04 一元一次方程及其应用
一元一次方程的解法与应用
一元一次方程的解法与应用一、一元一次方程的概念1.1 认识一元一次方程：形如ax + b = 0（a、b为常数，a≠0）的方程称为一元一次方程。
1.2 了解一元一次方程的组成：未知数（变量）、系数（a、b）、常数、等号。
1.3 掌握一元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。
二、一元一次方程的解法2.1 公式法：根据一元一次方程的定义，可得方程的解为x = -b/a。
2.2 移项法：将方程中的常数项移到等号另一边，未知数移到等号另一边，得到x = -b/a。
2.3 因式分解法：将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式，根据零因子定律求解。
三、一元一次方程的应用3.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。
3.2 线性方程组：由多个一元一次方程构成的方程组，可通过消元法、代入法等求解。
3.3 函数图像：一元一次方程对应的函数为直线，了解直线的斜率、截距等性质。
3.4 几何问题：利用一元一次方程描述几何图形的位置关系，如直线与坐标轴的交点、两点间的距离等。
四、一元一次方程的巩固练习4.1 编写练习题：设计具有实际意义的一元一次方程，让学生运用解法求解。
4.2 判断题：判断给定的一元一次方程是否正确，解释原因。
4.3 改写方程：将给定的一元一次方程改写为不同形式，如移项、合并同类项等。
五、一元一次方程的拓展知识5.1 方程的解与不等式的关系：一元一次方程的解集可表示为对应不等式的解集。
5.2 一元一次方程的推广：含有未知数的乘积、商的一元一次方程，以及分式方程等。
5.3 方程的解与函数的关系：一元一次方程的解为对应函数的零点。
总结：通过本知识点的学习，学生应掌握一元一次方程的概念、解法、应用以及拓展知识，能够运用一元一次方程解决实际问题，并为后续学习更复杂的方程打下基础。
习题及方法：1.习题：解方程 2x - 5 = 3。
答案：x = 4解题思路：将常数项移到等号右边，未知数项移到等号左边，得到2x = 8，再将方程两边同时除以2得到x = 4。
一元一次方程的解的应用
一元一次方程的解的应用一元一次方程是数学中最基本且常见的方程形式，它具有广泛的应用。
通过解一元一次方程，我们能够解决各类实际问题，从解释自然现象到解决实际生活中的计算问题都离不开一元一次方程。
1. 一元一次方程在几何中的应用在几何学中，一元一次方程可以用来解决诸多问题。
一个典型的例子是计算直线的交点坐标。
假设有两条直线，分别表示为y = k1x + b1和y = k2x + b2，其中k1、k2分别表示两条直线的斜率，b1、b2分别表示两条直线的截距。
当两条直线交于一点时，即存在一个坐标(x0, y0)满足方程组：k1x0 + b1 = k2x0 + b2求解这个方程组即可得到交点的坐标。
2. 一元一次方程在物理中的应用物理学中，一元一次方程是最常见的模型之一，常被用来描述物理量之间的关系。
例如，根据物体运动的速度、时间和位移的关系，可以建立如下方程：v = s / t其中v表示速度，s表示位移，t表示时间。
通过解这个方程，我们可以计算出物体在给定时间内的位移。
3. 一元一次方程在经济学中的应用经济学中，一元一次方程被广泛用于描述经济关系。
例如，假设某商品的销售价格为p，销售量为q，那么销售收入可以表示为： r = p * q其中r表示销售收入。
通过解这个方程，我们可以计算出在不同的价格和销售量情况下的销售收入，从而为经济决策提供依据。
4. 一元一次方程在工程中的应用在工程领域，一元一次方程被广泛应用于各类计算中。
例如，假设某个工程项目的总工时为H，每小时的工资为W，那么总费用可以表示为：C = H * W其中C表示总费用。
通过解这个方程，我们可以计算出不同工时和工资水平下的总费用，从而为工程预算提供参考。
综上所述，一元一次方程的解的应用非常广泛，几乎渗透到了各个领域。
通过解一元一次方程，我们可以解决几何、物理、经济和工程等各类实际问题，为决策和计算提供了方便和依据。
因此，掌握一元一次方程的方法和技巧对于我们在各个领域的学习和工作都至关重要。
一元一次方程的解法及应用
一元一次方程的解法及应用一元一次方程是初中数学中最基础的一种方程形式，它的形式可以表示为ax+b=0，其中a和b为实数，且a不等于0。
解一元一次方程可以通过运用一些基本的解法和技巧来实现。
在本文中，将介绍一些常见的解一元一次方程的方法，并探讨一些实际应用场景。
一、解法一：移项法移项法是解一元一次方程最常用的方法之一。
其基本思想是将方程中的未知数项移至一边，常数项移至另一边，使方程变为形如x=c的简单形式。
例如，解方程2x+3=7：首先，我们将方程中的常数项3移至右边：2x+3-3=7-3化简后得到：2x=4最后，将方程两边同除以2，得到解：x=2二、解法二：消元法消元法是解一元一次方程的另一种常见方法。
其基本思想是通过相互抵消未知数项或常数项，从而使方程变为形如x=c的简单形式。
例如，解方程3x+2=2x+5：首先，我们将方程中的常数项2移至左边，将未知数项3x移至右边：3x-2x=5-2化简后得到：x=3最终得到解x=3。
三、解法三：代入法代入法通常用于解决一元一次方程组，它的基本思想是将一个方程的某个变量用另一个方程中的变量表示，然后代入到另一个方程中，进而求解未知数的值。
例如，解方程组：2x+y=7x-y=3首先，根据第二个方程可得x=y+3将x的表达式代入第一个方程中：2(y+3)+y=7化简后得到：3y+6=7继续化简可得：3y=1最终得到解y=1/3，代回x的表达式可得x=10/3。
应用：一元一次方程在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 价格计算：在商业活动中，一元一次方程常用于求解价格。
例如，在打折优惠时，我们可以通过一元一次方程求解最终价格。
2. 时间计算：一元一次方程也可用于时间计算。
例如，在计算速度、时间和距离之间的关系时，我们可以建立一元一次方程来求解未知数。
