2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷I)(数学理)解析版
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A)14 (B)12(C) 1 (D)2 (3)曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为(A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为tdπ42OA B C D(5)已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400(7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于(A)54 （B ）45(C)65 （D ）56(8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或(9)若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) 2-(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B)273a π (C)2113a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
2010新课标全国卷数学理+详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理科）参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R}，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}2．已知复数z ＝3＋i1－3i2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( ) A.14B.12C ．1D ．23．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )5．已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 为增函数．p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 46．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4007．如果执行如图的框图，输入N ＝5，则输出的数等于()A.54B.45C.65D.568．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 9．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－210．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二（填空题：本大题共4小题，每小题5分）13．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分10⎰f (x )d x .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分10⎰f (x )d x 的近似值为________．14．正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种)15．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________________．16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：K 2＝ a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率； (2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝e x－1－x－ax2.(1)若a＝0，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的弧 AC＝ BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ×CD .23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|2x －4|＋1. (1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．。
2010年高考数学(理)真题(Word版)——全国1卷(试题+答案解析)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学(必修+选修II)第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=C.(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) (B) 7 (C) 6(D)(5)35(1(1+-的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 （7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A3 B 3 C 23D 3 （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为(A)2 (B)2(C) (D)（10）已知函数()|lg |f x x =,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为(A) 4- (B)3- (C) 4-+ (D)3-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)(C) (D) 第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(13)1x ≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，cot cot a b a A b B +=+且BF 2FD =，则C 的离心率为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．(18)(本小题满分12分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .(20)(本小题满分12分)已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .（21）(本小题满分12分)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .（22）(本小题满分12分) 已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-.[来源:学*科*网] （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围.答案解析一、选择题(1)A＝i.(2)B∵cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝＝.∴tan100°＝－tan80°＝－＝－.(3)B线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z＝x－2y得y＝－，当直线y ＝－在y轴上的截距最小时，z取得最大值，由图知，当直线通过点A时，在y轴上的截距最小，由，解得A(1，－1)．所以z max＝1－2×(－1)＝3.（4）A数列{a n}为等比数列，由a1a2a3＝5得＝5，由a7a8a9＝10得＝10，所以＝50，即(a2a8)3＝50，即＝50，所以＝5(a n＞0)．所以a4a5a6＝＝5.(5)C(1＋2)3(1－)5的展开式中x的项为(－)3＋(2)2＝2x，所以x的系数为2.(6)A分两类：①选A类选修课2门，B类选修课1门，有·＝12(种)；②选A类选修课1门，B类选修课2门，有·＝3×6＝18(种)，所以不同的选法共有12＋18＝30(种)．（7）D不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的法向量为＝(1,1,1)，又＝(0,0,1)，∴cos〈，〉＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.（8）C∵log32＝＜ln2，要比较log32＝与5－＝，只需比较log23与＝log22，只需比较3与2，∵2＞22＝4＞3，∴log32＞5－.∴c＜a＜b.(9) B在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.设P到x轴的距离为h，由S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝|F1F2|·h，解得h＝（10）C函数f(x)＝lg|x|的图象如图所示．由图知0＜a＜1，b＞1.∵f(a)＝|lga|＝－lga＝lg＝f(b)＝|lgb|＝lgb，∴b＝.∴a＋2b＝a＋.令g(a)＝a＋(0＜a＜1)，g(a)在(0,1)上为减函数，∴g(a)＝a＋＞g(1)＝1＋2＝3.（11）D如图，设∠APO＝θ，·＝||2·cos2θ＝||2·(1－2sin2θ)＝(|OP|2－1)(1－2·)＝|OP|2＋－3≥2－3，当且仅当|OP|2＝，即|OP|＝时，“＝”成立．（12）B不妨取AB⊥CD，过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P.设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCD＝×2××2×h＝h.当直径通过AB与CD的中点时，h max＝2＝2.故V max＝二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(13){x|0≤x≤2}解析：∵－x≤1，∴≤x＋1.原不等式等价于，解得0≤x≤2.(14)－解析：∵α为第三象限的角，∴π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z.∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ，k∈Z.又∵cos2α＝－，∴2α为第二象限角．∴sin2α＝＝.∴tan2α＝＝－.∴tan(＋2α)＝＝＝－.(15)(1，)解析：y＝x2－|x|＋a＝.当其图象如图所示时满足题意．由图知，解得1＜a＜.(16)解析：如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，即，解得，D(，－)．由D在椭圆上得：＝1，∴＝，∴e＝＝.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)解：由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，sinA－cosA＝cosB－sinB，从而sinAcos－cosAsin＝cosBsin－sinBcos，sin(A－)＝sin(－B)．又0＜A＋B＜π，故A－＝－B，A＋B＝.所以C＝.(18)解：(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋B·C，P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40.(2)X～B(4,0.4)，其分布列为P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.129 6，P(X＝1)＝×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6，P(X＝2)＝×0.42×(1－0.4)2＝0.345 6，P(X＝3)＝×0.43×(1－0.4)＝0.153 6，P(X＝4)＝0.44＝0.025 6.期望E(X)＝4×0.4＝1.6.（19）解法一：(1)连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD. 又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以BC⊥平面BDS，BC⊥DE.作BK⊥EC，K为垂足．因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB.SB＝＝，DE＝＝，EB＝＝，SE＝SB－EB＝，所以SE＝2EB.(2)由SA＝＝，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝＝1，又AD＝1，故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF＝＝.连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE.所以∠AFG是二面角A—DE—C的平面角．连结AG，AG＝，FG＝＝，cos∠AFG＝＝－.所以二面角A-DE-C的大小为120°.解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)．(1) ＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)．设平面SBC的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥得n·＝0，n·＝0.故2b－2c＝0，－a＋b＝0.令a＝1，则b＝1，c＝1，n＝(1,1,1)．又设＝λ(λ＞0)，则E(，，)．＝(，，)，＝(0,2,0)．设平面CDE的法向量m＝(x，y，z)，由m⊥，m⊥，得m·＝0，m·＝0.故＋＋＝0,2y＝0.令x＝2，则m＝(2,0，－λ)．由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n，m·n＝0，2－λ＝0，λ＝2.故SE＝2EB.(2)由(1)知E(，，)，取DE中点F，则F(，，)，＝(，－，－)，故·＝0，由此得FA⊥DE.又＝(－，，－)，故·＝0，由此得EC⊥DE，向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角．于是cos〈，〉＝＝－，所以二面角A-DE-C的大小为120°(20)解：(1)f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，xf′(x)＝xlnx＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，即lnx－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋x(lnx＋－1)＝lnx－x(ln－＋1)≥0.所以(x－1)f(x)≥0.（21）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)．(1)证明：将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4. ①直线BD的方程为y－y2＝·(x－x2)，即y－y2＝·(x－)．令y＝0，得x＝＝1.所以点F(1,0)在直线BD上．(2)由①知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1.因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝，解得m＝±.所以l的方程为3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.又由①知y2－y1＝±＝±，故直线BD的斜率＝±，因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.因为KF为∠BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(－1＜t＜1)，M(t,0)到l及BD的距离分别为，.由＝得t＝或t＝9(舍去)，故圆M的半径r＝＝.所以圆M的方程为(x－)2＋y2＝.（22）解：(1)a n＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即b n＋1＝4b n＋2.b n＋1＋＝4(b n＋)，又a1＝1，故b1＝＝－1.所以{b n＋}是首项为－，公比为4的等比数列，b n＋＝(－)×4n－1，b n＝－－.(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，a n＜a n＋1.(ⅰ)当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；(ⅱ)设当n＝k时，a k＜a k＋1，则当n＝k＋1时，a k＋2＝c－＞c－＝a k＋1.故由(ⅰ)(ⅱ)知当c＞2时，a n＜a n＋1.