两角和与差及二倍角公式定理讲义,例题含规范标准答案
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差、二倍角的公式(一)
05-02 两角和与差、二倍角的公式（一）点一点——明确目标掌握两角和与差的三角函数公式及其推导方法，能熟练应用公式进行求值、化简、证明.做一做——热身适应1.︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是 .解析：原式=︒︒-︒-︒70sin 20sin 2030cos 2）（=︒︒-︒⋅︒+︒⋅︒70sin 20sin 20sin 30sin 20cos 30cos 2）（=︒︒20cos 20cos 3=3.答案：32.已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），sin （α+β）=6533，cos β=－135，则sin α=_______.解析：由0＜α＜2π，2π＜β＜π，得2π＜α+β＜2π3. 故由sin （α+β）=6533，得cos （α+β）=－6556. 由cos β=－135，得sin β=1312. ∴sin α=sin ［（α+β）－β］=sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=6533²（－135）－（－6556）²1312=－845507.答案：－8455073.（2004年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－21 B.21C.－23D.23解析：原式=sin17°²（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=21. 答案：B4.（2005年春季北京，7）在△ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析：由2sin A cos B =sin C 知2sin A cos B =sin （A +B ）， ∴2sin A cos B =sin A cos B +cos A sin B . ∴cos A sin B －sin A cos B =0.∴sin （B －A ）=0.∴B =A . 答案：B理一理——疑难要点1.C （α+β）的推导角α的始边为Ox ，交单位圆于P 1，终边OP 2交单位圆于P 2，角β的始边为OP 2，终边交单位圆于P 3，角－β的始边为Ox ，终边交单位圆于P 4，由|31P P |=|42P P |，得［cos （α+β）－1］2+sin 2（α+β）=［cos （－β）－cos α］2+［sin （－β）－sin α］2.∴cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β. 2.S （α±β）、C （α－β）、T （α±β）以及推导线索（1）在C （α+β）中以－β代β即可得到C （α－β）. （2）利用cos （2π－α）=sin α即可得到S （α+β）；再以－β代β即可得到S （α－β）. （3）利用tan α=ααcos sin 即可得到T （α±β）. 说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.应用公式注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.拨一拨——思路方法【例1】 设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）.剖析：2βα+=（α－2β）－（2α－β）.依上述角之间的关系便可求之. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π， ∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π. 故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954.由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos （2βα+）=cos ［（α－2β）－（2α－β）］= (2757)∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=…=－729239.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.【例2】[2006年上海文,17]已知α是第一象限的角，且5cos 13α=，求()sin 4cos 24πααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值。
两角和与差及其二倍角公式知识点及典学生用
两角和与差及其二倍角公式知识点及典例1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝； C(α＋β)：cos(α＋β)＝；S(α＋β)：sin(α＋β)＝； S(α－β)：sin(α－β)＝；T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝；2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝； 2T α：tan2α＝；2C α：cos2α＝＝＝；2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝； 2T α：tan2α＝；2C α：cos2α＝＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为: tan α±tan β=_____________； tan αtan β= =. 1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、711B 、-713C 、713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－16654、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B.3C ．2 D ．1例1求[2sin 50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒-例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．变式3：已知tan α= 17，tan β= 13，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值.例4求函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间？变式4（1）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ；（2）若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.1、下列各式中，值为12的是 （ ）A 、1515sin cosB 、221212cos sin ππ- C 、22251225tan .tan .- D 2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件3、已知3sin 5α=,tan 0α<则tan()4πα-= . 4、=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 32225、2sin()2sin()cos()333x x x πππ++---=______________.6、0000cos(27)cos(18)sin(18)sin(27)x x x x +---+=7、若sin α=sin β=,αβ都为锐角,则αβ+= 8、在△ABC 中，已知tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根，则tan C 等于9、110sin - ；10、︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2= 11、(1tan 22)(1tan 23)︒︒++=12、)20tan 10(tan 320tan 10tan ︒+︒+︒︒=13、（福建理17）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．求角C 的大小； 14、已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(1)求α2tan 的值.（2）求β.15、如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B (1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.。
两角和差及二倍角公式讲义2
１两角和与差及二倍角公式一、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。
sin 2α= ；cos 2α= = = tan 2α= 。