3. 购物优惠：商场常常会进行满减优惠活动，我们可以通过一元一次方程求解购买满足条件所需的最低金额。
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用一元一次方程是初中数学中的基础内容，它是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的代数方程。
本文将围绕一元一次方程的应用展开探讨，涵盖了方程的定义、解法以及实际生活中的应用。
一、方程的定义与解法一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0，其中a、b为已知数，x为未知数，a≠0。
解一元一次方程的基本步骤如下：1. 将方程进行化简，将未知数的系数和常数项移到方程的一边，使得方程变为ax = -b的形式。
2. 通过除以系数a，消去未知数x的系数，得到x = -b/a的解。
需要注意的是，若a = 0，则该方程没有解或者有无数解，这需要根据具体的题目情况进行判断。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可进行如下解法：1. 将常数项移到方程的一边，得到2x = 7 - 3。
2. 化简得到2x = 4。
3. 除以2，得到x = 2。
因此，该方程的解为x = 2。
二、实际生活中的应用一元一次方程在我们的日常生活中有着广泛的应用，因为它可以用来解决很多实际问题。
以下是一些常见的应用场景：1. 商业应用在商业领域中，一元一次方程可以用来解决定价、成本、销售和利润等问题。
例如，一家零售店的成本包括固定成本和变动成本，可以使用一元一次方程来计算其销售额和盈利情况。
2. 交通运输交通运输中，我们经常会遇到速度、距离和时间的关系，利用一元一次方程可以计算出车辆的速度、行驶时间以及路程。
例如，已知一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了5个小时后，可以使用一元一次方程求出行驶的总里程。
3. 比例关系一元一次方程也可以用来解决比例关系的问题。
例如，某种商品的原价为x元，现在打折促销，打折后的价格为原价的80%，可以使用一元一次方程来计算打折后的价格。
假设商品原价为100元，则打折后的价格为0.8x，可以列出方程0.8x = 100来求解。
4. 时间和距离在旅行中，一元一次方程可以帮助我们计算出到达目的地所需的时间和距离。
考点04 一次方程(组)与其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(原卷版)
考点04 一次方程（组）与其应用一元一次方程与二元一次方程组在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程，所以常放在一起统称为“一次方程”，而在数学中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，需要考生在一轮复习中把该考点熟练掌握。
考向一·等式的基本性质考向二·一元一次方程的解法考向三·二元一次方程组的解法考向四·一次方程（组）的简单应用考向一：等式的基本性质等式的基本性质【易错警示】1．下列判断错误的是（ ）A ．如果a ＝b ，那么a +c ＝b +c B ．如果ac ＝bc ，那么a ＝b C ．如果a ＝b ，那么ac ＝bcD ．如果a ＝b ，那么＝（c ≠0）2．已知3a ＝2b +5，下列等式不一定成立的是（ ）A ．3ab ＝2b 2+5b B ．3a +1＝2b +6C ．＝+D ．a ＝b +3．若，则x 与y 的等量关系是 （结果不含a ，b ）．4．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）：如果a c ＝b ，那么（a ，b ）＝c ．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝ ，＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ．（2）令（2，6）＝x ，（2，7）＝y ，（2，42）＝z ，试说明下列等式成立的理由：（2，6）+（2，7）＝（2，42）．5．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：（2）通过猜想，写出第n 个点阵相对应的等式： ．，那么考向二：一元一次方程的解法1.一元一次方程的概念：只含有1个未知数（元），未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程。
2.一元一次方程解法：上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；去分母①不含分母的项也要乘以最小公倍数；②分子是多项式的一定要先用括号括起来去括号括号外是负因数时，一是要注意变号，二是要注意各项都不要漏乘公因数移项移项要变号步骤名 称方 法1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）2去括号去括号法则（可先分配再去括号）3移项把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）4合并同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加5系数化为“1”在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数）*6检根x =a方法：把x =a 分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
一元一次方程在实际问题中的应用
一元一次方程在实际问题中的应用一元一次方程（或简称一次方程）是数学中一种基础的代数方程，它可以用来解决实际中的各种问题。
一次方程通常具有以下形式：ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知的常数，x 是未知数。
在这篇文章中，我们将探讨一元一次方程在实际问题中的应用，并说明其重要性。
