8.2 平面简谐波
2 平面简谐波
质点的振动速度， 质点的振动速度，加速度
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u 2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
5
平面简谐波
二 波函数的物理含义
1 x一定， 变化 一定， t 令 ′ =
2πx + y = Acosωt λ
y
o
x
8
平面简谐波
3 x、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播. 即不同时刻的波形，体现了波的传播
y
O
u
x
9
平面简谐波
4 沿 x轴方向传播的波动方程 如图， 如图，设 O 点振动方程为
yO = Acos(ωt +)
x P 点振动比O点超前了 t = u
平面简谐波
一
平面简谐波的波函数
轴正方向传播， 设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
yO = Acos(ωt +)
u
P
y
A
x
A
O
x
1
ห้องสมุดไป่ตู้
平面简谐波
yO = Acos(ωt +)
yO表示质点O 在 t 时刻离开平衡位置的距离 时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上 P 点(坐标 x ), P 点比 O 点的 x 振动落后 t = , P 点在 t 时刻的位移是 O 点
y
A
u
P x
x
A
O
10
平面简谐波
故P点的振动方程（波动方程）为： 点的振动方程（波动方程）
大学物理 平面简谐波的波函数ppt课件
解 写出波动方程的标准式
y Acos[2π( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0
π
2
t
t xπ
y 1.0 cos[2 π( ) ]m
2.0 2.0 2
13
2）求t 1.0s 波形图.
y 1.0 cos[2 π( t x ) π ]m
2.0 2.0 2
t 1.0s y 1.0 cos[π π x]m
Oa
A
A O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
π 2
12
例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
O
y
A
u
T
1 当 x=x0 固定时， 波函数表示该点的简谐
运动方程，并给出该点与开始振动的点 O相位差.
x0 2 π x0
u
λ
y(x,t) y(x,t T )（波具有时间的周期性）
8
波线上各点的简谐运动图
9
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
2 当 t t0一定时，波函数表示该时刻波线上各
波 y Acos[(t x) ] u 沿x 轴正向
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函 数
u
y Acos[(t x) ] u 沿x 轴负向
u
波动方程的建立
x
解：（1）t=0时，0点的相位，即初相位 故波函数
p , 2
y A cos (t x ) p u 2
u
当考虑O处质点的振动初相为零时
x y＝A cos t－ u
质点的振动速度
y x v A sin[ (t ) ] t u
二、波函数的物理意义
1) 当给定 x x1 时
x1 y ( x1 , t ) y (t ) A cos[ (t ) 0 ] o u
8-2
平面简谐波的波函数
一、平面简谐波的波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐 标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称为波函数.
y y ( x, t )
各质点相对平衡位 置的位移 波线上各质点平 衡位置
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动 时，在介质中所形成的波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
（2）振动状态以一定的速度传播—波速。（注意波速不 是质点的振动速度） （3）波动所到各点振动规律相同。 沿波的传播方向，各质点的相位依次落后。
（4）波形在空间移动—行波。
三、波线、波面、波前
同相面（波面）： 某时刻介质中同相点的集合。 波阵面（波前)： 传在最前面的波面. 波线（波法线）：由波源出发，沿波传播方向的线.波线上任 一点的切线方向为该点波的传播方向。 平面波： 波阵面为一平面。 球面波： 波阵面为一球面。 平面波 波 线 波 面 波 线 波 阵 面 在各向同性媒质中波线和波阵面垂直 球面波
0
注意区分：
方向平行：纵波 方向垂直：横波
固体： 纵波 u
Y
平面简谐波概念
O
-A
x
P
x
P点比O点超前时间 反向波波函数
y
O
P
x
x
以波线上x0处点为参考点
y
则Q点处质点的振动方程为 A x0 Q
O -A
x
P
x
Q点的任一振动状态传到P点，需要时间
则波动方程：
其中：x xo u
— 表示x处质元的振动落后(或超前）xo处质元
振动的时间
(
x u
xo
)
—
表示x处质元的振动落后(或超前）于xo处质元
u
(2).y Acos[(t x ) ]
u
(3).y Acos[(t x a ) ]
u
（3）
(1)x b （2）x b （3）x a b
[例] 已知： T 4S 求：P点的振动方程
Y(cm) 0.2 •
解：yP
Aco（s t
平面简谐波
一、平面简谐波概念 所有质点作谐振且波面为平面的波 二、平面简谐波的波动方程：y=f(x,t)
描述媒质中各质点位移y随各点平衡位置x和时间t变化 的函数关系
源
以坐标原点O点为参考点
则O点处质点的振动方程为
y A
O -A
x
P
x
O点的任一振动状态传到P点，需要时间
y A
正向波波函数（波动方程）
(2)同一时刻,沿波线各质元振动状态不同,各质元相位 依次落后
*u
=
T
=
u由介质的性质决定
T T振
振 由振源决定.
