n次方根(教案)
n次方根与分数指数幂 教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
晋城一中（数学）课时教案学年度第一学期主要教学过程设计二次备课教学过程一．n次方根的概念1.n次方根的定义一般地，如果ax n=，那么x叫做a的n次方根.（其中1>n，且*∈Nn）2. n次方根的性质(1)aa nn=）（(1>n，且*∈Nn).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数nanaan n.(3)负数没有偶次方根.(4)0的任何次方根都是0，记作00=n3. 根式的概念式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.例1 求下列各式的值：（1）33)8(-（2）2)10(-（3）44)3(π-（4）2)(ba-解：（1）8)8(33-=-（2）10)10(2=-（3）33)3(44-=-=-πππ（4）⎩⎨⎧<-≥-=-=-baabbabababa,,)(2二、分数指数幂的定义1.规定正数的正分数指数幂的意义是：n mnmaa=(0>a，m，*∈Nn，且1>n)；2.规定正数的负分数指数幂的意义是：n mnmnmaaa11==-(0>a，m，*∈Nn，且1>n)；仿照开立方和开平方，提出开n次方根的概念。
发展学生数学推理能力；通过根式的求值，培养学生分类思想，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。
教学过程主要教学过程设计二次备课3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.三、有理数指数幂的运算性质(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①s rsr aaa+=(0>a，r，Qs∈)；②rssr aa=)((0>a，r，Qs∈)；③rrr baab=)((0>a，r，Qs∈).(2)拓展：s rsraaa-=(0>a，r，Qs∈).例2 求值：（1）328；（2）43)8116(-.解：（1）42)2(8232332===；（2）827)23()32(])32[()8116(3343443====---例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中0>a).（1）322aa⋅；（2）3aa⋅例4 计算下式各式(式中字母均是正数).2115113366221(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（）；318842()m n-（）；323243(.a a a÷（）-)211115326236=[2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-（1）原式=4=4ab a3188842=()()m n-（）原式2233==.mm nn-2313223=()a a a-÷（）原式21313222=a a---166==a a a a--通过特殊问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。
4.1.1+n次方根与分数指数幂教学设计-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（一）课时教学内容：n次方根的概念和分数指数幂的概念（二）课时教学目标：1.通过具体的实例，与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂和根式的概念及相互关系.2.掌握分数指数和根式之间的相互转化.3.培养学生观察分析，抽象的能力；通过运算训练，养成学生一丝不苟的学习习惯.（三）教学重点与难点1.教学重点：掌握并运用分数指数幂的运算2.教学难点：分数指数幂的概念（四）教学过程设计【问题1】复习回顾，回答下列问题1.什么是平方根？什么是立方根？2.一个数的平方根有几个？立方根呢？师生活动：1.学生思考回顾之前所学的知识，回顾平方根和立方根的概念；2.教师归纳总结以上知识，带领学生回顾.为了简洁明了地引出n次方根的概念，我们需要举几个例子来说明.设计意图：回顾平方根和立方根的概念，从而引出n次方根的概念.追问：那你觉得n次方根的概念应该是什么呢？该如何表示？师生活动：1.学生根据已知的平方根和立方根的概念，猜测n次方根的概念；2.教师总结n次方根的概念，并指明正数与负数的区别，以及n的范围.设计意图：了解n次方根的概念和表示.【问题2】阅读课本104页，思考下列问题1.a的n次方根中n的奇偶与a的正负之间有什么关系？例如，当a是正数，n 是奇数时，a的n次方根是正数还是负数？2.负数有偶次方根吗？为什么？师生活动：1.学生根据课本内容，思考问题，自己寻找原因，可以小组讨论；2.教师找学生回答问题，并结合学生所答总结知识.给出根式，根指数和被开方数的概念.探究：n n a表示a n的n次方根，n n a=a一定成立吗？如果不一定成立，那么n na等于什么？师生活动：教师引导学生，结合刚刚思考的问题回答探究问题.当a为负数，n为偶数时，a n为偶数，而此时不仅仅等于a.设计意图：得到a 的n 次方根在不同条件的时的公式.【问题3】判断以下问题是否正确？为什么？ 1.2的平方根是2； 2.416等于±2； 3.2不是2的平方根，2±是2的平方根； 4.24-）（的平方根是±2．师生活动：1.教师引导学生分析1和2:1:错误，颠倒了，应该“是2的平方根”；2:错误，是指16的正的4次方根，所以；2.学生根据前两道题的思路，自行解决3和4题，教师给出答案.【问题4】计算课本105页例1师生活动：学生小组讨论进行计算，教师找一组学生回答问题，并根据回答内容总结分析给出答案.设计意图：巩固以上所学知识.【问题5】思考问题根据n 次方根的定义和数的运算，我们知道）（0)(a 5102552510>===a a a a , )0()(4123443412>===a a a a a , 这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.思考，如果根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否也表示成分数指数幂的形式？师生活动：1.学生小组讨论，说出自己的想法和理解；2.教师点评小组讨论结果，给出最终结果，引导学生深入理解和思考问题，从而给出分数指数幂的概念和表示方法.并把整数指数幂的运算性质拓展到有理数. 设计意图：引出分数指数幂的概念，将整指数幂的运算性质拓展到有理数.【问题6】计算课本106页例2和例3师生活动：学生自己进行计算，并小组讨论正确答案；教师找学生回答问题，让学生说出思考计算过程，并针对不会的问题进行讲解.设计意图：让学生加深理解分数指数幂的运算性质.【课后作业】课本109页第1、2题设计意图：第1、2题练习所学的n 次方根和分数指数幂的概念和表示方法.（五）目标检测设计目标检测题：1.用根式的形式表示下列各式（a>0）：（1）32a ； （2）32-a检测目标：根式与n 次方根之间的转化.2.用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）)0(32>x x ; (2))0(56>p p p检测目标：分数指数幂与n 次方根之间的转化关系.3.计算下列各式：（1）63125.1332⨯⨯; （2）512131-a a a检测目标：分数指数幂的运算性质.。
1对4 新课教案-数学N次方根
10若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（）
A，1B， －1C，0D，±1,0
11，若ｘ使（ｘ－1）2＝4成立，则ｘ的值是（）
A，3B，－1C，3或－1D，±2
12．如果 是负数，那么 的平方根是（）．
A． B． C． D．
13．使得 有意义的 有（）．
A． 个B．1个C．无数个D．以上都不对
教师
学生
上课时间
学科
数学
年级
课题名称
N次方根
教学目标
1.巩固平方根与立方根的运算和意义
2.掌握N次方根的表示与运算
3.N次方根的正反之分的区分
重点难点
N次方根分正反讨论与混合运算
N次方根
1、课前回顾
1、立方根的概念：
如果一个数的立方等于 ，这个数叫做 的立方根（也叫做三次方根），即如果 ，那么 叫做 的_______________；数a的立方根用符号“_________”表示，读作“________________”.
