高等代数§1.7 多项式函数
高等代数
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积, 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个. 中较小的一个.
(
)(
x2 + 2
)
(在有理数域上) 在有理数域上)
= x 2 = x 2
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
(在实数域上) 在实数域上)
(
) ( x + 2 ) ( x 2i ) ( x +
在复数域上) 2i (在复数域上)
)
§1.5 因式分解定理
一,不可约多项式
定义: 定义: 设 p( x ) ∈ P[ x ] ,且 ( p ( x ) ) ≥ 1 ,若 p( x )
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x ) ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2, , s ; j = 1,2, , t . ) 都是不可约
多项式. 多项式 作归纳法. 对 s 作归纳法. 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
例如, 例如,若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
高等代数--第八章 多项式_OK
因此有
但是 (q(x) q(x)) (g(x)) (r(x) r(x))
矛盾。这就证明了
(g(x)) (r(x) r(x))
q(x)称为g(x)除f(x)的商，r(x)为余式
q(x) q(x),r(x) r(x)
25
例题
f 3x3 4x2 5x 6, g x2 3x 1
an ：首项系数；
n为（1）的次数，记为 ( f (x)) 。 零多项式不定义次数。
11
运算：
n
m
f (x) ai xi , g (x) bj x j
i0
j0
加法：如n≥m，为方便，在g(x)中令
，
bn bn1 bm1 0
对于加减法： f (x) g(x)
n
(ai bi )xi
p(x)|f(x). 反过来，如果p(x)|f(x),p(x)|g(x)，那 么p(x)一
定整除它们的线性组合 r(x)=f(x)-q(x)g(x)
由此可见，如果g(x),r(x)有一个最大 公因式 d(x)，那么d(x)也是f(x),g(x)的一个 最大公因式。
36
定理2 对于P[x]中任意两个多项式 f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x)， 且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个线性组合，即有P[x]中多项式u(x),v(x)使
定义4 所有系数在数域P中的多项式的全体，
称为数域P上的一元多项式环，记为P[x],
P称为P[x]的系数域
BACK
19
§3 整除的概念
以后讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环中进行。 带余除法 整除 整除的性质
20
带余除法
对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其
多项式函数的基本概念与性质分析
多项式函数的基本概念与性质分析引言：多项式函数是数学中非常重要的一类函数，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将深入研究多项式函数的基本概念与性质，并对其进行详细分析。
一、多项式函数的定义与表示：多项式函数是指由常数项、一次项、二次项等有限次幂次项组成的函数。
一般形式可以表示为f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an, an-1, ..., a1, a0为函数的系数，n为非负整数，x为自变量。
二、多项式函数的次数：多项式函数的次数指多项式最高次幂的指数。
对于f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，如果an ≠ 0，则多项式的次数为n。
如果多项式中所有系数都为0，则多项式的次数为0，这样的多项式被称为零多项式。
三、多项式函数的性质：1. 加法性质：多项式函数具有加法封闭性，即两个多项式函数的和仍然是一个多项式函数。
例如，f(x) = 3x² + 2x + 1和g(x) = 4x³ - 2x² + 5x - 1的和为h(x) = 4x³ + x² + 7x。
2. 乘法性质：多项式函数具有乘法封闭性，即两个多项式函数的乘积仍然是一个多项式函数。
例如，f(x) = 3x² + 2x + 1和g(x) = 4x³ - 2x² + 5x - 1的乘积为h(x) = 12x⁵ - 2x⁴ +21x³ + 5x² - 4x - 1。
3. 零点性质：多项式函数的零点是使得函数值为0的自变量的值。
对于高次多项式函数，其零点可能有多个。
例如，f(x) = x³ - 4x² + 4x的零点为x = 0、x = 2和x = 2。
4. 交换律与结合律：多项式函数满足加法与乘法的交换律和结合律。
即两个多项式函数的加法和乘法操作满足交换律，以及多个多项式函数的加法和乘法操作满足结合律。
第一章多项式
二、数域P上的一元多项式的运算
设
f x an x an 1 x
n n 1
a0 ai xi .
i 0 m
j 0
n
g x bm x m bm1 x m1 b0 b j x j .
是数域P上的两个多项式且设 m n.
(1) 证：若 f ( x ) 0,
2 2
则
2
x ( g ( x ) h ( x )) f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 于是 从而
( xg 2 ( x ) xh2 ( x )) ( x( g 2 ( x ) h2 ( x ))) 为奇数.
i j i 0 j 0 k 0 n m l
现证 f x g x h x f x g x h x
左边 f x g x 中s次项的系数是： ai b j
左边 f x g x h x t次项的系数是：
an x n 称为多项式f(x)的首项， an 称为首项
系数，n称为多项式f(x)的次数，记为：
f x n.
