2012年高考数学压轴题精炼六
巧用最值定义,简解湖南省2012年高考数学文理科压轴题
巧用最值定义,简解一道高考压轴题易正红(湖南省岳阳县第一中学,414100)问题源于2012年高考数学湖南卷理科试题第22题.原题如下:已知函数()axf x e x =-,其中0a ≠. (Ⅰ)若对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,求a 的取值集合; (Ⅱ)在函数()f x 的图象上取定两点112(,()),(A x f x B x212,())()f x x x <,记直线AB 的斜率为k .问:是否存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由.下面是命题组提供的标准解答.解 (Ⅰ)若0a <,则对一切0,()1ax x f x e x >=-<, 这与题设矛盾.又0a ≠,故0a >.而()1axf x ae '=-,令()0f x '=,得11lnx a a =. 当11lnx aa<时,()0f x '<,()f x 递减;当11lnx aa>时,()0,()f x f x '>递增.故当11ln x a a=时,()f x 取最小值11111(ln )ln f aaaa a =-.于是对一切,()1x R f x ∈≥ 恒成立,当且仅当111ln 1a a a-≥.……①令()ln g t t t t =-,则()ln g t t '=-.当01t <<时,()0,()g t g t '>,单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<递减.故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当11a=,即1a =时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{1}. （Ⅱ）由题知,21212121()()1ax ax f x f x eek x x x x --==---,令2121()()ax ax axee xf x k aex x ϕ-'=-=--,则121()12121()[()1],ax a x x ex ea x x x x ϕ-=-----212()21221()[()1]ax a x x ex ea x x x x ϕ-=----令()1,t F t e t =--则()1tF t e '=-.故当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t ≠时,()(0),F t F >即10t e t -->.从而121()21210,()10ax a x x eea x x x x ->--->-, 212()12210,()10ax a x x eea x x x x ->--->-所以12()0,()0x x ϕϕ<>.因为函数()y x ϕ=在区间12[,]x x 上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在12(,)c x x ∈,使得()0c ϕ=,又2()0,()ax x a e x ϕϕ'=>单调递增,故这样的c 是唯一的,且21211ln()ax ax eec a a x x -=-.故当且仅当212211(ln,)()ax ax eex x aa x x -∈-,使()f x k '>.综上所述,存在在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立,且0x 的取值范围为212211(ln,)()ax ax eex aa x x --.笔者认为上述解法中,至少有两处解答可简化. 第一,在第(Ⅰ)问中若能运用最值定义,则完全可以避免再构建函数求导过程;第二,在第(Ⅱ)中若能应用第(Ⅰ)问的结论,则直接可证明12()0,()0x x ϕϕ<>,构造函数求导完全是多余的.为此我们先来回顾一下最小值的含义[1]:一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1) 对于任意的x I ∈,都有()f x M ≥; (2) 存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()y f x =的最小值.下面给出笔者的解答.解 (Ⅰ) 注意到(0)1f =,且对,()1x R f x ∈≥恒成立,即()(0)f x f ≥.所以由函数的最小值含义知,min ()(0)1f x f ==,又若0a <,则当0x >时,()1axf x e x =-<,这与题设矛盾,又0a ≠,故0a >.又()10axf x ae '=-=时,得11ln(0)x a aa=>,且当11lnx a a<时,()0f x '<,()f x 递减,当11ln x a a>时,()0f x '>,()f x 递增;故当且仅当11lnx aa=时,函数()f x 有最小值.又已知min ()(0)f x f =,也所以11ln0aa=,即1a =.所以a 的取值集合为{1}(Ⅱ)假设存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立.由题知21212121()()1ax ax f x f x eek x x x x --==---.又由(Ⅰ)知,()1axf x ae '=-令2121()()ax ax axeex f x k aex x ϕ-'=-=--,则()x ϕ'20axa e=>,即()x ϕ在12(,)x x x ∈上单调递增;又因为12121121()()()ax ax ax eax ax eex x x ϕ---=-,而由(Ⅰ)已知1a =时,对R x ∈时,有不等式1x e x -≥成立,当0x =时取等号,即1xx e ≤-;所以21211ax axax ax e--<-,又10ax e >, 所以121121(1)ax ax ax ax e ax ax ee-⋅-)<(-⋅即12121(ax ax ax eax ax ee⋅-)<-,可见1()0x ϕ<,又22121221()()()ax ax ax eax ax eex x x ϕ---=-,同理由12121ax axax ax e--<-, 得12211ax axax ax e-->-+,又20ax e >, 所以212221(1)ax ax ax ax e ax ax ee-⋅-)>(-+⋅,即22121(ax ax ax eax ax ee⋅-)>-,可见2()0x ϕ>,所以函数()y x ϕ=在区间12(,)x x 上有唯一的零点c ,使得()0c ϕ=.显然当2(,)x c x ∈时,()0x ϕ>,即()f x k '>,又由()0c ϕ=,求得21211ln()ax ax eec aa x x -=-.也所以存在2102211(ln,),()ax ax eex x a a x x -∈-使0()f x k '>成立,即假设成立.值得提出的是,以同样的方法可以简化解答2012年高考数学湖南卷文科试题第22题,这里就不再赘述,有兴趣的读者不妨一试.评注: ①《2012年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷考试说明》(数学)中强调“考纲要求”理解函数最大值、最小值及其几何意义,并在“考纲阐释”中明确指出,这是提升对数形结合、几何直观等数学思想方法的考查要求[2].就这一点而言,2012年高考湖南省数学卷压轴题(文理科)的第(Ⅰ)问的命题是很成功的,考查了考生对函数(0)axy e a =≠、1y x =+图象的联想运用,但美中不足的是命题者似乎未发现其对“函数最值含义” 的考查功能,而片面地追求所谓的“导数强大功能”去“构造函数”.②“(Ⅰ)为(Ⅱ)用”是高考试题有力区分考生分析解决问题的重要表现形式,2012年高考湖南省数学卷压轴题(文理科)的第(Ⅱ)问也不例外,但可惜的是命题者似乎忽略了这一点,依然为展示“导数强大功能”, 而舍近求远的“构造函数”,其作为“标准解法”是非常不利于导向中学数学教学的,也违背了按照考生思维“最近发展区”而分析解决问题的教育规律[3].参考文献:[1] 课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书.数学必修1,A 版.北京:人民教育出版社,2007[2] 湖南省教育考试院,2012年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷考试说明.长沙:湖南教育出版社,2012年1月[3] 付海伦. 思维的“最近发展区”及其开发.中学数学教学参考,1996年第7期。
2012高考数学6大解答题最后冲刺(理科) 导数(32道题详解)
2012高考数学理最后冲刺【六大解答题】导数专练1、已知函数()ln ,()()6ln ,a f x x g x f x ax x x=-=+-其中a R ∈。
（1）当1a =时，判断()f x 的单调性；（2）若()g x 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；（3）设函数2()4,2h x x m x a =-+=当时,若12(0,1),[1,2],x x ∃∈∀∈总有12()()g x h x ≥成立，求实数m2. 已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a ∈R． (I)讨论函数)(x f 的单调性； (Ⅱ)当1≥x 时，)(x f ≤1ln +x x恒成立，求a 的取值范围．3.已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈．（I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45o，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2m g x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值？4.已知三次函数)(x f 的导函数ax x x f 33)(2-='，b f =)0(，a ．b 为实数。
m]（Ⅰ）若曲线=y )(x f 在点（1+a ，)1(+a f ）处切线的斜率为12，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且21<<a ，求函数)(x f 的解析式。
5.已知函数22()ln ax f x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。
2012年高考数学30道压轴题
2012年高考数学30道压轴题训习1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明. (14分)2．已知函数对任意实数x都有，且当时，。
（1）时，求的表达式。
（2）证明是偶函数。
（3）试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
当3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。
（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值；（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。
4.以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.6 已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1）求a、b的值；（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；（3）令。
是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？7 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。
（1）求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。
2012年高考数学压轴题19套
数学压轴题集1. 已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+ （1）求()F x 的单调区间； （2）若以()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立， 求实数a 的最小值；（3）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xfx ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.解：（1）()()()ln (0),aF x f x g x x x x =+=+>'221()(0)a x a F x x x x x-=-=>.………2分 因为0a>由'()0(,)F x x a >⇒∈+∞，所以()F x 在上单调递增；由'()0(0,)F x x a <⇒∈，所以()F x 在(0,)a 上单调递减. ………………………………………………………………5分 （2）''0002201()(03),()(03)2x a x a F x x k F x x x x --=<≤==≤<≤恒成立，………7分 即200max 1(),2ax x ≥-+当01x =时取得最大值12。
