2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(11)函数与方程
江苏高三数学高考一轮复习 函数与方程 教案
江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案一.知识梳理1.一元二次方程与相应二次函数的图象关系如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
定理推论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b)二.课堂练习1.已知函数满足，且当时，，则当时，方程的实数解的个数为A.0B.1C.2D.32.已知函数与的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围是A.B.C.D.3.对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是A.B.C.D.4.已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足：，则的取值范围是A.B.C.D.5.函数的零点个数为．6.若方程有两个不同的实数解，则b的取值范围是_____．7.设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是______．8.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是．9.已知函数，且曲线在处的切线经过点．求实数的值；若函数，试判断函数的零点个数并证明．10.已知函数．求函数在上的零点之和；证明：在上只有1个极值点．三.例题选讲[例1]已知函数是自然对数的底数求的单调递减区间；若函数，证明在上只有两个零点．参考数据：[参考]解：，定义域为R．由得，解得Z的单调递减区间为Z证明：，令，当时，当时，．在上单调递增，在上单调递减，又，，，，，使得，，且当或时，当时，，在和上单调递减，在上单调递增．，．，，又，由零点存在性定理得，在和内各有一个零点，函数在上有两个零点．[解析]本题主要考查学生运用导数研究函数的单调性及函数的零点问题[例2]已知函数．当时，判断函数的单调性；讨论零点的个数．[参考]解：因为，所以，又，设，又，所以在为单调递增，在为单调递减，所以的最大值为，所以，所以在单调递减；因为，所以是一个零点，设，所以的零点个数等价于中不等于1的零点个数再加上1，当时，由可知，单调递减，又是零点，所以此时有且只有一个零点；当时，单调递增，又，，又，所以，综上可知，在有一个零点且，所以此时有两个零点；又，所以当，在单调递增，在单调递减，的最大值为，又，，又，所以在有一个零点，在也有一个零点且，所以此时，共有3个零点；又，所以当时，在单调递增，在单调递减，的最大值为，所以没有零点，此时，共有1个零点．综上所述，当时，共有1个零点；当0时，共有3个零点；当时，有两个零点．[解析]本题考查学生利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想，化归与转化思想，考查运算化简的能力和逻辑推理能力[例3]已知，解不等式；若方程有三个不同的解，求实数a的取值范围．[答案]解：，当时，解不等式得：，当时，解不等式得：，综合得：不等式的解集为：．，即．作出函数的图象如图所示：当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以．所以实数a的取值范围是．[解析]本题考查了分段函数及数形结合的思想方法四.反思与总结在复习过程中，我掌握了，还存在等问题.自我知识梳理：。
高考数学大一轮复习 课时训练11 函数与方程 理 苏教版
高考数学大一轮复习 课时训练11 函数与方程 理苏教版第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·南通期中)用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)≈0.200 f (1.587 5)≈0.133 f (1.575 0)≈0.067 f (1.562 5)≈0.003f (1.556 2)≈－0.029f (1.550 0)≈－0.060据此数据，可得方程3x －x －4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)2．(2014·荆门调研)已知函数y ＝f (x )的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有________个． 3．若函数f (x )＝－|x －5|＋2x－1的零点所在的区间是(k ，k ＋1)，则整数k ＝________.4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ；②y ＝－2x ； ③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1. 则输出函数的序号为________．5．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是________．6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．8．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·盐城三调)若关于x 的方程x 2－(a 2＋b 2－6b )x ＋a 2＋b 2＋2a －4b ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 1<0<x 2<1，则a 2＋b 2＋4a ＋4的取值范围是________．2．(2014·扬州期末)若函数f (x )＝x 3－ax 2(a >0)在区间⎝⎛⎭⎫203，＋∞上是单调增函数，则使方程f (x )＝1 000有整数解的实数a 的个数是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：因为函数f (x )＝3x －x －4，令f (a )f (b )<0，则方程f (x )＝0在(a ，b )内有实根，从而x ≈1.56. 答案：1.562．解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．答案：33．解析：依题意得f (0)·f (1)>0，f (1)·f (2)>0，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)>0， 故f (x )的零点所在区间是(2,3)． 答案：24．解析：由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x 没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1.答案：④5．解析：作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有2个不同的交点．答案：26．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)7．解析：画出函数f (x )的图像如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个不同交点，由图易知k ∈⎝⎛⎭⎫34，1.答案：⎝⎛⎭⎫34，18．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图像．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．答案：0<k <19．证明：令g (x )＝f (x )－x . ∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.10．解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解，∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎨⎧Δ>0，0<－m －12<2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4>0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m >3或m <－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m <－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1)． 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由题意得⎩⎨⎧f (0)<0，f (1)>0即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋(b －2)2<4，a ＋b ＋1>0，利用线性规划的知识，问题转化为求区域上的点到点(－2,0)的距离的平方的取值范围．由图可知，所求的最大距离即为点(－2,0)与圆心(－1,2)的连线交圆与另一端点的值，即5＋2.所求的最小距离即为点(－2,0)到直线a ＋b ＋1＝0的距离，即为|－2＋0＋1|2＝12，所以a 2＋b 2＋4a ＋4∈⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫122，(5＋2)2，即a 2＋b 2＋4a ＋4∈⎝⎛⎭⎫12，9＋45.答案：⎝⎛⎭⎫12，9＋452．解析：令f ′(x )＝3x 2－2ax >0， 则x >2a3或x <0.由f (x )在区间⎝⎛⎭⎫203，＋∞上是单调增函数知⎝⎛⎭⎫203，＋∞⊆⎝⎛⎭⎫2a 3，＋∞，从而a ∈(0,10]．由f (x )＝1 000得a ＝x －1 000x 2，令g (x )＝x －1 000x 2，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g (x )与y ＝a (0<a ≤10)的大致图像(如图所示)．当a ＝10时，由f (x )＝1 000得x 3－10x 2－1 000＝0.令h (x )＝x 3－10x 2－1 000，因为h (14)＝－216<0，h (15)＝125>0，所以方程x 3－10x 2－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x 0，因此从图像可以看出在(10，x 0]之间f (x )＝1 000共有4个整数解．答案：4。
江苏版高考数学一轮复习：专题2.11函数与方程巩固检测题附答案.doc
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】专题2.11 函数与方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()221,0,0x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知函数311,,()11,,x f x x x x ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩若关于x的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1(0,)2【解析】3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2,[0,1),()11|3|,[1,),xx f x x x x -⎧∈⎪=+⎨⎪--∈+∞⎩则函数1()()F x f x π=-的所有零点之和为 ． 【答案】112π-【解析】试题分析：由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次为12345,,x x x x x ，，，满足1234516,,612x x x x x π+=-=+=-，因此所有零点之和为112π-4. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】23a <≤ 【解析】试题分析：()()0()1f x g x f x -=⇒=，所以要有4个零点，需满足21,1+11,23(1)1,1,a a a a a ⎧>-≤⎪⇒<≤⎨->>⎪⎩ 5. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知函数()()23,0(01)log 11,0a x a x f x a a x x ⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【解析】3a2121y=2-x2Oyx6. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】定义在R上的函数()f x满足()()516f x f x++=，当()1,4x∈-时，xxxf2)(2-=,则函数()f x在[]0,2016上的零点个数是__________.【答案】605【解析】7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】若函数2,0ln,0x a xyx a x x⎧-≤=⎨-+>⎩，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a的取值范围为__________．【答案】[)0,2ln2+【解析】试题分析:由题设可知函数axy-=2与函数xaxy ln+-=在给定的区间]0,2(-和区间)2,0(内分别有一个根,结合图象可得⎪⎩⎪⎨⎧>+->-≤-2ln24aaa,即⎪⎩⎪⎨⎧+<<≥2ln24aaa,所以2ln20+<≤a,故应填答案[)0,2ln2+.8.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，则m的取值范围为 .【答案】m＝－29. [x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是．【答案】2【解析】作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B.10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x≤a，x2，x＞a，若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点. ②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
【赢在高考】2013届高考数学一轮配套练习 2.1 函数及其表示 文 苏教版
第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示强化训练1.已知f :x →-sin x 是集合([02A A ⊆,π])到集合B={102,}的一个映射,则集合A 中的元素个数最多有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个答案:B解析:∵[02A ⊆,π],由-sin x =0得x =0,π,2π;由-sin 12x =,得71166x ππ=,,∴A 中最多有5个元素.2.函数y =f (x )的图象如图所示.观察图象可知函数y =f (x )的定义域、值域分别是( )A.[50][26)[0-,⋃,,,5]B.[-5,6)[0),,+∞C.[50][26)[0)-,⋃,,,+∞D.[5)[25]-,+∞,, 答案:C解析:由题中图象可以看出,应选C.3.设f (x ),g (x ),h (x )是R 上的任意实值函数,如下定义两个函数(f o g )(x )和()()f g x ⋅:对任意x ∈R ,(f o g )(x )=f (g (x ));()()()f g x f x ⋅=g (x ).则下列等式恒成立的是( ) A.((f o ))()(()g h x f h ⋅=⋅o ())()g h x ⋅ B.(()f g ⋅o h )(x )=((f o )(h g ⋅o h ))(x ) C.((f o g ) o h )(x )=((f o h )o (g o h ))(x ) D.(())()(()())()f g h x f h g h x ⋅⋅=⋅⋅⋅答案:B4.二次函数2(y ax bx c x =++∈R )的部分对应值如下表:则不等式20ax bx c ++<的解集是 . 答案:(-2,3)解析:由表中的二次函数对应值可得,二次方程2ax +bx +c =0的两根为-2和3,又根据f (0)<f (-2)且f (0)<f (3)可知a >0,所以不等式20ax bx c ++<的解集是(-2,3). 5.已知1)f x x x =+,则f (x )= .答案:2()1(1)f x x x =-≥ 解析:令1u x =+,则11x u u =-,≥.所以22()()2(1)2(1)f u x x u u =+=-+-=21u -,故2()1(1)f x x x =-≥.6.如图所示,△OAB 是边长为2的正三角形,记△OAB 位于直线x =t (t >0)左侧的图形的面积为f (t ),试求函数f (t )的解析式;并画出函数y =f (t )的图象.解:当01t <≤时,1()2f t t t =⋅⋅⋅tan60o 23t =;当12t <≤时,11()23(2)(222f t t =⋅---t )tan60o 233(2)t =--;当t >2时 ()3f t ,=.