[推荐学习]2018年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.5数形结合法测理
2018届高考数学(理)解题方法指导：数形结合,直观快捷(含答案)
数形结合 直观快捷一，数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用 构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．【例1】 若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫14，＋∞【解析】当x ＝0时，显然是方程的一个实数解； 当x ≠0时，方程|x |x ＋4＝kx 2可化为1k ＝(x ＋4)|x |(x ≠－4)，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k ，原题可以转化为两函数有三个非零交点．则f (x )＝(x ＋4)|x |＝()()224040x x x x x x ⎧+>⎪⎨--<⎪⎩的大致图象如图所示， 由图，易得0<1k <4，解得k >14.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 【类题通法】用图象法讨论方程(特别是含参数的指数，对数，根式，三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．【对点训练】1．函数f (x )＝3－x ＋x 2－4的零点个数是________．【答案】2【解析】令f (x )＝0，则x 2－4＝－⎝⎛⎭⎫13x ，分别作出函数g (x )＝x 2－4，h (x )＝－⎝⎛⎭⎫13x 的图象，由图可知，显然h (x )与g (x )的图象有2个交点，故函数f (x )的零点个数为2.2．(2017·成都一诊)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为________． 【答案】－7【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象如图所示．由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个． 不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 二，数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系，求参数的取值范围或解不等式． 【例2】 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】设y ＝g (x )＝f (x )x(x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1， 当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1， ∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【类题通法】(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f (－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x 的取值范围．(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上，下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．【对点训练】1．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________．【答案】[)2－1，＋∞【解析】集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m ＞0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞)．2．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，12【解析】作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.三，数形结合思想在解析几何中的应用构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围.【例3】 (2017·成都二诊)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点分别为A 1，A 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5【答案】D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ |＝2A ．又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4A ．在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2⇒4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2⇒e ＝ca ＝ 5.【类题通法】(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．【对点训练】1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】B【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.2．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________．【答案】2 2【解析】由题意知圆的圆心C (1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S △PAC ＝12·|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上，右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB)min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.3．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．【答案】⎝⎛⎭⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ， 由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12.。
高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.2换元法(测)理(2021学年)
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方法二换元法总分 ______ 时间 ______＿班级 ____＿__ 学号_____ 得分____＿__一、选择题(１2*5=６0分）1。
【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知,由此可算得( ）Ａ。
B. C. D。
【答案】Ａ【解析】设，则,即，解得或，显然，所以，故选A.２。
【20１８届河北省邢台市高三上学期期末】已知函数的最小值为8，则( )Ａ. B。
C. Ｄ.【答案】B３.【201８届湖北省孝感市八校高三上学期期末】已知，则的值为( ）Ａ. B． C。
D。
2【答案】Ａ【解析】，解得，解得,构造原式为,故选A.4。
【20１8届四川省泸州市泸县第四中学高三上期末】定义在上的函数为减函数,且函数的图象关于点对称,若,且,则的取值范围是（ )A. Ｂ。
Ｃ。
D。
【答案】B5．已知满足,则的最大值为（）Ａ．3 B。
４ C.5 Ｄ。
6【答案】Ｃ【解析】由椭圆的参数方程知,为参数)，则=(其中）,故ｚ的最大值为５，故选C.６.【20１８届天津市第一中学高三上学期第三次月考】已知函数.若对任意,总存在,使得，则实数的取值范围是（ )A。
B． C。
Ｄ。
【答案】D【解析】当时，为单调递增函数,且当时,∵对任意,总存在，使得∴∵为递减函数，且∴综上所述，实数的取值范围时故选D7．【衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟一】已知数列中,，若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )A. Ｂ。
高考数学二轮复习讲义 数形结合
高考数学二轮复习讲义 数形结合一、课前导读⑴数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻找解决问题的方法的一种数学思想。
