河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题 数学 含答案

河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题数学一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,2,3}A =，则集合{|,}B xy x A y A =∈∈中元素的个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．函数2()x f x -= ）A ．[2,3)(3,)+∞ B ．(,1](1,2]-∞-- C ．[2,)+∞ D ．(,3)-∞3．已知21()log ()3xf x x =- ，则函数()f x 的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)4．若函数()1(01)xf x a b a a =+->≠且的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A ．01,0a b <<>且 B ．1,0a >>且b C ．01,0a b <<<且 D ．1,0a ><且b5．已知352()5a =，253()5b = ，252()5c = ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ． c b a <<6．证券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元，B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元，C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元，作为购买者，分析这三种证券的收益，从小到大排列为（ ）A ．,,A CB B ．,,B AC C ．,,A B CD ．,,C A B 7．设25abm == ，1112a b +=，则m =（ ） A 10．10 C ．20 D ．1008．已知()f x 是偶函数，当0x ≥ 时，2()(1)1f x x =--+ ，则满足1(())2f f a =的实数a 的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．109.已知关于x 的方程2210x mx --=在区间(0,1)上至少有一个实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(,1)-∞10若函数||()3x f x = ([,])x a b ∈ 的值域为[1,9] ，则222a b a +-的取值范围是（ ） A ．[2,4] B ．[4,16] C ．[2,23] D ．[4,12]11.函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下3个条件： ①(0)0f =， ②1()()52x f f x =， ③(1)1()f x f x -=-．则1()2018f =（ ） A ．116 B ．132 C ．164D ．1128 12.已知函数()|ln |f x x =，1()()2xg x =，（ 2.71828e =为自然对数的底数），方程()()f x g x =的两根为12,x x ，则（ ）A ．1201x x <<B ．1212x x <<C ．122x x e <<D ．123e x x <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题每题5分，共20分 13．5log 227log 815+= ____ _____．14. 函数2223()(1)aa f x a a x --=--为幂函数，（a 为常数），且在(0,)+∞上是减函数，则实数a 的值是_________．15．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.2]1=，[ 1.2]2-=-，[1]1=，则定义域为[1,3] 的函数()[[]]f x x x =+的值域为____ ______．16．下列4个说法，正确的有_________．（填所有正确说法的序号） ①若函数2()21f x mx x =++的值域为[0,)+∞，则实数1m =；②若11()()23a b=，则a b < ；③若()lg f x x =，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，都有1212()()()22f x f x x xf ++≤；④函数2()lg(142)f x x x =+是定义域为R 的奇函数．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）已知集合{|15}A x x =≤<，{|2,3}B x x x =≤->或，()B C A C R =． （Ⅰ）求集合C ；（Ⅱ）若集合{|12}D x k x k =+≤≤，且C D C =，求实数k 的取值范围．18．（本题满分12分）已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且(0)0f =，(1)1f =，若方程()f x =2mx m -的一根小于等于0，另一根大于等于1，则实数m 的取值范围为集合A ．（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）函数2()23g x x ax x A =-+∈，，求()g x 的最小值()h a ． 19．（本题满分12分）某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t ，线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关系满足：()⎩⎨⎧≤<+-≤≤=2010,20010101,10t t t t t f ，2()20g t t t =-+(120)t ≤≤，每件产品A 的销售利润为40,115()50,1520t h t t ≤<⎧=⎨≤≤⎩，（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）． （Ⅰ）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数关系式； （Ⅱ）求产品A 在这20天内日销售利润的最大值．20．（本题满分12分）已知函数()(0,1)xf x a a a =>≠且，函数()g x 与()f x 互为反函数，()()h x g x a =--． （Ⅰ）求函数()h x 的解析式；（Ⅱ）若对任意12,[2,3]x x a a ∈++，都有12|()()|1h x h x -≤，求实数a 的取值范围．21．（本题满分12分）定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数．（Ⅰ）求,a b 的值并判断函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()f x 的定义域和值域均为区间G ，则称区间G 为函数()f x 的“管控区间”． （Ⅰ）求函数2()2f x x x =-形如[,)a +∞()a R ∈的“管控区间”； （Ⅱ）函数1()|1|(0)g x x x=->是否存在形如[,]()a b a b <的“管控区间”，若存在求出实数,a b 的值，若不存在，请说明理由．一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1～4 CABC 5～8 BADC 9～12 DDBA二、填空题：本大题共4小题每题5分，共20分 13．10314.2 15．{2,4,6} 16．③④_ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤.17．