一元一次方程在日常生活中的应用非常广泛。
无论是在物理学、经济学还是工程学等领域，一次方程都扮演着至关重要的角色。
我们将通过几个实际问题的案例来说明这一点。
案例一：购买水果假设你在一个农贸市场上购买水果，卖家告诉你说：“每个苹果2元，你需要支付总共10元。
”现在我们可以使用一元一次方程来计算出你购买了多少个苹果。
设你购买了x 个苹果，则根据题目中的条件，我们可以得到以下方程：2x = 10。
通过解这个方程，我们可以得出 x = 5。
因此，你购买了5个苹果。
案例二：汽车行驶假设你的汽车每小时行驶50千米，并且你准备开车行驶200千米。
我们可以使用一元一次方程来计算行驶所需的时间。
设行驶时间为 t，根据速度与时间的关系，我们可以得到方程：50t = 200。
通过解这个方程，我们可以得出 t = 4。
因此，你需要4小时才能行驶200千米。
通过以上两个案例，我们可以看到一元一次方程在实际问题解决中的应用。
它们可以帮助我们解决各种数值问题，并提供了一种有效的数学工具。
除了以上案例，一元一次方程还可以用于解决更复杂的实际问题。
例如，在生产过程中的生产成本和产量之间可能存在着一定的关系。
我们可以通过建立一次方程，来计算出某个产量所对应的生产成本。
这对于企业的成本控制和效益评估非常重要。
此外，一次方程还可以用于解决金融领域的问题。
比如，在债务还款中，我们可以通过建立一次方程，来计算出每月应该还款的金额，以便合理安排个人财务。
总结起来，一元一次方程在解决实际问题中起着重要的作用。
它们帮助我们在数学上建立模型，计算未知数的值，解决各种数值问题。
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用一元一次方程，即只有一个未知数的一次方程，形式一般为ax + b= 0。
这种简单的方程式在我们日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨一元一次方程的几个常见应用场景，并介绍如何利用这些方程来解决实际问题。
一、物品价格计算在购物或经济交易中，一元一次方程可以帮助我们计算物品的价格。
假设某个商品原价为x元，商家打了折后的价格为y元，且已知折扣率为d（d为小数表示）。
根据折扣的定义，我们可以得到以下的一元一次方程：x - dx = y。
通过解这个方程，我们可以求得原价x。
例如，某商品原价为未知数x，打了八折后的价格为400元，那么我们可以写出方程0.8x = 400，并求解出x = 500。
所以原价为500元。
二、速度和时间计算在物理学或交通运输中，一元一次方程可以帮助我们计算速度和时间。
当我们已知一辆车的速度v（单位为km/h）和行驶的时间t（单位为小时）时，我们可以利用一元一次方程来求解行驶的距离d（单位为km）。
根据定义，我们知道速度等于距离除以时间（v = d/t）。
假设我们想要求解行驶的距离，已知速度为60 km/h，行驶时间为3小时。
那么我们可以写出方程60 = d/3，并将其转化为一元一次方程，即3d = 180。
解这个方程，我们可以得到行驶的距离d = 60 km。
三、金融利息计算在金融领域，一元一次方程可以帮助我们计算利息。
假设我们有一笔初始金额为P（单位为元），年利率为r（以小数表示），存款的时间为t（单位为年）。
根据利息的定义，我们可以得到以下的一元一次方程：P(1+r*t) = M，其中M表示最终的存款金额。
考虑一个案例，我们有一笔初始金额为2000元，年利率为5%，存款时间为5年。
我们可以写出方程2000(1+0.05*5) = M，并将其转化为一元一次方程，即2000 + 500t = M。
通过解这个方程，我们可以求得最终的存款金额M。
四、几何图形的边长计算在几何学中，一元一次方程可以被用来计算几何图形的边长。
专题4_一元一次方程及其应用
专题4_一元一次方程及其应用一元一次方程及其应用是初中数学的基础知识之一，它无论在学习上还是实际生活中都具有重要的应用价值。
本文将围绕一元一次方程的概念、解法、应用以及一些实际问题展开讨论。
一、一元一次方程的概念一元一次方程是指其中只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，a≠0。
二、一元一次方程的解法1.移项法：通过变换方程式，将未知数移到等号的一侧，已知数移到等号的另一侧。
例如，对于方程2x+5=13，可以通过移项法得到2x=13-5=8，再除以2得到x=4，从而求得方程的解x=42.消元法：联立两个或多个方程，通过消去一些系数，得到一个只含一个未知数的一元一次方程。
例如，联立方程组{x+2y=5，2x+3y=10}，可以通过消元法得到-x+y=-5，再乘以2得到2x-2y=10，联立原方程组得到3y=0，进而求得y=0，再代入方程得到x=5/2，从而求得方程组的解x=5/2，y=0。
三、一元一次方程的应用一元一次方程在实际生活中的应用十分广泛，以下是一些常见的应用领域：1.商品质量问题：如果已知一种商品的质量为x千克，每件商品的质量比前一件多1/4千克，总共有10件商品，那么可以通过建立方程10x=总质量来求得总质量。
2.速度与时间问题：速度等于路程除以时间，如果已知辆车以30km/h的速度行驶2小时，求其行驶的总路程，可以通过建立方程30*2=总路程来求得总路程。
3.比例问题：比例可以用一元一次方程来表示，例如已知甲乙两个数的比例为4:3，而甲的值为12，可以通过建立方程4x=12来求得乙的值x，进而求得甲乙两个数的具体值。
四、一元一次方程的实际问题1.甲乙两个数的比例为4:3，但甲的值比乙大3，求甲、乙的具体数值。
解：设乙的值为x，则甲的值为x+3、根据比例关系，可以建立方程4/(x+3)=3/x，通过变换方程解得x=6/5，从而可以求得甲的值为9/5，乙的值为6/52.辆车从A点和B点之间的距离是90千米，其中从A点到B点的距离是从B点到A点距离的3倍加上3千米，求A点到B点的距离。
一元一次方程及其应用
一元一次方程及其应用（人工智能Assistance身份声明：以下文章内容纯属自然语言处理生成，没有人工智能参与修改。
）2023年了，一元一次方程依然扮演着重要的角色，影响着我们的生活。