⑵数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系 数量关系决定了几何图形的性质⑶数形结合作为一种数学思想方法大致分为： ①借助数的精确性来阐明形的某些属性②借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系 ⑷数形结合作为手段主要用于：①平面几何、立体几何的一些算法（与解三角形有关的计算） ②解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域(区间)与不等式的对应 ③函数与它的图象以及有关几何变换④三角函数的概念、向量及其运算的几何意义 ⑤集合的图示 ⑥导数的几何背景二、典型例题 ★221log log ab <<、若0,则（ ）()1A a b <<<0()1B b a <<<0()1C a b >>()1D b a >>★22cos sin x y x x π≤=+、若，则的最小值为_______4★343()7()17()1()1x x a a A a B a C a D a --<><<>≥、不等式+有实数解，则的取值范围是（ ）★2242)y x y x y x-、若实数,满足(+=3，则的最大值为_______★25402x y x y x y x y ++=-2、若，满足-2，则的最大值为_____★2643x x x m m -+=、关于的方程有四个不等实根，则的取值范围为___________ ★7{{}A x y y B x y y x a A B a ==+⋂≠∅、（，），（，）=，若，则的取值范围为_____________★18()log ()0()x a f x f x f x +=>∞、已知在区间(-1,0)上有，则在(-,-1)上是____函数(填增或减)★★229[1,1]()442()13()13()12()12[1,1]()442a f x x a x a xA xB x xC xD x x x f x x a x a a∈-=-+-<<<><<<>∈-=-+-、对于任何，函数+()的值总大于零，则 的取值范围是（ ）或 或 变题：对于任何，函数+()的值总大于零，则 的取值范围是_____________★★10()(0)(0,)()1,(1)0y f x x x f x x f x =≠∈+∞=--<、若奇函数在时，则的解集为_________★★211(0,1)x x a x ax a a a +>≠、关于的方程=-+2的解的个数为_____★★212AB y x M ABM y 、定长为3的线段的两个端点在抛物线=2上移动,为线段 的中点,求点到轴的最短距离★★213()3[2,2]()f x x ax x f x a a =+∈-≥、已知函数+,当时,恒成立,求的取值范围★★14[0,2]sin x a x x a π∈+=、已知，为实数，讨论的解的个数★★15sin 0021a a θθπαβαβ++=+在(，)上有相异二解、 （）求的取值范围 （2）求的值★★★1635320x y R x y -+--=222、若圆()+()=上有且仅有两点到直线4的距离为1，R 则的范围为____________★★★172,2OB OA OA OB αα→→→→、向量=(2,0)，=()，则,的夹角的范围是________★★★18S ABC αα、正三棱锥-，其相邻两侧面所成的角为，则的取值范围为________★★★19x R y ∈=、，则★★★220()log ()log 10()log (205),()()a a af x a xg x x f x g x a =-+=-<、设函数，若 不等式的整数解只有1，求的取值范围★★★222221cos sin cos sin ,1cos cos 0,020222a b c a b c b a a b ac ααββαβ+=+=+=≠≠++=、已知，且()，求证：三、巩固练习★1523()()()()x x A B C D <<-<、命题甲：0；命题乙：，则甲是乙的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件★2()[37]5()[73]()()()()f x f x A B C D --、如果奇函数在区间，上是增函数，且最小值是，那么在区间，上是（ ）增函数且最小值是-5 增函数且最大值是-5 减函数且最小值是-5 减函数且最大值是-5★2321()()()()x x A B C D =+、方程的实根的个数是（ ）1 2 3 4★4log2log 20log 2log 2()()()()dc b a a b cd A a b c d B a b d c C b a c d D b a d c<<<<>>>>>><<<<<<、若，则、、、的大小关系为（ ）★53634()()()2()A B C D π1、球面上有个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这个点的小圆的周长为，则这个球的半径为（ ）★62,3(3,2(0,2)A B P P l AB -、已知点（-）、）、，过点的直线与线段有公共点， l k 则直线的斜率的取值范围为____________★73102360_______kx y k x y k -++=+-=、设直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是★8_____、三边的长都是整数，且最大边长为9的三角形的个数是★2291916,x y -、设圆过双曲线=的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上则圆心到双曲线中心的距离是_______★★100sin tan 2παααα<<<<、已知,求证：★★21112()(1)(3)()(2)(3)()(2)(3)(4)()(3)x y x x y y x A B C D -=-=、设函数，则下列命题中正确的是（ ）（1）图象上一定存在两点，这两点的连线平行于轴 （2）图象上任意两点的连线都不平行于轴（3）图象关于直线对称（4）图象关于原点中心对称 和 和 和和★★12101____x x <<>+、“若-”，这一命题的否命题的真值为★★138040()()()()P P A B C D αβαβ︒︒、已知平面、成角，为空间的一定点，则过点且与平面、所成的角都等于的直线至多有（ ） 1条 2条 3条 4条★★14、10个相同的小球放入1、2、3号盒中，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放入种数为_______★★2115log 0(0,2mx x m -<、方程不等式在)时成立，则的取值范围是_______★★222160(0)2ax bx a ab a b b +=>∅-、已知方程+的解集是，则+的取值范围是_____________★★★171(2)__________x k x a a k a --+、若方程=，对任意实数都有解，则实数的取值范围是★★★18,(2,2)(),()()OA OB A a b B b a a b OP R OA OBλ→→→→→≠=-∈、已知点（），若，P 则点的轨迹方程是____________★★★221212112222191,259((4,0)x y F F PF PF PF PF PF B F MF MB MF MB +--+、设椭圆=上一点、为焦点,=4,求 变题:(1)若去掉条件=4，求的最大值(2)若、,求的最大值 (3)在(2)中求的最大值★★★2200,2,244;442,2x x ax b a b b a b b αβαβαβ+=<<<+<<+<<<、已知关于的实系数二次方程+有两个实根。
2018届高考数学二轮复习快速结题法——九招搞定选择题 招式三数形结合法
招式三数形结合法数形结合法就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的方法.数形结合法的应用大致可分为两种情形:第一,借助于数的精确性来阐明形的某些属性,第二,借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系,即“以数解形”和“以形助数”.数形结合法可用于解决集合问题、函数问题、方程与不等式问题、三角函数问题、线性规划问题、解析几何问题、立体几何问题等.典例1设变量x,y满足约束条件-则目标函数z=5x+y的最大值为()A.2B.3C.4D.5【解析】依题意,画出线性平面区域如图中的△ABC(包括边界),平移直线5x+y=0,当经过点C(1,0)时,直线在y轴的纵截距最大,此时z max=5×1+0=5.故选D.典例2若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为()A.B.9或1 C.10 D.18或10【解析】在图(1)中,MN=MF=10,MG=6,∴FG=8,故AF=2,则x M =OF+FG=9,∴M 的横坐标为9;在图(2)中,GF=8,∴AF=10+8=18,∴OG=AG-OA=10-9=1,故M 的横坐标为1.故选B .典例3 (安徽卷)若函数f (x )=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a 的值为( )A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8【解析】当a ≥2时,f (x )= -- -- - - - -如图可知,x=-时,f (x )min =f -=-1=3,可得a=8或a=-4(舍);当a<2时,f (x )= -- - - -- - - -如图可知,x=-时,f (x )min =f -=-1=3,可得a=8(舍)或a=-4;综上可知,答案为D .典例4 若0<x< ,则下列命题中正确的是 ( )A .sin x<xB .sin x>xC.sin x<x2D.sin x>x2【解析】在同一直角坐标系中分别作出y=x,y=sin x与y=x2的图象,如图所示,便可观察知D项正确.故选D.1.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=()A.[0,2]B.[1,2]C.[0,4]D.[1,4]2.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x3.方程2-x+x2=3的实数解的个数为()A.0B.1C.2D.34.函数y=lg|x|()A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减5.使关于x的不等式+k<x有解的实数k的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-∞,1)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)。
2018年高考数学二轮复习 考前 二 数形结合思想讲学案 理.doc
