[精品推荐]2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第36课__二元一次不等式组与简单的线性规划问题

____第36课__二元一次不等式组与简单的线性规划问题
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1. 会在平面直角坐标系中表示二元一次不等式或二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式或二元一次不等式组．
2. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想．
3. 能够将非线性目标函数转化为：斜率、距离等问题解决.
1. 阅读：必修5第81～89页．
2. 解悟：①二元一次不等式组所对应的点(x ，y)表示的区域如何确定？②领会在坐标平面内表示二元一次不等式或二元一次不等式组所对应的区域；③思考：如何判断不等式Ax ＋By ＋C>0(A ，B 不同时为0)表示的平面区域？
3. 践习：在教材空白处，完成必修5第86页练习第5题，第94页习题第7、8题
.
基础诊断
1. 若点P(m ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在直线2x ＋y ＝2的下方，则m ＝__－3__．
解析：因为点P(m ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，所以d ＝|4m －9＋1|
42＋（－3）2＝4，
解得m ＝7或m ＝－3.当m ＝7时，2×7＋3<2不成立；当m ＝－3时，2×(－3)＋3＝－3<2成立，所以P(－3，3)在直线2x ＋y ＝2的下方，故 m ＝－3.
2. 已知点Q(5，4)，若动点P(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，则PQ 的最小值为__5__．
解析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，其区域为以A ⎝⎛⎭⎫－1
2，1，B(1，1)，C(0，2)为顶点的三角形以及其内部，通过观察，可知当点P 落在点B 处时PQ 取得最
小值，其最小值为（5－1）2＋（4－1）2＝5.
3. △ABC 的三顶点为A(2，4)，B(－1，2)，C(1，0)，则△ABC 的内部可用二元一次不
等式组表示为__⎩⎪⎨⎪⎧y<23x ＋83
，y>－x ＋1，y>4x －4.
__
解析：直线AB 方程为 y ＝23x ＋8
3
，直线AC 方程为y ＝4x －4，直线BC 的方程为y ＝
－x ＋1，故△ABC 内部可用二元一次不等式组表示为⎩⎪⎨⎪
⎧y<23x ＋83
，y>－x ＋1，y>4x －4.
4. 已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，
则目标函数z ＝x －2y 的最小值是__－9__．
解析：作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)，当直线y ＝x 2－z
2过点A(3，6)时，
截距最大，此时z 最小，z 最小值为x －2y ＝3－2×6＝－
9.
范例导航
考向 用二元一次不等式组表示的平面区域解决问题
例 画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域A ，在此条件下解决下列问题：
(1) 求A 的面积；
(2) 设B ＝{(x －y ，x ＋y)|(x ，y)∈A}，求B 的面积； (3) 求z ＝3x ＋y 的最值；
(4) 求z ＝x 2＋(y ＋1)2的最小值； (5) 求z ＝y ＋1
x ＋1
的值域；
(6) 求z ＝ax ＋y(a>1)的最大值．
解析：如图，画出可行域A 为△CDE 及其内部．
(1) 点C 到直线ED 的距离h ＝112，DE ＝11，故A 的面积为S △CDE ＝12·DE·h ＝12×11×
11
2＝121
4
. (2) 设m ＝x －y ，n ＝x ＋y ，则x ＝m ＋n 2，y ＝n －m
2，代入原不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5≥0，n ≥0，m ＋n
2≤3，即
⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－5，n ≥0，m ＋n ≤6，
画出对应的平面区域可知，B 的面积为12×11×11＝121
2
.
(3) 当直线3x ＋y ＝z 经过点E 时，
z 取得最大值，即z ＝3×3＋8＝17. 当直线3x ＋y ＝z 经过点C 时，
z 取得最小值，即z ＝3×⎝⎛⎭⎫－52＋5
2＝－5. 故z 的最大、最小值分别为17，－5.
(4) 因为z ＝x 2＋(y ＋1)2＝(（x －0）2＋（y ＋1）2)2，所以z 的最小值为点(0，－1)与
A 中的点的距离最小值的平方，过点(0，－1)作CD 的垂线段，其长为|0－1|2
＝2
2，
所以z ＝x 2＋(y ＋1)2的最小值为1
2
.
(5) 因为z ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）
x －（－1），所以z 为点(－1，－1)与A 中的点连线的斜率，其中
有斜率不存在，即垂直于x 轴的连线，由52＋1－52＋1＝－73，－3＋13＋1＝－1
2，可知z 的取值范围为
(－∞，－73]∪[－1
2
，＋∞).
(6) 因为a>1，所以当直线ax ＋y ＝z 经过点E 时， z 取得最大值，即
z max ＝3a ＋8.
1. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，
则实数a 的值为__2或－1__．
解析：作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)，由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z.若a ＝0，此时y ＝z ，则目标函数只在A 处取得最大值，不满足条件；若a>0，目标函数y ＝ax ＋z 的斜率a>0，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线y ＝ax ＋z 与直线2x －y ＋2＝0平行，此时a ＝2；若a<0，目标函数y ＝ax ＋z 的斜率a<0，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线y ＝ax ＋z 与直线x ＋y －2＝0平行，此时a ＝－1.综上，a ＝－1或a ＝2.
2. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值
为12，求2a ＋3
b
的最小值．
解析：由z ＝ax ＋by(a>0，b>0)得y ＝－a b x ＋z
b ，作出可行域如图．因为a>0，b>0，所以
直线y ＝－a b x ＋z b 的斜率为负，且截距最大时，z 也最大，所以当直线y ＝－a b x ＋z
b 经过点A
时，z 最大．又因为点A(4，6)，所以6＝－4a b ＋12b ，即2a ＋3b ＝6.因为2a ＋3b ＝16(2a ＋3b)·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，当且仅当a ＝b ＝65时取等号，所以2a ＋3b 最小为25
6
.
自测反馈
1. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0
所表示的平面区域的面积为__1
4
__．
解析：作出不等式组所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC ，由题意可得A ⎝⎛⎭⎫
32，12，
B(2，0)，C(1，0)，所以S △ABC ＝12×1×12＝1
4
.
2. 已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则x 2＋y 2xy
的取值范围是__⎣⎡⎦⎤2，10
3__． 解析：作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，z ＝y
x 表示可行域内的点(x ，y)与点
(0，0)连线的斜率，由图可知，y x 的最大值为2，最小值为13，所以y x ∈⎣⎡⎦⎤
13，2.又因为x 2＋y 2xy ＝
x y ＋y x ≥2，当且仅当y x ＝1时取等号；当y x ＝13时，x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x 取得最大值10
3，所以x 2＋y 2xy 的取值范围为⎣
⎡⎦⎤2，10
3.
3. 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0目标函数z ＝abx ＋y(a>0，b>0)的最大值为35，则
a ＋
b 的最小值为__8__．
解析：作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，由图易知目标函数在(2，3)处取得最大值35，即35＝2ab ＋3，所以ab ＝16，所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，所以a ＋b 最小值为8.
4. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，
且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝__－2__．
解析：作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，
此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－6，y ＝x ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，即A(－2，－2)．因为点A 在直线y ＝k 上，所以k ＝－2.
1. 作二元一次不等式(组)表示的区域时，要关注边界是否可取．
2. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定最优解．
3. 你还有哪些体悟，写下来：。