【宁波大学考博专业课真题】随机过程2012
宁波大学3812光通信理论与技术2010--2013,2015--2019年考博初试专业课真题
宁波大学2019年博士研究生招生考试初试试题(A卷)
(答案必须写在考点提供的答题纸上)
科目代码：3812总分值：100科目名称：光通信理论与技术
一、计算题(共70分)
1．（15分）设想一根30km长的光纤，在波长1300nm处的衰减为0.8dB/km，如果我们从一端注入功率为200μW的光信号，求其输出功率P out。
2．（15分）一峰值发光波长在800nm的GaAs激光器，其谐振腔长400μm，且材料折射率为n=3.6，如果增益g为750nm<λ<850nm的范围内都大于总损耗系数αt，试求此激光器中能存在多少个模式？
3．（15分）一段12km长的光纤线路，其损耗为1.5dB/km：
a)如果在接收端保持0.3μW的接收光功率，则发送端的功率至少为多少？
b)如果光纤的损耗变为2.5dB/km，则所需的输入光功率又为多少？
4．（15分）有一长距离单模光纤传输系统，工作波长为1300nm，其它参数如下：
LD光源平均入纤功率：0dBm；光缆损耗：0.5dB/km；熔接头损耗：0.1dB/km；
活动连接器损耗（2个）：0.5dB/个；APD接收机灵敏度：-55dBm(BER=10-9)；
系统富余度：12dB。
试求损耗限制传输的距离。
5．（10分）计算n1=1.48及n2=1.46的阶跃折射率光纤的数值孔径。
如果光纤端面外介质折射率n=1.00，则允许的最大入射角θmax为多少？
二、简答题（共30分）
1．（15分）简述引起单模光纤色散的原因，在光通信系统中如何克服这些色散对带宽带来的影响。
2．（15分）简述模间色散的时域测量方法及工作原理，并画出该方法的原理框图。
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随机过程2012B'卷及答案
河北科技大学2012——2013 学年第一学期《应用随机过程》试卷（B′）学院理学院班级姓名学号一．概念简答题（每题5分，共40分）1. 写出ARMA（p,q）模型的定义2. 写出卡尔曼滤波的算法公式3. 一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每位顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为111,,236，彼此如何订阅是相互独立的，每订阅一年，店主即获利5元，设()Y t是[0,)t时段内，店主从订阅中所获得总收入。
试求：（1）[()]E Y t（即[0,)t时段内总收入的平均收入）；（2）[()]D Y t 。
4. 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为2424()109X w S w w w +=++，试求其自相关函数()X R τ。
5. 设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次，试求在使用期限内只维修过一次的概率。
6. 设()X t 为二阶矩过程，212()12(,)t tX R t t e --=，若()()()d Y t X t X t dt=+，试求12(,)Y R t t 。
7. 随机过程2{()(),,(,)}X t A t t T A N ϕμσ=∈ 是否为正态过程，试求其有限维分布的协方差阵。
8. 什么是随机过程，随机序列？ 二．综合题（每题10分，共60分）1. 设{(),0}X n n ≥是具有3个状态1,2,3的齐次马尔可夫链，一步转移概率矩阵为1/41/21/41/21/41/401/43/4P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，初始分布为 123(0){(0)1}1/2,(0)1/3,(0)1/6p P X p p =====（1） 试求{(0)1,(2)3};P X X == （2） 试求{(2)2};P X = （3） 此链是否具有遍历性？ （4） 试求其平稳分布。
2. 设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为P=0.50.40.10.30.40.30.20.30.5⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其相应的极限分布。
宁波大学随机过程2009--2020年考博初试真题
之间的关系是______________________，高斯随机过程通过线性系统后是否还是高斯随机过 程？
4. 若平稳随机过程 X(t) 的自相关函数为 Rx ( ) _________________。
a2 cos 3
，则其平均功率 1 2
Sx ( )d ＝
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宁波大学 2020 年博士研究生招生考试初试试题(B 卷)
3． 假 设 两 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 X 、Y 服 从 正 态 分 布 N (m1, s12) 和 N (m2, s22) ， 则 随 机 变 量 Z = X + 2Y 服从_________分布。若令W [X,Y ]T ，则W 的协方差矩阵为_________。
j
=
2
sin
q
+ 2
j·cos
q
2
j
cos
q
+
cos
j
=
2
cos
+ 2
j·cos
q
2
j
一、概念题（每题 4 分，共 40 分）
sin a sin b
=
-
1 2
cos (a
+
b)-
cos (a
- b)
cos a cos b
=
1 2
cos (a
+
b) +
cos (a
- b)
sin
q
-
sin
j
=
2
cos
宁波大学 2020 年博士研究生招生考试初试试题(B 卷)
(答案必须写在考点提供的答题纸上)
科目代码： 2603 总分值： 100 科目名称：
随机过程期末试题及答案(2)
课程所在学院： 理学院 姓名
成绩
1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 4 页，共 四 大部分，请勿漏答； 2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间； 3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 4. 本试卷全部答案写在试卷上； 5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场； 6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！ 一．填空题（每空 2 分，共 20 分） 1．设随机变量 X 服从参数为