所以，12a≥，所以min 12a =.……10分 （3）因为xe ≥，所以ln ln 1x x x x ax a a x ≥-⇔≤-，令ln (),[,)1x x h x x e x =∈+∞-，则'2ln 1()(1)x x h x x --=-.………………………………………………………………12分 因为当xe ≥时，'1(ln 1)10x x x--=->，所以ln 1ln 120x x e e e --≥--=->，所以'()0h x >，所以min()()1e h x h e e ==-，所以 1ea e ≤-.………………………16分 2.已知数列{}na 中,11=a, a a a a ,1(12≠-=为实常数）,前n 项和n S 恒为正值，且当2≥n 时,1111+-=n n n a a S .（1）求证:数列{}nS 是等比数列；（2）设n a 与2+n a 的等差中项为A ,比较A 与1+n a 的大小；（3）设m 是给定的正整数，2=a.现按如下方法构造项数为m 2有穷数列{}n b ：当m m m k2,,2,1 ++=时，1+⋅=k k k a a b ；当m k ,,2,1 =时，12+-=k m k b b .求数列{}nb 的前n 项和为),2(*∈≤N n m n T n .解：（1）当3≥n时, Nn n n n nnS S S S a a S ---=-=+-+11111111,化简得112+-=n n n S S S )3(≥n ,又由11=a ,12-=a a 得31111a a a--=, 解得)1(3-=a a a ,∴2321,,1a S a S S ===，也满足112+-=n n n S S S ,而n S 恒为正值,∴数列{}nS 是等比数列. 4 分（2）{}nS 的首项为1，公比为a ，1-=n na S.当2≥n 时,21)1(---=-=n n n n a a S S a ,∴⎩⎨⎧≥-==-2,)1(1,12n a a n a n n . 当1=n 时,221312331333[()]222248n a a aa A a a a ++-+-=-==-+≥,此时1+>n a A .…6分当2≥n时, 12121)1(2)1()1(2--+++---+-=-+=-n nn n n n n a a a a a a a a a a A2)1(2)12()1(2322---=+--=n n a a a a a a .∵nS 恒为正值 ∴0>a 且1≠a ,若10<<a ,则01<-+n a A ,若1.>a ,则01>-+n a A .综上可得,当1=n 时, 1+>n a A ；当2≥n时，若10<<a ，则1+<n a A ，若1.>a ,则1+>n a A . 10 分（3）∵2=a∴⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n ,当m k m 21≤≤+时, 3212-+=⋅=k k k k a a b .若*∈≤N n m n ,,则由题设得1212221,,,+--===n m n m m b b b b b b=+++=+++=+--1212221n m m m n n b b b b b b T3)21(241)41(22222141341245434n m n m n m m m ----------=--=+++ .13 分 若*∈≤≤+N n m n m ,21,则n m m m n b b b T T ++++=++ 213212122142223)21(2-+---++++-=n m m m m 41)41(23)21(212214--+-=----m n m m m 3)12(2212-=-m m . 综上得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-=---m n m m n T m m n m n21,3)12(21,3)21(2212214. 16 分 3.A 是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数()x Φ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x Φ∈； ②存在常数L (01)L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212(2)(2)x x L x x Φ-Φ≤-（1）设3()1,[2,4]x x x Φ=+∈，证明：()x A Φ∈；（2）设()x A Φ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x =Φ，那么，这样的0x 是唯一的；（3）设()x A Φ∈，任取1(1,2),x ∈令1(2),1,2,,n n x x n +=Φ=证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，不等式1211k k p k L x x x x L-+-≤--成立.证明：（1）对任意3[1,2],(2)12,[1,2],x x x x ϕ∈=+∈于是333(2)5x ϕ≤≤，…………2分又331352<<<，所以(2)(1,2)x ϕ∈。
2012高考数学【理科】压轴题(三)
2012届高三理科数学压轴题（三）一、选择题：CABA ADAB二、填空题：9．76010．2711．－20 12.3613.（或等价方程）14.；15..三、解答题16．解：（1）∵-------------------------------2分∴函数的最小正周期-------------------------------------3分（2）函数的最大值和最小值分别为．----------------------------------5分（3）由得∴， -------------7分∴---------------------------------------9分∵，∴∴．-----------12分第17题答案18．（1）证明：依题意知图①折前,∴,----------------------------------------------2分∵∴平面-----------------------3分又∵平面∴-------------------------------------------4分(2)依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，在△BEF中,----5分在中，∴--------------------7分∴．-----------8分(3) 由（2）知又∴平面-------10分∴为DE与平面PDF所成的角，-------------------------------------------11分在中，∵,∴ ------14分19．（1）证明：由的两根得：是等差数列（2）由（1）知∴又也符合该式，（3）①②①—②得.20．（本小题满分14分）解：（1）因为满足， ……2分，解得，则椭圆方程为221553x y += ……4分 （2）①将代入221553x y +=中得 ……6分 ， ……7分因为中点的横坐标为，所以，解得 …………9分 ②由（1）知，所以 ……………11分 …12分4222316549319k k k k ---=+++ …14分21． 解：(1)∵g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，所以g (0)＝0，又对任意x ∈R ，g (－x )＝－g (x )，即a (－x )3＋b (－x )2＋c (－x )＋d ＝－(ax 3＋bx 2＋cx ＋d )，∴bx 2＋d ＝0对任意x ∈R 都成立，故b ＝d ＝0， 从而g (x )＝ax 3＋cx ，g ′(x )＝3ax 2＋c .又当x ＝1时，g (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝a ＋c ＝－2，g ′(1)＝3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴g (x )＝x 3－3x ，g ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)．∴当x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)时，g ′(x )>0， 故g (x )在区间(－∞，－1]，[1，＋∞)上是增函数；当x ∈(－1,1)时，g ′(x )<0， 故g (x )在区间(－1,1)上是减函数． ∴当x ＝－1时，g (x )取得极大值2.(2)由f (x )≤g (x )⇔2x 2＋x －k ≤x 3－3x ⇔k ≥－x 3＋2x 2＋4x ， ∴原命题等价于k ≥－x 3＋2x 2＋4x 在x ∈[－1,3]上恒成立．令h (x )＝－x 3＋2x 2＋4x ，x ∈[－1,3]，则k ≥h (x )max .∵h ′(x )＝－3x 2＋4x ＋4＝－(3x ＋2)(x －2)，从而可得h ′(x )，h (x )的值随x 的变化如下表：↘↗↘max ＝h (2)＝8，∴k 的取值范围为[8，＋∞)．(3)对任意x 1∈[－1,3]，x 2∈[－1,3]都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x 1)max ≤g (x 2)min . f (x )＝2x 2＋x －k ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋142－18－k ， ∴当x 1∈[－1,3]时，f (x 1)max ＝f (3)＝21－k ， ∵g (x )＝x 3－3x ，g ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， ∴当x 2∈(－1,1)时，g ′(x 2)<0， 故g (x )在区间[－1,1]上是减函数；当x 2∈(1,3)时，g ′(x 2)>0， 故g (x 2)在区间(1,3]上是增函数； ∴当x ＝1时，g (x 2)取得最小值g (x 2)min ＝g (1)＝－2.∴21－k ≤－2，k ≥23. ∴实数k 的取值范围是[23，＋∞)．温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。
2012年高考数学真题汇编6 立体几何 文(解析版)
2012高考试题分类汇编:6：立体几何一、选择题1.【2012高考新课标文7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B【解析】选B 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B. 2.【2012高考新课标文8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B【解析】球半径3)2(12=+=r ，所以球的体积为ππ34)3(343=⨯，选B.3.【2012高考全国文8】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B （C （D ）1 【答案】D【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.4.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）8.【答案】B.【解析】根据.空间几何体的三视图的概念易知左视图1AD 是实线C B 1是虚线，故选B. 5.【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A ．112 B.5 C.4 D. 92【答案】D【解析】由三视图可知这是一个高为1的直六棱柱。
底面为六边形的面积为421231=⨯⨯+）（，所以直六棱柱的体积为414=⨯，选D. 易错提示：本题容易把底面六边形看成是边长为1的正六边形，其实只有上下两个边长是1. 6.【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不．可能．．是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型. 7.【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π 【答案】C【解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8.【2102高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可图1正视图 俯视图侧视图以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱 【答案】D.【解析】球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC ，故选Ｄ．9.【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a 且长为a 的棱与的棱异面，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ）（D ） 【答案】A【解析】因为22211)22(12=-=-=BE 则BE BF <，222=<=BE BF AB ，选A ，10.【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm3【答案】C【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为11123132⨯⨯⨯⨯=.11.【2012高考浙江文5】 设l 是直线，a ，β是两个不同的平面A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β．如选项A ：l ∥a ，l ∥β时，a ⊥β或a ∥β；选项C ：若a ⊥β，l ⊥a ，l ∥β或l β⊂；选项D ：若若a ⊥β, l ⊥a ，l ∥β或l ⊥β．12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A 不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.13.【2012高考四川文10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A 、RB 、4R πC 、R 、3R π 【答案】A【解析】根据题意，易知平面AOB ⊥平面CBD,BOP AOB AOP ∠⋅∠=∠∴cos cos cos422122=⋅=,42arccos =∠∴AOP ，由弧长公式易得，A 、P 两点间的球面距离为arccos4R . 14.【2102高考北京文7】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+B ）30+C ）56+D ）60+【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
2012年高考数学最新压轴题汇编
2012数学最新压轴题集汇编1. 已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+ （1）求()F x 的单调区间； （2）若以()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立， 求实数a 的最小值；（3）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xfx ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.解：（1）()()()ln (0),aF x f x g x x x x =+=+>'221()(0)a x a F x x x x x-=-=>.………2分 因为0a>由'()0(,)F x x a >⇒∈+∞，所以()F x 在上单调递增；由'()0(0,)F x x a <⇒∈，所以()F x 在(0,)a 上单调递减. ………………………………………………………………5分 （2）''0002201()(03),()(03)2x a x a F x x k F x x x x --=<≤==≤<≤恒成立，………7分 即200max 1(),2ax x ≥-+当01x =时取得最大值12。