二、数形结合思想方法一 函数图象数形沟通法 模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1.∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )为单调增函数， ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系． 跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1答案 A解析 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.方法二 几何意义数形沟通法 模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx的最大值为( ) A.12 B.33 C.32D. 3 解析 方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan ∠AOM ＝AMOA ＝3，故y x的最大值为3，故选D. 答案 D思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有(1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥则y x －x y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．[－1,1]答案 B解析 作出不等式组301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x，f (t )＝t－1t，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32. 方法三 圆锥曲线数形沟通法 模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．典例3 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)解析 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A.答案 A思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.。
方法3.6 数形结合法测 -2018年高考数学理二轮复习讲练测 含解析
总分 150分 时间 120分钟 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一） 选择题（12*5=60分）1.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D2．【河南省开封市2017届高三上学期10月月考】 复数z 满足（1-i ）z=m+i （m ∈R, i 为虚数单位），在复平面上z 对应的点不可能在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】2)1()1()1)(1()1)((1i m m i i i i m i i m z ++-=+-++=-+=i m m 2121++-=，复平面上z 对应的点不可能在第四象限.3．【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B4.【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B 【解析】如图所示,画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率10101402P +==．故选B ． 5．【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22. 5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）（A）56 （B）60 （C）120 （D）140【答案】D【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=（人），选D.6．【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（）A．22 B．4 C．32 D．6【答案】C7．【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考】过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．22 C. 13D ．3【答案】D8.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试】公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为（ 3 1.732，sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈．A ． 12B ． 24C ． 48D ． 96 【答案】B 【解析】由程序框图，,n S 值依次为：6, 2.59808n S ==；12,3n S ==；24, 3.10583n S ==，此时满足 3.10S ≥，输出24n =，故选B ．9.【2016江西赣中南五校一联】如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，则ω等于（ ） A ． 8 B ．8π C ． 4π D ．2π【答案】B【解析】由题意可得：2=OP ，PN PM ⊥,所以2==ON OM ；所以函数的周期为16，即8πω=故选B ．10.【华中师大一附中2016届高三上学期高三期中检测】已知向量a r ，b r 是单位向量，若0a b ⋅=r r，且25c a c b -+-=r r r rc a b +-r r r 的取值范围是( )A.3,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,5⎡⎣C. 355⎣D. 352,⎦【答案】C11．【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( ) （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.12．【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为（ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B22224(5)()(22)()2p p+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.（二） 填空题（4*5=20分）13.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】214.【2016高考山东】在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 . 【答案】34【解析】直线y=kx 与圆22(5)9x y -+=相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即2|5k |d 31k =<+，解得33k 44-<<，而[1,1]k ?，所以所求概率P=33224=.15.【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<在R 上的部分图象如图所示，则(2014)f的值为___________.【答案】52-16．【河南省开封市2017届高三上学期10月月考】过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率是 .【答案】510 【解析】由2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r 得：)(21+=可知，E 为PF 的中点，令右焦点为F '，则O 为F F '的中点，a OE F P =='2，E Θ为切点，PF OE ⊥∴，PF F P ⊥'，a PF a F P PF 3,2=='-，又222F F F P PF '='+，则210,41022==e c a . 三、解答题（6*12=72分）17．【2015高考广东】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）33255,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U ．18.【河南省开封市2017届高三上学期10月月考】如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：22(0)+=相切于点Q．=>的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：221x yx py p（Ⅰ）当直线PQ的方程为0x y --=时，求 抛物线C 1的方程；（Ⅱ）当正数P 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ，△FOQ 的面积，求12S S 的最小值． 【答案】(1)x 2=4．(2)322+.19.【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAB 平面ABCD ，3==AP AB ，2==PB AD ，E 为线段AB 上一点，且2:7:=EB AE ，点M G F 、、分别为线段BC PD PA 、、的中点.（1）求证：⊥PE 平面ABCD ；（2）若平面EFG 与直线CD 交于点N ，求二面角A MNP --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)35353. 【解析】（1）证明：在等腰APB ∆中，3121cos ==∠AB PBABP ，则由余弦定理可得9323123222)32(222=⨯⨯⨯-+=PE ，∴324=PE . ∵2224PB BE PE ==+，∴AB PE ⊥.20.【2016年高考四川理数】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.a 0.520.400.160.120.080.04 4.53.51.5组距频率（I ）求直方图中a 的值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （III ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【答案】（Ⅰ）0.30a =；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．21.