根的判别式与方程应用题

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一元二次方程根的判别式、根与系数关系

一元二次方程根的判别式、根与系数关系
△>0方程有两个不相等的实数根. △=0方程有两个相等的实数根. △<0方程没有实数根. △≥0方程有两个实数根.
上述命题的逆命题也正确
例1:不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2:k取何值时,方程4 x²-(k+2)x+(k-1)=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解:∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4>0 既a²>1 方程②中a>1 ∴ 2a²-1>1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4(2a-1)2=-4(4a-1)(a-1) ∵a²>1 ∴a²-1>0 ∴(4a²-1)>0 2=-4(4a²-1)(a²-1)<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点,在中考中占有重要的地位,纵观近年全国各地的中考试题,这个知 识点的考查可以解决以下几个问题:
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1,x 2,那么
点评:本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2-3x+1=0的 两根,利用根与系数关系得a+b=3,ab=1,再通过运用整体代换 的思想代入运算,问题可求.利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值,
五、利用给出条件,确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2+px+q=0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7,而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5,求p、q值.
(x 1-x 2) 2=3 x 1·x 2-5 ……③ ∵(x 1-x 2) 2=(x 1+x 2) 2-4 x 1·x 2

—根的判别式练习题

—根的判别式练习题

—根的判别式练习题铁⾯将军:根的判别式【知识要点】1.⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的情况:(1)当Δ>0时,⽅程有两个不相等的实数根;(2)当Δ=0时,⽅程有两个相等的实数根;(3)当Δ<0时,⽅程⽆实数根.2.根据根的情况,也可以逆推出Δ的情况,这⽅⾯的知识主要⽤来求取值范围等问题.【经典例题】【例1】已知关于x 的⽅程(m-2)x 2-2(m-1)x+m+1=0,当m 为何⾮负整数时:(1)⽅程只有⼀个实数根;(2)⽅程有两个相等的实数根;(3)⽅程有两个不等的实数根.【例2】已知关于x 的⽅程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0有两个相等的实根,且满⾜2a-b=0.(1)求a 、b 的值;(2)已知k 为⼀实数,求证:关于x 的⽅程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.【例3】关于x 的⽅程kx 2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)是否存在实数k ,使⽅程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.【例4】已知:a 、b 、c 是△ABC 的三边,若⽅程a c b x c b ax 2)(22222=++++有两个等根,试判断△ABC 的形状.【例5】已知:m 、n 为整数,关于x 的⼆次⽅程x 2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解,x 2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根,x 2-(m-4)x+n+1=0没有实数根,求m 、n 的值.【⽅法总结】1.求判别式时,应该先将⽅程化为⼀般形式.2.应⽤判别式解决有关问题时,前提条件为“⽅程是⼀元⼆次⽅程”,即⼆次项系数不为0.【经典练习】⼀、解答题1.若关于x 的⼀元⼆次⽅程mx 2-2x+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ( )A.m <1B. m <1且m ≠0C.m ≤1D. m ≤1且m ≠02.已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+2x+k=0有实数根,则k 的取值范围是 ( )A.k ≤1B.k ≥1C.k<1D.k>13.如果⽅程组 {xy m x y 322=-= 只有⼀个实数解,那么m 的值为 ( ) A. -3/8 B.3/8 C. -1 D.-3/44.⼀元⼆次⽅程x 2+2x+4=0的根的情况是 ( )A.有⼀个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根5.下列⼀元⼆次⽅程中,有实数根的是( )A.x 2-x+1=0B.x 2-2x+3=0C.x 2+x-1=0D.x 2+4=06.关于x 的⽅程k 2x 2+(2k-1)x+1=0有实数根,则下列结论正确的是 ( )A.当k=1/2时,⽅程两根互为相反数B.当k=0时,⽅程的根是x=-1C.当k=±1时,⽅程两根互为倒数D.当k ≤1/4时,⽅程有实数根7.已知关于x 的⽅程022=+-mx x 有两个相等的实数根,则m 的值等于().A .22 B. 22- C. 22-或22 D. 8或-88.若⽅程x p x =-有两个不相等的实数根,则实数P 的取值范围是().A .0≤p B. 411≥p9.要使关于x 的⽅程0342=+-x kx 有实数根,则k 应满⾜的条件是().A .34k C. 34≤k D. 34-≥k ⼆、填空题1.关于x 的⽅程x 2+(2k-1)x+k 2-7/4=0有两个相等的实数根,则k= .2.关于x 的⼀元⼆次⽅程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,m=3.⼀元⼆次⽅程022=-+m x x ,当m= 时,⽅程有两个相等的实根;当m 时,⽅程有两个不相等的实根;当m = 时,⽅程有⼀个根为0.4.如果关于x 的⽅程()011222=+-+x k x k 有两个实数根,则k 得取值范围是.三、解答题1.当a 是什么实数时,关于x 的⼀元⼆次⽅程()3212+=++ax a x a 。

根的判别式练习题(含答案)

根的判别式练习题(含答案)

