2019届高考总复习基础知识：直线与圆
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题16直线与圆理
直线与圆【2019年高考考纲解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现． 【重点、难点剖析】 一、直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)． (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)．二、圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．三、直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r2消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d>r1＋r2⇔两圆外离．(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．(3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交．(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切．(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．【高考题型示例】题型一、直线的方程及应用例1、已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0【解析】由题意知直线l与直线PQ垂直，所以k l＝－1k PQ＝－14－21－3＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.【答案】A【方法技巧】(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.【变式探究】(1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于( )A.23B．±35C．－35D.35答案 D解析因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0，所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝35. (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________． 答案 3 2【感悟提升】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【变式探究】(1)直线ax ＋(a －1)y ＋1＝0与直线4x ＋ay －2＝0互相平行，则实数a ＝________. 答案 2解析 当a ≠0时，a 4＝a －1a ≠1－2，解得a ＝2.当a ＝0时，两直线显然不平行．故a ＝2.(2)圆x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0的圆心到直线x －ay ＋1＝0的距离为2，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 因为(x －1)2＋()y －22＝2，所以|1－2a ＋1|1＋a 2＝2，所以a ＝0. 题型二 圆的方程及应用例2、(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． 答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.【变式探究】(1)圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋4＝0相外切，则C 的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋4x ＋2＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋2＝0 C ．x 2＋y 2＋4x ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案 D解析 圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋4＝0， 即(x ＋2)2＋(y －3)2＝9， 圆心为(－2,3)，半径为3. 设圆C 的半径为r . 由两圆外切知，圆心距为＋2＋－2＝5＝3＋r ，所以r ＝2.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4， 展开得x 2＋y 2－4x ＝0.(2)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( ) A.()x ＋32＋(y －1)2＝1B.()x －32＋()y ＋12＝1C.()x ＋32＋()y ＋12＝1D.()x －32＋(y －1)2＝1答案 C解析 到两直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M 的方程为()x ＋32＋()y ＋12＝1.故选C.【感悟提升】解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【变式探究】已知a ∈R，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．【变式探究】已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a,2)，B (－4，a )，C (2a ＋2,2)，则△ABC 的外接圆的方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝5 B ．x 2＋(y ＋3)2＝5 C ．(x －3)2＋y 2＝5 D ．(x ＋3)2＋y 2＝5 解析：由题意得2a ＝－4，∴a ＝－2， ∴圆的半径为BC 2＝－4＋2＋－2－22＝5，圆心为(－3,0)，∴圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5，故选D. 答案：D题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系例3、(1)[2018·全国卷Ⅰ]直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 【解析】由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4. ∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 【答案】2 2(2)[2016·山东卷]已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【解析】方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 方法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .依题意，有a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同方法一． 【答案】B【举一反三】[2018·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________． 解析：设A (a,2a )，则a ＞0.又B (5,0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋52，a .由⎩⎪⎨⎪⎧x －x －a ＋y y －2a ＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .∴D (1,2)．又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝(1－a ＋52，2－a )，∴(5－a ，－2a )·(1－a ＋52，2－a )＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a ＞0，∴a ＝3. 答案：3【方法技巧】弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l ＝2r 2－d 2(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.【变式探究】(1)设圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含 答案 A解析 圆心距为22＋－2＝22>1＋1，故两圆外离．(2)已知直线4x －3y ＋a ＝0与⊙C ：x 2＋y 2＋4x ＝0相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝120°，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．10 C ．11或21 D ．