2017年河南省漯河四中高一下学期期末数学试卷与解析答案

2016-2017学年河南省漯河四中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin300°的值是（）A．﹣ B．﹣C．D．2．（5分）sin75°cos30°﹣cos75°sin30°的值为（）A．1 B．C．D．3．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．2 C．10 D．4．（5分）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足b2=ac且sinAsinC=，则角B=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．5 B．7 C．9 D．116．（5分）已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或37．（5分）由函数f（x）=sin2x的图象得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，需要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位8．（5分）已知△ABC的三个内角为A，B，C，其所对的边长分别为a，b，c，若满足向量=（b﹣a，c﹣a），=（a+c，b）共线，则tanAtanB﹣tanA﹣tanB 等于（）A．B．C．D．9．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．1610．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z） C．[6k，6k+3]（k∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）11．（5分）连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m，n，记向量=（m，n），=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，）的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=cosx，a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，且3a2+3b2﹣c2=4ab，则下列不等式一定成立的是（）A．f（sinA）≤f（cosB）B．f（sinA）≤f（sinB）C．f（cosA）≤f（sinB）D．f（cosA）≤f（cosB）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知单位向量，的夹角为，则在上的投影是．14．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平方千米．15．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）=．16．（5分）等腰△ABC的角A=，|BC|=2，以A为圆心，为半径作圆，MN 为该圆的一条直径，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，△ABC的面积为，求a+c的值．18．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1）（1）若，求θ的值 ；（2）若恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，M为AB的中点．（Ⅰ）证明：平面PMD⊥平面PAB（Ⅱ）N为PC上一点，且AC⊥BN，PA=AB=2，求三棱锥N﹣BCD的体积．21．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得=x i=9.97，s==≈0.212，≈18.439，（x i﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)（1）求（x i，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本（x i，y i）（i=1，2，…，n）的相关系数r=，≈0.09．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（+）•sin（﹣）﹣sin（π+x），且函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0成立，求实数m的最大值和最小值．2016-2017学年河南省漯河四中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin300°的值是（）A．﹣ B．﹣C．D．【解答】解：sin300°=sin（180°+120°）=﹣sin120°=﹣sin60°=﹣．故选：B．2．（5分）sin75°cos30°﹣cos75°sin30°的值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：sin75°cos30°﹣cos75°sin30°=sin（75°﹣30°）=sin45°=故选：C．3．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．2 C．10 D．【解答】解：因为|+|，所以x﹣2=0，得x=2，所以+=（3，﹣1），所以|+|==；故选：D．4．（5分）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足b2=ac且sinAsinC=，则角B=（）A．B．C．D．【解答】解：∵b2=ac．∵，∴sin2B=sinAsinC．又∵sinAsinC=．∴sin2B=．∵sinB＞0，∴sinB=．∴B=或．又∵a，b，c满足b2=ac，a，b，c成等比数列，∴b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B=．故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1+2=3，k=1+2=3；第二次运行S=1+2+6=9．k=3+2=5；第三次运行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7；第四次运行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9；此时不满足条件S＜20，程序运行终止，输出k=9．故选：C．6．（5分）已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，即2sinαcosα=cos2α，①当cosα=0时，，此时，②当cosα≠0时，，此时，综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．故选：D．7．（5分）由函数f（x）=sin2x的图象得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，需要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin（2x+）=sin2（x+），只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数y=cos（2x﹣）的图象．故选：B．8．（5分）已知△ABC的三个内角为A，B，C，其所对的边长分别为a，b，c，若满足向量=（b﹣a，c﹣a），=（a+c，b）共线，则tanAtanB﹣tanA﹣tanB 等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵向量=（b﹣a，c﹣a），=（a+c，b）共线．则（a+c）（c﹣a）﹣b（b﹣a）=0，即a2﹣c2﹣ab+b2=0，即a2﹣c2+b2═ab，∴由余弦定理得cosC==，∵0＜C＜π，∴C=，tanC=﹣tan（A+B）==则tanAtanB﹣tanA﹣tanB=．故选：D．9．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z） C．[6k，6k+3]（k∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）【解答】解：与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8知函数的周期为T==2（﹣），得ω=，再由五点法作图可得•+φ=，求得φ=﹣，∴函数f（x）=Asin（x﹣）．令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z，解得：6k+3≤x≤6k+6，k∈z，∴即x∈[6k﹣3，6k]（k∈Z），故选：D．11．