一元二次函数

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一元二次函数归纳

一元二次函数归纳

一元二次函数的图象一、 定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中,x 是自变量,a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次函数y =ax ²+bx +c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a >0时 函数图象开口向上;对称轴为x =﹣2a /b ,有最小值且为﹙4ac -b ²﹚/4a ; 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a /b]时递减;当x ∈[﹣2a /b,﹢∞﹚时递增;2.当a <0时函数图象开口向下;对称轴为x =﹣2a /b ,有最大值且为﹙4ac -b ²﹚/4a ; 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a /b]时递增;当x ∈[﹣2a /b,﹢∞﹚时递减;2.△=b ²-4ac当△>0时,函数图象与x 轴有两个交点; 当△=0时,函数图象与x 轴只有一个交点; 当△<0时,函数图象与x 轴没有交点。

(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.例1:画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳:一般地,抛物线2y ax =的对称轴是y 轴,顶点是原点,当0a >时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a 越大,抛物线的开口越小;当0a <时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a 越大,抛物线的开口越大。

(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2:画出二次函数21(1)2y x =-+,211)2y x =--(的图象,考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。

21(1)2y x =-+ 211)2y x =--(可以看出,抛物线21(1)2y x =-+的开口向下,对称轴是进过点(-1,0)且与x 轴垂直的直线,记为x=-1,顶点是(-1,0);抛物线211)2y x =--(的开口向下,对称轴是x=1,顶点是(1,0)。

关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系

关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系

1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数,其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。

1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ,(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ,(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ , ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ,在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。

当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=, m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数,在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。

初三一元二次函数总复习

初三一元二次函数总复习

初三一元二次函数总复习1. 引言初三研究的数学内容繁多,其中一元二次函数是重要的一部分。

一元二次函数是数学中的基础概念,掌握好这个知识点对于深入理解数学的其他领域具有重要的意义。

本文将对初三一元二次函数进行总复,包括基本概念、性质、图像以及常见问题的解答。

2. 一元二次函数的基本概念一元二次函数是一种形式为$$y = ax^2 + bx + c$$的函数,其中$a、b、c$为实数,且$a\neq 0$。

其中,$a$称为二次项的系数,$b$称为一次项的系数,$c$为常数项。

3. 一元二次函数的性质一元二次函数具有如下几个基本性质:- 首先,函数的图像呈现为抛物线的形状,开口的方向由$a$的正负决定。

- 函数的对称轴为直线$x = -\dfrac{b}{2a}$,通过对称轴上的点$(h, k)$,其中$h = \dfrac{-b}{2a}$,$k = f(h) = ah^2 + bh + c$。

- 函数的最值点为顶点,最大值或最小值由$a$的正负决定。

- 函数的零点为方程$ax^2 + bx + c = 0$的解,可以通过求根公式或配方法求解。

4. 一元二次函数的图像一元二次函数的图像可以通过绘制函数的图像点来得到,也可以通过计算对称轴以及顶点来确定图像的形状和位置。

根据函数的性质,我们可以知道:- 当$a>0$时,抛物线开口向上,最小值点为顶点;- 当$a<0$时,抛物线开口向下,最大值点为顶点。

5. 一元二次函数的常见问题解答在研究一元二次函数过程中,我们可能会碰到一些常见的问题。

下面是对一些常见问题的解答:- Q1: 一元二次方程的解的个数与什么有关?A1: 一元二次方程的解的个数与判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的正负有关。

