2017-2018年河北省衡水市武邑中学高二(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
河北武邑中学2017届高三上学期期中考试理科数学试题 Word版含答案
理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}{}2,|20,,1,0,1,2U z A x x x x Z B ==--<∈=-，则图中阴影部分所表示的集合等于（ ）A ．{}12-，B ．{}1-，0C ．{}0，1D ．{}12， （2）设1z i =-（i 是虚数单位），若复数22z z+在复平面内对应的向量为OZ ，则向量OZ 的模是（ ）A ．1B ．．．2（3）已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ∀∈-+=，且0x ≥时，()x f x e m =+（m 为常数），则()ln 5f -的值为（ ） A ．4 B ．-4 C ．6 D ．-6（4）如图，在空间四边形(),,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（ ）A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGHB ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形 D ．若,,,EFGH 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形（5）已知正项数列{}n a 中，()2221211111,2,22,n n n n n n a a a a a n b a a -++===+≥=+，，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是（ ） A ．．C ．D ．3（6）如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（ ）A．(8π+ B．(9π+ C．(10π+ D．(8π+（7）已知实数,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，记z ax y =-（其中0a >）的最小值为()f a ．若()35f a ≥，则实数a 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（8）在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE等于（ ） A ．16 B ．29 C ．1318 D ．13（9）曲线()221f x x =-、直线2x =、3x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．ln 2 B ．ln 3 C ．2ln 2 D ．3ln2（10）已知边长为的菱形ABCD 中，060A ∠=，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120°，此时点,,,ABCD 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π （11）已知函数()f x 满足()14f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()f x kx =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．44ln 4,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]4ln 4,ln 4-- C ．4,ln 4e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．4,ln 4e⎛⎤-- ⎥⎝⎦（12）已知函数()()()0f x x ωϕω=+>的图像关于直线2x π=对称且()31,8f f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω可取数值的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ．（13）命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．（14）已知cos 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． （15）已知定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意的12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+成立．若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则12a b+的最小值为___________．（16）已知函数()()023x f x f e x '=-++，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x xy e=上，则PQ 的最小值为____________． 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立． （1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． （18）（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++．（1）求角A ；（2）若a =，求b c +的取值范围． （19）（本小题满分12分）在如图所示的三棱锥111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,,ABC D E 分别是11,BC A B 的中点．（1）求证：//DE 平面11ACC A ；（2）若01,,60AB BC AB BC ACB ⊥=∠=，求直线BC 与平面1AB C 所成角的正切值． （20）（本小题满分12分） 已知函数(),0x f x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆为正三角形，,,AB AD AC CD PC ⊥⊥==，平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）点E 在棱PC 上，试确定点E 的位置，使得PD ⊥平面ABE ； （2）求二面角A PD C --的余弦值． （22）（本小题满分12分）已知()[)sin cos ,0,f x x x x =-∈+∞．（1）证明：()2sin 12x x f x -≥-；（2）证明：当1a ≥时，()2ax f x e ≤-．参考答案一、选择题二、填空题13. ( 14． 13± 15．9 16 三、解答题 17．解：（1）在324n n a S =+中令1n =得18a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因为对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立，所以11324n n a S ++=+，所以()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．．．．．．．．．．．10分18．解：（1）根据正弦定理可得1b ca c a b+=++，即()()()()b a b c a c a b a c +++=++，即222b c a bc +-=，根据余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=．．．．．．6分 （2）根据正弦定理8sin sin sin b c aB C A===，所以8sin ,c 8sinC b B ==，．．．．．．．．．．．．．．．7分又23B C π+=，所以218sin 8sin 8sin sin 32b c B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭318sin cos 226B B B B B π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，．．．．．．．．．．．．9分因为203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以6B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即b c +的取值范围是(．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（1）取AB 的中点F ，连接,DF EF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 在ABC ∆中，因为,D F 分别为,BC AB 的中点，所以//,DF AC DF ⊄平面11,ACC A AC ⊂平面11ACC A ， 所以//DF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 在矩形11ABB A 中，因为,F E 分别为11,A B AB 的中点，所以1//,EF AA EF ⊄平面 111,ACC A AA ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．4分 因为DF EF F = ，所以平面//DEF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BC BB ⊥，又1,AB BC AB BB B ⊥= ，所以BC ⊥平面11ABB A ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 因为11,AB BC BB BB ==，所以11AB CB =， 又0160ACB ∠=，所以1AB C ∆为正三角形，所以1AB AC ===，所以1BB AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分取1AB 的中点O ，连接,BO CO ，所以11,AB BO AB CO ⊥⊥，所以1AB ⊥平面BCO ， 所以平面1AB C ⊥平面BCO ，点B 在平面1AB C 上的射影在CO 上， 所以BCO ∠即为直线BC 与平面1AB C 所成角．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分在Rt BCO ∆中，BO AB ==，所以tan BO BCO BC ∠==．．．．．．．．12分 （若用空间向量处理，请相应给分）20．解：（1）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()x f x e a '=-， 令()0f x '>，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是()ln ,a +∞；令()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(),ln a -∞，函数()f x 在ln x a =处取极小值，()()()ln ln ln ln a g a f x f a e a a a a a ===-=-极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ()()11ln ln g a a a '=-+=-，当01a <<时，()()0,g a g a '>在()0,1上单调递增；当1a >时，()()0,g a g a '<在()1,+∞上单调递减，所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点，也是最大值点，所以()()max 11g a g ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）当0x ≤时，0,0xa e ax >-≥恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即x e a x≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()()()()221,0,,xx x x e x e e x e h x x h x x x x--'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201e f f a f e e e =<≤=-， 即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：∵PC ==，∴PA AC ⊥；又∵PAC ABCD PAC ABCD AC ⊥⎧⎨=⎩平面平面平面平面，∴PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥，以A 为坐标原点，射线,,AB AD AP 分别为,,z x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设2PA =，则()()()2,0,0,,0,0,2B C D P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．2分 （1）()2,0,020AB PD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故PD AB ⊥；设AE AP PC λ=+ ，若AE PD ⊥，则0AE PD = ，即0AP PD PC PD λ+=，即480λ-+=，即12λ=，即当E 为PC 的中点时，AE PD ⊥， 则PD ⊥平面ABE ，所以当E 为PC 的中点时PD ⊥平面ABE ．．．．．．．．．．．．6分 （2）设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =，()2,2PC PD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则0n PC = 且0n PD =，即20x z -=20y z -=，令y =，则2,1z x ==，则()2n =，再取平面PAD 的一个法向量为()1,0,0m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分则cos ,n m n m n m == ， 故二面角A PD C --．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）不等式()2sin 12x x f x -≥-，即不等式2cos 12x x ≥-．．．．．．．．．．1分设()2cos 12x g x x =+-，则()[)sin ,0,g x x x x '=-+∈+∞．．．．．．．．．．．．．．2分 再次构造函数()sin h x x x =-+，则()cos 10h x x '=-+≥在[)0,x ∈+∞时恒成立，所以函数()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，所以()0g x '≥在[)0,+∞上恒成立，所以函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以2cos 102x x +-≥，所以2cos 12x x ≥-，即()2sin 12x x f x -≥-成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）的解析可知，当[)0,x ∈+∞时，sin x x ≤且2cos 12x x ≥-，所以()2sin cos 12x f x x x x ⎛⎫=-≤-- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 当2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭对[)0,x ∈+∞恒成立时，不等式()2ax f x e ≤-恒成立， 不等式2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭，即不等式2102ax x e x ---≥对[)0,x ∈+∞恒成立．．．．．．．．．．．．8分构造函数()212xx M x e x =---，则()1x M x e x '=--，令()1x m x e x =--， 则()1x m x e '=-，当[)0,x ∈+∞时，()0m x '≥，故()m x 在[)0,+∞上单调递增， 所以()()00m x m ≥=，故()0M x '≥，即()M x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00M x M ≥=， 故2102xx e x ---≥恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故当1a ≥时，2211022axx x x e x e x ---≥---≥， 即当1a ≥时，不等式()2ax f x e ≤- 恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
【全国百强校】河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样【答案】C【解析】我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大。
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理。
故选：C.2. 某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A. 28 B. 23 C. 18 D. 13【答案】D【解析】∵高三某班有学生60人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本组距为60÷4=15，则3+15=18，即样本中还有一个学生的编号为18，故选：C．3. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的等于（）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.4. 为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田.这块地的亩产量（单位：)分别为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A. 的平均数B. 的标准差C. 的最大值D. 的中位数【答案】C【解析】根据平均数，最大值，中位数，标准差的含义知，只有标准差是衡量一组数据稳定性的数字特征，故选B.5. 已知直线,平面,且，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（）A. ①④B. ③④C. ①②D. ②③【答案】A【解析】若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确。
【精品】2018年河北省衡水市武邑中学高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)
