不等式课时作业4
绝对值三角不等式课时提升作业 四 1.2.1
课时提升作业四绝对值三角不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.已知|x-m|<,|y-n|<,则|4x+2y-4m-2n|小于( )A.ξB.2ξC.3ξD.【解析】选C.|4x+2y-4m-2n|=|4(x-m)+2(y-n)|≤4|x-m|+2|y-n|<4〓+2〓=3ξ.【补偿训练】若|x-a|<h,|y-a|<k,则下列不等式一定成立的是( )A.|x-y|<2hB.|x-y|<2kC.|x-y|<h+kD.|x-y|<|h-k|【解析】选C.|x-y|=|(x-a)+(a-y)|≤|x-a|+|a-y|<h+k.2.(2016·商丘高二检测)已知x∈R,不等式|x+1|-|x-3|≤a恒成立,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,4]B.[4,+∞)C.[1,3]D.[-1,3]【解析】选B.因为x∈R,所以|x+1|-|x-3|≤|(x+1)-(x-3)|=4,故使不等式|x+1|-|x-3|≤a恒成立的实数a的取值范围为a≥4.3.设变量x,y满足|x-1|+|y-a|≤1,若2x+y的最大值是5,则实数a的值是( ) A.2 B.1 C.0 D.-1【解析】选B.设点M(1,a),则满足|x-1|+|y-a|≤1的点(x,y)构成区域为平行四边形ABCD及其内部,如图所示:令z=2x+y,则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距,故当直线y=-2x+z过点C(2,a)时,z取得最大值为5,即4+a=5,求得a=1.二、填空题(每小题6分,共12分)4.x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为________.【解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解.【解析】由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1,又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤2.答案:[0,2]5.若不等式|2a-1|≤对一切非零实数x恒成立,则实数a的取值范围是____________.【解析】=|x|+≥2,所以由已知得|2a-1|≤2,即2a-1≤2或2a-1≥-2,解得-≤a≤.答案:[-,]三、解答题(每小题10分,共30分)6.设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.若存在x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.【解析】f(x)=|2x-1|-|x+2|=所以f(x)min=f=-.因为存在x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,所以4m-2m2>f(x)min=-,整理得:4m2-8m-5<0,解得-<m<,因此m的取值范围是.7.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-≦,-3].8.(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集.(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2,解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3, ①当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+≦).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知h>0,设命题甲:两个实数a,b满足|a-b|<2h,命题乙:两个实数a,b满足|a-1|<h且|b-1|<h,那么( )A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充分条件D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【解析】选B.|a-b|=|(a-1)-(b-1)|≤|a-1|+|b-1|.若有甲:|a-b|<2h,不一定有乙:|a-1|<h,且|b-1|<h,故甲不是乙的充分条件,反之,由乙则可推出甲:2h>|a-1|+|b-1|≥|a-1-(b-1)|=|a-b|.2.(2016·济南高二检测)已知不等式|x-m|<1成立的一个充分不必要条件是<x<,则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选B.由|x-m|<1得m-1<x<m+1.因为不等式|x-m|<1成立的一个充分不必要条件是<x<,则是(m-1,m+1)的子集,即解得-≤m≤.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·九江高二检测)已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则实数a的取值范围为________.【解析】由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,所以若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a≤,所以实数a的取值范围是.答案:4.(2016·济南高二检测)以下三个命题:①若|a-b|≤1,则|a|≤|b|+1;②若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;③|x|<2,|y|>3,则<.其中正确命题的序号为________.【解析】因为|a|-|b|≤|a-b|≤1,所以|a|≤|b|+1,故①正确;因为|a+b|-2|a|=|a+b|-|2a|≤|(a+b)-2a|=|a-b|,故②正确;③显然正确.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·南昌高二检测)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M,证明:<.【证明】记f(x)=|x-1|-|x+2|=由-2<-2x-1<0,解得-<x<,则M=.因为a,b∈M,所以|a|<,|b|<,所以≤|a|+|b|<〓+〓=.【拓展延伸】含绝对值不等式的证明证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条:(1)恰当地运用|a|-|b|≤|a〒b|≤|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的条件.(2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法等进行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论法.6.对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,记实数M的最大值是m,求m的值.【解析】不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,即左边恒小于或等于右边的最小值.因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,即|a|≥|b|时,等号成立,也就是的最小值是2.所以m=2.。
高中数学第二章不等式及其性质同步课时作业含解析新人教B版必修第一册
高中数学课时分层作业：2.2.1不等式及其性质1.(多选)设,a b 为正实数，则下列命题为真命题的是()A.若221a b -=,1a b -<B.若111b a -=,则1a b -<C.1=,则1a b -<D.若1,1a b ≤≤，则1a b ab -≤-2.已知,0x y z x y z >>++=,则下列不等式中一定成立的是（）A.xy yz >B. xz yz >C.xy xz >D. x y z y > 3.若,a b 均为不等于零的实数，条件甲：对任意的10,0x ax b -<<+>恒成立；条件乙：20b a -<,则甲是乙 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定5.已知R a ∈，2(1)(3),(2)p a a q a =--=-,则 p 与q 的大小关系为（ )A.p q >B.p q ≥C.p q < D . p q ≤6.若110a b<<,则下列结论中不正确的是( ) A. 22a b < B.2ab b < C. 0a b +< D. a b a b +>+7.已知2,3b a d c <<，则下列不等式一定成立的是( )A. 23a c b d ->-B.23ac bd >C. 23a c b d +>+D. 6ad bc >8.下列结论中正确的是（ ）A.若a b >，则ac bc >B.若a b >，则11a b< C.若22ac bc >，则 a b >D.若a b >，则22ac bc >9.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是{|32}x x -<<，则a b += . 10.用”>”“<”或“=”填空:①已知0a b c <<<,则ac ________bc ;c a ________c b ②已知x R ∈,则22x +________2x11.给出四个条件:①0b a >>;②0a b >>;③0a b >>;④0a b >>. 其中能推出11a b<成立的是________. 12.已知三个不等式:①0ab >;②c d a b >;③bc ad >,以其中两个作条件余下一个作结论,则可组成________个真命题.13.已知a b >,则下列不等式:①22a b >; ②11a b <; ③11a b a<-; ④22a b >;⑤()0lg a b ->中,你认为正确的是________.(填序号)14.如果a b >,那么2c a -与2c b -中较大的是________15.已知()2f x ax bx c =++(1)当1,2,4a b c =-==时,求()1f x ≤的解集(2)当()()130f f ==,且当()1,3x ∈时,()1f x ≤恒成立,求实数a 的最小值答案以及解析1.答案：AD解析：对于A,由,a b 为正实数,221100a b a b a b a b a b-=⇒-=⇒->⇒>>+,故0a b a b +>->.若1a b -≥，则111a b a b≥⇒+≤+，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 为真命题;对于B ，取55,6a b ==,则111b a -=,但5516a b -=->,所以B 为假命题;对于C ，取4,1a b ==1=，但31a b -=<不成立，所以C 为假命题;对于 D ，22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b ---=+--=--≤，即1a b ab -≤-，所以D 为真命题.综上可知，真命题为A ，D.2.答案：C解析：因为x y z >>，0x y z ++=，所以30,30x x y z z x y z >++=<++=，所以0,0,x z ><又y z >，所以可得xy xz >.3.答案：A解析：当10x -<<时，恒有0ax b +>成立，∴当0a >时，0ax b b a +>->,当0a <时，0ax b b +>>，0,0,20,b a b b a ∴->>∴->∴甲⇒乙.当 3,02a b b =>时，1202b a b -=>，但当56x =-时,551()0644a b b b b ⋅-+=-+=-<，此时，乙⇒/甲，∴甲是乙的充分不必要条件. 4.答案：B解析：由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.5.答案：C解析：因为222(1)(3)(2)43(44)10p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<,所以p q <,故选 C.6.答案：D 解析：222110,0,,,0,,,b a b a ab b a b A B C a b<<∴<<∴><+<∴中结论均正确，0,,b a a b a b D <<∴+=+∴中结论错误.故选D.7.答案：C解析：由2,3b a d c <<以及不等式的性质，得32b d a c +<+，故选C.8.答案：C解析：当0c ≤时,ac bc ≤,故选项A 不正确；取2,1a b ==-，11a b>，故选项B 不正确；由22ac bc >，知0c ≠,所以20c >,所以a b >,故选项C 正确；当0c =时,22ac bc =,故选项D 不正确.9.答案：0解析：解不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩,得1223a x x b +⎧<⎪⎨⎪>+⎩,由已知条件，可知122233a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以0a b +=.10.答案：>；<；>；>解析：00a b c <<<，ac bc ∴> 又1100,0a b c a b<<⇒>>< c c a b ∴<再由00a b a b <<⇒->->⇒22(22110)x x x -=-++>222x x ∴+>11.答案：①②④解析：由①0a b <<，有110,0a b <>，所以11a b <；由②0a b >>，有10ab >，故有11a b <；由③0a b >>，有110a b >>；由④0a b >>，得11a b< 12.答案：3解析：由不等式性质,得0ab bc ad c d a b >⎫⎪⇒>⎬>⎪⎭；0ab c d bc ad a b >⎫⇒>⎬>⎭；0c d ab a b bc ad ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭ 13.答案：④解析：当0,1a b ==-时，经验证①，②，③，⑤均不正确．结合指数函数2x y ＝是增函数可知当a b >时，有22a b >，因此④正确14.答案：2c b -解析：,(2)(2)2()0,22a b c a c b b a c a c b >∴---=-<∴-<-15.答案：(1)当1,2,4a b c =-==时，()2241f x x x ≤＝－＋＋，即2230x x ≥－－()(310)x x ∴≥－＋1x ∴≤－或3x ≥(2)方法一 因为()()130f f ＝＝所以()()()()(131(1)3)f x a x x f x a x x ≤＝－－，＝－－在()1,3x ∈上恒成立 即1(1)(3)a x x -≤--在()1,3x ∈上恒成立而2(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-⎡⎤<--≤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当13x x －＝－，即2x ＝时取到等号 所以1a ≤－，即1a ≥－，所以a 的最小值是1－方法二 ()()(13)1f x a x x ≤＝－－在()1,3x ∈上恒成立即()130()1a x x ≤－－－在()1,3x ∈上恒成立 令()22()13143(2)1)1(g x a x x ax ax a a x a -=-=+-=-----当0a ＝时，()10g x <＝－在()1,3x ∈上恒成立，符合 当0a >时，易知()0g x <在()1,3x ∈上恒成立，符合当0a <时，则10a ≤－－，所以10a ≤<－ 综上所述，1a ≥－所以a 的最小值是1-。
