）不存在点M，使2OM OP OQ=+u u u u r u u u r u u u r成立．结合韦达定理得1232x x c+=，21238x x c=．代入解得矛盾，故不存在．试题解析：解：（Ⅰ）∵椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为1F，2F，过右焦点2F的直线l与椭圆C 相交于P Q，两点，1PQFV的周长为短轴长的31PQFV的周长为4a．∴依题意知43a b=，即3a b=．∴椭圆C的离心率261bea⎛⎫=-=⎪⎝⎭．（Ⅱ）设椭圆方程为222332x y c+=，直线的方程为y x c=-，代入椭圆方程得2234602x cx c-+=．设()11P x y，，()22Q x y，，则1232x x c+=，21238x x c=．设()00M x y，，则22200332x y c+=．①由2OM OP OQ=+u u u u r u u u r u u u r得0120122{2x x xy y y=+=+，，代入①得()()22222112212123433432x y x y x x y y c+++++=．因为22211332x y c +=，22222332x y c +=，所以()212123302c x x y y ++=．② 而()()1212121233x x y y x x x c x c +=+--()212124330x x c x x c =-++=．从而②式不成立．故不存在点M ，使2OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r成立．。
高考理科数学试题及答案1812
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
812月第单次周考【第八章解析几何测试三】-2018年高三数学周考、月考、段考测试卷(江苏版)含解析
测试时间： 班级： 姓名： 分数：为配合一轮复习，精选2017年全国地高考试题和模拟试题，结合江苏高考的考情和实际，进行合理的组合与精心改编，重在检测椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的基础知识和基本方法。
试题具有针对性强、覆盖性广、效度和信度高等特点.本套试卷重点考查数学思想方法和综合运用知识去分析问题解决问题的能力。
在命题时，注重考查椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的基础知识和基本方法的运用；并特别注重考查知识的交汇和数学思想方法的理解和运用等。
一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分。
1．抛物线()220x py p =->的焦点到直线2y =的距离为5，则p =__________．【答案】6【解析】由题意可得252p +=,∴6p =。
填6。
2．椭圆221mxy +=3,则它的长轴长是__________． 【答案】2或43．已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>）的一条渐近线过点()2,3,且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为__________．【答案】22143x y -=.4．已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2,若在双曲线的右支上存在一点P ,使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为__________。
【答案】(1,2]【解析】设P 点的横坐标为x∵|PF 1|=3|PF 2|，P 在双曲线的右支(x ≥a)∴根据双曲线的第二定义，可得e(x +a 2c )=3e(x −a 2c )∴ex =2a ∵x ≥a∴ex ≥ea ，即2a ≥ea ∴e ≤2 又∵e >1∴1<e ≤2，故答案为(1，2] 5．抛物线28xy =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是__________. 【答案】1【解析】抛物线28x y =的焦点()0,2,双曲线2213y x -=的渐近线y =，所求距离d 1==故答案为：16．过点（0,1）且与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有________条． 【答案】3【解析】过点()01，的斜率不存在的直线为0x =满足与24y x =只有一个公共点，当斜率存在时，设直线为1y kx =+,与24y x =联立整理得()222410k x k x +-+=当0k =时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点 当0k ≠时由0=可得k 值有一个,即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条。
高三数学一轮复习高效测评卷 第八章 解析几何 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校金新学案高三一轮总复习[B师大]数学理科高效测评卷(八)第八章解析几何—————————————————————————————————————【说明】本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷(选择题一共60分)有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1．双曲线－＝1的焦点坐标是()A．(1,0)，(－1,0) B．(0,1)，(0，－1)C．(，0)，(－，0) D．(0，)，(0，－)2．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2021·卷)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝04．方程mx2＋y2＝1所表示的所有可能的曲线是()A．椭圆、双曲线、圆B．椭圆、双曲线、抛物线C．两条直线、椭圆、圆、双曲线D．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线5．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是()A．－x＋2y－4＝0 B．x＋2y－4＝0C．－x＋2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝06．直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，那么△ECF的面积为()A. B.C．2 D.7．假设点P(2,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的间隔为，那么该双曲线的离心率为()A. B.C．2 D．28．过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是() A．x＝1 B．y＝1C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝09．a>b>0，e1，e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，那么lg e1＋lg e2的值()A．大于0且小于1 B．大于1C．小于0 D．等于010．A(－3,8)和B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最短，那么点M的坐标为()A．(－1,0) B．(1,0)C. D.11．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．假设P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，那么点P到x轴的间隔为()A. B．3C. D.12．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，假设＝，·＝48，那么抛物线的方程为() A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝16x D．y2＝4x第二卷(非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．假设抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x2－＝1的右焦点重合，那么p的值是________．14．两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P、Q两点，假设点P坐标为(1,2)，那么点Q的坐标为______．15．设M是椭圆＋＝1上的动点，A1和A2分别是椭圆的左、右顶点，那么·的最小值等于________．16．双曲线－＝1的左、右焦点为F1、F2，P是双曲线右支上一点，且PF1的中点在y轴上，那么△PF1F2的面积为________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(12分)双曲线－＝1的焦点F1(－2,0)，F2(2,0)，直线x＝与渐近线交于点P(1，m)，其中m>0.(1)求双曲线方程；(2)设点F1′，F2′分别为F1，F2关于直线y＝－x的对称点，求以F1′，F2′为焦点且过P′(3,2)点的椭圆方程．18．(12分)圆C的方程为(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2.(1)求圆心C的轨迹方程；(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(O为坐标原点)．19．(12分)圆C1的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝，椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，且C2的离心率为，假设C1、C2相交于A、B两点，且线段AB恰好为C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．20．(12分)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e.