2016-2017年浙江省湖州市菱湖中学高二(上)期中数学试卷及参考答案

2016-2017学年浙江省湖州市菱湖中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心坐标与半径分别是（）A．（﹣1，2），2 B．（1，2），2 C．（﹣1，2），4 D．（1，﹣2），4 2．（5分）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（）A．若a＞b，c≠0则ac＞bc B．若a＞b＞o，c＞d则ac＞bdC．若a＞b，则D．若ac2＞bc2则a＞b3．（5分）抛物线y=﹣2x2的准线方程是（）A．B．C．D．4．（5分）条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分也不必要的条件5．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=ax的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（）A．4 B．5 C．D．7．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2= 8．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为1，棱BB1所在直线上的动点M满足，AM与侧面BB1C1C所成的角为θ，若λ∈[]，则θ的取值范围是（）A．[，]B．[]C．[，]D．[，]二、填空题（本题共7小题，前4题，每题6分，后3题每题4分，共36分）9．（6分）已知向量，若，则x=；若则x=．10．（6分）点P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，且，则△F1PF2的周长为，△F1PF2的面积为．11．（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，BB1，B1C1的中点，则AC1与D1E所成角的余弦值为，AC1与平面EFG所成角的正弦值为．12．（6分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（﹣1，0），B（1，0），点P 是圆上的动点，则d=|PA|2+|PB|2的最大值为，最小值为．13．（4分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是．14．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO=120°（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是．15．（4分）有下列五个命题：①平面内，到一定点的距离等于到一定直线距离的点的集合是抛物线；②平面内，定点F1、F2，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是椭圆；③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件；④“若﹣3＜m＜5，则方程+=1是椭圆”．⑤已知向量，，是空间的一个基底，则向量+，﹣，也是空间的一个基底．其中真命题的序号是．三、解答题（共5小题，满分74分）16．（14分）已知条件p：x2+12x+20≤0，条件q：1﹣m＜x＜1+m（m＞0）．（1）求条件p中x的取值范围；（2）若￢p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．17．（15分）已知⊙C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m﹣4=0（m∈R）（1）求证：对任意m∈R，直线l与⊙C恒有两个交点；（2）求直线l被⊙C截得的线段的最短长度，及此时直线l的方程．18．（15分）已知直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A，B两个不同的点．（1）求实数b的取值范围；（2）已知弦AB的中点P的横坐标是，求b的值．19．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DB=，AB=1，M是PB的中点．（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小．20．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（，）在椭圆上，不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB 的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△AOB的面积为S．（1）求椭圆C的方程；（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求△AOB面积S的取值范围．2016-2017学年浙江省湖州市菱湖中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心坐标与半径分别是（）A．（﹣1，2），2 B．（1，2），2 C．（﹣1，2），4 D．（1，﹣2），4【解答】解：∵圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4，∴它的圆心坐标为（﹣1，2），半径为2，故选：A．2．（5分）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（）A．若a＞b，c≠0则ac＞bc B．若a＞b＞o，c＞d则ac＞bdC．若a＞b，则D．若ac2＞bc2则a＞b【解答】解：对于A，c＞0时，结论成立，c＜0时，结论不成立，故A为假命题；对于B，c＞d＞0时，结论成立，0＞c＞d时，结论不成立，故B为假命题；对于C，a=1，b=﹣1，结论不成立，故C为假命题；对于D，∵c2＞0，若ac2＞bc2则a＞b，故D为真命题；故选：D．3．（5分）抛物线y=﹣2x2的准线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=﹣2x2；∴x2=﹣y；∴2p=⇒=．又因为焦点在Y轴上，所以其准线方程为y=．故选：D．4．