∴f (t )= 2230133(2)12232t t t t t ⎧,<≤,⎪⎪⎪--,<≤,⎨⎪,>.⎪⎩函数的图象如图所示.见课后作业B题组一 函数与映射的概念1.设f :2x x →是从集合A 到集合B 的映射,如果B={1,2},则A B ⋂为( ) A.∅ B.{1} C.∅或{2} D.∅或{1} 答案:D解析:由已知21x =或22x =,解之得1x =±或2x =若1A ∈,则A B ⋂={1},若1A ∉,则A B ⋂=∅.故A B ⋂=∅或{1}.2.下列函数中与函数y =x 相同的是( )A.2()y x =B.33y t =C.2y x =D.2x y x= 答案:B解析:因为33y t t ==,所以应选B.3.已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:则方程g [()]f x x =的解集为（ ） A.{1} B.{2} C.{3} D.∅ 答案:C解析:当x =1时,g [(1)](2)2f g ==,不合题意； 当x =2时,g [(2)](3)1f g ==,不合题意；当x =3时,g [(3)](1)3f g ==,符合题意. 题组二 函数的表示方法4.某工厂从2000年开始,近八年以来生产某种产品的情况是:前四年年产量的增长速度越来越慢,后四年年产量的增长速度保持不变,则该厂这种产品的产量y 与时间t 的函数图象可能是( )答案:B解析:前四年年产量的增长速度越来越慢,知图象的斜率随x 的变大而变小,后四年年产量的增长速度保持不变,知图象的斜率不变,∴选B.5.设f 、g 都是由A 到A 的映射,其对应法则如下表(从上到下): 映射f 的对应法则是表1映射g 的对应法则是表2则与f [g (1)]相同的是( ) A.g [f (1)] B.g [f (2)] C.g [f (3)] D.g [f (4)] 答案:A解析:根据表中的对应关系得,f [g (1)]=f (4)=1,g [f (1)]=g (3)=1.6.里氏震级M 的计算公式为:M =lgA-lg 0A ,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅0A ,是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.答案:6 10 000 题组三 分段函数 7.设f (x )=lg 0100xx x x ,>,⎧⎨,≤,⎩ 则f [f (-2)]= . 答案:-2解析:∵x =-2<0,∴f 21(2)100100--==>, ∴2(10)f -=lg 2102-=-,即f [f (-2)]=-2.8.已知函数f (x )=2020x x x x +,≤,⎧⎨-+,>,⎩则不等式2()f x x ≥的解集为( )A.[]11-,B.[]22-,C. []21-,D.[]12-, 答案:A解析:当0x ≤时,不等式2()f x x ≥化为22x x +≥,即220x x x ⎧+≥,⎨≤,⎩所以10x -≤≤;当x >0时,不等式2()f x x ≥化为22x x -+≥,即220x x x ⎧-+≥,⎨>,⎩所以01x <≤.综上可得不等式的解集为[]11-,.9.设函数f (x )=2020x bx c x x ⎧++,≤,⎨,>.⎩若f (-3)=f (0),f (-1)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为 .答案:3解析:由f (-3)=f (0),f (-1)=-2可得b =3,c =0,从而方程f (x )=x 等价于0()2x x f x >,⎧⎨==⎩或203x x x x ≤,⎧⎨+=,⎩ 解203x x x x≤,⎧⎨+=⎩得到x =0或x =-2,从而得方程f (x )=x 的解的个数为3. 10.已知f (x )=22121222x x x x x x ⎧+,≤-,⎪⎪,-<<,⎨⎪,≥,⎪⎩ 且f (a )=3,求a 的值.解:①当1a ≤-时,f (a )=a +2,由a +2=3,得a =1,与1a ≤-相矛盾,应舍去.②当-1<a <2时,f (a )=2a ,由2a =3,得a =32,满足-1<a <2.③当2a ≥时2()2a f a ,=, 由232a =,得a =又2a ≥,∴a =综上可知,a 的值为32.题组四 函数及其表示的灵活应用 11.如果f (a +b)()()f a f b =⋅,且f (1)=2,则(2)(1)f f +(4)(6)(3)(5)f f f f ++…(2010)(2012)(2009)(2011)f f f f ++= . 答案:2 012解析:f (2)=f (12(2))(1)22(3)(1)f f f f =,=,=f (1)f (2)=32(4)(f f ,=24)(2)2f =, (4)2(3)f f =,…(2010)(2012)22(2009)(2011)f f f f ,=,=, ∴原式21=⨯ 006=2 012.12.已知f (x )是二次函数,不等式f (x )<0的解集是(0,5)且f (x )在区间[-1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式;(2)是否存在实数m ,使得方程37()0f x x+=在区间(m ,m +1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)∵f (x )是二次函数,且f (x )<0的解集是(0,5), ∴可设f (x )=ax (x -5)(a >0).∴f (x )在区间[-1,4]上的最大值是f (-1)=6a ,由已知,得6a =12. ∴a =2.∴f (x )=2x 2(5)210(x x x x -=-∈R ).(2)方程37()0f x x +=等价于方程32x -210x +37=0.设32()21037h x x x =-+,则h ′2()6202(3x x x x x =-=-10). 当10(0)3x ∈,时,h ′(x )<0,h (x )是减函数;当10()3x∈,+∞和(0)-∞,时,h′(x)>0,h(x)是增函数.∴h(x)在(0)-∞,内不可能有两不等实根.又∵h(3)10110()0(4)327h h=>,=-<,=5>0,∴方程h(x)=0在区间1010(3)(4)33,,,内分别有唯一实数根,而在区间(0,3)(4),,+∞内没有实数根.∴存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+370x=在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.。
2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(11)函数与方程
课时作业(十一) [第11讲 函数与方程] [时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜13B ．a ＞13C ．a ≤13D ．a ≥132．[2011·课标全国卷] 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34 3．设f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．5．已知函数f (x那么函数在区间A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6．[2011·上海八校联考] 设a ，b ，k 是实数，二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足：f (k －1)与f (k )异号，f (k ＋1)与f (k )异号．在以下关于f (x )的零点的命题中，真命题是( )A ．该二次函数的零点都小于kB ．该二次函数的零点都大于kC ．该二次函数的两个零点之差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内7．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b8．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则g (x 0)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．49．[2012·淄博模拟] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0，的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 10．[2011·山东卷] 已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为________．12．[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝|x |＋|2－x |，若函数g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________． 14．(10分)已知函数f (x )＝x 3－3x ＋2. (1)求f (x )的零点；(2)求分别满足f (x )＜0，f (x )＝0，f (x )＞0的x 的取值范围； (3)画出f (x )的大致图象．15．(13分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－k 有三个零点，求实数k 的取值范围．难点突破16．(12分)(1)已知关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围； (2)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 由题意，函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，即方程x 2＋2x ＋3a ＝0无解，即方程的判别式小于零，解不等式Δ＝22－4×3a ＜0，得a ＞13.2．C [解析] 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12－1>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0， 又因为函数y ＝e x 是单调增函数，y ＝4x －3也是单调增函数， 所以函数f (x )＝e x ＋4x －3是单调增函数，所以函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点在⎝⎛⎭⎫14，12内． 3．C [解析] ∵f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)，∴f ′(x )＝3x 2＋b >0，∴f (x )在区间[－1,1]上为增函数．又∵f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，∴f (x )在[－1,1]上有实数根，且只有一个．4.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1 [解析] ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇒2x 2＋x －3＜0，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1. 【能力提升】5．C [解析] 在区间[2,3]、[3,4]、[4,5]上至少各有一个零点． 6．D [解析] 由题意f (k －1)·f (k )<0，f (k )·f (k ＋1)<0，由零点的存在性定理可知区间(k －1，k )，(k ，k ＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D 正确．7．B [解析] 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0， 故h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b .8．B [解析] 因为f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－23>0，故x 0∈(2,3)，g (x 0)＝[x 0]＝2.9．B [解析] 作出函数图象(图略)可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的图象与x 轴有两个交点，故选B.10．2 [解析] 因为2＜a ＜3，所以log a 2＜1＝log a a ＜log a 3，因为3＜b ＜4，所以b －2>1>log a 2，b －3＜1＜log a 3，所以f (2)·f (3)＝(log a 2＋2－b )·(log a 3＋3－b )＜0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n ＝2.11．3 [解析] f (0)＝－2，即－02＋b ·0＋c ＝－2，c ＝－2；f (－1)＝1，即－(－1)2＋b ·(－1)＋c ＝1，故b ＝－4.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x >0，－x 2－4x －2，x ≤0，g (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x ，x >0，－x 2－3x －2，x ≤0.令g (x )＝0，则－2＋x ＝0，解得x ＝2；－x 2－3x －2＝0，解得x ＝－2或－1，故函数g (x )有3个零点．12．(－∞，2ln2－2] [解析] 由于f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即e x －2x ＋a ＝0有解，所以a ＝－e x ＋2x . 令g (x )＝－e x ＋2x ，由于g ′(x )＝－e x ＋2， 令g ′(x )＝－e x ＋2＝0，解得x ＝ln2.当x ∈(－∞，ln2)时，g ′(x )＝－e x ＋2>0，此时g (x )为增函数；当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )＝－e x ＋2<0，此时g (x )为减函数．所以，当x ＝ln2时，函数g (x )＝－e x ＋2x 有最大值2ln2－2，即g (x )＝－e x ＋2x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以a ∈(－∞，2ln2－2]．13．2 [解析] 由于f (x )＝|x |＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤0，2，0<x <2，2x －2，x ≥2，所以f (x )的最小值等于2，要使f (x )－a ＝0有解，应a ≥2，即a 的最小值为2.14．[解答] f (x )＝x 3－3x ＋2＝x (x －1)(x ＋1)－2(x －1) ＝(x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)．(1)令f (x )＝0，得函数f (x )的零点为x ＝1(2)令f (x )＜0，得x ＜－2；令f (x )＝0得x ＝1或x ＝－2；令f (x )＞0， 得－2＜x ＜1或x ＞1.所以满足f (x )＜0的x 的取值范围是(－∞，－2)； 满足f (x )＝0的x 的取值范围是{1，－2}；满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)． (3)函数f (x )的大致图象如图所示．15．[解答] (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝12a －b ＝0，f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4.故所求的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283；当x ＝2时，f (x )有极小值－43.所以函数的大致图象如图．故要使g (x )＝f (x )－k 有三个零点，实数k 的取值范围是－43＜k ＜283.【难点突破】16．[解答] (1)设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，即f (2)＝22＋(m －1)×2＋1<0，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0≤－m －12≤2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3≤m ≤1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3≤m ≤1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1. (2)∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根， 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，m ＝－2时，t ＝1，m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有一正一负两根， 则t 1t 2<0，这与t 1t 2＝1>0矛盾． ∴这种情况不可能，综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.。
