课时跟踪检测(十五) 函数模型及其应用

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12、函数模型及其应用(含答案)

12函数模型及其应用1.七类常见函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．5．解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．练习一1.有一组试验数据如表所示：A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案 B解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.3.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)答案2500解析设围成的矩形的长为x m，则宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)＝－14(x－100)2＋2500.当x＝100时，S max＝2500 m2.4．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )答案 B解析当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.5．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )答案 D解析由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 6.某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f (t )表示学生注意力指标．该小组发现f (t )随时间t (分钟)的变化规律(f (t )越大，表明学生的注意力越集中)如下：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－600≤t ≤10，34010<t ≤20，－15t ＋64020<t ≤40(a >0且a ≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？解 (1)由题意得，当t ＝5时，f (t )＝140，即100·a510－60＝140，解得a ＝4. (2)因为f (5)＝140，f (35)＝－15×35＋640＝115，所以f (5)>f (35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中． (3)①当0<t ≤10时，由(1)知，f (t )＝100·4t 10－60≥140，解得5≤t ≤10；②当10<t ≤20时，f (t )＝340>140恒成立； ③当20<t ≤40时，f (t )＝－15t ＋640≥140，解得20<t ≤1003. 综上所述，5≤t ≤1003. 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟． 7．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份 4 m 3 4元二月份 25 m 3 14元三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元答案 A解析根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎨⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5，故选A.8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析由题意得⎩⎨⎧e b＝192，e22k ＋b＝48，即⎩⎨⎧e b ＝192，e11k＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．9．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)如图，作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD，所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.11．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10；③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5<P A <5.5(注：lg 2≈0.3)．则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)答案 ③解析当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg n A ＝lg 2＋5.又lg 2≈0.3，∴P A ≈5.3，则5<P A <5.5，即③正确．12．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎨⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156<x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．13.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.14．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析对于A 中的函数，当x ＝3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当x ＝4时误差较大．对于C 中的函数，当x ＝1,2,3时，误差为0，x ＝4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x ＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小．15．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似地满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )A ．4000只B ．5000只C ．6000只D ．7000只答案 C 解析当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000，故选C.15.某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．无法判断盈亏情况C ．没有盈利也没有亏损D ．略有亏损答案 D解析由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．16．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 D解析设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年后，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y ，则y ＝f (x )＝g x a＝(1＋18%)x ＝1.18x ，因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除A ，C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除B ，故选D.17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.答案 8解析由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h ，∴h ＝8.令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 8，∴t ＝8.18．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？解 (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5. (2)由题知，f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎨⎧ x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t 2＝x ，t ∈[25，65]， y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．。

高中数学课时跟踪检测：函数与方程

高中数学课时跟踪检测：函数与方程一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1,则实数a 的值为______．解析：由已知得f (1)＝0,即231＋1＋a ＝0,解得a ＝－12. 答案：－122．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大,另一个根比2小,则实数m 的取值范围是______．解析：设函数f (x )＝x 2＋mx －6,则根据条件有f (2)＜0,即4＋2m －6＜0,解得m ＜1. 答案：(－∞,1)3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2,f (－1)＝1,则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为______．解析：依题意得⎩⎨⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得b ＝－4,c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0, 该方程等价于⎩⎨⎧x ＞0，－2＋x ＝0， ①或⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0.②解①得x ＝2,解②得x ＝－1或x ＝－2. 因此,函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：34．(连云港调研)已知函数f (x )＝2－x 2－x ＋b 有一个零点,则实数b 的取值范围为________．解析：由已知,函数f (x )＝2－x 2－x ＋b 有一个零点,即函数y ＝x －b 和y ＝2－x 2的图象有1个交点,如图,其中与半圆相切的直线方程为y ＝x ＋2,过点(0,2)的直线方程为y ＝x ＋2,所以满足条件的b 的取值范围是b ＝－2或－2＜b ≤ 2.答案：{－2}∪(－2,2]5．(苏州质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －cos x ,则f (x )在[0,2π]上的零点个数为________．解析：作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示,可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.答案：36．(泰州中学上学期期中)已知函数y ＝f (x )的周期为2,当x ∈[－1,1]时,f (x )＝x 2,那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．解析：在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象,如图,结合图象知,共有10个交点．答案：10二保高考,全练题型做到高考达标1．设x 0为函数f (x )＝2x ＋x －2的零点,且x 0∈(m ,n ),其中m ,n 为相邻的整数,则m ＋n ＝________.解析：函数f (x )＝2x ＋x －2为R 上的单调增函数,又f (0)＝1＋0－2＝－1＜0,f (1)＝2＋1－2＝1＞0,所以f (0)·f (1)＜0,故函数f (x )＝2x ＋x －2的零点在区间(0,1)内,故m ＝0,n ＝1,m ＋n ＝1.答案：12．(镇江中学检测)已知函数f (x )＝2x ＋2x －6的零点为x 0,不等式x －4＞x 0的最小的整数解为k ,则k ＝________.解析：函数f (x )＝2x ＋2x －6为R 上的单调增函数,又f (1)＝－2＜0,f (2)＝2＞0,所以函数f (x )＝2x ＋2x －6的零点x 0满足1＜x 0＜2,故满足x 0＜n 的最小的整数n ＝2,即k －4＝2,所以满足不等式x －4＞x 0的最小的整数解k ＝6.答案：63．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内,则k 的取值范围为________．解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k , 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1,2)内时,f (1)·f (2)＜0, 即(5－k )(10－k )＜0,解得5＜k ＜10. 当f (1)＝0时,k ＝5.综上,k 的取值范围为[5,10)．答案：[5,10)4．(太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内,则实数m 的取值范围是________．解析：依题意并结合函数f (x )的图象可知,⎩⎨⎧m ≠2，f －1·f0＜0，f 1·f 2＜0，即⎩⎨⎧m ≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1＜0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]＜0，解得14＜m ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，125．(无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥1，x ·log 2x ＋1，x ＜1，若方程f (x )－mx ＝0恰好有3个零点,则实数m 的取值范围为________．解析：当x ≥1时,方程f (x )－mx ＝0变为1－mx ＝0,解得x ＝1m;当－1＜x ＜1时,方程f (x )－mx ＝0变为x [log 2(x ＋1)－m ]＝0,解得x ＝0或x ＝2m －1. 因为f (x )－mx ＝0恰好有3个零点,所以1m≥1,且－1＜2m －1＜1,解得0＜m ＜1,故实数m 的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)6．(镇江调研)已知k 为常数,函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有4个不同的解,则实数k 的取值范围为________．解析：作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示,若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有4个不同解,当直线y ＝kx ＋2与y ＝ln x 的图象相切时,设切点为(m ,n ),可得n ＝ln m ,y ＝ln x 的导数为y ′＝1x (x ＞1),可得k ＝1m,则n ＝km ＋2,解得m ＝e 3,k ＝e －3,则实数k 的取值范围为(0,e －3)．答案：(0,e －3)7．(苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0，若直线y ＝ax 与y ＝f (x )交于三个不同的点A (m ,f (m )),B (n ,f (n )),C (t ,f (t ))(其中m ＜n ＜t ),则n ＋1m＋2的取值范围是________．解析：由已知条件可得⎩⎨⎧2m ＋1＝am ，ln n ＝an ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋1m ＝a ，ln n n ＝a ，所以n ＋1m ＋2＝n ＋ln nn,令g (n )＝n ＋ln nn,当f (x )＝ln x ,x ＞0与y ＝ax 相切时,由f ′(x )＝1x ,得1x＝a ,又ln x ＝ax ,解得x ＝e,所以要满足题意,则1＜n ＜e.由g ′(n )＝1＋1－ln nn 2＞0,所以g (n )＝n ＋ln nn在(1,e)上单调递增,所以g (n )＝n ＋1m ＋2∈⎝⎛⎭⎪⎫1，e ＋1e .答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，e ＋1e 8．(南京、盐城一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )＝2x ＋m2x ,设g (x )＝⎩⎨⎧f x ，x ＞1，f－x ，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点,则实数t 的取值范围是________．解析：因为f (x )为奇函数,所以f (－x )＝－f (x ),即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x ),解得m ＝－1,故g (x )＝⎩⎨⎧2x －2－x ， x ＞1，2－x －2x，x ≤1，作出函数g (x )的图象(如图所示)．当x ＞1时,g (x )单调递增,此时g (x )＞32;当x ≤1时,g (x )单调递减,此时g (x )≥－32,所以当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32时,y ＝g (x )－t 有且只有一个零点．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，329．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ,(1)判断命题：“对于任意的a ∈R,方程f (x )＝1必有实数根”的真假,并写出判断过程;(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点,求实数a 的取值范围．解：(1)“对于任意的a ∈R,方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意,f (x )＝1有实根,即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根,因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立,即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根,从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意,要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点, 只需⎩⎪⎨⎪⎧f －1＞0，f 0＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得12＜a ＜34.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.10．(通州中学检测)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1,g (x )＝a 2x 2＋bx ＋1.若函数f (x )有两个不同零点x 1,x 2,函数g (x )有两个不同零点x 3,x 4.(1)若x 3＜x 1＜x 4,试比较x 2,x 3,x 4的大小关系;(2)若x 1＝x 3＜x 2,m ,n ,p ∈(－∞,x 1),f ′mg n ＝f ′n g p ＝f ′pg m,求证：m ＝n ＝p .解：(1)因为函数g (x )的图象开口向上,且零点为x 3,x 4, 故g (x )＜0⇔x ∈(x 3,x 4)．因为x 1,x 2是f (x )的两个不同零点, 故f (x 1)＝f (x 2)＝0.因为x 3＜x 1＜x 4,故g (x 1)＜0＝f (x 1),于是(a 2－a )x 21＜0. 注意到x 1≠0,故a 2－a ＜0. 所以g (x 2)－f (x 2)＝(a 2－a )x 22＜0, 故g (x 2)＜f (x 2)＝0,从而x 2∈(x 3,x 4), 于是x 3＜x 2＜x 4.(2)证明：记x 1＝x 3＝t ,故f (t )＝at 2＋bt ＋1＝0,g (t )＝a 2t 2＋bt ＋1＝0,于是(a －a 2)t 2＝0.因为a ≠0,且t ≠0,故a ＝1. 所以f (x )＝g (x )且图象开口向上．所以对∀x ∈(－∞,x 1),f ′(x )递增且f ′(x )＜0,g (x )递减且g (x )＞0. 若m ＞n ,则f ′(n )＜f ′(m )＜0,1g n＞1g p＞0,从而g (p )＞g (n )＞0,故n ＞p .同上,当n ＞p 时,可推得p ＞m .所以p ＞m ＞n ＞p ,矛盾．所以m ＞n 不成立．同理,n ＞m 亦不成立．所以m ＝n .同理,n ＝p . 所以m ＝n ＝p .三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．(镇江期中)函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |＋3，x ＞0，－x 2－2x －2，x ≤0，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋4b＋1＝0有4个不同的实数根,则实数b 的取值范围是________．解析：令t ＝f (x ),则原方程等价于t 2＋bt ＋1＋4b ＝0.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知,当t ＞3,－2≤t ＜－1时,函数y ＝t 和y ＝f (x )各有两个交点, 要使方程f 2(x )＋bf (x )＋4b ＋1＝0有4个不同的实数根, 则方程t 2＋bt ＋1＋4b ＝0有两个根t 1,t 2,且t 1＞3,－2≤t 2＜－1.令g (t )＝t 2＋bt ＋1＋4b ,则由根的分布可得⎩⎨⎧g－2＝5＋2b ≥0，g－1＝2＋3b ＜0，g3＝10＋7b ＜0，解得－52≤b ＜－107. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－1072．(南京调研)设函数f k (x )＝2x ＋(k －1)·2－x (x ∈R,k ∈Z)． (1)若f k (x )是偶函数,求不等式f k (x )＞174的解集; (2)设不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4的解集为A ,若A ∩[1,2]≠∅,求实数m 的取值范围; (3)设函数g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )－2,若g (x )在x ∈[1,＋∞)上有零点,求实数λ的取值范围．解：(1)因为f k (x )是偶函数,所以f k (－x )＝f k (x )恒成立, 即2－x ＋(k －1)·2x ＝2x ＋(k －1)·2－x , 所以k ＝2. 由2x ＋2－x ＞174,得4·22x －17·2x ＋4＞0, 解得2x ＜14或2x ＞4,即x ＜－2或x ＞2,所以不等式f k (x )＞174的解集为{x |x ＜－2或x ＞2}． (2)不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4,即为2x －2－x ＋m ·2x ≤4, 所以m ≤2－x －2x ＋42x ,即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋4·12x －1.令t ＝12x ,x ∈[1,2],则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12,设h (t )＝t 2＋4t －1,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12,则h (t )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54.由A ∩[1,2]≠∅,即不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4在[1,2]上有解, 则需m ≤h (t )max ,即m ≤54.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.(3)函数g (x )＝λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2在x ∈[1,＋∞)上有零点,即λ(2x －2－x )－(22x ＋2－2x )－2＝0在x ∈[1,＋∞)上有解, 因为x ∈[1,＋∞),所以2x －2－x ＞0,所以问题等价于λ＝22x ＋2－2x ＋22x －2－x 在x ∈[1,＋∞)上有解．令p ＝2x ,则p ≥2,令u ＝p －1p,则u 在p ∈[2,＋∞)上单调递增, 因此u ≥32,λ＝u 2＋4u.设r (u )＝u 2＋4u ＝u ＋4u ,则r ′(u )＝1－4u 2,当32≤u ≤2时,r ′(u )≤0,即函数r (u )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2上单调递减,当u ≥2时,r ′(u )≥0,即函数r (u )在[2,＋∞)上单调递增,所以函数r (u )在u ＝2时取得最小值,且最小值r (2)＝4, 所以r (u )∈[4,＋∞),从而满足条件的实数λ的取值范围是[4,＋∞)．。

