《物理学教学课件》6-2 平面简谐波的运动方程-精品文档
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高中物理竞赛§6.2 平面简谐波的波函数课件
● (2k 1) (k ) A A1 A2 合振幅最小 减弱、相消
两波到达相遇点的路程差
(2)当波程差 r2 r1 ？ 长、消
特例 10 20时
波程差
r2 r1
k (2k 1)
2
相长 相消
看出：合振幅出现最大(相长)、最小(相消)的条件中，与时间
无关，只与空间位置有关
某些地方始终相长 某些地方始终相消
加强、相长
● (2k 1) (k ) A A1 A2 合振幅最小 减弱、相消
3.波的干涉 4.干涉时的波强 I A2 （平均能流密度）
Imax I1 I2 2 I1I2 Imin I1 I2 2 I1I2
例 (P184：例6-10题) A、B两波源，相距30m，振幅相等，振动
(t
x
)
0
由： 1
T
u
2
有：
y
A
cos
2
(ut
x)
0
y
A co s2
(t T
x)
0
§6.2 平面简谐波的波函数(一波函数 二平面简谐波的)
1.波函数的物理意义
y
A cos(t
x u
)
0
● 当x一定时：设x=x1 表示x1处质点的位移与时间的关系 即x1处质点的振动方程
● 当t一定时：设t=t1 表示t1时刻各质点的位移分布 即t1时刻的波形图（如给抖绳子照相）
●结果 总不满足 没有因干涉而静止的点
静止
例 (P184：例6-10题) A、B两波源，相距30m，振幅相等，振动
方向相同，频率皆为100Hz，相位差π，波速为400m/s。
求：A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。
大学物理学课件-平面简谐波规律
(2) 当 t = t0固定时，给出 t0 时刻空间各点位移分布 对应函数曲线—— t0时刻波形图.
y 波形曲线
0
t = t0
x
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
3、如x、t 均变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况
t 时刻，x处质点的相位
(t x )
u
t 时t 刻， x 处 质Δx点的相位
dWk
1 2
A2 2
sin
2
(t
x u
)dV
2) 介质元的弹性势能：
dW p
1 2
k(dy
)2
dW p1 2来自A2 2sin2(t
x u
) dV
dWk
3) 介质元的总能量：
dW
dWk
dWp
A2 2
sin2
(t
x u
)
dV
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
dW
dWk
dWp
(t
1)] 8
在下列情况下试求波函数(设波速为u)：
(1) 以 A 为原点； (2) 以 B 为原点；
x1
x
BA
(3) 若u沿x 轴负向，以上两种情况又如何？
解: (1)在x轴上任取一点P ，
该点振动方程为：
yp
Acos[4π
(t
x u
1)] 8
x1
u
x
BA P
波函数为： y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
y Acos[t kx ]
k 2
大学物理学
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y 波形曲线
0
t = t0
x
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
3、如x、t 均变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况
t 时刻，x处质点的相位
(t x )
u
t 时t 刻， x 处 质Δx点的相位
dWk
1 2
A2 2
sin
2
(t
x u
)dV
2) 介质元的弹性势能：
dW p
1 2
k(dy
)2
dW p1 2来自A2 2sin2(t
x u
) dV
dWk
3) 介质元的总能量：
dW
dWk
dWp
A2 2
sin2
(t
x u
)
dV
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
dW
dWk
dWp
(t
1)] 8
在下列情况下试求波函数(设波速为u)：
(1) 以 A 为原点； (2) 以 B 为原点；
x1
x
BA
(3) 若u沿x 轴负向，以上两种情况又如何？
解: (1)在x轴上任取一点P ，
该点振动方程为：
yp
Acos[4π
(t
x u
1)] 8
x1
u
x
BA P
波函数为： y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
y Acos[t kx ]
k 2
大学物理学
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6-2 简谐波
2-2-4 简谐波
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程 ） 为坐标原点，