4
1 (sin(ω t+1)-sinω t) 。 2 1
λ
的同一指数分布。
4．设 {Wn ,n ≥ 1}是与泊松过程 {X(t),t ≥ 0} 对应的一个等待时间序列，则 Wn 服从 Γ 分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t
⎧ t ⎪ , 对 应 随 机 变 量 X (t ) = ⎨ 3 t ⎪ ⎩e ,
（2）一维分布函数 F(x;0),F(x;1) 。 求（1） {X(t),t ∈ ( −∞, +∞)} 的样本函数集合； 解： （1）样本函数集合为 {cosπ t,t}, t ∈ (-∞,+∞) ； （2）当 t=0 时， P {X(0)=0} = P {X(0)=1} =
1 ， 2
⎧0 ⎧0 x<0 x<-1 ⎪ ⎪ ⎪1 ⎪1 故 F(x;0)= ⎨ 0 ≤ x<1 ；同理 F(x;1)= ⎨ −1 ≤ x<1 ⎪2 x ≥ 1 ⎪2 x ≥ 1 1 ⎪ ⎪1 ⎩ ⎩
(n)
{
}
⎧ ⎩
= ∑ P {X(n)=j,X(l)=k X(0)=i} X(l)=k X(0)=i ⎬ ⎭
宁波大学1201公共英语2009--2020年考博真题
Sudan and Chad unless 2 actions are implemented, warns the institution behind the report.
“As the ready supply of healthy and productive land dries up and the population grows,
destructively intensive agriculture. The alarming 1 , which is forecast to continue as demand
for food and productive land increases, will add to the risks of conflicts such as those seen in
“To 4 the losses, the outlook suggests it is in all our interests to step back and rethink how we
are managing the pressures and the competition.” The Global Land Outlook is 5 as the most
multiple harvests and 7 use of agrochemicals have increased yields at the 8 of long-term
sustainability. If the past 20 years, agricultural production has increased threefold and the amount
points)
宁波大学弹性力学2012,2014,2015,2018,2019年考博真题
sin
������������������。
������
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宁波大学 2018 年博士研究生招生考试初试试题(A 卷)
(答案必须写在考点提供的答题纸上)
科目代码: 3801 科目名称：
弹性力学
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宁波大学 2019 年博士研究生招生考试初试试题(A 卷)
(答案必须写在考点提供的答题纸上)
（1） 经过此点且方程为
斜面上的全应力、正应力和剪应力的大小。
（2） 该点的三个主应力大小及第一个主应力相应的方向余弦。 5.（25 分）悬臂梁一端受集中力作用，梁高为 h，跨度为 L，如下图所示，若不考虑体积力，使用
应力函数 dxy3 bxy ，求该问题的应力和位移。
题5图
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宁波大学 2019 年博士研究生招生考试初试试题(A 卷)
科目代码： 3801 总分值： 100 科目名称：
弹性力学
1.（10 分）什么是平面应变问题？写出应变和位移基本特点。 2.（15 分）导出体应变公式和体应变的虎克定律。
3.（15 分）试推导应力状态特征方程，并写出应力张量不变量的表达式。
4.（15 分）已知物体内某点的 6 个应力分量为
，
，
，
，试求：
4．(35 分) 写出弹性体的虚（可能）功原理并从它导出弹性力学的基本方程。
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考试科目: 适用专业:
宁波大学 2014 年攻读博士学位研究生
入 学 考 试 试 题(B 卷) (答案必须写在答题纸上)
弹性力学 工程力学
科目代码： 3801
1. (35 分)已知下图所示问题的非零应力解为
且假设为小变形，试求：1）过点 0，2， − 1 的应变张量������������������ 和转动张量������������������ ；2） 该点的主应变。
宁波大学概率论与数理统计2015--2020年考博初试真题
8. 随机地从一批零件中抽取 16 个，测得长度 为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，
2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设零件长度分布为正态分布，若 0.01， 试求总体 的 90％的置信区间。已知： z0.05 1.645 （10 分）
4. (15 分) 设(X,Y)的概率密度是:
f
(x,
y)
Ay(1
x),
0 x 1, 0 y x
0,
其它
求f x y
5. (15 分)
设 X 的概率密度为
f (x)
1 e x 2
,
x ,，求随机变量 X 的数学 X~N(22.40,0.032),气缸的直径 Y~N（22.50，0.042），X，Y 相互独立， 任取一个活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。Ф(2)=0.9772.