3或13答案 D解析 圆的方程整理为标准方程即(x ＋2)2＋y 2＝4，作CD ⊥AB 于点D ，由圆的性质可知△ABC 为等腰三角形，其中|CA |＝|CB |， 则|CD |＝|CA |×sin 30°＝2×12＝1，即圆心(－2,0)到直线4x －3y ＋a ＝0的距离为d ＝1， 据此可得|－8＋0＋a |42＋－2＝1，即|a －8|＝5，解得a ＝3或a ＝13.【感悟提升】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．【变式探究】(1)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________．答案6π(2)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是( )A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)C．[1,1] D．[－3，－1]∪[1,3]答案 D解析圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r＝22，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆x2＋y2＝2有公共点，r′＝2，所以r－r′≤|2a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].【变式探究】已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆C的切线的方程是( ) A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0。
高三数学直线与圆知识点复习
高三数学直线与圆知识点复习数学是高中阶段学生最让人头疼的科目之一，而高三阶段的数学更是难度系数加大。
在高三数学课程中，直线与圆是一个非常重要的知识点。
下面我们来复习一下直线与圆的相关知识。
1. 直线方程在平面直角坐标系中，直线可以用一般式或点斜式方程表示。
一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
而点斜式方程则是y - y1 = k(x - x1)，其中(k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
直线方程中的斜率对于直线的性质起着重要作用。
斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线为水平线，斜率不存在表示直线为竖直线。
2. 圆的方程在平面直角坐标系中，圆可以用标准方程表示。
标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
圆的方程中，圆心对圆的性质起着重要作用。
圆心坐标(a, b)表示圆心所在的位置，半径r则决定了圆的大小。
3. 直线与圆的关系直线与圆有着紧密的关系，可以分为以下几种情况：- 直线与圆相切：直线与圆相切表示直线与圆只有一个交点，此时直线的斜率与半径的斜率互为相反数。
- 直线与圆相离：直线与圆相离表示直线与圆没有交点，此时直线的斜率与半径的斜率不相等。
- 直线与圆相交：直线与圆相交表示直线与圆有两个交点。
- 直径：直径是连接圆上任意两点，并且经过圆心的线段。
直径的长度等于圆的半径的两倍。
4. 直线与圆的求解方法当我们遇到直线与圆的相交等问题时，可以通过以下几种方法求解：- 列方程求解：将直线和圆的方程列出，根据方程求解交点的坐标。
- 利用性质求解：根据直线和圆的性质，通过几何推理求解交点的坐标。
5. 直线与圆的应用直线与圆的知识在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确定两条直线是否相交，以确保结构的稳定性。
在电子设备设计中，我们需要确定一条直线是否与一个电子元件的引脚相交，以确保电子元件的正常工作。
高考数学直线与圆知识点总结
高考数学直线与圆知识点总结数学一直是高考重点科目之一，而其中的直线与圆是常见的考点之一。
在高考中，对于这部分知识点的掌握不仅仅是学生们考试取得好成绩的关键，更是对于综合能力的全面考核。
本篇文章将对高考数学直线与圆的知识点进行总结，帮助同学们更好地备考。
直线与圆的基本性质：直线和圆是平面几何中最基本也是最常见的两个图形。
直线无限延伸，没有端点，而圆是由一组平面上距离圆心相等的点组成的。
直线与圆之间有一些基本的性质需要掌握。
1. 直线在平面上可以有不同的位置关系，即相交、平行和重合。
相交的直线在交点处满足公共点的特性。
平行的直线在平面上永远不相交。
重合的直线完全重叠在一起，所有的点都相同。
2. 圆与直线的位置关系通常包括内外离散、相切和内含三种情况。
离散的情况是直线与圆没有交点。
相切的情况直线与圆恰好有一个交点。
内含的情况是直线与圆有两个交点。
直线的方程与性质：直线是最基本的图形之一，它常常需要考生们掌握准确的方程表达以及相应的性质。
1. 直线的一般方程是Ax + By + C = 0，其中A、B、C分别是实数，也称为直线的一般式方程。
一般式方程用于表示直线的位置关系。
2. 直线的斜率是非常重要的一个性质，它是直线上任意两点对应坐标差的比值。
斜率可以帮助我们判断直线的倾斜方向以及直线是否垂直。
3. 两条直线的位置关系可以通过它们的斜率进行判断。
如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的；如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。
圆的方程与性质：圆是平面几何中的一个基本图形，它有特定的方程表达和一系列的性质需要考生们进行掌握。
1. 圆的标准方程是(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径；标准方程可以用于表示任意圆。
2. 圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是实数。
一般方程可以用于表示特定的圆。
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学中的直线和圆的总结有很多知识点，本文就针对这些知识点进行一个总结，同学们可以查阅，以便加深对直线和圆的理解。
首先，在直线方面需要知道的是什么？
一、直线的定义
直线是平面上双等距平行的两条线，可以用一元二次方程来表示。
二、直线的性质
1、平等的距离及同一平面的
直线的夹角相等，距离也相等，两直线交于一点，其中一条直线经过这一点，另一条不经过，而在同一平面上的两直线是相互垂直的。
2、直线的交点
当两条直线在有限空间内相交时，这种相交是称之为直线的交点。
三、直线的位置关系
1、平行
当两条直线从同一个方向平行可以认为这两条直线平行。
接下来，要总结一下圆知识点了。
圆是位于平面中心点到圆上任一点的距离相等的一种曲线，而圆的半径则是指这种距离。
1、圆心在圆的任一点的距离是一致的
2、圆的封闭图形
圆是一种封闭的曲线，无论是确定它的定义还是它的性质，都建立在它是一种封闭图形的基础之上。
1、圆内和内接四边形外接圆
内接四边形外接圆是指圆心和任意两个顶点形成的距离都相等的圆，这圆就是内接四边形外接圆。
当一条直线与圆的关系有六种：即相切、相交、内切、外切、内含和外公切线，因此理解这一关系也是重要的。
以上就是高中数学直线和圆知识点复习总结，希望可以帮助读者们更加深入理解这些概念，提升高中数学学习的能力，顺利通过高考。
2019届全国卷高三数学艺体生、学困生补习资料,专题复习资料：必修2直线与圆复习资料(含知识点和典例分析
高中数学必修2——直线与圆复习知识点一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tan k α=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
高中数学直线和圆知识点总结
高中数学直线和圆知识点总结高中数学是许多学生感到头疼的科目之一，其中直线和圆的知识点又是必考内容。
本文将为大家总结一下高中数学中直线和圆的知识点，帮助大家更好地掌握这一部分内容。
一、直线1、定义：直线是不弯曲的线，它没有宽度，可以无限延伸。
2、性质：直线是平行的，没有交点，可以通过两点确定一条直线。
3、画法：在纸上绘制直线时，要确保线条平直，没有弯曲，且与坐标轴平行。
二、圆1、定义：圆是一个平面内到定点(F)的距离等于定长r的点的集合。
2、性质：圆具有旋转对称性，可以绕圆心旋转任意角度而不改变形状和大小。
圆的直径是最长的弦，直径所在的直线穿过圆心。
3、画法：在纸上绘制圆时，可以使用圆规来绘制，确保圆规的两只脚相等，并在画圆的过程中保持圆规稳定。
三、直线和圆的重要知识点1、点到直线的距离公式：假设点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)。
2、圆的方程：假设圆心为(x0,y0)，半径为r，则圆的方程为(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2。
3、圆的标准方程：假设圆心为(a,b)，半径为r，则圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
四、总结高中数学中的直线和圆知识点是必考内容，需要大家熟练掌握。
在解决相关问题时，要注意直线的性质和点到直线的距离公式，以及圆的方程和标准方程的求解方法。
此外，还要注意圆和直线的位置关系，如相交、相切、内切等。
在学习过程中，可以通过多做练习题来加深对知识点的理解和掌握。
总之，直线和圆是高中数学中重要的知识点之一，需要大家认真学习和掌握。
