高考复习(数理)重点突破课件：2.5对数与对数函数
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高考理科数学总复习课件对数与对数函数
• （2020年全国卷II）题目：已知函数$f(x) = e^x - ax - 1$，若$f(x)$在$( \infty,0)$上单调递减，则$a$的取值范围是____。
• 解析：由题意得$f'(x) = e^x - a$，因为$f(x)$在$( - \infty,0)$上单调递减， 所以$f'(x) \leq 0$在$( - \infty,0)$上恒成立，即$a \geq e^x$在$( \infty,0)$上恒成立，因为$y = e^x$在$( - \infty,0)$上单调递增，所以$e^x < 1$，所以$a \geq 1$。
对数式化为指数式
根据对数的定义，如果$x=log_aN$，那么 可以转化为指数式$a^x=N$。
利用指数幂进行化简计算
利用指数幂的运算法则进行化简
根据指数幂的运算法则，如$a^m times a^n = a^{m+n}$，$(a^m)^n = a^{mn}$，$(ab)^n = a^n times b^n$等，对指数式进行化简计算。
02
03
用于化简复杂对数表达式。
用于证明对数恒等式。
04
05
用于求解对数方程。
02 对数函数图像与性质
对数函数图像特点
图像位于第一、四象限
对于底数大于1的对数函数，其图像位 于第一象限；对于底数小于1的对数函
数，其图像位于第四象限。
x轴为渐近线
对数函数的图像无限接近x轴，但永 远不会与x轴相交。
恒过定点(1,0)
所有对数函数的图像都经过点(1,0)。
单调性
底数大于1的对数函数在第一象限内 单调递增；底数小于1的对数函数在 第四象限内单调递减。
对数函数性质分析
• 解析：由题意得$f'(x) = e^x - a$，因为$f(x)$在$( - \infty,0)$上单调递减， 所以$f'(x) \leq 0$在$( - \infty,0)$上恒成立，即$a \geq e^x$在$( \infty,0)$上恒成立，因为$y = e^x$在$( - \infty,0)$上单调递增，所以$e^x < 1$，所以$a \geq 1$。
对数式化为指数式
根据对数的定义，如果$x=log_aN$，那么 可以转化为指数式$a^x=N$。
利用指数幂进行化简计算
利用指数幂的运算法则进行化简
根据指数幂的运算法则，如$a^m times a^n = a^{m+n}$，$(a^m)^n = a^{mn}$，$(ab)^n = a^n times b^n$等，对指数式进行化简计算。
02
03
用于化简复杂对数表达式。
用于证明对数恒等式。
04
05
用于求解对数方程。
02 对数函数图像与性质
对数函数图像特点
图像位于第一、四象限
对于底数大于1的对数函数，其图像位 于第一象限；对于底数小于1的对数函
数，其图像位于第四象限。
x轴为渐近线
对数函数的图像无限接近x轴，但永 远不会与x轴相交。
恒过定点(1,0)
所有对数函数的图像都经过点(1,0)。
单调性
底数大于1的对数函数在第一象限内 单调递增；底数小于1的对数函数在 第四象限内单调递减。
对数函数性质分析
《 对数与对数函数》课件
1 题目1
已知log35≈1.465，求log325的值。
3 题目2
已知log23≈1.585，求log63的值。
2 解答1
log325=log3((5)2)=2log35≈2×1.465≈2.93。
4 解答2
log63=log23/log26≈1.585/1.585≈1。
例题: 求解对数方程
1 题目1
求解方程log2(3x-2)=3。
3 题目2
求解方程log2x-14=log2(x-1)。
2 解答1
化为指数形式得：23=3x-2，解得x=7/3。
4 解答2
化为指数形式得：(2x-1)log42=x-1，解得x=3。
例题: 理解对数运算的应用
1 题目1
已知ab=c，则logac=?
2 解答1
根据对数的定义得：logac=b。
定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
对数函数的图像特征
随着x的增加而变化
当x>1时，y随x的增加而增加；当x=1时，y=0；当 0<x<1时，y随x的减小而增加；当x<0时，对数函数 无意义。
渐近线
对数函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴的反比 例函数。
对数函数的性质
1
单调性
当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1
3 题目2
已知log23≈1.585，log27≈2.807，求log521 的值。
4 解答2
log221=log2(3×7)=log23+log27≈1.585+2.80 7=4.392。利用换底公式得： log521=log221/log25≈4.392/2.322≈1.892。
高考复习课件：对数与对数函数
a a
【拓展提升】对数运算的一般思路 （1）首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指
数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合
并.
（2）将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆
用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
【提醒】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.