根的判别式练习题一.填空题(共9小题)1.方程x2﹣5x﹣1=0的根的判别式的值为.2.若关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等的实数根,则m的值为.3.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为.4.若关于x的一元二次方程k2x2+(4k﹣1)x+4=0有两个不同的实数根,则k的取值范围是.5.等腰三角形ABC的三条边长分别为4,a,b,若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+6﹣a=0有两个相等的实数根,则△ABC的周长是.6.等腰△ABC中,BC=8,AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的两根,则m的值是.7.如果恰好只有一个实数a是方程(k2﹣9)x2﹣2(k+1)x+1=0的根,则k的值为.8.若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根,则=9.已知双曲线y=与直线y=﹣x+1没有交点,则b的取值范围是.二.解答题(共5小题)10.已知关于x的一元二次方程.(1)求证:对于任意实数m,该方程总有两个不相等实数根;(2)如果此方程有一个根为0,求m的值.11.已知关于x的方程(k﹣2)x2﹣2x+1=0有两个实数根.(1)求k的取值范围;(2)当k取最大整数时,求此时方程的根.12.已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3=0(m为常数).(1)求证:无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根:(2)若x=2是方程的根,则m的值为.13.已知:关于x的一元二次方程x2﹣(3m+1)x+2m2+m=0(1)求证:无论m取何值,这个方程总有实数根;(2)若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根,第三边的长为3,当△ABC为等腰三角形时,求m的值及△ABC的周长.14.已知关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0.(1)试说明:无论k取什么实数值,方程总有实数根.(2)若等腰△ABC的一边长a为1,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长?参考答案与试题解析一.填空题(共9小题)1.方程x2﹣5x﹣1=0的根的判别式的值为29.【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出Δ=29,此题得解.【解答】解:∵a=1,b=﹣5,c=﹣1,∴Δ=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×1×(﹣1)=29.故答案为:29.【点评】本题考查了根的判别式,牢记根的判别式Δ=b2﹣4ac是解题的关键.2.若关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等的实数根,则m的值为0或4.【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ=0,即可得出关于m的方程,解之即可求出m的值.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=(﹣m)2﹣4×1×m=0,解得:m1=0,m2=4,∴m的值为0或4.故答案为:0或4.【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当Δ=0时,方程有两个相等的实数根”是解题的关键.3.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为2.【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,即可得判别式Δ=0,继而可求得k的值.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×k=8﹣4k=0,解得:k=2,故答案为:2.【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识.此题比较简单,注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根,即可得Δ=0.4.若关于x的一元二次方程k2x2+(4k﹣1)x+4=0有两个不同的实数根,则k的取值范围是且k≠0.【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别列出不等式组求解即可.【解答】解:根据题意可知,.解得:且k≠0,故答案为:且k≠0.【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式,根据题意列出不等式组是解题的关键.5.等腰三角形ABC的三条边长分别为4,a,b,若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+6﹣a=0有两个相等的实数根,则△ABC的周长是10.【分析】根据根的判别式的意义得到Δ=(a+2)2﹣4(6﹣a)=0,进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长,即可求得其周长.【解答】解:根据题意得Δ=(a+2)2﹣4(6﹣a)=0,解得a1=﹣10(负值舍去),a2=2,在等腰△ABC中,①4为底时,则b=a=2,∵2+2=4,∴不能组成三角形;②4为腰时,b=4,∵2+4>4,∴能组成三角形,∴△ABC的周长=4+4+2=10.综上可知,△ABC的周长是10.故答案为:10.【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理;在求三角形的周长时,不能盲目的将三边相加,而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论,以免造成多解、错解.6.等腰△ABC中,BC=8,AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的两根,则m的值是25或16.【分析】等腰△ABC中,BC可能是方程的腰也可能是方程的底边,应分两种情况进行讨论.当BC是底边时,AB=AC,则方程x2﹣10x+m=0有两个相等的实根,即Δ=0,即可得到关于m的方程,求得m的值;当BC是腰时,则方程一定有一个解是x=8,根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边,即底边与m的值.【解答】解:在方程x2﹣10x+m=0中,x1+x2=10,当这两边是等腰三角形的腰时,有x1=x2=5,∴x1x2=25=m,当这两边的长有一边为8时,有8+x2=10,∴x2=2,m=x1x2=2×8=16,∴m=25或16.故答案为:25或16.【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及等腰三角形中有两边相等的性质,关键掌握x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q.7.如果恰好只有一个实数a是方程(k2﹣9)x2﹣2(k+1)x+1=0的根,则k的值为±3或﹣5.【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案.【解答】解:①当原方程是一个一元一次方程时,方程只有一个实数根,则k2﹣9=0,解得k=±3,②如果方程是一元二次方程时,则方程有两个相等的实数根,即Δ=b2﹣4ac=0,即:4(k+1)2﹣4(k2﹣9)=0解得:k=﹣5.故答案为±3或﹣5.【点评】本题考查了根的判别式,同时还考查了分类讨论思想,是一道好题.8.若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根,则=﹣.【分析】由二次方程有实根,得到△≥0,即Δ=4(1+a)2﹣4(3a2+4ab+4b2+2)≥0,通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0,从而得到a,b的方程组,解方程组即可求出它们的比.【解答】解:∵方程有实根,∴△≥0,即Δ=4(1+a)2﹣4(3a2+4ab+4b2+2)≥0,化简得:2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0,∴(a+2b)2+(a﹣1)2≤0,而(a+2b)2+(a﹣1)2≥0,∴a+2b=0,a﹣1=0,解得a=1,b=﹣,所以=﹣.故答案为﹣.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式Δ=b2﹣4ac.当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力.9.已知双曲线y=与直线y=﹣x+1没有交点,则b的取值范围是b>.【分析】根据方程解析式,可以得到=﹣x+1,即可转化为一个一元二次方程,利用判别式求出b的取值范围.【解答】解:因为双曲线y=与直线y=﹣x+1没有交点,即方程=﹣x+1无解,去分母,得x2﹣x+b=0,∴Δ=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×1×b=1﹣4b<0,解得b>.【点评】考查一元二次方程根的判别式和双曲线与直线的位置关系,同时考查综合应用能力及推理能力.二.解答题(共5小题)10.已知关于x的一元二次方程.(1)求证:对于任意实数m,该方程总有两个不相等实数根;(2)如果此方程有一个根为0,求m的值.【分析】(1)求出Δ=1,即可证明方程总有两个不相等实数根;(2)把x=0代入可得关于m的一元二次方程,即可解得答案.【解答】(1)证明:对关于x的一元二次方程,Δ=[﹣(m﹣1)]2﹣4×(m2﹣2m)=m2﹣2m+1﹣m2+2m=1,∴Δ>0,∴对于任意实数m,一元二次方程总有两个不相等实数根;(2)解:如果此方程有一个根为0,则×02﹣(m﹣1)×0+(m2﹣2m)=0,∴m2﹣2m=0,解得m=0或m=2,答:m的值为0或2.【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程,解题的关键是掌握根的判别式△与根个数的关系以及解一元二次方程的方法步骤,此题难度不大.11.已知关于x的方程(k﹣2)x2﹣2x+1=0有两个实数根.(1)求k的取值范围;(2)当k取最大整数时,求此时方程的根.【分析】(1)根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0列出关于k的不等式组,求解即可.(2)由(1)中k的取值范围得出符合条件的k的值,代入原方程,求解即可.【解答】解:(1)∵关于x的方程(k﹣2)x2﹣2x+1=0有两个实数根,∴,解得k≤3且k≠2.(2)由题意得,k=3,当k=3时,方程为x2﹣2x+1=0,即(x﹣1)2=0,解得x1=x2=1.【点评】本题考查一元二次方程,牢记:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2﹣4ac,当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实根.12.已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3=0(m为常数).(1)求证:无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根:(2)若x=2是方程的根,则m的值为.【分析】(1)根据根的判别式求出Δ=(m﹣4)2+8,再根据根的判别式得出答案即可;(2)把x=2代入方程,得出关于m的一元二次方程,再求出方程的解即可.【解答】(1)证明:2x2﹣3mx+m2+m﹣3=0,Δ=(﹣3m)2﹣4×2×(m2+m﹣3)=9m2﹣8m2﹣8m+24=m2﹣8m+24=(m﹣4)2+8,因为不论m为何值,(m﹣4)2≥0,即Δ>0,所以无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根:(2)解:把x=2代入方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3=0得:2×22﹣3m×2+m2+m﹣3=0,整理得:m2﹣5m+5=0,解得:m=,故答案为:.【点评】本题考查了解一元二次方程,根的判别式,一元二次方程的解等知识点,能熟记根的判别式的内容和一元二次方程的解的定义是解此题的关键.13.已知:关于x的一元二次方程x2﹣(3m+1)x+2m2+m=0(1)求证:无论m取何值,这个方程总有实数根;(2)若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根,第三边的长为3,当△ABC为等腰三角形时,求m的值及△ABC的周长.【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,即可得出Δ=(m+1)2≥0,由此可证出:无论m取何值,这个方程总有实数根;(2)分3为底边及3为腰长两种情况考虑:①当3为底边时,根据等腰三角形的性质可得出m的值,结合根与系数的关系可求出两根之和,由该值为负值可得出该结论不符合题意;②当3为腰长时,代入x=3可求出m值,再利用根与系数的关系结合三角形的三边关系可求出△ABC的周长.综上即可得出结论.【解答】(1)证明:∵a=1,b=﹣(3m+1),c=2m2+m,∴Δ=[﹣(3m+1)]2﹣4(2m2+m)=m2+2m+1=(m+1)2≥0,∴无论m取何值,这个方程总有实数根;(2)解:设方程的两根为x1,x2.①当3为底边时,则两腰的长是方程的两根,∴Δ=(m+1)2=0,∴m=﹣1,∴x1+x2=3m+1=3×(﹣1)+1=﹣2<0,∴此种情况不合题意,舍去;②当3为腰时,把x=3代入方程x2﹣(3m+1)x+2m2+m=0得:9﹣3(3m+1)+2m2+m=0,解得m1=1,m2=3.当m=1时,x1+x2=3m+1=4,△ABC的周长为7;当m=3时,x1+x2=3m+1=10,此时腰长为3,底为7,∵3+3<7,∴此种情况不合题意,舍去.综上所述:m的值为1,△ABC的周长为7.【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形三边关系,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程有实数根”;(2)分3为底边及3为腰长两种情况考虑.14.已知关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0.(1)试说明:无论k取什么实数值,方程总有实数根.(2)若等腰△ABC的一边长a为1,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长?【分析】(1)把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式,得出△≥0可知方程总有实数根;(2)根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b,c的长,并根据三角形三边关系检验,综合后求出△ABC的周长.【解答】(1)证明:∵Δ=b2﹣4ac=(k+2)2﹣8k=(k﹣2)2≥0,∴无论k取任意实数值,方程总有实数根;(2)解:分两种情况:①若b=c,∵方程x2﹣(k+2)x+2k=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2﹣4ac=(k﹣2)2=0,解得k=2,∴此时方程为x2﹣4x+4=0,解得x1=x2=2,∴△ABC的周长为5;②若b≠c,则b=a=1或c=a=1,即方程有一根为1,∵把x=1代入方程x2﹣(k+2)x+2k=0,得1﹣(k+2)+2k=0,解得k=1,∴此时方程为x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2,∴方程另一根为2,∵1、1、2不能构成三角形,∴所求△ABC的周长为5.综上所述,△ABC的周长为5.。

根的判别式,根与系数的关系专项训练题

根的判别式,根与系数的关系专项训练题

根的判别式,根与系数的关系一、选择题1.若x1,x2是关于x的方程x2+bx−3b=0的两个根,且x12+x22=7,则b的值为()A. 1B. −7C. 1或−7D. 7或−12.关于x的方程(a−5)x2−4x−1=0有实数根,则a满足()A. a≥1B. a>1且a≠5C. a≥1且a≠5D. a≠53.已知关于x的方程(a−1)x2−2x+1=0有实数根,则a的取值范围是()A. a≤2B. a>2C. a≤2且a≠1D. a<−24.关于x的方程m2x2−8mx+12=0至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.若关于x的一元二次方程(m+1)x2−(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,则m的值是()A. 7B. 3C. −1或7D. 任意实数二、填空题6.已知关于x的方程x2+2(a−1)x+a2−7a−4=0的两根为x1、x2,且满足,则a的值为.7.设x1、x2是关于x的方程2x2−4mx+2m2+3m+2=0的两个实根,当m=________时,x12+x22有最小值为________.8.已知实数m,n满足等式m2+2m−1=0,n2+2n−1=0,那么求nm +mn的值是___.9.若关于x的一元二次方程kx2−4x−1=0有实数根,则k的取值范围是.10.已知一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根为x1,x2,则代数式2x1x2+3x1−x12的值为________.11.已知:m2−2m−1=0,n2+2n−1=0且mn≠1,则mn+n+1n的值为____.12.x2−x−2017=0两根为x1,x2,则x13+2018x2−2017=。

13.已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足1α+1β=−1,则m=___________.14.已知m,n是方程x2+2x−5=0的两个实数根,则m2−mn+3m+n=_________.15.关于x的方程x2−2(k−1)x+k2=0的两个实数根x1、x2满足x1+x2=1−x1x2,则k的值为________________.三、解答题16.已知关于x的 一元二次方程x2−(m−3)x−m=0(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)如果方程的两实数根为a、b,且a2+b2=14,求m的值.17.已知关于x的一元二次方程x2−4x+2k−1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围.(2)若x1−x2=2,求k的值.18.已知关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2+k−1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若此方程的两实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.19.已知关于x的一元二次方程x2−(3k+1)x+2k2+2k=0.(1)求证:无论取何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰△ABC的一边长a=6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求此三角形的三边长?20.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0.(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.21.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.(1)若(x1−1)(x2−1)=28,求m的值;(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1、x2恰好是△ABC的另外两边的长,求这个三角形的周长.22.已知x1,x2是关于x的方程x2−kx+5(k−5)=0的两个正实数根,且满足2x1+x2=7,求实数k的值.。

