北京市东城区2014届高三二模数学(文)试题及答案
2014届北京市东城区高三质量调研文科数学试题(含答案)(2014.03)(word版)
第 1 页 共 8 页 东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （文科） 2014.3本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B..平均数 C .中位数 D .标准差3. 已知i 是虚数单位，若i 1zi 3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i4．设l 是直线，a ，β是两个不同的平面,A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β5． 函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为 A 32+ B . 4 C . 3 D .32-6．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线。
北京市东城区2014届高三下学期综合练习二文科试卷(带解析)
北京市东城区2014届高三下学期综合练习二文科试卷（带解析）1．设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B =（ ）（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}- 【答案】B 【解析】试题分析：∵12x +≥，∴3x ≥，∴{|3}A x x =≥，∵={2,1,01,2}B --，∴{1,2}A B =.考点：集合的交集. 2．在复平面内，复数21i-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】A 【解析】 试题分析：22(1)11i (1i)(1+i)i i +==+--，对应的点为（1,1）在第一象限. 考点：复数的运算、复数和点的对应关系.3．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为（ ）（A ）2或2- （B ）1-或2- （C ）1或2- （D ）2或1- 【答案】C 【解析】试题分析：当0x ≥时，210x -=，即1x =；当0x <时，220x x +=，即2x =-，所以输入的x 的值为1或-2. 考点：程序框图.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是（ ） （A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）72 【答案】C 【解析】试题分析：∵6726a a =+，∴6676a a a +=+，∴5776a a a +=+，∴56a =， ∴195599()9()5422a a a a S ++===. 考点：等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式. 5．已知tan =2α，那么sin 2α的值是（ ） （A ）45-（B ）45 （C ）35- （D ）35【答案】B【解析】试题分析：2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++.考点：齐次式、倍角公式.6．已知函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x 的取值范围是（ ）（A ）(0,10) （B ）(10,)+∞ （C ）1(,10)10 （D ）1(0,)(10,)10+∞ 【答案】D【解析】试题分析：∵()(||)g x f x =，∴)1()(lg g x g >(|lg |)(1)f x f ⇔>，∵函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，∴|lg |1x >，∴lg 1x >或lg 1x <-，∴10x >或110x <，又∵0x >，∴10x >或1010x <<. 考点：函数的单调性、不等式的解法.7．已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（ ）（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)--【答案】A 【解析】试题分析：∵AB 的中点为（0,2），直线AB 的斜率为1k =-，∴线段AB 的垂直平分线为2y x =+，设(,)D a b ，则CD 中点为58(,)22a b ++在2y x =+上，且815CD b k a -==--， ∴85222815b ab a ++⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，∴67a b =⎧⎨=⎩，∴D 点坐标为(6,7).考点：中点坐标公式、直线的方程.8．对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ） （A ）(2,1)- （B ）[0,1] （C ）[2,0)- （D ）[2,1)- 【答案】D 【解析】试题分析：∵222224,234,141(1)(4)1,231,141x x x x x x y x x x x x x x ⎧+≤-≥⎧+---≥=-+==⎨⎨--≤≤----<⎩⎩或， ∵函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，∴2(1)(4)y x x =-+的图像与y k =-的图像有三个交点， ∴2(1)(4)y x x =-+的图像如图所示，根据图像得：12k -<-≤，∴21k -≤<.考点：函数图像.9．函数0.5log (43)y x =-的定义域是 ． 【答案】3[,)4+∞ 【解析】试题分析：只需430x ->，∴34x >，所以函数0.5log (43)y x =-的定义域是3[,)4+∞. 考点：函数的定义域.10．已知平面向量(1,2)=a ，(2,)m =-b ，且a ∥b ，则=b ．【答案】【解析】试题分析：∵a ∥b ，∴40m -=，∴4m =，∴(2,4)b =-，∴2||(2)b =-=考点：向量平行的充要条件、向量的模.11．在区间[0,6]上随机取两个实数x ，y ,则事件“26x y +≤”的概率为_________． 【答案】14【解析】试题分析：符合题意的区域范围如图所示，所以概率为13612664P ⨯⨯==⨯.考点：几何概型.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意*n ∈N ,有232n n S a =-，则1a = ；n S = ．【答案】2 31n - 【解析】试题分析：当1n =时，11232S a =-，∴12a =， ∵11232232,(2)n n n n S a S a n --=-⎧⎨=-≥⎩，∴1233n n n a a a -=-，即13nn a a -=， ∴数列{}n a 是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴2(13)3113n n n S -==--. 考点：由n S 求n a ，等比数列的前n 项和公式.13．过点(1,0)A -且斜率为(0)k k >的直线与抛物线24y x =相交于B ，C 两点，若B 为AC 中点，则k 的值是 ．【答案】3【解析】直线(1)y k x =+，设11(,)B x y ，22(,)C x y ，则由有B 为AC 中点，则2112121x x x x -+⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴12122x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则C 带入直线(1)y k x =+中，有(21)k =+，∴k =考点：直线方程、中点坐标公式.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），1PA PC m +=，①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是________． 【答案】6{21}+ 【解析】试题分析：①2m =时，112PA PC AC +=>=结合椭圆定义知，动点P 轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心，1,A C 为焦点的椭圆体.⑴当椭圆体与AB 有交点时，则由对称性知椭圆体必与11C D 11,AD B C ，11,AA CC 有交点.设,(01)AP a a =<<，则1C P m a =因为10m '=<，所以1).m ∈由于2m =，所以此时有六个交点.⑵当椭圆体与11A B 有交点时，则由对称性知椭圆体必与CD 11,A D BC ，11,BB DD 有交点.设1,(01)A P a a =<<，则1C P m因为0m '==得1.2a =所以1).m ∈由于2m =，所以此时无有六个交点.说明：当0a =或1a =时，椭圆体与正方体交于除1,A C 外的六个顶点.②若m <则动点P 不存在.若m =则动点P 轨迹为线段1AC ，满足条件的点P的个数为2.因此m >即动点P 轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心，1,A C 为焦点的椭圆体.由①分析可知，要使得满足条件的点P 的个数为6，须使得){21}m ∈+. 考点：椭圆的标准方程及其性质.15．已知函数2()sin cos f x x x x =.（1）求()12f π的值； （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．【答案】（1）1()122f π=；（2）最小值0，最大值32.【解析】试题分析：本题主要考查诱导公式、倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式、三角函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、运用数学公式计算的能力，考查学生的数形结合思想.第一问，先利用诱导公式、倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，使之化简为()sin(+)+f x A x B ωϕ=的形式，再将12π代入求三角函数值；第二问，将已知x 的范围代入第一问化简的表达式中，求出角26x π-的范围，再数形结合得到最大值和最小值.（1）2()sin cos f x x x x =1cos 222x x -=+112cos 222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+．所以()16f π=． 7分（2）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤．所以，当266x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最小值0；当262x ππ-=时，即3x π=时，函数()f x 取得最大值32． 13分考点：诱导公式、倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式、三角函数最值.16．汽车的碳排放量比较大，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km ）．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120g /km x =乙．（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率是多少？（2）求表中x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性． 【答案】（1）0.7；（2）120x =，乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. 【解析】试题分析：本题主要考查随机事件的概率、平均数、方差等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，5辆甲品牌汽车任取2辆，写出所有情况，在所有情况中选出至少有一辆二氧化碳的情况种数，相除得到概率；第二问，先利用乙品牌的平均数得到x 的值，再利用2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-求出甲、乙的方差，先比较甲和乙的平均数，如果相差不大或相等，再比较方差，方差越小表示二氧化碳排放量的稳定性越好.（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆， 共有10种不同的二氧化碳排放量结果：(80,110)，(80,120)，(80,140)，(80,150)，(110,120)， (110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)．设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km ”为事件A ， 则事件A 包含以下7种不同的结果：(80,140)，(80,150)，(110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)．