19.2.3一次函数与一次方程教案
一次函数与方程、不等式详细教案
《19.2.3一次函数与方程、不等式》教学设计王萌（-3，0）,而-3正是方程2x+6=0的解。
一般的，一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数 y=kx+b 中y=0时的x 的值。
从图象上看，就是一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标的值。
练习：1.已知一次函数y=0.8x-2与x 轴交点为（2.5,0），你能说出0.8x-2=0的解么？2.已知一次函数y=kx-5与x 轴交点为（-3,0），那么你能说出kx-5=0的解么？3. 已知一次函数y=kx+b 与x 轴交点为（2,0），那么你能说出一次方程kx+b=0的解么？知识点二.一次函数与一元一次不等式（一）讨论、交流根据上面一次函数y=2x+6的图象，你能说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？(二)归纳当2x+6>0,就是函数y=2x+6中函数值y>0，观察图象可知，当图象在x 轴上方时y>0；同样地，图象在x 轴下方时y<0。
因为函数y=2x+6的图象与x 轴交于点（-3，0）所以，要使y>0，即2x+6>0,应有x>-3；要使y<0,即2x+6<0,应有x<-3从图象上看kx+b>0的解集是使直线y=kx+b 位于x 轴上方相应x 的取值范围， kx+b<0的解集是使直线y=kx+b 位于x 轴下方相应x 的取值范围。
练习： 1.一次函数y=-x+2的图象如图，你能说出-x+2<0的解集么？ 2.一次函数y=kx+b 的图象如图，你能说出kx+b<0的解集么？应用拓展例题：画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）求方程-3x+6=0的解;（2）求不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （3）当x 取何值时，y<3 ?知识点三.一次函数与二元一次方程（组）观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与y= 的图像两条直线的交点坐标是＿＿方程组的解是_____学生分组讨论 教师巡视 启发学生学生代表发言，师生共同评价学生自主完成 教师巡视指导学生回答 师生评价教师组织学生根据自己所画图象思考，并分组讨论、交流，然后请学生代表发言，师生共同评价师生共同归纳学生回答师生点评4分钟3分钟4分钟3分钟 5853+-x归纳:从数的角度看：从形的角度看：练习： 1.已知一次函数y =3x +5与y =2x +b 的图象交点为(-1，2)， 则方程组 的解是_______. 活动三.随堂练习 1．直线y=kx+3与x 轴的交点是（1，0），则k 的值是 。
人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式教案
-重点三：利用图像分析求解一次方程和不等式。通过绘制一次函数图像，观察和分析图像与x轴的交点，从而求解方程和不等式。
-难点三：一次不等式组的求解。当遇到一次不等式组时，如何将多个不等式合并求解，对于学生来说是一个难点。例如，求解不等式组2x+3>0和x-4<0时，需要找到两个不等式解集的交集。
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点内容，运用直观的图像、生动的例子和实际操作，帮助学生理解、掌握和运用一次函数与方程、不等式的相关知识。同时，注重培养学生的数形结合思维，加强符号意识的训练，以提高学生的解题能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数与方程、不等式的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，它是解决线性问题的有力工具。而方程与不等式则是描述两个量之间关系的重要数学表达式。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过一次函数图像来求解方程2x+3=0，以及如何根据一次不等式y>2x+3来确定解集。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数、方程与不等式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
一次函数与一元一次方程教案
二、自主学习【要求：学生先独立完成，然后小组内互相辅导交流】
问题4：解方程
问题5：当自变量 为何值时，函数 的值为0？
问题6：综合问题5和问题6的结果，你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗？
结论：从数的角度看：一元一次方程 的解是一次函数 的为0时的值。
问题7：画出函数 的图象，并确定它与 轴的交点坐标。
教学重点：
会用一次函数图象解一元一次方程
教学难点：
对一元一次方程与一次函数的关系的理解
教学准备：
坐标系、小黑板、导学案
教学方式：
自主探究、合作交流、教师讲评
教学过程：
一、复习导入
回顾已经学习的一元一次方程和一次函数的相关内容，为本节课的知识做好铺垫工作。
问题1：一次函数的一般形式是什么？
问题2：一次函数图象上的点与解析式中自变量与函数之间的关系是什么？
19.2.3一次函数与方程、不等式（第1课时）
教学目标：
1.结合具体实例，通过自主学习与合作交流，能说出具体的一个一元一次方程与一次函数的关系。
2.通过方程与函数关系的探究学习，能正确应用一次函数图象求对应的一元一次方程的解。
3.通过方程与函数关系的学习，能用自己的话正确说出具体例子中数形结合的思想。
3.已知关于x的方程 的解是 ，那么，直线 与 轴的交点坐标是。
七、板书设计
八、教学反思
结论：从形的角度看：一元一次方程 的解是一次函数 图象与轴交点的。
练习：你能使用一次函数图象对方程 、 进行求解吗？
题后小结：用一次函数的图象求解一元一次方程的解的步骤是什么？
三、巩固练习
1.一次函数 的图像如图，由图可知方程 的解是。
19.2.3一次函数与方程、不等式
思考
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函 数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的 结论推广到一般情形吗？ （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1． 用函数图象的角度看： 3 不等式ax+b＞c的解集就是 2 使直线y =ax+b 在直线y=c上方时 对应的自变量的取值范围； 1 不等式ax+b＜c的解集就是 使直线y =ax+b 在直线y=c下方时-2 -1 O -1 对应的自变量的取值范围.
