阵列信号处理6ESPRIT类算法

ATFx ATFy .
（*）
定义
，
def
Fx [Fy ]1
式（*）重新整理为
AT AT ATT 1 A
如果A是满秩的，则有
TT 1
从上式可见， 的特征值就是 的对角
线元素，表明了信号入射角 e jk ，因此， 计算过程并不需要知道A。
D.子空间旋转算子的估计
实际应用中，我们只能得到有限的有噪 声的测量数据。这样 R{Es}就只是 S z的 估计值，从而有可能 R{Es} R{A} ，甚 至 R{Ex} R{Ey} 。所以这时我们无法找 到 使得 Ex Ey。必须寻找一个准 则以获得 的合适估计，通常情况下 应用的是最小二乘（LS）估计。
可以看到，信噪比对反演的流速性能的 影响主要是在提取可用频点时的影响， 即在这种海流剖面的条件下，ESPRIT有 着与MUSIC相似的性能。
IV．讨论
以上我们讨论了ESPRIT算法到达角估计 问题中的应用。ESPRIT较以前的算法有 很多优越性，比如计算速度、存储量和 与阵流形的无关性等方面。
样信号子空间可以通过采集足够数目的
测量值并找到所有的d个线性独立矢量而 获得。数据的协方差为
Rzz
ARss
*
A
2n
对应d个最大特征值的特征矢量构成信
号子空间 Es n[e1 | | ed ]
由于
E
的列矢量构成的子空间与
s
A
各列
矢量构成的子空间是相同的。必然存在
非奇异矩阵T，使得 Es AT 。此外，阵
DOA
右图是信 噪比为 11dB时反 演得到的 流速。
Current
0.5
0.4 SNR=11dB
0.3
SNRThreshold=10dB
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
20
40
60
80
100
120
140
160
DOA
可以看到，ESPRIT和MUSIC得到了几乎 相同的结果。两种算法反演得到的流速 都较好的描述了海流特性。
His/bin(0.1/bin) His/bin(0.1deg/bin)
Histogram of MUSIC result 100
90
MUSIC failure rate 38.9%
80
70
60
50
40
30
20
10
0 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
DOA(deg)
Histogram of ESPRIT result 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
0 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
DOA(deg)
图2 应用MUSIC和ESPRIT算法的结果比较
实验中在MUSIC算法和ESPRIT算法中都假设 信号源数已知，应用MUSIC算法有38.9%的 失效，这里的失效指得到的到达角超出了
[76°，88°]的范围。而应用ESPRIT算法就 不存在这个问题，所有的到达角估计都落在 了这个区间内。ESPRIT算法得到的参数均值
和方差分别为79.99° 0.28°和 84.00°
0.26°。对于成功的611次MUSIC估计，其均
值和方差分别为80.29° 0.20°和83.71°
0.19°。
右图给出了平行 海岸的海流剖面 和算法反演得到 的测量值，信噪 比约为25dB。
Current cm/s
0.5
0.4
. MUSIC
* ESPRIT 0.3
SNR=25dB 0.2
SNRThreshold=10dB 0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
20
40
60
80
100 120 140 160
将阵列描述为由两个子阵 Z x和Z y 组成。Z x 和 Z y在各方面都是相同的，只是彼此有 一个已知的位移矢量的偏移。第i个偶极 天线的接收信号可以表达为
d
xi (t) sk (t)ai ( k ) nxi (t) k 1 d