−2 −1
第二章 波动
y A = (3 × 10 m ) cos( 4 π s )t
u
8m C 5m 9m A D
oB
x
t x y = A cos[ 2π ( − ) + ϕ ] T λ xB − x A −5 ϕ B − ϕ A = −2π = − 2π =π λ 10 t x −2 ϕ B = π y = (3 ×10 m) cos[2π ( − ) +π ] 0.5s 10m
波动方程为： 波动方程为：
9 y D = (3 × 10 m ) cos[( 4 π s )t − π ] 5
−2 −1
2-2-4 简谐波
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差 ）
第二章 波动
y A = (3 ×10 m) cos(4 π s )t
−2
−1
u
8m C B 5m 9m D
λ = 10m
λ 2cm 2 −1 = 200 cm u = = 250cm⋅ s T = s = 0.8 s λ = T 0.01 2.5
2-2-4 简谐波
第二章 波动
轴正方向传播， 例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A = 1.0m ， = 2 . 0 s ， = 2.0m . 在 t = 0 时坐标 T λ 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程 ） 解 写出波动方程的标准式
t x y = A cos[ 2π ( − ) + ϕ ] T λ
OБайду номын сангаас
v A
y ω
《物理学教学课件》6-2平面简谐波的运动方程
波动传播时，介质中 的各点的振动加速度 是相同的，只是相位 不同。
波动传播时，介质中 的各点的振动速度是 相同的，只是相位不 同。
平面波的应用
电磁波
无线电波、微波、可见光、不可见光（含紫外线和红外线）、X射线和伽马射 线等。
声波
可闻声、次声和超声。
02
平面简谐波的运动方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
通过将波动方程中的波动函数进 行傅里叶变换，得到平面简谐波
的运动方程。
推导过程中涉及到的数学公式和 物理量较多，需要有一定的数学
和物理基础。
平面简谐波的运动方程理解
平面简谐波的运动方程描述了波在空间中的分布和传播规律。
通过求解平面简谐波的运动方程，可以得到波在空间中的分布情况，如波长、振幅、 相位等。
电磁波的应用
电磁波在通信、雷达、导航、天文观测等 领域有着广泛的应用。例如，无线电波可 以用于长距离通信和广播，微波可以用于 卫星通信和雷达测距等。
06
总结与思考
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
本章重点回顾
平面波的概念
平面波是波动传播过程中，波 面始终保持平面的波。
思考题
波动方程的求解方法有哪些？如何选择合适的求 解方法？
习题
利用不同的求解方法求解波动方程，并比较结果。
思考题
波的能量传播有何特点？如何理解能流密度和能 流方向的概念？
习题
计算一维平面波的能流密度和能流方向，并分析其物理 意义。
THANKS
感谢观看
平面波的波动方程
描述了波在传播过程中，任意 时刻任意一点的振动位移、速 度和加速度。
大学物理平面简谐波的波函数精选精品文档
u
1m 0
λ10m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
Dx
第十章 波动
21
物理学
第五版
选择进入下一节：
本章目录
6-1 机械波的几个概念
6-2 平面简谐波的波函数
6-3 波的能量 能流密度 6-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉
6-5 驻波
6-6 多普勒效应
第十章 波动
22
x
A cos
t
2πx
第十章 波动
4
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
波函数
yAcos(t[x)]
u
质点的振动速度，加速度
v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
(3) x0.5m处质点的振动规律并作图
y1.0co2π s([t x)π] 2.0 2.0 2
x0.5m处质点的振动方程
ycoπst[π](m)
y
y/m
3
3
1.0
*
4O
2
0 2* 1.0 *4 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x0.5m处质点的振动曲线
第十章 波动
15
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度u20ms-1
沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA31 0 2co4π st)(; ( y, t单位分别为m，s).
