余数的可加性,可减性
第11讲 余数的性质和计算
第11讲余数的性质和计算本讲知识点汇总：一、替换求余利用余数的可加性、可减性以及可乘性，将算式中的每个数都用相应的余数替换。
二、特性求余：利用特殊数（例如2、3、4、5、8、9、11、13、99等）的整除特性来求余数。
三、利用周期规律求余数：对于乘方和一些复杂的具有规律性的算式，可以先找到周期规律，再计算。
为了更好地了解余数的性质规律，我们先来做几个计算：（1）21除以17的余数是（2）135除以17的余数是（3）211+135的和除以17的余数是（4）211-135的差除以17的余数是（5）211×135的积除以17的余数是（6）2112除以17的余数是比较上面的结果，我们发现余数有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积。
这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性。
在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性质进行简算。
需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：（1）如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数。
例如：在计算423+317除以6的余数时。
利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3+5=8，8>6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2，オ是423+317除以6最后的余数。
再比如：在计算423×317除以6的余数时，也会遇到3×5=15>6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果。
（2）在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数即可。
例如：在计算428-317除以6的余数时，会发现结果变成了3-5不够减。
此时，只要再加上6，用6+3-5=4来计算即可。
范例解密例题1、一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个。
请问：最后一包有多少个零件？练习1（1）123+456+789除以111的余数是多少？（2）123⨯456⨯789的结果除以23的余数是多少？我们学过特殊数（2、3、5、4、7、11、13、25、27、37、99、999）的整除特性。
小学数学思维-余数的性质与计算练习题
余数的性质与计算知识精讲这一讲我们来学习余数的问题，在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数。
一般的，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r），0≤r＜b当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除问题是密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起，余数有一些重要性质被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数余数小于除数例1.用一个自然数去除另一个整数，商是40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？练习1.甲、乙两数的和是2014，甲数除以乙数商99余14，求甲、乙两数。
我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性。
这些数的整除特性稍加改造，即可成为求解余数的一类简便算法：（1）一个数除以2或5的余数，等于这个数的个位数字除以2或5的余数一个数除以4或25的余数，等于这个数的末两位数字除以4或25的余数一个数除以8或125的余数，等于这个数的末三位数字除以8或125的余数（2）一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字之和除以3或9的余数一个数除以99（包括11、33）的余数，等于将它两位截断在求和之后除以99的余数（3）一个数除以11的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11再减即可（4）一个数除以7、11、13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11、13的余数，如果奇数段字和比偶数段字和小，则加上若干个7、11、13再减即可。
这种利用整除特征性来计算余数的方法叫做特性求余法例2.（1）201320123除以4和8的余数分别是多少？（2）20142014除以3和9的余数分别是多少？练习2.（1）20121221除以5和25的余数分别是多少？（2）20130209除以3和9的的余数分别是多少？例3.（1）123456789除以7或11的余数分别是多少？87654321呢？（2）360360360除以99的余数是多少？练习3.201420132012除以13和99的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其他一些重要性质，我们再来做几道练习：（1）211除以9的余数是（2）137除以9的余数是（3）211+137的和除以9的余数（4）211－137的差除以9的余数（5）211×137的积除以9的余数（6）1372除以9的余数是比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和差的余数等于余数的差积的余数等于余数的积这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性。
五年级高斯奥数之余数含答案
第16讲余数内容概述掌握余数酌概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1.72除以一个数，余数是7．商可能是多少？2.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3.20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？6．(1)220除以7的余数是多少？(2)1414除以11的余数是多少？(3)28121除以13的余数是多少？7．8+8⨯8+ +8⨯8⨯ ⨯810个8除以5的余数是多少？8．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？2．(1) 421421 421除以 4 和 125 的余数分别是多少？ (2) 808808 808 除以 9 和 11 的余数分别是多少？4．自然数 2 ⨯ ⨯ 2 -1 的个位数字是多少？9．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1．请问：这个数除以 12 余数是几？10．100 多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按 1，2，3，…，11 的顺序循环报数，最 后一名同学报的数是 9；如果按 1，2，3，…，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的 数是 11.请问：一共有多少名小朋友？拓展篇1．1111 除以一个两位数，余数是 66. 求这个两位数．21个421 21个8083．一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个，年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后一包有多少个零件？2 ⨯ 2 ⨯ 67个2 5．