立体几何中的结论证明78 - 副本
立体几何应记住的结论
立体几何应记住的结论：
1. 设正三角形边长为a ，则三角形高为
a 2
，外接圆的半径为
a 3
，内接圆的半径为
a 6
，面积为
2
a 4
2. 内接于球内的正方体1111ABC D A B C D -的边长为a ，球的半径为R ，则2R =
即R ,2
=
3. 设正方体的边长为a ，则以正方体顶点为顶点的正四面体的体积为
3
13
a ， 三个侧面为
直角三角形，底面为面对角线的正三棱锥的体积为
3
16
a 。
4. 设正四面体的边长为a ，则正四面体的高为
a 3
，外接球的半径为
a 4
，即高与
半径的比为
43
；
5. 设正六边形1
1111A B C D E F A B C D E F -
的边长为
a ，则对角线B D a =，
AD 2a =，外接圆的半径为a ，0
A B D 90∠=；
6. 底面边长为a 的正三棱锥的侧面都是直角三角形，；体积为3
1
6
a
7. 边长为a 3
12
a
正方体的截面的形状：
1. 三角形，．截面可以是等边三角形，等腰三角形，锐角三角形，但不是直角三角形，钝
角三角形，
2. 四边形：截面可以是平形四边形，矩形，菱形，正方形，梯形，等腰梯形，它们至少一
组对边平行，
3. 五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个相同的角，截面不可能是正
五边形。
4.六边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个相同的角，截面可以是正六
边形。
立体几何证明
立体几何证明
立体几何证明是指通过几何推理和定理证明立体几何问题的方法。
常见的立体几何证明包括证明两个立体图形是否全等、相似，以
及证明立体图形的性质等。
在立体几何证明中，常常使用的方法有以下几种：
1. 使用平行投影：通过平行投影将立体图形映射到二维平面上，
简化问题的处理。
例如，证明两个立方体全等时，可以将它们分
别投影到一个平面上，然后比较二维平面上的对应边和角是否相等。
2. 使用剖分方法：通过将立体图形剖分成若干个简单的形状，例
如三角形、矩形等，然后证明这些简单形状的性质，最终得出整
个立体图形的性质。
例如，证明一个四面体的四个侧面都是等边
三角形时，可以将四面体剖分成四个等边三角形，然后证明每个
等边三角形的性质。
3. 使用向量分析：通过使用向量的性质和运算，证明立体图形的
性质。
例如，证明两个平行六面体的面中心连线垂直时，可以使
用向量的内积来证明两个向量垂直。
4. 使用几何推理：通过运用几何定理，例如平行线定理、垂直定
理等，进行证明。
例如，证明两个平行四面体相似时，可以运用
平行线定理来证明它们的对应边与对应面的关系。
需要注意的是，在立体几何证明中，使用准确的定义和恰当的假
设是非常重要的，同时还需要运用合适的定理和推理方法进行证明。
此外，需要有一定的空间想象力和几何直觉，以便更好地理
解和分析立体图形的性质。
立体几何常考定理的总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
立体几何证明题定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总'、公理及其推论公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内符号语言：A l,B l, A ,B^ > l :作用：① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言:p =∣且PT作用：① 用来证明两个平面是相交关系;② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面符号语言：A, B,C不共线=A, B, C确定一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言:ATa= 有且只有一个平面[,使A a，a ：-推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面符号语言:^ b = P=有且只有一个平面:，使a二：S b 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面符号语言：a∕∕b=有且只有一个平面〉，使a ，b ■■公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）a //b v符号语言：c∕∕b a//C・BOO图形语言:b作用：用来证明线线平行。
平行关系公理4 ab图形语言1.线面平行的判定定理 图形语言线面平行的性质定理 a 图形语言 a∕∕b P 2■面面平行的判定定理 图形语言 面面平行的判定 (5) 图形语言 oO面面平行的性质定理 (6)图形语言 (7)图形语言a 〃：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条 面面平行的性质1 =a∕∕b a // :a 二： 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行.（4） 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平符号语言 ://如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
