2018年高考数学(文科)复习专题测试(命题规律探究题组分层精练)：第十三章推理与证明(共42张PPT)
2018届全国统一招生高考押题卷文科数学(二)试卷(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）{}2340A x x x =∈--≤Z {}0ln 2B x x =<<A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2,3,4{}3,4{}2,3,4{}1,0,1,2,3,4-【答案】C【解析】，{}{}{}2340141,0,1,2,3,4A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=-Z Z ，所以．{}{}20ln 21e B x x x x =<<=<<{}2,3,4A B = 2．设复数（是虚数单位），则的值为（）1z=i z z+A ．B ．C．D ．21【答案】B【解析】，．2z z +=2z z +=3．“为假”是“为假”的（ ）条件．p q ∧p q ∨A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】由“为假”得出，中至少一个为假．当，为一假一真时，为真，故不充分；p q ∧p q p q p q ∨当“为假”时，，同时为假，所以为假，所以是必要的，所以选B ．p q ∨p q p q ∧4．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）x y 222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩3x z y =-+A ．B ．C ．D ．143-2-434【答案】C【解析】作出的可行域为三角形（包括边界），把改写为，当且仅当动直线3x z y =-+3xy z =+过点时，取得最大值为．3x y z =+()2,2z 435．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏．n n A ．2B ．3C ．26D ．27【答案】C【解析】设顶层有灯盏，底层共有盏，由已知得，则，1a 9a ()91991132691262a a a a a =⎧⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以选C ．6．如图是一个算法流程图，若输入的值是13，输出的值是46，则的值可以是（ ）n S a A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】依次运行流程图，结果如下：，；，；，；，，此时退出循环，所以的值可13S =12n =25S =11n =36S =10n =46S =9n =a 以取10．故选C ．7．设双曲线的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲()2222:10,0x y C a b a b-=>>线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A ．2BC ．D ．4【答案】B【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为，所以．因2222:1x yC a b -=y x =±a b =为顶点到一条渐近线的距离为1，所以，双曲线的方程为，所1=a b ==C 22122x y -=以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．b =8．已知数据，，，，的平均值为2，方差为1，则数据，，，相对于原数据（ ）1x 2x 10x 21x 2x 10x A ．一样稳定B ．变得比较稳定C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断【答案】C【解析】因为数据，，，，的平均值为2，所以数据，，，的平均值也为2，因为数据，1x 2x 10x 21x 2x 10x 1x ，，，的方差为1，所以，所以，所以数据，2x 10x 2()()102211222111i i x =⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦∑()10212=11i i x =-∑1x ，，的方差为，因为，所以数据，，，相对于原数据变得比较不2x 10x ()102112=1.110ii x =-∑ 1.11>1x 2x 10x 稳定．9．设表示正整数的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列的前n 项和为，那n a n {}n a n S 么（ ）21n S -=A ．B ．C ．D ．122n n +--11222433n n --+⋅-2nn -22nn +-【答案】B【解析】由已知得，当为偶数时，，当为奇数时，．n 2n n a a =n 12n na +=因为，12342121n n S a a a a a --=+++++ 所以1112342121n n S a a a a a ++--=+++++ ()()111352462122+n n a a a a a a a a ++--=++++++++ ()1123211113151212222n n a a a a +-⎛⎫++++-=+++++++++ ⎪⎝⎭ ，()()123211232n na a a a -=+++++++++ ()211222n nnS -+=+()211242n nn S -=++即，()121211242n n nn S S +--=++所以．()()()1112211112121111224242422422233n n n n n n n S S --------=+++++++=+⋅- 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为3，2y mx =()0m >P Q PQ ，则（ ）54PQ m =m =A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】因为，所以焦点到准线的距离，设，的横坐标分别是，，则2y mx =2mp =P Q 1x 2x ，，因为，所以，即，解得．1232x x +=126x x +=54PQ m =125+4x x p m +=5624m m +=8m =11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，1，，则此三棱锥外接球的12表面积为（）A ．B ．C ．D ．174π214π4π5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三1111ABCD A B C D -棱锥,且长方体的长、宽、高分别为2，1，，11A CB D -1111ABCD A B C D-12所以此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，半径，所以1111ABCD A B C D -R ==三棱锥外接球的表面积为．2221444S R π=π=π=12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则下列一定P sin ln y x x =+OP O k 成立的为（ ）A ．B ．C ．D ．1k <-0k <1k <1k ≥【答案】C【解析】任意取为一正实数，一方面，另一方面容易证成立，所以x sin ln ln 1y x x x =+≤+ln 1x x +≤，因为与中两个等号成立条件不一样，所以sin ln y x x x =+≤sin ln ln 1y x x x =+≤+ln 1x x +≤恒成立，所以，所以排除D ；当时，，所以，所以sin ln y x x x =+<1k <2x π≤<πsin ln 0y x x =+>0k >排除A ，B ．所以选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高三数学试卷(文科).docx
2018年高三数学试卷(文科)2018年高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设全集U={x ∈R|x ＞0}，函数f （x ）=√lnx−1的定义域为A ，则∁U A 为（ ）A ．（0，e]B ．（0，e ）C ．（e ，+∞）D ．[e ，+∞）2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=﹣2i ，i 为虚数单位，则z=（ ）A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1+iD ．1﹣i3．（5分）已知A （1，﹣2），B （4，2），则与AB →反方向的单位向量为（ ）A ．（﹣35，45）B ．（35，﹣45）C ．（﹣35，﹣45）D ．（35，45）4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log 20.5，则（ ）A ．n ＞m ＞pB ．n ＞p ＞mC ．m ＞n ＞pD ．p ＞n ＞m5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）A ．19B ．20C ．21D ．226．（5分）已知p ：x ≥k ，q ：（x ﹣1）（x+2）＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）B ．[﹣2，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（ ）A ．056，080，104B ．054，078，102C ．054，079，104D ．056，081，1068．（5分）若直线x=54π和x=94π是函数y=sin （ωx +φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（ ）A．3π4B．π2C．π3D．π49．（5分）如果实数x，y满足约束条件所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．附：x2=n(n11n22−n21n12)2 n1⋅n2⋅n+1⋅n+2．P（X2≥k）0.1500.1000.0500.010k 2.072 2.706 3.841 6.63518．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．（1）求证：PA⊥平面CMN；（2）求证：AM∥平面PBC．19．（12分）已知等差数列{an }的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．（1）求数列{an }和{bn}的通项公式；（2）数列{cn }满足cn=bn+（﹣1）n an，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣axx−1，a∈R．（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．21．（14分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率是√32，点P （1，√32）在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q （x Q ，y Q ）（点Q 异于点P ），若0＜x Q ＜1，求直线l 斜率k 的取值范围；（3）若以点P 为圆心作n 个圆P i （i=1，2，…，n ），设圆P i 交x 轴于点A i 、B i ，且直线PA i 、PB i 分别与椭圆E 交于M i 、N i （M i 、N i 皆异于点P ），证明：M 1N 1∥M 2N 2∥…∥M n N n ．2018年高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设全集U={x ∈R|x ＞0}，函数f （x ）=√lnx−1的定义域为A ，则∁U A 为（ ）A ．（0，e]B ．（0，e ）C ．（e ，+∞）D ．[e ，+∞）【分析】先求出集合A ，由此能求出C U A ．【解答】解：∵全集U={x ∈R|x ＞0}，函数f （x ）=√lnx−1的定义域为A ，∴A={x|x ＞e}，∴∁U A={x|0＜x ≤e}=（0，e]．故选：A ．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=﹣2i ，i 为虚数单位，则z=（ ）A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1+iD ．1﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（1+i ）z=﹣2i ，则z=−2i 1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=﹣i ﹣1． 故选：B ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知A （1，﹣2），B （4，2），则与AB →反方向的单位向量为（ ）A ．（﹣35，45）B ．（35，﹣45）C ．（﹣35，﹣45）D ．（35，45）【分析】与AB →反方向的单位向量=﹣AB→|AB →|，即可得出．【解答】解：AB →=（3，4）．∴与AB →反方向的单位向量=﹣AB→|AB →|=﹣=(−35，−45)．故选：C ．【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log 20.5，则（ ） A ．n ＞m ＞p B ．n ＞p ＞m C ．m ＞n ＞p D ．p ＞n ＞m【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出．【解答】解：m=0.52=14，n=20.5=√2＞1，p=log 20.5=﹣1，则n ＞m ＞p ．故选：A ．【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）A ．19B ．20C ．21D ．22【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n ≥210时n 的最小自然数值，求出即可． 【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n ≥210时n 的最小自然数值，由S=n(n+1)2≥210，解得n ≥20，∴输出n的值为20．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出．【解答】解：q：（x﹣1）（x+2）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．又p：x≥k，p是q的充分不必要条件，则实数k＞1．故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（）A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔60024=25个号抽到一个人，则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，故选：D．【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是基础题．8．（5分）若直线x=54π和x=94π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（）A．3π4B．π2C．π3D．π4【分析】根据直线x=54π和x=94π是函数y=sin （ωx +φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，可得周期T ，利用x=54π时，函数y 取得最大值，即可求出φ的取值．【解答】解：由题意，函数y 的周期T=2×(94π−54π)=2π．∴函数y=sin （x+φ）．当x=54π时，函数y 取得最大值或者最小值，即sin （5π4+φ）=±1，可得：5π4+φ=π2+kπ．∴φ=kπ−3π4，k ∈Z ．当k=1时，可得φ=π4．故选：D ．【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，属于基础题．9．（5分）如果实数x ，y 满足约束条件{3x +y −6≤0x −y −2≤0x ≥1，则z=y+1x+1的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，z=y+1x+1的几何意义是区域内的点到定点（﹣1，﹣1）的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出约束条件{3x +y −6≤0x −y −2≤0x ≥1所对应的可行域（如图阴影），z=y+1x+1的几何意义是区域内的点到定点P （﹣1，﹣1）的斜率，由图象知可知PA 的斜率最大，由{x =13x +y −6=0，得A （1，3），则z=3+11+1=2，即z 的最大值为2，故选：C ．【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．10．（5分）函数f（x）={−x−1，x＜121−x，x≥1的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣34C．a≥1或a＜﹣34D．a＞1或a≤﹣34【分析】作出f（x）的图象和g（x）的图象，它们恰有一个交点，求出g（x）的恒过定点坐标，数形结合可得答案．【解答】解：函数f（x）={−x−1，x＜121−x，x≥1与函数g（x）的图象它们恰有一个交点，f（x）图象过点（1，1）和（1，﹣2），而，g（x）的图象恒过定点坐标为（1﹣a，0）．从图象不难看出：到g（x）过（1，1）和（1，﹣2），它们恰有一个交点，当g（x）过（1，1）时，可得a=1，恒过定点坐标为（0，0），往左走图象只有一个交点．当g（x）过（1，﹣2）时，可得a=−34，恒过定点坐标为（74，0），往右走图象只有一个交点．∴a＞1或a≤﹣3 4．故选：D．【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用．数形结合的思想．属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B 三点的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8 ．