高考数学一轮复习-函数模型及其应用课时跟踪检测-理-湘教版

课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用第Ⅰ组：全员必做题1．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为( )2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝1002x＋1003．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A．①B．①②C．①③D．①②③4.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A．上午10：00 B．中午12：00C．下午4：00 D．下午6：005．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是( ) A．7层 B．8层 C．9层 D．10层6.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的．7.如图，书的一页的面积为600 2，设计要求书面上方空出2 的边，下、左、右方都空出1 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为．8．某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增，八月份销售额比七月份递增，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是．9．(2013·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：月用水量x(吨)34567频数1333 2请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x(吨)1234567频数10201616151310 据此估计该地“节约用水家庭”的比例．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·威海高三期末)对于函数f(x)，如果存在锐角θ，使得f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f(x)具备角θ的旋转性，下列函数具备角的旋转性的是( )A．y＝ B．y＝x C．y＝x D．y＝x22．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为，该工厂的年产量为件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选D 注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.2．选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．3．选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4．选C 当x∈[0,4]时，设y＝k1x，把(4,320)代入，得k1＝80，∴y＝80x.当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)代入得错误!解得错误!∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝错误!由y≥240，得错误!或错误!解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.5．选C 设所停的楼层为n层，则2≤n≤12，由题意得：S＝2＋4＋…＋2(12－n)＋1＋2＋3＋…＋(n－2)＝＋＝n2－n＋157，其对称轴为n＝∈(8,9)，又n∈N*且n离9的距离较近，故选C.6．解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在附近时，体积变化较快；h小于时，增加越来越快；h大于时，增加越来越慢．答案：②7．解析：设长为a，宽为b，则＝600 ，则中间文字部分的面积S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2＝486，当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，S最大＝486 2.答案：30 ,208．解析：七月份的销售额为500(1＋)，八月份的销售额为500(1＋)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋)＋500(1＋)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋)＋500(1＋)2]≥7 000，即25(1＋)＋25(1＋)2≥66，令t＝1＋，则25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋≥，解得x≥20.答案：209．解：(1)y关于x的函数关系式为y＝错误!(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”的频率为＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.第Ⅱ组：重点选做题1．选C 函数f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角，相当于x轴、y轴绕坐标原点顺时针旋转角，问题转化为直线y＝x＋k与函数f(x)的图像不能有两个交点，结合图像可知y ＝x与直线y＝x＋k没有两个交点，故选C.2．解析：当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝错误!(x∈N*)．当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润．答案：y＝错误!(x∈N*) 16。

课时达标检测几类不同增长的函数模型

课时达标检测几类不同增长的函数模型在数学中，函数可以用来描述变量之间的关系。

而不同类型的函数模型则可以用来描述这些关系的增长方式。

下面将介绍一些常见的函数模型。

1.线性增长模型：线性函数是最简单的一类函数模型，表示为 f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，增长速度恒定且呈直线趋势。

这种模型适用于简单的增长关系，比如物体的匀速直线运动。

2.指数增长模型：指数函数是一种常见的非线性增长模型，表示为f(x)=a^x，其中a为常数。

指数函数的图像是递增或递减的曲线，增长速度随着x的增加而指数级增加。

这种模型适用于一些现实世界中的增长现象，如人口增长和电子器件的寿命。

3.幂函数增长模型：幂函数是另一种常见的非线性增长模型，表示为 f(x) = ax^b，其中a和b为常数。

幂函数的图像是典型的S形曲线，增长速度随着x的增加而减缓。

这种模型适用于一些复杂的增长关系，如生物种群的增长和金融市场的发展。

4.对数增长模型：对数函数是一种特殊的非线性增长模型，表示为 f(x) = logax，其中a为常数。

对数函数的图像是一条递增但增长速度逐渐减缓的曲线。

这种模型适用于一些增长趋势相对缓慢的关系，如细菌的增长和信息传输的速度。

需要注意的是，上述的函数模型只是一些常见的例子，并不能穷尽所有的可能性。

实际问题中，可能需要根据具体情况选择不同的函数模型来描述变量之间的关系。

此外，还可以将不同类型的函数模型进行组合和变换，以适应更复杂的增长过程。

在实际应用中，可以通过观察数据的变化趋势来选择合适的函数模型。

并利用统计方法来估计函数模型的参数，从而得到最佳拟合的函数曲线。

同时，还可以利用函数模型来进行预测和推断，以了解变量之间的关系及其未来的发展趋势。

总之，不同类型的函数模型可以用来描述不同的增长方式。

选择合适的函数模型可以更好地理解和解释数据的背后规律，从而对实际问题做出更准确的预测和分析。

【高中数学】函数模型及其应用

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。

第15讲函数模型及其应用(解析版)