得波动方程:
当x确定: y(t)——x处质元的振动方程 当t确定： y(x)——t时刻的波形
第2节 平面简谐波
第 2 节平面简谐波一、平面简谐波的描述；二、平面简谐波函数 如果波源做简谐振动，介质中各点也将相继做同频率的简谐振动，这样形成的波叫简谐波。
如果波面为平面，则这样的波称为平面简谐波。
由于平面简谐波的波面上第一点的振动和传播规律完全一样，可以对平面简谐波用一维的方式来处理。
振动相位相差 的两点之间的距离叫波长，常用 表示。
它实际上就是相邻两振动状态相同的点之间的距离。
设一简谐波沿 x 轴方向传播，t 时刻，原点 O 处振动位移的表达式为：在同一时刻 t，到 O 距离为 x 的 P 点的振动表达式与 O 点的振动具有相同的振幅和 频率，但相位比 O 点落后，这是因为 P 点开始振动的时刻比 O 点晚，所晚的时间就是波从O 点传到 P 点所经历的时间，， 称为波的位相速度 ，也称为波速，它表示单位时间某一振动位相所传播的距离，于是 P 点的位移为：这就是简谐波的运动学方程，由于波是向左传播的，又称为右行波，令： 其中 为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
于是：令：其中， 称为波数，它表示 米内所包含的波长数。
于是简谐波方程可写成：以上各式都是简谐波的方程， 们由波速相互联系，即：是和时间有关的量， 是和空间有关的量，它若 不随 的变化而变化，则称波是无色散的。
简谐波运动学方程的物理意义 ： 波的运动学方程是一个二元函数，位移 y 既是时间 t 的函数，又是位置 x 的函数。
（1）当 x 一定，y 仅为 t 的函数 。
当时，即盯住其一位置看：它表示处的质点随时间做简谐振动，是一个振动方程。
且时刻 t 和 t+T 振动状态相同，说明波动过程在时间上具有周期性，振动的周期、频率、和振幅都与波源相同，但是相位落后：（2）t 一定时，y 仅为 x 的函数，当时：其中，。
此方程表示任意一时刻各质点离开平衡位置位移分布。
可以看出波动过程在空间 上具有周期性，波长就是波动的空间周期。
（3）波表达式的宗量一定，即位相一定，，随着时间 t 的增加，x 也要相应地增加，波必须在空间传播一定的距离，将宗量对时间求微分：其中 为波的位相速度 ，简称相速。
2平面简谐波
y( x, t ) = A cos[ωt −
2πx
+ ϕ0 ]
注：若u沿x轴负向，P点的振动领先： 轴负向， 点的振动领先： 2πx y( x, t ) = A cos[ωt + + ϕ0 ] λ
x y ( x, t ) = A cos[ω (t + ) + ϕ 0 ] u x y( x, t ) = A cos[2π (νt + ) + ϕ0 ] λ 2π ′ y( x, t ) = Acos[ ( x + ut) + ϕ0 ] λ ′ y( x, t ) = A cos[k ( x + ut) + ϕ0 ] y u x x o P
.
o
r u
x0
.