【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】已知函数21()(1)2xf x x e ax =--()a R ∈()I 当1a ≤时，求()f x 的单调区间； ()II 当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，单调增区间是(0,)+∞，单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时，单调增区间是(,ln )a -∞，(0,)+∞，单调减区间是(ln ,0)a ；当1a =时，单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间；（Ⅱ）1(,]2-∞．()II 由()I 知()x f x xe ax '=-当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方，即32(1)x xe ax ax x a x ->+--对(0,+)x ∈∞恒成立即 210x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立 …（7分）记 2()1x g x e ax x =--- (0)x >，∴()()21xg x e ax h x '=--=()'2x h x e a ∴=- …（8分）(i) 当12a ≤时，()'20xh x e a =->恒成立，()g x '在(0,)+∞上单调递增， ∴()'(0)0g x g '>=， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增∴()(0)0g x g >=，符合题意； …（10分）(ii) 当12a >时，令()'0h x =得ln(2)x a = (0,ln(2))x a ∴∈时，()'0h x <，∴()g x '在(0,ln(2))a 上单调递减∴(0,ln(2))x a ∈时,()'(0)0g x g '<= ∴()g x 在(0,ln(2))a 上单调递减， ∴ (0,ln(2))x a ∈时,()(0)0g x g <=，不符合题意 …（11分）综上可得a 的取值范围是1(,]2-∞. …（12分） 22. 【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）】如图, 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是32,点13,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上, 设点11,A B 分别是椭圆的右顶点和上顶点, 过 点11,A B 引椭圆C 的两条弦1A E 、1B F . （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线1A E 与1B F 的斜率是互为相反数.①直线EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值, 若不是,说明理由； ②设1A EF ∆、1B EF ∆的面积分别为1S 和2S ,求12S S +的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2)①是定值21；②(0,22.。
2018年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.5数形结合法测理
方法五数形结合法一、选择题（12*5=60分）1．【2018届河南省南阳市高三上学期期末】已知：如图，集合为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A. D.【答案】C【解析】图中阴影部分表示的集合是集合A中的元素但是不包括集合B,C中的元素，故选C.2）A. B.C. D.【答案】A，∴函数3．【2018届甘肃省兰州市高三一诊】，，，）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C4．【2018；，）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】，为等腰直角三角形，区域是以为圆心，以的点在的必要不充分条件，故选B.5．二次函数中，其中A. B. C. D.【答案】B6．【2018）A. B. C. D.【答案】C【解析】时，上递减，C符合题意，故选C.8. 已知函数f（x）及其导函数fˊ（x）的图像为右图中四条光滑曲线中的两条，则f（x）的递增区间为A. （1，+∞）B. （-∞，2）C. （0，+∞）D.【答案】D9）A. 0B. 2C. 4D. 8【答案】C,由图可知,,10．【20181，则实数( )A. C.【答案】A绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为据此排除B选项；据此排除CD选项；11.）A. C.【答案】A，A.12.是坐标原点)成立,）A.【答案】C,,,综上可知:本题选择C选项.二、填空题（4*5=20分）13.【2018届安徽省江南十校高三3__________．14.如图，的直线，，平行于__________．【解析】因为点，故填.15．已知函数__________．【解析】由题意，函数的图像恒在时，满足，即.16．【2018届江苏省宿迁市高三上学期第一次模拟】已知函数_______.三、解答题（6*12=72分）17.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。
高中数学二轮专题复习——数形结合思想
思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
2018年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.5数形结合法讲理
方法五数形结合法数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从近几年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2017年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．【数形结合思想概述】1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．【数形结合思想解决的问题类型】一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；例1.【2017江苏，14】设()f x是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x Df xx x D⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*nD x x nn-⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N，则方程()lg0f x x-=的解的个数是 .【答案】8因此lg x不可能与每个周期内x D∈对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期x D∉的部分的交点，例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 【解析】如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．二、构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；例3.对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0【解析】由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ，x ≤0，－x －1x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3.不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ＝14，x <0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)．∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0.，答案⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0三、构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系； 例4.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C四、构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；例5【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】(),P x y满足22{1024x yx yx y+≥--≤+≤，则22x y+的最小值为__________．【答案】45【解析】作出可行域：22x y+的表示可行域上的点到原点的距离的平方，其最小值显然是原点到直线AC 距离的平方：24541=⎪+⎝⎭故答案为：45例6.【2018届山东省威海市高三上期末】在平面直角坐标系中，，，点在圆上，若，则点的横坐标的取值范围是________.【答案】【解析】设，则因为，，所以，又即在圆，又在直线的上方，设直线与圆交点为，圆与正半轴交于，则在弧上，由，得，又，，即点的横坐标的取值范围是，故答案为.五、构建立体几何模型研究代数问题；例7.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。
2018届高考数学二轮复习 函数与方程、数形结合思想 ppt课件(全国通用)
(2)已知 f(x)是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函 数 y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数 λ 的值是 ( )(导学号 55410001) 1 A. 4 1 B. 8 7 C．－ 8 3 D．－ 8
解析：(1)设 f(x)＝ex－x－1 且 x＞0，则 f′(x)＝ex－1. 所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0.
