河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题10解直角三角形或相似的计算与实践(精讲)试题 含答案
【数学课件】2018年河北中考数学《4.4解直角三角形》复习课件和随堂演练
么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin 37°
≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)( )
【分析】
作辅助线构造直角三角形，利用解直角三角
形的知识进行解答．
【自主解答】
如图，过点A作BC的平行线AG，
过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG＝∠HEF＝90°.
∵∠AEF＝143°， ∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝53°，∠EAH＝37°. 在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2， ∴EH＝AE·sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72.
知识点二 解直角三角形 1．解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，
叫做解直角三角形．
3．解直角三角形的基本类型 (1)已知直角、斜边和一个锐角，求其他边和角； (2)已知直角、一直角边和一个锐角，求其他边和角；
(3)已知直角、斜边和一直角边，求其他边和角；
(4)已知直角、两条直角边，求其他边和角．
好好学习，天天向上。
第四节 解直角三角形
知识点一 锐角三角函数 1．锐角三角函数的定义
2．特殊角的三角函数值
由上表可知，当两角互余时，一角的正弦值等于另一角 的余弦值，即若∠A＋∠B＝90°，则sin 围内，sin α ，tan α 的值随
α 的增大而增大，cos α 的值随α 的增大而减小．
知识点三 解直角三角形的应用
考点一 锐角三角函数的定义 命题角度❶
(5年0考)
求锐角三角函数的值
(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每 个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误 的是( )
A．sin α ＝cos α C．sin β ＝cos β
中考冲刺：相似与位似判断、解直角三角形教案(针对河北中考真题)
一、相似三角形判定考察判定定理： 两角相等，三边比例，两边及夹角。
二、位似图形1．位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A 、A ′的连线(或延长线)都经过同一个点O ，且有OA ′＝kOA(k ≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心，这时的相似比k 又称为位似比． 2．位似多边形的性质：(1)位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质；(2)位似多边形上任意一对对应点连线(或延长线)都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比．归纳结论：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，并且对应边平行(或在同一直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比．注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三个条件缺一不可：①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行(或在同一直线上)．例1．把右面的四边形缩小到原来的12(相似比是12或位似比是12)．解：(位似中心在图形外，已知)作法略.，四边形A′B′C′D′即为所求．你有其他画法吗？请互相交流．归纳结论：画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论．例2．如图，已知四边形ABCD 和点O ，请以O 为位似中心，作出四边形ABCD 的位似图形，把四边形ABCD 放大为原来的2倍．答：连接OA ，OB ，OC ，OD 延长OA 到A′使OA′＝2OA ，延长OB 到B′使OB′＝2OB ，延长OC 到C′使OC′＝2OC ，延长OD 到D′使OD′＝2OD ，顺次连接A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形．三、位似变换中的坐标变化1．在平面直角坐标系中，一个多边形每一个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|．2.我们学习过的图形变换包括：平移、轴对称、旋转和位似．其中经过平移、轴对称、旋转变换前后的两个图形一定是全等的；而经过位似变换前后的两个图形是相似的．结论：[在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.]1．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( C )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)2．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(－6，1)，B(－3，1)，C(－3，3)．若将它们的横纵坐标都乘以－3，得到新三角形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 是位似关系，位似中心是坐标原点，位似比等于3．3．如图，已知△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是(2，－2)；(2)以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2∶1，点C 2的坐标是(1，0)；1、（2017）.若ABC ∆的每条边长增加各自的10%得'''A B C ∆，则'B ∠的度数与其对应角B ∠的度数相比( ) A ．增加了10% B ．减少了10% C ． 增加了(110%)+ D ．没有改变2、（2016）如图6，△ABC 中，∠A =78°，AB=4，AC=6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( C )变相考察相似判定：注意原三角形BC 边长未知，C 不一定平行 3、（2014）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）图6A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对答案：解直角三角形——1、方位2、三角函数应用命题规律：近五年规律基本上是隔一年考一次，2013、15、17年均考了一次，14、16未涉及。
河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题10解直角三角形或相似的计算与实践精练试题20171212285
专题十解直角三角形或相似的计算与实践一、选择题1．(2017重庆中考A卷)若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( A)A．3∶2 B．3∶5C．9∶4 D．4∶92．(2017兰州中考)如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5 m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15 m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3 m，小明身高EF＝1.6 m，则凉亭的高度AB约为( A)A．8.5 m B．9 m C．9.5 m D．10 m3．(2017滨州中考)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( A)A．2＋ 3 B．2 3C．3＋ 3 D．3 3(第3题图)(第4题图)4．(2017眉山中考)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则可求得井深为( B)A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺5．(2017通辽中考)志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( C)A．540元B．1 080元C．1 620元D．1 800元6．(2017绥化中考)如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB′∶OB 为( A )A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶5D ．4∶9(第6题图)(第7题图)7．(2017湖州中考)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝6，点P 是Rt △ABC 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于( A )A ．1B . 2C .32D ．28．(2017四市中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为( B )A ．603海里B ．602海里C ．303海里D ．302海里(第8题图)(第9题图)9．(2017长沙中考)如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合(H 不与端点C ，D 重合)，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，△CHG 的周长为n ，则nm的值为( B )A .22 B .12C .5－12D ．随H 点位置的变化而变化 二、填空题10．(2017宁波中考)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500 m 则这名滑雪运动员的高度下降了__280__m ．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)(第10题图)(第11题图)11．(2017北京中考)如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．若S △CMN ＝1，则S四边形ABNM＝__3__．12．(2017广州中考)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝__17__．(第12题图)(第13题图)13．(2017无锡中考)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于__3__．14．(2017贵港中考)如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin ∠PAP ′的值为__35__．三、解答题15．(2017宜宾中考)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B ，C 测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC 长为100 m ．求河的宽度．(结果保留根号)解：过点A 作AD⊥BC 于点D ， ∵∠β＝45°，∠ADC ＝90°， ∴AD ＝DC. 