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）一、单选题1．已知()()12222x x a a a a -++>++，则x 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0，2)D ．R 2．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为 A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]6,8 C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]6,103．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1- 4．定义：若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]1,1-是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5．函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()12,1f x f x y f x =+=-的图形关于()1,0对称，且()71f =- 则()2021f =（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．26．已知函数()22,,x ax x a f x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数7．若函数()()ln 1x f x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（ ） A ．1e - B ．2e - C ．e D ．2-8．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．2e 1---二、多选题9．已知函数()21e x x x f x +-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值B ．函数()f x 存在3个不同的零点C ．函数()f x 的最小值是e -D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5e f x =，则t 的最大值为2 10．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且2()()(32)()x x f x x f x +'<+恒成立，则必有（ ）A ．()(3)181f f >B ．()()261f f <C ．()131162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()332f f <11．若曲线()20y ax a =≠与ln 1y x =+存在公共切线，则实数a 的可能取值是（ ）A ．－1B ．eC ．e 2D ．12 12．下列各式比较大小，正确的是（ ）A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22->C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34> 三、填空题 13．已知函数23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______． 14．函数()()2ln 3x x f x x +=-的零点是__________． 15．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,m m x y x y x y ，则1ni i x ==∑___________.16．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2y x 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________.四、解答题17．已知函数()sin x f x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．18．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与空气污染指数()p x 的关系为：()()()()10244f x p x p x k x =-+<≤，其中空气污染指数()p x 与时刻x （小时）和1x 的算术平均数成反比，且比例系数为12，k 是与气象有关的参数，10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求空气污染指数()p x 的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数()f x 的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．19．某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元，可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x 元(1≤x ≤50，x ∈N *)，则租出的车辆会相应减少4x 辆.（1）求该汽车租赁公司每天的收入y (元)关于x 的函数关系式；（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元?20．已知幂函数()223m m f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，1,2x ⎡⎤∈⎣⎦（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值.21．做出()223,13,1x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩的图象并求出其值域22．为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个矩形花园，中间有三个完全一样 的矩形花坛，每个花坛的面积均为294平方米，花坛四周的过道宽度均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x 米，宽为y 米，整个矩形花园的面积为S 平方米.（1）试用x 、y 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为多少平方米?参考答案1．B2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．B9．ACD10．BD11．ABC12．BC13．314．1.15．m16．①③④17．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min 22f x e -=- 18．(1)()21x p x x =+，(]0,24x ∈，()max 12p x =; (2)没有超标；19．（1）y=-40x 2+800x +60000(1≤x ≤50，x ∈N *)；（2）390元或400元或410元.20．（1）1m =；（2）116-. 21．[]4,-+∞.22．（1）312832S xy y x =+++；（2）矩形花坛的长为21米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为1250平方米。
高三数学一轮复习课时作业11函数与方程 江苏专 试题
课时作业(十一) [第11讲 函数与方程][时间是：45分钟 分值：100分]根底热身1．(1)函数f (x )＝－x 2＋5x －6的零点为________； (2)函数g (x )＝x 2－2x ＋1的零点个数为________．2．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．3．用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的一个零点，其参考数据如下：04．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，假设f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，那么关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．才能提升5．函数f (x )＝x 2－2x的零点个数是________．6．[2021·模拟] 假设函数f (x )＝x 2·lg a －2x ＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是________．7．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )，当x >0时，y ＝f (x )是单调递增的，f (1)·f (2)<0，那么函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的个数是________．8．直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C 、D ，那么直线AB 与CD 交点坐标为________．9．[2021·一模] 根据表格中的数据，可以断定函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N *)，那么k 的值是________.x1 2 3 4 5 ln x10.[2021·常镇二调] 方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1，1n ，那么正整数n ＝________.11．[2021·模拟] 假设方程x 3＋a ＝4x的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，那么实数a 的取值范围是________．12．[2021·调研] 关于x 的方程|x |x ＋3＝kx 3有三个不同的实数解，那么实数k 的取值范围是________________．13．(8分)如图K11－1是一个二次函数y ＝f (x )的图象． (1)写出这个二次函数的零点； (2)写出这个二次函数的解析式；(3)分别指出f (－4)f (－1)，f (0)f (2)与零的大小关系．图K11－114．(8分)函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(12分)a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.假如函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．16．(12分)二次函数y＝f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数y＝f2(x)的图象与直线y＝x的两个交点间间隔为8，f(x)＝f1(x)＋f2(x)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x的方程f(x)＝f(a)有三个实数解．课时作业(十一)【根底热身】1．(1)2和3 (2)1 [解析] (1)令f (x )＝－x 2＋5x －6＝0，解得x ＝2或者x ＝3，故零点为2和3；(2)令g (x )＝0，解得x ＝1，故零点就一个．2．(2,2.5) [解析] 由计算器可算得f (2)＝－1，f (3)＝16，f (2.5)＝5.625，f (2)·f (2.5)<0，∴下一个有根区间是(2,2.5).3．1.56 [解析] 由表格可得x 0∈(1.5562,1.5625)，又准确到0.01，故x 0≈1.56. 4．3 [解析] 由f (－4)＝f (0)，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 关于x ＝－2对称，∴－b2＝－2，∴b ＝4.∵f (－2)＝－2，∴c ＝2， ∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋4x ＋2， 故f (x )＝x 的解为x ＝2或者－1或者－2. 【才能提升】5．3 [解析] 分别作出函数y ＝x 2与y ＝2x的图象，看图可知有3个交点，故函数f (x )＝x 2－2x的零点个数为3.6．(1，10) [解析] 由题意可有f (1)f (2)<0，即lg a ×(4lg a －2)<0⇒0<lg a <12⇒1<a <10.7．2 [解析] 由可知，存在x 1∈(1,2)，使得f (x 1)＝0，又函数f (x )为偶函数，所以存在x 0∈(－2，－1)，使得f (x 0)＝0，故y ＝f (x )的图象与x 轴有两个交点．8．(0,0) [解析] 由图象可知直线AB 与CD 相交，两直线方程分别为AB ：y ＝12x ，CD ：y ＝lg22x ，那么其交点坐标为(0,0)．9．3 [解析] f (3)＝ln3－1>0，f (4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在(3,4)内，k ＝3.10．2 [解析] 由下列图可得：x 0∈(0,1)，设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，故n ＝2.11．(－∞，－6)∪(6，＋∞) [解析] 方程的根显然不为0，原方程的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x的交点的横坐标；而曲线y ＝x 3＋a 是由曲线y ＝x 3向上或者向下平移|a |个单位而得到的．假设交点(x i ，4x i)(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，因直线y ＝x与y ＝4x 交点为：(－2，－2)，(2,2)；所以结合图象可得：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－23＋a >－2或者⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2⇒a ∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)．12．k >0或者k <－14 [解答] 因为|x |x ＋3＝kx 3，所以|x |x 3·x ＋3＝k (*)，当x ＝0时，原式成立； 当x ≠0时，1k ＝|x |·x ·(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ＋3x ≥0，－x 2x ＋3x <0，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ＋3x ≥0，－x 2x ＋3x <0，画出函数图象如下列图，观察图象得：y min ＝－4.因为y ＝1k 与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ＋3x ≥0，－x 2x ＋3x <0有两个交点故1k >－4且k ≠0，所以k >0或者k <－14. 13．[解答] (1)由图象知函数y ＝f (x )的零点是x 1＝－3，x 2＝1. (2)方法一：设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，据题意⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝0，f 0＝c ＝3，f －3＝9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.故这个二次函数的解析式为f (x )＝－x 2－2x ＋3.方法二：设二次函数的解析式为f (x )＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，由f (－1)＝4，可得a ＝－1，故这个二次函数的解析式为f (x )＝－x 2－2x ＋3.方法三：设二次函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＋4(a ≠0)，由f (0)＝3，可得a ＝－1， 故这个二次函数的解析式为f (x )＝－x 2－2x ＋3. (3)∵f (－4)＝－5，f (－1)＝4，f (0)＝3，f (2)＝－5， ∴f (－4)f (－1)＝－20<0，f (0)f (2)＝－15<0. 14.[解答] ∵f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，那么t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝±2.当m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去，∴2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0，即m ＞2或者m ＜－2时，方程t 2＋mt ＋1＝0有两不等根，由题设知仅有一根，且为正，故方程t 2＋mt ＋1＝0有一正一负根，即t 1t 2＜0，这与t 1t 2＞0矛盾． ∴这种情况不可能．综上可知：m ＝－2时，f (x )有惟一零点，该零点为x ＝0.15．