初中数学知识归纳立体几何中的证明与推理
初中数学知识归纳立体几何中的证明与推理初中数学知识归纳——立体几何中的证明与推理立体几何是数学中的重要分支，主要研究三维空间中的形状、位置、度量等问题。
在立体几何的学习过程中，证明和推理是不可或缺的内容，也是培养学生逻辑思维和分析问题能力的有效手段。
本文将对初中数学中立体几何中的证明与推理进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、平行与垂直的证明与推理在立体几何中，平行和垂直是常见的关系。
平行线之间具有特殊的性质，如有且仅有一条直线平行于给定的线段等。
垂直线之间也有各自的性质，如直角和垂足等。
在证明和推理过程中，我们常常需要运用这些性质来得出结论。
例如，对于两个平行线之间的夹角问题，我们可以利用同位角的性质来证明，如AB和CD是两条平行线，角A和角C是同位角。
如果我们能够证明角A等于角C，那么这就是两个平行线之间的夹角。
同样地，我们在证明垂直线之间的关系时，也需要利用到一些性质。
比如，证明两条垂直线的交点是直角。
可以通过利用相交直线的垂直对应角的性质来证明。
如果我们能够证明两个垂直对应角是等于90度的，那么我们就能够得出结论，两条线相交的交点是直角。
这样的推理过程帮助我们建立了数学概念之间的逻辑联系。
二、面积和体积的证明与推理在立体几何中，我们经常需要计算物体的面积和体积。
在证明和推理的过程中，我们也会遇到一些和面积和体积相关的问题。
例如，对于三棱柱和三棱锥的体积问题，我们需要通过概念的推理和逻辑结构的分析来解决。
首先，我们可以将三棱柱和三棱锥分解成更简单的几何体，如长方体、正方体、圆柱体等。
然后，我们通过加减运算和推理结构，一步步得出最终的结论。
这样的证明过程既考验了学生的逻辑思维能力，同时也深化了对体积概念的理解。
在计算面积时，我们也需要依靠一些证明和推理。
例如，对于三角形的面积计算，我们可以利用平行线切割三角形的方法来进行证明。
通过切割并重新组合三角形，我们能够得到更简单的形状，如矩形和直角梯形等。
立体几何证明定理及性质总结
立体几何证明定理及性质总结立体几何是研究空间内物体形态、结构和性质的一门数学学科。
其研究对象一般为立体物体，如点、线、平面等的延伸形成的三维空间中的实体。
立体几何的核心是几何定理和性质的证明，这些定理和性质为我们理解和应用立体几何提供了重要的基础。
1.直线与平面之间的关系(1)平面穿过一条直线，分割直线成两段，这两段相互垂直。
(2)平面与两条垂直直线的交线是水平的。
(3)平面的两条相交线分别与直线的其中一直线相交，则这两条直线在该平面上相交。
(4)平面的两条交线都与直线的其中一直线相交，则两交线在该平面上相交。
(5)平面的两个不同交线都与直线的其中一直线相交，则交线的交点在该平面上。
2.平面之间的关系(1)平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则它也与另一个平面相交。
(2)两平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则另一平面上的相交线平行于两给定平面。
(3)平面与两个平行平面相交，交点的连线垂直于两个平行平面。
(4)平面分割直线，则直线在平面上的两个截点在直线的同一侧。
3.空间图形的性质(1)圆柱的轴线与底面圆的圆心在同一直线上，底面平行，生成的侧面平行四边形的对角线相等。
(2)圆锥的轴线垂直于底面，底面与轴线连线的斜率相等，生成的侧面是一个等腰三角形。
(3)球的所有直径相等且是最长的，球面上任意两点相连的线段都在球内。
4.空间多面体的性质(1)正方体的近似球半径与边长之比约为1：1.633(2)正四面体的顶点到底面边心的距离与底面边长之比约为1：1.5(3)正八面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.707(4)正十二面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.612以上只是立体几何中的一部分重要定理和性质，我们通过对这些定理和性质的研究和证明，可以更好地理解和应用立体几何的知识。
在解决实际问题时，我们可以利用这些定理和性质快速推导出结论，同时也可以通过反证法等方法，从不同的角度来理解和证明这些定理和性质。
立体几何常用结论及方法
1、垂直于同一条直线的两条直线。
2、平行于同一条直线的两条直线。
在空间内：1、垂直于同一条直线的两条直线。
2、垂直于同一条直线的两个平面。
3、平行于同一条直线的两条直线。
4、平行于同一条直线的两个平面。
5、垂直于同一个平面的两条直线。
6、垂直于同一个平面的两个平面。
7、平行于同一个平面的两条直线。
8、平行于同一个平面的两个平面。
结论二、在平面内：1、过直线外一点有条直线和已知直线平行。
2、过一点有且只有条直线和已知直线垂直。
在空间内：1、过直线外一点有条直线和已知直线平行。