希望本文的总结能够帮助大家更好地应对相关问题，提高数学成绩。
高二《直线与圆》知识点总结
高二《直线与圆》知识点总结直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。
掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。
本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。
一、直线与圆的基本概念和性质：1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。
直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。
2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。
4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。
二、直线与圆的方程和解析几何：1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。
判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。
三、直线与圆的交点和切线：1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。
2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。
若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。
切线方程可以使用直线方程得出。
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。
在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。
下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。
3. 直线与圆的方程应用：a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。
2. 切线的性质：a. 切点：切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。
d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的性质有：a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
b. 直径：直径是通过圆心的弦。
直径等于半径的两倍。
四、圆的位置关系1. 同心圆：具有共同圆心的多个圆称为同心圆。
2. 内切圆与外接圆：如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点，则这两个圆称为内切圆与外接圆。
数学高一直线与圆知识点
数学高一直线与圆知识点在高中数学学科中，直线与圆是重要的几何图形，它们的相互关系也是我们必须深入了解的知识点。
下面将从不同角度介绍直线与圆的相关知识。
一、直线的基本概念与性质直线是最常见的几何图形之一，它具有以下基本概念与性质。
1. 定义：直线是由无数个点连成的轨迹，它没有起点和终点，并且内部的任意两点可以连成一条直线。
2. 点斜式方程：直线可以通过点和斜率来表示，一般形式为y= kx + b，其中k为斜率，b为常量。
3. 平行与垂直线：两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为-1。
4. 直线与直线的位置关系：两条直线可能相交、平行或重合。
5. 直线与平面图形的关系：直线可以与平面图形相交于一个或多个点，通过这些交点可以研究直线与图形的性质。
二、圆的基本概念与性质圆是另一种重要的几何图形，它有独特的定义和性质。
1. 定义：圆是由一个不动定点到平面上所有距离相等于这个定点与平面上其他点的距离的轨迹。
这个不动定点称为圆心，所有距离相等的线段称为半径，常用r表示。
2. 圆的方程：圆的方程一般形式为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
3. 弧长与扇形面积：圆上的弧可以通过圆心角来确定长度，圆心角为1弧度时所对应的弧长度等于半径的长度。
圆的扇形面积等于圆心角所对应的弧长除以圆的周长再乘以圆的面积。
4. 圆内接与外切：如果一个三角形的三边分别和一个圆相切，那么这个三角形叫做这个圆的内切三角形。
如果一个四边形的四边分别和一个圆相切，那么这个四边形叫做这个圆的内切四边形。
三、直线与圆的相交关系直线与圆的相交关系给了我们更多的图形特性来研究。
1. 直线与圆的位置关系：直线可以与圆相离、相切或相交于两个交点。
2. 切线定理：直线若与圆相切，那么切点和圆心连线垂直。
3. 弦：直线在圆内部所对应的线段称为弦，弦的中垂线通过圆心。
高三直线和圆知识点
高三直线和圆知识点直线和圆是高中数学中的重要知识点，对于理解几何图形的性质和解题能力起着至关重要的作用。
本文将为大家详细介绍高三直线和圆的相关知识。
一、直线的定义和性质直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的图形。
直线的特点是无限延伸，并且上面的任意两点都可以用直线段相连接。
直线的性质有以下几点：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。
2. 直线上的任意一点，都在直线上。
二、圆的定义和性质圆是由平面上与某一点的距离相等的所有点组成的图形。
这个距离称为圆的半径，通常用字母r表示。
圆心是与所有这些点距离相等的点。
直径是通过圆心的两个点，并且是圆的最长的一条线段，长度等于半径的两倍。
圆的性质有以下几点：1. 圆上所有点到圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是圆的最长直线段，且等于半径的两倍。
3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。
三、直线和圆的关系直线和圆是几何图形中经常会出现的组合。
它们之间的关系有以下几种情况：1. 直线与圆的位置关系：a) 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时交点为切点。
b) 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
c) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
2. 圆上的点到直线的距离：a) 圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于直线的垂直距离，即圆心到直线的距离是最短的。
b) 圆上任意一点到直线的距离：圆上的任意一点到直线的距离都等于它到直线的垂直距离。
3. 直线和圆的方程：a) 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式、点斜式等形式表示，根据题目给定的条件来确定具体的方程形式。
b) 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，其中a、b为圆心的坐标，r为半径。
高考文数直线与圆知识点
高考文数直线与圆知识点在高考数学的考试中，直线与圆是非常重要的几何知识点。
掌握直线与圆的相关性质和计算方法，对于解题有着重要的指导意义。
本文将介绍一些高考中常见的直线与圆知识点，希望能帮助同学们更好地理解和学习。
1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相切和直线与圆相离。
当直线与圆相交时，可能会有两个交点或者一个交点。
这要根据直线与圆的位置关系来判断。
如果直线穿过圆的两个交点，则称为直线与圆相交于两点；如果直线与圆只有一个交点，则称为直线与圆相切。
当直线与圆相离时，直线与圆之间没有任何交点。
2. 直线与圆的性质（1）切线性质：过圆外一点，可作无数条与圆相切的直线，这些相切直线上的切点和该点到圆心的线段相等。
当直线与圆相切时，该直线被称为切线。
切线与圆相切于一个点，且切点到圆心的距离与切点到该点的距离相等。
（2）切线定理：切线所构成的角与该切点与圆心连线所构成的角相等。
当直线与圆相切时，切线与该切点与圆心连线所构成的角相等。
（3）幅度定理：圆心角的幅度是其所对应扇形的幅度的两倍。
圆心角是以圆心为顶点的角，其幅度定义为其所对应扇形的幅度的两倍。
（4）正切定理：切线与半径的正切相等。
当直线与圆相切时，该切线与切点处的半径的正切相等。
3. 直线与圆的计算方法（1）直线方程的计算方法：已知直线上的两个点，可以求出直线的方程。
设直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的方程可以表示为(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)。
（2）圆的方程的计算方法：已知圆心和半径，可以求出圆的方程。
设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。
通过计算直线方程和圆的方程，可以解决很多与直线与圆有关的几何问题。
4. 直线与圆的应用在实际生活和工作中，直线与圆的知识点也有很多应用。