2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．（5分）命题“∃x0∈R，x0+1＜0或x02﹣x0＞0”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x0+1≥0或B．∀x∈R，x+1≥0或x2﹣x≤0C．∃x0∈R，x0+1≥0且D．∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤03．（5分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．|a|≤1 C．|a|＜1 D．a≥14．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB=2AA1=2a，EF=a，B1E=B1F．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”则P（A∪B）等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知平面α∥β，且α与β的距离为d（d＞0）．m⊂α．则在β内与直线m的距离为2d的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条7．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，则A′C与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=a，BD=2a，则CD的长为（）A．2a B． a C．a D．a9．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）10．（5分）曲线y=e x在点A处的切线与直线x﹣y+3=0平行，则点A的坐标为（）A．（﹣1，e﹣1）B．（0，1） C．（1，e） D．（0，2）11．（5分）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为x1，x2，则P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2外C．必在圆x2+y2=1外D．必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则（）A．f（2）＜e2f（0）B．f（2）≤e2f（0）C．f（2）=e2f（0） D．f（2）＞e2f（0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在区间（0，1）内任取一个数a，能使方程x2+2ax+=0有两个相异的实根的概率为．14．（5分）若双曲线的一条渐近线为y=x，且过P（3，﹣），则双曲线的方程为．15．（5分）如果函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f′（x）在区间（﹣3，﹣）内单调递增；②函数y=f′（x）在区间（﹣，3）内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f′（x）有极大值；则上述判断中正确的是．16．（5分）若函数f（x），g（x）满足[f（x）•g（x）]dx=0，则称f（x），g （x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，下列三组函数中为区间[﹣1，1]上的一组正交函数的有．（用序号作答）①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：∀x∈[1，2]，﹣lnx﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+2ax0﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a∈{x∈Z|0≤x≤3}，b∈{x∈Z|0≤x≤2}，求方程x2+2ax+b2=0恰有两个不相等实根的概率；（2）若a∈{x|0≤x≤3}，b∈{x|0≤x≤2}，求方程x2+2ax+b2=0恰有两个不相等实根的概率．19．（12分）已知长方形ABCD中，AB=1，AD=，现将长方形沿对角线BD折起，使AC=a，得到一个四面体A﹣BCD，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A﹣BCD体积最大时，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．（Ⅰ）求证：C1D⊥D1E；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点M使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求AD的长．21．（12分）已知椭圆C：2x2+y2=4．（1）求椭圆的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线x=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+mx2（m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若A，B是函数f（x）图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．2．（5分）命题“∃x0∈R，x0+1＜0或x02﹣x0＞0”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x0+1≥0或B．∀x∈R，x+1≥0或x2﹣x≤0C．∃x0∈R，x0+1≥0且D．∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x0+1＜0或”的否定形式是：∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤0．故选：D．3．（5分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．|a|≤1 C．|a|＜1 D．a≥1【解答】解：当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1当x=0时，0≥a×0恒成立，即a∈R当x＜0时，﹣x≥ax恒成立，即a≥﹣1，若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故选：B．4．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB=2AA1=2a，EF=a，B1E=B1F．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE﹣D1DCGH内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．∴FG∥EH，即几何体B1FE﹣C1GH是三棱柱，∵AB=2AA1=2a，EF=a，B1E=B1F．∴△B1FE为等腰直角三角形，且B1E=B1F=，则三棱柱B1FE﹣C1GH的体积V=，长方体的体积V=2a•a•B1C1=2a2•B1C1，则几何体A1ABFE﹣D1DCGH的体积V1=2a2•B1C1﹣a2•B1C1=a2•B1C1，则根据几何概型的概率公式可得在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率P==，5．（5分）掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”则P（A∪B）等于（）A．B．C．D．【解答】解：由古典概型的概率公式得∵，事件A与B为互斥事件由互斥事件的概率和公式得故选：B．6．（5分）已知平面α∥β，且α与β的距离为d（d＞0）．m⊂α．则在β内与直线m的距离为2d的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【解答】解：因为平面α∥β，且α与β的距离为d（d＞0）．m⊂α．则在β内与直线m的距离为2d的直线是过直线m与平面β相交的平面得到的交线，而距离m为2d的有两条，故在β内与直线m的距离为2d的直线共有2条；故选：C．7．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，则A′C与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】：如图：正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，连结A′B，则A′C与BC所成角就是直角三角形A′BC中的∠A′CB，A′C与BC所成角的余弦值为：==．8．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=a，BD=2a，则CD的长为（）A．2a B． a C．a D．a【解答】解：∵AC⊥l，BD⊥l，∴＜，＞=60°，且•=0，•=0，∴=++，∴||===2a．故选：A．9．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）【解答】解：∵在抛物线y=2x2，即x2=y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，），故选：B．10．（5分）曲线y=e x在点A处的切线与直线x﹣y+3=0平行，则点A的坐标为（）A．（﹣1，e﹣1）B．（0，1） C．（1，e） D．（0，2）【解答】解：设A（x，y），则y=e x，∵y′=e x，在点A处的切线与直线x﹣y+3=0平行，∴e x=1，解得x=0，∴y=e x=1，故A（0，1），故选：B．11．（5分）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为x1，x2，则P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2外C．必在圆x2+y2=1外D．必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间【解答】解：椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为：x1和x2则：，=所以：0＜e＜1即：0＜e2＜11＜e2+1＜2所以：即点P在圆x2+y2=1与x2+y2=2形成的圆环之间．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则（）A．f（2）＜e2f（0）B．f（2）≤e2f（0）C．f（2）=e2f（0） D．f（2）＞e2f（0）【解答】解：令g（x）=，则，因为f′（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）=为（﹣∞，+∞）上的增函数，故，即f（2）＞e2f（0）．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在区间（0，1）内任取一个数a，能使方程x2+2ax+=0有两个相异的实根的概率为．【解答】解：试验的全部结果所构成的区域为区间（0，1），其长度为1．构成事件“关于x的一元二次方程x2+2ax+=0有两个相异的实根”的区域为{a|0＜a＜1，a2＞}={a|＜a＜1}，其长度为1﹣，所以所求的概率为==．故答案为：14．（5分）若双曲线的一条渐近线为y=x，且过P（3，﹣），则双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：根据题意，若双曲线的一条渐近线为y=x，设其方程为﹣y2=t，（t≠0），又由双曲线经过P（3，﹣），则有﹣=t，则t=2，则双曲线的方程为﹣=1；故答案为：﹣=1．15．（5分）如果函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f′（x）在区间（﹣3，﹣）内单调递增；②函数y=f′（x）在区间（﹣，3）内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f′（x）有极大值；则上述判断中正确的是①②③⑤．【解答】解：由函数y=f′（x）的图象可得，y=f′（x）在区间（﹣3，﹣）内单调递增，故①正确；函数y=f′（x）在区间（﹣，3）内单调递减，故②正确；由上可知，当x=﹣时，函数y=f′（x）有极大值，故⑤正确；当x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，4）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，2）∪（4，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增，故③正确；函数y=f（x）在区间（﹣2，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④错误；∴正确的判断是①②③⑤．故答案为：①②③⑤．16．（5分）若函数f（x），g（x）满足[f（x）•g（x）]dx=0，则称f（x），g （x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，下列三组函数中为区间[﹣1，1]上的一组正交函数的有①③．（用序号作答）①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2．【解答】解：方法：对于①：[sin x•cos x]dx=[（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（x3﹣x）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（x4）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴在区间[﹣1，1]上的一组正交函数的有①③，故答案为：①③．方法二：[f（x）•g（x）]dx=0，根据定积分的性质，奇函数在对称区间的定积分为0，则f（x）•g（x）为奇函数，对于①f（x）=sin x为奇函数，g（x）=cos x为偶函数，则f（x）•g（x）为奇函数，故①在区间[﹣1，1]上的一组正交函数，对于②f（x）•g（x）=x2﹣1为偶函数，则②不是在区间[﹣1，1]上的一组正交函数，对于③f（x）•g（x）=x3，为奇函数，故③在区间[﹣1，1]上的一组正交函数，在区间[﹣1，1]上的一组正交函数的有①③，故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：∀x∈[1，2]，﹣lnx﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+2ax0﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：，令，=，∴f min（x）=f（1）=，∴．命题q：x2+2ax﹣8﹣6a≤0解集非空，△=4a2+24a+32≥0，∴a≤﹣4，或a≥﹣2．命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．（1）当p真q假，﹣4＜a＜﹣2；（2）当p假q真，综合，a的取值范围．18．（12分）设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a∈{x∈Z|0≤x≤3}，b∈{x∈Z|0≤x≤2}，求方程x2+2ax+b2=0恰有两个不相等实根的概率；（2）若a∈{x|0≤x≤3}，b∈{x|0≤x≤2}，求方程x2+2ax+b2=0恰有两个不相等实根的概率．【解答】解：设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有两个不相等实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有两个不相等实根的充要条件为a＞b．（1）a∈{x∈Z|0≤x≤3}={0，1，2，3}，b∈{x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，即a是从0，1，2，3，四个数中任取的一个数，b是从0，1，2，三个数中任取的一个数，基本事件共4×3=12个．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，事件A中包含6个基本事件．故所求事件的概率为P=；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个实数，b是从区间[0，2]中任取的一个实数，则区域Ω={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}的面积6，设方程x2+2ax+b2=0恰有两个不相等实根为事件B，则B={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a＞b}，表示的平面区域如图：区域B图中阴影部分的面积为6﹣=4．故所求事件B的概率为P=．19．（12分）已知长方形ABCD中，AB=1，AD=，现将长方形沿对角线BD折起，使AC=a，得到一个四面体A﹣BCD，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A﹣BCD体积最大时，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【解答】解：（1）若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD=D，得AB⊥面ACD，∴AB⊥AC，∴AB2+a2=BC2，即1+a2=2，解得a=1，若AD⊥BC，由AB⊥AD，AB∩BC=B，得AD⊥平面ABC，∴AD⊥AC，∴AD2+a2=CD2，即2+a2=1，解得a2=﹣1，不成立，∴AD⊥BC不成立．（2）四面体A﹣BCD体积最大，∵△BCD面积为定值，∴只需三棱锥A﹣BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），C（，0），D（0，，0），面BCD的法向量为=（0，0，），面ACD的法向量=（x，y，z），∵，，则，取y=，得=（1，），设二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|===，∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．（Ⅰ）求证：C1D⊥D1E；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点M使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求AD的长．【解答】证明：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AD=2t，（t＞0），则C1（0，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），E（t，1，0），=（0，﹣1，﹣1），=（t，1，﹣1），•=0﹣1+1=0，∴C1D⊥D1E．解：（Ⅱ）在棱AA1上存在一点M使得BM∥平面AD1E，理由如下：设M（2t，0，λ），0≤λ≤1，B（2t，1，0），A（2t，0，0），E（t，1，0），D1（0，0，1），=（0，﹣1，λ），=（﹣t，1，0），=（﹣2t，0，1），设平面AED1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，t，2t），∵BM∥平面AD1E，∴=﹣t+2tλ=0，解得．∴棱AA1上存在一点M使得BM∥平面AD1E，的值为=．（Ⅲ）B1=（2t，1，1），=（0，1，1），设平面AEB1的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（，1，﹣1），平面AED1的法向量=（1，t，2t），∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴=+t﹣2t=0，由t＞0，解得t=1，∴AD的长为2．21．（12分）已知椭圆C：2x2+y2=4．（1）求椭圆的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线x=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（1）椭圆C：2x2+y2=4化为标准方程为+=1，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）设A（2，t），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴•=0，∴ty0+2x0=0，∴t=﹣，∵2x02+y02=4，∴|AB|2=（x0﹣2）2+（y0﹣t）2=（y0+）2+（x0﹣2）2=x02+y02++4=y02+++4=++4（0＜y02≤4），∵+≥4（0＜y02≤4），当且仅当=，即y02=4时等号成立，∴|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+mx2（m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若A，B是函数f（x）图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=+2mx，当m≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增，当m＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，综上，m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，当m＜0时，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．（2）由（1）得：m＜0时，f（x）先递增再递减，显然不满足条件，m≥0时，f′（x）=+2mx，∴f″（x）=﹣+2m，令f″（x）＞0，解得：x＞，令f″（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）是凸函数，在（，+∞）是凹函数，∴只需函数f（x）在（0，）上的切线的斜率大于1即可，故只需+2mx＞1在（0，）上恒成立即可，整理得；2mx2﹣x+1＞0，∴△=1﹣8m＜0，∴m ＞．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
河北省衡水市武邑中学2017-2018学年高二上学期周考数学试卷(二) Word版含解析