学案4一元二次不等式及其解法(1)
学案4—一元二次不等式及其解法[课程标准]1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.[知识梳理]1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为．(2)当a<0时，解集为．2．三个“二次”间的关系(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔思考辨析判断正误(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．() [典例精讲]考点一一元二次不等式的解法(基础型)命题点1不含参的不等式【例1】求下列不等式的解集(1)08822>+-xx (2)03722<+-xx (3)04432>-+-yy(4)2x＋1x－5≥－1 (5) | x2－x－2|≤4命题点2含参不等式【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)【跟踪训练】(1)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．（2）已知不等式ax2－bx－1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪－12<x<－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．考点二一元二次不等式恒成立问题(综合型)命题点1在R上的恒成立问题【例3】已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，求实数m的取值范围．命题点2在给定区间上的恒成立问题【例4】已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f (x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．【若将“f (x)<5－m恒成立”改为“存在x，使 f (x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？命题点3给定参数范围的恒成立问题【例5】若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．课时作业41．关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是() A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)2．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是() A．(－3,5) B．(－2,4)C．[－1,3] D．[－2,4]3．“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( ) A ．m >14 B ．m <14C ．m <1D ．m >14．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3]5．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13) 6．(多选)下列四个解不等式，正确的有( ) A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为－17．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( ) A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66D ．若不等式的解集为∅，则k ≥668．(多选)关于x 的不等式(ax －1)(x ＋2a －1)>0的解集中恰有3个整数，则a 的值可以为( ) A ．－12 B ．1 C ．－1 D ．29.．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0. (1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．学案4-------一元二次不等式及其解法【例2】.解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 【跟踪训练】(1)答案 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. （2）答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【例4】.解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 解 由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．【例5】.解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.课时作业41.答案 C 解析 关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，∴a >0，且－ba ＝1，∴关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0， ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．故选C.2.解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1， 所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C. 3.解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0，∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A.4.解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.5.解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B. 6.解析 对于A ，∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－12.故A 错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝21a ，∴a ＝3.故C 正确；对于D ，依题意q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．7.解析 对于A ，∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.故A 正确；对于B ，∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.故B 错误； 对于C ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66.故C 正确；对于D ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.故D 正确．8答案 AC 解析 由题意知a <0，则排除B ，D ；对于A 项，当a ＝－12时，⎝⎛⎭⎫－12x －1(x －2)>0，即(x ＋2)(x －2)<0，解得－2<x <2，恰有3个整数，符合题意；对于C 项，当a ＝－1时，(－x －1)(x －3)>0，即(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.9.解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0， 即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅； 当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)； 当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时， 不等式的解集为(－1，a ＋1)。
课时作业4：3.2 均值不等式
基本不等式一、填空题1. 若a<1，则a+1a−1<1有最________(填“大”或“小”)值，为____________．【解析】本题考查基本不等式的应用.构造基本不等式，满足“一正”、“二定”、“三相等”.∵a<1∴1−a>0∴a+1a−1=−[(1−a)+11−a]+1≤−2+1=−1∴a+1a−1有最大值−1【答案】大，1-.2、给出下列三个命题：①若a≥b>−1，则a1+a ≥b1+b；②若正整数m和n满足m<n，则√m(n−m)≤n2；③已知关于x的不等式ax−1x+1<0的解集是(−∞,−1)∪(−12,+∞)，则a=−2.其中正确的命题有________．(请填上你认为正确的命题的序号) 【解析】本题考查不等式的关系、基本不等式、解不等式.①由a≥b>−1， a+1≥b+1>0，得1a+1≤1b+1⇔1−1a+1≥1−1b+1⇔aa+1≥bb+1，即a 1+a ≥b1+b. ，所以本命题为真命题；②用基本不等式：2xy≤x2+y2(x,y为正实数)，取x=√m,y=√n−m，所以本命题为真命题；③ax−1x+1<0⇔(ax−1)(x+1)<0，又其解集为(−∞,−1)∪(−12,+∞)，可得a<0，∴故(ax−1)(x+1)<0⇔(x−1a)(x+1)>0，结合原不等式的解集，有1a =−12⇔a=−2，所以本命题是真命题，故填①②③.【答案】①②③.3、已知x>0，y>0，且x+2y=1，1x +1y的最小值为________．【解析】本题考查“1”的变换.∵x>0，y>0，且x+2y=1，∴1x +1y=x+2yx+x+2yy=1+2+2yx+xy≥3+2√2yx∙xy=3+2√2当且仅当2yx =xy，且x+2y=1，即x=√2−1，y=1−√22时，等号成立.∴1x +1y的最小值为3+2√2.【答案】3+2√2.4．若对任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围为________．【解析】本题考查利用基本不等式求参数的取值范围.∵ x>0∴xx2+3x+1=1x+1x+3≤2√x∙1x+3=15，当且仅当x=1x，即x=1时取“=”∴要使xx2+3x+1≤a恒成立，只需a≥15.【答案】[15，+∞).5. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是________．【解析】本题考查“1”的变换,利用基本不等式求最小值.∵x>0，y>0，且由x+3y=5xy得15(1y+3x)=1∴3x+4y=15(1y+3x)(3x+4y)=135+15(3xy+12yx)≥135+15×2√3xy∙12yx=5当且仅当3xy =12yx，且x+3y=5xy，即x=4，y=2时取等号∴3x+4y的最小值是5.【答案】5.6、若x，y∈(0，+∞)，x+2y+xy=30.⑴求xy的取值范围________．⑵求x+y的取值范围________．【解析】本题可用消元法构造基本不等式.由x+2y+xy=30，得 y=30−xx+2. 则（1）xy=30x−x 2x+2=−[(x+2)+64x+2]+34≤−2√(x+2)∙64x+2+34=18当且仅当x+2=64x+2，即x=6时取等号，∴xy的取值范围是(0，18].]（2）x+y=x+30x−x 2x+2=(x+2)+32x+2−3≥2√(x+2)∙32x+2−3=8√2−3当且仅当(x+2)=32x+2，即x=4√2−2时等号成立.又x+y=(x+2)+32x+2−3<30 ，因此x+y的取值范围是[8√2−3，30)．【答案】（1）(0，18]；（2） [8√2−3，30).二、解答题7、如下图，某小区进行绿化改造，计划围出一块三角形绿地∆ABC ，其中一边利用现成的墙BC ，长度为1（百米），另外两边AB ，AC 使用某种新型材料，∠BAC =120°，设AB =x ，AC =y ⑴ 求x ，y 满足的关系式（指出x 的取值范围）；⑵ 若无论如何设计此两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需准备长度为多少的此种新型材料？【解析】本题考查基本不等式在实际问题中的应用.根据实际问题找等量关系列等式，求出 x ，y 的关系式，在∆ABC 中由余弦定理，得AB 2+AC 2−2AB ∙ACcosA =BC 2，x 2+y 2+xy =1(0<x <1)；设需准备此种新型材料的长度为a ；x +y ≤a 恒成立，利用基本不等式算出x +y ≤2√33，故a =2√33. 【答案】⑴ 在∆ABC 中，由余弦定理，得AB 2+AC 2−2AB ∙ACcosA =BC 2． ∴ x 2+y 2−2xycos120°=1，即x 2+y 2+xy =1． 又 x >0，y >0. ∴ x ，y 满足的关系式为x 2+y 2+xy =1(0<x <1)．（2）设需准备此种新型材料的长度为a ，则必须要x +y ≤a 恒成立． ∵ x 2+y 2+xy =1，∴(x +y)2−1=xy ≤(x+y 2)2．由此得 则(x +y)2≤43， ∴ x +y ≤2√33．当且仅当x =y =√33时取“=”．∴ a ≥2√33（百米）时，x +y ≤a 恒成立．∴ 至少需要准备2√33（百米）的此种新型材料，才能确保围成三角形绿地．。
一轮复习：基本不等式
2
课时分层作业
)
5
2
2
(2)当 ＜x＜ 时，函数y＝ 2 − 1 + 5 − 2的最大值为________．
(1)BC
(2)2
+ 2
2
2
2
[(1)由x ＋y －xy＝1，可得(x＋y) －3xy＝1，而xy≤
，即1＝(x＋y)2 －
4
3 + 2
+ 2
2
3xy≥(x＋y) －
A．1
D
B．2
C．2 2
1
的最小值是(
−2
)
D．4
√
1
1
[∵x>2，∴x＋ ＝x－2＋ ＋2≥2
−2
−2
1
，即x＝3时，等号成立．故选D.]
−2
−2
1
·
＋2＝4，当且仅当x－2＝
−2
第4课时
基本不等式
链接教材 夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的
＝2＋ ，
+1
+1
故2x＋y＝4＋
4
＋y＋1－1≥4＋2
+1
4
·
+1
+ 1 －1＝7，当且仅当
即x＝3，y＝1时取等号．故选C.