所以 7()0.710P A ==． 即至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率为0.7． 6分 （2）由题可知，120x =乙，所以4801205x+=，解得 120x =． 22222215600.s ⎡⎤=++++⎣⎦=甲（80-120）（110-120）（120-120）（140-120）（150-120） 22222215480.s ⎡⎤=++++⎣⎦=乙（100-120）（120-120）（120-120）（100-120）（160-120）， 因为 22120x x s s ==>乙乙甲甲，，所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好． 13分 考点：随机事件的概率、平均数、方差.17．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °，平面PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点． （1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求证：AB PE ⊥；（3）求三棱锥P BEC -的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）P BEC V -=【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D 、E 分别为AB 、AC 中点，所以利用三角形的中位线得出DE ∥BC ，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由BC AB ⊥，而DE ∥BC 得DE AB ⊥，而D 为AB 中点，PA=PB ，得PD A B ⊥，所以利用线面垂直的判定得AB ⊥平面PDE ，再利用线面垂直的性质得AB PE ⊥；第三问，由于PD AB ⊥，利用面面垂直的性质得PD ⊥平面ABC ，所以PD 是三棱锥的高，而12BEC ABC S S ∆∆=，所以12P BEC P ABC V V --=. （1）因为D ，E 分别为AB ，AC 中点， 所以DE ∥BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以DE ∥平面PBC . 4分 （2）连结PD ，因为DE ∥BC ，又90=∠ABC °， 所以DE AB ⊥.又PA PB =，D 为AB 中点， 所以PD AB ⊥.所以AB ⊥平面PDE ，所以AB PE ⊥. 9分（3）因为平面PAB ⊥平面ABC ， 有PD AB ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ，所以11112322322P BEC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=. 14分 考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积. 18．已知a ∈R ，函数3211()(2)62f x x a x b =+-+，()2ln g x a x =． （1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处的切线互相垂直，求a ，b 的值；（2）设()'()(F x f x g x =-，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-，求a 的取值范围．【答案】（1）1a =，或12a =；（2）12a ≤-. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，由于()f x 与()g x 在(1,)c 处的切线互相垂直，所以两条切线相互垂直，即斜率相乘得-1，对()f x 和()g x 求导，将1代入得到两切线的斜率，列出方程得出a 的值；第二问，先将“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-”转化为“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-”，令()()G x F x ax =-，则原命题等价于()()G x F x ax =-在(0,)+∞是增函数，对()G x 求导，判断导数的正负，决定函数的单调性. （1）21'()(2)2f x x a x =+-，3'(1)2f a =-． 2'()ag x x=，'(1)2g a =． 依题意有'(1)'(1)1f g =-，可得32()12a a -=-，解得1a =，或12a = ． ６分 （2）21()(2)2ln 2F x x a x a x =+--． 不妨设12x x <， 则2121()()F x F x a x x ->-等价于2121()()()F x F x a x x ->-，即2211()()F x ax F x ax ->-． 设()()G x F x ax =-，则对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()F x F x a x x ->-，等价于()()G x F x ax =-在(0,)+∞是增函数．21()2ln 22G x x a x x =--，可得2222'()2a x x a G x x x x--=--=， 依题意有，对任意0x >，有2220x x a --≥．由2222(1)1a x x x ≤-=--，可得12a ≤-． 13分 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线.19．已知椭圆22221x y a b +=的一个焦点为(2,0)F（1）求椭圆方程；（2）过点(3,0)M 且斜率为k 的直线与椭圆交于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为C ，求△MBC 面积的最大值.【答案】（1）22162x y +=；（2）2. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的焦点、离心率的定义列出方程，解出基本量a 和b ，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点斜式先设出直线l 的方程，令直线与椭圆方程联立，消参得到关于x 的方程，利用韦达定理得到12x x +，12x x ，列出AMC ∆和ABC ∆的面积，从而得到MBC ∆的面积表达式，将12x x +，12x x 代入，最后利用均值定理得到最大值，注意要讨论最大值成立的条件.（1）依题意有2c =，c a =． 可得26a =，22b =． 故椭圆方程为22162x y +=． ５分 （2）直线l 的方程为(3)y k x =-． 联立方程组22(3),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)182760k x k x k +-+-=． （*）设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 故21221831k x x k +=+，212227631k x x k -=+． 不妨设12x x <，显然12,x x 均小于3． 则111112(3)(3)2AMC S y x y x =⋅⋅-=-， 12112112()()2ABC S y x x y x x =⋅⋅-=-． 1212(3)(3)(3)MBC ABC AMC S S S y x k x x =-=-=-- 121223[93()]31k k xx x x k =-++=+ ≤=． 等号成立时，可得213k =，此时方程（*）为 22630x x -+=，满足0∆>． 所以MBC ∆面积S 13分 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理.20．设a 是一个自然数，()f a 是a 的各位数字的平方和，定义数列{}n a ：1a 是自然数，1()n n a f a -=（*n ∈N ，2n ≥）． （1）求(99)f ，(2014)f ；（2）若1100a ≥，求证：12a a >；（3）求证：存在*m ∈N ，使得100m a <．【答案】（1）(99)162f =，(2014)21f =；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题是一道新定义题，主要考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和转化能力.第一问，由于()f a 是a 的各位数字的平方和，所以22(99)99162f =+=，2222(2014)201421f =+++=；第二问，通过题干中给出的()f a 的定义设出1a 的值，利用21()a f a =，得到2a 的值，然后用作差法比较1a 和2a 的大小；第三问，用反证法，先假设不存在*m ∈N ，使得100m a <，经过推理得出矛盾即可.（1）22(99)99162f =+=；2222(2014)201421f =+++=． 5分（2）假设1a 是一个n 位数（3n ≥），那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+， 其中09i b ≤≤且i b ∈N （1i n ≤≤），且0n b ≠．由21()a f a =可得，2222221321n n a b b b b b -=+++++．1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+-12211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-+- 所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---．因为0n b ≠，所以1(10)99n n n b b --≥．而11(1)72b b -≤，所以120a a ->，即12a a >． 9分（3）由（2）可知当1100a ≥时， 12a a >．同理当100n a ≥时， 1n n a a +>．若不存在*m ∈N ，使得100m a <．则对任意的*n ∈N ，有100n a ≥，总有1n n a a +>．则11n n a a -≤-，可得1(1)n a a n ≤--．取1n a =，则1n a ≤，与100n a ≥矛盾．存在*m ∈N ，使得100m a <． 14分考点：归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想.。
2014年高三二模数学(文)北京市东城区试题Word版带解析
知识点;函数与导数-------函数--------函数的定义域与值域
难度系数：2
第 4页 共 15页
（10）已知平面向量 a (1, 2) ， b (2, m) ，且 a ∥ b ，则 b
．
解析： a
∥b
，
1 2
2 m
m
4
b
4 16 2 5
知识点：平面向量------------平面向量基本定理及坐标表示-----平面向量的坐标运算
2
知识点：解析几何--------直线-------两直线的位置关系
难度系数：3
（8）对任意实数
a
，b
定义运算“⊙”：a
b
b, a b a, a b
1, 1,
设
f
(x)
(x2
1)
(4
x)
k
，
若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰有三个交点，则 k 的取值范围是
（A） (2,1)
（B） [0,1]
知识点; 推理与证明、数系的扩充与复数---------推理与证明---------直接证明与间接 证明； 数列----------数列综合； 难度系数：4
y1
2, y2
4 k 2 2
2
3
知识点;解析几何----------圆锥曲线------------抛物线
难度系数：3
（14）在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 是正方体棱上一点（不包括棱的端
点）， PA PC1 m ， ①若 m 2 ，则满足条件的点 P 的个数为________；
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
北京市东城区2013-2014学年高三年级第一学期期末文科数学