2019年全国高考数学 第一轮复习 第7讲.直线与圆 (1)
第07讲直线与圆本讲分三小节，分别为直线与圆的基本量与方程、位置关系、线性规划，建议用时3课时．直线的基本量有倾斜角、斜率与截距，直线方程重点掌握点斜式方程、斜截式方程与一般式方程，注意这三种直线方程分别在什么形式下使用，以及设立方程时要讨论斜率不存在的直线．直线与圆的位置关系中，注重对圆的几何性质的应用．直线系问题是选讲考点．第一小节为直线与圆的基本量与方程，共3道例题．其中例1主要讲直线的基本量；例2主要讲解直线方程；例3主要讲解圆的基本量与方程；第二小节为位置关系，共4道例题．其中例4主要讲解直线与直线的位置关系；例5主要讲解对称问题；（之后有直线系的选讲知识点与例题，学生版不出现）例6主要讲直线与圆的相离与相切问题；例7主要讲解直线与圆相交与弦长问题；第三小节为线性规划，共1道例题．例8主要讲解线性规划的一些问题．注：本讲铺垫学生版出现，可以作为知识点与基本方法的复习；拓1到拓5学生版不出现，可以作为一些程度非常好的班级的拓展思考．知识结构图过直线y x =上的一点作圆()()22512x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 【解析】 C设不等式组 1103305390x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(]13，B ．[23]，C ．(]12，D ．[)3+∞， 【解析】 A1、下面命题中正确的是（ ）A ．经过定点000()P x y ，的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过任意两个不同的点111222()()P x y P x y ，，，的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示D ．经过点(0)A b ，的直线都可以用方程y kx b =+表示 2、点(4)a ，到直线431x y -=的距离不大于3，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[212]，B ．[112]，C ．[010]，D ．[19]-， 3、已知过点(2)A m -，和(4)B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．104、0A C =≠且0B =是方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件5、“a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 6、圆222690x y x y +--+=关于直线50x y -+=对称的圆的方程是（ ）A ．22(6)(2)1x y -++=B ．22(6)(2)1x y ++-=C ．22(2)(6)1x y ++-=D ．22(2)(6)1x y -++= 7、圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、点(13)A ，，(52)B -，，点P 在x 轴上使AP BP -最大，则P 的坐标为（ ） A ．(40)，B ．(130)，C ．(50)，D ．(10)， 9、直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是（ ）A．0m < B．1m <<C．1m <≤D．1m ≤ 10、ABC △中，a b c ，，是内角A B C ，，的对边，且lgsin A 、lgsin B 、lgsin C 成等差数列，则下列两条 直线1l ：2sin sin 0A x A y a ⋅+⋅-=与2l ：2sin sin 0B x C y c ⋅+⋅-=的位置关系是（ ） A ．重合 B ．相交（不垂直） C ．垂直 D ．平行小题热身真题再现1．直线⑴直线l 的倾斜角α：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．⑵直线l 的斜率k ：①tan k α=；②()211221y yk x x x x -=≠-；倾斜角为90︒的直线斜率不存在．⑶直线方程①点斜式 ()00y y k x x -=-，()00P x y ，为直线上任一点，k 为直线的斜率．②斜截式 y kx b =+．③截距式 ()10x yab a b+=≠．④一般式 ()2200Ax By C A B ++=+≠．⑷两条直线的位置关系：11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，．①1l 与2l 重合⇔12120A B B A -=且12120B C C B -=；若2l 的系数均不为0可以写成：111222A B C A B C ==； ②12l l ∥⇔12120A B B A -=且12120B C C B -≠；若2l 的系数均不为0可以写成：111222A B CA B C =≠；③1l 与2l 相交⇔12120A B B A -≠； ④12l l ⊥⇔12120A A B B +=． ⑸距离公式：点到直线距离公式：点()00A x y ，到直线:0l Ax By C ++=的距离d ；平行线间距离公式：1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，的距离d =2．圆⑴圆的方程①标准方程：()()222x a y b r -+-=，()C a b ，为其圆心，0r >为其半径；②一般方程 220x y Dx Ey F ++++=，圆心22DE C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，半径r 当2240D E F +->时，方程表示圆； ⑵位置关系①直线与圆的位置关系：圆心到直线l 的距离为d ，r 为圆的半径． d r >时，相离；d r =时，相切；d r <时，相交． ②圆与圆的位置关系：两圆半径12r r ，，圆心距为d ．12d r r >+时，外离；12d r r =+时，外切；1212r r d r r -<<+时，相交；12d r r =-时，内切；当12d r r <-时，内含．3．线性规划 当0B >时，0Ax By C ++>所表示的平面区域是直线0Ax By C ++=的上半部分； 0Ax By C ++<所表示的平面区域是其下半部分；反之，当0B <时，则0Ax By C ++>表示的平面区域是直线0Ax By C ++=的下半部分； 0Ax By C ++<所表示的平面区域是其上半部分．也可根据A 的正负，确定不等式对应的是直线的左半部分还是右半部分． 知识梳理考点：直线的基本量<教师备案> 直线的倾斜角、斜率、截距、直线上的点等等都属于直线的基本量的范畴．一般来说，知道直线的两个基本量就可以确定一条直线．注意倾斜角变化时，斜率的变化规律；当倾斜角[090)θ∈︒︒，时，斜率k 都随θ的增加而增加，从0增加到+∞；当倾斜角(90180)θ∈︒︒，时，斜率k 都随θ的增加而增加，从-∞增加到0．倾斜角为90︒时，斜率不存在．直线的截距要注意的是可正可负，与距离无关，是与坐标轴交点对应的坐标值．【例1】 ⑴直线cos20sin 2030x y ︒+︒-=的倾斜角是（ ）A ．20︒B ．160︒C ．70︒D ．110︒⑵已知(24)(30)A B -，，，，直线l 过原点(00)O ，且与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是_____．⑶如果直线0Ax By C ++=经过第一、二、四象限，则（ ）A ．0AC >，0BC <B ．0AC <，0BC > C ．0AC <，0BC <D ．0AC >，0BC >【解析】 ⑴D ；⑵()2[0)-∞-+∞ ，，；⑶ C【拓1】直线sin 10x y θ--=的倾斜角的范围是__________． 【解析】 π3π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；考点：直线方程<教师备案> 直线的五种形式里面，常用的形式是斜截式、点斜式与一般式． 已知直线上一点，用点斜式方程；已知直线的斜率用斜截式方程．注意这两种形式都不能表示斜率不存在的直线．有时已知直线的横截距我们会将直线设为倒斜横截式，即my x b =+的形式，这种形式不能表示斜率为零的直线，斜率为1m．一般式方程在求点到直线的距离公式时用到，它可以表示所有的直线．直线的截距式使用较少，一般在比较明显涉及到横纵截距或其关系时使用，要注意单独讨论截距为零的情况；直线的两点式很少使用，给出两点求直线方程通常也会先求斜率，再用点斜式写出．【例2】 直线l 过点()21M ，且分别交x 、y 轴于A 、B 点，O 为坐标原点， ⑴若直线的横截距与纵截距相等，则符合条件的直线l 有_____条． ⑵若直线的横截距与纵截距之和为3-，则符合条件的直线l 有______条． ⑶若M 为AB 中点，则直线l 的方程为___________； ⑷若:1:2MA MB =，则直线l 的方程为____________． ⑸A B ，在x y 、轴正半轴时，AOB △的面积的最小值为______． 【解析】 ⑴ 2；⑵ 2；⑶ 240x y +-=；⑷ 3x y +=；⑸ 4； 7.1直线与圆的基本量与方程考点：圆的基本量与方程<教师备案> 求圆的方程可以先通过几何关系求圆心坐标与半径，再写出圆的标准方程；也可以直接设圆的一般方 程，通过条件得到参数的方程，求得结果，后者的计算量更大．例3求圆的方程的题有些如果通过几何关系求圆心， 需要用到线段的中垂线的求法．