（5分）条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，则￢p：﹣3≤x≤1，又由题意，q：x＞2，则￢q为x≤2，所以￢p是￢q的充分不必要条件；故选：A．5．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，建立坐标系，易求点D（，，1），平面AA1C1C的一个法向量是=（1，0，0），所以cos＜，＞==，即sinα=．故选：D．6．（5分）已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=ax的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（）A．4 B．5 C．D．【解答】解：双曲线=1的右焦点为（3，0），则抛物线y2=ax的焦点为（3，0），即有=3，解得，a=12，则抛物线的准线为x=﹣3，将x=﹣3代入双曲线方程，可得y2=5×（﹣1）=，解得，y=．则截得的弦长为5．故选：B．7．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故选：C．8．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为1，棱BB1所在直线上的动点M满足，AM与侧面BB1C1C所成的角为θ，若λ∈[]，则θ的取值范围是（）A．[，]B．[]C．[，]D．[，]【解答】解：取BC中点O，连接AO，MO，则∵棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AO⊥侧面BB1C1C，∴∠AMO是AM与侧面BB1C1C所成的角∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为1，，∴，AM=∴=∵λ∈[]，∴∴∴θ∈[]故选：B．二、填空题（本题共7小题，前4题，每题6分，后3题每题4分，共36分）9．（6分）已知向量，若，则x=；若则x=﹣6．【解答】解：若，则•=．若，则==，∴x=﹣6，故答案为，﹣6．10．（6分）点P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，且，则△F1PF2的周长为6，△F1PF2的面积为．【解答】解：由椭圆，a=2，b=，c=1，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=4，△F1PF2的周长为丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨=2a+2c=6，∴△F1PF2的周长为6，方法一：将丨PF1丨+丨PF2丨=2a=4，两边平方，得丨PF1丨2+丨PF2丨2+2丨PF1丨•丨PF2丨=16，（1）在△F1PF2中，由丨F1F2丨=2c，∠F1PF2=60°，由余弦定理，得丨PF1丨2+丨PF2丨2+2丨PF1丨•丨PF2丨cos60°=丨F1F2丨2=4即丨PF1丨2+丨PF2丨2+2丨PF1丨•丨PF2丨=4，（2）（1）﹣（2），得：3丨PF1丨•丨PF2丨=12，∴丨PF1丨•丨PF2丨=4．∴△F1PF2的面积S=丨PF1丨•丨PF2丨sin60°=×4×=，方法二：设∠F1PF2=θ，由焦点三角形的面积公式可知：S=b2=b2tan=3×tan30°=3×=，故答案为：6，，11．（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，BB1，B1C1的中点，则AC1与D1E所成角的余弦值为，AC1与平面EFG所成角的正弦值为．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，可得A（2，0，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（2，1，2），F（2，2，1），G（1，2，2），则=（﹣2，2，2），=（2，1，0），∴AC1与D1E所成角的余弦值为||=；平面EFG的一个法向量为（2，2，2），AC 1与平面EFG所成角的正弦值为=，故答案为；．12．（6分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（﹣1，0），B（1，0），点P 是圆上的动点，则d=|PA|2+|PB|2的最大值为74，最小值为34．【解答】解：设P点的坐标为（3+sinα，4+cosα），则d=|PA|2+|PB|2=（4+sinα）2+（4+cosα）2+（2+sinα）2+（4+cosα）2=54+12sinα+16cosα=54+20sin（θ+α）∴当sin（θ+α）=1时，即12sinα+16cosα=20时，d取最大值74，当sin（θ+α）=﹣1时，即12sinα+16cosα=﹣20，d取最小值34，故答案为：74，34．13．（4分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是．【解答】解：∵△ABF2是正三角形，∴∠AF2B=60°，∵直线AB与椭圆长轴垂直，∴F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=×60°=30°，Rt△AF2F1中，设|AF1|=m，sin30°=，∴|AF2|=2m，|F1F2|=因此，椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m∴椭圆的离心率为e==．故答案为：14．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO=120°（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是．【解答】解：由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1∵∠AFO=120°（O为坐标原点），∴∴直线AF的方程为：代入抛物线方程可得：3（x﹣1）2=4x∴3x2﹣10x+3=0∴x=3或∵∠AFO=120°（O为坐标原点），∴A（3）∴△AKF的面积是故答案为：15．（4分）有下列五个命题：①平面内，到一定点的距离等于到一定直线距离的点的集合是抛物线；②平面内，定点F1、F2，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是椭圆；③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件；④“若﹣3＜m＜5，则方程+=1是椭圆”．