2、过一点有条直线和已知直线垂直。
3、过直线外一点有个平面和已知直线平行。
4、过一点有个平面和已知直线垂直。
5、过平面外一点有个平面和已知平面平行。
6、过一点有个平面和已知平面垂直。
7、过平面外一点有条直线和已知平面平行。
8、过一点有条直线和已知平面垂直。
9、过一个平面的一条平行直线有个平面和已知平面平行。
10、过一个平面的一条垂线有个平面和已知平面垂直。
11、过一条直线有个平面和已知平面垂直。
（前提：线面不垂直）1、垂直于同一条直线的两条直线平行。
2、平行于同一条直线的两条直线平行。
在空间内：1、垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面.2、垂直于同一条直线的两个平面平行。
3、平行于同一条直线的两条直线平行。
4、平行于同一条直线的两个平面平行、相交。
5、垂直于同一个平面的两条直线平行。
6、垂直于同一个平面的两个平面平行、相交。
7、平行于同一个平面的两条直线平行、相交、异面8、平行于同一个平面的两个平面平行。
结论二、在平面内：1、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
2、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
在空间内：1、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
2、过一点有无数条直线和已知直线垂直。
3、过直线外一点有无数个平面和已知直线平行。
4、过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
5、过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。
立体几何证明定理归纳
立体几何证明定理归纳在立体几何中，证明定理是一种重要的方法，通过逐步推理和归纳总结，可以得出一般性的结论。
本文将以立体几何证明定理归纳为主题，介绍几个典型的立体几何定理，并通过证明的方式，展示定理归纳的过程。
一、平行线与平面的关系我们来证明平行线与平面的关系。
根据平行线的定义，平行线是在同一个平面上，且不相交的两条直线。
定理：如果一条直线与一个平面平行，则该直线与平面上的任意一条直线都平行。
证明：设直线AB与平面P平行，直线CD是平面P上的一条直线。
我们需要证明直线AB与直线CD平行。
根据平行线的定义，我们可以找到平面P内的一条直线EF，使得直线EF与直线AB平行。
由于直线EF与直线AB平行，而直线AB与直线CD在同一个平面P内，根据平行线与平面的关系可知，直线EF 与直线CD也平行。
因此，直线AB与直线CD平行。
证毕。
二、相交线与平面的关系接下来，我们来证明相交线与平面的关系。
定理：如果两条直线相交于一个点，并且这两条直线都在同一个平面上。
则这个平面与这两条直线垂直。
证明：设直线AB和直线CD相交于点O，且直线AB和直线CD在同一个平面P上。
我们需要证明平面P与直线AB、直线CD垂直。
我们可以通过点O分别作直线AE和直线CF，使得直线AE和直线CF 都与直线AB和直线CD垂直。
由于直线AB和直线CD在同一个平面P上，因此直线AE和直线CF也在平面P上。
接下来，我们需要证明直线AE和平面P垂直。
假设直线AE与平面P有交点M，由于直线AE与平面P垂直，因此直线AE与平面P上的所有直线都垂直。
而直线CF在平面P上，所以直线CF与直线AE垂直。
由于直线AE与直线CF垂直，所以直线AE与平面P上的所有直线都垂直。
这与直线AE与平面P的交点M矛盾。
因此，直线AE与平面P垂直。
同理，可以证明直线CF与平面P垂直。
因此，平面P与直线AB、直线CD垂直。
证毕。
三、平行四边形的性质我们来证明平行四边形的性质。
定理：一个四边形是平行四边形的充分必要条件是它的对边平行。
立体几何常用的结论
、常用的结论：（1）若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l与l ' 所成的角为1θ，l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是cos cos cos θθθ=；（2）如何确定点在平面的射影位置：①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角的平分线上；Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等，那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点为端点的线段的垂直平分线上。
②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)；③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的交线上(面面垂直的性质定理)；④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。
（3）在四面体ABCD 中：①若AD BC CD AB ⊥⊥,，则BD AC ⊥；且A 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心。