例题讲解：
例题1：
（1） ， =
如果 =128，那么x=
（2） =， =
如果 ，那么y=
思考：
（1）、当根指数n为奇数时，n次方根应该如何表示？
（2）、是不是任何一个数都有奇次方根？
例题2：
（1） ，
如果 64，那么x=
（2） , ;
如果 那么y=
思考：
（1）、当根指数n为偶数时，n次方根应该如何表示？
2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（）
A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、不能确定
3、一个正方形的边长为a，面积为b，则（）
4.1.1n次方根教案
4.1.1n次方根教案
教授n次方根是数学教学中的一个重要内容，它涉及到数学中
的指数和根号运算，对学生来说可能是一个较为新颖的概念。
设计
一份教案来教授n次方根需要考虑以下几个方面：
1. 知识背景，首先，教案应该包括n次方根的定义，例如如何
理解n次方根，以及它与指数的关系。
同时，也要讲解n次方根的
性质，如n次方根的运算规律和特点。
2. 教学目标，明确教学目标是设计教案的关键。
教师需要清楚
地确定学生需要达到的认知目标、能力目标和情感目标，例如学生
应该能够理解n次方根的概念，掌握n次方根的计算方法，以及能
够运用n次方根解决实际问题等。
3. 教学内容和方法，教案应该包括教学内容的安排和教学方法
的选择。
教师可以通过具体的例题引导学生理解n次方根的计算方法，也可以通过实际问题的讨论来培养学生的问题解决能力。
4. 学习过程，设计学习过程是教案的核心。
教师可以通过导入、提出问题、讲解、示范、练习和总结等环节来引导学生逐步掌握n
次方根的相关知识和技能。
5. 教学评价，教案还应该包括教学评价的内容，包括如何评价学生对n次方根的掌握程度，以及如何帮助学生发现和解决问题。
综上所述，设计一份教学n次方根的教案需要考虑知识背景、教学目标、教学内容和方法、学习过程以及教学评价等方面，以帮助学生全面地理解和掌握n次方根的相关知识和技能。
根式教案
第一课时根式教学目标：1、知识与技能理解n次方根概念及n次方根的性质.2、过程与方法会求或化简根指数为正数时的根式.3、情感态度与价值观通过具体的情景，引发学生思考，激发求知欲，让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感.重点难点：重点：利用n次根式的性质化简n次根式.难点：n次根式的性质及应用.教学过程：一、课题引入多媒体展示课本问题1、问题2，展示问题情境，学生尝试求解，回答问题.二、n次根式概念的引出提出3个思考：思考1: 4的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2：-27的立方根是什么？任何一个数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3：一般地，常实数a的平方根、立方根是什么概念？学生回答思考1、思考2的问题，并在教师的指导下回答思考3.在以上3个思考基础上延伸提出:如果4x a=，5x a=，6x a=，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？三、新课讲解类比以上x的称呼，归纳出n次方根的概念.1、n次根式：一般地，若n x a=，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且*n∈ .根式：我们把式子( n>1,且n∈ )叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有几个？当n为奇数时呢？n为奇数，a的n次方根有一个，为a为正数n为偶数，a的nn为奇数，a的n次方根有一个，为a为负数n为偶数，a的n次方根不存在.零的n次方根为零，记为=举例：16的4次方根为±2，-27的5次方根为，而-27的4次方根不存在。
小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定要先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况。
2、根式的性质○1、3、5、4分别等于什么？一般地，n等于什么？归纳可得n a=○2于什么？当n为奇数时，a=当n为偶数时，a=小结：当n对值算具体的值，这样就避免出现错误。
【新教材教案】4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第一册
【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。
有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。
课程目标1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。
数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。
重点：（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的理解；（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n 次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．n 次方根2．根式(1)叫做根式，这里n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *)23111,(),(),222111,,,248600010000100000573057305730111(),(),()222①(na )n＝ a . ②n a n ＝,,.a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a ras＝ar＋s(a＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s＝rs a (a ＞0，r ，s ∈Q)． (3)(ab )r ＝r r a b (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简(求值) 例1 求下列各式的值 【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简√a n n时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(√a n)n 时,(1)(2)(3)(4)关键是明确√a n 是否有意义,只要√a n 有意义,则(√a n)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简(1)n (x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【答案】见解析【解析】 (1)∵x ＜π，∴x －π＜0.当n 为偶数时，n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π. 综上可知，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *. (2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a . 题型二 分数指数幂的简单计算问题 例2 求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二 1.计算223338(2)=2323224⨯===334()44162()()813-⨯-=3227()38-==(1)(12527)-23; (2)0.008-23; (3)(812 401)-34; (4)(2a+1)0; (5)[56-(35)-1]-1. 【答案】见解析 【解析】(1)(12527)-23=(5333)-23=5-23-2=3252=925. (2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=(15)-2=52=25.