所以，12a≥，所以min 12a =.……10分 （3）因为xe ≥，所以ln ln 1x x x x ax a a x ≥-⇔≤-，令ln (),[,)1x x h x x e x =∈+∞-，则'2ln 1()(1)x x h x x --=-.………………………………………………………………12分 因为当xe ≥时，'1(ln 1)10x x x--=->，所以ln 1ln 120x x e e e --≥--=->，所以'()0h x >，所以min()()1e h x h e e ==-，所以 1ea e ≤-.………………………16分 2.已知数列{}na 中,11=a, a a a a ,1(12≠-=为实常数）,前n 项和n S 恒为正值，且当2≥n 时,1111+-=n n n a a S .（1）求证:数列{}nS 是等比数列；（2）设n a 与2+n a 的等差中项为A ,比较A 与1+n a 的大小；（3）设m 是给定的正整数，2=a.现按如下方法构造项数为m 2有穷数列{}n b ：当m m m k2,,2,1 ++=时，1+⋅=k k k a a b ；当m k ,,2,1 =时，12+-=k m k b b .求数列{}nb 的前n 项和为),2(*∈≤N n m n T n .解：（1）当3≥n时, Nn n n n nnS S S S a a S ---=-=+-+11111111, 化简得112+-=n n n S S S )3(≥n ,又由11=a ,12-=a a 得31111a a a --=,解得)1(3-=a a a ,∴2321,,1a S a S S ===，也满足112+-=n n n S S S ,而n S 恒为正值,∴数列{}nS 是等比数列. 4 分（2）{}nS 的首项为1，公比为a ，1-=n na S.当2≥n 时,21)1(---=-=n n n n a a S S a ,∴⎩⎨⎧≥-==-2,)1(1,12n a a n a n n . 当1=n 时,221312331333[()]222248n a a aa A a a a ++-+-=-==-+≥,此时1+>n a A .…6分当2≥n时, 12121)1(2)1()1(2--+++---+-=-+=-n nn n n n n a a a a a a a a a a A2)1(2)12()1(2322---=+--=n n a a a a a a .∵nS 恒为正值 ∴0>a 且1≠a , 若10<<a ,则01<-+n a A ,若1.>a ,则01>-+n a A .综上可得,当1=n 时, 1+>n a A ；当2≥n时，若10<<a ，则1+<n a A ，若1.>a ,则1+>n a A . 10 分（3）∵2=a∴⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n ,当m k m 21≤≤+时, 3212-+=⋅=k k k k a a b .若*∈≤N n m n ,,则由题设得1212221,,,+--===n m n m m b b b b b b=+++=+++=+--1212221n m m m n n b b b b b b T3)21(241)41(22222141341245434n m n m n m m m ----------=--=+++ .13 分 若*∈≤≤+N n m n m ,21,则n m m m n b b b T T ++++=++ 213212122142223)21(2-+---++++-=n m m m m 41)41(23)21(212214--+-=----m n m m m 3)12(2212-=-m m . 综上得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-=---m n m m n T m m n m n21,3)12(21,3)21(2212214. 16 分 3.A 是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数()x Φ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x Φ∈； ②存在常数L (01)L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212(2)(2)x x L x x Φ-Φ≤-（1）设3()1,[2,4]x x x Φ=+∈，证明：()x A Φ∈；（2）设()x A Φ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x =Φ，那么，这样的0x 是唯一的；（3）设()x A Φ∈，任取1(1,2),x ∈令1(2),1,2,,n n x x n +=Φ=证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，不等式1211k k p k L x x x x L-+-≤--成立.证明：（1）对任意3[1,2],(2)12,[1,2],x x x x ϕ∈=+∈于是333(2)5x ϕ≤≤，…………2分又331352<<<，所以(2x ϕ∈。
2012年大纲版高考压轴卷 数学理试题.pdf
数学（理）试题 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案实用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．，∈N}，B={}，则A∩B等于 ( ) A．{1，4} B．{1，6} C．{4，6} D．{1，4，6} 2．复数（ ） A．B． C．D． 3．若是等差数列，，则使前项和成立的最大正数是（ ）A. 48B.47C.46D.45 4．在区间[－，]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数 有零点的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为（ ） A. B. C. D. 6．的定义域为R，且满足：是偶函数，是奇函数，若=9，则等于 （ ） A．9B．9C．3 D．0 7. 已知x、y使方程x2+y2-2x -4y + 4=0，则的最小值是 （ ） A. B. C. 2 D.3 8. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 9. 过原点与曲线相切的切线方程为 （ ） A. B. C. D. 10. 已知 则是q的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要充分不条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 11. 若实数满足不等式组，目标函数的最大值为2，则实数a的值是（ ）A.-2B.0C.1D.2 12. 设a，b为大于1的正数，并且，如果的最小值为m，则满足的整点的个数为（ ）A.5B.7C.9D.11 二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． 13. 设l为平面上过点（0，l）的直线，l的斜率等可能地取、、、0、、、用ξ表示坐标原点到直线l的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝_________. 14. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，则双曲线的离心率为 ． 15. 设a，b，c依次是的角A、B、C所对的边，若，且，则m=________________. 16． 在平面直角坐标系中，点集，，则（1）点集所表示的区域的面积为_________； （2）点集所表示的区域的面积为_________ . 三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在中，分别为角所对的三边，已知． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求的长． 18．（本小题满分12分） 如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点． （Ⅰ）求证：//平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的大小． 19．（本小题满分12分） 为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表： 队别北京上海天津八一人数4635 （Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率； （Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列，及数学期望． 20．（本小题满分12分） 已知函数（，实数，为常数）． （Ⅰ）若，求在处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性． 21．( 本小题满分12分) 已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线、的斜率之和为定值． 22. ( 本小题满分12分) 已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合． 参考答案 一．选择题：每小题5分，满分60分． 题 号123456789101112答 案DCCBCBBAADA二．填空题：每小题5分，满分20分． 13. 4 提示：显然本程序框图反映的是统计产量大于950件的车间个数的一个算法流程图，故答案为4. 14. ∵直线l的方程分别为： y=x +1、y=x +1、y=x +1、y=1、y=x+1、y=x+1、y=x+1，∴原点到它们的距离分别为、、、1、、、所以随机变量ξ的分布列为： ξ1P 所以Eξ=×+×+×+×1=15．2011 提示：由已知 即，亦即 由正余弦定理有 即，将代入 得，于是 16．π；18+π 提示：已知点集A表示以原点为圆心，半径为1的圆的边界及其内部，点集B表示以点0（0，0），M（4，0），N（4，3）为顶点的三角形及其内部， （1）本题相当于把点集A中的圆向右平移3个单位，向上平移1个单位，因此其面积不变，为π. （2）相当于把点集A沿点集B扩大如图所示： 其面积为： 三．解答题： 17．本小题主要考查三角变换公式、正弦定理、余弦定理，考查三角基础知识和基本运算能力．满分10分． 〖解析〗（Ⅰ） ， ………………3分 ∴ …………………………………………………………5分 （Ⅱ）在中，， ， ∴ ………………………………………7分 由正弦定理知： ∴．…………………………………………9分 ∴ ……………………………………………………………………10分 18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系，线面平行与垂直的论证、二面角的计算等基础知识，考查空间想象能力、思维能力和运算能力．满分12分． 〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系， , ，，，．…………1分 （Ⅰ）证明： ∵，， ∴, ∵平面，且平面， ∴//平面．………………………………4分 （Ⅱ）证明： ，，， ， 又， ∴平面． ………………………………………………8分 （Ⅲ）设平面的法向量为, 因为，， 则取 又因为平面的法向量为 所以 所以二面角的大小为．…………………………………12分 19．本小题主要考查概率统计的概念，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，以及利用概率统计的基础知识解决实际问题的能力．满分12分． 〖解析〗 （Ⅰ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A， 则. ………………………………………5分 （Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2. …………………………………………………7分 ∵，，， ∴的分布列为： 012P ……………………10分 ∴. ……………………………12分 20．本小题主要考查导函数的求法、导数的几何意义、函数单调区间的求法，考查运用基本概念进行论证和计算的能力．满分12分． 〖解析〗 （Ⅰ）因为，所以函数， 又，………………………………………………2分 所以 即在处的切线方程为…………………………………5分 （Ⅱ）因为，所以，则 令，得，．……………………………………………7分 （1）当，即时，函数的单调递减区间为， 单调递增区间为；…………………………………………8分 （2）当，即时，，的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为；…………………………9分 （3）当，即时，函数的单调递增区间为；………10分 （4）当，即时，，的变化情况如下表： 所以函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为；……………………………………11分 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．…………………………12分 21．本小题主要考查椭圆的方程的求法，考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分． 〖解析〗（Ⅰ）， ， ∴，， ∴ ………………………………………………4分 （Ⅱ）设直线BD的方程为 ………………………① ………………………② ， 设为点到直线BD：的距离， ∴ ∴ ，当且仅当时取等号. 因为，所以当时，的面积最大，最大值为………9分 （Ⅲ）设，，直线、的斜率分别为： 、，则=…………………………（*） 将（Ⅱ）中①、②式代入（*）式整理得=0， 即0………………………………………………………………12分 22．本小题考察对数学概念的阅读理解能力，考查不等式、集合知识的综合应用，考查运用学过的数学知识解决问题的能力，考查思维能力、论证能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分． 〖解析〗 (Ⅰ) 证明：依题意有，又， 因此． 可得． 所以． 即． …………………4分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得． 又，可得，因此． 同理，可知． 又，可得， 所以均成立． 当时，取，则， 可知． 又当时，． 所以． ……………………………………………………8分 （Ⅲ）解：对于任意，， 由可知， ，即． 因此，只需对，成立即可． 因为；；；， 因此可设；；；；． 由，可得，取． 由，可得，取． 由，可得，取． 由，可得，取． 所以满足条件的一个集合．……………12分 其它解法，请酌情给分.。
妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题(强烈推荐,公式编辑器完美编辑)
妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题柯西中值定理：若函数()(),f x g x 满足如下条件：（i ）()(),f x g x 在闭区间[,]a b 上连续；(ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（iii ）在(),a b 内的每一点处()0g x '≠则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-。
1、 （2012年天津高考理科数学压轴题） 已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0,其中0a >（Ⅰ）求a 的值(Ⅱ）若对()0,x ∀∈+∞,都有()2f x kx <成立，求实数k 的最小值；（Ⅲ）证明:()12ln 21221nk n k =-+<-∑(n N *∈）。
2、（2013广西理科数学压轴题）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+ （Ⅰ）当0x ≥时，()0,f x ≤求λ的最小值 （Ⅱ）设1111,23n a n =++++证明：21ln 24n n a a n -+>3、（2015年山东高考数学理科第21题）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈.（Ⅰ)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；(Ⅱ)若0,()0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围.4、（2017年德阳市二诊数学压轴题）已知函数()ln x a f x x x-=-在1x =处取得极值. （Ⅰ)求证：()0f x ≥。
(Ⅱ)若[)1,x ∀∈+∞，不等式()()21f x m x ≤-恒成立，求实数m 的取值范围。
5、已知函数()()21x f x x e ax =-+。
（Ⅰ）当12a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2012年湖南省高考压轴卷数学理试卷.pdf
绝密★启用前 2012年湖南省高考压轴卷 数学理 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟，满分150分。
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
1、已知集合A={x∈Rx2）=0.2 B．设回归直线方程为=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2个单位 C．已知命题：x∈R，tanx=1；命题q：x∈R，x+1>0．则命题“q”是 D．已知直线：3y-1=0,l2：+1=0，则l2的充要条件是=3 6、给出30个数：1，2，4，7，，……其规律是 1， ， 2， 3，…… 30个数的和，现已给出了该问题 框②处应分别填入( ) A．i≤30=p+i-1 B．i≤29=p+i+1 C．i≤3：=p+i D．i≤30=p+i 7．已知定义在上的奇函数满足，且在上递增， 记，，则的大小关系为 A． B． C． D．8．已知，直线l：与曲线C：有两个不同的交点，设直线l与曲线C围成的封闭区域为P，在区域M内随机取一点A，点A落在区域P内的概率为，若，则实数的取值范围为A． B． C．D．、已知曲线C的极坐标方程是，直线的参数方程 (t为参数).设直线与x轴的交点是M，是曲线 10、如图，中，直径AB和弦DE互相C是DE延长线上一点，连结BC与圆0交于F，CFE=()，则11.（不等式选讲）若，则的最小值为 .、虚数单位，复数是 13、若实数x，满足，则的最小值为 14、已知()展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和、已知数列{}的前项，且满足160,0<)的最小正周期为，. (1)求的值； (2)若 18.(本小题满分12分) 在直三棱柱中，=2 ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点. （1）求证：平面； (2)若//平面，试确定点的位置， 并给出证明； (3)求二面角的余弦值. 19、(本小题满分1分(以下简称活动)．该校合唱团共有00名学生，他们参加活动的 (1)求合唱团学生参加活动的人均次数； (2)从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等 (3)从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之的分布列及数学期望E ． 20.（本小题满分13分）设椭圆C1：的左.右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图，若抛物线C2：与轴的交点为B，且经过F1，F2点。
数学- 2012高考数学压轴题集选(江苏)【2012高考复习必备】
1 1 S n an ． 2 4
Tn , (n 2) ， Tn 1
∴数列 bn 是以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列， ∴ bn 2 ( n 1) n 1 ，∴ Tn
1 1 1 ，∴ a n 1 Tn 1 bn n 1 (20 21 22 2k 2 ) 2
当 k=10 时，其和是 55 210 2 1077 2011 当 k=11 时，其和是 66 211 2 2112 2011 又因为 2011-1077=934=467 2，是 2 的倍数
3 / 44
又∵ a2 3 ， ∴( 10 分
p 2 ) 1 3 ， ∴ p 4， ∴ an 2n 1 p2
……………………………
（3）由（2）得 bn log 2 2n ，即 bn n,(n N * ) ， 数列 {Cn } 中， bk （含 bk 项）前的所有项的和是：
/
1 1 a ． 1 a a
/
当 0 a 1 时， g ( a ) 0 ，在（0，1）上单调递增；当 a>1 时， g ( a ) 0 ， 在 (1, ) 上单调递减. g max ( a ) g (1) 0 ， g ( a ) =0 只有唯一解 a=1．
2 / 44
当 a 0 时，x (0, a ) 时， f ( x) 0 ，
/
在 (0, ) 上单调递增； 当 a 0 时， f ( x) 0 ，
/
在上单调递减； x ( a, ) 时， f ( x) 0 ，在 ( a , ) 上单调递增． 综上所述，当 a 0 时， f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ； 当 a 0 时， f ( x ) 的单调递增区间为 ( a , ) ，单调递减区间为 (0, a ) ． （2）充分性：a=1 时，由（1）知，在 x=1 处有极小值也是最小值， 即 f min ( x) f (1) 0 .而（0，1）在上单调递减，在 (1, ) 上单调递增， 在 (0, ) 上由唯一的一个零点 x=1． 必要性： f ( x ) =0 在 (0, ) 上有唯一解，且 a>0, 由（1）知，在 x=a 处有极小值也是 最小值 f(a)， f(a)=0,即 ln a a 1 0 ． 令 g ( a ) ln a a 1 ， g / ( a )
2012年新课标高考压轴卷 理科数学试题
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试压轴题理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}log 42x B x ==，则A B = （ ）A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}22．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ）A ．3-B ．3-或1C ．3 或1- D ．13．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况（单位：元），图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为（ ）A ．7元B ．37元C ．27元D ．2337元1 23 4 028 02337 12448 2384．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值是（ ） A ．25B ．5C ． 25-D ．5- 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，其中0>A ,0>ω，2πϕ<． 则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈ZB ．6πϕ-=C ．最小正周期是πD ．在区间35,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 6．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件7．若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（ ）A ．4π B ．6πC ．56π D ．34π8．已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △ 的重心G 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)3627x y y +=≠ B ．2241(0)9x y y +=≠C ．22931(0)4x y y +=≠ D ．2241(0)3y x y +=≠9．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后，输出的结果为（ ） A ．0．6 B ．0．8 C ．0．5 D ．0．210．设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的 概率是（ ）A ．121B ．2417 C ．32 D ．65 11．过双曲线)0(152222>=--a a y a x 右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ． )5,2(B ．C ．)2,1(D ．12．在平行四边形ABCD 中，O=∠60BAD ，AD =2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足0=++PA AD y AB x （,x y ∈R ），则当点P 在以A 为半径的圆上时，实数y x ,应满足关系式为（ ）A ．12422=++xy y xB ．12422=-+xy y xC ．12422=-+xy y xD ．12422=++xy y x第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若nx a x )(2-展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a 的值是 ． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列， 则{}n a 的通项公式n a =______________．一个口袋内有n （3n >）个大小相同的球，其中有3个红球和(3)n -个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p ． （I ）当35p =时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E ξ； （II ）若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续地取四次球（每次只取一个球），在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于827，求p 和n ． 18．（本小题满分12分）已知A B C 、、是ABC △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B ．（Ⅰ）求0B 的大小；（Ⅱ）当034B B =时，求cos cos A C -的值． 19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，⊥AO 平面111C B A ．已知90=∠BCA ，21===BC AC AA ． （Ⅰ）证明：//OE 平面11C AB ； （Ⅱ）求异面直线1AB 与C A 1所成的角；（Ⅲ）求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时， 求直线EF 的斜率；（Ⅲ）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，ABO1A 1C 1B EB求实数b 的取值范围；（Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xy x y ln 1ln 1--与的大小． 请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D 交圆于点E ，1DE =．（Ⅰ）求证：AC 平分BAD ∠； （Ⅱ）求BC 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈．（Ⅰ）求点P 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．（Ⅰ）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．B ； 2．