[解答] 假设a ＝0，那么函数f (x )＝2x －3在区间[－1,1]上没有零点． 下面就a ≠0时分三种情况讨论．(1)方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有重根． 此时Δ＝4＋8a (3＋a )＝4(2a 2＋6a ＋1)＝0， 解得 a ＝－3±72.当a ＝－3－72时， f (x )＝0的重根x ＝3－72∈[－1,1]；当a ＝－3＋72时，f (x )＝0的重根x ＝3＋72∉[－1,1]；故当方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有重根时，a ＝－3－72.(2)f (x )在区间[－1,1]上只有一个零点且不是f (x )＝0的重根， 此时有f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)≤0⇒1≤a ≤5.∵当a ＝5时，方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有两个相异实根．故当方程f (x )＝0在区间[－1,1]上只有一个根且不是重根时，a 的取值范围为{a |1≤a <5}．(3)方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有两相异实根．因为函数f (x )＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2－12a －a －3，其图象的对称轴方程为x ＝－12a ，所以a 应满足(I)⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1<－12a <1，f 1≥0，f －1≥0或者(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1<－12a <1，f 1≤0，f －1≤0，解不等式组(I)得a ≥5， 解不等式组(Ⅱ)得a <－3－72，故当方程f (x ) ＝ 0在区间[－1,1]上有两相异实根时，a <－3－72或者a ≥5.综上所述，函数在区间[－1,1]上有零点，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[1，＋∞)． 16．[解答] (1)由，设f 1(x )＝ax 2，由f 1(1)＝1，得a ＝1，∴f 1(x )＝x 2.设f 2(x )＝k x(k >0)，它的图象与直线y ＝x 的交点分别为A (k ，k )，B (－k ，－k )． 由|AB |＝8，得k ＝8，∴f 2(x )＝8x .故f (x )＝x 2＋8x.(2)证明：法一：由f (x )＝f (a )，得x 2＋8x ＝a 2＋8a，即8x ＝－x 2＋a 2＋8a.在同一坐标系内作出f 2(x )＝8x 和f 3(x )＝－x 2＋a 2＋8a的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2＋8a 为顶点，开口向下的抛物线．因此，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即f (x )＝f (a )有一个负数解．又∵f 2(2)＝4，f 3(2)＝－4＋a 2＋8a，当a >3时，f 3(2)－f 2(2)＝a 2＋8a－8>0，∴当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f 3(2))在f 2(x )图象的上方． ∴f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )＝f (a )有两个正数解．因此，方程f (x )＝f (a )有三个实数解． 法二：由f (x )＝f (a )，得x 2＋8x ＝a 2＋8a，即(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a －8ax＝0，得方程的一个解x 1＝a . 方程x ＋a －8ax＝0化为ax 2＋a 2x －8＝0，由a >3，Δ＝a 4＋32a >0，得x 2＝－a 2－a 4＋32a 2a ，x 3＝－a 2＋a 4＋32a 2a ，∵x 2<0，x 3>0，∴x 1≠x 2，且x 2≠x 3. 假设x 1＝x 3，即a ＝－a 2＋a 4＋32a2a ，那么3a 2＝a 4＋32a ⇒a 4＝4a ，得a ＝0或者a ＝34，这与a >3矛盾，∴x 1≠x 3. 故原方程f (x )＝f (a )有三个实数解．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
(江苏版)高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题2.11_函数与方程(练)
高考数学一轮复习(讲、练、测) 专题2.11_函数与方程(练)一、填空题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________． 【答案】0，－12【解析】由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x )．令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12.2．(2017·苏州期末)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是________． 【答案】1【解析】因为函数y ＝2x，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内只有一个零点．3．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(0，＋∞)4．(2017·徐州月考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 【解析】当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.5．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________． 【答案】0或－14【解析】当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点； 当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．6．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 【答案】2【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.7．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．【答案】28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】(0,1)【解析】画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 二、解答题9．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．10．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围． 解由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2m ＋1<0，f －1＝2>0，f 1＝4m ＋2<0，f 2＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.能力提升题组11．(2017·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(1,2]由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ，又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.12．(2017·镇江调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >0，12－12＋x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 【答案】(3，＋∞) 【解析】在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0. 又m >0，解得m >3.14．(2017·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。
2013年高考数学一轮复习课时训练 函数与方程 北师大版
2013年高考数学一轮复习课时训练函数与方程北师大版A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )．解析图A没有零点，因此不能用二分法求零点．图B与图D中均为不变号零点，不能用二分法求零点；故只有C图可用二分法求零点．答案 C2．(2012·安康模拟)函数f(x)＝sin x－x零点的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．3解析f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴则f(x)＝sin x－x的零点是唯一的．答案 B3．(★)方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析(数形结合法)∵a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．∴方程有两解．答案 B【点评】本题采用数形结合法解题，画出对应函数的图象，观察函数的交点情况确定解的个数.4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )．A．(－2,2) B．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析 由于函数f (x )是连续的，故只需两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，则x ＝±1，只需f (－1)f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)． 答案 A5．(2010·天津)函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( )． A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析 f (x )＝2x ＋3x 在R 上为增函数，且f (－1)＝2－1－3＝－52，f (0)＝1，则f (x )＝2x＋3x 在(－1,0)上有唯一的一个零点． 答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·西安五校联考)函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是________．解析 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然函数x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx 2－2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0. 答案 (－∞，0]∪{1}7．函数f (x )＝2－x＋x 2－3的零点个数是________． 解析 令2－x＋x 2－3＝0，即2－x＝3－x 2，在同一坐标系中作出y ＝2－x与y ＝3－x 2的图象如图所示，因此f (x )＝2－x＋x 2－3有两个零点．答案 28．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．解析 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2ag (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－12.答案 0，－12三、解答题(共23分)9．(11分)(2012·桂林五校联考)关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1＞0，则应有f (2)≤0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥00＜－m －12＜2f 2≥0，，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －12－4≥0，－3＜m ＜1，4＋m －1×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32，∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.10．(12分)(2012·重庆模拟)对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)(1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3，由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3 故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1,3.(2)∵f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个不动点，∴x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1， 即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根， ∴Δ＝b 2－4ab ＋4a ＞0(b ∈R )恒成立． 于是Δ′＝(4a )2－16a ＜0解得0＜a ＜1，故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(★)方程x 2＋2x －1＝0的解可视为函数y ＝x ＋2的图象与函数y ＝1x的图象交点的横坐标，若x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎪⎫x i ，4xi(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是( )．A ．RB ．∅C ．(－6,6)D ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析 (转化法)方程的根显然x ≠0，原方程等价于x 3＋a ＝4x，原方程的实根是曲线y ＝x3＋a 与曲线y ＝4x的交点的横坐标；而曲线y ＝x 3＋a 是由曲线y ＝x 3向上或向下平移|a |个单位而得到的．若交点⎝ ⎛⎭⎪⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，因直线y ＝x 与y ＝4x交点为：(－2，－2)，(2,2)；所以结合图象可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，x 3＋a ＞－2，x ≥－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，x 3＋a ＜2，x ≤2，⇒a ∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)；选D. 答案 D【点评】 转化法能够在一定程度上简化解题过程.2．(2012·东北三校联考)已知函数f (x )＝x e x－ax －1，则关于f (x )零点叙述正确的是( )．A ．当a ＝0时，函数f (x )有两个零点B ．函数f (x )必有一个零点是正数C ．当a ＜0时，函数f (x )有两个零点D ．当a ＞0时，函数f (x )只有一个零点 解析 f (x )＝0⇔e x＝a ＋1x在同一坐标系中作出y ＝e x与y ＝1x的图象，可观察出A 、C 、D 选项错误，选项B 正确． 答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·辽宁)已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程e x－2x ＋a ＝0有解问题，即方程a ＝2x －ex有解．令函数g (x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为：g (ln 2)＝2ln 2－2.因此，a 的取值范围就是函数g (x )的值域，所以，a ∈(－∞，2ln 2－2]． 答案 (－∞，2ln 2－2]4．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________． 解析 设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n＜0.001， 即2n ＞100，由26＝64,27＝128知n ＝7. 答案 7三、解答题(共22分)5．(★)(10分)(2012·岳阳模拟)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．思路分析 由题意可知，方程4x ＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解． 解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题． 6．(12分)(2012·汉中模拟)(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．解 (1)①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1. ②法一 设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4.由题意，在⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－43m ＋4＞0x 1＋1x 2＋1＞0x 1＋1＋x 2＋1＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＞03m ＋4－2m ＋1＞0－2m ＋2＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞4或m ＜－1，m ＞－5，m ＜1，∴－5＜m ＜－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．法二 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－m ＞－1，f －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＞0，m ＜1，1－2m ＋3m ＋4＞0.∴－5＜m ＜－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)． (2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0， 即|4x －x 2|＝－a .令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a . 作出g (x )、h (x )的图象．由图象可知，当0＜－a ＜4，即－4＜a ＜0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，即f (x )有4个零点．故a 的取值范围为(－4,0)．。