例如
f x 3x 2 2 x 1,
f x 3,
f x 2,
f x 0
注：
数域上的每一个非零多项式有一个唯一确定的次数； 首项是零次项的多项式的次数为0； 零多项式是唯一不定义次数的多项式；
f x 3 ix 5 x 2 是C上多项式。
3 1 x 3x 2 2 3 x , ax , x x 1
都不是多项式。
2 多项式相等与零多项式
多项式函数理论及基本性质分析
多项式函数理论及基本性质分析多项式函数是数学中非常重要的一种函数形式，具有广泛的应用。
它是由常数项、变量的幂次及其系数所组成的代数函数。
本文将分析多项式函数的理论基础及其基本性质，包括定义、一次多项式、二次多项式、多项式的运算法则、多项式函数图像的特点等方面。
1. 定义：多项式函数是由常数项、变量的幂次及其系数所组成的代数函数。
一般形式为P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0，其中an、an-1、...、a3、a2、a1、a0为实数或复数，n为非负整数，x为自变量。
2. 一次多项式：一次多项式是多项式函数中，最高次幂为1的情况。
一次多项式的一般形式为P(x) = ax + b，其中a和b为实数或复数，a不等于0。
一次多项式函数的图像为直线，具有常斜率。
3. 二次多项式：二次多项式是多项式函数中，最高次幂为2的情况。
二次多项式的一般形式为P(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数或复数，a不等于0。
二次多项式函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定，顶点坐标为(-b/2a, P(-b/2a))。
4. 多项式的运算法则：多项式函数具有良好的运算性质，包括加法、减法、乘法和除法的法则：- 加法和减法法则：两个多项式函数相加或相减，只需对应幂次的系数相加或相减。
- 乘法法则：两个多项式函数相乘，应用分配律展开后，对应幂次的系数相乘并相加。
- 除法法则：多项式函数除以一次多项式，可应用带余除法进行求解。
5. 多项式函数图像的特点：多项式函数的图像可以通过分析函数的次数、系数和相关性质来确定：- 多项式函数的次数决定了图像的开口和拐点的数量。
- 主项系数决定了图像的斜率，即函数递增或递减的趋势。
- 常数项决定图像与y轴的截距。
6. 零点与因式分解：多项式函数的零点是使得函数值为零的自变量值。
通过多项式函数的零点，可以进行因式分解。
高等代数 第三版§1.7 多项式函数
x 1 为 f ( x )的三重根．
ii) 若 r1 ( x ) 0, t 15 0, 即 t 15 , 4 4
则
f ( x ), f ( x ) x 1 2
此时， f ( x ) 有重根，
x 1 为 f ( x )的二重根． 2
定理8
此时对 P , 有 f ( ) c 0. 即 f ( x )有0个根.
f ( x ) n 时，由因式分解及唯一性定理，
f ( x ) 可分解成不可约多项式的乘积，
由推论， f ( x ) 的根的个数等于 f ( x ) 分解式中
一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 n.
f ( x ) x 3 3 x 2 tx 1 有重根． 例2 求 t 值，使
解：
3 2
f ( x )
15 4
f ( x)
x
3 x2 6 x t
x 3 3 x 2 tx 1
1 3
1 x 3
3x 2 3 x 2
x 3 2 x 2 1 tx 3 x 2 2 tx 1 3 x2 2 x 1 t 3
Higher Algebra
主要内容
一、多项式函数与根 二、多项式函数的有关性质
一、多项式函数与根
1. 多项式函数
n n1 设 f ( x ) a0 x a1 x an , 数 p, 将 f ( x )的表示式里的 x 用 代n ,
但
1 f ( 1) 1 1 5 0, 3
1 不是 f ( x )的根，从而不是 f ( x ) 的3重根．
例4
( x 1)2 | Ax 4 Bx 2 1, 求 A, B . 若
大学 高等代数 线性代数
其中 ( r2 ( x )) ( r1 ( x )) 或 r2 ( x ) 0 ． 若 r2 ( x ) 0 ，用 r2 ( x ) 除 r1 ( x ) ，得
r1 ( x ) q3 ( x )r2 ( x ) r3 ( x ),
……
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 即
于是有
u( x ) f ( x )h( x ) v( x ) g( x )h( x ) h( x ) f ( x ) | f ( x )h( x )
又 f ( x ) | g( x )h( x ),
f ( x ) | h( x ).
推论
若 f1 ( x ) | g( x ), f 2 ( x ) | g( x ) ，且
证： " " 显然．
" " 设 ( x )为 f ( x ), g( x ) 的任一公因式，则
( x ) f ( x ), ( x ) g( x ), 从而 ( x ) 1, 又 1 ( x ),
( x ) c, c 0.
故 ( f ( x ), g( x )) 1.
………………
ri 2 ( x ) qi ( x )ri-1 ( x ) ri ( x )
……………… rs 3 ( x ) qs1 ( x )rs 2 ( x ) rs1 ( x )
rs 2 ( x ) qs ( x )rs1 ( x ) rs ( x ) rs1 ( x ) qs1 ( x )rs ( x ) 0
( f ( x )、g( x )) u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
注:
若仅求 ( f ( x )、g( x )) ，为了避免辗转相除时出现
多项式函数的性质与应用
计算机科学：多项式函数在计算机 科学中用于实现各种算法和数据结 构，例如在排序、搜索和图算法中。
数学教育：多项式函数是数学教育 中的重要内容之一，对于培养学生 的数学思维和解决问题的能力具有 重要意义。
人工智能与机 器学习：多项 式函数在模型 训练和优化中 的重要应用
0 1
信号处理与通 信：多项式函 数在调制解调、 滤波器设计等 方面的应用
连续性：多项式函数在其定义域内是连续的。 可导性：多项式函数在其定义域内的任意点都可导。 积分性质：多项式函数的积分具有特定的性质和公式。 导数性质：多项式函数的导数具有特定的性质和公式。
多项式函数在 解代数方程中 的应用
多项式函数在 不等式求解中 的应用
多项式函数在 因式分解中的 应用
多项式函数在 代数运算中的 应用
系数：多项式函数中各项的 系数称为多项式的系数
代数表示法：将多项式函数表示 为代数形式，例如f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + c
表格表示法：将多项式函数的系 数和指数以表格形式表示，方便 查阅和比较
图表示法：将多项式函数化趋势
微积分：多项式 函数在微积分中 有着广泛的应用， 如求导数、积分
等
添加标题
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计算曲线的长度
计算面积和体积
解决极值问题
求解微分方程
线性方程求解：多项式函数在数学和物理领域中常用于求解线性方程。 近似计算：多项式函数可以用于近似计算复杂的数学函数，提高计算效率。 插值法：多项式函数在插值法中有着广泛的应用，可以用于数据拟合和预测。 信号处理：多项式函数在信号处理领域中常用于滤波、频谱分析和图像处理等。
高等代数第6章多项式
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)≤n-1 ≤ f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)≤n-2 ≤ … … … fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),…, fk(x)的次数渐减 直到小于 的次数渐减,直到小于 … 的次数渐减 直到小于g(x)的次数 的次数
设数域P上的多项式 设数域 上的多项式 f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , … (1) an,an-1,…,a1,a0称为 的系数 系数全为 称为f(x)的系数,系数全为 系数全为0 … 的多项式称为零多项式 记作0. 零多项式,记作 的多项式称为零多项式 记作 (2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为 的k次项 k 称为f(x)的 次项 次项,a 称为 称为f(x)的k次项系数 次项系数. 称为 的 次项系数 (3) 零次项 0也称为 零次项a 也称为f(x)的常数项. 的常数项. (4) 若an≠0,称anxn为f(x)的首项,an称为f(x)的 称 的首项 称为 的 首项系数,n称为 称为f(x)的次数,常记作 常记作degf(x). 首项系数 称为 的次数 常记作 (5) 非零常数是零次多项式 非零常数是零次多项式 零次多项式. (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. (7) 只有 只有f(x)≠0, degf(x)才有意义 才有意义. ≠ 才有意义
乘法运算式
例1.设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则 设 则 f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2 . ×) 2x5+3x4- x3 4x4+6x3-2x2 -6x3-9x2+3x 4x2+6x-2 . f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2 也可仅取系数,但要注意添 注.(1)也可仅取系数 但要注意添 也可仅取系数 但要注意添0. (2)也可按升幂排列 也可按升幂排列. 也可按升幂排列