想一想
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
h1
h2
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
想一想
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？ y
30 25 20 15 10 5 O
分析问题
一次函数 用方程观点看 y =0.5x+15
用函数观点看
二元一次方程 y -0.5x =15
二元一次方程 y =0.5x+15
从式子（数）角度看：
一次函数
二元一次方程
分析问题
从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关
系？ 在坐标系中画出以方程 y =0.5x+15 的解为坐标的 点组成的图形就是一次函 数y =0.5x+15 的图象. y y =0.5x+15
ax+b 与x轴的交点的横坐标的值”
b 2、当x a
时，一次函数y= ax+b( a≠0）的值0？
一元一次方程问题
《19.2.3一次函数与与方程、不等式》教学设计
分课时教学设计教师活动2：下面3个方程有什么共同点和不同点？(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0；(3) 2x + 1 = -1.共同点：等号左边都是 2x+1.不同点：等号右边不同，分别是3、0、-1.你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y= 2x +1的函数值分别为3、0、-1 时，求自变量x的值.或者说，在直线y=2x+1 上取纵坐标分别为3，0，-1 的点，看它们的横坐标分别为多少.因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x 的值.ax +b =0 (k≠ 0) 解得：x=−bk归纳总结：从数的角度看：求ax +b =0的解，相当于求函数y=ax+b的值为0时，对应的自变量x.从形的角度看：求ax+b=0的解，这相当已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标．活动意图说明：观察、思考、分析、归纳，引导学生探索一元一次方程，一次函数的关系，学生进教师活动3：下面3个不等式有什么共同点和不同点？(1) 3x+ 2 > 2； (2) 3x+ 2 < 0； (3) 3x+ 2 < -1.共同点：不等号左边都是3x + 2 .不同点：不等号及不等号右边不同.你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y =3x+2的函数值分别大于2、小于0、小于-1 时，求自变量x的取值范围.或者说，在直线y=3x + 2 上取纵坐标分别满足大于2，小于0，小于-1 的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大于0（或小于0）时，求自变量x相应的取值范围.归纳总结：从数的角度看：求ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的解，也就是求x为何值时y=ax+b的值大于0或小于0．从形的角度看：求ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的解，也就是求直线y= ax+b在x轴上方或下方部分所有点的横坐标满足的条件．活动意图说明：在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当重要教师活动4：问题：1 号探测气球从海拔 5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升. 与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5m/min 的速度上升. 两个气球都上升了1 h.(1) 用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位：m) 关于上升时间x (单位：min) 的函数关系.分析：气球上升时间满足0≤x≤60.对于1 号气球，y关于x的函数解析式为y = x + 5；对于2号气球，y 关于x 的函数解析式为y = 0.5x + 15 . (2) 在某个时刻两个气球能否位于同一个高度？若能，这时气球上升了多长时间，位于什么高度？分析：在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x 的某个值(0 ≤ x ≤60) ，函数y = x+5和y =0.5x +15有相同的值y .如能求出这个x 和y ，则问题得到解决. 由此容易想到解二元一次方程组{y =x +5y =0.5x +15 即{x −y =−50.5x −y =−15 解得{x =20y =25我们也可以用一次函数的图象解释上述问题的解答.如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数y =x +5和y =0.5x +15的图象，这两直线的交点坐标为(20 , 25)，这也说明当上升 20 min 时，两气球都位于海拔 25 m 的高度.这就是说，当上升20 min 时，两个气球都位于海拔25 m 的高度.一般地，因为每个含有未知数x 和y 的二元一次方程，都可以改写为y=kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解. 归纳总结：由上可知，由含有未知数x 和y 的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．{k 1x +b1=0 k 1≠ 0)k 2x +b2=0 (k 2≠ 0) 解得：{x =x 1y =y 1活动意图说明：通过类比一次函数与一元一次方程，分别从数和形两个角度分析二元一次方程组与【知识技能类作业】必做题：1.已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是( )2.若直线y=ax+b过点A(0，2)和点B(-3，0)，则方程ax+b=0的解是( )A.x=2B.x=0C.x=-1D.x=-33.若直线y=kx+3经过点A(32，0)，则不等式kx+3≥0的解集是( )A.x≥32B.x≤32C. x≤-32D.x<-324.若直线y=-x+a与直线y=x+b的交点坐标为(2，8)，则a-b的值为( )A.2B.4C.6D.8选做题：5.根据图象信息填空:(1)方程组{y =ax +by =mx +n 的解是_________；(2)不等式ax+b<mx+n 的解集是_______.6.我们规定:当k ，b 为常数，k ≠0， b ≠0， k ≠b 时，一次函数y=kx+b 与y=bx+k 互为交换函数，例如: y=4x+3的交换函数为y=3x+4.一次函数y=kx+2与它的交换函数的图象交点的横坐标为______.【综合拓展类作业】7.如图，已知直线y=kx+b 经过点B(1，4)，且与直线y=-x-11平行，与直线y=2x- 4交于点C ，与x 轴交于点A. 求直线AB 的解析式及点C 的坐标.【知识技能类作业】必做题：1．一次函数 y = kx + 3 的图象如图所示，则方程 kx + 3 = 0 的解为 .2．若方程组{2x −y =−13x −y =1 的解为{x =2y =5 则一次函数 y = 2x + 1 与 y = 3x - 1 的图象交点坐标为______.3.一次函数 y 1= 4x + 5 与 y 2 = 3x + 10 的图象如图所示，则 4x + 5 > 3x + 10 的解集是（ ）A. x < 5B. x > 5C. x > -5D. x > 25选做题4.已知直线 x - 2y = - k + 6 和直线 x + 3y = 4k + 1，若它们的交点在第四象限.(1) 求 k 的取值范围；(2) 若 k 为非负整数，求出函数 x - 2y = - k + 6 所有解析式.【综合拓展类作业】x+1的图象相交于点5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1，-5)，且与函数y=12A(8，a).3(1)求a的值；(2) 求0<kx+b<1x+1的正整数解.2。