专题根与系数的关系含答案

专题根与系数的关系含答案

专题:一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0.1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根;2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值.例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0.1求证:此方程有两个不相等的实数根;2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1<x2.若2x1=x2+1,求m的值.例3.已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m>0.1求证:方程有两个不相等的实数根;m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1<x2,若n=x2-x1-12的值..例4.已知关于x的一元二次方程:x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根.1求m的取值范围;2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值.例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1=0.21求证:无论k取什么实数值,这个方程总有实数根;2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值;若不能,请说明理由.3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长.训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0.1求证:方程总有两个实数根;2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1α+1α=1,求m的值.2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根,求m的范围;2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值.3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值.3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明:无论m为何值方程都有两个实数根;2是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26若存在,求出满足条件的正数m的值;若不存在,请说明理由.4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数.1求证:方程有两个不相等的实数根;2设x1、x2为方程的两个实数根,且2x1+x2=14,试求出方程的两个实数根和k 的值.5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.1求k的取值范围;2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值.m-3=06.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+121求证:无论m取什么实数时,这个方程总有两个不相等的实数根;2如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1+x2=m+1,求m的值.7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3.1求a的值及方程的另一个根;2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长.8.设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根,当a 为何值时,x 12+x 22有最小值最小值是多少专题:一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解:1∵方程有两个不相等的实数根, 例2. ∴△=b 2-4ac =-2m -12-4mm -2=4m +1>0, 例3. 解得:m >-14,∵二次项系数≠0,∴m ≠0, 例4. ∴当m >-14且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根; 例5. 2∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根,例6. ∴x 1+x 2=2α−1α,x 1x 2=α−2α, 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=x 1+x 22-3x 1x 2=2α−1α2-3(α−2)α=2, 例8.解得:m 1=√2+1,m 2=-√2+1舍去;∴m =√2+1.例9. 解:1∵△=-4m 2-44m 2-9=36>0,例10. ∴此方程有两个不相等的实数根; 例11. 2∵x =4α±√362=2m ±3,例12. ∴x 1=2m -3,x 2=2m +3,例13. ∵2x 1=x 2+1,∴22m -3=2m +3+1,例14.∴m =5.例15. 解:1∵△=4-3m 2-4m 2m -8, 例16. =m 2+8m +16=m +42例17. 又∵m >0∴m +42>0即△>0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根; 例19. 2∵方程的两个根分别为x 1、x 2x 1<x 2,例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα,x 1x 2=2α−8α, 例21. n =x 2-x 1-12m ,且点B m ,n 在x 轴上, 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0, 例23. 解得:m =-2,m =4,例24.∵m >0,∴m =4.例25. .解:1∵方程x 2-2m +1x +m 2+5=0有两个不相等的实数根, 例26. ∴△=-2m +12-4m 2+5=8m -16>0,解得:m >2. 例27. 2∵原方程的两个实数根为x 1、x 2, 例28. ∴x 1+x 2=2m +1,x 1x 2=m 2+5. 例29. ∵m >2,例30. ∴x 1+x 2=2m +1>0,x 1x 2=m 2+5>0, 例31. ∴x 1>0、x 2>0.例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2, 例33. ∴4m +12-2m 2+5=2m +1+2m 2+5,即6m -18=0,例34.解得:m =3.例35. 证明:1∵△=2k +12-16k -12=2k -32≥0, 例36. ∴方程总有实根;例37. 解:2∵两实数根互为相反数, 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0,解得k =; 例39. 3①当b =c 时,则△=0, 例40. 即2k -32=0,∴k =32, 例41. 方程可化为x 2-4x +4=0,∴x 1=x 2=2,而b =c =2,∴b +c =4=a 不适合题意舍去;例42. ②当b =a =4,则42-42k +1+4k -12=0, 例43. ∴k =52, 例44. 方程化为x 2-6x +8=0,解得x 1=4,x 2=2, 例45. ∴c =2, C △ABC =10,例46. 当c =a =4时,同理得b =2,∴C △ABC =10,例47.综上所述,△ABC 的周长为10.训练1.1证明:∵方程mx 2-m +2x +2=0m ≠0是一元二次方程, ∴△=m +22-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=m -22≥0, ∴方程总有两个实数根;2解:∵方程有两个不相等的实数根α,β,∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α,αβ=2α, ∵1α+1α=1,∴α+2α2α=α+22=1,解得m =0,∵m ≠0,∴m 无解.2.解:1∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根,∴△=-22-4m ≥0,解得m ≤1;2由两根关系可知,x 1+x 2=2,x 1x 2=m ,解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3, 解得{α1=32α2=12,∴m =x 1x 2=32×12=34; 3∵x 12-x 22=0,∴x 1+x 2x 1-x 2=0,∵x 1+x 2=2≠0,∴x 1-x 2=0,∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根,∴△=-22-4m =0,解得m =1.3. 1证明:∵关于x 的方程x 2+m -3x -m 2m -3=0的判别式△=m -32+4m 2m -3=9m -12≥0,∴无论m 为何值方程都有两个实数根;2解:设方程的两个实数根为x 1、x 2,则x 1+x 2=-m -3,x 1×x 2=-m 2m -3,令x 12+x 22=26,得:x 1+x 22-2x 1x 2=m -32+2m 2m -3=26,整理,得5m 2-12m -17=0,解这个方程得,m =175或m =-1, 所以存在正数m =175,使得方程的两个实数根的平方和等于26.4. 1证明:在方程x 2-6x -k 2=0中,△=-62-4×1×-k 2=4k 2+36≥36, ∴方程有两个不相等的实数根.2解:∵x 1、x 2为方程的两个实数根,∴x 1+x 2=6①,x 1x 2=-k 2,∵2x 1+x 2=14②,联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14, 解之得:{α1=8α2=−2, ∴x 1x 2=-k 2=-16,∴k =±4.5. 解:1∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=-2k -32-4k 2+1=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5>0,解得:k <512;2∵k <512,∴x 1+x 2=2k -3<0,又∵x 1x 2=k 2+1>0,∴x 1<0,x 2<0,∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-x 1+x 2=-2k +3,∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3,∴-2k +3=2k 2+2-3,即k 2+k -2=0,∴k 1=1,k 2=-2,又∵k <512, ∴k =-2.6. 解:1∵△=m -22-4×12m -3=m -32+3>0, ∴无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根;2解:x1+x2=m-2,2x1+x2=x1+x1+x2=m+1,∴x1=m+1+2-m=3,把x1代入方程有:9-3m-2+12m-3=0解得m=245.7. 解:1将x=3代入方程中,得:9a-1-15+4a-2=0, 解得:a=2,∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0,解得:x1=2,x2=3.∴a的值为2,方程的另一个根为x=2.2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3,∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8.∴三角形的周长为8或7.8. .解:∵△=2a2-4a2+4a-2≥0,∴α≤12又∵x1+x2=-2a,x1x2=a2+4a-2.∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4.设y=2a-22-4,根据二次函数的性质.∵α≤12∴当α=12时,x12+x22的值最小.此时α12+α22=2(12−2)2−4=12,即最小值为12.。

根的判别式练习题(含答案解析)

根的判别式练习题(含答案解析)