高三数学一轮复习课时作业13：§2.8函数与方程
§2.8函数与方程A 组·基础达标练1．若函数y ＝f (x )在区间『a ，b 』上的图象是连续的，则下列说法正确的是( ) A ．若f (a )f (b )>0，则不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 B ．若f (a )f (b )>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 C ．若f (a )f (b )<0，则有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 D ．若f (a )f (b )<0，则有且只有一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝02．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)3．设函数f (x )＝log πx ，函数g (x )＝35sin2x ，则f (x )与g (x )的图象的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．04．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( ) A ．恒为负 B ．等于零 C ．恒为正D ．不大于零5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．06．设函数f (x )＝e x ＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<07．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈『0,1』时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的解有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．多于4个8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎭⎫－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎝⎛⎦⎤－14，0 9．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________． 10．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈『0,1』时，f (x )＝2x .若在区间『－2,2』上方程ax ＋a －f (x )＝0恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明：函数f (x )有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.12．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0，其中e 表示自然对数的底数)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定t 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．B 组·能力提升练1．已知函数f (x )＝，g (x )＝k (x ＋1)，若方程f (x )－g (x )＝0有四个不同实数根，则k 的取值范围为( )A.14≤k <13 B.15≤k <14 C.16≤k <15D.17≤k <162．已知函数f (x )满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈『1,3』时，f (x )＝ln x ，若在区间⎣⎡⎦⎤13，3内，曲线g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎫0，12e 21,01(1),1x x f x x ⎧-≤<⎨-≥⎩C.⎣⎡⎭⎫ln 33，1eD.⎣⎡⎭⎫ln 33，12e3．给定方程：⎝⎛⎭⎫12x＋sin x －1＝0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解；④若x 0是该方程的实数解，则x 0>－1.正确命题是________．4．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝－4ln x 的零点个数．()f x x——★ 参 考 答 案 ★——A 组·基础达标练1． B『解析』由函数零点存在性定理可知，选B.2． B『解析』函数f (x )的导数为f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝f (x )－f ′(x )＝ln x －1x .因为g (1)＝ln 1－1＝－1<0，g (2)＝ln 2－12>0，所以函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3． A『解析』作出f (x )，g (x )的图象，如图所示，可知有1个交点，故选A.4． A『解析』由于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0，故选A.5． D『解析』当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12.又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.6． A『解析』依题意，f (0)＝－3<0，f (1)＝e －2>0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内，即0<a <1.g (1)＝－3<0，g (2)＝ln 2＋3>0，函数g (x )的零点在区间(1,2)内，即1<b <2，于是有f (b )>f (1)>0.又函数g (x )在(0,1)内是增函数，因此有g (a )<g (1)<0，g (a )<0<f (b )，选A.7． C『解析』函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，则函数f (x )是以2为周期的周期函数，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示：由图可知函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象共有4个交点，即方程f (x )＝log 3|x |的解有4个，故选C.8． C『解析』由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，作出函数y ＝f (x )的图象．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有 三个不同的零点，则－14<m <0，即m ∈⎝⎛⎭⎫－14，0，故选C. 9． ⎝⎛⎭⎫13，1『解析』当a ＝0时，函数f (x )＝1在(－1,1)上没有零点，所以a ≠0.根据零点存在性定理可得f (－1)f (1)<0，即(－3a ＋1)(1－a )<0，所以(a －1)(3a －1)<0，解得13<a <1，所以实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.10． 『0,1)『解析』由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期是2.由ax ＋a －f (x )＝0得f (x )＝ax ＋a ，设y ＝f (x )，y ＝ax ＋a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋a 的图象．如图，要使方程ax ＋a －f (x )＝0恰有三个不相等的实数根， 则直线y ＝ax ＋a ＝a (x ＋1)的斜率满足0≤a <k AB ， 由题意可知，A (－1,0)，B (1,2)，所以k AB ＝22＝1，所以0≤a <1，即a ∈『0,1)．11．解 (1)证明：由题意知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )是增函数． ∵f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点． 又∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的， ∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2)由(1)知f (2)<0，f (3)>0， ∴f (x )的零点x 0∈(2,3)．取x 1＝52，∵f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 52－1＝ln 52－ln e<0， ∴f ⎝⎛⎭⎫52·f (3)<0，∴x 0∈⎝⎛⎭⎫52，3. 取x 2＝114，∵f ⎝⎛⎭⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e>0， ∴f ⎝⎛⎭⎫114·f ⎝⎛⎭⎫52<0.∴x 0∈⎝⎛⎭⎫52，114，且⎪⎪⎪⎪114－52＝14≤14， ∴⎝⎛⎭⎫52，114即为符合条件的区间．12． 解 (1)解法一：g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是『2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点． 解法二：解方程g (x )＝m ， 得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根， 故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，Δ＝m 2－4e 2≥0.等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.即m 的取值范围为『2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )、f (x )的图象． ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1 ＝－(x －e)2＋t －1＋e 2.∴其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为t －1＋e 2. 故当t －1＋e 2>2e ，即t >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点， 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴t 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．B 组·能力提升练1． C『解析』当x ≥1时，f (x )＝f (x －1)，得f (x ＋1)＝f (x )，所以当x ≥1时，f (x )的周期为1，因为g (x )＝k (x ＋1)，所以g (x )的图象过定点(－1,0)，因为f (x )－g (x )＝0有四个不同的实数根，所以y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有四个交点，画出y ＝f (x )的图象，如图所示，可知，(5,1)与(－1,0)所在直线的斜率为16，(4,1)与(－1,0)所在直线的斜率为15，要使图象有四个交点，则k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫16，15.2． C『解析』当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，1x ∈『1,3』，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ∈[1，3]－ln x ，x ∈⎣⎡⎭⎫13，1，作出其图象，如图所示．设x ∈『1,3』时，直线y ＝ax 与y ＝ln x 的图象相切，其切点为(x 0，y 0)，则1x 0＝a ，∴x 0＝1a ，∴y 0＝1，∴1＝ln 1a ，∴a ＝1e .又点(3，ln 3)与原点连线的斜率为ln 33，可知曲线g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫ln 33，1e ，故选C.3． ②③④『解析』依题意，在同一坐标系中画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x－1与y ＝－sin x (该函数的值域是『－1,1』)的大致图象，结合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点有且只有一个，因此方程⎝⎛⎭⎫12x＋sin x －1＝0在(－∞，0)内有且只有一个实数解，故③正确，①不正确；由图象易知②④均正确．4． 解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0，∴g (x )只有一个零点x 0∈(1，e 5)． 因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．2(1)(3)x x x --故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点。
高考数学一轮复习课时作业11函数与方程课件理高三全册数学课件
2021/12/13
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8．若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的两个零点是－2 和 3，则不等式 af(－2x)>0 的解集是 x|－32<x<1 .
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解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b 的两个零点是－2，3. ∴－2,3 是方程 x2＋ax＋b＝0 的两根， 由根与系数的关系知－－22＋×33＝＝－b. a， ∴ab＝＝－－16，， ∴f(x)＝x2－x－6. ∵不等式 af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0， 解集为x|－32<x<1.
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二、填空题
7．已知 f(x)＝x－＋x32＋，2xx≤＋13，，x>1， 则函数 g(x)＝f(x)－ex 的 零点个数为 2 .
