1108定义域的求法
专题：函数定义域的求法及常见题型-(定稿)
专题一：函数定义域的求法及常见题型一、函数定义域求法（一）常规函数函数解析式确定且已知，求函数定义域。
其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。
例1.求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得或。
③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。
故所求函数的定义域为（－∞，-11）U(-11,-3] U(5,+∞)。
注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不能写成不等式。
例2.求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得③由②解得④由③和④求公共部分，得故函数的定义域为(-4,-π] U(0,π]。
提示点：③和④怎样求公共部分？（二）抽象函数1.有关概念定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围；对应法则：通过“工厂”或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数()y f x=的对应法则“f”。
把函数()y f x=的对应法则“f”看作“工厂”或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相应函数值“y”看作“成品”。
该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。
如（1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域。
可以把f(x)看成工厂的生产加工，f是加工工序，x是原料。
（1）中f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是[0,4]；在f(2x+1)中，初级产品是2x+1，它必须满足[0,4]，由此求出f(2x+1)的原料x满足的条件（即自变量）。
因为(2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原料x满足[0,4]，变成初步产品2x+1,那么初步产品的限制条件就成了[1,9], 所以f(x)的原材料就是 [1,9]，这样好不好理解？值域：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间；显函数：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；隐函数：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；复合函数：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。
(完整版)函数定义域的求法整理(整理详细版)
函数定义域的求法整理一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2由①解得 3x -≤或5x ≥。
③由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x 161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④ 由③和④求公共部分，得π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
函数定义域值域求法全十一种
综上k的取值范围是 。
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：设矩形一边为x，则另一边长为 于是可得矩形面积。
6. 函数单调性法
例9. 求函数 的值域。
解：令
则 在[2，10]上都是增函数
所以 在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：
例10. 求函数 的值域。
解：原函数可化为：
令 ，显然 在 上为无上界的增函数
所以 ， 在 上也为无上界的增函数
所以当x=1时， 有最小值 ，原函数有最大值
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数 的值域。
解：∵
∴
显然函数的值域是：
例2. 求函数 的值域。
解：∵
故函数的值域是：
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数 的值域。
解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时， ，当 时，
故函数的值域是：[4，8]
。
由，定义域为（0， ）。
例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
因为CD=AB=2x，所以 ，所以 ，
故所求函数的定义域为 。
例2求函数 的定义域。
求定义域的一般方法
1求定义域的一般方法①整式：全体实数R；②分式：分母，0次幂：底数；③偶次根式：被开方式，例：；④对数：真数，例： 1-1/x > 02函数的单调性：（1）定义：区间D上任意两个值，若时有，称为D 上增函数；若时有，称为D上减函数。
（一致为增，不同为减）（2）区间D叫函数的单调区间，单调区间定义域；（3）复合函数的单调性：即同增异减；3函数的单调性：（1）定义：区间D上任意两个值，若时有，称为D 上增函数；若时有，称为D上减函数。
（一致为增，不同为减）（2）区间D叫函数的单调区间，单调区间定义域；（3）复合函数的单调性：即同增异减；4指对运算：指数及其运算性质：当n为奇数时，；当n为偶数时，分数指数幂：正分数指数幂：；负分数指数幂：5对数及其运算性质：（1）定义：如果，以10为底叫常用对数，记为lgN，以e=2.7182828…为底叫自然对数，记为lnN（2）性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：，③底的对数等于1：，④积的对数：，商函数的单调性：幂的幂的对数：，方根的对数：对数：，方根的对数，6指数函数和对数函数的图象性质函数指数函数对数函数（）定义（）a>10<a<1 a>1图象0<a<1性质定义域（-∞，+∞）（-∞，+∞）（0，+∞）（0，+∞）值域（0，+∞）（-∞，+∞）单调性在（-∞，+∞）上是增函数在（-∞，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值变化图象定点过定点（0，1）过定点（1，0）图象特征图象在x轴上方图象在y轴右边图象关系的图象与的图象关于直线对称幂的对数：，方根的对数：7等差数列：前n项和与通项的关系：1.定义：。