根的判别式练习题一.填空题(共8小题)1.若一元二次方程2x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根,则m=.2.已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1=0有两个实数根,则m的取值范围是.3.已知关于x的方程x2+2(m﹣1)x+m2=0有实数根,则m的最大整数值是.4.等腰三角形ABC的三条边长分别为4,a,b,若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+6﹣a=0有两个相等的实数根,则△ABC的周长是.5.等腰三角形三边长分别为a、b、2,且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为.6.定义:如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为“友好方程”,如果关于x的一元二次方程x2﹣2x=0与x2+3x+m﹣1=0为“友好方程”,则m 的值.7.若△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,当k=时,△ABC是等腰三角形;当k=时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.8.若关于x的方程ax2+4x﹣3=0有唯一实数解,则a的值为.二.解答题(共2小题)9.已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围.10.已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0.(1)求证:不论m为任何实数,此方程总有实数根;(2)若方程mx2+(3m+1)x+3=0有两个不同的整数根,且m为正整数,求m的值.参考答案与试题解析一.填空题(共8小题)1.若一元二次方程2x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根,则m=2.【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出Δ=16﹣8m=0,解之即可得出结论.【解答】解:∵一元二次方程2x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=16﹣8m=0,解得:m=2.∴m=2.故答案为:2.【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,牢记“当Δ=0时,方程有两个相等实数根”是解题的关键.2.已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1=0有两个实数根,则m的取值范围是m≤且m≠0.【分析】根据判别式的意义得到m≠0,b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4m≥0,然后解不等式即可.【解答】解:∵关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1=0有两个实数根,∴Δ=(﹣3)2﹣4m≥0且m≠0,解得:m≤且m≠0,故答案为:m≤且m≠0.【点评】本题主要考查根的判别式,掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键.3.已知关于x的方程x2+2(m﹣1)x+m2=0有实数根,则m的最大整数值是0.【分析】根据方程有实数根可知△≥0,据此求出m的取值范围,从而得到m的最大整数值.【解答】解:∵关于x的方程x2+2(m﹣1)x+m2=0有实数根,∴△≥0,∴[2(m﹣1)]2﹣4m2≥0,∴﹣8m+4≥0,解得,m≤,故m的最大整数值是0.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2﹣4ac:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.4.等腰三角形ABC的三条边长分别为4,a,b,若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+6﹣a=0有两个相等的实数根,则△ABC的周长是10.【分析】根据根的判别式的意义得到Δ=(a+2)2﹣4(6﹣a)=0,进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长,即可求得其周长.【解答】解:根据题意得Δ=(a+2)2﹣4(6﹣a)=0,解得a1=﹣10(负值舍去),a2=2,在等腰△ABC中,①4为底时,则b=a=2,∵2+2=4,∴不能组成三角形;②4为腰时,b=4,∵2+4>4,∴能组成三角形,∴△ABC的周长=4+4+2=10.综上可知,△ABC的周长是10.故答案为:10.【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理;在求三角形的周长时,不能盲目的将三边相加,而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论,以免造成多解、错解.5.等腰三角形三边长分别为a、b、2,且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为10.【分析】讨论:当a=2或b=2时,把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0可求出对应的n的值;当a=b时,根据判别式的意义得到Δ=(﹣6)2﹣4×(n﹣1)=0,解得n=10.【解答】解:当a=2或b=2时,把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得4﹣12+n﹣1=0,解得n=9,此时方程的根为2和4,而2+2=4,故舍去;当a=b时,Δ=(﹣6)2﹣4×(n﹣1)=0,解得n=10,故答案为10.【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2﹣4ac 有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的两个实数根;当Δ<0时,方程无实数根.也考查了等腰三角形的性质.6.定义:如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为“友好方程”,如果关于x的一元二次方程x2﹣2x=0与x2+3x+m﹣1=0为“友好方程”,则m 的值1或﹣9..【分析】通过解方程x2﹣2x=0,可得出方程的根,分x=0为两方程相同的实数根或x =2为两方程相同的实数根两种情况考虑:①若x=0是两个方程相同的实数根,将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值,将m的值代入原方程解之可得出方程的解,对照后可得出m=1符合题意;②若x=2是两个方程相同的实数根,将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值,将m的值代入原方程解之可得出方程的解,对照后可得出m=2符合题意.综上此题得解.【解答】解:解方程x2﹣2x=0,得:x1=0,x2=2.①若x=0是两个方程相同的实数根.将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0,得:m﹣1=0,∴m=1,此时原方程为x2+3x=0,解得:x1=0,x2=﹣3,符合题意,∴m=1;②若x=2是两个方程相同的实数根.将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0,得:4+6+m﹣1=0,∴m=﹣9,此时原方程为x2+3x﹣10=0,解得:x1=2,x2=﹣5,符合题意,∴m=﹣9.综上所述:m的值为1或﹣9.故答案为:1或﹣9.【点评】本题考查了一元二次方程的解,代入x求出m的值是解题的关键.7.若△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,当k=3或4时,△ABC是等腰三角形;当k=2时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.【分析】(1)此题要分两种情况进行讨论,若AB=BC=5时,把5代入方程即可求出k 的值,若AB=AC时,则Δ=0,列出关于k的方程,解出k的值即可;(2)若△ABC是以BC为斜边的直角三角形,则根据勾股定理,AB2+AC2=25,再根据根与系数的关系求得k的值即可.【解答】解:(1)因为Δ=b2﹣4ac=[﹣(2k+3)]2﹣4×1×(k2+3k+2)=1>0,所以方程总有两个不相等的实数根.若AB=BC=5时,5是方程x2﹣(2k+3)x+k2+3k+2=0的实数根,把x=5代入原方程,得k=3或k=4.∵无论k取何值,Δ>0,∴AB≠AC,故k只能取3或4;(2)根据根与系数的关系:AB+AC=2k+3,AB•AC=k2+3k+2,则AB2+AC2=(AB+AC)2﹣2AB•AC=25,即(2k+3)2﹣2(k2+3k+2)=25,解得k=2或k=﹣5.根据三角形的边长必须是正数,因而两根的和2k+3>0且两根的积k2+3k+2>0,解得k >﹣1,∴k=2.故答案为:3或4;2.【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系是:(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)Δ<0⇔方程没有实数根.在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件8.若关于x的方程ax2+4x﹣3=0有唯一实数解,则a的值为0.【分析】根据关于x的方程ax2+4x﹣3=0有唯一实数解,可知是一元一次方程,依此求出a的值.【解答】解:∵关于x的方程ax2+4x﹣3=0有唯一实数解,∴a=0.故答案为:0.【点评】此题主要考查了根的判别式,关键是掌握Δ>0时,方程有两个不相等的实数根,Δ=0时,方程有两个相等的实数根,Δ<0时,方程没有实数根.二.解答题(共2小题)9.已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围.【分析】根据判别式的意义得到Δ=22﹣4(m﹣1)×(﹣1)>0,然后解不等式即可.【解答】解:根据题意得Δ=22﹣4(m﹣1)×(﹣1)>0,解得m>0,且m﹣1≠0,解得:m≠1,所以m>0且m≠1.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2﹣4ac:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.10.已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0.(1)求证:不论m为任何实数,此方程总有实数根;(2)若方程mx2+(3m+1)x+3=0有两个不同的整数根,且m为正整数,求m的值.【分析】(1)分类讨论:当m=0时,方程变形一元一次方程,有一个实数解;当m≠0时,方程为一元二次方程,再进行判别式得到Δ=(3m﹣1)2,易得△≥0,故判别式的意义得到方程有两个实数根,然后综合两种情况得到不论m为任何实数,此方程总有实数根;(2)先利用求根公式得到x1=﹣3,x2=﹣,再利用方程有两个不同的整数根,且m 为正整数和整数的整除性易得m=1.【解答】(1)证明:当m=0时,方程变形为x+3=0,解得x=﹣3;当m≠0时,Δ=(3m+1)2﹣4m•3=9m2﹣6m+1=(3m﹣1)2,∵(3m﹣1)2,≥0,即△≥0,∴此时方程有两个实数根,所以不论m为任何实数,此方程总有实数根;(2)解:根据题意得m≠0且Δ=(3m+1)2﹣4m•3=(3m﹣1)2>0,x=,所以x1=﹣3,x2=﹣,∵方程有两个不同的整数根,且m为正整数,∴m=1.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2﹣4ac:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.。

一元二次方程(根的判别式根与系数的关系)专项训练题

一元二次方程(根的判别式根与系数的关系)专项训练题

一元二次方程(根的判别式,根与系数的关系)专项训练题一.选择题1.关于x的一元二次方程的根的情况是A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定2.已知反比例函数,当x>0时,y随x的增大而增大,则关于x的方程的根的情况是()A.有两个正根B.有两个负根C.有一个正根一个负根D.没有实数根4.设、是关于x的一元二次方程的两个实数根,且<0,-3<0,则()A. B. C. D.5.已知是关于的一元二次方程的两实数根,则式子的值是()A.B.C.D.7. 已知a、b、c分别是三角形的三边,则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)=0的根的情况是()A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根8.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么的取值范围是()A.>B.>且C.<D.且9.关于方程式49x2-98x-1=0的解,下列叙述何者正确?( )(A) 无解 (B) 有两正根 (C)有两负根 (D) 有一正根及一负根13.若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和1),则a的取值范围是()A、a<3B、a>3C、a<-3D、a>-3二、填空题3.)设一元二次方程的两个实数根分别为和,则,.4.已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根,则的取值范围是5.已知一元二次方程的一个根为,则.6.已知x1、x2是方程x2-3x-2=0的两个实根,则(x1-2) (x2-2)= .7.已知为方程的二实根,则.9.、关于X的方程两实根之和为m,且满足,关于y的不等于组有实数解,则k的取值范围是--------------10、若关于的方程的一个根是0,则另一个根是.11、等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解,则这个等腰三角形的周长是.12、关于的一元二次方程的一个根为1,则方程的另一根为 .13、三角形的每条边的长都是方程的根,则三角形的周长是.三、简答题1.当为何值时,关于的一元二次方程有两个相等的实数根?此时这两个实数根是多少?2.设是关于的一元二次方程的两实根,当为何值时,有最小值?最小值是多少?3.已知:关于的一元二次方程.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)设方程的两个实数根分别为,(其中).若是关于的函数,且,求这个函数的解析式;(3)在(2)的条件下,结合函数的图象回答:当自变量的取值范围满足什么条件时,.5.已知是关于的一元二次方程的两个实数根,且——=115(1)求k的值;(2)求++8的值。

4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(讲+练)

4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(讲+练)

21.2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一元二次方程根的判别式一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示,即(1)当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;(2)当△=0时,一元二次方程有2个相等的实数根; (3)当△<0时,一元二次方程没有实数根.题型1:利用判别式判断一元二次方程根的情况1.下列方程有两个相等的实数根的是( )A .x 2﹣2x+1=0B .x 2﹣3x+2=0C .x 2﹣2x+3=0D .x 2﹣9=0)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆2.已知:关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0,求证:方程有两个不相等的实数根.题型3:求一元二次方程两根的和与积3.若x1,x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根,则x1+x2,x1x2的值分别是()A.1和6B.5和-6C.-5和6D.5和6; .题型4:已知一根求另一根或字母的值4.关于x 的方程x²+mx +6=0的一个根为-2,则另一个根是( )A .-3B .-6C .3D .6的一个根,求方程的另一个根及. 22x x +121(x x x =+2212x x x +1(x =22|x 2(|x x =题型5:利用根与系数的关系构造方程5.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3,x2=1,那么这个一元二次方程是()A.x2+3x+4=0B.x2+4x−3=0C.x2−4x+3=0D.x2+3x−4=0题型6:求涉根代数式的值6.若一元二次方程x2−2x=1的两个实数根分别为x1,x2,求(x1−1)(x2−1)的值.题型7:根与系数的关系与三角形综合7.一个三角形的两边为方程2x2−kx+8=0的两根,第三边长为4,则k的范围是()题型8:根与系数中的新定义问题8.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是()A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c一、单选题1.已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3=0的一个根是﹣1,则另一个根是()A.1B.﹣1C.32D.−32 2.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和﹣3,则()A.b=1,c=﹣6B.b=﹣1,c=﹣6C.b=5,c=﹣6D.b=﹣1,c=63.一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x1、x2,则x1+x2等于() A.5B.6C.-5D.-64.已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣3)x+m2=0的两个不相等的实数根α,β满足1α+1β=1,则m的值为()A.﹣3B.1 C.﹣3 或1D.2 5.已知a、b满足a2﹣6a+2=0,b2﹣6b+2=0,则b a+a b=()A.﹣6B.2C.16D.16或2 6.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两个实根,则x1+x2等于()A.﹣3B.3C.﹣2D.2二、填空题7.二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是1 −√3和1 +√3,那么这个方程是.8.已知一元二次方程x2 -5x-1=0的两根为x1,x2,则x1+x2= .9.已知方程x2+2x-1=0 的两根分别为x1,x2,则x1+x2=.10.已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b,则1a+1b的值是.11.方程x2+2x−3=0的两根为x1、x2则x1⋅x2的值为.三、解答题12.已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2,求k和方程另一个根a的值.13.已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x1、x2,不解方程求:(1)x12+x22的值;(2)(x1-2)(x2-2) 的值四、综合题14.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1x2+x1+x2=15,求m的值.15.已知关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0.(1)若此方程有两个不相等的实数根,求实数k的取值范围;(2)已知x=3是此方程的一个根,求方程的另一个根及k的值.。