高等代数【北大版】17PPT课件
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P
高等代数 第一章 多项式
x1 a1 b1i, x2 a2 b2i, a1, a2 ,b1,b1 Z
那么
x1 x2 (a1 b1i) (a2 b2i) (a1 a2 ) (b1 b2 )i S x1x2 (a1 b1i)(a2 b2i) (a1a2 b1b2 ) (b1a2 a1b2 )i S
x2 1 , ax3, x3 3x 2
x
x 1
都不是多项式。
定义2： f x, g x 是两个多项式，
f x gx
亦最称c高为次首项项，。
除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。
方程 a0 a1x L an xn 0 是一个条件等式而不是 两个多项式相等。
定义3： 设 f x a0 a1x L anxn, an 0, 非负整数n称为 f x 的次数，记为：
一、多项式的概念
中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减 法运算的整式）的代数和叫多项式。
例： 4a+3b， 3x2 2x 1, 3 y 1 .
25
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。
后来又把多项式定义为R上的函数：
f x a0 a1x L anxn
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代。
ai 称为i次项系数。
高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方 面推广了中学的多项式定义：
1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 2. 系数可以是任意数域。
例1： f x 1 2x 3x2 9x3 是Q上多项式；
f x 3 2x x2 是R上多项式；
f x 3 ix 5x2 是C上多项式。
附:和号与积号
《高等代数》第一章 多项式
§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.例1 所有具有形式2b a +的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.例2 所有可以表成形式m m nn b b b a a a ππππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.一、一元多项式定义2 设n 是一非负整数，形式表达式111a x a x a x a n n n n ++++-- ,(1) 其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式.在多项式（1）以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式.注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.在（1）中，如果0≠n a n a 称为首项系数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f二、多项式的运算设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--是数域P 上两个多项式，那么可以写成∑==ni i i x a x f 0)(∑==mj j j x b x g 0)(在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n xb a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()()()()()()(而)(x f 与)(x g 的乘积为其中s 次项的系数是∑=+--=++++s j i j i s s s sb a b a b a b a b a 011110所以)(x f )(x g 可表成显然，数域P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P 上的多项式.对于多项式的加减法，不难看出对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)(≠≠x g x f ，则0)()(≠x g x f ，并且由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律：1. 加法交换律：)()()()(x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律：))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++3. 乘法交换律：. )()()()(x f x g x g x f =4. 乘法结合律：))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =5. 乘法对加法的分配律：)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+6. 乘法消去律：若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ，则)()(x h x g =.定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P ，P 称为][x P 的系数域.§3 整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)(≠x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使(1))(),(x r x q 是唯一决定的.带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式.定义5 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式成立.用表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g /”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.当0)(≠x g 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)(≠x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中，)(x g 可以为零.这时0)(0)()()(=⋅=⋅=x h x h x g x f .当)(|)(x f x g 时，如0)(≠x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用)()(x g x f 来表示.二、整除的性质1. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.2. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式.3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.4. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f =,其中c 为非零常数.5. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.6. 若r i x g x f i ,,2,1),(|)( =，则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ ,其中)(x u i 是数域P 上任意的多项式.通常，)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 称为)(,),(),(21x g x g x g r 的最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式，P 是包含P 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ，则在][x P 中，)(x g 也不能整除)(x f .例1 证明若)()(|)(),()(|)(2121x f x f x g x f x f x g -+，则)(|)(),(|)(21x f x g x f x g例2 求l k ,，使1|32++++kx x l x x .例3 若)(|)(),(|)(x h x g x f x g /，则)()(|)(x h x f x g +/.§4 多项式的最大公因式一 、多项式的最大公因式如果多项式)(x ϕ既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，那么)(x ϕ就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.