2.通项公式：（关于n的一次函数），3.前n项和：（1）．（2）. （即S n = An2+Bn）4.等差中项：或8等差数列的主要性质：（1）等差数列，若，则。
三．等比数列：1.定义：；2.通项公式：（其中：首项是，公比是）3.前n项和]：（推导方法：乘公比，错位相减）说明：①；2；3当时为常数列，。
求函数定义域的方法
求函数定义域的方法
函数定义域是指函数可以接受的输入值的集合。
在数学中，函数定义域提供了唯一的映射方式来定义函数，即函数的每一个输入值都有且仅有一个输出值。
大多数函数定义域被表示为实数集，但也可以使用其他类型的集合，如两个实数的整数集和复数集。
如何求函数定义域？
1.先，应确定函数的表达式，以便求出函数的定义域。
2.后，针对表达式中的不同项，设定约束条件，以确定函数定义域范围。
3.下来，针对约束条件，求出函数定义域的边界值。
4.后，将函数定义域的边界值整合在一起，就可以求出函数定义域的范围。
例子一：求f（x）=2x-1的定义域
此函数的限制是所有实数域。
因此，f（x）=2x-1的定义域为(-∞,∞)，也就是所有实数。
例子二：求f（x）=√x的定义域
此函数的限制是x≥0。
因此，f（x）=√x的定义域为[0,+∞），也就是大于等于0的实数。
函数定义域的应用
函数定义域一般用于描述函数的性质，以决定其特定值的行为，并为求解函数方程提供帮助。
它也可以用来确定函数的局部极值，以及函数的极值点和拐点。
总结
函数定义域是指函数可以接受的输入值的集合，定义域范围不同，其可接受的输入值也不尽相同。
求函数定义域的步骤是：1、确定函
数的表达式；2、设定约束条件；3、求出函数的定义域的边界值；4、将函数定义域的边界值整合在一起。
函数定义域一般用于描述函数的性质，并且为求解函数方程提供帮助。
求函数定义域的方法步骤
函数定义域是函数的一个重要属性，它描述了函数自变量的取值范围。
求函数定义域是数学学习中的一项基本技能，也是解决许多数学问题的基础。
下面将详细介绍求函数定义域的方法步骤。
**步骤一：理解函数的形式**首先，我们需要理解函数的表达式，包括函数的形式、变量的取值范围、以及函数中涉及到的其他条件。
这些条件可能包括取绝对值时的正负号、对数函数的真数部分等。
**步骤二：确定变量取值范围**在理解了函数的形式后，我们需要确定各个变量在哪些范围内取值。
例如，对于二次函数y = x2，x 需要大于等于0；对于对数函数，x 需要在其定义域内（即大于0）；对于三角函数，需要考虑周期性以及各次方的取值范围等。
**步骤三：检查其他限制条件**有些函数可能涉及到其他限制条件，例如某些函数可能要求自变量在一定区间内连续，或者某些函数可能涉及到一些特定的运算规则，如除法、积分等。
这些限制条件也需要我们一一检查。
**步骤四：验证对应关系**有些函数可能涉及到对应关系，如反函数、映射等。
这些对应关系需要保证自变量在定义域内时，函数的值能够唯一确定。
**步骤五：整体考虑**在确定了以上所有条件后，我们需要将所有条件整体考虑，看是否存在矛盾。
例如，在解不等式组时，我们需要将所有不等式结合起来考虑，看是否能够构成集合。
**总结**总的来说，求函数定义域需要仔细理解函数的形式、变量的取值范围以及其他限制条件，并整体考虑是否存在矛盾。
掌握了这些方法步骤，我们就可以更好地解决数学问题，更好地理解数学概念和公式。
下面我们通过一个具体的例子来说明这些步骤的应用。
**例题**求函数f(x) = x3 - 3x2 + 2 在区间[-2, 4] 上的定义域。
**步骤应用**1. **理解函数形式**：f(x) = x3 - 3x2 + 2，这是一个三次函数。
2. **确定变量取值范围**：在区间[-2, 4] 上，x 可以取任意实数。
3. **检查其他限制条件**：由于f(x) 在定义域内是连续的，所以无需考虑其他限制条件。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法
1. 通过对方程或函数进行分析和推理，找出可以使方程或函数有意义的值。
注意排除会导致方程或函数无意义的值。
2. 观察函数图像或图表，并确定函数存在的区域。
例如，对于一条直线函数，定义域通常是整个实数集；对于一个分数函数，定义域可能是一个区间。
3. 检查函数是否包含根式表达式，如开平方、开立方等。
对于这些函数，定义域中的值不能导致负数或分母为零。
4. 检查函数是否包含对数表达式，如自然对数、对数函数等。
对于这些函数，定义域中的值不能导致负数或零作为对数的底数。
5. 检查函数是否包含分式表达式，如分式函数。
对于这些函数，定义域中的值不能导致分母为零。
6. 检查函数是否包含指数表达式，如指数函数。
对于这些函数，定义域中的值不能导致底数为零。
7. 检查函数是否包含三角函数，如正弦、余弦等。
对于这些函数，定义域中的值没有限制。
8. 检查函数是否包含其他特殊函数表达式，如反三角函数、双曲函数等。
对于这些函数，定义域中的值有特定限制，如角度范围等。
求函数定义域的方法技巧
求函数定义域的方法技巧求函数定义域的方法技巧函数解析式时1、分式时：分母不为0。
2、根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0。
3、指数时：当指数为0时，底数一定不能为0。
4、根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0。
5、指数函数形式时：底数和指数都含有x，指数底数大于0且不等于1。
6、对数函数形式，自变量只出如今真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出如今底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1。
抽象函数换元法1、给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围。
2、在同在同一个题中x不是同一个x。
3、只要对应关系不变，括号的取值范围不变。
4、求抽象函数的定义域，关键在于求函数的取值范围，及括号的取值范围。
复合函数定义域：理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。