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科） 2014.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|02}A x x =<<，{1,0,1}B =-，则A B =（A ）{1}- （B ）{0} （C ）{1} （D ）{0,1} （2）在复平面内，复数i(2i)+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）ln ||y x =- （B ）3y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x = （4）“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）执行如图所示的程序框图，输出的a 值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（6）直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k = （A）（B） （C（D（7）关于平面向量,,a b c ，有下列三个命题： ①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②若(1,)k =a ，(2,6)=-b ，a ∥b ，则3k =-；③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为30． 其中真命题的序号为（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③俯视图侧(左)视图正(主)视图（8）已知函数25,0,()e 1,0.x x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,5]-∞（C ）(0,5] （D ）[0,5]第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区示范校2014届高三12月教学质量调研数学文试卷(含答案)
北京市东城区普通高中示范校2014届高三12月教学质量调研数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{1,0,1,2}=-A ，集合{0,2,4,6}=B ，则集合A ∩B ＝ A. {1，2，4}B. {2，4}C. {0，2}D. {－1，0，1，2，4，6}2. 若向量a ＝（1，2），b ＝（2，1），c ＝（－5，－1），则c ＋a －2b ＝ A. （－8，－1） B. （8，1） C. （0，3） D. （0，－3）3. 抛物线24=y x 的焦点坐标为 A. （0，2）B. （2，0）C. （0，1）D. （1，0）4. 下列命题：①2,∀∈≥x R x x ；②2,∃∈≥x R x x ；③43≥；④“21≠x ”的充要条件是“1≠x 且1≠-x ”中，其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知4,0,c o s()25⎛⎫∈--=- ⎪⎝⎭x x ππ，则tan 2=x A.724B. 724-C.247D. 247-6. 如图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其全面积是7. 函数()ln |1|=-f x x 的图象大致是8. 在圆2250+-=x y y 内，过点35(,)22作n 条弦()+∈n N ，它们的长构成等差数列{}n a ，若1a 为过该点最短的弦，n a 为过该点最长的弦，且公差11(,)53∈d ，则n 的值为A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 若曲线3=+y x a x 在原点处的切线方程是20-=x y ，则实数a ＝__________。
北京市东城区2014届高三下学期综合练习(一) 文科数学试卷(带解析)
北京市东城区2014届高三下学期综合练习（一）文科数学试卷（带解析）1（A）（xlx<-1，或x>2} （B）{xlx≤-1，或x≥2）（C）{x|-l<x<2} （D）{x|-l<x<2}【答案】C【解析】C正确。
考点：1一元二次不等式；2集合的运算。
2（A（B（C（D【答案】B【解析】C正确。
考点：复数的运算。
3．为了得到函数y=sin（y= sin2x的图象（A（B（C（D【答案】D【解析】试题分析：D正确。
考点：三角函数伸缩平移变换。
4m=（A（B）3 （C（D）【答案】B【解析】试题分析：B正确。
考点：双曲线的简单几何性质。
5．设等差数列的前n项和为S n，若a1=1，a2+a3=11，则S6一S3=（A）27 （B）39（C）45 （D）63【答案】B【解析】考点：1等差数列的通项公式；23等差中项。
6b=log42，c=log31．6，则（A）a>b>c （B）a>c>b（C）b>a>c （D）c>a>b【答案】A【解析】3A正确。
考点：1指数函数的单调性；2对数函数的单调性；3对数函数的运算法则。
7．若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（A（B）4（C（D）8【答案】A【解析】为3，则底面边长为2故A正确。
考点：三视图8．已知a，b是正数，且满足2<a+2b<4（A（B（C（D【答案】A【解析】试题分析：内，分析可知A正确。
考点：线性规划问题。
9．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程为 .【解析】试题分析：由准线方程考点：抛物线的简单几何性质及方程。
10．= .【解析】考点：三角函数的诱导公式。
11．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 ；乙组数据的平均数是 .【答案】76【解析】试题分析：将甲组数据按从小到大（或从大到小）排列中间的数为76，则甲组数据的中位数为76.乙组数据分别为65、82、87、85、95考点：茎叶图、中位数、平均数12．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，。
2014北京东城高考二模数学理(含答案)
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （理科)第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}B =--，则AB =（ ）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-（2）在复平面内，复数32i 1i--对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为（ ）．A ．2或2-B ．1-或2-C ．1或2-D ．2或1-（4）如果实数x ，y 满足条件10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）．A ．3-B ．1-C ．0D ．1（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =（ ）． A ．5 B ．6C ．7D ．8（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（ ）．A ．12B ．18C ．24D ．36（7）若直线1,x t y a t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα（α为参数）所截的弦长为22，则a 的值为（ ）．A ．1 或5B ．1- 或5C ．1 或5-D ．1- 或5-（8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b ab a a b -⎧=⎨-<⎩…设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．(2,1)-B ．[0,1]C ．[2,0)-D ．[2,1)-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知tan =2α，那么cos 2=α ．（10）已知平面向量a ，b ，若3=a ，13-=a b ，6⋅=a b ，则=b ；向量a ，b 夹角的大小为 ．（11）在区间[0,6]上随机取两个实数x ，y ,则事件“26x y +…”的概率为_________．（12）如图所示，PA 与圆O 相切于A ，直线PO 交圆O 于B ，C 两点，AD BC ⊥，垂足为D ，且D 是OC 的中点，若6PA =，则PC = ．（13）若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别是M ，N ，若2BN AM =，则k 的值是 ．A BCPD O·（14）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），1PA PC m +=，①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++．（Ⅰ）求()12f π的值； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)，，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数； （Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望．0.020 0.02510 20 30 40 50 60 0.015 0.005频率 组距（17）（本小题共14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,DC //AB ,BC CD ⊥,EA ED ⊥,且4AB =，2BC CD EA ED ====．（I ）求证：BD ⊥平面ADE ；（II ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（III ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由．DCBEA（18）（本小题共13分）已知0a >，函数2()21axf x a x =++，()ln g x a x x a =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >．（19）（本小题共13分）已知椭圆22221x ya b+=的一个焦点为(2,0)F，且离心率为63．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于,A B两点，P为直线3x=上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．（20）（本小题共14分）设a 是一个自然数，()f a 是a 的各位数字的平方和，定义数列{}n a ：1a 是自然数，1()n n a f a -=（*n ∈N ，2n ≥）．（Ⅰ）求(99)f ，(2014)f ； （Ⅱ）若1100a ≥，求证：12a a >；（Ⅲ）当11000a <时，求证：存在*m ∈N ，使得32m m a a =．东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）D （5）D （6）C （7）A （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）35- （10）4 60（11）14（12）23 （13）223（14）6 (3,5) 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++2sin 3sin cos x x x =+ 1cos 23sin 222x x -=+ 311sin 2cos 2222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+． 所以1()122f π=． …………………7分 （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤． 所以，当266x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最小值0； 当262x ππ-=时，即3x π=时，函数()f x 取得最大值32．…………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）110(0.0200.0250.0150.005)0.35-⨯+++=，1000.35⨯=，即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35．………………………4分 （Ⅱ）1000.1515⨯=，1000.055⨯=，所以85220⨯=， 即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2． ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为0，1，2．36385(0)14C P X C ===；12263815(1)28C C P X C ===； 2126383(2)28C C P X C ===．所以X 的分布列为X 0 1 2P514 1528 328X 的数学期望为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=．………………………13分 （17）（共14分）解：（I ）由BC CD ⊥，2BC CD==．,可得22BD =．由EA ED ⊥，且2EA ED ==， 可得22AD =． 又4AB =． 所以BD AD ⊥．又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADE ． ……………５分 （II ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,22,0)B ，(2,2,0)C -，(2,0,2)E ，(2,22,2)BE =-，(2,0,2)DE =，(2,2,0)DC =-．D B ACEzxy设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ，0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n ．