【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于（4，0）、（0，4）两点，即A、B的坐标为（4，0）、（0，4），经过O、A、B三点的圆，即△AOB的外接圆，而△AOB为等腰直角三角形，则其外接圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，则有2r=|AB|=4√2，即r=2√2，圆心坐标为（2，2），其该圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．【点评】本题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质．12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为163．【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V=23−13×22×2=163．故答案为：16 3．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足x−2x+1＜0的概率为12，则实数a的值为 4 ．【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度比为测度比得答案．【解答】解：由x−2x+1＜0，得﹣1＜x＜2．又x≥0，∴0≤x＜2．∴满足0≤x＜2的概率为2a=12，得a=4．故答案为：4．【点评】本题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是基础的计算题．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线x2a2﹣y29=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为2 ．【分析】设M点到抛物线准线的距离为d，由已知可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则41+a=3a，解得实数a的值．【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d，则丨MF丨=d=1+p2=5，则p=8，所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为（1，4）；又双曲线的左顶点为A（﹣a，0），渐近线为y=±3 a ，直线AM的斜率k=4−01+a =41+a，由41+a=3a，解得a=3．∴a的值为3，故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题．15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x）+g（2x）=0成立，则实数a的取值范围是[−154，−32] ．【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数g（x）和偶函数f（x）的表达式，将等式af（x）+g（2x）=0，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，通过变形可得a=t+2t，讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围．【解答】解：解：∵g（x）为定义在R上的奇函数，f（x）为定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），又∵由f（x）+g（x）=2x，结合f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=2﹣x，∴f（x）=12（2x+2﹣x），g（x）=12（2x﹣2﹣x）．等式af（x）+g（2x）=0，化简为a2（2x+2﹣x）+12（22x﹣2﹣2x）=0．∴a=2﹣x﹣2x∵x ∈[1，2]，∴32≤2x ﹣2﹣x≤154，则实数a 的取值范围是[﹣154，﹣32]，故答案为：[﹣154，﹣32]．【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．属于中档题三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量m →=（sinx ，﹣1），n →=（cosx ，32），函数f （x ）=（m →+n →）•m →．（1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移π8个单位得到函数g （x ）的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别a ，b ，c ，若a=3，g （A 2）=√66，sinB=cosA ，求b 的值．【分析】（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；（2）运用图象变换，可得g （x ）的解析式，由条件可得sinA ，cosA ，sinB 的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．【解答】解：（1）向量m →=（sinx ，﹣1），n →=（cosx ，32），函数f （x ）=（m →+n →）•m →=（sinx+cosx ，12）•（sinx ，﹣1）=sin 2x+sinxcosx ﹣12=12sin2x ﹣12（1﹣2sin 2x ）=12sin2x ﹣12cos2x=√22sin （2x ﹣π4），由2kπ﹣π2≤2x ﹣π4≤2kπ+π2，k ∈Z ，可得kπ﹣π8≤x ≤kπ+3π8，k ∈Z ，即有函数f （x ）的单调递增区间为[kπ﹣π8，kπ+3π8]，k ∈Z ；（2）由题意可得g （x ）=√22sin （2（x+π8）﹣π4）=√22sin2x ，g （A 2）=√22sinA=√66，即sinA=√33，cosA=±√1−13=±√63，在△ABC中，sinB=cosA＞0，可得sinB=√6 3，由正弦定理asinA=bsinB，可得b=asinBsinA=3×√63√33=3√2．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．17．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．附：x2=n(n11n22−n21n12)2 n1⋅n2⋅n+1⋅n+2．P（X2≥k）0.1500.1000.0500.010k 2.072 2.706 3.841 6.635【分析】（1）根据表中数据，计算观测值X2，对照临界值得出结论；（2）分别计算选取的数学及格与不及格的人数，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）根据表中数据，计算X2=72×(28×20−16×8)244×28×36×36=64877≈8.416＞6.635，因此，有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）选取的数学及格的人数为7×825=2人，选取的数学不及格的人数为7×2028=5人，设数学及格的学生为A 、B ，不及格的学生为c 、d 、e 、f 、g ，则基本事件为：AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Bc 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、cd 、ce 、cf 、cg 、de 、df 、dg 、ef 、eg 、fg 共21个， 其中满足条件的是AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Bc 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 共11个，故所求的概率为P=1121．【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．18．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，M ，N 分别是PD ，PA 的中点，AC ⊥AD ，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC ．（1）求证：PA ⊥平面CMN ； （2）求证：AM ∥平面PBC ．【分析】（1）推导出MN ∥AD ，PC ⊥AD ，AD ⊥AC ，从而AD ⊥平面PAC ，进而AD ⊥PA ，MN ⊥PA ，再由CN ⊥PA ，能证明PA ⊥平面CMN ．（2）取CD 的中点为Q ，连结MQ 、AQ ，推导出MQ ∥PC ，从而MQ ∥平面PBC ，再求出AQ ∥平面，从而平面AMQ ∥平面PCB ，由此能证明AM ∥平面PBC ．【解答】证明：（1）∵M ，N 分别为PD 、PA 的中点，∴MN 为△PAD 的中位线，∴MN ∥AD ，∵PC ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥AD ， 又∵AD ⊥AC ，PC ∩AC=C ，∴AD ⊥平面PAC ，∴AD ⊥PA ，∴MN ⊥PA ，又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CM⊂平面CMN，∴PA⊥平面CMN．解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，又∵PC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC，∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，∵AQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AQ∥平面PBC，∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，∵AM⊂平面AMQ，∴AM∥平面PBC．【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．19．（12分）已知等差数列{an }的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．（1）求数列{an }和{bn}的通项公式；（2）数列{cn }满足cn=bn+（﹣1）n an，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．【分析】（1）设等差数列{an }的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．可得2+d=q2，3×2+3×22d=6q，联立解得d，q．即可得出．．（2）cn =bn+（﹣1）n an=2n﹣1+（﹣1）n•2n．可得数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]．对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an }的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．∴2+d=q2，3×2+3×22d=6q，联立解得d=q=2．∴an =2+2（n﹣1）=2n，bn=2n﹣1．（2）cn =bn+（﹣1）n an=2n﹣1+（﹣1）n•2n．∴数列{cn }的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=2n−12−1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n]．∴n为偶数时，Tn=2n﹣1+[（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+（﹣2n+2+2n）]．=2n﹣1+n．n为奇数时，Tn =2n﹣1+2×n−12﹣2n．=2n﹣2﹣n．∴Tn ={2n−1−n，n为偶数2n−2−n，n为奇数．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣axx−1，a∈R．（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．【分析】（1）求出导函数，由题意可知f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；（2）问题可转换为（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax＞0恒成立，构造函数G（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，通过二次求导，得出结论．【解答】解：（1）g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，g'（x）=xe x﹣a﹣1，g''（x）=e x（x+1）＞0，∵f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，∴g'（0）=﹣a﹣1＜0，g'（1）=e﹣a﹣1＞0，∴﹣a ＜a ＜e ﹣1；（2）当a ≤﹣1时，f （x ）＜0，∴（x ﹣1）（e x ﹣1）﹣ax ＞0恒成立，令G （x ）=（x ﹣1）（e x ﹣1）﹣ax ，G'（x ）=xe x ﹣a ﹣1，G''（x ）=e x （x+1）＞0，∴G'（x ）在（0，1）单调递增，∴G'（x ）≥G'（0）=﹣a ﹣1≥0， ∴G （x ）在（0，1）单调递增， ∴G （x ）≥G （0）=0， ∴（x ﹣1）（e x﹣1）﹣ax ≥0，∴当a ≤﹣1时，f （x ）＜0对任意x ∈（0，1）成立．【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导．21．（14分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率是√32，点P （1，√32）在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q （x Q ，y Q ）（点Q 异于点P ），若0＜x Q ＜1，求直线l 斜率k 的取值范围；（3）若以点P 为圆心作n 个圆P i （i=1，2，…，n ），设圆P i 交x 轴于点A i 、B i ，且直线PA i 、PB i 分别与椭圆E 交于M i 、N i （M i 、N i 皆异于点P ），证明：M 1N 1∥M 2N 2∥…∥M n N n ．【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a 2=4b 2，将P 代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得x Q ，由0＜x Q ＜1，即可求得k 的取值范围；（3）由题意可知：故直线PA i ，PB i 的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得x i ，x i ′，根据直线的斜率公式，即可求得y i −y i ′x i −x i ′=√36，k M 1N 1=k M 2N 2=…=k M n N n ，则M 1N 1∥M 2N 2∥…∥M n N n ．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e=ca=√1−b 2a 2=√32，则a 2=4b 2，将P （1，√32）代入椭圆方程：14b 2+34b2=1，解得：b 2=1，则a 2=4，∴椭圆的标准方程：x 24+y 2=1；（2）设直线l 的方程y ﹣√32=k （x ﹣1），则{y −√32=k(x −1)x 24+y 2=1，消去y ，整理得：（1+4k 2）x 2+（4√3k ﹣8k 2）x+（4k 2﹣4√3k ﹣1）=0，由x 0•1=4k 2−4√3k−11+4k ，由0＜x 0＜1，则0＜4k 2−4√3k−11+4k ＜1，解得：﹣√36＜k ＜√3−22，或k ＞√3+22，经验证，满足题意，直线l 斜率k 的取值范围（﹣√36，√3−22）∪（√3+22，+∞）；（3）动圆P 的半径为PA i ，PB i ，故PA i =PB i ，△PA i B i 为等腰三角形，故直线PA i ，PB i 的斜率互为相反数，设PA i 的斜率k i ，则直线PB i 的斜率为﹣k i ，设直线PA i 的方程：y ﹣√32=k i （x ﹣1），则直线PB i 的方程：y ﹣√32=﹣k i （x ﹣1）， {y −√32=k i (x −1)x 24+y 2=1，消去y ，整理得：（1+4k i 2）x 2+（4√3k i﹣8ki 2）x+（4k i 2﹣4√3ki﹣1）=0，设M i （x i ，y i ），N i （x i ′，y i ′），则x i •1=4k i 2−4√3k i −11+4k i 2，则x i =4k i 2−4√3k i −11+4k i2，将﹣k i 代替k i ，则x i ′=4k i 2+4√3k i −11+4k i2，则x i +x i ′=8k i 2−21+4k i 2，x i ﹣x i ′=﹣8√3k i 1+4k i2，y i ﹣y i ′=k i （x i ﹣1）+√32+k i （x i ﹣1）﹣√32=k i （x i +x i ′）﹣2k i ，=k i ×8k i 2−21+4k i2﹣2k i ，=−4k i1+4k i2，则y i−y i′x i−x i′=−4k i1+4k i2−8√3k i1+4k i2=√36，故kM1N1=kM2N2=…=kM n N n，∴M1N1∥M2N2∥…∥MnNn．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．。
2018年高考数学(文科)复习专题测试(命题规律探究 题组分层精练)：第十三章 推理与证明 (共42张PPT)
4.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ②该小组人数的最小值为 . ;
答案 ①6 ②12 解析
高考文数
ห้องสมุดไป่ตู้
(课标Ⅱ专用)
第十三章 推理与证明
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2017课标全国Ⅱ,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说: 你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则 ( A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 答案 D 本题主要考查逻辑推理能力. )
由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好, 则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D.