②若AD AC AB ==，则A 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的外心。
③若A 到BD CD BC ,,边的距离相等，则A 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的内心。
（4）异面直线上两点间的距离公式：若异面直线所成的角为θ，它们公垂线段'AA 的长为d ，在b a ,上分别取一点F E ,，设m E A ='，n AF =；则θcos 2222mn n m d EF ±++= （如果AF E '∠为锐角，公式中取负号，如果AF E '∠为钝，公式中取正号） b α a A ’A FE ’ E θ。
立体几何定理的推导与证明方法
立体几何定理的推导与证明方法一、概述立体几何是我们生活中常见的一种几何形式，它涉及到空间中的各种图形的性质和关系。
在立体几何中，有许多重要的定理和性质，这些定理和性质对于我们理解和应用立体几何至关重要。
在本文中，我们将探讨立体几何定理的推导和证明方法，希望能够为读者提供一些启发和帮助。
二、立体几何定理的推导方法1. 利用几何图形的性质在推导立体几何定理时，我们可以利用几何图形的性质来进行推导。
对于一个立体图形，我们可以利用它的各个面的性质和相互关系，来推导出一些定理和性质。
在推导过程中，我们可以通过作图和构造辅助线等方法，来帮助我们理解和推导定理。
2. 利用几何变换的性质在推导立体几何定理时，我们还可以利用几何变换的性质来进行推导。
我们可以通过平移、旋转、镜像等几何变换，来帮助我们理解和推导定理。
在推导过程中，我们可以通过构造适当的几何变换，来将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而更容易理解和证明定理。
3. 利用解析几何的方法在推导立体几何定理时，我们还可以利用解析几何的方法来进行推导。
我们可以通过引入坐标系和方程等工具，来帮助我们理解和推导定理。
在推导过程中，我们可以通过求解方程组、计算向量等方法，来证明某个定理或性质的成立。
三、立体几何定理的证明方法1. 利用数学归纳法在证明立体几何定理时，我们可以利用数学归纳法来进行证明。
数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它适用于形式化的推理过程。
通过证明基本情况成立，并假设某个结论对于一个整数成立，来证明该结论对于下一个整数也成立。
在证明立体几何定理时，我们可以通过数学归纳法来推导出某个定理的成立。
2. 利用反证法在证明立体几何定理时，我们可以利用反证法来进行证明。
反证法是一种常用的数学证明方法，它适用于证明某个命题的否定是否成立。
通过假设某个结论不成立，来推导出矛盾的结论，从而证明该结论的成立。
在证明立体几何定理时，我们可以通过反证法来证明某个定理的成立。
立体几何证明定理归纳
立体几何证明定理归纳立体几何是几何学的一个重要分支，研究的是三维空间中的图形和物体。
在立体几何中，定理归纳是一种常用的证明方法。
通过对特定情况的证明，推导出一般情况的结论。
本文将以立体几何证明定理归纳为主题，探讨该证明方法的应用。
定理归纳是一种基于数学归纳法的证明方法，通过先证明一个特定情况的结论，再通过归纳推理得出一般情况的结论。
在立体几何中，定理归纳常被用于证明与体积、表面积、角度等相关的定理。
我们来看一个简单的例子，证明一个等腰直角三角形的斜边长度等于两直角边长度之和。
我们假设等腰直角三角形的两直角边长度分别为a，那么根据勾股定理，斜边的长度为：c = √(a² + a²) = a√2这是特定情况下的结论。
接下来，我们假设等腰直角三角形的两直角边长度分别为k和k，其中k为任意正实数。
同样使用勾股定理，我们可以得出：c = √(k² + k²) = k√2由此可见，在特定情况下的结论成立的情况下，一般情况下的结论也成立。
这就是定理归纳的基本思想。
在立体几何中，定理归纳的应用非常广泛。
下面我们将通过几个具体的例子，进一步探讨定理归纳的方法。
例一：证明正方体的体对角线长度等于边长的平方根乘以√3。
我们假设正方体的边长为a，那么根据勾股定理，体对角线的长度为：d = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3这是特定情况下的结论。
接下来，我们假设正方体的边长为k，其中k为任意正实数。
同样使用勾股定理，我们可以得出：d = √(k² + k² + k²) = √(3k²) = k√3由此可见，在特定情况下的结论成立的情况下，一般情况下的结论也成立。
例二：证明一个圆锥的侧面积等于底面积的一半乘以斜高。
我们假设圆锥的底面积为A，斜高为h，那么根据圆锥的侧面积公式，侧面积为：S = 1/2 * A * l其中l为斜高。
高中数学的归纳立体几何基本定理与证明总结
高中数学的归纳立体几何基本定理与证明总结在高中数学中，立体几何是一个重要的内容领域。
归纳立体几何基本定理与证明是数学学习中的重要环节，本文将对高中数学中常见的归纳立体几何基本定理进行总结和证明，旨在帮助读者更好地理解和掌握这些定理。
