广东省华南师大附中2020届高三综合测试数学文试卷含答案
广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三综合测试(二)数学含答案
华南师大附中2024届高三综合测试（二）数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A ．1M ∈B ．2M ∈C ．3M ∈D ．4M ∈2．“0a b >>”是“22a b >”的4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S = A ．15B ．30C ．45D ．606．已知公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且101a <<，()()5049110a a −−<，若对任意的*n ∈N ，k n T T ≤恒成立，则k 的值为A ．49B ．50C ．99D ． 1007．已知函数()()11sin 1e e 1x x f x x x −−=−+−−+，则满足()(32)0f x f x +−<的x 的取值范围是 2,,n x ，满足(1n f x −++的最小值为A ．6 B ．7 C ．8 D ．9小题，每小题5分，共分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部分，有选错的得所在平面内一点，23OA OB OC ++=0，则下列说法正确的有()0AB AC BC +⋅=，则6AB AC +=．若CA 在CB 上的投影向量为CB ，则PQ 的最小值为10．若点P 为BC 的中点，则2OQ OP =−0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则()AP AB AC ⋅+为定值．已知数列{}n a 满足11a =，1e e 1n n a a n a +=−，则为单调递减数列B ．1n a +>第二部分 非选择题（共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省华南师范大学附中高三综合测试数学(文)——高考模拟试卷(33套)资料文档
广东省华南师范大学附中 20××届高三5月综合测试数学（文）试题本试卷共1小题， 满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知全集R U =，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x xB ，则=)(B AC UA ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A ．4 B.5 C.6 D.7 4．在ABC ∆中, 已知向量)72cos ,18(cos 00=, )27cos 2,63cos 2(00=, 则BAC ∠cos 的值为 A ．0 B ．21C ．22D ．235．一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ．6．命题:p 若R b a ∈,，则1>+b a 是1>+b a 的充分而不必要条件；命题:q 函数21--=x y 的定义域是),3[]1,(+∞--∞ ，则A ．“p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真7．若⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ，则y x +2的取值范围是 A ．[22, 5 ] B ． [－22 ,22] C ． [－22, 5 ] D ． [－ 5 , 5 ]8 在圆422=+y x 上与直线01234=-+y x 距离最小的点的坐标是( )A.)56,58(B. )56,58(-C. )56,58(-D. )56,58(--9．函数x x y cos +=的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．10．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A.)1,3(- B. ]1,3[- C. ),1()3,(+∞--∞ D. ),1[]3,(+∞--∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 双曲线229161x y -=的焦距是___________. 12．已知53)4sin(=-x π，则 x 2sin 的值为 . 13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出的结果是 .（二）选做题（请考生在以下两个小题中任选一题做答）14．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则它的圆心到直线l ：⎩⎨⎧+=--=ty tx 2322（t 为参数）的距离等于 .题图第1515．如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点， 割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，PD =O 的半径长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如下图所示.(1)求函数)(x f 的解析式;(2)当]32,6[--∈x 时,求函数)2()(++=x f x f y 的最大值与最小值及相应的x 的值.17. （本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； （Ⅲ）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有3位又患胃病．现在从不患心肺疾病的5位男性中，任意选出3位进行其他方面的排查，求恰好有一位患胃病的概率． 下面的临界值表供参考：（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）PD FOE18．（本小题满分14分）已知52,a a 是方程027122=+-x x 的两根, 数列{}n a 是公差为正数的等差数列，数列{}n b 的前项和为n T ，且)(211*N n b T n n ∈-=。
广东省华南师范大学附属中学2024届高三综合测试(三) 数学试题【含答案】
华南师范大学附属中学2024届高三综合测试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若()2i i z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要3．一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（）A ．25B ．30C ．35D ．404．等边ABC 的边长为3，若2AD DC = ，BF FD =，则AF = （）A ．2B ．2C ．2D ．25．某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0e ktM M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg 20.3010=）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h6．将一副三角板排接成平而四边形ABCD （如图），1BC =，将其沿BD 折起，使得而ABD ⊥面BCD ．若三棱锥A -BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．2πB ．7π3C ．8π3D ．3π7．函数()2cos 0πy x x =<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A B C D 8．Ω为样本空间，随机事件A 、B 满足()()12P A P B ==，()1P A B ⋃=，则有（）A ．AB =ΩB ．()1P A B = C ．AB =∅D ．()1P A B =二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD ．若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b10．已知函数e x y x =+的零点为1,ln x y x x =+的零点为2x ，则（）A ．120x x +>B ．120x x <C ．12e ln 0xx +=D ．12121x x x x -+>11．已知定圆22:(1)16M x y -+=，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的中垂线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第n 个图中阴影部分的面积为.13．已知322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为．14．设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+(0ω>)．(1)若2ω=，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求ω的值．16．如图，边长为4的两个正三角形ABC ，BCD 所在平面互相垂直，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在棱AD 上，2AG GD =，直线AB 与平面EFG 相交于点H .(1)证明：//BD GH ；(2)求直线BD 与平面EFG 的距离.17．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为(01)p p <<.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为(0)a a >元.(1)①写出X 的分布列；②证明：()1E X p<；(2)某公司意向投资该产品.若0.25p =，且试验成功则获利5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由.18．已知函数()sin x f x ae x x -=+-.（1）若()f x 在()0,2π单调递减，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意整数a ，()f x 至多1个零点.19．已知抛物线Γ：()220x py p =>，过点()0,4的直线l 交C 于P ，Q 两点，当PQ 与x 轴平行时，OPQ △的面积为16，其中O 为坐标原点.(1)求Γ的方程；(2)已知点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y （123x x x <<）为抛物线Γ上任意三点，记ABC 面积为1S ，分别在点A 、B 、C 处作抛物线Γ的切线1l 、2l 、3l ，1l 与2l 的交点为D ，1l 与3l 的交点为E ，2l 与3l 的交点为F ，记DEF 面积为2S ，是否存在实数λ，使得12S S λ=？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.1．A【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：因为()()()2i 12i 12i 2i 2i 25i i 5i 5z -+====+++-，所以复数z 在复平面内所对应的点的坐标为12,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A 2．B【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.3．B【分析】根据给定条件，利用中位数的定义求解即得.【详解】依题意，新数据组有6个数，其中位数是2535302+=，显然原数据组有7个数，因此删除的数是中位数30.故选：B 4．A【分析】取BC 中点O，建立直角坐标系，得到1,4AF ⎛=- ⎝⎭，再根据模长的坐标公式即可求解.【详解】如图，取BC 中点O ，建立直角坐标系，则33330,,,0,,0222A B C ⎛⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由2AD DC =，若(,)D x y ，则22333(,(1,3)3322AD AC ==⨯-=- ，所以33(,)(1,3)x y =得：32D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由BF FD = ，若(,)F m n ，则115353(,)()222244BF BD === ，所以353(,)(,24m n +=得：13,44F ⎛- ⎝⎭，所以153,44AF ⎛=- ⎝⎭ ，故2215319442AF ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A 5．A【分析】由题意可得()0.50.8t=，进而利用指数与对数的关系可得0.8log 0.5t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可【详解】由题意可知()00120%e kM M --=，所以e 0.8k -=，又因为()00150%e ktM M --=，所以()()e e 0.80.5ttkt k --===，所以0.81lglg 0.5lg 22log 0.54lg 0.82lg 2lg 5lg 5t -====-()lg 2lg 20.30103.1032lg 21lg 23lg 2130.30101---==≈---⨯-，比较接近3，故选：A 6．C【分析】利用面面垂直的性质和线面垂直的判定找到球心的位置即为AD 的中点，再利用球的表面积公式即可.【详解】由题意得BD =，3AB =，因为面ABD ⊥面BCD ，面ABD ⋂面BCD BD =，且AB BD ⊥，AB ⊂面ABD ，则AB ⊥面BCD ，因为CD ⊂面BCD ，所以AB CD ⊥，又因为CD BC ⊥，,BC AB ⊂面ABC ，且BC AB B =I ，所以CD ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以CD AC ⊥，取AD 中点为O ，则AO DO BO CO ===，则球心即为AD 中点，而23AD AB ==，则球的半径为3，则球O 的表面积为28π4π33⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：C.7．A【分析】根据已知条件及同角三角函数的关系，再利用一元二次方法的解法及中点坐标公式，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】由()2cos 3tan 0,πx x x =∈，可得22cos 3sin x x =，即222sin 3sin x x -=，即22sin 3sin 20x x +-=,解得1sin 2x =或sin 2x =-（舍），因为()0,πx ∈，所以π5π,66x x ==.所以π5π,66A B ⎛⎛ ⎝⎝，所以线段AB 的中点C 的坐标为π,02⎛⎫⎪⎝⎭，所以(11π2222OAB A B S OC y y =-=⨯-=.故选：A.8．B【分析】以正态分布为背景，举反例判断ACD ，利用概率和公式判断B.【详解】设()20,1X N ~，对于A ，若事件{}0A X =>，事件{}0B X =<，则()()12P A P B ==，()1P A B ⋃=，但A B ⋃≠Ω，选项A 错误；对于C ，若事件{}0A X =≥，事件{}0B X =≤，则()()12P A P B ==，()1P A B ⋃=，但AB ≠∅，选项C 错误；对于D ，若事件{}0A X =>，事件{}0B X =<，则()()12P A P B ==，()1P A B ⋃=，但()()()0P AB P A B P B ==，选项D 错误；对于B ，因为()1P A B ⋃=，所以()()()1P A P B P AB ++=，又()()12P A P B ==，所以()0P AB =，所以()()11P A B P AB ⋃=-=，B 正确；故选：B.9．ABC【分析】A.利用直线与平面的位置关系判断；B.利用平面与平面的位置关系判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用线面垂直的性质定理判断.【详解】A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，故错误；B.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥β或α与β相交，故错误；C.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α与β平行或相交，故错误；D.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b ，故正确；故选：ABC 10．BC【分析】利用函数零点的意义，结合函数e x y =与ln y x =互为反函数，确定12,x x 的关系，再逐项分析判断得解.