注意圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆需要2240D E F +->，可以通过配方成圆的标准方程得到此不等式．例：方程2222210x y a x a ya a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是_______．解：()2222221024a a x y a a a a ⎛⎫+++=+--+> ⎪⎝⎭，解得223a -<<【铺垫】写出满足下列各条件的圆的方程：⑴ 以(31)A --，，(55)B ，为直径的圆； ⑵ 圆心为(12)，且与直线51270x y --=相切的圆的方程． 【解析】 ⑴ 22(1)(2)25x y -+-=；⑵ 22(1)(2)4x y -+-=．【例3】 写出满足下列各条件的圆的方程：⑴与x y ，轴均相切且过点(18)，的圆； ⑵圆心在直线40x y +=上，且与直线:10l x y +-=切于点(32)P -，的圆的方程；⑶过点(11)A ，，(35)B -，，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程． 【解析】 ⑴ 22(5)(5)25x y -+-=或22(13)(13)169x y -+-=；⑵ 22(1)(4)8x y -++=； ⑶ 22(2)(2)10x y ++-=．考点：直线与直线的位置关系<教师备案>铺垫复习两直线平行、垂直的条件，以及平行线间的距离公式．【铺垫】⑴“两直线的斜率相等”是“两直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件⑵“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 ⑶ 已知直线:220l x y +-=，与直线l的直线方程为______________． 【解析】 ⑴ A ；⑵ A ；⑶ 20x y +=或240x y +-=．7.2位置关系【例4】 ⑴直线210x y --=绕(11)，逆时针旋转90︒，再向上平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．210x y --= B ．250x y --= C ．210x y +-= D ．250x y +-=⑵已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，其它三边所在的直线方程分别为_______________________________．⑶若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为m 的倾斜角是 ①15︒ ②30︒ ③45︒ ④60︒ ⑤75︒ 其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号）【解析】 ⑴ D ⑵ 370x y ++=，390x y -+=，330x y --=；⑶ ①⑤【拓2】已知两点(1A、(0B 到直线l 的距离等于a ，且这样的直线l 可作4条，则a 的取值范围为（ ） A ．1a ≥ B ．01a << C ．01a <≤ D ．021a <<【解析】 B ；考点：对称问题<教师备案>1．点关于直线的对称点：点00()P x y ，关于直线0Ax By C ++=的对称点()Q x y ，可以通过解方程组0000()()()()20A y y B x x A x x B y y C -=-⎧⎨++++=⎩来求出，第一个方程代表PQ 与对称轴垂直，第二个方程代表PQ 的中点在对称轴上． 对于几个特殊情形可以单独总结：⑴ 00()P x y ，关于x 轴的对称点是00()Q x y -，，关于y 轴的对称点是00()Q x y -，，关于原点O 的对称点是00()Q x y --，；⑵ 00()P x y ，关于直线y x =的对称点是00()Q y x ，，关于y x =-的对称点是00()Q y x --，．⑶ 00()P x y ，关于直线y x m =+的对称点是00()Q y m x m -+，，关于y x m =-+的对称点是00()Q y m x m -+-+，． 2．直线l 关于点P 对称直线l '；l l '∥，且l 上的点关于P 的对称点在l '上．如：直线10x y ++=关于点(12)，的对称直线方程可设为0x y m ++=，又(10)-，在直线10x y ++=上，(10)-，关于(12)，的对称点为(34)，，故7m =-，即所求直线为70x y +-=． 3．直线0l 关于直线l 的对称直线0l '：⑴若0l l ∥，则00l l '∥，且0l 与l 之间的距离等于0l '与l 之间的距离；⑵若0l 与l 相交，则交点在0l '上，且0l 上任一点关于直线l 的对称点也在0l '上．【例5】 ⑴已知(12)A -，，(43)B ，，在x 轴上有一点P ，使PA PB +最小，则P 点的坐标为______． ⑵直线:210l x y +-=关于点(11)，的对称直线方程为____________________． ⑶ABC △中，点A 的坐标为(22)-，，点B 的坐标为(42)--，，A ∠的角平分线恰好经过原点，则边AC所在的方程为 ．【解析】 ⑴ (10)，；⑵ 250x y +-=；⑶ 260x y -+=；**************************************************************************************** 直线系选讲（学生版不出现）<教师备案>直线系问题是选讲考点，不作常规要求，可以根据学生情况选择讲解．圆系与曲线系问题因为使用较少，不再介绍．知识点：⑴过定点00()x y ，的直线系方程00()y y k x x -=-；⑵和直线0Ax By C ++=平行的直线系方程0Ax By C '++=（C C '≠）；和直线y kx b =+平行的直线系方程y kx b b b ''=+≠，； ⑶和直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程0Bx Ay C '-+=；⑷经过两相交直线1110A x B yC ++=和2220A x B y C ++=的交点的直线系方程11122()0A x B y CA xB yC λ+++++=（不包括直线2220A x B y C ++=）．【例题】⑴ 直线l 经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；⑵ 求经过直线3210x y -+=和340x y ++=的交点，垂直于直线340x y ++=的直线l 的方程； ⑶ 求经过两直线231x y -=，322x y +=的交点，且平行于直线30y x +=的直线方程；⑷ 已知过点()3,1P 的直线l 被两平行直线1:210l x y +-=与2:230l x y +-=所截的线段中点在直线2:10l x y --=上，求直线l 的方程．【解析】 ⑴ 显然直线2570x y +-=不满足要求，∴设直线l 的方程为()()3262570x y x y λ++++-=根据截距相等列方程，解得l 的方程为340x y +=或10x y ++=． ⑵ 320x y -+=；⑶ 253013x y +-=； ⑷ 设点()3,1P 的直线l 被两平行直线1:210l x y +-=与2:230l x y +-=所截的线段中点为M ，则容易知道点M 在直线220x y +-=上，于是可以利用过两直线交点的直线系方程求解：设直线l 的方程是()()2210x y x y λ+-+--=，则由于该直线过点()3,1P ，解得3λ=-． 于是直线l 的方程是2510x y --=．****************************************************************************************考点：直线与圆的位置关系<教师备案> 圆的位置关系问题我们主要讨论直线与圆的位置关系，有相离、相交与相切三类，因为圆有很好的几 何性质，所以直线与圆的位置关系问题常常是通过圆的几何性质求解的，很少联立方程求解．这是直线与圆的位置 关系与直线与圆锥曲线的位置关系问题明显不同的地方．圆与圆的位置关系问题涉及较少，我们不专门提及，在例题中有所涉及．在直线与圆的位置关系里面有几类问题是比较有代表性的： ⑴过切点的切线方程与切点弦方程：若直线与圆222x y r +=相切于点00()x y ，，则切线方程可以写成：200x x y y r +=；更一般地，与圆222()()x a y b r -+-=相切于点00()x y ，的切线方程为：200()()()()x a x a y b y b r --+--=． 如果点00()x y ，在圆外，则与切线方程同样形式的方程表示过该点所作的圆的两条切线对应的切点线的方程，即切点弦方程．⑵ 定圆外一动点引圆的切线问题：设圆的圆心为O ，半径为r ，过圆外一点P 引圆的切线PA 、PB ，PO d =， 那么POA △ 和POB △是关于PO 对称的直角三角形，PA PB =以下几个条件完全等价：d 越短⇔切线长PA 越短⇔圆心角AOB ∠越小⇔弧长AB 和弦长AB 越短⇔四边形PAOB 面积越小．⑶ 定圆上到定直线距离为定值的点的个数问题：设圆的圆心为O ，半径为r ，圆心O 到定直线l 的距离为d ．求圆上到直线l 距离为m 的点的个数． 到直线l 距离为m 的点的轨迹是两条与l 平行，距离为m 的直线；和圆心在l 同侧的那条记为1l ，另外一条记为2l ．