3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式sin cos y a x b x =+=22sin()a b x ϕ++，（其中,a b 不能同时为0）证明：222222(sin cos )sin cos a b a b x x a ba by x x ++++=+=22(cos sin sin cos )a b x x ϕϕ=++ 22sin()a b x ϕ=++其中，22cos a a bϕ=+，22sin b a bϕ=+，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。
5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=22sin()a b x ϕ++，（其中,a b 不能同时为0）２1、求值：（1）15cos（2） 20802080sin sin cos cos +（3）1013010130sin sin cos cos +（4）cos105 ° （5）sin75°(6) 15cos 15sin （7） 75sin 212-（8）8sin8cos 22ππ-（9）cos75°cos105°＋sin75°sin105°（10）29912991sinsincoscos-（11）sin72cos42cos72sin42︒︒-︒︒（12）5.22tan15.22tan22-３４2. （1）已知sin θ＝1715 ，且θ为第二象限角，求cos （θ－3）的值．（2）已知sin （30°＋α）＝53，60°＜α＜150°，求cos α． 3. 化简（1）cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．（2）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．５4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+ 的值.5. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值6、（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。
(完整版)专题三：两角和差公式、二倍角公式
暑期培训专题三两角和差公式、二倍角公式1. 两角和与两角差公式： (2) sin( a + 3 )=(4) sin( a - 3 )=(6) tan( a - 3 )=2. 倍角公式： (1) sin2 a = ____________________________ :(2) COS2 a = _____________ = ________ (3) tan2 a =-,试求：(1) cos( ) ； (2) tan( ).5 4 3变式 1 cos75O =__________________________o2. tan 105 = ________________________54 3. 在△ ABC 中，已知 cosA =, cosB =，求 cosC 的值1354. △ ABC 不 是直角三角形，求证：tan A ta nB ta nC tan A?ta nB?ta nC1例 2、①已知 sin( + ) =, sin(2(1 ) COS ( a + 3 )= ______ (3)COS ( a - 3 )= _________(5) tan( a + 3 )=降幕公式：sin 2a2cos a = ________________;sin cos = ______例1设Q ),若sin)=—，求-tan—的值10 tan已知 sin +sin =3cos +cos—，求 cos(52变式(1)、( 07 福建)sin 15°cos75° cos15o sin105o例5、求证： cosx+sinx= ■, 2 cos(x)4二倍角公式应用：11、（ 08 浙江）若 sin （— ）—,贝U cos2 _____________________2 5(2) si n17 cos47sin 73 cos43 =例3.已知3■ ?, cos()44 44）的值.1 tan15 sin(—4tan1513’求 sin( +变式：已知壬 V aV, cos ( a — 3)=12 , sin ( a + 3)=—-，求 sin2 a 的值. 135例 4、tan10 tan 20 , 3(tan10 tan20 ) = __________变式〔、已知tan ,tan 是方程x 2 5x0的两个实根，求tan （ ）的值。
两角和与差及二倍角三角函数公式
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质
第十九讲两角和与差及二倍角公式
第十九讲两角和与差及二倍角公式两角和与差及二倍角公式是初等数学中常用的一类基本公式，它们主要用于解决角度之间的关系和计算问题。
掌握了这些公式，可以方便地计算出两个角的和与差，以及一个角的二倍角。
一、两角和与差公式1.两角和公式sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)2.两角差公式sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)1.正弦sin2A = 2sinAcosA2.余弦cos2A = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)3.正切tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2(A))这些公式的推导可以通过三角函数的定义和相关三角恒等式进行推导，具体推导过程可以参考相关数学书籍。
而在解题时，我们通常是根据已知条件，利用这些公式来求解出未知角度的值。
例如，如果已知sinA = 1/2，cosB = 3/5，要求求出sin(A+B)。
根据两角和公式sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB，可以将已知值代入计算，得到：sin(A+B) = (1/2)(3/5) + (1/2)(4/5) = 3/10 + 4/10 = 7/10同样地，利用这些公式还可以解决一些复杂的几何问题。
例如，已知两直线的夹角为α，要求求出这两条直线的切线之间的夹角β。
根据切线的几何定义，可以知道tanβ = tan(α+90) = -1/tan(α)。
因此，利用刚才提到的两角和公式中的tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)，可以直接计算出tanβ的值。
两角和与差的公式与二倍角公式
两角和与差的公式与二倍角公式1.两角和的公式：当两角A和B的和为角C时，我们有以下公式：sin(C) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B)cos(C) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)tan(C) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这些公式可以简单地通过将三角函数的和角公式代入得到。
2.两角差的公式：当两角A和B的差为角C时，我们有以下公式：sin(C) = sin(A) * cos(B) - cos(A) * sin(B)cos(C) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)tan(C) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A) * tan(B))同样，这些公式可以通过将三角函数的差角公式代入得到。
二倍角公式：1. sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A)这个公式表示正弦函数的两倍角，可以通过将正弦函数的和角公式中A与B都设为A得到。
sin(2A) = sin(A + A) = sin(A) * cos(A) + cos(A) * sin(A) = 2 * sin(A) * cos(A)2. cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)这个公式表示余弦函数的两倍角，可以通过将余弦函数的差角公式中A与B都设为A得到。
cos(2A) = cos(A - A) = cos(A) * cos(A) + sin(A) * sin(A) = cos^2(A) - sin^2(A)3. tan(2A) = (2 * tan(A)) / (1 - tan^2(A))这个公式表示正切函数的两倍角，由正切函数的和角公式和差角公式推导而来。
我们有 tan(A + A) = (tan(A) + tan(A)) / (1 - tan(A) * tan(A))代入 tan(2A) 和进行简化得到：tan(2A) = (2 * tan(A)) / (1 - tan^2(A))这些公式在解决各种三角函数相关的问题中非常有用。
5.两角和与差、二倍角公式