当c＞2时，令α＝，由a n＋＜a n＋1＋＝c得a n＜α；当2＜c≤时，a n＜α≤3.当c＞时，α＞3，且1≤a n＜α，于是α－a n＋1＝(α－a n)≤(α－a n)，α－a n＋1≤(α－1)．当n＞时，α－a n＋1＜α－3，a n＋1＞3. 因此c＞不符合要求．所以c的取值范围是(2，]．。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国新课标.理)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|||2A x R x =∈<，{}|4B x Z ∈≤，则A B ＝A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝A ．14B ．12C ．1D ．23．曲线2x y x =+在点(1,1)--处的切线方程为A ．21y x =+B ．21y x =-C ．23y x =--D ．22y x =--4．如图，质点P角速度为1A ． B ． C ． D ．5．已知命题1:p 函数22xxy -=-在R 上为增函数；2:p 函数22x xy -=+在R 上为减函数；则在命题112:q p p ∨，212:q p p ∧，312:()q p p ⌝∨，412:()q p p ∧⌝中，真命题是A ．13,q qB ．23,q qC ．14,q qD ．24,q q6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A ．100 B ．200 C ．300 D ．4007．如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于A ．54B ．45C ．65D ．568．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{}|(2)0x f x ->＝A ．{|2x x <-或4}x >B ．{|0x x <或4}x >C ．{|0x x <或6}x >D ．{|2x x <-或2}x > 9．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan2αα+-＝A ．12-B ．12 C ．2 D ．2-10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．25a π11．已知函数|lg |,010,()16,10,2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c的取值范围是A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)12．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且A B 的中心为(12,15)N --，则E 的方程为A ．22136xy-= B ．22145xy-= C ．22163xy-= D ．22154xy-=第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．设()y f x =为区间[]0,1上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[]0,1上的均匀随机数12,,,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得到N 个点(,)(1,2,i i x y i N = ，再数出其中满足()(1,2,i i y f x i N ≤= 的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 ． 14．正视图为一个三角形的几何体可以是 ．（写出三种）15．过点(4,1)A 的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 ． 16．在△ABC 中，D 为边B C 上一点，12B D DC =，120ADB ∠=，2AD =，若△A D C 的面积为3-B AC ∠＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P A B C D -的底面为等腰梯形，A B ∥C D ，A C B D ⊥，垂足为H ，P H 是四棱锥的高，E 为A D 的中点．（1）证明：P E B C ⊥；（2）若60APB ADB ∠=∠=，求直线P A 与平面P E H 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）为调查地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位年人，结果如下：ACPD E H（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由 附：22()()()()()n ad bc Ka b c d a c b d -=++++20．（本小题满分12分）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且22||,||,|AF AB BF 成等差数列． （1）求E 的离心率；（2）设点(0,1)P -满足||||PA PB =，求E 的方程． 21．（本小题满分12分）设函数2()1x f x e x ax =---． （1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，已知圆上的弧 AC BD =，过C 点的圆切线与B A 的延长线交于点E ，证明： （1）A C E B C D ∠=∠； （2）2BC BF CD =⋅．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知直线11cos ,:sin ,x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos ,:sin ,x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．E（1）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为O A 中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图像；（2）若不等式()f x ax ≤的解集为非空，求a 的取值范围．2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.理）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力 二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题 17．2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B （7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B1.解析：{||2,}{22}A x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，{4}{016}B x Z x Z x =∈=∈≤≤故{0,1,2}A B ⋂=.应选D.命题意图：本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题. 2.解析：11)(1))84z i i ===-=-=-111))444z z i i ∙=⋅=.应选A.另解：由221221z ====-可得214z z z∙==.命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算. 3.解析：由2122x y x x ==-++可得122,2,12(1),21(2)x y k y y x y x x =-''===+=+=++应选A.命题意图：本题主要考查导数的几何意义，以及分式的导数运算和直线的点斜式等知识. 4.解析：通过分析可知当0t =时，点P 到x 轴距离dA,D ，再根据当4t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0,排除答案B ，应选C.命题意图：本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案.本题也可以借助解析式2sin()4d t π=-来处理.5.解析：1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数为真命题，而函数22x xy -=+为偶函数，则22x xy -=+在R 不可能为减函数，2p ：函数22x xy -=+在R 为减函数为假命题，则1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C. 命题意图：本题主要考查复合命题的真假的判断，涉及函数的单调性等知识.6.解析：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即~(1000,0.1)B ξ,而2X ξ=，则2210000.1200EX E ξ==⨯⨯=.应选B.命题意图：本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力. 7.解析：根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111101223344556S =+++++⨯⨯⨯⨯⨯111111111151122334455666=-+-+-+-+-=-=，应选D.命题意图：本题主要考查循环结构的框图、框图对应算法的功能以及列项求和. 8.解析：当0x <时，则0x ->，由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得， 3()()8f x f x x =-=--，则338(0)()8(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，33(2)8(2)(2)(2)8(2)x x f x x x ⎧--≥-=⎨---<⎩ 令(2)0f x ->，可解得4,0x x ><或.应选B.另解：由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得3()()8f x f x x ==-，则3(2)(2)28f x f x x -=-=--，要使(2)0f x ->，只需3280,22x x -->-> 解得4,0x x ><或.应选B.命题意图：本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力. 9.解析：由4cos 5α=-，α是第三象限的角可得3sin 5α=-.311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，应选A. 另解：由4cos 5α=-，α是第三象限的角可得3sin 5α=-.3sinsin 52tan3421cos cos 125ααααα-====-+-，1tan13121321tan2αα+-==-+-. 命题意图：本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.10. 解析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，则其外接球的半径为R ==222774123aR a ππ=⋅=，应选B.命题意图：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力.11.解析：作出函数()f x 的图象如右图， 不妨设a b c <<，则1lg lg 10(0,1)2a b c -==-+∈则(10,12)abc c =∈.应选C.12.解析： 由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为 2222221(9)x y a b ab-=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即2222112222221,1x y x y abab-=-=则22121222121212015115312y y x x b b x x ay y a-+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a===，故E 的方程式为22145xy-=.应选B.命题意图：本题主要考查直线与双曲线的位置关系，涉及中点问题可以利用点差法进行求解，也可以利用直线与双曲线的方程联立，借助方程根与系数的关系进行求解,考查利用代数方法研究几何的能力.二、填空题 （13）1N N（14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（15）22(3)2x y -+= （16）60°13.解析：由题意可知101()1f x dx N N≈⎰得110()N f x dx N≈⎰，故积分1()f x dx ⎰的近似值为1N N.14.解析：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等.命题意图：本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力.15. 解析：设圆的方程为222()()x a y b r -+-=， 则2222221(4)(1),(2)(1),1,2b a b r a b r a --+-=-+-==--解得3,0,a b r ===22(3)2x y -+=.命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解.16. 解析：由△ADC的面积为3-1sin 60322AD C S AD D C D C ∆=⋅⋅⋅==-31(3sin 22A B C S AB AC BAC ∆=-=⋅⋅∠解得2D C =,则1,3BD BC ==.2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅241)1)6=++=,AB =22222cos 6041)1)24ACAD C D AD C D =+-⋅⋅=+--=-1)AC =则222cos 2BA AC BCBAC AB AC+-∠=⋅12===故60BAC ∠= .命题意图：本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力.三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21233(222)2n n --=++++ 2(1)12n +-=．而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=． （Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①从而23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①-②得2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅ ．ABDC即 211[(31)22]9n n S n +=-+命题意图：本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力.（18）解：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段H A 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B（Ⅰ）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n则 1(0,,0),(,,0).22mD mE 可得 1(,,),(,1,0).22m P E n B C m =-=- 因为0022m m P E B C ⋅=-+=所以 P E B C ⊥（Ⅱ）由已知条件可得1,33m n C =-=-故 (1(0,0),(,0),(0,0,1)326D E P -- 设 (,,)n x y x =为平面P E H 的法向量则 ,,n H E o n H P o ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1020x z =⎧⎪⎨⎪=⎩因此可以取(1,n =，由(1,0,1)PA =-，可得c o s ,4P A n=所以直线P A 与平面P E H所成角的正弦值为4命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.（19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500=（2）22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯．由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好． 