当$\Delta > 0$时,有两个不相等的实根;当$\Delta = 0$时,有两个相等的实根;当$\Delta < 0$时,方程没有实根。

一元二次函数总结

一元二次函数总结
(5)一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点,由方程组
的解的数目来确定:
1程组有两组不同的解时 与 有两个交点;
2程组只有一组解时 与 只有一个交点;
3③方程组无解时 与 没有交点.
(6)抛物线与 轴两交点之间的距离:若抛物线 与 轴两交点为 由于 、 是方程 的两个根,故由韦达定理知:
八、二次函数与一元二次方程的关系:
可以看出,抛物线 的开口向下,对称轴是进过点(-1,0)且与x轴垂直的直线,记为x=-1,顶点是(-1,0);抛物线 的开口向下,对称轴是x=1,顶点是(1,0)。
例3:画出函数 的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线 经过怎样的变换可以得到抛物线 ?
抛物线 的开口方向向下、对称轴是x=-1,顶点是(-1,-1)。
2.四、根的分布,根据函数图象来判断其所需要满足的条件
1.若x<y<m﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:
┏△>0
┣﹣2a/b<m
┗f(m)>0
2.若m<x<y﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:
┏△>0
┣﹣2a/b>m
┗f(m)>0
3.若x<m<y﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:
4.若x,y∈﹙m,n﹚﹙m,n为x轴上的一点﹚,则需满足:
当x∈﹙﹣∞,﹣2a/b]时递增;当x∈[﹣2a/b,﹢∞﹚时递减;

2.△=b²-4ac
Hale Waihona Puke 当△>0时,函数图象与x轴有两个交点;
当△=0时,函数图象与x轴只有一个交点;
当△<0时,函数图象与x轴没有交点。
(如下图所示)
三、抛物线 中, 的作用
(1) 决定开口方向及开口大小,这与 中的 完全一样.

一元二次函数

一元二次函数

一元二次函数一、一元二次函数的定义形如y=ax 2+bx+c(其中a ≠0)的函数称之为一元二次函数。

一般情况下,我们会把一元二次函数改写成:224()24b ac b y a x a a-=++写成这样的目的主要是:〔1〕可以看出对称轴方程及顶点坐标;抛物线的对称轴的方程为:x= -2b a 顶点坐标为〔-2b a ,244ac b a-)〔2〕可以得到最大、小值:当a >0,y 取最小值,y= 244ac b a-当a<0,y 取最大值,y= 244ac b a-由一元二次函数的对称轴,从而我们可以知道一元二次函数的单调性:当a>0时,〔-∞,-2b a ]为单调减区间;[-2b a ,+∞〕为单调增区间。

当a<0时,[-2b a ,+∞〕为单调减区间;〔-∞,-2ba]为单调增区间〔3〕解答平移问题方便。

平移的法那么遵循两条:左加右减,上加下减。

题型一:平移图像,求新的解析式 【例题1】:y=x 2-2x+3向左移动一个单位,向上移动两个单位,移动后的解析式是什么? 解答:y=(x-1)2+2根据“左加右减〞的原那么,向左移动一个单位,那么有:y=(x-1+1)2+2 根据“上加下减〞的原那么,向上移动两个单位,那么有y=(x-1+1)2+2+2 所以,最终的结果是:y=x 2+4题型二:三点求函数的解析式——方法:待定系数法【例题2】一元二次方程y=ax 2+bx+c 经过点A(1,3),B(2,4),C(3,11),求函数的解析式。

解答:根据题意有:a b c 34a 2b c 49a 3b c 11++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解上面的方程组,得:388a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以:y=3x 2-8x+8【例题3】函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为A(-3,0),B(1,0),并且经过点〔4,21〕,求函数的解析式。

一般情况下,如果告诉你一元二次方程的两个解x 1,x 2;这个时候我们设:y=a(x-x 1)(x-x 2)最为方便。

一元二次函数性质

一元二次函数性质
例:求函数y=2X2+4X+3在区间[-3,5]的值域。
2对称轴在区间外,根据函数性求解。
例:求函数y=-X2+2X+4在区间[2,4]上的最小值。
6.含有参数的二次函数问题
(1)动轴定区间
例:当0≤x≤2时,函数f(x)= 在X=2时取得最大值,求a的取值范围。
(2)定轴动区间
例:已知函数y= ,在0≤x≤m时,有最大值3,最小值2,求实数m的取值范围。
△<0,图像与X轴没有交点:
4.Hale Waihona Puke 次函数的基本形式(1)一般式:
(2).顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a );
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a ,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
一元二次函数与一元二次方程(一)
一、一元二次函数
1.定义:一般地,形如 (abc均是常数)的函数,叫做二次函数。在无特殊规定时,定义域为全体实数R。
2.图像与性质
a>0
a<0
开口方向
对称轴
顶点
最值
单调性
3.函数与X轴的交点个数
判别式 b2-4ac
△>0,图像与X轴有2个交点
△=0,图像与X轴有1交点
5.二次函数最值的求解
(1)配方法:配方法最主要的目的就是将一个一元二次方程式或多式化为一个一次式的完全平方,以便简化计算。
函数改写为顶点式y=a(x-h)2+k,其中k为函数的最大(a<0)最小值(a>0).

