极限存在准则及其应用
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式首先，我们来介绍极限保号公式。
设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。
现在我们来证明极限保号公式：假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。
如果limx→af(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。
证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<ε。
现在我们取ε=M，那么存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<M。
这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，=，f(x)-L+L，≤，f(x)-L，+，L，<M+，L。
我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，≤M+，L，但是我们已经知道，在点a的一些邻域内存在保号常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。
所以有，L，≤M。
这就是极限保号公式的证明。
接下来我们来介绍夹逼准则。
设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。
如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。
证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ1，那么有，g(x)-L，<ε。
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
极限的存在准则
极限的存在准则极限，是指事物所能达到的最大或最小程度。
在各个领域中，人们常常谈论到极限，无论是运动员在竞技场上创造的极限成绩，还是科学家在实验室中突破的极限技术。
然而，极限的存在并非凭空想象，而是有一定准则的。
一、极限是相对的首先，我们要认识到极限是相对的。
事物的极限是与其环境、条件以及个体能力息息相关的。
比如对于一个长跑运动员来说，他的极限成绩会受到气候、海拔、饮食等多种因素的影响。
同样地，一个科学家的实验极限也会受到设备、资金、时间等因素的限制。
二、极限具有挑战性极限存在的准则之一是挑战性。
人们往往试图突破极限，以进一步的进步和创新。
正如一句名言所说：“没有挑战，就没有进步。
”运动员会不断努力超越自己的极限，创造更好的成绩；科学家会探索新的领域，寻求突破。
挑战极限的过程不仅有助于个人的成长，也使整个人类社会迈向新的高度。
三、极限需要合理规划在追求极限的过程中，合理规划是必不可少的。
无论是运动员还是科学家，都需要在追求极限的同时保护好自己的身体或心理健康。
对于运动员来说，合理的训练计划和适度的休息是突破极限的关键；对于科学家来说，保持调适的心态和平衡的工作与生活也是必需的。
四、极限有时需要克制尽管我们追求突破极限，但在某些情况下，克制也是必要的。
世界上有许多事物是不能无限制地发展或探索的。
比如，资源的有限性限制了经济的持续增长；道德和法律的约束限制了人们的行为。
因此，极限存在的准则之一就是在适当的时候进行克制，以保持事物的平衡和可持续发展。
五、极限需要不断突破最后，极限存在的准则还包括不断突破。
无论是个人的极限，还是整个社会的极限，只有不断地挑战和超越，才能不断取得新的成就和突破。
正如科学家爱因斯坦所说：“船只总是安全停泊在港口，但它们并不是为此而造。
”只有努力去创造、去突破，我们才能看到更广阔的世界和更大的潜能。
总结起来，极限的存在准则是相对性、挑战性、规划性、克制性和突破性。
理解和遵循这些准则，可以帮助我们更好地把握极限的本质和意义，从而在追求极限的道路上获得更大的成功和进步。
极限存在准则 两个重要极限
第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
2 规避风险
重要极限的认识有助于我 们规避风险，避免陷入危 险和不理智的决策中。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？
3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
科学研究
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则能帮助我们了解事物的极端表现和局限，提醒我们在决策和行动中 要注意避免超越这些极限。