【详解】依题意，1111e 0e x xx x +=⇔=-，2222ln 0ln x x x x +=⇔=-，则12,x x 分别是直线y x =-与函数e x y =，ln y x =图象交点的横坐标，而函数e x y =与ln y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，又直线y x =-垂直于直线y x =，则点11(,e )xx 与点22(,ln )x x 关于直线y x =对称，则121e 0x x x ==->，于是120x x +=，120x x <，12e ln 0xx +=，BC 正确，A 错误；1212121(1)(1)0x x x x x x -+-=-+<，即12121x x x x -+<，D 错误.故选：BC11．ABD【分析】Q 是线段PA 的中垂线上的点，可得QA PQ =．对点A 的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．【详解】因为Q 是线段PA 的中垂线上的点，QA PQ =，若A 在圆M 内部，且不为圆心，则4MA <，4QM QA QM QP +=+=，所以Q 点轨迹是以M ，A 为焦点的椭圆，故A 正确；若A 在圆M 外部，则4QA QM PQ QM PM -=-==，||4MA >，所以Q 点轨迹是以M ，A 为焦点的双曲线，故B 正确；若A 在圆M 上，则PA 的中垂线恒过圆心M ，即Q 的轨迹为点M ．若A 为圆M 的圆心，即A 与M 重合时，Q 为半径PM 的中点，所以Q 点轨迹是以M 为圆心，以2为半径的圆，故D 正确，不存在轨迹为抛物线的可能，故C 错误，故选：ABD 12133(4n -【分析】由题意先求出图1，2，3中阴影部分的面积，根据规律归纳出答案.【详解】图1中阴影部分的面积为21132322S =⨯=图2中阴影部分的面积为2133344S S =⨯=图3中阴影部分的面积为23233344S S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭由此规律，可得图n 中阴影部分的面积为1334n n S -⎛⎫== ⎪⎝⎭133(4n -13．80【分析】根据题意，由各项系数之和可得n ，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.【详解】由题意，令1x =，则3243n =，解得5n =，则322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式第1r +项()5315515522C 2C rr r r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1550r -=，解得3r =，所以335C 210880⋅=⨯=.故答案为：8014．15##0.2【分析】令1100x t ==，，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得1100x z z y t y +≥+，结合基本不等式和1zy≥计算即可．【详解】因为1100x y z t ≤≤≤≤≤，所以1z y≥,所以111005x z z y t y +≥+≥≥=，当且仅当1100zy =即100yz =时等号成立，即x z y t +的最小值为15.故答案为：15.15．(1)12；(2)1．【分析】(1)直接代入2ω=及6x π=计算即可；(2)化简f (x )解析式，根据()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可知该区间长度小于或等于f (x )的半个周期，再结合012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0ω>可得ω的值．【详解】（1）∵2ω=，∴211311cos sin 633322422f ππππ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭．（2）()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+1cos21sin 22226x x x ωπωω-⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭∵()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，∴2263T πππ≥-=，即2223T ππω=≥，∴302ω<≤．∵012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin 01266f πωππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ,Z 66k k ω-+=∈即()16k k ω=-∈Z ，所以当0k =时，1ω=.此时()f x =sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，732,,62622x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故此时()f x 单调递减，符合题意.综上，1ω=.16．(1)证明见解析2【分析】（1）首先证明//BD 平面EFG ，再由线面平行的性质证明即可；（2）连接EA ,ED ，以点E 为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得.【详解】（1）因为E 、F 分别为BC 、CD 的中点，所以//EF BD ，又BD ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//BD 平面EFG ，又BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFG GH =，所以//BD GH .（2）由（1）知，//BD 平面EFG ，则点B 到平面EFG 的距离即为BD 与平面EFG 的距离，连接EA ,ED ，由,ABC BCD 均为正三角形，E 为BC 的中点，得,EA BC ED BC ⊥⊥，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面,BCD BC AE =⊂平面ABC ，于是⊥AE 平面BCD ，又ED ⊂平面BCD ，则EA ED ⊥，以点E 为原点，直线,,EB ED EA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B，()F -，又(0,0,A，()0,D ，又2AG GD =，可得0,33G ⎛ ⎝⎭，所以()2,0,0EB =，()EF =-，0,33EG ⎛= ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EFG 的一个法向量为(,,)n x y z =，则04323033EF n x EG n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，得)2n =- ，设点B 到平面EFG 的距离为d ，则||||EB n d n ⋅== ，所以BD 与平面EFG17．(1)①答案见解析；②证明见解析(2)应该投资，理由见解析【分析】（1）由题意，1,2,3,...,10X =，19()(1),1,2,,9,(10)(1)k P X k p p k P X p -==-===- ，列出分布列即可；列出()E X ，乘公比错位相减法求和0128(1)2(1)3(1)9(1)S p p p p =-+-+-++- ，分析可证明()1E X p<；（2）由（1）1()4E X p <=，分析即得解【详解】（1）①由题意，1,2,3,...,10X =故19()(1),1,2,,9,(10)(1)k P X k p p k P X p -==-===- 分布列如下：X 12345678910P p (1)p p -2(1)p p -3(1)p p -4(1)p p -5(1)p p -6(1)p p -7(1)p p -8(1)p p -9(1)p -②02918()(1)2(1)3(1)9(1)10(1)E X p p p p p p p p p =-+-+-++-+- ，记0128(1)2(1)3(1)9(1)S p p p p =-+-+-++- ，1239(1)(1)2(1)3(1)9(1)p S p p p p -=-+-+-++- ，作差可得，()()()()()()()90128991111119191p pS p p p p p p p --=-+-+-++---=-- ，则910991(1)1(1)1()10(1)(1)p p E X pS p p p p p ----=+-=+-=<，即证.（2）由（1）可知1()4E X p<=，则试验成本的期望小于4a ，又获利5a 大于成本的期望，则应该投资.18．（1）[0,)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）把()f x 在()0,2π单调递减，转化为()cos 1x a e x ≥-在()0,2x π∈上恒成立，令()()()cos 1,0,2x g x e x x π=-∈，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可求解；（2）令()sin x x x ϕ=-，得到0x ≥时，sin 0x x -≤；0x <时，sin 0x x ->，令函数()()()sin x x f x F x a e x x e-==+-，得到()F x 与()f x 零点一致，结合导数求得函数()F x 单调性与最值，以及零点的知识，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()sin x f x ae x x -=+-，可得'()cos 1x f x ae x -=-+-.因为()f x 在()0,2π单调递减，所以对()0,2x π∈，恒有'()0f x ≤成立，即()cos 1x a e x ≥-在()0,2x π∈上恒成立，令()()()cos 1,0,2x g x e x x π=-∈，则()(cos 1sin )14x x g x e x x e x π⎫⎛⎫'=--=--+ ⎪⎪⎝⎭⎭，令'()0g x =，解得32x ππ=，则当30,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >，()g x 单调递增.又()()00,20g g π==，所以当()0,2x π∈时，()max 0g x <，所以0a ≥，即实数a 的取值范围是[0,)+∞.（2）令()sin x x x ϕ=-，则'()cos 10x x ϕ=-≤，所以()ϕx 单调递减，又因为()00ϕ=，所以0x ≥时，sin 0x x -≤；0x <时，sin 0x x ->.令()()()sin x x f x F x a e x x e-==+-，则()F x 与()f x 零点一致，当0x ≥时，()()()()sin cos 10x F x e x x x '=-+-≤，所以()F x 递减，()()0F x F a ≤=；当0x <时，有(sin )(1)x x a a e x x a e x <+-≤+-，令()(1)(0)x G x a e x x =+-<，因为'()0x G x xe =->，()G x 在(),0∞-递增，所以0()(0)(10)1G x G a e a <=+-=+.综上，当0a ≥时，()F x 在0x ≥有唯一零点，在0x <恒正不存在零点；当1a ≤-时，()10F x a <+≤，不存在零点.即对任意整数a ，函数()F x 至多1个零点，所以()f x 至多1个零点.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.19．(1)24x y =；(2)存在，2【分析】（1）由题意可得4P Q y y ==，则p Q x x ==，再由OPQ △的面积为16，列方程可求出p ，从而可求得Γ的方程；（2）表示出直线AC 的方程，直线2x x =与AC l 的交点为T ，求出点T 的坐标，则表示出1S ，利用导数的几何意义求出1l 、2l 、3l 的方程，求出,,D E F 的坐标，表示出2S ，化简计算可得结论.【详解】（1）当PQ 与x 轴平行时，4P Q y y ==，因为P ，Q 两点均在抛物线C 上，所以p Q x x ==，即PQ =，因为OPQ △的面积为16，所以14162⨯=，解得2p =，则Γ的方程为24x y =；（2）直线AC 的斜率为：1313AC y y k x x -=-，则AC l ：()133111y y y y x x x x --=--，直线2x x =与AC l 的交点为T ，则点T 为()()13212113,y y x x x y x x ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭，所以()()132112131312ABC y y x x S y y x x x x --=+-⨯--△()()()()1321121312y y x x y y x x =--+--（∗）()()()32121313212y y x y y x y y x =-+-+-（∗∗）所以：222222321321112312444x x x x x x S x x x ---=⨯+⨯+⨯()()()22232113221318x x x x x x x x x =-+-+-由24x y =，得12y x '=，令1x x =，则1l 的斜率1112k x =，则有：()2111142x y x x x -=-，即1l ：21124x x y x =-，同理：2l ：22224x x y x =-，3l ：22224x x y x =-，1l 与2l 相交得：2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得：1212,24x x x x D +⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理可得：1313,24x x x x E +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2323,24x x x x F +⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理由（∗∗）可知231313232331121212212442442442x x x x x x x x x x x x x x x x x x S +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()21123232131331212424242x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-+=++()()()222222321132213116x x x x x x x x x =-+-+-所以122S S =，所以存在2λ=，使得122S S =【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数的几何意义，考查抛物线中三角形的面积问题，第（2）问解题的关键是用三点坐标表示出这三点围成的三角形的面积，考查计算能力，属于较难题.。
2023-2024学年广东省广州市华南师范大学附属中学高三下学期模拟(二)数学试卷含详解
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件,利用补集,交集的定义求解即得.
【详解】由 ,得 或 ,而 .
所以 .
故选：B
2.若复数 （其中 ,i为虚数单位）为纯虚数,则复数 在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的除法求出 ,结合已知求出 值即可得解.
若
A. 是等差数列
B. 是等差数列
C. 是等差数列
D. 是等差数列
【答案】A
【详解】 表示点 到对面直线的距离（设为 ）乘以 长度的一半.
即 ,由题目中条件可知 的长度为定值.
那么我们需要知道 的关系式.
由于 和两个垂足构成了直角梯形.
那么 .
其中 为两条线的夹角,即为定值.
那么 .
.
作差后： ,都为定值,所以 为定值．故选A．
（2）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中,甲袋装3个小球,其中2个是黑球,乙袋装4个小球,其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球,当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取,直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y,求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【详解】建立如图所示坐标系,设 .
显然直线l的斜率存在,故不妨设直线l的方程为 .
由题意得B与 关于直线l对称,所以 .
又 的中点 在直线l上,故 ,①
由于 ,得 .
将 代入①得 .
由每次翻折后点 都落在边 上,所以 ,即 .
所以点M的轨迹方程 ,（ ）.
【精准解析】广东省华附、省实、深中、广雅2020届高三下学期四校联考数学(文)试题
3 ，则向量 a, b 的夹角为（
）
A. 30° 【答案】B 【解析】
B. 60°
C. 120°
D. 150°【分析】源自由| a b | 3 ,平方求出 a b ,代入向量夹角公式,求出 a, b 的夹角余弦值,即可得结果.
【详解】设 a, b 的夹角为
rr | a b |
3,
|
r a
r b |2
2020
条件为（ ）
-4-
A. n 2020? n 2020 ?
【答案】A 【解析】 【分析】
B. n 2020?
C. n 2020?
D.
