高考数学(理)一轮复习达标训练：选修4-4参数方程(含答案)
选修4-4-参数方程测试题及答案
参数方程一、选择题 1．将参数方程⎩⎨⎧αα cos ＝－1－ cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )．A ．2x ＋y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1)D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1)2．双曲线xy ＝1的参数方程是( )．A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧21－21＝＝ty t xB ．⎪⎩⎪⎨⎧t y tx sin 1＝ sin ＝C ．⎪⎩⎪⎨⎧t y tx tan 1＝ tan ＝D ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧t t tt y x －－e ＋e 2＝2＋e ＝e3．对于参数方程和⎩⎨⎧30sin ＋2 ＝ 30 cos －1 ＝ t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧ 30sin 2＝ 30 cos ＋ 1 ＝ t －y t x 的曲线，正确的结论是( )．A ．是倾斜角为30º的平行线B ．是倾斜角为30º的同一直线C ．是倾斜角为150º的同一直线D ．是过点(1，2)的相交直线4．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(θθθ sin ＋121＝2sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)的曲线( )．A ．抛物线的一部分，且过点(－1，21) B ．抛物线的一部分，且过点(1，21) C ．双曲线的一支，且过点(－1，21) D ．双曲线的一支，且过点(1，21) 5．直线⎩⎨⎧t y tx ＋ 3＝－－ 2＝(t 为参数)上与点A (2，－3)的距离等于1的点的坐标是( )．A ．(1，－2)或(3，－4)B ．(2－2，－3＋2)或(2＋2，－3－2)C ．(2－22，－3＋22)或(2＋22，－3－22) D ．(0，－1)或(4，－5) 6．直线x cos α＋y sin α＝2与圆⎩⎨⎧θθ＝ ＝2sin 2cos y x (θ 为参数)的位置关系是( )．A ．相交不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离7．若点P (4，a )在曲线⎪⎩⎪⎨⎧ty tx 2＝2＝(t 为参数)上，点F (2，0)，则|PF |等于( )．A ．4B ．5C ．6D ．78． 已知点(m ，n )在曲线⎪⎩⎪⎨⎧ααsin 6＝ cos 6 ＝ y x (α为参数)上，点(x ，y )在曲线⎩⎨⎧ββsin 24＝ cos 24＝y x (β为参数)上，则mx ＋ny 的最大值为( )．Ａ．12B ．15C ．24D ．309．直线y ＝k x ＋2与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ααsin 3＝ 2cos y x ＝至多一个交点的充要条件是( )．A ．k ∈[－21，21]B ．k ∈(－∞，－21]∪［21，＋∞) C ．k ∈[－22，22]D ．k ∈(－∞，－22]∪［22，＋∞) 10．过椭圆C ：⎪⎩⎪⎨⎧θθsin 3＝ 2cos y x ＝(θ 为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则nm 1＋1的值为( )． A ．32B ．34C ．38D ．不能确定二、填空题11． 弹道曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧221 sin ＝ cos ＝00gt －t v y t v x αα(t 为参数，a ，v 0，g 为常数)，当炮弹达到最高点时，炮弹飞行的水平距离为 ．12．直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧20cos ＝－3＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)，则直线的倾斜角为 ．13．曲线C 1：y ＝|x |，C 2：x ＝0，C 3的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧ty t x 1－＝＝(t 为参数)，则C 1，C 2，C 3围成的图形的面积为 ．14．直线⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝t y t x 与圆⎩⎨⎧ααsin 2 ＝ cos 2＋4＝y x 相切，则该直线的倾斜角＝________．15．变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧ty t x －1＝＝2(t 为参数)，则代数式2＋＋x y 2的取值范围是 ． 16．若动点(x ，y )在曲线1＝ ＋4222by x (0＜b ≤4)上变化，则x 2＋2y 的最大值为 ．三．解答题17．已知直线l 1过点P (2，0)，斜率为34． (1)求直线l 1的参数方程；(2)若直线l 2的方程为x ＋y ＋5＝0，且满足l 1∩l 2＝Q ，求|PQ |的值． 18．已知点P (x ，y )为曲线C ：⎩⎨⎧θθθθ － 4sin ＋ 3sin 3cos 4cos y ＝x ＝(θ 为参数)上动点，若不等式x ＋y ＋m ＞0恒成立，求实数m 的取值范围．19．经过点M (2，1)作直线交曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧t t y tt x 1－＝1＋＝ (t 是参数)于A ，B 两点，若点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程．20．已知直线l ：⎪⎩⎪⎨⎧θθ sin ＋ － ＋ ＋ 2t y ＝t x ＝1cos 1(t 为参数，θ∈R )，曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 1＝1＝2－t t y t x (t 为参数)．(1)若l 与C 有公共点，求直线l 的斜率的取值范围； (2)若l 与C 有两个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．一、选择题1．D 解析：将cos α＝－y 代入x ＝2cos α－1，得普通方程x ＋2y ＋1＝0， 又因为－1≤cos α≤1，所以有－1≤y ≤1，故选D ． 2．C 解析：由xy ＝1知x ≠0且x ∈R ，又A 中x ＝21t =t ≥0；B 中x ＝sin t ∈[－1，1]；D 中x ＝2＋－tt e e ≥2＋－tt e e ＝1；故排除A ，B ，D ． 3．C 解析：31＝－1－2－x y ，31＝－1－2－x y ． 4．B 解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(θθθ sin ＋121＝2sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)，由参数方程得x 2＝1＋sin θ，代入y 得x 2＝2y 为抛物线．又x ≥0，故选B ． 5．C 解析：由(－t )2＋(t )2＝12，t ＝±22． 6．C 解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，圆心(0，0)到直线x cos α＋y sin α－2＝0的距离 d =12＝2等于半径，所以直线与圆相切． 7．C 抛物线为y 2＝8x ，准线为x ＝－2，|PF |为P (4，a )到准线x ＝－2的距离，即6.8．A 解析：(利用圆的参数方程)⎩⎨⎧⎩⎨⎧ββααsin 24＝ cos 24＝ sin 6＝ cos 6＝y x n m ，， 则mx ＋ny ＝12(cos α cos β＋sin α sin β)＝12cos (α－β)，且－1≤cos (α－β)≤1.9．A 解析：曲线的普通方程为1 ＝3＋422y x ．与直线方程联立，得一元二次方程．令判别式Δ≤0，得－21≤k ≤21．10．B 解析：曲线C 为椭圆 ，1 ＝3＋422y x 右焦点F (1，0)，设l ：⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝1＋t y t x ，代入椭圆方程得：(3＋sin 2θ)t 2＋6tcos θ －9＝0，t 1t 2＝－θ2sin ＋ 39，t 1＋t 2＝－θθ2sin ＋ 3cos 6，∴34＝4－＋＝－＝1＋1＝1＋12121221212121|t t |t t t t |t t ||t t ||t ||t |n m )(． 二、填空题11．g v ααcos sin 20．解析：由y ＝v 0t sin α－21gt 2知，当炮弹达到最高点时，t ＝g v sin 0α，代入得x ＝v 0cos αgvsin 0α＝g v ααcos sin 20．12．110º．解析：⎪⎩⎪⎨⎧ 20 cos ＝－3＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)即⎪⎩⎪⎨⎧)()( 70sin ＝70 cos ＋ 3＝－t y －t x (t 为参数)，所以倾斜角α＝－70º＋180º＝110º．13．8π．解析：C 3的曲线是圆x 2＋y 2＝1在第一象限的部分(含端点)，则由图形得三曲线围成的图形的面积是圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的21，面积是8π． 14．6π或65π．直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为6π或65π． 15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡232，．1(第13题)解析：参数方程⎪⎩⎪⎨⎧t y t x －1＝＝2(t 为参数)化普通方程为x 2＋42y ＝1(0≤x ≤1，0≤y≤2)，代数式2＋2＋x y 表示过点(－2，－2)与椭圆x 2＋42y ＝1在第一象限及端点上任意一点连线的斜率，由图可知，k max ＝k PB ＝2，k min ＝k P A ＝32．16．4＋162b ．解析：⎩⎨⎧θθsin ＝ 2cos ＝b y x ，4cos 2θ＋2b sin θ ＝－4sin 2θ＋2b sin θ ＋4，令t ＝sin θ(－1≤t≤1)，有x 2＋2y ＝－4t 2＋2b ＋4．当t ＝4b 时，x 2＋2y 有最大值为4＋162b ．三、解答题17．(1)解：设直线的倾斜角为α，由题意知tan α＝34，所以sin α＝54，cos α＝53，故l 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ty tx 54＝53＋＝2(t 为参数)．(2)解：将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ty t x 54＝53＋＝2代入l 2的方程得：2＋53t ＋54t ＋5＝0，解得t ＝－5，即Q (－1，－4)，所以|PQ |＝5．18．解：x ＋y ＋m ＞0，即7sin θ ＋cos θ ＋m ＞0，m ＞－(7sin θ ＋cos θ )，即m ＞－52sin (θ ＋ϕ )．而－52sin (θ ＋ϕ )的最大值为52．所以m ＞52，即m ∈(52，+∞)．0)(第15题)19．解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧②1－＝①1＋＝ t t y t t x由①2－②2得x 2－y 2＝4 ③，该曲线为双曲线．设所求直线的参数方程为⎩⎨⎧θθsin ＋ ＋ 2 t y ＝t x ＝1cos (t 为参数)，代入③得：(cos 2θ－sin 2θ )t 2＋(4cos θ－2sin θ )t －1＝0， t 1＋t 2＝－θθθθ22sin cos 2sin cos 4－－，由点M (2，1)为A ，B 的中点知t 1＋t 2＝0，即4cos θ－2sin θ ＝0， 所以tan θ＝2，因为θ 是直线的倾斜角， 所以k ＝2，所求直线的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 20．(1)解：直线l ：⎪⎩⎪⎨⎧θθ sin ＋ － ＋ ＋ 2t y ＝t x ＝1cos 1(t 为参数，θ∈R )经过点(1＋2，－1)，曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 1＝1＝2－t t y t x (t 为参数)表示圆x 2+y 2=1的一部分(如图所示)设直线的方程l ：y ＋1＝k (x －1－2)．当l 与圆相切时，圆心O (0，0)到l 的距离d ＝1＋ 1＋2＋12k k )(＝1，解得k ＝－1或k ＝0．又k PC ＝－1＋ 22＜k P A ＝－21，k PB ＝－2＋21， 如图所示，当l 与C 有公共点时，应有－1≤k ≤k P A 或者k PB ≤k ＜k PD ＝0， 即k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21－1 ，－∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡02＋21－ ，．(2)由图可知，若l 与C 有两个公共点时，应有－1＜k ＜k PC ，即k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛＋122－ 1，－．。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(含答案解析)(4)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） AB．CD．±3．4sin 4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） ABCD6．参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（ ） A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆7．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A．⎡⎢⎣⎦ B ．0tan 60x = C．D ．:::2x r r q q q e αα==8．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠9．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=10．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．16011．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（ ）A．2BCD．二、填空题13．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．14．已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 15．坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为___________ 16．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 17．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程是1123x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M （03l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则11PM QM+=_______ 18．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.19．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线220x y +=的最大距离为__________．20．圆1212x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的弦长为__________．三、解答题21．已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为4π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 及PA PB ⋅的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.23．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=.（1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标； （2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。
高考数学(理)一轮复习文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程 Word版含答案
第2讲 参数方程)1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程参数方程与普通方程的互化已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】 曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k 21＋k2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.(1)两式相除，得k ＝y2x，将其代入得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈，得y 2＝2－x .即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈．参数方程的应用(2017·兰州市实战考试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA |＋|PB |的值． 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t y ＝5＋22t 得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.又由ρ＝25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|； ②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．(1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程⎩⎨⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)．故点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ.从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64(2－1)．极坐标方程与参数方程的综合问题(2017·张掖市第一次诊断考试)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝23y －2x ， 即(x ＋1)2＋(y －3)2＝4.(2)设z ＝3x ＋y ，圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又因为直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径为2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是．涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ) ＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m ，0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.1．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1， 即7t 2＋16t ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.2．(2017·广东珠海模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P (x ，y )是圆C 上一动点，试求x ＋y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．(1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6， 所以x 2＋y 2＝4x ＋4y －6， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2为圆C 的直角坐标方程．所以所求的圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可得x ＋y ＝4＋2(sin θ＋cos θ)＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 当θ＝π4，即点P 的直角坐标为(3，3)时，x ＋y 取得最大值，为6.3．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．4．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρsin θ＝a (a ＞－3)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 有唯一公共点，求a 的值． (1)由ρ2－23ρsin θ＝a 知其直角坐标方程为x 2＋y 2－23y ＝a ，即x 2＋(y －3)2＝a ＋3(a ＞－3)．(2)将l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t 代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝a ＋3，化简得t 2＋t －a －2＝0.因为曲线C 与直线l 仅有唯一公共点， 所以Δ＝1－4(－a －2)＝0， 解得a ＝－94.5．(2017·广西第一次质量检测)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝4＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线C 1的位置关系； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)当斜率为2时，直线l 的普通方程为y －1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋3.①将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝4＋2sin α消去参数α，化为普通方程得(x －2)2＋(y －4)2＝4，② 则曲线C 1是以C 1(2，4)为圆心，2为半径的圆，圆心C 1(2，4)到直线l 的距离d ＝|4－4＋3|5＝355＜2，故直线l 与曲线(圆)C 1相交．(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －8y ＋16＝0x 2＋y 2－4x ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.6．(2017·河南省八市重点高中质量检测)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6.cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13xy ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1，3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θy ＝4sin θ代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x y ′＝14y，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θy ′＝sin θ，所以曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1，3)，且AD 的中点为P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1y 0＝2y －3，又点A 在曲线C ′上，所以代入曲线C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，所以动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.7．(2017·河南省六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得 ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3(t 为参数)，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x－y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62， 因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.8．(2017·福建省毕业班质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t y ＝2＋22t (t 为参数)， 代入x 29＋y 2＝1并化简， 得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0， 所以t 1＜0，t 2＜0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.。
