极坐标系教学课件
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《高二数学极坐标系》PPT课件
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从 OX到OM 的角度， 叫做点M的 极径， 叫做点M的极角，有序数 对（，）就叫做M的极坐标。
指出：（1）一般地，不作特殊说明时 ，我们认为ρ≥0， 可取任意实数。
（2）当M在极点时，它的极坐标为 （0，θ）， 可取任意值。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
在极坐标系中，(4,)(,4,2)(,4,2)
66
6
表示的点有什么关系？
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
小结
（1）建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 （2）极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 （3）一点的极坐标有否统一的表达式
（ρ，2kπ+θ）（ ρ≥0）
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
A (3, )
B (2, )
6
2
C (1, )
2
D (2, 3), 1)
化成极坐标.
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) B (5,0)
C (3,3) D (0,2)
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(1, ) 4
C (3, ) 4
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从 OX到OM 的角度， 叫做点M的 极径， 叫做点M的极角，有序数 对（，）就叫做M的极坐标。
指出：（1）一般地，不作特殊说明时 ，我们认为ρ≥0， 可取任意实数。
（2）当M在极点时，它的极坐标为 （0，θ）， 可取任意值。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
在极坐标系中，(4,)(,4,2)(,4,2)
66
6
表示的点有什么关系？
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
小结
（1）建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 （2）极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 （3）一点的极坐标有否统一的表达式
（ρ，2kπ+θ）（ ρ≥0）
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
A (3, )
B (2, )
6
2
C (1, )
2
D (2, 3), 1)
化成极坐标.
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) B (5,0)
C (3,3) D (0,2)
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(1, ) 4
C (3, ) 4
极坐标系的概念ppt课件
6
(规定:ρ＞0,0≤θ＜2π)则
(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是__3_,_1 _16_
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是__ 3_,_7_6
(3)点A关于过极点且与极轴垂直的直线对称
的点的极坐标是_____
3
,
5 6
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9
小结
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
不唯一性
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7
口答
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
3.下列关于极坐标的说法,正确的是( D )
①.当 0,02时,极坐标与极坐标内的
点一一对应
②.当 0,02时,极坐标与极坐标内
③的点.极一坐一标对分应别为4,0,4,6,4,3,4,2的点在 以极点为圆心,以4为半径的圆上
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
2.在图中描出下列各点
H(3,0)
J(3, )
2
I(6, 2 )
K(5, 4 )
3
5 6
2
4
C
E
D
BA
O
X
4 F 3
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G 5
3
6
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
点1,,1,3有什么位置关系？
( ,) 与 ( , 2 k （ ) k Z ） 表 示 同 一 个 点 .
11
3
极坐标系中点的表示
:极径 :极角
M(,)
一 般 地 ,0, R . O
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
M
x
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人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
极坐标系 课件
所以 θ＝34π，所以直角坐标(－2,2)化为极坐标为2 2，34π.
(2)ρ＝ 22＋－2 32＝4，tan θ＝－22 3＝－ 3， θ∈[0,2π)，由于点(2，－2 3)
在第四象限，所以 θ＝53π，所以直角坐标(2，－2 3)化为极坐标为4，53π.
(3)ρ ＝
－ 23π2＋－32π2 ＝
【例题 2】 写出下列各点的直角坐标．
(1)4，23π；(2)2，56π；(3)4，－π3.
思维导引：由公式yx＝＝ρρscions
θ， θ
结合点的极坐标(ρ，θ)求解．
解析：(1)由x＝4cos23π＝4×－12＝－2， y＝4sin23π＝4× 23＝2 3，
得4，23π的直角坐标为(－2,2 3)．
(2)由x＝2cos56π＝2×－ 23＝－ 3， y＝2sin56π＝2×12＝1，
得2，56π的直角坐标为(－ 3，1)． (3)由yx＝＝44scions－－π3π3＝＝44××12－＝223，＝－2 3， 得4，－π3的直角坐标为(2，－2 3)．
•考点三 将点的直角坐标化为极坐标
• (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； • (2)注意极径和极角的取值范围．
1＋4－4×cosπ3＝ 3.
【例题 3】 分别将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(2，－2 3)；(3)－ 23π，－32π.