(1)假设半焦距c＝2，且、e、成等比数列，求椭圆C的方程；(2)在(1)的条件下，直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于M、N两点，P是直线l与椭圆C的一个交点，且M＝λ，求λ的值；(3)假设不考虑(1)，在(2)中，求证：λ＝1－e2.【解析方法代码108001121】21．(12分)设椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且·＝0，坐标原点O到直线AF1的间隔为|OF1|.(1)求椭圆C的方程；(2)设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(－1,0)，交y轴于点M，假设M＝2，求直线l 的方程．22．(14分)椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2，离心率e＝，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；(3)假设以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．答案卷(八)一、选择题1．C c2＝a2＋b2＝2＋1，∴c＝.∴焦点为(，0)，(－，0)，选C.2．C当a＝1时，直线x＋y＝0与直线x－y＝0垂直成立；当直线x＋y＝0与直线x－ay＝0垂直时，a＝1.所以“a＝1〞是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直〞的充要条件．3．D抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r＝＝1，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，应选D.4．C当m＝1时，方程为x2＋y2＝1，表示圆；当m<0时，方程为y2－(－m)x2＝1，表示双曲线；当m>0且m≠1时，方程表示椭圆；当m＝0时，方程表示两条直线．5．D由题意知所求直线与直线2x－y－2＝0垂直．又2x－y－2＝0与y轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y＋2＝－(x－0)，即x＋2y＋4＝0.6．C圆心(2，－3)到EF的间隔d＝＝.又|EF|＝2＝4，∴S△ECF＝×4×＝2.7．A由于双曲线渐近线方程为bx±ay＝0，故点P到直线的间隔d＝＝⇒a＝b，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e＝＝.8．D由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时，l应与圆心与M点的连线垂直，设圆心为O，那么O(2,0)，∴k OM＝＝－2.∴直线l的斜率k＝，∴l的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.9．C由题意，得e1＝，e2＝(a>b>0)，∴e1e2＝＝<1，∴lg e1＋lg e2＝lg(e1e2)＝lg<0.10．B点B(2,2)关于x轴的对称点为B′(2，－2)，连接AB′，易求得直线AB′的方程为2x＋y－2＝0，它与x轴交点M(1,0)即为所求．11．D设椭圆短轴的一个端点为M.由于a＝4，b＝3，∴c＝<b.∴∠F1MF2<90°，∴只能∠PF1F2＝90°或者∠PF2F1＝90°.令x＝±得y2＝9＝，∴|y|＝.即P到x轴的间隔为.12．B由＝及||＝||知在Rt△ACB中，∠CBF＝30°，|DF|＝＋＝p，∴AC＝2p，BC＝2p，·＝4p·2p·cos30°＝48，∴p＝2.抛物线方程为y2＝4x.二、填空题13．解析：双曲线x2－＝1的右焦点为(2,0)，由题意，＝2，∴p＝4.答案：414．解析：∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)，∴两圆连心线的方程为y＝－x.∵两圆的连心线垂直平分公一共弦，∴P(1,2)，Q关于直线y＝－x对称，∴Q(－2，－1)．答案：(－2，－1)15．解析：设M(x0，y0)，那么＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)⇒·＝x02＋y02－4＝x02＋－4＝x02－1，显然当x0＝0时，·取最小值为－1.答案：－116．解析：如图，设PF1的中点为M，那么MO∥PF2，故∠PF2F1＝90°.∵a＝4，b＝3，c＝5，∴|F1F2|＝10，|PF1|＝8＋|PF2|.由|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2得(8＋|PF2|)2＝|PF2|2＋100，∴|PF2|＝，S△PF1F2＝·|F1F2|·|PF2|＝.答案：三、解答题17．解析：(1)∵＝1，c＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.∴双曲线方程为－＝1.(2)由题意，得F1′(0,2)，F2′(0，－2)，又P′(3,2)．所以椭圆长轴长2a′＝＋＝8，∴a′＝4.∴b′2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.18．解析：(1)设C(x，y)，那么消去m，得y＝4－x，∴圆心C的轨迹方程为x＋y－4＝0.(2)当|OC|最小时，OC与直线x＋y－4＝0垂直，∴直线OC的方程为x－y＝0.由得x＝y＝2.即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m＝2.圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.其一般方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.19．解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)．A、B在椭圆上，∴b2x12＋a2y12＝a2b2，b2x22＋a2y22＝a2b2.∴b2(x2＋x1)(x2－x1)＋a2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.又线段AB的中点是圆的圆心(2,1)，∴x2＋x1＝4，y2＋y1＝2，∴k AB＝－＝－，椭圆的离心率为，∴＝1－e2＝，k AB＝－＝－1，直线AB的方程为y－1＝－1(x－2)，即x＋y－3＝0.由(x－2)2＋(y－1)2＝和x＋y－3＝0得A.代入椭圆方程得：a2＝16，b2＝8，∴椭圆方程为：＋＝1.20．解析：(1)∵e2＝×，∴e＝，∴a＝3，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设P(x，y)，那么，解得P.∵M，N(0,3)，M＝λ，∴λ＝.(3)证明：∵M、N的坐标分别为M，N(0，a)，由，解得(其中c＝)，∴P.由M＝λ得＝λ，∴，∴21．解析：(1)由题设知F1(－，0)，F2(，0)，由于·＝0，那么有⊥，所以点A的坐标为，故AF1所在直线方程为y＝±，所以坐标原点O到直线AF1的间隔为(a>)，又|OF1|＝，所以＝，解得a＝2(a>)，所求椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，那么有M(0，k)，设Q(x1，y1)，由于M＝2，∴(x1，y1－k)＝2(－1－x1，－y1)，解得x1＝－，y1＝.又Q在椭圆C上，得＋＝1，解得k＝±4，故直线l的方程为y＝4(x＋1)或者y＝－4(x＋1)，即4x－y＋4＝0或者4x＋y＋4＝0.22．解析：(1)由，椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)．∵长轴长为2，离心率e＝，∴b＝c＝1，a＝.所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)因为直线l过椭圆右焦点F(1,0)，且斜率为1，所以直线l的方程为y＝x－1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得3y2＋2y－1＝0，解得y1＝－1，y2＝.∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝.(3)当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝1，此时∠POQ小于90°，以OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．由可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.∴x1＋x2＝，x1x2＝.∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，∴y1y2＝.因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形⇔O·O＝0，由O·O＝x1x2＋y1y2＝＋＝0得k2＝2，∴k＝±.∴所求直线的方程为y＝±(x－1)．。
高考数学一轮复习 第8单元 解析几何测评 理