(3)令x－1＝m，2y－1＝n，
则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
1
1
1
∴
+
＝
−1
2−1
1
1
+ ＝
课时作业(四) 基本不等式
课时作业(四) 基本不等式[基础保分练]1．(2023·广州揭阳模拟)设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B2．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3 上的最小值为( ) A ．12 B ．43 C ．－1 D ．0答案：D3．(2022·黑龙江哈九中三模)已知x ，y 都是正数，且x ≠y ，则下列选项不恒成立的是( ) A ．x ＋y 2 >xyB ．x y ＋yx >2C ．2xy x ＋y <xyD ．xy ＋1xy >2答案：D4．若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|P A |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．22C ．4D ．42 答案：B5．(2022·湖北十堰三模)函数f (x )＝16x ＋14x ＋12x －1 的最小值为( )A ．4B ．22C ．3D ．42 答案：A6．(2022·江苏南京调研)设a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则1a ＋2aa ＋b 的最小值为( )A ．22 ＋1B ．2 ＋1C ．143 D ．4答案：A7．(多选)已知x 2＋y 2＝4(xy ≠0)，则下列结论正确的是( ) A ．|x ＋y |≤22 B ．|xy |≤2 C ．log 2|x |＋log 2|y |<2 D ．1|x | ＋1|y | >2答案：ABC8．(多选)已知a >b >0，a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则下列不等式成立的是( )A ．1<a ＋b <4B ．⎝⎛⎭⎫1a ＋b ⎝⎛⎭⎫1b ＋a ≥4C ．⎝⎛⎭⎫1a ＋b 2>⎝⎛⎭⎫1b ＋a 2D ．⎝⎛⎭⎫1a ＋a 2>⎝⎛⎭⎫1b ＋b 2答案：AB9．函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案：15解析：y ＝x －1x －1＋4＋x －1，当x －1＝0时，y ＝0，当x －1>0时，y ＝1x －1＋4x －1＋1 ≤14＋1 ＝15 ，当且仅当x －1 ＝4x －1 ，即x ＝5时等号成立，y max ＝15. 10．(2023·浙江模拟)已知xy >0，x ＋2y －2x －4y ＝7，则x ＋2y 的最小值是________．答案：9 解析：由题意得， x ＋2y ＝7＋2x ＋4y ，①2x ＋4y ＝2x ＋82y，② 所以⎝⎛⎭⎫2x ＋82y ()x ＋2y ＝2＋4y x ＋8x 2y ＋8≥10＋216 ＝18⇒2x ＋82y ≥18x ＋2y⇒2x ＋4y ≥18x ＋2y， 所以①式x ＋2y ＝7＋2x ＋4y ≥7＋18x ＋2y ，令t ＝x ＋2y ，t >0，所以t ≥7＋18t⇒t 2≥7t ＋18⇒t 2－7t －18≥0⇒t ≥9，即(x ＋2y )min ＝9.[技能提分练]11．(2023·辽宁模拟)已知正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，则4xy －3x －6y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．12 答案：C12．(2022·天津红桥二模)设a >0，b >0，若a ＋2b ＝5，则()a ＋1()2b ＋1ab的最小值为( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．4 3D 解析：因为a >0，b >0，且a ＋2b ＝5，所以ab >0， 所以()a ＋1()2b ＋1ab＝2ab ＋a ＋2b ＋1ab＝2ab ＋6ab＝2ab ＋6ab≥22ab ·6ab＝43 ，当且仅当2ab ＝6ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1a ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32a ＝2 时取等号．即（a ＋1）（2b ＋1）ab 的最小值为43 .13．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )A ．甲合适B ．乙合适C ．油价先高后低甲合适D ．油价先低后高甲合适答案：B14．(多选)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则( ) A ．ab ≥8 B ．a ＋b ≤3＋22 C ．2b >4D ．log 2(a －1)·log 2(b －2)≤14答案：ACD15．(2023·山东枣庄模拟)已知a >b >0，则a ＋4a ＋b ＋1a －b 的最小值为________．答案：32 解析：因为a >b >0，所以a ＋b >0，a －b >0，a ＋4a ＋b ＋1a －b ＝a ＋b 2 ＋4a ＋b＋a －b 2 ＋1a －b≥2a ＋b 2×4a ＋b＋2a －b 2×1a －b＝22 ＋2×22 ＝32 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝22a －b ＝2，即a ＝322，b ＝2 时等号成立． 16．(2023·浙江模拟)已知正实数x ，y 满足：x 2＋xy ＋2x y ＝2，则3x ＋2y ＋2y 的最小值为________．答案：42 解析：因为x 2＋xy ＋2x y ＝2，所以x 2＋xy ＋2xy ＋2＝4，所以x (x ＋y )＋2y (x ＋y )＝4，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫x ＋2y ＝4， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝mx ＋2y ＝4m， 则3x ＋2y ＋2y ＝2(x ＋y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y ＝2m ＋4m ≥22m ·4m＝42 ， 当且仅当2m ＝4m ，即m ＝2 时取等号，所以3x ＋2y ＋2y 的最小值为42 .。
3.4《不等式的实际应用》课时作业(人教B版必修5)
3.4不等式的实际应用一、选择题(每题5分，共20分)1．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x，运输费用y 2＝k 2x 把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45， 故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8， 当且仅当20x ＝45x 即x ＝5时等号成立． 【答案】 A2．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户，为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而又不大于总投资的15%，则给储户的回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20% 【解析】 设给储户的回扣率为x ，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧0.4×0.1＋0.6×0.35－x ≥0.10.4×0.1＋0.6×0.35－x ≤0.15， 解得0.1≤x ≤0.15，故x 的最小值是0.1＝10%.【答案】 B3．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天【解析】 日平均耗资为3 2000＋n ·12·⎝⎛⎭⎫5＋n ＋4910n＝3 2000n ＋n 20＋9920≥2 3 2000n ·n 20＋9920＝80＋9920，当且仅当3 2000n ＝n 20，即n ＝800时取等号． 【答案】 B4．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．85 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 2【解析】 设三角形各边长为x 、y 、z ，且x 、y 、z ∈N ＋，则x ＋y ＋z ＝20.由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7 cm 、7 cm 、6 cm 时面积最大，则S △＝12×6×72－32＝610(cm 2)，故选B.【答案】 B二、填空题(每题5分，共10分)5．建造一个容积为8 m 2，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】 设池底长x m ，则宽4xm ， 总造价y ＝(4x ＋16x)×80＋4×120 ≥24x ·16x×80＋480＝1 760， 当且仅当4x ＝16x即x ＝2时等号成立． 【答案】 1 7606．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是____． 【解析】 由题意得(20－52t )×2 4000×t %≥9 000， 化简得t 2－8t ＋15≤0解得3≤t ≤5.【答案】 3≤t ≤5三、解答题(每题10分，共20分)7．某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1 200元/m 2，房屋侧面的造价为800元/m 2，屋顶的造价为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元？【解析】 设房子的长为x m ，宽为y m ，总造价为t 元，则xy ＝12.t ＝3x ·1 200＋3y ·800·2＋5 800＝1 200(3x ＋4y )＋5 800≥1 200·212xy ＋5 800＝34600(当且仅当3x ＝4y 时取等号)．故最低总造价是34 600元．8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部安全到达灾区，最少需要多少小时？ 【解析】 第一辆汽车到达用400v h ，由题意每隔(v 20)2v h 到达一辆汽车， ∴400v ＋25×(v 20)2v ＝400v ＋v 16≥2400v ×v 16＝10(h)， 当且仅当400v ＝v 16，v ＝80 km/h 时取等号． ∴每辆汽车以80 km/h 的速度行驶，最少需10 h 这批物资全部安全到达灾区．9．(10分)工厂对某种原料的全年需要量是Q 吨．为保证生产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购买．已知每次订购费用是a 元．又年保管费用率是p ，它与每次购进的数量(x 吨)及全年保管费(S 元)之间的关系是S ＝12px .问全年订购多少次才能使订购费与保管费用之和最少？并求这个最少费用的和(为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数)．【解析】 设每次购进的数量为x 吨，则全年定购费用＝a ·Q x ，全年保管费S ＝12px ， 定购费与保管费之和y ＝a ·Q x ＋12px . 由于a ·Q x ＋12px ≥212paQ ＝2paQ ， 当且仅当a ·Q x ＝12px ，即x ＝2aQp p时取等号， 即最优批量订购数为x 0＝2aQp p(吨)， 最小费用数为y min ＝2paQ (元)，全年最佳定购次数n ＝Q x 0＝2paQ 2a(次)． 故全年订购2paQ 2a次，才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为2paQ 元．高$考じ试(题╬库。
高考数学一轮复习全套课时作业3-3-4利用导数证明不等式
专题层级快练3.3.4利用导数证明不等式1．(2020·沧州七校联考)设a 为实数，函数f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，e x >x 2－2ax ＋1.2．(2021·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－lnx x ，g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．(2017·课标全国Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx ＋ax 2＋(2a ＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明：f(x)≤－34a－2.4．(2021·河南开封市高三模拟)已知函数f(x)＝lnx ＋a x(a ∈R )e ，其中e 为自然对数的底数．(1)求实数a 的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：xf(x)>x ex .5．已知函数f(x)＝xlnx －m 2x 2－x ＋e 2(0<x ≤e 2)．(1)当m ＝1e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当0<m<1e2时，f(x)>0.6．(2021·八省联考)已知函数f(x)＝e x －sinx －cosx ，g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx.(1)证明：当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)若g(x)≥2＋ax ，求a 的值．3.3.4利用导数证明不等式参考答案1．答案(1)单调递减区间为(－∞，ln2)，单调递增区间为(ln2，＋∞)；极小值为2(1－ln2＋a)，无极大值(2)略解析(1)由f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，得f ′(x)＝e x －2，x ∈R .令f ′(x)＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f ′(x)－0＋f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．f(x)在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a)，无极大值．(2)证明：设g(x)＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R .于是g ′(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a>ln2－1时，g ′(x)最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x)>0，所以g(x)在R 内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．又g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g(x)>0.即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.2．答案(1)a ＝－1，b ＝－1(2)略解析(1)因为f(x)＝1－lnx x ，x>0，所以f ′(x)＝lnx －1x2，f ′(1)＝－1.因为g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，所以g ′(x)＝－ae e x －1x2－b.因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，所以g(1)＝a ＋1－b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明：由(1)知，g(x)＝－e e x ＋1x＋x ，则f(x)＋g(x)≥2x ⇔1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0.令h(x)＝1－lnx x －e e x －1x＋x(x ≥1)，则h(1)＝0，h ′(x)＝－1＋lnx x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝lnx x 2＋e e x ＋1.因为x ≥1，所以h ′(x)＝lnx x 2＋e ex ＋1>0.所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，h(x)≥h(1)＝0，即1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0，所以当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．答案(1)当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减(2)略解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝（x ＋1）（2ax ＋1）x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a<0，则当x f ′(x)>0；当x －12a，＋f ′(x)<0.故f(x)－12a，＋(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为1－14a.所以f(x)≤－34a －2等价于1－14a ≤－34a －2，即＋12a＋1≤0.设g(x)＝lnx －x ＋1，则g ′(x)＝1x－1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，＋12a ＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.4．答案(1)a ＝2e，函数的单调递减区间为(2)证明见解析思路(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a ，结合导数与单调性关系即可求解；(2)要证明原不等式成立，可转化为证明求解相应函数的范围，进行合理的变形后构造函数，结合导数可证．解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝1x －a x 2，由题意可得，f e －ae 2＝－e ，故a ＝2e ，f ′(x)＝1x －2ex 2＝ex －2ex 2.