3
应用领域
极限存在准则广泛应用于科学研究、工程设计、金融市场和人类行为等领域，在 寻找平衡和解决问题时发挥着关键作用。
极限的极限存在准则和夹逼定理
极限的极限存在准则和夹逼定理极限是数学中一个重要的概念，描述了函数或数列在无限接近某一值时的行为。
而在极限的讨论中，存在着一些准则和定理来判断其存在性和计算方法。
其中，极限的极限存在准则和夹逼定理是常用的分析工具和计算方法。
一、极限的极限存在准则极限的极限存在准则是一种用于证明函数极限存在的方法。
它可以用来处理一些复杂的函数极限，将其转化为多个简单函数的极限来求解。
1. 准则一：函数逼近准则函数逼近准则用于证明函数极限存在的情况。
对于一个函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，满足以下条件：a) 当x趋近于某个值时，f(x)趋近于某个数L。
b) 当x趋近于该值时，g(x)趋近于L。
c) 对于g(x)在该值的某个去心邻域（即去除某一点的邻域），存在一个函数h(x)，使得在该邻域内，h(x)大于等于g(x)，且h(x)小于等于f(x)。
则可以得出结论：当x趋近于该值时，函数f(x)存在极限，且极限为L。
2. 准则二：Cauchy准则Cauchy准则是一种针对数列极限存在判定的方法，它描述了数列中元素之间的趋近关系。
对于一个数列{an}，如果满足以下条件：对于任意正实数ε，存在正整数N，当n>N时有|an - am| < ε，其中n和m均为大于N的正整数。
则该数列的极限存在。
二、夹逼定理夹逼定理是一种比较两个函数之间极限大小关系的方法，可以用来确定一个函数的极限。
夹逼定理以中间值定理为基础，对函数的极限进行了推广和应用。
给定函数f(x)、g(x)和h(x)，如果满足以下条件：a) 当x趋近于某个值时，f(x)、g(x)和h(x)都趋近于同一个数L。
b) 对于该值的某个去心邻域，存在一个函数m(x)和M(x)，使得在该邻域内，m(x)小于等于f(x)小于等于M(x)，且m(x)小于等于g(x)小于等于M(x)，以及m(x)小于等于h(x)小于等于M(x)。
则可以得出结论：当x趋近于该值时，函数f(x)的极限存在，且极限为L。
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限存在准则和两个重要极限
应用举例：函数的连续性和导数的定义
函数的连续性
导数的定义
通过极限存在准则，我们可以定义和判断函数的连续性。 极限存在准则还用于定义和计算函数的导数。
总结和应用建议
极限存在准则是数学中非常重要的概念，它被广泛应用于各个领域。通过了解和掌握这些准则，我们可以更好地理 解和分析函数和序列的行为。建议在学习数学和相关科学领域时深入研究和应用这些准则。
性质2：类型分类
无穷大极限可以是正无穷大、 负无穷大，或者不存在。
极限存在准则的三种形式及证明
1
Cauchy准则
如果一个函数或序列满足Cauchy准则，它就
夹逼准则
2
具有极限。
如果一个函数或序列被两个收敛的函数或序
列夹住，它就具有相同的极限。
3
单调有界准则
如果一个函数或序列单调并且有界，它就具 有极限。
一个函数或序列只能有一个零 点极限。
性质2：发散与收敛
零点极限可以是收敛的（当函 数或序列逼近某个特定值时） 或发散的（当函数或序列没有 趋于任何值时）。
无穷大极限的概念和性质
数学定义
无穷大极限是函数或序列在无 穷远处的行为。它用于描述函 数或序列的整体趋势。
性质1：无界性
无穷大极限表示函数或序列没 有上界或下界。
重要极限：零点极限和无穷大极限
零点极限
表示函数或序列在某点逼近零时的行为。它在分析中非 常重要。
无穷大极限
表示函数或序列在无穷远处的行为。它提供了关于函数 或序列趋势的重要信息。
零点极限的概念和性质
数学定义
零点极限是函数或序列在某点 逼近零时的行为。它用于描述 函数或序列的局部行为。
性质1：极限唯一性
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式极限存在准则是数学中的一个重要概念，用于判断一个函数在其中一点处的极限是否存在。
在实际应用中，掌握极限存在准则对于求解极限问题非常重要。
在极限存在准则中，有两个非常重要的极限公式，分别是极限的保号性和夹逼定理。
首先，我们来介绍一下极限的保号性。
设函数f(x)在点x0的一些去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)>L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≥L；反之，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)<L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≤L。