D ；3．C ；4．A ；5．D ；6．C ；7．D ；8．C ；9．A ；10．B ；11．B ； 12．D ． 二、填空题13． 1±；14．13,(1)23.(2)n n n -=⎧⎨∙≥⎩；15．29π ；16．(0,)e ．三、解答题17．解：（I ）法一：333555p n n =⇒=⇒=，所以5个球中有2个白球 白球的个数ξ可取0，1，2． ························································································· 1分3211233232333555133(0),(1),(2)10510C C C C C p p p C C C ξξξ=========． ······················· 4分 1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． ·················································································· 6分 法二：白球个数ξ服从参数为5,2,3N M n ===的超几何分布，则236()55nM E N ξ⨯=== ……………………6分（II ）由题设知，22248(1)27C p p ->， ··········································································· 8分 因为(1)0p p ->所以不等式可化为2(1)9p p ->， 解不等式得，1233p <<，即264p <<． ································································ 10分又因为6p N ∈，所以63p =，即12p =， 所以12p =，所以312n =，所以6n =． ···································································· 12分 18．解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=． 由余弦定理知，2222222cos 22a c a c a c b B ac ac +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭== ········································ 2分223()23(2)21882a c ac ac ac ac ac +--=≥=． ··································································· 4分因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以B 的最大值为03B π=． ····························· 6分 （Ⅱ）解：设cos cos A C x -=， ······················································································ ① ············································································································································· 8分由（Ⅰ）及题设知sin sin A C += ············································································· ② 由①2+②2得，222cos()2A C x -+=+． ···································································· 10分 又因为4A CB πππ+=-=-，所以x =cos cos A C -=． ···································································· 12分 19．解法一：（Ⅰ）证明：∵点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点， ∴1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ········································································································· 4分 （Ⅱ）∵⊥AO 平面111C B A ，∴11C B AO ⊥，又∵1111C B C A ⊥，且O AO C A = 11，∴⊥11C B 平面11AC CA ,∴111C B C A ⊥． ······································································ 6分 又∵AC AA =1， ∴四边形11AC CA 为菱形，∴11AC C A ⊥，且1111B C AC C = ∴⊥C A 1平面11C AB ,∴C A AB 11⊥，即异面直线1AB 与C A1所成的角为90． ········································ 8分(Ⅲ) 设点1C 到平面11B AA 的距离为d ，∵111111B AA C C B A A V V --=， 即⋅=⋅⋅⋅⋅3121311111AO C B C A S △11B AA d ⋅． ······························································ 10分又∵在△11B AA 中，22111==AB B A ,∴S △11BAA 7=．∴7212=d ，∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721． ····································· 12分解法二：如图建系xyz O -，A ，11(0,1,0),(0,22A E --，1(0,1,0)C ， 1(2,1,0)B ，(0,3)C ．………………2分 （Ⅰ）∵=)23,21,0(-，)3,1,0(1-=AC ，∴，即1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ························ 6分 （Ⅱ）∵)3,1,2(1-=AB ，)3,3,0(1=C A ，∴⋅1AB 01=C A ，即∴C A AB 11⊥， ∴异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ······································································ 8分 (Ⅲ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ，∵)0,2,0(11=C A ，设平面11B AA 的一个法向量是(,,)x y z =n不妨令1x =，可得(1,=-n ， ········································································· 10分A 1∴11sin cos,7ACθ=<>==n∴11CA与平面11BAA所成角的正弦值721． ····························································12分20．解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为=+24p417，∴21=p，即抛物线C的方程为xy=2． ·································································2分（Ⅱ）法一：∵当AHB∠的角平分线垂直x轴时，点)2,4(H，∴HE HFk k=-，设11(,)E x y，22(,)F x y，∴1212H HH Hy y y yx x x x--=---，∴12222212H HH Hy y y yy y y y--=---，∴1224Hy y y+=-=-. ···························································································5分212122212121114EFy y y ykx x y y y y--====---+．··································································7分法二：∵当AHB∠的角平分线垂直x轴时，点)2,4(H，∴60=∠AHB，可得3=H Ak，3-=H Bk，∴直线HA的方程为2343+-=xy，联立方程组⎩⎨⎧=+-=xyxy22343，得023432=+--yy，∵23Ey+=∴363-=Ey，33413-=Ex．···········································································5分同理可得363--=Fy，33413+=Fx，∴41-=EFk． ··································7分（Ⅲ）法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=， 可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ，同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ，∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ， ······································································· 9分 ∴直线AB 的方程为02200(4)4150y x y y y --+-=， 令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增，∴11min -=t ． ·········································································································· 12分 法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ········ ① ⊙M 方程：1)4(22=+-y x ．···················································································· ② ①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． ················ 9分 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞单调递增，∴11min -=t ················································································································· 12分21．解：（Ⅰ）xax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时，()0f x '<得10x a <<，()0f x '>得1x a>， ∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a+∞上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值．∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． ······························································ 3分 （Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b x x x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， ··············································································· 5分 令x x x x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e≤-． ···································································· 7分 （Ⅲ）证明：)1ln()1ln()1ln()1ln(+>+⇔++>-y e x e y x e yx y x ， ··········································· 8分 令)1ln()(+=x e x g x，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增， 又∵)1(ln 11)1ln()(2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+='x x x e x g x ， 显然函数11)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ··································· 10分 ∴011)(>->ex h ，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)1ln()1ln(+>+y e x e yx ， ∴当1->>e y x 时，有)1ln()1ln(++>-y x e y x ． ······························································ 12分 22．