②推广公式：log a b
1 ,logab·logbc·logcd=logad. log b a
（a,b,c均大于0且不等于1，d＞0）
（3）运算性质 如果a＞0,且a≠1,M＞0,N＞0，那么： logaM+logaN ①loga(M·N)=___________; ② log a
M logaM-logaN =___________; N
当0＜x＜1时，y＜0； y＞0 当x＞1时,_____ 增函数 是（0，+∞）上的_______ 当0＜x＜1时，y＞0; y＜0 当x＞1时，_____ 减函数 是（0，+∞）上的_______
4.反函数 y=logax 指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）与对数函数_______(a＞0，且
ln N _____
2.对数的性质、换底公式与运算性质
（1）性质
0 ①loga1=__; 1 ②logaa=__; N ③ a log N __ .其中a＞0,且a≠1.
a
(2)换底公式ຫໍສະໝຸດ log c b log c a ①基本公式：logab= ______(a,c均大于0且不等于1，b＞0).
1 a 1 b 1 1 log m 2 log m 5 log m10 2, log 2 m log 5 m
【拓展提升】对数运算的一般思路 （1）首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指
数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合
并.
（2）将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆
用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
【提醒】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.
②推广公式：log a b
1 ,logab·logbc·logcd=logad. log b a
（a,b,c均大于0且不等于1，d＞0）
（3）运算性质 如果a＞0,且a≠1,M＞0,N＞0，那么： logaM+logaN ①loga(M·N)=___________; ② log a
M logaM-logaN =___________; N
当0＜x＜1时，y＜0； y＞0 当x＞1时,_____ 增函数 是（0，+∞）上的_______ 当0＜x＜1时，y＞0; y＜0 当x＞1时，_____ 减函数 是（0，+∞）上的_______
4.反函数 y=logax 指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）与对数函数_______(a＞0，且
ln N _____
2.对数的性质、换底公式与运算性质
（1）性质
0 ①loga1=__; 1 ②logaa=__; N ③ a log N __ .其中a＞0,且a≠1.
a
(2)换底公式ຫໍສະໝຸດ log c b log c a ①基本公式：logab= ______(a,c均大于0且不等于1，b＞0).
1 a 1 b 1 1 log m 2 log m 5 log m10 2, log 2 m log 5 m
2015届高三数学一轮课件：2.5 对数与对数函数
a
直角坐标系中的图象可能是(
题型一
题型二
题型三
)
题型四
第十六页，编辑于星期五：八点 三十七分。
17
第5讲 对数与对数函数
题型二
考纲考向
对数函数的图象及应用
例2
考点基础
重点难点
重点难点
点拨提示
随堂演练
迁移训练2
|x|,0 < x ≤ 10,
(2)已知函数 f(x)= 1
若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),
函数互为反函数.
(2)表示:
-1
函数 y=f(x)的反函数通常用 y=f (x)表示.
(3)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)与指数函数 y=a x 互为反函数,它们的
图象关于直线 y=x 对称.
基础梳理
自我检测
第八页，编辑于星期五：八点 三十七分。
第5讲 对数与对数函数
自我检测
考纲考向
对于 C 选项,由抛物线知
b
a
>1,此时对数函数的图象不符合要求,故 C
不正确;
对于 D 选项,由抛物线知 0<
b
a
<1,此时对数函数的图象符合要求,
故选 D.
题型一
题型二
题型三
题型四
第十八页，编辑于星期五：八点 三十七分。
19
第5讲 对数与对数函数
考纲考向
题型二 对数函数的图象及应用
例2
考点基础
(2)几种常见对数
基础梳理
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为 a(a>0,且 a≠1)
logaN
常用对数
直角坐标系中的图象可能是(
题型一
题型二
题型三
)
题型四
第十六页，编辑于星期五：八点 三十七分。
17
第5讲 对数与对数函数
题型二
考纲考向
对数函数的图象及应用
例2
考点基础
重点难点
重点难点
点拨提示
随堂演练
迁移训练2
|x|,0 < x ≤ 10,
(2)已知函数 f(x)= 1
若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),
函数互为反函数.
(2)表示:
-1
函数 y=f(x)的反函数通常用 y=f (x)表示.
(3)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)与指数函数 y=a x 互为反函数,它们的
图象关于直线 y=x 对称.
基础梳理
自我检测
第八页，编辑于星期五：八点 三十七分。
第5讲 对数与对数函数
自我检测
考纲考向
对于 C 选项,由抛物线知
b
a
>1,此时对数函数的图象不符合要求,故 C
不正确;
对于 D 选项,由抛物线知 0<
b
a
<1,此时对数函数的图象符合要求,
故选 D.