一次函数与一元一次方程,不等式
19.2.3 一次函数与方程、不等式龙湖中学郭燕一、教学目标1.知识与技能：①使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的相互联系。
②是学生能初步运用函数的图像来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并通过函数图像来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集。
2.过程与方法：通过对一次函数与一元一次方程，一元一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，发展学生的辩证思维能力。
3.情感态度与价值观：探究活动中，让学生体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心。
二．教学重难点：1.重点：①理解一次方程，一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系。
②掌握用图像求解方程不等式的方法。
2.难点：根据一次函数的图像求解方程和不等式三．教学过程：1.探究一次函数与方程的关系问题1（1）解方程2x-4=0（2）当自变量x取何值时，函数y=2x-4的值为0?（3）画出函数y=2x-4的图像，并确定它与x轴的交点坐标。
（4）第（1）（2）问题有何关系？（1）（3）呢？［从上述问题中，你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗？］问题（2）（3）可以看作是同一个问题的两种形式，问题（1）（2）是从数的角度看，问题（3）是从形的角度看。
学生按要求探究，并总结结论从数的角度看，一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的y为0时x 的值。
从形的角度看，一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的图像与x轴交点的横坐标。
2.新知构建①填写表格，使得以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一问题。
你能从函数的角度解方程2x+1=3吗？学生独立思考后，画出一次函数y=2x+1的图像，从数的角度，y=2x+1的函数值为3时，自变量x 的值是这个方程的解；从图像上可以看出，直线y=2x+1上纵坐标为3的点的横坐标为1，是这个方程的解。
任何以x 为未知数的一元一次方程，都可以化成ax+b=0(a,b 为常数,a ≠0)的形式，因此，方程2x+1=3的解,也可以看成直线y=2x-2与x 轴交点的横坐标。
人教版八年级数学下册-19.2.3 一次函数与方程、不等式(教案)
19.2.3 一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x 秒物体速度为17m/s ，能否列出方程？（3）如果速度用y 表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b ＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x ＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x ＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x 轴的交点为（2,0），且这个函数的y 随着x 的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x 轴上方时的x 的值即可，由图可知，当x ＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解35821x y x y +=⎧⎨-=⎩，，从中总结你的体会. 【归纳总结】上面的方程组可以转化为385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，其本质是求当x 为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线3855y x=-+与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-6k；令x=0，得y=6.∴A（-6k，0），B（0，6），∴|OA|=|-6k|，|OB|=6.∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24.|k|=34.∴k=±34.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b 的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组3 3 5. x yx y+=⎧⎨-=⎩，【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组335x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是21.xy=⎧⎨=⎩，四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-32，∴直线与x轴交于（-32，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x ＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=13，则B（13，0），则AB=53，2431y xy x=-⎧⎨=-+⎩解得12xy=⎧⎨=-⎩∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB =12×53×2=53.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。
八年级下册数学19.2.3 一次函数与方程、不等式
气球1 海拔高度：y =x+5； 气球2 海拔高度：y =0.5x+15．
(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？
这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.
y =x+5
从数的角度看：解方程组
求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集
从“函数图象”看
确定直线y=kx+b 在x轴上方(或下方) 的图象所对应的x 取值范围
一次函数与二元一次方程组
问题3 1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上
升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度 上升．两个气球都上升了1 h．
A(0,6) (1,3)
值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的
3
解集是图象位于 x轴下方的x的取值
范围，即x>2； （2）由图象可知，当x>1时，y<3.
B(2,0)
O1
x
归纳总结：一次函数与一元一次不等式的关系
求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集
从“函数值”看
y=kx+b的值 大于(或小于)0时， x的取值范围
第十九章 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
学习目标
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元 一次不等式之间的联系．（重点）
2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意 义.（难点）
今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自 己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.