一元二次函数解法

一元二次函数解法

一元二次函数解法
一元二次函数解法是解决二次函数的根的方法。

一元二次函数的形式为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为已知数,x为未知数,y为函数值。

为了求出该函数的根,我们可以采用以下解法:
1.配方法:当a不为0时,可以采用配方法将一元二次函数化为完全平方形式,再利用求根公式求出函数的根。

2.因式分解法:当函数的系数a、b、c均为整数时,可以采用因式分解法将函数化简,再利用零点定理求出函数的根。

3.求根公式法:当函数无法化简时,可以直接利用求根公式求出函数的根。

求根公式为:x1,2=(-b±√b-4ac)/2a。

4.图像法:当函数的系数a、b、c无法确定时,可以采用图像法观察函数的图像,根据图像的性质推断函数的根。

以上是一元二次函数的几种解法,具体应用时需要根据实际情况选择合适的方法。

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专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)

专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)

专题09 一元二次函数的三种表示方式一、知识点精讲通过上一小节的学习,我们知道,一元二次函数可以表示成以下三种形式:1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数.当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交时,其函数值为零,于是有ax2+bx+c=0.①并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=b2-4ac有关,由此可知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ=b2-4ac 存在下列关系:(1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,则Δ>0也成立.(2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点,则Δ=0也成立.(3)当Δ<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x 轴没有交点,则Δ<0也成立.于是,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,所以x1+x2=ba-,x1x2=ca,即ba=-(x1+x2),ca=x1x2.所以,y=ax2+bx+c=a(2b cx xa a++)= a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1) (x-x2).由上面的推导过程可以得到下面结论:若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0).这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.二、典例精析【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),求该一元二次函数的解析式.【答案】见解析【分析】:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a .【解析】∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y =x +1上,所以,2=x +1,∴x =1.∴顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<,∵二次函数的图像经过点(3,-1),∴21(31)2a -=-+,解得a =-34. ∴二次函数的解析式为23(1)24y x =--+,即y =-34x 2+32x+54. 【说明】:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.【典例2】已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x 轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.【答案】见解析【分析一】:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式.【解析一】:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴可设二次函数为y =a (x +3) (x -1) (a ≠0),展开得 y =ax 2+2ax -3a , 顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-, 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2,∴|-4a |=2,即a =12±. 所以,二次函数的表达式为y =21322x x +-,或y =-21322x x -+. 【分析二】:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线x =-1,又由顶点到x 轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.【解析二】:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线x =-1.又顶点到x 轴的距离为2,∴顶点的纵坐标为2,或-2.于是可设二次函数为y =a (x +1)2+2,或y =a (x +1)2-2,由于函数图象过点(1,0),∴0=a (1+1)2+2,或0=a (1+1)2-2.∴a =-12,或a =12. 所以,所求的二次函数为y =-12(x +1)2+2,或y =12(x +1)2-2. 【说明】:上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题.【典例3】已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.【答案】见解析【解析】设该二次函数为y =ax 2+bx +c (a ≠0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a =-2,b =12,c =-8.所以,所求的二次函数为y =-2x 2+12x -8.【说明】通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式?三、对点精练1.选择题:(1)函数y =-x 2+x -1图象与x 轴的交点个数是 ( )(A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )无法确定【答案】A【解析】214(1)(1)30=-⨯-⨯-=-<,∴函数y =-x2+x -1图象与x 轴的交点个数是0个。

一元二次函数知识点(详细)

一元二次函数知识点(详细)

一元二次函数知识点1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系:①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数cbx axy ++=2用配方法可化成:()kh x a y +-=2的形式,其中abac k ab h 4422-=-=,.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 越小,抛物线的开口越大,a 越大,抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线,记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x .③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)],坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧;③0<ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ① 0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则0<ab .8. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式.(2)顶点式:()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=.10.直线与抛物线的交点(或称二次函数与一次函数关系) (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