解：（Ⅰ）连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分 因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． ····················· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC CE =， ······················································································ 6分 连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， ····· 8分 所以DE CB CE AB=，所以2BC =． ·············································································· 10分 23．解：(Ⅰ)2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩且参数[]0,2απ∈，所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． ···························································· 3分 (Ⅱ)因为)4sin(210πθρ-=，所以)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． ········ 6分 法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2. d ==，所以点P 到直线l距离的最大值2. ············· 10分 法二：)44d πα==++，当74πα=，max 2d =，即点P 到直线l距离的最大值2. ···································· 10分 24．解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． ································································· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-， 则()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． ······································· 10分。
高考数学压轴题
数学- 2012高考数学压轴题集选(江苏)【2012高考复习必备】
2012江苏高考数学压轴题集选1. 设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，满足)(1*∈-=N n a Tn n．(1)设nn T b 1=，证明数列{}n b 是等差数列，并求n b 和n a ；(2)设22221n n T T T S +++= 求证：41211-≤<-+n n n a S a ．解：(1)∵)2(,),(11≥=∈-=-*n T T a N n a T n n n n n ，∴数列{}n b 是以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴1)1(2+=-+=n n b n ，∴111+==n b T nn ，∴1111+-=-=n T a n n(2)22222221)1(13121++++=+++=n T T T S n n ，∵2121)2)(1(1431321)1(13121222+-=++++⨯+⨯>++++n n n n 211-=+n a∴n n S a <-+211 ，当2≥n 时，)1(132121)1(131212222+++⨯+<++++n n n41112141-=+-+=n a n ， 当1=n 时，41411211-===a T S ， ∴41-≤n n a S .2.函数(1)()ln (0,)a x f x x x a R x-=->∈．（1）试求()f x 的单调区间；（2）当0a >时，求证：函数()f x 的图像存在唯一零点的充要条件是1a =； （3）求证：不等式111ln 12xx -<-对于(1,2)x ∈恒成立．解：（1）/221()(0)a x a f x x x xx-=-=>．当0a ≤时，/()0f x >，在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，(0,)x a ∈时，/()0f x <，在上单调递减； (,)x a ∈+∞时，/()0f x >，在(,)a +∞上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(0,)a ．（2）充分性：a =1时，由（1）知，在x =1处有极小值也是最小值， 即min ()(1)0f x f ==.而（0，1）在上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 在(0,)+∞上由唯一的一个零点x =1．必要性：()f x =0在(0,)+∞上有唯一解，且a >0, 由（1）知，在x =a 处有极小值也是最小值f (a )， f (a )=0,即ln 10a a -+=． 令()ln 1g a a a =-+， /11()1a g a a a-=-=．当01a <<时，/()0g a >，在（0，1）上单调递增；当a >1时，/()0g a <，在(1,)+∞上单调递减.m ax ()(1)0g a g ==，()g a =0只有唯一解a =1．∴(1)ln 2(1)0x x x +-->.∴111(12)ln 12x xx -<<<-．3. 已知数列{}na 的前n 项和为nS，且满足22n n S pa n =-，*n N ∈，其中常数2p >．（1）证明：数列{}1n a +为等比数列； （2）若23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于（2）中数列{}n a ，若数列{}n b 满足2log (1)n n b a =+（*n N ∈），在k b 与1k b +之间插入12k -（*k ∈N ）个2，得到一个新的数列{}n c ，试问：是否存在正整数m ,使得数列{}n c 的前m 项的和2011m T =?如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵22n n S pa n =-，∴1122(1)n n S pa n ++=-+，∴1122n n n a pa pa ++=--，∴1222n n p a a p p +=+--，∴11(1)2n n p a a p ++=+-， …………………………………4分 ∵1122a pa =-，∴102p a p =>-，∴110a +>∴11012n n a p a p ++=≠+-，∴数列{}1n a +为等比数列．（2）由（1）知1()2nn pa p +=-，∴()12nn pa p =-- ……………………………8分又∵23a =，∴2()132pp -=-，∴4p =，∴21n n a =- ……………………………10分（3）由（2）得2log 2n n b =，即*,()n b n n N =∈， 数列{C }n 中，k b （含k b 项）前的所有项的和是： 0122(1)123)(2222)2222k kk k k -++++++++++⨯=+-（…………………12分 当k=10 时，其和是10552210772011+-=<当k=11 时，其和是11662221122011+-=>又因为2011-1077=934=467⨯2，是2的倍数 ………………………………14分 所以当2810(1222)467988m =++++++= 时，T 2011m =，所以存在m=988使得T 2011m = ……………………………………16分4.已知函数2()1,()|1|f x xg x a x =-=-．（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演．．．．．算步骤．．．）．解：（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=， 有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a <. ……………………4分（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ； ②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-， 所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤. …………………………………8分（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分① 当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.② 当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a ah a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③ 当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124aah a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④ 当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a -上递减，在[,1]2a ，[,2]2a -上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322aa <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =. 综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +；当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +；当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.…………………………………………16 5.已知函数2()4(0,,)f x ax x b a a b R =++∈且<.设关于x 的不等式()0f x >的解集为12,),x x （且方程()f x x =的两实根为,αβ.（1）若1αβ-=，求,a b 的关系式；（2）若,a b 都是负整数，且1αβ-=，求()f x 的解析式；（3）若12αβ<<<，求证：12(1)(1)7x x ++<.解：（1）由()f xx =，得230ax x b ++=，由已知得940ab ->，3,ba a αβαβ+=-=+ ∴()241αβαβαβ-=+-=，∴2941b aa-=.∴249a ab +=,∴a b 、的关系式为249a ab +=. ……………………………………5分 (2)∵a b 、是负整数，∴1,1a b ≤-≤-.由249a ab +=得：()49a b a +=，且4b a a +<.∴1,2a b =-=-,∴()242f x x x =-+-. ……………………………………10分(3)令()23g x ax x b=++，又0,12a αβ<<<<.∴()10,(2)0,g g >⎧⎪⎨<⎪⎩,即()130,(2)460,g a b g a b =++>⎧⎪⎨=++<⎪⎩ ……………………………………12分又12,x x 是方程240ax x b ++=的两根，∴12124,b x x x x a a +=-=.∴()()()121212111x x x x x x ++=+++=4411b b aa a--+=+由线性约束条件30,460,0.a b a b a ++>⎧⎪++<⎨⎪<⎩，画图可知. 4b a -的取值范围为()4,6-，…………14分∴431617b a--<+<+=.∴()()12117x x ++<.………………………………………………………………………16分6.已知函数)1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g ，在区间[]3,2上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）不等式02)2(≥⋅-xxk f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的范围； （Ⅲ）方程0)3|12|2(|)12(|=--+-xx k f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围．解:（Ⅰ）(1)2()(1)1g x a x b a =-++-当0>a 时，[]()2,3g x 在上为增函数故(3)296251(2)544220g a a b a g a a b b =-++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎩⎩⎩当[]0()2,3a g x <时，在上为减函数故(3)296221(2)244253g a a b a g a a b b =-++==-⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎩⎩⎩011==∴<b a b 即2()21g x x x =-+. ()12fx x x=+-.（Ⅱ）方程(2)20x xf k -⋅≥化为12222xxxk +-≥⋅2111()222xxk +-≥，令t x=21，221k t t ≤-+∵]1,1[-∈x ∴]2,21[∈t 记12)(2+-=t t t ϕ∴min ()0t ϕ= ∴0k ≤（Ⅲ）方程0)3|12|2(|)12(|=--+-xx k f 化为0)32(|12|21|12|=+--++-k k xx0)21(|12|)32(|12|2=++-+--k k x x ，0|12|x≠-令t x =-|12|， 则方程化为0)21()32(2=+++-k t k t （0t ≠） ∵方程0)32(|12|21|12|=+--++-k k xx 有三个不同的实数解，∴由|12|-=x t 的图像知，0)21()32(2=+++-k t k t 有两个根1t 、2t ，且21t 1t 0<<< 或 101<<t ，1t 2= 记)21()32()(2k t k t t +++-=ϕ则⎩⎨⎧<-=>+=0k )1(0k 21)0(ϕϕ 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+=12k3200k )1(0k 21)0(ϕϕ∴0k > 7.