高三第一阶段测试数学试题(附答案)

西北师大附中高三第一阶段数学测试试题
第Ⅰ卷
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
若集合}{2
-==x y y M ，}1{-=
=x y y P ，那么=P M （ ）
A ),1+∞
B ),1+∞
C ),0+∞
D ),0+∞
若函数)(x f y =的图象与函数)1lg(-=x y 的图象关于直线0=-y x 对称，则=)(x f （ ）
A x 10-
B 1+x
C 110+-x
D 1--x
函数)
1(21
)(x x x f --=
的最大值是（ ）
A
4 B 9 C 4 7
已知函数)(1x f y -=的图象过点)0,1(，则)12
1
(-=x f y 的反函数的图象一定过点（ ）
A )2,1
B )1,2
C )2,0
D )0,2
设集合},,{c b a M =，}1,0{=N ，映射N M f →:满足)()()(c f b f a f =+，则映射N M f →:的个数为（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4
若)2
,
0(π
θ∈，则函数2)1(log sin >-=x y θ的解集是（ ）
A )sin ,1(2θ-∈x
B )1,(c o s 2θ∈
C )2
1
,(c o s 2θ∈x D )c o s ,1(2θ-∈x
设偶函数b x x f a -=log )(在)0,(-∞上递增，则)1(+a f 与)2(+b f 的大小关系是
A )1(+a f ≥)2(+b f
B )1(+a f ≤)2(+b f
C )1(+a f <)2(+b f
D )1(+a f >)2(+b f
函数b x y +-=与x
b y -=（0>b 且0≠b ）的图象可能是（ ）
A
B
C D
9已知函数x
x f )2
1()(=，则
函数)(x g 的图象与)
(x f 的图象关于直线x y =对称，则函
数)(2
x g 是（ ）
A 奇函数在),0(+∞上单调递减
B 偶函数在),0(+∞上单调递增
C 奇函数在)0,(-∞上单调递减 偶函数在)0,(-∞上单调递增
已知函数)(x f ，)(x g ，)(R x ∈设不等式a x g x f <+)()()0(>a 的解集是M ，不
等式a x g x f <+)()()0(>a 的解集是N ，则解集M 与N 的关系是（ ）
A N ⊆
B N =
C N ≠⊂M ≠
⊂N
11若函数2)1(log )(223+++
+=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，
（a ，b 为常 数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）
A 有最大值5
B 有最小值5
C 有最大值3 有最大值9
函数1
2
1)(+-
=x x f 的定义域为A ，)1()],2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 的定义 域为B ，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）
A ]2,--∞
B )1,21[
C ]2,--∞]1,21[
D ]2,--∞)1,2
1
[
第Ⅱ卷
填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分
设奇函数)(x f 的定义域]5,5[-，若当
]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如图，则不等式 )(x f 0<的解是_________
函数)(x f y =)(R x ∈满足)(x f 是偶函数，又
2003)0(=f ，)1()(-=x f x g 为奇函数则=)2004(f __________
某地区预计2004年的前x 个月内对某种商品的需求总量)(x f （万件）与月份x 的近似
关系式是,121,),19)(1(75
1
)(*≤≤∈-+=
x N x x x x x f ，则2004年的第x 月的需求 量)(x g （万件）与月份x 的函数关系式是___________
已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，),(,+∞-∞∈n m ，请给出能使命题：
“若,0>+n m 则)()()()(n f m f n f m f -+->+”成立的一个充分条件是________
三、解答题：本大题共6小题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （本小题满分12分）
设)
1()
1()(log 2
2--=a x x a x f a （1）求)(x f 的定义域
（2）在)(x f y =的图象上是否存在两个不同的点，使过这两点的直线与x 轴平行？证明你的结论
（本小题满分12分）
已知A 、B 是ABC ∆的两个内角，且A tan 、B tan 是方程012
=+++m mx x 的两个实根，求m 的取值范围
（本小题满分12分）
某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，
t 小时内供水总量为t 6120吨，
（240≤≤t ）
（Ⅰ）从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?