题型一
题型二
题型三
题型四
第十八页，编辑于星期五：八点 三十七分。
19
第5讲 对数与对数函数
考纲考向
题型二 对数函数的图象及应用
例2
考点基础
(2)几种常见对数
基础梳理
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为 a(a>0,且 a≠1)
logaN
常用对数
(文理通用)高三数学一轮复习2.5对数函数课件
(2)(2014·南京模拟)已知实数a>0,f(x)=
x2
lo g 1
2
2ax x,x
,x 1.
1,
若方
程f(x)=- 3 a2有且仅有两个不等实根,且较大实根大于2,则实
4
数a的取值范围是
.
【解题视点】(1)根据条件将b用a表示,进而根据f(x)=ax与
g(x)=-logbx的解析式关系确定图象. (2)作出函数y=f(x)+ 3 a2的图象,数形结合求解.
1
N a lo g a N
logaM+logaN
M logaM-logaN N nlogaM
3.对数函数的定义、图象与性质 y=logax
(0,+∞) R
y<0 y>0
增函数
(1,0) y>0
y<0 减函数
4.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数_y_=_l_o_g_ax_(a>0,且a≠1) 互为反函数,它们的图象关于直线_y_=_x_对称.
所以m2=10,m=1 0 .
答案: 1 0
3.已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n. 【解析】因为loga2=m,loga3=n, 所以am=2,an=3, 所以a2m+n=(am)2·an=22×3=12.
考点2 对数函数的图象及其应用 【典例2】(1)(2014·大连模拟)已知lga+lgb=0(a>0且 a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能 是( )
log 1 x的图象向上平移 3 个a 2 单位而得,
2
4
高三数学复习课件 2.5 对数与对数函数
关闭
∵a=16ln 8=12ln 2,b=12ln 5,c=ln√6-ln√2 = 12ln 3,且 ln 2<ln 3<ln 5, ∴a<c<b.故选 B.
关闭
B
解析 答案
课堂练习
-13-
4.
16 81
-34+log354+log345=
12345
.
16 81
-34+log354+log345 =
.
知识梳理
-8-
123456
5.对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域 (1) (0,+∞)
值域 (2) R
(3)过点 (1,0) ,即 x= 1 时,y= 0
(4)当 x>1 时, y>0 ;
(5)当 x>1 时, y<0 ;
性质 当 0<x<1 时, y<0
当 0<x<1 时, y>0
原 又不 因A等 为.[1式f,2(x变])是为定2义f(Bl在 o. gl0o2R,ag12)2≤上������,���2的��� f>(偶1)0,函即C, .数12f(,l,2且og2在a)[≤0,D+f(.∞1(0)).,2内] 递增,
所以(2|l)o设g2函a|数≤1f(,x即)=-1l≤ogl12o(g-���2���a)≤,������ 1<,解0.得若12f≤(a)a>≤f(-2a,故),则选实C数. 1)∵f(-2)=1+log24=3,f(log212)=2log212-1=2log212-log22
= 2log26=6,
高考数学一轮总复习 2.5 对数与对数函数课件(含高考真题)文 新人教版
第二十一页，共30页。
误区警示
探究(tànjiū)
突破
22
方法提炼
1.求 f(a)+f(-a)的值,常常联想到函数的奇偶性,因此,解此类问题一般先
判断奇偶性,再求值.
2.求形如 f(2 014),f(2 013)的值往往与函数的周期有关,求此类函数值
一般先研究函数的周期性. 3.已知函数的最值或求函数的最值,往往探究函
ax
1
n
logax;⑤
=loga
n
n
x-y
x+y
x;⑥loga =-loga .
x+y
x-y
其中正确的有(
A.2 个
)
B.3 个
C.4 个
D.5 个
关闭
由对数运算性质可知③⑤⑥正确.
关闭
B
第九页，共30页。
解析(jiě
答案
解析
答案
xī)
(dá àn)
梳理(shūlǐ)
自测
2.函数 y=
2-x
类似地,当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
第十八页，共30页。
误区警示
18
探究
(tànjiū)
突破
19
方法提炼
1.利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法:
(1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的;
因为 x+1>0,所以
由
-1 < < 1,
2
3
1
3
- << ,
误区警示
探究(tànjiū)
突破
22
方法提炼
1.求 f(a)+f(-a)的值,常常联想到函数的奇偶性,因此,解此类问题一般先
判断奇偶性,再求值.
2.求形如 f(2 014),f(2 013)的值往往与函数的周期有关,求此类函数值
一般先研究函数的周期性. 3.已知函数的最值或求函数的最值,往往探究函
ax
1
n
logax;⑤
=loga
n
n
x-y
x+y
x;⑥loga =-loga .
x+y
x-y
其中正确的有(
A.2 个
)
B.3 个
C.4 个
D.5 个
关闭
由对数运算性质可知③⑤⑥正确.