一元二次方程和一元二次函数的关系

一元二次方程和一元二次函数的关系

一元二次方程和一元二次函数的关系
一元二次方程和一元二次函数有着密切的关系。

一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0,其中a、b、c为常数,x为未知数。

而一元二次函数的一般形式是y=ax+bx+c,其中a、b、c为常数,x为自变量,y为因变量。

可以发现,一元二次函数的方程形式与一元二次方程的形式非常相似,只是将未知数x换成了因变量y。

通过解一元二次方程,可以得到其对应的一元二次函数的图像的特征。

当方程有解时,一元二次函数的图像与x轴有两个交点,即存在两个实数解。

当方程没有实数解时,一元二次函数的图像与x轴没有交点,但是在复数域上有两个解。

此外,一元二次方程的系数a也能反映出一元二次函数的开口方向。

如果a>0,则函数图像开口向上;如果a<0,则函数图像开口向下。

这也可以通过求一元二次函数的导数来得到。

因此,一元二次方程和一元二次函数之间的关系是十分紧密的,二者可以互相转化,通过解方程可以得到函数的图像特征,通过函数的系数可以得到方程的解的情况。

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一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳

一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳

一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容,掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。

本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结,以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

一、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0(其中a ≠ 0)的方程,其中x 表示未知数。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时,我们可以通过将方程两边置零,将每个因子等于零来求解。

例如,对于方程x^2 -5x + 6 = 0,我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0,从而得到x = 2和x = 3两个解。

2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时,我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式,然后再进行求解。

例如,对于方程x^2 - 5x + 6 = 0,我们可以通过将常数项进行拆分,得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0,进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0,再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -2)(x - 3) = 0,进而求得x = 2和x = 3两个解。

3. 求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0,我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。

其中,±表示两个相反的解,而√表示平方根。

这种方法适用于所有一元二次方程的求解,包括没有实数解的情况。

二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。

九年级一元二次函数知识点

九年级一元二次函数知识点

九年级一元二次函数知识点一元二次函数是九年级数学学习的重要内容之一。

它在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将从基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等方面,深入探讨九年级一元二次函数的相关知识点。

首先,我们来了解一元二次函数的基本概念。

一元二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数,其中a、b、c为实数且a≠0。

其中,a决定抛物线的开口方向,正值使抛物线开口向上,负值则开口向下;b决定抛物线的位置,正值使抛物线向左平移,负值则向右平移;c为常数项,决定抛物线与y轴的交点。

接下来,我们来探讨一元二次函数的图像与性质。

一元二次函数的图像是一条抛物线。

当a>0时,抛物线开口向上,最低点称为顶点;当a<0时,抛物线开口向下,最高点称为顶点。

顶点的横坐标为x = -b/2a,纵坐标为f(-b/2a)。

抛物线在顶点对称,对称轴为x = -b/2a。

解析式与判别式是解一元二次方程的关键。

给定一元二次方程ax² + bx + c = 0,其中a、b、c是已知实数且a≠0。

一元二次函数的解析式为x = (-b±√(b²-4ac))/2a。

判别式Δ = b²-4ac,它可以判断一元二次方程的解的性质。

当Δ>0时,方程有两个不相等实数解;当Δ=0时,方程有两个相等实数解;当Δ<0时,方程没有实数解,但有两个共轭复数解。

最后,我们来看一元二次函数在实际问题中的应用。

一元二次函数的应用非常广泛,例如在物理学、经济学和几何学等领域。

以抛物线的运动轨迹为例,当一个物体被抛出时,其轨迹可以用一元二次函数来描述。

在经济学中,一元二次函数可以用来分析企业的成本、收益和利润等情况。

在几何学中,一元二次函数可以用来求解问题,如确定两个点之间的最短距离。

总结起来,九年级一元二次函数是一个非常重要的数学知识点。

它不仅在解决实际问题中具有广泛的应用,而且通过学习一元二次函数的基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等内容,可以帮助学生加深对数学的理解,并提高解决问题的能力。