5.两角和与差、二倍角公式一、相关概念及知识点 1.两角和与差的三角函数()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαs in c o sc o s s in s in -=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαs in s in c o s c o s c o s+=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin =22222cos sin12sin 2cos 11tan cos22tan tan2αααααααα-=-=--==以下公式不作要求 3. 半角公式2cos 12sin αα-±=2c o s 12c o s αα+±=t a n 2α=ααααs in c o s 1c o s 1s in -=+4. 万能公式：22tan 2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n 2c o s 1t a n 2ααα-=+22t a n 2t a n 1t a n 2ααα=-5. 积化和差：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21c o s sin ()()[]βαβαβα--+=s in s in 21s in c o s ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=c o s c o s 21s in s in 6. 和差化积：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2c o s 2s in 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2s in 2c o s 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2cos 2cos 2cos cos y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2s in 2s in 2c o s c o s y x y x y x重要结论：1．sin α±cos α)4πα±．sin()2.tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ±±=±=3．a sin α＋b cos α（α＋φ（α－φ1），． 4．tan α＋cot α＝sec α·csc α＝2sin 2α． 5．tan α－cot α＝－2ctg2α．6．cot α±cot β＝sin()sin sin βααβ±． 7．(sin α±cos α)2＝1±sin2α.8．21cos sin 22αα-=. 9．21cos cos 22αα+= .10.αααααcos3cos 43cos ,sin 4sin 33sin 33-=-= 11.1tan tan().1tan 4απαα±=± 二、重点难点两角和与差、二倍角公式三、课前预习1、下列各式中，值为12的是 （ ） A 、1515sin cosB 、221212cossin ππ- C 、22251225tan .tan .-D2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 3、若02πβα<<<且45513cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是（ ） A 、6365 B 、6365- C 、3365 D 、5665或1365-4、已知,αβ为锐角且cos αβ==，则αβ+的值等于＿＿＿＿。
三角函数两角和差及二倍角公式
三角函数两角和差及二倍角公式一、三角函数的两角和差公式对于任意两个角A和B，我们定义它们的和角为C=A+B，差角为D=A-B。
三角函数的两角和差公式能够将C和D的三角函数表示成A和B的三角函数。
1.两角和公式sin(C) = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(C) = cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(C) = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之和。
2.两角差公式sin(D) = sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(D) = cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(D) = tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之差。
二、三角函数的二倍角公式对于角A，我们定义它的二倍角为B=2A。
三角函数的二倍角公式能够将B的三角函数表示成A的三角函数。
1.二倍角正弦公式sin(B) = sin(2A) = 2sinAcosA这个公式可以用来计算角A的二倍角的正弦。
2.二倍角余弦公式cos(B) = cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)这个公式可以用来计算角A的二倍角的余弦。
3.二倍角正切公式tan(B) = tan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2(A))这个公式可以用来计算角A的二倍角的正切。
三、证明示例我们可以通过证明示例来演示三角函数的两角和差及二倍角公式。
示例1：证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB证明：由于正弦函数的定义，我们有：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB因此，得证。
三角函数两角和差和倍角公式
一、学习目标：（1）掌握两角和与差，二倍角的正弦、余弦和正切公式；（2）能正确运用公式，以角、名、次、形为切入点进行简单的三角函数式的化简、求值和证明. 二、知识回顾： 1、两角和差的三角函数()sin αβ±＝_____________________________()cos αβ±＝___________________________ ()tan αβ±＝_____________________________注：（1）sin cos αα±=_________________________1tan 1tan αα±=_________________________ tan tan αβ±=________________________________（2）辅助角公式：sin cos a x b x +＝___________（其中sin ________cos ________ϕϕ==） 2、二倍角的三角函数sin 2α＝__________________ cos2α＝____________＝_______________＝_______________tan 2α＝_____________________________,()242k k k Z ππαπαπ⎛⎫≠+≠+∈ ⎪⎝⎭注：降幂公式：2sin α＝__________________ 2cos α＝____________________ 三、例题精析： 例1、（1）已知)23,(,135cos ),,2(,54sin ππββππαα∈-=∈=，则cos()αβ+=________；cos()αβ-=____________．（2）已知53sin ),,2(=∈αππα，则)4tan(πα+等于 ． （3）若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 ．例2、（1）︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为 ．（2）若m =---αβααβαsin )cos(cos )sin(，且β为第三象限角，则βcos 的值为 ．（3）=︒+︒15cos 15sin ．（4）1tan151tan15+︒-︒= ．（5）tan10tan 50tan 50︒+︒+︒︒= ．例3、1、（1）=︒+︒+︒+︒+)28tan 1)(27tan 1)(18tan 1)(17tan 1( ________ ． （2）已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值.（3）已知tan()2tan αββ+=，求证：3sin sin(2)ααβ=+.2、（1）求值：sin 40(tan10︒︒.（2(1sin cos )(sincos ))θθθθθπ++-<<.（4）化简：22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-3、（1）若23177sin 22cos cos ,451241tan x x x x x πππ+⎛⎫+=<< ⎪-⎝⎭，求的值.（2）若1tan 31tan αα+=+-1sin 2cos 2αα-的值.（3）如果21)sin(=β+α，31)sin(=β-α，求tan tan αβ的值.（4）已知sin sin cos cos a b αβαβ+=+=，(0)ab ≠，求2-tan 2αβ.4、是否存在锐角βα,，使得 ①322πβα=+；②32tan 2tan -=βα同时成立若存在，求出βα, 的值；若不存在，请说明理由.四、反馈训练： 1、设)2,0(πα∈，若53sin =α，则)4cos(2πα+等于 ． 2、求值：（1）sin15cos15︒︒=__________； （2）22cos112π-=__________；（3）2tan 22.51tan 22.5︒=-︒_________；（4=________；（5）cos36cos72︒︒= ____ ．