关闭
B
第九页，共30页。
解析(jiě
答案
解析
答案
xī)
(dá àn)
梳理(shūlǐ)
自测
2.函数 y=
2-x
类似地,当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
第十八页，共30页。
误区警示
18
探究
(tànjiū)
突破
19
方法提炼
1.利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法:
(1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的;
因为 x+1>0,所以
由
-1 < < 1,
2
3
1
3
- << ,
对数与对数函数-高考数学复习课件
> 1，
故有ቊ
解得1＜ a ≤3.
6 − 2≥0，
(2)(2024·河南郑州模拟)设函数 f ( x )＝ln｜ x ＋3｜＋ln｜ x －3｜，则
f ( x )( A
)
A. 是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B. 是奇函数，且在(－3，3)上单调递减
C. 是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
因为0＜ a ＜ b ，所以ln a ＜0，ln b ＞0，
所以0＜ a ＜1， b ＞1，
所以－ln a ＝ln b ， 所以ln a ＋ln b ＝ln( ab )＝0，
1
所以 ab ＝1，则 b ＝ ，
2
所以 a ＋2 b ＝ a ＋ .
2
令 g ( x )＝ x ＋ (0＜ x ＜1)，
a ＞1
0＜ a ＜1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
性质
R
过定点 (1，0)
，即 x ＝ 1
时， y ＝ 0
a ＞1
0＜ a ＜1
当 x ＞1时， y ＞0 ；
当0＜ x ＜1时， y ＜0
性质
在(0，＋∞)上是 增
数
函
当 x ＞1时， y ＜0 ；
当0＜ x ＜1时， y ＞0
在(0，＋∞)上是 减
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 对数与对数运算
1. 对数的概念
如果 ax ＝ N ( a ＞0，且 a ≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
故有ቊ
解得1＜ a ≤3.
6 − 2≥0，
(2)(2024·河南郑州模拟)设函数 f ( x )＝ln｜ x ＋3｜＋ln｜ x －3｜，则
f ( x )( A
)
A. 是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B. 是奇函数，且在(－3，3)上单调递减
C. 是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
因为0＜ a ＜ b ，所以ln a ＜0，ln b ＞0，
所以0＜ a ＜1， b ＞1，
所以－ln a ＝ln b ， 所以ln a ＋ln b ＝ln( ab )＝0，
1
所以 ab ＝1，则 b ＝ ，
2
所以 a ＋2 b ＝ a ＋ .
2
令 g ( x )＝ x ＋ (0＜ x ＜1)，
a ＞1
0＜ a ＜1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
性质
R
过定点 (1，0)
，即 x ＝ 1
时， y ＝ 0
a ＞1
0＜ a ＜1
当 x ＞1时， y ＞0 ；
当0＜ x ＜1时， y ＜0
性质
在(0，＋∞)上是 增
数
函
当 x ＞1时， y ＜0 ；
当0＜ x ＜1时， y ＞0
在(0，＋∞)上是 减
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 对数与对数运算
1. 对数的概念
如果 ax ＝ N ( a ＞0，且 a ≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
课件2：2.5对数与对数函数
1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故选D.
典 例
【答案】 D
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
91淘课网 ——淘出优秀的你
3．如果log1x＜log1y＜0，那么( )
自
2
2
高 考
主 落
A．y＜x＜1
B．x＜y＜1
体 验
实 ·
C．1＜x＜y
D．1＜y＜x
· 明
固
考
基
情
础
【解析】 ∵y＝log1x 是(0，＋∞)上的减函数，
91淘课网 ——淘出优秀的你
第五节 对数与对数函数
高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
91淘课网 ——淘出优秀的你
高
自
考
主
体
落 实
1．对数的概念
验 ·
·
明
固 基
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，
考 情
础 记作__x_＝__lo_g_a_N___．
典
且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线___y_＝__x__对称．
明 考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
91淘课网 ——淘出优秀的你
高
高三总复习数学课件 对数与对数函数
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对 概念 数，记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数
基本 性质
loga1＝ 0 ， logaa＝ 1 ， alogaN＝ N (N>0)， logaax＝ x ，其中a>0，且a≠1
2．对数的运算
运算 法则
()
解析：由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7) ＝52lgEE12，所以 lgEE12＝10.1，所以EE12＝1010.1. 答案：A
3．计算下列各式： (1)lg 500＋lg85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2＝________. (2)(1－log63)2＋loglo64g62×log618＝________.
3
(3)原式＝log5554 ＋31＋log36＋lg(102×2)－lg 2＝－14＋6＋2＋lg 2－lg 2＝341.