设直线BE 与平面CDE 所成的角为α， 则|||2222|2sin |cos ,|3||||233BE BE BE ⋅--=<>===⋅⋅αn n n ． 所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值23． ……………1０分 （III ）设CF CE =λ，[0,1]λ∈．(2,2,0)DC =-，(22,2,2)CE =-，(0,22,0)DB =．则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ．设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量，则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ，即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ 令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈． 所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE ．……………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ,()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111， 因为0a >，所以，当1x <-，或1x >时，'()0f x <；当11x -<<时，'()0f x >．所以，()f x 的单调递增区间为(,)-11,单调递减区间为(,)-∞-1,(,)+∞1．……6分（Ⅱ）因为()f x 在区间(,)01上单调递增，在区间(,e)1上单调递减，又()f a =02，e (e)e a f a a =+>+2221， 所以，当(,e)x ∈0时，()f x a >2．由()ln g x a x x a =-+，可得'()1a a x g x x x-=-=． 所以当e a ≥时，函数()g x 在区间(0,e)上是增函数，所以，当(,e)x ∈0时，()(e)g x g a e a <=-<22．所以，当(,e)x ∈0时，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有1()2f x a >，2()2g x a <，所以12()()f x g x >． 当0e a <<时，函数()g x 在区间(0,)a 上是增函数，在区间(,e)a 上是减函数， 所以，当(,e)x ∈0时，()()ln g x g a a a a ≤=<2．所以，当(,e)x ∈0时，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有1()2f x a >，2()2g x a <，所以12()()f x g x >． 综上，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >． ……………13分（19）（共13分）解（Ⅰ）依题意有2c =，63c a =． 可得26a =，22b =．故椭圆方程为22162x y +=． ………………………………………………５分 （Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-．联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+． 则2221212121(1)[()4]AB k x x k x x x x =+-=++-2226(1)31k k +=+． 设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+，02231k y k =-+． 直线MP 的斜率为1k-，又 3P x =， 所以220222113(1)1(31)P k k MP x x k k k ++=+⋅-=⋅+． 当△ABP 为正三角形时，32MP AB =， 可得22222213(1)326(1)(31)231k k k k k k +++⋅=⋅++， 解得1k =±．即直线l 的方程为20x y --=，或20x y +-=．………………………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）22(99)99162f =+=；2222(2014)201421f =+++=． ………………5分（Ⅱ）假设1a 是一个n 位数（3n ≥），那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+，其中09i b ≤≤且i b ∈N （1i n ≤≤），且0n b ≠．由21()a f a =可得，2222221321n n a b b b b b -=+++++．1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+- 所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---．因为0n b ≠，所以1(10)99n n n b b --≥．而11(1)72b b -≤，所以120a a ->，即12a a >． ………………9分（Ⅲ）由11000a <，即1999a ≤，可知2222999243a ≤++=．同理999n a ≤，可知2221999243n a +≤++=．由数学归纳法知，对任意*n ∈N ，有999n a ≤．即对任意*n ∈N ，有{1,2,3,,999}n a ∈．因此，存在,*p q ∈N （p q <），有p q a a =．则11p q a a ++=，22p q a a ++=，…，11q q q p a a -+--=，可得对任意*n ∈N ，n p ≥，有n q p n a a +-=．设q p T -=，即对任意n p ≥，有n T n a a +=．若T p ≥，取m T =，2n m =，则有32m m a a =．若T p <，由n T n a a +=，可得n pT n a a +=，取m pT =，2n m =，则有32m m a a =． ………………14分。
北京市东城区2014届高三第二次月考数学试题含答案
北京市东城区 2014 届高三（上）第二次月考数学试卷参照答案一、选择题（本大题共10 小题，每题 4 分，共40 分）1．已知圆的直角坐标方程为22x +y ﹣ 2y=0．在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）A ．ρ=2cosθB．ρ=2sin θC．ρ=﹣ 2cosθD．ρ=﹣ 2sinθ答案： B22．若会合， B={1 ， 2} ，则“m=1 ”是“A∪ B={0 ，1， 2} ”的（）A{0 ， m }A ．充要条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件D．既不充足又不用要条件答案： B3．以下函数中，与函数 y=x 同样的函数是（）x logA ．B．D．C． y=lg10y=2 2x y=y=答案： C4．以下函数中，在区间（ 0，+∞）上是增函数的是（）A ． y=﹣ x 2B． y=x2﹣ 2C．y=D．y=log 2答案： B5．和直线 3x﹣ 4y+5=0 对于 x 轴对称的直线的方程为（）A ． 3x+4y ﹣ 5=0B． 3x+4y+5=0C．﹣ 3x+4y ﹣ 5=0D．﹣ 3x+4y+5=0解答：解：和直线 3x﹣ 4y+5=0 对于 x 轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣ 4y+5=0 的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0 ，两直线在 x 轴截距相等，因此所求直线是3x+4y+5=0 ．应选 B．6．实数﹣?+lg4+2lg5的值为（）A ． 2B． 5C． 10D． 20答案： D7．若函数 f（ x）=log a x（ 0＜ a＜1）在区间 [a，2a]上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 等于（）A ．B．C．D．答案： A8．已知函数则“﹣2≤a≤0”是“f（x）在 R 上单一递加”的（）A ．充分而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件解答： 解：函数 f （ x ） =x 2+ax+1 在 [1，+∞）上单一递加则a ≥﹣ 2函数 f （ x ）=ax 2+x+1 在（﹣ ∞， 1）上单一递加则≤a ≤0而函数在 R 上单一递加则≤a ≤0≤a ≤0? ﹣ 2≤a ≤0∴ “﹣2≤a ≤0”是 “f （ x ）在 R 上单一递加 ”的必需而不充足条件应选： B9．双曲线 ﹣ =1 的渐近线与圆2 2相切，则双曲线离心率为（）x +（ y ﹣ 2） =1 A ． B ．C ． 2D ． 3解答：解：∵双曲线 ﹣ =1（ a ＞ 0， b ＞ 0）的渐近线为 bx ±ay=0，依题意，直线 2 2bx ±ay=0 与圆 x +（ y ﹣2） =1 相切， 设圆心（ 0， 2）到直线 bx ±ay=0 的距离为 d ， 则 d== =1，∴双曲线离心率e= =2．应选 C ．10．已知函数，若方程f （ x ） =x+a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．（ ﹣∞，1]B ． （ 0，1）C ． [0，+∞）D ． （﹣ ∞，1）解答：解：函数的图象如下图，当 a ＜ 1 时，函数 y=f （ x ）的图象与函数 y=x+a 的图象有两个交点， 即方程 f （x ） =x+a 有且只有两个不相等的实数根应选： D二、填空题（本大题共7 小题，每题 5 分，共 35 分）11．函数的定义域为（，1]．12．（ 5 分）若点在幂函数 y=f （ x）的图象上，则f（ x）=．13．（ 5 分）已知32是奇函数，则 a﹣ b=﹣ 1 ．f（ x）=2x +ax +b﹣1解答：解：∵ f（ x）是 R 上的奇函数，∴f（ 0）=0，得 b﹣ 1=0 ，解得 b=1 ．3 2∴f（ x） =2x +ax ．又∵ f（﹣ x）+f（ x）=0，∴﹣ 2x 3232，化为+ax +2x +ax =0立．∴ a=0．∴ a﹣ b= ﹣1．故答案为﹣ 1．2ax =0，对于随意实数R 都成14．已知，假如f（x0）=3，那么x0=．解答：解：∵ f（ x） =，∴若 x0＜0， f（ x0） ==3 ，∴x0=﹣；同理若 x0＞ 0， f（ x0）=x 0+1=3 ，∴x0=2．故答案为： 2，﹣．15．（ 5 分）（坐标系与参数方程选做题）参数方程（θ为参数）表示的图形上的点到直线y=x 的最短距离为．22x=2 或 4x﹣ 3y 16．经过点 M （ 2， 1），而且与圆 x +y ﹣ 6x﹣ 8y+24=0 相切的直线方程是﹣5=0 ．22﹣ 6x﹣8y+24=0 化为标准方程为（22解答：解：圆 x +y x﹣ 3）+（ y﹣4） =1 ，圆心（ 3， 4），半径 R=1当斜率不存在时，x=2 是圆的切线，知足题意；斜率存在时，设方程为y﹣ 1=k（ x﹣ 2），即 kx ﹣y+1﹣ 2k=0∴由圆心到直线距离d=R，可得=1∴k= ，∴直线方程为 4x﹣ 3y﹣ 5=0综上，所求切线方程为x=2 或 4x﹣ 3y﹣ 5=0故答案为： x=2 或 4x﹣ 3y﹣5=017．如图，已知椭圆的左极点为 A ，左焦点为F，上极点为B，若∠BAO+ ∠ BFO=90 °，则该椭圆的离心率是．解答：解：设椭圆的右焦点为 F′，由题意得 A （﹣ a， 0）、B（ 0，b）， F′（ c， 0），∵∠ BAO+ ∠ BFO=90 °，且∠ BFO= ∠ BF′O，∴∠ BAO+ ∠ BF′O=90 °，∴?=0，222∴（ a， b）?（ c，﹣ b） =ac﹣ b =ac﹣ a +c =0，∴ e﹣ 1+e 2=0 ，解得e=，故答案为：．三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）2﹣ x ﹣ 118．（ 10 分）定义在 R 上的奇函数 f （x ），当 x ＞0 时， f （ x ）=x （Ⅰ）求 f （ x ）的分析式；（Ⅱ）写出函数 f （ x ）的单一区间． （不用证明）解答：解：（Ⅰ）设 x ＜ 0，则﹣ x ＞0，由题意可得 f （﹣ x ）=（﹣ x ）2﹣（﹣ x ）﹣ 1=﹣ f （ x ），∴ f （ x ） =﹣x 2﹣ x+1 ．再由 f （ 0）=0 ，可得 f （x ） =．（Ⅱ）联合函数f （ x ）的图象可得函数f （x ）的单一增区间为： （﹣ ∞，﹣）、（，+∞），减区间为（ ， 0）、（0，）．19．（ 13 分）已知函数 f （ x ） =lg （ 1+x ） +lg （ 1﹣ x ）． （Ⅰ）求函数 f （ x ）的定义域； （Ⅱ）判断函数 f （ x ）的奇偶性；（Ⅲ）判断 f （x ）在（ 0， 1）内的单一性并证明． 解答：解：（ 1）由函数的分析式可得，解得﹣ 1＜x ＜ 1，故函数的定义域为（﹣1， 1）．（ 2）因为函数的定义域对于原点对称，且 f （﹣ x ） =lg （ 1﹣ x ） +lg （ 1+x ） =f （x ），故函数为偶函数．（ 3）因为函数 f （ x ）=lg （ 1+x ） +lg （ 1﹣ x ） =lg （ 1﹣ x 2），可得函数 f （x ）在（ 0， 1）内的单一递减．