一、半正多面体的顶点、棱和面数关系在立体几何中，一个多面体称为半正多面体，是指其每个顶点周围的所有面所成的角相等。
根据欧拉公式，半正多面体的顶点数V、棱数E和面数F满足以下关系：V - E + F = 2证明：考虑一个半正多面体中的一个顶点，该顶点周围有k个面，每个面的边数均为n。
那么根据半正多面体的定义，每个面所成的角相等，所以一个面的内角为360°/n，因此每个顶点所成的内角和为360°。
由于半正多面体的内角和为360°，所以我们可以得到以下等式：k × 360°/n = 360°进一步地，考虑每个面，每个面的所有顶点组成了一个简单多边形，所以每个面的顶点数为n。
而每个顶点都会被k个面共享，所以总的顶点数V可以表示为V = (n × k) / k = n。
同理，我们可以得到每个面的边数为E = n。
那么根据欧拉公式得到：V - E + F = 2n - n + F = 2F = 2所以半正多面体的顶点、棱和面数关系满足V - E + F = 2。
二、平行四边形面积公式在立体几何中，平行四边形是一个重要的概念。
对于平行四边形ABCD，其面积可以由向量的叉乘来表示。
证明：设平行四边形ABCD的对角线交点为O，且向量OA为a，向量OB为b。
由平行四边形的性质可知，向量AD与向量BO平行且长度相等，所以向量AD可以表示为向量BO的某个倍数。
设向量AD 为向量BO的倍数，即AD = k × BO。
由向量的性质可知，向量的叉乘可以表示平行四边形的面积，所以平行四边形ABCD的面积为：S = |向量AD ×向量BO| = |k ×向量BO ×向量BO|由于向量的叉乘具有交换律和结合律，所以：S = |k × (向量BO ×向量BO)| = |k × (0向量)| = 0所以平行四边形ABCD的面积为0。
立体几何中的结论证明78
11. 是正方体 的体对角线，则 平面 平面 ,
平面 ||平面 ,平面 与平面 三等分体对线长，它们之间的距离是对角线长的
12.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
7. 是平面 上的斜线，若 ,则 在底面上的射影在 得平分线上，反之，若 在底面上的射影在 得平分线上，则
8.三余弦定理
是平面 上的斜线，它在平面 上的射影为 ,
是平面的上的任一条线，
则有：
9.三垂线定理
是平面 上的斜线，它在平面上 的射影为 , 是 上一条线，若 ,则 ，简称射垂则斜垂。
10.三垂线定理的逆定理
已面分别垂直于第三个平面，求证他们的交线也垂直于第三个平面。
已知：
求证：
证明：
6.已知两平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，求证另一个平面也垂直于第三个平面。
已知：
求证：
证明：
三个平面两两相交，所得的三条交线，它们相交于一点，或互相平行
最小角定理：
斜线和平面所成的角，是平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，它是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
课题：立体几何中重要结论的证明
立体几何的基本结论
立体几何的基本结论§9.1平面平面的基本性质：公理1（P.4）；公理2（P.5）；公理3（P.5）；公理3的三个推论（P.5~6）；§9.2空间直线空间两条直线位置关系的分类（P.9）；公理4（平行公理）（P.10）；等角定理（P.10）；等角定理的推论（P.11）；异面直线：定义（P.9）；异面直线所成的角及画法（P.12）；异面直线互相垂直（P.13）；异面直线的公垂线（P.13）；异面直线的距离（P.13）；异面直线的判定方法（P.14）.§9.3直线与平面平行的判定和性质空间直线与平面位置关系的分类（P.16）；直线与平面平行：定义（P.16）；判定定理（P.17）；性质定理（P.17）.§9.4直线与平面垂直的判定和性质直线与平面垂直：定义（P.20）；两个唯一性（P.20）；判定定理（P.21）；性质定理（P.23）；点到平面的距离（P.23）；直线和其平行平面的距离（P.23）；“例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
”（P.21）；点在平面内的投影（P.24）；斜线（段）在平面内的投影（P.24）；射影定理（P.24）；直线与平面所成的角（P.24）；斜线与平面所成的角的“最小角”结论（P.25）；三垂线定理（P.26）；三垂线定理的逆定理（P.26）.§9.5两个平面平行的判定和性质空间两个平面位置关系的分类（P.29）；两个平面平行：定义（P.29）；判定定理（P.29）；“例1：垂直于同一直线的两个平面平行”（P.30）；重要性质（如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面）（P.31）；性质定理（P.31）；重要性质（例2 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一平面）（P.31）；两个平行平面的公垂线（段）（P.32），两个平行平面的距离（P.32）.