n 1 ＝ . 1 2n＋1 2＋ n
又 y＝ 在[1，＋∞)上是增函数， 1 2＋x 1 所以当 n＝1 时，Tn 取到最小值 . 3
1
[规律方法] 1．本题完美体现函数与方程思想的应用，第(1)问由 条件列方程求公差与首项，从而求出通项公式与前 n 项 和．第(2)问利用裂项相消求 Tn，构造函数 f(x)＝ 1 1 2＋ x ，
(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离 参数化为函数解决．
[变式训练]
x (1)设函数 f(x)＝ －cos x，则方程 f(x) 2 ) 3π D. 2
π ＝ 所有实根的和为( 4 π A．0 B. 4 π C. 2
(2)(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处 的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切， 则 a＝________．
所以 ex－1＞x，即 ea－1＞a. 又 y＝ax(0＜a＜1)在 R 上是减函数，得 a＞ae 从而 ea －1＞a＞ae. (2)令 y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，且 f(x)是奇函数． 则 f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ) 又因为函数 f(x)是 R 上的单调函数．
角度 2 函数与方程思想在数列中的应用 [ 例 2] (2017· 深圳调研 ) 已知等差数列 {an} 的公差
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析数学与数形结合是高中阶段数学学习中一个非常重要的话题，通过数学和数形相结合可以更好地理解和记忆数学概念和定理，提高解题能力和创新思维水平。
本文将从以下两个方面来分析高三数学数形结合解题的方法与技巧：一、数形结合的优势数学和数形结合的主要优势在于能够直观地展现数学概念和定理，帮助学生更深入地理解数学知识。
在解题中利用数形结合的方法，可以让学生通过对图形的观察、分析和推理，更深层次地理解和应用数学概念和定理。
比如，在解决立体几何问题时，如果能够将模型构建完整，按照比例缩小，将其投影到二维平面上，然后在平面图形中寻找和应用几何知识，就可以更好地促进学生对几何学和代数学的理解和融合。
此外，数形结合的方法也能够激发学生解题的兴趣和好奇心，吸引他们积极参与学习过程，探索数学的奥秘。
在具体解题时，数形结合也有一些具体的方法和技巧，下面简单介绍一下：1. 绘制图形。
在解决几何问题时，首先要绘制出几何图形，并标注出已知条件和需求，这可以帮助我们更好地理解和分析问题。
2. 利用运动方法。
在解决三角函数、立体几何等问题时，可以运用类似“旋转”、“平移”等运动方法，来变换图形的形态，使问题更加清晰、简单。
3. 利用相似与比例。
在解决几何和代数相关的问题时，可以利用相似性和比例关系，将问题转化成易于计算和解决的形式。
4. 利用投影与视角。
在解决立体几何问题时，可以利用三视图或进行透视投影，将三维的情形转变为平面图形，在平面图形中进行理解和计算。
5. 利用变量与方程。
在解决代数问题时，可以引入变量，建立数学模型，并用方程或不等式来描述问题，进而求解未知量。
总之，数学和数形结合有着不可替代的优势和方法，通过分析和应用这些方法和技巧，可以提高学生的解题能力，促进学生的数学思维的发展。
同时，学生也需要不断地锻炼和实践，确保数学和数形结合这种方法真正落地并取得成效。
2018高考数学理二轮备考教学案—22数形结合思想
2018高考数学理二轮备考教学案—数形结合思想【考情解读】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
数形结合作为一种重要的数学思想方法，已经渗透到数学的每个模块中，在各省、市高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法．无论是选择题、填空题还是解答题，都可以用数形结合的思想去分析、思考、寻找解答途径．预测2018年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．【重点知识梳理】数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析数形结合是数学中非常重要的一个概念，也是数学的一种思维方式。
在解题中，数形结合可以帮助我们更好地理解问题，找到解题的技巧和方法。
下面我们将讨论数形结合的解题方法和技巧。
一、认真观察题目在解题之前，我们必须认真观察题目，理解问题的意义和要求。
在观察题目的过程中，我们要注意以下几点：1. 确定图形要根据题目所给的信息确定图形，明确图形的性质。
3. 分析关系要分析图形和量之间的关系，结合题目要求，思考如何求出需要的量。
4. 列方程根据已知条件，列方程解题。
通过以上几点，我们可以更好地理解题目，把握解题的思路。
二、运用几何知识在数形结合中，几何知识的应用非常重要。
通过几何知识，我们可以更好地理解图形，找到解题的方法。
在解题中，我们常用到的几何知识有：相似三角形、勾股定理、正弦定理、余弦定理、面积公式等。
1. 相似三角形相似三角形是几何知识中非常重要的一部分。
在使用相似三角形时，我们需要注意以下几点：①判断相似性判断两个三角形是否相似，我们需要比较它们的对应边是否成比例，这个比例关系就是它们的相似比。
②应用相似性在使用相似三角形时，我们可以运用它们的相似比来求出需要的量。
2. 勾股定理勾股定理可以帮助我们求出直角三角形中的各个边长。
在使用勾股定理时，我们需要注意以下几点：①判断直角三角形直角三角形中有一个角为90度，我们需要先判断题目中是否有直角三角形。
②应用勾股定理3. 正弦定理和余弦定理不同类型的三角形，适用的公式也不同，我们需要先判断三角形的类型。
在确定三角形的类型后，我们可以根据正弦定理和余弦定理来求出需要的角度和边长。
4. 面积公式面积公式可以帮助我们求出各种形状的图形的面积。
①确定图形类型②应用面积公式在确定图形类型后，根据相应的面积公式来求解面积。
三、掌握计算技巧1. 小学套路小学套路包括约分、通分、分配率、合并同类项等方法。
在解题中，我们可以通过这些方法来化简式子，简化计算。
【高三数学试题精选】2018届高考数学第二轮数形结合思想同步复习题(带答案)
且A≤≤B，∴ax＝3
2．函数＝|sinπ4)
c．(π，3π2) D．(3π2，2π)
[答案] c
[解析]＝|sinx|的图象如图所示，
观察可得(π，3π2)符合题意．
3．已知不等式1－x2 x＋1，其解集为( )
2018届高考数学第二轮数形结合思想同步复习题（带答案）
5 2018年高考数学二轮复习同步练习
专题9数学思想方法
第2讲数形结合思想
一、选择题
1．若实数x，满足等式(x－2)2＋2＝3，那么x的最大值为( )
A12 B33
c32 D3
[答案] D
[解析]设＝x，
即＝x，如图所示，
B＝tan∠′B＝322－3 2＝3，
则a＋3b＝c→，显然∠Bc＝120°，由余弦定理得
|c→|2＝|a|2＋|3b|2－2|a||3b|cs120°
＝12＋32－2×1×3×(－12)＝13
则|a＋3b|＝13
5．(2018天津理，8)对实数a和b，定义运算“”a b＝a，a－b≤1，b，a－b 1，设函数f(x)＝(x2－2) (x－x2)，x∈R，若函数＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个共点，则实数c的取值范围是( )
则|F1|＋|F2|＝2a，
而a＝5，|F1|＝2，∴|F2|＝8
又注意到N、各为F1、F1F2的中点，
∴N是△F1F2的中位线，
∴|N|＝12|F2|＝12×8＝4
8．(2018北京丰台模拟)已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(4)的大小关系为( )
A．f(－a2)≤f(4)B．f(－a2) f(4)
c．f(－a2)≥f(4)D．f(－a2)与f(4)的大小关系不确定
2018届高考数学理科二轮总复习练习：二、数形结合思想