a
λ
∆x
p
λ
点的相位比a落后 解2：p点的相位比 落后： 2 π ∆ x = 2 π ( x − x 0 ) ： 点的相位比 落后： a点的振动方程：ya = A cos[ωt + ϕ ′)] 点的振动方程： 点的振动方程 即得波动方程： 即得波动方程：
y p = A cos[ωt −
五、惠更斯原理
1. 波动的描述：（ ）波函数 （2）几何描述 波动的描述：（ ：（1） ） 几个概念： 几个概念：
(1) 波面：振动相位相同的 波面： 点组成的面称波面。 点组成的面称波面。波面是 平面的波称为平面波，波面 平面的波称为平面波， 是球面的波称为球面波。 是球面的波称为球面波。 (2) 波前 波阵面 ：传播过 波前(波阵面 波阵面)： 程中处在最前面的那个波面 称为波前或波阵面。 称为波前或波阵面。
平面简谐波
解 根据题意设波源的振动方程为
y
0.01cos
200
t
x 400
0
vy00
0 0
即0.021csoins00
0 0
0
2
故
y
0.01cos
200
t
x 400
2
（1）B 和A 两点之间的振动相位差为
200
t
2 400
2
200
t
1 400
2
2
（2）以B 为坐标原点时有
t x
T
(t, x) (t t, x x)
x ut
讨论：如图简谐 波以余弦函数表示，
求 O、a、b、c 各点
振动初相位.
(π ~ π )
t =0 A y
Oa
A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
π 2
讨论
1.同一波线上两个不同点的振动相位差
x 2 x
程、2）波函数。
2 y(102 m)
22
o
2
yo
t(s)
2 102 cos(2π t )m
4
A
oA2 y
π
3
t 0,x 0 y A 2 v 0
波函数
y 2 102 cos[2π( t x ) π ]m 44 3
x 0.5m 处质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
平面简谐波
二. 波函数的物理意义
(1) 振动状态的空间周期性
y(x, t) A cos[ 2π ( t x) 0] T
y ( x , t ) y ( x, t ), 说明波线上振动状态的空间周期性
·由质元看：相隔 的两点振动状态完全相同(同相点)。
T
波函数的 其它形式
y(x, t) A cos[ 2π ( t x) 0] T
y(x, t) A cos[2π (ut x) 0]
讨论 (1) 由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和 x2 振动
的相位差为
x2 x1 [ (t ) 0 ] [ (t ) 0 ] ( x1 x2 ) u u u
y v 0.04 50π sin π (50t 0.10 x) t v max 0.04 50 6.28 m/s u
(2)质点振动的最大速度?
三. 平面简谐波的波动方程 Differential equation x 由 y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 )] u 2 y x 2 知 A cos[ (t ) 0 ] 2 2 y 1 2 y t u 2 2 2 2 2 y x A cos[ (t ) ] x u t
x2>x1, Δ<0，说明 x2 处质点振动的相位总落后于x1 处质 点的振动； (2) u 实际上是振动相位的传播速度。 t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到 x 1 x 处，则
y (x 1 x ,t1 t ) y (x 1,t1 )
x1 x1 x (t1 ) (t1 t ) u u x u t
平面简谐波
平面简谐波
平面简谐波是一种由沿着同一方向运动的波源发出的波，可以被描述为振幅在空间内
相等且经过同一时间周期的波形。
这种波形通常由正弦或余弦函数表示，因此也被称为正
弦波或余弦波。
平面简谐波的传播方向通常被称为波矢方向，其振幅通常被称为波矢大小。
当平面简
谐波从波源处发出时，其速度通常已知，并且可以通过波长和频率的关系来计算。
平面简谐波最常见的应用是在电磁波的传播过程中，尤其是在无线通信和雷达系统中。
电磁波可以经过不同的介质（如空气，水和金属）传播，但在这些介质中都遵循平面简谐
波的基本原理。
在无线通信中，发射器会产生一个特定频率的平面简谐波，该波会经由空气传播到接
收器，接收器会接收并处理信号。
这种方式是无线通信的基础，也是电视和电台广播的基
本工作原理。
平面简谐波在其他领域中也很常见。
例如，在音频系统中，声波可以被描述为正弦波。
通过理解平面简谐波的基本原理，我们可以更好地理解波的传播，并使用它来实现各种实
用的应用。
大学物理(II)下册教学课件：平面简谐波函数
A cos t
x u
沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波函数.