（Ⅱ）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧
张现象
（本小题满分12分）
已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数m 、n ，满足2)21
(=f ，且1)()()(-+=+n f m f n m f ，当2
1->x 时，0)(>x f （1）求)2
1(-f 的值；
（2）求证：)(x f 在定义域R 上是单调递增函数
（本小题满分14分）
已知定义在实数集R 上的奇函数，)(x f 有最小正周期2，且当)1,0(∈x 时，1
42)(+=x x
x f
1）求函数)(x f 在]1,1[-上的解析式； 2）判断)(x f 在)1,0(上的单调性；
3）当λ取何值时，方程λ=)(x f 在]1,1[-上有实数解？ （本小题满分12分）
设函数a x x a x f +++-=1)(2，]1,0(∈x ，∈R a
Ⅰ）若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围； Ⅱ）求)(x f 在]1,0(上的最大值
高三第一阶段测试数学答案
选择题
CBDAC BDCDA DD 填空题
)0,2(]5,2- ； 142003)2004
(=f ； 15)13(25
1
)(x x x g -= 函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递增（或b ax x f +=)(，)0(>a 等）
解答题
)21'
解：（1）令x t a log =，则t
a x =（0>a 且1≠a ），R t ∈，
故)(t f ＝
12
-a a
)(t t a a --，R t ∈ 即)(x f ＝1
2-a a
)(x x a a --，R x ∈
即)(x f 的定义域是实数集
（2）任取1x ，2x R ∈且21x x <
若1>a ，则21x x a a <， 21x
x a a -->
即21
x x a a ---<-，2211x x x x a a a a ---<-
又
012>-a a
∴12
-a a )(11x x a a --<1
2-a a
)(22x x a a -- 即)()(21x f x f <
若10<<a ，易得)()(21x f x f <
综上可知，当0>a 且1≠a 时，)(x f 在R 上为增函数，则在)(x f y =的图象上不存在两个不同点，使过这两点的直线与x 轴平行
依题意有，A tan ＋B tan ＝m -，A tan B tan ＝1+m
∴)tan(B A +＝
B A B A tan tan 1tan tan -+＝)
1(1+--m m
＝1
π<+<B A 0，∴4
=
+B A 从而4
0π
<
<A ，4
0π
<
<B
故A tan )1,0(∈，B tan )1,0(∈
即方程012
=+++m mx x 的两个实根均在)1,0(内 设1)(2+++=m mx x x f
则函数)(x f 与x 轴有两个交点，且交点在)1,0(内；
又函数)(x f 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为2
m x -=， 故其图象满足
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧<-<>>≤-1200)1(0
)0(0)2(m f f m f 即⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<->+>+≤++-020********m m m m m 解之，得2221-≤<-m 故所求m 的范围是]222,1(--
解：Ⅰ设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则t t y 612060400-+=；
令t 6＝x ；则t x 62
=，即x x y 120104002-+=40)6(102
+-=x ；
∴当6=x ，即6=t 时，40min =y ，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨依题意80120104002<-+x x ，得032122
<+-x x ；
解得，84<<x ，即864<<t ，3
32
38<
<t ； 即由83
8
332=-，所以每天约有8小时供水紧张
解：（1）令0==n m ，得1)0(2)0(-=f f ，∴1)0(=f 又2)21
(=f ，令21=
m ，21-=n ，得1)2
1
()21()2121(--+=-f f f ∴0)2
1
(=-f
（2）设1x ，2x R ∈且21x x <，则012>-x x ，2
12112->-
-x x 当2
1
-
>x 时，0)(>x f ∴0)2
1
(12>--x x f
)(])[()()(111212x f x x x f x f x f -+-=-
＝)(12x x f -＋)(1x f －1－)(1x f ＝)(12x x f -－1
＝)(12x x f -＋)2
1(-f －1 ＝0)2
1(12>--x x f 因此，)(x f 是增函数
解：1）当)0,1(-∈x 时，)1,0(∈-x
)(x f 是奇函数
∴)()(x f x f --=142+-=--x
x 1
42+-=x x
由)0()0()0(f f f -=-=得0)0(=f 又)1()1()12()1(f f f f -=-=+-= 得0)1()1(=-=f f
∴⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+=0
142
142)(x
x x
x x f }1,0,1{)0,1()1,0(-∈-∈∈x x x 2）当)1,0(∈x 时，1
42)(+=x x
x f
任取1x ，2x )1,0(∈且21x x <，
)(2x f －)(1x f
＝14222+x x －1421
1+x x ＝)
14)(14()21)(22(212112++--+x x x x x x 1021<<<x x ，∴0)()(12<-x f x f 即)()(12x f x f < ∴)(x f 在)1,0(上是减函数
3）)(x f 在)1,0(上是减函数，)(x f 在)0,1(-上是减函数
x )1,0(∈时，)21,52()(∈x f
x )0,1(-∈时，)5
2
,21()(--∈x f
}1,0,1{-∈x ，}0{)(∈x f
∴当)2
1
,52(}0{)52,21( --∈λ时
关于x 的方程)(x f ＝λ在]1,1[-上有实数根
解：当]1,0(∈x 时，11
)(2
++-='x x a
x f
Ⅰ）要使)(x f 在]1,0(∈x 上是增函数，11
)(2
++-='x x a x f 0≥在]1,0(上恒成立
即221
11x
x x a +=+≤
在]1,0(上恒成立 而2
11x
+
在]1,0(上的最小值为2，又+
∈R a ∴20≤<a
Ⅱ）ⅰ）20≤
<a 时，)(x f 在]1,0(上是增函数，1)21()1()]([max +-==a f x f
ⅱ）2>a 时，0)(='x f ，得1
1
2
-=
a x ∈]1,0( 1102-<
<a x ，0)(>'x f ；11
1
2
≤<-x a ，0)(<'x f ∴1)1
1
(
)]([22
max --=-=a a a f x f。