(3)(812 401)-34=(3474)-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0={1,a ≠-12,无意义,a =-12.(5)[56-(35)-1]-1=(56-53)-1=(-56)-1=-65.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）【答案】见解析 【解析】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)【答案】C【解析】 －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；2223a a a ⋅=⋅28233aa+===421332()a a==x －34＝(x －3)14＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；x 1-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x —13＝31x (x ≠0)．题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-13−(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380. 解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练四1.计算:(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;2 .化简:√a 72√a -33÷√√a 3153√√a 3a>0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+14×(49)12−(1100)12=1+16−110=1615.(2)原式=√a 72·a -323÷√a -83·a 153÷√a -32·a -123=√a 23÷√a 73÷√a -23=a 23÷(a 73)12÷a -23=a 23÷a 76÷a -23=a 23-76+23=a 16=√a 6.五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.。
(完整版)n次方根(教案)
12.4 n次方根教学目标1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念；2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想；3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.教学重点1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想；2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.教学难点理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”.教学过程设计一、问题导入1．问题：如果一个数的n次方（其中n是大于1的整数）等于a，你能否类比平方根和立方根的意义说明这个数是多少？2．分析：设这个数为x，则可以建立方程x n=a，x叫做a的n次方根.3．小结：（1）如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根；（2）求一个数的n次方根的运算叫做开n次方.二、问题探索1．求x：（1）x5=32，x= ，x5=-32，x= .（2）x4=16，x= ，x4=-16，x= .（3）x5=0，x= ，x4=0，x= .2．思考：观察以上运算结果，类比平方根a与立方根3a，你能否说明当根指数n取不同的值时，a的n次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？3．知识归纳：（1）当n为偶数时，a的n次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a的偶次方根；正数a有2个互为相反数的偶次方根，记作“±n a”；其中n a为a 的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a 叫被开方数，n 为根指数；读作“n 次根号a ”.0的偶次方根等于0，n 0±=0；负数没有偶次方根（即当a <0时，n a 无意义）.（2） 当n 为奇数时，a 的n 次方根有与立方根类似的性质，我们称之为a 的奇次方根；记作： n a ”，a 叫被开方数，n 为根指数；“n a ”读作“n 次根号a ”.任意实数a 的奇次方根都存在，并且与a 有相同的正负性. 4．例题分析： 1．（1） 求-24332的5次方根； （2） 求（-8）2的6次方根.解答：（1） 3232243325555-=-=-； （2） 22)8(6662±=±=-±. 【说明】（1）正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个；（2）求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数分解质因数.2．用计算器，求近似值（保留三位小数）： （1） 48600； （2） 568.15-. 解：（1）48600≈9.630.（2）568.15-≈-1.734.【说明】注意精确度的意义，最后一位要四舍五入.三、练习反馈1．计算：3216；481；5243-；6281⎪⎭⎫⎝⎛-.2．用计算器，求下列各数的近似值（结果保留三位小数）：47859；51568-；0.3456的6次方根.四．拓展性问题1．若n为自然数，n2n2a=-a，a的取值范围是什么？2．5的n次方根是多少？五、课堂小结请填表：六、作业布置1 . 课本和练习册上的练习2 . 复习所学的知识3 . 预习新课教学设计说明1．n次方根的概念是平方根与立方根概念的拓展，类比平方根和立方根建立n次方根的概念既有助于对概念及其性质的理解，又能够在类比过程中加深对平方根与立方根概念的理解.通过类比得到数学概念还有利于学生数学知识和数学思维的建构.2．建立n次方根概念时，因为偶次方根与奇次方根的意义有所不同，因此可以类比平方根与立方根把n次方根分为偶次方根和奇次方根，并在此过程中渗透分类讨论数学思想.3．本节课的难点是：正数有两个相反的偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根，学生在理解时已经产生了困难，在解决问题时往往会遗忘对各类数的偶次方根的不同处理方法.要突破这个难点，对概念的深刻理解是关键，因此在教学时可以多花一点时间在概念的建立和理解上.当然，偶次方根与奇次方根的同步教学也可以让学生在对比中更易于理解并掌握两个概念.。
第1课时 n次方根
6 1 2 3 4 5
7 8 9 10 11 12 13 14
31
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
7．当 2－x有意义时，化简 x2－4x＋4－ x2－6x＋9的结果是________．
解析：因为 2－x有意义，所以 2－x≥0， 即 x≤2， 所以原式＝ （x－2）2－ （x－3）2 ＝(2－x)－(3－x)＝－1. 答案：－1
12
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
反思感悟 判断关于n次方根的结论应关注两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
13
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
题型二 利用根式的性质化简与求值
例 1 (链接教材 P105 例 1)化简：
9 10 11 12 13 14
33
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
A．5－2a
B．2a－5
C．1
D．－1
解析：C 原式＝|2－a|＋|3－a|，因为 2<a<3，所以原式＝a－2＋3－a＝ 1.