当x f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)(2)证明：设h(x)＝xf(x)＝xlnx ＋2e，则h ′(x)＝lnx ＋1(x>0)．当x h ′(x)<0，函数h(x)单调递减，当x h ′(x)>0，函数h(x)单调递增，故h(x)min ＝＝1e.设t(x)＝x e x ，则t ′(x)＝1－x ex ，当x ∈(0，1)时，t ′(x)>0，函数t(x)单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x)<0，函数t(x)单调递减，故t(x)max ＝t(1)＝1e.又h(x)和t(x)不同时为1e，综上可得，x>0时，恒有h(x)>t(x)，即xf(x)>x ex .5．答案(1)略(2)略解析(1)f(x)＝xlnx －12e x 2－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －x e －1＝lnx －x e.f ″(x)＝1x －1e，y ＝f ′(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，e 2]上单调递减．f ′(e)＝0，∴f ′(x)≤0.∴y ＝f(x)在(0，e 2]上单调递减．(2)证明：f(x)＝xlnx －m 22－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －mx －1＝lnx －mx.f ″(x)＝1x －m ，1m>e 2.y ＝f ′(x)在(0，e 2]上单调递增，当x →0时f ′(x)→－∞.f ′(e 2)＝2－me 2.∵m me 2∈(0，1)，me∴f ′(e 2)>0，f ′(1)＝－m<0，f ′(e)＝1－me>0.∴∃x 0∈(1，e)，使得f ′(x 0)＝0.即lnx 0＝mx 0.∴y ＝f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，e 2]上单调递增．∴f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－m 2x 02－x 0＋e 2.f(x)min ＝x 0·lnx 0－lnx 02·x 0－x 0＋e 2＝12x 0lnx 0－x 0＋e 2，x 0∈(1，e)．令g(x)＝12xlnx －x ＋e 2，x ∈(1，e)，g ′(x)＝12(1＋lnx)－1＝12(lnx －1)<0.g(x)在(1，e)上单调递减，∴g(x)>g(e)＝0.∴f(x)min >0，∴f(x)>0.即证．6．答案(1)证明见解析(2)2解析(1)证明：因为f(x)＝e x －sinx －cosx ＝e x －2sinf ′(x)＝e x －cosx ＋sinx ＝e x ＋2sinf ″(x)＝g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx ＝e x ＋2sin考虑到f(0)＝0，f ′(0)＝0，所以当x －5π4，－时，2sin ，此时f(x)>0；当x ∈－π4，0，f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，所以f ′(x)≤f ′(0)＝0，所以f(x)单调递减，f(x)≥f(0)＝0；当x f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，f ′(x)>f ′(0)＝0，所以f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0；当x ∈3π4，＋f(x)＝e x －2sin e 1－2>0.综上，当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)设r(x)＝e x ＋sinx ＋cosx －2－ax ，则r(0)＝0，其导函数r ′(x)＝e x ＋cosx －sinx －a ，于是r ′(0)＝2－a ，又r ″(x)＝e x －sinx －cosx ＝f(x)，于是根据第(1)小题的结果，r ′(x)－5π4，＋情形一：若a<2，则r ′(0)>0.若r 0－5π4，r′(x)>0，于是r(x)在此区间上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．若r －5π4，r ′(x)存在唯一零点x 0，使得r(x)在(x 0，0)上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形二：若a>2，则r ′(0)<0.考虑到r ′(ln(|a|＋2))≥|a|＋2＋(－1)－1－a ≥0，于是函数r ′(x)在(0，ln(|a|＋2)]上有唯一零点x 1，使得r(x)在(0，x 1)上单调递减，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形三：若a ＝2，则函数r(x)－5π4，(0，＋∞)上单调递增，而r(0)＝0，因此r(x)在－5π4，＋r(x)≥0.当x ≤－5π4时，有r(x)>0＋(－1)＋(－1)－2－2＝5π2－4>0，命题也成立．综上所述，a ＝2.。
高考数学一轮复习课时作业(四) 基本不等式
课时作业(四) 基本不等式一、单项选择题1．“a >b >0”是“ab <a2＋b22 ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立；由ab <a2＋b22 ，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．]2．(2020·平顶山模拟)若M ＝a2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4] C ．[4，＋∞)D ．[－4，4]A [M ＝a2＋4a ＝a ＋4a ，当a >0时，M ≥4；当a <0时，M ≤－4.]3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C [因为1a ＋2b ＝ab ，所以a >0，b >0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥2 2 (当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2 .] 4．若m >0，n >0，m ＋2n ＝1，则1m ＋m ＋1n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．7D ．6C [由m ，n >0，m ＋2n ＝1，得m ＝1－2n ，所以1m ＋m ＋1n ＝1m ＋（1－2n ）＋1n ＝1m ＋2n －2，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (m ＋2n )＝5＋2n m ＋2m n ≥5＋2·2n m ·2m n ＝9，当且仅当m ＝n ＝13 时等号成立，所以1m ＋m ＋1n ＝1m ＋2n－2≥9－2＝7.故选C.]5．(2020·河北廊坊联考)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且1＋2ab ＝9a ＋b，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[1，9] B ．[1，8] C ．[8，＋∞) D ．[9，＋∞)B [∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2 ≥ab ，可得1ab ≥4（a ＋b ）2，当且仅当a ＝b 时取等号．∵1＋2ab ＝9a ＋b ，∴9a ＋b－1＝2ab ≥8（a ＋b ）2 ，化为(a ＋b )2－9(a ＋b )＋8≤0，解得1≤a ＋b ≤8，当且仅当a ＝b ＝12或a ＝b ＝4时取等号，∴a ＋b 的取值范围是[1，8].故选B.]6．(2020·广州期末)若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0<x<23 ，则4x ＋1y 的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32B [实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0<x<23 ， ∴x ＝4y ＋6 ∈⎝⎛⎭⎫0，23 ，y >0， 则4x ＋1y ＝y ＋6＋1y ≥2＋6＝8，当且仅当y ＝1，x ＝47 时取等号．∴4x ＋1y 的最小值为8.] 7.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A ．a ＋b 2 ≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C ．2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D ．a ＋b 2≤a2＋b22(a >0，b >0) D [由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2 ，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2 －b ＝a －b2 ，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝（a －b ）24＋（a ＋b ）24＝a2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2 ≤a2＋b22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.]8．(2020·广东珠海高三期末)已知x >0，y >0，z >0，且9y ＋z ＋1x＝1，则x ＋y ＋z 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16D [∵y >0，z >0，∴y ＋z >0，又9y ＋z ＋1x ＝1，x >0，∴x ＋y ＋z ＝[x ＋(y ＋z )](1x ＋9y ＋z )＝10＋9xy ＋z＋y ＋z x ≥10＋29x y ＋z ·y ＋z x ＝16，当且仅当9xy ＋z＝y ＋zx，即y ＋z ＝3x 时等号成立，∴x ＋y ＋z 的最小值为16.故选D.]二、多项选择题9．下列选项错误的是( )A ．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2 ≥ab 成立的条件是相同的B ．函数y ＝x ＋1x 的最小值是2C ．函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4D ．x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充要条件ABCD [对于选项A ，不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，不等式a ＋b2 ≥ab 成立的条件是a >0，b >0；对于选项B ，函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，2]∪[2，＋∞)，没有最小值；对于选项C ，函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值；对于选项D ，x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充分不必要条件．]10．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是( ) A ．ab 有最大值14B ． a ＋ b 有最大值 2C ．1a ＋1b有最小值4D ．a 2＋b 2有最小值22AC [因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2 ，所以ab ≤14 ，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以ab 有最大值14 ，所以选项A 正确； a ＋ b ≤2a ＋b 2 ＝ 2 ，当且仅当a ＝b ＝12取等号，所以 a ＋ b 的最小值是 2 ，所以B 错误；因为1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以1a ＋1b 有最小值4，所以C 正确；因为a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝12 ，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以a 2＋b 2的最小值不是22，所以D 错误．故选AC.]11．(2020·山东卷)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤ 2ABD [对于A 项，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，所以a 2＋b 2≥12 ，正确；对于B 项，易知0<a <1，0<b <1，所以－1<a －b <1，所以2a －b >2－1＝12 ，正确；对于C 项，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 <－2，错误；对于D 项，因为 2 ＝2（a ＋b ） ，所以[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，所以 a ＋ b≤ 2 ，正确，故选ABD 项．]12．(开放型)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(S ，l )的是( ) A ．(1，4) B ．(6，8) C ．(7，12)D ．⎝⎛⎭⎫3，12 AC [设矩形的边长分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .对于A ，(1，4)，则x ＋y ＝2，xy ＝1，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2，符合题意；对于B ，(6，8)，则x ＋y ＝4，xy ＝6，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2，不符合题意；对于C ，(7，12)，则x ＋y ＝6，xy ＝7，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2 ，符合题意；对于D ，⎝⎛⎭⎫3，12 ，则x ＋y ＝14 ，xy ＝3，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意．故选AC.] 三、填空题13．不等式a ＋1≥2 a (a >0)中等号成立的条件是________．解析： 因为a >0，根据基本不等式ab ≤a ＋b2 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋1≥2 a中等号成立的条件是当且仅当a ＝1.答案： a ＝114．函数y ＝x2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析： 因为y ＝x2－1＋1x ＋1 ＝x －1＋1x ＋1 ＝x ＋1＋1x ＋1 －2(x >－1)，所以y ≥2 1 －2＝0，当且仅当x ＝0时等号成立．答案： 015．(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．解析： 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225 ＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．答案： 816．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，①则x 2＋y 2的最小值为________；②若1x ＋4y ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析： 因为x ＋y ＝1，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2 ＝14 ，所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14 ×2＝12 ，所以x 2＋y 2的最小值为12.若a ≤1x ＋4y 恒成立，则a ≤⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ，因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ×4x y ＝9，所以1x ＋4y 的最小值为9，所以a ≤9，故实数a 的取值范围是(－∞，9]. 答案： 12(－∞，9]。
课时作业4：2.1 第一课时 不等关系与不等式