2.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片, 甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的 卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 答案 1和3 解析 丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:①丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡 片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和3,满足题意;②丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的 卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛 盾,故情况②不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3. 疑难突破 先对丙分类讨论,确定出丙卡片上的数字情况再确定乙、甲是解决问题的关键. 评析 本题主要考查推理,考查学生分析、解决问题的能力,先确定丙卡片上的数字情况再确定 乙、甲是问题的突破口,注意对丙的分类讨论.
2018年高三数学试卷(文科)
2018年高考数学试卷（文科）一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）设全集✞⌧∈ ⌧＞ ❝，函数♐（⌧） 的定义域为✌，则∁✞✌为（）✌．（ ，♏ ．（ ，♏） ．（♏， ∞） ．☯♏， ∞）．（ 分）设复数 满足（ ♓） ﹣ ♓，♓为虚数单位，则 （）✌．﹣ ♓ ．﹣ ﹣♓ ． ♓ ． ﹣♓．（ 分）已知✌（ ，﹣ ）， （ ， ），则与反方向的单位向量为（）✌．（﹣，） ．（，﹣） ．（﹣，﹣） ．（，）．（ 分）若❍ ，⏹ ，☐●☐♑ ，则（）✌．⏹＞❍＞☐ ．⏹＞☐＞❍ ．❍＞⏹＞☐ ．☐＞⏹＞❍．（ 分）执行如图所示的程序框图，输出⏹的值为（）✌． ． ． ． ．（ 分）已知☐：⌧≥ ，❑：（⌧﹣ ）（⌧）＞ ，若☐是❑的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（）✌．（﹣∞，﹣ ） ．☯﹣ ， ∞） ．（ ， ∞） ．☯， ∞）．（ 分）一个总体中有 个个体，随机编号为 ， ，⑤， ，利用系统抽样方法抽取容量为 的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为 ，则在编号为 ～ 之间抽得的编号为（）✌． ， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ， ．（ 分）若直线⌧⇨和⌧⇨是函数⍓♦♓⏹（▫⌧）（▫＞ ）图象的两条相邻对称轴，则 的一个可能取值为（）✌． ． ． ．．（ 分）如果实数⌧，⍓满足约束条件，则 的最大值为（）✌． ． ． ．．（ 分）函数♐（⌧） 的图象与函数♑（⌧） ●☐♑ （⌧♋）（♋∈ ）的图象恰有一个交点，则实数♋的取值范围是（）✌．♋＞ ．♋≤﹣ ．♋≥ 或♋＜﹣ ．♋＞ 或♋≤﹣二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）已知直线●：⌧⍓﹣ 与坐标轴交于✌、 两点， 为坐标原点，则经过 、✌、 三点的圆的标准方程为 ．．（ 分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．．（ 分）在☯，♋（♋＞ ）上随机抽取一个实数⌧，若⌧满足＜ 的概率为，则实数♋的值为 ．．（ 分）已知抛物线⍓ ☐⌧（☐＞ ）上的一点 （ ，♦）（♦＞ ）到焦点的距离为 ，双曲线﹣ （♋＞ ）的左顶点为✌，若双曲线的一条渐近线与直线✌平行，则实数♋的值为 ．．（ 分）已知♐（⌧），♑（⌧）分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且♐（⌧） ♑（⌧） ⌧，若存在⌧ ∈☯， 使得等式♋♐（⌧ ） ♑（ ⌧ ） 成立，则实数♋的取值范围是 ．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）已知向量 （♦♓⏹⌧，﹣ ）， （♍☐♦⌧，），函数♐（⌧） （ ）❿．（ ）求函数♐（⌧）的单调递增区间；（ ）将函数♐（⌧）的图象向左平移个单位得到函数♑（⌧）的图象，在△✌中，角✌， ， 所对边分别♋，♌，♍，若♋，♑（） ，♦♓⏹♍☐♦✌，求♌的值．．（ 分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取 名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格 数学不及格 合计 （ ）根据表中数据，判断是否是 的把握认为❽数学及格与物理及格有关❾；（ ）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取 人，再从抽取的 人中随机抽取 人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．附：⌧ ． （✠ ≥） ．（ 分）在四棱锥 ﹣✌中， ⊥底面✌， ，☠分别是 ， ✌的中点，✌⊥✌，∠✌∠✌， ✌．（ ）求证： ✌⊥平面 ☠；（ ）求证：✌∥平面 ．．（ 分）已知等差数列 ♋⏹❝的首项♋ ，前⏹项和为 ⏹，等比数列 ♌⏹❝的首项♌ ，且♋ ♌ ， ♌ ，⏹∈☠✉．（ ）求数列 ♋⏹❝和 ♌⏹❝的通项公式；（ ）数列 ♍⏹❝满足♍⏹ ♌⏹ （﹣ ）⏹♋⏹，记数列 ♍⏹❝的前⏹项和为❆⏹，求❆⏹．．（ 分）已知函数♐（⌧） ♏⌧﹣ ﹣，♋∈ ．（ ）若函数♑（⌧） （⌧﹣ ）♐（⌧）在（ ， ）上有且只有一个极值点，求♋的范围；（ ）当♋≤﹣ 时，证明：♐（⌧）＜ 对任意⌧∈（ ， ）成立．．（ 分）已知椭圆☜： （♋＞♌＞ ）的离心率是，点 （ ，）在椭圆☜上．（ ）求椭圆☜的方程；（ ）过点 且斜率为 的直线●交椭圆☜于点✈（⌧✈，⍓✈）（点✈异于点 ），若 ＜⌧✈＜ ，求直线●斜率 的取值范围；（ ）若以点 为圆心作⏹个圆 ♓（♓， ，⑤，⏹），设圆 ♓交⌧轴于点✌♓、 ♓，且直线 ✌♓、 ♓分别与椭圆☜交于 ♓、☠♓（ ♓、☠♓皆异于点 ），证明： ☠ ∥ ☠ ∥⑤∥ ⏹☠⏹．年高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）设全集✞⌧∈ ⌧＞ ❝，函数♐（⌧） 的定义域为✌，则∁✞✌为（）✌．（ ，♏ ．（ ，♏） ．（♏， ∞） ．☯♏， ∞）【分析】先求出集合✌，由此能求出 ✞✌．【解答】解：∵全集✞⌧∈ ⌧＞ ❝，函数♐（⌧） 的定义域为✌，∴✌⌧⌧＞♏❝，∴∁✞✌⌧＜⌧≤♏❝（ ，♏．故选：✌．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．．（ 分）设复数 满足（ ♓） ﹣ ♓，♓为虚数单位，则 （）✌．﹣ ♓ ．﹣ ﹣♓ ． ♓ ． ﹣♓【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（ ♓） ﹣ ♓，则 ﹣♓﹣ ．故选： ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（ 分）已知✌（ ，﹣ ）， （ ， ），则与反方向的单位向量为（）✌．（﹣，） ．（，﹣） ．（﹣，﹣） ．（，）【分析】与反方向的单位向量 ﹣，即可得出．【解答】解： （ ， ）．∴与反方向的单位向量 ﹣ ﹣ ．故选： ．【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（ 分）若❍ ，⏹ ，☐●☐♑ ，则（）✌．⏹＞❍＞☐ ．⏹＞☐＞❍ ．❍＞⏹＞☐ ．☐＞⏹＞❍【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出．【解答】解：❍ ，⏹ ＞ ，☐●☐♑ ﹣ ，则⏹＞❍＞☐．故选：✌．【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（ 分）执行如图所示的程序框图，输出⏹的值为（）✌． ． ． ． 【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是计算 ⑤⏹≥ 时⏹的最小自然数值，求出即可．【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算 ⑤⏹≥ 时⏹的最小自然数值，由 ≥ ，解得⏹≥ ，∴输出⏹的值为 ．故选： ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．．（ 分）已知☐：⌧≥ ，❑：（⌧﹣ ）（⌧）＞ ，若☐是❑的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（）✌．（﹣∞，﹣ ） ．☯﹣ ， ∞） ．（ ， ∞） ．☯， ∞）【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出．【解答】解：❑：（⌧﹣ ）（⌧）＞ ，解得⌧＞ 或⌧＜﹣ ．又☐：⌧≥ ，☐是❑的充分不必要条件，则实数 ＞ ．故选： ．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（ 分）一个总体中有 个个体，随机编号为 ， ，⑤， ，利用系统抽样方法抽取容量为 的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为 ，则在编号为 ～ 之间抽得的编号为（）✌． ， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ， 【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到 号，以后每隔 个号抽到一个人，则以 为首项， 为公差的等差数列，即所抽取的编号为 ， ， ， ， ，故选： ．【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是基础题．．（ 分）若直线⌧⇨和⌧⇨是函数⍓♦♓⏹（▫⌧）（▫＞ ）图象的两条相邻对称轴，则 的一个可能取值为（）✌． ． ． ．【分析】根据直线⌧⇨和⌧⇨是函数⍓♦♓⏹（▫⌧）（▫＞ ）图象的两条相邻对称轴，可得周期❆，利用⌧⇨时，函数⍓取得最大值，即可求出 的取值．【解答】解：由题意，函数⍓的周期❆ ⇨．∴函数⍓♦♓⏹（⌧）．当⌧⇨时，函数⍓取得最大值或者最小值，即♦♓⏹（ ） ± ，可得： ．∴ ⇨， ∈☪．当 时，可得 ．故选： ．【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，属于基础题．．（ 分）如果实数⌧，⍓满足约束条件，则 的最大值为（）✌． ． ． ．【分析】作出不等式组对应的平面区域， 的几何意义是区域内的点到定点（﹣ ，﹣ ）的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影）， 的几何意义是区域内的点到定点 （﹣ ，﹣ ）的斜率，由图象知可知 ✌的斜率最大，由，得✌（ ， ），则 ，即 的最大值为 ，故选： ．【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．．（ 分）函数♐（⌧） 的图象与函数♑（⌧） ●☐♑ （⌧♋）（♋∈ ）的图象恰有一个交点，则实数♋的取值范围是（）✌．♋＞ ．♋≤﹣ ．♋≥ 或♋＜﹣ ．♋＞ 或♋≤﹣【分析】作出♐（⌧）的图象和♑（⌧）的图象，它们恰有一个交点，求出♑（⌧）的恒过定点坐标，数形结合可得答案．【解答】解：函数♐（⌧） 与函数♑（⌧）的图象它们恰有一个交点，♐（⌧）图象过点（ ， ）和（ ，﹣ ），而，♑（⌧）的图象恒过定点坐标为（ ﹣♋， ）．从图象不难看出：到♑（⌧）过（ ， ）和（ ，﹣ ），它们恰有一个交点，当♑（⌧）过（ ， ）时，可得♋，恒过定点坐标为（ ， ），往左走图象只有一个交点．当♑（⌧）过（ ，﹣ ）时，可得♋，恒过定点坐标为（， ），往右走图象只有一个交点．∴♋＞ 或♋≤﹣．故选： ．【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用．数形结合的思想．属于中档题．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）已知直线●：⌧⍓﹣ 与坐标轴交于✌、 两点， 为坐标原点，则经过 、✌、 三点的圆的标准方程为（⌧﹣ ） （⍓﹣ ） ．