高考理科数学一轮复习专题训练：选修4-4坐标系与参数方程(含详细答案解析)
第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线11x ty =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩的斜率为（ ）A ．1B ．1- CD．【答案】C【解析】由11x ty =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩，可得1y =，斜率k C ．2．点A 的极坐标为，则A 的直角坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】 设点(),A x y ，根据直角坐标与极坐标之间的互化公式，52sin 16y π==，即点A的坐标为()，故选D ． 3．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【答案】B【解析】方程sin ρθ=，可化简为2sin ρρθ=，即22x y y +=． 整理得2211y 24x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，表示圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12的圆．故选B ．4．参数方程()sin cos22x y ααα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数的普通方程为（ ） A ．221y x -=B ．221x y -=C ．(221y x x -=D ．(221x y x -=【答案】C【解析】由题意可知：21sin x α=+，2222sin 1y y x α=+⇒-=，且y ⎡⎣，据此可得普通方程为(221y x x -=≤．故选C ．5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()π2,2π3k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z【答案】C【解析】由于222x y ρ=+，得24ρ=，2ρ=，由cos x ρθ=，得1cos 2θ=-，结合点在第二象限，可得23θπ=，则点M 的坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ． 6．与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ）A ．72,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．132,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()1-，而点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()，所以点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭和点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示不同的点，故选B ．7．点P 的直线坐标为()，则它的极坐标可以是（ ）A ．26π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．26π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．526π⎛⎫⎪⎝⎭，D ．526π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】2ρ==，tan θ=，因为点在第二象限，故取526k θπ=π+，k ∈Z ，故选C ． 8．圆半径是1，圆心的极坐标是()1,π，则这个圆的极坐标方程是（ ） A ．cos ρα=- B ．sin ρα= C ．2cos ρα=- D ．2sin ρα=【答案】C【解析】极坐标方程化为直角坐标方程可得圆心坐标为()1,0-， 则圆的标准方程为：()2211x y ++=，即2220x y x ++=，化为极坐标方程即：22cos 0ρρθ+=，整理可得：2cos ρα=-．故选C ．9．若曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩（t 为参数）与曲线ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩的普通方程为10x y +-=，曲线ρ=228x y +=，圆心O 到直线的距离为d ==又r =BC ==C ． 10．已知曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），则该曲线离心率为（ ）A B ．34C D ．12【答案】A【解析】由题得曲线C 的普通方程为221164x y +=，所以曲线C 是椭圆，4a =，c =所以椭圆的离心率为e A ． 11．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线():4l θρπ=∈R 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．22sin 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．22sin 4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．22cos 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．22cos 4ρθπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线的直角坐标方程y x =． 由2240x y x y x+-==⎧⎨⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，所以()00A ，，()22B ，， 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22112x y -+-=， 即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为()22cos sin 0ρρθθ-+=，即()2cos sin 22sin 4ρθθθπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故选A ．12．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线:2cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是（ ）A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠【答案】C【解析】()2222:2cos 211C x y x x y ρθ=⇒+=⇒-+=，所以223141k k k +<⇒<-+，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角坐标系中，点()21-，到直线2:x tl y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）的距离是__________．【答案】22【解析】直线一般方程为20x y +-=，利用点到直线距离公式122d -=2．14．极坐标方程()cos sin 10ρθθ+-=化为直角坐标方程是_______． 【答案】10x y +-=【解析】极坐标方程即()cos sin 10ρθθ+-=，则直角坐标方程是10x y +-=．15．在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．【答案】1+【解析】圆2cos ρθ=，转化成22cos ρρθ=，用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化成直角坐标方程为()2211x y -+=， 把直线()cos sin a ρθθ+=的方程转化成直角坐标方程为0x y a +-=， 由于直线和圆相切，∴利用圆心到直线的距离等于半径，1=，解得1a =±0a >，则负值舍去，故1a =1+16上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是________．【解析】设点P 的坐标为()4cos 3sin θθ，， 则点P 到直线3424x y -=的时，d 取得最大值为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在极坐标系下，已知曲线1C ：cos sin ρθθ+＝和曲线2C ：(sin )4ρθπ-（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）当()0θ∈π，时，求曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标．【答案】（1）1C ：220x y x y +--＝，2C ：10x y -+＝；（2）1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）圆O ：cos sin ρθθ+＝，即2cos sin ρρθρθ+＝， 曲线1C 的直角坐标方程为22x y x y ++＝，即220x y x y --＋＝， 曲线2C：sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-＝，则曲线2C 的直角坐标方程为：1y x -＝，即10x y -+＝． （2）由22010x y x y x y ⎧-⎨-+⎩+-＝＝，得0x y ⎧⎨⎩＝＝1，则曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．18．（12分）已知曲线1C 的极坐标方程是1ρ=，在以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴的平面 直角坐标系中，将曲线1C 所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的参数方程； （2）直线l 过点()1,0M ，倾斜角为，与曲线2C 交于A 、B 两点，求 【答案】（1）3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）；（2）85．【解析】（1）曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为∴曲线2C 的参数方程为3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）．（2）设l 的参数方程为代入曲线2C 的方程19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线1C 的方程为2219x y +=．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=． （1）写出曲线1C 的参数方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最大值．【答案】（1）1C ：3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩（ϕ为参数），2C ：()2241x y +-=；（2）1．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩，（ϕ为参数）， 2C 的直角坐标方程为228150x y y +-+=，即()2241x y +-=．（2）由（1）知，曲线2C 是以()20,4C 为圆心，1为半径的圆．设()3cos ,sin P ϕϕ，则2PC ==．当1sin 2ϕ=-时，2PC = 又因为21PQ PC ≤+，当且仅当P ，Q ，2C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立．所以max 1PQ =．20．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的普通方程；（2）极坐标方程为2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与1C 交P ，Q 两点，求线段PQ 的长．【答案】（1）()2214x y -+=；（2）2．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），可得1cos 2x θ-=，sin 2yθ=．因为22sin cos 1θθ+=，可得()2214x y -+=， 即曲线1C 的普通方程：()2214x y -+=．（2）将2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 化为普通方程可得：2sin cos 2cos sin 33ρθρθππ+=y =，因为直线l 与1C 交P ，Q 两点，曲线1C 的圆心()10，，半径2r =， 圆心到直线l的距d =所以线段PQ的长2==．21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为221x y =-=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2232cos 1ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求MON △的面积．【答案】（1）2213y x +=；（2）34． 【解析】（1）因为()222232cos 132cos 1ρρθθ=⇒+=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=．（2）将直线l的参数方程21x y ==-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程，得250t +=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=，125t t ⋅=， 于是MN =， 直线l 的普通方程为10x y +-=，则原点O 到直线l的距离d ==，所以1324MON S MN d =⋅=△． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中．直线1C ：2x ＝-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4θρπ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积． 【答案】（1）1C ：cos 2ρθ=-，2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12．【解析】（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-， 2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ=故12ρρ-=，即MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN △是直角三角形，其面积为12．第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线314x t y t ==-⎧⎨⎩()t 为参数与圆3cos 3sin x y b θθ==+⎧⎨⎩()θ为参数相切，则b =（ ） A ．4-或6 B ．6-或4 C ．1-或9 D ．9-或1【答案】A【解析】把直线314x t y t ==-⎧⎨⎩()t 为参数与圆3cos 3sin x y b θθ==+⎧⎨⎩()θ为参数的参数方程分别化为普通方程得：直线4330x y +-=；圆()229x y b +-=．∵此直线与该圆相切，∴22033343b +-=+，解得4b =-或6．故选A ．2．椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨⎩=()θ为参数，则它的两个焦点坐标是（ ） A ．()4, 0± B ．()0,4± C ．()5, 0± D ．()0,3±【答案】A【解析】消去参数可得椭圆的标准方程221259x y +=，所以椭圆的半焦距4c =，两个焦点坐标为()4, 0±，故选A ．3．直线的参数方程为=31+3x ty t=⎧⎪⎨⎪⎩()t 为参数，则直线l 的倾斜角大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】C310x y +-=， 所以直线的斜率3k =-，从而得到其倾斜角为23π，故选C ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+=⎧⎨⎩()α为参数．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为（ ） A ．sin ρθ= B ．2sin ρθ= C ．cos ρθ= D ．2cos ρθ=【答案】D【解析】由1cos sin x y αα=+=⎧⎨⎩()α为参数得曲线C 普通方程为()2211x y -+=， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨⎩=，可得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，故选D ． 5．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=B ．()2πθρ=∈R 和cos 2ρθ=C ．()0θρ=∈R 和cos 1ρθ=D ．()2πθρ=∈R 和cos 1ρθ=【答案】B【解析】如图所示，在极坐标系中，圆2cos ρθ=是以()10，为圆心，1为半径的圆 故圆的两条切线方程分别为()2πθρ=∈R ，cos 2ρθ=，故选B ．6．已知M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则M 点关于直线2θπ=的对称点坐标为（ ）A ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即为52,6π⎛⎫⎪⎝⎭，∴M 点关于直线2θπ=的对称点坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A ． 7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα==+⎧⎨⎩()α为参数，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()221:11C x y +-=，2:10C x y -+=，圆心()10,1C 到直线2C 的距离22011011d -+==+，∴两曲线相交，有2个交点．故选C ．8．若曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y θθ==+⎧⎨⎩,22θ⎛⎫ππ⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭参数，则曲线C （ ）A ．表示直线B ．表示线段C ．表示圆D ．表示半个圆【答案】D【解析】将参数方程2cos 12sin x y θθ==+⎧⎨⎩,22θ⎛⎫ππ⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭参数消去参数θ可得()2214x y +-=．又,22θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴02cos 2x θ≤=≤．∴曲线C 表示圆()2214x y +-=的右半部分．故选D ．9．已知M 为曲线3sin :cos x C y θθ=+⎧⎨=⎩()θ为参数上的动点，设O 为原点，则OM 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】从曲线C 的参数方程中消去θ，则有()2231x y -+=，故曲线C 为圆，而3OC =， 故OM 的最大值为3314r +=+=，故选D ．10．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα==⎧⎨⎩()α为参数，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为（ ）A ．1345+B ．245+C ．445+D ．65【答案】B【解析】由曲线的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=， 可得曲线T 的直角坐标方程为2200y x +-=，由曲线C 的参数方程4cos sin x y αα==⎧⎨⎩，设曲线上点M 的坐标为()4cos sin αα，，由点到直线的距离公式可得()20sin 204cos 2sin 2055d αθαα+-+-当()sin 1αθ+=-时，d 20202455+=+B ．