2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）周考数学试卷（二）一、选择题：1．把4名大学实习生分到高一年级3个不同的班，每个班至少分到1名实习生，则不同分法的种数为（）A．72 B．48 C．36 D．242．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．7203．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（）A．18 B．15 C．12 D．94．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．1445．在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（）A．35 B．70 C．50 D．1056．从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．727．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x4项的系数（）A．30 B．70 C．90 D．1508．7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．3609．由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（）A．720个B．684个C．648个D．744个10．若二项式（﹣x）6展开式的常数项为20，则θ值为（）A．2kπ+（k∈Z）B．2kπ﹣（k∈Z） C．D．﹣11．设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．812．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：13．（x2+3x+2）5的展开式中x3的系数是．14．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为．15．已知的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．16．若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种．17．从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m﹣1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=．（2013浙江校级模拟）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？（用数字作答）．三、解答题：19．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5求：（1）a0+a1+a2+a3+a4（2）（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．20．在二项式（﹣）12的展开式中．（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．21．已知（x+）n的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．（1）求含x2的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．22．某篮球赛甲、乙两队进入最后决赛，其中甲队有6名打前锋位，4名打后位，另有2名既能打前锋位又能打后位的全能型队员；乙队有4名打前锋位，3名打后位，另有5名既能打前锋位又能打后位的全能型队员．问：（1）甲队有多少种不同的出场阵容？（2）乙队又有多少种不同的出场阵容？（注：每种出场阵容中含3名前锋位和2名后位）23．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本．24．在（x2+x+1）n=D x2n+D x2n﹣1+D x2n﹣2+…+D x+D（n∈N）的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式的n次系数列．（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：三项式的2次系数列是；三项式的3次系数列是．（Ⅱ）二项式（a+b）n（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C=C+C，类似的请用三项式的n次系数表示D（1≤k≤2n﹣1，k∈N）（无须证明）；（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）周考数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：1．把4名大学实习生分到高一年级3个不同的班，每个班至少分到1名实习生，则不同分法的种数为（）A．72 B．48 C．36 D．24【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4名大学实习生分到高一年级3个不同的班，每个班至少分到1名实习生，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故选：C【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21C53A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22C52A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22C52A33A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，故选C．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．3．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（）A．18 B．15 C．12 D．9【分析】本题要先安排乙和丙两人，其安排方法可以分为两类，一类是两者之一在高一，另一个在高二，另一类是两者都在高二，在每一类中用分步原理计算种数即可．【解答】解：若乙和丙两人有一人在高一，另一人在高二，则第一步安排高一有2种安排方法，第二步安排高二，从三人中选一人有三种方法，第二步余下两人去高三，一种方法；故此类中安排方法种数是2×3=6，若乙和丙两人在高二，第一步安排高一，有三种安排方法，第二步安排高三，余下两人去高三，一种安排方法，故总的安排方法有3×1=3，综上，总的安排方法种数有6+3=9种；故选：D．【点评】本题考查分步原理与分类原理的应用，求解本题关键是根据实际情况选择正确的分类标准与分步标准，把实际问题的结构理解清楚．4．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【分析】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种．先排3个奇数：用插空法求得结果，再排除1在左右两端的情况，问题得以解决．【解答】解：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种，先排3个奇数，有=6种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中，方法有=12种．根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12=432种．若1排在两端，1的排法有=4种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有=6种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6=144种，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432﹣144=288种．故选：B．【点评】本题主要考查排列、组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，属于中档题．5．在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（）A．35 B．70 C．50 D．105【分析】用列举法，由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥1，再分类列举，即可得到结论．【解答】解：用列举法由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥11、当a1=1时，a2=3时，a3=6时，a4可以取10，11，12，13，14，这5个数中的一个；a3=7时，a4可以取11，12，13，14这4个数中的一个；a3=8时，a4可以取12，13，14这3个数中的一个；a3=9时，a4可以取13，14这2个数中的一个；a3=10时，a4=14共有1+2+3+4+5=15种情况．当a2=4时，同理可求有1+2+3+4=10种情况当a2=5时，同理可求有1+2+3=6种情况当a2=6时，同理可求有1+2=3种情况当a2=7时，同理可求有1种情况以上共有1+3+6+10+15=35种情况．2、当a1=2时，同理可求有1+3+6+10=20种情况3、当a1=3时，同理可求有1+3+6=10种情况4、当a1=4时，同理可求有1+3=4种情况5、当a1=5时，同理可求有1种情况总共有35+20+10+4+1=70情况．故选B．【点评】本题考查计数问题，考查列举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．72【分析】先从5双靴中取出1双，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，由分步计数原理可得．【解答】解：先从5双靴中取出1双，有5种选法，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，有×2×2=24种情况，由分步计数原理可得，共有5×24=120种；故选：A【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，由分步计数原理设计选择的方案是解决问题的关键，属中档题．7．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x4项的系数（）A．30 B．70 C．90 D．150【分析】把（x+2）5按照二项式定理展开，可得（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x4项的系数．【解答】解：由于（2x﹣1）（x+2）5=（2x﹣1）（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32），∴含x4项的系数为2×40﹣10=70，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．8．7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．360【分析】甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了，即可得出结论．【解答】解：甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了．四个人全排列的方法有=24种，从五个空中选出两个的方法有=10种，所以一共不同摆法有24×10=240种．故选：C．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．9．由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（）A．720个B．684个C．648个D．744个【分析】题目要求中间三位是成递增的等差数列，这样可以列举出所有的情况，当公差是1时，列举出公差是1的8种结果，分别做出共有的数字个数，在计算当公差是2，3，4，公差不可能时5，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：当公差是1时，千位、百位、十位上的数字可以是：012，123，234，345，456，567，678，789，当中间三位是012时，可以组成数字A72=42，当中间数字是123，234，345，456，567，678，789时，可以组成7×6×6=252，当公差是2时，千位、百位、十位上的数字可以是：024，135，246，357，468，579这样共组成42+5×6×6=222，当公差是3时，千位、百位、十位上的数字可以是：036，147，258，369可以组成数字的个数是42+3×6×6=150，当公差是4时，千位、百位、十位上的数字可以是：048，159可以组成数字的个数是42+36=78，根据分类计数原理知共有42+252+222+150+78=744，故选D．【点评】本题考查分类计数原理，考查等差数列，考查数字问题，实际上数字问题是一种比较典型的题目，只是解题时要注意做到不重不漏．10．若二项式（﹣x）6展开式的常数项为20，则θ值为（）A．2kπ+（k∈Z）B．2kπ﹣（k∈Z） C．D．﹣【分析】由于二项式（﹣x）6展开式的通项为：=（﹣1）r sinθ6﹣r C6r x2r﹣6，要得到常数项，只要令2r﹣6=0可求r，结合已知可求sinθ，进而可求θ．【解答】解：∵二项式（﹣x）6展开式的通项为：=（﹣1）r sinθ6﹣r C6r x2r﹣6令2r﹣6=0可得r=3，此时常数项T4=﹣sinθC63=﹣20sinθ=20∴sinθ=﹣1∴故选B．【点评】本题主要考查了利用二项式的展开式的通项求解二项展开式的指定项，解题中要注意基本运算能力的考查．11．设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】由二项式系数的性质可得S=2n，令x=1，可得其展开式的各项系数的和，即P=4n，结合题意，有4n+2n=272，解可得答案．【解答】解：根据题意，对于二项式的展开式的所有二项式系数的和为S，则S=2n，令x=1，可得其展开式的各项系数的和，即P=4n，结合题意，有4n+2n=272，解可得，n=4，故选A．【点评】本题考查二项式系数的性质，注意二项式的展开式中某一项的系数与二项式系数是不同概念．12．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个字母中选5个排列，满足条件的事件是at相连且顺序不变，可以从除去at之外的7个字母中选3个，使at作为一个元素和另外3个元素排列，利用组合数写出结果，算出概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是从9个字母中选5个排列，共有A95个，满足条件的事件是at相连且顺序不变，可以从除去at之外的7个字母中选3个，使at作为一个元素和另外3个元素排列，共有C73A44，∴要求的概率是=，故选A．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．二、填空题：13．（x2+3x+2）5的展开式中x3的系数是1560．【分析】根据（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5，按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．【解答】解：∵（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5=[x5+x4+x3+x2+x+1][x5+2x4+4x3+8x2+16x+32]，故展开式中x3的系数是4+8+16+32=1560，故答案为：1560．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为1或﹣3．【分析】令x=0，x=1，结合a1+a2+…+a6=63，即可求得实数m的值．【解答】解：令x=0，可得a0=1令x=1，可得（1+m）6=a0+a1+a2+…+a6，∴a1+a2+…+a6=（1+m）6﹣1∵a1+a2+…+a6=63，∴（1+m）6﹣1=63∴m=1或﹣3故答案为：1或﹣3【点评】本题考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．已知的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．【分析】先求出展开式中的常数项T，求得函数的周期是2，由于g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，根据两个函数的图象特征转化出等价条件，得到关于k的不等式，求解易得．【解答】解：∵的常数项为=2∴f（x）是以2为周期的偶函数∵区间[﹣1，3]是两个周期∴区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k 有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意当k≠0时，∵r（﹣1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤故答案为：【点评】本题考点二项式定理，主要考查依据题设条件灵活转化的能力，如g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，灵活转化是正确转化是解题的关键．16．若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有19种．【分析】根据题意，首先分析“error”中有5个字母不同的排法顺序，具体为①先排字母“e”、“o”，在5个位置中任选2个，②再安排3个“r”，直接将其放进剩余的3个位置，由分步计数原理计算其5个字母不同的排法顺序，再排除其中正确的1种顺序，即可得答案．【解答】解：根据题意，英语单词“error”中有5个字母，其中3个“r”，先排字母“e”、“o”，在5个位置中任选2个，放置字母“e”、“o”即可，有A52=20种不同的排法，再安排3个“r”，直接将其放进剩余的3个位置即可，有1种排法，则这5个字母有20×1=20种不同的排法，其中正确的顺序有1种，则可能出现的错误的种数是20﹣1=19种，故答案为：19．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意单词中有重复的字母，其次要注意是求“出现错误”的种数，应该将正确的写法排除．17．从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m﹣1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=C n+k m．的口袋中取出m个球（0＜m ≤n，m，n∈N），共有C n+1m种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m﹣1个白球，则C n m+C n m﹣1=C n+1m根据上述思想，在式子：C n m+C k1C n m﹣1+C k2C n m﹣2+…+C k k C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．【解答】解：在C n m+C k1C n m﹣1+C k2C n m﹣2+…+C k k C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数C n+k m故选C n+k m【点评】这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．18．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？346（用数字作答）．【分析】利用间接法，先求出2个人坐的方法数为，再排除两左右相邻的情况，即可得到结论．【解答】解：由题意，一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为，还需排除两左右相邻的情况；把可坐的20个座位排成连续一行（前后排相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有，但这其中包括甲、乙不在同一排情形，还应再加上2．∴不同排法的种数为=346．故答案为：346．【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：19．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5求：（1）a0+a1+a2+a3+a4（2）（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．【分析】此题只需将x=1及x=﹣1分别代入两式再相加即可求得a4+a2+a0的值【解答】解：当x=1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=a5+a4+a3+a2+a1+a0=1；当x=﹣1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1x+a0=﹣243；（1）∵a5=25=32∴a0+a1+a2+a3+a4=1﹣32=﹣31（2）∵（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．=（a5+a4+a3+a2+a1+a0）（﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0）=1×（﹣243）=﹣243【点评】本题考查利用赋值求解二项展开式的系数及对完全平方公式的变形应用能力，巧妙取特殊值是解题的关键．20．在二项式（﹣）12的展开式中．（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．【分析】（I）根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；（II）由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．【解答】解：（I）展开式中第r+1项是，…（3分）令，解得r=2；…（4分）∴展开式中含x3项的系数为；…（6分）（II）∵第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数为；∴，…（9分）∴3k﹣1=k+1，或3k﹣1+k+1=12；解得k=1，或k=3．…（12分）【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了一定的逻辑推理与计算能力，是基础题目．21．已知（x+）n的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．（1）求含x2的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．【分析】（1）由题意可得=64，求得n=6，可得展开式的通项公式．再令x的幂指数等于2，求得r的值，可得含x2的项的系数．（2）在展开式的通项公式中，令x的幂指数6﹣为有理数，可得r=0，3，6，从而求得有理项．