（5分）连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m，n，记向量=（m，n），=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，）的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m，n，∴基本事件总数N=6×6=36，∵记向量=（m，n），=（1，﹣1）的夹角为θ，θ∈（0，），∴=m﹣n＞0，∴θ∈（0，）包含的基本事件（m，n）有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有M=15个，∴θ∈（0，）的概率p==．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=cosx，a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，且3a2+3b2﹣c2=4ab，则下列不等式一定成立的是（）A．f（sinA）≤f（cosB）B．f（sinA）≤f（sinB）C．f（cosA）≤f（sinB）D．f（cosA）≤f（cosB）【解答】解：由3a2+3b2﹣c2=4ab可得：（a2+b2﹣c2）=﹣2（a﹣b）2≤0，所以：a2+b2≤c2，A+B≤，0＜B≤﹣A＜所以：0＜sinB≤sin（﹣A）＜1，0＜sinB≤cosA＜1，所以：f（sinB）≥f（cosA）故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知单位向量，的夹角为，则在上的投影是﹣．【解答】解：在上的投影为||cos＜，＞=cos=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21平方千米．【解答】解：由题意画出图象：且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，AC=15里=7500米，在△ABC中，由余弦定理得，cosB===，所以sinB==，则该沙田的面积：即△ABC的面积S===21000000（平方米）=21（平方千米），故答案为：21．15．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）=．【解答】解：由题意：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，则有：f（x+4）=f（x）f（﹣x）=﹣f（x）∴f（）=f（﹣）=﹣，又∵在[0，2]上的解析式为f（x）=，∵∴=sin=所以：f（）=f（﹣）=﹣==故答案为：．16．（5分）等腰△ABC的角A=，|BC|=2，以A为圆心，为半径作圆，MN 为该圆的一条直径，则的最大值为2﹣1．【解答】解：设与的夹角为θ，∴=（+）•（+）=•+•（﹣）﹣=2×2×+•﹣3=2cosθ﹣1≤2﹣1故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，△ABC的面积为，求a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），∴由正弦定理可得sinBcosA=2sinC（﹣cosB）+sinA（﹣cosB），∴sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosB，∴sin（A+B）=﹣2sinCcosB=sinC，∴，由0＜B＜π可得；（Ⅱ）∵，∴ac=4，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac+ac=21，∴（a+c）2=25，∴a+c=518．（12分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1）（1）若，求θ的值 ；（2）若恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵=（cosθ，sinθ），=（，﹣1），⊥，∴cosθ﹣sinθ=0，变形得：tanθ=，又θ∈[0，π]，则θ=；（2）∵2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴|2﹣|2=（2cosθ﹣）2+（2sinθ+1）2=8+8（sinθ﹣cosθ）=8+8sin（θ﹣），又θ∈[0，π]，∴θ﹣∈[﹣，]，∴﹣≤sin（θ﹣）≤1，∴|2﹣|2的最大值为16，∴|2﹣|的最大值为4，又|2﹣|＜m恒成立，所以m＞4．19．（12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，[25，30）与[30，35）两组的人数相同，∴a=25人．且人．总人数人．（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为．20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，M为AB的中点．（Ⅰ）证明：平面PMD⊥平面PAB（Ⅱ）N为PC上一点，且AC⊥BN，PA=AB=2，求三棱锥N﹣BCD的体积．【解答】证明：（I）连结BD．∵PA⊥平面ABCD，DM⊂平面ABCD，∴PA⊥DM，又四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∵M为AB中点，∴DM⊥AB，又PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，∴DM⊥平面PAB，又DM⊂平面PMD，∴平面PMD⊥平面PAB．（Ⅱ）设AC与BD的交点为O，连接NO．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又AC⊥BN，NB⊂平面BON，BO⊂平面BON，BO∩BN=B，∴AC⊥平面BNO，∵NO⊂平面BON，∴AC⊥NO，∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，又PA、NO在同一平面PAC内，∴PA∥NO，又O为AC中点，∴N为PC中点，∴NO=PA=1，NO⊥平面ABCD，===．∴V N﹣BCD21．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得=x i=9.97，s==≈0.212，≈18.439，（x i﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)（1）求（x i，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本（x i，y i）（i=1，2，…，n）的相关系数r=，≈0.09．【解答】解：（1）r===﹣0.18．∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）（i）=9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），显然第13号零件尺寸不在此范围之内，∴需要对当天的生产过程进行检查．（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为=10.02，=16×0.2122+16×9.972=1591.134，∴剔除离群值后样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）=0.008，∴剔除离群值后样本标准差为≈0.09．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（+）•sin（﹣）﹣sin（π+x），且函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0成立，求实数m的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（+）•sin（﹣）﹣sin（π+x）=2sin （+）•cos （+）+sinx=sin （+x ）+sinx=cosx +sinx=2sin （x +），∵函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于直线x=对称，∴g （x ）=f （﹣x ）=2sin （﹣x +）=2sin （﹣x ）=2cos （﹣x ）=2cos（x ﹣）．（Ⅱ）由x ∈[0，），可得x ﹣∈[﹣，），∴cos （x ﹣）∈[，1]，∴t=g （x ）∈[1，2]． 若存在x ∈[0，），使等式[g （x ）]2﹣mg （x ）+2=0成立，即t 2﹣mt +2=0能成立，即m=t +，t ∈[1，2]．由对勾函数的单调性可得，函数m 在[1，]上单调递减，在（，2]上单调递增，当t=1时，m=3；t=时，m=2，t=2时，m=3，故实数m 的最大值为3，最小值为2．赠送初中数学几何模型【模型三】 双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.第21页（共21页）3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB =3，BC +CD =5，求四边形ABCD 的面积（2）若p = BC +CD ，四边形ABCD 的面积为S ，试探究S 与p 之间的关系。