设AD ＝DC ＝x m ，则tan 30°＝x x ＋100＝33，解得x ＝50(3＋1)． 答：河的宽度为50(3＋1)m .16．(2017眉山中考)如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交DC 于G.(1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HGGF的值．解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°. ∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF， ∴∠CBG ＝∠CDE.在△BCG 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA )， ∴BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点， ∴GD ＝CG ＝1.由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA )， ∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝ 5. ∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD，∴GF ＝55. ∵AB ∥CG ， ∴△ABH∽△CGH， ∴AB CG ＝BH HG ＝21， ∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53.17．(2017盐城中考) 【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B ＝90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．【拓展应用】如图②，在△ABC 中，BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为________．(用含a ，h 的代数式表示)【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB ＝32，BC ＝40，AE ＝20，CD ＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B 为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB ＝50 cm ，BC ＝108 cm ，CD ＝60 cm ，且tan B ＝tan C ＝43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．解：【探索发现】12；【拓展应用】ah4；【灵活应用】如答图①，延长BA ，DE 交于点F ，延长BC ，ED 交于点G ，延长AE ，CD 交于点H ，取BF 中点I ，FG 的中点K.答图①由题意知四边形ABCH 是矩形， ∵AB ＝32，BC ＝40，AE ＝20，CD ＝16， ∴EH ＝20，DH ＝16， ∴AE ＝EH ，CD ＝DH. 在△AEF 和△HED 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠FAE＝∠DHE，AE ＝EH ，∠AEF ＝∠HED， ∴△AEF ≌△HED(ASA )， ∴AF ＝DH ＝16. 同理△CDG≌△HDE， ∴CG ＝HE ＝20， ∴BI ＝AB ＋AF 2＝24.∵BI ＝24＜32，∴中位线IK 的两端点在线段AB 和DE 上． 过点K 作KL⊥BC 于点L.由【探索发现】知矩形的最大面积为12S △FBG ＝12×12×BG·BF＝14×(40＋20)×(32＋16)＝720.答：该矩形的面积为720. 【实际应用】如答图②，延长BA ，CD 交于点E ，过点E 作EH⊥BC 于点H.答图②∵tan B ＝tan C ＝43，∴∠B ＝∠C， ∴EB ＝EC.∵BC ＝108 cm ，且EH⊥BC，∴BH ＝CH ＝12BC ＝54 cm .∵tan B ＝EH BH ＝43，∴EH ＝43BH ＝43×54＝72 cm ，在Rt △BHE 中，BE ＝EH 2＋BH 2＝90 cm ， ∵AB ＝50 cm ， ∴AE ＝40 cm ， ∴BE 2＝40＋502＝45 cm ， ∴BE 的中点Q 在线段AB 上． ∵CD ＝60 cm ， ∴ED ＝30 cm ，∴CE 的中点P 在线段CD 上，∴中位线PQ 的两端点在线段AB ，CD 上，由【拓展应用】知，矩形PQMN 的最大面积为14BC ·EH ＝14×108×72＝1 944 cm 2.。
河北省中考数学复习 专题复习(三)几何解答题 第2课时 解三角形和三角形相似试题
第2课时 解三角形和三角形相似1．(2016·北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC ＝2，求BN 的长．解：(1)证明：在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD ，且MN ＝12AD.在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM ＝12AC.又∵AC＝AD ，∴MN ＝BM.(2)∵∠BAD＝60°，且AC 平分∠BAD，∴∠BAC ＝∠DAC＝30°.由(1)知BM ＝12AC ＝AM ＝MC.∴∠BMC ＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC＝30°.∴∠BMN ＝∠BMC＋∠NMC ＝90°.∴BN 2＝BM 2＋MN 2.由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1.∴BN ＝ 2.2．(2016·白银)如图，已知EC∥AB, ∠EDA ＝∠ABF.(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)求证：OA 2＝OE·OF.证明：(1)∵EC∥AB，∴∠C ＝∠ABF.又∵∠EDA＝∠ABF，∴∠C ＝∠EDA.∴AD ∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形．(2)∵EC∥AB，∴OA OE ＝OB OD .又∵AD∥BC，∴OF OA ＝OB OD .∴OA OE ＝OF OA，即OA 2＝OE·OF. 3．(2015·南充)如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，那么AB 的长为6．解：(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.(2)设AP ＝x ，由折叠关系可得BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，AM ＝1.由△AMP∽△BPQ，得AM BP ＝AP BQ，即BQ ＝x 2. 由△AMP∽△CQD，得AP CD ＝AM CQ，即CQ ＝2. AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1. 又∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35， DF ＝DC ＝2x ，∴sin∠DMF ＝DF MD ＝2x x 2＋1＝35.解得x ＝3或x ＝13(不合题意，舍去)． ∴AB ＝2x ＝6.4．(2016·唐山路北区模拟)如图，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是边AC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，将△AED 沿DE 所在的直线折叠得到△A 1DE.(1)当点A 1落在边BC(含边BC 的端点)上时，折痕DE 的长是多少？(2)连接A 1B ，当点E 在边AB 上移动时，求A 1B 长的最小值．解：(1)∵点D 到边BC 的距离是DC ＝DA ＝1，∴点A 1落在边BC 上时，点A 1与点C 重合，如备用图所示．此时，DE 为AC 的垂直平分线，即DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝1. (2)连接BD.在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝ 5.由△A 1DE ≌△ADE ，可得A 1D ＝AD ＝1.由A 1B ＋A 1D ≥BD ，得A 1B ≥BD －A 1D ＝5－1.∴A 1B 长的最小值是5－1.5．(2015·资阳)E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE ＝CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；(3)连接AQ ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF＝90°.∵DE ＝CF ，∴△ADE ≌△DCF(SAS )．(2)证明：∵四边形AEHG 是正方形，∴∠AEH ＝90°.∴∠AED ＋∠QEC＝90°.∵∠ADE ＝90°，∴∠AED ＋∠EAD＝90°.∴∠QEC ＝∠EAD .∴△ADE ∽△ECQ.∴CQ DE ＝CE AD. ∵CE AD ＝DE AD ＝12，∴CQ DE ＝CQ CF ＝12. ∴点Q 是CF 中点．(3)S 1＋S 2＝S 3成立．理由：∵△ADE∽△ECQ，∴CQ DE ＝QE AE. 又∵DE＝CE ，∴CQ CE ＝QE AE. ∵∠C ＝∠AEQ＝90°，∴△A EQ∽△ECQ. ∴△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE.∴S 1S 3＝(EQ AQ )2，S 2S 3＝(AE AQ)2. ∴S 1S 3＋S 2S 3＝(EQ AQ )2＋(AE AQ )2＝EQ 2＋AE 2AQ 2. 由勾股定理得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，∴S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.6．(2015·丽水)如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接C F 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交AD 于点N.(1)当F 为BE 中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若AB BC ＝EF BF ＝2，求AN ND的值； (3)若AB BC ＝EF BF＝n ，当n 为何值时，MN ∥BE. 解：(1)证明：∵F 为BE 中点，∴BF ＝EF.∵在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠MBF ＝∠CEF ，∠BMF ＝∠ECF.∴△BMF ≌△ECF(AAS )．∴MB ＝CE.∵AB ＝CD ，CE ＝DE ，∴MB ＝AM.∴AM＝C E.(2)设MB ＝a ，∵AB ∥CD ，∴△BMF ∽△ECF.∴EF BF ＝CE MB ＝2.∴CE＝2a.∴AB ＝CD ＝2CE ＝4a ，AM ＝AB －MB ＝3a.∵AB BC ＝2，∴BC ＝AD ＝2a.∵MN ⊥MC ，∠A ＝∠ABC＝90°，∴∠AMN ＋∠BMC＝90°.又∵∠AMN＋∠ANM＝90°，∴∠BMC ＝∠ANM.∴△AMN ∽△BCM.∴AN MB ＝AM BC ，即AN a ＝3a 2a .∴AN ＝32a ，ND ＝AD －AN ＝12a.∴AN ND ＝32a12a＝3.