6. 在总体 X~N(52,6.32)中抽取容量为 36 的样本，求样本均值落在 50.8 至 53.8 之间的的概 率。（计算结果以标准正态分布函数表示即可）（12 分）
7. 随机地取某零件 6 只，测得它们的直径（mm）为：9.01, 9.03,9.00, 8.98, 8.96, 9.02。试求 μ 和 σ2 的矩估计值。 （15 分）
（1）这两颗花籽都发芽的概率
（5 分）
（2）至少有一颗能发芽的概率
（5 分）
（3）恰有一颗能发芽的概率
（5 分）
2. (15 分)
设
X 的概率密度为
f
X
(
x)
x
/
8, 0,
0 x 其它
4
宁波大学数学物理方程2009--2020年考博初试真题
宁波大学2020年博士研究生招生考试初试试题(A卷)(答案必须写在考点提供的答题纸上)(答案必须写在考点提供的答题纸上)第1页共2页科目代码：2601总分值：100科目名称：数学物理方程计算题（共5题，共100分）1.(20分)一均匀，各向同性的弹性圆膜，四周固定。
只考虑膜的横振动，试给出该定解问题。
（如果将膜割开，则割缝两侧的相互牵引力的线集度称为膜的张力，单位为N/m；本问题中，膜内任一位置其张力被认为相同）。
2.(20分)用分离变量方法解下面定解问题。
(,)(,),0,0(0,)0,(,)0(,0)t xx x u x t u x t x t u t u t u x x ππ=<<>⎧⎪==⎨⎪=⎩3.(20分)利用行波法解定解问题：4.(20分)求解非齐次方程定解问题。
220220(),0,0(0,)(,)(,0)()u u u u x l t t x u t u l t u u x f x αβ⎧∂∂=--<<>⎪∂∂⎪==⎨⎪=⎪⎩上面0,,u βα均为常数，)(x f 为已知函数。
[提示：作变量代换.),(0t e t x v u u β-+=]200000,0cos ,sin 0tt xx t t t x x u a u x t u x u xu ===⎧-=<<∞<<∞⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩(答案必须写在考点提供的答题纸上)第2页共2页科目代码：2601总分值：100科目名称：数学物理方程5.(20分)利用Laplace 变换求解下面定解问题分别讨论()1,()cos f t f t t ω==两种情况。
附：2()(0,0)(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0,tt xx t x x u a u f t x t u x u x u t f t u x t →∞⎧=+<<∞>⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩科目代码:2601 科目名称： 数学物理方程第 1 页 共 2 页1. (20分) 均匀等截面弹性直杆在一维纵振动时，受摩擦阻力的作用，设杆中单位质量所受的摩阻力与质点的速度大小成正比( 比例系数为β)，试导出其由位移表示的动力学微分方程。
2013-2015年宁波大学考博真题3809智能系统 A
5. 对 5 个不同省份的发展情况进行调查统计后，得到 以下每个省份 两两间 的距离矩阵： 4 6 1 6 0 0 9 7 3 4 D 6 9 0 10 5 10 0 8 1 7 6 3 5 8 0 试用类平均法 ( 均值 ) 对其进行聚类， 分别给出聚成 2 类和 3 类的结果。 (12%) 6. 对于下图所示的Boltzmann机,假设每个结点的阈值都为0，连接权值如图所示， 如何采用模拟退火(Simulated Annealing)技术,使网络尽快达到系统平衡态? 如 果达到了平衡态，请计算系统处在状态{S1=1,S2=1,S3=1,S4=1}的概率是多少？ 要求给出具体的计算过程。 （13%）
宁波大学 2014 年攻读博士学位研究生 入 学 考 试 试 题(B 卷) (答案必须写在答题纸上)
考试科目: 适用专业: 智能系统 移动计算与人机交互 科目代码： 3809
1. 试设计一个感知器， 将下图中带黑点标志的输入 （001, 101, 110, 111） 与其它输入(000, 010, 011, 100) 区分开来，要求给出详细的感知器结构和具体权值，单元个数尽可能的少。 (10%)
k k
请详细解释这二个计算公式的含义。
第 1 页， 共 3
(12%)
页
宁波大学 2015 年攻读博士学位研究生 入 学 考 试 试 题 (A 卷)
考试科目: 适用专业: 智能系统 (A)
(答案必须写在答题纸上)
科目代码：