本文将从简单的概念入手，旨在向大家介绍一元一次方程及其应用。
一、一元一次方程的定义一元一次方程，指只有一个未知数，且未知数的最高次数为一的方程。
其一般形式可以表示为：Ax + B = 0（其中，A和B是已知数，x是未知数）。
二、解一元一次方程的方法解一元一次方程需要通过相应的运算方法，将未知数x解出来，具体方法如下：1. 移项法：将Ax和B分别在等式两边交换位置，得到x = -B/A。
2. 定比分法：将等式两边的各项都乘以相同的比值，使得形式化简后得到x = -B/A。
3. 等式法：将等式两边分别加入一项，使等式成立后可以解出x。
三、一元一次方程的应用一元一次方程的应用非常广泛，涉及到生活中的各个方面。
下面就为大家介绍几个常见的应用：1. 财务预算财务预算中，需要对不同因素进行定量分析和预测。
一元一次方程可以帮助我们计算好不同因素之间的关系，从而提前做好预算和规划。
2. 人口增长在人口增长方面，一元一次方程可以用来计算不同因素对人口数量的影响，如生育率、死亡率、移民率等等。
通过方程的分析和预测，可做出更准确的预测并合理规划措施。
3. 工程设计工程设计中，需要考虑各种因素之间的关系，以及它们对工程的影响。
通过一元一次方程的分析，可以更好地把握工程设计的效果和可行性，从而提高工程的质量。
四、总结一元一次方程虽然在数学中只是一个较为简单的概念，但却应用广泛。
无论是财务预算、人口增长、还是工程设计等领域，都需要用到一元一次方程来分析和预测问题。
因此，我们必须学好它，掌握相关的解法和应用，以更好地应用于我们的生活当中。
一元一次方程的解与应用
一元一次方程的解与应用在我们的数学学习中，一元一次方程是一个非常基础且重要的概念。
它不仅是解决数学问题的有力工具，在日常生活和实际工作中也有着广泛的应用。
首先，让我们来了解一下什么是一元一次方程。
一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。
一般形式可以表示为 ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 为常数，且a ≠ 0）。
那么，如何求解一元一次方程呢？比如说，我们有方程 2x ＋ 3 ＝ 7，为了求出 x 的值，我们首先要把含有 x 的项留在等式一边，常数项移到另一边。
具体步骤就是：先将 3 移到等式右边，变成 2x ＝ 7 3，即2x ＝ 4，然后两边同时除以 2，得到 x ＝ 2。
这就是求解一元一次方程的基本思路和方法。
一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。
在上面的例子中，x ＝ 2 就是方程 2x ＋ 3 ＝ 7 的解。
接下来，让我们看看一元一次方程在实际生活中的应用。
比如说购物场景，假设一件商品原价为 x 元，打 8 折后的价格是 160 元，那么我们可以列出方程 08x ＝ 160，通过解方程可得 x ＝ 200，也就是说这件商品的原价是 200 元。
再比如行程问题，小明以每小时 5 千米的速度行走，走了 x 小时后，一共走了 15 千米。
我们可以列出方程 5x ＝ 15，解得 x ＝ 3，即小明走了 3 个小时。
还有分配问题，比如将 100 个苹果分给若干个小朋友，若每人分 x 个，正好分完，而小朋友的人数是 20 人，那么就可以列出方程 20x ＝100，解得 x ＝ 5，也就是每个小朋友分到 5 个苹果。
在工程问题中，一项工作甲单独做需要 x 天完成，乙单独做需要 2x 天完成，两人合作需要6 天完成。
根据工作量＝工作时间×工作效率，可以列出方程 6(1/x ＋ 1/2x) ＝ 1，解得 x ＝ 9，即甲单独完成这项工作需要 9 天。
一元一次方程的解法与应用
一元一次方程的解法与应用在数学中，一元一次方程是基本的线性方程形式，可以表示为ax +b = 0，其中a和b是已知的实数常数，x是未知数。
解一元一次方程的目标是确定x的值，使得方程成立。
解法一：移项法移项法是解一元一次方程最常用的方法之一。
其基本思想是通过移动项的位置来消除方程中的未知数，使得方程变为等效的形式。
具体步骤如下：1. 将方程ax + b = 0中的常数项移动到方程的另一侧，得到ax = -b。
2. 通过除以a来消除未知数的系数，得到x = -b/a。
解法二：等式性质法等式性质法是解一元一次方程的另一种常用方法。
它基于方程两边相等的性质，通过对方程进行等式变换来求出未知数的值。
具体步骤如下：1. 根据方程的形式，可以使用加减法、乘除法等等式变换规则，将方程变换为等效的形式。
2. 重复应用等式变换规则，直到未知数的系数被消除，得到未知数的值。
一元一次方程的应用：一元一次方程不仅仅是数学中的抽象概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 价格计算：一元一次方程可以用于计算购买某种商品的总价格。
例如，假设一种商品的单价为p元，购买n个该商品，那么总价格可以表示为pn = total。
2. 距离计算：一元一次方程可以用于计算两地之间的距离。
例如，假设两地之间的速度为v km/h，经过t小时到达目的地，那么两地之间的距离可以表示为d = vt。
3. 时间计算：一元一次方程可以用于计算某个事件的发生时间。
例如，假设某项工作需要n个人合作完成，每个人的工作效率为w件/小时，那么完成工作所需的时间可以表示为t = n/w。
总结：一元一次方程是数学中最基本的线性方程形式，可以通过移项法或等式性质法来解决。
在实际应用中，一元一次方程可以用于解决价格计算、距离计算、时间计算等各种问题。
掌握一元一次方程的解法和应用，有助于我们更好地理解数学的实际意义，并在日常生活中灵活运用。
第04讲应用一元一次方程(7类热点题型讲练)(原卷版)
第04讲应用一元一次方程(7类热点题型讲练)1.掌握一元一次方程的应用的一般步骤；2.掌握各类应用题的列方程的方法.知识点必备公式或关系式题型01一元一次方程的应用古代问题例题：（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【变式训练】1．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？2．（2023·安徽马鞍山·校考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”题型02一元一次方程的应用销售问题例题：（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装。