4 1 2 3
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
28
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
5．(多选题)a 是实数，则下列式子中有意义的是( ABC )
C．4 256＝±4 D． （x＋y）2＝|x＋y|
7
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
解析：BD 负数的 3 次方根是一个负数，3 －27＝－3.故 A 错误；16 的 4 次方根有两个，为±2，故 B 正确；4 256＝4，故 C 错误； （x＋y）2是非 负数，所以 （x＋y）2＝|x＋y|，故 D 正确．
《根式》的教案
《根式》的教案以下是关于《根式》的教案，希望内容对您有帮助，感谢您得阅读。
《根式》的教案华南师范大学曾春燕一．教学目标：1 、理解N 次方根的概念，学会用符号表示一个数的N 次方根。
2 、理解一个数的奇次方根和偶次方根的性质。
3 、会求一些特殊数的N 次方根。
4 、培养学生的逻辑推理能力和归纳总结的能力。
5 、通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯。
6 、让学生体验数学的简洁美和统一美。
二．重点、难点1 、教学重点：一个数的N 次方根的性质和N 次方根的概念。
2 、教学难点：区别偶次方根和奇次方根的性质。
三．学法与教具·1 ．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2 ．教具：多媒体计算机四、教学过程：1 ）引入：教师提问：什么是平方根？什么是立方根？同学们，你们可以分别举一个平方根和立方根的例子吗？学生回答：例如 3 是 9 的平方根5 是 125 的立方根教师：这位同学答得很好！＝9 ，所以我们可以说 3 是 9 的平方根。
＝ 125 ，所以我们可以说 5 是 125 的立方根。
因此，我们可以得到你们在初中的时候学过的平方根和立方根的定义：如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做a 的立方根.教师：那么同学们让你们做一回数学家，猜想一下下面的横线上该填的是什么名称。
若＝16 ，则4 是16 的平方根；若＝27 ，则3 是27 的立方根；若24=16 ，则2 是16 的；若35=243 ，则3 是243 的。
·从学生学过的初中知识来引入，既起到复习旧知识的作用，又便于学生作比较归纳。
（幻灯片展示）吸引学生的注意力（幻灯片展示）有利于培养学生的归纳类比能力教师：一般地，如果一个数的 n （n>1 ，n ∈N* ）次方等于 a ，那么这个数又叫做什么呢？（叫做a 的n 次方根），这是今天我们要学习的内容了。
高中数学人教A版 必修1《 4.1.1 n次方根与分数指数幂》教案 Word
4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计1．掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．教学重难点【教学重点】理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)【教学难点】能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)课前准备引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础．二、教学过程：（一）自主预习——探新知：问题导学预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n次方根是怎样定义的？2．根式的定义是什么？它有哪些性质？3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？（二）创设情景，揭示课题（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，类似的，（±2）4＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？给出定义．（3）当n是奇数时，a的n n是偶数时，若a>0，则a的n次方根为若a=0，则a的n次方根为0；若a<0，则a的n次方根不存在．即：负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.,1)n N n ∈>叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （4）一起看354分别等于什么？一般地n等于什么？n a =由n 次方根的意义，可得 ，换一下呢？n na 等于什么？当na =； 当n||a =，然后对a 的正负分类考虑，以夏天、冬天穿衣服为例子帮助记忆。
n次方根优质课教案
n次方根【教学目标】1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念；2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想；3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根。
【教学重难点】1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想；2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根。
3．理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”。
【教学过程】一、问题导入1．问题：如果一个数的n次方（其中n是大于1的整数）等于a，你能否类比平方根和立方根的意义说明这个数是多少？2．分析：设这个数为x，则可以建立方程xn=a，x叫做a的n次方根。
3．小结：（1）如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根；（2）求一个数的n次方根的运算叫做开n次方。
二、问题探索1．求x：（1）x5=32，x=______，x5=-32，x=______。
（2）x4=16，x=______，x4=-16，x=______。
（3）x5=0，x=______，x4=0，x=______。
2．思考：观察以上运算结果，类比平方根a与立方根3a，你能否说明当根指数n取不同的值时，a 的n 次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？3．知识归纳：（1）当n 为偶数时，a 的n 次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a 的偶次方根； 正数a 有2个互为相反数的偶次方根，记作“±n a ”；其中n a 为a 的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a 叫被开方数，n 为根指数；读作“n 次根号a ”。
0的偶次方根等于0，n 0±=0；负数没有偶次方根（即当a<0时，n a 无意义）。
高中数学n次根式教案
高中数学n次根式教案
主题：n次根式
目标：
1. 了解n次根式的概念；
2. 学会计算n次根式；
3. 能够应用n次根式解决实际问题。
1. 引入（5分钟）
教师向学生介绍n次根式的概念，说明n次根式是一种数学运算，表示对一个数的n次方根的运算。
例如，开方就是2次根式，即平方根；而开立方根则是3次根式等。
2. 讲解（15分钟）
教师讲解如何计算n次根式。
要求学生先化简根式，然后找到根号下的n次方的值。
举例说明如何计算不同次数的根式，如二次根式、三次根式等。
3. 练习（20分钟）
教师给学生一些练习题，让他们独立计算不同次数的根式。
学生可选择用手算或计算器来计算。
4. 应用（10分钟）
教师给学生提供一些实际问题，要求学生用n次根式解决问题。
例如，一个三角形的边长是27，求其边长平方和的平方根。
5. 总结（5分钟）
教师总结本节课的内容，强调学生要掌握计算n次根式的方法和技巧，并能够应用到实际问题中。
6. 作业（5分钟）
布置作业，要求学生练习计算n次根式，并解决一些实际问题，以加深对n次根式的理解和掌握。
通过本节课的学习，学生将会对n次根式有更深入的理解和掌握，能够熟练计算各种次数的根式，并能够应用到实际问题中。
n次根式教学设计
n次根式教学设计一、教学目标1.理解n次方根的概念.2.掌握根式的性质.3.能利用根式的性质对根式进行运算.二、教学重难点重点：n次方根概念的理解；难点：n次方根概念的理解．三、教学过程（一）复习引入初中如何定义平方根和立方根的？类似的，归纳：1．n次方根：一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*（二）概念理解试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.填空:(1)25的平方根等于________________ (2)27的立方根等于_________________(3)-32的五次方根等于______________ (4)16的四次方根等于________________(5)a6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于_________________思考：一个数的n次方根有多少个？归纳：即：若x n=a,则奇次方根:正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零.归纳：即：若x n=a,则偶次方根：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零.2．根式(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（三）例题分析例1：1.的运算结果是（）A.2B.C.D.例2：计算下列各式的值.例3：计算下列各式的值公式2：当n为奇数时，当n为偶数时，根式的运算性质（1）（2）当n为奇数时，当n为偶数时，正确区分和：（1）已暗含有意义，根据n的奇偶性可知a的取值范围；（2）中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性.例4：利用根式的性质化简求值（1）（2）（3）（4）例5：若，则实数a的取值范围是.练习：若，则实数a的取值范围是.（四）、课堂小结我们用类比的方法研究了：（1）n次方根的定义（2）n次方根的性质。
21-22版：4.1 第一课时 n次方根（创新设计）
第四章
4.1 指 数 第一课时 n次方根
课标要求
1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简求值.
素养要求
理解n次方根及n次根式的概念，正确运用根式运算性质化简求值，发 展数学抽象及数学运算素养.
内
课前预习
容 索
课堂互动
引
分层训练
1
课前预习
索引
思维升华
对于n a，当 n 为偶数时，要注意两点：(1)只有 a≥0 才有意义；(2)只要n a有意 义，n a必不为负.
索引
【训练 1】 若 a2－2a＋1＝a－1，求 a 的取值范围. 解 ∵ a2－2a＋1＝|a－1|＝a－1， ∴a－1≥0，∴a≥1.即a的取值范围是[1，＋∞).