一元二次函数定点式-解释说明

一元二次函数定点式-解释说明

一元二次函数定点式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型之一,其定义为y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c 是实数常数且a 不等于零。

一元二次函数的图像呈现出特定的形状,通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。

在本文中,我们将重点研究一元二次函数的定点式及其含义。

定点式是一种表示函数图像上顶点坐标的方式,它提供了关于函数最高或最低点的关键信息。

通过研究函数的定点式,我们可以更深入地理解一元二次函数的性质和变化规律。

本文旨在通过对一元二次函数定点式的探讨,让读者对这一函数类型有更全面的了解,并认识到定点式在函数分析和解题过程中的重要性。

同时,我们还将展望定点式的应用领域,探索更多与一元二次函数定点式相关的实际问题,并寻找使用定点式解决这些问题的可能性。

在下一节中,我们将首先介绍一元二次函数的定义,为后续讨论奠定基础。

1.2文章结构文章结构是指文章的组织结构和框架,它决定了文章内容的组织方式和展示顺序。

一个良好的文章结构能够帮助读者更好地理解文章主题,并且使文章更加连贯和有条理。

下面将介绍关于一元二次函数定点式的文章结构打算。

在本文中,文章的结构主要分为三个部分:引言、正文和结论。

引言部分(Chapter 1)是文章的开篇,目的是引导读者进入主题,并介绍文章的背景和意义。

具体包括以下几个方面的内容:1.1 概述:介绍一元二次函数的基本概念和定义,简要说明一元二次函数在数学中的重要性。

1.2 文章结构:详细说明本文的组织结构和框架,引导读者了解文章的整体布局和内容安排。

1.3 目的:明确本文的写作目的和研究问题,阐述对一元二次函数定点式的探索和分析。

1.4 总结:对引言部分进行总结,承接下文,为读者带来连贯的阅读体验。

正文部分(Chapter 2)是文章的核心部分,通过对一元二次函数定点式的定义、图像特点和含义进行详细解析,以展现该主题的全面性和深度。

具体包括以下几个方面的内容:2.1 一元二次函数的定义:介绍一元二次函数的基本形式和表达式,解释其在数学中的重要性和应用。

一元二次函数标准形式

一元二次函数标准形式

一元二次函数的标准形式是指一元二次函数的通式,即:
y=ax^2+bx+c
其中,a、b、c是常数,x是一元二次函数的自变量。

一元二次函数的标准形式可以表示各种不同的一元二次函数,只要给定不同的常数a、b、c,就可以得到不同的一元二次函数。

例如,当a=1、b=2、c=3时,一元二次函数的标准形式就可以表示为y=x^2+2x+3。

在使用一元二次函数的标准形式表示函数时,我们需要注意几点:
1.当a=0时,一元二次函数就变成了一元一次函数。

2.当a=0、b=0时,一元二次函数就变成了常数函数。

3.当a=0、c=0时,一元二次函数就变成了一元一次函数。

4.当a>0时,一元二次函数为二次凹函数,函数图像的开口向上,且函数的最小值
为:f(x)=c-b^2/(4a)。

当a<0时,一元二次函数为二次凸函数,函数图像的开口向下,且函数的最大值为:f(x)=c-b^2/(4a)。

一元二次函数的标准形式在数学中有着广泛的应用,可以用来描述各种不同的物理现象和经济过程。

例如,可以用一元二次函数来描述自由落体运动的位移与时间的关系,或者用一元二次函数来描述消费者的收入与消费水平的关系等。

一元二次函数的顶点公式

一元二次函数的顶点公式

一元二次函数的顶点公式一元二次函数,这可是咱们数学世界里相当重要的一部分。

说到一元二次函数,就不得不提到它的顶点公式,这可是解决相关问题的一把“金钥匙”。

咱先来说说一元二次函数的一般形式:y = ax² + bx + c(a ≠ 0)。

而顶点公式就是:顶点的横坐标 x = -b / (2a),纵坐标 y = (4ac - b²) /(4a) 。

那这个顶点公式到底有啥用呢?我给您举个例子。

有一次我去菜市场买菜,看到一个摊主在卖西瓜。

他说西瓜的价格和卖出的数量之间存在一种关系,假设价格是 y 元,卖出的数量是 x 个,关系可以用一元二次函数 y = -0.1x² + 2x + 10 来表示。

这时候咱就可以用顶点公式来算出能获得最大利润时的卖出数量。

先算横坐标 x = -2 / (2×(-0.1)) = 10 ,再算纵坐标 y = (4×(-0.1)×10 - 2²) / (4×(-0.1)) = 15 。

这就说明,当卖出10 个西瓜时,能获得最大利润 15 元。

再比如,学校组织了一场义卖活动。

我们班打算卖自己制作的小手工。

假设价格定为 y 元,预计能卖出的数量是 x 个,函数关系是 y = -0.2x² + 3x + 8 。

同样用顶点公式,算出 x = -3 / (2×(-0.2)) = 7.5 ,y =(4×(-0.2)×8 - 3²) / (4×(-0.2)) = 12.25 。