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 30ρθρθ--=，则直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长为（ ） A ．810B ．10 C ．10 D ．85【答案】C【解析】曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，化为普通方程为：22x 4y +=，表示圆心为(0)0，，半径为2的圆．直线l 的极坐标方程是cos sin 30ρθρθ--=，化为直角坐标方程即为30x y --=．圆心到直线的距离为362d ==． 直线与曲线相交所得的弦的长为264102⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．12．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+=⎧⎨⎩[)(),2θθ∈ππ为参数，且上，则点P 到直线21x ty t =+=--⎧⎨⎩()t 为参数的距离的取值范围是（ ） A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．32321,122⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．(2,22⎤⎦D ．322,12⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】直线21x ty t =+=--⎧⎨⎩()t 为参数的普通方程为10x y +-=，点P 到直线距离为2sin 332sin 2cos sin 144222θθθθπ⎛⎫π⎛⎫+--+ ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭==， 因为[),2θππ∈，所以2sin 1,42θ⎡⎫π⎛⎫+∈-⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎢⎣⎭，因此取值范围是322,12⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在极坐标系中，点23π⎛⎫⎪⎝⎭，与圆4cos ρθ=的圆心的距离为_________．【答案】2【解析】由题得点P 的坐标为()1,3，∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，∴()2224x y -+=． ∴圆心的坐标为20（，），∴点P 到圆心的距离为()()2221032-+-=，故答案为2．14．若点()3,P m 在以F 为焦点的抛物线244x t y t ==⎧⎨⎩()t 为参数上，则PF 等于_________．【答案】4【解析】抛物线244x t y t==⎧⎨⎩()t 为参数可化为24y x =，∵点()3,P m 在以F 为焦点的抛物线244x t y t==⎧⎨⎩，()t 为参数上，∴24312m =⨯=，∴()323P ，， ∵()10F ，，∴()222234PF =+=，故答案为．15．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位． 已知直线极坐标方程为()4θρπ=∈R ，它与曲线23cos 23sin x y αα=+=-+⎧⎨⎩()α为参数相交于两点A 、B ， 则AB =__________． 【答案】2 【解析】∵4ρ=π，利用cos x ρθ==，sin y ρθ==进行化简， ∴0x y -=，23cos 23sin x y αα=+=-+⎧⎨⎩()α为参数，相消去α可得圆的方程为()()22229x y -++=得到圆心()22-，，半径为3，圆心()22-，到直线0x y -=的距离222d ==，∴2222982AB r d =-=-=，∴线段AB 的长为2，故答案为2．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24 4x ty t⎧=⎪⎨⎪⎩=()t 为参数的焦点为F ，动点P 在抛物线上． 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，动点Q 在圆()8cos 150ρρθ-+=上， 则PF PQ +的最小值为__________． 【答案】4【解析】∵抛物线的参数方程为24 4x ty t ⎧=⎪⎨⎪⎩=()t 为参数， ∴抛物线的普通方程为24y x =，则()1,0F ，∵动点Q 在圆()8cos 150ρρθ-+=上，∴圆的标准方程为()2241x y -+= 过点P 作PA 垂直于抛物线的准线，垂足为A ，如图所示：∴PF PQ PA PQ +=+，分析可得：当P 为抛物线的顶点时，PA PQ +取得最小值， 其最小值为4．故答案为4．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos 63sin6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=-⎪⎩()t 为参数．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，求满足这样条件的点P 的个数．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）3个． 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即()2224x y -+=． （2）由直线l 的参数方程消去参数t 得()331y x +=-，即340x y --=． 因为圆心()20C ，到直线的距离为2304113d -⋅-==+，d 恰为圆C 半径的12，所以满足这样条件的点P 的个数为3个．18．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，倾斜角为2ααπ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩()t 为参数．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为:l 2cos 4sin 0ρθθ-=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()10P ，，若点M 的极坐标为12π⎛⎫⎪⎝⎭，，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点， 设线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．【答案】（1）():tan 1l y x α=-，2:4C x y =；（2）32 【解析】（1）消去直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩中的参数t ，得到直线l 的普通方程为()tan 1y x α=-，把曲线C 的极坐标方程:l 2cos 4sin 0ρθθ-=左右两边同时乘以ρ， 得到22cos 4sin 0ρθρθ-=，利用公式cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩代入，化简出曲线C 的直角坐标方程24x y =．（2）点M 的直角坐标为()01，，将点M 的直角坐标为()01，代入直线():tan 1l y x α=-中， 得tan 1α=-，即:10l x y +-=，联立方程组2104x y x y +-=⎧⎨=⎩，得AB 中点坐标为()23Q -，，从而PQ =．19．（12分）已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得到曲线'C ．（1）求'C 的普通方程；（2）若点A 在曲线'C 上，点()30B ，，当点A 在曲线'C 上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程． 【答案】（1）221x y +=；（2）223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩代入1'31'2x x y y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得'C 的参数方程为cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，∴曲线'C 的普通方程为221x y +=． （2）设()P x y ，，()00A x y ，，又()30B ，，且AB 中点为P ，∴00232x x y y =-=⎧⎨⎩，又点A 在曲线'C 上，∴代入'C 的普通方程2201x y +=得()()222321x y -+=， ∴动点P 的轨迹方程为223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩()α为参数．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=． （1）写出曲线1C ，2C 的普通方程；（2）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，求AB ．【答案】（1）2211204:x y C +=，()()222:211C x y ++-=；（2．【解析】（1）222225cos cos sin 122sin 25y x y αααα=⎛⎫⇒+=+= ⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎪=⎝⎭⎝⎭，即曲线1C 的普通方程为221204x y +=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+=， 即()()222:211C x y ++-=．（2）曲线1C 左焦点为()40-，直线的倾斜角为4απ=，2sin cos αα==，∴直线l 的参数方程为2422x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩()t 为参数将其代入曲线2C 整理可得23240t t -+=，∴()2324420∆=--⨯=>．设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则∴1232t t +=124t t =． ∴()()22121212432442AB t t t t t t =-=+-=-⨯21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点()1P a ，，其参数方程为221x a y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()t a ∈R 为参数,，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3cos 0ρθθρ+-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且3PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）1:10C x y a --+=，22:3C y x =；（2）1348a =或712． 【解析】（1）1C 的参数方程221x a y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=， 2C 的极坐标方程化为222cos 3cos 0ρθρθρ+-=即23y x =．（2）将曲线的参数方程标准化为221x a t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()t a ∈R 为参数,代入曲线22:3C y x = 得22260t t a -+-=，由()()2241260a ∆=--⨯->，得14a >， 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得123t t =即123t t =或123t t =-，当123t t =时，1212123226t t t t t t a ⎧=+==-⎪⎨⎪⎩，解得131448a =>，当123t t =-时，1212123226t t t t t t a=⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得712a =，综上：1348a =或712． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩[]()0αα∈π为参数,，，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）设直线10:l θθ=（0θ为任意锐角）、20:2l θθπ=+分别与曲线C 交于A ，B 两点，试求AOB △面积的最小值．【答案】（1）[]()2221203cos 4sin ρθθθ=∈π+，；（2）127． 【解析】（1）由22cos sin 1αα+=，将曲线C 的参数方程2cos 3sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩，消参得()221043x y y +=≥，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2222cos sin 143ρθρθ+=，化简整理得曲线的极坐标方程为[]()2221203cos 4sin ρθθθ=∈π+，．① （2）将0θθ=代入①式得，22220123cos 4sin A OA ρθθ==+，同理222222000012123sin 4cos 3cos 4sin 22B OB ρθθθθ===ππ+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是22220000223cos 4sin 3sin 4cos 117121212A B θθθθρρ+++=+=，由于2271111212A B A B ρρρρ⎛⎫=+≥⋅ ⎪⎝⎭（当且仅当A B ρρ=时取“=”）， 故247A B ρρ⋅≥，11227AOB A B S ρρ=⋅≥△．。
(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题（含详解）
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题（含详解）数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A组]一、选择题x?1?2t1．若直线的参数方程为?(t为参数)，则直线的斜率为（）y?2?3t?A．C．2332B．? D．?2332x?sin2?(?为参数)上的点是（） 2．下列在曲线?y?cos??sin??A．(, B．(?2131,) C． D． 422x?2?sin?3．将参数方程?(?为参数)化为普通方程为（） 2y?sin?A．y?x?2 B．y?x?2 C．y?x?2(2?x?3) D．y?x?2(0?y?1) 4．化极坐标方程?2cos0为直角坐标方程为（）A．x2?y2?0或y?1 B．x?1 C．x2?y2?0或x?1 D．y?1 5．点M的直角坐标是(?，则点M的极坐标为（）A．(2,3) B．(2,?3) C．(2,2?3) D．(2,2k??3),(k?Z)6．极坐标方程?cos??2sin2?表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆二、填空题 1．直线?x?3?4t?y?4?5t(t为参数)的斜率为______________________。
t?t??x?e?e2．参数方程?(t为参数)的普通方程为__________________。
t?ty?2(e?e)3．已知直线l1:?x?1?3t?y?2?4t(t为参数)与直线l2:2x?4y?5相交于点B，又点A(1,2)，则AB?_______________。
1?x?2?t??2224．直线?(t为参数)被圆x?y?4截得的弦长为______________。
y??1?1t??25．直线xcos??ysin??0的极坐标方程为____________________。
三、解答题1．已知点P(x,y)是圆x2?y2?2y上的动点，（1）求2x?y的取值范围；（2）若x?y?a?0恒成立，求实数a的取值范围。
2020版高考数学一轮复习教案 选修4-4_第2节_参数方程(含答案解析)
第二节 参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数Error!并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)Error!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2Error!(φ为参数)[常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2.(1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程Error!中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段的数量．M 0M →( )(3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝，点O 为原π3点，则直线OM 的斜率为.( )3[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线Error!(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上 D ．在直线y ＝x ＋1上B [由Error!得Error!所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，则直线l 的斜率为________．－3 [将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.]4．曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1) [由Error!(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：Error!(t 为参数)过椭圆C ：Error!(φ为参数)的右顶点，则a ＝________.3 [直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为＋＝1，∴椭圆C 的右顶x 29y 24点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.]参数方程与普通方程的互化1．将下列参数方程化为普通方程．(1)Error!(t 为参数)；(2)Error!(θ为参数)．[解] (1)∵＋＝1，∴x 2＋y 2＝1.(1t ) 2 (1tt 2－1)2∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝，∴x ≠0.1t当t ≥1时，0＜x ≤1；当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中Error!或Error!(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．[解] 圆的半径为，12记圆心为C ，(12，0)连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝＋cos 2θ＝cos 2θ，1212y P ＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．12所以圆的参数方程为Error!(θ为参数)．[规律方法] 消去参数的方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.(2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解，如例1.参数方程的应用【例1】 (2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝.π6(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．[解] (1)由Error!消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝，π6所以l 的参数方程为Error!即Error!(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程Error!代入x 2＋y 2＝16，得2＋2＝16，t 2＋(＋2)t －11＝0，(1＋32t)(2＋12t )3所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.2.对于形如(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，直线l 与曲线C ：Error!(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝，求线段AB 的中点的直角坐标；π3(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|PA |·|PB |的值．[解] (1)由曲线C ：Error!(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝时，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，π3代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝＝3，t 1＋t 22故线段AB 的中点的直角坐标为.(92，332)(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|8cos2α－sin2α|＝，|8(1＋tan2α)1－tan2α|由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝.403极坐标、参数方程的综合应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝，求l 的斜10率．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程Error!(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝10|－6k |1＋k 225－(102)236k 21＋k 2904，整理得k 2＝，解得k ＝±，即l 的斜率为±.53153153法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝.144cos2α－44由|AB |＝得cos 2α＝，tan α＝±.1038153所以l 的斜率为或－.153153[规律方法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为Error!(t 为参数)，直线l 2的参数方程为Error!(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，2M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝(x ＋2)．1k 设P (x ，y )，由题设得Error!消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立Error!得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，从而cos 2θ＝，sin 2θ＝.13910110代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为.51．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．[解] (1)曲线C 的直角坐标方程为＋＝1.x 24y 216当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝4(2cos α＋sin α)1＋3cos2α－2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为Error!(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交2于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．[解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝时，l 与⊙O 交于两点．π2当α≠时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －.l 与⊙O 交于两点当且仅当＜π22|21＋k 2|1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈或α∈.(π4，π2)(π2，3π4)综上，α的取值范围是.(π4，3π4)(2)l 的参数方程为Error!(t 为参数，＜α＜)．π43π4设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝，且t A ，t B 满足t 2－2t sin α＋1tA ＋tB 22＝0.于是t A ＋t B ＝2sin α，t P ＝sin α.22又点P 的坐标(x ，y )满足Error!所以点P 的轨迹的参数方程是Error!.(α为参数，π4＜α＜3π4)。
