11.2.1三角形的内角

锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
巩固练习 (口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?
（1）3°， 150°， 27°
（是 ）
（2）60°， 40°， 90°（ 不是）
（3）30°， 60°， 50° （ 不是）
例1、如图：在△ABC中,∠ＢAＣ=４０°， ∠B=
７５°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB 的度数？
C
B
同 解：∵ AD∥BE ∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180°（） 旁 ∴ ∠ABE ＝ 180 °－∠ DAB 方法一 内 ＝ 180° － 80° ＝100° 角 ∴ ∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE ＝100°﹣40°＝60° ABC ＝ 180°－30 °－60 °＝90°
11.2.1 三角形的内角和
1
学 习 目 标
1.掌握三角形内角和定理及其推论
2.会用添加辅助线的方法进行证明
3.灵活运用三角形内角和定理
1、能用多种方法证明三角形内角和定理 2、会在证明中添加合适的辅助线。 重点 ： 3.证明三角形内角和的主要思想为：转 化思想。
三角形的内角 三角形两边的夹角叫做三角形的内角
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
2.推论： 直角三角形中，两锐角互余。 • 即在直角 △A B C 中，若∠C =90°， • 则∠A +∠B =90 °。
A
C
B
定理应用
三角形的三内角和是180º，所以三内角可 能出现的情况：
一个钝角 一个直角
两个锐角 两个锐角
钝角三角形 直角三角形
三个都为锐角
2、由三角形内角和等于180°，可得出 (1)推论： 直角三角形中，两锐角互余； (2)一个三角形最多有一个直角、一个钝角、三个 锐角，最少有两个锐角；
(3)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°
3、三角形按角分类： 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形
思考1. 如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
E A F
B
C
所以∠1+∠4+∠5=1800（平角定义） 所以∠1+∠2+∠3=1800（等量代换）
证法二
内错角+同位角+平角
延长BC到D， 过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
∠B=∠2
(两直线平行，内错角相等)
(两直线平行，同位角相等) E 1 2
∵∠1+∠2+∠ACB=180° A
∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换)
∴∠A+∠B+∠ACB=180° A (等量代换)
E
B
C
D
在这里，为了证明的需要，在原来 的图形上添画的线叫做辅助线。在平面 几何里，辅助线通常画成虚线。
思路总结
为了证明三个角的和为1800,转 化为一个平角或同旁内角互补,这 种转化思想是数学中的常用方法.
三角形内角和定理:
0 三角形的内角和等于180 .
应用新知 （1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °∠C= （2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4则∠A = ___ ∠ B= ∠ C= . （3） ∠A ： ∠B ：∠C=3：2：1，问 △ABC是___三 角形. （4） ∠A －∠C =35 °∠B －∠C =10 °，则∠B =？ （5）一个三角形中最多有 个直角，最多有___ 个钝角，最多有__个锐角，至少有 个锐角。 （6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少 为 .（至少有一个角的度数小于或等于60） .
方法三
北 D
50°
C
1
E
2 40°
B F
你能想出一个更 简捷的方法来求 ∠C的度数吗？
解：
A
过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °（）, ∵ CF∥AD, 又AD ∥BE
∴ CF∥ BE（） ∴∠2＝∠CBE ＝40 °（） ∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °
小结 1、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°
C
D
在△ABD中, ∠ADB=１８0°－∠B－∠BAD， = 180 °-75 °-20 °=85 °
A
B
练习：已知三角形三个内角的度数之 比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
由三角形内角和为180°得
x+3x+5x=180° 解得 x=20° 所以三个内角度数分别为20°,60°,100°。
思考与探索
如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?
30+60+90=180
45+45+90=180
想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?
方法一： 把三个角拼在一起试试看
三角形的内角和是180度。
方法二: 将各角沿着一边所在的直线折叠
A
1 B 2 3 C
如果△ ABC 是画在一块不能分 割的平面上，如在黑板上，这时 就不可能做到把∠ A 、∠ B 撕下来 再分别放在∠ 1 、∠ 2 的位置上， A 那 么 又 如 何 论 证 ∠ A+∠B+∠C= 180゜呢？ E
B
C
D
证法三
内错角+同旁内角
过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
E A ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
B
C
证法四：
外角+邻补角
延长BC到D，
∴ ∠ACD=∠A+ ∠ B(外角的定义)
∵ ∠ACD+∠ACB=180°(邻补角)
∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数. 解: ∵DE//BC ∴∠B=∠ADE＝50° A ∵∠A＝70° ∴∠ACB=180 °-∠A-∠B D =180°-70°-50° =60° B ∵ CD平分∠ACB 1 1 DCB ACB 60 30 2 2 BDC 180 B DCB 180 50 30 100 E C
1 1 ∠B= ∠ 3 2
C，那
x 2x 3x 180
解得
x 30
∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° 所以△ＡＢＣ是直角三角形
巩固练习
(7).△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是(B A、锐角三角形 C、钝角三角形 B、直角三角形 D、等腰三角形 )
(8). 一个三角形至少有（ A、一个锐角 C、一个钝角
B
）
B、两个锐角 D、一个直角
例题讲解1 已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,
A
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
即在△ABC中， ∠A +∠B +∠C=180 °
三种语言
☞
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B 0 ∠B+∠C=180 -∠A. ∠A+∠C=1800-∠B.
巩固练习
思考2：如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连 结 PB、PD，交CD于E点。 则∠ B、 ∠ D、 ∠ P 之间是否存在一定的大小关系？给出证明。 A C P E B
D
思考：在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ= 么△ＡＢＣ是什么三角形？ 解:设∠A=x°, 那么∠B=2x°,∠C=3x° 根据题意得:
解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0
（三角形内角和定理） ∴x＋2x＋2x＝180 解得x＝36 ∴∠C＝2×360＝720 D ?
B
在△BDC中，∵∠BDC＝900
(三角形高的定义）
C ∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理） ∴∠DBC＝180
例题讲解2
如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛 的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方 向。求下面各题. 北 D 80° 50°∠DAB＝______ （1）∠DAC＝_____ ∠EBC＝_______ 30 ° 40° ∠CAB ＝ ______ (2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少? A E 北
方法二
解：过点C画MN⊥AD分别交 AD、BE于点M、N
北D
M
E C
1
北
N 2 40 °
50°
B
在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50° 平 角 ∴∠1=180 °-90°-50° =40°（）
A
∵ AD∥BE ∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °（）
∴ ∠BNC =90° 同理得∠2 =50° ∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2 =180 °-40°-50° =90°
1 2 B C D
三角形内角和定理：三角形的内角和等于1800.
证法一：2对内错角 已知：△ABC. +平角 求证：∠A +∠B +∠C =180° 证明：过点A作l∥BC 因为l ∥BC 所以∠2=∠4（两直线平行,内错角相等） 同理∠3=∠5 因为∠1， ∠4， ∠5组成平角
4 1 2 3 5