理论力学第14章

W (F) 2mg 0.9 mg(0.6 0.15) 1.35mg 2
T1 0
T2
1 2
1 2m 0.92 3
2
1 2
mv 2
0.9 v
T2
5 6
mv 2
代入到 T2 T1 W (F ) 得
5mv2 01.35mg v3.98m/s 6
20
§14-4 功率 ·功率方程
一．功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力 的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。
V 1k 2
2
3. 万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置(r0 )
V
Gm1m2 r
三．有势力的功
在M1位置：V1
M0
F
dr
W10
M2位置：
M1
M1→M2： W12 W10 W20 V1 V2
M0
V2 F d r W20
M2
有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。
25
的功
M2
M2
W R dr (F1 F2 Fn )dr
M1
M1
M2
M2
M2
F1dr F2 dr Fn dr W1 W2 Wn
M1
M1
M1
即
W Wi
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
5
四．常见力的功 1．重力的功
质点：重力在三轴上的投影：
X 0, Y 0, Z mg
W F drA F 'drB F drA F drB
F d (rA rB ) F d (BA) 只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。 不可伸长的绳索内力功之和等于零。
10
六．理想约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1．光滑固定面约束
N
W
dt
作用力的功率：
N
W
dt
F dr dt
F
v
F v
力矩的功率：
N
W
dt
Mz
d
dt
Mz
Mz
n
30
功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s 。
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二．功率方程： 由 dT W 的两边同除以dt 得
dT dt
W
dt
即
dT dt
N
N
输入
N有用
N
无用
分析：起动阶段（加速）：dT
即
W
k 2
(
2 1
2 2
)
弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 变形有关，而与质点运动的路径无关。
7
3．万有引力的功
W
Gmm0
(
1 r2
1 r1
)
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。
4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功
设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 F ，计算刚体转过
一角度 时力F 所作的功。M点轨迹已知。F F Fn Fb
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱
的又一种度量。
一．质点的动能
T
1 2
mv 2
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。
二．质点系的动能
T 12mivi2
对于任一质点系：（ vi ' 为第i个质点相对质心的速度）
T
1 2
MvC2
1 2
mi
vi
'2
柯尼希定理
12
F dr Xdx Ydy Zdz)
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
M2
M2
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M1
M1
M2
F dr
（矢量式）
M1
M2
Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式）
4
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R
一．势力场 1．力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和 方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。 2．势力场： 在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于 质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。
重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。 质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力 等。
等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。
dV
V x
dx
V y
dy
V z
dz
X
V x
,
Y
V y
,
Z
V z
M io
质点系的势能： V ( x1,y1,z1,,xn ,yn ,zn ) ( X idxi Yidyi Zidzi )
Mi
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1.重力场
质点： V P(zz0)Ph
质点系： V P(zC zC0 )P h 2. 弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
12
mi
vi
2
12(mi
)v
2
1 2
Mv2
1 2
MvC2
2．定轴转动刚体 3．平面运动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
( miri2 ) 2
1 2
I z 2
T
1 2
I
P
2
（P为速度瞬心）
I P IC Md 2
1 2
I
C
2
1 2
M
(d
2
2
)
1 2
M
vC2
1 2
IC
2
13
23
二．势能
在势力场中, 质点从位置M 运动到任选位置M0, 有势力所作的
功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。
M0
M0
V F dr Xdx Ydy Zdz
M
M
M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。
Xdx Ydy Zdz dV
V V (x, y, z) 是坐标的单值连续函数。
根据动能定理，得 2Q9P l2 2 0 M
12g
2 l
3gM
2Q 9P
将
式对t 求导数，得
6gM (2Q 9P)l 2
19
3．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是 AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止 释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。
解：取整个系统为研究对象
ds
M1M
2
f
'Nds
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 N ，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
dr vCdt0 W F dr F vCdt0
(3) 滚动摩擦阻力偶m的功
若m = 常量则 W m mRs
9
五．质点系内力的功
Q)
dh dt
(v
dh dt
)
a
8(
M /RQ)g 8Q7P
17
动能定理的应用练习题
1．图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处 于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA 转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？
解：研究OA杆
W
(
F
)
P1.2
12k
§14-3 动能定理
1．质点的动能定理：
ma F
d dt
( mv
)
F
两边点乘以 dr v dt ，有
d dt
mv
vdt
F
dr
而
d dt
( mv
)v
dt
m 2
d
(v
v
)
d
(
1 2
mv2
)
因此 d (1 mv 2 ) W
2
动能定理的微分形式
将上式沿路径M1M
积分，可得
2
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
T2
1 2
I
O
A
2
1 2
Q g
v2
1 2
I
C
B
2
T1 0
1 2
P 2g
R
2
A
2
1 2
Q g
v
2
1 2
3 2
P g
R
2
B
2
v2 (8Q7P) 16g
由T2 T1 W (F)
v2 16g
(8Q
7P)0
(
M R
Q)h
v4
(M /RQ)hg 8Q7P
上式求导得：8Q 7 16g
P
2v
dv dt
(
M R
变形时所需的力。N/m , N/cm。 r0 r /r。
M2
m2
W F dr k(rl0 )r0 dr
M1
M1
r0
dr
r r
dr
1 2r
d
(r
r
)
1 2r
d
(r
2
)dr
r2
r2
W k(r l0 )dr
r1
r1
k 2
d (rl0 )2
k 2
[(r1