则有
()
A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a
答案：A
4．(湘教版必修第一册 P123·T19)下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y＝
10lg x 的定义域和值域相同的是
()
A．y＝x
B．y＝lg x
C．y＝2x
D．y＝
1 x
答案：D
5．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 答案：(4，－1)
＝llooggaaMN ＝llooggbbMN ；logab·logbc·logcd＝logad
3．对数函数的图象与性质
2018届高三数学(理)一轮复习课件：2.5对数与对数函数
1 ������-2 与 ������+2
) )
g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数. (
(5)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点 )
关闭
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
答案
-10知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
2.(2016 山东济宁一模)函数 f(x)= ( )
-9知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)log2x2=2log2x. ( ) (2)函数 y=log2x 及 y=log1 3x 都是对数函数. (
3
)
(3)当 x>1 时,若 logax>logbx,则 a<b. ( (4)函数 f(x)=lg (a,1), ������ ,-1 . (
· log55=-4.
1
-14-
考点1
考点2
考点3
解题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真 数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对 数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数 运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、 幂的运算.
log������ ������ ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 log������ ������ 1 ②logab=log ������,推广 logab· logbc· logcd= logad . ������
1).
-5知识梳理 双基自测
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) )
g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数. (
(5)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点 )
关闭
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
答案
-10知识梳理 双基自测
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2.(2016 山东济宁一模)函数 f(x)= ( )
-9知识梳理 双基自测
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)log2x2=2log2x. ( ) (2)函数 y=log2x 及 y=log1 3x 都是对数函数. (
3
)
(3)当 x>1 时,若 logax>logbx,则 a<b. ( (4)函数 f(x)=lg (a,1), ������ ,-1 . (
· log55=-4.
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考点1
考点2
考点3
解题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真 数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对 数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数 运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、 幂的运算.
log������ ������ ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 log������ ������ 1 ②logab=log ������,推广 logab· logbc· logcd= logad . ������
1).
-5知识梳理 双基自测
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2
新高考一轮复习人教A版2.5 对数与对数函数课件(49张)
(3)指数函数与对数函数的关系：一般地，指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)互为反 函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线 y＝x 对称.
【常用结论】
3. 对数相关结论 (1)对数恒等式：alogaN＝N； (2)换底公式推论：logab·logbc·logcd＝logad. 4. 对数函数相关结论 (1)对数函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)以 y 轴为渐近线；g(x)＝logax＋b 恒过定点(1，b)，仍以 y 轴为 渐近线.
D. ( 2，2)
【点拨】 ①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与 坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. ②一些对数型方程、不等式 问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解.
(1)(2020 怀柔区一模)函数 y＝|log2x|的图象是 ( )
a
＝
log52
，
b
＝
log83
，
c
＝
1 2
，
则
下
列
判
断
正
确
的
是
()
A. c<b<a
B. b<a<c
C. a<c<b
D. a<b<c
解：因为 a＝log52<log5 5＝12＝log82 2＜log83＝b，即 a＜c＜b. 故选 C.
若 loga2<0(a>0 ， 且 a≠1) ， 则 函 数 f(x) ＝ loga(x ＋ 1) 的 图 象 大 致 是 ()
A
B
C
D
解：因为 f(x)＝l－ogl2oxg，2xx，≥10，＜x＜1. 则函数的定义域为(0，＋∞)，即函数图象只出现在 y 轴右侧，值域为[0，＋∞)，即函数 图象只出现在 x 轴上方； 且函数 f(x)的图象是在区间(0，1)上单调递减的曲线，在区间(1，＋∞)上单调递增的曲 线. 由增长趋势知 C 错误，只有 D 项满足要求. 故选 D.
高考数学一轮复习 25对数与对数函数课件 理 北师大
2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、 求最值等问题，其基本方法是“同底法”．即 把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根 据单调性来解决．
3．与对数函数有关的复合函数的单调性的 求解步骤
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而 成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝ f(u)，u＝g(x)；
答案：A
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
考场样题
[2011·陕西卷] 设 f(x)＝l1g0xx，，xx＞≤00，， 则 f(f(－2))＝________.
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4) 若 这 两 个 函 数 同 增 或 同 减 ， 则 y ＝ f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝ f(g(x)) 为减函数，即“同增异减”．
例3 已知函数 f(x)＝loga(2－ax)，是否 存在实数a，使函数 f(x)在[0,1]上是关于x的减 函数，若存在，求a的取值范围．
3．与对数函数有关的复合函数的单调性的 求解步骤
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而 成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝ f(u)，u＝g(x)；
答案：A
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
考场样题
[2011·陕西卷] 设 f(x)＝l1g0xx，，xx＞≤00，， 则 f(f(－2))＝________.