6-2 平面简谐波的波动方程
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
1
(t
x1 ) u
2π
(t T
x1 )
波程差
2
(t
x2 u
)
2π
(t T
x2
)
x21 x2 x1
2
y cos[2π( t x ) π ] (m) 2.0 2.0 2
O
y
A
返回
第 6 章 机械波
15
南通大学
Nantong University
6-2 平面简谐波的波动方程
(2)求 t 1.0s 波形图
y 1.0 cos[2π( t x ) π ]
2.0 2.0 2
第 6 章 机械波
4
南通大学
Nantong University
6-2 平面简谐波的波动方程
波动方程 y Acos[(t x) ]
u
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 y t 2
2
A cos[ (t
x) u
返回 ]
6-2 平面简谐波的波动方程
例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播，
已知振幅A 1.0 m，T 2.0 s，λ 2.0 m. 在 t 0
时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向
运动. 求：(1)波动方程；(2)t 1.0 s波形图；
《平面简谐波》课件
,
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 平 面 简 谐 波 的 基 本 概 念 03 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 04 平 面 简 谐 波 的 传 播 特 性 05 平 面 简 谐 波 的 应 用 06 平 面 简 谐 波 的 反 射 与 折 射
平面波是一种在空间中传播的 波，其波面是平面
折射率：折射率是描述介质对波的传播速度影响的物理量，不同介质的折 射率不同。
折射定律公式：n1sinθ1=n2sinθ2，其中n1和n2分别是两种介质的折射 率，θ1和θ2分别是入射角和折射角。
光学仪器：如显 微镜、望远镜等， 利用反射和折射 原理进行成像
通信技术：如光 纤通信，利用光 的折射和反射进 行信号传输
波的反射与折射： 波在遇到障碍物 时，会发生反射 和折射，能量也 会随之改变
声波是机械波的一种，可以在固体、液体和气体中传播 声波的传播速度与介质的性质有关，如密度、弹性模量等 声波的传播方向与振动方向相同，但在不同介质中传播速度不同 声波的传播可以通过声波传感器、声波测距仪等设备进行测量和研究
医疗技术：如超 声波成像，利用 声波的反射和折 射进行人体内部 成像
建筑设计：如反 射镜、折射镜等 ，利用光的反射 和折射原理进行 照明和装饰
反射定律：入射 角等于反射角
反射角与入射角 的关系：反射角 等于入射角
反射角与折射角 的关系：反射角 等于折射角
反射定律的应用 ：在光学、声学 、电磁学等领域 都有广泛应用
折射定律：当波从一种介质进入另一种介质时，其传播方向会发生改变， 这种现象称为折射。
折射角：折射角是指折射光线与入射光线之间的夹角。
振动方向是波的 传播方向与振动 方向之间的夹角
波的传播方向与 振动方向之间的 夹角决定了波的 传播速度
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 平 面 简 谐 波 的 基 本 概 念 03 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 04 平 面 简 谐 波 的 传 播 特 性 05 平 面 简 谐 波 的 应 用 06 平 面 简 谐 波 的 反 射 与 折 射
平面波是一种在空间中传播的 波，其波面是平面
折射率：折射率是描述介质对波的传播速度影响的物理量，不同介质的折 射率不同。
折射定律公式：n1sinθ1=n2sinθ2，其中n1和n2分别是两种介质的折射 率，θ1和θ2分别是入射角和折射角。
光学仪器：如显 微镜、望远镜等， 利用反射和折射 原理进行成像
通信技术：如光 纤通信，利用光 的折射和反射进 行信号传输
波的反射与折射： 波在遇到障碍物 时，会发生反射 和折射，能量也 会随之改变
声波是机械波的一种，可以在固体、液体和气体中传播 声波的传播速度与介质的性质有关，如密度、弹性模量等 声波的传播方向与振动方向相同，但在不同介质中传播速度不同 声波的传播可以通过声波传感器、声波测距仪等设备进行测量和研究
医疗技术：如超 声波成像，利用 声波的反射和折 射进行人体内部 成像
建筑设计：如反 射镜、折射镜等 ，利用光的反射 和折射原理进行 照明和装饰
反射定律：入射 角等于反射角
反射角与入射角 的关系：反射角 等于入射角
反射角与折射角 的关系：反射角 等于折射角
反射定律的应用 ：在光学、声学 、电磁学等领域 都有广泛应用
折射定律：当波从一种介质进入另一种介质时，其传播方向会发生改变， 这种现象称为折射。
折射角：折射角是指折射光线与入射光线之间的夹角。
振动方向是波的 传播方向与振动 方向之间的夹角
波的传播方向与 振动方向之间的 夹角决定了波的 传播速度
6-02 平面简谐波的波函数
写出波动式
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] (m) 2.0 2.0 2
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2）求 t 1.0s 波形图.