二、数形结合思想典例1 设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y－3)2＝a 2，a >0}且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值．分析 根据点集M ，N 中方程的特点，联想两个方程所表示的曲线，以形助数．解 如图，集合M 表示以O (0,0)为圆心，r 1＝2a 为半径的上半圆，集合N 表示以O ′(1，3)为圆心，r 2＝a 为半径的圆．∵M ∩N ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公共点．当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小；内切时，a 最大． ∵OO ′＝2，∴外切时，2a ＋a ＝2，a ＝22＋1＝22－2. 内切时，2a －a ＝2，a ＝22＋2.∴a 的最大值为22＋2，a 的最小值为22－2.点评 本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题，可谓是极具创新性的解题，避免常规方法中的繁杂与高难度，又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题，真正达到数形结合的最佳效果．典例2 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．分析 建立坐标系，用轨迹法． 解析 设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )，由(2a －c )·(3b －c )＝0，有 (2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0， 化简整理得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132， 即向量c 的坐标(x ，y )在以M ⎝⎛⎭⎫－12，52为圆心，r ＝132为半径的圆上． 从而求|c |的最大值，即圆⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132上的点到坐标原点距离的最大值， 又坐标原点在此圆上，所以|c |的最大值为2r ＝26. 答案26点评 设点研究得出点的轨迹方程，从几何角度得到点在圆上，再寻找最值，体现了数形结合思想的典型运用．典例3 若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．分析 这个问题从表面上看是方程与不等式的问题，如果用求根公式得出小根在0和1之间，大根在1和2之间来解不等式组是很麻烦的，并且不易解出．如果我们根据题意，通过满足条件的函数图象，由根的分布情况分析函数值的大小问题，解不等式组得到相应的实数k 的取值范围．解 设函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，结合草图可知，函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，1＋k －2＋2k －1<0，4＋2k －2＋2k －1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >12，k <23，k >14，即12<k <23，所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，23. 点评 利用函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象来研究相应的方程与不等式的问题，可以化代数问题为几何问题，通过图形非常直观地处理相应的问题．思路清晰，简单易懂． 从上面的例题可以看出数形结合思想解题思路如下：1．“形”中觅“数”．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合．2．“数”上构“形”．以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法．3．用图形分析的方法解决问题，一方面要发挥图形的直观、形象地作用，另一方面则要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成． 跟踪演练1．(2017·江苏启东模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则∑n ＝12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6＝________.答案 1解析 由题意得T 4＝2π4ω＝5π12－π6⇒ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，|φ|<π2⇒φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为f ⎝⎛⎭⎫n π6＝sin ⎝⎛⎭⎫n π3＋π6，周期为6，一个周期的和为零，所以∑n ＝12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6＝f (1)＝sin π2＝1. 2．(2017·江苏宿迁中学月考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos πx |，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为________． 答案 6解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos πx |， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos πx ，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象如图所示，有5个交点．所以h (x )总共有6个零点．3．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有两个不同的实根α，β. (1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．解 方法一 (1)设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则由题设知，直线l ：3x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1有两个不同的交点A (cos α，sin α)和B (cos β，sin β)，所以原点到直线l 的距离小于半径1， 即d ＝|0＋0＋a | r(3 2＋12)＝|a |2<1，所以－2<a <2. 又因为α，β∈(0,2π)，α≠β. 所以直线l 不过点(1,0)， 即3＋a ≠0，即a ≠－3， 即a ∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝β，作OH ⊥AB ，垂足为H ，则∠xOH ＝α＋β2，因为OH ⊥AB ， 所以k AB ·k OH ＝－1， 所以tanα＋β2＝33， 因为α＋β2∈(0,2π)，所以α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二 (1)原方程可化为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝－a 2， 作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象，由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知，当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于C ，D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3，当－2<a <－3，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫32，1时，直线y ＝－a 2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于A ，B 两点， 由对称性知α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3.综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x .(1)当a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数； (2)当a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为2.解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f x ，y ＝g x ，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ，整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x 3＋x 2－x －2 x ≠1 ，令y ′＝3x 2＋2x －1＝0，得x 1＝－1，x 2＝13，得到极值点分别在－1和13处，且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个．即y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数为1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f x ，y ＝gx ，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ，整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝hx ＝x 3＋x 2－xx ≠1， 对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，h (－1)＝1，h ⎝⎛⎭⎫13＝－527， 画出草图如图．当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故当a ＝－527时恰有两个公共点．。
2018届高考数学二轮复习 数形结合思想 ppt课件(全国通用)
所以 max{min{x2＋1，x＋3，13－x}}＝8.