2.1 等式性质与不等式性质第一课时 不等关系与不等式基础达标一、选择题1.下面能表示“a 与b 的和是非正数”的不等式为( ) A.a ＋b <0 B.a ＋b >0 C.a ＋b ≤0D.a ＋b ≥0解析 a 与b 的和是非正数，即a ＋b ≤0. 答案 C2.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T 满足关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40D.T ≥40解析 “限重40吨”用不等式表示为T ≤40. 答案 C3.设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B.M ＝N C.M <ND.与x 有关解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .答案 A4.下列不等式，正确的个数为( )①x 2＋3>2x (x ∈R )；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2；③a 2＋b 2≥2(a －b －1). A.0 B.1 C.2D.3解析 ①x 2＋3－2x ＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－ab (a ＋b )＝(a ＋b )(a 2－2ab ＋b 2)＝(a ＋b )(a －b )2，(a －b )2≥0，但a ＋b 的符号不能确定，∴②不一定正确；③a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1).故①③正确，选C. 答案 C5.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是( )A.h 2>h 1>h 4B.h 1>h 2>h 3C.h 3>h 2>h 4D.h 2>h 4>h 1解析 根据四个杯的形状分析易知h 2>h 1>h 4或h 2>h 3>h 4. 答案 A 二、填空题6.不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________. 解析 令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0，∴a ＝2. 答案 a ＝27.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则ab －a 2________b 2(填“<”，“>”，“＝”). 解析 两式作差得，ab －a 2－b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22－34b 2<0，所以，ab －a 2<b 2.答案 <8.(多空题)一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为____________.解析 由题意知，汽车原来每天行驶x km ，8天内它的行程超过2 200 km ，则8(x ＋19)>2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km ，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即8xx －12>9.答案 8(x ＋19)>2 200 8xx －12>9 三、解答题9.一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来. 解 据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N ). 10.设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小. 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号.能力提升11.已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M <N B.M >N C.M ＝ND.无法确定解析 ∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B. 答案 B12.有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数. 解 设宿舍有x 间，则学生有(4x ＋19)人，依题意， ⎩⎨⎧4x ＋19<6x ，4x ＋19>6（x －1）.解得192<x <252. ∵x ∈N *，∴x ＝10，11或12.学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.创新猜想13.(多选题)下列说法错误的是()A.某人月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000”B.小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”C.变量x不小于a可表示为“x≥a”D.变量y不超过a可表示为“y≥a”解析对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x<y，故B错误；C正确；对于D，y和a的大小关系可表示为“y≤a”，故D错误.答案ABD14.(多空题)已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a ＝b＝________，取得最小值.解析根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立.答案2±1。
2023版新教材高中数学第二章等式与不等式-不等式及其性质课时作业新人教B版必修第一册
2．2.1 不等式及其性质必备知识基础练1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( ) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤2002．下列结论中正确的是( )A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若>，则a＞b D．若<，则a＞b3．设M＝3x2－x＋1，N＝x2＋x－1，则( )A．M>NB．M<NC．M＝ND．M与N的大小关系与x有关4．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“>”“<”或“＝”)5．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是( )A．(－3，3] B．(－3，5)C．(－3，3) D．(1，4)6．(1)比较x2＋3与2x的大小；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．关键能力综合练7．下列不等式中，正确的是( )A．若a－c>b－d且c>d，则a>bB．若a>b且k∈N＋，则a k>b kC．若a>b>0，c>d，则ac>bdD．若a>b，则ac2>bc28．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )A.①②③ B．①③②C．②③① D．③①②9．要证明＋<2 可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法10．已知α∈(0，)，β∈[0，]，则2α－的取值范围是( )A．(0，) B．(－，)C．(0，1) D．(－，1)11．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0D．若<<0，则<12．已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围．核心素养升级练13．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．14．已知a>0，b>0，试比较＋与＋的大小．2．2.1 不等式及其性质必备知识基础练1．解析：由题意可得，总的工资为50x＋40y，又因为现有工人工资预算2 000元，故50x＋40y≤2 000，化简可得5x＋4y≤200.答案：D2．解析：对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a＝－2，b＝－1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a＝－1，b＝2，满足<，但a＜b，故D不正确．答案：C3．解析：因为M－N＝3x2－x＋1－(x2＋x－1)＝2x2－2x＋2＝2(x－)2＋>0，所以M>N.答案：A4．解析：因为c＞a，所以c－a＞0，又因为a＞b，所以＞.答案：>5．解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.答案：C6．解析：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，所以x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0.所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.关键能力综合练7．解析：若a－c>b－d且c>d，则a>b，故A正确；当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故B错误；令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，满足a>b>0，c>d，但推不出ac>bd，故C错误；令c＝0可知D错误．答案：A8．解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．答案：D9．解析：要证明＋<2最合理的方法是分析法．答案：B10．解析：因为α∈(0，)，β∈[0，]，所以2α∈(0，1)，∈[0，]，则－∈[－，0]，所以2α－∈(－，1).答案：D11．解析：对于A，若ab<0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab得－<0，所以A不正确；对于B，若ab>0，－>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以B正确；对于C，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以C正确；对于D，由<<0，可知b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以<成立，所以D正确．答案：BCD12．解析：∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.又<<，∴<<，即<<2.综上，a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为(，2).核心素养升级练13．解析：设男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则x>y>z.(1)若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.(2)当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案：(1)6 (2)1214．解析：方法一 作差法(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.∵a>0，b>0，∴＋>0，>0，(－)2≥0，∴≥0，∴＋≥＋.方法二 作商法＝＝＝＝＝1＋≥1.∵a>0，b>0，∴＋>0，＋>0，∴＋≥＋.方法三 平方法∵(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，∴(＋)2－(＋)2＝.∵a>0，b>0，∴≥0，∵＋＞0，＋＞0，∴＋≥＋.。
数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析
第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。
4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。
课时作业4：二 一般形式的柯西不等式
二 一般形式的柯西不等式一、选择题1．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( )A ．5B ．－5C ．25D ．－253．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z等于( )A.14B.13C.12D.344．已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．18D ．95．设a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( )A ．1 B. 3 C ．3 D ．96．已知x ，y 是实数，则x 2＋y 2＋(1－x －y )2的最小值是( )A.16B.13C ．6D ．3 二、填空题7．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则当x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________.8．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值是________．9．已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________．10．设x ，y ，z ∈R,2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________．三、解答题11．在△ABC 中，设其各边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛ 1sin 2A ＋1sin 2B＋ ⎭⎫1sin 2C ≥36R 2.12．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a ，又正数p ，q ，r 满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.13.设a 1＞a 2＞…＞a n ＞a n ＋1，求证：1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1＞0.四、探究与拓展14．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________． 15．已知a ，b ，c ＞0，且a cos 2θ＋b sin 2θ＜c ，求证：a cos 2θ＋b sin 2θ＜c .答案精析1．A [(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.] 2．B 3.C4．B [由柯西不等式，得 (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝3[3(a ＋b ＋c )＋3]．∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3×6＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．] 5．B6．B [∵(12＋12＋12)[x 2＋y 2＋(1－x －y )2]≥[x ＋y ＋(1－x －y )]2＝1，∴x 2＋y 2＋(1－x －y )2≥13，当且仅当x ＝y ＝13时等号成立．] 7.⎝⎛⎭⎫87，127，47解析 由柯西不等式得(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y 3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8， 解得x ＝87，y ＝127，z ＝47， 所求点为⎝⎛⎭⎫87，127，47.8．121解析 (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫4a ＋9b ＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎫3b 2＋⎝⎛⎭⎫6c 2≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2 ＝(2＋3＋6)2＝121. 当且仅当a 2＝b 3＝c 6＝k (k 为正实数)时，等号成立． 9．4 3解析 由柯西不等式，得(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)2＝(1×2a ＋1×2b ＋1＋1×2c ＋3)2 ≤(12＋12＋12)(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)＝3(2×6＋4)＝48. 当且仅当2a ＝2b ＋1＝2c ＋3，即2a ＝2b ＋1＝2c ＋3时等号成立．又a ＋b ＋c ＝6，∴当a ＝83，b ＝136，c ＝76时， 2a ＋2b ＋1＋2c ＋3取得最大值4 3.10．9解析 (22＋22＋12)[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2]≥[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2＝(2x ＋2y ＋z －1)2＝81，∴(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥9.当且仅当x －12＝y ＋22＝z －31时，取等号． 11．证明 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥ ⎝⎛⎭⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2. ∴原不等式成立．12．证明 因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 即函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a ＝3，所以p ＋q ＋r ＝3. 由柯西不等式得(p 2＋q 2＋r 2)(1＋1＋1)≥(p ＋q ＋r )2＝9，于是p 2＋q 2＋r 2≥3.13．证明 为了运用柯西不等式，我们将a 1－a n ＋1写成a 1－a n ＋1＝(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)，于是[(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)]·⎝⎛⎭⎫1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1≥n 2＞1. 即(a 1－a n ＋1)·⎝⎛ 1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋ ⎭⎫1a n －a n ＋1＞1，所以1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＞1a 1－a n ＋1， 故1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1＞0.14．s ≤t解析 由已知得12ab sin C ＝14， c sin C＝2R ＝2， 所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ， 由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2， 即1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．15．证明 ∵(a cos 2θ＋b sin 2θ)2 ＝(a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ)2 ≤(a cos 2θ＋b sin 2θ)·(cos 2θ＋sin 2θ) ＝a cos 2θ＋b sin 2θ＜c ， ∴a cos 2θ＋b sin 2θ＜c .。
课时作业4：7.2 均值不等式