《一次函数与方程、不等式》说课稿
《一次函数与方程、不等式》说课稿各位评委、各位老师：上午好!我叫郭建芳，来自北郭一中，我今天说课的题目是《19、2、3一次函数与方程、不等式》，本节内容选自人教版九年义务教育初中数学教材八年级下册第19章、第2节、第96至98页的内容。
我将从教材分析、教学方法、学法引导、教学过程设计四个方面向大家介绍一下我对本节课的理解与设计。
一、说教材1. 教材分析（1）内容、地位、联系：《一次函数与方程、不等式》是人教版数学八年级下册第十九章第二节的内容。
本节课的主要内容是对之前学过的知识进行回顾复习的同时，着重建立了一次函数与一元一次方程、一次不等式和二元一次方程组的有效联系，站在更高的角度进行动态分析，利用一次函数的图象求一元一次方程的解、一次不等式的解集和二元一次方程组的解，使新旧知识融会贯通，加大学生对已经学过的相关内容之间联系的认识，进一步体验函数的重要性，发挥函数对相关内容的统率作用，其中渗透了数形结合的思想，为后继学习奠定了基础，在初中学段有很重要的地位和作用。
（2）课标要求：理解一次函数与一元一次方程、一次不等式和二元一次方程组的关系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义。
2. 教材处理把教材问题3的内容放到开始位置，处理意图是激发学生的学习兴趣，轻松引入课题。
3. 教学目标（1）学情分析从认知状况来说，学生在此之前已经掌握了一次函数的概念和解析式的一般形式，会画一次函数的图象，而且通过前面的学习学生能够初步建立一次函数模型来解决一些简单的数学问题，但是把一元一次方程、一次不等式的联系和二元一次方程组利用函数图象联系在一起，结合数形结合的思想，来理解它们之间的关系，这对于我们的学生来说，会有点困难。
（2）教学目标制定结合学情我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：<1>理解一次函数与一元一次方程、一次不等式和二元一次方程组的关系，鼓励学生积极主动地参与讨论，感受发现问题和解决问题带来的愉悦。
人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式说课稿
人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式说课稿一. 教材分析《一次函数与方程、不等式》是人教版数学八年级下册第19章第2节的一部分。
这部分内容是在学生已经掌握了函数、方程、不等式的基本概念和性质的基础上进行讲解的。
通过这部分的学习，使学生能够掌握一次函数与方程、不等式的关系，能够运用一次函数解决实际问题，培养学生解决实际问题的能力。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的解法与应用。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程、不等式的概念和性质有一定的了解。
但是，对于一次函数与方程、不等式的关系，以及如何运用一次函数解决实际问题，还需要进一步的学习和引导。
因此，在教学过程中，需要注重学生的参与和实践，通过引导学生自主探索和合作交流，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系，提高学生解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系，能够运用一次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探索和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自尊心，使学生感受到数学的实际应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与方程、不等式的关系，一次函数解决实际问题的方法。
2.教学难点：一次函数与方程、不等式的关系的理解，一次函数解决实际问题的方法的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作交流法等，引导学生自主探索和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
2.教学手段：使用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对一次函数与方程、不等式的关系的思考，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：通过讲解一次函数与方程、不等式的关系，引导学生理解一次函数解决实际问题的方法。
19、2、3一次函数与一元一次不等式
0 2
x
y=3x+2 y=6x-4
8. 从A地向B地打长途电话，通话3分钟以内收费 2.4元，3分钟后每增加通话时间1分钟加收一元。 通话半小时需要多少费用？
解：设通话时间为x分钟，通话收费为y元． 当0≤x≤3时，y =2.4. 当x＞3时，y ＝2.4+(xБайду номын сангаас3) ＝x-0.6. 当x＝30时， y ＝x-0.6 ＝30-0.6＝29.4.
1. 当自变量x的取值满足什么条件时， 函数y=3x+8的值满足下列条件？ y （3）y > 0 （4）y＜2
解： （4）画直线 y=3x+8
8
由图象可知
y＜2 时对应的 x＜-2
∴ 当x＜-2时， y＜2
y=3x+8
2
8 -2 3
0
x
随堂练习 1
[P126]
1. 当自变量x的取值满足什么条件时， y 函数y=3x+8的值满足下列条件？ （3）y > 0 （4）y＜2
回顾思考：
1.以下两个问题是不是同一个问题？ ①解不等式：2x－4＞0 ②当x为何值时， 函数y=2x －4的值大于0？ 2.你如何利用图象来说明②？ 3. “解不等式2x－4＜0”可以与怎样的 一次函数问题是同一的？怎样在图象上加 以说明？
（－3，0） 1、直线y=x+3与x轴的交点坐标为 ， 所以相应的方程x+3=0的解是 x=－3 . 2、设m，n为常数且m≠0， 直线y=mx+n（如图所示）， 则方程mx+n=0的解是 x=－2
.