（3）设第r+1项的系数为a r，由通项公式可得a r=3r，可得展开式各项的系数，从中找出系数最大的．【解答】解：（1）令x=1，可得（x+）n的展开式中，各项系数的和为4n，而其二项式系数的和为2n，由=64，求得n=6，故展开式的通项公式为T r+1=3r，令6﹣=2，求得r=3，∴含x2的项的系数为33=540．（2）由（1）可得，展开式的通项公式为T r+1=3r，令6﹣为有理数，可得r=0，3，6，故有理项为T1=x6，T4=540x2，T7=．（3）设第r+1项的系数为a r=3r，则展开式各项的系数分别为a0=1，a1=18，a2=135，a3=540，a4=1215，a5=1458，a6=729，故系数最大的项为第六项，T6=1458．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．22．某篮球赛甲、乙两队进入最后决赛，其中甲队有6名打前锋位，4名打后位，另有2名既能打前锋位又能打后位的全能型队员；乙队有4名打前锋位，3名打后位，另有5名既能打前锋位又能打后位的全能型队员．问：（1）甲队有多少种不同的出场阵容？（2）乙队又有多少种不同的出场阵容？（注：每种出场阵容中含3名前锋位和2名后位）【分析】（1）甲队按全能队员出场人数分类：不选全能队员，选1名全能队员，选2名全能队员，分别求出不同的选法，由此能求出甲队共有多少种不同的出场阵容．（2）乙队按3名只会打后场的出场人数分类：不选，选1名，选2名，分别求出不同的选法，由此能求出乙队共有多少种不同的出场阵容．【解答】解：（1）甲队按全能队员出场人数分类：I．不选全能队员：，II．选1名全能队员：，III．选2名全能队员：，故甲队共有120+340+176=636种不同的出场阵容．乙队按3名只会打后场的出场人数分类：I．不选：，II．选1名：，III．选2名：故乙队共有350+840+252=1442种不同的出场阵容．（13分）【点评】本题考查排列组合的计数问题的应用，解题时要认真审题，是中档题．23．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本．【分析】（1）分步：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；（2）分两步完成：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学；（3）平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学．【解答】解：（1）分三步完成：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本，共有=1260种；（2）分两步完成：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有种，故共有=7560种；（3）平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学，共有=1680种．【点评】本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．24．在（x2+x+1）n=D x2n+D x2n﹣1+D x2n﹣2+…+D x+D（n∈N）的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式的n次系数列．（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．（Ⅱ）二项式（a+b）n（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C=C+C，类似的请用三项式的n次系数表示D（1≤k≤2n﹣1，k∈N）（无须证明）；（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D．【分析】（Ⅰ）由（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，求得2次系数列．同理根据（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，求得3次系数列．（Ⅱ）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．（Ⅲ）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示【解答】解：（Ⅰ）∵（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，∴三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；∵（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，∴三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．（Ⅱ）①列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：11 1 11 2 3 2 11 3 6 7 6 3 11 4 10 16 19 16 10 4 1②=（1≤k≤2 n﹣1 ）；（Ⅲ）由（Ⅱ）②可得=1+n﹣2+=，∵=n﹣1=﹣1，∴由=得﹣=n分别取3，4，…，n代入，累加可得﹣=+﹣（n﹣2）=﹣（n+2），∵=2，∴=﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．。
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期周考(12.11)数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年武邑中学高二数学周测导数及应用一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.设曲线22y x x =+-在点M 处切线斜率为3，则点M 的坐标为（ ）． A ．（0，-2） B ．（1,0） C ．（0,0） D ．（1,1）2.抛物线2y x =在点11,24M ⎛⎫⎪⎝⎭的切线的倾斜角是（ ）．A ． 30°B ．45°C ． 60°D ．90° 3.函数33y x x =-在[]1,2-上的最小值为（ ）． A ．2 B ．-2 C ．0 D ．-44.设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+ ，则()0f '等于（ ）． A ．0 B ．-4 C ．-2 D ．25.已知曲线313y x =在点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，则过P 点的切线方程为（ ）．A ．312160x y --=B ．123160x y --=C ．312160x y -+=D ．123160x y -+=6.已知函数()()sin 102f x x πϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，且()()23010f x dx π+=⎰，则函数()f x 的一个零点是（ ）． A ．56π B ．3π C ．6π D ．712π7.函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如下图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极大值点（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）．A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度9.函数()ln 2xf x x=-的图像在点（1，-2）处的切线方程为（ ）． A ．30x y --= B ．20x y += C ．10x y ++= D ．240x y --= 10.函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ）． A ．（-1,1） B ． (),1-∞ C ．（0,1） D ．()1,+∞ 11.若4442224,,2a xdx b dx c dx x===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ）．A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a << 12.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则B ∠的范围是（ ）．A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知2200139x y ->，过点()00,P x y 作一直线与曲线2200139x y -=相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角3π或23π；类比此思想，已知20001x y x <-，过点作一直线与函数21x y x-=的图像相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为____________．14.函数cos ,0,2y x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，与坐标轴围成的图像绕x 旋转一周所得旋转体的体积是____________．15. 220sin 2xdx π=⎰____________． 16.设()f x 与()g x 是定义在同一区间D 上的两个函数，若使得()()001f x g x -≤，则称()f x 和()g x 是D 上的“接近函数”，D 称为“接近区间”；若x D ∀∈，都有()()001f x g x ->，则称()f x 和()g x 是D 上的“远离函数”，D 称为“远离区间”．给出以下命题：①()21f x x =+与()232g x x =+是()-∞+∞，上的“接近函数”；②()234f x x x =-+与()23g x x =-的一个“远离区间”可以是[]2,3；③()f x =()(g x x b b =-+>是()1,1-上的“接近函数”，则1b <≤； ④若()ln 2xf x ex x=+与()22g x x a e =++（e 是自然对数的底数）是[)1,+∞上的“远离函数”，则1a > 其中的真命题有____________．（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.17.已知函数()()()()32436f x x m x mx n x R =+--+-∈的图像关于原点对称(),m n R ∈．（1）求,m n 的值；（2）若函数()()()2F x f x ax b =-+在区间[]1,2上为减函数，求实数a 的取值范围．18.已知函数()()3211ln ,32f x xg x x x mx n ==+++，直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切于点（1,0）．（1）求直线l 的方程及函数()g x 的解析式；（2）若()()()h x f x g x '=-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的极大值．19.已知函数()()2x f x x e =-和()32g x kx x =--．（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围；（2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()()2f x g x x ≥++恒成立，求实数k 的最大值． 20.已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈．（1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；（2） 若函数()f x 在1x =处取得极值，且对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当20x y e <<<且x e ≠时，试比较y x与1ln 1ln y x --的大小．参考答案一、选择题二、填空题13. 4π或2π 14. 24π 15. 142π- 16. ①③三、解答题17.解：（1）∵函数()f x 的定义域为R ，且其图像关于原点对称，∴()f x 是奇函数，又()F x 在[]1,2上是减函数，得()()1321202124120F a F a '=--≤⎧⎪⎨'=--≤⎪⎩，解得0a ≥，故实数a 的取值范围为[)0,+∞．18.解：（1）∵直线l 是函数()ln f x x =在点()1,0处的切线，故其斜率()11k f '== ∴直线l 的方程为1y x =-，又因为直线l 与函数()g x 的图象相切，且切于点()1,0，∴()321132g x x x mx n =+++在点()1,0的导函数值为1，∴()()1101116m g g n =-⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨'==⎪⎩⎪⎩，∴()32111326g x x x x =+-+． （2）∵()()()()2ln 10h x f x g x x x x x '=-=--+>，∴()()()221111221x x x x h x x x x x-+--'=--==-， 令()0h x '=，得12x =或1x =-（舍）， 当102x <<时，()()0,h x h x '>单调递增 ； 当12x >时，()()0,h x h x '<单调递减． 因此，当12x =时，()h x 取得极大值，∴()111ln 224h x h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极大 ． 19.解：（1）依题意()231g x kx '=-，①当0k ≤时，()2310g x kx '=-≤，所以()g x 在()1,2单调递减，不满足题意，②当0k >时，()g x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 因为函数()g x 在区间()12，不单调，所以12<<，解得11123k <<，综上所述，实数k 的取值范围是11123k <<．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由已知得()32x x e k x -≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分令()()42x x e h x x-=，则()()2446xx x e h x x-+'=．．．．．．．．．．．．．．．．10分()()24460xxx e h x x-+'=>，所以()()32x x e h x x-=在[)1,x ∈+∞单调递增，∴()()min 1h x h e ==-，∴k e ≤-，即k 的最大值为e -．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分20.解：（1）()11ax f x a x x-'=--当0a ≤时，()0f x '≤在()0,+∞上恒成立，函数()f x '在()0,+∞单调递减， ∴()f x '在()0,+∞上没有极值点； 当0a >时，()0f x '≤得()10,0x f x a '<≤≥得1x a≥， ∴()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，即()f x 在1x a =处有极小值．∴当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上没有极值点， 当0a <时， ()f x 在()0,+∞上有一个极值点．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =，∴()1l n 21xf x bx b x x≥-⇔+-≥， 令()1ln 1x g x x x=+-，可得()g x 在(20,e ⎤⎦上递减，在)2,e ⎡+∞⎣上递增， ∴()()22min 11g x g e e ==-，即211b e≤-．（3）令()()1ln 1xh x g x x x=-=-， 由（2）可知()g x 在()20,e 上单调递减，则()h x 在()20,e 上单调递减， ∴当20x y e <<<时，()()h x h y >，即1ln 1ln x yx y-->； 当0x e <<时，1ln 0x ->，∴1ln 1ln y yx x->-，当2e x e <<时，1ln 0x -<，∴1ln 1ln y y x x-<-．。
2018年河北省衡水市武邑中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设x∈R，i为虚数单位，且∈R，则x=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．（5分）设集合A={x|x2＜7x}，B={x|5＜2x＜17}，则A∩B中整数元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）已知向量，，则“x=﹣2”是“与反向”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是（）A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且5．（5分）若函数f（x）=e2x﹣（a﹣1）x+1在（0，1）上递减，则a的取值范围是（）A．（2e2+1，+∞）B．[2e2+1，+∞）C．（e2+1，+∞）D．[e2+1，+∞）6．（5分）某几何的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（）A．36 B．42 C．48 D．647．（5分）定义在R上的奇函数f（x）=a•2x﹣2﹣x﹣4sinx的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a） C．（a，3） D．（3，a+3）8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，已知异面直线PB与AD所成的角为60°，给出下面三个命题，p1：若AB=2，则此四棱锥的侧面积为；p2：若E，F分别为PC，AD的中点，则EF∥平面PAB；p3：若P，A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的表面积是四边形ABCD面积的2π倍．在下列命题中，为真命题的是（）A．p2∧p3B．p1∨（¬p2） C．p1∧p3D．p2∧（¬p3）10．（5分）设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），定义运算：，则（）A．（2Θ4）Θ8＞（2Θ8）Θ4＞（4Θ8）Θ2 B．8Θ（2Θ4）＞（4Θ8）Θ2＞（2Θ8）Θ4C．（4Θ8）Θ2＞（2Θ8）Θ4＞8Θ（2Θ4）D．（4Θ8）Θ2＞（2Θ4）Θ8＞（2Θ8）Θ411．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，2a n﹣a n﹣1=3•2n﹣1（n≥2），且3a1=2a2，记T n为数列{}的前n项和，若∀n∈N*，T n＜m，则m的最小值为（）A．B．C．D．112．（5分）当x≥0时，≥aln（x+1）恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，e]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，0]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设向量，满足|+|=2，||2+||2=5，则•=．14．（5分）函数的值域为．15．（5分）若函数的图象相邻的两个对称中心为，，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到g（x）的图象，则g（x）=．16．（5分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，EC⊥底面ABCD，EF∥EC，底面ABCD 为矩形，G为线段AB的中点，CG⊥DG，CD=2，DF=CE，BE与底面ABCD所成角为45°，则四棱锥E﹣ABCD与三棱锥F﹣CDG的公共部分的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2ccosA，．（1）求sinC；（2）求．18．（12分）设S n为数列{a n}的前项n和，，数列{b n}满足b2=a3，b n+1=b n+2．（1）求a n及b n；（2）记＜n＞表示n的个位数字，如＜6174＞=4，求数列的前20项和．19．（12分）已知向量=（2sin x，1），=（，1），函数f（x）=，x∈R．（1）若，x∈（﹣π，0），求x；（2）求f（x）在[0，）上的值域；（3）将f（x）的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，设h（x）=g（x﹣1）+x2﹣2x，判断h（x）的图象是否关于直线x=1对称，请说明理由．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ACD中，，PB⊥底面ACD，BC⊥AD，，，且．（1）若E为AC上一点，且EF⊥AC，证明：平面PBE⊥平面PAC．（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x+a的图象与x轴相切，且切点在x轴的正半轴上．