【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过 、✌、 三点的圆的直径为 ✌，圆心为✌的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，直线●：⌧⍓﹣ 与坐标轴交于（ ， ）、（ ， ）两点，即✌、 的坐标为（ ， ）、（ ， ），经过 、✌、 三点的圆，即△✌的外接圆，而△✌为等腰直角三角形，则其外接圆的直径为 ✌，圆心为✌的中点，则有 ❒✌，即❒，圆心坐标为（ ， ），其该圆的标准方程为（⌧﹣ ） （⍓﹣ ） ，故答案为：（⌧﹣ ） （⍓﹣ ） ．【点评】本题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质．．（ 分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积✞ ．故答案为：．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（ 分）在☯，♋（♋＞ ）上随机抽取一个实数⌧，若⌧满足＜ 的概率为，则实数♋的值为 ．【分析】求解分式不等式得到⌧的范围，再由测度比为测度比得答案．【解答】解：由＜ ，得﹣ ＜⌧＜ ．又⌧≥ ，∴ ≤⌧＜ ．∴满足 ≤⌧＜ 的概率为，得♋．故答案为： ．【点评】本题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是基础的计算题．．（ 分）已知抛物线⍓ ☐⌧（☐＞ ）上的一点 （ ，♦）（♦＞ ）到焦点的距离为 ，双曲线﹣ （♋＞ ）的左顶点为✌，若双曲线的一条渐近线与直线✌平行，则实数♋的值为 ．【分析】设 点到抛物线准线的距离为♎，由已知可得☐值，由双曲线的一条渐近线与直线✌平行，则 ，解得实数♋的值．【解答】解：设 点到抛物线准线的距离为♎，则丨 ☞丨 ♎ ，则☐，所以抛物线方程为⍓ ⌧， 的坐标为（ ， ）；又双曲线的左顶点为✌（﹣♋， ），渐近线为⍓±，直线✌的斜率 ，由 ，解得♋．∴♋的值为 ，故答案为： ．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题．．（ 分）已知♐（⌧），♑（⌧）分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且♐（⌧） ♑（⌧） ⌧，若存在⌧ ∈☯， 使得等式♋♐（⌧ ） ♑（ ⌧ ） 成立，则实数♋的取值范围是☯， ．【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数♑（⌧）和偶函数♐（⌧）的表达式，将等式♋♐（⌧） ♑（ ⌧） ，令♦⌧﹣ ﹣⌧，则♦＞ ，通过变形可得♋♦，讨论出右边在⌧∈☯， 的最大值，可以得出实数♋的取值范围．【解答】解：解：∵♑（⌧）为定义在 上的奇函数，♐（⌧）为定义在 上的偶函数，∴♐（﹣⌧） ♐（⌧），♑（﹣⌧） ﹣♑（⌧），又∵由♐（⌧） ♑（⌧） ⌧，结合♐（﹣⌧） ♑（﹣⌧） ♐（⌧）﹣♑（⌧） ﹣⌧，∴♐（⌧） （ ⌧ ﹣⌧），♑（⌧） （ ⌧﹣ ﹣⌧）．等式♋♐（⌧） ♑（ ⌧） ，化简为（ ⌧ ﹣⌧） （ ⌧﹣ ﹣ ⌧） ．∴♋﹣⌧﹣ ⌧∵⌧∈☯， ，∴≤ ⌧﹣ ﹣⌧≤，则实数♋的取值范围是☯﹣，﹣ ，故答案为：☯﹣，﹣ ．【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．属于中档题三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）已知向量 （♦♓⏹⌧，﹣ ）， （♍☐♦⌧，），函数♐（⌧） （ ）❿．（ ）求函数♐（⌧）的单调递增区间；（ ）将函数♐（⌧）的图象向左平移个单位得到函数♑（⌧）的图象，在△✌中，角✌， ， 所对边分别♋，♌，♍，若♋，♑（） ，♦♓⏹♍☐♦✌，求♌的值．【分析】（ ）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；（ ）运用图象变换，可得♑（⌧）的解析式，由条件可得♦♓⏹✌，♍☐♦✌，♦♓⏹的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．【解答】解：（ ）向量 （♦♓⏹⌧，﹣ ）， （♍☐♦⌧，），函数♐（⌧） （ ）❿ （♦♓⏹⌧♍☐♦⌧，）❿（♦♓⏹⌧，﹣ ）♦♓⏹ ⌧♦♓⏹⌧♍☐♦⌧﹣ ♦♓⏹⌧﹣（ ﹣ ♦♓⏹ ⌧） ♦♓⏹⌧﹣♍☐♦⌧♦♓⏹（ ⌧﹣），由 ⇨﹣≤ ⌧﹣≤ ⇨， ∈☪，可得 ⇨﹣≤⌧≤ ⇨， ∈☪，即有函数♐（⌧）的单调递增区间为☯⇨﹣， ⇨ ， ∈☪；（ ）由题意可得♑（⌧） ♦♓⏹（ （⌧）﹣） ♦♓⏹⌧，♑（） ♦♓⏹✌，即♦♓⏹✌，♍☐♦✌± ±，在△✌中，♦♓⏹♍☐♦✌＞ ，可得♦♓⏹，由正弦定理 ，可得♌ ．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．．（ 分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取 名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格 数学不及格 合计 （ ）根据表中数据，判断是否是 的把握认为❽数学及格与物理及格有关❾；（ ）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取 人，再从抽取的 人中随机抽取 人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．附：⌧ ． （✠ ≥） 【分析】（ ）根据表中数据，计算观测值✠ ，对照临界值得出结论；（ ）分别计算选取的数学及格与不及格的人数，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（ ）根据表中数据，计算✠ ≈ ＞ ，因此，有 的把握认为❽数学及格与物理及格有关❾；（ ）选取的数学及格的人数为 × 人，选取的数学不及格的人数为 × 人，设数学及格的学生为✌、 ，不及格的学生为♍、♎、♏、♐、♑，则基本事件为：✌、✌♍、✌♎、✌♏、✌♐、✌♑、 ♍、 ♎、 ♏、 ♐、 ♑、♍♎、♍♏、♍♐、♍♑、♎♏、♎♐、♎♑、♏♐、♏♑、♐♑共 个，其中满足条件的是✌、✌♍、✌♎、✌♏、✌♐、✌♑、 ♍、 ♎、 ♏、 ♐、 ♑共 个，故所求的概率为 ．【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．．（ 分）在四棱锥 ﹣✌中， ⊥底面✌， ，☠分别是 ， ✌的中点，✌⊥✌，∠✌∠✌， ✌．（ ）求证： ✌⊥平面 ☠；（ ）求证：✌∥平面 ．【分析】（ ）推导出 ☠∥✌， ⊥✌，✌⊥✌，从而✌⊥平面 ✌，进而✌⊥ ✌， ☠⊥ ✌，再由 ☠⊥ ✌，能证明 ✌⊥平面 ☠．（ ）取 的中点为✈，连结 ✈、✌✈，推导出 ✈∥ ，从而 ✈∥平面 ，再求出✌✈∥平面，从而平面✌✈∥平面 ，由此能证明✌∥平面 ．【解答】证明：（ ）∵ ，☠分别为 、 ✌的中点，∴ ☠为△ ✌的中位线，∴ ☠∥✌，∵ ⊥底面✌，✌⊂平面✌，∴ ⊥✌，又∵✌⊥✌， ∩✌，∴✌⊥平面 ✌，∴✌⊥ ✌，∴ ☠⊥ ✌，又∵ ✌，☠为 ✌的中点，∴ ☠⊥ ✌，∵ ☠∩ ☠☠， ☠⊂平面 ☠， ⊂平面 ☠，∴ ✌⊥平面 ☠．解（ ）取 的中点为✈，连结 ✈、✌✈，∵ ✈是△ 的中位线，∴ ✈∥ ，又∵ ⊂平面 ， ✈⊄平面 ，∴ ✈∥平面 ，∵✌⊥✌，∠✌，∴∠✌．∴∠ ✌✈∠✌，∴∠✈✌∠✌✈，∴∠✌，∴✌✈∥ ，∵✌✈⊄平面 ， ⊂平面 ，∴✌✈∥平面 ，∵ ✈∩✌✈✈，∴平面✌✈∥平面 ，∵✌⊂平面✌✈，∴✌∥平面 ．【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．．（ 分）已知等差数列 ♋⏹❝的首项♋ ，前⏹项和为 ⏹，等比数列 ♌⏹❝的首项♌ ，且♋ ♌ ， ♌ ，⏹∈☠✉．（ ）求数列 ♋⏹❝和 ♌⏹❝的通项公式；（ ）数列 ♍⏹❝满足♍⏹ ♌⏹ （﹣ ）⏹♋⏹，记数列 ♍⏹❝的前⏹项和为❆⏹，求❆⏹．【分析】（ ）设等差数列 ♋⏹❝的公差为♎，等比数列 ♌⏹❝的公比为❑．根据♋ ，♌ ，且♋ ♌ ， ♌ ，⏹∈☠✉．可得 ♎❑ ， × ❑，联立解得♎，❑．即可得出．．（ ）♍⏹ ♌⏹ （﹣ ）⏹♋⏹ ⏹﹣ （﹣ ）⏹❿⏹．可得数列 ♍⏹❝的前⏹项和为❆⏹ ⑤⏹﹣ ☯﹣ ﹣ ⑤（﹣ ）⏹❿⏹⏹﹣ ☯﹣ ﹣ ⑤（﹣ ）⏹❿⏹．对⏹分类讨论即可得出．【解答】解：（ ）设等差数列 ♋⏹❝的公差为♎，等比数列 ♌⏹❝的公比为❑．∵♋ ，♌ ，且♋ ♌ ， ♌ ，⏹∈☠✉．∴ ♎❑ ， × ❑，联立解得♎❑．∴♋⏹ （⏹﹣ ） ⏹，♌⏹ ⏹﹣ ．（ ）♍⏹ ♌⏹ （﹣ ）⏹♋⏹ ⏹﹣ （﹣ ）⏹❿⏹．∴数列 ♍⏹❝的前⏹项和为❆⏹ ⑤⏹﹣ ☯﹣ ﹣ ⑤（﹣ ）⏹❿⏹ ☯﹣ ﹣ ⑤（﹣ ）⏹❿⏹⏹﹣ ☯﹣﹣ ⑤（﹣ ）⏹❿⏹．∴⏹为偶数时，❆⏹ ⏹﹣ ☯（﹣ ） （﹣ ） ⑤（﹣ ⏹⏹） ． ⏹﹣ ⏹．⏹为奇数时，❆⏹ ⏹﹣ ﹣ ⏹．⏹﹣ ﹣⏹．∴❆⏹ ．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．．（ 分）已知函数♐（⌧） ♏⌧﹣ ﹣，♋∈ ．（ ）若函数♑（⌧） （⌧﹣ ）♐（⌧）在（ ， ）上有且只有一个极值点，求♋的范围；（ ）当♋≤﹣ 时，证明：♐（⌧）＜ 对任意⌧∈（ ， ）成立．【分析】（ ）求出导函数，由题意可知♐（⌧）在（ ， ）上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；（ ）问题可转换为（⌧﹣ ）（♏⌧﹣ ）﹣♋⌧＞ 恒成立，构造函数☝（⌧） （⌧﹣ ）（♏⌧﹣ ）﹣♋⌧，通过二次求导，得出结论．【解答】解：（ ）♑（⌧） （⌧﹣ ）（♏⌧﹣ ）﹣♋⌧，♑（⌧） ⌧♏⌧﹣♋﹣ ，♑（⌧） ♏⌧（⌧）＞ ，∵♐（⌧）在（ ， ）上有且只有一个极值点，∴♑（ ） ﹣♋﹣ ＜ ，♑（ ） ♏﹣♋﹣ ＞ ，∴﹣♋＜♋＜♏﹣ ；（ ）当♋≤﹣ 时，♐（⌧）＜ ，∴（⌧﹣ ）（♏⌧﹣ ）﹣♋⌧＞ 恒成立，令☝（⌧） （⌧﹣ ）（♏⌧﹣ ）﹣♋⌧，☝（⌧） ⌧♏⌧﹣♋﹣ ，☝（⌧） ♏⌧（⌧）＞ ，∴☝（⌧）在（ ， ）单调递增，∴☝（⌧）≥☝（ ） ﹣♋﹣ ≥ ，∴☝（⌧）在（ ， ）单调递增，∴☝（⌧）≥☝（ ） ，∴（⌧﹣ ）（♏⌧﹣ ）﹣♋⌧≥ ，∴当♋≤﹣ 时，♐（⌧）＜ 对任意⌧∈（ ， ）成立．【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导．．（ 分）已知椭圆☜： （♋＞♌＞ ）的离心率是，点 （ ，）在椭圆☜上．（ ）求椭圆☜的方程；（ ）过点 且斜率为 的直线●交椭圆☜于点✈（⌧✈，⍓✈）（点✈异于点 ），若 ＜⌧✈＜ ，求直线●斜率 的取值范围；（ ）若以点 为圆心作⏹个圆 ♓（♓， ，⑤，⏹），设圆 ♓交⌧轴于点✌♓、 ♓，且直线 ✌♓、 ♓分别与椭圆☜交于 ♓、☠♓（ ♓、☠♓皆异于点 ），证明： ☠ ∥ ☠ ∥⑤∥ ⏹☠⏹．【分析】（ ）根据椭圆的离心率求得♋ ♌ ，将 代入椭圆方程，即可求得♋和♌的值，求得椭圆方程；（ ）设直线●的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得⌧✈，由 ＜⌧✈＜ ，即可求得 的取值范围；（ ）由题意可知：故直线 ✌♓， ♓的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得⌧♓，⌧♓ ，根据直线的斜率公式，即可求得 ，⑤，则 ☠ ∥ ☠ ∥⑤∥ ⏹☠⏹．【解答】解：（ ）由椭圆的离心率♏ ，则♋ ♌ ，将 （ ，）代入椭圆方程：，解得：♌ ，则♋ ，∴椭圆的标准方程：；（ ）设直线●的方程⍓﹣ （⌧﹣ ），则，消去⍓，整理得：（ ）⌧ （ ﹣ ）⌧（ ﹣ ﹣ ） ，由⌧ ❿，由 ＜⌧ ＜ ，则 ＜＜ ，解得：﹣＜ ＜，或 ＞，经验证，满足题意，直线●斜率 的取值范围（﹣，）∪（， ∞）；（ ）动圆 的半径为 ✌♓， ♓，故 ✌♓ ♓，△ ✌♓ ♓为等腰三角形，故直线 ✌♓， ♓的斜率互为相反数，设 ✌♓的斜率 ♓，则直线 ♓的斜率为﹣ ♓，设直线 ✌♓的方程：⍓﹣ ♓（⌧﹣ ），则直线 ♓的方程：⍓﹣ ﹣ ♓（⌧﹣ ），，消去⍓，整理得：（ ♓ ）⌧ （ ♓﹣ ♓ ）⌧（ ♓ ﹣ ♓﹣ ） ，设 ♓（⌧♓，⍓♓），☠♓（⌧♓ ，⍓♓ ），则⌧♓❿，则⌧♓ ，将﹣ ♓代替 ♓，则⌧♓ ，非煤矿山安全生产知识考试试卷则⌧♓ ⌧♓ ，⌧♓﹣⌧♓ ﹣，⍓♓﹣⍓♓ ♓（⌧♓﹣ ） ♓（⌧♓﹣ ）﹣ ♓（⌧♓ ⌧♓ ）﹣ ♓，♓×﹣ ♓，，则 ，故 ⑤，∴ ☠ ∥ ☠ ∥⑤∥ ⏹☠⏹．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．页脚内容。
2018高考命题猜想卷数学文·答案B