沿 x轴方向传播的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
P点振动比O点超前了 Δt x u
故P点的振动方程（波函数）为：
y
yo
t
t
Acos
t
x u
利用 2π 2πν
T
uT 和
k 2
可得波函数的几种不同形式：
y
A cos t
C
B oA
Dx
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差 yA (3102 m) cos(4 π s1)t
B C
2 π xB xC
2 π 8 10
1.6 π
C
D
2 π
xC
xD
2 π 22 10
4.4 π
u
10m 8m 5m 9m
C
B oA
10m
Dx
例3 、已知平面简谐波的某一图形，写出 波函数
2.0 2.0 2
y (1.0) cos[π π x]
2
t 1.0s
sin πx (m)
波形方程
y/m
1.0
O
-1.0
t 1.0 s
2.0
x/m
时刻波形图
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图
y (1.0) cos[2 π( t x ) π] 2.0 2.0 2
x 0.5m 处质点的振动方程
设图示为平面简谐波在 波形图，求该波的波动方程。
播，且 u 4.0m s1
解：由图上直接读出
t 0
时刻的
已知波沿 ox 轴正方向传
平面简谐波的波函数
解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t
描述平面简谐波概念
描述平面简谐波概念介绍平面简谐波是一种特殊的波动现象，在许多自然和物理现象中都能观察到。
它是一种周期性的振动，沿着固定的方向传播，并且其振动方向与传播方向垂直。
平面简谐波具有一些独特的性质，深入了解这些性质能够帮助我们更好地理解波动现象的本质。
平面简谐波的定义平面简谐波是一种在时间和空间中都是周期性的波动。
它可以用数学公式来描述，通常表示为：y(x,t)=A⋅sin(kx−ωt+ϕ)在这个公式中，y是波的振幅，A是最大振幅；x是波的位置，t是时间，k是波数，表示波的空间频率；ω是角频率，表示波的时间频率；ϕ是相位，描述波动的起始位置。
平面简谐波的特点平面简谐波具有以下几个重要的特点：1. 周期性平面简谐波是周期性的，即在空间和时间上呈现出一定的重复性。
在任意时刻和位置上的波形都与之前的波形相似。
2. 定向性平面简谐波沿着固定的方向传播，其振动方向和传播方向垂直。
这意味着在波的传播过程中，波的能量在空间中沿着直线扩展。
3. 纯净性平面简谐波由一个频率确定的正弦函数组成，没有其他频率的分量。
这意味着波的频率是唯一确定的，没有任何杂散的频率成分。
4. 叠加原理平面简谐波具有良好的叠加原理。
多个平面简谐波可以在同一空间中叠加，并按照各自的振幅和相位叠加成一个新的平面简谐波。
平面简谐波的应用领域平面简谐波的概念和性质在物理学和工程领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 光学在光学中，平面简谐波被用来描述光的传播和干涉现象。
光是一种电磁波，可以用平面简谐波的概念来解释光的行为。
例如，光的干涉现象可以通过将多个平面简谐波叠加而成。
2. 声学在声学领域，平面简谐波被用来描述声波的传播和共鸣现象。
声波是一种机械波，可以用平面简谐波的概念来描述声波的振动和传播特性。
3. 信号处理在信号处理中，平面简谐波被广泛用来分析和合成信号。
通过将信号拆解为多个简谐波的叠加，可以更好地理解信号的频谱特性和时域特性，从而进行信号处理和调制。
平面简谐波
dx
dt k
2 / T 2 / T
p
• 波传播过程中，波的等相位面是以速率
p / T 沿波传播方向推进的。
• 对于平面简谐波，波相速等于波速。
三、平面简谐波的波动方程
以最简形式的正向波为例，波函数为：
y( x, t) Acos( t－kx) Acos[(t x )]
u
2 y x 2
y( x, t) Acos( t kx)
(2) 给定 t = t0 时
y( x, t0 ) Acos( t0－kx)
——表示 t0 时刻的波形
y
u
y1
o
x1
t0时刻的波形曲线
x
二、平面简谐波的物理意义
y( x, t) Acos( t kx)
(3) 在 x 与 t 都变化时
y(x x, t t) Acos[(t t k(x x)]
1 u2
2 y t 2
(对正、负向波均成立)
三、平面简谐波的波动方程
一般平面波均可表示为平面简谐波的线性叠加。
y C1 y1 C2 y2
2y 1 2y x2 u2 t 2
平面波方程
意
对坐标x和时间t 的关系满足平面波方程的任 何物理量，必以平面波的形式沿x轴传播，
义 且传播速度为u.