第15讲函数模型及其应用【基础巩固】1．（2022·辽宁葫芦岛·二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y 与温度x （单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据()(),1,2,,7i i x y i L =得到下面的散点图：由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y 和温度x 的回归方程类型的是（） A ．y a bx =+ B ．by a x=+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+【答案】C【解析】由散点图可以看出红铃虫产卵数y 随着温度x 的增长速度越来越快，所以e x y a b =+最适宜作为红铃虫产卵数y 和温度x 的回归方程类型. 故选：C2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=⋅计算火箭的最大速度(m /s)v ，其中0(m /s)v 是喷流相对速度，(kg)m 是火箭（除推进剂外）的质量，(kg)M 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（）（附：lge 0.434,lg 20.301≈≈） A ．5790m /s B ．6219m/s C ．6442m/s D ．6689m/s【答案】C【解析】0v v =4lg54(1lg 2)ln 1000ln 625100010006442m/s lge lgeMm -=⨯=⨯=⨯≈. 故选：C ．3．（2022·海南海口·二模）在核酸检测时，为了让标本中DNA 的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR 技术对DNA 进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA 的数量n X （单位：g /L μμ）与PCR 扩增次数n 满足0 1.6n n X X =⨯，其中0X 为DNA 的初始数量．已知某待测标本中DNA 的初始数量为0.1g /L μμ，核酸探针能检测到的DNA 数量最低值为10g /L μμ，则应对该标本进行PCR 扩增的次数至少为（）（参考数据：lg1.60.20≈，ln1.60.47≈）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】B【解析】由题意知00.1X =，10n X =，令100.1 1.6n =⨯，得1.6100n =，取以10为底的对数得lg1.62n =，所以210lg1.6n =≈．故选：B.4．（2022·北京·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数．如果在前10h 污染物减少19%，那么再过5h 后污染物还剩余（） A ．40.5% B ．54% C ．65.6% D ．72.9%【答案】D【解析】由题设，1000(119%)e kP P --=，可得5e 0.9k -=，再过5个小时，0005(0.81(119%)0.9)e 0.729kP P P P -=⨯==-，所以最后还剩余72.9%. 故选：D5．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）满足函数关系式t v a b =⋅（其中,a b 为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg 20.3≈）A ．40个月B ．32个月C ．28个月D ．20个月【答案】B【解析】依题意有()()61260.05,120.1,v ab v ab ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得162b =，0.025a =，故()160.0252tv t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭．令()1v t =，得16240t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()16126610.6lg 4012lg 2log 403210.3lg 2lg 26t ⨯++===≈=. 故选B ．6．（2022·全国·高三专题练习）有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为（）A ．22500mB ．22750mC ．23000mD ．23500m【答案】A【解析】设矩形的宽为m x ，则该矩形的长为()2004m x -，所以，矩形的面积为()()()2220044504252500S x x x x x =-=--=--+，其中050x <<，故当25x =时，S 取得最大值22500m . 故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102t at t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:00【答案】A【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102tt t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫ ⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00. 故选：A.8．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A ：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B ：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t 小时后的电量为当前电量的12t倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A 模式，并在x 小时后，切换为B 模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x 的取值范围是（） A ．12x << B ．12x <≤C ．89x <<D ．89x ≤<【答案】C【解析】由题意得，x 小时后的电量为(3000300)x -毫安，此时转为B 模式，可得10小时后的电量为101(3000300)2xx --⋅，则由题意可得101(3000300)30000.052xx --⋅>⨯，化简得101(10)0.52xx --⋅>，即9102x x -->令10m x =-，则12m m ->，由题意得010x <<，则010m <<，令m 分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等，由函数y x =和12x y -=的图象可知，该不等式的解集为12m <<，所以1102x <-<，得89x <<，故选：C9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（） A ．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级 B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍 C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为an ，则数列{an }是等比数列【答案】ACD【解析】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，所以16.83113.821010100010E E ===，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D ：由题意得lg 4.8 1.5n a n =+（n =1，2，···，9，10），所以 4.8 1.510nn a +=，所以 4.8 1.5(1) 6.3 1.511010n n n a ++++== 所以6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++==，即数列{an }是等比数列，故D 正确；故选：ACD10．（多选）（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强【答案】AC【解析】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，对于A ，0.141212122,,,15,01b b r r T T b b -=><<<<<℃210.140.421121,0r r b b T T -->>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()1200.1.1424211100r rT b T b --=⋅-⋅>，℃12E E >，即甲比乙工作效率高，故A 正确；对于B ，121212,,T T r r b b =>>，℃2210.0.140.140.141402.14121110,r r r b b b b b ----->>>>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()210.141210.14100r rT b b --=->，℃12E E >，即甲比乙工作效率高，故B 错误：对于C ，112221,,b b E E r r =><，℃()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r rT b T b --⋅>⋅℃()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故C 正确；对于D ，12121221,,,01r r E E b b b b =><<<， ℃()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r rT b T b --⋅>⋅℃()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故D 错误．故选：AC11．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x 件时，售价为s 元/件，且满足8202s x =-，每天的成本合计为60020x +元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.【答案】 200 7.94 【解析】由题意易得日利润()()()()260020820260020220079400y s x x x x x x =⨯-+=--+=--+，故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，故答案为：200，7.94.12．（2022·全国·模拟预测）一种药在病人血液中的量保持1000mg 以上才有疗效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg ，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg 20.3010≈，lg30.4771≈，精确到0.1h ）【答案】6.6【解析】设x h 后血液中的药物量为y mg ，则有()020001100xy =-，令1000y ≥得：lg 20.30106.612lg3120.4771x ≤≈≈--⨯故从现在起经过6.6h 内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 故答案为：6.613．（2022·北京东城·三模）某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭___________元. 【答案】61.6【解析】由题可得两人把商品合并由小昭一次性付款实际付款为()702800.8280+⨯=元，他们分别支付应付款为702800.9322+⨯=元，故节省32228042-=元，故小敏需要给小昭70704261.670280-⨯=+元.故答案为：61.6.14．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml ，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量y （单位：mg ）与时间x （单位：h ）的关系是：当1103x <<时，227010801111y x x =-+；当113x ≥时，110y x=，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h 才可驾车.【答案】5.5 【解析】当1103x <<时，2227010802701080(2)11111111y x x x =-+=--+，当2x =时，函数有最大值10802011>，所以当1103x <<时，饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量小于20mg/100ml ，当当113x ≥时，函数110y x =单调递减，令11020 5.5y x x==⇒=，因此饮酒后5.5小时体内每100ml 血液中的酒精含量等于20mg/100ml ，故答案为：5.515．（2022·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为___________．（本题中取3π=进行计算）【答案】633-【解析】设圆弧的半径为3(0)2x x <≤，根据题意可得：32BC DE AB x x ==-=-()()22213339····422244x S AE DE AB DE AE x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+=⨯-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭226242x xL AB BC DE x ππ=+++=-+2913642x S L x π-=∴==-，29122S x L x-∴=-令122t x =-(912)t ≤<，则， 212912272624t t S t x L t t -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=∴==-++ ⎪⎝⎭ 根据基本不等式，272723344t t +≥，当却仅当 274t t =，即63t =“=”.[)63912，， 63t ∴=633maxSL =-故答案为：633-16．（2022·全国·高三专题练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪⎩，＝，＞，其中x 是“玉兔”的月产量.(1)将利润f (x )表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润) 【解】(1)由题意，当0400x 时，2()4000.520000100f x x x x =---23000.520000x x =--；当400x >时，()8000010020000f x x =--60000100x =-；故2130020000,(0400)()210060000,(400)x x x f x x x ⎧-+-⎪=⎨⎪-+>⎩； (2)当0400x 时，2()3000.520000f x x x =--；当300x =时，max ()(300)25000f x f ==(元) 当400x >时，max ()(400)20000f x f <=(元)2500020000>，∴当300x =时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．17．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）如图，某街道拟设立一占地面积为a 平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．(1)设采样点长边为x 米，采样点及周围通道的总占地面积为S 平方米，试建立S 关于x 的函数关系式，并指明定义域；(2)当300700a ≤≤时，试求S 的最小值，并指出取到最小值时x 的取值．【解】(1)由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是(16)m x +，宽是(10)m a x+，故16(16)(10)10160,[20,28]aS x x a x xxa =++=+++∈； (2)由（1）知，1610160,[20,28]aS x a x x=+++∈，当300490a ≤≤时，161610160210160810160a aS x a x a a a x x=+++≥⋅+=+，当且仅当1610ax x=即85ax =8[20,28]5a x =8585a a故此时S 的最小值为810160a a +，此时85ax = 当490700a <≤时，令16()10160,[20,28]af x x a x x=+++∈，则222161016()10,[20,28]a x af x x x x -'=-+=∈，由于()0f x '=时，8285a x => ，故221016()0,[20,28]x af x x x -'=<∈，即16()10160,[20,28]af x x a x x=+++∈单调递减，故min 11()(28)4407af x f ==+，此时28x = ，满足a x x> , 故S 的最小值为114407a+，此时28x =. 18．（2022·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料x (单位：千克)满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x (单位：元) (1)写单株利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【解】(1)依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，℃27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩． (2)当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =， ()f x ∴在[0，1]5上单调递减，在1(5，2]上单调递增， ()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．当25x <时，2525()78030(1)780302(1)48011f x x x x x =-++-⨯+++，当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． ℃465480<，℃当4x =时，max ()480f x =．℃当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方形ABCD 中，|AB |=2，点M 从点A 出发，沿A →B →C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动：点N 从点B 出发，沿B →C →D →A 方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动时间为t （单位：秒），℃AMN 的面积为f （t ）（规定A ，M ，N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，y =f （t ）的图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】℃0≤t≤1时，f （t ）=211222AM BN t t t ⋅=⋅⋅=； ℃12t <时，()()12122f t MN AB MN t t t =⋅==--=-； ℃23t <≤时，()()()122222f t MN BC MN t t t =⋅==---=-； ℃34t <≤时，()()][()21122322(4)22f t AM DN t t t ⎡⎤=⋅=--⋅--=-⎣⎦；所以22,012,12()2,23(4),34t t t t f t t t t t ⎧⎪-<⎪=⎨-<⎪⎪-<⎩，其图象为选项A 中的图象，故选：A ．2．（2022·全国·高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分．已知扇环周长300cm =，大扇形半径100cm OD =，设小扇形半径cm OA x =，AOB θ∠=弧度，则℃θ关于x 的函数关系式()x θ=_________．℃若雕刻费用关于x 的解析式为()101700w x x =+，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．【答案】 1002100x x++，()0,100x ∈； 3 【解析】由题意可知，AOB θ∠=，OA x = ，100OD =，所以AB x θ=⋅，100AD BC x ==-，DC 100θ=，扇环周长AB AD BC DC +++2002100300x x θθ=⋅+-+=，解得()1002,0,100100x x xθ+=∈+，砖雕面积即为图中环形面积，记为S ，则12DOC AOB S S S OD DC =-=⋅⋅扇形扇形12OA AB -⋅⋅ 22111002100100500050002222100x x x x x x θθθθ⎛⎫+=⨯⨯-⋅⋅=-=-⋅ ⎪+⎝⎭，即雕刻面积与雕刻费用之比为m ，则()()()()()()()210000*********()210101017000170x x w x m x x x x x S +-+=+-+==+，令170t x =+，则170x t =-，()()22701203901202701227039101010t t t t t m t tt ---+-⨯⨯∴===--+ 122702393639310t t⨯≤-⋅=-+= ，当且仅当180t =时（即10x =）取等号，所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3. 故答案为：1002100x x++，()0,100x ∈；3。

2020届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第三章导数及其应用课时跟踪训练15 Word版含解析.doc

课时跟踪训练(十五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )[解析] 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．[答案] A2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2)C ．(－2，－1)D ．(－2,0) [解析] 设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．[答案] D3.如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(－3,2)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(－3,2)上是单调函数[解析] 由图可知，当－3<x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－3,0)上是减函数．故选A.[答案] A4．函数f (x )＝2ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a D ．(－∞，a )[解析] 由f ′(x )＝2x －a >0，得0<x <2a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2a .故选A. [答案] A5．(2018·江西临川一中期中)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x .要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋a x ＝0在x >0上有解，所以a <0.[答案] C6．(2017·湖北襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)[解析] 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B.[答案] B二、填空题7．函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝2x －a ，∵f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a ≤2x ，∴a ≤2.[答案] (－∞，2]8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ax －x 3，若对区间(0,1)上的任意x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 问题等价于函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0,1)上为增函数，即g ′(x )＝a －1－3x 2≥0，即a ≥1＋3x 2在(0,1)上恒成立，即a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．[答案] [4，＋∞)三、解答题10．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．[能力提升]11．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) [解析] 由f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )是偶函数．f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当0<x <π2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，π2)上为增函数．又0<π5<1<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.故选A. [答案] A12．(2017·湖北华北师大附中模拟)若f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，则f (x －1)<e 2＋1e 的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 由f (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，得f (x )－f (－x )＝(1－a )(e x －e －x )＝0恒成立，所以a ＝1，即f (x )＝e x ＋e －x ，则f ′(x )＝e x －e －x .当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且图象关于y 轴对称．由f (x－1)<e 2＋1e ＝f (1)得|x －1|<1，解得0<x <2，即f (x －1)<e 2＋1e 的解集为(0,2)，故选B.[答案] B13．(2017·福建福州质检)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋(a －6)x 在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝a x ＋2x ＋a －6＝2x 2＋(a －6)x ＋a x(x >0)．设g (x )＝2x 2＋(a －6)x ＋a (x >0)，因为函数f (x )在(0,3)上不是单调函数，等价于函数g (x )＝2x 2＋(a －6)x ＋a (x >0)在(0,3)上不会恒大于零或恒小于零．又g (0)＝a ，g (3)＝4a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)＝a >0，0<－a －64<3，Δ＝(a －6)2－8a >0，解得0<a <2，所以实数a 的取值范围为(0,2)．[答案] (0,2)14．(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.71828…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x ；②f (x )＝3－x ；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.[解析] ①因为f (x )＝2－x 的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x 在R 上单调递增，故f (x )＝2－x 具有M 性质．②因为f (x )＝3－x 的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在R 上单调递减，故f (x )＝3－x 不具有M 性质．③因为f (x )＝x 3的定义域为R ，又e x f (x )＝e x ·x 3，构造函数g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝x 2e x (x ＋3)，当x >－3时，g ′(x )>0，当x <－3时，g ′(x )<0，所以e x f (x )＝e x ·x 3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f (x )＝x 3不具有M 性质．④因为f (x )＝x 2＋2的定义域为R ，又e x f (x )＝e x (x 2＋2)，构造函数h (x )＝e x (x 2＋2)，则h ′(x )＝e x (x 2＋2)＋e x ·2x ＝e x [(x ＋1)2＋1]>0，所以e x f (x )＝e x (x 2＋2)在R 上单调递增，故f (x )＝x 2＋2具有M 性质．故填①④.[答案] ①④15．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在(2，＋∞)上为单调函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． ∴综上当a ≤0时f (x )在(0，＋∞)单调递增．当a >0时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合要求；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，则2≥1a ，即a ≥12.∴实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 16．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性．[解] f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．②若a >－e 2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减．③若a <－e 2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．[延伸拓展]已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞)。

高考数学函数模型及其应用

解析：由题知 y＝20－2x，y>0 且 2x>y，所以 x∈(5,10)．答案：(5,10)
3．某商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)
t＋20，0<t<25，t∈N， P＝－t＋100，25≤t≤30，t∈N，
的函数关系为
且
该商品的日销售量 Q 与时间 t(天)的函数关系为 Q＝－ t＋40(0<t≤30，t∈N)，则这种商品日销量金额最大的一天是 30 天中的第________天．
当 x＝10 时，y＝y1－y2＝0，即 y1＝y2；解：(1)根据题意，当 x＝18 时，甲店茶壶的价格为 44 元/个．当 10<x≤18 时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)<0， * 80－2xx，0<x≤18，且x∈N ，即 y 则y 1<y2； 1＝ * 44 x ， x >18 ，且 x ∈ N . 当 x>18 时，y＝y1－y2＝－16x<0，即 y1<y2. y2＝60x，x∈N*. 所以当购买的茶壶数小于 10 个时， (2)设 y＝y1－y2 到乙茶具店购买花费较少；
解析：设日销量金额为 W 元，则
t＋20－t＋40，0<t<25，t∈N， W＝P· Q＝－t＋100－t＋40，25≤t≤30，t∈N，
当 0<t<25，t∈N 时，W(t)≤W(10)＝900；当 25≤t≤30，t ∈N 时，W(t)≤W(25)＝1 125，所以第 25 天时的日销量金额最大．答案：25
[由题悟法 ] 二次函数模型问题的 3 个注意点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．