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2
t 1.0s
2
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方 x 程 2 2 y 3 10 cos 4 π( t ) y A 3 10 cos4 π t 20
u
C
8m
5m
9m
10m
D
B
oA
2
x
把点 C 的坐标代入
13 yc 3 10 cos[ 4 π t π] 5
把点 D 的坐标代入
例1 已知波函数如下，求波长、周期和波速. y 5 cos π[2.50t 0.01x](cm).
解：（比较系数法）. 把波动方程改写成
t x y A cos 2π ( ) T
比较得
2.50 0.01 y 5 cos 2 π[ t x] 2 2
2 T s 0.8 s 2.5 2cm 200 cm 0.01
y
u
x
x0
已知 x0点振动方程
O
x
y x0 A cos( t )
x x0 时间落后 u
x x0
任一点
x 比 x0
相位落后 2
任一点 x 振动方程——波函数
x x0 y A cos[ ( t ) ] u x x0 y A cos[ t 2 ]
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
《平面简谐波方程》课件
平面简谐波方程
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 平面简谐波方程的推导 03 平面简谐波方程的应用 04 平面简谐波方程的扩展
05 平面简谐波方程的实验验证
单击添加章节标题
第一章
平面简谐波方程的推导
第二章
推导过程
假设平面简谐波方程的解为u(x,t)=Acos(kx-ωt) 代入波动方程，得到k^2=ω^2/c^2 解得波速c=ω/k 进一步推导出波长λ=2π/k，频率f=ω/2π，周期T=1/f 得到平面简谐波方程的解为u(x,t)=Acos(kx-ωt)，其中k=2π/λ，ω=2πf， c=λf
ห้องสมุดไป่ตู้
应用领域：机械、 电子、土木工程 等
分析方法：利用 简谐波方程进行 振动系统的分析
应用实例：桥梁、 建筑物、机械设 备的振动分析
波的传播特性
波速：波的传播速度 频率：波的振动频率 波长：波的波长 相位：波的相位差 振幅：波的振幅大小 方向：波的传播方向
波的叠加原理
波的叠加原理是 描述两个或多个 波在空间中相遇 时，它们的振幅 和相位如何叠加 的规律。
应用领域：数值 模拟在物理学、 工程学、生物学 等领域有广泛应 用
数值模拟软件： 如MATL AB、 Python等软件 可以进行数值模 拟，得到更精确 的结果
平面简谐波方程的实验验证
第五章
实验设计
实验目的：验证 平面简谐波方程
实验器材：激光 器、干涉仪、探 测器等
实验步骤：设置 激光器、调整干 涉仪、测量干涉 条纹等
结果分析
误差分析：实验误差在可接 受范围内
实验结果：平面简谐波方程 的解与实验数据吻合
结论：平面简谐波方程在实 验中得到验证
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 平面简谐波方程的推导 03 平面简谐波方程的应用 04 平面简谐波方程的扩展
05 平面简谐波方程的实验验证
单击添加章节标题
第一章
平面简谐波方程的推导
第二章
推导过程
假设平面简谐波方程的解为u(x,t)=Acos(kx-ωt) 代入波动方程，得到k^2=ω^2/c^2 解得波速c=ω/k 进一步推导出波长λ=2π/k，频率f=ω/2π，周期T=1/f 得到平面简谐波方程的解为u(x,t)=Acos(kx-ωt)，其中k=2π/λ，ω=2πf， c=λf
ห้องสมุดไป่ตู้
应用领域：机械、 电子、土木工程 等
分析方法：利用 简谐波方程进行 振动系统的分析
应用实例：桥梁、 建筑物、机械设 备的振动分析
波的传播特性