因为
g
n
1 n2
n
1
nn 1
1 n
1 n 1
，此程序框图是对函数
g
n
求和，利用裂项相消
法求和，可知
S
n
n 1
2019 2020
，可知
2019
满足条件进入循环，2020
在△ BF1F2 中，由余弦定理可得 cos BF2F1
33 22 a
，
3
根据 cos AF2O cos BF2 F1
0 ，可得
1 a
3 2a2 a
0 ，解得 a2
2，
b2 a2 c2 2 1 1．
所以椭圆 C 的方程为： x2 y2 1 ．
2
故选 A ．
【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题． 第二部分非选择题（共 90 分）
r (a
r b)2
r2 a
r 2a
r b
r2 b
5
rr 2a b
3,
rr
r a
(100所名校)广东省华南师范大学附属中学2020届高三综合测试数学(文)试题Word版含解析
广东省华南师范大学附属中学2020届高三综合测试数学（文）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、单选题1．若集合{}|0B x x =≥，且A B A ⋂=，则集合A 可能是（ ） A. {}1,2 B. {}|1x x ≤ C. {}1,0,1- D. R2．下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( ) A.B.C. D.3．等差数列满足，，则（ ）A. B. C. D. 4．已知向量，，且，则实数（ ）A. B. C. D.5．实数，满足，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 6．在正方体中，是线段上的动点，是线段上的动点,且不重合，则直线与直线的位置关系是( )A. 相交且垂直B. 共面C. 平行D. 异面且垂直 7．有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁8．过点()(),00A a a >，且倾斜角为30︒的直线与圆()222:0O x y rr +=>相切于点B ，且3AB =，则OAB ∆的面积是( ) A.12B. 32C. 1D. 29．已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）A. B. C. D. 10．函数，，设的最大值是，最小正周期为，则的值等于（ ）A. B. C. D.11．等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（ ）A. B. C. D. 12．已知函数()()()1,0{11,0ln x m x f x m ax b x ++≥=<--+<，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A. ()2,1-- B. ()1,0-C. ()4,2--D. ()()4,11,0--⋃-第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知为虚数单位，复数满足，则__________．14．已知如图所示的矩形，长为，宽为，在矩形内随机地投掷颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．15．某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，则该多面体的体积是__________．16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯， 26⨯， 34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,N p q ∈）是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=.数列(){}3nf 的前100项和为__________．三、解答题 17．在中，角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求角的大小； （2）若，，求的面积.18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在到之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；（2）已知第5，6两组市民中有3名女性，组织方要从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.19．如图， AB 为圆O 的直径，点E F 、在圆O 上， //AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直.已知2AB =， 1EF =. （Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设几何体F ABCD -、F BCE -的体积分别为12V V 、，求12V V ：的值.20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.（1）求该抛物线的方程； （2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.21．已知函数()()21f x a x b =-+.(1)讨论函数()()xg x e f x =-在区间[]0,1上的单调性；(2)已知函数()12xx h x e xf ⎛⎫=--⎪⎝⎭，若()10h =，且函数()h x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 在平面直角坐标系xOy 下的参数方程为13{3x cos y sin θθ==（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 的普通方程及极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是cos 336πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线OT ： (0)3πθρ=>与曲线C 交于点A 与直线l 交于点B ，求线段AB 的长． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）若，恒成立，求实数的取值范围；（2）求函数的图象与直线围成的封闭图形的面积.广东省华南师范大学附属中学2020届高三综合测试数学（文）试题参考答案1．A【解析】Q 集合{}|0B x x =≥，且A B A ⋂=，故A B ⊆，故A 答案中{}1,2满足要求，故选A. 2．A 【解析】是奇函数又在定义域上单调递增;在定义域上单调递增但是非奇非偶函数;是奇函数但在 和 上单调递增, 在定义域上不具单调性;是奇函数又在定义域上有增有减,所以选A.3．B【解析】由题意，，所以，所以，，故选B 。
华南师大附中2024-25届高三上学期综合测试(一)(数学)
华南师大附中2024-25届高三上学期综合测试（一）数 学满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ） A. 1B. 2C. 4D. 82. 直线l 过抛物线2:4C x y =-的焦点，且在x 轴与y 轴上的截距相同，则l 的方程是（ ） A. 1y x --= B. =1y x -+ C. 1y =x -D. 1yx3. 已知0x >，0y >，则（ ） A. ln ln ln ln 777x y x y +=+ B. ()ln ln ln 777x y x y +=⋅ C. ln ln ln ln 777x y x y ⋅=+ D. ()ln ln ln 777xy x y =⋅4. 函数()1ln f x a x x=+的图象不可能是（ ） A. B.C. D.5. 已知a ，b ，c 满足23a =，ln21b =，32c =，则（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b c a >>D. b a c >>6. 若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A.B.2C.D. 27. 已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（ ） A. 甲是乙的充要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充分条件但不是必要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 已知正实数123,,x x x 满足12111212x x x x ++=，22222313xx x x ++=，33323414xx x x ++=，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A. 213x x x <<B. 123x x x <<C. 321x x x <<D. 132x x x <<二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知函数()31f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有一个零点C. 点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线10. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()()22,12,1f x y f x y f x f y f f x +⋅-=-=+为偶函数，则（ ） A. ()32f = B. ()f x 为奇函数C. ()20f =D.20241()0k f k ==∑11. 已知函数()2ln f x x =，曲线():C y f x =.过不在C 上的点(),(0)P a b a >恰能作两条C 的切线，切点分别为()()()()()112212,,,x f x x f x xx <，则（ ）A. e a >B. ()2e 1a b =+C. 1x a <D. ()2f x b >三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某中学的A ､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答） 13. 已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑______．14. 一段路上有100个路灯12100,,,L L L 一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个{}1,2,3,,100k ∈，当第k 名行人经过时，他将所有下标为k 的倍数的路灯2,,k k L L 的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （13分）记ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin 2c B b =．（1）求C ；（2）若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC ∆的面积．16. （15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，5PA PD ==E 是线段AD 的中点，2CM MP =.（1）证明：PE //平面BDM ； （2）求平面AMB 与平面BDM 的夹角.17. （15分） HSFZ 在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：性别速度合计快慢 男生 65 女生 55 合计110200（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？ （2）现有n ()*Nn ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望； （ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n -⋅-附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 2()P K k ≥0. 100 0. 050 0.025 0.010 k2.7063.8415.0246.63518. （17分）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN 为6，且MN 与x 轴交于点()2,0-．平行于x 轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C ，试判断C 属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．（2）设曲线F 为解析式同C 的完整圆锥曲线，直线l 与F 交于A ，B 两点，交y 轴于点H ，交x 轴于点Q （点Q 不与F 的顶点重合）．若12HQ k QA k QB ==，1283k k +=-，试求出点Q 所有可能的坐标．19. （17分）已知函数()e 2ex x axf x =+.（1）当12a =时，记函数()f x 的导数为()f x '，求()0f '的值. （2）当1a =，1x ≥时，证明：()3cos 2f x x >.（3）当2a ≥时，令()()e 1xg x a f x ⎡⎤=+-⎣⎦，()g x 的图象在x m =，()x n m n =<处切线的斜率相同，记()()g m g n +的最小值为()h a ，求()h a 的最小值. （注：e 2.71828=是自然对数的底数）.数学参考答案一、选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷(文科)
高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的子集个数为（）A. 8B. 7C. 6D. 42.在复平面内，复数的共轭复数的虚部为（）．A. B. C. D.3.向量，，满足++=，⊥，||=1，||=2，则||等于（）A. 1B.C. 2D.4.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A. B. C. D.5.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，则=（）A. 8B. 4C. 2D. 16.执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是（）A. n≥5B. n≥6C. n≥7D. n≥87.如图，三棱锥A-BCD中，AB=CD=a，截面MNPQ与AB、CD都平行，则截面MNPQ的周长是（）A. 4aB. 2aC.D. 周长与截面的位置有关8.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=sin（πx+）和函数g（x）=cos（πx+）在区间[-，]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（）A. B. C. D.10.如图ABCD-A1B1C1D1是边长为1的正方体，S-ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.11.已知数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1-a n=，若数列{}的前n项和为5，则n=（）A. 119B. 121C. 120D. 122212.设函数f（x）=e x-e-x，g（x）=lg（mx2-x+），若对任意x1∈（-∞，0]，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2），则实数m的最小值为（）A. -B. -1C. -D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，若tan A=2tan B，a2-b2=c，则c=______．14.设不等式组，表示的平面区域为．若直线上存在区域上的点，则实数的取值范围是______________．15.已知双曲线E的实轴长为2且其渐近线与抛物线y=x2+1相切，则双曲线E的标准方程为______．16.已知函数，若y =f(cos x) 在x∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且-=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（-1）n}的前2n项和．18.如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，E为PB中点，D为AB的中点，且△ABE为正三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）请作出点B在平面DEC上的射影H，并说明理由．若，求三棱锥P-ABC的体积．19.