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4) 若 这 两 个 函 数 同 增 或 同 减 ， 则 y ＝ f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝ f(g(x)) 为减函数，即“同增异减”．
例3 已知函数 f(x)＝loga(2－ax)，是否 存在实数a，使函数 f(x)在[0,1]上是关于x的减 函数，若存在，求a的取值范围．
2020届高三文科数学总复习课件：2.5 对数与对数函数
特点 底数为a(a>0且a≠1)
底数为10 底数为e
记法 logaN lg N ln N
第二页，编辑于星期日：一点 一分。
第三页，编辑于星期
(2017江西百校2月联盟模拟,14)已知14a=7b=4c=2,则
1 -
1+
1 =
ab c
.
解析 ∵14a=7b=4c=2,
§2.5 对数与对数函数
第一页，编辑于星期日：一点 一分。
考点清单
考点一 对数的概念及运算
考向基础
1.对数的概念
(1)对数的定义
一般地,如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x= logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. (2)几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数
解析 方程的根可以转化为两图象交点的横坐标,a为y=3x与y=lo x两 g1
3
图象交点的横坐标,c为y=
1 3
x
与y=log3x两图象交点的横坐标,b=-2.画出
y=
1 3
x
,y=3x,y=log3x,y=lo
xg的1 图象,可看出b<a<c.
3
答案 A
第十七页，编辑于星期日：一点 一分。
答案 B
第十页，编辑于星期日：一点 一分。
考点三 对数函数的综合应用 考向基础 1.与对数函数有关的复合函数的定义域、值域 (1)y=loga f(x)的定义域是满足f(x)>0的x的值组成的集合. (2)先确定f(x)>0时对应的x的取值范围及此时f(x)的取值范围,再根据对 数函数的单调性确定y=loga f(x)的值域.
a>1
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考纲考向分析 核心要点突破
1
【例 2】 (2012·大纲版全国卷)已知 x＝ln π ，y＝log52，z＝e－ 2，则
()
A．x<y<z
B．z<x<y
C．z<y<x
D．y<z<x
[解题指导](1)已知：x，y 是对数式，z 是指数式，且指数式中指数是
负数．
(2)分析：①x，y，z 都是正数；②z 的指数为负数，可化为 1e；③x 大于 1，y，z 都小于 1.
考纲考向分析 核心要点突破
方法1 对数函数的图象及其应用 对数函数图象的特点 (1)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过 点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限． (2)在直线 x＝1 的右侧，当 a>1 时，底数越大，图象越靠近 x 轴；当 0<a<1 时，底数越小，图象越靠近 x 轴，即“底大图低”．
考纲考向分析 核心要点突破
(2)由题意得，当 0＜a<1 时，要使得
4x<logax0<x≤12，即当 0<x≤12时， 函数 y＝4x 的图象在函数 y＝logax 图 象的下方．
又当 x＝12时，412＝2，
即函数 y＝4x 的图象过点12，2，
把点12，2代入函数 y＝logax，得 a＝ 22，若函数 y＝4x 的图象在
考纲考向分析 核心要点突破
知识点二 对数函数的图象与性质 1.图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：_(_0_，__＋__∞__) _
值域：_R_
过定点_(_1_，__0_)_，即x＝_1_时，y＝_0_
当x>1时，_y_＞__0_ 当0<x<1时，_y_＜__0__
当0<x<1时，_y_＞__0_ 当x>1时，_y_＜__0_
在(0，＋∞)上是_增__函__数__ 在(0，＋∞)上是_减__函__数___
考纲考向分析 核心要点突破
2.反函数的概念 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为 反函数，它们的图象关于直线__y＝__x__对称．
考纲考向分析 核心要点突破
【名师助学】
1．本部分知识可以归纳为： (1)四类运算法则：对数的运算法则(a>0 且 a≠1，M>0，N>0)： ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN ＝logaM－logaN；
函数 y＝logax 图象的下方，则需 22<a<1(如上图所示)．当 a>1 时，
不符合题意，舍去．所以实数
a
的取值范围是
22，1
答案 (1)B (2)B
考纲考向分析 核心要点突破
[点评] 第(1)问的关键是画出f(x)与g(x)的图象，根据特殊点 对应的函数值，判断两图象的位置关系，从而判断交点个数； 第(2)问的关键是寻找临界位置，画出两者的函数图象，数形 结合求解．
函数与相应指 查不等式的求解
题.
(4)了解指数函数y＝ax与对数函数 数函数间的关 问题也应予以关
y＝logax互为反函数(a>0，a≠1). 系.
注.