波速：波的传播速度 频率：波的振动频率 波长：波的波长 相位：波的相位差 振幅：波的振幅大小 方向：波的传播方向
波的叠加原理
波的叠加原理是 描述两个或多个 波在空间中相遇 时，它们的振幅 和相位如何叠加 的规律。
应用领域：数值 模拟在物理学、 工程学、生物学 等领域有广泛应 用
数值模拟软件： 如MATL AB、 Python等软件 可以进行数值模 拟，得到更精确 的结果
平面简谐波方程的实验验证
第五章
实验设计
实验目的：验证 平面简谐波方程
实验器材：激光 器、干涉仪、探 测器等
实验步骤：设置 激光器、调整干 涉仪、测量干涉 条纹等
结果分析
误差分析：实验误差在可接 受范围内
实验结果：平面简谐波方程 的解与实验数据吻合
结论：平面简谐波方程在实 验中得到验证
6-2平面简谐波的波动方程
x
T 2
u=20m/s，ω=4π，
uT 10 m
由于波从左向右传播，因此B点振动始终超前于A点，超 前时间Δt为: x 5
0 .5 s
t
u
20
0.25 s
即B点振动方程为：
x 波动方程一般 形式 y A cos[ ( t ) ] ，则以B点坐标原点 u 的波动方程为：
可写出P点振动方程为：
x
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
任意一质点为坐标原点的波动方程
一平面波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播， 已知A的振动方程为 ，写出分别以 y A 3 cos(4 t) A、B点为坐标原点的波动方程。
8m 5m
C B A
9m
D
u
x
A 0.1, 200 ,0 3 2 yO 0.1cos(200 t3 即O点振动方程为： 2)
根据波动方程通式则得：
x y 0.1cos[ 200 ( t ) 3 2] 400
6.2
平面简谐波的波动方程_例题
例 一列横波以u=400m/s波速沿x轴正向传播。位于坐标原点 O处的质点的振动T= 0.01s，A= 0.1m，取原点处质点经过平 衡位置且向正方向运动时为计时起点。 （1）O点振动方程 yO 0.1cos( 200 t 3 2) x ) 3 以O点为原点的波动方程 y 0.1cos[ 200 ( t 2] 400 （2）写出距原点为2m处的质点P的振动方程及以此点为 原点的波动方程； 解： (2)由波动方程可得P (x=2m )处的振动方程：
（3）常用的波动方程表达式：(以正方向传播为例）
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2 y A cos[ ( ut x) 0 ]
平面简谐波的运动方程共30页文档
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
平面简谐波的运动方程
6、法平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
END
平面简谐波波动方程课件
非线性项的影响
非线性波动方程中，非线性项对 波形的变化和传播速度有重要影响。Fra bibliotek孤波的形成
在非线性波动中，孤波是一种特殊 的波形，其波形不会弥散或消失， 而是以固定的速度和形状传播。
稳定性分析
非线性波动方程的解的稳定性可以 通过线性稳定性分析来研究。
色散波动方程
色散现象
色散现象是指波在传播过程中， 不同频率的波速度不同，导致波
行波法
方法概述
介绍行波法的原理和适用 范围。
行波法的步骤
详细阐述行波法的实施步 骤，包括利用行波法求解 波函数和能流密度等物理 量。
行波法的优缺点
分析行波法的优点和缺点 ，如直观性强但计算量较 大。
04
平面简谐波波动方程的应用
在声波传播中的应用
声波的传播特性
平面简谐波波动方程可以描述声 波在空气或其他介质中的传播特 性，包括声波的传播速度、振幅 、频率等参数。
波动方程的形式
介绍平面简谐波波动方程 的一般形式，以及方程的 变量和参数。
求解方法的选取