3、如果21)4tan(,43)tan(=-=+πββα，那么)4tan(πα+的值等于 ． 4、已知x x 2sin ,31)4sin(则=-π的值为 ．5、如果θ+=θcos 1sin 2 ，则2tan θ= ．6、求值：（1）()sin 501︒+︒ （2）sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒︒-︒︒7、化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 8、证明：x x x x x tan )2tan tan 1(cos 22sin =+五、课堂小结： 附【高考要求】A 基础训练1、若α是第四象限角，则πα-是第 ____ 象限角，2πα-是第 ____ 象限角.2、（1）11tan tan ,73,,αβαβ==若为锐角，2αβ+=则 ． （2）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ,()54cos -=-x π，则=x 2tan ．（3）若54cos -=α，23παπ<<，则=2cos α． （4）△ABC 中，若，，135cos 54cos ==B A 则cosC 的值是__ ． 3、（1）︒︒+︒︒158sin 203sin 22cos 113sin 的值为 ． （2）12cos312sinππ-=y 的值是 ．（3）若2tan 1tan 1=+-AA，则)45tan(A -︒等于 ． （4＝________.4、化简：（1）125sin12sinππ= ．（2）212sin 75-︒= ．（3）θsin 1+= ___ ；（4）αcos 1+=_________.5、（1）若81cos sin =x x ，且24xx <<π，则x x sin cos -= ．（2）已知2sin cos 5θθ⋅=，cos θ=-，则sin cos θθ+的值是 ． （3）已知135)4sin(=-x π，40π<<x ，求)4cos(2cos x x +π．6、（1）已知βαβαα,,53)cos(,54sin -=+=都是第一象限的角，则βsin =__________（2）若21tan(),tan()544παββ+=-=,则tan()4πα+=____. （3）已知),2(,61)4sin()4sin(ππααπαπ∈=-+，求α4sin ．（4）已知,53)sin(,1312)cos(-=+=-βαβα且432παβπ<<<，求α2sin 的值.（5）2)tan(-=β+α，21)tan(=β-α，求βα2sin 2sin 之值.7、（1）8cos 16cos 32cos 32sin2ππππ= . （2）︒︒-︒+︒70tan 50tan 350tan 70tan 的值为 .（3）tan10tan 20tan 20)︒⋅︒+︒+︒＝ . （4）在△ABC 中，若角60B =︒，则2tan 2tan 32tan 2tanCA C A ++= . （5）若34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--的值是 . 8、求值（1）cos cos(120)cos(120)A A A +︒-+︒+（2）sin15cos15sin15cos15︒-︒︒+︒（3）1cos50cos 40+︒︒（4）︒-︒︒-︒+︒20cos 180cos 20cos )10tan 31(50sin（5）.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒（6）已知：tan ,514=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a π求a a a 2cos 1sin 2sin 2--的值.9、求证：sin(2)sin 2cos()sin sin αββαβαα+-+=10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐 角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B的横坐标分别为552,102． （1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值．B 能力提高11、（1）设)14cos 45sin 14sin 45(cos 20000+⋅=a ，()000016cos 45cos 16sin 45sin 2+⋅=b ，26=c ，则a 、b 、c 的大小关系为 . （2）如果532cos =x ，那么sin 4x ＋cos 4x = . 12、（1）若sin cos 1αβ=-，则sin()αβ+＝_____________. （2）sin cos 1,sin cos ()nnx x x x n +=+∈Z 若那么的值_______. 13、（1）在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是____________三角形.（2）关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是______三角形.14、（1）已知βαtan ,tan 为方程0522=-+x x 的两根，=++)cos()sin(βαβα .（2）若tan ,tan()4πθθ-是方程20x px q -+=的两个根，则,p q 的关系是__________.（3）若βαtan ,tan 是方程22360x x +-=的两个实根，则)cos()cos()sin(βαβαβα+--+的值为 ______ .（4）设tan α，tan β是一元二次方程： x 2＋33x ＋4=0的两个实数根，并且－2π＜α＜2π，－2π＜β＜2π求β+α的值.（5）已知),,0(,πβα∈且βαtan ,tan 是方程0652=+-x x 的两 根.（1）求βα+的值；（2）求)cos(βα-的值.15、（1）8cos(2)5cos 0αββ++=条件“”是13tan()tan 3αβα+⋅=“”的________________条件. （2）已知8cos(2)5cos 0αββ++=，且cos()cos 0αβα+≠，则tan()tan αβα+＝____________. （3）已知()()44cos cos 55αβαβ+=-=-，，3222ππαβπαβπ<+<<-<且，，分别求βα2cos 2cos 和的值.16、（1）已知91sin sin sin =︒++βα，091cos cos cos =︒++βα，则）（βα-cos 等于________. （2）已知α、β是锐角且223sin 2sin 1,αβ+=3sin 22sin 2αβ=，求证：22π=β+α.。
高一-三角函数的和差公式与二倍角 含答案
课程主题： 三角函数的和差公式与二倍角教学内容知识精讲知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)()βαtan tan 1∙ ； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛±4πa .4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．例题精讲题型1：三角函数的给值求值例1.已知0β<<344παπ<<，335cos(),sin()45413παπβ-=+=，求的sin(α＋β)的值． 分析：比较所要求的角和已知角，可以发现3()()()442πππβααβ+--=++或由cos()sin 4πα-=()4πα+，再由3()()()44παπβπαβ+++=++求解. 解（一）：33,,0444424ππππαππαα<<∴-<-<--<-<，又34cos(),sin().4545ππαα-=∴-=-33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)=3cos[()]cos[()()]244ππαβπβα-++=-+--33cos()cos()sin()sin()4444πππβαπβα=+--+-1235456()()13513565=--⨯-⨯-=.解（二）：cos()sin 4πα-=()4πα+35=，4,cos()2445πππαπα<+<∴+=-.33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)333sin[()()][sin()cos()cos()sin()]444444πππαπβαπβαπβ=-+++=-+++++3124556[()()]51351365=-⨯-+-⨯=.解题思路：我们在计算、化简或证明一些三角函数式时，充分所求的角和已知角之间的联系，如：()()()αβαββαβαα-+=-++=,2，33ππαα-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，244παπαπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+44πββαπα，这一点非常重要它可以有效的帮助我们解题，更重要的是它可以让许多问题变得非常简单.课堂检测如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于 。
两角和与差的三角函数、二倍角公式
tan β＝－17＞－1，所以 0＜α＜π4，34π＜β＜π，则 0＜2α＜π2，－π＜－β＜－34π，－π＜
2α－β＜－π4，所以 2α－β＝－34π.