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用基准保费统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和费率浮动比率表浮动因素浮动比率A上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮B上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮C上三个以及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮D上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故E上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮F上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A B C D E F数量10 13 7 20 14 6求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损6000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：若该销售商店内有7辆车龄已满三年该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；若该销售商一次性购进70辆车龄已满三年该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值结果用分数表示．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），过点E（，0）的直线与椭圆相交于点A，B两点，且AF1∥F2B，|F1A|=2|F2B|（Ⅰ）求椭圆的离心率（Ⅱ）直线AB的斜率．21.设函数f（x）=e x-ln x-1，其中e是自然对数的底数（1）求证：函数f（x）存在极小值；（2）若∃x∈[，+∞），使得不等式-ln x-≤0成立，求实数m的取值范围．22.已知常数a是实数，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cosθ=a sinθ．（1）写出C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与C2相交于A，B两点，求|AB|的最小值．23.已知f（x）=|ax-2|-|x+2|．（1）在a=2时，解不等式f（x）≤1；（2）若关于x的不等式-4≤f（x）≤4对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2x＜33}={0，1，2，3，4，5}，则A∩B={0，2，4}，∴A∩B的子集个数为23=8．故选：A．化简集合B，根据交集的运算写出A∩B，即可求出它的子集个数．本题考查了两个集合的交运算和指数不等式的解法以及运算求解能力．2.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．【解答】解：z==，∴，则复数z=的共轭复数的虚部为．故选：D．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量的性质和运算律，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．由++=，可知向量，，组成一个三角形，由⊥，知构成以||、||为直角边的直角三角形，由此能求出||．【解答】解：∵++=，∴向量，，组成一个三角形，∵⊥，∴构成以||，||为直角边的直角三角形，∵||=1，||=2，∴=||2+||2=5，∴||=．故选：D．4.【答案】C【解析】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，6），共有2个，∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．故选：C．现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率．本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5.【答案】C【解析】解：∵m=2sin18°，若m2+n=4，∴n=4-m2=4-4sin218°=4（1-sin218°）=4cos218°，∴===2．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求n=4cos218°，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，a=，n=2，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，a=-1，n=3，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后，a=2，n=4，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体后，a=，n=5，不满足退出循环的条件；第5次执行循环体后，a=-1，n=6，不满足退出循环的条件；第6次执行循环体后，a=2，n=7，不满足退出循环的条件；……第3k次执行循环体后，a=2，n=3k+1，不满足退出循环的条件；第3k+1次执行循环体后，a=，n=3k+2，不满足退出循环的条件；第3k+2次执行循环体后，a=-1，n=3k+3，不满足退出循环的条件；……若输出的a=2，则最后满足条件的n值应为3的倍数多1，故选：C．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，平行线分线段成比例定理，属于中档题．设=k，根据截面MNPQ与AB、CD都平行，可得==，==，进而可得截面MNPQ的周长．【解答】解：设=k，∵截面MNPQ与AB平行，平面ABC∩平面MNPQ=MN，AB在平面ABC内，∴AB∥MN，同理，PQ∥AB，MQ∥CD，NP∥CD，∴==，==,∵AB=CD=a，∴MN=PQ=，MQ=NP=，∴截面MNPQ的周长为MN+PQ+MQ+NP=2（+）=2a.故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1-x）=f（1+x），∴f（1-x）=f（1+x）=-f（x-1），f（0）=0，则f（x+2）=-f（x），则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=-2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0-2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin（πx+）和函数g（x）=cos（πx+）在区间[-，]上的图象交于A，B，C三点，令sin（πx+）=cos（πx+），x∈[-，]，解得x=-1，0，1，可得A（-1，-）、B（0，）、C（1，-），则△ABC的面积为S=•[-（-）]•[1-（-1）]=．故选：C．由题意结合正弦函数、余弦函数的图象，求得A、B、C三点的坐标，即可求得△ABC的面积．本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．10.【答案】D【解析】【分析】底面正方形的外接圆的半径为，由勾股定理可得R2=（）2+（2-R）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．【解答】解：设球的半径为R，则∵底面正方形的外接圆的半径为，∴由勾股定理可得R2=（）2+（2-R）2，∴R=，∴球的表面积为4πR2=π．故选：D．11.【答案】C【解析】解：∵数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1-a n=，∴=4，∴，∴，∵a1=2，∴=2，=2，=4=2，…由此猜想a n=．∵a1=2，a n+1-a n=，数列{}的前n项和为5，∴=，∴，解得n+1=121，∴n=120．故选：C．由已知推导出a n=.，由此能求出n．本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式、累加法的合理运用．12.【答案】A【解析】解：∵f（x）=e x-e-x在（-∞，0]为增函数，∴f（x）≤f（0）=0，∵∃x2∈R，使f（x1）=g（x2），∴g（x）=lg（mx2-x+）的值域包含（-∞，0]，当m=0时，g（x）=lg（-x+），显然成立；当m≠0时，要使g（x）=lg（mx2-x+）的值域包含（-∞，0]，则mx2-x+的最大值大于等于1，∴，解得-≤m＜0，综上，-≤m≤0，∴实数m的最小值-故选：A．由题意求出f（x）的值域，再把对任意x1∈（-∞，0]，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2）转化为函数g（x）的值域包含f（x）的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵tan A=2tan B，可得：，利用正弦定理可得：a cos B=2b cos A，∴由余弦定理可得：a×=2b×，整理可得：a2-b2=c2，又∵a2-b2=c，∴c=c2，解得：c=1．故答案为：1．由tan A=2tan B，可得，利用正弦定理可得：a cos B=2b cos A，由余弦定理化简整理可得：a2-b2=c2，结合a2-b2=c，即可解得c的值．本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．14.【答案】[，3]【解析】【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a的范围．【解答】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，则直线ax-y=0的斜率a∈[k OB，k OA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴k OA==3，k OB=．∴a∈[，3]，故答案为：[，3]．15.【答案】x2-=1或y2-4x2=1【解析】解：当双曲线的焦点在x轴上，可设-=1（a，b＞0），由题意可得2a=2即a=1，渐近线方程为y=±x，由其渐近线与抛物线y=x2+1相切，可得x2±x+1=0，可得△=-4=0，解得b=2，可得双曲线的方程为x2-=1；当双曲线的焦点在y轴上，可设-=1（m，n＞0），由题意可得2m=2即m=1，渐近线方程为y=±x，由其渐近线与抛物线y=x2+1相切，可得x2±x+1=0，可得△=-4=0，解得n=可得双曲线的方程为y2-4x2=1，则双曲线的方程为x2-=1或y2-4x2=1，故答案为：x2-=1或y2-4x2=1．分别考虑双曲线的焦点在x，y轴上，求得渐近线方程和抛物线方程联立，运用判别式为0，解方程可得双曲线方程．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】a≤-【解析】【分析】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力，属于中档题.求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x-1）e x-ax2，可得f′（x）=x（e x-2a），令x（e x-2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=-1＜0，若y=f（cos x）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[-1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f（0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a，与a＞0矛盾；综上：a≤-.故答案为：a≤-．17.【答案】解：（1）设{a n}的公比为q，则-=，即1-=，解得q=2或q=-1．若q=-1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n-1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n-1+log22n）=n-．∴b n+1-b n=1．∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（-1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（-b12+b22）+（-b32+b42）+…+（-b2n-12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n-1+b2n===2n2．【解析】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；（2）利用对数的运算性质求出b n，使用分项求和法和平方差公式计算．18.【答案】证明：（1）如图，∵△ABE是正三角形，且D为AB的中点，∴DE⊥AB，∵E为PB的中点，∴PA∥DE，∴PA⊥AB，∵PA⊥AC，AB、AC为平面ABC内两条相交直线，∴PA⊥平面ABC，∵BC在平面ABC内，∴BC⊥PA，又∵PC⊥BC，PA、PC为平面PAC内两条相交直线，∴BC⊥平面PAC；解：（2）如图，过点B作BH⊥CD于H，由（1）知DE⊥平面ABC，BH在平面ABC内，∴BH⊥DE，又∵BH⊥CD，DE、CD为平面DEC内两条相交直线，∴BH⊥平面DEC，∴H为点B在平面DEC上的射影，在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=，CD=，S△BCD===，由，得，解得x=4，∴AB=5，PB=10，PA=5，∴三棱锥P-ABC的体积V==10．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，是中档题．（1）推导出DE⊥AB，PA⊥AB，从而PA⊥平面ABC，进而BC⊥PA，再由PC⊥BC，能证明BC⊥平面PAC；（2）过点B作BH⊥CD于H，推导出H为点B在平面DEC上的射影，求出AB=5，PB=10，PA=5，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．19.【答案】.解：（1）一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率为：．（2）①由已知可得，7辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有两辆事故车，记为A1，A2，5辆非事故车，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，从7辆车中任选两辆共有21种情况，其中恰好有一辆为事故车共有10种情况，所以其概率为p=．②由已知可得，70辆（车龄已满三年），该品牌二手车中，有20辆事故车，50辆非事故车，所以一辆车盈利的平均值为：元．【解析】（1）利用统计表能求出一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率．（2）①由已知可得，7辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有两辆事故车，记为A1，A2，5辆非事故车，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，从7辆车中任选两辆，利用列举法能求出恰好有一辆为事故车的概率．②由已知可得，70辆（车龄已满三年），该品牌二手车中，有20辆事故车，50辆非事故车，由此能求出一辆车盈利的平均值．本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由AF1∥F2B，|F1A|=2|F2B|，得，从而a2=3c2，故离心率．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b2=a2-c2=2c2，所以椭圆的方程可以写为2x2+3y2=6c2设直线AB的方程为即y=k（x-3c）由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组消去y整理，得（2+3k2）x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0依题意，△＞0，而x1+x2=，x1x2=，由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2联立三式，解得，，将结果代入韦达定理中解得【解析】（Ⅰ）由AF1∥F2B，|F1A|=2|F2B|，得，从而a2=3c2，故可求离心率；（Ⅱ）先设直线AB的方程为即y=k（x-3c），再与椭圆的方程2x2+3y2=6c2联立，又由题设知，点B为线段AE的中点，从而可求直线的斜率．本题主要考查椭圆的离心率及直线的斜率，关键是找出几何量的关系，涉及直线与曲线的位置关系，通常是联立方程，借助于根与系数的关系求解，应注意判别式的验证．21.【答案】证明：（1）∵f（x）=e x-ln x-1，∴（x＞0），∴＞0，∴函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，…（2分）∵f=-2＜0，f′（1）=e-1＞0，且函数f′（x）图象在（0，+∞）上不间断，∴∃x0∈（），使得f′（x0）=0，…（3分）结合函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，有：x（0，x0）（x0，+∞）f′（x）-+（没体现单调区间扣1分）…（5分）解：（2）∃x∈[，+∞），使得不等式-ln x-≤0成立，等价于∃x∈[，+∞），使得不等式m≥e x-x lnx成立（*）…（6分）令h（x）=e x-x lnx，x∈[，+∞），则h′（x）=e x-ln x-1=f（x），∴结合（1）得：[h′（x）]min=，…（8分）其中，满足f′（x0）=0，即=0，∴，x0=-ln x0，∴[h′（x）]min=-ln x0-1=＞2-1=1＞0，…（10分）∴x∈[），h′（x）＞0，∴h（x）在[）内单调递增，…（11分）∴[h（x）]min=h（）=-=+，结合（*）有，即实数m的取值范围为[，+∞）．