（1）求曲线y=f（x）与y轴，直线x=1及x轴围成图形的面积S；（2）若函数g（x）=f（x）+mx在（﹣3，a）上的极小值不大于m﹣1，求m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=lnx，F（x）=f（x+1）﹣f（x﹣1）．（1）当x∈N*时，比较与的大小；（2）设，若函数g（x）在（0，+∞）上的最小值为，求a的值．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设x∈R，i为虚数单位，且∈R，则x=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解答】解：∵==∈R，∴，即x=1．故选：B．2．（5分）设集合A={x|x2＜7x}，B={x|5＜2x＜17}，则A∩B中整数元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：集合A={x|x2＜7x}={x|0＜x＜7}，B={x|5＜2x＜17}={x|＜x＜}，则A∩B={x|＜x＜7}，即有A∩B中整数元素为3，4，5，6，个数为4．故选：B．3．（5分）已知向量，，则“x=﹣2”是“与反向”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵向量共线则坐标对应成比例，∴，而要反向，也就是系数为负，∴只有一个解就是x=﹣2．∴“x=﹣2”是“与反向”的充要条件．故选：C．4．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是（）A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且【解答】解：由题意可知a，b，c依次成公比为的等比数列，则a+b+c=a+a+a=5×10，解得a=×50，∴c=×50×=，故选：D．5．（5分）若函数f（x）=e2x﹣（a﹣1）x+1在（0，1）上递减，则a的取值范围是（）A．（2e2+1，+∞）B．[2e2+1，+∞）C．（e2+1，+∞）D．[e2+1，+∞）【解答】解：∵f（x）=e2x﹣（a﹣1）x+1在（0，1）上递减，∴f′（x）=2e2x﹣（a﹣1）≤0，在（0，1）上恒成立，∴a≥2e2x+1在（0，1）上恒成立，∵y=2e2x+1在（0，1）上为增函数，∴y＜2e2+1，∴a≥2e2+1，故选：B．6．（5分）某几何的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（）A．36 B．42 C．48 D．64【解答】解：由几何体的三视图，得：该几何体是正方体，挖去了右上角和左下角两个八分之一的小正方体，剩下的体积为整个正方体体积的四分之三，设正方体的棱长为a，∵该几何体的体积为，∴=12，解得a=2，∴该几何体的表面积为：S=6×（2）2=48．故选：C．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）=a•2x﹣2﹣x﹣4sinx的一个零点所在区间为（）A．（﹣a，0）B．（0，a） C．（a，3） D．（3，a+3）【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）=a•2x﹣2﹣x﹣4sinx，∴f（0）=a﹣1=0，解得a=1，∴f（x）=2x﹣2﹣x﹣4sinx，∴f（1）=1﹣2﹣4sin1＜0，f（3）=8﹣﹣4sin3＞0，∴f（1）•f（3）＜0，∴函数一个零点所在的区间为（a，3），、故选：C．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，由⇒A（3，﹣3），由图得当z=x﹣y过点A（3，﹣3）时，Z最大为6．故所求z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，6]故选：D．9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，已知异面直线PB与AD所成的角为60°，给出下面三个命题，p1：若AB=2，则此四棱锥的侧面积为；p2：若E，F分别为PC，AD的中点，则EF∥平面PAB；p3：若P，A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的表面积是四边形ABCD面积的2π倍．在下列命题中，为真命题的是（）A．p2∧p3B．p1∨（¬p2） C．p1∧p3D．p2∧（¬p3）【解答】解：在正四棱锥P﹣ABCD中，已知异面直线PB与AD所成的角为60°，∴∠PBC=60°，PB=BC=PC，∴正四棱锥P﹣ABCD中各棱相等．对于p1：若AB=2，则此四棱锥的侧面都是边长为2的等边三角形其侧面积为4×，故为假命题；对于p2：若E，F分别为PC，AD的中点，取BC中点H，可得面EFH∥面PAB，则EF∥平面PAB，故为真命题；对于p3：若P，A，B，C，D都在球O的表面上，设正四棱锥P﹣ABCD中各棱为2，则球O的半径R，满足R2=OA2+（PO﹣R）2，∵，∴，∴球的表面积S=4πR2=8π∴球的表面积是四边形ABCD面积的2π倍故为真命题．∴p1∧p2为真命题，故选：A．10．（5分）设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），定义运算：，则（）A．（2Θ4）Θ8＞（2Θ8）Θ4＞（4Θ8）Θ2B．8Θ（2Θ4）＞（4Θ8）Θ2＞（2Θ8）Θ4C．（4Θ8）Θ2＞（2Θ8）Θ4＞8Θ（2Θ4）D．（4Θ8）Θ2＞（2Θ4）Θ8＞（2Θ8）Θ4【解答】解：根据新定义可知，2Θ4=log24=2，2Θ8=log28=3，4Θ8=log48=log28=，（2Θ4）Θ8=2Θ8=3，（2Θ8）Θ4=3Θ4=log34，（4Θ8）Θ2=Θ2=log1.52，8Θ（2Θ4）=8Θ2=log28=3，∵log43=log2＞log21.5，∴＜，∴log34＜log1.52，∴8Θ（2Θ4）＞（4Θ8）Θ2＞（2Θ8）Θ4故选：B．11．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，2a n﹣a n﹣1=3•2n﹣1（n≥2），且3a1=2a2，记T n为数列{}的前n项和，若∀n∈N*，T n＜m，则m的最小值为（）A．B．C．D．1=3•2n﹣1（n≥2），得，【解答】解：由2a n﹣a n﹣1∴，=3•2n﹣1（n≥2），且3a1=2a2，由2a n﹣a n﹣1可得2a2﹣a1=6，即2a1=6，得a1=3．∴数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，则，∴，∴（2+22+23+…+2n）==2•2n﹣21﹣n．∴．∴=．∵对∀n∈N*，T n＜m，∴m的最小值为．故选：A．12．（5分）当x≥0时，≥aln（x+1）恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，e]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，0]【解答】解：当x≥0时，≥aln（x+1）恒成立，∴a≤，设f（x）=，x≥0，则f′（x）=，再设g（x）=（1+x）2ln（x+1）﹣x，则g′（x）=（1+x）ln（x+1）+1+x﹣x=（1+x）ln（x+1）+1＞0恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，∴f′（x）≥0∴f′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0），∵，根据洛必达法则可得∵f（0）====1，∴a≤1，故a的取值范围为（﹣∞，1]，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设向量，满足|+|=2，||2+||2=5，则•=﹣．【解答】解：|+|=2，||2+||2=5，∴||2+||2+2•=4，∴2•=﹣1，∴•=﹣，故答案为：14．（5分）函数的值域为[0，2）．【解答】解：由题意，4﹣4x≥0∴f（x）≥0，又∵4x＞0，∴4﹣4x＜4．∴函数的值域为：[0，2），故答案为：[0，2）．15．（5分）若函数的图象相邻的两个对称中心为，，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到g（x）的图象，则g（x）=sin（2πx﹣）．【解答】解：由题意可得•=+，∴ω=π，结合π×+φ=kπ，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（πx﹣）．将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到g（x）=的图象，故答案为：sin（2πx﹣）．16．（5分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，EC⊥底面ABCD，EF∥EC，底面ABCD 为矩形，G为线段AB的中点，CG⊥DG，CD=2，DF=CE，BE与底面ABCD所成角为45°，则四棱锥E﹣ABCD与三棱锥F﹣CDG的公共部分的体积为．【解答】解：如图，GF与AE的交点为M，CF与DE的交点为N，连接MN，DM，EF，在四棱锥E﹣ABCD中，EC⊥底面ABCD，FD∥EC，底面ABCD为矩形，可知EF∥AB，且EF=AB，AB=CD=2，G为线段AB的中点，CG⊥DG，AG=1，DG=，则AD=BC=1，∵BE与底面ABCD所成角为45°，∴CE=BC=1，∵GM：MF=AG：FE=1：2，N是FC的中点，=FM•FN•sin∠MFN=•FG•FC•sin∠MFN=S△FGC，∴S△MFN则四棱锥E﹣ABCD与三棱锥F﹣CDG的公共部分的体积为V D=•V D﹣FGC=×﹣MNCG××2×1×1=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2ccosA，．（1）求sinC；（2）求．【解答】解：（1）∵a=2ccosA，正弦定理：可得sinA=2sinCcosA，∴tanA=2sinC＞0．∵，∴sinA=2sinCcosA，∴，从而．（2）∵，∴C为锐角，，∴，∴．18．（12分）设S n为数列{a n}的前项n和，，数列{b n}满足b2=a3，b n+1=b n+2．（1）求a n及b n；（2）记＜n＞表示n的个位数字，如＜6174＞=4，求数列的前20项和．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，由于a1=S1=1也满足a n=2n﹣1，∴a n=2n﹣1．∵b2=a3=5，b n+1﹣b n=2，∴b1=3，∴数列{b n}是首项为3，公差为2的等差数列，∴b n=2n+1；（2）∵a n=2n﹣1，∴＜a n＞的前5项依次为1，3，5，7，9．∵b n=2n+1，∴＜b n＞的前5项依次为3，5，7，9，1．而＜a n＞与＜b n＞的周期均为5，∴的前20项和为=．19．（12分）已知向量=（2sin x，1），=（，1），函数f（x）=，x∈R．（1）若，x∈（﹣π，0），求x；（2）求f（x）在[0，）上的值域；（3）将f（x）的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，设h（x）=g（x﹣1）+x2﹣2x，判断h（x）的图象是否关于直线x=1对称，请说明理由．【解答】解：向量=（2sin x，1），=（，1），函数f（x）=，x ∈R．（1）由=即2=4sin2x+1，可得：sinx=±∵x∈（﹣π，0），∴sinx＜0，即sinx=﹣∴x=或（2）函数f（x）==4sinx（cosxcos﹣sinxsin）+1=sin2x﹣2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∵x∈[0，）上，∴2x+∈[，]则≤sin（2x+）≤1故得f（x）在[0，）上的值域为[﹣1，2]；（3）将f（x）的图象向左平移个单位得到：y=2sin（2（x+）+）=2cos2x ∴g（x）=2cos2x那么：h（x）=g（x﹣1）+x2﹣2x=2cos2（x﹣1）+x2﹣2x．假设h（x）关于直线x=1对称，可得h（x+1）=h（1﹣x）由h（x+1）=2cos2x+（x+1）2﹣2（x+1）．h（1﹣x）=2cos2x+（1﹣x）2﹣2（1﹣x）．可得：h（x+1）=h（1﹣x）成立故得h（x）的图象关于直线x=1对称．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ACD中，，PB⊥底面ACD，BC⊥AD，，，且．（1）若E为AC上一点，且EF⊥AC，证明：平面PBE⊥平面PAC．（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）由PB⊥底面ACD，得PB⊥AC．又BE⊥AC，BE∩PB=B，∴AC⊥平面PBE．又AC⊂平面PAC，∴平面PBE⊥平面PAC．解：（2）∵，∴，∴，解得AB=3，BC=1，PB=2，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，则A（0，﹣3，0），C（1，0，0），P（0，0，2），D（0，1，0），，=（1，3，0），=（﹣1，1，0）．设是平面PCD的法向量，则，即令x1=6，得=（6，﹣2，3）设是平面PCD的法向量，则，即，令x 2=2，得．∴，由图可知，二面角A﹣PC﹣D为钝角，故二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x+a的图象与x轴相切，且切点在x轴的正半轴上．（1）求曲线y=f（x）与y轴，直线x=1及x轴围成图形的面积S；（2）若函数g（x）=f（x）+mx在（﹣3，a）上的极小值不大于m﹣1，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，∴f′（x）=0得x=±1，由题意可得f（1）=a﹣2=0，解得a=2．故f（x）=x3﹣3x+2，∴S=f（x）dx=（x4﹣x2+2x）|=﹣+2=．（2）∵g（x）=x3﹣3x+2+mx=x3+（m﹣3）x+2，∴g′（x）=3x2+m﹣3当m﹣3≥0时，g（x）无极值；当m﹣3＜0，即m＜3时，令g′（x）＜0，解得；令g′（x）＞0解得或.，∴g（x）在处取得极小值，当，即m≤﹣9，g（x）在（﹣3，2）上无极小值，故当﹣9＜m＜3时，g（x）在（﹣3，2）上有极小值且极小值为，即．∵m＜3，∴，∴．又﹣9＜m＜3，故．22．（12分）已知函数f（x）=lnx，F（x）=f（x+1）﹣f（x﹣1）．（1）当x∈N*时，比较与的大小；（2）设，若函数g（x）在（0，+∞）上的最小值为，求a的值．【解答】解：（1），构造函数，，当x≥3时，h'（x）＜0，∴h（x）在[3，+∞）上单调递减．∴，故当x=2n+1（n∈N*）时，，即，即．（2）由题得g（x）=xe ax﹣1﹣ax﹣lnx，则，由得到，设，．当x＞e2时，p'（x）＞0；当0＜x＜e2时，p'（x）＜0．从而p（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）上递增．∴．当时，，即（或）设p（x）=xe ax﹣1﹣1，证明p （x ）≤0亦可得到）．在上，ax +1＞0，g'（x ）≤0，g （x ）递减； 在上，ax +1＜0，g'（x ）≥0，g （x ）递增．∴，∴，解得：．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
河北省武邑中学高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样2.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）A ．28B ．23C ．18D ．133.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()112mod3=.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ．22C ．23D ．244.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg )分别为12,,,n x x x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A. 12,,,n x x x 的平均数 B. 12,,,n x x x 的标准差 C.12,,,n x x x 的最大值D. 12,,,n x x x 的中位数5.已知直线,m l ,平面,αβ,且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥；④若//m l ，则αβ⊥.其中正确的命题是（ ） A.①④B.③④C.①②D.②③6.供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人B.12月份人均用电量不低于20度的有500人C.12月份人均用电量为25度D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[)30,40—组的概率为1107.已知,x y 满足条件002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =+从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．148.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）A ．30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．324ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，9.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=（ ）(其中e 为自然对数的底）A ．1e -B ．1e -C ．1e --D ．1e + 10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，163,6,2AB AC AE ED ===，则AE EB ⋅等于（ ）A ．14-B ．9-C ．9D ．1411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（ ）A ．23π B ．34π C ．56π D ．35π 12.在直角坐标系内，已知()3,5A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A )重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P ，使得()0MP CP CN ⋅-=，其中点()(),0,0M m N m -、，则m 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，有,,,,,A B C D E 5组数据，去掉 组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用A B C D E 、、、、作答）14.过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A B 、两点，则AB = ．15.已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点若2212F A F B +=，则AB = ．16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元， 该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，120C =︒. （1）若1c =，求ABC ∆面积的最大值； （2） 若2a b =，求 t tan A .18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：()()()1122211nnii i ii i nniii i xx y yx y nx yb xxxnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）参考数据：1125132912268161092⨯+⨯+⨯+⨯=， 22221113128498+++=.19.如图，四面体ABCD 中，O E 、分别是BD BC 、的中点，2CA CB CD BD ====,AB AD ==（1）求证：//OE 平面ACD ；（2）求直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值. 20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2, 3, 4, 5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00〜8:00到达，乙船将于早上7:30〜8:30到达，请求出甲船先停靠的概率.21.如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =； （2）若11,,3AC AB CBB AB BC π⊥∠==，求二面角111A A B C --的余弦值.22.已知椭圆()2222 0:1x y C a ba b =>>+的右焦点()1,0F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点()(),00T t t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5: CDCCA 6-10: CBBAD 11、12：AB二、填空题13. D 14.16315. 8 16. 27 三、解答题17. 