第八单元解析几何小题必刷卷(十一)直线与圆题组一真题集训1.[2015·北京卷]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=22.[2015·广东卷]平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=03.[2013·山东卷]过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=04.[2016·全国卷Ⅱ]圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.25.[2015·山东卷]一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-6.[2015·全国卷Ⅱ]过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2B.8C.4D.107.[2013·全国卷Ⅱ]已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是 ()A.(0,1)B.C.D.8.[2016·上海卷]已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2的距离是.9.[2016·天津卷]已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.10.[2016·全国卷Ⅲ]已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l 的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|= .11.[2014·全国卷Ⅱ]设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.12.[2017·天津卷]设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.题组二模拟强化13.[2017·柳州模拟]已知直线2x-y-3=0的倾斜角为θ,则sin 2θ的值是()A. B.C. D.14.[2017·泉州模拟]直线l1:ax+y-a+1=0,直线l2:4x+ay-2=0,则“a=±2”是“l1∥l2”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件15.[2017·北京石景山区一模]以点(-1,1)为圆心且与直线x-y=0相切的圆的方程是()A.+=2B.+=4C.+=2D.+=416.[2017·江西八校联考]已知点P(a,b)及圆O:x2+y2=r2,则“点P在圆O内”是“直线l: ax+by=r2与圆O相离”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.[2017·韶关二模]过直线l:y=x+1上的点P作圆C:(x-1)2+(y-6)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于直线y=x+1对称时,=()A.3B.2C.1+D.218.[2017·兰州模拟]若直线l:ax+by+1=0(a>0,b>0)把圆C:(x+4)2+(y+1)2=16分成面积相等的两部分,则当ab取得最大值时,坐标原点到直线l的距离是 ()A.4B.8C.2D.19.[2017·重庆调研]设直线x-y-a=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB 为等边三角形,则实数a的值为 ()A.±B.±C.±3D.±920.[2017·海口调研]已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为()A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=121.[2017·黄山二模]已知圆C:x2+y2=1,点P为直线+=1上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点()A.B.C.D.22.[2017·惠州二模]已知两点A(2,0),B(0,2),则以线段AB为直径的圆的方程为.23.[2017·南京二模]在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为.24.[2017·宁夏中卫二模]已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有=,则当取得最小值时点P的坐标为.小题必刷卷(十二)圆锥曲线题组一真题集训1.[2017·浙江卷]椭圆+=1的离心率是()A.B.C. D.2.[2016·全国卷Ⅰ]已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)3.[2017·天津卷]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=14.[2014·全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3 C.m D.3m5.[2017·全国卷Ⅲ]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.[2016·全国卷Ⅰ]直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.7.[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点,已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为 ()A.2B.4C.6D.88.[2017·全国卷Ⅲ]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ()A.B.C.D.9.[2014·全国卷Ⅱ]设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B 两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.B.C.D.10.[2017·全国卷Ⅱ]若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.C.D.11.[2017·全国卷Ⅱ]过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.312.[2015·全国卷Ⅰ]已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.13.[2017·全国卷Ⅱ]已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .题组二模拟强化14.[2017·天津南开区模拟]已知椭圆+=1的长轴在x轴上,若焦距为4,则m等于()A.4B.5C.7D.815.[2017·保定二模]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.216.[2017·德州二模]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A,B(A在B上方)两点,O为坐标原点,若S△AOB=2,则双曲线的离心率e=()A. B.C.2 D.17.[2018·荆州中学月考]已知抛物线y2=2px(p>0),点C(-4,0),经过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若△CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x18.[2017·贵阳二诊]已知椭圆E:+=1(a>b>0)与两条平行直线l1:y=x+b,l2:y=x-b分别相交于四点A,B,D,C,且四边形ABCD的面积为,则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.19.[2017·长沙三模]已知双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,=2c.若双曲线M的右支上存在点P,使=,则双曲线M的离心率的取值范围为()A.B.C.D.20.[2017·遂宁三诊]已知直线l过椭圆C:+y2=1的左焦点F且交椭圆C于A,B两点,O 为坐标原点,若OA⊥OB,则点O到直线AB的距离为()A.B.2 C.D.21.[2017·宁夏固原一中月考]在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则以A,B为焦点,且过点C 的椭圆的离心率为.22.[2017·珠海摸底]已知双曲线C的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,若=2,则cos∠AF2F1= .23.[2017·泉州质检]椭圆C:+y2=1(a>0)的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,过F1的直线l与C交于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为.24.[2017·云南二检]已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a>0,b>0)相交于A,B(A在B的上方)两点,双曲线的一条渐近线方程是y=x,点F是抛物线的焦点,且△FAB是等边三角形,则双曲线的标准方程是.解答必刷卷(五)解析几何题组一真题集训1.[2017·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1,证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.[2016·全国卷Ⅱ]已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.3.[2013·全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程.(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.题组二模拟强化4.[2018·山西孝义一模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点A1,,C的四个顶点构成的四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程.(2)在椭圆C上是否存在相异两点E,F,使其满足:①直线AE与直线AF的斜率互为相反数;②线段EF的中点在y轴上?若存在,求出∠EAF的角平分线与椭圆相交所得弦的弦长;若不存在,请说明理由.5.[2017·赣州二模]如图J5-1,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,顶点为A1,A2,B1,B2,且·=3.(1)求椭圆C的方程.(2)P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线B2P交x轴于点Q,直线A1B2交A2P于点E.设A2P 的斜率为k,EQ的斜率为m,则2m-k是否为定值?并说明理由.图J5-16.[2017·益阳调研]已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线C于点P1,P2和点P3,P4,线段P1P2,P3P4的中点分别为M1,M2.(1)求线段P1P2的中点M1的轨迹方程.(2)求△FM1M2面积的最小值.(3)过M1,M2的直线l是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.