拓展阅读：函数定义域的七种情况 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示;2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考察自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等;4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解，应先由y=f(u)求出u的范围，即g(x)的范围，再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进展分类讨论，假设参数在不同的范围____义域不一样，那么在表达结论时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进展分类讨论，但在表达结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域。
【答题技巧】8种求定义域的方法
【答题技巧】8种求定义域的方法1.根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；2.根据实际问题的要求确定自变量的范围；3.根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；4.复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足g(x)∈M和x∈N的x的集合。
设y=f[g（x）]的定义域为P，则P属于等于N。
定义一：设x、y是两个变量，变量x的变化范围为D，如果对于每一个数x∈D，变量y遵照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域。
定义二：A，B是两个非空数集，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。
记作y=f(x),x∈A.或y=g(t)，t∈A.其中A就叫做定义域。
通常，用字母D表示。
通常定义域是F(X)中x的取值范围。
1、表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；2、表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）；3、表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；4、根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；5、表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）；6、表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1。
[f（x）=logx（x²-1)]。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
定义域的求法
定义域的求法一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
定义域求法
简言之：外函数的定义域就是内函数的值域，求外函数的定义域就是
求内函数的值域
题型一（外定求内定）
• 已知f(x)定义域为[1,4],求f(2x+1)的定义域
题型二 （内定求外定）
• 已知f(2-x)定义域为[0,3]，求f(x)定义域
题型三 （内定求内定）
• 已知f(2x+1)定义域为[-1,5]，求f(x-3)定义 域
复合函数定义域
复合函数定义
• 如果函数y=f(t)定义域为A,函数t=g(x)定 义域为D，值域为C，则当C包含于A时，称 函数y=f(g(x))为f与g在D上的复合函数。
• 注：t叫做中间变量 • t=g(x) 叫做内函数数的定义域 • 2内函数的定义域和值域
定义域的求法
定义域的求法一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
定义域和值域的求法(经典)
运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归 纳如下，供参考。
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例
1.
求函数
y
1 x
的值域。
解：∵ x 0
∴
1 x
0
显然函数的值域是： (,0) (0,)
例 2. 求函数 y 3 x 的值域。 解：∵ x 0
x 0,3 x 3
故函数的值域是： [,3]
2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例 3. 求函数 y x 2 2x 5, x [1,2] 的值域。 解：将函数配方得： y (x 1)2 4 ∵ x [1,2] 由二次函数的性质可知：当 x=1 时， ymin 4 ，当 x 1时，
y max 8
_；函数
3、若函数 f (x 1) 的定义域为 [2，3] ，则函数 f (2x 1) 的定义域是
f
(
1 x
2)
的定义域为
。
；函数
4、 知函数 f (x) 的定义域为 [1, 1] ，且函数 F (x) f (x m) f (x m) 的定义域存在， 求实数 m 的取值范围。
5、若函数 f (x) =
2.已知复合函数 f [gx] 的定义域，求 f (x) 的定义域
方法是：若 f [gx] 的定义域为 x a, b ，则由 a x b 确定 g (x) 的范围即为
f (x) 的定义域。
3.已知复合函数 f [g(x)] 的定义域，求 f [h(x)] 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 f [gx] 定义
二、抽象函数的定义域 1.已知 f (x) 的定义域，求复合函数 f [gx] 的定义域
函数定义域值域求法(全十一种)
高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2由①解得 3x -≤或5x ≥。
③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
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铜都双语学校人本跨界大课堂数学登山型创感学道班级姓名编号 1108 日期: 2015-10-5 课题：函数的概念（3）——复合函数定义域的求法设计者: 高一年级数学组展示课（时段：正课时间： 60 分钟）
学习主题：通过例题的剖析，掌握函数定义域的求法.