3809
移动计算与人机交互
4. 如图所示的特征脸（Eigenfaces）是机器视觉领域中用于人脸图像分析的一组特征 向量，通过主元分析（PCA）得到。请问： （a）进行 PCA 的主要步骤有哪些？ （b）试给出运用 PCA 进行特征脸分析的详细过程，并指出如何进行高维人脸数 据降维。 （14%）
宁波大学食品化学2013--2018,2020年考博初试真题
宁波大学2020年博士研究生招生考试初试试题(A卷)(答案必须写在考点提供的答题纸上)宁波大学2018年博士研究生招生考试初试试题(A卷)(答案必须写在考点提供的答题纸上)科目代码: 3820 科目名称：食品化学第 1 页共1 页考试科目:食品化学科目代码：3820适用专业:水产资源综合利用一、名字解释（40%，每题4分）1．O/W型乳浊液2．Aw3．生色基团4．过氧化值5．低甲氧基果胶（LM）6．风味阈值7．蛋白质变性作用8．淀粉老化9．食品抗氧化剂10．焦糖化作用二、问答题（60%，每题10分）1．从β-环状糊精的结构特征，说明其在食品中为何具有保色、保香、乳化的功能?2．分别说明转谷氨酰胺酶(TGase)在鱼糜制品、多聚磷酸盐在肉制品加工中的作用。
3．从蛋白质角度，说明适度热处理对食品品质的有益作用。
4．含油脂食品贮藏不当易产生哈喇味，为什么？如何防止？5．使用所学食品化学原理解释下列现象：1）热处理去除生大豆中的有害因子；2）搅打时，纯蛋清比含蛋黄的全蛋更容易起泡；3）苹果、香蕉去皮后容易褐变。
6．举二例说明食品化学理论在水产资源高值化利用中的应用。
第1页共1页考试科目: 食品化学科目代码：3820适用专业: 水产资源综合利用第1 页共1 页考试科目:食品化学科目代码：3820适用专业:水产资源综合利用一、简答题（36%，每题6分）1．与自由水相比，结合水有哪些特点？2．什么叫环状糊精？它的结构有什么特点？3．何谓淀粉老化？老化的本质是什么？4．试用所学的理论解释：1）热处理去除生大豆中的有害因子。
2）煮熟后的虾蟹壳颜色变红。
5．食品增香剂的增香机理是什么？说出二种常用的食品增香剂名称。
6．将下列英文翻译为中文：①Oxymyoglobin；②Peroxidation value；③Water activity二、问答题（64%，每题16分）1．论述游离氨基酸在肉类食品风味形成中的作用？2．说明土豆的褐变机理，并指出在土豆加工中可以通过哪些方法控制其褐变？（控制方法至少说出3点）3．火腿肉容易氧化酸败，应如何采取一些措施控制酸败的发生？（至少说出4点）4．在鱿鱼圈加工中会产生大量加工下脚料，需对其进行高值化利用，请说明研究开发思路。
随机过程2012A卷及答案
河北科技大学2012——2013 学年第一学期《应用随机过程》试卷（A ）学院 理学院 班级 姓名 学号一．概念简答题（每题5分，共40分）1. 已知随机过程{}(t)=Xsin t,t (-,+)X ω∈∞∞，其中X 为随机变量，服从正态分布2(,)Nμσ。
(1)按物理结构分，(t)X 属哪一类随机过程；(2)按概率结构分，(t)X 又属哪一类随机过程。
2. 什么是时齐的独立增量过程？3. 简述Poisson 过程的随机分流定理4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念5. 简述Markov 状态分解定理6．简述HMM 要解决的三个主要问题7. 设随机变量12X ,,,n X X 相互独立且服从同一正态分布2(,)N μσ，试求=11=nkk X X n∑的分布。
8．设更新过程 {}(),0N t t ≥的更新时间距k T 的概率密度函数为2(),0t f t te t λλ-=≥ 求证：均值函数211()(1)24tN m t t eλλ-=--，并求其更新强度()t λ。
二．综合题（每题10分，共60分）1.二阶矩过程{}(t),0t<1X ≤的相关函数为 2121212(t ,t )=,0,<11-X R t t t t σ≤此过程是否均方连续、均方可微，若可微，则求12(t ,t )X R '和12(t ,t )XX R '。
2. 已知随机变量Y 的密度函数为47,01(),0,Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为2|3,01(|),0,X Y x x y f x y ⎧<<<=⎨⎩其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数(,)f x y .3. 设随机过程{}(t)=cos t,t T X Φ∈，其中Φ是服从区间(0,2)π上均匀分布随机变量，试证：（1）当{}|0,1,2,T n n ==±± 时，{}(),X t t T ∈为平稳序列。