2021-2022学年新教材湘教版高中数学必修第一册4.5函数模型及其应用课时练习题

4.5 函数模型及其应用1、几种函数增长快慢的比较 ................................................................................. 1 2、形形色色的函数模型 .. (7)1、几种函数增长快慢的比较1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．y ＝2x －2 B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)解析：选D 法一：相邻的自变量之差从左到右依次大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，抛物线拟合程度最好，故选D.法二：可以采用特殊值代入法，取某个x 的值代入，再比较函数值是否与表中数据相符．可取x ＝4，经检验易知选D.2．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x 小时，跑过的路程分别满足关系式：f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 3(x ＋1)，f 4(x )＝2x －1，则5个小时以后跑在最前面的为( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选D 法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．法二：由于4个函数均为增函数，且f 1(5)＝52＝25，f 2(5)＝20，f 3(5)＝log 3(5＋1)＝1＋log 32，f 4(5)＝25－1＝31，f 4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面，故选D.3．(2021·安徽省级示范高中高一期中)若x ∈(0，1)，则下列结论正确的是( )A ．2x >x 12>lg x B ．2x >lg x >x 12 C ．x 12>2x >lg xD ．lg x >x 12>2x解析：选A 如图所示，结合y ＝2x ，y ＝x 12及y ＝lg x 的图象易知，当x ∈(0，1)时，2x >x 12>lg x ，故选A.4．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析：选A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可知，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ）.因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2.故本年5月份甲食堂的营业额较高．5．某企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x 年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为() A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4B．y＝8×1.1x＋2.4xC．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4解析：选A第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8(万元)，第二年企业付给工人的工资总额为(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，…，以此类推，第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)1.1x＋2.4(万元)．6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比x ln x增长的要快．答案：y＝x27．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64 MB内存(1 MB＝210 KB)．解析：设开机后经过n个3分钟后，该病毒占据64 MB内存，则2×2n＝64×210＝216，∴n＝15，故时间为15×3＝45(分)．答案：458．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C对应______；D对应______．解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与(3)对应，D容器水高度变化慢，与(2)对应．答案：(4)(1)(3)(2)9．画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x＞4时，f(x)＜g(x)．10．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.你觉得哪种方案较好．(参考数据：(1＋9%)5≈1.538 6)解：方案一：5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米)．方案二：5年后树木面积是10×(1＋9%)5≈15.386(万平方米)．∵15.386>15，∴方案二较好．11．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝x 12，h(x)＝x－2的大小关系是()A．h(x)<g(x)<f(x)B．h(x)<f(x)<g(x) C．g(x)<h(x)<f(x) D．f(x)<g(x)<h(x)解析：选D在同一坐标下作出函数f(x)＝x2，g(x)＝x 12，h(x)＝x－2的图象．由图象知，D正确．12．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：地震强度(J)1.6×10193.2×10194.5×1019 6.4×1019震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b 为常数)．利用散点图可得a＝________，b＝________．(取lg 2＝0.3进行计算)解析：由模拟函数及散点图得a lg 1.6＋b＝5，a lg 3.2＋b＝5.2，两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，所以a lg 2＝0.2，解得a＝2 3，所以b＝5－23lg 1.6＝5－23(4lg 2－1)＝5－23×15＝7315.答案：23731513．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)12345 6h(米)0.61 1.3 1.5 1.6 1.7解：在坐标轴上标出t (年)与h (米)之间的关系如图所示．由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．不妨将(2，1)代入h ＝log a (t ＋1)中，得1＝log a 3，解得a ＝3. 故可用函数h ＝log 3(t ＋1)来拟合这个实际问题．当t ＝8时，求得h ＝log 3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米． 14．假设有一套住房的房价从2011年的20万元上涨到2021年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P 1是按直线上升的房价，P 2是按指数增长的房价，t 是2011年以来经过的年数.t 0 5 10 15 20 P 1/万元 20 40 P 2/万元2040(1)求函数P 1＝f (t )的解析式； (2)求函数P 2＝g (t )的解析式；(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．解：(1)设f (t )＝kt ＋b (k ≠0)，则⎩⎨⎧b ＝20，10k ＋b ＝40⇒⎩⎨⎧b ＝20，k ＝2. ∴P 1＝f (t )＝2t ＋20.(2)设g (t )＝ma t (a >0，且a ≠1)，则⎩⎨⎧m ＝20，ma 10＝40⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝20，a ＝102.∴P 2＝g (t )＝20×(102)t ＝20×2t 10.(3)图象如图．表格中的数据如下表所示：t 05101520P1/万元2030405060P2/万元20202404028012增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大．2、形形色色的函数模型1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N ＋)，该产品的产量y满足()A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x解析：选D经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.2．某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下()A．0.015克B．(1－0.5%)3克C．0.925克D．1000.125 克解析：选D设每年减少的比例为x，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余1×(1－x)100克，依题意得(1－x)100＝0.5，所以x＝1－1000.5，3年后剩余为(1－x)3，将x的值代入，得结果为1000.125，故选D.3．某商场2020年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，时间t 123 4利润y(千元)2 3.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()A．y＝log2t B．y＝2tC．y＝t2D．y＝2t解析：选B作出散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B.4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝a t.关于下列说法正确的是()A．浮萍每月的增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2C．浮萍每月增加的面积都相等D．若浮萍蔓延到2 m2，3m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3解析：选ABD图象过(1，2)点，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t.∵2t＋1－2t2t＝2t（2－1）2t＝1，∴每月的增长率为1，A正确．当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴B正确．∵第二个月比第一个月增加y 2－y 1＝22－2＝2(m 2)，第三个月比第二个月增加y 3－y 2＝23－22＝4(m 2)≠y 2－y 1，∴C 不正确．∵2＝2t 1，3＝2t 2，6＝2t 3， ∴t 1＝log 22，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴t 1＋t 2＝log 22＋log 23＝log 26＝t 3，D 正确．故选A 、B 、D.5．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg I I 0(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的( )A.76倍 B ．10倍 C ．1076倍D ．ln 76倍解析：选B 依题意可知，η1＝10·lg I 1I 0，η2＝10·lg I 2I 0，所以η1－η2＝10·lg I 1I 0－10·lg I 2I 0，则1＝lg I 1－lg I 2，所以I 1I 2＝10.故选B.6．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m 处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m 时，球到达最高点，此时球高3 m ，已知球门高2.44 m 并且球按抛物线飞行，球________踢进球门(填“能”或“不能”)．解析：建立如图所示的坐标系，抛物线经过点(0，0)，顶点为(6，3)．设其解析式为y ＝a (x －6)2＋3，把x ＝0，y ＝0代入，得a ＝－112， ∴y ＝－112(x －6)2＋3.当x ＝10时，y ＝－112(10－6)2＋3＝53<2.44. ∴球能踢进球门．答案：能7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg ，火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.解析：当v ＝12 000 m/s 时，2 000·ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000，所以ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，所以Mm ＝e 6－1.答案：e 6－18．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入函数关系式可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入函数关系式，得 y ＝5log 28010＝5log 28＝15.即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.9．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(万件)之间的关系如下表所示：若f (x )近似符合以下三种函数模型之一：f (x )＝ax ＋b ，f (x )＝2x ＋a ，f (x )＝log 12x ＋a .(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．解：(1)符合条件的是f (x )＝ax ＋b ，若模型为f (x )＝2x ＋a ，则由f (1)＝21＋a ＝4，得a ＝2，即f (x )＝2x ＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与已知相差太大，不符合．若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与已知不符合．由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x ＋52，x ∈N .故最适合的函数模型解析式为f (x )＝32x ＋52，x ∈N . (2)2021年预计年产量为f (7)＝32×7＋52＝13， 2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1. 故2021年的年产量为9.1万件．10.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (单位：μg)与时间t (单位：h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg 时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．解：(1)当0≤t <1时，y ＝kt ，由点M (1，4)在直线上，得4＝k ，故y ＝4t ；当t ≥1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，由点M (1，4)在曲线上，得4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a，解得a ＝3，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3.故y ＝f (t )＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1.(2)由题意知f (t )≥0.25，则⎩⎨⎧4t ≥0.25，0≤t <1或⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，t ≥1，解得116≤t ≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝7916(h)．11．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D (分贝)由公式D ＝a lg I ＋b (a ，b 为非零常数)给出，其中I (W/cm 2)为声音能量．(1)当声音强度D 1，D 2，D 3满足D 1＋2D 2＝3D 3时，求对应的声音能量I 1，I 2，I 3满足的等量关系式；(2)当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm 2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm 2时，声音强度为40分贝．当声音强度大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．解：(1)∵D 1＋2D 2＝3D 3，∴a lg I 1＋b ＋2(a lg I 2＋b )＝3(a lg I 3＋b )， ∴lg I 1＋2lg I 2＝3lg I 3，∴I 1·I 22＝I 33.(2)由题意得⎩⎨⎧－13a ＋b ＝30，－12a ＋b ＝40，⎩⎨⎧a ＝10，b ＝160，∴100<10lg I ＋160<120， ∴10－6<I <10－4.故当声音能量I ∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．12．中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新合金材料的含量x (单位：克)的关系为：当0≤x <6时，y 是x 的二次函数；当x ≥6时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －t.测得数据如表(部分).(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )； (2)求函数f (x )的最大值．解：(1)当0≤x <6时，由题意，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题中表格数据可得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝c ＝0，f （1）＝a ＋b ＋c ＝74，f （2）＝4a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14 ，b ＝2，c ＝0.所以当0≤x <6时，f (x )＝－14x 2＋2x . 当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －t，由题中表格数据可得，f (9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫139－t ＝19，解得t ＝7，所以当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －7.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－14x 2＋2x ，0≤x <6，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －7，x ≥6.(2)当0≤x <6时，f (x )＝－14x 2＋2x ＝－14(x －4)2＋4，所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，为4；当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －7单调递减，所以f (x )的最大值为f (6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫136－7＝3，因为4>3，所以函数f (x )的最大值为4.。

课时跟踪检测函数模型及其应用(重点高中)

课时跟踪检测（十二）函数模型及其应用(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3米B．4米C．6米D．12米解析：选A设隔墙的长为x(0＜x＜6)米，矩形的面积为y平方米，则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y取得最大值．故选A.2.(2018·湖北八校联考)有一组试验数据如表所示：A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3解析：选B由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C不正确．取x＝2.01，代入A选项，得y＝2x＋1－1>4，代入B选项，得y ＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3>8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B 选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B.3.某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件解析：选B设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．∴当x＝4时，y max＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．5.(2018·德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－t30，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝() A．150毫克/升B．300毫克/升C．150ln 2毫克/升D．300ln 2毫克/升解析：选C因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝12p0－p0 30－0，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02－t30，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．6．(2018·西安八校联考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.解析：设矩形花园的宽为y m，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．答案：207．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. ∴y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.解得x ＝1 024(万元)．答案：1 0248．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，所以2＝e 12k ，所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.答案：1 0249．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P 与时间t 的关系用图1中的一条折线表示，销量Q 与时间t 的关系用图2中的线段表示(t ∈N *)．(1)分别写出图1表示的价格与时间的函数关系P ＝f (t )，图2表示的销售量与时间的函数关系Q ＝g (t )(不要求计算过程)；(2)求这种商品的销售额S (销售量与价格之积)的最大值及此时的时间．解：(1)P ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋11，t ∈[1，20)，t ∈N *，－t ＋41，t ∈[20，40]，t ∈N *.Q ＝g (t )＝－t 3＋433，t ∈[1,40]，t ∈N *.(2)当1≤t ＜20时，S ＝⎝⎛⎭⎫t 2＋11⎝⎛⎭⎫－t 3＋433＝－16⎝⎛⎭⎫t －2122＋4 22524. 因为t ∈N *，所以t ＝10或11时，S max ＝176.当20≤t ≤40时，S ＝(－t ＋41)⎝⎛⎭⎫－t 3＋433＝13t 2－28t ＋1 7633为减函数；当t ＝20时，S max ＝161.而161＜176，所以当t ＝10或11时，S max ＝176.故当t ＝10或11时，这种商品的销售额S 最大，为176.10．某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450.每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)由题意可得，当0＜x ＜80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x ＋250，当x ≥80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450＋250，即L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，为950.当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值，为1 000. 综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．B 级——拔高题目稳做准做1.如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 2．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C 如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.3．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t60 100 180 种植成本Q 116 84 116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________(元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎪⎨⎪⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.答案：(1)120 (2)804.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为__________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，当x ＝16时，y max ＝156. 当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 16 5.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)． (2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x ＞0，x ＞0，得0＜x ＜150. 设单套丛书的利润为P 元，则P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x－30，因为0＜x ＜150，所以150－x ＞0，所以P ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(150－x )＋100150－x ＋120，又(150－x )＋100150－x ≥2 (150－x )·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立，所以P max ＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．6.(2018·山东德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 225＋2，0<x ≤5，x ＋192x －2，x >5.当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化． (1)如果投放的药剂的质量为m ＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解：(1)当m ＝5时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋10，0<x ≤5，5x ＋952x －2，x >5.当0<x ≤5时，x 25＋10>10，显然符合题意；当x >5时，由5x ＋952x －2≥5，解得5<x ≤21.综上，0<x ≤21，所以自来水达到有效净化总共可持续21天．(2)y ＝mf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ mx 225＋2m ，0<x ≤5，m (x ＋19)2x －2，x >5.当0<x ≤5时，y ＝mx 225＋2m 在区间(0,5]上单调递增，所以2m <y ≤3m ；当x >5时，y ′＝－40m (2x －2)2<0，所以函数y ＝m (x ＋19)2x －2在(5,9]上单调递减，所以7m 4≤y <3m .综上可知7m 4≤y ≤3m . 为使5≤y ≤10恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧7m 4≥5，3m ≤10，解得207≤m ≤103，所以应该投放的药剂质量m 的最小值为207.。