小题必刷卷(十一)1.D[解析] 根据题意知圆的半径r==,所以以(1,1)为圆心且过原点的圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.2.A[解析] 设所求直线方程为2x+y+m=0,则圆心到该直线的距离为=,∴|m|=5,即m=±5.3.A[解析] 方法一:设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y-1=k,由题意得=1,解之得k=0或,即切线方程为y=1或4x-3y-9=0.联立得一切点为,又∵k PC==,∴k AB=-=-2,即弦AB所在直线方程为y-1=-2,整理得2x+y-3=0.方法二:设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为+y=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0,联立两式相减得2x+y-3=0.4.A[解析] 由题意可知,圆心为(1,4),所以圆心到直线的距离d==1,解得a=-.5.D[解析] 设反射光线所在直线的斜率为k,反射光线过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),∴反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2).又∵其与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴=1,解得k=-或k=-.6.C[解析] 方法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以=2=4.方法二:因为k AB=-,k BC=3,所以k AB k BC=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC为直角三角形,所以△ABC 的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r==5,所以=2=4.方法三:由·=0得AB⊥BC,下同方法二.7.B[解析] 方法一:易得△ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时,易得b=1-;当a=时,易得b=;当a=1时,易得b=-1>.故选B.方法二:(直接法)⇒y=,y=ax+b与x轴交于,结合图形与a>0,××=⇒(a+b)2=a(a+1)>0⇒a=.∵a>0,∴>0⇒b<,当a=0时,极限位置易得b=1-,故答案为B.8.[解析] 由两平行线间的距离公式得d==.9.(x-2)2+y2=9[解析] 设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得=,解得a=2(a=-2舍去),所以圆的半径r==3,所以圆的方程为(x-2)2+y2=9.10.4[解析] 联立消去x得y2-3y+6=0,解之得或不妨设A(-3,),则过点A且与直线l垂直的直线方程为x+y+2=0,令y=0得x C=-2.同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标x D=2,∴|CD|=4.11.[-1,1][解析] 在△OMN中,|OM|=≥1=|ON|,所以设∠ONM=α,则45°≤α<135°.根据正弦定理得=,所以=sin α∈[1,],所以0≤≤1,即-1≤x0≤1,故符合条件的x0的取值范围为[-1,1].12.(x+1)2+(y-)2=1[解析] 由题意知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,如图所示.设圆的圆心坐标为(-1,y0),易知圆的半径为1.因为∠FAC=120°,∠CAO=90°,所以∠FAO=120°-90°=30°,故y0=,则圆心坐标为(-1,),故圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.13.C[解析] 易知tan θ=2,则sin 2θ==,故选C.14.C[解析] 易知a≠0,则=≠,解得a=-2,则“a=±2”是“l1∥l2”的必要不充分条件,故选C.15.A[解析] 由点到直线的距离公式可得圆的半径r==,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=2,故选A.16.C[解析] 点P(a,b)在圆O: x2+y2=r2内⇔a2+b2<r2⇔d=>r,故选C.17.B[解析] 由题设可知当CP⊥l时,两条切线l1,l2关于直线l:y=x+1对称,此时为点C(1,6)到直线l:y=x+1的距离,即|CP|===2.故选B.18.D[解析] 依题意可知,直线l过圆心(-4,-1),所以1=4a+b≥4,即ab≤,当且仅当b=4a=时等号成立,故当ab取得最大值时,原点到直线l的距离为=.19.B[解析] 由题意知,圆心坐标为(0,0),半径为2,则△AOB的边长为2,所以△AOB的高为,即圆心到直线x-y-a=0的距离为,所以=,解得a=±,故选B.20.C[解析] 到两平行直线3x-4y=0与3x-4y+10=0的距离相等的直线的方程为3x-4y+5=0,联立解得所以圆心为M(-3,-1),半径为=1,从而圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1,故选C.21.B[解析] 设P(4-2m,m),∵PA,PB是圆C的切线,∴CA⊥PA,CB⊥PB,∴AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦.易得以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+y-2=(2-m)2+.又x2+y2=1,∴直线AB的方程为2(2-m)x+my=1.由于,满足上式,∴直线AB过定点,,故选B.22.(x-1)2+(y-1)2=2[解析] ∵直径的两端点为B(0,2),A(2,0),∴圆心为(1,1),半径为,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.23.3[解析] 由题意得,直线l1:kx-y+2=0经过点A(0,2),直线l2:x+ky-2=0经过点B(2,0),且直线l1⊥l2,所以点P落在以AB为直径的圆C上.易知圆心为C(1,1),半径r=,则圆心到直线x-y-4=0的距离d==2,所以点P到直线x-y-4=0的最大距离为d+r=2+=3.24.[解析] 圆C:(x+1)2+(y-2)2=2的圆心为C(-1,2),半径r=.因为=,所以+r2=,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使最小,只要最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0,即直线PO的方程为2x+y=0时,最小,此时P点为两直线的交点,得P点坐标为-,.小题必刷卷(十二)1.B[解析] 由题意知,a=3,b=2,则c==,所以椭圆+=1的离心率e==.因此选B.2.A[解析] 若已知方程表示双曲线,则(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2.又4=4m2,所以m2=1,所以-1<n<3.3.B[解析] 由离心率为知该双曲线为等轴双曲线,渐近线方程为y=±x.又∵过F和P(0,4)的直线与双曲线的渐近线平行,∴c=4,a=b=2.故选B.4.A[解析] 双曲线的一条渐近线的方程为x+y=0.根据双曲线方程得a2=3m,b2=3,所以c=,双曲线的右焦点坐标为(,0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为=.5.B[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴=①.又∵椭圆+=1与双曲线有公共焦点,∴c=3,则a2+b2=c2=9②.由①②解得a=2,b=,故双曲线C的方程为-=1.6.B[解析] 不妨设直线l经过椭圆的焦点F(c,0)和顶点(0,b),则直线l的方程为+=1,椭圆中心到直线l的距离为=×2b.又a2=b2+c2,所以离心率e==.7.B[解析] 设抛物线方程为y2=2px(p>0),点A在第一象限,点D在第二象限.根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为2,代入抛物线方程得x=,即点A,2.易知点D-,,由于点A,D都在以坐标原点为圆心的圆上,所以+8=+5,解得p=4,此即为抛物线的焦点到准线的距离.8.A[解析] ∵以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴圆心到此直线的距离d等于圆的半径,即d==a.又a>b>0,则上式可化简为a2=3b2.∵b2=a2-c2,∴a2=3(a2-c2),即=,∴e==.9.D[解析] 抛物线的焦点为F,则过点F且倾斜角为30°的直线方程为y=,即x=y+,代入抛物线方程得y2-3 y-=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3 ,y1y2=-,则S△OAB=|OF||y1-y2|=××=.10.A[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心到该直线的距离d==.根据已知得12+=4,即=3,所以b2=c2,所以e====2.11.C[解析] 由抛物线的方程y2=4x得焦点F(1,0),准线l:x=-1,故直线MF的方程为y=(x-1).由得M(3,2),又MN⊥l,所以N(-1,2),所以直线NF的方程为x+y-=0,所以M到直线NF的距离d==2.12.A[解析] 由题意不妨取F1(-,0),F2(,0),所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以·=+-3<0.又点M在曲线C上,所以有-=1,即=2+2,代入上式得<,所以-<y0<,故选A.13.6[解析] 设N(0,t),易知抛物线的焦点F(2,0),则FN的中点坐标为,因为该点在抛物线上,所以=8,所以t2=32,所以|FN|===6.14.A[解析] ∵椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,∴10-m-m+2=4,解得m=4,满足题意.