算式12007 + 22007 + 32007 + + 2006 2007 计算结果的个位数是多少？6．一个自然数除以 49 余 23，除以 48 也余 23.这个自然数被 14 除的余数是多少？7．一个自然数除以 19 余 9，除以 23 余 7．这个自然数最小是多少？9．123123 123 除以 99 的余数是多少？7 ⨯ 7 ⨯ ⨯ 78．刘叔叔养了 400 多只兔子，如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2只；如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果每 7 只兔子关在一 个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？123个12310．把 63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？11．有一个大于 l 的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数．12．用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数 是后一次的 2 倍，如果这个数大于 1，那么这个数是多少？超越篇1．从 l 依次写到 99，可以组成一个多位数 12345…979899.这个多位数除以 11 的余数是多少？2．算式 7 + 7 ⨯ 7 + +计算结果的末两位数字是多少？ 2008个73．算式1⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ 7 ⨯ ⨯ 2007 计算结果的末两位数字是多少？4．有 5000 多根牙签，按以下 6 种规格分成小包：如果 10 根一包，最后还剩 9 根；如果 9 根一包，最后还剩 8 根；如果依次以 8、7、6、5 根为一包，最后分别剩 7、6、5、4 根．原 来一共有牙签多少根？5．有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？6．请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．7．已知21!AB0909421717094CD000.那么四位数ABCD是多少？8．有一些自然数n，满足：2n-n是3的倍数，3n-n是5的倍数，5n-n是2的倍数，请问：这样的，n中最小的是多少？第12讲余数内容概述掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1.72除以一个数，余数是7．商可能是多少？【答案】1或5【解析】72-7=65，再分解质因数65＝5×13，还有1×65＝65，所以商可能是1或52.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】8或16【解析】100和84同余，做差后是这个数的倍数，100-84=16，所以这个除数可能是8或16 3.20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？【答案】8；0，8；0【解析】一个数除以9的方法：各位数字之和除以9，2+8+8+8=26，26÷9=2…8；除以8的方法：末三位除以8，808÷8=101…0；除以25的方法：末两位除以25，8÷25=0…8；除以11的方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差除以11，2+0+0+0=2，0+8+8+8=24，24-2=22，22÷11=2 04.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？【答案】5【解析】1+0+1=2，2÷3=…2，1+2+6=9，9÷3=…0，1+7+3=11，11÷3=…2，1+9+3=13…1，最多打了5盘5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】168 ⨯ 8 ⨯ ⨯ 8 【解析】余数问题，求 128×23×300÷17 的余数128÷17=7...9 23÷17=1...6 300÷17=17 (11)9×6×11=594 594÷17=34 (16)6．(1) 220 除以 7 的余数是多少？(2) 1414 除以 11 的余数是多少？(3) 28121 除以 13 的余数是 多少？【答案】（1）4；（2）4；（3）2【解析】因为 23 除以 7 的余数是 1，20=3×6+2，所以 220 除以 7 的余数就是 22 除以 7 的余 数 即为 4；同理，1414 除以 11 的余数是 4；28121 除以 13 的余数是 27． 8 + 8 ⨯ 8 + +除以 5 的余数是多少？ 10个8【答案】2【解析】根据余数的和等于和的余数的方法，除以 5 的余数是 28．一个三位数除以 21 余 17，除以 20 也余 17.这个数最小是多少？【答案】437【解析】最小公倍数问题，【21，20】＝420，再加上 17，这个数最小是 4379．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1．请问：这个数除以 12 余数是几？【答案】5【解析】除以 3 的余数是 2 的数是 5，而 5 恰好除以 4 余 1，5 除以 12 余数是 510．100 多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按 1，2，3，…，11 的顺序循环报数，最 后一名同学报的数是 9；如果按 1，2，3，…，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的 数是 11.请问：一共有多少名小朋友？【答案】141【解析】根据题意，可转化为一个 100 多的数除以 11 余 9，除以 3 余 11，所以先求 11 和 13 的最小公倍数，再减去 2 就是所求，一共有 141 名小朋友拓展篇1．1111 除以一个两位数，余数是 66. 求这个两位数．【答案】95【解析】先从 1111 里减去余数 66，再分解质因数，所求的两位数要大于余数 66，所以是2．(1) 421421 421除以 4 和 125 的余数分别是多少？ (2) 808808 808 除以 9 和 11 的余数分别是多少？4．自然数 2 ⨯ ⨯ 2 -1 的个位数字是多少？ 9521个42121个808 【答案】（1）1，46；（2）3，5【解析】（1）21÷4=5…1；421÷125=3…46；（2）（8+8）×21÷9=37…3；808808÷11 余 0，最后还剩一个 808，8+8=16，16÷11 余 53．一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个，年终将这些零件按 19 个一包 的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】15【解析】先求出一年的总数，再除以 19 余数为 152 ⨯ 2 ⨯ 67个2【答案】7【解析】找出 2 的 n 次方的个位数字的周期，2，4，8，6…，再看 67 除以 4 的余数是 3， 所以个位数字是 8－1＝75．算式12007 + 22007 + 32007 + + 2006 2007 计算结果的个位数是多少？【答案】1【解析】每个数乘方的个位数字的周期是 4，2007 除以 4 余 3，所以原式就与 1 到 2006 的 3 次方的个位数字是一样的，以 10 个数为一个周期列出为 1，8，7，4，5，6，3，2，9，0…， 2006 除以 10 余数为 6，所以前 6 个的和即是所求 1＋8＋7＋4＋5＋6＝31，所以个位数字是 16．一个自然数除以 49 余 23，除以 48 也余 23.这个自然数被 14 除的余数是多少？【答案】9【解析】【49，48】＋23＝2375，被 14 除余 97．一个自然数除以 19 余 9，除以 23 余 7．这个自然数最小是多少？9．123123 123 除以 99 的余数是多少？