【全程复习方略】全国高考数学(理)一轮复习练习：选修4-4-2参 数 方 程(含答案解析)
课时提升作业七十六参数方程(45分钟60分)1.(2016·郑州模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin.(1)求圆C的直角坐标方程.(2)若P(x,y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点,求x+y的取值范围.【解析】(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin,所以ρ2=4ρ,所以圆C的直角坐标方程为:x2+y2+2x-2y=0.(2)设z=x+y,由圆C的方程x2+y2+2x-2y=0,可得(x+1)2+(y-)2=4,所以圆C的圆心是(-1,),半径是2,将代入z=x+y得z=-t,又直线l过C(-1,),圆C的半径是2,由题意有:-2≤t≤2,所以-2≤z≤2,即x+y的取值范围是[-2,2].2.(2016·太原模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),直线l经过点P(3,2),且倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和圆C的标准方程.(2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.【解析】(1)把圆C的参数方程(θ为参数),消去参数,化为直角坐标方程为x2+y2=25,由条件可得直线l的参数方程为即(t为参数).(2)把直线l的参数方程代入圆C的标准方程化简可得t2+(3+2)t-12=0,利用根与系数的关系可得t1·t2=-12,故|PA|·|PB|=|t1·t2|=12.3.(2016·石家庄模拟)在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为:(α为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为:ρ=cosθ.(1)求曲线C2的直角坐标方程.(2)若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.【解析】(1)因为ρ=cosθ,所以x2+y2=x,即+y2=.(2)设P(2cosα,sinα),易知C2,所以|PC2|===,当cosα=时,|PC2|取得最小值,|PC2|min=,所以|PQ|min=.4.(2016·保定模拟)已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(其中坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度).(1)写出曲线C的直角坐标方程.(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.【解析】(1)因为ρ=4cosθ,所以ρ2=4ρcosθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x.(2)直线l的参数方程:(t为参数),代入x2+y2=4x,得t2+4(sinα+cosα)t+4=0,所以sinα·cosα>0,又0≤α<π,所以α∈,且t1<0,t2<0.所以|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sinα+cosα)=4sin,由α∈,得α+∈,所以<sin≤1,故|PM|+|PN|的取值范围是(4,4].5.(2016·忻州模拟)已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数).(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程.(2)已知A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.【解析】(1)圆C的参数方程为(θ为参数)所以普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4,所以圆C化为极坐标方程为:ρ2-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0.(2)方法一:点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离为d=,△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cosθ-2sinθ+9|=,所以△ABM面积的最大值为9+2.方法二:圆心C(3,-4)到直线AB:x-y+2=0的距离为d==,点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离最大值为+2,所以△ABM的面积最大值为×2×=9+2.6.(2016·邯郸模拟)已知曲线C1的参数方程是(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=-4cosθ.(1)求曲线C1与C2交点的极坐标.(2)A,B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积(O为坐标原点).【解析】(1)由得两式平方作和得:x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0;由ρ=-4cosθ,得ρ2=-4ρcosθ,即x2+y2=-4x.两式作差得:x+y=0,代入C1得交点为(0,0),(-2,2).其极坐标为(0,0),.(2)如图,由平面几何知识可知,A,C1,C2,B依次排列且共线时|AB|最大.此时|AB|=2+4,O到AB的距离为.所以△OAB的面积为S=×(2+4)×=2+2.【加固训练】1.已知直线l:(t为参数)恒经过椭圆C:(φ为参数)的右焦点F.(1)求m的值.(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|·|FB|的最大值与最小值.【解析】(1)椭圆的参数方程化为普通方程,得+=1,所以a=5,b=3,c=4,则点F的坐标为(4,0),因为直线l经过点(m,0),所以m=4.(2)将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程,并整理得(9cos2α+25sin2α)t2+72tcosα-81=0,设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2,则|FA|·|FB|=|t1t2|==.当sinα=0时,|FA|·|FB|取得最大值9.当sinα=±1时,|FA|·|FB|取得最小值.2.(2016·临汾模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).(1)写出曲线C的参数方程.(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.【解析】(1)由ρ=4cosθ得:ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,所以曲线C的参数方程为(φ为参数).(2)将代入圆的方程得(tcosα-1)2+(tsinα)2=4.化简得t2-2tcosα-3=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则所以|AB|=|t1-t2|===.所以4cos2α=2,cosα=±,α=或.3.(2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【解析】(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|.则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.4.(2016·新乡模拟)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|.(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P 是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.【解析】(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1.联立方程解得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=1.(2)C2的参数方程为(θ为参数).故点P的坐标是.从而点P到直线l的距离d==,当sin=-1时,d取得最小值,且最小值为(-1).。
高考数学(理)总复习教师用书选修4—4 坐标系与参数方程 Word版含答案
选修4—4 ⎪⎪⎪坐标系与参数方程第1课坐标系[课前回扣教材][过双基]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ＞，y ′＝μ·yμ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x4．常见曲线的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝r (0≤θ<2π)．(2)圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)． (3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)． (4)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2.(5)过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsin_θ＝a (0<θ<π)．[小题速通]1．已知曲线的极坐标方程为ρ＝4cos 2θ2－2，则其直角坐标方程为________________． 解析：由ρ＝4cos 2θ2－2， 得ρ＝2cos θ，即x 2＋y 2＝2x ，得(x －1)2＋y 2＝1. 答案：(x －1)2＋y 2＝12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________． 解析：把圆ρ＝2cos θ的方程化为(x －1)2＋y 2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.答案：θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝23．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3 4．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2引圆ρ＝8sin θ的一条切线，则切线长为________． 解析：点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2的极坐标化为直角坐标为A (0，－1)， 圆ρ＝8sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0， 圆的标准方程为x 2＋(y －4)2＝16， 点A 与圆心C (0,4)的距离为|AC |＝5， 所以切线长为|AC |2－r 2＝3. 答案：3[清易错]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一点的坐标．1．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________． 解析：将方程 ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3(答案不唯一)2．若圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy ，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是________．解析：因为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ－1＝0，即x 2＋y 2－2x －23y －1＝0，因此圆心坐标为(1，3)．答案：(1，3) [课堂研究高考]平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．[解] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． [方法技巧]伸缩变换的解题方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ，y ′＝μy μ的作用下得到的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[即时演练]1．求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. 2．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π. 极坐标与直角坐标的互化[典例] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由错误!得错误!故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为错误!. [方法技巧]1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的非负半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．[即时演练]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ<2π)，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．极坐标方程的应用[典例] (2017·长春摸拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [解] (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.[方法技巧]曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．[即时演练](2017·云南师大附中适应性考试)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)半圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标， 则有错误!解得错误!设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标， 则有错误!解得错误!由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4， 所以线段PQ 的长为4.1．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2．(2016·北京高考改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.解：∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0. ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x .∴圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. ∵圆心(1,0)在直线x －3y －1＝0上， ∴AB 为圆的直径，∴|AB |＝2.3．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值．解：圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16， 直线 θ＝π3即tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0， 圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.4．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离．解：点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为()1，3，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0. 所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|12＋32＝22＝1. [高考达标检测]1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5， 所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 故实数a 的值为－5或－1.2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3上任意两点间的距离的最大值． 解：由ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3可得ρ2＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝2ρcosθ＋23ρsin θ，即得x 2＋y 2＝2x ＋23y ，配方可得(x －1)2＋(y －3)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.4．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ， 得4x 2－83x ＋12＝0， 即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. 5．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 过点A (1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求： (1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离． 解：(1)如图，由正弦定理得 ρsin 2π3＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝sin 2π3＝32， ∴所求直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32.(2)作OH ⊥l ，垂足为H ， 在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3， 则OH ＝OA sinπ3＝32， 即极点到该直线的距离等于32. 6．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.7．(2017·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k ＝2k ＋3或错误!解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 8．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ. 由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3.作图如图所示． (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，设M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.第2课参数方程[课前回扣教材][过双基]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：错误!并且对于t 的每一个允许值，由函数式错误!所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程错误!叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[小题速通]1．参数方程错误!(t 为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是________． 解析：将参数方程错误!消去参数t 得2x －y －5＝0，所以对应图形为直线．由ρ＝sin θ得ρ2＝ρsin θ，即x 2＋y 2＝y ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，对应图形为圆．答案：直线、圆 2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)与直线y ＝x ＋2的交点坐标为________．解析：曲线的直角坐标方程为y ＝x 2.将其与直线方程联立得错误!∴x 2－x －2＝0，∴x ＝－1或x ＝2.由x ＝sin θ知，x ＝2不合题意．∴x ＝－1，y ＝1，∴交点坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)3．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为________．解析：∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9， ∴圆心(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2个点． 答案：24．参数方程错误!(t 为参数)化为普通方程为________． 解析：∵x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t 2＝＋t 2－6t 21＋t 2＝4－3×2t21＋t 2＝4－3x .又x ＝2t21＋t 2＝＋t 2－21＋t 2＝2－21＋t2∈[0,2)，∴x ∈[0,2)，∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))． 