命题意图：本题主要考查统计学知识，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力.（20.）解：（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+， 得43A B a =l 的方程为y x c =+，其中c =设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组22221y x c x yab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简的()()222222220a b x a cx ac b +++-=则()2222121222222,acba c x x x x a ba b--+==++因为直线AB 斜率为1，所以AB=21x -=得22244,3aba a b=+故222a b =所以E的离心率2c e aa===（II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b+-===-+，003c y x c =+=．由PA PB =，得1PN k =-， 即0011y x +=-得3c =，从而3a b ==故椭圆E 的方程为221189xy+=．命题意图：本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力.（21）解：（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12x f x e ax =--由（I ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)xe x x >+≠可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)xxxxxf x e a eee e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.命题意图：本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.（22）解：（I ）因为AC BC =,所以B C D A B C ∠=∠.又因为E C 与圆相切于点C ，故A C E A B C ∠=∠， 所以A C E B C D ∠=∠.（II ）因为,ECB CDB EBC BCD ∠=∠∠=∠, 所以B D C ∆∽E C B ∆，故B C C D B EB C=，即2BC BE CD =⨯.命题意图：本题主要考查几何选讲中圆、三角形相似等知识，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题.(23)解：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=．联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1,0）122⎛- ⎝⎭，． （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=． A 点坐标为()2sin cos sin ααα-， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：()21sin 21sin cos 2x y αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，P 点轨迹的普通方程为2211416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 故P 点轨迹是圆心为104⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为14的圆．命题意图：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力.（24） 解：（Ⅰ）由于252()23x x f x x -+<⎧=⎨-≥⎩，，x 2则函数()y f x =的图像如图所示．（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()122⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ ，，．命题意图：本题主要考查含有绝对值的函数图象与性质以及不等式问题，考查利用数形结合解决问题的能力.。
2010年高考全国卷1理科数学试题及答案
第1/11页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至4页。
考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-A A =-=⋅⋅⋅一． 选择题第2/11页（1）复数3223i i +-= （A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i（2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）．21k k - （B ）. — 21k k - （C.） 21kk - （D ）.—21k k - （3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=2(B) 7 (C) 6 2 (5) x )33x )5的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。
2010年高考全国卷1理科数学试题答案及解析
2010年普通高等学校招生全国统一考试(1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.21k k -B. -21k k- C.21k k- D. -21k k-2.B 【解析】222sin 801cos 801cos (80)1k =-=--=- ,所以tan100tan80︒=-2sin801.cos80k k-=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456aaa = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，0x y += 1O y x = y20x y --=xA0:20l x y -=2-2AABC DA 1B 1C 1D 1O37897988()a a a a a a a === 10,所以132850a a =, 所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a ===== (5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 45.B 【解析】35533(12)(1)(16128)(1)x x x x x x x +-=+++- 故353(12)(1)x x +-的展开式中含x 的项为3303551()1210122C x xC x x x ⨯-+=-+=-,所以x 的系数为-2.(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【解析】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23 B 33 C 23 D 637.D【解析】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则12211133sin 60(2)2222ACD S AC AD a a ∆==⨯⨯= ,21122ACD S AD CD a ∆== . 所以1312333A C D A C D S D D a D O a S a ∆∆=== ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则13sin 3DO DD θ==,所以6cos 3θ=. （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-=15,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为 (A)32 (B)62(C) 3 (D) 69.B 【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12a PF e x a ex x c =--=+=+，22000||[)]21a PF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 0602220000(12)(21)(22)2(12)(21)x x x x ++--=+-, 解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为06||2y = （10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 222a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). （11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 11.D【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，PO=21x +，21sin 1xα=+，||||cos2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令P A P B y∙=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB ∙=-+.此时21x =-.（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233 (B)433 (C) 23 (D) 83312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 433V =. (13)不等式2211x x +-≤的解集是 .PABO12x =y=1 xyaO12x =-414a y -=2y x x a=-+13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.解析:原不等式等价于2221(1),10x x x ⎧+≤+⎨+≥⎩解得0≤x ≤2.(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . 14．17-【解析】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))()k k k Z απππ∈+++∈，又3cos 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4s i n 25α=,sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .15.(1,5)4【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知，a 的取值必须满足1,4114a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<. (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =uu r uu r，则C 的离心率为 .16.23【解析】如图，22||BF b c a =+=,作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =uu r uu r，得1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a=-=-又由||2||BF FD =,得232c c a a=-,整理得22320c a ac -+=.两边都除以2a ,得2320e e +-=,解得1()e =-舍去，或23e =. 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知ABC V 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． 18.（19如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .(20)已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设89FA FB = ，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 中，1111,n n a a c a +==- .（Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(答案解析版)
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（ ）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（ ）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选：A．【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）A．y=2x+1B．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣3D．y=﹣2x﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（ ）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系．【专题】5L：简易逻辑．【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选：C．【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）A．100B．200C．300D．400【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】11：计算题；12：应用题．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选：B．【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．7．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（ ）A．B．C．2D．﹣2【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GW：半角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A．πa2B．C．D．5πa2【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．11．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（ ）A．B．C．D．【考点】KB：双曲线的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而k==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 ．【考点】69：定积分的应用；CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【专题】11：计算题．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是 三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） （写出三种）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】21：阅读型．【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C 的方程为 （x﹣3）2+y2=2 ．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则（4﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2，=﹣1，解得a=3，b=0，r=，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC= 60° ．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（Ⅰ）证明：PE⊥BC（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【考点】MA：向量的数量积判断向量的共线与垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；13：作图题；14：证明题；35：转化思想．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力． 19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要 40 30 不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由． P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.0013.8416.63510.828附：K 2=．【考点】BL ：独立性检验．【专题】11：计算题；5I ：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率， （2）求K 2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【考点】83：等差数列的性质；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