则O 到1l 的距离为d m -，O 到2l 的距离为d m +，圆与1l 和2l 的交点就是圆上到l 距离为m 的点．分别判断d m -和d m +与r 的大小，可知圆与1l 和2l 的交点个数．θO BAP【铺垫】⑴ 已知圆22:5O x y +=和点(12)A ，，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积等于 ．⑵ 过圆O ：222x y +=外一点(42)P ，向圆引切线，切点为12P P ，，则切线方程为________，直线12P P 的方程为__．【解析】 ⑴254⑵ 20x y --=与7100x y -+=；210x y +-=；【例6】 ⑴圆222210x y x y +--+=上的动点Q 到直线3480x y ++=距离的最小值为______． ⑵与直线20x y +-=相切且与曲线221212540x y x y +--+=相外切的半径最小的圆的标准方程是 【解析】 ⑴ 2；⑵ 22(2)(2)2x y -+-=【拓3】已知点()P x y ，是直线40kx y ++=(0)k >上一动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A ．3 BC． D ．2【解析】 D【例7】 ⑴若()21P -，为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．30x y --= B ．230x y +-=C ．10x y +-= D ．250x y --= ⑵直线l 过点(40)-，且与圆22(1)(2)25x y ++-=交于A B ，两点，如果8AB =，那么直线l 的方程为（ ） A ．512200x y ++= B ．512200x y -+=或40x += C ．512200x y -+= D ．512200x y ++=或40x += ⑶直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N两点，若MN ≥，则k 的取值范围是（ ） A ．304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．[)304⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ，， C．⎡⎢⎣⎦ D ．205⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 ⑴A ；⑵ D ⑶ A【拓4】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是______________．【解析】 (1313)-，．考点：线性规划【铺垫】⑴ 原点和点(11)，在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是 ． ⑵在平面直角坐标系中，不等式组040x y x y x a +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为 ．⑶ 在约束条件252400x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥下，34z x y =+的最大值是_______．【解析】 ⑴ ()0,2；⑵ 1；⑶11．【例8】 ⑴已知点()P x y ，的坐标满足条件12220x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≤，≥，那么22x y +的取值范围是_________，11y x ++的取值范围是_________． ⑵若变量x ，y 满足约束条件00x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤4表示的平面区域为M ，则当42a -≤≤时，动直线x y a +=所经过的平面区域M 的面积为______．⑶若不等式组220x y x y y x y a-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．43a ≥B ．01a <≤C ．413a ≤≤D ．01a <≤或43a ≥【解析】 ⑴ 455⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；⑵ 7；⑶ D ；【拓5】 设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数x y a =(01)a a >≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[13]， B．2⎡⎣ C ．[29]， D．9⎤⎦【解析】 C 7.3线性规划一、选择题 1、设A B ，为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（ ）A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．50x y +-=【解析】 D2、“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 C 3、若过点(40)A ，的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A．⎡⎣ B．(C．⎡⎢⎣⎦ D．⎛ ⎝⎭【解析】 C4、（2011东城高三期末理6）直线0ax by a b +++=与圆222x y +=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切【解析】 D 5、直线3y x =-与圆22215x y x +-=相交于P ，Q 两点，点M 是圆上一点，且MPQ △的面积等于8，这样的点M 有且仅有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 D二、填空题 6、设直线10x my --=与圆()()22124x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为，则实数m 的值是 ． 【解析】7、如果直线2(2)(32)2m x m m y m ++++=+与y 轴平行，则m =_____．【解析】 1-；8、已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(10)A -，的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为 ． 【解析】10x +=；9、已知点()P x y ，的坐标满足条件28x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于＿＿＿．【解析】课后习题- 11 - 10、若实数x y ，满足221420x y xx y x ⎧⎪⎨⎪+-+⎩≤≤≥，则32z x y =+的最小值是 ；在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是 ．【解析】 0；π22-．三、解答题6、求由三条直线220x y ++=，260x y --=，260x y -+=所构成的三角形的外接圆方程．【解析】 2227180x y x y +---=．7、已知圆O ：221x y +=，圆C ：22(2)(4)1x y -+-=，由两圆外一点()P a b ，引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如右图，满足PA PB =．⑴求实数a 、b 间满足的等量关系； ⑵求切线长PA 的最小值．⑶是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切，并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴250a b +-=．⑵min ||2PA =．⑶不存在符合题设条件的圆P ．。
2019年高考文科数学知识点总结：直线和圆
2019年高考文科数学知识点总结：直线和圆直线和圆70、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 倾斜角α的值范围： 0°≤α＜180°.71、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；当α∈[0°，90°)时，α越大，l 的斜率越大；当α∈(90°，180°)时，α越大，l 的斜率越大．（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=； 72、直线的方程： (1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，过定点00(,)P x y 的直线要设成x=x 0和)(00x x k y y -=-）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点。
73、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)P x y 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离0022Ax By Cd A B ++=+；（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为1222C C d A B -=+。