答案：3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))[清易错]1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.1．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ上的点的最近距离是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ得错误!∴(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心坐标为(－2,1)， 故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝42＝22，∴直线上的点到圆上的点的最近距离是d －r ＝22－1. 答案：22－12．直线错误!(t 为参数)与圆错误!(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________． 解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3.答案：π3或2π3[课堂研究高考]参数方程和普通方程的互化[典例] (2016·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为错误!(t 为参数)，(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．[解] (1)由错误!得错误!①的平方加②的平方得曲线C 的普通方程为：x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t 得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t 得 y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为y ＝2x ＋2.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，所以由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1. [方法技巧]将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． [即时演练]将下列参数方程化为普通方程． (1)错误!(k 为参数)； (2)错误!(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y2x， 将其代入x ＝3k1＋k 2得x ＝3·y 2x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．直线的参数方程[典例] C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． [解] (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16， 直线l ：错误!(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|PA |·|PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．(2)对于形如错误!(t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [方法技巧] [即时演练]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即错误!(t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－2， 由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.[典例] 1参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[即时演练](2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中， 得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组 错误!若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2， 将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以直线l 的斜率为153或－153. 法二：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0. 由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知， 圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153， 即直线l 的斜率为±153. 2．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：错误!(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.3．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆． 因为G 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. [高考达标检测]1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：错误!(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)椭圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)， 则|AP |＝θ－2＋3sin θ2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，335.2．已知曲线C 1：错误!(t 为参数)，曲线C 2：错误!(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)， 故M －2＋4cos θ，2＋32sin θ. 曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855. 3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程；(2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1， 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4， ∴|PM 1|·|PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，64. 4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|PA |·|PB |的值．解：(1)ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ， 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝8；直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0.(2)把直线l 的参数方程代入到圆C ： x 2＋y 2－4x －4y ＝0中，得t 2－(4＋53)t ＋33＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝33.点P (－2，－3)显然在直线l 上，由直线标准参数方程下t 的几何意义知|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝33，所以|PA |·|PB |＝33.5．(2017·贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A ，B ，C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值． 解：(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4， |OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4 ＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B ()1，3，C ()3，－3，所以经过点B ，C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3. 6．(2017·唐山模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，点A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程；(2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1， l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝12t 代入x 22＋y 2＝1， 整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435， 且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－()|AD |－|AB |＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 7．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. (1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．解：(1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3， 即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，即(x －2)2＋(y －23)2＝16，其表示一个圆．(2)将C 1的参数方程代入C 2的方程可得， t 2－23sin α·t －13＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23sin α，t 1t 2＝－13.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2 ＝()23sin α2－－＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最大值为8，最小值为213.8．(2017·云南一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0.曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3.(2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3，即x 2＋y 23＝1， ∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)．∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22， d 的最大值为52＝522. ∴22≤d ≤522， 即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.。
高考数学(理)一轮复习文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 Word版含答案
第1讲 坐标系1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin_θ＝b ．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ．极坐标与直角坐标的互化(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． (2)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2中，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，即ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．(2016·高考北京卷改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，又(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.求曲线的极坐标方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得 ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中， 令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)． 如图所示，因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 |PC |＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.曲线极坐标方程的应用(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 解得x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.3．(2017·山西省第二次四校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．(1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆． 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因为直线的直角坐标方程为y －x ＝1， 所以圆心C 到直线的距离为d ＝322，所以弦长为210－92＝22.4．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.5．(2017·山西省高三考前质量检测)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．(1)C 1：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)因为M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 所以OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两间点的距离为1.6．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离d ＝|－1－2|2＝32＞1， 所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点，亦即曲线C 1和C 2的公共点的个数为0.(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．7．(2017·河南天一大联考)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4a cos θ(a ＞0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝4，C 与l 有且只有一个公共点．(1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．(1)由题意，得曲线C 是以(2a ，0)为圆心，以2a 为半径的圆．l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，由直线l 与圆C 相切可得|2a －8|2＝2a ，解得a ＝43(舍负)．(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝163cos θ＋163cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝8cos θ－833sin θ＝1633cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，所以当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值1633.8．在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4.曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1、C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． (1)因为C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，所以ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，即(ρcos θ)2＋4(ρsin θ)2＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以该曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。
2018版高考数学(理)第一轮总复习习题：选修4-4坐标系与参数方程含答案
选修4－4错误!坐标系与参数方程第一节坐 标 系突破点（一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干知识的“源"与“流”设点P （x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：{ x ′＝λ·x (λ＞0)，，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ′(x ′，y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例］ 求椭圆错误!＋y 2＝1，经过伸缩变换错误!后的曲线方程．［解] 由错误!得到错误!①将①代入x 24＋y 2＝1,得错误!＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1。
因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. [方法技巧］应用伸缩变换公式时的两个注意点（1）曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标（x ，y ）与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式错误!建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f （x ，y ）＝0，一般都要改写为方程f （X ，Y ）＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：错误!求点A 错误!经过φ变换所得的点A ′的坐标．解:设A ′（x ′，y ′），由伸缩变换φ：错误!得到错误!由于点A 的坐标为错误!，于是x ′＝3×错误!＝1,y ′＝错误!×（－2）＝－1， 本节主要包括2个知识点：1。
平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2。
极坐标系。
所以A′(1，－1）为所求．2．求直线l:y＝6x经过φ:错误!变换后所得到的直线l′的方程．解：设直线l′上任意一点P′（x′，y′)，由题意，将错误!代入y＝6x得2y′＝6×错误!，所以y′＝x′,即直线l′的方程为y＝x.3．求双曲线C：x2－错误!＝1经过φ：错误!变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′（x′，y′),由题意,将错误!代入x2－错误!＝1得错误!－错误!＝1，化简得错误!－错误!＝1,即错误!－错误!＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1（－5，0）,F2(5,0）．4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆错误!＋错误!＝1的一个伸缩变换公式为φ：错误!求a，b的值．解：由错误!知错误!代入x2＋y2＝1中得错误!＋错误!＝1，所以a2＝9，b2＝4,即a＝3，b＝2.突破点(二)极坐标系基础联通抓主干知识的“源”与“流"1．极坐标系的概念（1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O,点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox,Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地,没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．（3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ）与(ρ，θ＋2kπ）（k∈Z）表示同一个点，特别地，极点O的坐标为（0，θ）(θ∈R）,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ) 表示;同时，极坐标(ρ，θ）表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y）极坐标（ρ，θ）互化公式错误!错误!考点贯通抓高考命题的“形”与“神"极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式错误!及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标（1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．（2)求直角坐标系中的点（x，y）对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；第二步,根据角θ的正切值tan θ＝错误!(x≠0）求出角θ（若正切值不存在，则该点在y轴上），问题即解．[例1]在极坐标系下，已知圆O:ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin错误!＝错误!。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） ABC ．1D ．23．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心4．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 5．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（ ） AB．2CD．26．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( )A ．15B ．710C ．75D ．577．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．已知直线l 的参数方程为3332112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．