3、对于y1=2x－1， y2=4x－2，下列说法：
①两直线平行； ②两直线交于y轴于同一点； ③两直线交于x轴于同一点； ④方程2x－1 =0与 4x－2=0的解相同； ⑤当x=1时，y1=y2=1. 其中正确的是 ③ ④ （填序号）
19.2.3一次函数与方程、不等式 教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式教学设计一、教材分析1、地位作用：函数、方程、不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。
用函数的观点看方程（组）与不等式，学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美，加强知识间横向与纵向的融会贯通。
本节课是在学完一次函数之后，对一次函数与方程，方程组，不等式的关系进行探究，学生在探究过程中进一步体验数形结合的思想方法和运动变化的观点，同时为高中利用二次函数解一元二次不等式的学习作铺垫。
2、目标和目标解析：（1）、目标：①理解一次函数与相应的一元一次方程、一元一次不等式之间的关系；理解一次函数与二元一次方程（组）的解之间的关系。
②会利用“数”和“形”相结合的方法处理一次函数与方程，不等式的问题。
（2）、目标解析：①达成目标1的标志是：在具体情境中通过列解析式，列方程，作函数图像，求方程的解的一系列过程，体验一次函数与相应的一元一次方程、一元一次不等式之间的关系；理解一次函数与二元一次方程（组）的解之间的关系。
②达成目标2的标志是：在解决相关问题时既会列出解析式，方程（组），不等式。
又能通过函数图像的直观性配合分析解决问题。
3、教学重、难点教学重点：一次函数与方程（组）、一元一次不等式之间的关系。
教学难点：利用“数”和“形”相结合的方法处理一次函数与方程，不等式的问题。
突破难点的方法：分析示范，强调数形结合的思想方法的应用。
二、教学准备：多媒体课件，三角板。
三、教学过程学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．。
19.2.3(1)一次函数与一元一次方程教案
序号一元一次方程问题一元函数问题1 解方程2x+20=0当x为何值时，y=2x+20的值为0?2 解方程-2x+2=0当x为何值时，y=-2x+2的值为0?3 解方程-2x+2= -1(先转化为-2x+3=0)当x为何值时，y=-2x+3的值为0?4 解方程ax+b=0当x为何值时，y=ax+b的值为0?③作出直线y=2x+20(建议课前作出,以免影响本节课主题),④看看(1)与(2)是怎么样的一种关系?从形的角度：直线y=2x+20的图象与x轴的交点坐标为（_-10_,_0），这说明方程2x＋20＝0的解是x=-10快乐演练：从“形”的角度序号一次函数问题一次函数问题1当x为何值时，y=2x+20的值为02当x为何值时，y=2x-2的值为0 与(2)实际上是同一个问题.探讨归纳从前面的讨论我们可以看到：一个一元一次方程的求解问题,可以与解炼学生归纳概括的能力，增强学生间的合作意识；数3当x为何值时，y=-2x+3的值为04 当x为何值时，y=ax+b 的值为0 直线y=ax+b与x轴交点的横坐标（即x=-b/a)师生共同归纳：一次函数与一元一次方程的关系从数的角度看：求ax+b=0(a≠O)的解x为何值时y=ax+b的值为0从形的角度看：求ax+b=0(a≠0)的解确定直线y=ax+b与x轴的横坐标从数和形两方面总结,帮助学生建立数形结合的观念.让学生在探究过程中理解两个问题的同一性.2、思考一：下面3个方程有什么共同点与不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．（同桌的两个同学互相交流）相同点：等式左边都是一元一次方程而且左边都是2x+1 不同点：等式右边有3,0和-1，即有正数、零和负数.追问：（2）我们已经研究过，可以从“数”和“形”两个角度考虑，那么（1）和（3）怎么解释？（引导学生通过图像共同完成，理解和体会一元一次方程与函数的关系）归纳：（更具有一般性）从数的角度看：求ax+b=k(a≠O)的解x为何值时y=ax+b的值为k从形的角度看：求ax+b=k(a≠0)的解当函数y=ax+b纵坐标为k时，所对应的横坐标x的值3、例题讲解：某个相应的一次函数问题相一致.你认为在一般情况下,怎样的解一元一次方程问题与怎样的一次函数问和形两方面总结,帮助学生建立数形结合的观念.通已知一次函数y=-2x+2，根据图像回答：（1）当y=0时，求x的值.（2）当y=2时，求x的值.解：(1)由图像可知：一次函数y=-2x+2与x 轴的交点为（1,0）；∴当y=0时，x=1(2)由图像可知：一次函数y=-2x+2与y 轴的交点为（0,2）；∴当y=2时，x=04、快乐演练：⑴根据下列图像，将一次函数转化为一元一次方程，并直接说出相应方程的解？⑵当x为何值时，y=ax+b的值？探究二：刚刚我们已经研究了一元一次方程与一次函数的关系，主要是从“数”和“形”两个角度来探讨，下面我们看这样两个问题1、问题一：从“数”的角度议一议：在上面的问题解决过程中，你能发现它们之间有什么关系吗？(1)解不等式：2x-4>0(2)当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0解：（1）解得x>2；题是同一的?学生小组讨论(鼓励学生用自己的语言说明为什么同一?图象上怎么看?函数方程形式上怎么看?过实例来巩固一次函数与一元一次方程的关系，学会怎么进行转化(2)就是要使2x-4>0，解得x>2时，函数y=2x-4的值大于0师生共同归纳：从数的角度看它们是同一个问题2、快乐演练：根据一次函数与不等式的关系填空：(1)解不等式3x－6<0，可看作(2)“当自变量x取何值时，函数y=3x+8的值大于0”可看作解答：（1）求一次函数y=3x-6的函数值小于0的自变量的取值范围（2）解不等3x+8>03、问题二：从“形”的角度议一议：如何用函数图象来解释：自变量x为何值时，函数y=2x-4值大于0？解：画出直线y=2x-4,可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0师生共同归纳：从数的角度看它们是同一个问题4、快乐演练：根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集（1）（2）)让学生在探究过程中理解两个问题的同一性①、由图像（1）回答下列问题：⑴3x+6>0，从“数”的角度，等价于y>0；从“形”的角度，图像只能够在x上方，通过函数图像可以看出解集为x>-2⑵3x+6≤0，从“数”的角度，等价于y≤0；从“形”的角度，图像只能够在x下方，通过函数图像可以看出解集为x≤-2②、由图像（2）回答下列问题：⑴-x+3≥0，从“数”的角度，等价于y≥0；从“形”的角度，图像只能够在x上方，通过函数图像可以看出解集为x≤3⑵-x+3<0，从“数”的角度，等价于y<0；从“形”的角度，图像只能够在x下方，通过函数图像可以看出解集为x>35、共同归纳：由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围.一般的一元一次不等式与一次函数的求值、利用图象分析数量关系等问题关系很密切.从数的角度看：求ax+b>0(a≠0)的解x为何值时y=ax+b的值大于0 从形的角度看：求ax+b>0(a≠0)的解确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x值注:数形结合,揭示本质.6、思考二：下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．（同桌的两个同学互相交流）（1）引导学生从函数图像上，如何将图像问题转化为代数问题，从而达到理解数形结合思想的目的.（2相同点：等式左边都是一元一次不等式而且左边都是3x+2不同点：等式右边有2,0和-1，即有正数、零和负数；且有大于和小于符号追问：（2）我们已经研究过，可以从“数”和“形”两个角度考虑，那么（1）和（3）怎么解释？归纳：不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．7、例题讲解：如图, 一次函数的图象y=kx+b(k≠0)经过点（-3，-2）,则关于x的不等式kx+b＞-2的解集为________________.解：x＜-1分析：在只知道一次函数图像上一个点的情况下如何求解它的解集，发现不能够通过从“数“的角度求解，只能够从”形“的角度，通过函数图像得到解集。