考纲考向分析 核心要点突破
知识点一 对数及其运算 1．对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
考纲考向分析 核心要点突破
3.对数的运算法则 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(M·N)＝_l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN__； ②logaMN ＝_l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN__； ③logaMn＝_n_nl_o_g_aM___(n∈R)； ④logamMn＝_m_l_o_g_aM_ (n∈R，m≠0)．
考纲考向分析 核心要点突破
解析
答案 D [点评] 比较大小可充分利用函数的单调性或找中间值；利用函 数图象可以直观地得到各自变量的大小关系．
考纲考向分析 核心要点突破
③logaMn＝nlogaM；④logan M＝n1logaM. (2)五个恒等式：五个恒等式(M、N、a、b 都是正数，且 a、b ≠1)． ①alogaN＝N；②logaaN＝N；③logaN＝llooggbbNa (换底公式)； ④logab＝log1ba；⑤logambn＝mn logab.
数函数的性质 大小比较及单调
2．对数函
(2)理解对数函数的概念；理解对 比较对数值的 性的应用是高考
数的图象和
数函数的单调性，掌握函数图象 大小，求定义 的热点．另外，
性质．
通过的特殊点．
域、值域、最 以对数函数的复
3．对数函
(3)知道对数函数是一类重要的函 值，以及对数 合函数为载体考
数的综合问
数模型．
考纲考向分析 核心要点突破
【例 1】 (1)(2013·湖南)函数 f(x)＝2ln x 的图象与函数 g(x)＝
x2－4x＋5 的图象的交点个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)(2012·新课标全国)当 0<x≤12时，4x<logax，则 0，
2
2
考纲考向分析 核心要点突破
2．对数的常用关系式 ①对数恒等式：alogaN＝ N (a>0 且 a≠1，N>0)； 换底公式：logab＝llooggccba(b>0，a、c 均大于 0 且不等于 1)． ②logab＝log1ba，推广 logab·logbc·logcd＝ logad (d>0，a、b、 c 均大于 0 且不等于 1)．
考纲考向分析 核心要点突破
方法2 对数函数的性质及应用 比较对数式的大小的常见情形及方法 (1)当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较； (2)当底数不同、真数相同时，可转化为同底(利用换底公式)或利 用函数的图象，数形结合解决； (3)当底数不同、真数不同时，可利用中间值(如“0”或“1”)进行比 较．
第五节 对数与对数函数
考纲考向分析 核心要点突破
考点梳理
考纲速览
命题解密
(1)理解对数的概念及其运算性质， 主要考查
热点预测 对数的运算、
知道用换底公式能将一般对数转 对数的运算法 以对数函数为载
1. 对 数 的 运
化成自然对数或常用对数；了解 则以及利用对 体考查函数值的
算．
对数在简化运算中的作用．
考纲考向分析 核心要点突破
(3)四种方法：对数值的大小比较方法： ①化同底后利用函数的单调性；②作差或作商法；③利用中间量 (0 或 1)；④化同真数后利用图象比较． 2．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线 y ＝1 交点的横坐标进行判定． 3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式 logambn＝mn ·logab，logab ＝log1ba在解题中的灵活应用.
C．(1， 2)
B.
22，1
D．( 2，2)
考纲考向分析 核心要点突破
解析 (1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝ 2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图 象，如图所示． ∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1， ∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2， 故选B.
1
【例 2】 (2012·大纲版全国卷)已知 x＝ln π ，y＝log52，z＝e－ 2，则
()
A．x<y<z
B．z<x<y
C．z<y<x
D．y<z<x
[解题指导](1)已知：x，y 是对数式，z 是指数式，且指数式中指数是
负数．
(2)分析：①x，y，z 都是正数；②z 的指数为负数，可化为 1e；③x 大于 1，y，z 都小于 1.