33(,)-9．已知直线3:2x tl y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+10．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-11．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°12．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．2二、填空题13．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______.14．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．16．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．17．设P 、Q 分别为直线1,82x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t R ∈）和曲线1,:2x C y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，R θ∈）上的点，则PQ 的取值范围是______． 18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.19．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为_____________20．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小.则这个点的坐标为________三、解答题21．已知直线1l 过点()1,3M ，倾斜角是3π，直线2:sin cos 20l ρθρθ+-=. （1）写出直线1l 的参数方程；（2）直线1l 与直线2l 的交点为N ，求MN .22．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数，0)m >．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=，l 被C（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P的坐标为(m ，求||||PA PB +的值．25．已知曲线2cos ,:2sin ,x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,12x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C '的极坐标方程；（2）若,A B 是曲线C '上的两个动点，且OA OB ⊥，求22|OA OB +的最小值．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,5E c ⎛- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.2．B解析：B 【分析】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l的距离为d ==42sin πθ⎛⎫-+ ⎪=， 当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d取最小值，且min d == B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.5．A解析：A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，， 化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()22C r -，，圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．7．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++， 求得答案． 详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，） ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，） 根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，， 故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．8．C解析：C 【解析】分析：将直线l 的参数方程化为普通方程，与圆方程联立，由韦达定理结合中点坐标公式可得结果.详解：直线112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），即x =-， 代入圆2216x y +=化简可得y y -+=2680，126y y ∴+=，即AB 的中点的纵坐标为3，AB ∴的中点的横坐标为=故AB的中点的坐标为()，故选C.点睛：本题主要考查参数方程化为普通方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.9．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.10．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()22x t t y 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(3160,16,t t t t -+==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．11．B解析：B 【解析】 由题设可知02cos70sin 20tan 201sin 70cos 20y k x -====-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含答案
选修4－4 坐标系与参数方程1．坐标系与极坐标 (1)理解坐标系的作用．(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．2．参数方程(1)了解参数方程，了解参数的意义．(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．知识点一 极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫作极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0). 易误提醒1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[自测练习]1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x 的方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y .知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 中得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 3．(2015·高考北京卷)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析：点⎝⎛⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.答案：1知识点二 参数方程 参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫作这条曲线的参数方程，变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．易误提醒1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[自测练习]4．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)的普通方程为________．解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝05．在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________． 解析：椭圆的普通方程为x 24＋y 23＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x －2y＋2＝0，过点(1,0)与直线x －2y ＋2＝0平行的直线方程为x －2y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x －2y －1＝0，得4x 2－2x －11＝0，所以所求的弦长为1＋⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－114＝154.答案：154考点一 曲线的极坐标方程|1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 2．(2016·长春模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．考点二 曲线的参数方程|1．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，(t 为参数)曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)的距离的最小值． 解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.2．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点三 极坐标方程、参数方程的综合应用|(2015·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2016·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ].33.直线参数方程中参数t 几何意义的应用【典例】 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．[思维点拨] (1)根据条件写出l 的参数方程及化曲线C 为标准方程． (2)利用t 的几何意义求解|P A |·|PB |的值． [解] (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.[方法点评] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t为参数)该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．[跟踪练习] (2016·大庆模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t ，(t 为参数)．由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4得：ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t (t 为参数)代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得t 2－32t －74＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74， ∴|P A |＋|PB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝312.A 组 考点能力演练1．(1)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程； (2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2，得ρ2cos 2 θ＋ρ2sin 2 θ＝r 2，ρ2(cos 2 θ＋sin 2 θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．(2)法一：把ρ＝x 2＋y 2，sin θ＝yρ代入ρ＝8sin θ，得x 2＋y 2＝8·y x 2＋y2，即x 2＋y 2－8y ＝0. 法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsin θ，即x 2＋y 2－8y ＝0.2．(2016·济宁模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，∴⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2 θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin (θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.4．(2016·长春模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 的半径为4.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程． (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－5＋t sin π3，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t ，(t为参数)．由题知C 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4，∴圆C 方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，∴直线l 与圆C 相离．5．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ，(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α，(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32， 整理得(8sin 2 α＋cos 2 α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2 α＋cos 2 α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2α∈⎝⎛⎦⎤1289，64. B 组 高考题型专练1．(2015·高考广东卷改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，而点A ⎝⎛⎭⎫22，7π4对应的直角坐标为A (2，－2)，所以点A (2，－2)到直线l ：x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2015·高考湖南卷)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，(t 为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.4．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．。
(典型题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（ ） A．2B．2CD．22．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） AB．3-CD．3±3．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 4．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（ ） A．2+BC．4+D．5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩点(43,31)Q m m +-，则||PQ 的最小值为( ) A ．2B ．115C ．95D ．16．已知点()1,2A -，()2,0B ，P为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,323⎡⎤+⎣⎦D ．1,323⎡⎤-+⎣⎦7．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．()621-B ．()621+C ．125D ．2458．圆C 的极坐标方程为ρ2cos θ=，则圆心C 极坐标为 ( ) A ．()2,0 B ．()1,πC ．()1,0D ．()2,π9．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B ．125C ．92D ．91010．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°11．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（ ）A ．5B ．52C ．7D ．7212．在直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数），直线的方程为 ，若上的点到的距离的最大值为，则（ ） A ． B ． C ． D ．或二、填空题13．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.14．设,P Q 分别为直线,62x t y t =⎧⎨=-⎩（为参数）和曲线C ：15,25x y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）的点，则PQ 的最小值为_________．15．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5,4x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），圆C 的参数方程是cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 与圆C 交于两个不同的点A 、B ，当点P 在圆C 上运动时，PAB ∆面积的最大值为__________.17．在直角坐标系中，点()2,1-到直线2:x t l y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）的距离是__________． 18．若点P （x ，y ）在曲线（θ为参数，θ∈R ）上，则的取值范围是_____．19．直线3,423x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），点C 在椭圆2214x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线l 的最大距离为______.20．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆2212x y +=两个不同的动点，且满足11222x y x y ⋅+⋅=-2212x x +的值是_____． 三、解答题21．已知直线l 的参数方程为23x ty t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为()2212sin 1ρθ-=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设A 、B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ . 22．以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，P 是1C 上一动点，2OP OQ =，点Q 的轨迹为2C ． （1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程； （2）若点(0,1)M ，直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 与曲线2C 的交点为A B ，，当MA MB +取最小值时，求直线l 的普通方程．23．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为：222242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），两曲线相较于M ，N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若()2,4P --，求PM PN +的值. 24．极坐标系中椭圆C 的方程为2222cos 2sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为(),P x y，求x 的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦AB ，CD 交于点Q ，且直线AB 与CD 的倾斜角互补，求证：QA QB QC QD ⋅=⋅．25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin )Q θθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==，当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==故选：C. 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．2．直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B 910C 92D 1253．已知12,F F 椭圆22184x y +=的左右焦点,2)Q ，P 是椭圆上的动点,则1PQ PF ⋅的最大值为( )A ．4B ．92C ．5D ．424．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0B ．()1,π-C ．()1,πD ．()1,2π5．已知直线l 的参数方程为333112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．33(,)-6．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（ ）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C ．(34,0)±D ．(0,34)±7．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B 125C 92D 9108．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC（sin θ+cos θ）=rD（sin θ+cos θ）=-r9．直线22{x ty t=+=-（t 为参数）被曲线4cos p θ=所截的弦长为( )A ．4 BCD ．810．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°11．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈ 12．在极坐标系中，已知A （3，3π），B(4，23π), O 为极点，则AOB ∆的面积为（ ） A ．3B．C．D ．2二、填空题13．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为______. 14．直线415{315x ty t =+=--（t为参数）被曲线4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截得的弦长为 .15．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．16．已知点P 是圆221x y +=上的任意一点，(50),(,0)(5)A B b b -≠-，，若||PA PBλ=，（λ为定值），则b λ=________.17．已知(,)P x y 是椭圆22143x y+=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．18．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为_____________19．与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为_____．20．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2{4x ty t=-+=-+（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若,,PM MN PN 成等比数列，则a 的值为________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 2tan (0)a a ρθθ=>．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设(1,0)P ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求实数a 的值．22．曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的方程为102cos sin ρθθ=+．（1）求出直角坐标系中l 的方程和曲线C 的普通方程；（2）曲线C 上有一个动点M ，求M 到l 的最小距离及此时M 的坐标．23．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π4cos 4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11||||PA PB -的值. 24．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2515x y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若点P 的极坐标为()1,π，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+的最大值．25．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的长度为25，求直线l 的普通方程． 26．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的方程，()222cos4sin 4ρθθ+=，过点(2,1)的直线l 的参数方程为222212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||AB 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(包含答案解析)(4)
