北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)

1．如图，正方体1111ABCD

A B C D 中，E ，F 分别为

棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1

AC 平面1B EF ；②

1B EF 在侧面11BCC B 上

的正投影是面积为定值的三角形；③在平面

1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平

面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有

（A ）1个 （B ）2个

（C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C

A. {}2

B. 255⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭ C. {|222}t t ≤≤ D. 2

{|52}5

t t ≤≤

3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四

面体OABC 外一点.给出下列命题.

①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等

④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D

（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形

1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，

,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线

段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值

有 C

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做

A

B

C

D

E

1A 1

D 1

B

1

C O

A

B

D

C

A 1

D 1

A 1

C 1

B D

C

B O

P

N M

Q

M B

A

图1 图2 图3

这个点到这个平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到平面β，γ的距离都是3，点P是

α上的动点，且满足P到β的距离是P到点A距离的2倍，则点P到平面γ的距离的最大值是C

（A

）3（B）3（C）3+（D）6

6.已知函数)

(x

f的定义域为R，若存在常数0

>

m，对任意x∈R，有|()|||

f x m x

<，则称)

(x

f为F函数．给出下列函数：①2

)

(x

x

f=；②x

x

x

f cos

sin

)

(+

=；③1

)

(

2+

+

=

x

x

x

x

f；④)

(x

f是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数

2

1

,x

x均有

2

1

2

1

2

)

(

)

(x

x

x

f

x

f-

≤

-．其中是F函数的序号为 C

（A）②④（B）①③

（C）③④（D）①②

7.定义区间(,)

a b，[,)

a b，(,]

a b，[,]

a b的长度均为d

b a

=-，多个区间并集的长度

为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3

d=-+-=. 用[]x表示不超过x的最大整数，记{}[]

x x x

=-，其中x∈R. 设()[]{}

f x x x

=⋅，()1

g x x

=-，

若用

123

,,

d d d分别表示不等式()()

f x

g x

>，方程()()

f x

g x

=，不等式()()

f x

g x

<解集区间的长度，则当02011

x

≤≤时，有 B

（A）

123

1,2,2008

d d d

===（B）

123

1,1,2009

d d d

===

（C）

123

3,5,2003

d d d

===（D）

123

2,3,2006

d d d

===

8. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上

的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆

时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点,0

N n，则m的象就是n，记作

f m n．

则下列命题中正确的是（）C