考纲考向分析 核心要点突破
方法1 对数函数的图象及其应用 对数函数图象的特点 (1)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过 点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限． (2)在直线 x＝1 的右侧，当 a>1 时，底数越大，图象越靠近 x 轴；当 0<a<1 时，底数越小，图象越靠近 x 轴，即“底大图低”．
考纲考向分析 核心要点突破
(2)由题意得，当 0＜a<1 时，要使得
4x<logax0<x≤12，即当 0<x≤12时， 函数 y＝4x 的图象在函数 y＝logax 图 象的下方．
又当 x＝12时，412＝2，
即函数 y＝4x 的图象过点12，2，
把点12，2代入函数 y＝logax，得 a＝ 22，若函数 y＝4x 的图象在
考纲考向分析 核心要点突破
知识点二 对数函数的图象与性质 1.图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：_(_0_，__＋__∞__) _
值域：_R_
过定点_(_1_，__0_)_，即x＝_1_时，y＝_0_
当x>1时，_y_＞__0_ 当0<x<1时，_y_＜__0__
当0<x<1时，_y_＞__0_ 当x>1时，_y_＜__0_
在(0，＋∞)上是_增__函__数__ 在(0，＋∞)上是_减__函__数___
考纲考向分析 核心要点突破
2.反函数的概念 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为 反函数，它们的图象关于直线__y＝__x__对称．
考纲考向分析 核心要点突破
【名师助学】
1．本部分知识可以归纳为： (1)四类运算法则：对数的运算法则(a>0 且 a≠1，M>0，N>0)： ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN ＝logaM－logaN；
函数 y＝logax 图象的下方，则需 22<a<1(如上图所示)．当 a>1 时，
不符合题意，舍去．所以实数
a
的取值范围是
22，1
答案 (1)B (2)B
考纲考向分析 核心要点突破
[点评] 第(1)问的关键是画出f(x)与g(x)的图象，根据特殊点 对应的函数值，判断两图象的位置关系，从而判断交点个数； 第(2)问的关键是寻找临界位置，画出两者的函数图象，数形 结合求解．
函数与相应指 查不等式的求解
题.
(4)了解指数函数y＝ax与对数函数 数函数间的关 问题也应予以关
y＝logax互为反函数(a>0，a≠1). 系.
注.
考纲考向分析 核心要点突破
知识点一 对数及其运算 1．对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
考纲考向分析 核心要点突破
3.对数的运算法则 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(M·N)＝_l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN__； ②logaMN ＝_l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN__； ③logaMn＝_n_nl_o_g_aM___(n∈R)； ④logamMn＝_m_l_o_g_aM_ (n∈R，m≠0)．
考纲考向分析 核心要点突破
解析
答案 D [点评] 比较大小可充分利用函数的单调性或找中间值；利用函 数图象可以直观地得到各自变量的大小关系．
考纲考向分析 核心要点突破
③logaMn＝nlogaM；④logan M＝n1logaM. (2)五个恒等式：五个恒等式(M、N、a、b 都是正数，且 a、b ≠1)． ①alogaN＝N；②logaaN＝N；③logaN＝llooggbbNa (换底公式)； ④logab＝log1ba；⑤logambn＝mn logab.
数函数的性质 大小比较及单调
2．对数函
(2)理解对数函数的概念；理解对 比较对数值的 性的应用是高考
数的图象和
数函数的单调性，掌握函数图象 大小，求定义 的热点．另外，
性质．
通过的特殊点．
域、值域、最 以对数函数的复
3．对数函
(3)知道对数函数是一类重要的函 值，以及对数 合函数为载体考
数的综合问
数模型．
考纲考向分析 核心要点突破
【例 1】 (1)(2013·湖南)函数 f(x)＝2ln x 的图象与函数 g(x)＝
x2－4x＋5 的图象的交点个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)(2012·新课标全国)当 0<x≤12时，4x<logax，则 0，
2
2
考纲考向分析 核心要点突破
2．对数的常用关系式 ①对数恒等式：alogaN＝ N (a>0 且 a≠1，N>0)； 换底公式：logab＝llooggccba(b>0，a、c 均大于 0 且不等于 1)． ②logab＝log1ba，推广 logab·logbc·logcd＝ logad (d>0，a、b、 c 均大于 0 且不等于 1)．
考纲考向分析 核心要点突破
方法2 对数函数的性质及应用 比较对数式的大小的常见情形及方法 (1)当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较； (2)当底数不同、真数相同时，可转化为同底(利用换底公式)或利 用函数的图象，数形结合解决； (3)当底数不同、真数不同时，可利用中间值(如“0”或“1”)进行比 较．
第五节 对数与对数函数
考纲考向分析 核心要点突破
考点梳理
考纲速览
命题解密
(1)理解对数的概念及其运算性质， 主要考查
热点预测 对数的运算、
知道用换底公式能将一般对数转 对数的运算法 以对数函数为载
1. 对 数 的 运
化成自然对数或常用对数；了解 则以及利用对 体考查函数值的
算．
对数在简化运算中的作用．
考纲考向分析 核心要点突破
(3)四种方法：对数值的大小比较方法： ①化同底后利用函数的单调性；②作差或作商法；③利用中间量 (0 或 1)；④化同真数后利用图象比较． 2．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线 y ＝1 交点的横坐标进行判定． 3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式 logambn＝mn ·logab，logab ＝log1ba在解题中的灵活应用.
C．(1， 2)
B.
22，1
D．( 2，2)
考纲考向分析 核心要点突破
解析 (1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝ 2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图 象，如图所示． ∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1， ∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2， 故选B.