解：设（1）由余弦定理得222cos1201a b ab +-︒=，22123a b ab ab ab ab ++=≥+=，当且仅当a b =时取等号；解得13ab ≤，故1sin 2ABC S ab C ∆==≤ABC ∆. （2）因为2a b =，由正弦定理得sin 2sin A B =，又120C =︒，故60A B +=︒，∴()sin 2sin 60sin A A A A =︒--，2sin A A =，∴tan A =18.（1）由数据求得11,24x y == 由公式求得187b =再由307a y bx =-=-所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =-（2）当10x =时，1507y =，1502227-<； 同样，当6x =时，787y =，781227-< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.19.（1）证明：连结OE ,∵O E 、分别是BD BC 、的中点.∴//OE CD , 又OE ⊄平面ACD ,CD ⊂平面ACD , ∴//OE 平面ACD（2）法一：连结OC ,∵,BO DO AB AD ==,∴AO BD ⊥. ∵,BO DO BC CD ==,∴CO BD ⊥. 在AOC ∆中， 由已知可得1,AO CO ==而2AC =,∴222AO CO AC +=,∴AO OC ⊥. ∵BD OC O ⋂=,∴AO ⊥平面BCD .以OB OC OA 、、分别为x y z 、、轴，建立如图所示的直角坐标系 ()()()()0,0,1,1,0,0,,1,0,0A B C D -设平面ACD 的法向量(),,x y z η=，由()()1,0,1,1,3,0DA DC ==则有0x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =-，得31,η⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 又因为()OC =，所以7sin OC OC ηαη⋅==故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为.法二：设O 到平面ACD 的距离为d ，由A ODC O ADC V V --=，有1111113232d ⨯⨯=⨯，得d =故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为：d OC =. 20.（1）这种规则是不公平的设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ,基本事件总数为5525⨯=种 . 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,3,1,3,3,3,5, ()()()()()4,2,4,4,5,1,5,3,5,5，∴甲胜的概率()1325P A =乙胜的概率()()12125P B P A =-= ∴这种游戏规则不公平.（2）设甲船先停靠为事件C ,甲船到达的时刻为x ,乙船到达的时刻为y ，(),x y 可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为(){},78,7.58.5x y x y Ω=≤≤≤≤，这是一个正方形区域，面积111S Ω=⨯=，事件C 所构成的区域为(){},,78,7.58.5A x y y x x y =>≤≤≤≤，111712228A S =-⨯⨯=，这是一个几何概型，所以()78A S P C S Ω==.21.（1） 连接1BC ,交1BC 于点O ,连接AO ,因为侧面11BB C C 为菱形, 所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点，又11,AB B C AB BC B ⊥⋂= 所以1B C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO , 故1B C AO ⊥.又1B O CO =,故1AC AB =. （2）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，. 所以AO CO =.又因为AB BC =,所以BOA BOC ∆≅∆,故OA OB ⊥, 从而1,,OA OB OB 两两相互垂直，O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -因为13CBB π∠=,所以1CBB ∆为等边三角形，又AB BC =，则()1,1,0,0,,0,A B B C ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1AB ⎛= ⎝⎭，111,0,A B AB ⎛== ⎝⎭，111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面11AA B 的法向量，则11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z x z =⎨⎪=⎪⎩，所以可取(1,3,n = 设m 是平面111A B C 的法向量，则11110m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，同理可取(1,m =1cos ,7n mn m n m ⋅== 所以二面角111A A B C --的余弦值为17.22.解：（1)由题意知1c =，又tan60bc=︒=23b =， 2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y +=.（2）当0k =时，0t =，不合题意设直线PQ 的方程为：()()1,0y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：()22223484120k x k x k +-+-=，故 0∆>，则,0k R k ∈≠ 设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,R x y ，则()2120002243,123434x x k kx y k x k k +===-=-++， 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得: ()()20PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为:2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， 因为()20,k ∈+∞，所以()2344,k +∈+∞，所以10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以线段OF 上存在点(),0T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(word版含答案)
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样2.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A．28 B．23 C．18 D．133.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为()112mod3=.现将该问题=，例如()modN n m以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．244.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg)分别为12,,,n x x x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A. 12,,,n x x x 的平均数 B. 12,,,n x x x 的标准差 C.12,,,n x x x 的最大值D. 12,,,n x x x 的中位数5.已知直线,m l ,平面,αβ,且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥；④若//m l ，则αβ⊥.其中正确的命题是（ ） A.①④B.③④C.①②D.②③6.供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人B.12月份人均用电量不低于20度的有500人C.12月份人均用电量为25度D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[)30,40—组的概率为1107.已知,x y 满足条件002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =+从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．148.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）A ．30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．324ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，9.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=（ ）(其中e 为自然对数的底）A ．1e -B ．1e -C ．1e --D ．1e +10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，16,2AB AC AE ED ===，则AE EB ⋅ 等于（ ）A ．14-B ．9-C ．9D ．1411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（ ）A ．23π B ．34π C ．56π D ．35π 12.在直角坐标系内，已知()3,5A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A )重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P ，使得()0MP CP CN ⋅-=，其中点()(),0,0M m N m -、，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，有,,,,,A B C D E 5组数据，去掉 组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用A B C D E 、、、、作答）14.过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A B 、两点，则AB = ．15.已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点若2212F A F B +=，则AB = ．16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元， 该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，120C =︒. （1）若1c =，求ABC ∆面积的最大值； （2） 若2a b =，求 t tan A .18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程 y bx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：()()()1122211nnii i ii i nniii i xx y yx y nx yb xxxnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）参考数据：1125132912268161092⨯+⨯+⨯+⨯=， 22221113128498+++=.19.如图，四面体ABCD 中，O E 、分别是BD BC 、的中点，2CA CB CD BD ====,AB AD =（1）求证：//OE 平面ACD ；（2）求直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值. 20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2, 3, 4, 5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00〜8:00到达，乙船将于早上7:30〜8:30到达，请求出甲船先停靠的概率.21.如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =； （2）若11,,3AC AB CBB AB BC π⊥∠==，求二面角111A A B C --的余弦值.22.已知椭圆()2222 0:1x y C a b a b =>>+的右焦点()1,0F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点()(),00T t t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5: CDCCA 6-10: CBBAD 11、12：AB二、填空题13. D 14.16315. 8 16. 27 三、解答题17. 解：设（1）由余弦定理得222cos1201a b ab +-︒=，22123a b ab ab ab ab ++=≥+=，当且仅当a b =时取等号；解得13ab ≤，故1sin 2ABC S ab C ∆==≤ABC ∆. （2）因为2a b =，由正弦定理得sin 2sin A B =，又120C =︒，故60A B +=︒，∴()sin 2sin 60sin A A A A =︒-=-，2sin A A =，∴tan A =18.（1）由数据求得11,24x y == 由公式求得187b =再由307a y bx =-=-所以y 关于x 的线性回归方程为 183077y x =-（2）当10x =时， 1507y =，1502227-<； 同样，当6x =时， 787y =，781227-< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.19.（1）证明：连结OE ,∵O E 、分别是BD BC 、的中点.∴//OE CD , 又OE ⊄平面ACD ,CD ⊂平面ACD , ∴//OE 平面ACD（2）法一：连结OC ,∵,BO DO AB AD ==,∴AO BD ⊥. ∵,BO DO BC CD ==,∴CO BD ⊥. 在AOC ∆中， 由已知可得1,AO CO =而2AC =,∴222AO CO AC +=,∴AO OC ⊥. ∵BD OC O ⋂=,∴AO ⊥平面BCD .以OB OC OA 、、分别为x y z 、、轴，建立如图所示的直角坐标系 ()()()()0,0,1,1,0,0,,1,0,0A B C D -设平面ACD 的法向量(),,x y z η=，由()()1,0,1,DA DC ==则有0x z x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =-，得η⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭又因为()OC =，所以sin OC OC ηαη⋅==故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为.法二：设O 到平面ACD 的距离为d ，由A ODC O ADC V V --=，有1111113232d ⨯⨯=⨯，得d =故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为：d OC =20.（1）这种规则是不公平的设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ,基本事件总数为5525⨯=种 . 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,3,1,3,3,3,5, ()()()()()4,2,4,4,5,1,5,3,5,5，∴甲胜的概率()1325P A =乙胜的概率()()12125P B P A =-= ∴这种游戏规则不公平.（2）设甲船先停靠为事件C ,甲船到达的时刻为x ,乙船到达的时刻为y ，(),x y 可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为(){},78,7.58.5x y x y Ω=≤≤≤≤，这是一个正方形区域，面积111S Ω=⨯=，事件C 所构成的区域为(){},,78,7.58.5A x y y x x y =>≤≤≤≤，111712228A S =-⨯⨯=，这是一个几何概型，所以()78A S P C S Ω==.21.（1） 连接1BC ,交1BC 于点O ,连接AO ,因为侧面11BB C C 为菱形, 所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点，又11,AB B C AB BC B ⊥⋂= 所以1B C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO , 故1B C AO ⊥.又1B O CO =,故1AC AB =. （2）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，. 所以AO CO =.又因为AB BC =,所以BOA BOC ∆≅∆,故OA OB ⊥, 从而1,,OA OB OB 两两相互垂直，O 为坐标原点，OB的方向为x 轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -因为13CBB π∠=,所以1CBB ∆为等边三角形，又AB BC =，则()1,1,0,0,,0,A B B C ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1AB ⎛= ⎝⎭，111,0,A B AB ⎛== ⎝⎭，111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ . 设(),,n x y z =是平面11AA B 的法向量，则11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x -=⎨⎪-=⎪⎩，所以可取(n = 设m 是平面111A B C 的法向量，则11110m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，同理可取(1,m =1cos ,7n m n m n m ⋅==所以二面角111A A B C --的余弦值为17.22.解：（1)由题意知1c =，又tan60bc=︒=23b =， 2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y +=.（2）当0k =时，0t =，不合题意设直线PQ 的方程为：()()1,0y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：()22223484120k x k x k +-+-=，故 0∆>，则,0k R k ∈≠ 设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,R x y ，则()2120002243,123434x x k kx y k x k k +===-=-++， 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅ 得: ()()20PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=，所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为:2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， 因为()20,k ∈+∞，所以()2344,k +∈+∞，所以10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以线段OF 上存在点(),0T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅ ，其中10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期入学考试数学理试题 含答案 精品
河北武邑中学2017-2018学年高二开学考试数学（理）试题一、选择题(共12小题，每小题5.0分,共60分)1.函数y＝2cos2(x－)－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数2.在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan A tan B的值为()A．B．C．D．3.已知α＋β＝π，则(1－tanα)(1－tanβ)等于()A．2 B．－2 C．1 D．－14.化简cosx＋sinx等于()A．2cos(－x) B．2cos(－x) C．2cos(＋x) D．2cos(＋x) 5.已知α，β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则cosβ的值为()A．B．C．－D．6.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个7.cos 225°＋tan 240°＋sin(－60°)＋tan(－60°)的值是()A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．－错误！未找到引用源。
－错误！未找到引用源。
D．－错误！未找到引用源。