一元二次方程的根的判别式练习题

一元二次方程的根的判别式练习题

一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式及求根公式.(1)b2-4ac>0⇔方程有_______个_________的实数根,x=_______________.(2)b2-4ac=0⇔方程有________个________的实数根,x1=x2=______________.(3)b2-4ac<0⇔方程__________实数根.二、例变讲练例1 方程3x2-2x-1=0的根的判别式为b2-4ac=16,此方程有两个__________的实数根.变1 下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )A.x2+4=0 B.4x2-4x+1=0 C.x2+x+3=0 D.x2+2x-1=0例2 已知关于x的方程x2-3x+2-m2=0.(1)求方程的根的判别式(用含m的代数式表示);(2)说明不论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.变2 已知关于x的一元二次方程x2+(m-3)x-3m=0.求证:无论实数m取何值,方程总有两个实数根.例3 若一元二次方程x2+2x-m=0有实数解,则m的取值范围是______________.变3 已知关于x的方程x2-2x+m=0没有实数根,则m的取值范围是__________.例4 若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是_______________.变4 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是__________三、课堂训练一级1. 若关于x的方程x2-4x-c=0的根的判别式Δ=4,则c=_________.2. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A.(x-1)2=0 B.x2+2x-19=0 C.x2+4=0 D.x2+x+1=03. 如果关于x的一元二次方程x2+4x-m=0没有实数根,那么m的取值范围是_________.4. 若关于x的方程x2-x-k=0有两个相等的实数根,则k=______,方程的两根为x=x=_____________5. 若关于x的方程x2+x-94a=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是__________.6. 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+1=0有实数根,则m的取值范围是( ) A.m≤2 B.m≥2C.m≤2且m≠1 D.m≥-2且m≠17. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0没有实数根,则k的取值范围是_________.8. 求证:不论m为任何实数,关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0总有两个不相等的实数根.四、能力提升9. 已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0.(1)求证:不论m为何值,该方程总有两个实数根;(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.10. 等腰三角形的边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根,求n的值.第7课时 一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根的判别式及求根公式.(1)b 2-4ac >0⇔方程有_______个_________的实数根,x =_______________. 两,不相等,-b±b2-4ac 2a(2)b 2-4ac =0⇔方程有________个________的实数根,x 1=x 2=______________.(3)b 2-4ac <0⇔方程__________实数根.两,相等,-b 2a,无 二、例变讲练例1 方程3x 2-2x -1=0的根的判别式为b2-4ac =16,此方程有两个__________的实数根.不相等变1 下列关于x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )A .x 2+4=0B .4x 2-4x +1=0C .x 2+x +3=0D .x 2+2x -1=0 D例2 已知关于x 的方程x 2-3x +2-m 2=0.(1)求方程的根的判别式(用含m 的代数式表示);解:b 2-4ac =4m 2+1;(2)说明不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根.解:b 2-4ac =4m 2+1≥1>0,∴无论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根.变2 已知关于x 的一元二次方程x 2+(m -3)x -3m =0.求证:无论实数m 取何值,方程总有两个实数根.解:Δ=(m -3)2-4×(-3m)=m 2-6m +9+12m=m 2+6m +9=(m +3)2,∵无论实数m 取何值,总有(m +3)2≥0,即Δ≥0,∴无论实数m 取何值,方程总有两个实数根.例3 若一元二次方程x 2+2x -m =0有实数解,则m 的取值范围是______________.m≥-1变3 已知关于x 的方程x 2-2x +m =0没有实数根,则m 的取值范围是__________. m>1例4 若关于x 的一元二次方程kx 2+2x -1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是_______________.k>-1且k≠0变4 若关于x 的一元二次方程(k -1)x 2+4x +1=0有实数根,则k 的取值范围是__________,k≤5且k≠1三、课堂训练一级1. 若关于x 的方程x 2-4x -c =0的根的判别式Δ=4,则c =_________.-32. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A .(x -1)2=0B .x 2+2x -19=0C .x 2+4=0D .x 2+x +1=0B 3. 如果关于x 的一元二次方程x 2+4x -m =0没有实数根,那么m 的取值范围是_________.m<-44. 若关于x 的方程x 2-x -k =0有两个相等的实数根,则k=______,方程的两根为 x =x=_____________-14, x 1=x 2=125. 若关于x 的方程x 2+x -94a =0有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是__________.a>-196. 已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2-2x +1=0有实数根,则m 的取值范围是( )A .m≤2B .m≥2C .m≤2且m≠1D .m≥-2且m≠1C7. 若关于x 的一元二次方程(k -1)x2-4x -5=0没有实数根,则k 的取值范围是_________.k <158. 求证:不论m 为任何实数,关于x 的一元二次方程x 2+(4m +1)x +2m -1=0总有两个不相等的实数根.证明:根据题意得:Δ=(4m +1)2-4(2m -1)=16m 2+8m +1-8m +4=16m 2+5,∵m2≥0,∴16m 2+5>0,即Δ>0,∴不论m 为任何实数,原方程总有两个不相等的实数根.四、能力提升9. 已知关于x 的一元二次方程x 2-(m +2)x +2m =0.(1)求证:不论m 为何值,该方程总有两个实数根;证明:Δ=[-(m +2)]2-4×1×2m =m 2-4m +4=(m -2)2.∵(m -2)2≥0,即Δ≥0,∴不论m 为何值,该方程总有两个实数根.(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.解:将x =1代入原方程,得:1-(m +2)+2m =0,∴m =1,∴方程的另一个根为2×11=2. 当1,2为直角边长时,斜边长=12+22=5,∴围成直角三角形的周长=1+2+5=3+5;当2为斜边长时,另一直角边长=22-12=3,∴围成直角三角形的周长=1+2+3=3+ 3.综上所述:以此两根为边长的直角三角形的周长为3+5或3+ 3.10. 等腰三角形的边长分别为a ,b ,2,且a ,b 是关于x 的一元二次方程x 2-6x +n -1=0的两根,求n 的值.解:∵三角形是等腰三角形,∴①a =2或b =2,②a =b 两种情况,①当a =2或b =2时,∵a ,b 是关于x 的一元二次方程x2-6x +n -1=0的两根,∴x =2,把x =2代入x 2-6x +n -1=0得22-6×2+n -1=0,解得:n =9,当n =9时,方程的两根是2和4,而2,4,2不能组成三角形,故n =9不合题意,②当a =b 时,方程x2-6x +n -1=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-6)2-4(n -1)=0,解得:n =10,综上所述:n =10.。

根与系数的关系及应用题(自己整理)

根与系数的关系及应用题(自己整理)

一元二次方程根的判别式,根与系数关系◆回顾归纳1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,常用符号“△”表示,即△=•______;△>0时,方程_____;△=0时,方程______;△<0时,方程______.2.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则x1+x2=____,x1x2=____.◆课堂测控1.(1)一元二次方程3x2+4x+1=0中,△=_____,因此该方程_____实数根.(2)一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根,则a=_____.2.若方程x2-2x-1=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=______.3.一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.有一个实数根4.设一元二次方程x2-6x+4=0的两实根分别为x1和x2,则x1+x2=_____,x1·x2=______.5.等腰三角形ABC中,BC=8,AB,AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根,求m的值.解:当AB或AC的长为8时,64-10×8+m=0,∴m=_____;当AB=AC时,方程x2-10x+m=0有两个相等的实数根,则△=0,即______,∴m=____.测试点2 一元二次方程根与系数的关系6.一元二次方程x2-5x+6=0的一个实数根x1=2,则另一个实数根x2=(•)A.3 B.-3 C.6 D.-67.设一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数为x1和x2,则下列结论正确的是()A.x1+x2=2 B.x1+x2=-4 C.x1x2=-2 D.x1x2=48.已知x=-1是一元二次方程x2+mx+1=0的一个根,那么m的值是()A.0 B.1 C.2 D.-29.已知x1,x2是方程x2+3x=4的两根,则()A.x1+x2=-3,x1·x2=-4 B.x1+x2=3,x1·x2=4C.x1+x2=-3,x1·x2=4 D.x1+x2=3,x1·x2=-410.阅读材料:设一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2,则两根与方程系数之间有如下关系:x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a.根据该材料填空: (1)已知x 1,x 2是方程x 2+6x+3=0的两实数根,则2112x x x x 的值为_____. (2)已知x 1,x 2是方程x 2-9x+18=0的两个根,那么x 1-x 2=_______.◆课后测控1.若关于x 的一元二次方程x 2+2x -k=0没有实数根,则k 的取值范围是_____.2.在解方程x 2+bx+c=0时,甲看错了b ,解得两根为-1和6;乙看错了c ,•解得两根为-3与4,那么正确的方程是______.3.已知一个等腰三角形两边长为方程x 2-6x+8=0的两根,•则此等腰三角形的周长为_____.4.若关于x 的方程x 2-(m+2)x+m=0的根的判别式△=5,则m=_____.5.方程x (x+1)=3(x+1)的解情况是______.6.关于x 的一元二次方程kx 2-6x+1=0有两个不相等的实数根,•则k•的取值范围是_____.7.已知关于x 的方程x 2-2ax+a 2-2a+2=0的两个实数根x 1,x 2,满足x 12+x 22=2,•则a•的值是_____.8.已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两根为x 1和x 2,那么(1+x 1)(1+x 2)的值为______.9.如果一元二次方程3x 2-2x=0的两个根是x 1和x 2,那么x 1·x 2等于( )A .2B .0C .23D .-2310.已知α、β满足α+β=5,且αβ=6,则以α、β为两根的一元二次方程是( )A .x 2+5x+6=0B .x 2-5x+6=0C .x 2-5x -6=0D .x 2+5x -6=011.如果关于x 的方程2x 2-7x+m=0的两实数根互为倒数,那么m 的值为( )A .12B .-12C .2D .-2 12.若关于x 的方程kx 2+2x -1=0有两个不相等的实数根,则k•的取值范围是( )A .k>-1B .k<-1C .k≥-1且k≠0D .k>-1且k≠013.已知关于x 的一元二次方程x 2-mx+2m -1=0的两个实数根的平方和为7,那么m 的值是( )A .5B .-1C .5或-1D .-5或114.关于x 的一元二次方程x 2-5x+p 2-2p+5=0的一个根为1,则实数p•的值是( )A .4B .0或2C .1D .-115.已知关于x 的方程x 2-m=2x 有两个不相等的实数根,求m 的取值范围.16.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0•的两个不相等的实数根α、β满足11αβ+=1,求m的值.17.若0是关于x的方程(m-2)x2+3x+m2+2m-8=0的解,求实数m的值,并讨论此方程解的情况.18.若关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+m+4=0两实根的平方和为2,求m的值.解:设方程的两个实根为x1,x2,那么x1+x2=m+1,x1x2=m+4.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(m+1)2-2(m+4)=m2-7=2.即m2=9,解得m=3.答:错误或不完整之处有:__________.◆拓展创新实数k取何值时,一元二次方程x2-(2k-3)x+2k-4=0.(1)有两个正根;(2)有两个异号根,并且正根的绝对值较大;(3)一根大于3,一根小于3.一元二次方程应用题(一)传染问题与循环问题1.市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。