定义 6 设)(x f 与)(x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ，)(x g 的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1）)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式；2）)(x f ，)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.例如，对于任意多项式)(x f ，)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理 如果有等式)()()()(x r x g x q x f += (1)成立，那么)(x f ，)(x g 和)(x g ，)(x r 有相同的公因式.定理2 对于][x P 的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ，且)(x d 可以表成)(x f ，)(x g 的一个组合，即有][x P 中多项式)(),(x v x u 使由最大公因式的定义不难看出，如果)(),(21x d x d 是)(x f ，)(x g 的两个最大公因式，那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ，也就是说0),()(21≠=c x cd x d .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm).例 设343)(234---+=x x x x x f32103)(23-++=x x x x g求（)(x f ，)(x g ），并求)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d +=.注：定理2的逆不成立.例如令1)(,)(+==x x g x x f ,则122)1)(1()2(2-+=-+++x x x x x x .但1222-+x x 显然不是)(x f 与)(x g 的最大公因式.但是当(2)式成立，而)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，则)(x d 一定是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.二、多项式互素定义7 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 称为互素（也称为互质）的，如果显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.定理3 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 互素的充要条件是有][x P 中多项式)(),(x v x u 使推论2 如果1))(),((1=x g x f ,1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f 推广：对于任意多个多项式)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s ，)(x d 称为)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果)(x d 具有下面的性质：1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( =;2）如果s i x f x i ,,2,1),(|)( =ϕ，那么)(|)(x d x ϕ.我们仍用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式存在，而且当)(,),(),(21x f x f x f s 全不为零时，))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -就是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式，即))(,),(),((21x f x f x f s =))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式s i x u i ,,2,1),( =,使))(,),(),(()()()()()()(212211x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s =+++如果1))(,),(),((21=x f x f x f s ，那么)(,),(),(21x f x f x f s 就称为互素的.同样有类似定理3的结论.注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1-+-x x x ,但22)1(|1+/-x x ,且22)1(|1-/-x x .2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如1)(2-=x x g ,1)(1+=x x f , )1)(1()(2-+=x x x f ,则)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,但)(|)()(21x g x f x f .注意:s )2(≥s 个多项式)(,),(),(21x f x f x f s 互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式34)(,65)(,23)(232221+-=+-=+-=x x x f x x x f x x x f是互素的,但2))(),((21-=x x f x f . 令P 是含P 的一个数域, )(x d 是][x P 的多项式)(x f 与)(x g 在][x P 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在][X P 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d =.即从数域P 过渡到数域P 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i +- 互素，则)1)((|)(s i x f x h i ≤≤.2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ，且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素，则)(|)()()(21x h x f x f x f s .3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素，则1))(),()()((21=x h x f x f x f s .§5 因式分解定理一、不可约多项式Con i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.根据定义，一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.显然，不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.推广：如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ，那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1≥的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==,那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( ==.其中),,2,1(s i c i =是一些非零常数.应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.在多项式)(x f 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式成为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,其中c 是)(x f 的首项系数，)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方幂中较小的一个.由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则)(x f 与)(x g 互素.注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域P 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.例 在有理数域上分解多项式22)(23--+=x x x x f 为不可约多项式的乘积.§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k /+.如果0=k ，那么)(x p 根本不是)(x f 的因式；如果1=k ，那么)(x p 称为)(x f 的单因式；如果1>k ，那么)(x p 称为)(x f 的重因式.注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然，如果)(x f 的标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重，2r 重，… ,s r 重因式.指数1=i r 的那些不可约因式是单因式；指数1>i r 的那些不可约因式是重因式.使得)()()(x g x p x f k =,且)(|)(x g x p /.