74、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：（1）平行⇔12210A B A B -=（斜率相等）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距不等）；（2）直线Ax 1＋B 1y ＋C 1＝0与直线Ax 2＋B 2y ＋C 2＝0垂直⇔12120A A B B +=。
直线与圆知识点归纳高三
直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。
本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。
一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。
2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。
二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。
(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。
四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。
2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。
3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。
高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。
高三数学圆与直线知识点
高三数学圆与直线知识点高三数学学习中，圆与直线是重要的知识点之一。
掌握了这些知识，可以帮助我们解决更加复杂的数学问题。
本文将从圆与直线的定义、性质和应用方面进行介绍。
一、圆的定义与性质圆是由平面内到一点的距离都相等的点的集合。
简单来说，圆是一个平面上的闭合曲线，由半径为r的圆心O、平面上所有到圆心距离为r的点构成。
在圆的性质中，我们需要掌握以下几个重要的概念：1. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角。
圆心角的度数等于所对弧的度数。
2. 圆周角：圆周角是以圆周上的两条弧为边的角，角的大小等于所对的弧度数的一半。
二、直线与圆的位置关系1. 切线：一个直线与圆相交于圆上的一点，且只有这一个交点时，称这条直线为切线。
切线与半径垂直。
2. 切点：切线与圆的交点称为切点。
3. 弦：一个直线的两个端点在圆上，这条直线称为弦。
三、直线与圆的交点个数1. 两个相交圆的公共切线：两个相交的圆可以有两条公共切线，也可以没有公共切线。
2. 直线与圆的位置关系：一条直线与圆相交，有三种情况，即相离、相切和相交。
四、圆与直线的方程1. 圆的方程：设圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²。
2. 直线的方程：直线的方程可以通过两点式、一般式或截距式等形式表示。
五、圆与直线的应用1. 判断两个圆的位置关系：可以通过观察圆心之间的距离与半径之差来判断两个圆的位置关系，有外离、内含和相交三种情况。
2. 判断直线与圆的位置关系：可以通过圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系。
3. 圆的切线问题：可以通过圆与直线的位置关系来求解切点和切线方程。
4. 弦的性质：弦分割圆的圆周角等于弦所对的圆心角。
总结：通过学习圆与直线的知识点，我们可以更好地理解圆的定义与性质，掌握直线与圆的位置关系以及圆与直线的方程。
这些知识点对于解决数学问题和应用数学在生活中都具有重要意义。
高三直线与圆的知识点
高三直线与圆的知识点直线与圆是高中数学中一个重要的几何学知识点。
本文将对高三学生在学习直线与圆相关内容时需要掌握的知识点进行详细介绍。
一、直线与圆的基本概念在几何学中，直线与圆是最基本的图形。
直线是无限延伸的、宽度可以忽略不计的一维图形，用两个端点确定；圆是平面上一组与一个给定点的距离相等的点的集合，该给定点称为圆心。
二、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系有三种情况：（1）直线与圆相交：直线与圆相交于两个不同的点。
（2）直线与圆相切：直线与圆相切于圆上的一个点。
（3）直线与圆相离：直线与圆没有公共的点。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：（1）利用勾股定理：设圆的圆心为O，直线上任意一点为A，则直线上的点到圆心的距离等于圆的半径r，即OA²=r²。
（2）利用判别式：设圆的圆心为O(x0,y0)，半径为r，直线的方程为Ax+By+C=0，则直线与圆的位置关系可以用判别式D=|Ax0+By0+C|²-(A²+B²)(x0²+y0²-r²)来判断。
当D>0时，直线与圆相交；当D=0时，直线与圆相切；当D<0时，直线与圆相离。
三、直线与圆的性质1. 直线的性质：（1）直线的斜率：直线的斜率定义为直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差。
（2）直线的截距：过直线上任意一点的垂直线与坐标轴的交点称为直线的截距。
直线的截距有x截距和y截距两种形式。
2. 圆的性质：（1）圆的周长：圆的周长等于半径乘以2π。
（2）圆的面积：圆的面积等于半径平方乘以π。
四、直线与圆的问题求解在学习直线与圆的知识时，常常需要解决与其相关的问题。
下面介绍几类常见的问题及求解方法：1. 直线与圆的交点问题：（1）已知直线与圆的方程，求交点坐标。
（2）已知直线与圆的位置关系，求直线方程或圆方程。
2. 直线与圆的切线问题：（1）已知直线与圆的位置关系为相切，求切点坐标及切线方程。
高考直线与圆知识点
高考直线与圆知识点直线与圆是高中数学中重要的几何概念之一，也是高考中常考的知识点。
了解直线和圆的性质，能够灵活运用相关定理和公式，对解题和理解几何问题有很大帮助。
本文将介绍高考直线与圆的一些重要知识点，帮助同学们更好地掌握相关内容。
一、直线的斜率直线的斜率是指直线在平面直角坐标系中与$x$轴正方向夹角的正切值。
设直线L的斜率为$k$，则有斜率公式：\[k = \tan \theta = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$为直线上的两个点。
直线的斜率决定了其在平面直角坐标系中的倾斜程度。
二、直线的方程直线的方程可以由直线上的一点和其斜率求得。
直线的一般方程形式为$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$、$C$为常数。
而直线的斜截式方程为$y = kx + b$，其中$k$为斜率，$b$为截距。
根据已知信息，可以通过这两种形式的方程来确定直线的位置和性质。
三、圆的方程圆的方程可以用不同的方式表示。
设圆的圆心坐标为$(a, b)$，半径为$r$，则有以下三种常见的圆的方程形式：标准方程、一般方程和截距方程。
1. 标准方程：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$2. 一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中$D$、$E$、$F$为常数。
3. 截距方程：$\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1$，其中$a$、$b$分别是$x$轴和$y$轴上的截距。
四、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系主要有以下三种情况：- 直线与圆相离，即直线不交圆。
- 直线与圆相切，即直线与圆只有一个交点。
- 直线与圆相交，即直线与圆有两个交点。
2. 判断直线和圆的位置关系的方法有很多，常用的是判别式法和距离关系法。
高二数学直线与圆知识点归纳
2019高二数学直线与圆知识点归纳为大家提供的高二数学直线与圆知识点归纳，是大家进行高二数学学习和复习阶段非常有价值的学习资料，希望大家好好利用，也希望大家在其他科目的学习上也能学好总结各科目知识点。
一、直线与圆：
1、直线的倾斜角的范围是
在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。
当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0;
2、斜率：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率k=tan.
过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的斜率k=( y2-y1)/(x2-x1)，另外切线的斜率用求导的方法。
3、直线方程：⑴点斜式：直线过点斜率为，则直线方程为 ,
⑵斜截式：直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为
4、，,① ∥ , ; ② .
直线与直线的位置关系：
(1)平行 A1/A2=B1/B2 注意检验(2)垂直 A1A2+B1B2=0
5、点到直线的距离公式 ;
两条平行线与的距离是
6、圆的标准方程：.⑵圆的一般方程：
注意能将标准方程化为一般方程
7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.