7.2 均值不等式基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·太原模拟)设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a ≥2⇔ab ＞0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”的必要不充分条件，故选B. 答案 B2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B ．4C.92D ．5解析 依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 答案 C3．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53C ．2D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 C4．(2015·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ， ∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4. 答案 B5．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析 设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C. 答案 C 二、填空题6．(2014·贵阳适应性监测)已知向量m ＝(2，1)，n ＝(1－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为________．解析 依题意得2a ＝1－b ，即2a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因此1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤18，当且仅当2a ＝b ＝12时取等号，因此ab 的最大值是18. 答案 187．(2015·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 解析 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0， 解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案 68．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 解析 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab 得3a ＋4b ＝ab ， 且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a b ＋4b a ≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba 时取等号． 答案 7＋43 三、解答题9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由均值不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x＋1y的最小值为7＋21020.10．(2014·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)，即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)，由－x2＋20x－50＞0，解得10－52＜x＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y－＝1x[y＋(25－x)]＝1x(－x2＋19x－25)＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x，而19－⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x≤19－2x·25x＝9，当且仅当x＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2015·西安第一中学模拟)设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x＝b y＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2 B.32C．1 D.12解析由a x＝b y＝3，得x＝log a3，y＝log b3，则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b3＝lg a ＋lg b lg 3＝lg ab lg 3.又a ＞1，b ＞1，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝3，所以lg ab ≤lg 3，从而1x ＋1y ≤lg 3lg 3＝1，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立． 答案 C12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C.94D ．3解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 B13．(2014·成都诊断)函数f (x )＝lg x 2－x，若f (a )＋f (b )＝0，则3a ＋1b 的最小值为________．解析 依题意得0＜a ＜2，0＜b ＜2，且lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ·b 2－b ＝0，即ab ＝(2－a )(2－b )，a ＋b 2＝1，3a ＋1b ＝a ＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3b a ＋a b ≥12(4＋23)＝2＋3，当且仅当3b a ＝a b ，即a ＝3－3，b ＝3－1时取等号，因此3a ＋1b 的最小值是2＋ 3. 答案 2＋314．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x 米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x )＋12 960≥1 296×2x ·100x ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x (x ＞0)，即x ＝10时取等号．∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤160＜162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎫818≤x ≤16，g (x )在[818，16]上是增函数，∴当x ＝818时(此时162x ＝16)， g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元)．∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元.。
课时作业4：一 第2课时 基本不等式
第2课时 基本不等式一、选择题1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.142．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 33．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．54．对于x ∈(0，π2)，不等式1sin 2x ＋p cos 2x≥16恒成立，则p 的取值范围为( ) A ．(－∞，－9)B ．(－9,9]C ．(－∞，9]D ．[9，＋∞)5．“a ＝1”是“对任意正数x,2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处二、填空题7．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则(1a 2－1)(1b 2－1)的最小值是________． 8．已知x ＞0，y ＞0且满足x ＋y ＝6，则使不等式1x ＋9y≥m 恒成立的实数m 的取值范围为________．9．已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值是________．10．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．11．函数y ＝x 2＋5x ＋15x ＋2(x ≥0)的最小值为________． 三、解答题12．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．13．如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3 m ，AD ＝2 m.(1)要使矩形AMPN 的面积大于32 m 2，则AN 的长应在什么范围内？(2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积；(3)若AN 的长度不小于6 m ，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．四、探究与拓展14．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≤3；(2)3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2＜6.15．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .答案精析1．B 2.D 3.C4．D [要使1sin 2x ＋p cos 2x≥16恒成立， 必有p ＞0.又∵1sin 2x ＋p cos 2x ＝(1sin 2x ＋p cos 2x)·(sin 2x ＋cos 2x ) ＝1＋p ＋cos 2x sin 2x ＋p sin 2x cos 2x≥1＋p ＋2p ＝(p ＋1)2， ∴(p ＋1)2≥16，即p ＋1≥4， ∴p ≥3，∴p ≥9.]5．A [当a ＝1时，2x ＋a x ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取等号)， 所以a ＝1⇒2x ＋a x ≥1(x ＞0)．反过来，对任意正数x ，如当a ＝2时，2x ＋a x≥1恒成立，所以2x ＋a x≥1⇏a ＝1.] 6．A [由已知y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥2 0.8x ·20x＝8. 当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立．] 7．9解析 因为(1a 2－1)(1b 2－1)＝1－a 2a 2·1－b 2b 2＝(1－a )(1＋a )a 2·(1－b )(1＋b )b 2＝(1＋a )(1＋b )ab＝1＋a ＋b ＋ab ab ＝1＋2ab. 由a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，得ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，所以(1a 2－1)(1b 2－1)≥9， 当a ＝b ＝12时取等号． 8．(－∞，83] 解析 因为x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝x ＋y 6×(1x ＋9y )＝16(10＋y x ＋9x y )≥16×(10＋6)＝83. 当且仅当y x ＝9x y 时等号成立，又x ＋y ＝6，得x ＝32，y ＝92. 所以m 的取值范围是(－∞，83]． 9．7 10.[9，＋∞)11．7解析 y ＝x 2＋5x ＋15x ＋2＝(x ＋2)2＋(x ＋2)＋9x ＋2＝(x ＋2)＋9x ＋2＋1≥2 (x ＋2)·9x ＋2＋1＝7. 12．解 (当且仅当x ＋2＝9x ＋2，即x ＝1时取等号．∴当x ＝1时，y min ＝7. 1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ， 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x ＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立．所以x ＋y 的最小值为18.13．解 (1)设AN ＝x m(x ＞2)， 则ND ＝(x －2)m.∵ND DC ＝AN AM ，∴x －23＝x AM ， ∴AM ＝3x x －2，∴3x x －2·x ＞32， ∴3x 2－32x ＋64＞0，∴(3x －8)(x －8)＞0，∴2＜x ＜83或x ＞8. ∴AN 的长的范围为(2，83)∪(8，＋∞)． (2)由(1)知，S 矩形AMPN ＝3x 2x －2＝3(x －2)2＋12(x －2)＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12 ≥236＋12＝24.当且仅当x ＝4时取等号．∴当AN 的长度为4 m 时，矩形AMPN 的面积最小，矩形AMPN 的最小面积为24 m 2.(3)由(2)得S 矩形AMPN ＝3(x －2)＋12x －2＋12(x ≥6)，令x －2＝t (t ≥4)， 则S 矩形AMPN ＝3t ＋12t＋12(t ≥4)． 设f (t )＝3t ＋12t＋12(t ≥4)， 则f ′(t )＝3－12t 2，当t ≥4时，f ′(t )＞0， ∴函数f (t )在[4，＋∞)上单调递增，∴f (t )min ＝f (4)＝27，此时x ＝6.∴若AN 的长度不小于6 m ，则当AN 的长度是6 m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为27 m 2.14．证明 (1)∵a ＋b 2≥ab ，∴2ab ≤a ＋b . 同理2ac ≤a ＋c,2bc ≤b ＋c ，且当a ＝b ＝c 时，等号同时成立．∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋ 2ac ＋2bc ≤a ＋b ＋c ＋(a ＋b )＋(a ＋c )＋(b ＋c )＝3(a ＋b ＋c )＝3， ∴a ＋b ＋c ≤3，当a ＝b ＝c 时等号成立．(2)∵3a ＋2＝(3a ＋2)·1≤3a ＋32，且由于3a ＋2≠1， ∴等号不成立， ∴3a ＋2＜3a ＋32. 同理3b ＋2＜3b ＋32，3c ＋2＜3c ＋32，∴3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2＜ 12[3(a ＋b ＋c )＋9]＝6. 15．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )(a x ＋b y) ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ay x时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18.① 又a ＋b ＝10，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.。
高中数学 课时作业4 二元平均值不等式 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题
课时作业(四)(第一次作业)1．下列不等式证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·a b＝2 B ．若x>0，y>0，则lgx ＋lgy ≥2lgx ·lgy C ．若x<0，则x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 D ．若x<0，则2x＋2－x>22x·2－x＝2 答案 D解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1. ∴2x＋2－x>22x·2－x ＝2.∴D 正确．而A ，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．2．(2013·某某)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9B.92 C ．3 D.322答案 B解析 方法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a ＋6≥0.由基本不等式，可知（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．方法二：（3－a ）（a ＋6）＝－（a ＋32）2＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．3．已知a ，b ∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 只需比较a 2＋b 2与a ＋b.由于a ，b ∈(0，1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b. 4．设x>0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1答案 C5．若a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．ab ≤12B ．a 2＋b 2≤12C ．a 2＋b 2>12D ．ab ≤14答案 D6．(2013·某某)若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值X 围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]答案 D解析 ∵2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y≤－2，故选D.7．(2011·某某)设0<a<b ，则下列不等式中正确的是 ( ) A. a<b<ab<a ＋b2B ．a<ab<a ＋b2<b C ．a<ab<b<a ＋b2D. ab<a<a ＋b2<b 答案 B解析 方法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2. 方法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.8．