函数模型及其应用

函数模型及其应用一、构建函数模型的基本步骤：1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即所谓的数学模型；3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果；4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。

二、常见函数模型：1、一次函数模型；2、二次函数模型；3、分段函数模型；4、指数函数模型；5、对数函数模型；6、对勾函数模型；7、分式函数模型。

题型1：一次函数模型因一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象是一条直线，因而该模型又称为直线模型，当0k >时，函数值的增长特点是直线上升；当0k <时，函数值则是直线下降。

例1：某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台。

现销售给A 地10台，B 地8台。

已知从甲地到A 地、B 地的运费分别是400元和800元，从乙地到A 地、B 地的运费分别是300元和500元，（1）设从乙地运x 台至A 地，求总运费y 关于x 的函数解析式；（2）若总运费不超过9000元，共有几种调运方案；（3）求出总运费最低的方案和最低运费。

题型2：二次函数模型二次函数2=++（0y ax bx ca≠）为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。

例2：渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为(0)k k>。

（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围。

例3：某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。

新教材高中数学课时跟踪检测十五函数的最大小值新人教A版必修第一册

新教材高中数学课时跟踪检测十五函数的最大小值新人教A 版必修第一册课时跟踪检测（十五）函数的最大（小）值A 级——学考水平达标练1．函数y ＝x 2＋2x －1在[0,3]上的最小值为( )A ．0B ．－4C ．－1D ．－2 解析：选C 因为y ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，其图象的对称轴为直线x ＝－1，所以函数y ＝x 2＋2x －1在[0,3]上单调递增，所以当x ＝0时，此函数取得最小值，最小值为－1.2．函数y ＝x ＋2x －1的最值的情况为( )A ．最小值为12，无最大值 B ．最大值为12，无最小值 C ．最小值为12，最大值为2 D ．最大值为2，无最小值解析：选A ∵y ＝x ＋2x －1在定义域⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，∴函数最小值为12，无最大值，故选A.3．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M＝( ) A.23B.38C.32D.83 解析：选D 易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3,4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83. 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．12D ．13解析：选B 当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，此时f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝1；当x <1时，函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，最大值为f (0)＝2.综上可得，f (x )的最大值为2，故选B.5．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞) 解析：选C 令f (x )＝－x 2＋2x ，则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0.∴a <0.6．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )的对称轴为x ＝3，当且仅当1＜a ≤3时，f (x )min ＝f (a )．答案：(1,3]7．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)．答案：f (－2) f (6)8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，求能获得的最大利润为多少万元？解：设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，设两地销售的利润之和为y ，则 y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，15－x ≥0.∴0≤x ≤15，且x ∈Z.当x ＝－192×(－1)＝9.5时，y 值最大， ∵x ∈Z ，∴取x ＝9或10.当x ＝9时，y ＝120，当x ＝10时，y ＝120.综上可知，公司获得的最大利润为120万元．9．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]．(1)判断函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝(x 1－1)(x 2＋2)－(x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2) ＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2) ＝3(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )＝x －1x ＋2在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值，为f (3)＝25；当x ＝5时，函数f (x )取得最大值，为f (5)＝47. B 级——高考水平高分练1．对于函数f (x )，在使f (x )≥M 成立的所有实数M 中，我们把M 的最大值M max 叫做函数f (x )的下确界，则对于a ∈R ，a 2－4a ＋6的下确界为________．解析：设f (a )＝a 2－4a ＋6，f (a )≥M ，即f (a )min ≥M .而f (a )＝(a －2)2＋2，∴f (a )min ＝f (2)＝2.∴M ≤2.∴M max ＝2.答案：22．用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值．设f (x )＝min{x ＋2，10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝x ＋2和y ＝10－x的图象．根据min{x ＋2,10－x }(x ≥0)的含义可知，f (x )的图象应为图中实线部分．解方程x ＋2＝10－x ，得x ＝4，此时y ＝6，故两图象的交点坐标为(4,6)．由图象可知，函数f (x )的最大值为6.答案：63．已知二次函数y ＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)若a ＝－1，写出函数的单调增区间和减区间； (2)若a ＝－2，求函数的最大值和最小值；(3)若函数在[－4,6]上是单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，因为x ∈[－4,6]，所以函数的单调递增区间为[1,6]，单调递减区间为[－4,1)．(2)当a ＝－2时，y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，因为x ∈[－4,6]，所以函数的单调递增区间为[2,6]，单调递减区间为[－4,2)，所以函数的最大值为f (－4)＝35，最小值为f (2)＝－1.(3)由y ＝x 2＋2ax ＋3＝(x ＋a )2＋3－a 2可得，函数的对称轴为x ＝－a ，因为函数在[－4,6]上是单调函数，所以a ≤－6或a ≥4.即实数a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．4．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P (万元)和Q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式：P ＝x 5，Q ＝35x .今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？解：设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元，根据题意得y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)．令3－x ＝t ，则x ＝3－t 2,0≤t ≤ 3.所以y ＝15(3－t 2)＋35t ＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2120，当t ＝32时，y max ＝2120，此时x ＝0.75,3－x ＝2.25.由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为0.75万元和2.25万元，能获得的最大利润为1.05万元．5．请先阅读下列材料，然后回答问题．对于问题“已知函数f (x )＝13＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．故当x ＝1时，f (x )有最小值14，没有最大值． (1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；(2)试研究函数y ＝2x 2＋x ＋2的最值情况．解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0.正确解答如下：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4，当0＜u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14；当u ＜0时，1u＜0，即f (x )＜0. ∴f (x )＜0或f (x )≥14，即f (x )既无最大值，也无最小值． (2)∵x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74≥74，∴0＜y ≤87，∴函数y ＝2x 2＋x ＋2的最大值为87⎝⎛⎭⎪⎫当x ＝－12时，而无最小值．。