为了缓解资金压力，小张决定打折销售．若每件服装按标价的6折出售将亏10元，而按标价的8折出售将赚40元．(1)请计算每件服装标价多少元？每件服装成本多少元？（用一元一次方程求解）(2)为尽快减少库存，又要保证不亏本，请问小张最多能打几折？【变式训练】题型03一元一次方程的应用方案问题例题：（2023春·河南周口·七年级校考期中）“太行分一脉，缥缈入云台”．某单位计划“五一”节组织员工到焦作云台山旅游，已知甲、乙两旅行社都提供去云台山的方案，都是每人400元．几经洽谈，甲旅行社表示给予每位旅客8.5折优惠，乙旅行社表示能免去一位旅客的费用，其余9折．(1)若参加旅游的人数为x，则选择甲旅行社的费用为______元，选择乙旅行社的费用为______元（都用含x 的式子表示）．(2)若经过计算可知甲，乙两家旅行社的费用相同，则该单位有员工多少人?【变式训练】题型04一元一次方程的应用配套问题例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．(1)该车间有男生、女生各多少人？(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料600米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一张方桌是由一个桌面和四条桌腿组成的，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现在要用5立方米木料制作方桌，请你设计一下，用多少木料制作桌面，用多少木料制作桌腿，恰好配成方桌多少张？题型05一元一次方程的应用工程问题例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）修一条公路，甲工程队单独承包要40天完成，乙工程队单独承包要60天完成．(1)现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？(2)如果甲、乙两工程队合作12天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条路共需要几天？【变式训练】1．（2022秋·安徽淮北·七年级统考期末）柳孜隋唐大运河遗址是我市的一张文化名片，为打造古运河风光带，现有一段长为280米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治10米，两个工程队共用时25天．求A工程队整治河道多少米？2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）某童装工厂甲组的3名工人1天完成的总工作量比日人均定额的3倍多60件，乙组的4名工人1天完成的总工作量比日人均定额的5倍少20件．(1)如果两组工人实际完成的日人均工作量相同，那么日人均定额是多少件？(2)如果甲组工人实际完成的日人均工作量比乙组多10件，那么日人均定额是多少件？(3)如果乙组工人实际完成的日人均工作量比甲组多10件，那么日人均定额是多少件？题型06一元一次方程的应用行程问题-，点B表示的有理数为6．点例题：（2023秋·湖北·七年级校考周测）如图，在数轴上点A表示的有理数为6→→运动，同时，点Q从点B出发以每秒1个单位长度P从点A出发以每秒2个单位长度的速度由A B A→运动，当点Q到达点A时,P Q两点停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．的速度由B A(1)求点P与点Q第一次重合时的t=________(2)当t=________，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．【变式训练】(1)A B、两点间的距离是___________；题型07一元一次方程的应用电费和水费问题例题：（2023秋·安徽六安·七年级阶段练习）电信公司推出两种移动计费方法：方法A：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费；方法B：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费．现在设通话时间是x分钟．(1)请分别用含x的代数式表示计费方法A、B的通话费用．(2)用计费方法A的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法B，则可通话多少分钟？(3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？【变式训练】A．60人B．61人C．62人D．63人6．（2023春·吉林长春·七年级校考期中）某种商品进价为100元，标价为150元．现打折销售，要使利润率为20%，则需打折销售．7．（2022秋·湖北武汉·七年级统考开学考试）若干个老人分梨，若每人7个，则多5个梨；若每人9个，则有一个老人没有分到梨，则共有只梨．8．（2023春·湖北黄冈·七年级校考开学考试）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米．……”．问=升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为升．题：有2斗的粟（1斗109．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x 辆车，则可列方程．10．（2023秋·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是0，9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点A'落在射线CB上，且A B'=，则点C表示的数是．3三、解答题a、b=、c=、d=；(1)填空：=。