总结 提炼
1．解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有
两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个 时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角”．
A．－2245
B．2245
C．274
D．－274
【解析】因为－π3＜θ＜π6，所以 0＜θ＋π3＜π2，所以 cos θ＋π3＝35，故 tan θ＋π3＝43，
tan
2θ＋π6 ＝ tan
2θ＋3π－π2 ＝
sin cos
2θ＋π3－π2 2θ＋π3－π2
＝
－
cos sin
2θ＋π3 2θ＋π3
＝
2 2
C．tan 15°＝2－ 3
D．12sin 40°＋ 23cos 40°＝sin 70°
【解析】sin 2＋π2＝cos 2，故 A 正确； cos 73°·cos 28°＋sin 73°sin 28°＝cos (73°－28°)＝cos
45°＝
22，故
B
正确；
tan 15°＝tan (60°－45°)＝1＋3－13＝2－ 3，故 C 正确；
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β
＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等．
研题型 能力养成 举题说法
1．(2023·梅州一模)已知 sin α＋π6＝13，则 cos 23π－2α＝
第6讲 和差公式与二倍角公式-简单难度-讲义
三角和差公式与二倍角公式知识讲解一、两角和差公式1．两角和与差的余弦公式()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ--=+∶ ()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-∶教师内容：证法一：如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与β-，使角α的始边为Ox ，交O ⊙于点1P ，终边交O ⊙于点2P ；角β的始 边为2OP ，终边交O ⊙于点3P ，角β-的始边为1OP ，终边交O ⊙于点 4P ．则()110P ，，()2cos sin P αα，，()()()3cos sin P αβαβ++，， ()()()4cos sin P ββ--，．由1324PP P P =及两点间的距离公式，得()()22cos 1sin αβαβ+-++⎡⎤⎣⎦()()22cos cos sin sin βαβα=--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦展开并整理，得()()22cos 22cos cos sin sin αβαβαβ-+=--∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=---=+⎡⎤⎣⎦． 证法二：以坐标原点为中心作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于 点P ，Q ，则()cos sin P αα，，()cos sin Q ββ，，1OP OQ ==u u u r u u u r． 因此存在k ∈Z ，使2πOP OQ k αβ-=〈〉+u u u r u u u r ，或2πOP OQ k αβ-=-〈〉+u u u r u u u r，成立． 因为()()cos sin cos sin cos cos sin sin OP OQ ααββαβαβ⋅=⋅=+u u u r u u u r，，． ()cos cos OP OQ OP OQ OP OQ αβ⋅=⋅⋅〈〉=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，．所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦．2．两角和与差的正弦公式()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ--=-∶ ()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+∶教师内容：()()ππsin cos cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-++=-+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππcos cos sin sin 22αβαβ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβ-=+-=-+-⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=-．3．两角和与差的正切公式()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅∶． ()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅∶．教师内容：()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-把后面一个分式的分子、分母分别除以()cos cos cos cos 0,αβαβ≠得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-把公式中的β换为β-，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+．二、二倍角公式1．二倍角的正弦、余弦、正切2S :sin 22sin cos αααα=．22222C :cos2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-．222tan T :tan 21tan αααα=-． 2． 公式的逆向变换及常用变形1sin cos sin 22ααα=．221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，． ()2221sin 2sin cos 2sin cos sin cos ααααααα±=+±=±； ()()cos2cos sin cos sin ααααα=+-．教师内容：由公式的变形221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，，还可以得到21cos2tan 1cos2ααα-=+，由这组公式我们可以由α的三角函数值，结合α角的范围得到cossintan222ααα，，，这组公式又被称为半角公式．典例精讲一．选择题（共16小题）1．（2017秋•湖北期末）cos70°cos10°+sin10°cos20°=（）A．12B．√22C．√32D．1【分析】诱导公式化简在结合和与差公式即可求解．【解答】解：cos70°=cos（90°﹣20°）=sin20°．那么cos70°cos10°+sin10°cos20°=sin20°cos10°+sin10°cos20°=sin（20°+10°）=sin30°=1 2．故选：A．2．（2017秋•上期末）已知sinα=﹣2cosα，则2sinαcosα﹣cos2α=（）A．﹣2B．﹣1C．−12D．2【分析】根据同角三角函数关系式，弦化切的思想，入求值即可．【解答】解：已知sinα=﹣2cosα，则tanα=sinαcosα=−2．则2sinαcosα﹣cos2α=2sinαcosα−cos 2αsinα+cosα=2tanα−1tanα+1=﹣1．故选：B．3．（2018•北京模拟）在sin50°，﹣sin50°，sin40°，﹣sin40°四个数中，与sin130°相等的是（）A．