二、重因式的判别设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ,规定它的微商（也称导数或一阶导数）是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++-+='--- .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:).()()()()()(()())((),()())()((x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f '+'=''=''+'='+）))()(())((1x f x f m x f m m '='-同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f '称为)(x f 的一阶微商；)(x f '的微商)(x f ''称为)(x f 的二阶微商；等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1(≥n n 次多项式的微商是一个1-n 次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的1+n 阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式.分析: 要证)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式,须证)(|)(1x f x p k '-,但)(|)(x f x p k '/.注意:定理6的逆定理不成立.如333)(23++-=x x x x f , 22)1(3363)(-=+-='x x x x f ,1-x 是)(x f '的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ，)(x f ',…,)()1(x f k -的因式,但不是)()(x f k 的因式.)(x f 与)(x f '的公因式.推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),((='⇔x f x f这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域P 过渡到含P 的数域P 时都无改变,所以由定理6有以下结论:若多项式)(x f 在][x P 中没有重因式,那么把)(x f 看成含P 的某一数域P 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.例1 判断多项式2795)(234+-+-=x x x x x f有无重因式三、去掉重因式的方法设)(x f 有重因式,其标准分解式为s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 =.那么由定理5),()()()()(1121121x g x p x p x p x f s r s r r ---='此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i =整除.于是11211)()()()())(),((21---=='s r s r r x p x p x p x d x f x f用)(x d 去除)(x f 所得的商为)()()()(21x p x p x cp x h s =这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.例2 求多项式16566520104)(23456++++--=x x x x x x x f的标准分解式.§7 多项式函数到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.一、多项式函数设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- (1)是][x P 中的多项式，α是P 中的数，在(1)中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα称为)(x f 当α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为x 在与数域P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果,)()()(,)()()(21x g x f x h x g x f x h =+=那么.)()()(,)()()(21ααααααg f h g f h =+=定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式)(x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值)(αf .如果)(x f 在α=x 时函数值0)(=αf ，那么α就称为)(x f 的一个根或零点. 由余数定理得到根与一次因式的关系.推论 α是)(x f 的根的充要条件是)(|)(x f x α-.由这个关系，可以定义重根的概念. α称为)(x f 的k 重根，如果)(α-x 是)(x f 的k 重因式.当1=k 时，α称为单根；当1>k 时，α称为重根.定理8 ][x P 中n 次多项式)0(≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有)()(x g x f ≠,而对于P 中所有的数α都有)()(ααg f =?由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.定理9 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即)()(i i g f αα=,1,,2,1+=n i ,那么)(x f =)(x g .因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域P 上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.三、综合除法根据余数定理,要求)(x f 当c x =时的值,只需用带余除法求出用c x -除)(x f 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.设n n n n n a x a x a x a x a x f +++++=---122110)(并且设r x q c x x f +-=)()()(. (2)其中.)(12322110-----+++++=n n n n n b x b x b x b x b x q比较等式(2)中两端同次项的系数.得到.,,,,121112201100-----=-=-=-==n n n n n cb r a cb b a cb b a cb b a b a⇒ .,,,,112121210100n n n n n a cb r a cb b a cb b a cb b a b +=+=+=+==---- 这样,欲求系数k b ,只要把前一系数1-k b 乘以c 再加上对应系数k a ,而余式r 也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:rb b b b cb cb cb cb a a a a ac n n n n n |)|12101210121---------------------------------+ 表中的加号通常略去不写.例1 用3+x 除94)(24-++=x x x x f .例2 求k 使355)(234+++-=kx x x x x f 能被3-x 整除注意 :若)(x f 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗日插值公式已知次数n ≤的多项式)(x f 在)1,,2,1(+==n i c x i 的值)1,,,2,1()(+==n i b c f i i .设∑+=++-----=111111)())(()()(n i n i i i c x c x c x c x k x f依次令c x =代入)(x f ,得)())(()(1111++-----=n i i i i i i i i c c c c c c c c b k ∑+=++-++---------=1111111111)())(()()())(()()(n i n i i i i i i n i i i c c c c c c c c c x c x c x c x b x f 这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.例3 求次数小于3的多项式)(x f ,使3)2(,3)1(,1)1(==-=f f f .下面介绍将一个多项式表成一次多项式α-x 的方幂和的方法.所谓n 次多项式)(x f 表成α-x 的方幂和，就是把)(x f 表示成0111)()()()(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=--ααα的形式.如何求系数011,,,,b b b b n n -，把上式改写成01211)]()()([)(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=---ααα ,就可看出0b 就是)(x f 被α-x 除所得的余数，而12111)()()(b x b x b x q n n n n ++-+-=--- αα就是)(x f 被α-x 除所得的商式.又因为123121)]()()([)(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .又可看出1b 是商式)(1x q 被α-x 除所得的余式，而233122)()()()(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .就是)(1x q 被α-x 除所得商式.这样逐次用α-x 除所得的商式，那么所得的余数就是n n b b b b ,,,,110- .例4 将5)2()2(3)2(2)2()(234+-+---+-=x x x x x f 展开成x 的多项式. 解 令2-=x y ，则2+=y x .于是532)2(234++-+=+y y y y y f .问题变为把多项式532234++-+y y y y 表成2+y （即x ）的方幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以9596)(234-++-=x x x x x f .注意：将)(x f 表成α-x 的方幂和，把α写在综合除法的左边，将α-x 的方幂和展开成x 的多项式，那么相当于将)(x f 表成c c x +-)(的方幂和，要把c -写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是)(x f 的根,并且α与α有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式r s k r r k l s l l n q x p x q x p x c x c x c x a x f )()()()()()(211221121++++---= 其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数，s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数，并且),,2,1(2r i q x p x i i =++是不可约的，也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 =<-..代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.三、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:).())(()(21n x x x x f ααα---=展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.,)1(),()1(),(),),(21323112111124213213131212211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a αααααααααααααααααααααααααααααα-=+++-=+++-=+++=+++-=------（其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1(-.若多项式 n n n a x a x a x f +++=- 110)(的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:.)1(,),(21013121022101n n n n n n a a a a a a αααααααααααα-=+++=+++-=-利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解1-n x 为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.一、有理系数多项式的有理根设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式.选取适当的整数c 乘)(x f ，总可以使)(x cf 是一个整系数多项式.如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf =,也就是)()(x g cd x f = 其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f =.可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果)()()(11x g r x rg x f ==,其中)(),(1x g x g 都是本原多项式，那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论 设)(x f ，)(x g 是整系数多项式，且)(x g 是本原多项式，如果)()()(x h x g x f =，其中)(x h 是有理系数多项式，那么)(x h 一定是整系数多项式.这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法. 定理12 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.而sr是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么(1) 0|,|a r a s n ;特别如果)(x f 的首项系数1=n a ，那么)(x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子.(2) ),()()(x q srx x f -= 其中)(x q 是一个整系数多项式.给了一个整系数多项式)(x f ,设它的最高次项系数的因数是k v v v ,,,21 ,常数项的因数是.,,,21l u u u 那么根据定理12,欲求)(x f 的有理根,只需对有限个有理数ji v u 用综合除法来进行试验.当有理数jiv u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.首先,1和-1永远在有理数jiv u 中出现,而计算)1(f 与)1(-f 并不困难.另一方面,若有理数)1(±≠a 是)(x f 的根,那么由定理12,)()()(x q x x f α-=而)(x q 也是一个整系数多项式.因此商)1(1)1(),1(1)1(--=+-=-q af q af 都应该是整数.这样只需对那些使商a f a f +--1)1(1)1(与都是整数的ji v u来进行试验.(我们可以假定)1(f 与)1(-f 都不等于零.否则可以用1-x 或1+x 除)(x f 而考虑所得的商.)例1 求多项式2553)(234-+++=x x x x x f的有理根.例2 证明15)(3+-=x x x f在有理数域上不可约.二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得1. n a p |/;2. 021,,,|a a a p n n --;3. 02|a p /.则多项式)(x f 在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)(+=n x x f .,其中n 是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.有时对于某一个多项式)(x f ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把)(x f 适当变形后,就可以应用这个判断法.例3 设p 是一个素数,多项式1)(21++++=--x x x x f p p叫做一个分圆多项式,证明)(x f 在][x Q 中不可约.证明：令1+=y x ，则由于1)()1(-=-p x x f x ,yCyC y y y yf p pp ppp 1111)1()1(--+++=-+=+ ,令)1()(+=y f y g ，于是1211)(---+++=p p p p p C yC y y g ,由艾森斯坦判断法，)(y g 在有理数域上不可约，)(x f 也在有理数域上不可约.第一章 多项式(小结)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法. (1) 带余除法定理.(2) 设1)()()()(|)(,0)(][)(),(=⇔≠∈x r x f x g x f x g x g x F x g x f 的余式除，. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素. (1) 最大公因式,互素的概念.(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式,反之不然.三、 因式分解理论 1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(4) 艾森斯坦判断法. 2.因式分解的有关结果: (1) 因式分解及唯一性定理.(2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式)1(≥k ,则)(x p 是)(x f 的1-k 重因式.(4) 消去重因式的方法:))(),(()(x f x f x f '是一个没有重因式的多项式,它与)(x f 具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.c x -去除)(x f 所得的余式为)(x f ,则.0)()(|=⇔-c f x f c x3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个)1(≥n n 次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.。
数学中的多项式函数
数学中的多项式函数多项式函数是数学中重要且常见的一种函数形式。
多项式函数是一种由多项式式子所组成的函数，其中这些多项式的系数可以为实数或复数。