根的判别式专项练习

根的判别式专项练习

1.关于x 的方程kx 2+3x ﹣1=0有实数根,则k 的取值范围是( )
2. 若关于x 的方程()0222=+++a x a ax 有实数解,那么实数a 的取值范围是 .
3. 已知:m 是方程x 2﹣x ﹣1=0的一个根,求代数式5m 2﹣5m+2008的值.
4.若关于x 的一元二次方程mx 2+3x-4=0有实数根,则m 的值为____.
5.方程4mx 2-mx +1=0有两个相等的实数根,则 m 为____.
6.若m 是非负整数且一元二次方程(1-m 2)x 2+2(1-m )x-1=0有两个实数根,则m 的值为____.
7.若关于x 的二次方程kx 2+1=x-x 2有实数根,则k 的取值范围是____.
8.二次方程(k 2-1)x 2-6(3k-1)x+72=0有两个实数根,则k 为___.
9.若一元二次方程(1-3k )x 2+4x-2=0有实数根,则k 的取值范围是____.
10.已知方程x 2+kx+3=0的一个根是-1,则k=______, 另一根为______.
11.已知m 是方程x 2-x-1=0的一个根,则代数式m 2-m 的值等于
12.若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根,则a 的值为______
13.已知关于x 的方程()()01222=-++-m x m x .
求证:(1)方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两
根为边长的直角三角形的周长.。

完整版)一元二次方程的根的判别式练习题

完整版)一元二次方程的根的判别式练习题

完整版)一元二次方程的根的判别式练习题1.方程2x+3x-k=0的根的判别式为b^2-4ac,即(3+2)^2-4(2)(-k)=k+13,当k>-13时,方程有实根。

2.关于x的方程kx+(2k+1)x-k+1=0可以化简为(3k+1)x-k+1=0,根的判别式为(2k+1)^2-4(k)(-k+1)=8k^2+8k+1,当k 不等于0时,方程有实根。

3.方程x+2x+m=0有两个相等实数根,即b^2-4ac=0,即4-4m=0,解得m=1.4.关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0可以化简为(x-k)(x+k+4)=0,根的情况为一个实根为-k,一个实根为k+4.5.当m=-1时,关于x的方程3x-2(3m+1)x+3m-1=0化简为3x+7x-1=0,有两个不相等的实数根。

6.将2x(ax-4)-x+6=0化简为2ax^2-(8+a)x+6=0,根的判别式为(8+a)^2-4(2a)(6)=a^2+16a-23,要使方程没有实数根,根的判别式小于0,即a的最小整数值为-15.7.方程mx^2+(2m-1)x-2=0的根的判别式为(2m-1)^2-4(m)(-2)=16m+1,解得m=1或m=-1/4,但由于题目中要求判别式的值等于4,所以m=-1/4.8.将(x-α)(x-β)+cx=0展开化简得x^2-(α+β)x+αβ+cx=0,根据韦达定理,α+β=-c,αβ=c,所以方程的两个根为α和β。

9.1) 当a>0时,判别式为4a^4-4a^3,即a^3>1时有两个实数根,否则无实数根。

2) 判别式为4k^2-4(k^2+4),即-16,所以方程无实数根。

10.将方程x+2(m+1)x+3m+4mn+4n+2=0化简为x+(2m+2)x+(3m+4mn+2)=0,根的判别式为(2m+2)^2-4(3m+4mn+2)=4(m-n+1)^2-8,要使方程有实数根,根的判别式大于等于0,即(m-n+1)^2>=2,解得m-n=-1+sqrt(2),即m=n-1+sqrt(2)。

一元二次方程根的判别式综合应用 2014

一元二次方程根的判别式综合应用      2014

一元二次方程根的判别式 2014-5-301.已知b <0,关于x 的一元二次方程(x ﹣1)2=b 的根的情况是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .没有实数根D .有两个实数根2.已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ,下列说法正确的是( ). A.当0=k时,方程无解 B.当1=k时,方程有一个实数解 C.当1-=k时,方程有两个相等的实数解 D.当0≠k 时,方程总有两个不相等的实数解3.关于x 的一元二次方程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m 的值及该方程的根.4.已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根,求4)2(222-+-b a ab 的值。

5.已知n m ,是方程0122=--x x 的两根,且8)763)(147(22=--+-n n a m m ,求a 的值6.若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根,求k 的取值范围及k 的非负整数值.7.已知:关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-=(1k ≥). (1)求证:方程总有两个实数根;(2)当k 取哪些整数时,方程的两个实数根均为整数.8.如果关于x 的一元二次方程210kx +=x+1=0有两个不相等的实数根,求k 的取值范围和整数k 的值。

9. 已知:关于x 的方程()0322=-+-+k x k x⑴求证:方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根;⑵若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7,求k 的整数值;10. 已知:关于x 的一元二次方程23(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数(1) 若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围;(2)求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根;(3)若m 为整数,且方程的两个根均为正整数,求m 的值.11.已知:关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++=.(1)求证:无论m 为何值,此方程总有两个实数根;(2)若x 为此方程的一个根,且满足06x <<,求整数m 的值.12.求证:方程(m 2+1)x 2-2mx +(m 2+4)=0没有实数根.13.已知关于x 的方程221(1)04x a -++=有实根. (1)求a 的值;解:(2)若关于x 的方程2(1)0mx m x a +--=的所有根均为整数,求整数m 的值.解:14. 关于x 的一元二次方程023)3(2=+--x x k 有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围.(2)求当k 取何正整数时,方程的两根均为整数.15.关于x 的一元二次方程012)1(2=++--m mx x m .(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数.。

1.2 一元二次方程的解法(根的判别式专题1)

1.2  一元二次方程的解法(根的判别式专题1)
初中数学 九年级(上册)
1.2 一元二次方程的解法
根的判别式专题(1)

1、已知关于x的一元二次方程 (m﹣1)x2﹣(2m+1)x+m=0,
当m取何值时: (1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根,并求出根; (3)方程没有实数根.
2、关于x的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.
3、已知关于x的一元二次方程 x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围; (2)若k为大于1的整数,求方程的根.
4、已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m的值; (2)求证:不论m取何实数,
此方程都有两个不相等的实数根.
5、关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+m+1=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数.

一元二次方程根的判别式的应用(基础+培优)

一元二次方程根的判别式的应用(基础+培优)

一元二次方程根的判别式的应用(基础+培优训练)一、△的运用1. 若关于x 的一元二次方程(k-1)x 2 +kx +1=0有实数根,则k 的取值范围是( )A. k ≠2B. k> 2C.k<2且k ≠1D.k ≠1的一切实数2. 若关于x 的方程(k-1)x 2 +kx +1=0有实数根,则k 的取值范围是3. 若关于x 的方程(k-1)x 2 +kx +1=0有两个实数根,则k 的取值范围是二、根与系数的关系1. 已知关于x 的一元二次方程0462=++-m x x 有两个实数根21,x x .(1)求m 的取值范围;(2)若21,x x 满足2321+=x x ,求m 的值.2.关于x 的一元二次方程01-32=++m x x 的两个实数根分别是21,x x .(1)求m 的取值范围;(2)若()01022121=+++x x x x ,求m 的值.3.已知关于x 的一元二次方程 x 2- 4x -m 2=0.(1)求证:该方程有两个不相等的实数根;(2)若该方程的两个实数根x 1,x 2 满足x 1+2x 2=9,求m 的值.4.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x一m2=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2 ,且|x1|=|x2|一2,求m的值及方程的根.5.已知关于x的方程x2-2mx=-m2+2x的两个实数根x1,x2满足|x1|=x2,求实数m的值.6.已知关于x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB.AC的长是方程的两个实数根,第三边BC的长为5,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.三、判断二次三项式在实数范围内是否可以分解1.如果关于x的二次三项式k2x2 - (2k +1)x+1在实数范围内总能分解成两个一次因式的积,那么k的取值范围是2.如果二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积,则k的取值范围是3.如果x2- 2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式,则m=四、构造一元二次方程,由参数的存在性得出△的正负性1 .在△ABC中,∠B=60°,AC=1.求证AB+ BC≤2.2.如图,正方形ABCD的边长为1,点M,N分别在BC,CD上,△CMN的周长为2,求△AMN的面积的最小值.五、根的判别式的运用1.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m2 +2=0有两个不等的实数根,试判断直线y=(2m-3)x- 4m+7能否通过点A(-2,4),答: (填“能”或“不能”)2.a,b是实数,关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不等的实数根.(1)求证:a2-4b-8=0.(2)若该方程的三个不等的实数根恰为一个三角形三内角的度数,求证:该三角形必有一个内角为60°.(3)若该方程的三个不等的实数根恰为一直角三角形的三边长,求a,b的值.。