2010年高考试题--数学理(新课标全国)解析版
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。
(1) 已知集合A = {| x | 冬2, x R} }, B = {x |x 乞4, x Z},则A ' B =(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}解析：A={X—2 EX ^2},B={0,1,2,3,4},. A 一B={0,1,2}，选 D 命题意图：考察集合的基本运算z =廳j, z是z的共轭复数，贝y z・z =(1 j3i)2、3 + i _ —4j3+4i _ -X3(1 - 3i)2-2-2 3i命题意图：考察复数的四则运算x(3)曲线y 在点(-1, -1 )处的切线方程为(2)已知复数1A.-41B.—2C.1D.2解析:16解析：(o (7 y' =-------------------- 2二k = y' =2 ,所以点(-1, -1 )处的切线方程为y=2x+1,(x+2)D.y=-2x-2命题意图：考察导数的几何意义x +2(A) y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3解析：法一：排除法取点t =0时,d = 2,排除A、D,又当点P刚从t=0开始运动，d是关于t的减函数，所以排除B,选C法二：构建关系式x轴非负半轴到OP的角v -t •—，由三角函数的定义可知4H 兀y p = 2sin(t -—)，所以d = 2sin( t-—)，选C4 4命题意图：考察三角函数的定义及图像(5)已知命题P i :函数y = 2x -2」在R为增函数，P2 :函数y =2 2在R为减函数，则在命题q : p i P2，q2: p i P2，q3 : -p P2和: P i -P2 中，真命题是(A) q i，q a ( B)q2，q a (C) q，( D)q?，41解析：对于P : y =2X- x显然在R为增函数，命题为真2i i对于P2: y =2X x，y =2X In2-2」ln2 = (2X - x)ln 22 2当x：：：0时，y :: 0,y单调递减，x时，y・0,y单调递增，命题为假ix⑷如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P o (、2 , -、2 )，角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为命题意图：考察二项分布期望公式及公式E(^ b^a^ b对于P2，也可通过复合函数单调性法则，分解为简单函数t = 2 , y =t • t处理利用复合命题真值表，显然p r P2，P i- P2为真命题，选C命题意图：复合命题真假判断为背景考察函数的单调性(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了i000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(A)i00 ( B)200 ( C)300 ( D 400解析：设发芽的粒数为,则~ B(i000,0.9), E =900又X=(i000 - ) 2 =-2 2000,. EX = —2E 2000 = 200，选B命题意图：考察二项分布期望公式及公式E(^ b^a^ b（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上,则该球的表面积（7）如果执行右面的框图，输入 N =5，则输出的数等于(8)设偶函数 f(x)满足 f (x) = x ‘ -8(x _0)，则{x| f(x-2).f (x -2) • 0= x - 2 • 2或x - 2 ：：： -2,即卩x - 4或x ：：： 0，选命题意图：利用函数性质解不等式 1+ta n ^卄4（9）若COS，:-是第三象限的角，则2二5a1 tan 故2 1 -ta n —2命题意图：考察三角函数的化简求值115+51X4 4-X3 +3 -X25-46-5 厲 OW:( (心）+（冷址 n ）+—6）=5所以选D命题意图：以算法为背景考察裂项相消求和0}=(A) {x|x 「2或x 4} (B) { x | x ：： 0或x 4}(C) {x | x :: 0或x 6}(D) { x |x -2或x 2}当X —0时，由又f （为偶函数，（x) x)a 1 -ta n 21(A) -21 (B)2(C) 2 (D) -2解析：是第三象限的角,2 ：■cos - sin 2 又 cos:2 cos ■'是第二或四象限角22 :2 .2 : sin22 a1 - tan 22 2 a1 tan 2245,化简得tan 2〜(A) 二 a 2 (C) 11二 a 2 (D) 5： a 23 2R 2 =OB 2 =OE 2 BE 2 = a 2 a + — 7 2 a 4 3 127 2 (B) a 3 解析: 2 72.S =4二a = a3 命题意图：考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式A1 lg x |,0 e x <0, (11)已知函数f(x) 1若a,b,c 互不相等, x 6,x 10. .2 且 f (a) = f (b) = f (c),则 abc的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24)解析：a,b,c 互不相等，不妨设 由f (a) =f (b),得-lga =lgb , .abc = c ，显然 10 :: c :: 12 所以选C F 的直线l 与E 相交于A ，B 两命题意图：考察数形结合思想，利用图像处理函数与方程问题 (12)已知双曲线E 的中心为原点, P(3,0)是E 的焦点，过 点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程式为 2 2 2 2x y * x y * (A) 1 (B) 1 3 6 4 5 2x (C) 6 2x(D)— 5 解析：设双曲线方程为 2 2笃-与=1,即b 2x 2 -a 2y 2 =a 2b 2，A(x 「％)月区』2)a b 由 b 2x 1^a 2y 12 二 a 2b 2,b 2x 22 -a 2y 22 二 a 2b 2得 b 2(X 1 血)- a 2(y 1 y ?)(y 1 y 2) = 0 (为—X 2)又中点 N (-12，-15)，k AB =k pN ， -12b 2+15a 2 =0艮卩4b 2=5a 2，bU所以 a 2 =4,b 2=5，选 B 命题意图：禾U 用点差法处理弦中点与斜率问题 二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分。
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
(1)已知集合A{xR|x |2}},B{xZ|x4},则AB(A)(0,2)(B)[0,2](C){0,2](D){0,1,2} (2)已知复数 z3i2 (13i) ，z 是z 的共轭复数，则zz=(A)1 4(B)1 2(C)1(D)2x在点(1,1)处的切线方程为 (3)曲线yx2(A)y2x1(B)y2x1(C)y2x3(D)y2x2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2,2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为d 2 tOπ 4ABCD(5)已知命题xxp ：函数y22在R 为增函数， 1xxp ：函数y22在R 为减函数， 2则在命题 q ：p 1p 2，q 2：p 1p 2，q 3：p 1p 2和q 4：p 1p 2中，真命1 题是（A ） q ，1 q （B ） 3 q ， 2 q （C ） 3 q ， 1 q （D ） 4q ， 2 q4(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再 补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 开始 (A)100（B ）200 输入N (C)300（D ）400k=1,S=0 (7)如果执行右面的框图，输入N5，则输出的数等于(A) 5 4 （B ）4 5(C) 6 5 （D ）5 61S=S+k(k+1) k<N 否 输出Sk=k+1 是(8)设偶函数f(x)满足 3 f(x)x8(x0)，结束则{x|f(x 2)0}(A){x |x2或x4}(B){x |x0或x4} (C){x |x0或x6}(D){x |x2或x2}(9)若cos 45 ，是第三象限的角，则 1tan 1tan2 2(A)1 2(B)1 2(C)2(D)2(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2 a(B)7 3 2 a(C)11 3 2 a(D)2 5a|lgx|,0x10,(11)已知函数 f x ()12x6,x10.若a,b,c 互不相等，且f(a)f(b)f(c),则abc 的取值范围是(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，P(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15),则E 的方程式为(A) 22 xy 36 1 (B) 22 xy 45 1 (C) 22 xy 63 1 (D) 22 xy 541第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试求做答。
2010年高考理科数学试题及答案-全国卷1
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=B.C.D.(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A)(5)35(1(1+-的展开式中x 的系数是ABC DA 1B 1C 1D 1 O(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种(7)正方体ABCD-1111A B CD 中，B 1B 与平面AC 1D所成角的余弦值为A 3B 3C 23D 3（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1Fp 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)2(B)2(C) (D)（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-(B)3-(C) 4-+(D)3-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)3 (B)3 (C) (D) 3第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)(13)1x ≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =uu r uu r，则C 的离心率为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知ABC V 的内角A ，B 及其对边a，b满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．效．） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-. （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学(必修+选修II) 答案第I 卷一．选择题1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+.【解析2】232322323i i i i i i +-+==-- 2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析1】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-sin 80cos80=-=-【解析2】cos(80)k -︒=cos(80)k⇒︒=，()()00000sin 18080sin100sin 80tan1001008018080oo ocon con con -︒===--=3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.【解析2】2z x y y =-⇒()1213Max z =--= 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析1】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===， 37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =, 所以133364564655()(50)a a a a a a a =====【解析2】123a a a =5325a ⇒=；x +20y -=ABCDA 1B 1C 1D 1 O789a a a =103810,a ⇒=6333528456550a a a a aa a ⇒==⇒==5.C 【解析】12451335333322(1(1161281510105x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+++-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 的系数是 -10+12=26.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种. 【解析2】33373430C C C --=7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222ACD S AC AD ∆==⨯⨯=,21122ACD SAD CD a ∆==. 所以131ACD ACD S DD DO a S ∆∆=,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin 3DO DD θ==,所以cos θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B1B 与平面AC 1D所成角，1111cos 3O O O OD OD ∠=== 8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e , 3221log log 2e <<< ，32211112log log e<<<； c=12152-=<=，∴c<a<b 9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060222=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||2y =【解析2】由焦点三角形面积公式得：120226011cot 1cot 22222F PF S b c h h θ∆=====⇒=10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处. 【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，求2z x y =+的取值范围问题，11222z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为3,∴(C)(3,)+∞ 11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得32y ≤-或3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+此时x =【解析2】法一： 设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭ 法二：换元：2sin,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x xx--∙==+-≥或建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析1】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有A B C D 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max 3V =. 