【答案】237【解析】7+23k -9 能被 19 整除，最小为 2378．刘叔叔养了 400 多只兔子，如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2 只；如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果每 7 只兔子关在一 个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】404【解析】根据题意是一个 400 多的数除以 3 余 2，除以 5 余 4，除以 7 余 5，最后所求的数 是 404123个123【答案】90【解析】6 个 123 能被 99 整除，123 里有 20 个 6 余 3，所以 123123123 除以 99 余数是 9010．把 63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分 出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【答案】20【解析】三个数分别的余数不知道，但是余数的和是 25，可以把这三个数相加，根据余数 的和等于余数的和来计算，63＋90＋130－25＝258，再分解质因数，最后剩下个数最多的水 果剩下 20 个11．有一个大于 l 的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数．【答案】19【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除，300－262＝38，262－205＝57，再求（38，57）＝1912．用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数 是后一次的 2 倍，如果这个数大于 1，那么这个数是多少？【答案】17【解析】先把余数变相同，再作差求解即可。
高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算
第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．（1）123 456 789除以111 的余数是多少？（2）224468 6678 的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．例题5．（1）87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？（2）365366+367368 369370除以7、11、13的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．（1）2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？（2）32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。
五年级数学余数的性质
余数的性质知识结构一、 三大余数定理：（1） 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2） 余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3） 余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．例题精讲【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。
第九讲余数问题解答[五C]
![第九讲余数问题解答[五C]](https://img.taocdn.com/s3/m/acb4ed9d8762caaedd33d45d.png)
第九讲余数问题知识导航被除数=商×除数+余数余数具有可乘、可加、可减性。
余数定理：一个自然数除以某数得到一个余数，另一个自然数除以某数也得到一个余数，这两个自然数的积（或和或差）除以某数得到的余数与两个余数的积（或和或差）除以某数得到的余数相同。
同余性质：1、如果整数a和b除以自然数m的余数相同，则a和b的差必能被m整除。
2、如果整数a、b除以自然数m的余数相同，b、c除以m的余数相同，则a、c除以m的余数也相同。
3、如果整数a和b对于m同余，除数m不变，a、b扩大同样倍数后对于m仍然同余。
精典例题【例1】甲数除以9，商12余7；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。
（甲数+乙数+丙数）÷9的余数是多少？思路点拨：根据余数定理可得（甲数+乙数+丙数）÷9的余数等于甲、乙、丙三个数除以9所得的余数之和÷9的余数变式训练：甲数除以13余7，乙数除以13余9，现将甲、乙两数相乘，积除以13余数是多少？【例2】17×354×409×672除以23所得的余数是多少？思路点拨：余数具有可乘性。
先算出每个因数除以23所得的余数，再将余数相乘的积除以23。
变式训练：求17× 354 ×409×672除以3所得的余数。
【例3】两个不同的三位数被13除，若得到相同的余数，那么，这两个三位数的和最大是，他们的差最大是。
（2012年第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试）思路点拨：和最大时，第一个显然要选最大的三位数999，第二个则是999-13=986，细节解说：相差13，被13除得到的余数自然相同。
变式训练：用一个整数去除454和546所得的余数都是17，这个数是多少？【例4】有一个（大于1）数，除122，148，187得到相同的余数，这个数是多少？（2010年成中育才网班招生考试题）思路点拨：根据同余性质可得任意两个被除数的差都能被除数整除，也就是说除数是这三个差的公因数（比1大），（26,39,65）=13。
小学奥数精讲：带余除法(同余式和同余方程)知识点及典型例题
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a 与b 同余于模m。
意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。
（余数的可减性）三、例题。
例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第16讲-余数
知识点回顾一、替换求余：可加性、可减性以及可乘性二、特性求余：例如2、3、4、5、7、8、9、11、13、99等1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数．1111661045-=104551119=⨯⨯1045的约数大于余数66 这个两位数是9521421421421421个（1）除以4和125的余数分别为多少？（2）除以9和11的余数分别是多少？ 21808808808808个（1）一个数除以4的余数只需考虑它的末两位除以4的余数． 除以4余121除以4余1 （2）一个数除以9的余数等于它的各位数字之和除以9的余数．(88)21336+⨯=除以9余3一个数除以11的余数等于奇数位数字和减去偶数位数字和的差除以11的余数． (88)11176+⨯=(88)10160+⨯=除以11余5 176-160=16 16÷11=1余5一个数除以125的余数只考虑末三位除以125的余数． 421125346÷=除以125余46一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？ 1234196418÷=36519194÷=1234365⨯18472⨯=72除以19余15 最后一包有15个零件．67222221⨯⨯⨯⨯-个自然数的个位数字是多少？ 22⨯222⨯⨯2222⨯⨯⨯22222⨯⨯⨯⨯2 ……个位 2 4 8 6 267除以4余36722222⨯⨯⨯⨯个的个位数字是8 个位数字就是729一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个。