(3)设MB ＝a ，∵EF BF ＝n ，且△MBF∽△CEF，∴CE MB ＝EF BF .∴CE ＝na ，AB ＝CD ＝2na.∵AB BC ＝n ，∴BC＝2a.如图，当MN∥BE 时，CM ⊥BE.∵∠BMC ＋∠BCM＝90°，∠EBC ＋∠BCM＝90°，∴∠BCM ＝∠EBC.∴△MBC ∽△BCE.∴MB BC ＝BC CE ，即a BC ＝BC na .∴BC ＝na.又∵BC＝2a ，∴na ＝2a.解得n ＝4.∴当n ＝4时，MN ∥BE.7．(2016·石家庄模拟)提出问题：(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，H 分别在BC ，AB 上，若AE⊥DH 于点O ，求证：A E ＝DH ；类比探究：(2)如图2，在正方形ABCD 中，点H ，E ，G ，F 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上，若EF⊥HG 于点O ，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由；综合运用：(3)在(2)问条件下，HF ∥GE ，如图3所示，已知BE ＝EC ＝2，EO ＝2FO ，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝DA ，∠ABE ＝90°＝∠DAH.∴∠HAO ＋∠O AD ＝90°.∵AE ⊥DH ，∴∠ADO ＋∠OAD＝90°.∴∠HAO ＝∠ADO.∴△ABE ≌△DAH(ASA )．∴AE＝DH.(2)EF ＝GH.理由：将FE 平移到AM 处，则AM∥EF，AM ＝EF.将GH 平移到DN 处，则DN∥GH，DN ＝GH.∵EF ⊥GH ，∴AM ⊥DN.根据(1)的结论得AM ＝DN ，∴EF ＝GH. (3)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD.∴∠AHO ＝∠CGO.∵FH ∥EG ，∴∠FHO ＝∠EGO.∴∠AHF ＝∠CGE.∴△AHF ∽△CGE.∴AF CE ＝FH EG ＝FO OE ＝12.又∵EC＝2，∴AF ＝1.过点F 作FP⊥BC 于点P ，根据勾股定理得EF ＝17.∵FH ∥EG ，∴FO FE ＝HO HG .根据(2)知EF ＝GH ，∴FO ＝HO.∴S △FOH ＝12FO 2＝12×(13EF)2＝1718，S △EOG ＝12EO 2＝12×(23EF)2＝6818.∴阴影部分面积为1718＋6818＝8518.。
2018年全国中考真题分类汇编(河北专用)：6.相似三角形
第18讲 相似三角形知识点1 比例线段知识点2 平行线分线段成比例 知识点3 相似三角形的性质 知识点4 相似三角形的判定 知识点5 相似多边形知识点1比例线段（2018·白银）已知(0,0)23a ba b =≠≠，下列变形错误的是（ ） A ．23a b = B ．23a b = C ．32b a = D ．32a b =（2018·成都）已知，且，则 的值为___12_____．知识点2 平行线分线段成比例 （2018·嘉兴）（2018·哈尔滨）答案：D知识点3 相似三角形的性质（2018•内江）已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为（ D ） A ．1：1B ．1：3C ．1：6D ．1：9（2018·重庆A 卷）要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为 CA. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm（2018·铜仁）（2018·重庆B 卷）（2018·自贡）如图，在⊿ABC 中，点D E 、 分别是AB AC 、的中点，若⊿ADE 的面积为4，则是⊿ABC 的面积为 （ ）A. 8B. 12C. 14D. 16 （2018·玉林）（2018·广东）7.在△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（ ）A .21 B .31 C .41 D .61（2018·乌鲁木齐）答案：D（2018·河北）（2018·兰州）（2018·宜宾）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A 'B 'C '的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA '=1,则A 'D 等于（ ）A. 2B.3C. 23 D. 32 （2018·随州）答案：C（2018·荆门）答案：C（2018·杭州）（2018·达州）如图，F E ,是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AC CF AE 41==.连接DF DE ,并延长，分别交BC AB ,于点H G ,，连接GH ，则BGHADCS S ∆∆的值为（ ）A ．21 B ．32 C ．43D ．1 （2018·毕节）如图,在平行四边形ABCD 中,E 是DC 上的点,DE:EC=3:2,连接AE 交BD 于点F,则△DEF 与△BAF 的面积之比为( )A.2:5B.3:5C.9:25D.4:25 （2018·包头）（2018·连云港）（2018·赤峰）（2018·资阳）知识点4 相似三角形的判定（2018·德阳）（2018·枣庄）答案：A（2018·泸州）如图4，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AGGF的值是（ C ）A.43 B.54 C.65 D.76（2018·恩施）如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点，已知2FG =，则线段AE 的长度为（ D ）A ．6B ．8C ．10D ．12（2018·黄冈）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，2AD =，5CE =，则CD =（ C ）A ．2B ．3 C.4 D ．（2018·扬州）（2018·永州）（2018·淄博）如图，在Rt ABC ∆中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ，过点M 作//MN BC 交AC 于点N ，且MN 平分AMC ∠，若1AN =，则BC 的长为（ ）A ．4B ．6 C. ．8（2018·南通）正方形ABCD 的边长2AB =，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE BD 、相交于点M N 、，则MN 的长为（ C ）A B 1- C D （2018·威海）矩形ABCD 与CEFG 如图放置，点,,B C E 共线，点,,C D G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ，若2BC EF ==，1CD CE ==，则GH =( C )A.1B.23（2018·巴中）（2018·南充）（2018·上海）（2018·柳州）（2018·盐城）如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=，6AC =，8BC =，P 、Q 分别为边BC 、AB 上的两个动点，若要使APQ ∆是等腰三角形且BPQ ∆是直角三角形，则AQ =．（2018·云南）（2018·北京）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4=AB ，3=AD ，则CF 的长为 。
2018年河北中考数学答案
2018年河北中考数学答案1. 下列图形具有稳定性的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】解：三角形具有稳定性．故选：A.根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．2. 一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为( )A. 4B. 6C. 7D. 10【答案】B【解析】解：∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，∴原数中“0”的个数为6，故选：B.把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n>0时，n是几，小数点就向后移几位．3. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线( )A. l1B. l2C. l3D. l4【答案】C【解析】解：该图形的对称轴是直线l3，故选：C.根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．4. 将9.52变形正确的是( )A. 9.52=92+0.52B. 9.52=(10+0.5)(10−0.5)C. 9.52=102−2×10×0.5+0.52D. 9.52=92+9×0.5+0.52【答案】C【解析】解：9.52=(10−0.5)2=102−2×10×0.5+0.52，故选：C.根据完全平方公式进行计算，判断即可．本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．5. 图中三视图对应的几何体是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：观察图形可知选项C符合三视图的要求，故选：C.首先画出各个图形的三视图，对照给出的三视图，找出正确的答案；或者用排除法．考查三视图问题，关键是由主视图和左视图、俯视图可判断确定几何体的具体形状．6. 尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是( )A. ①−Ⅳ，②−Ⅳ，③−Ⅳ，④−ⅣB. ①−Ⅳ，②−Ⅳ，③−Ⅳ，④−ⅣC. ①−Ⅳ，②−Ⅳ，③−Ⅳ，④−ⅣD. ①−Ⅳ，②−Ⅳ，③−Ⅳ，④−Ⅳ【答案】D【解析】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是：①−Ⅳ，②−Ⅳ，③−Ⅳ，④−Ⅳ.故选：D.分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．7. 有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，故A选项错误，符合题意．故选：A.直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．此题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．8. 已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A. 作∠APB的平分线PC交AB于点CB. 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC. 取AB中点C，连接PCD. 过点P作PC⊥AB，垂足为C【答案】B【解析】【分析】利用作图方法即判断三角形全等的方法判断即可得出结论．此题主要考查了基本作图，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．【解答】解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90∘，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90∘，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；D 、利用HL 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，符合题意，B 、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；故选：B.9. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为：x 甲−=x 丙−=13，x 乙−=x 丁−=15：s 甲2=s 丁2=3.6，s 乙2=s 丙2=6.3.则麦苗又高又整齐的是( ) A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】解：∵x 乙−=x 丁−>x 甲−=x 丙−，∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，∵s 甲2=s 丁2<s 乙2=s 丙2， ∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，综上，麦苗又高又整齐的是丁，故选：D.方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．10. 图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】解：①−1的倒数是−1，原题错误，该同学判断正确；②|−3|=3，原题计算正确，该同学判断错误；③1、2、3、3的众数为3，原题错误，该同学判断错误；④20=1，原题正确，该同学判断正确；⑤2m2÷(−m)=−2m，原题正确，该同学判断正确；故选：B.根据倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则逐一判断可得．本题主要考查倒数、绝对值、众数、零指数幂及整式的运算，解题的关键是掌握倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则．11. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50∘航行到B处，再向右转80∘继续航行，此时的航行方向为( )A. 北偏东30∘B. 北偏东80∘C. 北偏西30∘D. 北偏西50∘【答案】A【解析】解：如图，，∵AP//BC，∴∠2=∠1=50∘，∴∠3=∠4−∠2=80∘−50∘=30∘，此时的航行方向为北偏东30∘，故选：A.根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．12. 用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1(单位：cm)得到新的正方形，则这根铁丝需增加( )A. 4cmB. 8cmC. (a+4)cmD. (a+8)cm【答案】B【解析】解：∵原正方形的周长为acm，cm，∴原正方形的边长为a4∵将它按图的方式向外等距扩1cm，∴新正方形的边长为(a+2)cm，4+2)=a+8(cm)，则新正方形的周长为4(a4因此需要增加的长度为a+8−A=8cm.故选：B.根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．本题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及代数式的书写规范．13. 若2n+2n+2n+2n=2，则n=( )A. −1B. −2C. 0D. 14【答案】A【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m⋅a n=a m+n(m,n是正整数).利用乘法的意义得到4⋅2n=2，则2⋅2n=1，根据同底数幂的乘法得到21+n=1，然后根据零指数幂的意义得到1+n=0，从而解关于n的方程即可．【解答】解：∵2n+2n+2n+2n=2，∴4⋅2n=2，∴2⋅2n=1，∴21+n=1，∴1+n=0，∴n=−1.故选A.14. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是( )A. 只有乙B. 甲和丁C. 乙和丙D. 乙和丁【答案】D【解析】解：∵x 2−2xx−1÷x21−x=x2−2xx−1⋅1−xx2=x2−2xx−1⋅−(x−1)x2=x(x−2)x−1⋅−(x−1)x2=−(x−2)x=2−xx，∴出现错误是在乙和丁，故选：D.根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．15. 如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为( )A. 4.5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI =∠BAI ，由平移得：AC//DI ，∴∠CAI =∠AID ，∴∠BAI =∠AID ，∴AD =DI ，同理可得：BE =EI ，∴△DIE 的周长=DE +DI +EI =DE +AD +BE =AB =4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B.连接AI 、BI ，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI 是∠CAB 的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD =DI ，同理BE =EI ，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长． 本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．16. 对于题目“一段抛物线L ：y =−x(x −3)+c(0≤x ≤3)与直线l ：y =x +2有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值，”甲的结果是c =1，乙的结果是c =3或4，则( )A. 甲的结果正确B. 乙的结果正确C. 甲、乙的结果合在一起才正确D. 甲、乙的结果合在一起也不正确【答案】D 【解析】解：∵抛物线L ：y =−x(x −3)+c(0≤x ≤3)与直线l ：y =x +2有唯一公共点 ∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式{y =−x(x −3)+c y =x +2得x 2−2x +2−c =0△=(−2)2−4(2−c)=0解得：c =1，当c =1时，相切时只有一个交点，和题目相符所以不用舍去；②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x ≤3上只有一个交点此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5)在抛物线上∴c的最小值=2，但取不到，c的最大值=5，能取到∴2<c≤5又∵c为整数∴c=3，4，5综上，c=1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，故选：D.分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△=0求得c=1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3，4，5，故c=3，4，5 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．17. 计算：√−12=______.−3【答案】2=√4=2，【解析】解：√−12−3故答案为：2.先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得．本题主要考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．18. 若a，b互为相反数，则a2−b2=______.【答案】【解析】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=0.故答案为：0.直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．此题主要考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．19. 如图1，作∠BPC 平分线的反向延长线PA ，现要分别以∠APB ，∠APC ，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC =90∘，而90∘2=45∘是360∘(多边形外角和)的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是______；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是______. 【答案】 14，21.【解析】根据图2将外围长相加可得图案外轮廓周长；设∠BPC =2x ∘，先表示中间正多边形的边数：外角为180∘−2x ∘，根据外角和可得边数=360180−2x ，同理可得两边正多边形的外角为x ∘，可得边数为360x，计算其周长可得结论． 解：图2中的图案外轮廓周长是：8−2+2+8−2=14； 设∠BPC =2x ∘，∴以∠BPC 为内角的正多边形的边数为：360180−2x =18090−x ， 以∠APB 为内角的正多边形的边数为：360x ，∴图案外轮廓周长是=18090−x −2+360x −2+360x −2=18090−x +720x −6， 根据题意可知：2x ∘的值只能为60∘，90∘，120∘，144∘， 当x 越小时，周长越大，∴当x =30时，周长最大，此时图案定为会标， 则会标的外轮廓周长是=18090−30+72030−6=21， 故答案为：14，21.本题考查了正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为360∘是关键．20. 嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚．(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2+6x+8)−(6x+5x2+2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？【答案】解：(1)(3x2+6x+8)−(6x+5x2+2)=3x2+6x+8−6x−5x2−2=−2x2+6；(2)设“”是a，则原式=(ax2+6x+8)−(6x+5x2+2)=ax2+6x+8−6x−5x2−2=(a−5)x2+6，因为标准答案的结果是常数，所以a−5=0，解得：a=5.【解析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．(1)原式去括号、合并同类项即可得；(2)设“”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．21. 老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图(图1)和不完整的扇形图(图2)，其中条形图被墨迹掩盖了一部分.(1)求条形图中被掩盖的数，并写出册数的中位数；(2)在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；(3)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了___________人.【答案】解：(1)抽查的学生总数为6÷25%=24(人)，读书为5册的学生数为24−5−6−4=9(人)，所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；(2)选中读书超过5册的学生的概率=1024=512；(3)3.【解析】【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图和中位数．