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又 03 2(1$ 所以 03 2 平面 ( ) / 1! 又 03 1 平面 0 (1$ 所以平面 0 (12 平面 ( ) / 1! & 分 另证 ! 设( 连 接 4+ 并 延 长 $ 交 ) 的中 点 为 4 $ )3 的 中 点 为 + $ 连接 *4 $ 如图 .$ 1 / 于点 5 $ *+$ *5$ 所以 4+/(1$ 故 5 为1 / 的中点 ! 所以 *5/01$ 得平面 *45/ 平面 0 (1! # 分 由 *3 -*)$ 可得 *+23)! 由四边形 ( 可得 ( ) / 1 为菱形 $ )-(1! 又 %1( 所以 ( )-# % 6$ )-(1-) 1! 又点 3 为 (1 的中点 $ 故 )3 2(1$ 即 )3 245! 所以 )3 2 平面 *45! 又平面 *45/ 平面 0 故 )3 2 平面 0 (1$ (1! 又 )3 1 平面 ( ) / 1$ 所以平面 0 (12 平面 ( ) / 1! & 分 " 因为 0 所以 03 2(1! (-01$ 又平面 0 (12 平面 ( ) / 1! 得 03 2 平面 ( 故 03 23/! ) / 1$ 在: 0 303/ 中 $ 斜边上的中线 *3 -槡 所以 0 $$ /-$ $! 槡 " $ $ $ 由余弦定理 $ 得3 $ / -31 ,1 / ( $ 31*1 / 5 6 7 " $ % 9 " , / ( $ ; " ; $ ; ( 3 /-槡 4! 4 $ 故 03 -"! " %分
(完整版)2018年高考文科数学试题及答案,推荐文档
9．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图．圆柱表面上的点 M 在 正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则 在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为
A． 2 17 C． 3 【答案】B
B． 2 5 D．2
-3-
【难度】容易 【点评】本题在高考数学（文）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
水量
频数
1
5Байду номын сангаас
13
10
16
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：
0.5 ，0.6
5
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3 的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这 组数据所在区间中点的值作代表．） 【答案】 （1）
（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= 3 2 ．
又 BP DQ 2 DA ，所以 BP 2 2 ． 3
作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE
A
1 DC ． 3
由已知及（1）可得 DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC，QE=1．
因此，三棱锥 Q ABP 的体积为
VQ ABP
1 QE 3
x2 4．已知椭圆 C ： a2
y2 4
1
的一个焦点为
(2
，0)
，则
C
的离心率为
1 A． 3
1 B． 2
2 C． 2
22 D． 3
【答案】C 【难度】容易
【点评】本题考查椭圆的相关知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章《圆锥曲线与方程》
2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
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第 3 页（共 28 页）
18．（12 分）如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以 AC 为 折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA．
（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ= DA，求三棱锥
A．12 π
B．12π
C．8 π
D．10π
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用圆柱的截面是面积为 8 的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后
求解圆柱的表面积．
【解答】解：设圆柱的底面直径为 2R，则高为 2R，
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3 的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，
同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
20．（12 分）设抛物线 C：y2=2x，点 A（2，0），B（﹣2，0），过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0}
D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算． 菁优网版权所有
问题解决问题的能力．
2018年高考文科数学全国各地试题汇编(精校Word版含答案
2018年全国各地高考数学真试题精校Word版汇总（全国各地文科数学试卷汇编含答案） 2018年全国卷高考文科数学真题（全国卷Ⅰ） Word版-------------- 2018年全国卷高考文科数学真题（全国卷Ⅰ） Word版答案-------- 2018年全国卷文科数学高考真题（全国卷II） Word版--------------- 2018年全国卷文科数学高考真题（全国卷II） Word版答案-------- 2018年全国卷文科数学高考真题（全国卷Ⅲ）Word版-------------- 2018年文科数学高考真题（北京卷） Word版含答案---------------- 2018年文科数学高考真题（天津卷） Word版含答案---------------- 2018年数学高考真题（上海卷）Word版含答案---------------- 2018年数学高考真题（浙江卷）Word版含答案---------------- - 1 - 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）文科数学试题注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的九名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．（= B=0， 2．设z{ A．}0，2{=，则A1．已知集合A}1，0，1，2-2，-{=，B}一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）2 1，{ B．}） 2 }0{C．（=2i，则z+i-2，1-{ D．}1，0，1，2- i+） 1 B．A．0 1 2 C．1 D．2 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半（=2，则a3=S4，a1+S2=的前n项和．若3S3}an{- 2 - 4．记Sn为等差数列 12-）A． 10-B． C．10 D．12 - 3 - 0，（(在点)x(f=为奇函数，则曲线y)x(ax．若f+x2)1-a(+x3=)x(处的切线方程为5．设函数f)0 2x-=） A．y （=6．在△ABC 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB x-=） A．C． B．y 2x=C．y AC-x 31AB=D．y AC+4431AB 44 AC 44 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（+AC 4413AB-B．D．13AB ） A．217 B．25 C．3 （=FN⋅2，FM-(4x的焦点为F，过点=且斜率为8．设抛物线C：y2)D．2 0 ） 2的直线与C交于M，N两点，则3A．5 B．6 C．7 a（+x+)x(f=)x(，f⎨=)x(ex，x≤09．已知函数f⎧D．8 1，-[ A．)围是 0⎩0>存在2个零点，则a的取值范lnx，x)x(），若g )∞+，[B． 1， - 4 -[ D．)∞+1，-[ C．)∞+ 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（） p2=A．p1 p3=B．p1p3=C．p2 （=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的3交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则MN=y2-p3 x211．已知双曲线C：+p2=D．p1 ） A． 3 2 B．3 C．23 的x的取值范围是（)2x(f<)1+x(，则满足f⎨=)x(x，x≤012．设函数f-2⎧D．4 ]1⎩0>） 1，y )∞+，∞-(A．)1，0-(0， C．(B．)0 ________．=1，则a=)3(a，若f+log2x2=)x(，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数f∞-(D． ________．=0交于A，B两点，则AB=3-2y+y2+1与圆x2+x= 15．直线y)(⎩y≤0⎪2y的最大值为________．+3x=1≥0，则z+y-x⎨14．若x，y满足约束条件⎪2≤0-2y-x⎧ 8，则△ABC的面积为________．=a2-c2+csin16．△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a， - 5 - a4siBnsC，b2+b，c，已知bsinC=B 三、解答题（共70分。
2018年全国统一高考数学试题(文)(Word版,含答案解析)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．32y x =±7．在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．42B ．30C ．29D ．258．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i =+11T T i =++结束是否A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ．22B ．32C ．52D ．7210．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A ．312-B ．23-C ．312- D ．31-12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(f ff++(50)f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018高考数学文科一轮复习讲义 13.4 第十三板块 单元质量检测