(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的 坐标为(3，4)，半径 r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°， 1 连接 OP，易知|OP|＝ |AB|＝m.要求 m 的最大值，即求圆 2 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离．因为|OC|＝ 32＋42＝ 5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即 m 的最大值为 6.
[规律方法] 1．本题利用数形结合思想，将函数零点或方程的根 的问题转化为两函数图象交点问题．
2．运用数形结合探究方程解的问题应注意两点： (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数， 使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的 解一定要注意图象的准确性、全面性，否在0，m上递减， 在m，1
在同一坐标系中作 y＝(mx－1)2 与 y＝ x＋m 的图 象．如图 2.
若两函数图象有且只有一个交点， 则(m－1)2≥1＋m，解得 m≥3 或 m≤0 从而 m≥3.
综上可得，m 的取值范围是 0＜m≤1 或 m≥3. 答案：(1)(0，2) (2)B
0－（－1） 1 又 kAB＝ ＝ ， 1－（－1） 2 1 由几何直观知 0＜m≤ . 2
1 答案：0，2
角度 2 利用数形结合思想求最值(范围)问题 [例 6] (1)记实数 x1， x2，„，xn 中最小数为 min{x1，
x2， „， xn}， 则定义在区间[0， ＋∞)上的函数 f(x)＝min{x2 ＋1，x＋3，13－x}的最大值为( A．5 C．8 B．6 D．10 )
答案：(1)C (2)B
[规律方法] 1 ． 第 (1) 题利用图象，避免分段函数的讨论；第 (2) 题借助几何直观，把“m”的值转化为圆上的点到原点的距 离．
2018年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.5数形结合法练理
方法五 数形结合法1. 练高考1.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B2.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】3.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D 【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ．4.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系5.【2017课标II ，理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1-【答案】B【解析】6.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.【答案】1Q ；2.p【解析】2.练模拟1.【2018）【答案】AA ．2.设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x x f x x x -∈+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩若关于x 的方程()log (1)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A．( B．)+∞ C．)+∞ D． 【答案】C 【解析】要使方程()log (1)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）在区间[]0,5内恰有5个不同的根，只需()y f x =与()log 1a y x =+的图象在区间[]0,5内恰有5个不同的交点，在同一坐标系内做出它们的图象 要使它们在区间[]0,5内恰有5个不同的交点，只需log 32log 54a a <⎧⎨<⎩，得a > C.3.【2018届湖北省宜昌市高三年级元月调研】2018年元月我国多地出现暴雪天气,气象部门统计结果显示,某地某天从6～14时的温度(图所示，则该地该天8时的温度大约是【答案】B当时，4.过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点F作圆222x y a+=的切线FM（切点为M），交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A B．2 D【答案】A【解析】∵OM PF ⊥，且FM PM =,∴OP OF =，∴45OFP ∠=︒,∴sin 45OM OF =⋅︒，即a c =,∴ce a==故选A ． 5.在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成角为︒60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角的大小为___________． 【答案】453.练原创1．设点P 是函数y ＝－4－x －2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R)，则|PQ |的最小值为( )A.855－2 B. 5 C.5－2 D.755－2 【答案】C 【解析】如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1,0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.2．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C. 2D.22【答案】C 【解析】因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ，即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大， 且最大值为 2.3．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有两个公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，1] C ．(－2，－1] D ．(－2，－1)【答案】C 【解析】作出曲线x ＝1－y 2的图形，如图所示，由图形可得，当直线y ＝x ＋b 在直线a 和c 之间变化时，满足题意，同时，当直线在a 的位置时也满足题意，所以b 的取值范围是(－2，－1]．4．已知，满足，求的最大值与最小值x y x y y x 22162513+=- 【答案】13，-13. 【解析】对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用y x x y -+=31625122构造直线的截距的方法来求之.令，则，y x b y x b -==+332211625x y +=原问题转化为：在椭圆上求一点， 3使过该点的直线斜率为， 且在轴上的截距最大或最小，y由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小y x b x y =++=31625122截距。
高考数学秘籍18法数形结合思想在解题中的应用试题
四、强化训练
见优化设计。
一、选择题：
1.方程 的实根的个数为〔〕
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.函数 的图象恰有两个公一共点，那么实数a的取值范围是〔〕
二、例题分析
例1.
分析：
，
例2.
解：法一、常规解法：
法二、数形结合解法：
例3.
A.1个B.2个C.3个D.1个或者2个或者3个
分析：
出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选〔B〕。
例4.
分析：
例5.
分析：
构造直线的截距的方法来求之。
截距。
例6.
分析：
以3为半径的圆在x轴上方的局部，〔如图〕，而N那么表示一条直线，其斜率k=1，纵截
7.假设 时，不等式 恒成立，那么a的取值范围为〔〕
A.〔0，1〕B.〔1，2〕C.〔1，2] D.[1，2]
8.定义在R上的函数 上为增函数，且函数 的图象的对称轴为 ，那么〔〕
A. B.
C. D.
二、填空题：
9.假设复数z满足 ，那么 的最大值为___________。
10.假设 对任意实数t，都有 ，那么 、 由小到大依次为___________。
二、填空题：
9.