【解析2】()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(注意：在试题卷上作答无效)13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.【解析1】原不等式等价于2221(1),10x xx⎧+≤+⎨+≥⎩解得0≤x≤2.【解析2】(){}2221111020211x xx x x x xx⎧+≤+⎪≤⇒+⇒⇒≤≤⇒≤≤⎨+≥⎪⎩，14．17-【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析1】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))()k k k Zαπππ∈+++∈，又3cos25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Zπαπππ∈++++∈,于是有4sin25α=,sin24tan2cos23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tan tan2134471tan tan2143παπα-+==--+.【解析2】α为第三象限的角，3cos25α=-，3222k kππαππ+<<+42243k kππαππ⇒+<<+⇒2α在二象限，4sin25α=a sin(2)sin cos2cos sin2cos2sin21444tan(2)4cos2sin27cos(2)cos cos2sin sin2444πππαααπαααπππααααα++++====--+-15.(1,5)4【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. 【解析1】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y=与曲线2y x x a=-+,观图可知，a的取值必须满足1,4114aa>⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a<<.【解析2】由数型结合知：151144a a a-<<⇒<<16.【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析1】如图，||BF a==,作1DD y⊥轴于点D1,则由BF2FD=uu r uu r，得1||||2||||3OF BFDD BD==,所以133||||22DD OF c==,即32Dcx=,由椭圆的第二定义得2233||()22a c cFD e ac a=-=-又由||2||BF FD=,得232cc aa=-,整理得22320c a ac-+=.两边都除以2a,得2320e e+-=,解得1()e=-舍去，或23e=.【解析2】设椭圆方程为：第一标准形式，F分BD所成的比为2，222230223330;122212222cc c cy bx b y b bx x x c y y-++⋅-=⇒===⇒===-++，带入222291144c ba b+=，3e⇒=三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.18.【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.（19）（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.(20)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.（21）(本小题满分12分)【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想..（22）(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.答案7。
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
x2 y2
(A)
1
36
x2
(B)
4
y2 1
5
x2
(C)
6
y2 1
3
x2
(D)
5
y2 1
4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（ 13）题 ~第（ 21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（ 22）题 ~第（ 24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
y
（
sin
为参数）．
（Ⅰ）当 = 3 时，求 C1 与 C2 的交点坐标： （Ⅱ）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 A 、 P 为 OA 的中点，当
变化时，求
P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
（24）（本小题满分 10 分）选修 4— 5：不等式选讲
设函数 f ( x) = 2 x 4 1． （Ⅰ）画出函数 y f ( x) 的图像： （Ⅱ）若不等式 f (x) , ax 的解集非空，求 a 的取值范围
（ 3）根据（ 2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助
的老年人的比例？说明理由
附： K 2
n(ad bc)2
(a b)( c d)( a c)(b d)
P(K 2 …k)
0.050 0.010
0.001
k
3.841 6.635 10.828
（20）（本小题满分 12 分）
（ 1）求数列 an 的通项公式；
（ 2）令 bn nan ，求数列的前 n 项和 Sn
(18)（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形， AB ∥ CD ， AC BD ，垂足为 H ， PH 是四棱锥的高 ， E 为 AD 中点 （ 1）证明： PE BC
2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷)数学试题 (理科)(解析版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式s =13V Sh=其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh=24S R π=343V R π=其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B x =≤∈，则A B = （）（A）()0,2（B）[]0,2（C）{}0,2（D）{}0,1,2【答案】D【解析】{22},{0,1,2,3,4}A B={0,1,2}A x x B =-≤≤=∴⋂，,选D 命题意图：考察集合的基本运算（2）已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）（A）14（B）12（C）1（D）2【答案】A 命题意图：考察复数的四则运算【解析】2323244i iz ===-⨯4z =，14z z ⋅=（3）曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A）21y x =+（B）21y x =-（C）23y x =--（D）22y x =--【答案】A【解析】''122,|2(2)x y k y x =-=∴==+ ，切线方程为[](1)2(1)y x --=--，即21y x =+.命题意图：考察导数的几何意义（4）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（）【答案】C【解析】当点P 在0P ，即0t =，P 到x。
2010年全国卷新课标理科试题与详细答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(新课标卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题．其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差s其中x 为样本平均数 柱体体积公式V ＝Sh其中S 为底面面积，h 为高 锥体体积公式V ＝13Sh 其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式 S ＝4πR 2，V ＝43πR 2 其中R 为球的半径第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{x≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．{0,2} D ．{0,1,2} 答案：D ∵A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{0,1,2,3，…，16}，∴A∩B ＝{0,1,2}． 2．已知复数z，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2 答案：A z·z ＝|z|2而|z|＝221＝24＝12，∴|z|2＝14，∴z·z ＝14. 3．曲线y ＝2x +x在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 答案：A ∵y ′＝22(2)x x x ++－＝22(2)x +，∴在点(－1，－1)处的切线方程的斜率为2)21(22=+-.∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.4．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )答案：C 法一：P 从P 0出发，逆时针运动，t ＝0时，d ，t 与d 满足关系式d ＝2sin(t －π4)(t ≥0)．所以选择C 项． 法二：(排除法)当t ＝0时，P )到x ，排除A 、D 两项，当t ＝π4时， P (2,0)到x 轴的距离为0，排除B.故选C 项． 5．已知命题：p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4 答案：C 对于p 1：y ′＝2x ln2－(12)x ln 12＝ln2(2x ＋2－x )，∴y ′＞0，∴函数为增函数， ∴p 1为真．对于p 2：y ′＝2x ln2＋(12)x ln 12＝ln2[2x －(12x ]，y ′＜0不一定成立，∴p 2为假，∴q 1为真，q 2为假，q 3为假，q 4为真．6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 答案：BE (X )＝1 000×0.9×0＋1 000×0.1×2＝200.7．如果执行下面的框图，输入N ＝5，则输出的数等于 ()A.54 B.45 C.65 D.56答案：D 由框图可知，输出的S 为 S ＝112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋156⨯＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.8．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)＞0}＝( )A ．{x |x ＜－2或x ＞4}B ．{x |x ＜0或x ＞4}C ．{x |x ＜0或x ＞6}D ．{x |x ＜－2或x ＞2 答案：B ∵f (x )为偶函数，∴f (x －2)＝f (|x －2|)，∴f (x －2)＞0等价于f (|x －2|)＞0＝f (2)，又∵f (x )＝x 3－8(x ≥0)为增函数， ∴|x －2|＞2.解得x ＞4或x ＜0.9．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+－＝( ) A ．－12 B.12C ．2D ．－2答案：A ∵cos α＝－45，α为第三象限角，∴sin α＝－35.∵sin211tancos 221tansin 221cos2αααααα++=－－＝2cossin(cossin )2222cos sin(cos sin )(cos sin )222222αααααααααα++=+－－＝2231()1sin 1sin 54cos cos sin 225ααααα+++==－－－＝－12. 10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2 答案：B 如图，O 1，O 分别为上、下底面的中心，D 为O 1O 的中点，则DB 为球的半径，有r ＝DBS 表＝4πr 2＝4π×2712a ＝73πa 2. 11．已知函数f (x )＝|lg |,010,16,10.2x x x x <≤⎧⎪⎨+>⎪⎩－若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 答案：C 由图知a ，b ，c 有两个在(0,10]上，假设a ，b ∈(0,10]，并有一个大于1一个小于1，不妨设a ＜1，b ＞1，则f (a )＝|lg a |＝－lg a ＝lg1a，f (b )＝|lg b |＝lg b ，∴1a＝b .∴a ·b ·c ＝c ，由图知c ∈(10,12)．12已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.23x －26y ＝1B.24x －25y ＝1C.26x －23y ＝1D.25x －24y ＝1答案：B 由c ＝3，设双曲线方程为22x a －229y a －＝1，k AB ＝k NF ＝015312++＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则212x a －2129y a －＝1， ①222x a －2229y a－＝1， ② ①－②，得12122()()x x x x a +－－12122()()9y y y y a +－－＝0.又N (－12，－15)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30. ∴122()x x a －24－＝122()9y y a －30－－.∴1212y y x x －－＝22(9)5a a 4－＝1. ∴a 2＝4.∴双曲线方程为24x －25y ＝1. 第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分1⎰f(x)d x.先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N)．再数出其中满足y i ≤f(x i )(i ＝1,2，…，N)的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分1⎰f(x)d x 的近似值为__________．答案：1N N解析：由题意可知01,01,x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩它所围成的区域面积为S ＝1，结合积分的几何意义和几何模型可知，1()f x dx S⎰＝1N N ，即10⎰f(x)d x ＝1NN.14．正视图为一个三角形的几何体可以是__________．(写出三种)答案：三棱锥、圆锥、四棱锥(答案不唯一)15．过点A(4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为__________．答案： (x －3)2＋y 2＝2解析：法一：设圆C 方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2， 圆心(a ，b)到直线x －y －1＝0的距离 d＝r ， ①又圆C 过点A(4,1)，B(2,1)，∴(4－a)2＋(1－b)2＝r 2， ② (2－a)2＋(1－b)2＝r 2， ③由①②③，得a ＝3，b ＝0，r，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.法二：∵圆过A 、B 两点，∴圆心C 在线段AB 的中垂线上．而k AB ＝1142－－＝0 AB 中点M(3,1)，∴AB 中垂线方程为x ＝3.又∵圆C 与直线x －y －1＝0，相切于点B(2,1)，所以圆心在过点B 且与x －y －1＝0垂直的直线x ＋y －3＝0上．由330x x y =⎧⎨+=⎩－得圆心C(3,0)，∴r ＝|CA|∴圆的方程为：(x －3)2＋y 2＝2.16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3，则∠BAC ＝__________. 答案：60°解析：S △ADC ＝12×2×DC×2＝3解得DC ＝1)，∴BD －1，BC ＝1)．