2011-2012学年北京交通大学第一学期随机过程期末考试试卷答案
北 京 交 通 大 学2011~2012学年第一学期随机过程期末考试试卷（A 卷）答案一．（本题满分30分）写出以下概念的定义（共6道小题，每道小题满分5分） (1) 函数()x g 在区间[]b a ,上关于()x F 的Riemann-Stieltjes 积分；(2) 计数过程(){}0≥t t N ，是强度函数为()0>t λ()0≥t 的非齐次Poisson 过程； (3) 计数过程(){}0≥t t N ：为更新过程； (4) 更新方程；(5) Markov 链中的状态i 是零常返状态；(6) 随机变量T 是关于随机变量序列{}0≥n X n ，的停时． 解：(1) 设()x g 与()x F 都是有限区间[]b a ,上的实值函数，b x x x a n =<<<= 10为区间[]b a ,上的一个分割，令()()()1--=∆i i i x F x F x F ，[]i i i x x ,1-∈ξ，()n i ≤≤1，()11max -≤≤-=i i ni x x λ，如果当0→λ时，极限()()∑=→∆ni i i x F g 10lim ξλ存在，而且其极限值与区间[]b a ,上的分割以及[]i i i x x ,1-∈ξ的取法无关，则称该极限值为函数()x g 关于()x F 在区间[]b a ,上的Riemann-Stieltjes 积分，记为()()()()∑⎰=→∆=ni iibax F g x dF x g 1lim ξλ． (2) 计数过程(){}0≥t t N ，称作强度函数为()0>t λ()0≥t 的非齐次Poisson 过程，如果 ⑴ ()00=N ； ⑵ 过程有独立增量；⑶ 对任意的实数0≥t ，0≥s ，()()t N s t N -+为具有参数()()()⎰+=-+st tdu u t m s t m λ的Poisson 过程．(3) 设{} ,2,1=n X n ：是一串独立同分布的非负随机变量，分布函数为()x F ，令∑==ni i n X T 1，()1≥n ，00=T ．我们把由(){}t T n t N n ≤=：sup定义的计数过程称为更新过程．(4) 称如下形式的积分方程为更新方程：()()()()⎰-+=ts dF s t K t H t K 0，其中()t H ，()t F 为已知，且当0<t 时，()t H ，()t F 均为0．(5) 设i 是Markov 链{}n X 中的一个状态，以()n ij f 记从i 出发，经过n 步后首次到达j 的概率，()∑∞==1n n ij ij f f ，如果1=jj f ，称状态j 为常返状态．对于常返状态i ，记()∑∞==1n n ii i nf μ，若+∞=i μ，则称i 为零常返状态．(6) 设{}0≥n X n ：是一个随机变量序列，T 是一个随机变量，如果T 的取值范围是{}∞+,,2,1,0 ， 而且对于每一个0≥n ，{}()n X X X n T ,,,10 σ∈=．二．（本题满分10分）已知随机过程(){}T t t X ∈：的均值函数()t X μ和协方差函数()21,t t X γ，再设()t ϕ是一个非随机的函数，试求随机过程()()(){}t t X t Y ϕ+=的均值函数和协方差函数． 解：三．（本题满分10分）设(){}t N 是参数为λ的Poisson 过程，再设10<<i p ，()2,1=i ，且121=+p p ．当每次事件发生时，甲、乙两人分别以概率1p 与2p 独立地进行记录，并且每一事件发生与被记录之间也相互独立．令()t N 1表示到t 时刻甲记录的事件数目，()t N 2表示到t 时刻乙记录的事件数目．证明：(){}t N 1与(){}t N 2是相互独立的参数分别是1p λ与2p λ的Poisson 过程． 证明：四．（本题满分10分）设(){}0≥t t N ，是一个更新过程，{}1≥n X n ，是其更新间隔，{}1≥n T n ，是其更新时刻，1X 的分布函数为()x F ，更新函数为()t M ，证明：(){}()()()⎰-+=≤st N y dM y t F t F s T P 0，其中(){}t X P t F >=1． 