借助ρ＝ x2＋y2求ρ 思维导引：由已知―由―t―an―θ―＝―yx―x≠―0―求―θ→转化为极坐标． 解析：(1)ρ＝ －22＋22＝2 2，tan θ＝－22＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－2,2)在第 二象限，
【例题 1】 在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，
(2)ρ＝ 22＋－2 32＝4，tan θ＝－22 3＝－ 3， θ∈[0,2π)，由于点(2，－2 3)
在第四象限，所以 θ＝53π，所以直角坐标(2，－2 3)化为极坐标为4，53π.
(3)ρ ＝
－ 23π2＋－32π2 ＝
【例题 2】 写出下列各点的直角坐标．
(1)4，23π；(2)2，56π；(3)4，－π3.
思维导引：由公式yx＝＝ρρscions
θ， θ
结合点的极坐标(ρ，θ)求解．
解析：(1)由x＝4cos23π＝4×－12＝－2， y＝4sin23π＝4× 23＝2 3，
得4，23π的直角坐标为(－2,2 3)．
(2)由x＝2cos56π＝2×－ 23＝－ 3， y＝2sin56π＝2×12＝1，
得2，56π的直角坐标为(－ 3，1)． (3)由yx＝＝44scions－－π3π3＝＝44××12－＝223，＝－2 3， 得4，－π3的直角坐标为(2，－2 3)．
•考点三 将点的直角坐标化为极坐标
• (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； • (2)注意极径和极角的取值范围．
1＋4－4×cosπ3＝ 3.
【例题 3】 分别将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(2，－2 3)；(3)－ 23π，－32π.
借助ρ＝ x2＋y2求ρ 思维导引：由已知―由―t―an―θ―＝―yx―x≠―0―求―θ→转化为极坐标． 解析：(1)ρ＝ －22＋22＝2 2，tan θ＝－22＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－2,2)在第 二象限，
【例题 1】 在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，
极坐标系 课件
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
思考:极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况
1.一个点对应着无数个的极坐标
??? 2一个极坐标可以画出几个点
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
有。（ρ，2kπ+θ）
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
一
5
6
2
E F
C
A O
4
个 极 坐
标
只
能
B
画
X出
一
4
D
3
G 5
个
3
点
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在
M (ρ,θ)…
极坐标平面内确定唯一的 O
X
一点M。
[2]给定平面上一点M，但
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标 (5, 2 )
3
化成直角坐标.
解: x 5cos 2 5
32
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
思考:极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况
1.一个点对应着无数个的极坐标
??? 2一个极坐标可以画出几个点
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
有。（ρ，2kπ+θ）
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
一
5
6
2
E F
C
A O
4
个 极 坐
标
只
能
B
画
X出
一
4
D
3
G 5
个
3
点
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在
M (ρ,θ)…
极坐标平面内确定唯一的 O
X
一点M。
[2]给定平面上一点M，但
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标 (5, 2 )
3
化成直角坐标.
解: x 5cos 2 5
32
极坐标系 课件
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
若（3）中的 R，则M表示什么样的图形？
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
M
思考: 对比直角坐标系，比较异同。
(1)要素：_极__点__、_极__轴__、__长__度_单__位__、_
计__算__角__度_的__正__方__向_______；O
(2) 平面内点的极坐标用_(_,__)_表示.
X
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
极坐标系
建构数学
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
极坐标系的概念 课件
极坐标系的概念
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；
自极点O引一条射线OX，叫做极轴；
再选定一个长度单位、一个角度
单位（通常取弧度）及其正方向
（通常取逆时针方向）.
O
X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
若（3）中的 R，则M表示什么样的图形？
5、关于负极径 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如 ，何 点规M(定,(,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
E(3,- )
6
11 6
F(-4,-
3
)
都是同一点的
(, 2k+) (-, +(2k+1))
极坐标.
M
思考: 对比直角坐标系，比较异同。
(1)要素：_极__点__、_极__轴__、__长__度_单__位__、_
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；
自极点O引一条射线OX，叫做极轴；
再选定一个长度单位、一个角度
单位（通常取弧度）及其正方向
（通常取逆时针方向）.
O
X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
若（3）中的 R，则M表示什么样的图形？
5、关于负极径 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如 ，何 点规M(定,(,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
E(3,- )
6
11 6
F(-4,-
3
)
都是同一点的
(, 2k+) (-, +(2k+1))
极坐标.