多项式函数有着广泛的应用，包括在物理、化学、工程学、计算机科学、天文学以及金融学等众多领域。
一、多项式函数的定义及性质多项式函数通常采用如下形式的函数表达式：$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$其中$a_0,a_1,\cdots,a_n$ 为实数或复数，$n$ 为多项式的次数。
在这个式子中，对于任何$x$，我们都可以通过相加各项系数的乘积来计算$f(x)$。
多项式函数具有以下特征：1. 多项式函数是连续函数，它们始终存在，不存在间断点。
2. 多项式函数是光滑函数，即一阶和二阶导数连续。
3. 多项式函数具有有限次的整性质，即在整个实数轴上，它们只有有限个实数根。
4. 多项式函数在给定的定义域内，存在唯一的最高项次数。
二、多项式函数基本运算1. 加法：如果有两个多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，则它们的和为$R(x) = P(x)+Q(x)$。
例如，如果有 $P(x)=2x^3-3x^2+4$ 和 $Q(x)=5x^3+2x^2-1$，则它们的和为 $R(x)=7x^3-x^2+3$。
2. 减法：如果有两个多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，则它们的差$R(x) = P(x)-Q(x)$。
例如，如果有 $P(x)=2x^3-3x^2+4$ 和 $Q(x)=5x^3+2x^2-1$，则它们的差为 $R(x)=-3x^3-5x^2+5$。
3. 乘法：如果有两个多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，则它们的积为$R(x) = P(x)Q(x)$。
例如，如果有 $P(x)=2x^3-3x^2+4$ 和 $Q(x)=5x^3+2x^2-1$，则它们的积为 $R(x)=10x^6-9x^5-7x^4+23x^3-6x^2-4x+4$。
多项式函数的定义
多项式函数的定义多项式函数是一种基本的数学函数，它是由一个或多个项组成的，每个项都是一个常数乘以一个或多个变量的幂次，然后将它们相加或相减得到的。
下面来详细介绍多项式函数的定义和相关术语。
1. 定义一个多项式函数可以表示为P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0，其中n为多项式的次数，an,an-1,...,a1,a0为常数系数，x为变量。
2. 术语多项式函数中的每个项都有一个系数和一个幂次，幂次是指变量的指数，系数是指变量的系数。
例如，下面的多项式函数中，4x^3是一个项，4是该项的系数，3是该项的幂次。
P(x) = 4x^3 + 2x^2 - 5x + 1多项式函数的次数指最高幂次，例如上面的多项式函数的次数为3。
如果一个多项式函数的所有系数都为0，则该函数为零次多项式函数。
多项式函数可以加减、乘除，也可以进行求根和因式分解等运算。
3. 分类多项式函数可以根据不同的性质进行分类，下面是几种常见的分类方式：（1）单项式函数：只含有一个项的多项式函数，例如2x^3。
（2）分式函数：分子和分母都是多项式函数的函数，例如f(x)=x/(x^2+1)。
（3）齐次多项式函数：每个项的幂次相同的多项式函数，例如f(x)=x^2+2x+1。
（4）非齐次多项式函数：每个项的幂次不同的多项式函数，例如f(x)=2x^3+5x^2+3x+1。
（5）单项式函数和齐次多项式函数的乘积：例如f(x)=x(x-1)(x+2)。
总之，多项式函数是数学中一个非常重要的概念，它可以应用于各种各样的数学问题中，例如代数方程、微积分、统计学等领域。
对于学习数学的人来说，掌握多项式函数的概念和性质，对于提高数学水平和解决实际问题都有着重要的意义。
多项式函数的定义和性质
多项式函数的定义和性质多项式函数是数学中常见且重要的函数类型之一。
本文将介绍多项式函数的定义、性质以及一些与之相关的重要概念。
通过深入了解多项式函数，我们可以更好地理解和应用它们。
一、多项式函数的定义多项式函数是由常数和变量的非负整数次幂相乘并按照一定次序相加减而得到的函数。
一般表示为：f(x) = a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + ... + a_1 * x + a_0其中，a_n, a_(n-1), ... , a_1, a_0 是给定的实数系数，n 是一个非负整数，x 是自变量。
二、多项式函数的性质1. 定义域：多项式函数的定义域是所有实数集合，即f(x) 在整个实轴上有定义。
2. 零点：多项式函数的零点是使得 f(x) = 0 的 x 值。
一般来说，多项式函数的零点可能有多个，但最多不会超过它的次数。
3. 次数：多项式函数的次数是指最高次幂的指数。
例如，f(x) = 2x^3 - x^2 +3x + 1 的次数为 3。
4. 导数与积分：多项式函数在其定义域上可导，并具有简单的导数和积分规则。
例如，f'(x) 表示 f(x) 的导数，∫f(x)dx 表示 f(x) 的不定积分。
5. 对称性：多项式函数可以具有对称性。
例如，关于 y 轴对称的多项式函数具有偶函数的性质，其满足 f(-x) = f(x)。
6. 零点定理：多项式函数的零点定理指出，如果某个实数 a 是多项式函数 f(x) 的零点，那么 (x-a) 是 f(x) 的一个因式。
三、常见多项式函数在实际应用中，有一些多项式函数具有特殊的形式和性质。
以下是几个常见的多项式函数：1. 一次函数：一次函数是多项式函数的一种简单形式，形式为 f(x) = ax + b。
其中，a 和b 是常数，且a ≠ 0。
一次函数的图像为一条直线。
2. 二次函数：二次函数是多项式函数的另一种常见形式，形式为 f(x) = ax^2 + bx+ c。
多项式函数与方程
多项式函数与方程多项式函数是一种常见的数学函数形式，它由多个项的代数和构成。
在本文中，我们将探讨多项式函数的定义、性质以及与之相关的方程。
一、多项式函数的定义多项式函数可以表示为一个或多个常数与变量的代数和，其形式可以表示为：f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0。
其中，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0是常数系数，n是整数指数，x是变量。
二、多项式函数的性质1. 多项式函数的次数：多项式函数的次数由最高指数确定。
例如，f(x) = 3x^2 + 2x + 1是一个次数为2的多项式函数。
2. 多项式函数的导数和积分：多项式函数的导数仍然是一个多项式函数，其系数与原函数的系数有关。
同样地，多项式函数的不定积分也是一个多项式函数。
3. 多项式函数的图像：多项式函数的图像通常是光滑且连续的曲线。
其形状由函数的次数和系数决定。
三、多项式方程多项式方程是将多项式函数与等号连接而成的方程。
解多项式方程即求解方程等号两边相等的未知数的值。
解多项式方程的方法有很多，其中包括因式分解、配方法、求根公式等。
根据多项式方程的次数，我们可以知道方程的根的个数。
例如，一次方程有且仅有一个实根，二次方程有两个实根或零个实根。
四、多项式函数与方程的应用多项式函数与方程在数学和科学领域中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，多项式函数可以用来描述运动物体的位移、速度和加速度，进而研究物体的运动规律。
在经济学中，多项式函数可以用来建模和预测市场供需关系、企业利润等经济指标。
总结：多项式函数是由多个项的代数和构成的函数形式。
它具有次数、导数和积分等性质。
多项式方程是将多项式函数与等号连接而成的方程，用于求解方程的根。
多项式函数与方程在数学和科学领域中有着广泛的应用。
以上就是关于多项式函数与方程的简要介绍，希望对你有所帮助。
高等代数
a , b, c , d ∈ Q ,
则有
x ± y = (a ± c ) + ( b ± d ) 2 ∈ Q( 2), x y = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2 ∈ Q( 2)
设 a + b 2 ≠ 0,
§1.1 数域
也不为0 于是 a b 2 也不为0.
(否则,若 a b 2 = 0, 则 a = b 2, 否则, a = 2 ∈ Q, 于是有 b 矛盾) 或 a = 0, b = 0 a + b 2 = 0. 矛盾)
P1 = {2n + 1 | n ∈ Z },
P2 = { n 2 | n ∈ Z } = Z ( 2).
§1.1 数域
作业
1.若 P1 , P2为数域,证明:P1 ∩ P2也为数域. . 为数域,证明: 也为数域. 2.证明:集合 S = m m , n ∈ Z 是一个数环. 证明: n 是一个数环. 2 S是数域吗? 是数域吗? 是数域吗
0 ∈ P, 1 ∈ P .
于是有
m ∈ Z + , m = 1 + 1 + + 1 ∈ P
§1.1 数域
进而 有
m m , n ∈ Z , ∈ n
+
m m = 0 ∈ P. n n
而任意一个有理数可表成两个整数的商, 而任意一个有理数可表成两个整数的商,
∴ Q P.
§1.1 数域
附:
§1.1 数域
说明: 说明: 中任意两个数作某一运算的结果仍在P 1)若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在 若数集 中任意两个数作某一运算的结果仍在 对这个运算是封闭 中,则说数集P对这个运算是封闭的. 则说数集 对这个运算是封闭的 2)数域的等价定义:如果一个包含0,1在内的数 数域的等价定义:如果一个包含 , 在内的数 对于加法, 集P对于加法,减法,乘法与除法(除数不为0) 对于加法 减法,乘法与除法(除数不为0 是封闭的,则称集 为一个数域 为一个数域. 是封闭的,则称集P为一个数域.