(1)用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；(2)用读书为6册和7册的人数和除以总人数得到选中读书超过5册的学生的概率；(3)根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．【解答】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人．故答案为3.22. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着−5，−2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．【答案】解：尝试：(1)由题意得前4个台阶上数的和是−5−2+1+9=3；(2)由题意得−2+1+9+x=3，解得：x=−5，则第5个台阶上的数x是−5；应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，∵31÷4=7…3，∴7×3+1−2−5=15，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k−1.【解析】尝试：(1)将前4个数字相加可得；(2)根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k−1.本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．23. 如图，∠A=∠B=50∘，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α.(1)求证：△APM≌△BPN；(2)当MN=2BN时，求α的度数；(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．【答案】(1)证明：∵P是AB的中点，∴PA=PB，在△APM和△BPN中，∵{∠A=∠BPA=PB∠APM=∠BPN，∴△APM≌△BPN(ASA)；(2)解：由(1)得：△APM≌△BPN，∴PM=PN，∴MN=2PN，∵MN=2BN，∴BN=PN，∴α=∠B=50∘；(3)解：∵△BPN的外心在该三角形的内部，∴△BPN是锐角三角形，∵∠B=50∘，∴40∘<∠BPN<90∘，即40∘<α<90∘.【解析】(1)根据AAS证明：△APM≌△BPN；(2)由(1)中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；(3)三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错．24. 如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=−12x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C(m,4).(1)求m的值及l2的解析式；(2)求S△AOC−S△BOC的值；(3)一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．【答案】解：(1)把C(m,4)代入一次函数y=−12x+5，可得4=−12m+5，解得m=2，∴C(2,4)，设l2的解析式为y=ax，则4=2a，解得a=2，∴l2的解析式为y=2x；(2)如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，y=−12x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，∴A(10,0)，B(0,5)，∴AO=10，BO=5，∴S△AOC−S△BOC=12×10×4−12×5×2=20−5=15；(3)一次函数y =kx +1的图象为l 3，且11，l 2，l 3不能围成三角形， ∴当l 3经过点C(2,4)时，k =32； 当l 2，l 3平行时，k =2； 当11，l 3平行时，k =−12； 故k 的值为32或2或−12.【解析】(1)先求得点C 的坐标，再运用待定系数法即可得到l 2的解析式；(2)过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD =4，CE =2，再根据A(10,0)，B(0,5)，可得AO =10，BO =5，进而得出S △AOC −S △BOC 的值；(3)分三种情况：当l 3经过点C(2,4)时，k =32；当l 2，l 3平行时，k =2；当11，l 3平行时，k =−12；故k 的值为32或2或−12.本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．25. 如图，点A 在数轴上对应的数为26，以原点O 为圆心，OA 为半径作优弧AB⏜，使点B 在O 右下方，且tan∠AOB =43，在优弧AB⏜上任取一点P ，且能过P 作直线l//OB 交数轴于点Q ，设Q 在数轴上对应的数为x ，连接OP.(1)若优弧AB⏜上一段AP ⏜的长为13π，求∠AOP 的度数及x 的值； (2)求x 的最小值，并指出此时直线l 与AB ⏜所在圆的位置关系； (3)若线段PQ 的长为12.5，直接写出这时x 的值.【答案】解：(1)如图1中，由n⋅π⋅26180=13π，解得n=90∘，∴∠POQ=90∘，∵PQ//OB，∴∠PQO=∠BOQ，∴tan∠PQO=tan∠QOB=43=OPOQ，∴OQ=392，∴x=39 2.(2)如图当直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．在Rt△OPQ中，OQ=OP÷45=32.5，此时x的值为−32.5.(3)分三种情况：①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k.在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴262=(4k)2+(3k−12.5)2，整理得：k2−3k−20.79=0，解得k=6.3或−3.3(舍弃)，∴OQ=5k=31.5.此时x的值为31.5.②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H.设OH=4k，QH=3k.在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴262=(4k)2+(12.5+3k)2，整理得：k2+3k−20.79=0，解得k=−6.3(舍弃)或3.3，∴OQ=5k=16.5，此时x的值为−16.5.③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k.在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴262=(4k)2+(3k−12.5)2，整理得：k2−3k−20.79=0，解得k=6.3或−3.3(舍弃)，∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃．此时x的值为−31.5.综上所述，满足条件的x的值为−16.5或31.5或−31.5.【解析】(1)利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；(2)如图当直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．(3)由于P是优弧AB⏜上的任意一点，所以P点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．本题考查圆综合题、平行线的性质、弧长公式、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26. 如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴(水平)18米，与y轴交于点B，与滑道y=kx(x≥1)交于点A，且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离ℎ(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比，且t=1时ℎ=5，M，A的水平距离是vt米.(1)求k，并用t表示h；(2)设v=5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式(不写x的取值范围)，及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围.【答案】解：(1)由题意，点A(1,18)代入y=kx得：18=k1∴k=18设ℎ=at2，把t=1，ℎ=5代入∴a=5∴ℎ=5t2(2)∵v=5，AB=1∴x=5t+1∵ℎ=5t2，OB=18∴y=−5t2+18由x=5t+1则t=15(x−1)∴y=−15(x−1)2+18=−15x2+25x+895(x−1)2+18当y=13时，13=−15解得x=6或−4∵x≥1∴x=6把x=6代入y=18xy=3∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13−3=10(米)(3)把y=1.8代入y=−5t2+18得t2=8125解得t=1.8或−1.8(负值舍去)∴x=10∴甲坐标为(10,1.8)，,1.8)此时，乙的坐标为(1+1.8v乙−(1+5×1.8)>4.5由题意：1+1.8v乙>7.5∴v乙【解析】(1)用待定系数法解题即可；(2)根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；.(3)求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙本题以考查二次函数和反比例函数的待定系数法以及函数图象上的临界点问题．。
河北省2018年中考数学复习专题2图形变式与拓展课件
解：(1)四边形EFGH是平行四边形，理由如下： 如图，连接AC， ∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥HG，EF＝HG. 故四边形EFGH是平行四边形． (2)①当AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．理由如下： 由(1)知，四边形EFGH是平行四边形， ∴当AC＝BD时，FG＝HG.∴▱EFGH是菱形． ②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．
类型2 关于四边形的变式拓展问题
【例2】[2017·长春中考]【再现】如图1，在△ABC中，点D，E分别
是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝ (不需要证明)
【探究】如图2，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，
解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°， ∴AH＝BH. 在△BHD和△AHC中，
∴△BHD≌△AHC(SAS)．∴BD＝AC. (2)①在Rt△AHC中， ∵tanC＝3，
设CH＝x，则BH＝AH＝3x. ∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1. 由旋转，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，FH＝ DH＝CH＝1，
∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3. 如图，过点H作HP⊥AE于点P， ∴HP＝3AP，AE＝2AP. 在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2， ∴AP2＋(3AP)2＝9.