故选A.15.B[解析] 由渐近线方程可知=,所以e==,故选B.16.D[解析] 易知准线方程是x=-1,渐近线方程是y=±x,当x=-1时,y=±,即A-1,,B-1,-,所以S△AOB=××1=2,即=2,所以e===,故选D.17.D[解析] 不妨设A点位于第一象限,B点位于第四象限,则A,p,B,-p,设焦点为F,则S△ABC=×|CF|×|AB|=×+4×2p=24,解得p=4或p=-12(舍去),则直线AB的方程为x=2,所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程是y2=-8x.18.A[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=x+b与椭圆方程,可得(a2+b2)x2+2a2bx=0,则|x1-x2|=,=×|x1-x2|=,两平行线之间的距离d==b,所以四边形ABCD的面积S=×b==,结合e=,a2=b2+c2可得e=,故选A.19.A[解析] 由正弦定理可知==,则|PF2|=|PF1|,因为|PF1|-|PF2|=2a,所以1-|PF1|=2a,解得|PF1|=,而|PF1|>a+c,即>a+c,整理得3e2-4e-1<0,解得<e<.又e>1,所以1<e<,故选A.20.A[解析] 易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的斜率为k,由于c==1,所以F(-1,0),所以直线l:y=k(x+1),代入x2+2y2-2=0,化简可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2-++1=-.由OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,即-=0,解得=,由点到直线的距离公式可得点O到直线AB的距离d===,故选A.21.-1[解析] 不妨设|BC|=1,∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴|AC|=,|AB|=2.∵椭圆以A,B为焦点,且经过C点,∴2a=|CA|+|CB|,2c=|AB|,∴a=,c=1,∴椭圆的离心率e===-1.22.[解析] 由双曲线的定义,得|F1A|-|F2A|=|F2A|=2a,则|F1A|=4a,因为双曲线的离心率为,所以|F1F2|=2c=5a,在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠AF2F1==.23.7[解析] 因为离心率为,所以=,得a=2.由椭圆的定义得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,即|AF2|+|BF2|=8-|AB|,而由焦点弦的性质知,当AB⊥x轴时,|AB|取得最小值2×=1,因此|AF2|+|BF2|的最大值为8-1=7.24.x2-=1[解析] 准线方程为x=-,设A(-,m),B(-,-m),m>0,焦点到准线的距离是2,因为△FAB是等边三角形,所以2m×=2,所以m=2,即A(-,2),那么解得所以双曲线的标准方程是x2-=1.解答必刷卷(五)1.解:(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1,因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0,所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.解:(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,椭圆E的方程为+=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为,因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0,解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(2)由题意知t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+|=.由题设知,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.t>3等价于=<0,即<0,由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).3.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则+=1,+=1.=-1.由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为+=1.(2)由解得或因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n-<n<,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0,于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.4.解:(1)由已知得解得∴椭圆C的方程为+=1.(2)易知直线AE,AF的斜率存在且不为0,设直线AE的方程为y-=k(x-1),与+=1联立,得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0.(*)设E(x1,y1),F(x2,y2),∵x=1是方程(*)的根,∴x1=,用-k代替上式中的k,可得x2=,∵线段EF的中点在y轴上,∴x1+x2=0,∴+=0,解得k=±,因此满足条件的点E,F存在.由平面几何知识可知∠EAF的角平分线所在直线的方程为x=1,∴所求弦长为3.5.解:(1)因为e=,所以=,由题意及图可得A1(-a,0),B1(0,-b),B2(0,b),所以=(a,-b),=(a,b),又·=3,所以a2-b2=3,所以c=,所以a=2,b==1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意可知A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-1),B2(0,1).因为A2P的斜率为k,由题意知k≠±,所以直线A2P的方程为y=k(x-2),k≠±,联立得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0,其中=2,所以x P=,所以P,,则直线B2P的方程为y=x+1=-x+1k≠±.令y=0,则x=,即Q,0.直线A1B2的方程为x-2y+2=0,由解得所以E,,所以EQ的斜率m==,所以2m-k=2·-k=,为定值.6.解:(1)由题设条件得焦点F(1,0),设直线P1P2的方程为y=k(x-1),k≠0.联立得k2x2-2(2+k2)x+k2=0,则Δ=[-2(2+k2)]2-4k2·k2=16(1+k2)>0.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则=(x1+x2)=1+>1,=k(-1)=,∴= 1 +,∴线段P1P2的中点M1的轨迹方程为y2=2(x-1)(x>1).(2)由(1)知同理,设M2(,),则∴|FM1|==,|FM2|==2|k|,因此=|FM1|·|FM2|=2+|k|≥4,当且仅当=|k|,即k=±1时,取得最小值4.(3)当k≠±1时,由(2)知直线l的斜率为k'=,∴直线l的方程为y+2k=(x-2k2-1),即yk2+(x-3)k-y=0,(*)当x=3,y=0时,方程(*)对任意k(k≠±1)均成立,即直线l过定点(3,0).当k=±1时,直线l的方程为x=3,也过定点(3,0).综上可知,直线l恒过定点(3,0).。
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第八单元 第三次综合测试一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.sin 2016o 的值属于区间A.1(,0)2- B.1(1,)2-- C.1(,1)2 D.1(0,)22.在四边形ABCD 中,AB DC λ=u u u r u u u r ,设,AB a AD b ==u u u r u u u r rr ,则AC uuu r 等于A.a b λ+r rB.a b λ+r rC.1a b λ+r rD.1a b λ+rr3.已知角α的终边经过点(,3)P m -且4cos 5α=-,则实数m 的值是 A.114-B. 114 C.4- D. 44.已知向量2(3,34)a x x x =+--r ,若a AB =u u u r r ,其中,A B 点坐标分别是(1,2),(3,2),则实数x 等于 A.2 B.1 C.0 D.1- 5.sin 47sin17cos30cos17-o o o o的值是A.3B.12C.22D.12-6.设向量,a b r r 满足3||2,,||222a ab a b =⋅=+=r rr r r ,则||b r 等于A.12B.1C.32D.27.已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线53x π=对称,则实数a 的值是A.3-B.3-C.3D.38.若函数2cos (2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位,得到的图象对应的函数是A.值域为[0,2]的奇函数B.值域为[0,1]的奇函数C.值域为[0,2]的偶函数D.值域为[0,1]的偶函数9.函数sin ,(,0)(0,)xy x xππ=∈-U 的图象大致是A.B. C. D.10.已知平面向量,a b r r 满足||1,||3,|2|7a b a b ==+=r rr r ,则向量a r 与向量a b +r r 的夹角为A.2π B.3π C.6π D.π11.已知函数()sin()(0,0)62f x A x A ππϕϕ=+><<的部分图象如图所示,,P Q 分别为该图象上的最高点和最低点,点P 的坐标为(2,)A ,点R 的坐标为(2,0),若23PRQ π∠=,则函数()y f x =的最大值及ϕ的值分别为 A.23,6πB.23,3πC.3,6πD.3,3π12.已知,OA OB u u u r u u u r分别为x 轴,y 轴的非负半轴上的单位向量,点C 在x 轴上且在点A 的右侧,,D E 分别为ABC ∆的边,AB BC 上的点,若OE uuu r 与OA OB +u u u r u u u r 共线,DE u u u r 与OA u u ur 共线,则OD BC ⋅u u u r u u u r的值为A.1-B.0C.1D.2二、填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置. 13.函数()tan()4f x x π=-的单调递减区间为 14.已知向量,a b r r 满足||5,||3,12a b a b ==⋅=-r rr r ,则向量a r 在向量b r 上的投影等于15.