证明：当 0＜ x ＜ 1 时，令 t=1 ﹣x 2，则 t ′=﹣ 2x ＜ 0，故函数 t 在（ 0， 1）内的单一递减，再联合复合函数的单一性可得f （x ）在（ 0， 1）内的单一递减．22内有最大值﹣ 5，求 a 的值及函数 20．（ 13 分）已知 f （ x ）=﹣ 4x +4ax ﹣ 4a ﹣ a 在区间 [0，1] 表达式 f （ x ）． 解答： ﹣ 4a ，此抛物线极点为．解∵ f （ x ）=﹣ 4222±1＜ 2（舍当≥1，即 a≥2 时， f （x）取最大值﹣ 4﹣a ．令﹣ 4﹣ a =﹣ 5，得 a =1，a=去）．当 0＜＜ 1，即 0＜ a＜ 2 时， x= 时， f（ x）取最大值为﹣4A 、令﹣ 4a=﹣ 5，得 a= ∈（ 0， 2）．当≤0，即 a≤0 时， f （ x）在 [0， 1] 内递减，∴ x=0 时， f （ x）取最大值为﹣4a﹣ a 2，22令﹣ 4a﹣ a =﹣ 5，得 a2+4a ﹣ 5=0，解得 a=﹣5，或 a=1，此中﹣ 5∈（﹣∞， 0]．综上所述， a=或 a=﹣ 5时， f（ x）在 [0， 1] 内有最大值﹣ 5．∴ f（ x） =﹣4x 22﹣20x﹣ 5．+5x ﹣或 f （ x） =﹣ 4x21．（ 13 分） m 为什么值时，直线222x﹣ y+m=0 与圆 x +y =5（Ⅰ）无公共点；（Ⅱ）截得的弦长为2；（Ⅲ）交点处两条半径相互垂直．解答：解：由圆方程得：圆心（0， 0），半径 r=，∴圆心到直线 2x﹣y+m=0 的距离 d=，（Ⅰ）若直线与圆无公共点，则有d＞r，即＞，解得： m＞ 5 或 m＜﹣ 5；（Ⅱ）依据题意得： 2=2，即5﹣ =1，解得： m=±2；（Ⅲ）依据题意得：弦长的平方等于2r 2，即（ 222，） =2r∴4（ 5﹣） =10，解得： m=±．22．（ 13 分）已知 f（ x）=2+log 3x， x∈[1， 9] ，求 y=[f （ x） ]2+f （ x 2）的最大值及y 取最大值时 x 的值．解答：解：∵ f（ x） =2+log3x，x∈[1，9]，2222）∴ y=[f （ x） ] +f （ x） =（2+log 3x）+（ 2+log3 x3233x=（ log x） +6log x+6，令 t=log由题意可得即 1≤x≤3，则 t∈[0， 1]∴ y=t 2+6t+6= （ t+3 ） 23 在 [0， 1]上 增当 t=1 即 x=3 ，函数有最大 ， y max =1323．（ 13 分）已知 的右焦点F （ 1，0）， M 的上 点，O 坐 原点，且△ OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求 的方程；（Ⅱ）能否存在直l 交 于P ，Q 两点，且使点F △PQM 的垂心（垂心：三角形三高 的交点）？若存在，求出直 l 的方程；若不存在， 明原因．解答：解：（Ⅰ）由 △OMF 是等腰直角三角形，得 b=1 ，a=b= ，故 方程．⋯（5 分）（Ⅱ）假 存在直l 交 于 P ， Q 两点，且使点F △PQM 的垂心，P （ x 1， y 1），Q （ x 2 ，y 2），因 M （0， 1），F （ 1， 0），因此 k PQ =1．⋯（7 分）于是 直 l 的方程 y=x+m ，代入 方程，消元可得3x 2+4mx+2m 2 2=0．由 △ ＞0，得 m 2＜ 3，且 x 1+x 2=，x 1x 2=．⋯（9 分）由 意 有，因此 x 1（ x 2 1） +y 2（ y 1 1） =0，因此 2x 1x 2+（ x 1+x 2）（ m 1） +m 2m=0．整理得 2×（ m1）+m 2m=0 ．解得 m=或 m=1．⋯（ 12 分），当m=1 ， △ PQM 不存在，故舍去．当 m=，所求直l 存在，且直l 的方程y=x．⋯（ 13 分）。
北京东城高三二模数学文科试题及答案
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学（文科） 2015.5本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}234B =，，，如图阴影部分所表示的集合为（A ）{}2 （B ）{}01， （C ）{}34， （D ）{}0,1,2,3,4（2）若复数2()i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（3）已知圆的方程为222610x y x y +--+=，那么圆心坐标为 （A ）(1,3)-- （B ）(1,3)- （C ）(1,3) （D ）(1,3)-（4）设点),(y x P ,则“1x =且2y =-”是“点P 在直线30l x y --=：上”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设0.8log 0.9a =，1.1log 0.9b =，0.91.1c =,则a ，b ，c 的大小关系是C（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）c a b <<（6）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于 （A ）3 （B ）41（C ）5 （D ）6（7）若实数x ，y 满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的最大值为（A ）13 （B ）11 （C ）3 （D ）1（8）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点,点M 是1BB 上的动点,过点E ，M ，F 的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =,平行四边形EMFN 的面积为S ,设2y S =,则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（A ）23()222f x x x =-+，[0,1]x ∈ （B ）31,[0,),22()11,[,1].22x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩（C ）22312,[0,],22()312(1),(,1].22x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--+∈⎪⎩ （D ）23()222f x x x =-++，[0,1]x ∈第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014东城区高三二模数学(文科)
2014东城区高三二模数学（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合S={x∈R|x+1≥2}，T={﹣2，﹣1，0，1，2}，则S∩T=（）A．{2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x值为（）A．2或﹣2 B．﹣1或﹣2 C．2或﹣1 D．1或﹣24．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=6+a7，则S9的值是（）A．27 B．36 C．45 D．545．（5分）已知tanα=2，那么sin2α的值是（）A． B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，g（x）=f（|x|），若g（lgx）＞g（1），则x的取值范围是（）A．（0，10）B．（10，+∞）C．（，10）D．（0，）∪（10，+∞）7．（5分）已知点A（2，0），B（﹣2，4），C（5，8），若线段AB和CD有相同的垂直平分线，则点D的坐标是（）A．（6，7） B．（7，6） C．（﹣5，﹣4）D．（﹣4，﹣5）8．（5分）对任意实数a，b定义运算“⊗”：，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．[0，1]C．[﹣2，0）D．[﹣2，1）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数的定义域是．10．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则||=．11．（5分）在区间[0，6]上随机取两个实数x，y，则事件“2x+y≤6”的概率为．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N*，有2S n=3a n﹣2，则a1=；S n=．13．（5分）过点A（﹣1，0）且斜率为k（k＞0）的直线与抛物线y2=4x相交于B，C两点，若B为AC中点，则k的值是．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点），|PA|+|PC1|=m，①若m=2，则满足条件的点P的个数为．②若满足|PA|+|PC1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．=120g/km．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为乙（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？（2）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．18．（13分）已知a∈R，函数f（x）=x3+（a﹣2）x2+b，g（x）=2alnx．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）设F（x）=f′（x）﹣g（x），若对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有F（x2）﹣F（x1）＞a（x2﹣x1），求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点M（3，0）且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C，求△MBC面积的最大值．20．（14分）设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{a n}：a1是自然数，a n=f ）（n∈N*，n≥2）．（a n﹣1（Ⅰ）求f（99），f（2014）；（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；（Ⅲ）求证：存在m∈N*，使得a m＜100．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】S={x∈R|x+1≥2}，则∴S={x∈R|x≥1}，又∵T={﹣2，﹣1，0，1，2}，故S∩T={1，2}．故选B．2．【解答】复数==1+i∴复数的在复平面内的对应点（1，1）．在复平面内，复数对应的点位于第一象限．故选：A．3．【解答】由题意，或∴x=1或﹣2故选D．4．【解答】在等差数列{a n}中，∵2a6=a5+a7，又由已知2a6=6+a7，得a5=6，∴S9=9a5=54．故选：D．5．【解答】∵tanα=2，∴sin2α===．6．【解答】∵g（x）=f（|x|），∴函数g（x）是偶函数，∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴不等式g（lgx）＞g（1），等价为g（|lgx|）＞g（1），即|lgx|＞1，则lgx＞1或lgx＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜，故选：D．7．【解答】设D（x，y），∵A（2，0），B（﹣2，4），∴AB点E（0，2），AB的斜率k==﹣1，∴AB的垂直平分线的斜率为1，∴AB的垂直平分线的方程为y=x+2，∴CD的中点F（，）在y=x+2上，∴=+2，①又CD的斜率=﹣1，②联立①②解得，即D（6，7）故选：A．8．【解答】当（x2﹣1）﹣（x+4）＜1时，f（x）=x2﹣1，（﹣2＜x＜3），当（x2﹣1）﹣（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤﹣2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：﹣2≤k＜1，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故答案选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵4x﹣3＞0⇒x＞，∴函数的定义域是{x|x＞}．故答案是{x|x＞}10．【解答】∵，平面向量=（1，2），=（﹣2，m），∴﹣2×2﹣m=0，解得m=﹣4．∴=（﹣2，﹣4），∴==．故答案为：．11．【解答】由题意，在区间[0，6]上随机取两个实数x，y，在平面直角坐标系中做出对应的区域，事件“2x+y≤6”对应的区域，如图所示：所以事件“2x+y≤6”的概率为=故答案为：12．【解答】∵2S n=3a n﹣2，①∴n=1时，2a1=3a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，2S n﹣1=3a n﹣1﹣2，②①﹣②，得：2a n=3a n﹣3a n﹣1，整理，得a n=3a n﹣1，∴，∴{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，=3n﹣1．故答案为：2，3n﹣1．