年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个。
请问：最后一包有多少个零件？20072007200720071232006+++⋅⋅⋅+算式计算结果的个位数字是多少？1、5、6、10的2007次方的个位数字就是1，5，6，0．1次方2次方3次方4次方5次方6次方…2007次方2 2 4 8 6 2 4 (8)3 3 9 7 1 3 9 74 4 6 4 6 4 6 47 7 9 3 1 7 9 38 8 4 2 6 8 4 29 9 1 9 1 9 1 9 156087432945+++++++++= 2007200720071210+++的个位数字是5 200720072007 200120022006+++的个位数等于的个位数是118745631+++++=的个位数，为152001⨯+108888888+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数是多少？8除以5余310333333+⨯++⨯⨯⨯个3 3，23，33，43，⋅⋅⋅除以5的余数依次为3，4，2，1，3，4，⋅⋅⋅342110+++=347+=余2如果某个自然数除以49余23，除以48也余23．那么这个自然数被14除余数是多少？这个数减去23后是49和48的一个公倍数23，2349481+⨯⨯，2349482+⨯⨯，⋅⋅⋅23÷14=1余9一个自然数除以19余9，除以23余7．那么这个自然数最小是多少？被23除余7的所有数：7，30，53，76，99，122，145，168，191，214，237，…第一个除以19余9的数是237刘叔叔养了400多只兔子，如果3只一个笼，那么最后一笼只有2只；如果5只一笼，那么最后一笼只有4只；如果7只一笼，那么最后一笼只有5只．刘叔叔一共养了多少只兔子？除以3余2 除以5余4 除以7余5 3×5-1=14 14，14+15 , 14+15×2 ，14+15×3，…14+15×5=89 89+105×3=404只100多名小朋友站成一列．从第一人开始一次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按照1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问:一共有多少名小朋友?除以11余9 除以13余11 少2 11132141⨯-=123123123123123个除以99的余数是多少？99的整除特性：两位截断求和 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 …… 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3123÷2=61余1 12+31+23=66 66×61+23+1=405040+50=90把63个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学．最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？++=6390130283-=283252582582343=⨯⨯258的约数有1，2，3，6，43，86，129和25810＜人数＜63 人数只能是43个分完后苹果剩20个，桔子剩4个，梨剩1个。
第05讲余数的性质与计算-高思数学_5年级下第五讲余数的性质与计算
算 423 − 317 除以 6 的余数时，会发现结果变成了 3 − 5 不够减．此时，只要再加上 6，用
6 + 3 − 5 = 4 来计算即可．
例题 1
一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个． 年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后 一包有多少个零件？
例题 3
21021020 除以 99 的余数是多少？ 21个 210
分析 直接计算求余数不太现实，因而考虑用 99 的余数特性．
练习
3. 1003100310031003 除以 99 的余数是多少？
1003个1003
30
余数的性质与计算
课本
除以 2 的余数只有 0 和 1 两种，除以 3 的余数只有 0、1、2 三种，……，也就是说除 以一个给定的自然数，所得的余数情况是有限的．当把数列中的每一项都对某个数字求余 时，所得的余数列往往具有很好的周期性．我们也经常应用这种周期性来解决一些问题．
例题 4
（1）自然数 3100 −1 的个位数字是多少？ （2）算式12012 + 22012 + 32012 + ⋅ ⋅ ⋅ + 20122012 计算结果的个位数字是多少？
在现实生活中， 40 ÷16 = 2.5 与 40 ÷16 = 28 是表示不同涵义的． 40 ÷16 = 2.5 表 示苹果完全被分光了，苹果是允许切成成半个的；40 ÷16 = 28 表示苹果只能整个整 个地分，每个人分了两个之后，还剩 8 个没法分．在生活中，很多事物的分配都只在整 数范围内才有意义，因而这种带余除法有着很广泛的实际意义．这里我们就来学习一些 有关余数的性质与计算．
利 用 上 述 性 质 进 行 简 算． 例 如 计 算
六年级秋季班第十讲余数问题
第十讲余数问题一、知识点概括1、余数的性质a、可加性：和的余数等于余数的和。
例：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则17+8除以3的余数等于2+2除以3的余数为1。
b、可减性：差的余数等于余数的差。
例：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则17-8除以3的余数等于2-2除以3的余数为0。
c、可乘性：积的余数等于余数的积。
例：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则17×8除以3的余数等于2×2除以3的余数为1。
b、乘方性：周期性变化。
2、带余数除法算式: a÷b=c…ra、余数比除数小。
即：r＜b.b、a-r=b×c，即：被除数减去余数后原来的整除，质合等知识点都会存在。
3、同余式若两个自然数a、b都被同一个自然数m除时，有相同的余数，那么我们称a、b对于模m 同余，用“同余式”表示为a≡b（modm）.例如：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则我们用“同余式”表示为17≡8≡2（mod3）4、物不知其数方法一：加同余。
即最小公倍数加上相同的余数。
例：除以3余1，除以4也余1的最小两位数为[3,4]+1=13.方法二：减同补。
即最小公倍数减去相同的补数。
例：除以3余1，除以4余2的最小两位数为[3,4]-2=11.方法三：逐级满足。
二、例题讲解例1：分析：此题是余数的可加性和乘方性的应用。
根据可加性我们可以先分别算出、各自的余数最后在相加即可。
但各自的余数又要通过乘方性方能解决。
解答过程如下：（1）求除以13的余数，根据余数的可乘性列出同余式：31÷13=2 (5)个相乘（）个相乘个相乘列表：除以13余数为5；除以13余数为12；除以13余数为8；除以13余数为14个一循环，则与的余数相同。
即（）（2）同理：除以13余数为4；除以13余数为9；除以13余数为3；除以13余数为10；除以13余数为12；除以13余数为1；最后：提高练习：（1）求除以7的余数？提示：余数的乘方性答案：5.（2）有一串数：1,1,2,3,5,8…，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，在这串数的前2009个数中，有多少个是5的倍数？提示：找规律。
高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算