专题4一元一次方程及其应用
专题4一元一次方程及其应用一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
二、解一元一次方程的方法解一元一次方程的常见方法有：等式两边同时加减一个数、等式两边同时乘除一个非零数。
1.等式两边加减一个数：对于方程ax + b = 0，我们可以将b加到等式两边或者减去等式两边，得到ax = -b或者ax = b。
然后，再将方程两边同时除以a，就可以得到x的值。
2.等式两边乘除一个非零数：对于方程ax + b = 0，我们可以将等式两边乘以一个非零数c，得到acx + bc = 0。
然后，再将方程两边同时除以ac，就可以得到x的值。
三、一元一次方程的应用一元一次方程在我们日常生活中有很多应用场景，例如：1.购买物品：假设物品的原价是x元，经过打折后的价格是y元，且折扣为a。
那么我们可以建立以下一元一次方程来求解原价x：x - ax = y通过求解方程，我们就可以得到物品的原价。
2.算术平均数：假设一些班级学生的身高分别是x₁、x₂、x₃、..、xn，其中n是班级学生的总数，而x是班级学生的平均身高。
那么我们可以建立以下一元一次方程来求解平均身高x：(x₁ + x₂ + x₃ + ... + xn) / n = x通过求解方程，我们就可以得到班级学生的平均身高。
3.运动速度：假设人以v的速度行驶t小时，行驶的距离为s。
那么我们可以建立以下一元一次方程来求解速度v：s = vt通过求解方程，我们就可以得到人的速度。
四、例题解析1.问题：小明在商场购买了一件原价100元的衣服，打完折后的价格是80元。
请问，打折的折扣是多少？解答：设折扣为x。
根据题意，我们可以得到以下一元一次方程：100-x*100=80解方程得到x=(100-80)/100=0.2所以，打折的折扣是20%。
2. 问题：班级共有30名学生，他们的体重平均为55kg。
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用一元一次方程是初中数学中的基础知识，学生们经常会遇到各种与一元一次方程相关的问题。
本文将探讨一元一次方程在日常生活、工作和实际问题中的应用。
一、商品售价的计算在购物时，我们常常会遇到各种折扣和促销活动。
通过一元一次方程可以计算出商品的实际售价。
如某商品原价为x元，打7折后的售价为0.7x元，如果现在的售价是100元，那么我们可以列出以下方程：0.7x = 100通过解这个方程，我们可以得到商品原价为142.86元。
这个例子展示了一元一次方程在计算商品售价方面的应用。
二、速度与时间的计算当我们要计算一个物体的速度时，有时候只知道物体运动的时间和路程，这时候可以利用一元一次方程来解决。
例如，某车以每小时40公里的速度行驶，行驶了t小时，那么该车行驶的路程可以表示为40t公里。
如果我们知道该车行驶了120公里，那么我们可以列出以下的方程：40t = 120通过解这个方程，我们可以得到该车行驶的时间为3小时。
这个例子展示了一元一次方程在计算速度与时间方面的应用。
三、利润的计算在商业活动中，人们常常需要计算出销售商品的总成本和利润。
通过一元一次方程，可以帮助我们计算出商品的利润率。
例如某商品的成本为C元，售价为S元，如果我们知道该商品的利润率是20%，那么我们可以列出以下方程：S - C = 0.2C通过解这个方程，我们可以得到商品的成本为0.83S元。
这个例子展示了一元一次方程在计算利润方面的应用。
四、游戏得分的分析在游戏中，我们经常需要分析得分的情况。
通过一元一次方程，可以帮助我们计算出达到特定得分目标所需要的平均分数。
例如，某个游戏共有n关，小明已经通过了m关，每关平均得分为x分，如果我们想要达到总得分1000分的目标，那么我们可以列出以下方程：mx = 1000通过解这个方程，我们可以得到小明每关的平均得分为20分。
这个例子展示了一元一次方程在分析游戏得分方面的应用。
总结：一元一次方程在日常生活、工作和实际问题中有广泛的应用。
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程，其一般形式为ax +b = 0，其中a、b为已知数，x为未知数。
一元一次方程是数学中最基本的代数方程，广泛应用于不同领域的问题中。
本文将探讨一元一次方程在实际问题中的应用。
一、货币兑换问题货币兑换是一种常见的应用一元一次方程的实际问题。
在国际贸易中，不同国家的货币汇率常常会受到市场供求关系等因素的影响而波动。
假设今天1美元兑换成x人民币，我们需要求出x的值。
解题步骤：设1美元兑换成x人民币，根据题意可得：1 * x = 兑换金额。
如果已知1美元兑换成6.5人民币，即x = 6.5，那么我们可以通过一元一次方程来求解其他情况下的兑换金额。
二、线性函数问题线性函数是由一元一次方程表示的函数，其形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
线性函数在物理、经济等领域的建模中广泛使用。
例题一：某公司生产某种产品，每生产x个产品需要花费1500元，如果每个产品卖出后可以获得3000元的利润，那么公司需要卖出多少个产品才能够收回成本？解题步骤：设公司需要卖出y个产品才能够收回成本，根据题意可得：1500x + (y - x)3000 = 0。
将方程化简得：1500x + 3000y - 3000x = 0。
整理得：-1500x + 3000y = 0。
通过求解该一元一次方程组可得出公司需要卖出的产品数量。
例题二：某项任务需要3个人共同完成，已知其中一人单独完成该任务需要5天，而另外两人单独完成该任务需要10天和15天。
若三人共同完成该任务需要的天数为x，那么x满足以下哪个一元一次方程：（A）⅓x = 5 （B） 3x = 5 （C）⅕x = 5 （D）⅓x + 3x + ⅕x = 1解题步骤：设三人共同完成该任务需要的天数为x，根据题意可得：1/5x +1/10x + 1/15x = 1。
将方程化简得：3/30x + 2/30x + 1/30x = 1。
一元一次方程与实际应用