sin50°B．﹣sin50°C．sin40°D．﹣sin40°【分析】利用诱导公式化简可得答案．【解答】解：由sin130°=sin（180°﹣50°）=sin50°．∴与sin130°相等的是sin50°故选：A．4．（2018春•清远期末）已知y=tanπ（π是圆周率），则y的值是（）A．正数B．负数C．0D．不存在【分析】根据正切函数的公式进行求解即可．【解答】解：y=tanπ=tan0=0，故选：C．5．（2018春•嘉兴期末）sin 23π=（）A．√32B．−√32C．12D．−12【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：sin23π=sin（π−π3）=sinπ3=√3 2．故选：A．6．（2017秋•西湖区校级期末）已知tanα=2，则sinα+cosα2sinα−cosα=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】弦化切，即可求解．【解答】解：已知tanα=2，由sinα+cosα2sinα−cosα=tanα+12tanα−1=2+12×2−1=1．故选：A．7．（2018春•湖南期末）已知cos α4=14，则cosα=（）A．1732B．−1732C．±1732D．−78【分析】利用倍角公式即可得出．【解答】解：∵cosα4=14，∴cosα2=2×(14)2﹣1=﹣78则cosα=2×(−78)2﹣1=1732．故选：A ．8．（2018春•黄冈期末）（sin15°+cos15°）2的值为（ ） A ．√32B ．12C ．32D ．34【分析】利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，可得结果．【解答】解：（sin15°+cos15°）2=1+2sin15°cos15°=1+sin30°=1+12=32，故选：C ．9．（2018•北京模拟）已知sinα=45，那么cos2α等于（ ）A ．−2425B ．−725 C ．725 D ．2425【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：已知sinα=45，那么cos2α=1﹣2sin 2α=1﹣2×1625=﹣725，故选：B ．10．（2018春•濂溪区校级期末）已知sin （α﹣π4）=√55，则sin2α=（ ）A ．45B ．−45C ．35D ．−35【分析】由题意利用两角差的正弦公式可得 sinα•√22﹣cosα⋅√22=√55，平方并利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．【解答】解：∵sin （α﹣π4）=√55，即 sinα•√22﹣cosα⋅√22=√55，平方可得 12﹣12sin2α=15，则sin2α=35，故选：C ．11．（2018春•宾阳县校级月考）已知α为第四象限角，sinα+cosα=√33，则cos2α=（ ）A ．﹣√53B ．﹣√59C ．√59D ．√53【分析】利用同角三角函数的基本关系求得2sinαcosα的值，可得sinα﹣cosα 的值，再利用二倍角公式求得cos2α=cos 2α﹣sin 2α 的值． 【解答】解：∵α为第四象限角，sinα+cosα=√33，∴1+2sinαcosα=13，即2sinαcosα=﹣23， ∴sinα﹣cosα=﹣√(sinα−cosα)2=﹣√1−2sinαcosα=﹣√1+23=﹣√153，∴cos2α=cos 2α﹣sin 2α=﹣（sinα+cosα）•（sinα﹣cosα）=﹣√33•（﹣√153）=√53，故选：D ．12．（2018春•兴宁区校级期中）已知sin α=25，则cos2α=（ ）A ．725B ．−725C ．1725D ．−1725【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵sin α=25，∴cos2α=1﹣2sin 2α=1﹣2×425=1725，故选：C ．13．（2018春•龙岗区期末）若sin(π−α)=13，且π2≤α≤π，则cos2α的值为（ ）A ．−79B ．−4√29C ．79D ．4√29【分析】利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角公式求得cos2α的值．【解答】解：∵sin （π﹣α）=sinα=13，且π2≤α≤π，∴cos2α=1﹣2sin 2α=79，故选：C ．14．（2017秋•马鞍山期末）设sin2α=cosα，α∈（0，π2），则tan2α的值是（ ）A ．√3B ．﹣√3C ．√33D ．﹣√33【分析】由已知条件结合二倍角的三角函数公式即可求出sinα的值，进一步求出α，然后代入tan2α计算得答案．【解答】解：∵sin2α=cosα，α∈（0，π2），∴2sinαcosα=cosα，∴sinα=12，即α=π6．则tan2α=tan π3=√3．故选：A ．15．（2018•南关区校级模拟）已知cos2xsin(x+π4)=√23，则sin2x=（ ） A ．−89B ．89C ．−1718D ．1718【分析】由题意利用两角和的正弦公式，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cos2xsin(x+π4)=√23，∴22√22(sinx+cosx)=√23， ∴cosx −sinx =13，∴√2cos(x +π4)=13，∴sin2x =−cos(2x +π2)=1−2cos 2(x +π4)=1−2×118=89，故选：B ．16．（2018•武邑县校级三模）已知sin(π6−x)=12，则sin(7π6−x)+sin 2(π3+x)=（ ） A ．14B ．34C ．−14D ．−12【分析】利用诱导公式求得sin （7π6﹣x ）的值，利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：∵已知sin(π6−x)=12，则sin(7π6−x)+sin 2(π3+x)=﹣sin （π6﹣x ）+1﹣cos 2(π3+x)=﹣12+1﹣sin 2(π6−x)=12﹣(12)2=14， 故选：A ．二．填空题（共4小题）17．（2018春•赤峰期末）计算：sin45°sin75°+sin45°sin15°= √32．【分析】直接利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：sin45°sin75°+sin45°sin15°=sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin60°=√32．故答案为：√32．18．（2018春•菏泽期中）已知tan （α+π4）=12，且﹣π2＜α＜0，则sinα= ﹣√1010．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，诱导公式和三角函数的定义求出结果．【解答】解：已知tan （α+π4）=12，且﹣π2＜α＜0，则1+tanα1−tanα=12， 解得：tanα=﹣13，所以：sinα=−√1010．故答案为：﹣√101019．（2018•黄州区校级二模）已知P （2，m ）为角α终边上一点，且tan （α+π4）=13，则sinα= −√55 ． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m 的值，可得sinα的值．【解答】解：∵P （2，m ）为角α终边上一点，∴tanα=m2，再根据tan （α+π4）=13=tanα+11−tanα=m2+11−m 2，∴m=﹣1，故x=2，y=m=﹣1，r=|OP |=√4+m 2=√5，则sinα=yr =√5=√5=﹣√55，故答案为：﹣√55．20．