一、选择题1．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）A ．31,31⎡⎤---⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--2．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E =22DF =，且2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]3．过椭圆C ：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定4．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．5．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（ ） A ．245+B 1345C ．445+D ．656．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,323⎡⎤+⎣⎦D ．1,323⎡⎤-+⎣⎦7．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρ2cos θ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．578．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A ．30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．31,13⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B ．1255 C ．925 D ．910510．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（ ）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦D ．21y x =+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦11．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为cossinxyθθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0且倾斜角为α的直线l与O交于A，B两点．则α的取值范围为_________ 15．设直线315:{45x tly t=+=（t为参数），曲线1cos:{sinxCyθθ==（θ为参数），直线l与曲线1C交于,A B两点，则AB=__________.16．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为1{xyαα=+=（α为参数），则点M到曲线C上的点的距离的最小值为．17．P是直线l：40x y+-=上的动点，Q是曲线C：sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，PQ的最小值是______.18．已知曲线2cos5:,0,sin6xyθπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨ ⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P，曲线Γ与直线1x=交于点Q，则OP OQ⋅的最大值是_________.19．点P在椭圆221169x y+=上，求点P到直线3424x y-=的最大距离是__________________．20．设(,0)M p是一定点，01p<<，点(,)A a b是椭圆2214xy+=上距离M最近的点，则()==a f p________.三、解答题21．在直角坐标系xOy中，曲线1C过点(0,1)P-，其参数方程为121x ty⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数），曲线2C：22(0)y px p=>过点(1,2).（1）求曲线2C的方程；（2）若1C和2C交于,A B两点，求11PA PB+的值.22．已知在极坐标系中曲线1C的极坐标方程为：4cosρθ=，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为：132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点(3,0)A ．（1）求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）设曲线1C 与曲线2C 相交于,P Q 两点，求||||⋅AP AQ 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 24．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值． 25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=. （1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213xy +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213xy +=设x α=，sin yα=，可得1sin 1sin )12sin()1213x y πααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.2．A解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c ，7,55E c ⎛-- ⎝⎭， 将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩，所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则()()2222212cos 2sin cos 2sin 2516cos PF PF θθθθθ⋅=++⋅-+=-，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.3．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=()212121212124t t t t t t t t t t +--===⋅⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知直线:60l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．2+2．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（ ） A ．6B ．5C ．8D ．73．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（）A ．3B ．3-C D ．3±4．已知(,)P x y 是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P 到40x -=的距离的最大值为（ ）A B ．2C D ．25．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)226．参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（ ）A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆7．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B C ．5D 8．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC （sin θ+cos θ）=rD （sin θ+cos θ）=-r9．曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上10．A ，B 分别在曲线1C ：cos 4sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）和2C ：1ρ=上，则AB 最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．411．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A 到直线sin()66πρθ+=的距离的最大值是（ ）A ．62B ．6C ．362D ．2612．设椭圆C ：2211612x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．已知点M 在直线223324x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）上，点N 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，则MN 的最小值为________________.14．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)-，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________15．直线被圆所截得的弦长为 ． 16．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________17．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________．18．直线122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为_________.19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 的直角坐标方程为__________20．圆11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的弦长为__________．三、解答题21．在曲线1C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上求一点，使它到直线2C：12112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离． 22．已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为4π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 及PA PB ⋅的值． 23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩，（t 为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.24．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程为242x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为413cos 4k k k k ρπθ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.（1）当1k =时，求直线l 和C 的普通方程；（2）当2k =时，试判断直线l 和C 有无交点若有，求出交点的坐标；若无，说明理由.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值.26．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为342x ty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是22123cos ρθ=+． （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -. 【详解】 将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-= ，圆心C 为(1,1) ，半径2r.已知直线:60l x y -+=，那么，圆心C 到直线l的距离为d r ==> ，故直线l 与圆C 相离，所以C 上各点到l的距离的最小值为2d r -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.2．A解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】 由题意，直线2413x ty t=-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=，可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(有答案解析)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ）A B 5C ．3D 3+2．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）A ．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--3．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E =2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]4．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．B ．C ．8D ．45．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )A ．4B ．3 C ．2D ．56．圆C 的极坐标方程为ρ2cos θ=，则圆心C 极坐标为 ( )A ．()2,0B ．()1,πC ．()1,0D ．()2,π7．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离8．直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．过圆心D ．相交不过圆心 9．动点1293cos 4sin 1,cos sin 2(55M θθθθθ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭为参数）的轨迹的普通方程为（ ）A ．22(1)(2)1259x y +-+=B ．22(1)(2)1259x y -++=C ．22(1)(2)1925x y +-+=D ．22(1)(2)1925x y -++=10．椭圆221169x y +=上的点到直线34132x y += ）A ．0B ．25C ．52D ．241325- 11．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A 到直线sin()66πρθ+=的距离的最大值是（ ）A 6B 6C 362D ．2612．设椭圆C ：2211612x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．已知直线l 的参数方程为2221x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 14．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.15．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l 与C 交于,A B 两点，则AB =_______.16．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．17．已知直线l ：32,54.5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与x 轴交于点M ，点N 是圆2240x y y +-=上的任一点，则||MN 的最大值为_____．18．已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．变量,x y满足x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），则代数式22y x ++的最小值是__________．三、解答题21．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ .22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 2tan (0)a a ρθθ=>．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设(1,0)P ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求实数a 的值．23．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：(cos sin )t ρθθ+=（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设直线θ＝()6R πρ∈与直线l 交于点M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，已知｜OM ｜｜OP ｜｜OQ|＝10，求t 的值．24．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值. 25．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为162x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上的一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.26．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 的轨迹及其直角坐标方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y 3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．B解析：B 【分析】 将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213x y +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y +=设x α=，sin y α=，可得1sin 1sin )12sin()1213x y πααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.3．A解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,5E c ⎛-⎝⎭， 将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.4．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p pAB x x =+++， 求得答案． 详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t ⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，） ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，） 根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，， 故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．5．A解析：A 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以所以e 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=6．