yi (t) sk (t)e j0 sink / c ai ( k ) nyi (t) k 1
观察ESPRIT的有效性 随信噪比变化的情况，
信噪比以1db的间隔从 -5db变化到30db，对 每一信噪比情况独立
实验100次。每次实验 的快拍数仍为16，并 与同样情况下的
MUSIC算法作比较， 结果如图所示。
Probability
1
0.9
0.8
ESPRIT
0.7
MUSIC
0.6
0.5
0.4
A.阵列几何结构
ESPRIT保留了任意阵列的多数本质特性， 它对阵列结构的限制就是要求阵元以具 有相同平移矢量的匹配对的形式存在 ， 这一点通过下面的例子很容易解释。
图1 应用ESPRIT进行多源DOA估计的 阵列几何特性
B.数据模型
假设有d m个中心频率为0的窄带信
号源，并且信号位于远场从而在均匀各 向同性的介质中到达阵列的是平面波。 加性噪声在所有2m个天线单元上存在， 是平稳零均值随机过程。
思考
由于ESPRIT比MUSIC的分辨率更高，期 待 ESPRIT 在 有 尖 锐 特 性 的 海 流 剖 面 上 有更好的性能？
此时涉及同一流速在不同方位的分辨， 如何进行信号源数目估计？
0.5
0.4
SNR=25dB
SNRThreshold=10dB 0.3
0.2
Current
0.1
0
-0.1
可以看到，独立信号源情况，对于低信 噪比和快拍数较少的情况，ESPRIT得到 正确估计的概率要高于同样情况下的 MUSIC算法。
在众多算法的比较中，ESPRIT是被推荐 应用于实际应用的一种。
当然，我们对ESPRIT的天线阵加了一些 限制，这就是要求天线阵元以匹配对的 形式存在。这个要求使得ESPRIT的应用 受到一定限制。
0 0 10 20 30 40 50 60 Snapshot
B.应用于模拟海洋回波数据的结果及分析
上述分析及模拟均是考虑信号源独立分 布的情况，而海洋回波中的“信号源” 实际上是分布于一定面积区域和特定海 水深度范围内的连续体。对于如此特殊 的信号源，ESPRIT的估计性能还需进一 步模拟分析。
百度文库.引言
信号处理的目标是从测量值中估计出接 收到信号所依赖的一系列参数 ，高分 辨率的到达角（DOA）估计问题就是信 号参数估计中重要的一类 。
Schmidt提出的子空间方法MUSIC，由 于在实际问题中给出了很好的结果而在 近些年得到了广泛的应用。然而，尽管 MUSIC的性能优势很明显，但这却是以 可观的计算量（参数空间搜索）和存储 量（阵列流形）为代价获得的。
coss (i 2 )
这里取 s 4, 0.01 。
b.模拟结果及分析
首先用平行于海岸的均匀海流来观察不同 算法反演海流的结果。假设海洋表面状态 充分发展，风向恒定为60度，则对应于到 达角的回波能量有一定的回波能量。
采用8元均匀放置的单极子线天线阵，阵 单元间距为17米，雷达工作波长为40米， 采样间隔为0.7264秒，采样长度为1024。
这里介绍ESPRIT算法，它和MUSIC一样 应用了正确的信号模型，估计的结果渐 近无偏、有效。不仅如此，ESPRIT比 MUSIC有显著的优点。
a)ESPRIT不需要天线阵元位置和阵元特 性的信息，从而不必进行阵列校准和阵 流形存储的工作。
b)ESPRIT的计算复杂性有实质上的减 小。
c)ESPRIT算法的稳健性更好。
此 (i ,t)可以写为：
(i ,t)
A e j(B )t
A e j(B )t
B为正负Bragg圆频率， 为相应于海水表
面流的径向速度的多普勒频移。定义系数 A 为：A a jb , a b 0, a2 b2
其实部与虚部是均值为零，方差正比与海浪 能谱中Bragg频率处的能量的高斯随机变量。 假设海洋表面状态充分发展，且有均匀分布 的风，则风向与Bragg波列的能量有关系：
a.模拟海洋回波的产生
我们利用模拟产生每根天线上相对于海 洋表面特定距离元一阶散射回波的时域 序列，对应于OSMAR2000中第一次FFT之 后特定距离元上的数据。对特定的天线 阵元应用下面的式子求取时域序列
n (t) n (i )e jn (i ) (i , t) Cnoise(t)
-0.2