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=−12．【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．【解答】解：sinα+cosβ=1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=−1 2．故答案为：−12．三．解答题（共4小题）21．（2017秋•重庆期末）已知tan（π﹣a）=﹣2，α为第一象限角，求下列各式的值：（Ⅱ）cosα：（Ⅱ）sin2α+sin2α．【分析】（Ⅱ）由已知求得tanα，与平方关系联立求得cosα；（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：（Ⅱ）∵tan（π﹣α）=﹣2，∴tanα=2，联立{sinα=2cosαsin 2α+cos 2α=1，得{sinα=−2√55cosα=−√55或{sinα=2√55cosα=√55． 又α为第一象限角，∴cosα=√55： （Ⅱ）sin 2α+sin2α=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1=85． 22．（2017秋•张家界期末）已知sin α=−45，α是第四象限角． （1）求tanα和sin2α的值；（2）求tan （α−π4）的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得tanα和sin2α的值．（2）利用两角差的正切公式求得tan （α−π4）的值．【解答】解：（1）由sin α=−45，α是第四象限角，得cosα=√1−sin 2α=35， ∴tanα=sinαcosα=﹣43，sin2α=2sinα•cosα=﹣2425． （2）tan （α−π4）=tanα−11+tanα=7． 23．（2018春•遂宁期末）已知函数f （x ）=√3cosxcos （x ﹣π2）+sin 2x ﹣12． （Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π4]，f （x ）=√33，求cos2x 的值． 【分析】（Ⅱ）利用查三角恒等变换化简f （x ）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cos （2x ﹣π6）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos2x=cos [（2x ﹣π6）+π6]的值． 【解答】解：（Ⅱ）函数f （x ）=√3cosxcos （x ﹣π2）+sin 2x ﹣12=√3cosxsinx +1−cos2x 2﹣12=sin （2x ﹣π6），令2kπ﹣π2≤2x ﹣π6≤2x +π2，求得kπ﹣π6≤x ≤kπ+π3，可得函数的增区间为[kπ﹣π6，kπ+π3]，k ∈Z ． （Ⅱ）若x ∈[0，π4]，则2x ﹣π6∈[﹣π6，π3]，f （x ）=sin （2x ﹣π6）=√33，∴cos （2x ﹣π6）=√1−sin(2x −π6)2=√63， ∴cos2x=cos [（2x ﹣π6）+π6]=cos （2x ﹣π6） cos π6﹣sin （2x ﹣π6） sin π6=√63•√32﹣√33•12=√22﹣√36． 24．（2018春•七星区校级期中）已知tanα=2，求（1）sin(π+α)−cosα2cos(π+α)+sinα（2）1cos2α 【分析】（1）由题意利用诱导公式、同角三角，求得要求式子的值．（2）利用函数的基本关系、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵tanα=2，∴原式=−sinα−cosα−2sinα+sinα=−sinαcosα−cosαcosα−2sinα+sinα=−tanα−1−2tanα+tanα=32． （2）∵tanα=2，∴原式=sin 2α+cos 2αcos α−sin α=tan 2α+11−tan α=−53．。
两角和与差二倍角公式几种常见题型(超给力)
两角和与差及二倍角几种典型题型理解并记忆：两角和与差公式（6个）：二倍角公式（5个）：六四二一公式（13个）：题型一：特殊角求值例一： %习题： （1）题型二：根据两角关系求值例一：设α、β均为锐角，cos α＝35 ，cos(α+β）=1213,求cos β 例二：已知0sin 2)2sin(=++ββα 求证tan =3tan(+)&例三：求tan20°+4sin20°的值例四：）已知02sin 2sin 5=α，求)1tan()1tan(00-+αα的值习题： （2）求值： （3）已知()βαβ+=2sin sin 3 ， 求证：()αβαtan 2tan =+。
（4） /cos15sin15sin 75sin15-+1cot151tan 75+-000000sin 7cos15sin8cos 7sin15sin8+-3335,0,cos(),sin()44445413sin()πππππαβαβαβ<<<<-=+=+已知求的值（5）求20cos 20sin 10cos 2-的值。
的求值与化简例一，例二，000010cos 1)10tan 31(80sin 50sin 2+++ ；例三，（2008广西竞赛）求值：2223164sin 20sin 20cos 20-+— 习题：（6）（7）求值：()()212cos 412sin 312tan 30200--题型：连乘式求值例一：求值：248coscos cos cos 17171717ππππ：例二：求值：13sin10cos10-22sin 50sin10(13tan10)2sin 80.⎡⎤++⋅⎣⎦求值：（1）sin18o cos36o （2）（2000全国竞赛模拟）54cos 52cosππ+ （3）0cos36习题：（8）求值：0000sin10sin 30sin 50sin 70、(9) （2004湖北竞赛模拟）化简 )sin1()sin 1)(sin 1)(sin 1(3234323ππππn ++++ (10)计算：.36cos 48sec 2148tan 3︒-︒-︒题型：对偶式求值 例一：11sin sin ,cos cos ,cos()32αβαβαβ-=--=-若求例二：11cos(),cos(),tan tan 35αβαβαβ+=-=若求&例三：（2006全国竞赛模拟）cos 220o +cos 250oo cos50o习题：（11） （12）1sin cos cos sin 2αβαβ=若,求的取值范围. （13）求值：sin 217o +cos 247o +cos47o sin17o…题型：含tan tan tan tan αβαβ+与的处理策略tan17tan 433tan17tan 43++sin sin sin ,cos cos cos ,.αβγαγβαγβαβ+=-=-已知角、、足求的值例一：求值例二：(1) (2)利用上题结论《 例三：（1） （2）（2002全国竞赛训练）利用上题思想，求证：n n n n -=-+++ααααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan .例四：已知tan和)4tan(θπ-是方程02=++q px x 的两个根，证明：p q+1=0-习题：（14）求证：.112tan 312tan 18tan 18tan 3=++（15）已知tan，tan 是关于x 的一元二次方程x 2+px+2=0的两实根， 求)cos()sin(βαβα-+的值。
专题22 两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式(解析版)
类型二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
基础知识：
1．两角和与差的正切公式：tan(α±β)＝ .