…（12分）【解析】（1）求出（x＞0），从而＞0，进而函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，由此利用导数性质能证明函数f（x）存在极小值．（2）∃x∈[，+∞），使得不等式-ln x-≤0成立，等价于∃x∈[，+∞），使得不等式m≥e x-x lnx 成立，令h（x）=e x-x lnx，x∈[，+∞），则h′（x）=e x-ln x-1=f（x），由此利用导性质能求出实数m的取值范围．本题考查函数存在最小值的证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标法方程为：y2-8x-16=0．曲线C2的极坐标方程为cosθ=a sinθ．转换为极坐标方程为：ρcosθ=aρsinθ．转换为直角坐标方程为：x-ay=0．（2）设A（ay1，y1）B（ay2，y2），由于，得到：y2-8ay-16=0，所以：y1+y2=8a，y1y2=-16，所以：：|AB|=．=，当a=0时，|AB|=8，所以|AB|的最小值为8．【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）在a=2时，|2x-2|-|x+2|≤1．在x≥1时，（2x-2）-（x+2）≤1，∴1≤x≤5；在x≤-2时，-（2x-2）+（x+2）≤1，x≥3，∴x无解；在-2≤x≤1时，-（2x-2）-（x+2）≤1，，∴．综上可知：不等式f（x）≤1的解集为．（2）∵||x+2|-|ax-2||≤4恒成立，而||x+2|-|ax-2||≤|（1+a）x|，或||x+2|-|ax-2||≤|（1-a）x+4|，故只需|（1+a）x|≤4恒成立，或|（1-a）x+4|≤4恒成立，∴a=-1或a=1．∴a的取值为1或-1【解析】（1）在a=2时，|2x-2|-|x+2|≤1．通过x≥1时，x≤-2时，-2≤x≤1时，转化求解即可．（2）||x+2|-|ax-2||≤4恒成立，转化为|（1+a）x|≤4恒成立，或|（1-a）x+4|≤4恒成立，然后求解即可．本题考查不等式恒成立，考查转化思想以及计算能力．。
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三(上)月考数学试卷(文科)(二)
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（二）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|（x-3）（x+1）＞0}.B={x||x-1|＞1}.则（∁R A）∩B=（）A.[-1.0）∪（2.3]B.（2.3]C.（-∞.0）∪（2.+∞）D.（-1.0）∪（2.3）=（）2.（单选题.5分）在复平面内.复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称.则ziA.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i3.（单选题.5分）在一个圆柱内挖去一个圆锥.圆锥的底面与圆柱的上底面重合.顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形.则圆锥的侧面展开图面积为（）A.3πB.4πC. √5πD. √6π4.（单选题.5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层.红光点点倍加增.共灯三百八十一.请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯.且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍.则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏5.（单选题.5分）已知f （x ）= {2x ，x ＜0a +log 2x ，x ≥0.若f （f （-1））=-1．则实数a 的值为（ ）A.-2B.2C.0D.16.（单选题.5分）已知 x ＞2，y =x +1x−2 .则y 的最小值为（ ）A.2B.1C.4D.37.（单选题.5分）已知x.y∈R .且x ＞y ＞0.则（ ）A. x −y ＞1x −1yB.cosx-cosy ＜0C. 1x −1y ＞0D.lnx+lny ＞08.（单选题.5分）将函数 f (x )=2sin (4x −π4) 的图象纵坐标不变.横坐标伸长到原来2倍.再向右平移 π4 个单位.得到函数g （x ）的图象.则g （0）=（ ）A. √2B.2C. −√2D.09.（单选题.5分）已知△ABC 的内角A.B.C 的对边分别为a.b.c.且（a+b ）2=c 2+ab.B=30°.a=4.则△ABC 的面积为（ ）A.4B.3 √3C.4 √3D.6 √310.（单选题.5分）等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=23.S 6=12a 8.则使S n 达到最大值的n 是（ ）A.10B.11C.12D.1311.（单选题.5分）黄金三角形有两种.其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形.它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如.正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示.在一个黄金三角形ABC 中. BC AC =√5−12 .根据这些信息.可得sin234°=（ ） A. 1−2√54 B. −3+√58 C.- 1+√54D.- 4+√58 12.（单选题.5分）已知三棱锥D-ABC 的每个顶点都在球O 的表面上.AB⊥AC .AB=6. AC =2√6 .顶点D 在平面ABC 上的投影E 为BC 的中点.且DE=5.则球O 的表面积为（ ）A.16πB.17πC.60πD.64π13.（填空题.5分）已知幂函数f （x ）=x α的图象过点 (2，√2) .则函数f （x ）的定义域是___ ．14.（填空题.5分）已知向量 a ⃗=(1，−2) . b ⃗⃗=(2，m) .且 a ⃗∥b ⃗⃗ .则 a ⃗•b⃗⃗ =___ ． 15.（填空题.5分）已知实数x.y 满足 {2x −1≥0x −y ≤0x +y −2≤0.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 16.（填空题.5分）设函数f （x ）= ax 33−bx 2+a 2x −13在x=1处取得极值为0.则a+b=___ ． 17.（问答题.12分）在公差不为0的等差数列{a n }中.a 1.a 3.a 9成公比为a 3的等比数列.又数列{b n }满足 b n ={2a n ，n =2k −1，2n ，n =2k ，（k∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．18.（问答题.12分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.底面ABCD 为平行四边形.AB=2AD=2. PD =BD =√3AD .且PD⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD ；（Ⅱ）求A 到平面PBC 的距离．19.（问答题.12分）某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查.张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y （单位：万只）与相应年份x （序号）的数据表和散点图（如图所示）.根据散点图.发现y 与x 有较强的线性相关关系． 年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9年养殖山羊y/万只1.2 1.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.7 ∑(x i −x )29i=1=60 . ∑(x i −x )9i=1(y i −y )=12 ；（Ⅱ）李四提供了该县山羊养殖场的个数z （单位：个）关于x 的回归方程 ẑ=−2x +30 ． 试估计： ① 该县第一年养殖山羊多少万只？② 到第几年.该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ̂ = i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n . a ̂=y −b ̂x ．20.（问答题.12分）已知椭圆C ： x 2a 2 +y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √63 .两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 √2 ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2= 34 相切的直线l 交椭圆C 于A.B 两点（O 为坐标原点）.求△AOB 面积的最大值．21.（问答题.12分）已知函数f （x ）=lnx.g （x ）=x-1．（Ⅰ）证明：当x ＞0时.f （x ）≤g （x ）；（Ⅱ）若x∈[1.e]时.不等式 g(√x)≥af (x ) 成立.求a 的取值范围．22.（问答题.10分）在平面直角坐标系xOy 中.直线 C 1：√3x +y −4=0 .曲线 C 2：{x =cosφy =1+sinφ(φ 为参数）.以坐标原点O 为极点.以x 轴正半轴为极轴.建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1.C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 3的极坐标方程为 θ=π3 （ρ＞0）.且曲线C 3分别交C 1.C 2于A.B 两点.求|AB|．23.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|2x-4|+|x+1|.x∈R ．（1）解不等式f （x ）≤9；（2）若方程f （x ）=-x 2+a 在区间[0.2]有解.求实数a 的取值范围．2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（二）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|（x-3）（x+1）＞0}.B={x||x-1|＞1}.则（∁R A）∩B=（）A.[-1.0）∪（2.3]B.（2.3]C.（-∞.0）∪（2.+∞）D.（-1.0）∪（2.3）【正确答案】：A【解析】：先分别求出集合A.B.由此能求出C R A.进而能求出（∁R A）∩B．【解答】：解：∵集合A={x|（x-3）（x+1）＞0}={x|x＜-1或x＞3}.B={x||x-1|＞1}={x|x＜0或x＞2}.∴C R A={x|-1≤x≤3}.∴（∁R A）∩B={x|-1≤x＜0或2＜x≤3}=[-1.0）∪（2.3]．故选：A．【点评】：本题考查补集、交集的求法.考查补集、交集、不等式的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.5分）在复平面内.复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称.则z=（）iA.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i【正确答案】：C.再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：由已知求得z.代入zi【解答】：解：由题意.z=1-i.则zi = 1−ii=(1−i)(−i)−i2=−1−i .故选：C．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.是基础题．3.（单选题.5分）在一个圆柱内挖去一个圆锥.圆锥的底面与圆柱的上底面重合.顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形.则圆锥的侧面展开图面积为（）A.3πB.4πC. √5πD. √6π【正确答案】：C【解析】：首先求出圆锥的母线的长和圆锥的底面周长.进一步利用侧面积公式的应用求出结果．【解答】：解：根据题意知：圆锥的高为2.圆锥的底面半径为1.所以圆锥的底面周长为2π.圆锥的母线长为√12+22=√5 .所以圆锥的侧面展开面的面积为S= 12×2π×√5=√5π．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：圆锥的侧面的面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．4.（单选题.5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层.红光点点倍加增.共灯三百八十一.请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯.且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍.则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【正确答案】：B【解析】：设塔的顶层共有a1盏灯.则数列{a n}公比为2的等比数列.利用等比数列前n项和公式能求出结果．【解答】：解：设塔的顶层共有a 1盏灯.则数列{a n }公比为2的等比数列.∴S 7= a 1(1−27)1−2=381. 解得a 1=3．故选：B ．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．5.（单选题.5分）已知f （x ）= {2x ，x ＜0a +log 2x ，x ≥0.若f （f （-1））=-1．则实数a 的值为（ ）A.-2B.2C.0D.1【正确答案】：C【解析】：推导出f （-1）=2-1= 12 .由f （f （-1））=-1．的f （f （-1））=f （ 12 ）=a+log 2 12 =-1.由此能求出a ．【解答】：解：∵f （x ）= {2x ，x ＜0a +log 2x ，x ≥0 .∴f （-1）=2-1= 12 .∵f （f （-1））=-1．∴f （f （-1））=f （ 12 ）=a+log 2 12 =-1.解得a=0．故选：C ．【点评】：本题考查函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（单选题.5分）已知 x ＞2，y =x +1x−2 .则y 的最小值为（ ）A.2B.1C.4D.3【正确答案】：C【解析】：由 x ＞2，y =x +1x−2 =x-2+ 1x−2+2 .利用基本不等式即可求解．【解答】：解：∵ x ＞2，y =x +1x−2 =x-2+ 1x−2+2 ≥2+2=4. 当且仅当x-2= 1x−2 即x=3时取等号.则y 的最小值为4．故选：C ．【点评】：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.属于基础题7.（单选题.5分）已知x.y∈R .且x ＞y ＞0.则（ ）A. x −y ＞1x −1yB.cosx-cosy ＜0C. 1x −1y ＞0D.lnx+lny ＞0【正确答案】：A【解析】：利用不等式的基本性质、取特殊值法即可得出．【解答】：解：A ．∵x ＞y ＞0.∴x -y-（ 1x - 1y ）=（x-y ）•1+xy xy ＞0.∴x -y ＞ 1x - 1y .因此正确； B ．取x=4π+ π6 .y=2π+ π3 .则cosx-cosy ＞0.因此不正确；C ．∵x ＞y ＞0.∴ 1y ＞ 1x .∴ 1y - 1x ＞0.因此不正确；D ．取x= 1e .y= 1e 2 .则lnx+lny=-3＜0.因此不正确．故选：A ．【点评】：本题考查了不等式的基本性质、取特殊值法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．8.（单选题.5分）将函数 f (x )=2sin (4x −π4) 的图象纵坐标不变.横坐标伸长到原来2倍.再向右平移 π4 个单位.得到函数g （x ）的图象.则g （0）=（ ）A. √2B.2C. −√2D.0【正确答案】：C【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.求得函数g（x）的解析式.从而求得g（0）的值．【解答】：解：∵将函数f(x)=2sin(4x−π4)的图象纵坐标不变.横坐标伸长到原来2倍.可得y=2sin（2x- π4）的图象；再向右平移π4个单位.得到函数g（x）=2sin（2x- π2- π4）=-2sin[ π2-（2x- π4）]=-2cos（2x- π4）的图象.则g（0）=-2cos（- π4）=-2cos π4=- √2 .