设二次函数2()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合{}|()A x f x x ==．（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求M 和m 的值；（2）若{1}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．（1）由(0)22f c ==可知，……………………………1分又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根 1-b 1+2=a ,c 2=a ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩…………………3分 1,2a b ==-解得…………4分[]22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即……………………………5分 max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即……………………………6分（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2, x=1∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+a ca b 2111， 即⎩⎨⎧=-=a c a b 21 ……………………………8分∴f （x ）=ax 2+（1-2a ）x+a, x ∈[-2,2] 其对称轴方程为x==-aa 214-1a21又a≥1，故1-⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121a ……………………………9分 ∴M=f （-2）=9a-2 …………………………10分 m=aaa f 411)212(-=- ……………………………11分g （a ）=M+m=9a-a 41-1 ……………………………14分[)m in 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时，=431 ………16分8.已知函数22()242 f x axb b x=-+-⋅，2()1()(,)g x x a a b =---∈R ．（1）当0b =时，若()(,2]f x -∞在上单调递减，求a 的取值范围；（2）求满足下列条件的所有整数对(,)a b ：存在0x ，使得0()()f x f x 是的最大值，0()()g x g x 是 的最小值；（3）对满足（II ）中的条件的整数对(,)a b ，试构造一个定义在{|D x x =∈R 且2,}x k k ≠∈Z上的函数()h x ：使(2)()h x h x +=，且当(2,0)x ∈-时，()()h x f x =． 解：．1）当0b =时，()24f x ax x =-，…………………………………………………1分 若0a =，()4f x x =-，则()f x 在(],2-∞上单调递减，符合题意；………3分若0a ≠，要使()f x 在(],2-∞上单调递减，必须满足0,42,2a a>⎧⎪⎨≥⎪⎩……………………………………………………………………5分∴01a <≤．综上所述，a 的取值范围是[]0,1 …………………………………6分 （2）若0a =，()2242f x b b x =-+-，则()f x 无最大值，………………………7分故0a ≠，∴()f x 为二次函数，要使()f x 有最大值，必须满足20,420,a b b <⎧⎨+-≥⎩即0a <且1515b -≤≤+，…8分此时，2042b bx a+-=时，()f x 有最大值．………………………………………分又()g x 取最小值时，0x a =，………………………………………………………分 依题意，有242b ba a+-=∈Z ，则()2224251a b b b =+-=--，…………分∵0a <且1515b -≤≤+，∴()205a a <≤∈Z ，得1a =-，………………分 此时1b =-或3b =．∴满足条件的整数对(),a b 是()()1,1,1,3---．……………………………12分 （3）当整数对是()()1,1,1,3---时，()22f x x x =--(2)()h x h x += ，()h x ∴是以2为周期的周期函数，………………………分又当()2,0x ∈-时，,构造()h x 如下：当()22,2,x k k k ∈-∈Z ，则，()()()()()222222h x h x k fx k x k x k =-=-=----，故()()()()2222,22,2,.h x x k x k x k k k =----∈-∈Z9.已知函数()f x kx m =+，当[]11,x a b ∈时,()f x 的值域为[]22,ab ，当22[,]x a b ∈时,()f x 的值域为33[,]a b ，依次类推，一般地，当[]11,n n x a b --∈时,()f x 的值域为[],n n a b ，其中k 、m 为常数，且110,1a b == .(1)若k =1，求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)若0k >且1k ≠，问是否存在常数m ，使数列{}n b 是公比不为1的等比数列？请说明理由；(3)若0k <，设数列{}{},n n a b 的前n项和分别为,n nS T ，求()()1228122008T T T S S S+++-+++解：(1)因为()f x x m =+，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调增函数，所以其值域为11[,]n n a m b m --++，于是*11,(,2)n n n n a a m b b m n n --=+=+∈≥N . ……………… 又a 1=0, b 1=1, 所以(1)n a n m =-，1(1)n b n m =+-. ……………… (2)因为()(0)f x kx m k =+>，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调增函数，所以()f x 的值域为11[,]n n ka m kb m --++，所以*1(,2)n n b kb m n n -=+∈≥N .要使数列{b n }为等比数列，11n n n b mk b b --=+必须为与n 无关的常数. 又11,0,1b k k =>≠，故当且仅当0m =时，数列{}n b 是公比不为1的等比数列.(本题考生若先确定m ＝0，再证此时数列{}n b 是公比不为1的等比数列，给全分) (3)因为0k <，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调减函数， 所以()f x 的值域为11[,]n n kb m ka m --++， 于是*11,(,2)n n n n a kb m b ka m n n --=+=+∈≥N .所以211112211()()()()()()n n n n n n n n b a k b a k b a k b a k -------=--=--==--=- .111, 1,()()1(), 0, 1.1iij i i i jj j j i k T S ba k k k k k-===-⎧⎪-=-=-=⎨--<≠-⎪+⎩∑∑()()122008122008T T T S S S +++-+++20082008111()()iii j j i i j TS b a ====-=-∑∑∑200922017036, 1,20082009, 0, 1.(1)k k k k k k =-⎧⎪=+-⎨<≠-⎪+⎩1)因为()f x x m =+，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 为单调增函数，所以其值域为11[,]n n a m b m --++，于是*11,(,2)n n n n a a m b b m n n --=+=+∈≥N . 又a 1=0, b 1=1, 所以(1)n a n m =-，1(1)n b n m =+-.10.已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x xx -+-=--，且()11g =-令()19()ln (,0)28f x g x m x m x =+++∈>R（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+， 证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<【解】 （1）设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--. ……………………4分（2）()2191()ln ln (0).282f xg x m x x m x m x =+++=+∈>R ，当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ； 当m =0时，2()02xf x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； ……………………6分当m <0时，由()0m f x x x m x'=+=⇒=-，列表：[]m in ()()ln .2mf x f m m m =-=-+-这时，[]minln 0()0e<0.20mm m f x m m ⎧-+->⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩，……………………8分所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，.故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞ ，．……………… 10分（3）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x --'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m-<⇐--<⇔--< ………………… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m=--<≤，则()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>，所以函数13()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数， ………………… 14分所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e2eh m h -+≤=--=<，故命题成立. ………………… 16分11.已知二次函数1)(2++=bx ax x f 和函数bx a bx x g 21)(2+-=，（1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性；（5分）（2）若方程()g x x =有两个不等的实根()2121,x x x x <，则①证明函数)(x f 在（-1，1）上是单调函数；（6分）②若方程0)(=x f 的有两实根为()4343,x x x x <，求使4213x x x x <<<成立的a 的取值范围.（5分）解：（1）∵)(x f 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴0bx =，∴0b =∴21()g x a x=-，∴函数()g x 为奇函数；（2）①由x bx a bx x g =+-=21)(2得方程(*)0122=++bx x a 有不等实根x(0)m -，m- ()m -+∞，()f x ' － 0 ＋ ()f x减极小 增∴△0422>-=a b 及0≠a 得12>ab 即1122b b aa-<-->或又)(x f 的对称轴()1,12-∉-=ab x故)(x f 在（-1，1）上是单调函数 ②21,x x 是方程(*)的根，∴011212=++bx x a ∴12121--=x a bx ，同理12222--=x a bx∴=)(1x f 222211111ax bx ax a x ++=-=212)(x a a - 同理=)(2x f 222)(x a a -要使4213x x x x <<<，只需⎪⎩⎪⎨⎧<<>0)(0)(021x f x f a 即⎩⎨⎧<->002a a a ，∴1>a 或⎪⎩⎪⎨⎧>><0)(0)(021x f x f a 即⎩⎨⎧>-<002a a a ，解集为φ 故a 的取值范围1>a12.已知函数)()0,1(),0()(x f y P t xt x x f =>+=作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N . （1）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （2）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[n n +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a 使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值.解：（I ）当,2)(,2xx x f t +==时 0221)(222>-=-='xx xx f 1分2,2-<>x x 或解得.则函数)(x f 有单调递增区间为),2(),2,(+∞--∞ 4分（II ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，)1(.02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112=-+--=+-∴--=+-∴-='t tx x x xt x t x P PM x x xt x t x y PM xt x f 即有过点切线又的方程为切线同理，由切线PN 也过点（1，0），得.02222=-+t tx x （2） 6分 由（1）、（2），可得02,221=-+t tx x x x 是方程的两根，(*).22121⎩⎨⎧-=⋅-=+∴t x x tx x 8分])1(1[)()()(||22122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--++-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+把（*）式代入，得,2020||2t t MN +=因此，函数)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为 10分（III ）易知]64,2[)(nn t g +在区间上为增函数，12121(2)()(1,2,,1).