根据波动方程的特点，选 取适合的求解方法。
分离变量法
方法概述
介绍分离变量法的原理和适用范围。
分离变量法的步骤
详细阐述分离变量法的实施步骤，包括对时间的积分和对空间的积 分。
分离变量法的优缺点
分析分离变量法的优点和缺点，如计算量较大但精度较高。
根据简化的波动方程，可以得 出平面简谐波的波动方程。
平面简谐波的波动方程描述了 波在平面上的传播规律，其中 包含了波的振幅、频率、相位 等参数。
通过求解平面简谐波的波动方 程，可以得到任意时刻波在平 面上的分布情况。
03
平面简谐波波动方程的求解
非线性波动方程中，非线性项对 波形的变化和传播速度有重要影响。Fra bibliotek孤波的形成
在非线性波动中，孤波是一种特殊 的波形，其波形不会弥散或消失， 而是以固定的速度和形状传播。
稳定性分析
非线性波动方程的解的稳定性可以 通过线性稳定性分析来研究。
色散波动方程
色散现象
色散现象是指波在传播过程中， 不同频率的波速度不同，导致波
行波法
方法概述
介绍行波法的原理和适用 范围。
行波法的步骤
详细阐述行波法的实施步 骤，包括利用行波法求解 波函数和能流密度等物理 量。
行波法的优缺点
分析行波法的优点和缺点 ，如直观性强但计算量较 大。
04
平面简谐波波动方程的应用
在声波传播中的应用
声波的传播特性
平面简谐波波动方程可以描述声 波在空气或其他介质中的传播特 性，包括声波的传播速度、振幅 、频率等参数。
波动方程的形式
介绍平面简谐波波动方程 的一般形式，以及方程的 变量和参数。
求解方法的选取
根据波动方程的特点，选 取适合的求解方法。
分离变量法
方法概述
介绍分离变量法的原理和适用范围。
分离变量法的步骤
详细阐述分离变量法的实施步骤，包括对时间的积分和对空间的积 分。
分离变量法的优缺点
分析分离变量法的优点和缺点，如计算量较大但精度较高。
根据简化的波动方程，可以得 出平面简谐波的波动方程。
平面简谐波的波动方程描述了 波在平面上的传播规律，其中 包含了波的振幅、频率、相位 等参数。
通过求解平面简谐波的波动方 程，可以得到任意时刻波在平 面上的分布情况。
03
平面简谐波波动方程的求解
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得：
y P ( x , t ) y ( x 0 , t t ) A c o s t k ( x - x 0 )
y ( x ,t) A c o s t k ( x - x 0 )
因而平面简谐波波方程的一般形式为
yx0A cost
y y(x x,t) A Ac co os tm mux x- ux0 0
-
x
0
A cos t - kx 0
k 2π
波函数
yAcos[(t-ux)0]
质点的振动速度，加速度
v y t-Asin[(t-u x)0] a 2 t2 y-2Acos[(t-u x)0]
四 、 波函数的物理含义
由于 P为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向Fra bibliotek任一点的振动，
具有一般意义，即为沿 x轴正方向传播的平
面简谐波的波函数，又称波动方程.
换一种思路！
由于沿波的传播方向每增加一个波长 ，
位相滞后 2 ，所以，P 点处振动质点的位相
滞后原点处质点
2 x kx
由原点处质点的振动方程 yO (t)A co s(ω tφ 0)
考察波线上P点(坐标x),
P点比O点的振动落后 的位移是O点在 t - x
t
x u
, P点在t
时刻
时刻的位移，由此得
u
yP(t)yO(t-t) A y u
P
x
yO(t-ux)
O
-A
x
x yP(t)yO(t-Δt)yO(t-u) yO (t)A co s(ω tφ 0)
yP(t)yo(t-u x)A co s t-u x 0
6-2 平面简谐波的运动方程--波函数
一、波长 波的周期和频率 波速
1 波长
波传播方向上相邻两振动状态完全相同
的质点间的距离（一完整波的长度）.