这就是极限的保号性。
保号性的一个重要应用是判断函数的极值。
如果在x0的一些去心邻域中，函数f(x)>0或f(x)<0，并且极限lim(x→x0)f(x)存在，那么就可以得出f(x)在x0处的极限是f(x0)。
这是因为根据保号性，当f(x)在x0的一些去心邻域内取正值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≥0；同理，当f(x)在x0的一些去心邻域内取负值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≤0。
由于极限存在，所以这时候只有一个可能，即极限lim(x→x0)f(x)等于0，即f(x)在x0处的极限是f(x0)。
下面我们来介绍夹逼定理。
设函数f(x)、g(x)和h(x)在其中一点x0的一些去心邻域内有定义，并且对于x在该邻域内取值，有f(x)≤g(x)≤h(x)。
如果极限lim(x→x0)f(x)和lim(x→x0)h(x)都存在，并且它们的极限值相等，即lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)h(x)=L，那么可以得出lim(x→x0)g(x)=L。
这就是夹逼定理。
夹逼定理常用于求极限的问题中，特别是当函数的表达式较复杂时，可以用一个更容易处理的函数夹逼该函数，从而求得极限。
夹逼定理的原理是通过限制函数g(x)在f(x)和h(x)之间，确定了极限的上下界。
大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利
两个重要极限的应用
总结词
两个重要极限在微积分、概率论和统计 学等领域有广泛应用。
VS
详细描述
第一个重要极限常用于解决一些微积分问 题，例如求不定积分和定积分；第二个重 要极限则常用于解决一些概率论和统计学 问题，例如计算概率和期望值等。两个重 要极限都是微积分和概率论中非常重要的 概念，对于理解这些学科的基本原理和解 决问题具有重要意义。
在一些特定的金融产品中，如指数基金、期权等，连续复利的应用尤为重 要。
连续复利还可以用于评估企业的价值，如市盈率、市净率等指标的计算中 ，连续复利的应用也是不可忽视的。
CHAPTER 04
极限存在准则与连续复利的 关系
极限存在准则对连续复利的影响
01
极限存在准则为连续复利的计算提供了理论基础， 确保了复利计算的正确性和可靠性。
CHAPTER 03
连续复利
连续复利的概念
连续复利
是一种计算利息的方式，它假设本金在每个时间点上都获得利息 ，而不是在固定的时间段内获得利息。
与离散复利的区别
离散复利假设本金在固定的时间段内获得利息，而连续复利则假设 本金在每个时间点上都获得利息。
连续复利的计算公式
A=P*e^rt，其中A是未来的总金额，P是本金，r是年利率，t是时 间。
详细描述
柯西收敛准则是一个非常强大的工具，用于证明数列的收敛性。这个准则表明，如果一个数列的任意 两项之间的差的绝对值可以任意小，那么这个数列就是收敛的。柯西收敛准则可以用来证明许多复杂 的数列的收敛性，尤其是在处理无穷级数时非常有用。
极限存在准则三
总结词
极限存在准则三是闭区间套定理，它指出如果一个数列的项构成一个闭区间套， 即每个区间端点的极限相等且等于该数列的项，则该数列收敛于这个极限。
极限存在准则
每个人都有不同的极限，极限存在准则是一套关于如何认识和超越自己极限 的原则和方法。它对我们的成长和发展至关重要。
极限存在准则的定义
1 理解极限
极限是一个人在特定条件 下所能达到的最高点或最 大程度。
2 存在准则
存在准则是一种指导我们 意识到和接纳自己极限的 准则。
3 极限存在准则
极限存在准则是一套关于 认识、接纳和克服自己极 限的原则和方法。
极限存在准则的重要性
1 个人成长
通过了解自己的极限，我们能够为个人成长设定目标并不断超越自己。
2 创新思维
极限存在准则能够激发创新思维，使我们能够找到更好的解决方案。
3 应对挑战
了解自己的极限能够帮助我们更好地应对人生和工作中的挑战。
极限存在准则的运用场景
个人发展
• 职业生涯规划 • 技能培养 • 兴趣爱好
2 持续学习
不断学习和发展技能，追求专业知识和个人成长。
3 积极反馈
接受和提供积极的反馈，以改进自己和他人的能力。
结论和总结
极限存在准则是实现个人和团队成功的关键原则。通过认识、接纳和克服自己的极限，我们可以持续成长和改 进。
极限存在准则的应用示例
1
个人挑战
挑战自己参加马拉松比赛，超越自己对
团队项目
2
体力和毅力的极限。
在一个紧张的项目中，带领团队完成任