13．【解答】依题意知直线方程为y=k（x+1），带入抛物线方程得y2=4（），整理得ky2﹣4y+4k=0，解得y=，∵B为AC中点，∴y B=，y C=，且=y B，即=，求得k=．故答案为：14．【解答】∵正方体的棱长为1，∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故满足条件的点P的个数为6个．（2）∵|PA|+|PC1|=m＞|AC1|=，∴m＞，∵正方体的棱长为1∴正方体的面的对角线的长为，∵点P的个数为6，∴b＜∵短半轴长b=，∴，∴m，∴m的取值范围是（，）故答案为：6，（，）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）===．∴f（x）=．所以f（）=．（Ⅱ）当时，．∴当时，即x=0时，函数f（x）取得最小值0；当时，即时，函数f（x）取得最大值．16．【解答】（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）．设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）∴．答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7；（2）由题可知，，∴，解得x=120．又，∴，∴，∵，∴乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．17．【解答】（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高=S△ABC=又∵PD=，S△BEC=S△BEC×PD=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC18．【解答】（Ⅰ），．，g'（1）=2a．依题意有f'（1）g'（1）=﹣1，可得，解得a=1，或．当a=1时，f（x）=x3﹣x2+b，g（x）=2lnx．由，解得c=0．b=，当a=时，f（x）=x3﹣x2+b，g（x）=lnx．由，解得c=0．b=．（Ⅱ）．不妨设x1＜x2，则等价于F（x2）﹣F（x1）＞a（x2﹣x1），即F（x2）﹣ax2＞F（x1）﹣ax1．设G（x）=F（x）﹣ax，则对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有，等价于G（x）=F（x）﹣ax在（0，+∞）是增函数．，可得，依题意有，对任意x＞0，有x2﹣2x﹣2a≥0．由2a≤x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，可得．19．【解答】（Ⅰ）∵椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．∴c=2，，a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2．故椭圆方程为．（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x﹣3）．联立方程组，消去y并整理，得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0．（*）设A（x1，y1），B（x2，y2）．故，．不妨设x1＜x2，显然x1，x2均小于3．则，．S△MBC=|S△ABC﹣S△AMC|=|y1|（3﹣x2）=|k|（3﹣x1）（3﹣x2）=．等号成立时，解得，此时方程（*）为2x2﹣6x+3=0，满足△＞0．所以△MBC面积S的最大值为．20．【解答】（Ⅰ）解：f（99）=92+92=162；f（2014）=22+02+12+42=21．（Ⅱ）证明：假设a1是一个n位数（n≥3），那么可以设，其中0≤b i≤9且b i∈N（1≤i≤n），且b n≠0．由a2=f（a1）可得，．=所以．因为b n≠0，所以（10n﹣1﹣b n）b n≥99．而（b1﹣1）b1≤72，所以a1﹣a2＞0，即a1＞a2．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知当a1≥100时，a1＞a2．同理当a n≥100时，a n＞a n．+1若不存在m∈N*，使得a m＜100．．则对任意的n∈N*，有a n≥100，总有a n＞a n+1则a n≤a n﹣1，可得a n≤a1﹣（n﹣1）．﹣1取n=a1，则a n≤1，与a n≥100矛盾．存在m∈N*，使得a m＜100．。
2014东城高三上期末数学文科
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）2014.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1、已知集合{|02}A x x =<<，{1,0,1}B =-，则A B =（A ）{1}- （B ）{0} （C ）{1} （D ）{0,1} 2、在复平面内，复数i(2i)+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3、下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）ln ||y x =- （B ）3y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x = 4、 “1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5、执行如图所示的程序框图，输出的a 值为（A ）3（B ）5 （C ）7（D ）96、直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =，则k = （A）（B） （C（D7、关于平面向量,,a b c ，有下列三个命题： ①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②若(1,)k =a ，(2,6)=-b ，a ∥b ，则3k =-；③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为30． 其中真命题的序号为（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③8、已知函数25,0,()e 1,0.x x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,5]-∞ （C ）(0,5] （D ）[0,5]俯视图侧(左)视图正(主)视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年北京东城高三二模数学(理科)试题及答案
2014年北京东城高三二模理科数学试题及答案东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学（理科)第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}B =--，则AB =（ ）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-（2）在复平面内，复数32i 1i--对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为（ ）．A ．2或2-B ．1-或2-C ．1或2-D ．2或1-（4）如果实数x ，y 满足条件10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）．A ．3-B ．1-C ．0D ．1（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．8（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（ ）． A ．12 B ．18 C ．24 D ．36（7）若直线1,x t y a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα（α为参数）所截的弦长为22，则a 的值为（ ）．A ．1或5B ．1-或5C ．1或5-D ．1-或5-（8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b ab a a b -⎧=⎨-<⎩…设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．(2,1)-B ．[0,1]C ．[2,0)-D ．[2,1)-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知tan =2α，那么cos 2=α ．（10）已知平面向量a ，b ，若3=a ，13-=a b ，6⋅=a b ，则=b ；向量a ，b 夹角的大小为 ．（11）在区间[0,6]上随机取两个实数x ，y ,则事件“26x y +…”的概率为_________．（12）如图所示，PA 与圆O 相切于A ，直线PO 交圆O 于B ，C 两点，AD BC ⊥，垂足为D ，且D 是OC 的中点，若6PA =，则PC = ．（13）若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别是M ，N ，若2BN AM =，则k 的值是 ．（14）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），1PA PC m +=，①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++．（Ⅰ）求()12f π的值； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．ABCPDO·（16）（本小题共13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)，，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望．0.020 0.02510 20 30 40 50 60 0.015 0.005频率 组距（17）（本小题共14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD⊥平面ABCD ,DC //AB ,BC CD ⊥,EA ED ⊥,且4AB =，2BC CD EA ED ====．（I ）求证：BD ⊥平面ADE ；（II ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（III ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由．（18）（本小题共13分）已知0a >，函数2()21axf x a x =++，()ln g x a x x a =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >．（19）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=的一个焦点为(2,0)F ，且离心率为63．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点F ，且与椭圆交于,A B 两点，P 为直线3x =上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．DCBEA（20）（本小题共14分）设a 是一个自然数，()f a 是a 的各位数字的平方和，定义数列{}n a ：1a 是自然数，1()n n a f a -=（*n ∈N ，2n ≥）．（Ⅰ）求(99)f ，(2014)f ； （Ⅱ）若1100a ≥，求证：12a a >；（Ⅲ）当11000a <时，求证：存在*m ∈N ，使得32m m a a =．东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）D （5）D （6）C （7）A （8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）35- （10）4 60（11）14（12）23 （13）223（14）6 (3,5) 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++2sin 3sin cos x x x =+ 1cos 23sin 222x x -=+ 311sin 2cos 2222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+． 所以1()122f π=． …………………7分 （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤． 所以，当266x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最小值0； 当262x ππ-=时，即3x π=时，函数()f x 取得最大值32．…………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）110(0.0200.0250.0150.005)0.35-⨯+++=， 1000.35⨯=，即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35．