2020版八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)教案(新版)
19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时【教学目标】知识与技能:认识一次函数与一元一次方程之间的联系.会用函数观点解释一元一次方程的意义.过程与方法:经历用函数图象表示一元一次方程解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想,进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想.情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,积极参与交流,积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.难点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.【教学过程】一、创设情境,导入新课我们来看下面两个问题:1.解方程2x+20=0.2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0?这两个问题之间有什么联系吗?我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法.二、探究归纳活动1: 一次函数与一元一次方程的关系1.问题:填空:(1)解方程2x+6=0,得x=________.(2)从函数图象上看,直线y=2x+6与x轴交点的坐标为________ ,这也说明函数y=2x+6值为________,对应的自变量x为__________,即方程2x+6=0的解是________.答案:(1)-3(2)(-3,0)0 -3x=-32.思考:直线y=2x+6与x轴的交点坐标和方程2x+6=0的解有什么关系?提示:直线y=2x+6与x轴的交点的横坐标,就是方程2x+6=0的解.3.归纳:一次函数与一元一次方程的关系(1)由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式.所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,求自变量x的值.(2)一元一次方程ax+b=0的解,是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标值.活动2:例题讲解【例1】利用函数图象解下列方程:(1)0.5x-3=1. (2)3x-2=x+4.分析:将方程转化为kx+b=0的形式,画出y=kx+b的图象,由直线与x轴的交点坐标确定原方程的解.解:(1)原方程可化为0.5x-4=0.画出一次函数y=0.5x-4的图象,由图象看出直线y=0.5x-4与x轴的交点为(8,0),所以方程0.5x-3=1的解为x=8.(2)原方程可化为2x-6=0.画出一次函数y=2x-6的图象,由图象看出直线y=2x-6与x轴的交点为(3,0),所以方程3x-2=x+4的解为x=3.总结:一次函数与一元一次方程的关系一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.【例2】甲、乙两地距离300 km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,根据图象,解答下列问题:(1)线段CD表示轿车在途中停留了______ h.(2)求线段DE对应的函数解析式.(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.分析:(1)根据图象中点C,点D的横坐标求出轿车在途中停留的时间.(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象得出D点坐标(2.5,80),与E点坐标(4.5,300),代入y=kx+b列方程组求解.(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.解:(1)CD平行于x轴,说明轿车离甲地的距离没发生变化,即轿车停留,时间为C,D两点横坐标的差,2.5-2=0.5(小时).(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象可得在线段DE上,D点坐标(2.5,80),E点坐标(4.5,300),由题意得解得所以线段DE对应的函数解析式为:y=110x-195(2.5≤x≤4.5).(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.∵A点坐标为(5,300),代入解析式y=ax得300=5a,解得a=60,故y=60x,当60x=110x-195时,解得x=3.9,故3.9-1=2.9(小时),答:轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车.总结:用一次函数与方程的关系解决实际问题的步骤(1)分析题目中的数量关系及等量关系.(2)列出函数关系式.(3)利用函数与方程的关系求解.(4)验证所求的解是否符合题意,并作答.三、交流反思这节课我们学习了一次函数与一元一次方程之间的联系.能把解方程kx+b=0(k≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次方程,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵.四、检测反馈1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为 ()A.x=2B.y=2C.x=-1D.y=-12.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是()A.x=2B.x=4C.x=8D.x=103.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是()4.如图,直线y=kx+b分别交x轴,y轴于点A,B,则关于x的方程kx+b=0的解为()A.x=-2B.x=0C.x=2D.x=35.下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形,利用函数的图象解方程5x-1=2x+5,其中正确的是()6.如图所示,是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李重量x(千克)的关系图象,由图中可知,乘客可以免费托运行李的最大重量为()A.20千克B.30千克C.40千克D.50千克7.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程是2x+b=0的解是x=________.8.科学研究发现,空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系.经测量,在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2 000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米.(1)求出y与x的函数关系式.(2)已知某山的海拔高度为1 200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少?五、布置作业教科书第99页习题19.2第8题六、板书设计七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次方程的关系,关于一次函数与一元一次方程的关系,教师通过引导学生观察分析图象与x轴交点或一次函数解析式与一元一次方程的关系,引导学生得出一次函数与一元一次方程的关系:一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.让学生明确有关方程问题可用函数的方法来解决,反之,有关函数问题也可用方程的方法来解决.。