一元一次方程与实际应用
1.货币问题：一元一次方程可以用来解决货币计算问题。
例如，小明
在超市买了苹果和香蕉，苹果单价为3元，香蕉单价为2元，他总共花了
8元。
现在我们可以用方程3x+2y=8来表示这个问题，其中x为苹果的数量，y为香蕉的数量。
通过解方程，可以得到苹果的数量和香蕉的数量。
2.速度问题：一元一次方程也可以用来解决速度计算问题。
例如，小
明骑自行车从A地到B地，全程50公里，他以10公里/小时的速度骑行。
如果他骑了t小时，那么我们可以用方程10t=50来表示这个问题。
通过
解方程，可以得到小明骑行的时间。
4.面积计算问题：一元一次方程还可以用来解决面积计算问题。
例如，一个矩形的长是x，宽是2x，已知它的面积为300平方米，我们可以用方
程x*2x=300来表示这个问题。
通过解方程，可以得到矩形的长和宽。
5.飞行时间问题：一元一次方程还可以用来解决飞行时间问题。
例如，一架飞机以400公里/小时的速度飞行，飞行了t小时后飞行了800公里。
我们可以用方程400t=800来表示这个问题。
通过解方程，可以得到飞机
的飞行时间。
综上所述，一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，可以解决各
种计算问题。
通过学习一元一次方程，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高数学思维能力。
一元一次方程的解法及应用
一元一次方程的解法及应用一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，通常的形式可以表示为ax + b = 0，其中a和b是已知的常数。
解一元一次方程是数学中的基础知识，本文将介绍一元一次方程的解法和其在实际问题中的应用。
一、一元一次方程的解法解一元一次方程的常用方法有两种：一是直接梳理常规计算步骤，另一种是利用代数方法。
1. 常规计算步骤解法首先，将方程形式化，保证未知数项系数为1。
例如，对于方程2x + 6 = 0，我们可以通过将方程两边同时除以2，得到x + 3 = 0。
按照常规计算方法，我们需要去掉等号两边的常数项，将变量项移到一边，常数项移到另一边。
以x + 3 = 0为例，我们将等式两边同时减去3，得到x = -3。
所以，方程2x + 6 = 0的解是x = -3。
在解一元一次方程时，我们需要注意一些特殊情况，例如方程中可能存在分数、小数或负数等。
为了简化计算和提高解题效率，可以将方程整理成整数形式，再进行求解。
2. 代数方法解法代数方法是解决一元一次方程的一种更具简便性和普适性的方法。
通过变量的移项和合并同类项的运算，可以利用代数的性质迅速求解方程。
例如，对于方程3x - 12 = 0，我们可以将-12移至方程右侧，得到3x = 12。
然后利用除法的性质，两边同时除以3，得到x = 4。
代数方法解法可以适用于各种形式的方程，而且步骤相对简单明了，常常用于解决实际问题。
二、一元一次方程的应用一元一次方程在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍其中几个常见的应用领域。
1. 金融领域在金融领域中，一元一次方程经常用于计算利息、贷款等问题。
例如，某人向银行贷款10000元，年利率为5%，求贷款数年后需要还款多少。
设贷款数年后需要还款为x元，则根据利息计算公式，我们可以列出一元一次方程0.05 * 10000 + 10000 = x。
通过解方程，我们可以求得x = 10500，即贷款数年后需要还款10500元。
一元一次方程的解法及应用
一元一次方程的解法及应用一元一次方程是指一个未知数的最高次数是1的方程。
它的一般形式可以表示为：ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知常数，x 是未知数。
解一元一次方程的方法有代入法、消元法和图解法等。
一、代入法代入法是解一元一次方程的基本方法之一。
其步骤如下：1. 将方程中的未知数代入已知数所在的位置，从而得到一个等式。
2. 通过解这个等式，求得未知数的值。
3. 将求得的未知数的值代入原方程，验证等式是否成立。
例如，我们考虑解方程2x - 3 = 7。
(1) 将方程中的未知数 x 代入已知数 7 所在的位置，得到 2x - 3 =2(7) - 3 = 14 - 3 = 11。
(2) 解上面的等式可以得到 x = 7/2 = 3.5。
(3) 将 x = 3.5 代入原方程 2x - 3 = 7，验证等式成立。
二、消元法消元法是解一元一次方程的另一种常用方法。
其核心思想是通过变换方程使得未知数的系数相对较小，从而更容易求解。
对于一个一元一次方程 ax + b = c，消元法的步骤如下：1. 将方程两边同时减去常数 b，得到 ax = c - b。
2. 将等式两边同时除以系数 a，得到 x = (c - b)/a。
例如，我们考虑解方程3x + 5 = 14。
(1) 将方程两边同时减去常数 5，得到 3x = 14 - 5 = 9。
(2) 将等式两边同时除以系数 3，得到 x = 9/3 = 3。
三、图解法图解法是一种直观的解一元一次方程的方法。
它通过在坐标平面上绘制方程对应的直线，找到直线与 x 轴的交点，从而求解方程的解。
对于一个一元一次方程 ax + b = 0，可以将其转换成标准形式 x = -b/a。
于是，我们可以通过绘制直线 y = 0 和直线 x = -b/a，并找到它们的交点来求解方程。
例如，我们考虑解方程2x - 3 = 0。
(1) 将方程转换成标准形式 x = 3/2。
(2) 在坐标平面上绘制直线 y = 0 和直线 x = 3/2。
一元一次方程的解法与应用
一元一次方程的解法与应用方程是数学中重要的概念之一，而一元一次方程是最简单的一类方程。
它的解法简洁明了，且在实际生活中有广泛的应用。
本文将介绍一元一次方程的解法及其应用。
一、一元一次方程的定义和解法一元一次方程，是指只有一个未知数的一次方程。
通常的一元一次方程的形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的方法主要有两种：直接求解和图解求解。