在△ABD 中，AB 2＝4＋1)2－2×2×1)×cos 120°＝6，∴AB .在△ACD 中，AC 2＝4＋－1)]2－2×2×1)×cos 60°＝24－∴AC 1)，则cos ∠BAC ＝222AB +AC BC 2AB AC ⋅－12，∴∠BAC ＝60°.三、解答题：共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析： (1)由已知，当n≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1. 而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n －1. ① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n ＋1. ②①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n·22n ＋1， 即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]． 18．（12分）如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点．(1)证明PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．解析：以H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1) 证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m ＜0，n ＞0)，则D(0，m,0)，E(12，2m，0)．可得PE ＝(12，m2，－n)，BC ＝(m ，－1,0)．因为PE ·BC＝m 2－m 2＋0＝0，所以PE ⊥BC. (2) 解：由已知条件可得m＝－3，n ＝1，故C(－3，0,0)，D(0，－3，0)， E(12，－6，0)，P(0,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量，则10,0,20,0.HE x y HP z ⎧⎧⋅==⎪⎪⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩n n 即 因此可以取n ＝(10)．由PA ＝(1,0，－1)，可得|cos 〈PA ，n 〉|，所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为4. 19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：K 2＝2n(ad bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)－解析： (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%. (2)K 2＝2500(4027030160)20030070430⨯⨯⨯⨯⨯⨯－≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．（12分）设F 1，F 2分别是椭圆E ：22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E 的方程．解析：得|AB |＝43a . l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ，B 两点坐标满足方程组2222,1.y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝2222a c a b +－，x 1x 2＝22222()a c b a b+－. 因为直线AB 斜率为1，所以|AB |x 2－x 1|＝得43a ＝2224ab a b +，故a 2＝2b 2. 所以E 的离心率e ＝ca＝2a =. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝122x x +＝22223a c a b =+－－c ，y 0＝x 0＋c ＝3c. 由|P A |＝|PB |得k PN ＝－1. 即001y x +＝－1， 得c ＝3，从而a ＝，b ＝3.故椭圆E 的方程为22189x y +＝1. 21．（12分）(理)设函数f(x)＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围． 解析： (1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，0)上单调减少，在(0，＋∞)上单调增加． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立， 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ， 从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0， 于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x ＞1＋x (x ≠0)可得e －x ＞1－x (x ≠0)．从而当a ＞12时，f ′(x )＜e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )＜0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )＜0.综合得a 的取值范围为(－∞，12]． 方法二，分离参数法：当0≥x 时，0)(≥x f ，由012≥---ax x e x，即x e ax x--≤12，（1）当0=x 时，R a ∈,（2）当0≠x 时，21x x e a x --≤，令21)(x xe x g x --=，则322)(xx e xe x g x x ++-=' 令22)(++-=x e xe x h xx，则,1)(+-='xxe xe x h 令,1)(+-=xxe xe x m 则0)(>='x xe x m ，∴)(x m 为增函数，则0)0()(=>m x m ，∴0)(>'x h ，∴)(x h 为增函数，则0)0()(=>h x h ，∴0)(>'x g ，)(x g 为增函数，则)0()(g x g >，∴)0(g a ≤ 可是)0(g 不存在，只能求极限，由洛比达法则得，212lim )2()1(lim )()1(lim )(lim 00200==''-=''--=++++→→→→x x x x x x x e x e x x e x g ，故21≤a 22．（10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE×CD. 解析： (1)因为，所以∠BCD ＝∠ABC .又因为EC 与圆相切于点C ， 故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以 △BDC ∽△ECB ， 故BC CDBE BC=，即BC 2＝BE ×CD .23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线C 1：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，圆C 2：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解析： (1)当α＝3π时，C 1的普通方程为y(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组221),1,y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩－解得C 1与C 2的交点为)0,1(，(12，－2)． (2)C 1的普通方程为0sin cos sin =--αααy xA 点坐标为)sin cos ,(sin 2ααα- 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－ (α为参数)． P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆． 24．（10分）选修4－5：不等式选讲设函数1|42|)(+-=x x f(1)画出函数)(x f y =的图像；(2)若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围．解析：(1)由于⎩⎨⎧≥-<+-=2322,52)(x x x x x f 则函数)(x f y =的图像如图所示．(2)由函数)(x f y =与函数ax y =的图像可知，当且仅当21≥a 或2-<a 时，函数)(x f y =与函数ax y =的图像有交点．故不等式ax x f ≤)(的解集非空时，a 的取值范围为),21[)2,(+∞⋃--∞。
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标)全解全析版
2010年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理工农医类）第I 卷一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={|||2,}x x x R ≤∈，B={4,}x x Z ≤∈，则A ∩B =（ ）A ．（0，2）B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2} 【解析】选择D 。
因为A={|22}x x -≤≤，{0,1,2,3,,16}B =，所以A ∩B ={0，1，2}。
2、已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 【解析】选择A 。
解法1：因为12z ==-112)28i =-=-14i =， 所以z z ⋅=221111()()(()4444i i =+=。
解法2：因为z z ⋅=2241||||164z ====。
3、曲线2xy x =+在点（－1，－1）处的切线方程为（ ） A ．21y x =+B ．21y x =-C ．23y x =--D ．22y x =-- 【解析】选择A 。
因为22(2)2'(2)(2)x x y x x +-==++，所以1'|2x k y =-==， 因此切线方程为12(1)y x +=+，化简得21y x =+。
4、如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ， 角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（ ） 【解析】选择（C ）。
xyP 0OP解法1：显然，当t=0时，d=2，排除（A ）、（D ）；当t=4π时，d=0，排除（B ），因此选择（C ）。
解法2：显然，当0t =时，由已知得2d =，故排除A 、D ，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间t 的变化质点P 到x 轴的距离d 先减小，再排除B ，即得C 。
解法3：根据已知条件得2,1,4A πωϕ===-，再结合已知得质点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数为2sin()4d t π=-，画图得C 。
2010年全国1卷高考真题(含答案)数学理
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．3．第I 卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=球n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 一、选择题 （1）复数=-+i i3223（A ）i（B ）i - （C ）i 1312- （D ）i 1312+ （2）记k =︒-)80cos(，那么=︒100tan（A ）k k 21-（B ）-kk 21- （C ）21kk - （D ）-21kk -（3）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤.02,0,1y x y x y 则y x z 2-=的最大值为 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（4）已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，634987321,10,5a a a a a a a a a 则===（A ）25（B ）7（C ）6（D ）24（5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（A ）-4 （B ）-2 （C ）2 （D ）4（6）某校开设A 类选修课3门，B 类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 （A ）30种 （B ）35种 （C ）42种 （D ）48种 （7）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为（A ）32 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）设2135,2ln ,2log -===c b a ，则（A ）c b a <<（B ）a c b << （C ）b a c << （D ）a b c <<（9）已知F 1、F 2为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在C 上，︒=∠6021PF F ，则P到x 轴的距离为（A ）23 （B ）26 （C ）3 （D ）6（10）已知函数)()(,0.|lg |)(b f a f b a x x f =<<=且若，则b a 2+的取值范围是（A ）),22(+∞（B ）[)+∞,22（C ）),3(+∞（D ）[)+∞,3（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA ⋅的最小值为（A ）24+-（B ）23+-（C ）224+-（D ）223+-（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（A ）332 （B ）334 （C ）32 （D ）338 绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2010年高考试题——数学理(全国卷1)解析版
2010年高考大纲卷全国Ⅰ理科数学试题分析(必修+选修II)第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题1. A2. B3. B4. A5. C6. A7. D8. C9. B 10. C 11. D 12. B (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【分析1】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. 【分析2】232322323i i ii i i+-+==-- (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.21k k -B. -21k k- C.21k- D.21k-2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的使用.【分析1】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-2sin 801cos80k -=-=- 【分析2】cos(80)k -︒=cos(80)k ⇒︒=，()()00000sin 18080sin100sin 80tan1001008018080oo ocon con con -︒===--21k -=(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【分析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.【分析2】11222z x y y x z =-⇒=-，画图知过点()1,1-是最大，()1213Max z =--=（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 52424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式和指数式的互化等知识，着重考查了转化和化归的数学思想.