19.2.3一次函数与方程、不等式教案
19.2.3一次函数与方程、不等式教案19.2.3一次函数与方程、不等式（教案）老店一中张晓彦《19.2.3一次函数与方程、不等式》老店一中张晓彦【教学目标】一、知识与技能1、理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；2、会根据图像解答一元一次方程、一元一次不等式的有关问题。
二、过程与方法让学生在做题过程中，学会用函数的观点看待方程、不等式的方法。
体会数形结合及转化的思想方法。
三、情感态度与价值观通过对一次函数与方程、不等式相关题目的研究，培养学生自主探究，合作交流的精神，训练学生语言组织能力和分析、解决问题的能力。
【教学重点、难点】1、重点：一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系的理解。
2、难点：根据一次函数的图像求一元一次方程、一元一次不等式的解（或解集）。
【教学辅助工具】ppt 导学案【教学过程】一、“关于数学课堂中的“一””导课师：今天我们做一件有意思的事儿，总结一下上初中以来，我们所学的带“一”的知识点；生1：一元一次方程；生2：一次函数；生3：一元一次不等式......师：对，大家很聪明，这几个知识点都包含了“一”，那么它们之间有什么样的联系吗？我们今天就来共同学习一下一次函数与方程、不等式之间的关系。
（课件显示本节课题：19.2.3 一次函数与方程、不等式）【设计意图：通过回顾的形式导入新课，激发学生的学习兴趣。
】（生先自学，通过两个探究探索一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系；然后，由学生口述自学部分的答案，并提出自己没有解决不了的问题，找学生讲解，师点评，并提出若用函数图像法解类似于123-=+x x 这样的方程，需要将其转化为一元一次方程的一般形式，不等式一样的道理。
）【设计意图：这一块主要分两个探究，每个探究分三个小题，让学生逐步从“数”、“形”两方面理解一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，体会数形结合思想】四、合作交流，展示自我画出函数1+-=x y 的图像，根据图像解答下列问题： 1、求方程122+=+x x 的解；2、求在x 轴上方的图像对应的自变量x 的取值范围；补充：1 2、对于上述第一题，我们也可以将等号左右两边看成两个一次函数122+=+=x y x y 和，再画出这两个函数的图像，求其交点坐标，交点的横坐标即为方程的解。
一次函数与方程、不等式教案-数学八年级下第十九章19.2一次函数19.2.3人教版
第十九章一次函数19.2 一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式1 教学目标1.1 知识与技能：[1]认识一次函数与一次方程、一元一次不等式之间的联系。
会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义；[2]经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想。
1.2过程与方法：[1]引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验。
[2]通过自主探究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳概括的能力，增强学生间的合作意识。
1.3 情感态度与价值观：[1]通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，培养学生用联系的观点看待数学问题的意识。
2 教学重点/难点2.1 教学重点[1]探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。
2.2 教学难点[1]对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的揭示。
3 专家建议从复习函数、方程、不等式的基础知识进入新课,引入部分简单过渡,激发兴趣,为后面作铺垫。
一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间的相互转化，从学生对一次函数图象的认识以及通过观察函数图象得出变量的范围，渗透数形结合的思想,由浅入深地把函数、方程、不等式三者联系起来。
让学生学会用函数与方程的思想来解决实际问题，通过对实际问题的分析，寻找出变量之间的函数关系，并能利用函数的图象和性质求出实际问题的答案。
4 教学方法启发式教学5 教学用具多媒体课件，教学用直尺、三角板等。
6 教学过程6.1复习旧知、提出课题前面我们学习了一次函数。
实际上,一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存。
它与我们七年级学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必然的联系。
【师】复习一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的形式。
八年级数学人教版 第19章 一次函数19.2 一次函数19.2.8 一次函数与一元一次方程、不等式【教案】
一次函数与一元一次方程、不等式一、教学目标知识与技能1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系；2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．过程与方法1.使学生体会到一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系；2.能运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．情感态度与价值观使学生感受到“数形结合”在数学研究和探究现实生活数量关系及其变化规律中的作用．二、教学重、难点重点：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系难点：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系三、教学过程(一)创设情境问题 画出函数y ＝323+x 的图象，根据图象，指出： (1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？(2) x 取什么值时，函数值 y 始终大于零？(二)探究归纳问 一元一次方程323+x ＝0的解与函数y ＝323+x 的图象有什么关系？答 一元一次方程323+x ＝0的解就是函数y ＝323+x 的图象上当y ＝0时的x 的值．问 一元一次方程323+x ＝0的解，不等式323+x ＞0的解集与函数y ＝323+x 的图象有什么关系？答 不等式323+x ＞0的解集就是直线y ＝323+x 在x 轴上方部分的x 的取值范围．(三)实践应用例1 画出函数y ＝－x －2的图象，根据图象，指出：(1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？