已知定义在R 上的函数()f x 是周期为3的奇函数,当3(0,)2x ∈时,()sin f x x π=,则函数()f x 在区间[0,5]上的零点的个数为16.若等边ABC ∆的边长为23,平面内一点M 满足1263CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ,则MA MB ⋅=u u u r u u u r三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分)已知关于x 的方程22(31)0x x m -++=的两根分别为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈(Ⅰ)求2sin cos sin cos 1tan θθθθθ+--的值;(Ⅱ)求实数m 及θ的值.18(本小题满分12分)已知向量(2,5),(3,1),(6,3)OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ,则在线段OC 上是否存在点M ,使得MA MB ⊥u u u r u u u r?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.19(本小题满分12分)已知函数()sin()1(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=++>><<的周期为,()314f ππ=+且()f x 的最大值为3.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)求函数()f x 的对称中心及对称轴方程. 20(本小题满分12分) 已知120,tan,cos().22210πααβπβα<<<<=-= (Ⅰ)求sin α的值;(Ⅱ)求β的值.21(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A A m n ==rr ,且满足||3m n +=r r. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若sin sin 3sin B C A +=,判断ABC ∆的形状. 22(本小题满分12分)已知函数()sin(2)f x A x θ=+,其中0,(0,)2A πθ≠∈.(Ⅰ)若函数()f x 的图象过点(,1),(,3)126E F ππ-,求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)如图,点,M N 是函数()y f x =的图象在y 轴两侧与x 轴的两个相邻交点,函数图象上一点3(,)8P t π满足316PM MN π⋅=u u u u r u u u u r ,求函数()f x 的最大值.。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第八单元 第三次综合测试一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.sin 2016的值属于区间A.1(,0)2-B.1(1,)2--C.1(,1)2D.1(0,)22.在四边形ABCD 中,AB DC λ=,设,AB a AD b ==,则AC 等于 A.a b λ+ B.a b λ+ C.1a b λ+ D.1a b λ+3.已知角α的终边经过点(,3)P m -且4cos 5α=-,则实数m 的值是 A.114-B. 114C.4-D. 44.已知向量2(3,34)a x x x =+--,若a AB =,其中,A B 点坐标分别是(1,2),(3,2),则实数x 等于 A.2 B.1 C.0 D.1- 5.sin 47sin17cos30cos17-的值是A.32B.12C.22D.12-6.设向量,a b 满足3||2,,||222a ab a b =⋅=+=,则||b 等于A.12B.1C.32D.27.已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线53x π=对称,则实数a 的值是A.3-B.33-C.3D.338.若函数2cos (2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位,得到的图象对应的函数是A.值域为[0,2]的奇函数B.值域为[0,1]的奇函数C.值域为[0,2]的偶函数D.值域为[0,1]的偶函数9.函数sin ,(,0)(0,)xy x xππ=∈-的图象大致是A. B. C. D. 10.已知平面向量,a b 满足||1,||3,|2|7a b a b ==+=,则向量a 与向量a b +的夹角为A.2π B.3π C.6πD.π11.已知函数()sin()(0,0)62f x A x A ππϕϕ=+><<的部分图象如图所示,,P Q 分别为该图象上的最高点和最低点,点P 的坐标为(2,)A ,点R 的坐标为(2,0),若23PRQ π∠=,则函数()y f x =的最大值及ϕ的值分别为 A.23,6πB.23,3πC.3,6πD.3,3π12.已知,OA OB 分别为x 轴,y 轴的非负半轴上的单位向量,点C 在x 轴上且在点A 的右侧,,D E 分别为ABC ∆的边,AB BC 上的点,若OE 与OA OB +共线,DE 与OA 共线,则OD BC ⋅的值为A.1-B.0C.1D.2二、填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置. 13.函数()tan()4f x x π=-的单调递减区间为14.已知向量,a b 满足||5,||3,12a b a b ==⋅=-,则向量a 在向量b 上的投影等于 15.已知定义在R 上的函数()f x 是周期为3的奇函数,当3(0,)2x ∈时,()sin f x x π=,则函数()f x 在区间[0,5]上的零点的个数为16.若等边ABC ∆的边长为23,平面内一点M 满足1263CM CB CA =+,则MA MB ⋅= 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分)已知关于x 的方程22(31)0x x m -++=的两根分别为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈(Ⅰ)求2sin cos sin cos 1tan θθθθθ+--的值;(Ⅱ)求实数m 及θ的值.18(本小题满分12分)已知向量(2,5),(3,1),(6,3)OA OB OC ===,则在线段OC 上是否存在点M ,使得MA MB ⊥?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.19(本小题满分12分)已知函数()sin()1(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=++>><<的周期为,()314f ππ=+且()f x 的最大值为3.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)求函数()f x 的对称中心及对称轴方程.20(本小题满分12分) 已知120,tan,cos().22210πααβπβα<<<<=-= (Ⅰ)求sin α的值;(Ⅱ)求β的值.21(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A A m n ==,且满足||3m n +=. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若sin sin 3sin B C A +=,判断ABC ∆的形状.22(本小题满分12分)已知函数()sin(2)f x A x θ=+,其中0,(0,)2A πθ≠∈.(Ⅰ)若函数()f x 的图象过点(,1),(,3)126E F ππ-,求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)如图,点,M N 是函数()y f x =的图象在y 轴两侧与x 轴的两个相邻交点,函数图象上一点3(,)8P t π满足316PM MN π⋅=,求函数()f x 的最大值.。
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12月第三周 解析几何测试三测试时间：120分钟 班级： 姓名： 分数：试题特点：本套试卷重点考查直线方程与圆的方程的求法、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、椭圆、双曲线及抛物线的简单的几何性质的应用、直线与圆锥曲线的位置关系等．在命题时，注重考查基础知识如第1-8，13-15及17-20题等；整套试卷注重数形结合能力和运算能力以及转化与化归能力的考查．讲评建议：评讲试卷时应注重圆锥曲线定义的应用、椭圆双曲线及抛物线简单几何性质的运用、整体思想及常用解题方法的总结；关注运算能力的培养；加强直线、圆及圆锥曲线的位置关系综合题的求解能力的培养．试卷中第5，10，16，17，19，21，22各题易错，评讲时应重视．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线2310x y +-=与直线4110x my ++=平行，则m 的值为（ ） A ．83 B ．83- C ．6- D ．6 【答案】D 【解析】由题设可得411321m =≠-，则6m =，应选答案D ． 2．抛物线264y x =的准线方程为（ ）A ．8x =B ．8x =-C ．16x =-D ．16x = 【答案】C【解析】根据抛物线22y px =的准线方程为2p x =-可知264y x =的准线方程为16x =-．故选择C ． 3．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】设椭圆的方程为 ，直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为 ，椭圆中心到l 的距离为其短轴长的 ，可得，，故选B ．4．离心率为，且过点的椭圆的标准方程是( )A ．B ．或C ． D．或【答案】D5．已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点()1,0P ，直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则22PA PB +的值为( ) A ．32149 B ．32449 C ．32749 D ．