三、平面简谐波的波动方程
u P
x
随堂练习
3、简谐波沿x轴正向传播，频率为=0.5Hz， 波速为u=18ms-1, t=0.5s时刻的波形如图，求 波函数。
y 0.1
x 0.05
y(x,t) Acos(t kx 0)
欢迎网上答疑
(1) 若某物理量（设为 ）在三维空间中以平面波形式
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
平面简谐波波动详细介绍课件
=
−ω
x b
−
x a
=
−π
−
π
b
a
u 32
相同n,因为（x − x )〈λ
b
a
→ u = 0.84ms −1
波动方程 y(x, t) = 0.1cos(7πt − 7π x − 17 π ) (m) 23
0.84 3
练习
#1a1101001d
一沿x 轴正向传播的平面简
谐波在t=0 时刻的波形图如
图， O点的振动曲线为
本次课教学重点和要求
理解波长、周期、频率、波速等概念的含意; 掌握波长、周期、频率、波速之间的关系. 掌握由质点的谐振动方程或某时刻的简谐波波 形曲线 等已知条件建立简谐波波动方程的方法 掌握平面简谐波波动方程的物理意义
1
一 机械波的产生和传播
波动的一般概念 波动（简称波） 机械波，电磁波．．．
1 、机械波产生的条件: 波源；介质
2
2、两种基本类型： 横波和纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播）
¾ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播）
¾ 特征：具有交替出现的密部和疏部.
3
3 波阵面和波射线
波阵面
球面波
波前 波线
波前
平面波
2
x
2
原点处：
原点振动方程：y0 (t)
=
π
A cos( 2
t
+
ϕ 0
)
Q
x
=
0;t
y
=
2时
t=2s
φ = 2kπ + 3π
平面简谐波的描述27页文档
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
平面简谐波的描述
56、极成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
2平面简谐波的波函数
平面简谐波的波函数，又称波动方程。
2、平面简谐波的波函数
波动
利用 2π 2πν 和 uT
T
波动方程的几种不同形式：
y
A
cos
t
x u
A
cos2π
t T
x
A cost
2πx
2、平面简谐波的波函数
波动
由波函数： y
A
cos[ (t
x)
]
2、平面简谐波的波函数
波动
3、x 、t 都变
方程表示在不同时刻各质元的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播。
yu
O
x
2、平面简谐波的波函数
波动
4、沿 x轴负向传播的波动方程
y
u
A
设 O 点振动方程为：
P
x
yO
Acost
O
A
x
P 点振动比O点超前了Δt x u
故P点的振动方程（波动方程）为：
Байду номын сангаас
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间周期性）
2、平面简谐波的波函数
波动
2、t 一定，x 变化
y
y Acost 2πx
o
x
令 t C（定值）
则
y
A
cos
2πx
表示t 时刻波传播方向上各质元的位移, 即t
时刻的波形图（y — x的关系）
y(x , t) y(x,t)（波具有空间周期性）
2、平面简谐波的波函数
波动
一、平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间x轴 上各质元振动的位移 y 随时间 t 变化的表达式。
振动(机械振动)物体在平衡位置附近往返运动要点
第七章振动振动（机械振动）：物体在平衡位置附近往返运动。
波是振动的传播。
振动和波动是横跨物理学不同领域的一种非常普遍而重要的运动形式。
7.1简谐振动的动力学特征我们结合具体例子谈简谐振动的动力学特征即、（1）在怎样的力（或力矩）的作用下物体做简谐振动。
（2）根据力（或力矩）和运动的关系，求出简谐振动的动力学方程。
1、简谐振动概念：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫简谐振动。
平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零时，此位置称平衡位置。
线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此力称线性回复力。
f x =－λx (λ为正常数)（1）我们以弹簧振子这种典型简谐振动例子来研究问题。
装置如图所示，在理想情况下，x很小时，力f x与x之间成线性关系。