2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版课时跟踪检测(十五)函数与方程含解析

C ．y ＝x 2－解析：选 B 函数 y ＝log x 在定义域上是减函数，y ＝x 2－在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3 在定义域上单f f ＝e x ＋x －3 为增函数．因为 f (1)＝e 1＋1－3＝e －2＞0，f ⎝4⎭＝1 11 e 4 ＋－3＝e 4 －＜0，所以当 x ＞0 时，f (x )有一个零点．根据对称性知，当 x ＜0 时，函数 f (x )也有一个零点．综 ⎪⎩x ，x ＜0，解析：由 f (x )＝0，得 x ＝2 或 x ＝－2，由 g (x )＝2，得 x ＝1＋ 3，由 g (x )＝－2，得 x ＝－，所以函数 f (g (x ))的所有零点之和是－＋1＋ 3＝＋ 3.答案：＋ 3f⎪ 2⎪ ⎩课时跟踪检测（十五）函数与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是()A ．y ＝log x1 21 2B ．y ＝2x －1D ．y ＝－x 311 2 2调递减，均不符合要求．对于 y ＝2x －1，当 x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0 且 y ＝2x －1 在 R 上单调递增．故选 B.2．(2018·豫南十校联考)函数 f (x )＝x 3＋2x －1 的零点所在的大致区间是()A ．(0,1)C ．(2,3)B ．(1,2)D ．(3,4)解析：选 A 因为 f (0)＝－1＜0， (1)＝2＞0，则 f (0)·f (1)＝－2＜0，且函数 f (x )＝x 3＋2x －1 的图象是连续曲线，所以 f (x )在区间(0,1)内有零点．3．(2018· 宁波期末)设函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，当 x ＞0 时， (x )＝e x ＋x －3，则 f (x )的零点个数为( )A ．1C ．3B ．2D ．4解析：选 C 因为函数 f (x )是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0)＝0，即 0 是函数 f (x )的一个零点，当 x ＞0 时， (x )⎛1⎫1 14 4上所述，f (x )的零点的个数为 3.⎧2x －－1，x ≥0， ⎧x 2－2x ，x ≥0， 4．已知函数 f (x )＝⎨ g (x )＝⎨1则函数 f (g (x ))的所有零点之和是________． ⎪x ＋2，x ＜0，121 12 2125．已知关于 x 的方程 x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0 的一根小于 1，另一根大于 1，则 k 的取值范围是________．解析：设 f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2，则函数 f (x )为开口向上的抛物线，且 f (0)＝k 2≥0，∴关于 x 的方程 x 2＋(k －3)x＋k 2＝0 的一根小于 1，另一根大于 1，即函数 f (x )的零点位于[0,1)，(1，＋∞)上．故只需 f (1)＜0 即可，即 1＋k －3⎩＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在⎝0，2⎭上单调递增，在⎝2，＋∞⎭上单调递减．因为f⎝e10⎭＝－4－10＜0，f⎝2⎭＝5－ln2＞0，f(e2)＝8－2e2＜0，所以函数f(x)在⎝e10，2⎭，⎝2，e2⎭上各有一个＋k2＜0，解得－2＜k＜1.答案：(－2,1)二保高考，全练题型做到高考达标⎧⎪－x，x≤0，1．(2018·宁波高考模拟)设f(x)＝⎨则函数y＝f(f(x))的零点之和为()⎪log2x，x＞0，A．0C．2B．1D．4解析：选C令f(x)＝0，得x＝0或x＝1，∵f(f(x))＝0，∴f(x)＝0或f(x)＝1，由以上过程可知f(x)＝0的解为0,1，令f(x)＝1，得x＝－1或x＝2，∴f(f(x))的零点之和为0＋1＋(－1)＋2＝2.故选C.2．(2019·绍兴模拟)设函数f(x)＝ln x－2x＋6，则f(x)零点的个数为()A．3C．1B．2D．011－2x 解析：选B法一：函数f(x)＝ln x－2x＋6的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x－2＝x，令f′(x)＝0，得x111⎛1⎫⎛1⎫222⎛1⎫2⎛1⎫⎛11⎫⎛1⎫e零点，所以函数f(x)的零点个数为2.法二：令f(x)＝0，则ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x(x＞0)，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2.3．(2017·金华期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝(x－2)(x－3)＋0.02，则关于y＝f(x)在R上零点的说法正确的是()A．有4个零点其中只有一个零点在(－3，－2)内B．有4个零点，其中两个零点在(－3，－2)内，两个在(2,3)内C．有5个零点都不在(0,2)内D．有5个零点，正零点有一个在(0,2)内，一个在(3，＋∞)内解析：选C根据对称性可以分三种情况研究：①x＞0的情况，f(x)是把抛物线y＝(x－2)(x－3)(与x轴交点为2,3)向上平移了0.02，则与x轴交点变到(2,3)之间了，所以在(2,3)之间有两个零点．②当x＜0时，f(x)＝－(x＋2)(x＋3)－0.02，根据对称性(－3，－2)之间也有两个零点．4．已知函数f(x)＝⎨若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的⎪⎩ln x，x＞1，A.⎝2，e⎭B.⎣2，e⎭C.⎝，D.⎝，解析：选D若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝m，∴m＝ e.此时，k＝m＝，f(x)＝2x＋log2x－1，显然f(x)单调递增，又f(1)＝1＞0，f⎝2⎭＝2－2＜0，所以x是f(x)唯一的零点，且0＜x0＜1，所⎧⎪log2(x＋2)，－2＜x＜0，⎩1|③f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0(奇函数特性)，所以有五个零点，故选C.⎧⎪－x2－2x＋3，x≤1，12取值范围是()⎛1⎫⎛1e⎤2e⎦⎡1⎫⎛1e⎫2e⎭112212112212ln m＋m1211ee1⎛1e⎫的图象和直线y＝kx－2有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是⎝2，e⎭.5．(2018·湖南考前演练)设x是函数f(x)＝2x－|log2x|－1的一个零点，若a＞x0，则f(a)满足() A．f(a)＞0C．f(a)≥0B．f(a)＜0D．f(a)≤0解析：选A当x＞1时，f(x)＝2x－log2x－1，易证2x＞x＋1＞x.又函数y＝2x的图象与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，所以2x＞x＋1＞x＞log2x，从而f(x)＞0.故若a＞1，有f(a)＞0；若0＜a≤1，因为当0＜x≤1时，f(x)⎛1⎫以f(a)＞0，故选A.6．(2018·余杭地区部分学校测试)已知函数f(x)＝⎨⎪2|x－－1，x≥0，根，则a的取值范围为________；不等式f(f(x))≥1的解集为____________．解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示，方程f(x)＝a有三个不等与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象知a∈(0,1)．设f(x)f(f(x))≥1可转化为f(t)≥1，故得t＝0或t≥2，由f(x)＝0得x＝±1，由1，所以f(f(x))≥1的解集为{－1,1}∪[log23＋1，＋∞)．若方程f(x)＝a有三个不等的实数的实数根，即直线y＝a＝t，则不等式f(x)≥2得x≥log23＋⎧⎪log 2(x ＋1)，x ＞0，⎩ 8．(2019·台州三校适考)已知 f (x )＝x ＋x －2，若关于 x 的方程 f (|2x －1|)－k ⎝|2x －1|－3⎭＝0 有四个不同的实数解，解析：令 t ＝|2x －1|(x ≠0)，则方程 f (|2x －1|)－k ⎝|2x －1|－3⎭＝0 可化为方程 f (t )－k ⎝ t －3⎭＝k ⎝ t －3⎭＝0 在(0,1)上有两个不同的实数解．f (t )－k ⎝ t －3⎭＝0 可化为 t 2 ⎧⎪Δ＝(3k －2) －4(1－2k )＝9k －4k ＞0，2 ⎧k ＜0或k ＞49，⎪k ＜21，所以实数 k 的取值范围为⎝9，2⎭.3 答案：⎝9，2⎭ 9．已知函数 f (x )＝x 3－x 2＋＋ .证明：存在 x 0∈⎝0，2⎭，使 f (x 0)＝x 0.∵g (0)＝，g ⎝2⎭＝f ⎝2⎭－＝－，4∴g (0)·g ⎝2⎭＜0.又函数 g (x )在⎣0，2⎦上是连续曲线，答案：(0,1) {－1,1}∪[log 23＋1，＋∞)7．已知函数 f (x )＝⎨ 若函数 g (x )＝f (x )－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是______．⎪－x 2－2x ，x ≤0，解析：函数 g (x )＝f (x )－m 有 3 个零点，转化为 f (x )－m ＝0 的＝f (x )，y ＝m 的交点有 3 个．画出函数 y ＝f (x )的图象，则直线 y ＝根有 3 个，进而转化为 ym 与其有 3 个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数 m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)1 ⎛2 ⎫则实数 k 的取值范围为________．⎛ 2 ⎫0，作出函数 y ＝|2x －1|(x ≠0)的大致图象如图所示，结合图象分析可知，⎛2 ⎫ ⎛2 ⎫记 g (x )＝x 2＋(3k －2)x ＋1－2k ，则 g (x )在(0,1)上有两个不同的零点， ⎛2 ⎫关于 t 的方程 f (t ) －＋(3k －2)t ＋1－2k ＝0，所以2 2 ⎨0＜－3k －2＜1，⎪⎩g (0)＝1－2k ＞0，g (1)＝1＋3k －2＋1－2k ＝k ＞0，解得⎪⎨0＜k ＜2，⎩⎛41⎫ k ＞0，⎛4 1⎫x 12 4⎛ 1⎫证明：令 g (x )＝f (x )－x .1 ⎛1⎫ ⎛1⎫ 1 12 8⎛1⎫⎡ 1⎤∴存在 x 0∈⎝0，2⎭，使 g (x 0)＝0，即 f (x 0)＝x 0.⎪⎩f (0)≥0，⎪⎩a ＋2≥0，⇒2≤a ≤ .综上得－1＜a ≤ .故实数 a 的取值范围为⎝－1， 5 ⎦.⎩ ⎩ ⎨ ⇒3＜a ≤ . ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ 经检验 a ＝时，φ(x )的零点为，3∉[1,3)，所以 a ≠ .所以 3＜a ＜ .⎧⎪Δ＝4a －8(a ＋1)＞0，⎧⎪a ＜1－ 3或a ＞1＋ ⎨2a ＜≤a 3＜，6，⎪⎩φ(1)≥0，⎪19φ(3)＞0a ＜ 2综合①②得，实数 a 的取值范围是⎝1＋ 3， 5 ⎭. ⎛ 1⎫10．(2018· 杭州模拟)已知函数 f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，(1)若 f (x )≤0 的解集 A ⊆{x |0≤x ≤3}，求实数 a 的取值范围；(2)若 g (x )＝f (x )＋|x 2－1|在区间(0,3)内有两个零点 x 1，x 2(x 1＜x 2)，求实数 a 的取值范围．解：(1)若 A ＝∅，则 Δ＝4a 2－4(a ＋2)＝4(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2；⎧⎪Δ≥0，若 A ≠∅，则⎨0＜a ＜3，f (3)≥0⇒ ⎧⎪a ≤－1或a≥2，⎨0＜a ＜3，9－6a ＋a ＋2≥011511 ⎛ 11⎤ 5(2)g (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＋|x 2－1|⎧⎪2x 2－2ax ＋a ＋1，|x |≥1，＝⎨⎪－2ax ＋a ＋3，|x |＜1.⎧⎪2x 2＋1，|x |≥1，若 a ＝0 时，g (x )＝⎨ 无零点；⎪3，|x |＜1若 a ≠0 时，由于 h (x )＝－2ax ＋a ＋3 在(0,1)单调，所以在(0,1)内 h (x )至多只有一个零点．记 φ(x )＝2x 2－2ax ＋a ＋1.①若 0＜x 1＜1,1≤x 2＜3，⎧h (0)· h (1)＜0，则⎨ ⎪φ(1)· φ(3)≤0⎧⎪a ＞3或a ＜－3，19⎪⎩3≤a ≤5⎧(a ＋3)(－a ＋3)＜0，⇒⎨ ⇒⎪(3－a )(19－5a )≤019519 4 19 5 5 5 195 ②若 1≤x 1＜x 2＜3，则 2 ⎨1＜a＜3，⇒53，⇒1＋ 3＜a ≤3.⎛ 19⎫⎪⎩x ＋1 A ．{－1}∪⎣4，＋∞⎭B.⎣4，＋∞⎭C ．{－1}∪⎣5，＋∞⎭D.⎣5，＋∞⎭⎛－1，0⎫，当直线 y ＝4mx 5 x ＋1m ⎛x ， 1 －1⎫ ，由 y ′＝－ ⎝ 0 x 0＋1 得切线的斜率为－ 1(x ＋1)2 (x ＋1)2 x 0＋1 (x 0＋1)21 ⎛－1＋1⎫2 (2)∵g (x )＝－4ln xx 2三上台阶，自主选做志在冲刺名校⎧⎪x ，0≤x ＜1，1．设函数 f (x )＝⎨ 1 g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中 m ≠0.若函数 g (x )在区间(－1,1)上有且仅－1，－1＜x ＜0，有一个零点，则实数 m 的取值范围是()⎡1 ⎫⎡1 ⎫ ⎡1 ⎫⎡1 ⎫解析：选 C 作出函数 y ＝f (x )的大致图象，如图所示．函数f (x )的图象与直线 y ＝4mx ＋m 的交点个数．直线 y ＝4mx ＋m 过点1 1 ＋m 过点(1,1)时，＝；当直线 y ＝4mx ＋m 与曲线 y ＝－1(－g (x )的零点个数函数 y ＝⎝ 4 ⎭1＜x ＜0)相切时，设切点为⎭1，则 1－1－0 1－＝， x 0＋41 1 1解得 x 0＝－2，所以 4m ＝－＝－4，得 m ＝－1.结合图象可知当 m ≥5或 m ＝－1 时，函数 g (x )在区间(－⎝ 2 ⎭1,1)上有且仅有一个零点．2．已知二次函数 f (x )的最小值为－4，且关于 x 的不等式 f (x )≤0 的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}． (1)求函数 f (x )的解析式；f (x )(2)求函数 g (x )＝ x －4ln x 的零点个数．解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于 x 的不等式 f (x )≤0 的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且 a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数 f (x )的解析式为 f (x )＝x 2－2x －3.x 2－2x －3x3＝x －x －4ln x －2(x ＞0)，3 4 (x －1)(x －3)∴g ′(x )＝1＋x 2－x ＝.令 g ′(x )＝0，得 x 1＝1，x 2＝3.当 x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：xg ′(x )(0,1)＋10 (1,3)－30 (3，＋∞)＋g (x )极大值极小值当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.又∵g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．。

