南通市2015届高三第二次调研测试 数学(含答案)

（第4题）BDC（第12题）A高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1． 命题“x ∃∈R ，20x>”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2． 设1i i 1i a b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03． 设集合{}11 032A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则AB = ▲ ．【答案】{}1 3-，4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ． 【答案】115． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．【答案】0.026． 若函数()π()2sin f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲ ． 【答案】π27． 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】e -8． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD - 的体积为 ▲ cm 3． 【答案】19． 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ．若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为▲ ．【答案】7 10．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．【答案】611．在平行四边形A B C D 中，A C A D A C⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则t a n C A D ∠的值为 ▲ ．A BCDMNQ（第15题）13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ．【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =， 则半径r 的取值范围是 ▲ ．【答案】[]5 55，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点． （1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面M N Q ⊥平面C A D ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ，…… 2分又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ， 故//CD 平面MNQ ． 6分（2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ，又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． 8分 因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD 平面CAD AD =， 且MN ⊂平面ABD ， 所以MN ⊥平面ACD …… 11分又MN ⊂平面MNQ ， 平面MNQ ⊥平面CAD ． 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．① 写出所有等可能的基本事件；② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中”为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. …… 2分由已知，有121923()()5050P A P A ==，．…… 4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()P A P A A P A P A =+=+=+=． …… 6分 （2）① 有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． …… 9分② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B 包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，．故所求的概率为：63()105P B ==答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分 （注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ，k =-y a 1sin θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，(12=-，x ，=y (44-，)， … 2分则⋅=xy (1(4)244⨯-+-⨯=-．…… 6分 （方法2）依题意，0⋅=a b ， …… 2分则⋅=xy (()(22142421⎡⎤+⋅-+=-+⨯-⎢⎥⎣⎦a b a b a b(421443=-+⨯⨯=．… 6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2k θ=-，y ，因为x //y ，所以2(22cos )sin k θθ=--，整理得，()1sin cos 1kθθ=-，…… 9分令()()sin cos 1f θθθ=-， 则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+-22c o sc o s 1θθ=-- ()()2cos 1cos 1θθ=+-.…… 11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=.列表：故当2π3θ=时，min ()f θ=，此时实数k取最大值…… 14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221 ( 0 )y x a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，b 0x 的值；（2）若00x =，求椭圆的离心率； （3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切.解：（1）因为3a =，b ，所以2224c a b =-=，即2c =，由PA PF⊥得，0000132y yx x ⋅=-+-，即220006y x x =--+, …… 3分又2200195x y +=，所以2004990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． …… 5分 （2）当00x =时,220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，（第18题）即2b ac =，故22a c ac -=， …… 8分所以210e e +-=，解得e =（负值已舍）． …… 10分 （3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，①由PA PF⊥得，00001y yx a x c⋅=-+-,即22000()y x c a x ca =-+-+, ②由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a=-(舍去). …… 13分 所以PF =00=0c a x a=-()222a a ac cc a a c --=+⋅2ac c=-，所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. …… 16分 （注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半 径公式扣1分．）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值； （2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数．…… 4分（2）因为对任意的[23]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥．当0a ≤时，对任意的[2 3x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤； …… 6分当a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数，当02a <<时，mi n()(2)2(20f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤；当23a ≤≤时，mi n()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a不存在；当3a >时，{}{}min()mi n(2)(3)m inf x f fa a a a =----，=，≥，解得92a ≥，所以9a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥．…… 10分（3）设[]()()F x f f x a =+， 令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --，4a >，第一步，令()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t a ta -+=，判别式(4)0a a ∆=->， 解得1at =2t =；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得3aat ；第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <，① 若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x x t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a≥时，210x a x t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根，从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；② 若2x x a t -=，其中2204a t <<， 由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③ 若3x x a t -=， 当x a >时，230x a x t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根；当x a≤时，230x a x t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<， 3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a --<，…… 14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>，所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根；若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根；若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根，所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根；当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根；当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7；当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． …… 16分（注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+．（1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列；（2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34．① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论．解：（1）证明：依题意，()()111n n n n nn c c d ab a b d+++--=+-+- ()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， …… 3分从而2111(1)(1)n n n n nn c c d b qq c c d b q++++---==---，又211(1)0c c d b q --=-≠， 所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． …… 5分（2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -，则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =，…… 7分且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，， 解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅．…… 10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，，…… 7分消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，， 消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅．…… 10分② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ，p c ，r c 成等差数列， 则2m p l c c c =+， 因为0l c >，所以2m p c c >， ①若1p m >+，则2p m +≥， 结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥，化简得，820m m -<-<，②因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与②矛盾，所以只能1p m =+， 同理，1r p =+， 所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+，即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． …… 16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）南通市2015届高三第二次调研测试 数学Ⅱ（附加题）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．证明：因为PC 为圆O 的切线， 所以P∠=，B…… 3分 又CPA CPB ∠=∠， 故△C A ∽△BCP， …… 7分 所以AC AP BC PC=，即AP BC AC CP ⋅=⋅． (10)分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值． 解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…… 5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1.a λ⎧⎨=⎩=，…… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，y =，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=, (4)分联立221040y x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=，解得112x =，22x =，所以AB 中点的横坐标为12524x x +=，纵坐标为…… 8分化为极坐标为()5π ，．…… 10分（方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，…… 2分消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=，…… 6分所以线段AB 中点的极坐标为()12π23ρρ+，，即()5π 23，． …… 10分（注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分．）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：22287a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123ab c ++++≥()223a b c ++， …… 6分 因为234a b c ++=， 故22287a b c ++≥，…… 8分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上．（1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标． 解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =，…… 2分将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为t <，所以2t =-． …… 4分（第22题）（2）依题意，M 的坐标为(20)，，直线AM 的方程为2433y x =-+，联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B()112，， …… 6分所以113k =-，22k =-，代入122k k k +=得，376k =-， …… 8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C()823-，．…… 10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且A B =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ．（1）求a 3，a 4的值； （2）求n a ．解：（1）当n =3时，A B ={1，2，3}，且AB =∅，若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种， 所以a 3=1C 11+ C 2=；…… 2分当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且AB =∅，若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种；若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种，所以a 4=02C 22+ C 2=．…… 4分 （2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且AB =∅，若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种；若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种；……若a =1n -，b 1n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共22C nn --（考虑A ）种；若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与AB =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C nn -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C nn --种，所以a n =02C n -+12C n -+…+222C n n --+22C nn -+…+122222C2Cn n n n n -----=-； …… 8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=， 综上得，122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数…… 10分。