故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．9.（单选题.5分）已知△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.且（a+b）2=c2+ab.B=30°.a=4.则△ABC的面积为（）A.4B.3 √3C.4 √3D.6 √3【正确答案】：C【解析】：首先利用余弦定理求出B的值.进一步判定三角形为等腰三角形.进一步利用面积公式的应用求出结果．【解答】：解：△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.且（a+b）2=c2+ab.整理得a2+b2-c2=-ab.所以cosC=a2+b2−c22ab =−12.由于0＜C＜π.故C= 2π3．由于B=30°.a=4.则△ABC为等腰三角形.所以b=4．.所以S△ABC=12•4•4•√32=4 √3．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．10.（单选题.5分）等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1=23.S6=12a8.则使S n达到最大值的n是（）A.10B.11C.12D.13【正确答案】：C【解析】：S6=12a8.所以a1+a62×6 =12（a1+7d）.又a1=23.所以d=-2.所以令a n=a1+（n-1）d=25-2n＞0.得n≤12.令a n＜0得.n≥13.即可得到结论．【解答】：解：依题意.S6=12a8.所以a1+a62×6 =12（a1+7d）.又a1=23.所以d=-2.令a n=a1+（n-1）d=25-2n＞0.得n≤12.令a n＜0得.n≥13.即a12＞0.a13＜0.所以使S n达到最大值的n是12.故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的前n项和.等差数列的通项公式.属于基础题．11.（单选题.5分）黄金三角形有两种.其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形.它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如.正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示.在一个黄金三角形ABC中. BCAC =√5−12.根据这些信息.可得sin234°=（）A. 1−2√54B. −3+√58C.- 1+√54D.- 4+√58【正确答案】：C【解析】：由已知求得∠ACB=72°.可得cos72°的值.再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°．【解答】：解：由图可知.∠ACB=72°.且cos72°= 12BC AC = √5−14． ∴cos144°=2cos 272°-1=-√5+14． 则sin234°=sin （144°+90°）=cos144°=- √5+14． 故选：C ．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换.考查解读信息与应用信息的能力.是中档题． 12.（单选题.5分）已知三棱锥D-ABC 的每个顶点都在球O 的表面上.AB⊥AC .AB=6. AC =2√6 .顶点D 在平面ABC 上的投影E 为BC 的中点.且DE=5.则球O 的表面积为（ ） A.16π B.17π C.60π D.64π【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形.求解三角形求外接球的半径.再由球的表面积公式求解．【解答】：解：如图.在△ABC 中.AB⊥AC .AB=6. AC =2√6 .∴ BC=√62+(2√6)2=2√15 . AE=1BC=√15．2设球O的半径为R.则15+（5-R）2=R2.∴R=4．∴球O的表面积为4πR2=64π．故选：D．【点评】：本题考查球的表面积的求法.考查空间想象能力与思维能力.是中档题．13.（填空题.5分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点(2，√2) .则函数f（x）的定义域是___ ．【正确答案】：[1][0.+∞）【解析】：依题意可求得α=2.从而可求f（x）的定义域．【解答】：解：∵f（x）=xα的图象过点（2. √2）.∴2α= √2 ..∴α= 12∴f（x）= x12 .∴函数f（x）的定义域是[0.+∞）．故答案为：[0.+∞）．【点评】：本题考查幂函数的性质.求得α是关键.属于基础题．14.（填空题.5分）已知向量a⃗=(1，−2) . b⃗⃗=(2，m) .且a⃗∥b⃗⃗ .则a⃗•b⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：利用平面向量的共线定理和坐标表示求出m的值.再计算a⃗•b⃗⃗的值．【解答】：解：向量a⃗=(1，−2) . b⃗⃗=(2，m) .且a⃗∥b⃗⃗ .∴1×m-（-2）×2=0.解得m=-4.∴ a⃗•b⃗⃗ =1×2+（-2）×（-4）=10．故答案为：10．【点评】：本题考查了平面向量的共线定理与数量积运算问题.是基础题．15.（填空题.5分）已知实数x.y 满足 {2x −1≥0x −y ≤0x +y −2≤0 .则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由题意作出其平面区域.将z=2x+y 化为y=-2x+z.z 相当于直线y=-2x+z 的纵截距.由几何意义可得．【解答】：解：由题意作出其平面区域.将z=2x+y 化为y=-2x+z.z 相当于直线y=-2x+z 的纵截距. 则由 {x −y =0x +y −2=0 解得.x=1.y=1；故z=2x+y 的最大值是2×1+1=3. 故答案为：3．【点评】：本题考查了简单线性规划.作图要细致认真.属于中档题． 16.（填空题.5分）设函数f （x ）= ax 33−bx 2+a 2x −13 在x=1处取得极值为0.则a+b=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：求出导函数.根据定义可知f'（1）=a-2b+a 2=0.f （1）=0.得出a=1或a=- 23.由极值概念可知a=1不成立.故a=- 23 .b=- 19 .得出答案．【解答】：解：∵f （x ）= ax 33−bx 2+a 2x −13 .∴f'（x ）=ax 2-2bx+a 2. ∵在x=1处取得极值为0. ∴f'（1）=a-2b+a 2=0.f （1）=0. ∴a=1或a=- 23 .∵函数有极值.a=1不成立． ∴a=- 23 .b=- 19 . 故答案为- 79 ．【点评】：本题考查了极值的概念和导函数的应用.属于基础题型.应熟练掌握．17.（问答题.12分）在公差不为0的等差数列{a n }中.a 1.a 3.a 9成公比为a 3的等比数列.又数列{b n }满足 b n ={2a n ，n =2k −1，2n ，n =2k ， （k∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【正确答案】：【解析】：（1）公差d 不为0的等差数列{a n }.由等比数列中项性质和等差数列的通项公式.解方程可得首项和公差.进而得到所求通项公式；（2）运用数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式.计算可得所求和．【解答】：解：（1）公差d 不为0的等差数列{a n }中.a 1.a 3.a 9成公比为a 3的等比数列. 可得a 32=a 1a 9.a 3=a 1a 3.可得（a 1+2d ）2=a 1（a 1+8d ）.a 1=1. 化简可得a 1=d=1. 即有a n =n.n∈N*；（2）由（1）可得b n = {2n ，n =2k −12n ，n =2k.k∈N*；前2n 项和T 2n =（2+8+16+…+22n-1）+（4+8+12+…+4n ）= 2(1−4n )1−4 + 12 n （4+4n ）= 2(4n −1)3 +2n （n+1）．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查数列的求和方法：分组求和.考查方程思想和运算能力.属于中档题．18.（问答题.12分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为平行四边形.AB=2AD=2. PD=BD=√3AD .且PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）求A到平面PBC的距离．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）证明AD⊥BD.BC⊥BD．PD⊥BC．然后证明BC⊥平面PBD．（Ⅱ）设A到平面PBC距离为d.由V P-ABC=V A-PBC.转化求解A到平面PBC的距离．【解答】：（Ⅰ）证明：∵AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.∵AD || BC.∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD.∴PD⊥BC．∵PD∩BD=D.∴BC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD.BD⊂平面ABCD.∴PD⊥BD．∴ PB=√PD2+BD2=√6．由（1）BC⊥平面PBD.又PB⊂平面PBD.∴BC⊥PB．∴ S△PBC=12×BC×PB=12×1×√6=√62．又S△ABC=12×2×√32=√32.设A到平面PBC距离为d.由V P-ABC =V A-PBC 可得 13×S △ABC ×PD =13×S △PBC ×d . ∴ d =√62． 即A 到平面PBC 的距离为 √62 ．【点评】：本题考查等体积法的应用.点到平面的距离的求法.直线与平面垂直的判断定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力.是中档题．19.（问答题.12分）某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查.张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y （单位：万只）与相应年份x （序号）的数据表和散点图（如图所示）.根据散点图.发现y 与x 有较强的线性相关关系．年份序号x 1 2 345 6 7 8 9 年养殖山羊y/万只1.2 1.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.7∑(x i −x )29i=1=60 . ∑(x i −x )9i=1(y i −y )=12 ；（Ⅱ）李四提供了该县山羊养殖场的个数z （单位：个）关于x 的回归方程 ẑ=−2x +30 ． 试估计： ① 该县第一年养殖山羊多少万只？② 到第几年.该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ̂ = i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n . a ̂=y −b ̂x ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知求得 x 与 y .进一步得到 b ̂ 与 a ̂ 的值.则线性回归方程可求； （Ⅱ）由题意求得 y ̂•ẑ =-0.4x 2+4x+30. ① 在 y ̂•ẑ =-0.4x 2+4x+30中取x=1求解； ② 由题意得-0.4x 2+4x+30＜33.6.求解不等式得答案．【解答】：解：（Ⅰ）设y 关于x 的线性回归方程为 y ̂=b ̂x +a ̂ . 由 x =1+2+3+4+5+6+7+8+99=5 .y =1.2+1.5+1.6+1.6+1.8+2.5+2.5+2.6+2.79=2 .得 b ̂=i −x )(i −y )9i=1∑(x −x )29=1260=0.2 . ∴ a ̂=y −b̂x =2−0.2×5=1 . ∴y 关于x 的线性回归方程为 y ̂=0.2x +1 ；（Ⅱ）估计第x 年山羊养殖的只数 y ̂•ẑ=(0.2x +1)(−2x +30)=−0.4x 2+4x +30 . ① 第1年山羊养殖的只数为-0.4+4+30=33.6.故该县第一年养殖山羊约33.6万只； ② 由题意.得-0.4x 2+4x+30＜33.6.整理得（x-9）（x-1）＞0. 解得x ＞9或x ＜1（舍去）．∴到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了．【点评】：本题考查线性回归方程的求法.考查计算能力.是基础题．20.（问答题.12分）已知椭圆C ： x 2a 2 +y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √63 .两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 √2 ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2= 34 相切的直线l 交椭圆C 于A.B 两点（O 为坐标原点）.求△AOB 面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得关于a.b.c 的方程组.求解可得a.b.c 的值.则椭圆方程可求； （2）当k 不存在时.求出△AOB 的面积；当k 存在时.设直线为y=kx+m.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.将直线y=kx+m 代入椭圆方程.运用韦达定理和弦长公式.以及直线和圆相切的条件得m 与k 的关系.结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得.e= ca =√63.a 2-b 2=c 2.bc= √2 . 解得a= √3 .b=1.c= √2 .即有椭圆的方程为 x 23 +y 2=1；（2）当k 不存在时.x=± √32 .可得y=± √32. S △OAB = 12 × √3 × √32 = 34 ；当k 存在时.设直线为y=kx+m （k≠0）.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）. 将直线y=kx+m 代入椭圆方程可得（1+3k 2）x 2+6kmx+3m 2-3=0. x 1+x 2=- 6km1+3k 2 .x 1x 2= 3m 2−31+3k 2 .由直线l 与圆O ：x 2+y 2= 34 相切.可得 |m|√1+k2=√32. 即有4m 2=3（1+k 2）. |AB|= √1+k 2 • √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √1+k 2 • √(−6km 1+3k 2)2−12(m 2−1)1+3k 2= √3 • √1+10k 2+9k 41+6k 2+9k 4 = √3 • √1+4k 21+6k 2+9k 4 = √3 • √1+49k 2+1k2+6≤ √3 • √1+42√9+6=2 .当且仅当9k 2= 1k 2 .即k=± √33 时等号成立. 可得S △OAB = 12 |AB|•r≤ 12 ×2× √32 = √32 . 即有△OAB 面积的最大值为 √32 ． 此时直线方程y=± √33x ±1．【点评】：本题考查椭圆的方程的求法.考查直线与椭圆位置关系的应用.训练了利用基本不等式求最值.属于中档题．21.（问答题.12分）已知函数f （x ）=lnx.g （x ）=x-1． （Ⅰ）证明：当x ＞0时.f （x ）≤g （x ）；（Ⅱ）若x∈[1.e]时.不等式 g(√x)≥af (x ) 成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）令k（x）=f（x）-g（x）.讨论函数h（x）的单调性.得出最值.可证；（Ⅱ）令ℎ(x)=af(x)−g(√x)=alnx−√x+1 .则ℎ′(x)=ax −2√x=2a−√x2x.讨论h′（x）的符号.得出函数h（x）的单调性；从而得出参数的范围；【解答】：解：（Ⅰ）令k（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1.x＞0.∴ k′(x)=1x −1=1−xx.∴当x∈（0.1）时.k'（x）＞0.k（x）单调递增.当x∈（1.+∞）时.k'（x）＜0.k（x）单调递减.∴当x=1时.k（x）取得最大值.∴k（x）≤k（1）=0. 即f（x）-g（x）≤0.∴当x＞0时.f（x）≤g（x）．（Ⅱ）令ℎ(x)=af(x)−g(√x)=alnx−√x+1 .则ℎ′(x)=ax −2√x=2a−√x2x.① 当a≤0时.h'（x）＜0.所以函数h（x）在[1.e]上单调递减.所以h（x）≤h（1）=0.所以a≤0满足题意．② 当a＞0时.令h'（x）=0.得x=4a2.所以当x∈（0.4a2）时.h'（x）＞0.当x∈（4a2.+∞）时.h'（x）＜0．所以函数h（x）在（0.4a2）上单调递增.在（4a2.+∞）上单调递减．（ⅰ）当4a2≥e.即a≥√e2时.h（x）在[1.e]上单调递增.所以ℎ(x)≤ℎ(e)=a−√e+1≤0 .所以a≤√e−1 .此时无解．（ⅱ）当1＜4a2＜e.即12＜a＜√e2时.函数h（x）在（1.4a2）上单调递增.在（4a2.e）上单调递减．所以h（x）≤h（4a2）=aln（4a2）-2a+1=2aln（2a）-2a+1≤0．