2019年高考数学一轮总复习函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课时跟踪检测理

2.9函数模型及其应用［课时跟踪检测］［基础达标］1 •某种商品进价为 4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为 20元，贝U 预计单价为多少时，利润最大 ()A. 8元/件B. 10元/件C. 12元/件D. 14元/件解析：设单价为6+ x ,日均销售量为100 — 10x ，则日利润y = (6 + x — 4)(100 — 10x )— 2 220=— 10x + 80x + 180=— 10( x — 4) + 340(0 v X V 10)....当 x = 4 时，y max = 340.即单价为10元/件，利润最大，故选 B. 答案：B2.在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表:则对x , y 最适合的拟合函数是( )2A. y = 2xB. y = x — 1C. y = 2x — 2D. y = log 2X解析：根据x = 0.50 , y =— 0.99，代入计算，可以排除 A ;根据x = 2.01 , y = 0.98 ,代入计算，可以排除 B C;将各数据代入函数y = log 2x ，可知满足题意.故选D.答案：D3.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度 h 随时间t 变化的函数h = f (t )的图象如图所示.则杯子的形状是() 上升慢，在［t l , t 2］上升快，故选A.答案：A4•某商店已按每件 80元的成本购进某商品 1 000件，根据市场预测，销售价为每件 100元时可全部售完，定价每提高 1元时销售量就减少 5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件()A. 100 元B. 110 元C. 150 元D. 190 元解析：设售价提高 x 元，利润为 y 元，则依题意得 y = (1 000 — 5x ) X (100 + x ) — 80X 12 2000=- 5x + 500X + 20 000 =- 5(x — 50) + 32 500，故当 x = 50 时，y max = 32 500，此时售价为每件150元.答案：C5.世界人口在过去 40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2~0.3010.007 50, 10 ~ 1.017)( )A. 1.5%B. 1.6%C. 1.7%D. 1.8%解析：设每年人口平均增长率为 X ,则(1 + x ) 40= 2,两边取以10为底的对数，则40lg(1 + x ) = lg 2，所以 lg(1 + x )=咚〜0.007 5，所以 100.007 1 2 3 4 5 = 1 + x ,得 1 + x = 1.017，所以 40x = 1.7%.答案：C6•将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 ya=a e nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m 分钟甲桶中的水只有§,则m 的值为()A. 7B. 81 1 令 8a = a e nt ，即 § = e nt , 因为2= e ，故§ = e ,比较知 t = 15, m= 15— 5= 10. 答案：D7•已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包解析：从题图看出，在时间段［0 , t 1］ , ［t 1, t 2］内水面高度是匀速上升的，在[0 , t 1]o h iiAB C DC. 9D. 101 附解析：根据题意知2= e ,装，其包装费用、销售价格如表所示:则下列说法正确的是( )① 买小包装实惠； ② 买大包装实惠；③ 卖3小包比卖1大包盈利多； ④ 卖1大包比卖3小包盈利多.A.①②B.①④C.②③D.②④解析：大包装 300 g 8.4 元，相当于100 g 2.8 元<3元，故买大包装实惠，②对；卖1大包装盈利 8.4 — 0.7 — 1.8 X 3= 2.3元，卖3小包装盈利 3X (3 — 0.5 — 1.8) = 2.1元， 2. 3>2.1，④对，故选D. 答案：D&某商场在2018年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价为 1 500元，则购买该商品实际付款额为 1折扣率为2 700 X 100%"65%故选 B.答案：Bk ,除燃料费外其他费用为每小时 96元.当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是 6元•若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 ___________ 海里/小时时，总费用最小.解析：设每小时的总费用为y 元，贝U y = kv 2+ 96,_ 2500X 0.8 — 200= 1 000 元.设购买某商品的实际折扣率= 实际付款额，商品标价X 100%某人欲购头标价为2 700元的商品, 那么他可以享受的实际折扣率约为A. 55%B. 65%C. 75%D. 80% 解析：当购买标价为 2 700元的商品时，实际应付 2 700 X 0.8 — 400 = 1 760，故实际9.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为又当v= 10 时，k x 10 = 6, 解得k= 0.06 ,2 10所以每小时的总费用 y = 0.06 v 2+ 96,匀速行驶10海里所用的时间为 -小时，故总费用=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时.答案：4010•某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料（如图），为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图阴影部分）备用，则截取的矩形面积的最大值为20 — x y — 8解析：依题意知，一2厂=24—85 5 2 5 2•••阴影部分的面积 S = xy = 4(24 — y ) • y = 4( — y + 24y ) = -4( y -12) + 180. •••当y = 12时，S 有最大值为180. 答案：18011 •某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.后治疗疾病有效的时间.kt , 0w t w 1, 閉-a , t> 1当t = 1时，由y = 4得k = 4, 由十=4得a =3.4t , O w t w 1,为 W ^°y = %.06 v 2+ 96) = 0.6 v + v v960>2vW 竽=48,当且仅当0.6v =竽，即 v（1）写出第一次服药后 y 与t 之间的函数关系式y =f (t )；（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次解：（1）由题图，设y =牛|'1所以y=—3,t > 1.1 79因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5 —16= 16（小时）•［能力提升］1 •某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a 元, 为还清这笔贷款，该家长从2004年8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在 m 年后还清，若银行按年利息为 p 的复利计息（复利即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）aA .— mm+ 1ap 1 + pB .m+^+ p — 1n +1C ap 1+ p 解析：设每年偿还的金额都是 X 元，则a (1 + p )m = x + x (1 + p ) + x (1 + p )2+…+ x (1 + p )m1,m(2)由 y >0.25 得0W t w 1, 4t > 0.25mp— 1 * * * ** 7ap 1+ P D. +T^— 1m1 — ] + p• •• a(1+ p)= X 匸 +p ,(2) 若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3) 若第一次投放 2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第 12 分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.f 24 \解：(1)由题意知 k (8_2 — 1 = 3,.•• k = 1.(2)因为 k = 4,所以O W x W 4.当 4V x W 14 时，由 28 — 2x >4,解得 x W 12,所以 4v x W 12. 综上可知，当 y 》4时，O W x W 12,所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达 12分钟.(3) 在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为f 1 \；24 I2X J -12i+ 1 X 8— 卩—[()~— 1 = 5(克/升)，又5>4，所以在第12分钟时洗衣液还能起到有效去污的作用.1m解得x =l+ p E — 1.故选D. 答案：D2•有一种新型的洗衣液，去污速度特别快•已知每投放 k （1 w k w 4,且k € R ）个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 y （克/升）随着时间x （分钟）变化的2418—x— 1，w x w 4，函数关系式近似为 y = k - f （x ），其中f （x ）=若多次投放，则17 — -x , 4 V x w 14. L 2某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和•根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 4克/升时，它才能起到有效去污的作用.（1）若只投放一次 k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为 3克/升，求k的值;所以y =歸428 - 2x , 0< x W 4,4 V x < 14,当O W X W4时，由96—4>4,解得—4W x v 8,。

课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用

课时跟踪检测（十二）函数模型及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．解析：1 000×(1＋10%)3＝1 331.答案：1 3312．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：83．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)的函数关系式为v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s.解析：由2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以M m＝e 6－1. 答案：e 6－14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．解析：由题图，易求得y 与x 的关系式为y ＝－(x －6)2＋11，则y x ＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤12－10＝2， ∴y x 有最大值2，此时x ＝5.答案：55．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为________．①略有盈利；②略有亏损；③没有盈利也没有亏损；④无法判断盈亏情况．解析：设该股民购这只股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这只股票略有亏损．答案：②二保高考，全练题型做到高考达标1．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________．解析：设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.答案：108元2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析：设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1 000－5x )×(20＋x )＝－5x 2＋900x ＋20 000＝－5(x －90)2＋60 500.故当x ＝90时，y max ＝60 500，此时售价为每件190元．答案：1903．(2016·南京外国语学校检测)设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________．解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.答案：164．(2016·苏州调研)世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是________．(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)解析：设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.答案：1.7%5．某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到________只．解析：由题意，100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.答案：2006．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝⎛⎭⎫x 2＋8x (x >0)．则当年广告费投入______万元时，该公司的年利润最大．解析：由题意得L ＝512－⎝⎛⎭⎫x 2＋8x ＝432－12⎝⎛⎭⎫x －4x 2(x >0)．当x －4x＝0，即x ＝4时，L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．答案：47.某人根据经验绘制了2016年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿______千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909. 答案：19098．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是______．解析：由题意知七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0，解得t ≥65或t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.故x 的最小值为20.答案：209.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42. 所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．10．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)．则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.即每年砍伐面积的百分比为1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12m 10＝⎝⎛⎭⎫1212，所以m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，最多还能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24，所以⎝⎛⎭⎫12n 10≥⎝⎛⎭⎫1232，即n 10≤32，解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．甲地与乙地相距250 km.某天小袁从上午7：50由甲地开车前往乙地办事．在上午9：00,10：00,11：00 三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1 h 到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有________km.解析：上午7：50到上午11：00是196h ．设经时间t h 后，小袁共行驶s (t )km ，则由条件可知s ⎝⎛⎭⎫196＋s ⎝⎛⎭⎫196196×1＝250，解得s ⎝⎛⎭⎫196＝190，从而250－190＝60(km)．答案：602．某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎨⎧ t 4＋22，0≤t <40，t ∈N ，－t 2＋52，40≤t ≤100，t ∈N ，日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t 3＋1093(0≤t ≤100，t ∈N)．则这种商品的日销售额的最大值为______．解析：由题意知日销售额为s (t )＝f (t )g (t )，当0≤t <40时，s (t )＝⎝⎛⎭⎫t 4＋22⎝⎛⎭⎫－13t ＋1093＝－112t 2＋7t 4＋2 3983此函数的对称轴为x ＝212，又t ∈N ，最大值为s (10)＝s (11)＝1 6172＝808.5; 当40≤t ≤100时，s (t )＝⎝⎛⎭⎫－t 2＋52⎝⎛⎭⎫－13t ＋1093＝16t 2－213t 6＋5 6683，此时函数的对称轴为x ＝2132>100，最大值为s (40)＝736. 综上，这种商品日销售额s (t )的最大值为808.5.答案：808.53．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧248－x －1，0≤x ≤4，7－12x ，4<x ≤14.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．解：(1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝3， ∴k ＝1.(2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧ 968－x －4，0≤x ≤4，28－2x ，4<x ≤14.当0≤x ≤4时，由968－x－4≥4，解得－4≤x <8，所以0≤x ≤4. 当4<x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，所以4<x ≤12.综上可知，当y ≥4时，0≤x ≤12，所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟．(3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×⎝⎛⎭⎫7－12×12＋1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤248－(12－10)－1＝5(克/升)，又5>4，所以在第12分钟时洗衣液还能起到有效去污的作用．。