8、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.① 相离
② 相切③ 相交
9、解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形) 直线与圆相交所得弦长
以上就是小编为大家整理的高二数学直线与圆知识点归纳。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------2019届高考总复习基础知识：直线与圆直线与圆一、选择填空题1.设 k1， f(x)=k(x－1)(xR) . 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=f(x)的图象与 x轴交于 A 点，它的反函数 y=f －1(x)的图象与 y 轴交于 B 点，并且这两个函数的图象交于 P 点。
已知四边形 OAPB 的面积是3，则 k 等于【】(A)3 (B)32 (C)43 (D)65 【答案】 B。
【考点】反函数。
【分析】根据题意画出图形，如图。
∵互为反函数的两个函数的图象关于 y=x 对称，这两个函数的图象交于 P 点必在直线 y=x 上，且 A， B 两点关于 y=x 对称。
ABOP。
四边形 OAPB 的面积=12∙AB∙OP=12 OP32。
OP3 2。
P（3， 3），代入 f（x） =k（x－1）得：k=32 。
故选 B。
2.以点(1， 2)为圆心，与直线 4x＋3y－35=0 相切的圆的方程是▲.【答案】22x 1y225（）（）。
【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离。
1/ 13【分析】求出圆心到直线 4x＋3y－35=0 的距离，即圆的半径；由圆的标准方程求得圆的方程：∵圆以点（1， 2）为圆心，与直线 4x＋3y－35=0 相切，圆心到直线的距离等于半径，即：224635543。
所求圆的标准方程：22x 1y225（）（）。
3.圆1) 3() 1(22yx的切线方程中有一个是【】（A）x－y＝0 （B） x＋y＝0 （C） x＝0 （D） y＝0【答案】 C。
【考点】圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件。
【分析】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径； (2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。
设直线0ax+by=22(1)(3)1xy与相切，则|3 |12ab，由排除法，故选 C。
4. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0, ),B( ,0),C( ,0)abc，点 P(0, ) p 在线段 AO 上的一点（异于端点），这里pcba,,,均为非零实数，设直线BP,CP 分别与边 AC， AB 交于点 E， F，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111yapxcb，请你完成直线 OF 的方程：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ （▲）011yapx。
【答案】11cb。
【考点】直线的一般式方程，归纳推理。
【分析】由对称性可猜想填11cb。
事实上，由截距式可得直线 AB：1xyba，直线 CP ：1xycp ，两式相减得11110xybcpa，显然直线 AB 与CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程。
5.在平面直角坐标系 xO y 中，已知圆422yx上有且仅有四个点到直线1250xyc的距离为 1，则实数c 的取值范围是▲ [来源【答案】（－13， 13）。
【考点】直线与圆的位置关系。
【分析】求出圆心和半径，圆心到直线的距离小于半径和 1 的差即可：由422 yx得圆半径为 2。
由圆心（0， 0）到直线1250xyc的距离小于 1，得22| |c| |c113125， c 的取值范围是（－13， 13）。
ABCxyPOFE6.设集合222A22mx,y |(x)ym ,x,y R,B221x,y | m x ym,x,y R3/ 13, 若 AB, 则实数m 的取值范围是▲ 【答案】1 22,2。
【考点】集合概念和运算，线性规划，直线的斜率，两直线平行关系，点到直线的距离，圆的方程，直线与圆的位置关系，含参数分类讨论，解不等式。
【分析】由 AB, 得， A， ,22mm 即21m或0m。
当0m时，集合 A 是以（2， 0）为圆心，以 m 为半径的圆，集合 B 是在两条平行线之间。
∵ 圆心到两直线的距离分别为mmm22222，mmm2222122，圆心到两直线的距离都大于圆的半径 m ，即 AB，与已知 AB不符，此时无解。
当21m时，集合 A 是以（2， 0）为圆心，以2m和 m 为半径的圆环，集合 B 是在两条平行线之间。
只要圆心到两直线的距离222mm或2212mm即可，解得2222m或221221m。
实数m 的取值范围是12, 22。
7. 在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是▲．【答案】43。
【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 【解析】∵圆 C的方程可化为：2241xy，圆 C 的圆心为 (4,0) ，半径为 1。
∵由题意，直线2ykx 上至少存在一点00(,2)A x kx ，以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆C 有公共点；存在0xR，使得1 1AC 成立，即min2AC 。
∵minAC即为点 C 到直线2ykx的距离2421kk，24221kk，解得403k。
k 的最大值是43。
8.已知正数a b c，，满足：4ln53lnbcaacccacb，，则ba的取值范围是▲．【答案】 7e ，。
【考点】可行域。
【解析】条件4ln53lnbcaacccacb，可化为：354acabccabccbec。
设==abx y，cc ，则题目转化为：已知 x y，满足35400xxyxyyexy ，，求yx 的取值范围。
作出（ x y，）所在平面区域（如图）。
求出 =xy e 的切线的斜率e ，设过切点00P xy，的切线为=0y exm m，则00000==yexmmexxx，要使它最小，须=0m。
5/ 13yx的最小值在00P xy，处，为 e 。
此时，点00P xy，在 =xy e 上 , A B 之间。
当（ x y，）对应点 C 时， =45 =20 5y=7=7=534 =20 12yyxxyyxyxxx， yx的最大值在C 处，为 7。
yx的取值范围为 7e，，即ba的取值范围是1.（江苏2005 年 12 分）如图，圆 O1与圆 O2的半径都是 1，12O O4，过动点P 分别作圆 O1.圆 O2的切线 PM、 PN（M.N 分别为切点），使得PM2PN试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程【答案】解：以 O1O2的中点 O 为原点， O1O2所在直线为 x轴，建立如图所示平面直角坐标系。
则 O1（－2， 0）， O2（2， 0），由已知：PM2PN，即ＰＭ２＝２ＰＮ２，∵两圆的半径都为1，2122PO12(PO1)，设P, x y ，则222221221xyxy，即33) 6(22yx。
所求轨迹方程为：33) 6(22yx（或031222xyx）。
【考点】点与圆的位置关系，勾股定理，两点间距离公式。
【分析】建立直角坐标系，设 P 点坐标，列方程，化简，即可得到结果。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 2.（江苏 2007 年 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C(0, ) c 任作一直线，与抛物线2yx 相交于 AB 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线 : l yc交于 P， Q，（1）若OA OB2，求c 的值；（5 分）（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5 分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
（4 分）【答案】解：（1）设过 C 点的直线为 ykxc，20xkxc c，即20xkxc 。
设A1122,,B,x yx y ，OA=11,x y ，22OB,x y ，∵ OA OB2，12122x xy y，即12122x xkxckxc ，221212122x xk x xkc xxc。
PMNO1O2Oyx222ck ckc kc ，即220cc 。
21cc 舍去。
（2）设过 Q 的切线为111yyk xx ，由2yx得/2yx， 112kx。
2211111222yx xxyx xx ，它与yc 的交点为M11,22xccx。
又21212P,,222 2xxyyk kc，7/ 13Q,2kc。
∵12x xc， 21cxx。
M12,2,22xxkcc。
点 M 和点 Q 重合，即 QA 为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立。
由（2）可知Q,2kc，∵PQ x 轴，P,2Pky。
∵1222xxk， P 为 AB 的中点。
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，平面向量数量积的运算。
【分析】（1）设过 C 点的直线的方程，与抛物线方程联立设出 A， B 的坐标则， OA和 OB可分别表示出来，根据OA OB2得222ck ckc kc，求得 c。
（2）设过 Q 的切线方程，通过对抛物线方程求导求得切线的斜率，从而可表示出切线方程求得与 yc的交点为 M 的坐标，从而根据 P 为线段 AB 的中点，求得 Q 点的坐标，根据12x xc 可表示出 M 的坐标，判断出以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。
（3）根据（2）可知点 Q 的坐标，根据 PQ x 轴，推断出点 P 的坐标，从而求得1222xxk，判断出 P 为 AB 的中点。
3. （江苏 2008 年 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数2( )f x2xx b（ x R ）与两坐标轴有三个交点．经---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 过三个交点的圆记为C ．（1）求实数 b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．【答案】解：（1）令 x ＝0，得抛物线与 y 轴交点是（0， b ）。