设m(x)=2xln(2x)−2x+1(12＜x＜√e2) .则m'（x）=2ln（2x）＞0.所以m（x）在(12，√e2)上单调递增. m(x)＞m(12)=0 .不满足题意．（ⅲ）当0＜4a2≤1.即0＜a≤12时.h（x）在[1.e]上单调递减.所以h（x）≤h（1）=0.所以0＜a≤12满足题意．故a的取值范围为(−∞，12]．【点评】：本题考查构造函数证明不等式.函数单调性.函数最值；不等式恒成立.分离讨论思想.属于难题．22.（问答题.10分）在平面直角坐标系xOy 中.直线 C 1：√3x +y −4=0 .曲线 C 2：{x =cosφy =1+sinφ(φ 为参数）.以坐标原点O 为极点.以x 轴正半轴为极轴.建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1.C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 3的极坐标方程为 θ=π3 （ρ＞0）.且曲线C 3分别交C 1.C 2于A.B 两点.求|AB|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）把x=ρcosθ.y=ρsinθ.代入曲线C 1的直角坐标方程.可得C 1的极坐标方程；把曲线C 2中的参数消去.得到C 2的普通方程.结合极坐标与直角坐标的互化公式求得C 2的极坐标方程；（Ⅱ）把 θ=π3 代入两曲线的极坐标方程.分别求得A.B 的极径.则|AB|可求．【解答】：解：（Ⅰ）把x=ρcosθ.y=ρsinθ.代入 C 1：√3x +y −4=0 .得 C 1：√3ρcosθ+ρsinθ−4=0 ；由 {x =cosφy =1+sinφ .消去参数φ.得x 2+（y-1）2=1.代入x=ρcosθ.y=ρsinθ.得（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=1.即ρ2-2ρsinθ=0.∴C 2：ρ=2sinθ；（Ⅱ）曲线C 3为 θ=π3(ρ＞0) .设A （ρ1. π3 ）.B （ρ2. π3 ）.则 ρ1=√3cos π3+sin π3=4√33 . ρ2=2sin π3=√3 . ∴ |AB |=ρ1−ρ2=√33 ．【点评】：本题考查简单曲线的极坐标方程.考查参数方程化普通方程.是基础的计算题．23.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|2x-4|+|x+1|.x∈R ．（1）解不等式f （x ）≤9；（2）若方程f （x ）=-x 2+a 在区间[0.2]有解.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组.解出即可；（2）根据题意.原问题可以等价函数y=a 和函数y=x 2-x+5图象在区间[0.2]上有交点.结合二次函数的性质分析函数y=x 2-x+5的值域.即可得答案．【解答】：解：（1）f （x ）≤9可化为|2x-4|+|x+1|≤9.故 {x ＞23x −3≤9 .或 {−1≤x ≤25−x ≤9 .或 {x ＜−1−3x +3≤9；…（2分） 解得：2＜x≤4.或-1≤x≤2.或-2≤x ＜-1； …（4分）不等式的解集为[-2.4]；…（5分）（2）由题意：f （x ）=-x 2+a⇔a=x 2-x+5.x∈[0.2]．故方程f （x ）=-x 2+a 在区间[0.2]有解⇔函数y=a 和函数y=x 2-x+5.图象在区间[0.2]上有交点 ∵当x∈[0.2]时.y=x 2-x+5∈[ 194 .7]∴.实数a 的取值范围是[ 194 .7]…………………（10分）【点评】：本题考查绝对值不等式的性质以及应用.注意零点分段讨论法的应用.属于中档题．。
2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考数学(文)试题
2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考数学（文）试题学生版一、单选题1．已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =（ ）A ．[3,0]-B ．[3,1]-C ．[3,0)-D ．[1,0)-2．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段3．已知0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c a b <<4．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。
2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年 B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年5．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（ ） A ．16B ．12C ．23D ．567．若向量,a b 满足||1,||2a b ==，且||a b -=r r,a b 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．某程序框图如图所示，其中21()g n n n =+，若输出的20192020S =，则判断框内可以填入的条件为（ ）A ．2020?n <B ．2020?n …C ．2020?n >D ．2020?n …9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．6010．已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在[,0]π-上是增函数11．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===AB AC BC ===棱锥P ABC -外接球的体积是（ ） A ．36πB ．125π6C ．32π3D ．50π12．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题13．曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________．14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本.若样本数据1x ，2x ，…，100x 的方差为16，则数据121x -，221x -，…，10021x -的方差为______.15．设F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C 的离心率为______.16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.三、解答题17．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC ⊥，D 是11B C 的中点，1112A A A B ==.（Ⅰ）求证：1AB //平面1A CD ；（Ⅱ）异面直线1AB 和BC ，求几何体11A B DCA 的体积. 19．已知某保险公司的某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：该保险公司这种保险的赔付规定如下：将所抽样本的频率视为概率.（Ⅰ）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（Ⅱ）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付()2.5 1.5a a a ++元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付()2.5 1.50.5a a a a +++元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；（Ⅲ）续保人原定约了保险公司的销售人员在上午10:30~11:30之间上门签合同，因为续保人临时有事，外出的时间在上午10:45~11:05之间，请问续保人在离开前见到销售人员的概率是多少？20．已知点()1,e ，e ⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，其中e 为椭圆的离心率，椭圆的右顶点为D . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 过椭圆C 的左焦点F 交椭圆C 于A ，B 两点，直线DA ，DB 分别与直线ax e=-交于N ，M 两点，求证：0NF MF ⋅=. 21．已知函数()()22ln f x x x ax a R =+-∈有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a≥()()12f x f x -的最小值. 22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C ：24sin 20ρρθ-+=，曲线2C ：cos 042πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线1C 与y 轴交于A ，B 两点，P 为曲线2C 上任一点，求PA PB +的最小值.23．已知函数()f x x t =+的单调递增区间为[)2,-+∞. （Ⅰ）求不等式()121f x x +<+的解集M ； （Ⅱ）设,a b M ∈，证明：1a b ab +<+.2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考数学（文）试题教师版一、单选题1．已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =（ ）A ．[3,0]-B ．[3,1]-C ．[3,0)-D ．[1,0)-【答案】C【解析】解出集合,A B 中的范围,再求交集即可. 【详解】由2230x x +-≤有(1)(3)0x x -+≤,即31x -≤≤,又ln()x -中0x ->即0x <. 故AB =[3,0)-故选：C 【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础题型. 2．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥. 当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选：D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．已知0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】根据特殊值0和1与指数函数对数函数的单调性逐一比较大小. 【详解】对于0.7log 0.8a =，0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=1.1 1.1log 0.9log 10b =<= 0.901.1 1.11c =>=所以：b a c << 故选：A 【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于根据函数单调性和特殊函数值的大小关系，利用不等式的传递性解题.4．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
广东华南师大附中2022高三综合测试-数学(文)
广东华南师大附中2022高三综合测试-数学（文）数 学(文科)2020.5本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试终止后，将答题卷和答题卡一并收回．参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么 P (A +B ) = P (A ) + P (B )锥体的体积公式 V = 13 Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 用最小二乘法求线性回来方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑．第一部分 选择题 (共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．假如复数 (2－bi )i (其中b ∈ R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝()(A) －2 (B) 2 (C) －1 (D) 12．己知集合P ={1,3}，集合Q ={x | mx －1=0}，若Q ⊆ P ，则实数m 的取值集合为()(A) {1} (B) { 13 } (C) {1，13 } (D) {0，1，13 }3．与函数()lg 210.1x y -=的图象相同的函数解析式是()(A )y=2x -1 (x> 12 ) (B ) y= 12x -1 (C ) y= 12x -1 (x> 12 ) (D )y=|12x -1|4．已知某个几何体的三视图如右，其中主视图和 左视图（侧视图）差不多上边长为a 的正方形，俯 视图是直角边长为a 的等腰直角三角形，则此 几何体的表面积为() (A) (3+ 2 )a 2 (B) 4a 2(C) (4+ 2 )a 2(D) 3 2 a 25．给定两个向量 a = (3,4)，b = (2,1)，若 (a + x b )⊥(a －b )，则 x 等于()(A ) －3(B ) 32 (C ) 3(D ) －326．一个公司有N 个职员，下设一些部门，现采纳分层抽样方法从全体职员中抽取一个容量为n的样本 (N 是n 的倍数)．已知某部门被抽取了m 个职员，那么这一部门的职员数是 ()(A) mn N (B) mN n (C) nN m (D) Nn +m7．直线032=++ay x 的倾斜角为︒120，则a 的值是() (A ) 2 3 3 (B ) －2 3 3 (C ) 2 3 (D ) －2 38．不等式a +b > |a -b |成立的一个充分不必要条件是() (A) a <1, b <1 (B) a >1, b <1 (C) a <1, b >1 (D) a >1, b >19．在等差数列 {a n } 中，若 a 3 + a 8 + a 13 = C ，则其前 n 项的和 S n 的值等于 5C 的是() (A) S 7(B) S 8(C) S 15(D) S 1710．已知F 1、F 2为椭圆E 的左右两个焦点，以F 1为顶点，F 2为焦点的抛物线C 恰好通过椭圆短轴的两个端点，则椭圆离心率为()(A) 19 (B) 16 (C) 13 (D) 12第二部分 非选择题(共100分)二、填空题：本大题共5小题，其中11～13是必做题，14～15是选做题，每小题5分，满分20分． 11．某校对文明班级的评选设计了a ，b ，c ，d ，e 五个方面的多元评判指标，并通过体会公式样本ed c b a S 1++=来运算各班的综合得分，S 的值越高则评判成效越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0<c <d <e <b <a ，则下时期要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 （填入a ，b ，c ，d ，e 中的某个字母）．12．假如执行下面的程序框图，那么输出的结果是 ．13． 给出以下四个命题，所有正确命题的序号为 ． ① 若定义在R 上的偶函数f (x )在（0，+∞）上单调递增，则f (x )在（－∞，0）上单调递减；②函数y=kx 2-6kx +9 的定义域为R ，则k 的取值范畴是0<k ≤1； ③ 要得到y = 3sin (2x + π4 )的图象，只需将y =3sin 2x 的 图象左移 π4 个单位；④ 若函数 f (x ) = x 3－ax 在[1,+∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是3．14． (坐标系与参数方程) 直线θ = π3 （ρ ∈ R ）与直线ρ cos (θ － π6 )=2 的交点的极坐标是 ．15．（几何证明选讲）AB 是圆O 的直径，EF 与圆O 相切于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．(本小题满分12分)一汽车厂生产舒服型和标准型两种型号的汽车，某年前5个月的销量如下表(单位:辆):1月 2月 3月 4月 5月 舒服型 90 90 100 100 110 标准型8070100150100（1） 分别求两种汽车的月平均销售量；（2） 从表中数据能够看出舒服型汽车的月销售量出现直线上升的趋势，试依照前5个月的业绩推测6月舒服型汽车的销售量。
华南师大附中2020届高三年级月考(二)(文数)