(2) x 取什么值时，函数值 y 始终大于零？解 过(－2,0)，(0,-2)作直线，如图．(1)当x ＝－2时，y ＝0；(2)当x ＜－2时，y ＞0．例2 利用图象解不等式(1)2x －5＞－x ＋1，(2) 2x －5＜－x ＋1．解 设y 1＝2x－5，y 2＝－x ＋1，在直角坐标系中画出这两条直线，如下图所示．两条直线的交点坐标是(2, －1) ，由图可知：(1)2x －5＞－x ＋1的解集是y 1＞y 2时x 的取值范围，为x ＞－2；(2)2x －5＜－x ＋1的解集是y 1＜y 2时x 的取值范围，为x ＜－2．(四)交流反思运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．(五)检测反馈1.已知函数y ＝4x －3．当x 取何值时，函数的图象在第四象限？2.画出函数y ＝3x －6的图象，根据图象，指出：(1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？(2) x 取什么值时，函数值 y 大于零？(3) x 取什么值时，函数值 y 小于零？3.画出函数y ＝－0.5x －1的图象，根据图象，求：(1)函数图象与x 轴的交点坐标；(2)函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围；(3)函数图象在x 轴下方时，x 的取值范围．4.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数xm y 的图象交于A 、B 两点．(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．。
一次函数现一次方程及不等式公开课教案设计
19.2.3一次函数与一次方程、一次不等式（第一课时）公开课教案设计教学目标：1.使学生领会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系。
2.引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验。
通过自主探究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳概括的能力，增强学生间的合作意识。
3.通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，培养学生用联系的观点看待数学问题的意识。
教学重点：探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。
教学难点：对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的揭示。
教学过程设计：一、复习旧知、学前热身问题与情境：小明的爸爸应邀来到合肥投资，在庐阳工业园投资300万元成本建成一个小型家电生产工厂。
建成投产后,不考虑材料费等其他因素，每年盈利75万元。
回答下面两个问题，1:该工厂投产几年刚好收回成本？2:该工厂从哪一年后盈利开始超过300万元以上?二、合作交流、探究新知活动一：探究一次函数与一元一次方程之间的联系。
1．解方程 3x+6=0。
2．直线y=3x+6与x轴交点的坐标是什么？ 3．讨论:图象与方程的解之间的关系。
4.不解方程：你能说出方程3x+6=6的解吗？5．合作交流（一）你还能利用图象求出哪些一元一次方程的解？6.合作交流（二）通过以上探究，你能总结一次函数与一元一次方程之间的联系吗？2．函数y=ax+b的图象如图，则方程ax+b=0的解为。
四、发展能力、拓展延伸活动二：探究一次函数与一元一次不等式之间的联系1自主探究：观察一次函数63＋＝x y 的图象，2．如何从图象上找出不等式3x+6＞0的解集？3．如何从图象上找出不等式3x+6＜0的解集？请讲述确定解集的方法。
4．合作交流（三）通过上面两个问题的思考，你能发现一次函数y=kx+b （k 、b 为常数，k ≠0）与一元一次不等式kx+b ＞0或kx+b ＜0（k 、b 为常数，k ≠0）的关系吗？5.不解不等式，利用图象：例题：不解不等式，利用图象: 求出不等式-3x+6≥3的解集。
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（2）检测反馈
1.利用图象解下列方程组：
(1) (2)
2.已知直线y＝2x＋1和y＝3x＋b的交点在第三象限，写出常数b可能的两个数值．
3.学校准备去白云山春游．甲、乙两家旅行社原价都是每人60元，且都表示对学生优惠．甲旅行社表示：全部8折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人则按9折收费，超过30人按7折收费．
根据图象回答：
(1)乙复印社的每月承包费是多少？
(2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？
二、探究归纳
问；1.“乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来？
问；2.“收费相同”在图象上怎样反映出来？
问；3.如何在图象上看出函数值的大小？
三、实践应用
例1小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从小张存款当月起每个月存18元，争取超过小张．请你写出小张和小王存款和月份之间的函数关系，并计算半年以后小王的存款是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张？
(1)设学生人数为x，甲、乙两旅行社实际收取总费用为y1、y2（元），试分别列出y1、y2与x的函数关系式（y2应分别就人数是否超过30两种情况列出）；
(2)讨论应选择哪家旅行社较优惠；
(3)试在同一直角坐标系内画出(1)题两个函数的图象，并根据图象解释题(2)题讨论的结果．
补充及反思
(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？
(3)问快艇出发多长时间赶上轮船？
四、交流反思
1.实际问题中数量之间的相互关系，用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律；
2.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解．
19.2.3一次函数与一次方程教案
课题
19.2.3一次函数与一次方程
时间
一课时
教学目标
1.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标的关系。
2.让学生了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型，培养和提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力．
教学重点
1．通过图象获取函数相关信息，运用图象来解释其相关量的涵义；
思考：求 的解．②观察两直线交点坐标与这个方程组的解有什么关系．
结论；我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解．
例2利用图象解方程组
例3下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问
2.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解．
教学难点
学会用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律；
教
学
设
计
︵
内
容
、
方法
、过
程
、
反
馈
、
反
思
︶
一、创设情境
问题学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．