务，克服时间和资源的限制。源自3创新产品开发一款具有创新功能的产品，超越传 统行业的标准和期望。
如何有效地践行极限存在准则
1 目标设定
设定具体、实际和可衡量的目标，并制定实施计划。
团队合作
• 项目管理 • 沟通与协作 • 冲突解决
创业创新
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限1.两个极限存在准则(1) 夹逼准则：设a, b, c为实数，如果函数f(x)在a的一些左邻域内对于一切x都有h(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]g(x)=L，则必有lim[x→a]f(x)=L。
夹逼准则的本质是通过构造两个函数作为边界来确定原函数的极限。
(2) 单调有界准则：设函数f(x)在(a, b)上单调递增(递减)，且在(a, b)上有界，则必有lim[x→a]f(x)=sup{f(x)}(或lim[x→a]f(x)=inf{f(x)})。
单调有界准则的基本思想是通过函数的单调性和有界性来确定极限。
(1) 无穷小极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=0，如果对于任意正数ε，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有，f(x)，<ε，那么称函数f(x)在x=a处的极限为0。
无穷小极限的重要性在于它在微积分中有广泛应用。
例如，微分定义中的导数可以看作是函数在其中一点的极限，这也符合函数在该点的变化趋势比较明显。
无穷小极限的概念使得我们能够更好地描述和理解函数在其中一点的变化情况。
(2) 无穷大极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=∞，如果对于任意正数M，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有f(x) > M，那么称函数f(x)在x=a处的极限为无穷大。
无穷大极限的重要性在于它可以帮助我们研究函数在其中一点的增长速度和趋势。
例如，在极限定义中，我们可以通过无穷大极限来刻画函数在其中一点的无限增长或无限逼近的情况。
此外，无穷大极限也在微积分中的积分定义中有重要的应用，帮助我们理解函数的积分和面积的概念。
综上所述，极限的存在准则和重要的极限是微积分中的重要概念。
了解它们的定义和应用可以帮助我们更好地理解和分析函数在其中一点的变化情况，为进一步研究微积分和数学分析打下坚实的基础。
极限存在准则-两个重要极限公式
2
举例2
使用公式2计算 lim(x→1) (x² - 1) / (x - 1)
重要极限公式的意义和应用
这两个重要极限公式不仅帮助我们更容易地计算函数的极限值，还能在实际 问题中应用。了解这些公式将使我们更精确地理解和解决数学和科学中的难 题。
例子
计算极限 lim(x→2) [3x + 2x²]
重要极限公式2: 复合函数的极限等于 函数内外极限的复合
1 公式说明
当我们计算复合函数的极限时，可以将外部函数的极限值与内部函数的极限值进行复合 计算。
2 例子
计算极限 lim(x→0) sin(x) / x
重要极限公式的应用
1
举例1使用公式1计算 lim(x→) [2x + 5x²]
极限存在准则-两个重要 极限公式
本节介绍两个重要的极限公式，能够帮助我们计算函数的极限值。第一个公 式是两个函数的极限的和等于函数和的极限，第二个公式是复合函数的极限 等于函数内外极限的复合。
重要极限公式1: 函数极限的和等于和 的极限
公式说明
当我们计算两个函数在某一点的极限值时，可以将两个函数的极限分别计算，然后将其结果 相加。
极限存在两个准则
极限存在两个准则
数列极限存在的两个定理
1、 夹逼定理：
若∃N ，当n>N 时，≤≤
n y n x n z 存在条件A y n n =∞→lim =A z n n =∞
→lim ，则：
A x
n n =∞→lim 2、 单调有界数列必收敛定理：
单调上升数列有上界
收敛
单调下降有下界
收敛
函数极限存在的两个定理：
1、 夹逼定理：
存在∃δ>0,在δ<−<0x x 0时，有
n y ≤≤，
n x n z 存在条件A y n x x =→0x x →0
x x → 则：
x lim =，则： A z n =lim A x
n x x =→lim 0
其他趋近过程也有类似结论 2、 单侧极限与双侧极限的关系: A x f =)(lim 0
A x f =−0
0 0 h(x)
0<x<0+δ 只能分别求两侧极限。
3、 一元函数极限不存在时常用的两种方法：
① 左右侧极限存在，但是不相等
)( x -δ<x<
x x x
求极限时，指数函数 y=
x a 反正切函数y=arctanx 反余切函数