第十三板块 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元质量检测第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题(本大题共11题,每小题5分,共55分)1.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为A ．2B ．3C ．5D ．72.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线 3.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 4.已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN MP⋅+⋅ ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为( )A. x y 82=B. x y 82-=C. x y 42=D. x y 42-=5.设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．36.以抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定7.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）．A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±8.连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）Ａ．1- Ｂ．32Ｃ．1+Ｄ．32+9.椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．2410.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）11.设AB 是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则21111P F P F A F +++…B F P F 1991++的值是 （ ）（A ）a 98 （B ）a 99 （C ）a 100 （D ）a 101第Ⅱ卷（非选择题 共95分）二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)12.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．13.若椭圆221x my +=，则它的长半轴长为_______________. 14.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°,为 .15.以椭圆252x +162y =1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点，则|AB |的值为___________.三、解答题(本大题共6小题, 共79分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本小题满分12分）设12,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F PF ∠=，求△12F PF 的面积.17.（本小题满分14分）已知椭圆22143x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称.18.（本小题满分14分）设0>a ，定点F （a ，0），直线l :x =－a 交x 轴于点H ，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于l 的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M. （I ）求点M 的轨迹C 的方程；（II ）设直线BF 与曲线C 交于P ，Q 两点，证明：向量、与的夹角相等.19.（本小题满分12分）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为(30)F ，，右准线l 的方程为：12x =．（1）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点1P ，2P ，3P ， 使122331PFP P FP P FP ==∠∠∠， 证明：123111FP FP FP ++为定值，并求此定值．20.（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知点A （1，0），向量e =（0，1），点B 为直线1x =-上的动点，点C 满足2OC OA OB =+ ，点M 满足0BM e ⋅= ，0CM AB ⋅=．（Ⅰ）试求动点M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）试证直线CM 为轨迹E 的切线21.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．第十三板块 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元质量检测参考答案三、解答题:16.解析:双曲线116922=-y x 的3,5,a c ==不妨设12PF PF >，则1226PF PF a -== 22201212122cos60F F PF PF PF PF =+-⋅，而12210F F c ==得22212121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅=-+⋅= 01212164,sin 602PF PF S PF PF ⋅==⋅=17.解析:设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，21211,4AB y y k xx -==--而22113412,x y +=22223412,x y +=相减得222221213()4()0,x x y y -+-= 即1212003(),3y y x x y x +=+∴=，000034,,3x x m x m y m =+=-=-而00(,)M x y 在椭圆内部，则2291,43m m +<即m <<．18.解析:（I ）连接MF ，依题意有|MF |=|MB |，所以动点M 的轨迹是以F （a ，0）为焦点，直线l: x =－a 为准线的抛物线， 所以C 的方程为.42ax y =（II ）设P ，Q 的坐标分别为),,(),,(2211y x y x 依题意直线BF 的斜率存在且不为0，设直线BF 的方程为),0)((≠-=k a x k y 将其与C 的方程联立，消去y 得0)2(222222=++-k a x k a x k . 故.221a x x =记向量1,HP HF θ 与的夹角为2,HQ HF θ与的夹角为120,,θθπ<<其中因为),0,2(),,(11a y a x =+=所以1cos HP HF HP HFθ⋅=⋅2==同理2cos θ=2a a +==因为,,0,cos cos 211πθθθθ<<=且所以,21θθ=即向量、HQ 与HF 的夹角相等.19.解析:（I ）设椭圆方程为22221x y a b +=．因焦点为(30)F ，，故半焦距3c =． 又右准线l 的方程为2a x c =，从而由已知221236a a c==，，因此6a =，b ==故所求椭圆方程为2213627x y +=． （II ）记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，2，3），不失一般性， 假设1203απ<≤，且2123ααπ=+，3143ααπ=+．又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率12c e a ==，从而有2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪⎝⎭1(9cos )2i i FP α=- (123)i =，，． 解得1211cos 92i i FP α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (123)i =，，． 因此123111FP FP FP ++11121243cos cos cos 9233ααα⎡⎤⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 而11124cos cos cos 33αααππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111cos cos 22ααα=--111cos 022αα-+=，故12311123FP FP FP ++=为定值． 20.解析:（Ⅰ）设B （1-，m ），C （,c c x y ），由2OC OA OB =+ ，得2(,)(1,0)(1,)c c x y m =+-，解得0c x =，2c m y =，∴(0,)2mC 为AB 中点．又0CM AB ⋅= ，故MC 为AB 的中垂线．设M （x ，y ），由0BM e CM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(1,)(0,1)0(,)(2,)02x y m m x y m +-⋅=⎧⎪⇒⎨-⋅-=⎪⎩02()02y m m x m y -=⎧⎪⇒⎨-+-=⎪⎩ 24m x y m ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩， 消去m 得E 的轨迹方程24y x =．所以它是顶点在原点，以（1，0）为焦点的抛物线. （Ⅱ）由题设知C 为AB 中点，MC ⊥AB ，故MC 为AB 的中垂线，MB ∥x 轴，设M （200,4y y ）， 则B （01,y -）， C （0，02y ），当00y ≠时，02MC k y =， MC 的方程0022y y x y =+， 将MC 方程与24y x =联立消x ， 整理得220020y y y y -+=，它有唯一解0y y =，即MC 与24y x =只有一个公共点， 又0MC k ≠，所以MC 为24y x =的切线． 当00y =时，显然MC 方程0x =为轨迹E 的切线 综上知，MC 为轨迹E 的切线．21.解析:（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c-，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =，将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F A OF F A=．由椭圆定义得122AF AF a +=，又113B O O F =，所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22a F A =，而22b F A a =，得22b aa =，即a=（Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD QQ ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=，整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=， 于是122412kmx x k +=-+，21222212m bx x k-=+．由①式得1212()()y y kx m kx m =++ 221212()k x x km x x k =+++222222241212m b km k km m k k --=++++··2222212m b k k -=+． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k--=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，． 所以120x x x ==，12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即22200202b x x --=，解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD QQ ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+． 记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ② 由①式得00y y m x x =-． ③第 11 页 共 11 页 由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得2220002()2y x m x x y b +-=．整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=， 于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤由①式得00x x m y y =-． ⑥ 由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦ 将⑥式代入⑦式得222000()22m y y x y x b -+=，整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=， 于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得 2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=．所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=．。
湖南省2018年高考文科数学试题及答案汇总(word解析版)