华南师大附中2020届高三年级月考（二）数 学（文科）本试卷共5页，23题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R A B =（ ） A ．[1,0)(2,3]- B ．(2,3] C ．(,0)(2,)-∞+∞D ．(1,0)(2,3)-2．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i -- D ．1i -3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（ ）AB ．C ．3πD ．4π4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（ ）灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏5．已知f (x )={2x ,x <0a +log 2x,x ≥0，若f(f (−1))=−1，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．0 D ．16．已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．37．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -<C ．110x y->D ．ln x +ln y >08．将函数()2sin 44f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，再向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则()0g =（ ） A 2B ．2C ．2-D ．09．已知△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且22()a b c ab +=+，30B =︒，4a =，则△ABC 的面积为（ ） A ．4B ．33C ．3D ．310．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a =，6812S a =，则使n S 达到最大值的n 是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．1311．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC 中，512BC AC =，根据这些信息，可得sin 234︒=（ ） A ．1254- B ．358+-C ．15+D ．458+-12．已知三棱锥D ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，AB AC ⊥，6AB =，6AC =顶点D 在平面ABC 上的投影E 为BC 的中点，且5DE =，则球O 的表面积为（ ） A ．16π B ．17π C ．60π D ．64π第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(审核版)华南师大附中2020年高中毕业班三模语文试卷(含答案解析).doc
华南师大附中2020年高中毕业班三模语文试卷本试卷共10页，22小题，满分为150分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．本试卷分为第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答案卡上，用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号信息点，修改时需用橡皮擦干净。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
第I卷(共36分)一、现代文阅读(35分)（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1～3题。
诗歌的世纪耗散借助于网络，诗歌的发展好像是如虎添翼了，“诗人”何止是如雨后春笋般的涌现，甚至不止是冬笋爆发，一年四季都是遍地春笋了。
我们处在一个卡拉OK式的自娱自乐的时代，卡拉OK时代满足了人人当歌星的欲望，也满足了诗歌爱好者人人当诗人的愿望。
于是我们拥有了庞大的卡拉OK式的诗人群体，产生了汗牛充栋的卡拉OK歌曲式的诗作。
出版社的改革开放，让每一位有资产的诗人都能够出诗集，顺利地成为有诗集的诗人。
作协的改革开放，使有一定数量诗作的诗人，都成为绝对不假的体制意义的国家级、省市级、地市级、县级等各种级别的注册诗人。
然而，诗人们知道，真正读诗的人数锐减，社会关注诗的程度大大降低了，诗作的影响力越来越弱。
不再有类似郭小川《一个和八个》那样的诗作改成电影大获成功，也不再有叶文福《将军你不能这样做》那样的引起争鸣之作，再没有朦胧诗那样的被聚焦关注的诗歌流派，再没有北岛、顾城、海子、余光中、席慕蓉，甚至汪国真那样凝聚更多眼球的诗人。
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华南师大附中2017届高三综合测试（一）数学（文科）第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1,2,4,8,16A =，{}2|log ,B y y x x A ==∈，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}2,4,8 C ．{}1,2,4 D ．{}1,2,4,82.已知曲线218y x =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．123.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+ D ．sin 2y x x =+ 4.为了得到函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度5.已知()cos 4cos 2f x x =-，则()0f 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．86.已知向量,a b v v ，满足()()26a b a b +-=-v v v v ，且1,2a b ==v v，则a v 与b v 的夹角为（ ）A ．4πB ．3πC ．6πD ．23π 7.已知0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9,c 1.1a b ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b << 8.在ABC ∆中，有一个内角为30°，“030A ∠>”是“1sin 2A >”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要9.函数2ln xy x=的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．10.对于函数()lg 21f x x =-+，有如下三个命题： ①()2f x +是偶函数；②()f x 在区间(),2-∞上是减函数，在区间()2,+∞上是增函数； ③()()2f x f x +-在区间()2,+∞上是增函数； 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③11.在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若1cos ,33A b c ==，则sin C =（ ）A 22B 22C ．13D 612.已知函数()()()[)()222,,0,44ln 1,0x x x f x g x x x x x ⎧+∈-∞⎪==--⎨+∈+∞⎪⎩，，若存在实数a ，使得()()0f a g x +=，则x 的取值范围为（ ）A ．[]1,5-B ．(][),15,-∞-+∞UC ．[)1,-+∞D ．(],5-∞第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()()3,1,1,2a b =-=-v v ，若()()//a b a kb -++v v v v，则实数k 的值是____________．14.已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．15.已知命题:p 函数()()log 201a y ax a a a =+>≠且的图象必过定点()1,1-；命题:q 如果函数()3y f x =-的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象关于点()3,0对称，则命题p q ∨为__________（填“真”或“假”）．16.平面向量,a b v v 中，若()4,3,1a b =-=v v，且5a b =v v g ，则向量b =v __________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设U R =，集合{}()(){}2|320,|10A x x x B x x m x =++==++=，若()U C A B =∅I ，求m 的值．18.（本小题满分12分）设函数()f x a b =v v g，其中向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x x R ==∈v v． （1）若()1f x =且,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求x 的值； （2）若函数2sin 2y x =的图象按向量(),2c m n m π⎛⎫=< ⎪⎝⎭v平移后得到函数()y f x =的图象，求实数,m n 的值．19.（本小题满分12分）在三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且三角形的面积为cos S B =． （1）求角B 的大小；（2）已知224a c ac +=，求sin sin A C 的值． 20.（本小题满分12分）设函数()()()2101x xa t f x a a a--=>≠且是定义域为R 的奇函数． （1）求t 的值；（2）若()10f >，求使不等式()()210f kx x f x -+-<对一切x R ∈恒成立的实数k 的取值范围．21.（本小题满分14分）设函数()()()210x f x ax x e a =+-<． （1）当1a =-时，函数()y f x =与()321132g x x x m =++的图象有三个不同的交点，求实数m 的范围；（2）讨论()f x 的单调性．选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲．如图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A B 、，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ． 求证：（1）BAC CAG ∠=∠； （2）2AC AE AF =g ．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 40ρρθ+-=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程 ；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤≤） 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲． 已知函数()25f x x x =---． （1）求函数()y f x =的值域；（2）求不等式()2815f x x x ≥-+的解集．参考答案一、选择题二、填空题 13. -1 14.16 15. 真 16. 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：17.解：{}2,1A =--，因为()2140m m ∆=+-≥，所以B 非空，由()U C A B =∅I ，得B A ⊆，当1m =时，{}1B=-，符合B A ⊆；当1m ≠时，{}1,m B =--，而B A ⊆，所以2m -=-，即2m =．所以12m =或.18.解：（1）依题设，()22cos 212sin 26f x a b x x x π⎛⎫===++ ⎪⎝⎭v v g ，由12sin 216x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫+=⎪⎝⎭因为33x ππ-≤≤，所以52266x πππ-≤+≤， 所以263x ππ+=-，即4x π=-．19.解：（1）在三角形ABC 中，1sinB 2S ac =， 由已知cos S B =，可得1sin cos 2ac B B =， ∴tan B =， ∵B 为三角形内角， ∴0B π<<，∴3B π=．（2）∵224a c ac +=，又∵2222cos a c b ac B +=+，∴22cos 4b ac B ac += ∵3B π=，∴23b ac =.由正弦定理可得2sin 3sin sinC B A =，∵3B π=，∴1sin sin 4A C =． 20.解：（1）法1：因为()f x 是定义域为R 的奇函数所以()00f =，得2t =． 此时()xxf x a a -=-，故()()xx f x aa f x --=-=-成立，所以t 的值为2．法2：因为()f x 是定义域为R 的奇函数所以()()f x f x -=-，即()()11x x x x a t a a t a --⎡⎤--=---⎣⎦，所以()()20x xt a a --+=对x R ∈恒成立，所以20t -=，即2t =．（2）由（1）得()()210f kx x f x -+-<，得()()21f kx x f x -<--，因为()f x 为奇函数，所以()()21f kx x f x -<-． 因为1a >，所以()xxf x a a-=-为R 上的增函数.所以21kx x x -<-对一切x R ∈恒成立，即()2110x k x -++>对一切x R ∈恒成立，故()2140k ∆=+-<，解得31k -<<.21.（1）当1a =-时，()()()23211132x f x g x x x e x x m ⎛⎫-=-+--++⎪⎝⎭，故()23211132x m x x e x x ⎛⎫=-+--+⎪⎝⎭，令()()23211132x h x x x e x x ⎛⎫=-+--+⎪⎝⎭，则()()()()()2211x x h x x x e x x x x e '=-+-+=-++，故当1x <-时，()0h x '<；当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<；()()311,016h h e -=--=-，故3116m e --<<-．（2）因为()()21x f x ax x e =+-，所以()()()()()222121121x x x x a f x ax e ax x e ax a x e ax x e a +⎛⎫'=+++-=++=+ ⎪⎝⎭.当12a =-时，()0f x '≤恒成立，故函数()f x 在R 上单调递减； 当12a <-时，21a x a +<-时，()210,0a f x x a+'<-<<时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<， 故函数()f x 在21,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，在21,0a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在()0,+∞上递减；当102a -<<时，0x <时，()210,0a f x x a +'<<<-时，()0f x '>，当21a x a+>-时，()0f x '<； 故函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 22.证明：（1）连结,AB BC 是圆O 直径，∴090ACB ∠=，∴090ACB AGC ∠=∠=，GC 切圆O 于C ，∴GCA ABC ∠=∠，∴BAC CAG ∠=∠． （2）连结,CF EC 切圆O 于C ， ∴ACE AFC ∠=∠，又BAC CAG ∠=∠，∴ACF AEC ∆∆:， ∴AC AFAE AC=，∴2=AC AE AF g ． 23.（1）曲线1C 的参数方程为()2x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数，普通方程为2y x =，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式化简得2sin cos ρθθ=， 即1C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=．（2）曲线2C 的极坐标方程22cos 40ρρθ+-=化为平面直角坐标方程为22240x y x ++-=，将2y x =代入上式得2340x x +-=，解得1,4x x ==-（舍去）．当1x =时，1y =±，所以1C 与2C 交点的平面直角坐标为()()1,1,1,1A B -．因为A tan 1,tan 1,0,02A B B ρρθθρθπ=====-≥≤<，所以7,44A B ππθθ==，故1C 与2C交点的极坐标7,44A B ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭． 24.解：（1）由题，()3,527,253,2x f x x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩因此，当25x ≤≤时，函数()y f x =为增函数，因此()()()3253f f x f -=≤≤=；所以，函数()y f x =的值域为[]3,3-． （2）由题，不等式()2815f x x x ≥-+等价于258153x x x >⎧⎨-+≤⎩或22581527x x x x ≤≤⎧⎨-+≤-⎩或228153x x x <⎧⎨-+≤-⎩；解之得5655x x <≤≤≤或或无解；所以，所求为5⎡⎤⎣⎦．。