索引
索引
三、解答题 9.设 f(x)＝ x2－4，若 0<a≤1，求 fa＋1a.
解 fa＋1a＝ a＋1a2－4＝ a2＋a12－2＝ 因为 0<a≤1，所以 a≤1a，故 fa＋1a＝1a－a.
a－1a2＝a－1a，
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
【例 1】 求使等式 （a－3）（a2－9）＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解 （a－3）（a2－9）＝ （a－3）2（a＋3）＝|a－3| a＋3，
要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立， 需aa－＋33≤≥00，，解得 a∈[－3，3]. 即实数 a 的取值范围是[－3，3].
知识探究
自主梳理
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1.n次方根，n次根式
(1)a的n次方根的定义 一般地，如果____x_n＝__a___，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
n次根式的教案最新8篇
n次根式的教案最新8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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沪教版(五四学制)七年级数学下册教案：12.2 n次方根
课题n次方根教学目标1.理解n次方根、开n次平方运算、被开方数、根指数的概念和意义;2.掌握“一个数的偶次方根和奇次方根”的区别;3.掌握n次方根的符号表示方法.重点、难点重点：n次方根的概念，求一个数的n次方和n次方根的互逆运算；难点：根据n的奇偶性对n次方根的影响，用符号正确表示不同实数的n次方根.教学内容一、【课前引导】1、求下列各式的值:16的平方根是，16的平方根是。
课前练习二2、平方根的特征：正数有个平方根，这两个平方根是；负数有个平方根；零的平方根是。
3、立方根的特征：正数有个的立方根；负数有个的立方根；零的立方根是。
1.正数有一个正的奇次方根，负数也有一个负的奇次方根，零的奇次方根是零。
正数有两个偶次方根，它们互为相反数；负数没有偶次方根，零的偶次方根是零。
2. 实数a 的奇次方根有且只有一个，表示为n a 。
其中被开方数a 是任意一个实数，根指数n 是大于1的奇数。
正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，表示为±n a 。
其中被开方数a >0，根指数n 是正偶数（当n=2时，在±n a 中省略n ）。
负数的偶次方根不存在。
零的n 次方根等于零，表示为00=n 。
本课小结1. n 次方根；如果一个数（x ）的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数（x ）叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，a 的n 次方根表示为n a ；当n 为偶数时，正数a 的n 次方根表示为±n a 。
2. 开方：求一个数a 的n 次方根的运算叫做开才n 次方，简称开方。
3. n 次方根的特征：实数a 的奇次方根有且只有一个。
正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数。
负数的偶次方根不存在。
零的n 次方根等于零。
新课探索三⑴求24332-的5次方根； ⑵求1024的10次方根； ⑶求2)8(-的6次方根。
课内练习一1． 求下列各数的四次方根：⑴ 161； ⑵ 81； ⑶ 1； ⑷ 0.课内练习二2． 求下列各数的五次方根：⑴ 321； ⑵ -32； ⑶ -1； ⑷ 0.课内练习三3． 求值：⑴ 4625； ⑵ 41615； ⑶62)81(-. 课内练习四4． 用计算器，求近似值(保留三位小数):⑴ 41000； ⑵5640-；⑶6518-课内练习五5.用计算器，求近似值(保留三位小数):⑴5532-；1. 求值：2. 下列说法中，正确的是（ ）（A ）1的任何次方根都是1；（B ）0的任何次方根都是0；（C ）负数没有方根；（D ）正数的方根互为相反数。
高一数学 根式教案必修一
n次方根的性质的理解
1.问题：次方根有哪些性质
2.形式结论：指出 的意义。
让学生答复 的意义，并计算 .
学生计算并考虑讨论。
分析整理并形成结论
n次方根理解的深化
1.比较 与 的区别与联络。
2.较复杂根式的计算。
教师提问题并通过实例引导学生总结归纳。
学生分组讨论形成结论。
n次根式的性质应用
城东蜊市阳光实验学校高一数学必修1根式
教学目的
知识与技能
理解n次方根概念及n次方根的性质。
过程与方法
会求或者者化简根指数为正整数的根式。
情感，态度与价值观
通过详细的情景，引发学生考虑，激发求知欲，让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感。
重点难点
重点：利用n次根式的性质化简n次根式。
(1).定义〔2〕性质〔3〕应用举例
练习
3.小结
4.布置作业
教学反思
难点：n次根式的性质及应用.教法学法：来自论研究教学用具：多媒体
教学过程
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
课题引入
多媒体展示问题情境；
提出问题
学生尝试答复以下问题
n次方根的定义和引用
1.计算 =-----； =-----； =----。 =----； =------； =-----。
计算算式。根据计算结果将平方根，立方根概念拓展。
计算各式公式
巡视学生做题，指出本卷须知。
学生动手做题，并总结求解步骤。
归纳小结
1.知识方面：n次方根的概念及n次方根的性质。
2.方法：化简求值借助分类讨论思想。
让学生总结本节内容，对知识方法进展完善。
人教A版高中数学必修第一册《n次方根与分数指数幂》教学案设计
第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计一、教学目标：1. 理解n次方根、根式以及分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简与求值；3. 掌握并运用分数指数幂的运算性质。
二、教学重难点：重点：理解根式和分数指数幂的概念；掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．三、教学过程：（一）复习导入回顾初中学过的知识：什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?类比归纳出n次方根的概念（二）探究新知探究一：n次方根的概念一般地，如果x n=a，则n叫做a的n次方根，其中n﹥1，且nϵN*.思考：n的取值会影响n次方根的值吗?类比平方根和立方根：例如：①x2=81； x2=-64；x2=0. ②x3=8；x3=-27；x3=0.学生归纳出结果：当n为偶数时，正数a的n次方根有2个，且互为相反数，其中，正的n n 次方根用表示；当n 为奇数时，a 的n 次方根有1表示.0的n 次方根为0,即n 0=0.教师总结：一个数到底有没有n 次方根，有几个n 次方根，首先要考虑被开方数的正负，还要分清n 为奇数还是偶数两种情况.探究二：根式的概念(1)n 叫做根指数，a 叫做被开方数．规定n ＞1，且n ∈N *.那么，根式有怎样的性质呢？（2）探究根式的性质：①n n a )(； ②n n a例：55)3(-；55)3(；44)3(根据n 次方根的意义可得n n a )(有意义时，n a =一定成立.思考：n na =a 一定成立吗？? 例：447；44)7(-；557；55)7(-. 