第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．(1)123 456 789除以111 的余数是多少？(2)224468 6678的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合,便可大大简化余数的计算．例题5．(1)87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？(2)365366+367368 369370除以7、11、13 的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来,再求余数,计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．( 1) 2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？(2) 32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数,大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节, 猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。
6六年级上-余数性质
二、替换求余法： 1、余数的可加性：和的余数等于余数的和； 2、余数的可减性：差的余数等于余数的差； 3、余数的可乘性：积的余数等于余数的积；
不够减就+除数，超过除数就÷除数
• 余数的计算
三、特性求余法： 1、尾数求余法：（2，5），（4，25），（8，125） 2、数字求和法： 3、9
四、周期求余法：
•例 3
20161616÷9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？
解：5； 0； 16
• 练习 3
20171728÷9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？
解：1； 0； 3
•例 4
（1）135×137+139除以5的余数是多少？ （2）3579×1357+13579除以9的余数是多少？
尚孔教育
加油！同学们
• 余数性质
1、如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
2、a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余 数）。
与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积 除以c的余数）。
• 举例子
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
• 物不知数问题
1、逐步满足条件，找出最小数 2、依次加最小倍数，根据问题找出答案
• 选做题
一个数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是 多少？
解：17；437
• 本章总结
余数的性质
求余数四种方法：直接傻除法，替换求余法，特性求余法， 周期求余法
本 章
物不知数问题
总
结
• 家庭作业：
1.今天是星期六，再过1000天是星期几？ 2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a和b除以13的余数分 别是5和9，求a+b，a-b，a×b，a2-b2各自除以13的余数。 3.2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。 4.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35，余数 是2，求被除数。 5.用一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9，求 这个数。 .
余数的可加性-可减性
余数定理
（一）可加性a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
（二）可减性a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c 的余数之差．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23－16)除以5的余数等于3－1=2．注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以(23－19)的余数等于5－(4－3)=4.
（三）可乘性 a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于．注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数．。
数论第16讲_余数的性质(教师版)A4
余数的性质：和的余数等于余数的和，差的余数等于余数的差，积的余数等于余数的积． 这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性．在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性质进行简算．例如计算33371580+⨯-的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算．这一简算方法又称替换求余法．重难点：根据余数的性质进行替换求余．根据周期性求余数．题模一：替换求余例1.1.1（1）135137139⨯+除以5的余数是__________；（2）3579135713579⨯+除以9的余数是__________．【答案】（1）4（2）4【解析】（1）135除以5的余数是0，137除以5的余数是2，139除以5的余数是4；135137139⨯+除以5的余数是0244⨯+=．（2）3579除以9的余数是6，1357除以9的余数是7，13579除以9的余数是7；因此3579135713579⨯+除以9的余数和67749⨯+=除以9的余数相同，是4．例1.1.2某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．则最后一包有__________个零件．【答案】16【解析】1281779÷=；231716÷=；300171711÷=．所以12823300⨯⨯与9611=594⨯⨯除以17的余数相同．594173416÷=．所以最后一包有16个零件．例1.1.3（1）877844923581368+⨯除以4、9的余数分别是多少？（2）365366367368369370+⨯除以7、11、13的余数分别是多少？【答案】（1）0，2（2）2，2，2【解析】特性求余法和替换求余法结合使用．（1）877844923581368+⨯除以4的余数等于0300+⨯=除以4的余数，即为0．877844923581368+⨯除以9的余数等于75847+⨯=除以9的余数，即为2．（2）365366367368369370+⨯除以7的余数等于1112+⨯=除以7的余数，即为2．数论第16讲_余数的性质 33 ＋ 37 × 15 － 80 5 ＋ 2×1 — 3每个数都用它除以7的余数替换365366367368369370+⨯除以11的余数等于1112+⨯=除以11的余数，即为2．365366367368369370+⨯除以13的余数等于1112+⨯=除以13的余数，即为2．例1.1.4算式200920092010201020112011⨯+⨯+⨯除以31的余数是_________．【答案】15【解析】用替换求余法．这个算式除以31的余数即2525262627272030⨯+⨯+⨯=降以31的余数，2030316515÷=．所以这个算式除以31的余数是15．题模二：周期求余例1.2.1702除以7的余数是多少？【答案】2【解析】2，22，32……这个数列的每个数除以7的余数为2、4、1、2、4、1……，以2、4、1为周期，所以第70个为2．例1.2.2201452的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以13的余数是多少？【答案】4，4，0【解析】52n 的个位数字依次是2、4、8、6、……，每四个数一个周期．2014除以4余2，所以201452的个位数字与周期中的第二个数字相同，即为4．