解：（Ⅰ）{}32|≤<-=x x B C R …………………………2分 (){}31|≤≤=x x B C A R …………………………4分 （Ⅱ）由CD C =得，D C ⊆，……………………5分当D =∅时，12k k +>，解得1k <；………………7分当D ≠∅时，121122k kk k +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，解得1k = ……………………9分综上所述，实数k 的取值范围为1k ≤．…………………10分 18．解：（Ⅰ）由题意可设2()(1)1f x t x =-+，又(0)0f =，所以2(1)10t -+=，1t =-，故2()(1)1f x x =--+……2分 方程()2f x mx m =-可化为2(22)0x m x m +--=， 若令函数2()(22)x x m x m ϕ=+--，由题意可得(0)0(1)0ϕϕ≤⎧⎨≤⎩ ，………5分解得01m ≤≤，所以[0,1]A =…………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()23[0,1]g x x ax x =-+∈，当0a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，min ()(0)3g x g == ………………8分当01a <<时，()g x 在[0,1]上先减后增，2min ()()3g x g a a ==-+…………9分当1a ≥时，()g x 在[0,1]上单调递减，min ()(1)42g x g a ==-………………11分综上：()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+-≤=1,2410,30,32a a a a a a h ……12分19．解：（Ⅰ）由题意可得：当110t ≤≤时，销售量为2210(20)(30)t t t t t +-+=-+件，销售利润为240(30)t t -+元； ……………………………2分当1015t <<时，销售量为2210200(20)(10200)t t t t t -++-+=-++件，销售利润为240(10200)t t -++元；…………………………………………4分当1520t ≤≤时，销售量为2210200(20)(10200)t t t t t -++-+=-++件，销售利润为250(10200)t t -++元；………………………………………………6分综上22240(30),110()40(10200),101550(10200),1520t t t F t t t t t t t ⎧-+≤≤⎪=-++<<⎨⎪-++≤≤⎩………………………………7分（Ⅱ）当110t ≤≤时，2()40(30)F t t t =-+随t 的增大而增大，max ()(10)8000F t F ==元…………………………8分当1015t <<时，2()40(10200)F t t t =-++随t 的增大而减小，5000()8000F t << …………………………9分当1520t ≤≤时，2()50(10200)F t t t =-++随t 的增大而减小，max ()(15)6250F t F ==元………………………………11分所以第10天日利润最大为8000元…………………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题意得，()log a g x x =(0,1)a a >≠且，……………………2分()log ()a h x x a =--(0,1)a a >≠且 …………………………4分（Ⅱ）问题可转化为函数()h x 在区间[2,3]a a ++上的最大值与最小值的差小于等于1 ………………………………6分当01a <<时，函数()log ()a h x x a =--在区间[2,3]a a ++上单调递增，max min 2()()(3)(2)log 3log 2log 1log 3a a aa h x h x h a h a a -=+-+=-+=≤=， 解得203a <≤； ……………………………………8分 当1a >时，函数()log ()a h x x a =--在区间[2,3]a a ++上单调递减，max min 3()()(2)(3)log 2log 3log 1log 2a a aa h x h x h a h a a -=+-+=-+=≤=， 解得32a ≥；……………………………………………………10分 综上所述，实数a 的取值范围为23(0,][,)32+∞ ……………………12分 21．解：（Ⅰ）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0(1)(1)0f f f =⎧⎨-+=⎩ ，即00111111120222022ba b b a a+--++⎧-+=⎪⎪+⎨-+-+⎪+=⎪++⎩ ，解得2,1a b == …………3分经检验得2,1a b ==符合题意．…………………………………………4分所以12111()22221x x x f x +-+==-+++，设12x x <，21211212121212111111(21)(21)22()()()()2212212121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-+--+=-==++++++++ 又1222x x<，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 是R 上的减函数．………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，所以222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，………………9分所以2222t t k t ->-，即232k t t <-对任意t R ∈恒成立，……………………11分 所以2min 1(32)3k t t <-=-，即k 的取值范围为1(,]3-∞- ……………………12分 22.解：（Ⅰ）由于22()2(1)1f x x x x =-=--，所以其值域为[1,)-+∞． 所以[1,)-+∞为函数2()2f x x x =-的一个“管控区间”．………………2分又函数()f x 的图象与y x =有一个交点(3,3)，所以[3,)+∞也为函数2()2f x x x =-的一个“管控区间”．……………………4分 综上，函数()f x 有两个形如[,)a +∞的“管控区间” [1,)-+∞和[3,)+∞．………5分 （Ⅱ）函数()f x 不存在形如[,]a b 的“管控区间”，理由如下：若存在实数,a b 使得函数1()|1|(0)f x x x=->有形如[,]()a b a b <的“管控区间”，则0a >．…………………………6分 因为11,1()11,01x xg x x x⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩．①当,(0,1)a b ∈时，1()1g x x=-在(0,1)上为减函数， 故()()g a b g b a =⎧⎨=⎩，即1111b aab⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a b =，与a b <矛盾．………………8分 ②当,[1,)a b ∈+∞时，1()1g x x=-在[1,)+∞上增函数， 故()()g a a g b b =⎧⎨=⎩，即1111a a bb⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，此时,a b 是方程210x x -+=的根，此方程无解，故此时不存在满足条件的实数,a b ．…………………………10分③当(0,1)a ∈，[1,)b ∈+∞时，由于1[,]a b ∈，而(1)0g =，故此时不存在满足条件的实数,a b ． 综上，不存在满足条件的实数,a b 使得()g x 有形如[,]a b 的“管控区间”．………12分。