教师引导学生讨论并总结:n a =； n {,0;,<0.a a a a a ≥-==牛刀小试:（1）338-）（ （2）44-3）（π (3)2)10-（ （4）66-a ）（b探究三：分数指数幂的意义（1）根式与分数指数幂的互化观察几个式子，总结根式与分数指数幂互化的规律.1025a a =（a ﹥0）,842a a=（a﹥0）,1234a a=（a﹥0）,教师引导学生归纳:根式与分数指数幂互化的规律.引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?（2）分数指数幂的意义①正分数指数幂的意义：amn＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)②负分数指数幂的意义：amn＝1amn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)③0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义.探究四：有理数指数幂的运算性质由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即：1(>0,,);2()(>0,,);3()(>0,>0,).r s r sr s rsr r ra a a a r s Qa a a r s Qab a b a b r Q+=∈=∈=∈（）（）（）（三）随堂练习1.求值2.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）328)1(438116)2(-⎪⎭⎫⎝⎛.)2(;)1(3322a a a a •3.计算下列各式（式中字母均为正数)：.))(3(;))(2();3()6)(2)(1(4233288341656131212132a a a n m b a b a b a ÷--÷--（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容? 板书设计 n 次方根与分数指数幂1. n 次方根2.根式的概念3.分数指数幂（1）根式与分数指数幂的互化（2）分数指数幂的意义4.有理指数幂的运算性质.。
人教版高中数学必修第一册根式教案
根式●教学目标(一)教学知识点1.n次方根定义.2.根式概念.(二)能力训练要求1.理解n次方根定义.2.理解根式的概念.3.正确运用根式运算性质化简、求值.4.了解分类讨论思想在解题中的应用.(三)德育渗透目标1.掌握由特殊到一般的归纳方法.2.培养学生认识、接受新事物的能力.●教学重点根式概念.●教学难点根式概念的理解.●教学方法学导式本节是指数与指数函数的入门课，概念性较强，为突破根式概念理解这一教学难点，关键在于使学生理解n次方根定义，故结合学生在初中已经熟悉的平方根、立方根的概念，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根定义，使学生易于接受，并且引导学生主动参与了教学活动.在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解.●教具准备幻灯片四张第一张：整数指数幂概念、运算性质(记作§2.5.1 A)第二张：n次方根举例(记作§2.5.1 B)第三张：根式性质推导(记作§2.5.1 C)第四张：本节例题(记作§2.5.1 D)●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质.现在，我们一起来看屏幕.(打出幻灯片§2.5.1 A)［师］因为a m ÷a n 可看作a m ·a －n ，所以a m ÷a n ＝am －n 可以归入性质(1)；又因为(b a )n 可看作a n ·b -n ，所以（b a ）n ＝n n b a 可以归入性质(3).我们复习这部分内容是为下一节学习分数指数幂打基础. ［师］另外，我们在初中还学习了平方根、立方根这两个概念.(打出幻灯片§2.5.1 B)［师］我们一起来看，若22＝4，则2叫4的平方根；若23＝8，2叫8的立方根；若25＝32，则2叫32的5次方根，类似地，若2n ＝a ，则2叫a 的n 次方根.这样，我们可以给出n 次方根的定义.Ⅱ.讲授新课1.n 次方根的定义(板书)若x n ＝a （n ＞1且n ∈N *），则x 叫a 的n 次方根.［师］n 次方根的定义给出了，我们考虑这样一个问题，x 如何用a 表示呢?(提示学生看幻灯片§2.5.1 B ，并叫学生回答).［生］正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数.［师］跟平方根一样，偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；跟立方根一样，奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数.这样，我们便可得到n 次方根的性质2.n 次方根的性质(板书)x ＝⎪⎩⎪⎨⎧=±+=kn a k n a n n 2,12,（k ∈N *） 其中n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数.［师］请大家注意，根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质.3.根式的运算性质(板书) ①（n a ）n＝a ②n n a ＝⎩⎨⎧.|,|;,为偶数为奇数n a n a ［师］关于性质的推导，我们一起来看屏幕：(打出幻灯片§2.5.1 C)[师］性质②有一定变化，即对于n应分奇数与偶数两种情况来讨论，大家应重点掌握，接下来，我们通过例题来熟悉根式运算性质的应用.(打出幻灯片§2.5.1 D）［例1］求下列各式的值(1)33)8(-（2）2)(-10(3)44)(ba-（a＞b）-（4）2)3(π解：(1) 33)8(-＝－8(2) 2)(-＝｜－10｜10(3) 44)3(π-＝｜3－π｜＝π－3(4) 2)a-＝｜a－b｜＝a－b（a＞b）(b［师］根指数n为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意.为使大家进一步熟悉根式性质的运用，我们来做练习题.Ⅲ.课堂练习 (1)532- （2）4)3(-（3）2)32(- （4）625-解：(1) 532-＝55)2(--＝－2 (2) 4)3(-＝22)3(-＝（－3）2＝9 (3) 2)32(-＝｜2－3｜＝3－2 (4) 625-＝22)32()3(322)2(-=+⋅-2 ＝｜2－3｜＝3－2Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题.Ⅴ.课后作业（一）求下列各式的值： (1)327- （2）2)4(-π（3）6a （4）2)31(xx -- 解：（1）327-＝33)3(-＝－3 (2) 2)4(-π＝｜π－4｜＝4－π (3) 6a ＝23)(a ＝｜a 3｜ (4) 2)31(x x --＝｜x x --31｜＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><--<≤--31,3131,31x x x x x x x 或（二）1.预习内容：课本P71～P72.2.预习提纲：(1)根式与分数指数幂有何关系?(2)整数指数幂运算性质推广后有何变化?●板书设计。
1.1 n次方根与分数指数幂 课时一等奖创新教学设计