………………………4分 （Ⅱ）1000.1515⨯=，1000.055⨯=，所以85220⨯=， 即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2． ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为0，1，2．36385(0)14C P X C ===；12263815(1)28C C P X C ===；2126383(2)28C C P X C ===．所以X 的分布列为X1 2P 5141528 328X 的数学期望为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=．………………………13分D B ACEzxy（17）（共14分）解：（I ）由BC CD ⊥，2BC CD ==．,可得22BD =．由EA ED ⊥，且2EA ED ==， 可得22AD =． 又4AB =． 所以BD AD ⊥． 又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCDAD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADE ． ……………５分 （II ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,22,0)B ，(2,2,0)C -，(2,0,2)E ，(2,22,2)BE =-，(2,0,2)DE =，(2,2,0)DC =-．设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ，0DC ⋅=n ， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n ．设直线BE 与平面CDE 所成的角为α， 则|||2222|2sin |cos ,|3||||233BE BE BE ⋅--=<>===⋅⋅αn n n ．所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值23． ……………1０分 （III ）设CF CE =λ，[0,1]λ∈．(2,2,0)DC =-，(22,2,2)CE =-，(0,22,0)DB =．则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ．设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量，则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈．所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE ．……………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ,()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111，因为0a >，所以，当1x <-，或1x >时，'()0f x <；当11x -<<时，'()0f x >．所以，()f x 的单调递增区间为(,)-11,单调递减区间为(,)-∞-1,(,)+∞1．……6分（Ⅱ）因为()f x 在区间(,)01上单调递增，在区间(,e)1上单调递减，又()f a =02，e (e)e af a a =+>+2221， 所以，当(,e)x ∈0时，()f x a >2． 由()ln g x a x x a =-+，可得'()1a a x g x x x-=-=． 所以当e a ≥时，函数()g x 在区间(0,e)上是增函数， 所以，当(,e)x ∈0时，()(e)g x g a e a <=-<22． 所以，当(,e)x ∈0时，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有1()2f x a >，2()2g x a <，所以12()()f x g x >． 当0e a <<时，函数()g x 在区间(0,)a 上是增函数，在区间(,e)a 上是减函数， 所以，当(,e)x ∈0时，()()ln g x g a a a a ≤=<2． 所以，当(,e)x ∈0时，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有1()2f x a >，2()2g x a <，所以12()()f x g x >． 综上，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >． ……………13分（19）（共13分）解（Ⅰ）依题意有2c =，63c a =． 可得26a =，22b =．故椭圆方程为22162x y +=． ………………………………………………５分 （Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-．联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+． 则2221212121(1)[()4]AB k x x k x x x x =+-=++-2226(1)31k k +=+． 设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+，02231k y k =-+． 直线MP 的斜率为1k-，又 3P x =， 所以220222113(1)1(31)P k k MP x x k k k ++=+⋅-=⋅+． 当△ABP 为正三角形时，32MP AB =， 可得22222213(1)326(1)(31)231k k k k k k +++⋅=⋅++， 解得1k =±．即直线l 的方程为20x y --=，或20x y +-=．………………………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）22(99)99162f =+=；2222(2014)201421f =+++=． ………………5分 （Ⅱ）假设1a 是一个n 位数（3n ≥），那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+，其中09i b ≤≤且i b ∈N （1i n ≤≤），且0n b ≠．由21()a f a =可得，2222221321n n a b b b b b -=+++++．1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+- 所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---．因为0n b ≠，所以1(10)99n n n b b --≥．而11(1)72b b -≤，所以120a a ->，即12a a >． ………………9分（Ⅲ）由11000a <，即1999a ≤，可知2222999243a ≤++=．同理999n a ≤，可知2221999243n a +≤++=． 由数学归纳法知，对任意*n ∈N ，有999n a ≤．即对任意*n ∈N ，有{1,2,3,,999}n a ∈．因此，存在,*p q ∈N （p q <），有p q a a =．则11p q a a ++=，22p q a a ++=，…，11q q q p a a -+--=，可得对任意*n ∈N ，n p ≥，有n q p n a a +-=．设q p T -=，即对任意n p ≥，有n T n a a +=．若T p ≥，取m T =，2n m =，则有32m m a a =．若T p <，由n T n a a +=，可得n pT n a a +=， 取m pT =，2n m =，则有32m m a a =． ………………14分。
北京市东城区普通校2014届高三上学期期中联考 文科数学 含解析
北京市东城区普通校2014届高三上学期期中联考数 学(文科)第Ⅰ卷(选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上。
1。
设R =U ，}1|{},0|{>=>=x x B x x A , 则B C A U= （ ）A 。
}10|{<≤x x B.}10|{≤<x x C.}0|{<x xD.}1|{>x x2.已知ba <，则下列不等式正确的是（ ）A.ba 11> B 。
b a ->-11 C 。
22b a >D.b a22>3。
下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）A 。
1y x=- B. 23y x =-+ C. ||e x y =D 。
cos y x =4.已知53sin ),,2(=∈αππα，则)4tan(πα+等于 （ ）A.71 B 。
7 C 。
71-D.7-5。
若R a ∈，则“8>a ”是“2log 2>a ”的 （ ）A. 充分而不必要条件 B 。
必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6.若x c x b a x3223log ,,)32(===，当1>x 时，c b a ,,的大小关系为（）A.c b a <<B.b c a << C 。
a b c << D.b a c <<7.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则BD AE ⋅= ( )A.1 B 。
2- C 。
2D 。
28。
已知函数)(x f ,R x ∈满足3)2(=f ,且)(x f 在R 上的导数满足01)(<-'x f ，则不等式1)(22+<x xf 的解为 （ ）A.），（2-∞-B 。
小题解析：北京市东城区2014届高三3月质量调研 数学(文)试题 含解析
第Ⅰ卷(共40分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.【题文】设全集{}3,4,5P=，{}Q=,则()U1,2,3,4,5,61,2,3,4U=，设集合{}P Q=（）A.{}1,2,51,2,3,4,5C。
{} 1,2,3,4,6B。
{}D。
{}1,2【结束】2.【题文】在某次测量中得到的A样本数据如下：52545456565655555555。
若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A。
众数B。
平均数C。
中位数D。
标准差【结束】3。
【题文】已知i 是虚数单位,若31i i z+=-，则z 的共轭复数为（ ） A 。
12i - B 。
24i - C 。
222i - D 。
12i +【解析】【结束】4.【题文】设l 是直线，α、β是两个不同的平面,则（ ）A.若//l α,//l β，则//αβB.若//l α,l β⊥，则αβ⊥C 。
若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D 。
若αβ⊥,//l α，则l β⊥【结束】5。
【题文】函数()2sin 0963x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为( ） A.23+B.4C.3D.23-【解析】【结束】6。
【题文】“0a ≤”是“函数()()2f x x ax =-在区间()0,+∞内单调递增”的（ ）。
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北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数 学 （理科） 2014.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.sin(150)- 的值为A ．12-B ．12 C． D2.已知命题:p “0a ∀>，有e 1a≥成立”，则p ⌝为 A. 0a ∃≤，有e 1a≤成立 B. 0a ∃≤，有e 1a≥成立 C. 0a ∃>，有e 1a<成立 D. 0a ∃>，有e 1a≤成立 3. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应为A.-2B.16C.-2或8D. -2或164. 在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心到极轴的距离为 A ．1C.D. 25.已知(,)P x y 是不等式组10,30,0x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点，(1,2)A ，O 为坐标原点，则OA OP ⋅的最大值A.2B.3C.5D.66.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径为30m ，AM =2BP =m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ，则()h t =A.ππ30sin()30122t -+B.ππ30sin()3062t -+C.ππ30sin()3262t -+D.ππ30sin()62t -7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是A. (2,4)B. (,2)-∞C. (2,)+∞D.(4,)+∞ 8.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 满足不等式20x x -<的x 的取值范围是________.10.