(2)()()().()()()(),i m m m g g a i m m g g a g a g a g a g a g a g a n +∴≤=+⋅≤++++++< 则对一切正整数成立恒成立对一切的正整数不等式n nn g g m )64()2(+<⋅∴ 13分,)64(20)64(2022022022nn nn m +++<⨯+⨯.3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222<∴=+≥+++∴≥++++<m nn nn nn n nn nn m 恒成立对一切的正整数即由于m 为正整数，6≤∴m . 15分又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+因此，m 的最大值为6. 16分13.已知函数x ax x x f ln )(2-+=， .a R ∈（1）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令2)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；（3）当∈x ],0(e 时，证明： x x x x e ln )1(2522+>-解：（1）01212)(2'≤-+=-+=xax x xa x x f 在[]2,1上恒成立，令 12)(2-+=ax x x h ，有⎩⎨⎧≤≤0)2(0)1(h h 得,271⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a a ……………………… 4分得27-≤a (5)分（2）假设存在实数a ，使x ax x g ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，xa x g 1)('-=xax 1-=……………………………………………6分当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去），②当e a<<10时，)(x g 在)1,0(a上单调递减，在],1(e a上单调递增∴3ln 1)1()(min =+==a ag x g ，2e a =，满足条件.③当e a ≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，ea 4=（舍去），综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时)(x g 有最小值3. ……………………10分（3）令x x e x F ln )(2-=，由（2）知，3)(min =x F .令25ln )(+=xx x ϕ，2'ln 1)(xx x -=ϕ，当e x ≤<0时，0)('≥x ϕ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴32521251)()(max =+<+==e e x ϕϕ ,25ln ln 2+>-∴xx x x e 即x x e 2522-x x ln )1(+>.………14分14.设函数322()f x x ax a x m =+-+(0)a >（1）若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点，求m 的范围； （2）若函数()f x 在[]1,1-内没有极值点，求a 的范围；（3）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）当1a =时32()f x x x x m =+-+，因为()f x 有三个互不相同的零点，所以32()0f x x x x m =+-+=， 即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根。
2012年高考数学压轴题跟踪训练 6.pdf
2012届高考数学压轴题跟踪训练6 1．（本小题满分14分） 已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. 解：（Ⅰ）f＇(x)==， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立， 即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ① 设(x)=x2－ax－2， 方法一： (1)=1－a－2≤0， ① －1≤a≤1， (－1)=1+a－2≤0. ∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二： ≥0， 0 ∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根， x1+x2=a， ∴ 从而|x1－x2|==. x1x2=－2， ∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3. 要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立， 即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)， 方法一： g(－1)=m2－m－2≥0， ② g(1)=m2+m－2≥0， m≥2或m≤－2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}. 方法二： 当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时， m>0， m0，y2>0. 由y=x2， ① 得y＇=x. ∴过点P的切线的斜率k切=x1， ∴直线l的斜率kl=－=-， ∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)， 方法一： 联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0. ∵M是PQ的中点 x0==-， ∴ y0=x12－(x0－x1). 消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)， ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). 方法二： 由y1=x12，y2=x22，x0=， 得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)， 则x0==kl=-， ∴x1=－， 将上式代入②并整理，得 y0=x02++1(x0≠0)， ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). （Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b). 分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则 . y=x2 由 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③ y=kx+b y1+y2=2(k2+b)， 则 y1y2=b2. 方法一： ∴|b|()≥2|b|=2|b|=2. ∵y1、y2可取一切不相等的正数， ∴的取值范围是（2，+）. 方法二： ∴=|b|=|b|. 当b>0时，=b==+2>2； 当b0， 于是k2+2b>0，即k2>－2b. 所以>=2. ∵当b>0时，可取一切正数， ∴的取值范围是（2，+）. 方法三： 由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP， 即=. 则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2). 于是b==－x1x2. ∴==+=+≥2. ∵可取一切不等于1的正数， ∴的取值范围是（2，+）. 3．（本小题满分12分） 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力， 满分12分. 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为 1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）. 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使 总费用最少. 2 2。
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2012高考数学压轴题精炼六1．（本小题满分14分）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+= 所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP PG y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴41)1)(1(cos 102010010x x x x x x x x AFP +=--+⋅+==∠同理有41)1)(1(cos 102110110x x x x x x x x BFP +=--+⋅+==∠∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|10220102220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.2．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+kk k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ ∴λ的取值范围是（12，+∞）.直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤ 同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CDAB d MB MA =-=-+=+==λλ故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|， 即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ） 3．（本小题满分14分） 已知不等式n n n其中],[log21131212>+++为大于2的整数，][log2n 表示不超过n 2log的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明 ,5,4,3,][log222=+<n n b b a n（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有.51<n a本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a n n n n nn n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111n a a n n≥--于是有 .111,,3111,211112312na a a a a a n n≥-≥-≥--所有不等式两边相加可得 .13121111na a n+++≥-由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log211121n a a n>-∵.][log22.2][log2][log 2111,2221n b b a bn b n ba b a n n+<+=+>∴=证法2：设nn f 13121)(+++=，首先利用数学归纳法证不等式.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f b a n（i ）当n=3时， 由 .)3(11223313333112223bf b a a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f b a k +≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bbk f k k a k k a k a k a kkk k,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f b bk k f bbb k f k k bk ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f b a n又由已知不等式得 .,5,4,3,][log22][log21122=+=+<n n b b bn ba n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log2,][log2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][loglog1022=>⇒>≥n n n 故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分. 解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b ab+=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43aM A a A F a ccaa a c c a abc a b c xy=-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为(Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 11515tan arctan15y y PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠ 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。