专题根与系数的关系含答案

专题根与系数的关系含答案

专题:一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0.(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根;(2)若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值.例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0.(1)求证:此方程有两个不相等的实数根;(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1<x2.若2x1=x2+1,求?m的值.例3.已知关于x的方程mx2+(4-3m)x+2m-8=0(m>0).(1)求证:方程有两个不相等的实数根;m,且点B(m,n)(2)设方程的两个根分别为x1、x2(x1<x2),若n=x2-x1-12在x轴上,求m的值..例4.已知关于x的一元二次方程:x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值.例5.已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-12)=0.(1)求证:无论k取什么实数值,这个方程总有实数根;(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数?若能找到,求出k 的值;若不能,请说明理由.(3)当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长.训练1.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1α+1α=1,求m的值.2.已知一元二次方程x2-2x+m=0(1)若方程有两个实数根,求m的范围;(2)若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值.(3)若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值.3.已知关于x的方程x2+(m-3)x-m(2m-3)=0(1)证明:无论m为何值方程都有两个实数根;(2)是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26?若存在,求出满足条件的正数m的值;若不存在,请说明理由.4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0(k为常数).(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)设x1、x2为方程的两个实数根,且2x1+x2=14,试求出方程的两个实数根和k的值.5.已知关于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求k的取值范围;(2)若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值.6.已知关于x的一元二次方程x2-(m-2)x+1m-3=02(1)求证:无论m取什么实数时,这个方程总有两个不相等的实数根;(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1+x2=m+1,求m的值.7.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3.(1)求a的值及方程的另一个根;(2)如果一个等腰三角形(底和腰不相等)的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长.8.设x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根,当a为何值时,x12+x22有最小值?最小值是多少?专题:一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,例2.∴△=b2-4ac=[-(2m-1)]2-4m(m-2)=4m+1>0,,∵二次项系数≠0,∴m≠0,例3.解得:m>-14例4.∴当m>-1且m≠0时,方程有两个不相等的实数根;4例5.(2)∵x1、x2为方程的两个不等实数根,例6. ∴x 1+x 2=2m−1m ,x 1x 2=m−2m ,例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=(x 1+x 2)2-3x 1x 2=(2m−1m )2-3(m−2)m =2,例8. 解得:m 1=√2+1,m 2=-√2+1(舍去);∴m =√2+1.例9.例10. 解:(1)∵△=(-4m )2-4(4m 2-9)=36>0,例11. ∴此方程有两个不相等的实数根;例12. (2)∵x =4m±√362=2m ±3,例13. ∴x 1=2m -3,x 2=2m +3,例14. ∵2x 1=x 2+1,∴2(2m -3)=2m +3+1,例15. ∴m =5.例16.例17. 解:(1)∵△=(4-3m )2-4m (2m -8),例18. =m 2+8m +16=(m +4)2例19. 又∵m >0∴(m +4)2>0即△>0例20. ∴方程有两个不相等的实数根;例21. (2)∵方程的两个根分别为x 1、x 2(x 1<x 2),例22. ∴x 1+x 2=-4−3m m ,x 1?x 2=2m−8m , 例23. n =x 2-x 1-12m ,且点B (m ,n )在x 轴上,例24. ∴x 2-x 1-12m =√(x 1+x 2)2−4x 2x 1-12m =√(4−3m m )2−4×2m−8m -12m =0,例25. 解得:m =-2,m =4,例26. ∵m >0,∴m =4.例27. .解:(1)∵方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0有两个不相等的实数根, 例28. ∴△=[-2(m +1)]2-4(m 2+5)=8m -16>0,解得:m >2.例29. (2)∵原方程的两个实数根为x 1、x 2,例30. ∴x 1+x 2=2(m +1),x 1?x 2=m 2+5.例31. ∵m >2,例32. ∴x 1+x 2=2(m +1)>0,x 1?x 2=m 2+5>0,例33. ∴x 1>0、x 2>0.例34. ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1?x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1?x 2,例35. ∴4(m +1)2-2(m 2+5)=2(m +1)+2(m 2+5),即6m -18=0,例36. 解得:m =3.例37.例38. 证明:(1)∵△=(2k +1)2-16(k -12)=(2k -3)2≥0, 例39. ∴方程总有实根;例40. 解:(2)∵两实数根互为相反数,例41. ∴x 1+x 2=2k +1=0,解得k =-0.5;例42. (3)①当b =c 时,则△=0,例43. 即(2k -3)2=0,∴k =32, 例44. 方程可化为x 2-4x +4=0,∴x 1=x 2=2,而b =c =2,∴b +c =4=a 不适合题意舍去; 例45. ②当b =a =4,则42-4(2k +1)+4(k -12)=0, 例46. ∴k =52, 例47. 方程化为x 2-6x +8=0,解得x 1=4,x 2=2,例48. ∴c =2,C △ABC =10,例49. 当c =a =4时,同理得b =2,∴C △ABC =10,例50. 综上所述,△ABC 的周长为10.例51.训练1.(1)证明:∵方程mx 2-(m +2)x +2=0(m ≠0)是一元二次方程,∴△=(m +2)2-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=(m -2)2≥0,∴方程总有两个实数根;(2)解:∵方程有两个不相等的实数根α,β,∴由根与系数的关系可得α+β=m+2m ,αβ=2m , ∵1α+1β=1,∴m+2m 2m =m+22=1,解得m =0,∵m ≠0,∴m 无解.2.解:(1)∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根,∴△=(-2)2-4m ≥0,解得m ≤1;(2)由两根关系可知,x 1+x 2=2,x 1?x 2=m ,解方程组{x 1+x 2=2x 1+3x 2=3, 解得{x 1=32x 2=12,∴m =x 1?x 2=32×12=34;(3)∵x 12-x 22=0,∴(x 1+x 2)(x 1-x 2)=0,∵x 1+x 2=2≠0,∴x 1-x 2=0,∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根,∴△=(-2)2-4m =0,解得m =1.3.(1)证明:∵关于x 的方程x 2+(m -3)x -m (2m -3)=0的判别式△=(m -3)2+4m (2m -3)=9(m -1)2≥0,∴无论m 为何值方程都有两个实数根;(2)解:设方程的两个实数根为x 1、x 2,则x 1+x 2=-(m -3),x 1×x 2=-m (2m -3),令x 12+x 22=26,得:(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(m -3)2+2m (2m -3)=26,整理,得5m 2-12m -17=0,解这个方程得,m =175或m =-1, 所以存在正数m =175,使得方程的两个实数根的平方和等于26. 4.(1)证明:在方程x 2-6x -k 2=0中,△=(-6)2-4×1×(-k 2)=4k 2+36≥36, ∴方程有两个不相等的实数根.(2)解:∵x 1、x 2为方程的两个实数根,∴x 1+x 2=6①,x 1?x 2=-k 2,∵2x 1+x 2=14②,联立①②成方程组{x 1+x 2=62x 1+x 2=14, 解之得:{x 1=8x 2=−2, ∴x 1?x 2=-k 2=-16,。

根的判别式典型例题

根的判别式典型例题

根的判别式典型例题一、对于一元二次方程,其根的判别式为Δ。

若Δ > 0,则该方程有几个不相等的实数根?A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个(答案:C)二、方程x2 - 4x + 5 = 0的根的情况是?A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 有一个实数根(答案:C)三、若一元二次方程的两个根都是正数,则Δ与0的大小关系是?A. Δ > 0B. Δ < 0C. Δ = 0D. 无法确定(答案:A)四、方程2x2 - 3x + 1 = 0的根的情况是?A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 有一个实数根(答案:A)五、对于方程3x2 - 2x + 1 = 0,其根的判别式Δ的值是多少?A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 无法确定(答案:B)六、若一元二次方程的两个根互为相反数,则Δ的值一定为?A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 无法确定(答案:C)七、方程x2 - 2x + 1 = 0的根的情况是?A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 有一个实数根(答案:B)八、对于一元二次方程,若其常数项为0,且有两个不相等的实数根,则其一次项的系数必须满足什么条件?A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 无法确定(答案:A)九、方程5x2 - 2x + 1 = 0的根的情况是?A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 有一个实数根(答案:C)十、若一元二次方程的两个根都是负数,则Δ与0的大小关系是?A. Δ > 0B. Δ < 0C. Δ = 0D. 无法确定(答案:A)。

专题02 根的判别式与根与系数的关系(30题)(原卷版)

专题02 根的判别式与根与系数的关系(30题)(原卷版)