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率为________.11.已知5(1)ax +的展开式中3x 的系数是10，则实数a 的值是12.已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______.13. 已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为_____.14.已知集合{1,2,3,,100}M = ，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作()S A . ①满足()8S A =的集合A 的个数为_____；②()S A 的所有不同取值的个数为_____.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）1D主视图俯视图在锐角ABC ∆中，a A =且b . （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若3a c =，求c 的值.16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，的一点，1AC AB AA ==，,E F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上且1C F //平面AEG . （Ⅰ）求1CG CC 的值；（Ⅱ）求证：1EG A C ⊥；（Ⅲ）求二面角1A AG E --的余弦值.17.（本小题满分13分）某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6，B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A ，B 两车出车相互独立. (Ⅰ)求该单位在星期一恰好出车一台的概率；(Ⅱ)设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望E (X ).18.（本小题满分13分）已知函数()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈.（Ⅰ）当π2a =时，求函数()f x 值域； （Ⅱ）当π2a >时，求函数()f x 的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆G，其短轴两端点为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断1以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.20.（本小题满分13分）对于自然数数组(,,)a b c ，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果(,,)a b c 的极差1d ≥，可实施如下操作f ：若,,a b c 中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若,,a b c 中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为1(,,)f a b c ，其级差为1d .若11d ≥，则继续对1(,,)f a b c 实施操作f ，…，实施n 次操作后的结果记为(,,)n f a b c ，其极差记为n d .例如：1(1,3,3)(3,2,2)f =，2(1,3,3)(1,3,3)f =. （Ⅰ）若(,,)(1,3,14)a b c =，求12,d d 和2014d 的值；（Ⅱ）已知(,,)a b c 的极差为d 且a b c <<，若1,2,3,n = 时，恒有n d d =，求d 的所有可能取值； （Ⅲ）若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足0n d =.数学（理科）参考答案2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1)}12.213.14.6，5050{本题第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a ===---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B = ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c =-------------------------------11分解得c =-------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-==<可得90A > ，不符合题意，所以c =.--------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =，1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=.--------------------------------8分所以1EG CA ⊥ ，所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩--------------------------10分 令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n .--------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分 由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为.--------------------------------14分 16.解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，-------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯--------------------------4分0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=----------------------------10分--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解： （Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π'()()cos 2f x x x =- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x = --------------------------------------2分(),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-，①当ππ2a <<时，(),'()f x f x 的情况如下-------------------------------------------------9分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a ②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2. 19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分 由e =，可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分 解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅= 202011x y -+-, --------------------------------------10分由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分 所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分所以90MAN ∠≠ ,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A .------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠ , ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=> ,----------------11分所以90ACB ∠≠ , -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠ , ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩化简得到222(1)20x kx ++-=， 所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++,所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++.----------------------------8分所以直线BD 的方程为22211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分 令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分 1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠ , ----------------------12分所以90MAN ∠≠ , ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点.--------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅的取值}20.解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d =---------------------------3分 （Ⅱ）法一：①当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n == 恒成立. ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n == 的d 的取值仅能是2.---------------------8分 法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+， 当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n = ）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变.所以满足(1,2,3,)n d d n == 的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数.------------------------------------------------9分 法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x = ，x ∈N ）中，总满足i c 是唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c b x -<. 所以，当2,3,,13c b i -=- 时，111(2)(1)3i i i i i id c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c b f a b c -+-++=，3c bd b a -=- 依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c b i y ---=++ ，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a cbc b y y +-++<-，解得3b a y -<. 所以，当,1,,1333c b c b c a i ---=+- 时，111(1)(2)3i i i i i id c a c a d ---=-=--+=-. 3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b c f a b c -++++++=，30c a d -= 所以存在3c a n -=，满足(,,)n f a b c 的极差0nd =.--------------------------------13分 法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则 1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-， 所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b c a b c +++++=== 所以存在3d n =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。