52n 除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、……，每6个数一个周期．2014除以6余4，所以所以201452除以7的余数与周期中的第4个数字相同，即为4．52n 除以13的余数是0．所以201452除以13的余数是0．例 1.2.32013201320132013201312345++++除以5，余数是___________．（注：2013a表示2013个a 相乘）【答案】0【解析】20130除以5余数是1； 20132除以5的余数依次是2、4、3、1为周期，所以最后余数是2；20133除以5的余数依次是3、4、2、1为周期，所以最后余数是3；20134除以5的余数依次是4、1为周期，所以最后余数是4；20135除以5的余数是0．故这个算式的结果除以5的余数是：()12340520++++÷=，即余数是0． 例1.2.4108888888+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数是多少？【答案】2 【解析】8除以5余3，本题相当于求333333103+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数；3，23，33，43，⋅⋅⋅除以5的余数依次为3，4，2，1，3，4，⋅⋅⋅它按照3，4，2，1的顺序反复出现，并且342110+++=是5的倍数，这10个数中有2个3，4，2，1，还剩一个3和4．所以所求余数为347+=除以5的余数，余2．例 1.2.5有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有_________个是5的倍数．【答案】401【解析】从第三个数起，每个数都是前面两个数之和，所以除以5的余数也为前面两余数之和．可得余数依次为下：1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、1、1、2、3、0……可以看出，每5个余数会有一个为0，20095401......4÷=，所以共401个．例1.2.6算式20087777777+⨯++⨯⨯⨯个计算结果的末两位数字是多少？【答案】00【解析】通过计算7，77⨯，777⨯⨯，7777⨯⨯⨯的末两位知道这2008个数的末两位以4为周期，按07，49，43，01循环出现．因为749431100+++=，所以原来每连续4个数相加的末两位是是00．20084502÷=，把这2008个数按4个一组分成502组，每组4个数之和的末两位都是0，最后这2008个数之和的末两位也是00．随练1.1164+321+166除以16的余数是多少？【答案】11【解析】和的余数等于余数的和．随练1.2一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】2【解析】本题是要求算式3651234⨯的结果除以6的余数．利用替换求余法易知结果是2．随练1.349015×81364－83778+10除以9的余数是__________．【答案】8【解析】余数可加性、可减性、可乘性之综合运用．原式的余数等于14611⨯-+=-，不够减补上一个9，也就是说明余数是8．随练1.436629的个位数字是_______，除以7的余数是_______．【答案】1；1【解析】3663661831832998111(mod 10)≡≡≡≡，3661832911(mod 7)≡≡．随练1.5有一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……，这列数左起第2014个数除以5的余数是__________．【答案】2【解析】这个数列除以5的余数依次是1、2、4、2、1、1、2、4、2、1……，5个一周期，20145402......4÷=，所以这列数左起第2014个数除以5的余数是2．作业1123456789123456789++++++++除以3的余数是__________．【答案】1【解析】易知3693690(mod 3)≡≡≡；1471(mod 3)≡≡≡，进而1471471(mod 3)≡≡≡；2241(mod 3)≡≡，55252551122(mod 3)≡⨯⨯≡⨯⨯≡，8448641(mod 3)≡≡．综上，12345678912345678915211(mod 3)++++++++≡⨯+⨯≡．作业220032与22003的和除以7的余数是______．【答案】5【解析】()()667220032222003271324115(mod 7)+≡⨯++-≡⨯+≡． 作业3（1）123456789++的结果除以111的余数是多少？（2）2244686678-的结果除以22的余数是多少？【答案】（1）36（2）12【解析】利用替换求余法计算．（1）本题就是要求算式12121236++=的结果除以111的余数，即为36．（2）本题就是要求算式212-的结果除以22的余数，当不够减时，增加22的倍数，即2122212-+=，所以最后的余数是12．作业4今天是星期日，再过1天是星期一，再过2天是星期二，则：（1）从今天算起，再过2014天是星期几？（2）从今天算起，再过20142014⨯天是星期几？（3）从今天算起，再过20142014天是星期几？【答案】（1）星期五（2）星期四（3）星期二【解析】（1）利用7的整除特性，可以很容易求出2014除以7的余数为5，因此再过2014天是星期五．（2）利用特性求余法和替换求余法，可知20142014⨯除以7的余数等于55⨯除以7的余数，余数为4，因此再过20142014⨯天是星期四．（3）仍然利用特性求余法和替换求余法，可知20142014201420142014⨯⨯⨯个除以7的余数等于20145555⨯⨯⨯个除以7的余数，然后我们利用周期求余法，15除以7余5，25除以7余4，35除以7余6，45除以7余2，55除以7余3，65除以7余1，因此是6个一周期，2014除以6余4，即周期中的第4个，余数为2，因此再过20142014天是星期二．作业5（1）202除以7的余数是__________；（2）1414除以11的余数是__________；（3）12128除以13的余数是__________．【答案】（1）4（2）4（3）2【解析】（1）2的不同次方除以7的余数按照2、4、1的规律反复出现，20除以3余2，所以202除以7的余数与22除以7的余数相同，为4．（2）14除以11的余数是3，所以1414除以11的余数与143除以11的余数相同．3除以11余3；23除以11余9；33除以11余5；43除以11余4；53除以11余1，63除以11余3；⋅⋅⋅．我们可以得到3的次方除以11的余数每5个一周期．14除以5余4，所以143与43除以11的余数相同，余4．（3）28除以13余2，这样只需要计算1212除以13的余数，我们来计算2，22，32，42，⋅⋅⋅除以13的余数，它们依次为：2，4，8，3，6，12，11，9，5，10，7，1，2，4，⋅⋅⋅．这里以12个为一周期，由于121除以12余1，所以1212与12除以13的余数相同．即1212除以13余2．作业6求余数的方法（1）求乘积316419813⨯⨯除以13所得的余数．（2）923除以21的余数是几？（3）7118除以11的余数是几？（4）求25316除以9的余数．（5）观察一列数2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……的规律，这列数的第2008个数被6除的余数是多少？【答案】（1）6（2）9（3）7（4）1（5）4【解析】（1）316419813437236(mod13)⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡．（2）()()45159124533332323133(mod 7)≡⨯≡⨯≡⨯≡⨯≡，故923除以21的余数是339⨯=． （3）()()()234471713223531877725225177(mod 11)≡≡⨯≡⨯≡⨯⨯≡-⨯≡． （4）()25252531631611(mod 9)≡++≡≡．（5）设第2008个数为n ．数列为“偶奇奇偶奇奇……”，周期为3，20081(mod 3)≡，故0(mod 2)n ≡；数列被3除的余数分别为2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……周期为8，20080(mod 8)≡，故1(mod 3)n ≡．再结合0(mod 2)n ≡，易知4(mod 6)n ≡．作业720122012201220121232013++++的计算结果除以10的余数是多少？ 【答案】1 【解析】用替换求余和特殊求余法．20121除以10余1，20122除以10余6，20123除以10余1，20124除以10余6，20125除以10余5，20126除以10余6，20127除以10余1，20128除以10余6，20129除以10余1，201210除以10余0．所以算式的计算结果除以10的余数是()1616561610201161332011616641+++++++++⨯+++=⨯+++=除以10的余数，即余数是1．。