②EF＝2GH.理由如下： 设AH与CG交于点Q， 由①知，△AEH和△FHC都为等腰三角形． 又∵旋转角为30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°.∴∠EHA＝∠FHC ＝120°.∴∠HCG＝∠GAH＝30°.∴△AGQ∽△CHQ.∴∠AGQ＝ ∠CHQ＝90°.
河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题8三角形四边形中的相关证明及计算精讲试题20171207136
专题八 三角形、四边形中的相关证明及计算10此专题是初中几何的重要部分，在历年中考中均有命题，且难易度伸缩性年选择、填空、解答均会出解题策略1．熟练掌握定义、定理，规范推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理．2．由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键．,重难点突破)三角形的有关计算和证明【例1】(重庆中考B 卷)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD⊥AB 交BE 的延长线于点D.CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG 即可．【答案】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2017湖南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.【方法指导】熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定．四边形的有关计算和证明【例2】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE 是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE ，BE ，进而求出AD ，DE ，即可求出菱形BFDE 的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C＝90°，AB ＝CD.由翻折得：BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB，∠C ＝∠DNF，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF＝90°，∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN，∴△EDM ≌△FBN(ASA )，∴ED ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形； (2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. 在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433， ∴ED ＝433，∴AD ＝2 3. ∴S 菱形BFDE ＝ED·AB＝433×2＝833.2．(襄阳中考)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2)探究线段EG ，GF ，AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD ＝∠AFE，FD ＝FE.∵EG ∥CD ，∴∠EGF ＝∠AFD，∴∠EGF ＝∠AFE，∴EG ＝EF ＝FD ，∴EG 綊FD ，∴四边形EFDG 是平行四边形．又∵FD＝FE ，∴▱EFDG 是菱形；(2)连接ED 交AF 于点H.∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝D H ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF. 即EF 2＝FH·AF，∴EG 2＝12AF ·GF ； (3)∵AG＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)GF. ∵GF>0，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA＝90°，∠DAF ＋∠DFA＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝1255. 【方法指导】熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查．。
2018年河北中考数学《4.4解直角三角形》复习课件和随堂演练最新版
知识点三 解直角三角形的应用
考点一 锐角三角函数的定义 (5年0考) 命题角度❶ 求锐角三角函数的值
(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每
个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误
的是(
)
A．sin α ＝cos α C．sin β ＝cos β
B．tan C＝2 D．tan α ＝1
∵AB＝1.2，
∴AB＋EH≈1.2＋0.72＝1.92≈1.9.故选A.
解直角三角形应用问题时，首先分析实际问题然后找到 数学模型，通常有两种情况，一种需要构造形内高，第 二种需要构造形外高，借助已知条件建立等量关系．
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
【初中数学】河北省2018年中考数学总复习：精讲试题(91份) 人教版47
第二节 锐角三角函数及解直角三角形的应用河北五年中考真题及模拟解直角三角形的应用1．(2017保定中考模拟)如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为( D )A .33B .55C .233D .255(第1题图)(第2题图)2．(2017河北中考模拟)如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，若BD∶CD＝3∶2，则tan B ＝( D ) A .32 B .23 C .62 D .633．(2016河北中考模拟)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果cos B ＝12，那么sin A 的值是( B )A ．1B .12C .32 D .224．(2016定州中考模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12.则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1255．(2015河北中考)已知：岛P 位于岛Q 的正西方，由岛P ，Q 分别测得船R 位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( D ),A ) ,B ),C ) ,D )6．(2013河北中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为( D )A ．40海里B ．60海里C ．70海里D ．80海里(第6题图)(第7题图)7．(2016保定十三中二模)如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4.某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为．8张家口九中二模)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图①)，图②是从图①引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC 为2 m ，两拉索底端距离AD 为20 m ，请求出立柱BH 的长．(结果精确到0.1 m ，3≈1.732)解：设DH ＝x m .∵∠CDH ＝60°，∠H ＝90°， ∴CH ＝DH·tan 60°＝3x ， ∴BH ＝BC ＋CH ＝2＋3x. ∵∠A ＝30°，∴AH ＝3BH ＝23＋3x. ∵AH ＝AD ＋D H ＝20＋x ， ∴23＋3x ＝20＋x ， 解得x ＝10－3，∴BH ＝2＋3(10－3)＝103－1≈16.3(m )． 答：立柱BH 的长约为16.3 m .9．(2016邯郸二十五中模拟)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm . 图①是一位同学的坐姿，把他的眼睛B ，肘关节C 和笔端A 的位置关系抽象成图②的△A BC. 已知BC ＝30 cm ，AC ＝22 cm ，∠ACB ＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由. (参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求． 理由：过点B 作BD⊥AC 于点D. ∵BC ＝30 cm ，∠ACB ＝53°，∴sin 53°＝BD BC ＝BD30≈0.8，解得：BD ＝24，cos 53°＝DCBC≈0.6，解得DC ＝18,∴AD ＝AC －DC ＝22－18＝4(cm )，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝42＋242＝592<900， ∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．,中考考点清单)锐角三角函数的概念正弦 余弦 正切__特殊角的三角函数值三边关系两锐角关系边角关系解直角三角形的应用仰角、俯角(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．,中考重难点突破)锐角三角函数及特殊角三角函数值【例1】(攀枝花中考)在△ABC 中，如果∠A，∠B 满足|tan A －1|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C＝________. 【解析】先根据非负性，得tan A ＝1，cos B ＝12，求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．