二、【定向导学·互动展示·当堂反馈】
课堂元素
自研自探环节合作探究环节
展示提升环节
质疑评价环节
总结归纳环节
自学指导
（内容·学法·时间）
互动策略
（内容·形式·时间）
展示方案
（内容·方式·时间）
随堂笔记
（成果记录·知识生成·同步演练）
例题导析45min 【类型一】由)
(x
f求()
[]xϕf定义域
例1：若已知)
(x
f的定义域为[2,3]，求
)3
(-
x
f的定义域；
解：)
(x
f
定义域为[2,3],
∴使)3-
(x
f有意义的条件是：
3
3
2≤
-
≤x
即6
5≤
≤x
∴)3
(-
x
f的定义域为[5,6].
思考：若令3
x
)
(-
=
x
ϕ，谈谈已知)
(x
f求
()
[]xϕf解题的一般思路是什么
“对子→五人”群
学
A．交换学道，迅速给
出自研等级评定.（书
写工整度，丰满度）
B.在小组长的带领
下：
1.理解例1和例2的
解题过程，明确解题
思路
2.结合例题挑战，自
我挑战的题目。
自我挑战：
已知)2
(+
x
f的定
义域为[0,5]，求函数
)3
4(-
x
f的定义域.
“展示→攻关”团
·抽到任务迅速将组
员聚焦，以数学大组
长为核心，成立“方
案攻关团”
·结合方案要求，交
流思想，快速确定流
程，任务分工，板书
·组长有秩序的安排
组员培辅及预演，做
好展示前最后的准
备，及争做最优大组
预时：10分钟
主题型展示
主题一：
由)
(x
f求()
[]xϕf
重点：解法·思路
①展示区域呈现例题的
规范解答；
②分析例题的解答，总结
思路；
建议：
展示流程：先分析自我探
究中例题，总结这类问题
的求法；
主题二：
由()
[]xϕf求)(x
f
重点：解法·思路
难点：
由()
[]xϕf求()
[]xϕf
①展示区域呈现例题的
规范解答；
②分析例题的解答，总结
思路；
③再现自我挑战解题过
程.
建议：
展示流程：先分析自我探
究中例题，总结这类问题
的求法，再现自我挑战，
总结归纳.
预时：20分钟
【同步演练1】
【同步演练2】
已知函数)1
(2-
x
f的定义域为
[0,1]，求)
(x
f的定义域
.
等级评定：★
【自我挑战答题区】
解：
【类型二】由()
[]xϕf求)(x
f定义域
例2：已知函数)1
(+
x
f的定义域为[1,2],
求)
(x
f的定义域；
解：)1
(+
x
f
的定义域为[1,2],
2
1≤
≤
∴x，
则3
1
2≤
+
≤x
即)
(x
f的定义域为[2,3]
思考：若令1
x
)
(+
=
x
ϕ，谈谈已知()
[]xϕf求
)
(x
f解题的一般思路是什么
预时：15分钟
同类演练15min 自主研读右侧同类演练，关注：
1.明确已知，理清解题思路。
2、由
)
(x
f
求
()
[]xϕf
定义域的方法
3、由
()
[]xϕf
求
)
(x
f
定义域的方法
4、由
()
[]xϕf
求
()
[]xϕf
定义域的方法
尝试自主完成同类演练.
另：每组指派两名代表上大黑板自主板
演.
（10分钟）
反馈型展示
①演练问题大搜索；
②问题纠错后的自主性展示，拓展性展示；
③针对小黑板自主演练的内容，回归纠错，并将同
类演练的答案规范的完成在学道上.
（5分钟）
的定义域
求
的定义域为)1
2(
],
5,0[
)
(+
x
f
x
f
训练课（时段：晚自习 ， 时间： 40分钟）
“三层级巩固达标训练题” 自评： 师评： 基础题：
发展题：
3、已知
)4(2-x f 的定义域为[2,3],求)5(+x f 的定义域.
提高题：
5、已知1)(2++=mx mx x f 的定义域为一切实数，则m 的取值范围.
反思课
1.总结复合函数定义域的求法；
2.把你认为经典的题目整理到你的精题集中。
（建议整理提高题）
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！
的定义域
求的定义域为)(],5,0[)12(.2x f x f +的定义域求的定义域)2(],2,0[)(.1+x f x f 的定义域
求的定义域)2()1()(],1,1[)(.6+++=-x f x f x g x f 的定义域
求的定义域为)(],3,1[)1(.42x f x f -+。