解析：函数 g(x)＝f(x)－ex 的零点个数即为函数 y＝f(x)与 y＝ ex 的图象的交点个数．作出函数图象可知有 2 个交点，即函数 g(x) ＝f(x)－ex 有 2 个零点．
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10．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x>0 时，f(x)＝2 015x ＋log2 015x，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为 3 .
解析：因为函数 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 f(0)＝0，当 x>0 时，f(x)＝2 015x＋log2 015x 在区间 0，2 0115内存在一个零点，又 f(x)为增函数， 因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点． 根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点， 从而函数 f(x)在 R 上的零点个数为 3.
【最新】2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(6)函数的奇偶性与周期性
2π
2π
2π
2π
因为 cos 3 < sin 3 ，所以 f cos 3 >f sin 3 ；
因为 |cos2|<|sin2|，所以 f(cos2)>f(sin2) ，
综上所述，正确的是④ .
x2－ 1≥ 0， 13． [解答 ] (1)由 1－ x2≥ 0 得 x＝ ±1，∴ f(x)＝0，又它的定义域关于原点对称， f(x)
∴ f(－ 2)为最大值， f (6)为最小值．∵ f(1)＝－ 12，
∴ f(－ 2)＝－ f(2) ＝－ 2f(1) ＝ 1， f(6) ＝ 2f(3)＝ 2[f(1) ＋ f(2)] ＝－ 3.
∴所求 f (x)在区间 [ － 2,6]上的最大值为 1，最小值为－ 3.
16. [ 解答 ] (1) 设－ 1<x<0，则 0<－ x<1，
9． 0 [解析 ] 偶函数的图象关于 y 轴对称，故公共点横坐标的和为 0.
10． lg(1 － x) [解析 ] x∈(－ 1,0)时，－ x∈ (0,1) ，
∴
f(－
x)＝
lg－
1 x＋
1＝
lg(1
－
x)－
1＝－
lg(1
－
x)，而由
f(x) 为奇函数，得
f(－ x)＝－ f(x)，∴
－f (x)＝－ lg(1 － x)，故 f(x)＝ lg(1 － x).
＝f (－ x)＝－ f (x)＝ 0，
∴ f(x)既是奇函数又是偶函数．
x≥ 0，
(2)由
得 x>0 ，函数 f (x)的定义域不关于原点对称，∴
x≠ 0
偶函数．
(3)函数的定义域为 (－∞， 0)∪ (0，＋∞ )，关于原点对称．当
高考数学(苏教版文)一轮配套学案：函数与方程
第8讲函数与方程知识梳理函数的零点(1)函数的零点的概念一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是f(x)＝0的根．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．辨析感悟函数零点概念的理解及应用(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)f(x2)＜0，则函数f(x)有零点．(×)(3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(×)(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．(√)(5)(2012·湖北卷改编)函数f(x)＝x cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为2.(×)(6)(2013·广州模拟改编)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(－2,0)．(√)[感悟·提升]1．一点提醒函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，如(1)．2．三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件，如(2)中没有强调连续曲线；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件，如(3)；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点.考点一 函数零点的求解与判断【例1】 (1)(2013·青岛一模)函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在区间是________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；②⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1；③(1,2)；④(2,3)． (2)(2014·郑州一模)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14log 214＝1＋12＝32＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－12log 212＝1＋12＝32＞0， f (1)＝1－0＝1＞0，f (2)＝1－2 log 22＝－1＜0， 由f (1)f (2)＜0知③正确．(2)当x ＞0时，令g (x )＝ln x ，h (x )＝x 2－2x .画出g (x )与h (x )的图象如图： 故当x ＞0时，f (x )有2个零点． 当x ≤0时，由4x ＋1＝0，得x ＝－14， 综上函数f (x )的零点个数为3. 答案 (1)③ (2)3规律方法 (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【训练1】 (1)(2014·合肥模拟)函数f (x )＝－1x ＋log 2x 的一个零点落在区间________．①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． (2)(2012·北京卷改编)函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________． 解析 (1)∵f (1)＝－1<0，f (2)＝12>0，故其中一个零点会落在(1,2)内． (2)f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点，即令f (x )＝0.根据此题可得＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在平面直角坐标系中分别画出幂函数y ＝和指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个． 答案 (1)② (2)1考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】 已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)法一 ∵x ＞0时g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)， 因而只需m ≥2e ， 则y ＝g (x )－m 就有零点． ∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二 作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图： 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e. ∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【训练2】 (2014·鞍山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________． 解析 画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1. 答案 (0,1)考点三 与二次函数有关的零点分布【例3】 是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．审题路线 由f (x )在[－1,3]上只有一个零点⇔f (x )＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根⇒计算知Δ＞0恒成立⇒令f (－1)·f (3)≤0⇒求出a 的范围⇒对端点值检验⇒得出结论．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根， 不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．规律方法 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【训练3】 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围． 解(1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⎩⎨⎧f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组⎩⎨⎧f (0)＝2m ＋1>0，f (1)＝4m ＋2>0，Δ＝4m 2－4(2m ＋1)≥0，0<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－2.1．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．创新突破2——函数的零点与函数极值点的交汇【典例】 (2013·安徽卷改编)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为________．突破：条件“函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2”等价于“方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不等实数根x 1，x 2”；条件：“若f (x 1)＝x 1＜x 2，关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根”等价于“方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有两个不等实根，f (x )＝x 1，f (x )＝x 2”.解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，原题等价于方程3x2＋2ax＋b＝0有两个不等实数根x1，x2，且x1＜x2，x∈(－∞，x1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴x1为极大值点，x2为极小值点．∴方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等实根，f(x)＝x1，f(x)＝x2. ∵f(x1)＝x1，∴由图知f(x)＝x1有两个不同的解，f(x)＝x2仅有一个解．答案 3[反思感悟] (1)强化函数零点的求法，函数与方程的转化技巧，本题的突破点是方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数转化为f(x)＝x1与f(x)＝x2的根的个数之和．(2)本题把函数的零点与函数的极值点交汇在一起考查，体现了新课标高考的指导思想．【自主体验】(2014·广州测试)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系为________．解析由题意，知f′(x)＝e x＋1＞0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，所以函数f(x)的零点a∈(0,1)；由题意，知g′(x)＝1＋1＞0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)x＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数g(x)的零点b∈(1,2)．综上，可得0＜a＜1＜b＜2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)＜f(1)＜f(b)．答案 f (a )＜f (1)＜f (b )基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·无锡调研)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________．解析 由已知得f ′(x )＝e x ＋3＞0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝e －1－3＜0，f (1)＝e ＋3＞0，所以f (x )的零点个数是1. 答案 12．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 解析 ∵f (x )＝e x ＋4x －3，∴f ′(x )＝e x ＋4＞0. ∴f (x )在其定义域上是单调递增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－4＜0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，故选③. 答案 ③3．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________． 解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点． 答案 0或－144．(2013·朝阳区期末)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＜0，f (2)＞0，所以0＜a ＜3.答案 (0,3)5．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x ，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3. 答案 x 1＜x 2＜x 36．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．解析 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－12. 答案 0，－127．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1) 二、解答题9．函数f (x )＝x 3－3x ＋2. (1)求f (x )的零点；(2)求分别满足f (x )＜0，f (x )＝0，f (x )＞0的x 的取值范围． 解 f (x )＝x 3－3x ＋2＝x (x －1)(x ＋1)－2(x －1)＝ (x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)．(1)令f (x )＝0，函数f (x )的零点为x ＝1或x ＝－2. (2)令f (x )＜0，得x ＜－2；所以满足f (x )＜0的x 的取值范围是(－∞，－2)； 满足f (x )＝0的x 的取值集合是{1，－2}；令f (x )＞0，得－2＜x ＜1或x ＞1，满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．10．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．解 设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2，0)，(1,3)内，∴⎩⎨⎧f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，即⎩⎨⎧3×(－2)2－5×(－2)＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，3×9－5×3＋a ＞0，解得－12＜a ＜0.∴所求a 的取值范围是(－12,0)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·烟台模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；②(1,2)③⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1； ④(2,3)．解析 由f (x )的图象知0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2＜a ＜－1，g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，g (x )在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a ＜0，g (1)＝2＋a ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·g (1)＜0.答案 ③2．(2013·连云港检测)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x ，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为________．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 93．(2013·天津卷改编)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则g (a )，0，f (b )的大小关系为________． 解析 由f ′(x )＝e x ＋1＞0知f (x )在R 上单调递增， 且f (0)＝1－2＜0，f (1)＝e －1＞0， 所以f (a )＝0时，a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－2＜0，所以g (a )＜0，由g (2)＝ln 2＋1＞0，g (b )＝0，得b ∈(1,2)． 又f (1)＝e －1＞0，∴f (b )＞0.故g (a )＜0＜f (b )． 答案 g (a )＜0＜f (b ) 二、解答题4．(2014·深圳调研)已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)x－4ln x的零点个数．解(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)∵g(x)＝x2－2x－3x－4ln x＝x－3x－4ln x－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x＝(x－1)(x－3)x2.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x (0,1)1(1,3)3(3，＋∞) g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值当又因为g(x)在(3，＋∞)单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)只有1个零点.。
高考一轮江苏数学(文)(练习)第2章 第11课 函数与方程