证明：()t N T 表示t 时刻之前最后一次更新的时刻，因此对任意的0≥≥s t ，有 (){}(){}()(){}∑∞==≤==≤0n t N t N n t N s T P n t N P s T P()(){}∑∞==<=0,n t N n t N s T P{}(){}∑∞=+><+>≤=1110,,n n t N t T s T P t T s T P {}(){}∑∞=+><+>=111,n n t N t T s T P t X P(){}()∑⎰∞=+∞+=><+=101,n n n n n y dF y T t T s T P t F(){}()∑⎰∞=+∞+->-<+=101,n n n n n y dF y t T T s T P t F(){}()∑⎰∞=->+=101n sn y dF y t X P t F()()()∑⎰∞=-+=10n sn y dF y t F t F()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑⎰∞=10n n sy F d y t F t F()()()y dM y t F t F s⎰-+=0．五．（本题满分10分）设(){}0≥t t N ：是一个更新过程，{}1≥n X n ，是其更新间隔，{}1≥n T n ，是其更新时刻，1X 的分布函数为()x F ，()+∞<=μ1X E ．再令()()t T t r t N -=+1，⑴ 解释()t r 的意义；⑵ 求极限分布(){}y t r P t >+∞→lim ．解：设：()(){}y t r P t R y >=，对第一次更新时刻1X 取条件，则有(){}()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤<+>==>t x x t R y t x t yt x x X y t r P y0011 ．由全概率公式，得 ()(){}y t r P t R y >=(){}()⎰+∞=>=01x dF x X y t r P(){}()(){}()(){}()⎰⎰⎰+∞++=>+=>+=>=yt yt t t x dF x X yt r P x dF x X yt r P x dF x X y t r P 1101()()()()⎰⎰⎰+∞++⋅+⋅+-=yt yt tty x dF x dF x dF x t R 100()()()⎰-++-=ty x dF x t R y t F 01这是一个更新方程．它的解为()()()()()⎰-+-++-=ty x dM x y t F y t F t R 011．由假设，()+∞<=1X E μ，得()()()⎰⎰+∞+∞-==1dx x F x xdF μ，所以有，()()()()+∞<-=+-⎰⎰+∞+∞ydz z F dt y t F 110，因此()y t F +-1满足关键更新定理的条件．于是 (){}()()()⎰+∞+∞→+∞→-==>yy t t dz z F t R y t r P 11lim lim μ．六．（本题满分10分）设i 与j 是Markov 链中的两个状态，而且j i ↔，则i 与j 同为常返状态或非常返状态． 解：因为j i ↔，所以存在正整数m 与n ，使得()0>m ij p 及()0>n ji p成立．所以，对任何自然数l ，由C-K 方程，得()()()()n ji l jj m ij n l m ii p p p p ≥++， ()()()()m ij l ii n ji m l n jj p p p p ≥++，上面两个式子分别对l 求和，有()()()()()()()∑∑∑∞=∞=∞=++=≥000l ljjn jim ij l n ji l jj m ij l n l m iip p p p p p p，()()()()()()()∑∑∑∞=∞=∞=++=≥00l l ii m ijn ji l m ij l ii n ji l m l n jjp p p p p p p ，上式表明级数()∑∞=0l l jj p 与()∑∞=0l l ii p 相互控制，因此级数()∑∞=0l l jj p 与()∑∞=0l l ii p 同为无穷或者有限．而状态i 为常返状态的充分必要条件是级数()+∞=∑∞=0l l jj p ，因此状态i 与j 同为常返状态或者同为非常返状态．七．（本题满分10分）设一Markov 链的转移矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03.01.06.02.03.04.01.04.04.02.005.0005.0P ，试求该Markov 链的不变分布． 解：八．（本题满分10分）设{}n X 是一独立的随机变量序列，而且对每一个n ，()0=n X E ．再设00=S ，∑==nk k n X S 1，证明：{}n S 是关于{}n X 的鞅． 解：。