y=arccotx 必须要求两侧的极限值。
② ⅰ、∃
→，≠； n x 0x n x 0x
不存在， )(lim n
n x f +∞→ⅱ、∃→，→，
n x 0x n y 0x 但是≠ )(lim n n x f +∞→)(lim n n y f +∞→。
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
27
作业
P56 1 写在书上 ; 2; 3；4 .
28
x
1 x
)
x
e
说明:
此极限也可写为
1
lim (1 z) z
e
z0
18
例7 已知 解: 原式 =
c ln 4
求 C。
ec 4
19
例8 求下列极限
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim
t
1
解 原式＝
说明
：若利用
lim (1
( x)
1n）]
e
lim (1
x
1x) x
e
17
当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
lim (1
t
t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
1t )t
1
t
lim [(1
1t )t
(1
1t )]
e
故
lim (1
k
lim
x0
sin k
k x
x
k
2.
lim tan x x0 x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
准则的适用范围与注意事项
适用范围
夹逼准则适用于被夹逼的数列或函数在某点的极限求解；单调有界准则适用于单调且有界的数列极限求解。
注意事项
在使用夹逼准则时，需要找到合适的夹逼数列，并确保它们的极限相等；在使用单调有界准则时，需要证明数列 的单调性和有界性。同时，两个准则都只能用于求解数列或函数的极限值，不能用于求解其他数学问题。
数列极限存在的条件可以归结为数列 的单调性和有界性。如果数列单调增 加（或减少）且有上界（或有下界） ，则数列收敛，即存在极限。
03
序列极限的求法
可以通过对数列进行变形、放缩、裂 项、分组等方法来求解数列的极限。
其他相关的重要极限
第一个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，这个极限在三角 函数的求导以及某些复杂极限的求解 过程中有重要作用。
第一个重要极限可以用于求解三角函数的极限问题，也可以用于证明一 些三角恒等式和不等式。
第二个重要极限是自然对数的底数e的定义基础，也是求解一些复杂极限 问题的重要工具。同时，它也与指数函数、对数函数等有着密切的联系。
准则一：夹逼准则
01 02
定义
如果数列${x_n}$、${y_n}$和${z_n}$满足条件$y_n leq x_n leq z_n$， 且$lim_{n to infty} y_n = lim_{n to infty} z_n = a$，则数列${x_n}$ 的极限存在且等于$a$。
02 两个重要极限的详解
第一个重要极限：sinx/x的极限
01
02
03
定义与表达式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限值为1，即lim(x->0) sinx/x = 1。
几何意义
1-6极限存在准则-两个重要极限
令 t = − x,
1 x 1 −t 1 t ∴ lim (1 + ) = lim (1 − ) = lim (1 + ) x → −∞ t → +∞ t → +∞ x t t −1 1 t −1 1 = lim (1 + ) (1 + ) = e. t → +∞ t −1 t −1
1 x ∴ lim (1 + ) = e x→∞ x
n→ ∞
证 Q yn → a ,
zn → a ,
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
当 n > N 1时恒有 y n − a < ε ,
当 n > N 2时恒有 z n − a < ε ,
取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a − ε < yn < a + ε,
0
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2) x lim g ( x ) = A , lim h ( x ) = A , →x x→ x
( x →∞ )
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 存在, 且等于 A.
x → x0 ( x →∞ )
准则
和准则
'称为夹逼准则 称为夹逼准则.