即f x =－kx k是弹簧劲度系数以m 表滑块质量，根据牛顿第二质量m*d2x/dt2=- kx令 k/m=ω02上式可写作d2x/dt2=-ω02x或d2x/dt2+ω02x=0间谐振动的动力学方程： d2x/dt2+ω02x=0（2）我们再来看另一典型例子单摆装置如图,不可伸长轻线悬挂一小球，将小球视作质点；相对于悬线铅垂位置的角位移θ很小。
小球切向力f t =－mgsinθ∵sinθ=θ-θ3/3！+θ5/5！-………∴sinθ≈θ则f t =－mgθf t是线性回复力，所以单摆做简谐振动：由牛顿第二定律：m*d2（lθ）/dt2=－mgθd2θ/dt2=-g/l*θ令 g/l=ω02 有d2θ/dt2 +ω02θ=0即单摆做简谐振动对扭摆也可得出运动力学方程d2φ/dt2 +ω02φ=0简谐振动的一般定义：任何物理量x（例如长度、角度、电流、电压以至化学反应中某种化学组分的浓度等）的变化规律满足方程d2x/dt2+ω02x=0，且常数ω0决定于系统规律本身的性质，则该物理量做简谐振动。
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t x y A cos[2π ( ) ] T
注意原来的x-t图，现为y-x图。注意旋转矢量和y（位移）
的对应关系。
t x y A cos[2π ( ) ] T t 0 x0
π y y 0, v 0 2 t t x π y cos[2π( ) ] (m) 2.0 2.0 2
• Q点比波源落后 2 • 所以P点的振动方程为： y 0.1cos(4 t ) • Q点的振动方程为： y 0.1cos(4 t )
x
2
•
vQ 0.1 4 sin(4 t ) 2 T （2）当 t 2
2
vQ 1.26 m s
5m 9m
2
oA
D
x
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y A (3 10 m) cos(4 π s )t xB xC 8 B C 2π 2π 1.6π 10
2 1
C D 2π
xC xD
22 2π 4.4π 10
r ut
§8.2 平面简谐波的波函数
• 波动方程反映了波的时间和空间双重周期性。 • 时间周期性：周期T代表了波的时间周期性。从质 点运动来看，反映在每个质点的振动周期均为T； 从整个波形看，反映在t时刻的波形曲线与t+T时 刻的波形曲线完全重合。 • 空间周期性：波长代表了波在空间的周期性。从 质点来看，反映在相隔波长的两个质点其振动规 律完全相同(两质点为同相点)；从波形来看，波 形在空间以波长为“周期”分布着。所以波长也 叫做波的空间周期。
§8.2 平面简谐波的波函数
• 解：（1）设波源的振动方程为：
y A cos(t )
• 当
t 0
x 2
0 波源位于正的最大值，可知
• 波源的振动方程为： y 0.1cos 4 t
• 由
• 可知P点比波源落后
2
x
§8.2 平面简谐波的波函数
＝ 2－1 2
相位差取决于波程差！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2－x1
＝ 2
x
§8.2 平面简谐波的波函数
• 3．当x和t都变化时 • 波动表达式表示了波线上所有质点在不同时刻的位 移。如图所示，以横轴为质点的平衡位置坐标，做 出确定时刻的波形图，实线表示时刻为t的波形，虚 线表示时刻为 t t 的波形，从图中可以看出，振 动状态（即相位）沿波线传播的距离是？整个波形 也向前传播了的距离，因而波速就是波形向前传播 的速度，所以说波函数也描述了波形的传播。
§8.2 平面简谐波的波函数
8.2.1
平面简谐波的波函数
• 在波动中，每一个介质质点都在进行相似 的振动（理想情况下，只有相位有所区 别），对一个波的完整的描述，应该是给 出波动中任一质点的振动方程，这种方程 称为波动方程（或波函数） 。
§8.2 平面简谐波的波函数
• 设有一列平面简谐波以波速u沿x轴正方向 传播，如图所示，介质中各个质点的平衡 位置都在处于x轴上。
x
例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A 1.0 m， 2.0 s， 2.0 m. 在 t 0 T λ 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 (1)波动方程；(2)t 1.0 s波形图； 运动. 求：
(3) x 0.5 m 处质点的振动规律并作图. 解 (1) 写出波动方程的标准式
y cos[π t π] (m)
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * 2.0 * t / s * 1.0 0 O 2 * 1 -1.0*1 x 0.5 m 处质点的振动曲线
例2 一平面简谐波以速度 u 20 m s -1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A 3 10 2 cos(4 π t ) ; ( y, t 单位分别为m，s). 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