高中数学课时作业：函数模型及应用

课时作业12函数模型及应用一、选择题1．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( A ) x4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.C ．指数函数模型 D ．对数函数模型解析:由表中数据知x ,y 满足关系y ＝13＋2(x －3)．故为一次函数模型．2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价20元,羽毛球每个定价5元,该店制定了两种优惠方法:①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球,两种方法中,更省钱的一种是( D )A ．不能确定B ．①②同样省钱C ．②省钱D ．①省钱解析:方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元),方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元),因为210<211.6,故方法①省钱．3．一个人以6 m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m 时,交通灯由红变绿,汽车以1 m/s 2的加速度匀加速开走,那么( D )A ．人可在7 s 内追上汽车B ．人可在10 s 内追上汽车C ．人追不上汽车,其间距最少为5 mD ．人追不上汽车,其间距最少为7 m解析:设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米,则s ＝12t 2,车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7,当t ＝6时,d 取得最小值为7.4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1解析:设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ,则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1),解得x ＝(p ＋1)(q ＋1)－1.故选D.5．李冶(1192—1279),真定栾城(今河北省石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径、正方形的边长等．其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算)( B )A ．10步,50步B ．20步,60步C ．30步,70步D ．40步,80步解析:设圆池的半径为r 步,则方田的边长为(2r ＋40)步,由题意,得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240,解得r ＝10或r ＝－170(舍),所以圆池的直径为20步,方田的边长为60步．故选B.6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位:太贝克)与时间t (单位:年)满足函数关系:M (t )＝M 02－t 30 ,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年),则M (60)＝( D )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析:由题意M ′(t )＝M 02－t 30 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2,M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2＝－10ln2,∴M 0＝600,∴M (60)＝600×2－2＝150.故选D.二、填空题7．某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是108元．解析:设进货价为a 元,由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ,解得a ＝108.8．某人根据经验绘制了2017年春节前后,从1月21日至2月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象,如图所示,则此人在1月26日大约卖出了西红柿1909千克．解析:前10天满足一次函数关系,设为y ＝kx ＋b ,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209,b ＝709,所以y ＝209x ＋709,则当x ＝6时,y ＝1909.9．已知某驾驶员喝了m 升酒后,血液中酒精的含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎨⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升．则此驾驶员至少要过4小时后才能开车．(精确到1小时)解析:驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1＝0.2,要使酒精含量≤0.02毫克/毫升,则35⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤0.02,∴x ≥log 330＝1＋log 310>1＋log 39＝3,故至少要4个小时后才能开车．三、解答题10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000,已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润？最大利润是多少？解:(1)每吨平均成本为y x (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x －48＝32,当且仅当x 5＝8 000x ,即x ＝200时取等号．所以年产量为200吨时,每吨产品的平均成本最低,为32万元．(2)设年获得总利润为R (x )万元,则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．因为R (x )在[0,210]上是增函数,所以x ＝210时,R (x )有最大值,为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.所以年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元．11．某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价”计费方法,具体方法:每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的,超过4吨的部分每吨4元；超过6吨的,超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表:)；(3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表:解:(1)y关于x的函数关系式为y＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，0≤x≤4，4x－8，4<x≤6，6x－20，x>6.(2)由(1)知:当x＝3时,y＝6；当x＝4时,y＝8；当x＝5时,y＝12；当x＝6时,y＝16；当x＝7时,y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112×(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．(3)由(1)和题意知:当y≤12时,x≤5,所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%,据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.12．(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i＝1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是Q1；②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是p2.解析:①设线段A i B i的中点为C i(x i,y i),则Q i＝2y i(i＝1,2,3)．因此只需比较C1,C2,C3三个点纵坐标的大小即可．不难发现y1最大,所以Q1最大．②由题意,知p i＝y ix i(i＝1,2,3)．故只需比较三条直线OC1,OC2,OC3的斜率即可,发现p2最大．13．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同．假定保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x (单位:℃)间的关系为指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)．若牛奶在0 ℃的冰箱中,保鲜时间约是192 h,而在22 ℃的厨房中,保鲜时间约是42 h.(1)写出保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式．(2)如果把牛奶分别储藏在10 ℃和5 ℃的两台冰箱中,哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据:22732≈0.93)解:(1)保鲜时间y 与储藏温度x 间的关系符合指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0),则⎩⎪⎨⎪⎧ ka 0＝192，ka 22＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝192，a ＝22732≈0.93，故所求函数解析式为y ＝192×0.93x .(2)设f (x )＝192×0.93x ,因为f (x )是减函数,且10>5,所以f (10)<f (5),所以把牛奶储藏在5 ℃的冰箱中,牛奶保鲜时间较长．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用14．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4,[5]＝5；{4.3}＝5,{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推．若李刚停车时间为x 小时,则李刚应付费为(单位:元)( C )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析:如x ＝1时,应付费2元,此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4,排除A 、B ；当x ＝0.5时,付费为2元,此时{2x }＝1,排除D,故选C.15．某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q (单位:元/100 kg)与上市时间t (单位:天)的数据如下表:时间t60 100 180 种植成本Q116 84 116 Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ,Q ＝at 2＋bt ＋c ,Q ＝a ·b t ,Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数,求得:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是120；(2)最低种植成本是80(元/100 kg)．解析:根据表中数据可知函数不单调,所以Q ＝at 2＋bt ＋c ,且开口向上,对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120,代入数据⎩⎪⎨⎪⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120,最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.。

高中数学课时跟踪检测：函数及其表示

高中数学课时跟踪检测：函数及其表示一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1．(淮安调研)函数f (x )＝lg5－x 2的定义域是________．解析：由lg(5－x 2)≥0,得5－x 2≥1, 即x 2≤4,解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝lg 5－x 2的定义域是[－2,2]．答案：[－2,2]2．(苏州高三期中调研)函数y ＝1lnx －1的定义域为________．解析：由⎩⎨⎧x ＞1，ln x －1≠0，解得x ＞1,且x ≠2,所以函数的定义域为(1,2)∪(2,＋∞)．答案：(1,2)∪(2,＋∞)3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5,且f (a )＝6,则a ＝________.解析：令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1,则4a －1＝6,解得a ＝74.答案：744．已知f (x )是一次函数,满足3f (x ＋1)＝6x ＋4,则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0), 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b , 依题设,3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4, ∴⎩⎨⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －235．(盐城模考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1，若f (0)＝3,则f (a )＝________.解析：因为f (0)＝3,所以a －2＝3,即a ＝5,所以f (a )＝f (5)＝9. 答案：96．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ， x ＞1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________,函数f (x )的值域是________．解析：因为f (2)＝12,所以f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52.当x ＞1时,f (x )∈(0,1),当x ≤1时,f (x )∈[－3,＋∞), 所以f (x )∈[－3,＋∞)．答案：－52[－3,＋∞)二保高考,全练题型做到高考达标1．(如东高级中学高三学情调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 22－x，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.解析：因为f (－2)＝1＋log 24＝3,f (log 212)＝2log 212－1＝6,所以f (－2)＋f (log 212)＝9.答案：92．(苏州期末)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________．解析：画出f (x )的图象如图所示,可看出函数的值域为(－∞,1]．答案：(－∞,1]3．(南京名校联考)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案：94．(南通调研)函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是________．解析：由题意得⎩⎨⎧1－x ≠0，x ＋1＞0⇒x ＞－1且x ≠1,所以函数f (x )的定义域是(－1,1)∪(1,＋∞)．答案：(－1,1)∪(1,＋∞)5．(启东中学检测)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3,3],则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3,3],所以x ∈[－3,3],x 2－1∈[－1,2],所以y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于①,f (x )＝x －1x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x ),满足；对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x ),不满足；对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ),满足．综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. 答案：①③7．(扬州一模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数,则f (g (2))＝________.解析：因为函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数,所以当x ＞0时,－x ＜0,则f (－x )＝2x －2＝－f (x ), 所以f (x )＝－2x ＋2,即g (x )＝－2x ＋2.所以g (2)＝－22＋2＝－2,f (g (2))＝f (－2)＝22－2＝2. 答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a －1x ＋1，x ≤1，a x －1，x ＞1，若f (1)＝12,则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12,可得a ＝12,所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：149．(泰州一调)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －3，x ≥2，x 2－3x －2，x ＜2，若f (x )＞2,则x 的取值范围是________．解析：不等式f (x )＞2可化为⎩⎨⎧x ≥2，2x －3＞2或⎩⎨⎧x ＜2，x 2－3x －2＞2，解得x ＞52或x ＜－1.答案：(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞10．(无锡一中月考) 已知函数f (x )的图象如图所示,则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：要使函数g (x )有意义,需f (x )＞0,由f (x )的图象可知,当x ∈(2,8]时,f (x )＞0.答案：(2,8]11．(南京金陵中学月考)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ,且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上,函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方,试确定实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1,可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0),故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ,由题意得⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意,得x 2－x ＋1＞2x ＋m ,即x 2－3x ＋1＞m ,对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1,则问题可转化为g (x )min ＞m , 又因为g (x )在[－1,1]上递减,所以g (x )min ＝g (1)＝－1, 故m ＜－1,即实数m 的取值范围为(－∞,－1)．12．(南京期末)已知二次函数f (x )满足f (1)＝1,f (－1)＝5,且图象过原点． (1)求二次函数f (x )的解析式； (2)已知集合U ＝[1,4],B ＝⎩⎪⎨⎪⎧y ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫y ＝f x x 2，x ∈U,求∁U B .解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 因为f (1)＝1,f (－1)＝5,且图象过原点,所以⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得a ＝3,b ＝－2,所以f (x )＝3x 2－2x .(2)y ＝f x x 2＝3－2x,当x ∈[1,4]时,函数y ＝3－2x是增函数,当x ＝1时,y 取得最小值1；当x ＝4时,y 取得最大值52,所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52,又集合U ＝[1,4],故∁U B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤52，4.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0,函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a ),则a ＝________.解析：当a ＞0时,1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ,解得a ＝－32,不合题意；当a ＜0时,1－a ＞1,1＋a ＜1,由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a , 解得a ＝－34,所以a 的值为－34.答案：－342．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x ),若当0≤x ≤2时,f (x )＝x (2－x ),则当－4≤x ≤－2时,f (x )＝________.解析：由题意知f (x ＋4)＝2f (x ＋2)＝4f (x ),当－4≤x ≤－2时,0≤x ＋4≤2, 所以f (x )＝14f (x ＋4)＝14(x ＋4)[2－(x ＋4)]＝－14(x ＋4)(x ＋2),所以当－4≤x ≤－2时,f (x )＝－14(x ＋4)(x ＋2)．答案：－14(x ＋4)(x ＋2)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离．在某种路面上,某种型号汽车的x 2200＋mx ＋刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝n (m ,n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象,得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100,n ＝0,所以y＝x2200＋x100(x≥0)．(2)令x2200＋x100≤25.2,得－72≤x≤70.因为x≥0,所以0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。

高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用举例课时跟踪训练含解析新人教A版必修

学习资料函数模型的应用举例［A组学业达标]1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（)A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解析：由图可知,该图象所对应的函数模型是分段函数模型．答案：A2．若镭经过100年后剩留原来质量的95。

76％,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x,y的函数关系是（）答案：A3．用长度为24 m的材料围成一个矩形家禽养殖场,中间加两道隔墙，要使矩形面积最大,隔墙长度应为(）A．3 B．4C．5 D．6解析：设隔墙长度为x m，则矩形的一边长为x m，另一边长为错误!m,∴S＝x·错误!＝－2x2＋12x＝－2(x－3）2＋18（0〈x〈6)∴当x＝3时,S取最大值．故选A。

答案:A4．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋错误!x2，Q＝a＋错误!，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元,则有()A．a＝45，b＝－30 B．a＝30,b＝－45C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30解析：设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元，则y＝xQ－P＝x错误!－错误!＝错误!x2＋(a－5)x－1 000，其中x∈（0,＋∞）．由题意知当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40。

∴错误!整理得错误!解得a＝45,b＝－30。

答案：A5．生产某机器的总成本y(万元）与产量x(台）之间的函数关系式是y＝x2－75x,若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为__________台．解析:设安排生产x台，则获得利润f(x）＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50）2＋2 500.故当x＝50台时，获利润最大．答案：506．把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值为__________．解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm,两个三角形的面积和为S＝错误!x2＋错误!（4－x）2＝错误!［(x－2)2＋4]≥2错误!cm2。

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课时跟踪检测（十五）函数模型及其应用
1．(2018·福州期末)某商场销售A 型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
/件)应为( )
A ．4
B ．5.5
C ．8.5
D ．10
解析：选C 由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－40⎝⎛⎭⎫x －1722＋1 210，故当x ＝17
2
＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C. 2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( )
A ．13立方米
B ．14立方米
C ．15立方米
D ．16立方米
解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，
由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，0≤x ≤10，30＋5(x －10)，x >10，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x ，0≤x ≤10，5x －20，x >10.
易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15. 3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 2
10－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为
( )
A ．240吨
B ．200吨
C ．180吨
D ．160吨
解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000
x －30，
则 y x ≥2
x 10
·4 000
x －30＝10，
当且仅当x 10＝4 000
x ，即x ＝200时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．
4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e
－kt
(k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么
排放前至少还需要过滤的时间是( )
A.1
2小时 B.5
9小时
C ．5小时
D ．10小时
解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物． ∵P ＝P 0e －kt ，
∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k ， ∴0.1＝e －5k ，即－5k ＝ln 0.1， ∴k ＝－1
5
ln 0.1.
由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01， ∴⎝⎛⎭⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01，∴t ＝10.
∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．
5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为 y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．
答案：300
6.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解
析式得⎩
⎪⎨⎪⎧
10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909
.
答案：
190
9
7．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3
Q
10
(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a ，b 的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 330
10＝0，即a ＋b ＝0.
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 390
10
＝1，整理得a ＋2b ＝1.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1.
(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q
10.
所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q
10
≥2，
即log 3Q 10≥3，解得Q
10
≥27，即Q ≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向
移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．
(1)当t ＝4时，求s 的值；
(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，
如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．
解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．
当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝1
2×4×12＝24.
(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝3
2
t 2；
当10<t ≤20时，s ＝1
2
×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；
当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋1
2×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.
综上可知，s 随t 变化的规律是
s ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
32
t 2
，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈(10，20]，－t 2
＋70t －550，t ∈(20，35].
(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝3
2×102＝150<650，
当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，
即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。