＋错误！未找到引用源。
8.若直线x＝a是函数y＝sin(x＋错误！未找到引用源。
)图象的一条对称轴，则a的值可以是()A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．－错误！未找到引用源。
D ． －错误！未找到引用源。
9.下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin 错误！未找到引用源。
B ．y ＝sin 错误！未找到引用源。
C ．y ＝cos 错误！未找到引用源。
D ．y ＝cos 错误！未找到引用源。
10.－300°化为弧度是( ) A ． －错误！未找到引用源。
武邑中学2017-2018学年高二文理科数学试卷
武邑中学2017-2018学年高二文科数学试卷一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.在△ABC中，若a=c=2，B=120°，则边b=( )A. B. C. D.2.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为( )A. B.2 C.2 D.43.在中，,，在边上，且,则( )A. B. C. D.4.已知数列{an}的首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是( )A.2B.3C. 4D.55.边长为的三角形的最大角与最小角的和是( )A. B. C. D.6.已知向量a=(1,2)，a·b=5，|a-b|=2，则|b|等于( )A. B.2 C.5 D.257.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[-，0)时，f(x)=sinx，则f(-)的值为( )A.-B.C.-D.8.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于( )A.-+B.--C.-D.+9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别为( )A.2,0B.2，C.2，-D.2，10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R 恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )A.[kπ-，kπ+](k∈Z)B.[kπ，kπ+](k∈Z)C.[kπ+，kπ+](k∈Z)D.[kπ-，kπ](k∈Z)11.在中，角所对应的边分别为，.若,则( )A. B.3 C.或3 D.3或12 . 如果数列{a n}满足a1，a 2-a1，a 3-a 2，…，a n-a n-1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an=( )A.2-1B.2-1C.2D.2+1二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知角的终边落在上，求的值 .14.如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中的值为 .x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 15.若圆与相交于两点，且，则实数的值为 .16.已知函数的图像如图所示，则 .三、解答题(共70分)17.(本题满分10分)已知函数，(1)求函数的最小正周期与单调递增区间;(2)若时，函数的最大值为0，求实数的值.18. (本小题满分12分)已知等差数列的通项公式为.试求(Ⅰ)与公差; (Ⅱ)该数列的前10项的和的值.19.已知函数,其中，.(Ⅰ)求函数的单调递减区间;(Ⅱ)在中，角所对的边分别为，，，且向量与向量共线，求的面积.20.已知数列的前项和为，且满足;数列的前项和为，且满足，，.(1)求数列、的通项公式;(2)是否存在正整数，使得恰为数列中的一项?若存在，求所有满足要求的;若不存在，说明理由.21.(本题12分)已知点(1,2)是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn=f(n)-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=logaan+1，求数列{anbn}的前n项和Tn22.设函数，其中，，.(1)求的解析式;(2)求的周期和单调递增区间;(3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.参考答案B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.A 9.D 10.CC 12.B13. 14. 2.8 15. 4 16.17.(1)，单调递增区间为，;(2).18.19.解:(Ⅰ)令错误!未找到引用源。
武邑中学高二上学期期末考试数学(理)试题有答案-优选
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样2.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）A ．28B ．23C ．18D ．133.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()112mod3=.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ．22C ．23D ．244.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg )分别为12,,,n x x x ，下面给出的指标中可以用评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A. 12,,,n x x x 的平均数B. 12,,,n x x x 的标准差C.12,,,n x x x 的最大值D. 12,,,n x x x 的中位数5.已知直线,m l ,平面,αβ,且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥； ④若//m l ，则αβ⊥.其中正确的命题是（ ） A.①④B.③④C.①②D.②③6.供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人B.12月份人均用电量不低于20度的有500人C.12月份人均用电量为25度D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[)30,40—组的概率为1107.已知,x y 满足条件002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =+从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．148.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ） A ．30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．324ππ⎛⎤⎥⎝⎦， 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=（ ）(其中e 为自然对数的底）A ．1e -B ．1e -C ．1e --D ．1e +10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，163,6,2AB AC AE ED ===，则AE EB ⋅等于（ ） A ．14- B ．9- C ．9 D ．1411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（ ）A ．23π B ．34π C ．56π D ．35π 12.在直角坐标系内，已知()3,5A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A )重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P ，使得()0MP CP CN ⋅-=，其中点()(),0,0M m N m -、，则m 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，有,,,,,A B C D E 5组数据，去掉 组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用A B C D E 、、、、作答）14.过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A B 、两点，则AB = ．15.已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点若2212F A F B +=，则AB = ．16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元， 该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，120C =︒. （1）若1c =，求ABC ∆面积的最大值； （2） 若2a b =，求 t tan A .18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x yyx y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）参考数据：1125132912268161092⨯+⨯+⨯+⨯=，22221113128498+++=.19.如图，四面体ABCD 中，O E 、分别是BD BC 、的中点，2CA CB CD BD ====,AB AD ==（1）求证：//OE 平面ACD ；（2）求直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值. 20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2, 3, 4, 5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.（2）根据以往经验，甲船将于早上700〜800到达，乙船将于早上730〜830到达，请求出甲船先停靠的概率.21.如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =；（2）若11,,3AC AB CBB AB BC π⊥∠==，求二面角111A A B C --的余弦值.22.已知椭圆()2222 0:1x y C a ba b =>>+的右焦点()1,0F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点()(),00T t t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5 CDCCA 6-10 CBBAD 11、12：AB 二、填空题13. D 14. 16315. 8 16. 27 三、解答题17. 解：设（1）由余弦定理得222cos1201a b ab +-︒=，22123a b ab ab ab ab ++=≥+=，当且仅当a b =时取等号；解得13ab ≤，故1sin 2ABC S ab C ∆=≤ABC ∆. （2）因为2a b =，由正弦定理得sin 2sin A B =，又120C =︒，故60A B +=︒，∴()sin 2sin 60sin A A A A =︒-=-，2sin A A =，∴tan A =. 18.（1）由数据求得11,24x y == 由公式求得187b =再由307a y bx =-=-所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =-（2）当10x =时，1507y =，1502227-<；同样，当6x =时，787y =，781227-<所以，该小组所得线性回归方程是理想的.19.（1）证明：连结OE ,∵O E 、分别是BD BC 、的中点.∴//OE CD , 又OE ⊄平面ACD ,CD ⊂平面ACD , ∴//OE 平面ACD（2）法一：连结OC ,∵,BO DO AB AD ==,∴AO BD ⊥. ∵,BO DO BC CD ==,∴CO BD ⊥. 在AOC ∆中， 由已知可得1,AO CO ==而2AC =,∴222AO CO AC +=,∴AO OC ⊥. ∵BD OC O ⋂=,∴AO ⊥平面BCD .以OB OC OA 、、分别为x y z 、、轴，建立如图所示的直角坐标系()()()()0,0,1,1,0,0,,1,0,0A B C D -设平面ACD 的法向量(),,x y z η=，由()()1,0,1,1,3,0DA DC ==则有0x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =-，得31,η⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭又因为()OC =，所以7sin OC OC ηαη⋅==故直线OC 与平面ACD .法二：设O 到平面ACD 的距离为d ，由A ODCO ADC V V --=，有1111113232d ⨯⨯=⨯，得d =故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为：d OC =. 20.（1）这种规则是不公平的设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ,基本事件总数为5525⨯=种 .则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,3,1,3,3,3,5,()()()()()4,2,4,4,5,1,5,3,5,5，∴甲胜的概率()1325P A =乙胜的概率()()12125P B P A =-= ∴这种游戏规则不公平.（2）设甲船先停靠为事件C ,甲船到达的时刻为x ,乙船到达的时刻为y ，(),x y 可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为(){},78,7.58.5x y x y Ω=≤≤≤≤，这是一个正方形区域， 面积111S Ω=⨯=，事件C 所构成的区域为(){},,78,7.58.5A x y y x x y =>≤≤≤≤，111712228A S =-⨯⨯=，这是一个几何概型，所以()78A S P C S Ω==. 21.（1） 连接1BC ,交1BC 于点O ,连接AO ,因为侧面11BB C C 为菱形, 所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点，又11,AB B C AB BC B ⊥⋂= 所以1B C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO , 故1B C AO ⊥.又1B O CO =,故1AC AB =. （2）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，. 所以AO CO =.又因为AB BC =, 所以BOA BOC ∆≅∆,故OA OB ⊥, 从而1,,OA OB OB 两两相互垂直，O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -因为13CBB π∠=,所以1CBB ∆为等边三角形，又AB BC =，则()1,1,0,0,,0,A B B C ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1AB ⎛= ⎝⎭，111,0,A B AB ⎛== ⎝⎭，111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面11AA B 的法向量，则11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x -=⎨⎪=⎪⎩，所以可取(1,3,n = 设m 是平面111A B C 的法向量，则111100m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，同理可取(1,m =1cos ,7n m n m n m⋅==所以二面角111A A B C --的余弦值为17.22.解：（1)由题意知1c =，又tan60b c=︒=23b =，2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y +=.（2）当0k =时，0t =，不合题意设直线PQ 的方程为：()()1,0y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：()22223484120k x k x k +-+-=，故 0∆>，则,0k R k ∈≠ 设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,R x y ，则()2120002243,123434x x k kx y k x k k+===-=-++， 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得 ()()20PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， 因为()20,k ∈+∞，所以()2344,k +∈+∞，所以10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 所以线段OF 上存在点(),0T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。
河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(理)试题Word版含解析
河北武邑中学2017—2018学年高二上学期第一次月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列试验中，是古典概型的为（）A. 种下一粒花生，观察它是否发芽B. 向正方形内，任意投掷一点，观察点是否与正方形的中心重合C. 从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率D. 在区间内任取一点，求此点小于2的概率【答案】C【解析】对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内有无限多个点，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性。
故选C.2. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】该树枝的树梢有6处，共有2处能找到食物，所以获得食物的概率为.故选B.3. 从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A. 与互斥B. 任何两个均互斥C. 与互斥D. 任何两个均不互斥【答案】A【解析】依据互斥的定义知：、与中的元素没有公共的元素，因此与互斥，与有公共元素，所以与不互斥，故答案B、C、D都不正确，应选答案A。
4. 先后抛掷三枚均匀的壹角、伍角、壹元硬币，则出现两枚正面，一枚反面的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先后抛掷三枚均匀硬币共有8中情况，其中两正一反共有3种情况，所求概率为. 故选A.5. 已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】边长为4的正三角形为面积为，分别以为圆心，1为半径在中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点距离超过1的区域，其面积为.故所求概率.故选B.点睛：对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.6. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，其中这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有种结果，故这两位同学不在同一个兴趣小组的概率，故选C.考点：列举法计算基本事件及其发生的概率.7. 下列说法中正确的是（）A. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B. “”与“”不等价C. “，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【答案】D【解析】试题分析：A中逆命题和否命题真假性相同；B中由可得，反之成立，因此两者等价；C中逆否命题为“若不全为，则”；D中正确考点：四种命题8. 设函数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B∴，反之不成立,例如,但是无意义。