第11课函数与方程[最新考纲]内容要求A B C函数与方程√1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫作函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x 轴的交点 (x 1,0)， (x 2,0) (x 1,0) 无交点 零点个数21 01．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )，x ∈D 在区间(a ，b )⊆D 内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( )(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点．( ) [★答案★] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________． 1 [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0， ∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________．(填序号) ①y ＝cos x ； ②y ＝sin x ； ③y ＝ln x ； ④y ＝x 2＋1.① [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(－2，－1)；④(－1,0)． ④ [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23， f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5， ∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0， ∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]函数零点所在区间的判断存在”)零点．(2)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是(k ，k ＋1)(k∈Z )，则k ＝________.(1)存在 (2)2 [(1)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f (8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]的图象是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． (2)∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，即k ＝2.][规律方法] 确定函数f (x )的零点所在区间的2种常用方法1．定义法：使用零点存在性定理，函数y ＝f (x )必须在区间[a ，b ]上是连续的，当f (a )·f (b )<0时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．2．图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f (x )＝g (x )－h (x )，作出y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点．[变式训练1] 设f (x )＝ln x ＋x －2，在下列区间中，包含函数f (x )的零点所在的区间为________．(填序号)①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．② [函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．]判断函数零点的个数(1)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________. 【导学号：62172059】(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数为________．(1)2 (2)3 [(1)令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14， 综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．]函数零点的应用[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围.【导学号：62172060】[思路点拨] 先作出函数f (x )的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．[解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，所以函数图象关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x有三个不同的根，则满足⎩⎨⎧a ＞1，f (6)＜2，f (10)＞2，如图，即⎩⎨⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10)．[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(1)(0,3) (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.(2)作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法．[易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．课时分层训练(十一)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．0，－12 [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . 令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．(2017·镇江期中)方程lg x －sin x ＝0的解的个数是________．3 [∵lg x －sin x ＝0，∴lg x ＝sin x ，分别作出函数y ＝lg x 与函数y ＝sin x 的图象可知，两个函数有3个交点．]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．1 [由f (x )＝0得，2x －1＝0或log 2x ＋1＝0，解得x ＝0或x ＝12(舍去)．] 4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________. 【导学号：62172061】(－2,0) [由x 2＋x ＋a ＝0得a ＝－x 2－x . 又y ＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14x ∈(0,1)，∴y ∈(－2,0)． 即a ∈(－2,0)．]5．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]6．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________． (0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示， 则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，0<x <2，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 【导学号：62172062】0<k <12 [函数y ＝(x －1)3在R 上单调递增；函数y ＝2x 在[2，＋∞)上单调递减，又因为x ＝2时，(x －1)3＝1且2x ＝1，所以f (x )的最大值为1，对应点为(2,1)， 又y ＝kx 过原点(0,0)，所以k ＝1－02－0＝12.可见0<k <12.] 8．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎨⎧2a＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.] 9．(2017·盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋1(x ≤1)，ln x (x >1)，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是______________．(注：e 为自然对数的底数)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e [由题意可知y ＝f (x )与y ＝ax 有2个交点， 当a ＝14时，易知y ＝ln x 与y ＝14x 恰有两个交点，设y ＝ax 与y ＝ln x 的切点为(x 0，y 0)，易知当a ＝1x 0时为临界状态，此时切线方程y －y 0＝1x 0(x －x 0)恰过原点(0,0)． 解得x 0＝e ，即a ＝1e ，故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e .] 10．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(x ∈R )有两个零点，则k 的取值范围________. 【导学号：62172063】(－∞，0)∪(0,1) [由f (x )＝0得|x |x ＋2＝kx 2＝k |x |2(*)， 显然x ＝0是f (x )＝0的一个根，故原命题等价于当x ≠0时，(*)式1x ＋2＝k |x |有且只有一个根．分别作出y ＝1x ＋2及y ＝k |x |的图象，(实线表示k >0的情况，虚线表示k <0的情况)．(1)当k >0，且x <0时，1x ＋2＝k |x |可化为kx 2＋2kx ＋1＝0. 由Δ＝4k 2－4k ＝0得k ＝1或k ＝0(舍去)，结合图象可知，当k ∈(0,1)时合题意．(2)当k <0时，结合图象可知，方程kx 2＋2kx ＋1＝0一定有实根， 综上所述k 的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．]二、解答题11．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. [证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.12．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根．因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34. 故实数a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 12<a <34.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是________．(0,1] [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1，由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x －a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解．又当x ∈(－∞，0]时，2x ∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上单调递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点所构成的集合为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f (f (x ))＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12， 则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值．解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14，解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2，从而函数y ＝f (f (x ))＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.] 3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．[解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根．令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎨⎧ Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22； ②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a＋1＜0，解得a ＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a 2＞0，解得a ＝－1.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1， 设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.4．已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围．(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t (视区间[a ，b ]的长度为b －a )．[解] (1)因为函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，所以f (x )在区间[－1,1]上是减函数．因为函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0，即⎩⎨⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，所以－20≤q ≤12.(2)因为0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小，所以f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝15±172，所以t ＝15－172； ②当6<t ≤8时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (8)最小，所以f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，所以f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8或9，所以t＝9.综上可知，存在常数t＝15－172，8,9满足条件．。
13年江苏高考数学一轮复习教案+课时训练+答案第一章 第2课时
§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够________的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的__________，q是p的________；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的____________．[难点正本疑点清源]1．用集合的观点，看充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．1．给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______________________________________________________． 2．下列命题中所有真命题的序号是________． ①“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的必要条件； ③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件．3．“x >2”是“1x <12”的____________条件．4．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的________条件．5．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的________________条件.题型一 四种命题的关系及真假判断例1 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题的序号为________．题型二 充分、必要、充要条件的概念与判断例2 指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ； (2)对于实数x 、y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；(4)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0， q ：(x －1)(y －2)＝0.探究提高 判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件． 其中真．命题的序号是________． 题型三 充要条件的证明例3 求证：关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1. 探究提高 (1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性． (2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．(3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.1.等价转化思想在充要条件关系中的应用试题：(14分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． 规范解答解 方法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，[2分]∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，[6分] ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}．[8分]∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴AB ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，即m ≥9或m ＞9即m ≥9.[14分] 方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件， [2分] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，[5分]由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．[8分]∵p 是q 的充分而不必要条件，∴PQ ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，即m ≥9或m ＞9即m ≥9.[14分]批阅笔记 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的 问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系 问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n 个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 失误与防范1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、填空题1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是__________________．2．已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的______________条件．3．设集合A、B，有下列四个命题：①A B⇔对任意x∈A都有x∉B；②A B⇔A∩B＝∅；③A B⇔B A；④A B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中假命题的序号是________．4．已知函数y＝lg(4－x)的定义域为A，集合B＝{x|x<a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．5．下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________．6．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为______．7．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．二、解答题8．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．B组专项能力提升题组一、填空题1．设y＝f(x)是定义在R上的函数，给定下列三个条件：(1)y＝f(x)是偶函数；(2)y＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称；(3)T ＝2为y ＝f (x )的一个周期．如果将上面(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题有________个．2．已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为__________．