多项式函数和连续函数
多项式函数和连续函数是数学中的重要概念。
它们在解决实际问题时起到了重要的作用。
首先，我们来了解一下多项式函数。
多项式函数是指由常数和变量的乘积以及它们的和组成的函数。
多项式函数的一般形式可以表示为：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0其中，an、an-1、...、a2、a1和a0为常数，n为非负整数，x为自变量。
多项式函数的次数是指多项式中最高次幂的指数。
例如，f(x) = 3x^4 + 2x^3 - x^2 + 4x - 7就是一个次数为4的多项式函数。
多项式函数具有以下几个重要的特点：1. 多项式函数在定义域上处处连续。
也就是说，在定义域内任意一点处，多项式函数的极限存在。
2. 多项式函数的图像是连续的。
也就是说，在定义域上，多项式函数的图像是一条没有断点、没有间断的曲线。
接下来，我们再来介绍一下连续函数。
连续函数是指在定义域上具有无间断性质的函数。
换句话说，如果一个函数在定义域上任意一点处的极限等于函数在该点的函数值，那么该函数就是连续的。
连续函数具有以下几个重要的特点：1. 连续函数在定义域上的任意两点之间存在一个介于它们之间的点，使得函数值也介于它们之间。
也就是说，连续函数在定义域上没有突变的情况。
2. 连续函数的图像是一条没有断点的曲线。
也就是说，在定义域上，连续函数的图像是一条没有间断、没有突变的曲线。
多项式函数和连续函数在数学中有广泛的应用。
在物理学、工程学、经济学等领域中，我们常常需要利用多项式函数来建立模型并解决实际问题。
而连续函数则在微积分和数学分析等领域中发挥重要作用，它们的性质使得我们能够更好地理解函数的行为，并应用于求解极值、积分等问题。
总之，多项式函数和连续函数是数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中起到了非常重要的作用。
对于理解和应用这些概念，我们需要不断学习和深入研究，以便更好地应用于实际问题的解决中。
多项式函数与多项式方程
在数学中，多项式函数是一种非常重要的函数类型，它有着广泛的应用和研究价值。
而多项式方程则是与多项式函数密切相关的概念，两者共同构成了数学中一个重要的研究领域。
首先，我们来了解一下多项式函数的定义和特征。
多项式函数是指由系数与幂次所组成的代数表达式，其中系数可以是任意实数，而幂次则是非负整数。
一般来说，一个多项式函数的形式可以写作f(x)=a_nx n+a_{n-1}x{n-1}+…+a_1x+a_0，其中a_n,a_{n-1}…a_0为实数，n为非负整数，而x为变量。
多项式函数的特征可以通过多项式的度来确定。
多项式的度是指所有幂次的最高次幂，而多项式的次数则是指多项式中各项次幂的最高次。
例如，对于多项式f(x)=3x4+2x3+5x^2-2x+1来说，它的度为4，次数为5。
多项式的次数决定了多项式函数的特点，例如，当多项式的次数为0时，即为常数函数；当多项式的次数为1时，即为一次函数，也就是直线；当多项式的次数为2时，即为二次函数，也就是抛物线等等。
而多项式方程则是多项式函数的零点问题。
多项式方程的一般形式可以写作f(x)=0。
多项式方程的解就是使得方程成立的变量值。
例如，对于方程f(x)=3x^2+5x-2=0来说，我们需要找到满足这个等式的x值。
解多项式方程的方法有很多，例如因式分解、配方法、求根公式等等。
通过解方程，我们可以找到多项式函数的零点，从而确定多项式函数在数轴上的根的位置。
多项式函数与方程在数学中有着广泛的应用。
它们不仅可以用来描述物理、经济等问题中的关系，还可以用于代数中的计算和推导。
多项式函数和方程的性质也是研究代数学的重要内容。
例如，我们可以通过多项式函数来研究函数的性质，如函数的增减性、奇偶性、最值等等。
同时，多项式方程的解的个数和性质也是研究的重点，如方程有无解、有几个解、是否有重根等等。
总结来说，多项式函数与多项式方程是数学中重要的研究对象。
多项式函数的定义和特征可以帮助我们了解函数的性质和规律，而多项式方程则是寻找函数的零点和解的问题。
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推论1 是 f ( x )的根 ( x ) | f ( x ).
f ( x ) x 3 x 2 4 x 2 在 x 3 处的函数值. 例1 求
法一： 把 x 3 代入 f ( x ), 求 f ( 3).
法二： 用 x 3去除 f ( x ), 所得余数就是 f ( 3).
注： ① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式． ② f ( x ) 有重根 f ( x ) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
f ( x ) ( x 2 1)2 [ x], 例如，
x 1 为 f ( x ) 的重因式，但在 上 f ( x ) 没有根．
x | f ( x ) x | f 2 ( x ). 例2 证明:
证明: x | f ( x ) f (0) 0
f 2 (0) 0 x | f 2 ( x)
定义 若 x 是 f ( x ) 的 k 重因式, 则称 为 f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
2. 多项式函数的根(或零点)
若多项式函数 f ( x ) 在 x 处的值为0，即
f ( ) 0,
则称 为 f ( x ) 的一个根或零点．
二、多项式函数的有关性质
定理1 (余数定理) 用一次多项式 x 去除 f ( x ), 所得余式是一个 常数,这个常数等于函数值 f ( ).
n n1
这样，对 P中的每一个数 ,由多项式 f ( x ) 确定 P 中唯一的一个数 f ( ) 与之对应,于是称 f ( x )为 P上的一个多项式函数．
易知，若
h1 ( x ) f ( x ) g( x ), h2 ( x ) f ( x ) g( x ), 则， h1 ( ) f ( ) g( ), h2 ( ) f ( ) g( ).
§1.7 多项式函数
一、多项式函数与根
1、多项式函数 n n1 设 f ( x ) a0 x a1 x an , 数 P , 将 f ( x )表示式里的 x 用 代替,得到 P 中的数
a0 a1 an , 称为当 x 时 f ( x )的值,记作 f ( ).
2
③ 是 f ( x ) 的k 重根 是f '( x )的 k 1 重根. 反之不然. 例如,0是 f '( x ( x ) x 3 1 的3重根.
定理2 (根的个数定理) 任一 P[ x] 中的 n 次多项式( n 0), 在 P 中的根
不可能多于 n 个，重根按重数计算．
定理3 设 f ( x ), g ( x ) P[ x ]且 ( f ( x )), ( g( x )) n. 若存在 n 1 个不同的数 1 , 2 , n1 P , 使得 f ( i ) g( i ), i 1,2,, n 1 则 f ( x ) g( x ). 注: 两个多项式相等 相应的多项式函数相同.