设x>0，y>0，且x ＋4y ＝40，则lgx ＋lgy 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵x＋4y ＝40，且x>0，y>0，∴x ＋4y≥2x·4y＝4xy.(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) ∴4xy ≤40.∴xy ≤100. ∴lgx ＋lgy ＝lgxy ≤lg100＝2. ∴lgx ＋lgy 的最大值为2.9．当x>2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．[0，＋∞)D ．[2，4]答案 B解析 ∵x＋1x －2≥2恒成立，∴a 必须小于或等于x ＋1x －2的最小值．∵x>2，∴x －2>0.∴x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4.(当且仅当x ＝3时，取“＝”)10．(2015·某某)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 C解析 方法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a>0，b>0，∴ab ab ＝b ＋2a≥22ab ，∴ab ≥2 2.方法二：由题设易知a>0，b>0，∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab≥22，选C. 11．下列函数中，最小值为4的是________． ①y ＝x ＋4x ；②y ＝sinx ＋4sinx (0<x<π)；③y ＝4e x＋e －x；④y ＝log 3x ＋log x 3(0<x<1)． 答案 ③解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，①x 的定义域为x∈R ，且x≠0，函数没有最小值；②若sinx ＝4sinx 取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立．④没有最小值．故填③.12．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则x ＋8yxy 的最小值为________．答案 18解析 由于正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则x ＋8y xy ＝(1y ＋8x )(x ＋2y)＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16y x ＝18.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，x y ＝16y x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝16时，等号成立，所以x ＋8yxy 的最小值为18. 13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值X 围是________．答案 [9，＋∞)解析 令ab ＝t(t>0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，则t 2≥2t ＋3，所以t≥3或t≤－1(舍去)，所以ab ≥3，ab ≥9，当a ＝b ＝3时取等号．14．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m 2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为________元． 答案 1 760解析 设水池底面的长度、宽度分别为a m ，b m ，则ab ＝4，令水池表面的总造价为y ， 则y ＝ab×120＋2(2a ＋2b)×80＝480＋320(a ＋b)≥480＋320×2ab ＝480＋320×4＝1 760，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”．15．已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的最小值． 思路一 化二元函数为一元函数． 解析一 ∵ab＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＝a ＋3a －1＞0，得a ＞1.∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋1＋4a －1＝a －1＋4a －1＋2≥2（a －1）·4a －1＋2＝6.(当且仅当a －1＝4a －1即a ＝3时，上式取“＝”号．)∴a ＋b 的最小值为6.思路二 将ab ＝a ＋b ＋3与ab≤(a ＋b 2)2联立消去ab 可建立关于a ＋b 的不等式，求出a ＋b的取值X 围，从而求得a ＋b 的最小值． 解析二 ∵ab≤(a ＋b 2)2，①将ab ＝a ＋b ＋3代入①式，得 a ＋b ＋3≤(a ＋b 2)2.整理得(a ＋b)2－4(a ＋b)－12≥0， 解得a ＋b≥6或a ＋b≤－2. ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b≥6. ∴a ＋b 的最小值为6.16．已知a>0，b>0，c>0且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c.证明 ∵a，b ，c ∈R ＋，且不全相等， ∴bc a ＋ac b≥2 bc a ·acb＝2c. 同理：ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca≥2b.上述三个等号至少有一个不成立，三式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c >2(a ＋b ＋c)． 即bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c.1．设a>0，b>0，且ab －a －b≥1，则( ) A ．a ＋b≥2(2＋1) B ．a ＋b≤2＋1 C ．a ＋b≤(2＋1)2D ．a ＋b≤2(2＋1)答案 A2．在下列结论中，错用算术平均数与几何平均数不等式作依据的是( ) A ．x ，y 均为正数，则x y ＋y x ≥2B ．a 为正数，则(1＋a)(a ＋1a )≥4C ．lgx ＋log x 10≥2，其中x>1 D.x 2＋2x 2＋1≥2 答案 B3．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( ) A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b 2C ．x>a ＋b 2D ．x ≥a ＋b 2答案 B4．(2013·某某)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy 取得最小值时，x ＋2y－z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2D.94答案 C解析 z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4yx－3≥2x y ·4yx－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2. 5．(2012·某某)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lgx(x>0)B ．sinx ＋1sinx ≥2(x≠kπ，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x|(x∈R ) D.1x 2＋1>1(x∈R ) 答案 C解析 取x ＝12，则lg(x 2＋14)＝lgx ，故排除A ；取x ＝32π，则sinx ＝－1，故排除B ；取x＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C.6．(2013·某某)已知函数f(x)＝4x ＋ax (x>0，a>0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案 36解析 f(x)＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a(当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号)，则由题意知a ＝4×32＝36.7．已知a ，b ，c ∈R ，求证：(1)a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c)； (2)a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc(a ＋b ＋c)． 证明 (1)∵a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，∴a 2＋b22≥|a ＋b|2≥a ＋b2.即a 2＋b 2≥22(a ＋b)． 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c)， c 2＋a 2≥22(c ＋a)． 三式相加，得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c)． (2)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2， ∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)．即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)．即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)．8．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)．答案a＝6 m，b＝3 m解析设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小，只需求ab的最大值．由题设，得4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)．∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值．∴当a＝2b时有22·ab＋ab＝30，即b2＋2b－15＝0.解之得b1＝3，b2＝－5(舍去)，∴a＝2b＝6.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最少．课时作业(四) (第二次作业)1．下列结论正确的是( ) A ．当x>0且x≠1时，lgx ＋1lgx≥2 B ．当x>0时，x ＋1x ≥2C ．当x≥2时，x ＋1x 最小值为2D ．当0<x≤2时，x －1x无最大值答案 B解析 对于A ，当x∈(0，1)时，lgx<0，不正确；对于C ，y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上单调递增最小值为52；对于D ，y ＝x －1x 在(0，2]上单调递增，有最大值32.2．函数y ＝x 2＋1x (x≠0)的值域是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]答案 C解析 当x>0时，y ＝x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立．当x<0时，y ＝x 2＋1x ＝－(－x ＋1－x )≤－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立．3．若x ，y>0，且2x ＋3y ＝1，则1x ＋1y 的最小值是( )A ．5－2 6B ．5＋2 6C ．3D ．4答案 B解析 ∵2x＋3y ＝1，∴1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋3y)＝2＋3＋3y x ＋2xy ≥5＋2 6.4．若实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则3a＋3b的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3D ．4 3答案 A解析 ∵3a>0，3b>0，∴3a＋3b≥23a·3b＝234＝18.当且仅当3a＝3b即a ＝b ＝2时，等号成立．5．设x ，y>0，若x ＋y ≤k x ＋y 恒成立，则k 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 2答案 C 解析 ∵k≥x ＋y x ＋y恒成立，∴只需求x ＋y x ＋y的最大值即可． ∵(x ＋yx ＋y)2＝x ＋y ＋2xy x ＋y ＝1＋2xy x ＋y ≤1＋1＝2，故k min ＝ 2.6．已知不等式(x ＋y)(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 z ＝(x ＋y)(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2y x ·ax y＝1＋a ＋2a ＝(1＋a)2对任意正实数x ，y 恒有z≥9. 即(1＋a)2≥9，∴a ≥4.7．若点A(x ，y)在第一象限且在2x ＋3y ＝6上移动，则log 32x ＋log 32y( )A ．最大值为1B ．最小值为1C ．最大值为2D ．没有最大、最小值答案 A8．若a ，b ∈R ＋，且2a ＋b ＝1，则S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值是( ) A.2－1 B.2－12 C.2＋1 D.2＋12答案 B解析 S ＝2ab －(4a 2＋b 2)＝2·2ab －[(2a)2＋b 2]≤22a ＋b 2－2(2a ＋b 2)2＝2－12. 9．已知正整数a ，b 满足4a ＋b ＝30，则使得1a ＋1b取得最小值时，实数对(a ，b)是( )A ．(5，10)B ．(6，6)C ．(10，5)D ．(7，2)答案 A解析 方法一：∵a>0，b>0，4a 30＋b 30＝1，∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·4a ＋b 30＝130(4＋b a ＋4a b ＋1)≥130[5＋2b a ·4a b ]＝130(5＋4)＝310. 当且仅当b a ＝4a b ，即4a 2＝b 2，即b ＝2a 时“＝”成立，故选A.方法二：将答案代入验证．10．设a ，b ，c 是正实数，且a ，b 满足1a ＋9b ＝1，则使a ＋b≥c 恒成立的c 的X 围是( )A ．(0，8]B ．(0，10]C ．(0，12]D ．(0，16]答案 D11．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析 因为x>0，y>0，所以x 3＋y4≥2x 3·y 4＝xy 3当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时取等号，即xy3≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3. 12．已知a ，b 为正实数，且a ＋2b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．答案 3＋2 2解析 (1a ＋1b )(a ＋2b)＝1＋2b a ＋ab＋2≥22b a ·ab＋3＝22＋3. 13．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长为400 km ，为了安全，两列货车的间距不得小于(v 20)2km(货车的长度忽略不计)，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________ h. 答案 8解析 这批货均从A 市全部运到B 市的时间t ＝400＋16（v 20）2v ＝400v ＋16v400≥2400v ·16v400＝8.14．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y2xz 的最小值是________．答案 3解析 ∵y＝x ＋3z 2，∴y 2xz ＝x 2＋6xz ＋9z 24xz ＝32＋x 2＋9z 24xz ≥32＋32＝3.15．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b.解析 ∵x＋y ＝(x ＋y)(a x ＋b y )＝a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b)2，当且仅当bx y ＝ayx 时取等号．又(x ＋y)min ＝(a ＋b)2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18. ① 又a ＋b ＝10，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.16．已知a>0，b>0，c>0，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3. 证明 (1)由a 2＋19≥2a 2·19＝23a ，b 2＋19≥2b 2·19＝23b ，c 2＋19≥2c 2·19＝23c ，相加得：a 2＋b 2＋c 2＋13≥23(a ＋b ＋c)＝23，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．所以a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)由a>0，b>0，c>0，所以a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132， 相加得：a ＋b ＋c3≤a ＋b ＋c ＋12＝1. 所以a ＋b ＋c ≤ 3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值为( ) A ．(l 6)3πB ．(l 3)3πC ．(l 4)3πD.14(l 4)3π 答案 A 2．下列不等式①x ＋1x ≥2；②|x＋1x|≥2；③若0<a<1<b ，则log a b ＋log b a ≤－2； ④若0<a<1<b ，则log a b ＋log b a ≥2. 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①② C ．②③ D ．①②④答案 C解析 ①当x>0时，x ＋1x ≥2，当x<0时错，②∵x 与1x 同号，∴正确；③当0<a<1<b 时log a b<0.∴log a b ＋log b a ≤－2正确，由③知，④错．3．设a>0，b>0，a 2＋b 22＝1，则a 1＋b 2的最大值是______________．答案324解析 ∵a 2＋b 22＝1⇔a 2＋b 2＋12＝32，∴a 1＋b 2＝2a 2·b 2＋12≤2·a 2＋b 2＋122＝2·322＝324.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b22＝1，a 2＝b 2＋12，即a ＝32，b ＝22时取“＝”．。