M
思考: 对比直角坐标系，比较异同。
(1)要素：_极__点__、_极__轴__、__长__度_单__位__、_
极坐标系 课件
4
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
极坐标PPT优秀课件
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
P
O
X
四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
练习：10页1(3)A点和B点
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究 请说出点M的极坐标的其他 表达式（四个人回答） O 思：极径都是一样的；不同的是极角。但是，X 极角和极角之间有什么关系？ 启：极角的始边变没有？极角的终边动没有？
如图：OM的长度为4， 4
M
2k 点M的极坐标统一表达式： 4 ， 4
4
)
F (4, )
2
5 6
4
4 3
E F O
C A B X
D
G
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
P
O
X
四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
练习：10页1(3)A点和B点
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究 请说出点M的极坐标的其他 表达式（四个人回答） O 思：极径都是一样的；不同的是极角。但是，X 极角和极角之间有什么关系？ 启：极角的始边变没有？极角的终边动没有？
如图：OM的长度为4， 4
M
2k 点M的极坐标统一表达式： 4 ， 4
4
)
F (4, )
2
5 6
4
4 3
E F O
C A B X
D
G
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
人教版高二数学选修4《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)
新课标人教版课件系列选修4－4
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 24
课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
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小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
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Page 2
β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
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(, 2k+)
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
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教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
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课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
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小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
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β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
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(, 2k+)
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起点
方向
距离
C图书馆 右图为某校园的平面示 意图。假设你在教学 楼处，请回答下列问 办 题： 公 120m （1）你向东偏北60 ° 楼 75° 方向走120m后到达什 D 50m 么位置？ 60° A B 60m （2）如果有人打听体 教 体 育馆和办公楼的位置， 学 育 你应如何描述？ 楼 馆 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点 的位置。这种用方向和距离表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
4
办 公 120m 楼 75° D (120, 4 ) 3 50m 60° (120, 2 ) … （O） A 60m B x 3 教 体 统一表达式： 学 育 (120, 2k ), k Z 楼 馆 3
思考：点C的极坐标 惟一吗？ C (120, ) 3 (120, 2 ) 3
C图书馆
一般地，极坐标（ ， ）与（ ， +2k ）（k是 整数）表示同一个点。特别地，极点O的坐标为 （0， ）， 不确定。和直角坐标系不同，平面 内一个点的极坐标有无数种表示。
如果规定 0,0 2 ，那么除极点外， 平面内的点可用惟一的极坐标（ ， ）表示； 同时，极坐标（ ， ）表示的点也是惟一确 定的。
F
4 3
5 4 3
11 7 6
例2.建立适当的极坐标系， 写出各点的极坐标。
C图书馆
办 公 120m 楼 75° D 50m 60° （O） 60m B x A 教 体 学 育 楼 馆
解：以A为极点， AB所在的射线为极轴 （单位长度为1m）， 建立极坐标系。 A（0，0） B（60，0）， C（120， ） 3 D (50, 3 )
作业 P7-8:1,2,3
北师大实验中学数学组－何文春
回顾：
Y · M (x，y)
y
O
x
X
平面内两条有公共原点且互相垂直 的数轴，构成平面直角坐标系 。
战斗机：敌方阵地在哪？
指挥系统： 在以…为X轴 以…为Y轴， 坐标是...
算地太慢了！
敌方 阵地
请分析这句话，天气预报员告诉了我们什么？
台风距上海东偏北45°的250海里处
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 自极点O引一条射线Ox，叫做极轴。
再选定一个单位长度和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
Xห้องสมุดไป่ตู้
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
设M是平面内一点，极点 与点M的距离|OM|叫做点 M的极径，记为 ；以极 轴Ox为始边，射线OM为 终边的角xOM叫做点M的 极角，记为 .有序数对 （，）叫做M的极坐标， 记作M（ ， ）.
思考与讨论：
在极坐标系中， （1） 恒为1的点的集合构成什么曲线？
（2） 恒为 4
的点的集合构成什么图形？
小结：
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？
极点；极轴；单位长度；角度正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标惟一吗？为什么？ 无数种。因为极角不惟一引起的。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ，2kπ+θ）（k为整数） [4]一般地，我们都须在 0,0 2 条件 下，极坐标（ρ，θ）去惟一与一个点对应。
M
O X
一般地，不作特殊说明时，我们认为≥0， 可取任意实数。
例1：说出下图中各点的极坐标，并找到点 P (3, )
3 4 5 6 2 3
2
3
4
6
M
C E D O1 B
6 3 M(5, ) 4 5 N (3.5, ) 3
P
A X
7 6
5 4
23 4 5 6
G
N