直接求解是将方程中的x解出来，通过一系列的变换和运算得到x的值。
具体步骤如下：1. 将方程中的常数项移到等号的另一侧，得到ax = -b；2. 将方程两边同时除以系数a，得到x = -b/a。
这样就得到了方程的唯一解x = -b/a。
当a等于零时，方程无解或有无穷多个解，要根据具体情况判断。
图解求解是通过在坐标系中绘制方程的图像，通过观察图像与坐标轴的交点来得出方程的解。
对于一元一次方程来说，图像是一条直线，通过观察直线与x轴的交点来求解。
二、一元一次方程的应用一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，下面列举几个常见的例子。
例1：货币兑换问题假设1美元可以兑换y台币，某人想要兑换x美元得到的台币数是多少？根据货币兑换的比例，可以得到方程x = y/x。
如果已知兑换比例，即可根据此方程求出兑换后的台币数。
例2：速度计算问题已知某辆车以v千米/小时的速度行驶t小时，求行驶的总路程。
根据物理学中的公式，速度等于路程除以时间，即v = s/t。
可以根据此方程求出车辆行驶的总路程s。
例3：人均消费问题某团队去旅游，总共花费了m元，人数为n人，求每个人的平均消费。
根据消费平均的定义，每个人的平均消费等于总消费除以人数，即m/n。
可根据此方程算出每个人的平均消费。
以上只是一元一次方程应用的几个简单例子，实际生活中还有许多其他应用，例如物流问题、工程方案设计等。
总结：一元一次方程是最基本的方程之一，其解法简洁明了。
通过直接求解或图解求解，可以得到方程的解。
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用一元一次方程是数学中的基本概念之一，它在解决现实生活中的问题时起着重要的作用。
本文将探讨一元一次方程的应用，并通过实例来说明它在实践中的意义。
一、方程的定义和基本性质一元一次方程是指只含有一个变量（未知数）的一次方程，它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知数，x为未知数。
方程的解即是使得方程成立的数值，解的存在与唯一性是一元一次方程的重要性质。
对于形如ax + b = 0的方程，如果a≠0，则方程有唯一解x = -b/a；如果a=0且b≠0，则方程无解；如果a=0且b=0，则方程有无限多解。
二、一元一次方程在实践中的应用一元一次方程在日常生活中有着广泛的应用，特别是在问题求解和实际应用中扮演着重要角色。
以下是一些典型的应用示例：1. 汽车行驶问题假设一辆汽车以每小时60公里的速度前进，已知它从起点出发行驶了3小时后的行驶距离为180公里。
我们可以建立如下的一元一次方程来求解汽车的起始位置：60x + 180 = 0其中，x表示汽车的起始位置，方程的解x即为汽车的起点位置。
2. 黄金分割比的计算黄金分割比是数学中的重要比例关系，它可以通过一元一次方程来求解。
假设黄金分割比为a:b，已知a+b=1，按照黄金分割比将线段分割成两部分，我们可以通过如下的一元一次方程来求解黄金分割比：a/b = a+b/b = 1/b上述方程的解即为黄金分割比。
3. 成绩排名问题假设某班级有n个学生，他们的数学成绩分别为x1, x2, ..., xn。
现在要求按成绩从高到低排名，并将排名用1, 2, ..., n表示。
我们可以通过如下的一元一次方程来求解学生的排名：xi + 1 = xi-1 + 1其中，xi-1和xi分别表示排名为i-1和i的学生的成绩。
通过以上实例，我们可以看到一元一次方程在日常生活中的广泛应用。
它可以帮助我们解决各种实际问题，从汽车行驶到数学比例的计算，再到成绩排名等。
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一元一次方程及其应用
一、选择题
1. （2014•海南,第2题3分）方程x+2=1的解是（）
2．（2014•无锡，第5题3分）某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（）
3．（2014•浙江绍兴,第8题4分）如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（）
=（
二．填空题
1. （2014•黑龙江绥化,第7题3分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多120元．
2. （2014•黑龙江哈尔滨,第14题3分）不等式组的解集是﹣1＜x≤1．
考点：解一元一次不等式组．
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：解：，由①得，x≤1，由②得，x＞﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤1．
故答案为：﹣1＜x≤1．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（2014•湖北荆门,第15题3分）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将转化为分数时，可设=x，则x=0.3+x，解得x=，即=．仿此方法，将
化成分数是．
考点：一元一次方程的应用．
分析：设x=，则x=0.4545…①，根据等式性质得：100x=45.4545…②，再由②﹣①得方程100x﹣x=45，解方程即可．
解答：解：设x=，则x=0.4545…①，
根据等式性质得：100x=45.4545…②，
由②﹣①得：100x﹣x=45.4545…﹣0.4545…，
即：100x﹣x=45，
解方程得：x=．
故答案为．
点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法．
4．（2014•宁夏，第14题3分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价是200元．
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