绝密★启用前湖南省2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={0，2}，B={ -2，-1，0，1，2}，则A∩B=A. {0，2}B. {1，2}C. {0}D. {-2，-1，0，1，2}2，设z=，则∣z∣=A. 0B.C. 1D.3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为A.B.C.D.5.已知椭圆的上、下底面的中心分别为O₁，O₂，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A. 12πB. 12πC. 8πD. 10π6.设函数f（x）=x ³+（a-1）x ²+ax。
若f（x）为奇函数，则曲线y= f（x）在点（0，0）处的切线方程为A. y=-2xB. y=-xC. y=2x7.在∆ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A. -B. -C. +D. +8.已知函数f（x）=2cos ²x-sin ²x+2，则A. f（x）的最小正周期为π，最大值为3B. 不f（x）的最小正周期为π，最大值为4C. f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D. D. f（x）的最小正周期为2π，最大值为49.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。
2018届高三招生全国统一考试仿真数学文科试题(十)含答案
B．18
1 ， sin(
53
)
，则 cos 的值为（
）
7
14
C． 71或 1
98 2
D． 71或 59
98 98
n 8 x 1 m 2 在区间 2, 1 上单调递减， 那
C．25
D．30
8．某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是长为 1 的正方形，则该四棱锥的高为（
50 项和为（ A ．49
） B．50
C．99
D．100
11．阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距 离之比为常数 k （ k 0 且 k 1 ）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若
平面内两定点 A ， B 间的距离为 2，动点 P 与 A ， B 距离之比为 2 ，当 P ， A ， B
只有一项是符合题目要求的。
装 号 1．已知集合 M 证
x, y | x, y为实数 , 且 x2 y2 2 ，
考
准 N x, y | x, y为实数 , 且x y 2 ，则 M N 的元素个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
只
2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的
平均数为（ ）
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促销费用 x 2
3
6 10 13 21 15 18
产品销量 y 1
1
2
3 3.5 5
4 4.5
（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用
相关系数 r 加以说明 (系数精确到 0.01)； （2）建立 y 关于 x 的回归方程 y? b?x a?(系数精确到 0.01)；如果该公司计划在 9
2018年全国高中高考文科数学试卷试题及答案解析全国卷
文科数学注意事项：1．答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1．已知会合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AIB中元素的个数为A．1B．2C．3D．42．复平面内表示复数z i(2 i)的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为认识旅客人数的变化规律，提升旅行服务质量，采集并整理了2014年1月至2016年12月时期月招待旅客量（单位：万人）的数据，绘制了下边的折线图.依据该折线图，以下结论错误的选项是A．月招待旅客逐月增添B．年招待旅客量逐年增添C．各年的月招待旅客量顶峰期大概在7，8月D．各年1月至6月的月招待旅客量相关于7月至12月，颠簸性更小，变化比较安稳4．已知sincos 4=，则sin23A．7B．2C．2D．7 99993x 2y6 05．设x,y 知足拘束条件x 0 ，则zxy 的取值范围是yA ．[-3，0]B ．[-3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]6．函数f(x)1sin(x) cos(x)的最大值为A ．6536C ．3D ．1B ．17．函数A ． C ．5 55sinx y1xx 2的部分图像大概为B ． D ．8．履行右边的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正 整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．29．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．B ．C ．D ．3 42410．在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC x2y21(a b0)的左、右极点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径11．已知椭圆C:2b2a的圆与直线bx ay2ab0相切，则C的离心率为A．6B．3C．2D．1 3333 12．已知函数f(x)x22x a(e x1e x1)有独一零点，则a= 11C．A．B．23二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
2018年高考文科数学试卷及详解答案
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明:Zzz6ZB2Ltk
<I）BE=EC；
<II）AD·DE=2PB2。
【解读】
<1）
<2）
（23）<本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
【答案】 3
【解读】
<16）数列 满足 = ， =2，则 =_________.
【答案】
【解读】
（7）解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。
（15）<本小题满分12分）
四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.
(I>求C和BD;
(II>求四边形ABCD的面积。
【答案】 (1> (2>
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
<1）已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛ | - - ﹜，则A B=
(A> <B） <C） (D>
【答案】B
所以，市民对甲、乙部门的评分大于90的概率分别为0.1,0.16
（20）<本小题满分12分）
设F1 ，F2分别是椭圆C： <a>b>0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。LDAYtRyKfE
<I）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
2018年高考数学文科课标Ⅱ专用复习专题测试命题规律探
2
因此选A.
7.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x- 3 cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单位长度得到. 答案
3 3 cos x=2sin 个单位 x 的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 3 3
3 1 1 1 3 cos x + cos x+ sin x 2 5 2 2 2 3 3 3 = sin x+ cos x 5 5
= sin x
3 = ×2sin x 5
3
6 = sin x , 5
3
6. ∴f(x)的最大值为 5
高考文数
(课标Ⅱ专用)
§4.3
三角函数的图象和性质
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
2 x 的最小正周期为 ( 1.(2017课标全国Ⅱ,3,5分)函数f(x)=sin 3
)
A.4π
B.2π
C.π
D.
2
答案 C 本题考查三角函数的性质.
2 由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin =π.故选C. 2 x 的最小正周期T= ω 3
答案 D
由题图可知 = - =1,所以T=2,ω=π,
1 4
T 2
5 1 4 4
又由题图知f +φ= +2kπ,k∈Z,得φ= +2kπ,k∈Z,此时f(x)=cos =0,即 x
4 2 4
2k =cos 4
<2kπ+π,k∈Z,得2k- 1 <x<2k+ 3 ,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为 x ,k∈Z,由2kπ<πx+
2018年高考数学理科北京市专用复习专题测试课件命题规
(
)
A.1
B.
2 3
C.
13 21
D.
610 987
答案 C
12 1 2 第一步,S= = ,i=0+1=1; 2 1 1 3
2
2 1 13 3 第二步,S= = ,i=1+1=2.循环结束. 2 2 1 21 3 13 故输出S= ,故选C. 21
1 a= =1,满足a=b.故输出k=2. 1 2
易错警示 本题只是把a的初始值赋给了b,之后b不再参与运算.
3.(2015北京,3,5分,0.95)执行如图所示的程序框图,输出的结果为 (
)
A.(-2,2)
B.(-4,0)
C.(-4,-4)
D.(0,-8)
答案 B 第一次循环:s=0,t=2,x=0,y=2,k=1<3;第二次循环:s=-2,t=2,x=-2,y=2,k=2<3;第三次循环:
输出S=210.故选C.
思路分析 先认真阅读程序框图,判断出循环结构为当型循环结构,按照顺序依次执行循环结 构,若满足条件,则进入循环体,否则结束循环. 方法点拨 在程序框图中常有累加求和、累乘求积等算法出现,执行时要特别关注循环变量的 初始值和结束值.
5.(2013北京,4,5分,0.95)执行如图所示的程序框图,输出的S值为
S=2+(-1)×5=-3,a=1,K=6≤6;
S=-3+1×6=3,a=-1,K=7>6,退出循环,输出S=3.故选B.
5.(2017课标全国Ⅰ,8,5分)下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在
和 两个空白框中,可以分别填入 (
)
A.A>1 000和n=n+1
2018年高考数学文科课标Ⅱ专用复习专题测试命题规律探
在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合 题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1) 上为增函数,不符合题意;选项D符合题意. 评析 本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.
2.(2014安徽,9,5分)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为 ( A.5或8 答案 D B.-1或5
a 2
)
C.-1或-4
D.-4或8
当a>2时,- <-1,
3x a 1, x 1, a f(x)= x a 1, 2 x 1, a 3x a 1, x . 2
三年模拟
A组 2015—2017年高考模拟·基础题组
(时间：15分钟 分值：30分)
一、选择题（每题5分，共15分）
1.(2017安徽江淮十校高三下学期第三次联考)函数f(x)=x2-bx+c,满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx) 与f(cx)的大小关系是 ( A.f(bx)≤f(cx) C.f(bx)>f(cx) 答案 A )
所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞), 令u=x2-2x-8, 则其在x∈(-∞,-2)上单调递减, 在x∈(4,+∞)上单调递增. 又因为y=ln u在u∈(0,+∞)上单调递增, 所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上单调递增.故选D. 易错警示 本题易忽略定义域而错选C. 方法总结 复合函数的单调性符合同增异减的原则.