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2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．（5分）命题“∃x0∈R，x0+1＜0或x02﹣x0＞0”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x0+1≥0或B．∀x∈R，x+1≥0或x2﹣x≤0C．∃x0∈R，x0+1≥0且D．∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤03．（5分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．|a|≤1 C．|a|＜1 D．a≥14．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB=2AA1=2a，EF=a，B1E=B1F．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”则P（A∪B）等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知平面α∥β，且α与β的距离为d（d＞0）．m⊂α．则在β内与直线m的距离为2d的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条7．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，则A′C与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=a，BD=2a，则CD的长为（）A．2a B． a C．a D．a9．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）10．（5分）曲线y=e x在点A处的切线与直线x﹣y+3=0平行，则点A的坐标为（）A．（﹣1，e﹣1）B．（0，1） C．（1，e） D．（0，2）11．（5分）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为x1，x2，则P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2外C．必在圆x2+y2=1外D．必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则（）A．f（2）＜e2f（0）B．f（2）≤e2f（0）C．f（2）=e2f（0） D．f（2）＞e2f（0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在区间（0，1）内任取一个数a，能使方程x2+2ax+=0有两个相异的实根的概率为．14．（5分）若双曲线的一条渐近线为y=x，且过P（3，﹣），则双曲线的方程为．15．（5分）如果函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f′（x）在区间（﹣3，﹣）内单调递增；②函数y=f′（x）在区间（﹣，3）内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f′（x）有极大值；则上述判断中正确的是．16．（5分）若函数f（x），g（x）满足[f（x）•g（x）]dx=0，则称f（x），g （x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，下列三组函数中为区间[﹣1，1]上的一组正交函数的有．（用序号作答）①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：∀x∈[1，2]，﹣lnx﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+2ax0﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a∈{x∈Z|0≤x≤3}，b∈{x∈Z|0≤x≤2}，求方程x2+2ax+b2=0恰有两个不相等实根的概率；（2）若a∈{x|0≤x≤3}，b∈{x|0≤x≤2}，求方程x2+2ax+b2=0恰有两个不相等实根的概率．19．（12分）已知长方形ABCD中，AB=1，AD=，现将长方形沿对角线BD折起，使AC=a，得到一个四面体A﹣BCD，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A﹣BCD体积最大时，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．（Ⅰ）求证：C1D⊥D1E；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点M使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求AD的长．21．（12分）已知椭圆C：2x2+y2=4．（1）求椭圆的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线x=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+mx2（m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若A，B是函数f（x）图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．2．（5分）命题“∃x0∈R，x0+1＜0或x02﹣x0＞0”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x0+1≥0或B．∀x∈R，x+1≥0或x2﹣x≤0C．∃x0∈R，x0+1≥0且D．∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x0+1＜0或”的否定形式是：∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤0．故选：D．3．（5分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．|a|≤1 C．|a|＜1 D．a≥1【解答】解：当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1当x=0时，0≥a×0恒成立，即a∈R当x＜0时，﹣x≥ax恒成立，即a≥﹣1，若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故选：B．4．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB=2AA1=2a，EF=a，B1E=B1F．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．∴FG∥EH，即几何体B1FE﹣C1GH是三棱柱，∵AB=2AA1=2a，EF=a，B1E=B1F．∴△B1FE为等腰直角三角形，且B1E=B1F=，则三棱柱B1FE﹣C1GH的体积V=，长方体的体积V=2a•a•B1C1=2a2•B1C1，则几何体A1ABFE﹣D1DCGH的体积V1=2a2•B1C1﹣a2•B1C1=a2•B1C1，则根据几何概型的概率公式可得在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率P==，故选：D．5．（5分）掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”则P（A∪B）等于（）A．B．C．D．【解答】解：由古典概型的概率公式得∵，事件A与B为互斥事件由互斥事件的概率和公式得故选：B．6．（5分）已知平面α∥β，且α与β的距离为d（d＞0）．m⊂α．则在β内与直线m的距离为2d的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【解答】解：因为平面α∥β，且α与β的距离为d（d＞0）．m⊂α．则在β内与直线m的距离为2d的直线是过直线m与平面β相交的平面得到的交线，而距离m为2d的有两条，故在β内与直线m的距离为2d的直线共有2条；故选：C．7．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，则A′C与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】：如图：正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，A′A=2，连结A′B，则A′C与BC所成角就是直角三角形A′BC中的∠A′CB，A′C与BC所成角的余弦值为：==．故选：C．8．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=a，BD=2a，则CD的长为（）A．2a B． a C．a D．a【解答】解：∵AC⊥l，BD⊥l，∴＜，＞=60°，且•=0，•=0，∴=++，∴||===2a．故选：A．9．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）【解答】解：∵在抛物线y=2x2，即x2=y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，），故选：B．10．（5分）曲线y=e x在点A处的切线与直线x﹣y+3=0平行，则点A的坐标为（）A．（﹣1，e﹣1）B．（0，1） C．（1，e） D．（0，2）【解答】解：设A（x，y），则y=e x，∵y′=e x，在点A处的切线与直线x﹣y+3=0平行，∴e x=1，解得x=0，∴y=e x=1，故A（0，1），故选：B．11．（5分）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为x1，x2，则P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2外C．必在圆x2+y2=1外D．必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间【解答】解：椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为：x1和x2则：，=所以：0＜e＜1即：0＜e2＜11＜e2+1＜2所以：即点P在圆x2+y2=1与x2+y2=2形成的圆环之间．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则（）A．f（2）＜e2f（0）B．f（2）≤e2f（0）C．f（2）=e2f（0） D．f（2）＞e2f（0）【解答】解：令g（x）=，则，因为f′（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）=为（﹣∞，+∞）上的增函数，故，即f（2）＞e2f（0）．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在区间（0，1）内任取一个数a，能使方程x2+2ax+=0有两个相异的实根的概率为．【解答】解：试验的全部结果所构成的区域为区间（0，1），其长度为1．构成事件“关于x的一元二次方程x2+2ax+=0有两个相异的实根”的区域为{a|0＜a＜1，a2＞}={a|＜a＜1}，其长度为1﹣，所以所求的概率为==．故答案为：14．（5分）若双曲线的一条渐近线为y=x，且过P（3，﹣），则双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：根据题意，若双曲线的一条渐近线为y=x，设其方程为﹣y2=t，（t≠0），又由双曲线经过P（3，﹣），则有﹣=t，则t=2，则双曲线的方程为﹣=1；故答案为：﹣=1．15．（5分）如果函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f′（x）在区间（﹣3，﹣）内单调递增；②函数y=f′（x）在区间（﹣，3）内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=﹣时，函数y=f′（x）有极大值；则上述判断中正确的是①②③⑤．【解答】解：由函数y=f′（x）的图象可得，y=f′（x）在区间（﹣3，﹣）内单调递增，故①正确；函数y=f′（x）在区间（﹣，3）内单调递减，故②正确；由上可知，当x=﹣时，函数y=f′（x）有极大值，故⑤正确；当x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，4）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，2）∪（4，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增，故③正确；函数y=f（x）在区间（﹣2，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④错误；∴正确的判断是①②③⑤．故答案为：①②③⑤．16．（5分）若函数f（x），g（x）满足[f（x）•g（x）]dx=0，则称f（x），g （x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，下列三组函数中为区间[﹣1，1]上的一组正交函数的有①③．（用序号作答）①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2．【解答】解：方法：对于①：[sin x•cos x]dx=[（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（x3﹣x）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（x4）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴在区间[﹣1，1]上的一组正交函数的有①③，故答案为：①③．方法二：[f（x）•g（x）]dx=0，根据定积分的性质，奇函数在对称区间的定积分为0，则f（x）•g（x）为奇函数，对于①f（x）=sin x为奇函数，g（x）=cos x为偶函数，则f（x）•g（x）为奇函数，故①在区间[﹣1，1]上的一组正交函数，对于②f（x）•g（x）=x2﹣1为偶函数，则②不是在区间[﹣1，1]上的一组正交函数，对于③f（x）•g（x）=x3，为奇函数，故③在区间[﹣1，1]上的一组正交函数，在区间[﹣1，1]上的一组正交函数的有①③，故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：∀x∈[1，2]，﹣lnx﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+2ax0﹣8﹣6a≤0，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：，令，=，∴f min（x）=f（1）=，∴．命题q：x2+2ax﹣8﹣6a≤0解集非空，△=4a2+24a+32≥0，∴a≤﹣4，或a≥﹣2．命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真．（1）当p真q假，﹣4＜a＜﹣2；（2）当p假q真，综合，a的取值范围．18．（12分）设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a∈{x∈Z|0≤x≤3}，b∈{x∈Z|0≤x≤2}，求方程x2+2ax+b2=0恰有两个不相等实根的概率；（2）若a∈{x|0≤x≤3}，b∈{x|0≤x≤2}，求方程x2+2ax+b2=0恰有两个不相等实根的概率．【解答】解：设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有两个不相等实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有两个不相等实根的充要条件为a＞b．（1）a∈{x∈Z|0≤x≤3}={0，1，2，3}，b∈{x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，即a是从0，1，2，3，四个数中任取的一个数，b是从0，1，2，三个数中任取的一个数，基本事件共4×3=12个．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，事件A中包含6个基本事件．故所求事件的概率为P=；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个实数，b是从区间[0，2]中任取的一个实数，则区域Ω={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}的面积6，设方程x2+2ax+b2=0恰有两个不相等实根为事件B，则B={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a＞b}，表示的平面区域如图：区域B图中阴影部分的面积为6﹣=4．故所求事件B的概率为P=．19．（12分）已知长方形ABCD中，AB=1，AD=，现将长方形沿对角线BD折起，使AC=a，得到一个四面体A﹣BCD，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A﹣BCD体积最大时，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【解答】解：（1）若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD=D，得AB⊥面ACD，∴AB⊥AC，∴AB2+a2=BC2，即1+a2=2，解得a=1，若AD⊥BC，由AB⊥AD，AB∩BC=B，得AD⊥平面ABC，∴AD⊥AC，∴AD2+a2=CD2，即2+a2=1，解得a2=﹣1，不成立，∴AD⊥BC不成立．（2）四面体A﹣BCD体积最大，∵△BCD面积为定值，∴只需三棱锥A﹣BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），C（，0），D（0，，0），面BCD的法向量为=（0，0，），面ACD的法向量=（x，y，z），∵，，则，取y=，得=（1，），设二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|===，∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．（Ⅰ）求证：C1D⊥D1E；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点M使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求AD的长．【解答】证明：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AD=2t，（t＞0），则C1（0，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），E（t，1，0），=（0，﹣1，﹣1），=（t，1，﹣1），•=0﹣1+1=0，∴C1D⊥D1E．解：（Ⅱ）在棱AA1上存在一点M使得BM∥平面AD1E，理由如下：设M（2t，0，λ），0≤λ≤1，B（2t，1，0），A（2t，0，0），E（t，1，0），D1（0，0，1），=（0，﹣1，λ），=（﹣t，1，0），=（﹣2t，0，1），设平面AED1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，t，2t），∵BM∥平面AD1E，∴=﹣t+2tλ=0，解得．∴棱AA1上存在一点M使得BM∥平面AD1E，的值为=．（Ⅲ）B1=（2t，1，1），=（0，1，1），设平面AEB1的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（，1，﹣1），平面AED1的法向量=（1，t，2t），∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴=+t﹣2t=0，由t＞0，解得t=1，∴AD的长为2．21．（12分）已知椭圆C：2x2+y2=4．（1）求椭圆的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线x=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（1）椭圆C：2x2+y2=4化为标准方程为+=1，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）设A（2，t），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴•=0，∴ty0+2x0=0，∴t=﹣，∵2x02+y02=4，∴|AB|2=（x0﹣2）2+（y0﹣t）2=（y0+）2+（x0﹣2）2=x02+y02++4=y02+++4=++4（0＜y02≤4），∵+≥4（0＜y02≤4），当且仅当=，即y02=4时等号成立，∴|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+mx2（m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若A，B是函数f（x）图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=+2mx，当m≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增，当m＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，综上，m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，当m＜0时，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．（2）由（1）得：m＜0时，f（x）先递增再递减，显然不满足条件，m≥0时，f′（x）=+2mx，∴f″（x）=﹣+2m，令f″（x）＞0，解得：x＞，令f″（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）是凸函数，在（，+∞）是凹函数，∴只需函数f（x）在（0，）上的切线的斜率大于1即可，故只需+2mx＞1在（0，）上恒成立即可，整理得；2mx2﹣x+1＞0，∴△=1﹣8m＜0，∴m＞．第23页（共23页）。