C解析：C 【解析】圆2222cos 0,(1)1,x y ρρθ-=-+=，圆心(1,0)，所以圆心的极坐标为（1，0）.选C.7．B解析：B 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为25d ==<，即直线与圆相交. 故选B. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.8．A解析：A【解析】试题分析：即3x-4y-36="0;"即，由圆心到直线的距离，所以，直线与圆相离，选A 。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．72．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．B ．C ．8D ．43．直线1sin 702cos70x t y t ⎧=+⎨=+⎩（t 为参数）的倾斜角为( )A ．70B ．20C ．160D ．1104．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A．BC ．D5．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC （sin θ+cos θ）=rD （sin θ+cos θ）=-r6．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的42C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=7．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（ ）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+， x ⎡∈⎣D ．21y x =+， x ⎡∈⎣8．动点1293cos 4sin 1,cos sin 2(55M θθθθθ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭为参数）的轨迹的普通方程为（ ）A ．22(1)(2)1259x y +-+=B ．22(1)(2)1259x y -++=C ．22(1)(2)1925x y +-+=D ．22(1)(2)1925x y -++=9．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线10．A ，B 分别在曲线1C ：cos 4sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）和2C ：1ρ=上，则AB 最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A 到直线sin()66πρθ+=的距离的最大值是（ ）A ．62B ．6C ．362D ．2612．在直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数），直线的方程为 ，若上的点到的距离的最大值为，则（ ） A ． B ． C ． D ．或二、填空题13．已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，l 与圆224x y +=相交与两点,A B ，则点P 到,A B 两点的距离之积为____.14．已知点M 在直线223324x ty t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上，点N 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，则MN 的最小值为________________.15．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______ 16．直线1{2x t y t =-=-（t 为参数）与曲线3{2x cos y sin θθ==（θ为参数）的交点个数是_______．17．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线220x y +=的最大距离为__________．18．已知曲线C ：2x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，与直线l ：1324x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，交于A B ，两点，则AB =___________．19．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，则圆C 的圆心到直线l 的距离为______.20．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2{4x ty t=-+=-+（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若,,PM MN PN 成等比数列，则a 的值为________．三、解答题21．在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程是12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求||AB 的值. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.23．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122112x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π4cos 4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11||||PA PB -的值.24．已知直线11cos ,:sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数），圆2cos ,:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标.(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为,A P 为OA 的中点.当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？25．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作倾斜角为45的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值． 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】 由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=，可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++， 求得答案． 详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，） ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，） 根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，， 故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．3．B解析：B 【解析】根据题意，设直线的倾斜角为θ，直线的参数方程为170270x tsin y tcos ⎧=+⎨=+⎩，则直线的普通方程为：y−2=tan20∘(x−1)，则有tanθ=tan20∘,且0∘⩽θ<180∘，则直线的倾斜角为20∘， 本题选择B 选项. 4．D解析：D 【解析】由230130x tsin y tsin =-︒⎧⎨=-+︒⎩得1(2),10y x x y +=--+-=，由ρ=228x y += ，所以圆，因此BC =，选D. 点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．3.直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可5．D解析：D 【解析】分别出圆ρ=r 的直角坐标方程222x y r += 和圆ρ=-2r sin （θ+4π）（r ＞0）直角坐标方程22()x y x y +=+，从而求出两圆的公共弦所在直线的方程2())x y r x y r +=+=-．再化为极坐标方程为（sin θ+cos θ）=-r ，选D. 6．B解析：B 【解析】根据题意，曲线C 2：12θ 2x cos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），消去参数，化为直角坐标方程是224413y x +=故选B ．点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：22221cos sin 1,1tan cos θθθθ+=+=.不要忘了参数的范围. 7．C解析：C 【解析】由sin cos x αα=-可有4x πα⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭，又因为2sin cos y αα=，所以21x y =-，即21y x =-+，x ⎡∈⎣，故选择C.8．A解析：A先设1293cos 4sin 1,cos sin 255x y θθθθ=--=++，再利用三角函数的同角关系消去参数即可得解. 【详解】设1293cos 4sin 1,cos sin 255x y θθθθ=--=++ 可得2222(1)(3cos 4sin )9cos 16sin 24sin cos x θθθθθθ+=-=+-，（1）22225(2)16cos 9sin 24sin cos 9y θθθθ-=++，（2） （1）+（2）可得：2225(2)(1)916259y x -++=+=，化简得：22(1)(2)1259x y +-+=.故选A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，属于基础题.9．D解析：D 【解析】由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14. 它表示以1,02为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．10．B解析：B 【分析】把极坐标与参数方程分别化为直角坐标方程、普通方程，利用两点之间的距离公式求出圆心之间的距离，即可得出. 【详解】 曲线1C ：cos 4sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）消去参数可得：22(4)1x y +-=，可得圆心为1(0,4)C ，半径1R =，曲线2C ：1ρ=，可化为221x y +=，圆心为2(0,0)C ，半径1r =，124C C ∴==，根据圆的几何性质可知，min ||42AB R r ∴=--=,故选：B本题主要考查了参数方程、极坐标方程化为普通方程，直角坐标方程，圆的几何性质，最值，属于中档题.11．C解析：C 【分析】 先将直线sin()66πρθ+=化为直角坐标系下的方程，再用椭圆的参数方程设出点A 的坐标，利用点到直线的距离求解. 【详解】由直线sin()66πρθ+=，有31sin cos 622ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即3260y x +-=. 又点A 是曲线2213x y +=上任意一点，设()3cos ,sin Aαα则点A 到直线3260y x +-=的距离为：3sin 3cos 2631d αα+-=+6sin 2643622πα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=≤ 当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时取得等号. 故选：C 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.12．A解析：A 【分析】曲线上的点可以表示成，，运用点到直线的距离公式可以表示出到直线的距离，再结合距离的最大值为进行分析，可以求出的值．【详解】曲线上的任意一点可以表示成，，所以点到直线的距离 （其中）因为且上的点到的距离的最大值为，所以当时，距离有最大值，所以，解得故选A. 【点睛】本题考查的知识点有：点到直线的距离公式，参数方程，辅助角公式等，解题的关键是表示出上的点到的距离，属于一般题．二、填空题13．2【分析】由题意可得出直线的参数方程再代入圆的方程利用根与系数的关系及直线参数方程的几何意义即可求出【详解】因为直线经过点倾斜角所以直线的参数方程为：（为参数）代入圆得到：设对应的参数分别为则所以故解析：2 【分析】由题意可得出直线的参数方程，再代入圆的方程，利用根与系数的关系及直线参数方程的几何意义即可求出. 【详解】因为直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，所以直线l 的参数方程为：312112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入圆224x y +=得到：2(13)20t t +-=，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则(1213t t +=-+，122t t =-， 所以122PA PB t t ⋅=⋅= 故答案为：2 【点睛】本题考查了直线的参数方程以及几何意义，属于一般题.14．【分析】先求出直线的普通方程再求出点到直线的距离再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值【详解】由题得直线方程为由题意点到直线的距离∴故答案为【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化考查点到直线 2【分析】先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值. 【详解】由题得直线方程为431720x y -+=， 由题意，点N 到直线的距离d===，∴minMN=【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15．【解析】设是椭圆上任意一点设则所以（其中）应填答案【解析】设(,)M x y是椭圆222312x y+=cos,sin2yθθ==，则,2sinx yθθ==，所以24sin)x yθθθϕ+++（其中tanϕ=16．【解析】直线的普通方程：x+y=1曲线的普通方程：再消去y得所以两个交点答案：2解析：2【解析】直线的普通方程：x+y=1,曲线的普通方程：22194x y+=，再消去y，得21318270x x--=，0>，所以两个交点。
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课时达标 第70讲
[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．
1．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－|x －a |＋a (a ∈R)．
(1)解不等式f (x )≤5；
(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围．
解析：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f (x )≤5的解集为[－2,3]．
(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，即|x －2|＋|x －a |≥a 恒成立．
而|x －2|＋|x －a |的最小值为|2－a |＝|a －2|，∴|a －2|≥a ，
∴(2－a )2≥a 2，解得a ≤1，故a 的取值范围为(－∞，1]．
2．设f (x )＝|x －1|＋|x －a |.
(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；
(2)若对任意的x ∈R ，f (x )≥4，求实数a 的取值范围．
解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，
2x ，x >1，其图象如下：
根据图象易得f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ≤－32或x ≥32. (2)由于f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，
对任意的x ∈R ，f (x )≥4等价于|a －1|≥4，
解得a ≥5或a ≤－3，
故实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5, ＋∞)．
3．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R.
(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；
(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围．
解析：(1)当a ＝3时，f (x )>0，即|x －2|－|2x －3|>0，
等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤32，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧ 32<x <2，－3x ＋5>0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥2，－x ＋1>0， 解得1<x ≤32或32<x <53
或x ∈∅. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
1<x <53. (2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )＝2－x －|2x －a |，
∴f (x )<0 可化为|2x －a |>2－x ①，即2x －a >2－x 或2x －a <x －2，
①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ，∵x ∈(－∞，2)，∴a ∈∅或a ≥4，∴a ≥4.故a 的取值范围是[4，＋∞)．
4．设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立．
(1)求m 的取值范围；
(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式|x －3|－2x ≤2m －12.
解析：(1)设f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|，则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －6－2x ，x <－7，8，－7≤x ≤1，
2x ＋6，x >1，
当x <－7时，f (x )>8，当－7≤x ≤1时，f (x )＝8，当x >1时，f (x )>8.
综上，f (x )有最小值8，所以m ≤8，故m 的取值范围为{m |m ≤8}．
(2)当m 取最大值时，m ＝8.原不等式等价于|x －3|－2x ≤4.
等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x －3－2x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧
x <3，3－x －2x ≤4， 等价于x ≥3或－13
≤x <3. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ≥－13. 5．设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .
(1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14
； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．
解析：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝
⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，
－3，x ≥1.
由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12
，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12.
所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14
. (2)|1－4ab |>2|a －b |.理由如下：由(1)得a 2<14， b 2<14
. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.
6．设函数f (x )＝|x －a |.
(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；
(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n
＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4. 解析：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4.
因为方程|x －2|＋|x －1|＝4的解为x 1＝－12，x 2＝72
， 所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭
⎫72，＋∞. (2)证明：f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，
而f (x )≤1的解集是[0,2]，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n ＝1(m >0，n >0)． 所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫1m ＋12n ＝2＋2n m ＋m 2n
≥4. 7．函数f (x )＝ax ＋b ，当|x |≤1时，都有|f (x )|≤1，求证：|b |≤1，|a |≤1.
证明：∵|f (x )|≤1，令x ＝0，得|f (0)|≤1，∴|b |≤1.
由|f (1)|＝|a ＋b |≤1，|f (－1)|＝|－a ＋b |≤1.
∴2|a |＝|a ＋b ＋a －b |≤|a ＋b |＋|a －b |≤2.∴|a |≤1.
8．设f (x )＝2|x |－|x ＋3|.
(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并求不等式f (x )≤7的解集S ；
(2)若关于x 不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．
解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，
x －3，x >0.
如图，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝7相交于横坐标为x 1＝－4，x 2＝10的两点，
由此得S ＝[－4,10]．
(2)由(1)知f(x)的最小值为－3，则不等式f(x)＋|2t－3|≤0有解必须且只需－3＋|2t－3|≤0，解得0≤t≤3，
所以t的取值范围是[0,3]．。