∵在△ABC 中，tan A ＝1，cos B ＝12，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－∠A－∠B＝75°.【答案】75°1．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( D ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．(2017天津中考)cos 60°的值等于( D )A . 3B ．1C .22 D .123．(2017日照中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( B ) A .513 B .1213 C .512 D .1254．(孝感中考)式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( B ) A ．23－2 B ．0 C ．2 3 D ．2解直角三角形的实际应用【例2】(钦州中考)如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED ＝60°，在离电线杆6 m 的B 处安置高为1.5 m 的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【解析】由题意可先过点A 作AH⊥CD 于点H ，在Rt △ACH 中，可求出CH ，进而求出CD ＝CH ＋HD ＝CH ＋AB ，再在Rt △CED 中，求出CE 的长．【答案】解：过点A 作AH⊥CD，垂足为H ，由题意，可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH ＝30°， ∴AB ＝DH ＝1.5，BD ＝AH ＝6.在Rt △ACH 中，tan ∠CAH ＝CHAH ，∴CH ＝AH·tan ∠CAH ＝6tan 30°＝6×33＝23(m )． ∵DH ＝1.5，∴CD ＝23＋1.5.在Rt △CDE 中，∠CED ＝60°，sin ∠CED ＝CDCE，∴CE ＝CDsin 60°＝4＋3≈5.7(m )，∴拉线CE 的长约为5.7 m .5．(2017兰州中考)如图，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( C )A .513B .1213C .512D .1312(第5题图)(第6题图)6．(2016石家庄十一中二模)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，宽为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是__210__cm .7．(2016保定十七中二模)如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2 cm .若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为__2.7__cm .(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)8．(2016邢台中学二模)如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2 km .有一艘小船在点P 处，从A 处测得小船在北偏西60°的方向，从B 处测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处．此时，从B 处测得小船在北偏西15°的方向，求点C 与点B 之间的距离．(上述2小题的结果都保留根号)解：(1)过点P 作PD⊥AB 于点D. 设PD ＝x km .在Rt △P BD 中，∠BDP ＝90°，∠PBD ＝90°－45°＝45°， ∴BD ＝PD ＝x.在Rt △PAD 中，∠ADP ＝90°， ∠PAD ＝90°－60°＝30°， ∴AD ＝3PD ＝3x.∵BD ＋AD ＝AB ，∴x ＋3x ＝2，x ＝3－1.∴点P 到海岸线l 的距离为(3－1)km ； (2)过点B 作BF⊥AC 于点F. 根据题意，得∠ABC＝105°.在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，∠BAF ＝30°，∴BF ＝12AB ＝1.在△ABC 中，∠C ＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.在Rt △BCF 中，∠BFC ＝90°，∠C ＝45°， ∴BC ＝2BF ＝2，∴点C 与点B 之间的距离为 2 km .。
2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题10解直角三角形或相似的计算与实践精讲试题
年份题型考点题号分值难易度2017选择题、解答题方位角、三角函数10、25(2)(3) 3＋7＝10容易题、中等题、较难题2016选择题相似三角形判定15 2 中等题2015选择题方位角9 3 容易题命题规律纵观河北历年中考，每年都有命题，而且多与其他知识综合考查，近几年考查稍微弱一些，但感觉以后考查会侧重的，并且此专题难题较多，出题角度很广，2017年已经体现了，复习时要重视．预测2018年会延续2017年，分值和题量不变.解题策略首先夯实基础，其次加强与其他知识的综合应用，今年中考单独考查相似或三角函数的时候很少，多数把它俩作为解题工具，因此要加强综合训练．,重难点突破)锐角三角函数的实际应用【例1】(贵阳中考)在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已知塔基AB的高为4 m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC方向走5 m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽略不计)(1)求A，C的距离；(结果保留根号)(2)求塔高AE.(结果保留整数)【解析】(1)在Rt△ABC中，利用锐角三角函数关系可得AC＝ABtan∠ACB，结合已知求出AC的距离；(2)在Rt △ADE中，易得AE＝AD·tan∠A DE，结合已知求解，根据题目要求取近似值．【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝4 m.∵tan∠ACB＝ABAC，∴AC＝ABtan∠ACB＝4tan30°＝43(m)．答：A，C的距离为4 3 m.(2)在Rt△ADE中，∠ADE＝50°，AD＝(5＋43)m.∵tan∠A DE＝AEAD，∴AE＝AD·tan∠ADE＝(5＋43)×tan50°≈14(m)．答：塔高AE约为14 m.1．(张家界中考)如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20 m到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12 m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE，∴BE＝DE＝20.在Rt △BEC 中，BC ＝BE·sin 60°＝20×32＝103(m )，∴AB ＝BC －AC ＝103－12≈5.3(m )． 答：旗杆AB 的高度是5.3 m .【方法指导】 解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是牢记特殊角的三角函数值及边角关系．相似的综合【例2】(2017株洲中考)如图所示，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 相交于点G ，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.【解析】(1)由正方形ABCD 与等腰直角三角形DEF ，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 即可得证；(2)由第(1)问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角对应角相等的三角形相似即可得证．【答案】证明：(1)∵正方形ABCD ，等腰直角三角形EDF ，∴∠ADC ＝∠EDF＝90°，AD ＝CD ，DE ＝DF ，∴∠ADE ＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE ＝∠CDF，在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF DA ＝DC ，，∴△ADE ≌△CDF ；(2)延长BA ，交ED 于点M.∵△ADE ≌△CDF ，∴∠EAD ＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.∵∠MAD ＝∠BCD＝90°，∴∠EAM ＝∠BCF.∵∠EAM ＝∠BAG，∴∠BAG ＝∠BCF.∵∠AGB ＝∠CGF，∴△ABG ∽△CFG.2．(2017常德中考)如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 在BC 上，连接AD ，作BF⊥AD 分别交AD 于E ，交AC 于F.(1)如图①，若BD ＝BA ，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图②，若BD ＝4DC ，取AB 的中点G ，连接CG 交AD 于M ，求证：①GM＝2MC ；②AG 2＝AF·AC.解：(1)在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BD ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE(HL )； (2)①过G 作GH∥AD 交BC 于H.∵G 是AB 中点且GH∥AD，∴H 是BD 中点，∴BH ＝DH.∵BD ＝4DC ，设DC ＝1，BD ＝4，∴BH ＝DH ＝2；∵GH ∥AD ，∴GM MC ＝HD DC ＝21，∴GM ＝2MC ；②过C 作CN⊥AC 交AD 的延长线于N ，则CN∥AG.∴△AGM ∽△NCM ，∴AG NC ＝GM MC. 由①知GM ＝2MC ，∴2NC ＝AG.∵∠BAC ＝∠AEB＝90°，∴∠ABF ＝∠C AN ＝90°－∠BAE，∴△ACN ∽△BAF ，∴AF CN ＝AB AC. ∵AB ＝2AG ，∴AF CN ＝2AG AC， ∴2CN ·AG ＝AF·AC，∴AG 2＝AF·AC.【方法指导】首先掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形”．教后反思 __________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。