【分析1】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a =====(5)353(12)(1x x +的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4【分析2】123a a a =5325a ⇒=；789a a a =103810,a ⇒=633352845655052a a a a a a a ⇒==⇒==5.C 【分析】2 124513353333322(12)(1)161281510105x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x y +=1 Oy x =20x y --=xA0:20l x y -=2-2AABC DA 1B 1C 1D 1Ox 的系数是 -10+12=2(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【分析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种. 【分析2】33373430C C C --=(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 和平面AC 1D 所成角的余弦值为A23 B 33 C 23D 637.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线和平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【分析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 和平面AC 1D 所成角和DD 1和平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a, 则12211133sin 60(2)2222ACD S AC AD a ∆==⨯⨯=,21122ACD S AD CD a ∆==. 所以131233ACD ACD S DD a DO S a∆∆===,记DD 1和平面AC 1D 所成角为θ, 则13sin 3DO DD θ==,所以6cos 3θ=. 【分析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 和平面AC 1D 所成角就是B 1B 和平面AC 1D 所成角，111136cos 2O O O OD OD ∠===（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数和对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的使用. 【分析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-52252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【分析2】a =3log 2=21log 3,b =ln2=21log e, 221log log 32e <<< ，2211112log 3log e <<<； c =1215254-=<=，∴c<a<b (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为 (A)32 (B)62(C) 3 (D) 69.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【分析1】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12a PF e x a ex x c =--=+=+，22000||[)]21a PF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 06022200002(2(22)2(12)(21)x x x x =+-,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为06||y =【分析2】由焦点三角形面积公式得：1202260116cot 1cot 322222222F PF S b c h h h θ∆=====⇒=（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 222a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【分析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 【分析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，求2z x y =+的取值范围问题，11222z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为3,∴(C)(3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算和圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【分析1】如图所示：设||OP x =,2APB θ∠=,则2||||1PA PB x ==-, 1sin x θ=，222cos 212sin 1t θθ=-=-， 则222222211(1)3223PA PB x x x x x⋅=---=+-≥当且仅当22x ==”，故PA PB ⋅的最小值为223，故选D.【分析2】法一： 设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭ABO法二：换元：2sin,012x x θ=<≤，()()112123223x x PA PB x xx--•==+-≥或建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2111011,,0AO PA x y x x y x x⊥⇒⋅-=⇒-()22222222110011011022123223PA PB x x x x y x x x x x •=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)33 (B)433 (C) 3 (D) 83312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【分析1】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 和P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 和CD 的中点时,22max 22123h =-故max 33V =. 【分析2】过CD 作平面PCD ，AB ⊥平面PCD,交AB 于P,设点P 到CD 的距离为h,则有11222323ABCD V h h ==，当直径通过AB 和CD 的中点时，最大222123Max h =-=∴43MAX V =二、填空题13. {|02}x x ≤≤ 14. 17-15. 5(1,)416. 33(13)2211x x +≤的解集是 .13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化和化归的数学思想体现得淋漓尽致.【分析1】原不等式等价于2221(1),10x x x ⎧+≤+⎨+≥⎩解得0≤x ≤2.【分析2】()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y •=-⋅--=-+-12x =y=1 xyaO12x =-414a y -=2y x x a=-+(){}2222211211*********x x x x x x x x x x ⎧+≤+⎪+≤⇒++⇒⇒≤≤⇒≤≤⎨+≥⎪⎩，(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . 14．17-【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【分析1】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))()k k k Z απππ∈+++∈，又3cos 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4sin 25α=,sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 【分析2】α为第三象限的角， 3cos 25α=-，3222k k ππαππ+<<+42243k k ππαππ⇒+<<+⇒2α在二象限，4sin 25α=sin(2)sin cos 2cos sin 2cos 2sin 21444tan(2)4cos 2sin 27cos(2)cos cos 2sin sin 2444πππαααπαααπππααααα++++====--+-(15)直线1y =和曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .15.(1,5)4【命题意图】本小题主要考查函数的图像和性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.【分析1】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y =和曲线2y x x a =-+,观图可知，a 的取值必须满足1,4114a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解514a <<. 【分析2】由数型结合知：151144a a a -<<⇒<< (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =，则C 的离心率为 .16.3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程和几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显分析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【分析1】如图，22||BF b c a =+=, 作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =，得1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c ==,即32D cx =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a=-=-又由||2||BF FD =,得232c c a a=-,整理得22320c a ac -+=.两边都除以2a ,得2320e e +-=,解得1()e =-舍去，或23e =. 【分析2】设椭圆方程为：第一标准形式，F 分 BD 所成的比为2，222230223330;122212222c c c c y b x b y b bx x x c y y -++⋅-=⇒===⇒===-++， 代入222291144c b a b +=，3e ⇒=-----------------------------------------------------------2010年全国卷1理科数学试题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ABBACADCBCDB1.A 分析：本题考查了复数代数形式的运算法则.32(32)(23)1323(23)(23)13i i i ii i i i ++⋅+===--⋅+，故选A.2.B 分析：本题考查了同角三角函数关系以及诱导公式.cos(80)cos80k -==，2sin801k =-21tan 80k k -=，21tan100tan 80k k-=-=-，故选B.3.B 分析：本题考查了在线性约束条件下求目标函数的最值问题，即线性规划xO yBF1DDOxy=1x+y=0x-y-2=0yAZ=x-2y问题.如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数2z x y =-经过0x y +=和20x y --=的交点(1,1)A -时，取到最大值3，故选B.4.A 分析：本题考查了等比数列的性质.61237895()()50a a a a a a a ⨯==，3456552a a a a == A.另法: 由等比数列的性质知123a a a ，456a a a ，789a a a 成等比数列,则2456()a a a =123a a a ×456a a a =50,∵n a >0，所以4565052a a a ==5.C 分析：本题考查了二项式定理.3(1x +展开式的通项为2133(2)2r r r rr r T C x C x +==，53(1)x 展开式的通项为33155()(1)r r r r r r T C x C x ''''''+==-，因此，353(1)(1)x x +-展开式的各项为2335(1)2r r r rr r C C x'+''-⋅⋅⋅⋅，当123r r '+=时有0r =且3r '=或2r =且0r '=两种情况，因此展开式中x 的系数为（-10）+12=2，故选C.6.A 分析：本题考查了排列组合知识.不同的选法分两类，A 类选修课1门，B 类选修课2门，或者A 类选修课2门，B 类选修课1门，因此，共有2112343430C C C C ⋅+⋅=种选法，故选A.7.D 分析：本题考查了立体几何中线面角的求法. 1BB 和平面1ACD 所成角等于1DD 和平面1ACD 所成角,在三棱锥1D ACD -中，由三条侧棱两两垂直得点D 在底面1ACD 内的射影为等边1ACD ∆的垂心即中心H ，则1DD H ∠为1DD 和平面1ACD 所成角,设正方体棱长为a ,则1663cos 3DD H a ∠==，故选D.8.C 分析：本题考查了代数式大小比较的方法.3ln 2log 2ln 2ln 3a b ==<=，又121525c -==<，331log 2log 32a =>=，因此c a b <<，故选C.9.B 分析：本题考查了双曲线中有关焦点三角形的问题.由双曲线焦点三角形面积公式得122cot1cot 3032F PF S b θ∆==⨯=，设P 到x 轴的距离为h ，则由12121122322F PF S F F h h ∆=⨯⨯=⨯=6h =，P 到x 6 B.10.C 分析：本题考查了对数函数、对数式的运算性质、对勾函数图像性质.由题意01a b <<<，由()()f a f b =得lg lg a b -=，lg lg 0a b +=，1ab =，因此，22a b a a +=+，由对勾函数性质知2y x x=+在(0,1)单调递减，因此23a b +>，即2a b +的取值范围是(3,)+∞，故选C.11.D 分析：本题考查了向量数量积的定义运算，考查了最值的求法，考查了圆的切线性质.设||OP x =,2APB θ∠=,则2||||1PA PB x ==-, 1sin x θ=，222cos 212sin 1t θθ=-=-， 则222222211(1)3223PA PB x x x x x⋅=---=+-≥当且仅当22x =时，取“=”，故PA PB ⋅的最小值为223，故选D.12.B 分析：本题考查了球和多面体的组合体问题，考查了空间想象能力.如图，过OCD 三点作球的截面，交AB 于点M ，由条件知，OAB ∆、OCD ∆均为边长为2的等边三角形，设M 到CD 的距离为h ，A 到面MCD 的距离为1h ，B 到面MCD 的距离为2h ，则1212111()()332A BCD A MCDB MCD MCD V V V S h h CD h h h ---∆=+=+=⋅⋅⋅⋅+，因此，当AB ⊥面MCD 时， 1143223(11)32A BCD V -=⋅⋅⋅+=最大，故选B. 二、填空题13. {|02}x x ≤≤ 分析：本题考查了不等式的基本性质. 2211x x +≤得22210121121(1)02x x x x x x x +≥≥-⎧⎧+≤+⇔⇔⎨⎨+≤+≤≤⎩⎩02x ⇔≤≤，不等式解集为. {|02}x x ≤≤.14. 17-分析：本题考查了同角三角函数的关系，二倍角公式以及两角和差的三角函数公式.由23cos 22cos 15αα=-=-，且α为第三象限角得5cos α=，得tan 2α=，4tan 23α=-，1tan 21tan(2)41tan 27πααα++==--.15．514a << 分析：本题考查了利用数形结合的思14a -2y x x a-+2y x x a =++axy A BCDM O想解题的策略. 如图，作出2||y x x a =-+的图像，若要使1y =和其有四个交点，需满足114a a -<<，解得514a <<. 16.3分析：本题考查了椭圆离心率的求解策略.不妨设椭圆C 焦点在x 轴上，中心在原点，B 点为椭圆上顶点，F 为右焦点，则由2BF FD =,得D 点到右准线的距离是B 点到右准线距离的一半，则D 点横坐标22D a x c=，由2BF FD =知，F 分BD 所成比为2，，由定比分点坐标公式得22022123a a c c c+⨯==+，得223c a =，得3e =三、解答题 17. 解：由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得sin sin cos cos sin cos cos sin A B A BA AB B+=+-=-从而sin coscos sincos sinsin cos4444A AB B ππππ-=-sin()sin()44A B ππ-=-又0A B π<+< 故44A B ππ-=-2A B π+=所以2C π=18. 