专题第2讲根的判别式与根与系数的关系(30题)1.(2023•南岗区校级开学)关于x的一元二次方程x2+(m﹣2)x﹣3=0的根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定根的情况2.(2023•朝阳)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k>且k≠1B.k>C.k≥且k≠1D.k≥3.(2023春•永兴县校级期末)已知关于x的方程(k﹣1)x2有两个实数解,求k的取值范围()A.k≤B.k≤且k≠1C.0≤k≤D.0≤且k≠14.(2022秋•信都区校级期末)关于x的一元二次方程4x2+(4m+1)x+m2=0有实数根,则m的最小整数值为()A.1B.0C.﹣1D.﹣25.(2023春•承德县月考)已知关于x的方程2mx2﹣nx+2=0(m≠0)的一个解为x=﹣3,则关于x的方程2mx2+nx+2=0(m≠0)根的情况是()A.不存在实数根B.有两个实数根C.有两个不相等的实数根D.不确定6.(2023•广州)已知关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,则的化简结果是()A.﹣1B.1C.﹣1﹣2k D.2k﹣37.(2023•雁塔区校级开学)已知m、n是方程x2﹣x﹣2=0的两根,则=.8.(2023春•巴东县期中)已知a,b是关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个实数根,则(a+2)2+b 的值为()A.B.5C.2D.﹣29.(2023春•江岸区校级月考)设α、β是方程x2+2019x﹣2=0的两根,则(α2+2022α﹣1)(β2+2022β﹣1)的值为()A.6076B.﹣6074C.6040D.﹣604010.(2022秋•迁安市期末)关于x的方程2x2+6x﹣7=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2的值为()A.3B.﹣3C.D.11.(2023•丹徒区二模)若m,n是一元二次方程x2+4x﹣9=0的两个根,则m2+5m+n的值是()A.4B.5C.6D.1212.(2023•东胜区模拟)已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根,则的值为()A.﹣10B.﹣7C.﹣5D.313.(2023•崇川区校级开学)已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2=0.(1)试说明:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有一个根为3,求2m2+12m+2053的值.14.(2023•海淀区校级开学)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0.(1)求证:不论m为何值,该方程总有两个实数根;(2)若x=1是该方程的根,求代数式(m﹣2)2+3的值.15.(2023•南岗区校级开学)阅读材料:材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2;则x1+x2=﹣,x1•x2=;材料2:已知一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.解:∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为m,n;∴m+n=1,mn=﹣1;则m2n+mm2=mn(m+n)=﹣1×1=﹣1.根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:(1)材料理解:一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=,x1•x2=;(2)类比应用:已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根分别为m、n,求+的值.16.(2023•晋江市校级开学)已知a,b是方程x2+3x﹣2=0的两个不相等的实根,求下列各式的值:①a2+b2;②;③a3+3a2+2b.17.(2022秋•玉泉区校级期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣2=0有实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)当m=1时,方程的根为x1,x2,求代数式的值.18.(2023春•招远市期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m=3的两个实数根为x1,x2,且x1>x2.(1)求m的取值范围;(2)若m取负整数,求x1﹣3x2的值;(3)若该方程的两个实数根的平方和为18,求m的值.19.(2023•襄阳模拟)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1=0有x1,x2两实数根.(1)求m的取值范围;(2)是否存在实数m,满足(x1﹣1)(x2﹣1)=﹣?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.20.(2023•襄州区模拟)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5=0有两个实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)若x1,x2是该方程的两个根,且满足x1x2+x1+x2=m2+6,求m的值.21.(2022秋•惠安县期末)关于x的一元二次方程x2+(m﹣1)x﹣m=0.(1)不解方程,判断该方程的根的情况;(2)设x1,x2是方程的两根,其中有一根不大于0,若y=x1•x2﹣m+2,求y的最大值.22.(2023春•镇海区期末)定义:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=ac.则称此方程为“蛟龙”方程.(1)当b<0时,判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的情况,并说明理由.(2)若“蛟龙”方程2x2+mx+n=0 有两个相等的实数根,请解出此方程.23.(2023•汝南县一模)阅读材料:材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则,;材料2:已知一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.解:∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为m,n,∴m+n=1,mn=﹣1,则m2n+mm2=mn(m+n)=﹣1×1=﹣1根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:(1)材料理解:一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=;(2)类比应用:已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根分别为m、n,求的值;(3)思维拓展:已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1=0,2t2﹣3t﹣1=0,且s≠t,求的值.24.(2023春•文登区期中)已知x1,x2是方程的两个根.求:(1);(2).25.(2023•枣阳市二模)关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2=0有两个不相等实数根x1和x2.(1)求实数m的取值范围;(2)当x1•x2﹣x1﹣x2=0时,求m的值.26.(2023春•绍兴期中)已知有关于x的一元二次方程(k+1)x2﹣(3k+1)x+2k=0.(1)求k的取值范围,并判断该一元二次方程根的情况;(2)若方程有一个根为﹣2,求k的值及方程的另一个根;(3)若方程的一个根是另一个根3倍,求k的值.27.(2023春•青冈县期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2k﹣1)x﹣k﹣1=0.(1)求证:无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有两个实数根x1、x2,且x1+x2﹣4x1x2=2,求k的值.28.(2022秋•惠城区校级期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+4k﹣3=0.(1)求证:无论k取什么实数值,该方程总有两个不相等的实数根;(2)当一矩形ABCD的对角线长为AC=,且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时,求矩形ABCD的周长.29.(2023春•肇源县月考)已知关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围.(2)若两个实数根分别是x1,x2,且(x1x2﹣1)2+2(x1+x2)=0,求m的值.30.(2023春•萧山区月考)已知关于x的方程(m2﹣4m+5)x2﹣4x+n=0.(1)圆圆说:该方程一定为一元二次方程.圆圆的结论正确吗?请说明理由.(2)当m=2时;①若该方程有实数解,求n的取值范围;②若该方程的两个实数解分别为x1和x2,满足,求n的值.。

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1.已知关于x 的方程01)32()1(2=++-+-k x k x k 有两个不相等的实数根
(1)求k 的取值范围
(2)是否存在实数k ,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k 的值,如果不存在,请说明理由.
2. 已知关于x 的方程m x m x =--1
1有实数根,
求m 的取值范围
3. 已知关于x 的一元二次方程0322=+-m mx x 的两个实数根是x 1、x 2,且
16)(221=-x x ,如果关于x 的另一个一元二次方程0
9622=-+-m mx x 的两个根都在x 1、x 2之间,求m 的值.
4. 已知关于x 的方程014
1)1(22=+++-k x k x (1)k 取什么值时,方程有两个实数根
(2)如果方程的两个实数根x 1、x 2满足21x x =,求k 的值
5.已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-0
1022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==11y y x x ,和⎩⎨⎧==22y y x x 且x 1、x 2是两个不相等的实数,若116832212
221--=-+a a x x x x (1)求a 的值;(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数,为什么?
6. 已知关于x 的方程0)12(22=+++-a a x a x 的两实数根中,
只有一个根大于5,求a 的取值范围.
7.是否存在正数m 使方程04522=+-m mx x 的两根之差的绝对值等于1
6-m ?若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由
8. 请写出一个根为1=x ,另一根满足11<<-x 的一元二次方程
9. 王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了44000元。

其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元;种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元。

问王大伯一共获纯利多少元?
10. 学校存煤50吨,由于改进炉灶结构和烧煤技术后,每天能节约煤100千克,已知所存的煤比原计划多烧25天,问原计划每天烧煤多少千克?
11. 已知方程组⎩⎨⎧+==m x y x y 22有两个实数解⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x ,且
2
31121=+x x ,求m 的值
12. 设1x ,2x 是关于x 的方程02
=++q px x 的两实数根,11+x ,12+x 是关于x 的方程02=++p qx x 的两实数根,求p ,q 的值
13. 在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/小时的轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/小时的卡车,则轿车从开始追及到超越卡车,需要花费的时间约是
14. 赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完,当他读了一半时,发现平均每天要多读21页才能在借期内读完,他读前一半时,平均每天读多少页?
15. 张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了a 份报纸,以每份0.5元的价格售出了b 份报纸,剩余的以每份0.2元的价格退回报社,则张大伯赚了多少元?
16. 关于x 的方程04
)1(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围;
(2)是否存在实数k ,使方程的两个实数根的倒数和等于0 ?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由。

17. 下面是明明同学的作业中,对“已知关于x 方程02322=+-++k k kx x ,判别这个方程根的情况.”
题的解答过程,请你判断其是否正确,若有错误,请你写出正确解
解:
)2(4
)2(8
4)
2(14)3(22222>∆∴≥-+-=-+-=+-⨯⨯-=∆k k k k k k k
∴原方程有两个不相等的实数根。

18. 在社会实践活动中,某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数),三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下:
甲同学说:“二环路车流量为每小时10000辆”;
乙同学说:“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”;
丙同学说:“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”;
请你根据他们所提供的信息,求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少?
19. 我国很多城市水资源缺乏,为了加强居民的节水意识,合理利用水资源,很多城市制定了用水收费标准.A 市规定了每户每月的标准水量,不超过标准用水量的部分每立方米1.2元收费;超过标准用水量的部分按每立方米3元收费.该市张大爷家5月份用水9立方米,需交费16.2元,A 市规定的每户每月标准用水量是多少立方米?
20. 已知关于x 的一元二次方程
07)1(82=-+++m x m x 有两个负实数根,求:实数m 的取值范围.
22. 已知关于x 的方程()013222=++--k x k x 。

(1)当k 为何值时,此方程有实数根;
(2)若此方程的两实数根
21,x x 满足:321=+x x ,求k 的值
23.方程0232=+-a x x 的一根比另一根大3
1,求a 的值. 24.如果方程022=++m x x
有两个同号的实数根,求m 的取值范围.
25.方程01)12(2=-+++k x k x 的两个实数根21,x x 满足1421-=-k x x 求k 的值.
26..x 1、x 2是方程0222=+-x x 的两个实数根,求x 12+x 22的值.
解:x 1+x 2= x 1x 2=2 x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2 x 1x 2=0
解答是否正确,请说明理由
27.甲、乙两个人用规定时间共同完成某项工作,甲每天出勤,共得工资1000元,乙缺勤10天,得工资400元;如果乙每天出勤,而甲缺勤8天,那么乙工资比甲多200元.求二人每天工资各是多少元.
28.某商场销售一种商品,一月份销售了若干件,共获利润30000元,二月份这种商品的单价降低了0.4元,但是销售量比一月份增加了5000件,从而所获利润比一月份多2000元,问调价前每件商品的利润是多少元.。

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