高考数学总复习课时提升作业选修4-5 2证明不等式的基本方法
高考数学总复习课时提升作业选修4.5.2证明不等式的基本方法(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共18分)1.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )A.(a+3)2<2a2+6a+11B.a2+≥a+C.|a-b|+≥2D.-<-【解析】选C.(a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2<0,故A恒成立;在B项中不等式的两侧同时乘以a2,得a4+1≥a3+a⇐(a4-a3)+(1-a)≥0⇐a3(a-1)-(a-1)≥0⇐(a-1)2(a2+a+1)≥0,所以B项中的不等式恒成立;对C项中的不等式,当a>b时,恒成立,当a<b时,不恒成立;由不等式<恒成立,知D项中的不等式恒成立.故选C.2.设P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小关系是( )A.P>Q>RB.P>R>QC.Q>P>RD.Q>R>P【解析】选B.因为+=2>,所以>-,即P>R;又因为+>+,所以->-,即R>Q,所以P>R>Q.3.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( )A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b【解析】选A.c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,所以c≥b,已知两式求差得2b=2+2a2,即b=1+a2,因为1+a2-a=(a-)2+>0,所以1+a2>a,所以b=1+a2>a,所以c≥b>a.二、填空题(每小题6分,共18分)4.a2+b2与ab+a+b-1的大小关系为.【解析】因为(a2+b2)-(ab+a+b-1)=a2+b2-ab-a-b+1=(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=[(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)]=[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0,所以a2+b2≥ab+a+b-1.答案:a2+b2≥ab+a+b-15.设x>5,P=-,Q=-,则P与Q的大小关系为.【解析】-=-=-=+--<0.所以<,又因为P>0,Q>0,所以P>Q.答案:P>Q6.(2015·滁州模拟)已知a+b+c=1,且a,b,c∈R,则a2+b2+c2与的大小关系是.【解析】方法一:因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)≥(a+b+c)2-2(a2+b2+c2)所以3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1,所以a2+b2+c2≥.方法二:因为a2+b2+c2-=a2+b2+c2-=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0.所以a2+b2+c2≥.方法三:因为(12+12+12)(a2+b2+c2)≥(a·1+b·1+c·1)2=(a+b+c)2=1,即3(a2+b2+c2)≥1,当且仅当a=b=c时等号成立.所以a2+b2+c2≥.答案:a2+b2+c2≥三、解答题(每小题16分,共64分)7.(2015·景德镇模拟)设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥(a2+b2).【证明】a 3+b3-(a2+b2)=(a3-a2)+(b3-b2)=a2(-)-b2(-)=(-)·(-).当a≥b时,≥且≥,当a<b时,<且<,所以a3+b3-(a2+b2)≥0,所以a 3+b3≥(a2+b2).8.已知a>0,b>0,2c>a+b,求证: c-<a<c+. 【证明】要证:c-<a<c+,只需证:-<a-c<,只需证:|a-c|<,只需证:(a-c)2<c 2-ab,只需证:a 2+c 2-2ac<c 2-ab,即证:2ac>a 2+ab. 因为a>0,所以只需证2c>a+b, 由题设,上式显然成立. 故c-<a<c+.【加固训练】已知非零向量a ,b ,且a ⊥b ,求证: ||||||++a b a b ≤.【证明】因为a ⊥b ,所以a ·b =0, 要证||||||++a b a b ≤, 只需证|a |+|b |≤|a +b |,只需证|a |2+2|a ||b |+|b |2≤2(a 2+2a ·b +b 2), 只需证|a |2+2|a ||b |+|b |2≤2a 2+2b 2, 只需证|a |2+|b |2-2|a ||b |≥0, 即(|a |-|b |)2≥0,上式显然成立,故原不等式得证.9.(2015·宝鸡模拟)已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M. (1)求M.(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.【解析】(1)M=(-2,2).(2)a,b∈M,即-2<a<2,-2<b<2,所以4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=(a2-4)(4-b2)<0,所以4(a+b)2<(4+ab)2,所以2|a+b|<|4+ab|.10.已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1 .求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).【证明】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以要证原不等式成立,即证[(a+b+c)+a][(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥8[(a+b+c)-a][(a+b+c)-b][(a+b+c)-c],也就是证[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)][(c+a)+(b+c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b) ①因为(a+b)+(b+c)≥2>0,(b+c)+(c+a)≥2>0,(c+a)+(a+b)≥2>0,三式相乘得①式成立,故原不等式得证.【加固训练】1.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.【证明】假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0.因为a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.所以x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)≤0. ①又因为(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,π-3>0,所以(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0, ②因为①式与②式矛盾,所以假设不成立,即a,b,c中至少有一个大于0.2.已知a,b为正实数.(1)求证:+≥a+b.(2)利用(1)的结论求函数y=+(0<x<1)的最小值.【解析】(1)方法一:因为a>0,b>0,所以(a+b)=a2+b2++≥a2+b2+2ab=(a+b)2.所以+≥a+b, 当且仅当a=b时等号成立.方法二:因为a>0,b>0,所以+b≥2=2a, ①同理+a≥2b, ②①+②得+≥a+b.方法三:+-(a+b)====.又因为a>0,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时等号成立.所以+≥a+b.方法四:欲证+≥a+b(a>0,b>0),只需证a3+b3≥a2b+ab2,只需证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b).因为a+b>0,所以只需证a2-ab+b2≥ab,即证a2+b2≥2ab.上述不等式显然成立,所以+≥a+b.(2)因为0<x<1,所以1-x>0,由(1)的结论,函数y=+≥(1-x)+x=1.当且仅当1-x=x,即x=时等号成立.所以函数y=+(0<x<1)的最小值为1.3.(2015·抚州模拟)若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围.(2)对任意两个不相等的正数a,b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab. 【解析】(1)由题意知|x2-1-0|>|1-0|,即|x2-1|>1,所以x2-1<-1或x2-1>1,解得x>或x<-,所以x的取值范围是{x|x>或x<-}.(2)要证明a 3+b3比a2b+ab2远离2ab,即证|a 3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|,因为a≠b,故a 2b+ab2>2=2ab,a 3+b3>2=2ab.所以只需证a3+b3-2ab>a2b+ab2-2ab.即证明a3+b3-(a2b+ab2)>0,化简得(a-b)2(a+b)>0显然成立,所以a 3+b3比a2b+ab2远离2ab.4.(2014·安徽高考)设实数c>0,整数p>1,n∈N*.(1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px.(2)数列{a n}满足a1>,a n+1=a n+,证明:a n>a n+1>.【解析】(1)用数学归纳法证明①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立,当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+kx2>1+(1+k)x,所以p=k+1时,原不等式成立.综上可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立. (2)设f(x)=x+x 1-p,x≥,则x p≥c,并且f′(x)=+(1-p)x -p=>0,x>,由此可得f(x)在[,+∞)上单调递增,因而,当x>时,f(x)>f()=.①当n=1时,由a1>>0,即>c可知a 2=a1+=并且a2=f(a1)>,从而a1>a2>.故当n=1时,a n>a n+1>成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,a k>a k+1>成立,则当n=k+1时,f(a k)>f(a k+1)>f()成立,即a k+1>a k+2>,所以n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n,a n>a n+1>均成立.。
苏教版高二数学选修4-5 排序不等式 课时作业
排序不等式一、单选题1．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原的，则所得曲线的方程是（）A. B. C. D.2．如图，111213212223313233a a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ija i j==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．37B．47C．114D．13143．已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则111a b c++的最小值为( )(A)3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 4．已知a bad bcc d=-,则46121420042006810161820082010+++=( )A．－2008 B．2008 C．2010 D．－20105．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图1的幻方记为N3=15，那么N12的值为（）A．869 B．870 C．871 D．875二、填空题6．已知二阶矩阵11aMb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值5λ=的一个特征向量为11e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a b+=__________．7．圆C x2+y2=1经过伸缩变换（其中a，b∈R，0＜a＜2，0＜b＜2，a、b的取值都是随机的．）得到曲线C′，则在已知曲线C′是焦点在x 轴上的椭圆的情形下，C′的离心率的概率等于 ．8．定义行列式运算12121221a a b b a b a b =-，将函数sin 2cos 2()x xf x 的图象向左平移t （t>0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为______． 9．若以⎪⎪⎭⎫⎝⎛1431a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．10．函数x x x x x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T三、解答题11．已知线性变换τ ⎩⎨⎧+='+='y x y y x x 22,3对应的矩阵为T ，向量β⎪⎪⎭⎫⎝⎛=65． （Ⅰ）求矩阵T 的逆矩阵1-T；（Ⅱ）若向量α在τ作用下变为向量β，求向量α． 12．已知矩阵A=2110⎛⎫⎪⎝⎭,求直线x+2y=1在A 2对应变换作用下得到的曲线方程. 13．[选修4-5 不等式选讲]（本小题满分10分）设均为正数,且,求证.参考答案1．C 【解析】试题分析 在曲线C 上任取一个动点P （x ，y ），根据图象的变换可知点（x ，3y ）在圆x 2+y 2=4上．代入圆方程即可求得x 和y 的关系式，即曲线的方程． 解 在曲线C 上任取一个动点P （x ，y ），根据图象的变换可知点（x ，3y ）在圆x 2+y 2=4上， ∴x 2+9y 2=4，即则所得曲线为 ．故选C ．点评 本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想． 2．D 【解析】 3．C【解析】本题考查均值不等式等知识。
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高二年级数学精编课时作业（十六）
姓名：___________ 学号：
一、选择题
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和
原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、
B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，
设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋
d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0
B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0
C.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0
D.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0
2.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的
最优解有无穷多个，则a 的值为(
)
A.14
B.35 C ．4 D.53
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
23
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A ．36万元
B ．31.2万元
C ．30.4万元
D ．24万元
4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费
工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，
可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每
天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
5．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取
值范围为(
) A.⎝⎛⎭⎫23，2 B.⎝⎛⎭⎫1，53 C.⎝⎛⎭⎫－2，－23 D.⎝
⎛⎭⎫－3，－43
二、填空题
6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．
7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，
2x ≤11，则
z ＝10x ＋10y 的最大值是________．
8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
三、解答题
9．某家具厂有方木料90m 3，五合板600m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2m 2，生产每个书橱需要方木料0.2m 3，五合板1m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
10．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )
A ．－3
B ．3
C ．－1
D ．1。