Ay
u
O
x
-A
横波：相邻 波峰——波峰 波谷—— 波谷
纵波：相邻 波疏——波疏 波密——波密
2 周期 T 波传过一波长所需的时间，或一完整 波通过波线上某点所需的时间.
例1 一平面简谐波沿 Ox轴正方向传播，
已知振幅A1.0m，T 2.0s，λ2.0m. 在 t 0
时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 运动. 求：波动方程；
解 (1) 写出原点处振动方程
A1.0m2T - 2
令 t00C （定值）
则 yA cos -2 πx A cos 2 πx-
该方程表示 t时刻波传播方向上各质点 的位移, 即t时刻的波形（y—x的关系）
y
o
x
3 x、 t都变
方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握.
从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
5 已知点不在原点的波动方程的建立 如图，设 x 0 点振动方程为
yx0A cost
P点振动比x
点滞后
0
Δt
x
- x0 u
y P (x ,t)y (x 0 ,t- t)A c o s t-x- u x 0
y(x,t)Acost-x- ux0
如果沿负方向传播
y (x ,t)y (x 0 ,t t)A c o s tx- u x 0 同样由 yx0A cost
P点振动位相比 x 0 点滞后 Δk(x-x0)
T
u Tu
注意
周期或频率只决定于波源的振动 波速只决定于介质的性质
二、波方程的建立
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y O A co s t 0
y A
u
P
x
O
x
-A
y O A co s t 0
yO 表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
y y( ( x x , ,t t) ) A A c c o o s s t tm m k k x ( x - x 0 0 )
y y(x x,t) A Ac co oss2 2 T T tm mx- x0 0
得P点处质点的振动方程为
y
y (x ,t) A c o s(t- k x0 )A
u
P
x
O
x
-A
三、波方程的几种常见形式
利用 2π 2πν 和 uT
T 可得波动方程的几种不同形式：
y
A
c
o
s
t
-
x u
0
A
c
o
s
2
π
t T
1 x 一定，t变化 yAcost-2πx0 0
令
-
2π
x0
0
y
则 yA co t s O
t
表示 x 0 点处质点的振动方程（y—t 的关系）
y (x ,t)y (x ,t T )（波具有时间的周期性）
波线上各点的简谐运动图
2 t一定 x变化 yAcost0-2πx0
T u
3 频率
单位时间内波向前传播的完整波的 数目. （1 s内向前传播了几个波长）
4 波速 u
波在介质中传播的速度
例如，声波在空气中 340ms-1 水 中 1500ms-1 钢铁中 5000ms-1
决定于介质的弹性（弹性模量）和惯 性（密度）
四个物理量的联系
1 T
u
yu
O
x
4 沿 -x轴方向传播的波动方程
如图，设 O点振动方程为
y O A c o s t 0
P点振动比O点超前了 Δ t x u
y
u
A
P
x
O
x
-A
故 P点的振动方程（波动方程）为：
y(t)yo(t t)A co s[(tu x)0] y (x ,t) A c o s( t k x 0 )
y P ( x , t ) y ( x 0 , t t ) A c o s t k ( x - x 0 )
y ( x ,t) A c o s t k ( x - x 0 )
因而平面简谐波波方程的一般形式为
yx0A cost
y y(x x,t) A Ac co os tm mux x- ux0 0
-
x
0
A cos t - kx 0
k 2π
波函数
yAcos[(t-ux)0]
质点的振动速度，加速度
v y t-Asin[(t-u x)0] a 2 t2 y-2Acos[(t-u x)0]
四 、 波函数的物理含义
由于 P为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向Fra bibliotek任一点的振动，
具有一般意义，即为沿 x轴正方向传播的平
面简谐波的波函数，又称波动方程.
