高中数学1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念课件新人教A版选修2_2

n
轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( A. lim ∑ B. lim ∑
������
1 (������∈[0,2])及 x 1+������2
������ (x)dx =
(x2 + 1)
(2)定积分就是和的极限 lim ∑ ������(������t)·Δx,而
n →∞i=1
������ a
������(x)dx 只是这种极限的一种记号.
题型一
题型二
利用定义计算定积分
【例 1】 利用定积分的定义,计算 1 (3x + 2)dx 的值. 分析:将区间[1,2]等分为 n 个小区间,利用函数在每个小区间上 的左端点值求出 Sn,其极限即为所求. 解:令 f(x)=3x+2. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,把区间[1,2]等分成 n 个小区间
答案:
2 x2 dx -4 2
3.定积分的基本性质 ������ ������ (1) a ������������(x)dx = ������ a ������(x)dx(������为常数); (2)
������ a ������ a
[������1(x) ± ������2(x)]dx =
c
n →∞t=1 n n ������-a t=1 n
lim ∑
n ������-a
������ a
������(x)dx, 即
������ a
������(x)dx =
������(������t), 这里, a 与������分别叫做积分下限与积分上限, 区间
[a, b]叫做积分区间, 函数������(x)叫做被积函数, x 叫做积分变量 , ������(x)dx 叫做被积式.
b
2.定积分的几何意义 如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分
������ a
������ (x)dx 表示由直线 x = a, x = ������, y = 0 和曲线 y = ������(x)
所围成的曲边梯形的面积. 【做一做 2】 用定积分表示如图所示的阴影部分的面积 S= .(不要求计算)
������ a
������1(x)dx ±
������
������ a
������2(x)dx;
(3) ������(x)dx = a ������(x)dx + c ������(x)dx(其中 a < c < ������). 【做一做 3】 下列等式不成立的是( ) A. B. C. D.
������ ������ [m ������ (x) + ng(x)]dx = m ������(x)dx + a a ������ ������ [ ������ (x) + 1]dx = ������(x)dx + ������ − a a a ������ ������ ������ ������(x)g(x)dx = a ������(x)dx · a g(x)dx a 2π 0 2π sin xdx = -2π sin xdx + 0 sin xdx -2π 1 0
【做一做 1】 在定积分的概念中,定积分 a ������(x)dx 的大小 ( ) A.与 f(x)和积分区间[a,b]有关,与 ξi 的取法无关 B.与 f(x)有关,与区间[a,b]以及 ξi 的取法无关 C.与 f(x)以及 ξi 的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与 f(x)、积分区间[a,b]和 ξi 的取法都有关 解析:根据定积分的概念可知,选项 A 正确,选项 B,C,D 都不正确, 故选 A. 答案:A
=
(3)取极限
2 1
13 3 13 (3x + 2)dx = lim ������n = lim = . n →∞ n →∞ 2 2n 2
题型一
题型二
反思利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、 取极限”这一过程.其中,将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条 理性更强.
【变式训练 1】 在等分区间的情况下,f(x)=
1.5.3 定积分的概念
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
1.定积分的概念 一般地,如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ ������(������t)Δx = ∑ n ������(������t), 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做 i=1 函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
������ g(x)dx na
解析:利用定积分的性质进行判断,选项 C 不成立. 例如
1 0
xdx = 2 ,
1 0
1
1 0
x2dx = 3 ,
1 0
1
1 0
x3dx = 4.ຫໍສະໝຸດ 1但 x3dx ≠ 答案:C
xdx ·
x2dx, 故选C.
如何正确认识定积分的概念? 剖析:(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函 数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即
n+t-1 n n+t-1 n+t , n n
2
(t = 1,2, …,n),每个小区间的长度为 Δx=
n+t − n
=
1 . n
题型一
题型二
(2)近似代替、求和
n+t-1 取 ξi= (t = 1,2, …,n), n n n 3(n+t-1) n 3(t-1) n+i-1 1 5 则 Sn= ∑ ������ n ·Δx= ∑ + 2 ·n = ∑ n2 + n n t=1 i=1 t=1 3 3 n2 -n 13 3 [0 + 1 + 2 + ⋯+(n-1)]+5= 2 · n2 + 5 = 2 − 2n. n2
������ ������ ������ (u)du = ������(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a ������ 另外定积分 a ������(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n ������ a