精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 D单元 数列(文科2013)和答案
D 单元 数列D1 数列的概念与简单表示法15．D1，D5 对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，...，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中xi 1＝xi 2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q 的元素个数为________．15．2 17 (1)由特征数列的定义可知，子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.(2)根据“E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99”可知子集P 的“特征数列”为1，0，1，0，…，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98”可知子集Q 的“特征数列为1，0，0，1，0，0， 01.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P∩Q 的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a 1，a 7，a 13，…，a 97，共17项．4．D1 下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列a nn是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd}是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 44．D 因为数列{a n }为d>0的数列，所以{a n }是递增数列，则p 1为真命题．而数列{a n ＋3nd}也是递增数列，所以p 4为真命题，故选D.D2 等差数列及等有效期数列前n 项和19．D2，D4 设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n∈N *，函数f(x)＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .19．解：(1)由题设可得，f ′(x)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x. 对任意n∈N *，f′π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n－1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n （n ＋1）2＋121－12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 7．D2 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．27．A 设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.20．M2，D2，D3，D5 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q>1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q)q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q(i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i ≤B i ＋1，d>0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d>B i ＋d i＝A i .又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．17．D2、D4 等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n .17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ），解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)因为b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝21－22＋22－23＋…＋2n －2n ＋1＝2n n ＋1. 17．D2，D3 已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围． 17．解：(1)因为数列{a n }的公差d ＝1， 且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)， 即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9， 所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.17．D2，D3 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.17．解：(1)设{a n }的公差为d.由题意，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)，于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56) ＝－3n 2＋28n.20．D2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n∈N *，求{b n }的前n 项和T n .20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1. 解得a 1＝1，d ＝2. 因此a n ＝2n －1，n∈N *.(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝12n .所以b n a n ＝12n ，n∈N *.由(1)知a n ＝2n －1，n∈N *，所以b n ＝2n －12n ，n∈N *.又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以T n ＝3－2n ＋32n .17．D2 设S n 表示数列{}a n 的前n 项和． (1)若{}a n 是等差数列，推导S n 的计算公式；(2)若a 1＝1，q≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n1－q .判断{}a n 是否为等比数列，并证明你的结论．17．解： (1)方法一：设{}a n 的公差为d ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋，又S n ＝a n ＋(a n －d)＋…＋， ∴2S n ＝n(a 1＋a n )， ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2. 方法二：设{}a n 的公差为d ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋， 又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1 ＝＋＋…＋a 1， ∴2S n ＝＋＋…＋ ＝2na 1＋n(n －1)d ， ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2 d.(2){}a n 是等比数列．证明如下： ∵S n ＝1－q n1－q ，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n＝1－q n ＋11－q －1－q n 1－q ＝q n （1－q ）1－q＝q n .∵a 1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有 a n ＋1a n ＝q n q n －1＝q.因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．16．D2，D3 在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．16．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1. 所以，数列的前n 项和S n ＝3n －12.17．D2、D4 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2 d.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5， 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n.(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n 1－2n .19．D2 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 19．解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n∈N *或 a n ＝4n ＋6，n∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d<0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 当n≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n.当n≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n≤11，12n 2－212n ＋110，n≥12.16．D2和D3 设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1， S n ＝1－3n 1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.12．D2 若2，a ，b ，c ，9成等差数列，则c －a ＝________． 12.72 设公差为d ，则d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.D3 等比数列及等比数列前n 项和20．M2，D2，D3，D5 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q>1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q)q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q(i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i ≤B i ＋1，d>0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d>B i ＋d i＝A i .又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．11．D3 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．11．2 2n ＋1－2 ∵a 3＋a 5＝q(a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q＝2，∴a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.22．H6、H8、D3 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．22．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2 a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝22.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1， |BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．7．D3 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310)C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)7．C 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ≠0(否则a 2＝0)且a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是公比为－13的等比数列，代入a 2可得a 1＝4，故S 10＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1310＝3(1－3－10)．17．D2，D3 已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围． 17．解：(1)因为数列{a n }的公差d ＝1， 且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)， 即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9， 所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.11．D3 设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．11．15 方法一：易求得a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，∴a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15.方法二：相当于求首项为1，公比为2的等比数列的前4项和，S 4＝1－241－2＝15.14．D3 在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．14．12 设{a n }的公比为q.由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3得q ＝2，所以a 1＝132，所以a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11>1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132，a 1a 2…a 12＝26<27－132，所以a 1a 2…a 12>a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28>28－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 13<a 1a 2…a 13，故最大正整数n 的值为12.12．D3 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N *)等于________．12．6 S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2≥100，得n≥6.14．D3 已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.14．63 由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝1×（1－26）1－2＝63.17．D2，D3 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.17．解：(1)设{a n }的公差为d.由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56) ＝－3n 2＋28n.16．D2，D3 在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．16．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得 a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1. 所以，数列的前n 项和S n ＝3n －12.6．D3 设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n 6．D a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，S n ＝1－23n 1－23＝31－23a n ＝3－2a n . 16．D2和D3 设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1， S n ＝1－3n 1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.D4 数列求和19．D2，D4 设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n∈N *，函数f(x)＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .19．解：(1)由题设可得，f ′(x)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x.对任意n∈N *，f′π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n－1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n （n ＋1）2＋121－12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 17．D2、D4 等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ），解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)因为b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝21－22＋22－23＋…＋2n －2n ＋1＝2n n ＋1. 16．D4 正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1（n ＋1）a n，求数列{b n }的前n 项和T n .16．解：(1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n)(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n.(2)由a n ＝2n ，b n ＝1（n ＋1）a n ，则b n ＝12n （n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2（n ＋1）. 17．D2、D4 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2 d.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5， 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n.(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n 1－2n .D5 单元综合20．M2，D2，D3，D5 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q>1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q)q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q(i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i ≤B i ＋1，d>0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d>B i ＋d i ＝A i .又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1.因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n .所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．19．D5，E9 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 19．解：19．D5 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18， 即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q （1＋q ＋q 2）＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n . 若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n|n ＝2k ＋1，k∈N ，k≥5}．15．D1，D5 对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，...，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中xi 1＝xi 2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q 的元素个数为________．15．2 17 (1)由特征数列的定义可知，子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.(2)根据“E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，...，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99”可知子集P 的“特征数列”为1，0，1，0，...，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，...，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98”可知子集Q 的“特征数列为1，0，0，1，0，0， 01.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P∩Q 的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a 1，a 7，a 13，…，a 97，共17项．19．D5 设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n∈N *)；(2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.19．解：由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d. (1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d≠0，所以d ＝2a.因此，对于所有的m∈N *，有S m ＝m 2a.从而对于所有的k ，n∈N *，有S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n∈N *， 代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)． 令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c(d 1－b 1)，则对于所有的n∈N *，有 An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D(*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0.即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0. 若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0. 又因为cd 1＝0，所以c ＝0.19．D5 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N *)，且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明S n ＋1S n ≤136(n∈N *)． 19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：S n ＝1－－12n ，S n ＋1S n ＝1－－12n ＋11－－12n ＝⎩⎨⎧2＋12n （2n ＋1），n 为奇数，2＋12n （2n －1），n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136. 当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512. 故对于n∈N *，有S n ＋1S n ≤136.。
2018北师大版文科数学高考总复习教师用书专题探究课三Word版含答案
高考导航 对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大．考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循．热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用．【例1】 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N ＋)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32， 所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N ＋， 总有－712≤S n －1S n≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.探究提高 解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口．【训练1】 (2017·西安模拟)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N ＋，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2(a 1＋d )＝25，(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋12d )，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在．理由如下：∵1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k ∈N ＋)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315， 又1b k＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，∴不存在k ∈N ＋，使得等式1－2T k ＝1b k成立．热点二 数列的通项与求和(规范解答)数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算．求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法．常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等． 【例2】 (满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .满分解答 (1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，2分 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.4分故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.6分(2)解 由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1，7分 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②8分 ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n 10分 ＝3－2n ＋32n ，11分 故T n ＝6－2n ＋32n －1.12分❶由题意列出方程组得…………2分； ❷解得a 1与d 得2分，漏解得…………1分； ❸正确导出a n ，b n 得2分，漏解得…………1分； ❹写出c n 得…………1分；❺把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，就能正确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数． 用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和． 第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q . 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N ＋)的项对应，然后两边同时作差．第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【训练2】 已知数列{a n }，a n ＝(－1)n －14n(2n －1)(2n ＋1)，求数列{a n }的前n 项和T n .解 a n ＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)．热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选．【例3－1】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N ＋)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2， 解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等．如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法．【例3－2】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)设公差为d ，由题意得：⎩⎨⎧ a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n . (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝32n (n ＋1)， ∴T n ＝n (n ＋1)2n ，T n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1－n (n ＋1)2n ＝(n ＋1)(2－n )2n ＋1，∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32， ∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.热点3.3 数列的实际应用数列在实际问题中的应用，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n 项和公式或递推关系式，建立数列模型．【例3－3】 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元． 解 设a n 为(2010＋n )年年底分红后的资金，其中n ∈N ＋， 则a 1＝2×1 000－500＝1 500， a 2＝2×1 500－500＝2 500，…， a n ＝2a n －1－500(n ≥2)．∴a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，即数列{a n －500}是以a 1－500＝1 000为首项，2为公比的等比数列， ∴a n －500＝1 000×2n －1， ∴a n ＝1 000×2n －1＋500.(1)∵a 4＝1 000×24－1＋500＝8 500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元．(2)由a n >32 500，即2n －1>32，得n >6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元.(建议用时：70分钟)1．(2015·重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得 a 1＋2d ＝2,3a 1＋3×22d ＝92， 化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32， 解得a 1＝1，d ＝12，故{a n }的通项公式a n ＝1＋n －12， 即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8. 设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.2．(2017·东北三省四校模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＋5a 1＋4×52d ＝50，(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋12d )，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b na n＝3n －1，∴b n ＝a n ·3n －1＝(2n ＋1)·3n －1，∴T n ＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n ＋1)×3n －1，3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)×3n －1＋(2n ＋1)×3n ， 两式相减得，－2T n ＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)×3n ＝3＋2×3(1－3n －1)1－3－(2n ＋1)×3n ＝－2n ×3n ，∴T n ＝n ×3n .3．已知二次函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝f (x )的图像上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，试求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由于f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2， 所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝f (x )的图像上， 所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝6×1－5，也适合上式， 所以a n ＝6n －5(n ∈N ＋)． (2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1， 故T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＝3n 6n ＋1. 4．在数列{a n }中，log 2a n ＝2n ＋1，令b n ＝(－1)n －1·4(n ＋1)log 2a n log 2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 由题意得b n ＝(－1)n －14(n ＋1)(2n ＋1)(2n ＋3)＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12n ＋3. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋19－…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12n ＋3＝13－12n ＋3；当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋19－…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12n ＋3＝13＋12n ＋3，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧13＋12n ＋3，n 为奇数，13－12n ＋3，n 为偶数.5．(2017·南昌模拟)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N ＋，都有T n <564.(1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，又a 1＝2＝2×1. 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n .(2)证明 由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n， 则b n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2. T n ＝116⎣⎢⎡1－132＋122－142＋132－152＋… ⎦⎥⎤＋1(n －1)2－1(n ＋1)2＋1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564. 所以对于任意的n ∈N ＋，都有T n ＜564.6．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎨⎧ a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎨⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ， ∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ×2n ＋1－2. 由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，得2n ＋1－n ×2n ＋1－2＋n ×2n ＋1＋m ×2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1，即m <12n －1对任意正整数n 恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1].。