由于数量得是整数,我们就可以考虑取 7 或者 8 个来定价,以获得比较高的利润。

您看,顶点公式在生活中的用处是不是还挺大的?在解题的时候,可一定要注意 a、b、c 的取值,千万别搞错啦。

有时候,粗心一点,一个正负号的错误,结果就会相差十万八千里。

而且,对于一些变形后的一元二次函数,要先把它化成一般形式,再用顶点公式。

一元二次方程和一元二次函数的关系

一元二次方程和一元二次函数的关系

一元二次方程和一元二次函数的关系
一元二次方程和一元二次函数有着密切的关系。

一元二次方程是
表示形式为ax²+bx+c=0的方程,其中a,b,c为已知常数,x为未知数。

而一元二次函数是表示形式为y=ax²+bx+c的函数,其中a,b,c为已
知常数,x为自变量,y为因变量。

可以发现,一元二次方程的解就是
一元二次函数的零点,即函数图像与x轴的交点。

反之,一元二次函
数的图像在x轴处的交点就是一元二次方程的解。

因此,解一元二次
方程可以帮助我们找到一元二次函数的零点,而对一元二次函数进行
分析可以帮助我们求解一元二次方程。

一元二次函数及其图像

一元二次函数及其图像

04
求零点问题:利用 二次函数求解方程 的零点问题
平移
平移的概念:将函数图像沿x 轴或y轴移动一定距离
平移的方法:确定平移的方向 和距离,然后对函数解析式进 行相应的变换
平移的性质:平移不改变函数 的形状,只改变函数的位置
平移的应用:解决实际问题中 函数图像的平移问题
伸缩
01
02
03
04
旋转
05
一元二次函数的单调性由a的值决定:当a>0 时,函数在x轴上方的单调递增;当a<0时, 函数在x轴下方的单调递减。
特殊类型
01
抛物线: y=ax^2+bx+c, 其中a≠0
02
双曲线: y=ax^2+bx+c, 其中a=0
03
直线:y=bx+c, 其中a=0,b≠0
04
常数函数:y=c, 其中a=b=0
对称性:中心对称、轴对 称、原点对称等
2
渐近线:与x轴、y轴的交 点、斜率等
5
开口方向:向上、向下、 向左、向右等
3
截距:与x轴、y轴的交点、 截距值等
6
101
标准形式
一元二次函数 的一般形式: ax^2 + bx
+c=0
标准形式:y = ax^2 +
bx + c
其中,a、b、 c为常数,a
≠0
当a > 0时, 图像为向上开
口的抛物线
当a < 0时, 图像为向下开
口的抛物线
b^2 - 4ac决 定了图像的开 口方向和大小
顶点式
01
02
一元二次函数的顶点式:y=a(xh)^2+k
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一元二次函数
制作人:杨申慧.张倩.张忻.吕雪 制作人:
定义
• 在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的 在一个等式中,只含有一个未知数, 最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程 次的整式方程叫做一元二次方程。 最高次数是 次的整式方程叫做一元二次方程。 • 一元二次方程有四个特点: 只含有一个未 一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未 知数; 且未知数次数最高次数是 且未知数次数最高次数是2; 是整式 知数;(2)且未知数次数最高次数是 ;(3)是整式 方程.要判断一个方程是否为一元二次方程, 方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先 看它是否为整式方程,若是, 看它是否为整式方程,若是,再对它进行整 的形式, 理.如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式, 的形式 则这个方程就为一元二次方程. 则这个方程就为一元二次方程. (4)将方程化 ) 为一般形式: 为一般形式:ax^+bx+c=0时,应满足(a≠0) 时 应满足( )
如何选择最简单的解法
1、看是否可以直接开方解; 、看是否可以直接开方解; 2、看是否能用因式分解法解(因式分 、看是否能用因式分解法解( 解的解法中,先考虑提公因式法, 解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑 平方公式法,最后考虑十字相乘法); 平方公式法,最后考虑十字相乘法); • 3、使用公式法求解; 、使用公式法求解; • 4、最后再考虑配方法(配方法虽然可 、最后再考虑配方法( 以解全部一元二次方程, 以解全部一元二次方程,但是有时候解题 太麻烦)。 太麻烦)。 • •
解析式的三种形式
方程的两根与方程中各数的关系
• 方程的两根与方程中各数有如下关系: 方程的两根与方程中各数有如下关系: X1+X2= -b/a,X1*X2=c/a(也称韦达定理) , (也称韦达定理) • 方程两根为 方程两根为X1,X2时,方程为 方程为:X^2;时 方程为 (X1+X2)X+X1X2=0(根据韦达定理逆推而得 根据韦达定理逆推而得) 根据韦达定理逆推而得 • b^2-4ac≥0有实数根,b^2-4ac<0无实数 有实数根, 有实数根 < 无实数 根。