2.常用和差角正切公式变形：
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；（2）tanα·tanβ＝1－ ＝ －1.
(3) ＝tan ；(4) ＝tan 。
基础题型：
1．（两角差正切公式的正用）若 ，则 =．
【答案】
【解析】 ．
2．（两角差、和正切公式的正用））tan 15°＋tan 105°等于()
A．－2 B．2＋
C．4D.
【答案】A
【解析】tan 15°＋tan 105°＝tan ＋tan ＝ ＋ ＝－2 .
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，得 ，即 ，
解得 或 （舍去），又 ．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
【答案】①.1②.
【解析】
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可.
【详解】∵ ，∴ ，∴
3.（2022·浙江卷T13）若 ，则 __________， _________．
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出 ，接下来再求 ．
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3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）
3.3 两角和与差及二倍角公式
一．【复习要求】
1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.
二、【知识回顾】
1．两角和与差的三角函数
sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；
2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。
sin2α= ；
cos2α= = =
tan 2α= 。
3．降幂公式
2sin α= ； 2
cos α= .
注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用
4．辅助角公式
证明：
)sin cos x x y x x +
=+=
sin sin cos )x x ϕϕ+
)x ϕ+
其中，cos ϕ=
sin ϕ=
，tan b
a
ϕ=
且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想
如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。
5.公式的使用技巧
（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan
12
4
π
π
==
（3）收缩代换：sin cos y x x =+
=)x ϕ+，
（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
--=
+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---
如：tan 95tan 3595tan 35-=o
o
o
o。
tan 70tan 5070tan 50+=o o o o 。
（5）角的变换（拆角与配角技巧）
22
α
α=⋅
， ()ααββ=+-， ()αββα=--， 1[()()]2
ααβαβ=
++-，
()4
4
ααπ
π
=+
-
，
()4
24π
π
π
αα+=
--，1
[()()]2
βαβαβ=+--， （6）二倍角公式的逆用及常见变形
二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。
①sin 2sin
cos
22α
α
α=；②2
2
2
2
cos cos sin 12sin 2cos 12222
α
α
α
α
α=-=-=-
③2
2tan
2tan 1tan 2
ααα=
-；④21sin 2(sin cos )ααα±=±；⑤22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=
5．三角函数式的化简
（1）化简方法：①直接应用公式进行降次、消项；②化切为弦，异名化同名，异角化同角；③ 三
角公式的逆用等。
④降幂或升幂
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；
④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
6．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换
消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变
角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的
式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。
7．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证明
根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一、转换命题等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证明
通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系。
若从结论开始，通过变形，将已知表达式代入得出结论，采用代入法；若从条件开始，化简条件，将其代入要证表达式中，通过约分抵消等消去某些项，从而得出结论，采用消参法；若这两种方法都证不出来，可采用分析法进行证明。
三．【例题精讲】 考点一、给角求值
例1. 求值：
cos 20cos10tan 702cos 40sin 20
+-o o
o o o o
例2.
求值：2
[2sin50sin10(13tan10)]2sin 80++⋅o
o
o
o
【反思归纳】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值 ②化为正负相消的项，消去求值 ③化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值。
考点二、给值求值
例3.已知tan 222,22απθπ=-<<，求
2
2cos sin 1
2
2sin()
4
θ
θπ
θ--+的值.
例4.已知3335
0,cos(),sin()4
445413
π
π
ππβααβ<<
<<
-=+=，求sin()αβ+的值
考点三、给值求角
例5.已知tan()1
1
,tan 27
αββ-=
=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值.
考点四、三角函数式的化简与证明
例6.
已知(
)1cos sin 1cos sin 1sin cos 1sin cos f x x x x x x x
x x
=
+---+
---+，且2,2
x k k Z ππ
≠+
∈
（1） 化简()f x
（2） 是否存在x ，使tan
()2
x f x ⋅与
2
1tan 2sin x
x
+相等？若存在，求出x ；若不存在，说明理由。
例7.已知5sin 3sin(2)ααβ=-，求证：tan()4tan 0αββ-+=
【练习】
1. 已知tan 2α=，则
2
sin 2cos 21cos αα
α
-=+
2. 求值：tan 20tan 60tan 60tan10tan10tan 20++=o o o o o o
3. 在ABC ∆中，已知3
cos(
)4
5
A π
+=
，则cos2A 的值为
4. （08年高考山东卷改编）已知43cos()sin 6
5π
αα-
+=
，则7sin()6
π
α+=
5. （07年高考江苏卷）若13
cos(),cos()55
αβαβ+=
-=，则tan tan αβ⋅=
6. （08年江苏卷）如图，在平面直角坐标第xOy 中，以Ox 轴为始边
作两个锐角αβ、，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为225，
， （1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值
7. 已知αβ、为锐角，向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，11(,)22
c =-r
.
(1) 若231,2a b a c -⋅=⋅=
r
r r r ,求角2βα-的值; (2) 若a b c =+r r r
,求tan α的值.
8. 若147cos ,cos()1751ααβ=
+=-,且αβ、都是锐角,求1cos 3
β= 9. (2010淮安调研,16)已知(cos ,sin )a αα=r
,(cos ,sin )b ββ=r .
(1) 若6
π
αβ-=,求a b ⋅r r 的值.
(2) 若4
,58
a b πα⋅==r r ,求tan()αβ+的值.。