学而思五年级春季第八讲 同余
第八讲同余寒假班我们已经学习了余数问题，那一讲我们掌握了一些有关余数的基本性质，并解决了一些简单余数问题，本讲则是在此基础之上的进一步拓展与提高，因此本讲首先是基本性质应用的复习（例1、3、5），其次将是解决一些较复杂的综合余数问题（例2、4、6）。
一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r均为整数)从中我们应该得到：（1）b＞r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3的余数就等于（1+2）÷3的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3的余数就等于（2-2）÷3的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3的余数就等于（1×3）÷7的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数a和b都除以同一个除数m时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a与b同余于模m。
意思就是自然数a和b关于m来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a与b同余于模m，则a与b的差一定被m整除。
（余数的可减性）三、例题讲解例1、分析：此题实际上是带余数除法算式的一个应用。
“1013除以一个两位数余数为12”，说明1013减去12以后就会被这个两位数整除，则这个两位数应该是1013-12=1001的因数，且是大于12的两位因数。
余数的可加性,可减性
余数定理（一）可加性a与b的和除以c的余数，等于a, b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）.例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4.注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数. 例如：23,19除以5的余数分别是3和4, 所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（二）可减性a与b的差除以c的余数，等于a, b分别除以c的余数之差. 例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以（23 - 16）除以5的余数等于3-仁2.注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差. 例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以除以（23 - 19）的余数等于5 —（4 —3）=4.（三）可乘性a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）.例如：23, 16除以5 的余数分别是3和1,所以除以5的余数等于 . 注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以除以5 的余数等于除以5的余数.（四）乘方性如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同.余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时,计算是很麻烦的.建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R,使得：N与R 对于除数m同余.由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m 除的余数来求得N被m除的余数. ⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑵整数N被4或25 除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶整数N被8 或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；⑹整数N被乙11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被乙11或13除的余数就是原数被乙11或13除的余数中国剩余定理：在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2，求这个数.此问题亦称“孙子问题”，有很多有趣的别名，如“韩信点兵”，“秦王暗点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“大衍求一术”等等. 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知.”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理” (Ch in ese Rema in der Theorem)，是我国古代数学的一项辉煌成果.诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘. 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘. 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘.除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数. 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这 3 个结果加起来，如果它大于105,则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105,最后所得的整数就是所求.也就是2 X 70 +3 X 21 + 2 X 15=233,233 - 105=128,128 - 105=23. 为什么70, 21, 15, 105有此神奇效用？70, 21,15, 105是从何而来？先看70, 21, 15, 105的性质：70被3 除余1，被5, 7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7 整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21是被5 除余b,被3与7整除的数；同理15c是被7除余c,被3、5整除的数，105是3, 5, 7的最小公倍数.也就是说，是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数.。
余数专题
答：刘叔叔一共养了404只兔子。