1.1 n次方根与分数指数幂课时一等奖创新教学设计n次方根与分数指数幂教学设计（一）教学内容n次方根与分数指数幂（二）教学目标1．经历n次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质，提升数学抽象核心素养．2．了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化．3．理解有理数指数幂的意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．（三）教学重点、难点教学重点：根式与有理数指数幂的意义及其运算性质．教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质．（四）教学过程设计问题1：请同学们阅读教科书第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：（1）本章要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？（2）如何研究这些函数？研究这些函数的哪些方面？（3）这些函数可以解决哪些实际问题？师生活动：学生独立阅读教科书内容，回答上述问题，教师予以补充．（1）指数函数与对数函数，并学会利用它们解决实际问题．（2）类比幂函数的学习，根据研究一类函数的过程和方法，对指数函数和对数函数按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．需要研究它们的概念、图象、性质．（3）比如细胞分裂的数量随时间的变化的规律是成指数增长的；未受控制的传染病在大量人群中传播的初期都是成指数增长的；利用放射性物质的衰减测定遗址及文物的年代；地震的强度单位里氏震级是对地震时释放的能量用对数进行换算的．举例时尽量突出指数增长的爆炸性特点，对数增长的缓慢性特点．设计意图：明确本章研究的内容、方法、实际应用背景，为本章的学习指明方向．问题2：为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义及其运算性质．根据整数指数幂的意义和运算性质，你觉得指数的范围还能进一步拓展吗？师生活动：学生回答，教师进行归纳．正整数指数幂来源于数的自乘运算，负整数指数幂来源于数的自乘运算的倒数，这种指数运算在表示方式上更加简洁．在幂函数的学习时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作，因此猜测，指数的范围还能进一步拓展．设计意图：通过复习整数指数幂，体会指数运算来源于数的自乘运算，这种指数幂的表示在形式上更加简洁，说明指数幂运算产生的必要性，以便引出数的n次方根运算与分数指数幂的关系．问题3：初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根．类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，试着说说4次方根、5次方根……由此可以得出n次方根的概念吗？师生活动：先由学生举例，并进行归纳、抽象，然后由教师进行讲解．（1）学生举例：①(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；②25=32，我们把2叫做32的5次方根；③(2)5=32，我们把2叫做32的5次方根；……n次方根：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*．追问1：在实数范围内，负数有没有偶次方根？为什么？在实数范围内，负数没有偶次方根．因为任何实数的偶数次方幂都是正数，从而负数的偶数次方根找不到对应的实数．如果要讨论负数的偶次方根，就必须将数域从实数再进行扩充，此时暂不做讨论．追问2：观察所举的例子，当n为偶数时，被开方数的符号、n次方根分别是什么？当n为奇数时呢？当n为偶数时，被开方数是非负数；正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数；正数a的正的n次方根用表示，负的n次方根用表示．正的n 次方根与负的n次方根可以合并写成±．当n为奇数时，被开方数是实数，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用表示．式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．追问3：0的n次方根该如何定义？0的任何次方根都是0，记作=0．设计意图：引导学生由特殊到一般，由具体到抽象，形成n次方根的定义．问题4：()n=a一定成立吗？表示an的n次方根，=a一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？师生活动：学生通过举例，并结合问题3的结论，来解决问题．教师可以引导学生进行分类讨论，分类的标准就是问题3的结论，即n 为奇数或偶数，a的符号．（1）由()2=5，()5=2 ，()5=3，()6无意义，……可以抽象得到：只要()n有意义，则()n=a一定成立．（2）由=2，，=0，……可以抽象得到：当n为奇数时，=a一定成立．由=2，，=0，……可以抽象得到：当n为偶数时，=|a|=设计意图：通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解n 次方根的概念，形成严谨的分类思想，提升逻辑推理的核心素养．例1 求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．师生活动：学生独立完成后展示交流．师生总结求解要点：要根据n的奇偶性进行具体分析．要特别注意当n为偶数时最后结果的准确表示及化简．例如对于最后一个小题，由于涉及字母a，b，其结果要用绝对值的形式表示，所以需要对这两个字母的大小关系进行分类讨论后再化简．解：（1）；（2）；（3）；（4）设计意图：通过练习，学生可以巩固n次方根的概念，以及前面探究得到的关于的性质．问题5：负整数指数幂是用于表示分式的，例如，其本质是把指数的范围从正整数拓展到全体整数得到的．如果把指数的范围从整数拓展到分数，那么分数指数幂的意义又是什么呢？它与根式又什么关系？尝试给出一个合理的规定，在分数指数幂和根式之间建立起联系，并谈谈你对这样规定的合理性．师生活动：学生分组讨论交流，教师提示在将整数指数幂拓展到分数整数幂时，需要与已有的整数指数幂的概念和运算性质相容．追问1：根据n次方根的定义和数的运算，我们知道这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．那么当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，比如，这样的根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？师生活动：教师个别提问，学生类比猜想得到答案，全班讨论其答案是否合理．我们规定，正数的正分数指数幂的意义是．于是，在条件a ＞0，m，n∈N*，n＞1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．追问2：阅读教科书，并结合正数的负整数指数幂、正数的正分数指数幂的意义，你能说出正数的负分数指数幂的意义吗？师生活动：学生阅读教科书，回答问题．因为正数的负整数指数幂是在正整数指数幂的基础上取倒数，所以正数的负分数指数幂也是在正分数指数幂的基础上取倒数．我们规定例如，．追问3：0与负数有分数指数幂吗？为什么？师生活动：学生讨论交流，教师讲授．与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，0的正分数指数幂等于0．而因为0不能做分母，所以0的负分数指数幂没有意义．对于负数，根据前面的讨论已知，在实数范围内负数没有偶次方根，所以对于负数的分数指数幂，此时暂不做讨论．设计意图：通过具体实例的归纳，由具体到抽象，由特殊到一般，建立了分数指数幂与n次方根的关系．学生通过根式与分数指数幂的互化，可以巩固、加深对根式和分数指数幂的理解，清楚分数指数幂意义的本质就是根式．问题6：规定了分数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数．那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？为什么？师生活动：教师引导学生回顾整数指数幂的运算性质，并检验这些性质是否也适用于有理数指数幂．作为示范，教师可以只对一个性质进行检验证明，剩下的交给学生自行完成．