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件: 满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ z n
n→ ∞
( n = 1,2,3L)
n→ ∞
( 2) lim yn = a , lim z n = a ,
函数极限的存在准则
一、函数与极限
函数极限的存在准则
学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。
我们先来看一个例子：
例：符号函数为
对于这个分段函数,x 从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。
定义：如果x 仅从左侧(x＜x 0)趋近x 0时，函数与常量A 无限接近，则称A 为函数当
时的左极限.记：
如果x 仅从右侧(x＞x 0)趋近x 0时，函数与常量A 无限接近，则称A 为函数当时
的右极限.记：
注：只有当x→x 0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在x→x 0时有极限
函数极限的存在准则
准则一：对于点x 0的某一邻域内的一切x，x 0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A 注：此准则也就是夹逼准则.
准则二：单调有界的函数必有极限.
注：有极限的函数不一定单调有界
两个重要的极限
一：
注：其中e 为无理数，它的值为：e=2.718281828459045...二：
注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.
注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.。
极限存在准则和其应用
x2 x1
x
二 、极限存在准则的应用
1 1 1 1 例1 已知数列 xn , 其中 xn 1 1! 2! 3! n!
证明 此数列极限存在。
证：xn 显然单调递增，且
1 1 1 1 xn 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 n n 1 1- 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 1 2 2 2 1 2
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
bn
1 2 1.5 1.666666667 1.6 1.625 1.615384615 1.619047619 1.617647059 1.618181818 1.617977528 1.618055556 1.618025751
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（ 137米）与底边长（227米）之比为0.629,但这些金字塔底 面的边长与高之比都接近于0.618.
绘画艺术中的黄金分割
蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体 现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完 美.
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目
3 证： b1 1， b2 2， b3 2 Fn Fn 1 Fn 1 1 bn 1 1 Fn Fn bn 1
用数学归纳法容易证明：
并求此极限。
(n 1,2,)
数列 b2 n 是单调减少的。 数列b2 n-1 是单调增加的；
又对一切 n, 1 bn 2 成立，
海棠（2）
钱兰（3）
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目
(整理)1-7极限存在准则 两个重要极限.
解：
1.直接市场评估法例5
解
三、小结
1.两个准则
夹逼准则;单调有界准则.
2.两个重要极限
思考题
求极限
思考题解答
(1)
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3
解：
(2)
定义
类似地,
2.环境影响报告表的内容
2.环境保护行政法规
第1页
②既包括天然的自然环境，也包括人工改造后的自然环境。
（5）公众意见采纳与不采纳的合理性；
（三）环境标准和环境影响评价技术导则
（3）对环境影响很小、不需要进行环境影响评价的建设项目，填报环境影响登记表。
（5）法律、行政法规和国务院规定的其他建设项目。
章
节
题
目
第七节极限存在准则两个重要极限
内
容
提
要
两个准则：夹逼准则;单调有界准则.
两个重要极限： 、
重
点
分
析
两个准则：夹逼准则、单调有界准则
两个重要极限：
难
点
分
析
两个准则的使用方法
利用两个重要极限求极限
习
题
布
置
：1（单）、2（单）、4
备
注
教学内容
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ如果数列 及 满足下列条件:
那末数列 的极限存在,且 .
证：
上两式同时成立,
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′如果当 (或 )时,有
那末 存在,且等于 .
准则和准则'称为夹逼准则.
注意:
例1：
解：
由夹逼定理得
2.单调有界准则