解：(Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用.则 D=A+B·C,()0.50.50.25,()20.50.50.5,()0.3,P A P B P C =⨯==⨯⨯==()()P D P A B C =+ =()()P A P B C + =()()()P A P B P C + =0.25+0.5×0.3 =0.40.(Ⅱ)~(4,0.4)X B ，其分布列为： 4(0)(10.4)0.1296,P X ==-=134(1)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 2224(2)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 334(3)0.4(10.4)0.1536,P X C ==⨯⨯-=4(4)0.40.0256.P X === 期望40.4 1.6EX =⨯=.19. 解法一：(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,由此知 1,DG GC BG ===即ABC ∆为直角三角形，故BC BD ⊥. 又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面， 故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面，和平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直DE ⊥平面SBC ，DE ⊥EC,DE ⊥SB226SB SD DB =+=23SD DB DE SB == 22626-,-33EB DB DE SE SB EB ====所以，SE=2EB (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF ,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=-=. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263FG DG DF =-=, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,所以，二面角A DE C --的大小为120°. 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) （Ⅰ）(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==设平面SBC 的法向量为n =(a,b,c)由,n SC n BC ⊥⊥，得0,0n SC n BC == 故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，则b=c,c=1,n =(1,1,1) 又设SE EB λ= (0)λ>，则2(,,)111E λλλλλ+++ 2(,,),(0,2,0)111DE DC λλλλλ==+++设平面CDE 的法向量m =(x,y,z)由,m DE m DC ⊥⊥,得0m DE ⊥=，0m DC ⊥=故20,20111x y zy λλλλλ++==+++. 令2x =，则(2,0,)m λ=-.由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n ,0,20,2m n λλ=-== 故SE=2EB（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E ，取DE 的中点F ，则111211(,,),(,,)333333F FA =--，故0FA DE =，由此得FA DE ⊥又242(,,)333EC =--，故0EC DE =，由此得EC DE ⊥， 向量FA 和EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角 于是 1cos ,2||||FA EC FA EC FA EC <>==-所以，二面角A DE C --的大小为120 20.解： （Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x x λ+'=+-=+， ()ln 1xf x x x '=+,题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤. 令()ln g x x x =-，则1()1g x x'=- 当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤，1x =是()g x 的最大值点， ()(1)1g x g =-≤ 综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+1ln (ln 1)x x x x =++- 11ln (ln 1)x x x x=--+0≥ 所以(1)()0x f x -≥21. 解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠.（Ⅰ）将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=从而12124,4y y m y y +==直线BD 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，即222214()4y y y x y y -=--令0y =，得1214y y x == 所以点F(1,0)在直线BD 上（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-1212(1)(1) 1.x x my my =--=因为 11(1,),FA x y =-22(1,)FB x y =-，212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=--+=-+++=-故 28849m -=，解得 43m =± 所以l 的方程为 3430,3430x y x y ++=-+= 又由（Ⅰ）知 2214(4)4473y y m -=±-⨯=故直线BD 的斜率2147y y =-因而直线BD 的方程为3730,3730.x x y +-=--=因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(,0)(11)M t t -<<，(,0)M t 到l 及BD 的距离分别为3131,54t t +-.由313154t t +-=得19t =，或9t =（舍去）， 故 圆M 的半径31253t r +==. 所以圆M 的方程为2214()99x y -+=. 22. 解：（Ⅰ）12512222n n n na a a a +--=--=， 112142,42222n n n n n n a b b a a a ++==+=+---即11112214(),1,1332n n b b a b a ++=+===--又故 所以2{}3n b +是首项为13-，公比为4的等比数列， 121433n n b -+=-⨯112433n n b -=-⨯-（Ⅱ）12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得用数学归纳法证明：当2c >时1n n a a +<. （ⅰ）当1n =时，2111a c a a =->，命题成立； （ⅱ）设当n=k 时，1k k a a +<，则当n=k+1时，21111k k k ka c c a a a +++=->-= 故由（ⅰ）（ⅱ）知，当c>2时1n n a a +<当c>2时，令242c c a -=，由111n n n na a c a a ++<+=得n a a < 当102,33n c a a <≤<≤时 当103c >时，3a >，且1n a a ≤< 于是111()()3n n n n a a a a a a a a +-=-≤-，11(1)3n n a a a +-≤-当31log 3a n a ->-时，113,3n n a a a a ++-<-> 因此103c >不符合要求 所以c 的取值范围是10(2,]32010年普通高等学校招生全国统一测试 数学（全国卷I ）(理工农医类)点评和去年数学试题相比，今年高考数学试题在题型和题量上基本保持不变。
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绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷I ）（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
【教师简评】2010年新课标高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2009年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。
从考生角度来说，试卷总体难度“没有想象的那么难”。
试题有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新.注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- 13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B xx x =≤∈，则A B =（A ）()0,2 （B ）[]0,2 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2（2）已知复数()23i13i z +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2（3）曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为 （A ）21y x =+ （B ）21y x =- （C ）23y x =-- （D ）22y x =--切线方程为[](1)2(1)y x --=-- ，即21y x =+.[来源:学科网] （4）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为()02,2P -，角速度为1，那么点P到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（5）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是 （A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q有∵122222x x x x y -=+=+≥，∴22x x y -=+不是减函数，故2p 为假. ∴112:q p p ∨为真；212:q p p ∧为假；312:()q p p ⌝∨为假；412:()q p p ∧⌝为真.（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400（7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65 （D ）56[来源:Z,xx,]（8）设偶函数()f x 满足()()380f x x x =-≥，则(){}20x f x -=＞（A ）{}2x x x ＜-或＞4 （B ）{}0x x x ＜或＞4 （C ）{}0x x x ＜或＞6 （D ）{}2x x x ＜-或＞2（9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- （A ）12- （B ）12 （C ）2 （D ）2-（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）2a π （B ）273a π （C ）2113a π （D ）25a π222237()()3212a a a OA R ==+=,[来源:Z#xx#] 227744123a a S R πππ==⨯=球.（11）已知函数()lg ,010,16,02x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+⎪⎩＜＞1若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（A ）()1,10 （B ）()5,6 （C ）()10,12 （D ）()20,24（12）已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为（A ）22136x y -= （B ） 22145x y -= （C ） 22163x y -= （D ）22154x y -= 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13） 设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰,先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数1x ,2x …,N x 和1y ,2y …,N y ,由此得到N个点（1x ，1y ）（i=1,2,…,N ）,在数出其中满足1y ≤1()f x （（i=1,2,…,N ））的点数1N ，那么由随机模拟方法可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 .(14)正视图为一个三角形的几何体可以是 ．(写出三种)(15)过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .(16)在中，D为边BC上一点，BD=12DC,ABC∠=120°，AD=2，若ADC∆的面积为33-，则BAC∠= .法二：∵ADC∠=,∴60∠=.ADB120∠=∠=,∴C=45+1560BAH CAH45,15∠=.BA三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分l2分)[来源:Z_xx_]设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式：（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .[来源:][来源:学。
科。
网Z 。
X 。
X 。
K](18)(本小题满分12分)[来源:学#科#网]AB ∥CD,AC如圈，己知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，⊥BD 垂足为H,PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点. （Ⅰ)证明：PE ⊥BC（Ⅱ）若APB ∠=ADB ∠=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值.[来源:学科网]【命题意图】本题主要考查空间中的垂直关系以及直线与平面所成的角，等腰梯形的性质，建立空间直角坐标系，空间向量的坐标表示.考查空间想象能力和推理运算能力，以及应用向量知识解答问题的能力.【点评】因为本题中三条直线两两垂直，可建立空间直角坐标系，根据所学知识，理清图形中的数量关系，从而确定点的坐标.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.【答案】(20)（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b +=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列.[来源:学科网ZXXK]（Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.【答案】(21)（本小题满分12分）设函数f(x)=21x e x ax ---.（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.(22) (本小题满分10分) 选修4—1；几何证明选讲如图，已知圆上的弧AC =BD ,过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：[来源:] （Ⅰ)ACE ∠=BCD ∠;（Ⅱ）2BC BE CD =⨯;(23) （本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程已知直线1C :1cos .sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩ （t 为参数），圆2C :cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)， （Ⅰ)当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;【答案】(24)（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲x-+设函数f(x)=241（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 【答案】。