§9.6两个平面垂直的判定和性质半平面（P.34）；二面角（P.34）；二面角的棱（P.34）；二面角的面（P.34）；二面角的平面角（P.35）；直二面角（P.35）；两个平面互相垂直（P.36）；判定定理（P.37）；性质定理（P.37）.§9.7棱柱棱柱的定义和相关概念（P.41.）；斜棱柱（P.41）；直棱柱（P.42）；棱柱的性质（P.42）；平行六面体（P.42）；直平行六面体（P.42）；长方体（P.42）；正方体（P.42）；长方体的对角线性质（P.43）.§9.8棱锥棱锥的定义和相关概念（P.47）；正棱锥的定义和性质（P.48）；一般棱锥的截面定理（P.47）；多面体（P.50）；凸多面体（P.51）；正多面体（P.51）；简单多面体（P.57）；欧拉公式（P.58）.§9.5球球的定义（P.65）；球的截面性质（P.65）；球的大圆与小圆（P.65）；球面上两点间距离（P.65）；球体积公式（P.68）；球面积公式（P.70）.。
立体几何的证明方法文字语方描述部分
立体几何的证明方法总结文字语言表述部分：一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形；2、利用三角形或梯形的中位线；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两个直线平行。
7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
二、线面平行的证明方法1、定义法：直线和平面没有公共点。
2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。
（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。
4、反证法。
三、面面平行的证明方法1、定义法：两个平面没有公共点。
2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）3、平行于同一个平面的两个平面平行。
4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。
5、垂直于同一条直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法1、勾股定理；2、等腰三角形；3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角；5、点在线上的射影；6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
（三垂线定理）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；2、点在面内的射影；3、 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。
（线面垂直的判定定理）4、 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。
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2 立体几何中重要的结论
1 求证垂直于同一平面的两直线平行。
2.求证垂直于同一条直线的两个平面互相平行。
3.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行。
4.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面。
5.已知两个相交平面分别垂直于第三个平面，求证他们的交线也垂直于第三个平面。
6.已知两平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，求证另一个平面也垂直于第三个平面。
7 OP 是平面MON 上的斜线，若PON POM ∠=∠,则OP 在底面上的射影在MON ∠得平分线上，反之，若OP 在底面上的射影在MON ∠得平分线上，则PON POM ∠=∠
立体几何中重要的结论
8 三余弦定理
OP 是平面MON 上的斜线，它在平面α上的射影为OQ ,OM 是平面的上的任一条线，求证，QOM POQ POM ∠⋅∠=∠cos cos cos
9 三垂线定理
OP 是平面MON 上的斜线，它在平面上α的射影为OQ ,a 是α上一条线，若OQ a ⊥,则OP a ⊥，简称射垂则斜垂,
10 三垂线定理的逆定理
OP 是平面MON 上的斜线，它在平面上α的射影为OQ ,a 是α上一条线，若OP a ⊥，,则OQ a ⊥简称垂则射垂,
11 1AC 是正方体1111D C B A ABCD -的体对角线，则⊥1AC 平面DB A 1⊥1AC 平面11D CB ,
平面DB A 1||平面11D CB ,平面DB A 1与平面11D CB 三等分体对线长，它们之间的距离是
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3， 立体几何中重要的结论
12特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
13正四面体棱长为a ，则它内切球的半径a 126，外接球半径a 4
6。