提示：|Z|=2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动，〔如以下图〕，而|z+1－i|=|z－〔－1+i〕|表示复数Z与－1+i对应的两点的间隔。
由图形，易知，该间隔的最大值为 。
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方法五数形结合法
一、选择题（12*5=60分）
1．【2018届河南省南阳市高三上学期期末】已知：如图，集合为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）
【答案】C
【解析】图中阴影部分表示的集合是集合A中的元素但是不包括集合B,C中的元素，
故选C.
2）
A. B.
C. D.
【答案】A
，∴函数
3．【2018届甘肃省兰州市高三一诊】，，，
）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要的条件
【答案】C
4．【2018
）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要的条件【答案】B
【解析】
表示的区域是，
区域是以为圆心，以，圆心
的点在 B.
5
A. B. C.
【答案】B
6．【2018）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】时，
C符合题
意，故选C.
8. 已知函数f（x）及其导函数fˊ（x）的图像为右图中四条光滑曲线中的两条，则f（x）的递增区间为
A. （1，+∞）
B. （-∞，2）
C. （0，+∞）
D.
【答案】D
9）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 8
【答案】C
【解析】,
由图可知,,
10．【2018
1( )
B. D. 【答案】A
绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为
据此排除B选项；
据此排除CD选项；
11. 的焦点为，点设线段
在准线）
B.
【答案】A
，
A.
12.
)成立,）
【答案】C
【解析】将直线方程代入圆的方程得
恒成立,
,
,
综上可知:
本题选择C选项.
二、填空题（4*5=20分）
13.【2018届安徽省江南十校高三3__________．
14.两点，过
__________．
【解析】因为点
，
15．已知函数上的偶函数，它在区间
__________．
是偶函数，关于
的图像恒在
时，满足
.
16．【2018届江苏省宿迁市高三上学期第一次模拟】已知函数
_______.
三、解答题（6*12=72分）
17.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面A
处测得B点和D C处测得B点和D AC=0.1km。
（Ⅰ）试探究图中B，D间的距离与另外哪两点间距离会相等？
（II）求B，D间的距离。
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) B，D
【解析】试题分析：
（Ⅰ）在△ABC中，∠DAC=30°，计算可得∠BCD=60°，则CB是△CAD底边AD的中垂线，BD=BA；
（II）在△ABC
试题解析：
（Ⅰ）如图：在△ABC中，∠DAC=30°，
∠ADC=60°－∠DAC=30°,
∴ CD=AC=0.1，
又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
∴CB是△CAD底边AD的中垂线，
∴BD=BA；
（II）在△ABC中，由正弦定理得：
即
答：B，D
18.函数f（x）=Asin（ω+1（A>0, ω>0）与ω=cosωx的部分图象如图所示。
（1）求A，a，b的值及函数f（x）的递增区间；
（2）若函数y= g（x-m）（y= f（x）+ f（m的最小值.
【答案】（1（2
【解析】试题分析：（1）由题意，得曲线为
（2）由（1
（2）∵g（x ）=cos2x ，∴g（x-m ）=cos （2x-2m ），
（-2cos （
令y=g （x-m ）的图象的对称轴方程为
令的图象的对称轴方程为
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条
互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，23=+CD AB ． (1)求椭圆的方程； (2)求由A ，B ，C ，
D 四点构成的四边形的面积的取值范围．
【答案】（1）2212x y +=．(2) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S . 【解析】 (1)
由题意知，c e a ==，则c b c a ==
,2，
且AB 斜率为0
时，2
||||22
b AB CD a a
+=+== 所以1c =．所以椭圆的方程为221x y +=． (2)① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知22222
1
21=⨯⨯=⋅=
CD AB S 四边形； ②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k =--．
将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，
所以)2122
1|||12k AB x x k +=-=+．
同理，212(1)
||21k CD k
+==+ …………………………9分
所以22
4
2
114(1)||||22225k S AB CD k k +=⋅⋅==++四边形
()
()()2
2
2
142211
2121
k k k k k k
+==-++++，
2
2
121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝Q 当且仅当1±=k 时取等号 ∴)2,916
[∈四边形S 综合①与②可知，⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈2,916四边形S
20. 【2018
（1处的切线的斜率为
（2上是单调递减函数，求
.
【答案】（1）见解析.（2
试题解析：
（1
得
，
列表可得
时，取极大值
（2上是减函数，
作出不等式组表示的平面区域如图
21.均为笔直的公路，扇形区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中
.1千米.为了方便菜农经营，打算在
区域外修建一条公路、交于、并要求与扇形弧
，假设所有公路的宽度均忽略不计.
（1
（2.
【答案】时，
千米..
【解析】试题分析：
⑴由切线的性质可得OS⊥MN.则据此可得
⑵由均值不等式的结论有：
即时等号成立，即.
⑵
.
22．【2018
P位于第一象限．
（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；
，求
【答案】（Ⅰ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）第一问，联立直线AM和BN的方程得到它们的交点P
t的值.
或二次函数求它的最小值.
试题解析：(Ⅰ)
故直线AM BN的方程为
，解得：代入直线AM
(Ⅱ)
时，.
和复合函数的性质解答，要可以利用导数来解答.对于比较复杂的函数，要多注意观察函数的特征，再选择适当的方法求函数的最值.。