小结
次方程,最常用的方法还是因式分解法, 一般解一元二 次方程,最常用的方法还是因式分解法, 在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式, 在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同 时应使二次项系数化为正数。 时应使二次项系数化为正数。 • 直接开平方法是最基本的方法。 直接开平方法是最基本的方法。 • 公式法和配方法是最重要的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何 一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时, ),在使用公式法时 一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时, 一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数, 一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用 公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。 公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。 • 配方法是推导公式的工具, 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接 用公式法解一元二次方程了, 用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元 二次方程。但是, 二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的 应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一, 应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定 要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法, 。(三种重要的数学方法 要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待 定系数法)。 定系数法)。
回眸历史
• • 一元二次方程 一元二次方程( 一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二 ) 次的整式方程。 一般形式为ax^2+bx+c=0, (a≠0) 次的整式方程。 一般形式为 在公元前两千年左右, 在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现 于古巴比伦人的泥板文书中: 于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它的倒数 一个已给数,即求出这样的x与 之和等于 一个已给数,即求出这样的 与,使 x=1, x+ =b, x^2-bx+1=0, 他们做出( )2;再做出 ,然后得出解答:+ 及 - 。可 他们做出 ; 然后得出解答: 见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。 见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时 负数,所以负根是略而不提的。 并不接受 负数,所以负根是略而不提的。
因式分解法
可解部分一元二次方程)( )(因式分 (可解部分一元二次方程)(因式分 解法又分“提公因式法” 公式法( 解法又分“提公因式法”、“公式法(又 平方差公式” 完全平方公式” 分“平方差公式”和“完全平方公式”两 十字相乘法” 种)”和“十字相乘法”。 • 解方程: 如:解方程:x^2+2x+1=0 • 利用完全平方公式因式分解得: 解:利用完全平方公式因式分解得: (x+1﹚^2=0 ﹚ • 解得: 解得:x1=x2=-1 •
解法
• 1.配方法 配方法 • 可解全部一元二次方程) (可解全部一元二次方程) • 解方程: 如:解方程:x^2+2x-3=0 - • 把常数项移项得: 解:把常数项移项得:x^2+2x=3 • 等式两边同时加1(构成完全平方式)得: 等式两边同时加 (构成完全平方式) x^2+2x+1=4 • 因式分解得:( :(x+1)^2=4 因式分解得:( • 解得: 解得:x1=-3,x2=1 • 用配方法解一元二次方程小口诀 • 二次系数化为一 • 常数要往右边移 • 一次系数一半方 • 两边加上最相当
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