因由左向右传播 故B点超前A，应改为
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程 y A 3 10 2 cos(4 π t ) x
u
x u
故 以B为原点的简谐运动方程为
y B 3 10 2 cos 4 π t 【 （
x π)】 3 10 2 cos 4 π t π) （ u
y A 3 10 cos(4 π t ) 10 m
5m 9m
2
oA
D
x
点 D 的相位落后于点 A AD 2 yD 3 10 cos(4πt 2π ) λ 9 2 3 10 cos(4πt π) (m) 5
u
λ 10 m
C 8m B
y A 3 10 cos(4 π t ) 10 m
oB
x
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程 因点C 的相位比点A 超前 2 π AC 2 y A 3 10 cos(4 π t ) AC 2 yC 3 10 cos(4 π t 2 π ) 13 2 3 10 cos(4 π t π) (m) 5
u
8m C B
u
• 应用
T
2 2 T
§8.2 平面简谐波的波函数
• 有：
x t y＝A cos 2 － T
2
1
x y＝A cos 2 t－ 2 y A cos ( x ut)
2 T
把 提出，注意余弦函数特点， 可得下式。
O
A
y
(2)求 t 1.0s 波形图 t x π y 1.0 cos[2π( ) ] 2.0 2.0 2 π y 1.0 cos[ π x] 2 t 1.0 s sin πx (m) 波形方程
y/m
1.0
0
2.0
t 1.0 s
x/m
-1.0
时刻波形图
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y 1.0 cos[2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
• 以y轴表示质点的振动位移，则x轴原点O处 的质点的振动方程为
y0 A cost
§8.2 平面简谐波的波函数
• 对于x轴上任一质点P(x)（其平衡位置坐标为x）， 当振动从原点O点传到P点时，P处质点将重复O点 的振动，但是在时间上要落后τ=x/u，或者说P处 振动的相位要比O处的相位落后ωτ。因此在时刻 t，P处的相位应为ωt-ωτ，相应的位移为
§8.2 平面简谐波的波函数
当时间t一定时
• 由此还可以得到同一波线上任意两点的振动位相差
2 x1 y A cos t 2 x2 ; y A cos t
＝ 2－1 2
相位差取决于波程差！
x2－x1
＝ 2
9m
u
λ 10 m
C 8m B 5m
10 m
D
oA
x
此处“-”号疑问在波的干涉那里将解决
略
§8.2 平面简谐波的波函数
• 例8.1 已知一平面简谐波沿x轴正向传播, 振动周期T=0.5s，波长=10m,振幅A=0.1 m， 当t=0时波源振动的位移恰好为正的最大 值.。若波源处为原点, 求： • （1）沿波传播方向距离波源为/2处P点的 振动方程； • （2）当t=T/2时, x=/4处Q点的振动速度。
y A cos(2 t
2
x)
§8.2 平面简谐波的波函数
• 同理，我们可以推出沿x轴负方向传播的平 面简谐波的表达式：
x x x t y＝A cos t＋ ＝A cos 2 ＋ ＝A cos 2 t＋ u T
§8.2 平面简谐波的波函数
因由左向右沿x轴正向传播，故波动方程为
x y 3 10 2 cos 4 π t ） π)】 3 10 2 cos 4 π t x π】 【 （ 【 u 5 t x 2 y 3 10 cos[2π( ) π] (m) 0.5 10
u
8m C 5m A 9m D
8.2.2
波函数的物理意义
• 1．当给定x，则位移仅是时间的函数
2x1 y A cos t
§8.2 平面简谐波的波函数
• 上式x1是一个常数，方程表示的是处于x处 的一个质点的振动方程。即x处的质点的振 动情况，方程表示该质点在平衡位置附近 以角频率ω作简谐振动（如上图所示，注 意横坐标为时间t）。 • 它表达了距离坐标原点为x处的质点的振动 规律，不同的x，相应的振动初相位不同。
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 2 m T 0.5 s 0
λ uT 10 m
t x y A cos[2π ( ) ] T t x 2 y 3 10 cos 2π( ) (m) 0.5 10
x y P A cost－ ＝A cos t－ u
§8.2 平面简谐波的波函数
• 该方程反映了质点P在任一时刻相对于平衡 位置的位移，考虑P点的任意性，我们可以 把脚标P去掉，写成一般形式，即可得平面 简谐波的波函数为
x y＝A cos t－ u
§8.2 平面简谐波的波函数