2018年河北中考数学总复习之相似形专题(无答案)
河北中考复习之相似形1、已知：如图7，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD =AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F 。
（1）求证：△ABC ∽△FCD ； （2）若S △FCD =5,BC =10，求DE 的长。
2、如图1，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 【 】 A ．0.36π平方米 B ．0.81π平方米 C ．2π平方米 D ．3.24π平方米3、如图8，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ） A 、 B 、2 C 、3 D 、45、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点0和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O 为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△AA′B′C′和△ABC 位似，且位似比为 1：2；（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．（结果保留根号）图8EA B D M C F 图图17、如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE=BK=AG ． （1）求证：①DE=DG； ②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （3）连接（2）中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．8、如图131-，点E 是线段BC 的中点，分别以B C ，为直角顶点的EAB EDC △和△均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．（1）AE ED 和的数量关系为___________，AE ED 和的位置关系为___________；（2）在图131-中，以点E 为位似中心，作EGF △与EAB △位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接GH HD ，，分别得到了图132-和图133-；①在图132-中，点F 在BE 上，EGF EAB △与△的相似比是1:2，H 是EC 的中点.求证：.GH HD GH HD =⊥，②在图133-中，点F 在BE 的延长线上，EGF EAB △与△的相似比是k :1，若2BC =，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH HD GH HD =⊥且（用含k 的代数式表示）．9、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P 从点A 出发，沿折线AD-DC-CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停止．设运动时间为t 秒，y=S △EPF ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．。
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年份题型考点题号分值难易度
2017
选择题、解答
题
方位角、三角
函数
10、25(2)(3) 3＋7＝10
容易题、中等
题、较难题
2016选择题
相似三角形判
定
15 2 中等题
2015选择题方位角9 3 容易题
命题规律
纵观河北历年中考，每年都有命题，而且多与其他知识综合考查，近几年
考查稍微弱一些，但感觉以后考查会侧重的，并且此专题难题较多，出题
角度很广，2017年已经体现了，复习时要重视．预测2018年会延续2017
年，分值和题量不变
.
解题策略
首先夯实基础，其次加强与其他知识的综合应用，今年中考单独考查相似或三角函数的时候很少，多数把它俩作为解题工具，因此要加强综合训练．
,重难点突破)
锐角三角函数的实际应用
【例1】(贵阳中考)在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已知塔基AB的高为4 m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC
方向走5 m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽略不计)
(1)求A，C的距离；(结果保留根号)
(2)求塔高AE.(结果保留整数)
【解析】(1)在Rt△ABC中，利用锐角三角函数关系可得AC＝
AB
tan∠ACB
，结合已知求出AC的距离；(2)在Rt △ADE中，易得AE＝AD·tan∠A DE，结合已知求解，根据题目要求取近似值．
【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝4 m.
∵tan∠ACB＝
AB
AC
，
∴AC＝
AB
tan∠ACB
＝
4
tan30°
＝43(m)．
答：A，C的距离为4 3 m.
(2)在Rt△ADE中，∠ADE＝50°，
AD＝(5＋43)m.
∵tan∠A DE＝
AE
AD
，
∴AE＝AD·tan∠ADE＝(5＋43)×tan50°≈14(m)．
答：塔高AE约为14 m.
1．(张家界中考)如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20 m到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12 m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)
解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE，
∴BE＝DE＝20.
在Rt △BEC 中，
BC ＝BE·sin 60°＝20×
32＝103(m )，∴AB ＝BC －AC ＝103－12≈5.3(m )． 答：旗杆AB 的高度是5.3 m .
【方法指导】 解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是牢记特殊角的三角函数值及边角关系．
相似的综合
【例2】(2017株洲中考)如图所示，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 相交于点G ，连接CF.
(1)求证：△DAE≌△DCF；
(2)求证：△ABG∽△CFG.
【解析】(1)由正方形ABCD 与等腰直角三角形DEF ，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 即可得证；
(2)由第(1)问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角对应角相等的三角形相似即可得证．
【答案】证明：(1)∵正方形ABCD ，等腰直角三角形EDF ，
∴∠ADC ＝∠EDF＝90°，
AD ＝CD ，DE ＝DF ，
∴∠ADE ＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，
∴∠ADE ＝∠CDF，
在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF DA ＝DC ，
，
∴△ADE ≌△CDF ；
(2)延长BA ，交ED 于点M.
∵△ADE ≌△CDF ，∴∠EAD ＝∠FCD，
即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.
∵∠MAD ＝∠BCD＝90°，∴∠EAM ＝∠BCF.
∵∠EAM ＝∠BAG，∴∠BAG ＝∠BCF.
∵∠AGB ＝∠CGF，∴△ABG ∽△CFG.
2．(2017常德中考)如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 在BC 上，连接AD ，作BF⊥AD 分别交AD 于E ，交AC 于F.
(1)如图①，若BD ＝BA ，求证：△ABE≌△DBE；
(2)如图②，若BD ＝4DC ，取AB 的中点G ，连接CG 交AD 于M ，求证：①GM＝2MC ；②AG 2＝AF·AC.
解：(1)在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，
∵⎩
⎪⎨⎪⎧BA ＝BD ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE(HL )； (2)①过G 作GH∥AD 交BC 于H.
∵G 是AB 中点且GH∥AD，∴H 是BD 中点，∴BH ＝DH.
∵BD ＝4DC ，设DC ＝1，BD ＝4，∴BH ＝DH ＝2；
∵GH ∥AD ，∴GM MC ＝HD DC ＝21，∴GM ＝2MC ；
②过C 作CN⊥AC 交AD 的延长线于N ，则CN∥AG.
∴△AGM ∽△NCM ，∴AG NC ＝GM MC
. 由①知GM ＝2MC ，∴2NC ＝AG.
∵∠BAC ＝∠AEB＝90°，
∴∠ABF ＝∠C AN ＝90°－∠BAE，
∴△ACN ∽△BAF ，∴AF CN ＝AB AC
. ∵AB ＝2AG ，∴AF CN ＝2AG AC
， ∴2CN ·AG ＝AF·AC，∴AG 2＝AF·AC.
【方法指导】
首先掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形”．
教后反思 __________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。