⑤已知向量，，是空间的一个基底，则向量+，﹣，也是空间的一个基底．其中真命题的序号是③⑤．【解答】解：①平面内，到一定点的距离等于到一定直线（定点不在定直线上）距离的点的集合是抛物线，若定点在定直线上，则动点的集合是过定点垂直于定直线的一条直线，故①错；②平面内，定点F1、F2，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是线段F1F2，若|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，则点的轨迹是椭圆，故②错；③在△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，则2∠B=∠A+∠C=180°﹣∠B，∠B=60°，若∠B=60°，则2∠B=∠A+∠C=120°，即∠B﹣∠A=∠C﹣∠A，即∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，故③正确；④若﹣3＜m＜5，则方程+=1，m+3＞0，5﹣m＞0，若m=1，则x2+y2=4表示圆，若m≠1，则表示椭圆，故④错；⑤已知向量，，是空间的一个基底，即它们非零向量且不共线，则向量+，﹣，也是空间的一个基底，故⑤正确．故答案为：③⑤三、解答题（共5小题，满分74分）16．（14分）已知条件p：x2+12x+20≤0，条件q：1﹣m＜x＜1+m（m＞0）．（1）求条件p中x的取值范围；（2）若￢p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵x2+12x+20≤0，∴﹣10≤x≤﹣2∴即条件p中x的取值范围是，∴﹣10≤x≤﹣2；（2）∵p：﹣10≤x≤﹣2，∴￢p：x＜﹣10或x＞﹣2，若￢p是q的必要不充分条件，则﹣2≤1﹣m，即0＜m≤3．17．（15分）已知⊙C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m﹣4=0（m∈R）（1）求证：对任意m∈R，直线l与⊙C恒有两个交点；（2）求直线l被⊙C截得的线段的最短长度，及此时直线l的方程．【解答】解：（1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，∵m∈R，∴得x=3，y=1，故l恒过定点A（3，1）；又圆心C（1，2），∴|AC|=＜5（半径）∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交．（2）∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，∴当l⊥AC（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，∵k AC=﹣，∴直线l的斜率k l=2，∴由点斜式可得l的方程为2x﹣y﹣5=0．18．（15分）已知直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A，B两个不同的点．（1）求实数b的取值范围；（2）已知弦AB的中点P的横坐标是，求b的值．【解答】解：（1）将y=x+b 代入+y2=1，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2=0∵直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A，B两个不同的点∴△=16b2﹣12（2b2﹣2）=24﹣8b2＞0，∴﹣．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由（1）得x1+x2=﹣=﹣×2，得到b=1，满足﹣．故b=1．19．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DB=，AB=1，M是PB的中点．（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小．【解答】证明：（1）∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．解：（2）过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD，得∠PEB=90°在Rt△PEB中，BE=a2=3b2，PB=，∴cos∠PBE==．∴AC与PB所成的角为arccos．（3）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=•AC，∴AN=．∴AB=2，∴cos∠ANB==﹣，故平面AMC与平面BMC所成二面角的大小为arccos（﹣）．20．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（，）在椭圆上，不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△AOB的面积为S．（1）求椭圆C的方程；（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求△AOB面积S的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知a=2b且，∴a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：．（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，且△=16（1+4k2﹣m2）＞0，∵k1、k、k2恰好构成等比数列．∴k2=k1k2=．∴﹣4k2m2+m2=0，∴k=±．∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2﹣2∴|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22=[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2=5，∴|OA|2+|OB|2是定值为5．（3））S=|AB|d==．当且仅当m=±1时，S的最大值为1．。