3．设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式a x 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是____________．4．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．5．在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ②若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集； ③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b <0； ④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b <0； ⑤若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)． 6．(2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. 二、解答题7．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． 8．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．答案要点梳理 1．判断真假2．(1)若q ，则p 若綈p ，则綈q 若綈q ，则綈p (2)逆命题 否命题 逆否命题 (3)①相同 ②没有3．(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件 基础自测1．3 2.②③ 3.充分不必要 4．充要 5.既不充分也不必要 题型分类·深度剖析 例1 ②④变式训练1 ①③例2 解 (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件． (2)易知，綈p ：x ＋y ＝8，綈q ：x ＝2且y ＝6，显然綈q ⇒綈p ，但綈pD ⇒/綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(4)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2， 所以p ⇒q 但qD ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件． 变式训练2 ①④例3 证明 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程有一个负根，符合题意．当a <0时，Δ＝4－4a >0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的实根，且1a <0，方程有一正一负根，符合题意．当0<a ≤1时，Δ＝4－4a ≥0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，且⎩⎨⎧－2a<01a >0，故方程有两个负根，符合题意．综上知：当a ≤1时，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根． 必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根． 当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0符合题意．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0应有一正一负根或两个负根．则1a<0或⎩⎨⎧Δ＝4－4a ≥0－2a <01a >0.解得a <0或0<a ≤1.综上知：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一负根，则a ≤1.故关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1. 变式训练3 证明 充分性：当q ＝－1时， a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． 当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N *)，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． ∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，又S 2＝a 1＋a 2＝p 2＋q ， ∴a 2＝p 2－p ＝p (p －1)，∴p (p －1)p ＋q ＝p ，即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件． 课时规范训练 A 组1．若|a |＝|b |，则a ＝－b 2.必要不充分 3．①②③ 4.a >4 5.①③④ 6．② [3,8)8．解 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1. 又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4. B 组1．3 2．(2,3] 3.⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞) 4．[1,2) 5.①③②④ 6．3或47．解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2} ＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴綈q ⇒綈p ，且綈pD ⇒/綈q . 则{x |綈qx |綈p }，而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}， {x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}， ∴{x |－4≤x <－x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，则⎩⎨⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎨⎧a ≤－4，a <0.综上，可得－23≤a <0或a ≤－4.8．解 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94.∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎨⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述：a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13∪(13，3－52).。
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课时作业(十一) [第11讲 函数与方程][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．(1)函数f (x )＝－x 2＋5x －6的零点为________； (2)函数g (x )＝x 2－2x ＋1的零点个数为________．2．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．3．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：04．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．能力提升5．函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数是________． 6．[2012·如皋模拟] 若函数f (x )＝x 2·lg a －2x ＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是________．7．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )，当x >0时，y ＝f (x )是单调递增的，f (1)·f (2)<0，则函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的个数是________．8．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C 、D ，则直线AB 与CD 交点坐标为________．9．[2012·温州一模] 根据表格中的数据，可以判定函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(*10.[2012·常镇二调] 已知方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解x 0∈⎝⎛⎭⎫1n ＋1，1n ，则正整数n ＝________. 11．[2012·盐城模拟] 若方程x 3＋a ＝4x的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________．12．[2012·盐城调研] 已知关于x 的方程|x |x ＋3＝kx 3有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是________________．13．(8分)如图K11－1是一个二次函数y ＝f (x )的图象． (1)写出这个二次函数的零点； (2)写出这个二次函数的解析式；(3)分别指出f (－4)f (－1)，f (0)f (2)与零的大小关系．图K11－114．(8分)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．15．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．16．(12分)已知二次函数y＝f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数y＝f2(x)的图象与直线y＝x的两个交点间距离为8，f(x)＝f1(x)＋f2(x)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x的方程f(x)＝f(a)有三个实数解．课时作业(十一)【基础热身】1．(1)2和3 (2)1 [解析] (1)令f (x )＝－x 2＋5x －6＝0，解得x ＝2或x ＝3，故零点为2和3；(2)令g (x )＝0，解得x ＝1，故零点就一个．2．(2,2.5) [解析] 由计算器可算得f (2)＝－1，f (3)＝16，f (2.5)＝5.625，f (2)·f (2.5)<0，∴下一个有根区间是(2,2.5).3．1.56 [解析] 由表格可得x 0∈(1.5562,1.5625)，又精确到0.01，故x 0≈1.56.4．3 [解析] 由f (－4)＝f (0)，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 关于x ＝－2对称，∴－b2＝－2，∴b ＝4.∵f (－2)＝－2，∴c ＝2，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋4x ＋2， 故f (x )＝x 的解为x ＝2或－1或－2. 【能力提升】5．3 [解析] 分别作出函数y ＝x 2与y ＝2x 的图象，看图可知有3个交点，故函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为3.6．(1，10) [解析] 由题意可有f (1)f (2)<0，即lg a ×(4lg a －2)<0⇒0<lg a <12⇒1<a <10.7．2 [解析] 由已知可知，存在x 1∈(1,2)，使得f (x 1)＝0，又函数f (x )为偶函数，所以存在x 0∈(－2，－1)，使得f (x 0)＝0，故y ＝f (x )的图象与x 轴有两个交点．8．(0,0) [解析] 由图象可知直线AB 与CD 相交，两直线方程分别为AB ：y ＝12x ，CD ：y ＝lg22x ，则其交点坐标为(0,0)．9．3 [解析] f (3)＝ln3－1>0，f (4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在(3,4)内，k ＝3.10．2 [解析] 由下图可得：x 0∈(0,1)，设f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x 13，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212－⎝⎛⎭⎫1213<0，f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213－⎝⎛⎭⎫1313>0，故n ＝2.11．(－∞，－6)∪(6，＋∞) [解析] 方程的根显然不为0，原方程的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x的交点的横坐标；而曲线y ＝x 3＋a 是由曲线y ＝x 3向上或向下平移|a |个单位而得到的．若交点(x i ，4x i )(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，因直线y ＝x 与y ＝4x交点为：(－2，－2)，(2,2)；所以结合图象可得：⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，(－2)3＋a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2⇒a ∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)．12．k >0或k <－14 [解答] 因为|x |x ＋3＝kx 3，所以|x |x 3·(x ＋3)＝k (*)，当x ＝0时，原式成立； 当x ≠0时，1k ＝|x |·x ·(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ＋3)(x ≥0)，－x 2(x ＋3)(x <0)， 设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ＋3)(x ≥0)，－x 2(x ＋3)(x <0)，画出函数图象如下图，观察图象得：y min ＝－4.因为y ＝1k 与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ＋3)(x ≥0)，－x 2(x ＋3)(x <0)有两个交点故1k >－4且k ≠0，所以k >0或k <－14. 13．[解答] (1)由图象知函数y ＝f (x )的零点是x 1＝－3，x 2＝1. (2)方法一：设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，据题意⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，f (0)＝c ＝3，f (－3)＝9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.故这个二次函数的解析式为f (x )＝－x 2－2x ＋3.方法二：设二次函数的解析式为f (x )＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，由f (－1)＝4，可得a ＝－1，故这个二次函数的解析式为f (x )＝－x 2－2x ＋3.方法三：设二次函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＋4(a ≠0)，由f (0)＝3，可得a ＝－1， 故这个二次函数的解析式为f (x )＝－x 2－2x ＋3. (3)∵f (－4)＝－5，f (－1)＝4，f (0)＝3，f (2)＝－5， ∴f (－4)f (－1)＝－20<0，f (0)f (2)＝－15<0. 14.[解答] ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝±2.当m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0，即m ＞2或m ＜－2时，方程t 2＋mt ＋1＝0有两不等根，由题设知仅有一根，且为正，故方程t 2＋mt ＋1＝0有一正一负根，即t 1t 2＜0，这与t 1t 2＞0矛盾． ∴这种情况不可能．综上可知：m ＝－2时，f (x )有惟一零点，该零点为x ＝0.15．[解答] 若a ＝0，则函数f (x )＝2x －3在区间[－1,1]上没有零点． 下面就a ≠0时分三种情况讨论．(1)方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有重根． 此时Δ＝4＋8a (3＋a )＝4(2a 2＋6a ＋1)＝0，解得 a ＝－3±72.当a ＝－3－72时， f (x )＝0的重根x ＝3－72∈[－1,1]；当a ＝－3＋72时，f (x )＝0的重根x ＝3＋72∉[－1,1]；故当方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有重根时，a ＝－3－72.(2)f (x )在区间[－1,1]上只有一个零点且不是f (x )＝0的重根， 此时有f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)≤0⇒1≤a ≤5.∵当a ＝5时，方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有两个相异实根． 故当方程f (x )＝0在区间[－1,1]上只有一个根且不是重根时，a 的取值范围为{a |1≤a <5}． (3)方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有两相异实根．因为函数f (x )＝2a ⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2－12a －a －3，其图象的对称轴方程为x ＝－12a，所以a 应满足 (I)⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1<－12a <1，f (1)≥0，f (－1)≥0或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1<－12a <1，f (1)≤0，f (－1)≤0，解不等式组(I)得a ≥5，解不等式组(Ⅱ)得a <－3－72，故当方程f (x ) ＝ 0在区间[－1,1]上有两相异实根时，a <－3－72或a ≥5.综上所述，函数在区间[－1,1]上有零点，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[1，＋∞)．16．[解答] (1)由已知，设f 1(x )＝ax 2，由f 1(1)＝1，得a ＝1，∴f 1(x )＝x 2.设f 2(x )＝kx(k >0)，它的图象与直线y ＝x 的交点分别为A (k ，k )，B (－k ，－k )．由|AB |＝8，得k ＝8，∴f 2(x )＝8x .故f (x )＝x 2＋8x.(2)证明：法一：由f (x )＝f (a )，得x 2＋8x ＝a 2＋8a，即8x ＝－x 2＋a 2＋8a. 在同一坐标系内作出f 2(x )＝8x 和f 3(x )＝－x 2＋a 2＋8a的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以⎝⎛⎭⎫0，a 2＋8a 为顶点，开口向下的抛物线．因此，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即 f (x )＝f (a )有一个负数解．又∵f 2(2)＝4，f 3(2)＝－4＋a 2＋8a ，当a >3时，f 3(2)－f 2(2)＝a 2＋8a－8>0，∴当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f 3(2))在f 2(x )图象的上方．∴f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即 f (x )＝f (a )有两个正数解．因此，方程f (x )＝f (a )有三个实数解．法二：由f (x )＝f (a )，得x 2＋8x ＝a 2＋8a，即(x －a )⎝⎛⎭⎫x ＋a －8ax ＝0，得方程的一个解x 1＝a . 方程x ＋a －8ax＝0化为ax 2＋a 2x －8＝0，由a >3，Δ＝a 4＋32a >0，得x 2＝－a 2－a 4＋32a 2a ，x 3＝－a 2＋a 4＋32a 2a，∵x 2<0，x 3>0，∴x 1≠x 2，且x 2≠x 3.若x 1＝x 3，即a ＝－a 2＋a 4＋32a2a，则3a 2＝a 4＋32a ⇒a 4＝4a ，得a ＝0或a ＝34，这与a >3矛盾，∴x 1≠x 3. 故原方程f (x )＝f (a )有三个实数解．。