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质．（1）；（2）；（3）．可以通过n次方根与有理数指数幂的关系，对上述三个性质进行证明．下面以性质（1）为例．首先考虑r＞0，s＞0的情况．由于r，s是有理数，所以可设，其中m，n，p，q都是正整数，且m与n互质，p与q互质，所以．对于r＜0，s＜0的情形，可以转化为正分数指数幂的情形进行证明．设计意图：在将整数指数幂拓展到有理数指数幂的基础上，进一步研究有理数指数幂的运算性质．例2 求值：（1）；（2）．师生活动：学生独立完成后展示交流．预设的答案：解：（1）；（2）．设计意图：通过具体的数字运算，巩固分数指数幂的概念、意义以及分数指数幂中指数的运算性质．例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a＞0）：（1）；（2）．师生活动：学生独立完成后展示交流．教师可以提示：求解的依据是什么？学生应当想到依据就是分数指数幂和n次方根的关系．预设的答案：解：（1）；（2）．设计意图：通过一般表达式的运算，巩固分数指数幂和n次方根的互相转化，特别是把n次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式．例4 计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）；（2）；（3）．师生活动：学生独立完成后展示交流．预设的答案：解：（1）；（2）；（3）．设计意图：本题具有一定的综合性，需要综合运用n次方根、分数指数幂的概念，分数指数幂的运算性质，以及式的加减乘除等进行运算，目的是巩固有理数指数幂的运算性质．问题7：本节课研究了哪些内容？怎样研究的？有理数指数幂运算性质有什么特点？师生活动：学生讨论交流．预设的答案：研究内容和路径可以用下图（图1）表示：(n次方根整数指数幂分数指数幂被开方数的指数能被根指数整除的根式被开方数的指数不能被根指数整除的根式有理数指数幂运算性质图1)分数指数幂的运算性质，与整数指数幂的运算性质是一致的，也就是说将指数的范围从整数拓展到有理数后，其运算性质保持不变．其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化是以降低一个运算级来实现的．设计意图：加深对有理数指数幂的运算性质的理解．再次体会在数学中，引进一个新的概念或法则时，总是希望它与已有的概念或法则相容的这种思想．为以后的数学概念的拓展，在思想上和方法上奠定基础．（五）目标检测设计1．用根式的形式表示下列各式（a＞0）：（1）；（2）；（3）；（4）．设计意图：检测根式与分数指数幂的互化．2．用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．设计意图：检测根式与分数指数幂的互化．3．计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．设计意图：检测有理数指数幂的运算性质．参考答案：1．（1）．（2）．（3）．（4）．2．（1）．（2）．（3）．（4）．3．（1）．（2）18．（3）．（4）．2. 课后作业教科书第109页习题4.1第1,2,5题（六）课后反思。
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12.4 n次方根
教学目标
1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念；
2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想；
3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.
教学重点
1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想；
2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.
教学难点
理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”.
1
能否类比平方根和立方根的意义说明这个数是多少？
2．分析：设这个数为x，则可以建立方程x n=a，x叫做a的n次方根.
3．小结：
（1）如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根；
（2）求一个数的n次方根的运算叫做开n次方.
二、问题探索
1．求x：
（1）x5=32，x= ，x5=-32，x= .
（2）x4=16，x= ，x4=-16，x= .
（3）x5=0，x= ，x4=0，x= .
2．思考：观察以上运算结果，类比平方根a与立方根3a，你能否说明当根指数n取不同的值时，a的n次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？
3．知识归纳：
（1）当n为偶数时，a的n次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a的偶次方根；
正数a有2个互为相反数的偶次方根，记作“±n a”；其中n a 为a的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a叫被开方数，n为根指数；读作“n次根号a”.
0的偶次方根等于0，n0
=0；
负数没有偶次方根（即当a<0时，n a 无意义）.
（2） 当n 为奇数时，a 的n 次方根有与立方根类似的性质，我们称之为a 的奇次方根；记作： n a ”，a 叫被开方数，n 为根指数；“n a ”读作“n 次根号a ”.
任意实数a 的奇次方根都存在，并且与a 有相同的正负性.
4．例题分析：
1．（1） 求-243
32的5次方根； （2） 求（-8）2的6次方根.
解答：（1） 32322433255
55-=-=-； （2） 22)8(6662±=±=-±.
【说明】
（1）正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个；
（2）求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数分解质因数.
2．用计算器，求近似值（保留三位小数）：
（1） 48600； （2） 568.15-.
解：（1）48600≈9.630.
（2） 568.15-≈-1.734.
【说明】 注意精确度的意义，最后一位要四舍五入.
三、练习反馈
1．计算：3216； 481； 5243-； 62
81⎪⎭⎫ ⎝⎛- .
2．用计算器，求下列各数的近似值（结果保留三位小数）：47859；51568
；0.3456的6次方根.
四．拓展性问题
1．若n为自然数，n2n2a=-a，a的取值范围是什么？
2．5的n次方根是多少？
五、课堂小结
请填表：
1 . 课本和练习册上的练习
2 . 复习所学的知识
3 . 预习新课
教学设计说明
1．n次方根的概念是平方根与立方根概念的拓展，类比平方根和立方根建立n次方根的概念既有助于对概念及其性质的理解，又能够在类比过程中加深对平方根与立方根概念的理解.通过类比得到数学
概念还有利于学生数学知识和数学思维的建构.
2．建立n次方根概念时，因为偶次方根与奇次方根的意义有所不同，因此可以类比平方根与立方根把n次方根分为偶次方根和奇次方根，并在此过程中渗透分类讨论数学思想.
3．本节课的难点是：正数有两个相反的偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根，学生在理解时已经产生了困难，在解决问题时往往会遗忘对各类数的偶次方根的不同处理方法.要突破这个难点，对概念的深刻理解是关键，因此在教学时可以多花一点时间在概念的建立和理解上.当然，偶次方根与奇次方根的同步教学也可以让学生在对比中更易于理解并掌握两个概念.。