换一种思路！
由于沿波的传播方向每增加一个波长 ，
位相滞后 2 ，所以，P 点处振动质点的位相
滞后原点处质点
2 x kx
由原点处质点的振动方程 yO (t)A co s(ω tφ 0)
考察波线上P点(坐标x),
P点比O点的振动落后 的位移是O点在 t - x
t
x u
, P点在t
时刻
时刻的位移，由此得
u
yP(t)yO(t-t) A y u
P
x
yO(t-ux)
O
-A
x
x yP(t)yO(t-Δt)yO(t-u) yO (t)A co s(ω tφ 0)
yP(t)yo(t-u x)A co s t-u x 0
6-2 平面简谐波的运动方程--波函数
一、波长 波的周期和频率 波速
1 波长
波传播方向上相邻两振动状态完全相同
的质点间的距离（一完整波的长度）.
Ay
u
O
x
-A
横波：相邻 波峰——波峰 波谷—— 波谷
纵波：相邻 波疏——波疏 波密——波密
2 周期 T 波传过一波长所需的时间，或一完整 波通过波线上某点所需的时间.
例1 一平面简谐波沿 Ox轴正方向传播，
已知振幅A1.0m，T 2.0s，λ2.0m. 在 t 0
时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 运动. 求：波动方程；
解 (1) 写出原点处振动方程
A1.0m2T - 2
令 t00C （定值）
则 yA cos -2 πx A cos 2 πx-
该方程表示 t时刻波传播方向上各质点 的位移, 即t时刻的波形（y—x的关系）
y
o
x
3 x、 t都变
方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握.
从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
5 已知点不在原点的波动方程的建立 如图，设 x 0 点振动方程为
yx0A cost
P点振动比x
点滞后
0
Δt
x
- x0 u
y P (x ,t)y (x 0 ,t- t)A c o s t-x- u x 0
y(x,t)Acost-x- ux0
如果沿负方向传播
y (x ,t)y (x 0 ,t t)A c o s tx- u x 0 同样由 yx0A cost
P点振动位相比 x 0 点滞后 Δk(x-x0)
T
u Tu
注意
周期或频率只决定于波源的振动 波速只决定于介质的性质
二、波方程的建立
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y O A co s t 0
y A
u
P
x
O
x
-A
y O A co s t 0
yO 表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
y y( ( x x , ,t t) ) A A c c o o s s t tm m k k x ( x - x 0 0 )
y y(x x,t) A Ac co oss2 2 T T tm mx- x0 0
得P点处质点的振动方程为
y
y (x ,t) A c o s(t- k x0 )A
u
P
x
O
x
-A
三、波方程的几种常见形式
利用 2π 2πν 和 uT
T 可得波动方程的几种不同形式：
y
A
c
o
s
t
-
x u
0
A
c
o
s
2
π
t T
1 x 一定，t变化 yAcost-2πx0 0
令
-
2π
x0
0
y
则 yA co t s O
t
表示 x 0 点处质点的振动方程（y—t 的关系）
y (x ,t)y (x ,t T )（波具有时间的周期性）
波线上各点的简谐运动图
2 t一定 x变化 yAcost0-2πx0
T u
3 频率
单位时间内波向前传播的完整波的 数目. （1 s内向前传播了几个波长）
4 波速 u
波在介质中传播的速度
例如，声波在空气中 340ms-1 水 中 1500ms-1 钢铁中 5000ms-1
决定于介质的弹性（弹性模量）和惯 性（密度）
四个物理量的联系
1 T
u
yu
O
x
4 沿 -x轴方向传播的波动方程
如图，设 O点振动方程为
y O A c o s t 0
P点振动比O点超前了 Δ t x u
y
u
A
P
x
O
x
-A
故 P点的振动方程（波动方程）为：
y(t)yo(t t)A co s[(tu x)0] y (x ,t) A c o s( t k x 0 )