33049【答案】B【解析】 设点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点()1,0F ，此时直线1y x =-经过点F ， 可得11122PA a ex x =+=+， 22122PB a ex x =+=+， 所以()()222221112121211122822224PA PB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++++- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭联立方程组221{ 143y x x y =-+= ，得27880x x --=，所以121288,77x x x x +==-， 代入上式可得()()2221212121324822449PA PB x x x x x x ⎡⎤+=++++-=⎣⎦，故选B ． 点睛：本题考查至直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆标准方程及其简单的几何性质，椭圆的定义等知识点的综合考查，解答中合理转化为直线与圆锥曲线联立，根据根与系数的关系，利用韦达定理是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． 6．直线，且不同为经过定点（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A7．已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线223230x y x y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]1,2 【答案】B【解析】把圆的方程2223230x y x y +--+=化为(()22311x y +-=，以AB 为直径的圆的方程为222x y a +=，若曲线223230x y x y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则两圆有交点，所以121a a -≤≤+，解得13a ≤≤ ，选B ． 8．下列说法正确的是（ ）A ．若命题p ： 0x R ∃∈， 20010x x -+<，则p ⌝： x R ∀∉， 210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ24yx =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位 C ．命题“若圆C ： ()()2211x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题 D ．已知随机变量()2~2,X N σ，若()0.32P X a <=，则(4)0.68P X a >-= 【答案】C【解析】命题2000",10"x R x x ∃∈-+<的否定是2000",10"x R x x ∀∈-+≥，A 错误；相关变量(),x y 满足回归方程ˆ24yx =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均减少4个单位，B 错误； 若圆()()2211x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则1{11m m ≤-≤，解得01m ≤≤，C 正确；随机变量()22,X N σ~，若()0.32P X a <=，则(4)0.32P X a >-=，D 错误．故选C ．9．已知椭圆（）的右顶点和上顶点分别为、，左焦点为．以原点为圆心的圆与直线相切，且该圆与轴的正半轴交于点，过点的直线交椭圆于、两点．若四边形是平行四边形，则该椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A解得： ．故选A ．10．已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q 两点，且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点，则MFN S ∆=（ ）A ．83 B 83 C ．163D 163【答案】B【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12121211222MFN S p y y y y y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯-=-，直线方程是)31y x =- 与抛物线方程联立， 2314y y ⎫=-⎪⎭，整理为： 23430y --= ，121243y y y y +==-，所以()2121212164163y y y y y y -=+-=+=833，故选B ． 11．已知抛物线2:4C y x =的交点为F ，直线1y x =-与C 相交于,A B 两点，与双曲线2222:2x y E a b-=(0,0)a b >>的渐近线相交于,M N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，则双曲线E 离心率为（ ）A ．63 B ．2 C ．153D ．3 【答案】C 【解析】故选C ．考点：直线与圆锥曲线的位置关系．12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点是(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c +=在y 轴右侧交于点P ，若P 在抛物线2=2y px 上，则2e =（ ）A ．5B ．5+12C ．51-D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：设抛物线y 2=4cx 的准线为l ，作PQ ⊥l 于Q ，设双曲线的右焦点为F′，P （x ，y ），利用抛物线的定义、双曲线的渐近线以及直线平行的性质、圆的性质：直径所对的圆周角为直角即可得出所求值． 解：如图，设抛物线y 2=4cx 的准线为l ，作PQ ⊥l 于Q ，设双曲线的右焦点为F′，P （x ，y ）．由题意可知FF′为圆x 2+y 2=c 2的直径，∴PF′⊥PF ，且tan ∠PFF′=，|FF′|=2c，满足，将①代入②得x 2+2cx ﹣c 2=0，则x=﹣c±c ，即x=（﹣1）c ，（负值舍去），代入③，即y=，再将y 代入①得，=2（﹣1）c 2，即为b 2=c 2﹣a 2=（﹣1）a 2，由e=，可得e 2=．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分） 13．已知点，直线，则点到直线的距离为__________，点关于直线对称点的坐标为__________． 【答案】利用对称的性质得：，解得：x =5，y =−2，∴点P 到直线l 的距离为，点M 的坐标为(5，−2)．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】2y x =【解析】22213,2b be a a=+=∴=2y x =15．已知点(),p x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为__________． 【答案】2 【解析】考点：1、直线的方程及圆的方程；2、切线的性质及根据几何性质求最值．【方法点晴】本题主要考查直线的方程及圆的方程、切线的性质及根据几何性质求最值，属于难题．解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用平面几何的有关结论求得四边形面积的最值后解出k 值的．16．已知椭圆22:14x C y +=，过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N （M 在,D N 之间），有以下四个结论：①若''2x x y y⎧=⎨=⎩，椭圆C 变成曲线E ，则曲线E 的面积为4π；②若A 是椭圆C 的右顶点，且MAN ∠的角平分线是x 轴，则直线l 的斜率为2-； ③若以MN 为直径的圆过原点O ，则直线l 的斜率为25±； ④若DN DM λ=，则λ的取值范围是513λ<≤． 其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【解析】试题分析：①根据点的坐标变换，代入椭圆方程12422=⎪⎭⎫⎝⎛'+'y x ，得到422='+'y x ，为圆的方程，半径为2，那么面积就是π4=S ，正确，②根据椭圆关于x 轴对称，若角平分线是x 轴，那么N M ,关于x 轴对称，直线斜率不存在，显然错误；③设直线方程4+=kx y ，与椭圆方程联立，得到()()06032414442222=+++⇔=++kx x k kx x ，2214132k k x x +-=+，2214160k x x +=，()()()16444212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ，根据条件，当过原点时，满足02121=+y y x x ，代入根与系数的关系，得到19±=k ，故不正确；④根据③0>∆得到4152>k ，又根据条件可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+=+-=+14160413212221221λλx x k x x k k x x ，代入整理为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4115256411525612222k k k λλ，整理为()1564142<+<λλ，解得3553<<λ，又1>λ，∴351<<λ，当斜率不存在时，此时35=λ，故351≤<λ故填：①④． 考点：1．命题；2．圆锥曲线的综合问题．【易错点睛】主要考察了圆锥曲线的命题问题，属于中档题型，比较好判断前三个命题，而对于第四个命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题，设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，消参后得到关于λ的不等式，计算量比较大，容易出错在忘了当斜率不存在时的情况，导致错误，∴在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况，一是相切时，1=λ，∵有两个交点，∴1>λ，二是斜率不存在时，此时35=λ，能取到，这样就比较好选择此问． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知点C 是圆()22:116F x y ++=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点F '与点F 关于平面直角系的坐标原点对称，线段CF '的垂直平分线与线段CF 交于点P ． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M ，直线:3l y kx =+E 于,A B 两点，求ABM ∆面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）3⎛ ⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）根据圆的的性质及对称的几何性质可得，动点P 的轨迹是以,F F '为焦点，4为长轴长的椭圆，从而可得结果；（2）把直线:3l y kx =+，代入椭圆方程消去y 得：()2234163360k xkx +++=，根据韦达定理、弦长公式 及点到直线的距离公式、三角形面积公式可将ABM ∆的面积表示为关于k 的函数，利用基本不等式求最值即可．试题解析：（1）由题意知圆F 的圆心为()1,0F -，半径为4，所以4|2PF PF CF FF =='+='，由椭圆的定义知，动点P的轨迹是以,F F'为焦点，4为长轴长的椭圆，设椭圆E的方程为22221x ya b+=（0a b>>），且焦距为2c(0)c>，则：22224{1aca b c===+，即2{13acc===，故椭圆E的方程为22143x y+=；则12216334kx xk-+=+，1223634x xk=+，因为点()0,3M，直线l与y轴交于点()0,23DABM∆的面积121213•22ABMS MD x x x x∆=-=-()()2212121233•422x x x x x x=-=+-2222231634366492343443k kk k k⎛⎫-⨯-=-=⎪⎪+++⎝⎭226631222124949kk=≤=-+-，当且仅当22124949kk-=-，即212k=±时取等号，212k=±满足0∆>，所心ΔABM面积的取值范围是30,2⎛⎤⎥⎝⎦．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围，属于难题．解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形范围的．18．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点()1,0F-，且长轴长与短轴长的比是2:3．(1)求椭圆C的方程；(2)设点1,03M⎛⎫⎪⎝⎭，点是椭圆上任意一点，求MP的最小值．【答案】（1）22143x y+=；（2）263．【解析】试题分析：（1）用待定系数法求解即可；（2）设(),P x y为椭圆上的动点，可得21413433MP x⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，再根据22x-≤≤求解可得结果．试题解析：（1）设椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由题意得2221{3caba b c===+，解得224{3ab==，∴椭圆C的方程为22143x y+=．又22x-≤≤，所以当43x=时，2||MP有最小值为83，所以MP的最小值为63．19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>经过点()3，离心率为12，左右焦点分别为()()12,0,,0F c F c-．（I）求椭圆的方程；（II）若直线1:2l y x m=-+与椭圆交于A，B两点，与以12F F，为直径的圆交于C，D两点，且满足534ABCD=，求直线l的方程．【答案】（1）22143x y+=（2）132y x=-+或132y x=-．【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得3b=，利用离心率求出2a=（2）由垂径定理求出CD，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB，代入条件534ABCD=，解出参数m 试题解析：解：（1）由题设3b=，12ca=，222b a c=-解得2,3,1a b c===，∴椭圆的方程为22143x y+=．由22143{12x yy x m+==-+得：2230x mx m-+-=，12x x m+=，2123x x m=-∴()2222115143422AB m m m⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+---=-⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由534ABCD=得224154mm-=-，解得3m=±，满足①∴直线l的方程为132y x=-+或132y x=--．20．（本小题满分12分）已知12,F F分别是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的两个焦点，2(1,)2P是椭圆上一点，且11222||,||,2||PF F F PF成等差数列．（I）求椭圆C的标准方程；、（II）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A B、两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得716QA QB⋅=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（I11222|,|2|PF F F PF成等差数列，∴12212|||2(|||)F F PF PF=+．将1212||||2,||2PF PF a F F c+==，代入化简，得2a c=，∴，由2222221112a ca ba b c⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,c1,1a b===，∴椭圆的标准方程为2212xy+=．（II）假设在x轴上存在点0Q m（，），使得716QA QB⋅=-恒成立．①当直线l的斜率不存在时，2(1,)2A，2(1,)2B-，由于（227(1,)(1,)16m m---=-，解得54m=或34m=；下面证明54m=时，716QA QB⋅=-恒成立．当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1x ty=+，()11,A x y，()22,B x y，由1x ty=+及2212xy+=，得22(2)210t y ty++-=，∴0∆>，∴12122221,22ty y y yt t+=-=-++．111x ty=+，221x ty=+，∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y-⋅-=--+=2(1)t+121211()416y y t y y-++＝22222211212217(1)242162(2)1616t t tt tt t t--+-++⋅+=+=-+++．综上所述，在x轴上存在点5(,0)4Q使得716QA QB⋅=-恒成立．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>6，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2260x-+=相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点,A B为动直线()()20y k x k=-≠与椭圆C的两个交点，问:在x轴上是否存在定点E，使得EA EBλ=⋅为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22162x y+=；（Ⅱ）7,03⎛⎫⎪⎝⎭．（2）由()222{162y k xx y=-+=得()222213121260k x k x k+-+-=，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使EA EB⋅为定值，定点为7,03⎛⎫⎪⎝⎭．试题解析：（Ⅰ）由63e=，得63ca=，即63c a=，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为222x y a+=，且圆M与直线2260x-+=相切，所以()22622a==+2c=，则2222b a c=-=．所以椭圆的方程为22162x y+=．（Ⅱ）由()222{x162y k xy=-+=得()222213121260k x k x k+-+-=，且0∆>设()()1122,,,A x yB x y，则212221221213{12613kx xkkx xk+=+-⋅=+，根据题意，假设x 轴上存在定点(),0E m ，使得EA EB λ=⋅为定值，则有()()()()11221212,,EA EB x m y x m y x m x m y y λ=⋅=-⋅-=-⋅-+()()()()()()()()222221212121222124x m x m k x x k x x k m x x k m =-⋅-+-⋅-=+-++++()()()()()22222222222231210612612124131313m m k m k k k k m k m k k k -++--=+-+++=+++ 要使上式为定值，即与k 无关，则应()223121036m m m -+=-， 即73m =，此时2569EA EB m λ=⋅=-=-为定值，定点为7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把直线方程与椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答的关键．22．（本小题满分12分）已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（2）设出直线的，分斜率存在和不存在两种情形，以为直径的圆过坐标原点可转化为．再把直线方程和椭圆方程联立 试题解析：（I ）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，∴圆由题意，，得即将代入，得曲线的方程为由求根公式得（*）∵以为直径的圆过坐标原点，即即化简可得，将（*）代入可得，即即，又将代入，可得∴当且仅当，即时等号成立．又由，，．（2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得同理求得故．综上，得．点睛：本题第（2）容易忘记讨论斜率不存在的情形．。