20
40
60
80
100
120
140
160
DOA
天线阵 测量、存储阵 计算 角度分 列形式 列方向矢量 量 辨性能
其中 k是第k个信号源的到达角。
将两个子阵中每一组阵元的输出结合起 来，接收数据矢量可以写成如下形式：
x(t) As(t) nx (t)
y(t) As(t) ny (t) 矩阵 是两个子阵间相位延迟形成的对 角阵。表示为 diag{e j1 ,, e j d }，其 中 k 0sin k / c 。 被称为旋转算子
列的不变性结构意味着 Es 可以分解为 Ex 和 Ey ，从而
Es
Ex
E
y
AT
AT
从上式容易看出 R{Ex} R{Ey} R{A}
def
由于 Ex 和 Ey 共享列空间，定义 Exy [Ex | Ey ]
它的秩为d。这意味着存在一个2d d阶矩阵F，
使得
0 [Ex | Ey ]F ExFx Ey Fy
III．仿真结果
A.独立信号源的情况
选择天线阵为8阵元的均匀线阵，阵单 元间间距为半个工作波长，两个独立窄 带等功率信号源位于远场，其入射角分 别为80°、84°。噪声为加性零均值高 斯 白 噪 声 ， 信 噪 比 为 15db 。 快 拍 数 为 16 ， 独 立 进 行 1000 次 实 验 ， 结 果 如 图 所示。
0.3
0.2
0.1
0 -5 0 5 10 15 20 25 30
SNR(db)
观 察 ESPRIT 的 有 效 性随快拍数变化的 情况，信噪比为 15db 。 结 果 如 图 所 示。
Probability
1 0.9
ESPRIT 0.8
MUSIC 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3
0.2 0.1
假设模型 AX B中，A已知且误差由B 引起，若要获得X的估计通常应用标准 的LS准则。这里容易证明 Ex 和 Ey 中同 样存在噪声，那么 LS 准则就是不合适 的。考虑A和B都有噪声存在的准则是整 体最小二乘（TLS） 。
应用TLS准则得到 的估计步骤为：
令F为 EXY *EXY 的d个最小特征值对应的 特征矢量。这样，如上所定义的 由 FX 和 FY 计算得到， 的特征值就是 的 对角元素的估计。
定义整个阵列的输出矢量为z(t)
x(t )
z(t)
y(t)
As(t)
nz
(t)
A
A
A
nz
(t)
nx n y
(t) (t)
正是 A 的结构用来得到 的对角元素的
估计值而不需要知道 A 的信息
C.ESPRIT-不变性方法
在已知d个信号源的情况下，ESPRIT算 法基于如下结论：无噪声时，同以前一
雷达信号处理
Radar Signal Processing
电波传播实验室（RWPL） 周浩 zhouhao771@yahoo.com.cn
第6章 ESPRIT（旋转不变子 空间技术）类DOA估计算法
Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques
i
式中天线单元的方向性因子由 n(i ) 描述，这
里 n (i ) 1 ；e jn (i )为来自 方i 向的回波在不同天
线阵元上的相位差别，对于均匀线性阵列，第 n个天线单元的相角由
给出。
n (i )
2
nd
cos(i )
由于海洋一阶回波是由朝向或背离雷达方向运动
的Bragg波列与雷达发射电波作用的结果，因
对确定距离元上模拟得到的合成的回波 多普勒功率谱，进行一阶区的分离及一 阶区内有效频点的提取，这里设定提取 可用频点的门限为10dB。然后对一阶区 内每一有效频率信号（对应于径向流速） 利用ESPRIT和MUSIC分别求出不同流速 对应的方位。此时对每一频点，其协方 差矩阵由16个样本平均生成。
当然，ESPRIT算法的优越性的获得是有 代价的，在DOA估计中，就是要求天线 阵具有平移不变性。幸运的是，这个限 制在很多实际应用中是满足的或是可以 被满足的。
Ⅱ.ESRRIT
接下来的讨论都是以一个阵列所接收数 据的多源到达角问题来表述的。只考虑 一维参数空间的情况，也就是远场点源 的方位角分辨。