【随堂练】一个数除以5 余3，除以6 余4，除以7 余 1，求1000 以内这样的数有多少个？
126×3+175×4+120×1=1198 5×6×7=210 1198-210=988
1198-210×2=778 1198-210×3=568 1198-210×4=358 1198-210×5=148 答：1000以内这样的数有5个。
2. 差同
例3、大科学家爱因斯坦曾经做过一道数学题： 在你面前 有一条长长的阶梯，如果你每步跨2 级，最后剩下1 级； 如果你每步跨3 级，最后剩下2 级；如果你每步跨5 级， 最后剩下4 级；如果你每步跨6 级，最后剩下5 级；只有 当你每步跨7 级时，最后正好走完，1 级不剩。这条阶梯 最少有多少级。
的2 倍。求A 等于多少？
939×2=1878
1878-603=1275=3×5×5×17
393×4=1572
1572-603=969=3×17×19
393×2=786
939-786=153=3×3×17
因为甲数所得的余数是丙数所得余数的4倍，除3所得的余数不
可能有4倍的关系，所以A不可能是3，故3舍去。
所以（36m+11）×（36n+25）÷36的余数就是23 答：照相机里的胶卷还可拍23张照片。
6、求14389 除以7 的余数。
n
根据二项式定理 143 89 (140 3)89 Cnr140 nr3r r0
所以求 14389 除以7 的余数，也就是求 389 除以7
的余数。 389 944 3 (7 2)44 3
余数的可加性可减性
余数定理（一）可加性 a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
（二）可减性a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23－16)除以5的余数等于3－1=2．注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以(23－19)的余数等于5－(4－3)=4.（三）可乘性 a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于．注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数．（四）乘方性如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同．余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N 与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；⑶整数N 被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数中国剩余定理：在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数．此问题亦称“孙子问题”，有很多有趣的别名，如“韩信点兵”，“秦王暗点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“大衍求一术”等等．我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remaind er Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是2×70＋3×21＋2×15=233,233－105=128,128－105=23. 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．。
余数运算规则
余数运算规则在数学中，除法运算的概念是基础，而余数运算是其衍生的一种概念。
对于除数和被除数的关系而言，余数运算不仅可以得到余数，更可以推导出一系列有用的余数运算规则。
一、整除的余数为0当被除数能被除数整除时，它所得的余数为0，或者说可以用余数为零表示。
例如，27 ÷ 9 = 3，所以它的余数为0。
这一规则很常见，常常被用于快速判断一个数是否能被另一个数整除。
二、余数具有可加性如果用a除以b得到余数m，用c除以b得到余数n，那么a+c除以b 所得的余数就是m+n。
这一规则主要是因为余数m和n的范围都是0~(b-1)，当(a+c)除以b时，要么它可以被整除，余数为0；要么它的余数一定在0~(b-1)范围内。
三、余数具有可减性如果用a除以b得到余数m，用c除以b得到余数n，那么a-c除以b 所得的余数就是m-n。
这一规则和可加性有些类似，都是由于余数的范围都在0~(b-1)之间造成的。
四、模数相等的余数相等如果用a除以b得到余数m，用a除以c得到余数n，且b=c，则m=n。
这一规则说明了当被除数相同时，不同的除数所得的余数是相等的。
这一规则在同余问题中应用较多。
五、余数相乘的结果与余数相乘后再除以模数得到的余数相等如果用a除以b得到余数m，用c除以b得到余数n，则(mc)除以b所得的余数是(mn)除以b所得的余数。
这一规则对于解决同余问题很有用，可以通过两个余数相乘的方式得到另一个余数。
六、余数相减的结果与模数相减后再求余数得到的结果相等如果用a除以b得到余数m，用c除以b得到余数n，则(m-n)除以b所得的余数是(a-c)除以b所得的余数。
这一规则和余数相加的规则有些类似，都是由于余数的范围都在0~(b-1)之间造成的。
七、转换成正余数余数通常是包含0在内的负整数或非负整数。
为了方便起见，需要将负余数统一转换成正余数。
实现的方法是加上模数的正整数倍，例如-6 mod 5等于4，或者14 mod 5等于4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
余数定理
（一）可加性a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4．注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
（二）可减性a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c 的余数之差．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23－16)除以5的余数等于3－1=2．注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以(23－19)的余数等于5－(4－3)=4.
（三）可乘性 a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于．注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数．
（四）乘方性如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同．余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，
计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R 对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数中国剩余定理：在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数．此问题亦称“孙子问题”，有很多有趣的别名，如“韩信点兵”，“秦王暗点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“大衍求一术”等等．我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得
知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是2×70＋3×21＋2×15=233,233－105=128,128－105=23. 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．。