椭圆及其标准方程预习案

椭圆及其标准方程导学案
学习目标
1、经历椭圆模型的产生过程，掌握椭圆的定义。

2、掌握椭圆的标准方程的两种形式及其推导过程，了解参数a 、b 、c 的意义及关系。

3、通过椭圆标准方程的建立过程提高化简运算的能力。

学习重点 1、椭圆的定义，
2、椭圆的标准方程的两种形式 学习难点
1、椭圆的定义中常数加以限制的原因．
2、推导标准方程过程中对 的化简。

学习过程
【探究活动一】椭圆的定义 1、 感知生活中的椭圆
2、 探究椭圆的画法：
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线 思考：画的过程中什么是不变的，什么是变的？
在椭圆形成的过程中，细绳的 和 保持不变， 即笔尖（动点）到两个 点的距离之和等于 ．
根据椭圆形成的过程，你能给椭圆下一个定义吗？ 3、 描述椭圆的定义：
平面内，与两个 点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。

注意：（1）笔尖移动的过程中绳子的长度和两个钉子之间的距离哪个更长？
2a y y 2
222=+-+++)()(c x c x
（2）当两个钉之间距离和绳长相等时，画出的图形还是椭圆吗？这时点的轨迹是什么？ （3）绳长能小于两个钉子间的距离吗？这时点的轨迹存在吗？
结论：当a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； 当a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； 当a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。

【探究活动二】椭圆的标准方程 1、建立椭圆的标准方程的过程：
①建系：请给图1中的椭圆建立适当的坐标系 怎么样选择适当的直角坐标系？依据是什么？
原则：尽可能使点的坐标，几何量的表达式简单化。

（一般利用对称轴或是相互垂直的线段所在的直线作为坐标轴，这样既对称又简洁） ②设点：
③ 列方程：
根据定义，找出动点所满足的条件，并用坐标来表示
图1
④ 化简得标准方程：
思考：含有两个根号的式子如何化简？
⑤建系如图2，其标准方程为：
图2
2、椭圆的定义与标准方程：
思考：
①椭圆的标准方程在形式上有什么特点？且分母哪个大？ 一边是两个分式的平方和，一边是 。

②根据椭圆方程怎么确定焦点在哪个轴上？
你能根据椭圆的方程求出a ，b ，c 吗？这三个参数之间有什么关系？
3、初步应用 1、已知椭圆的标准方程为
则a 2= , b 2= , c 2= , a= , b= , c= , 焦点在 轴上， 焦点坐标为
2
2
221
46x y
+=1
5
2
2
=+y x
2、已知椭圆的标准方程为
则a 2= , b 2= , c 2= , a= , b= , c= , 焦点在 轴上， 焦点坐标为
3、已知椭圆的标准方程为
则a 2= , b 2= , c 2= , a= , b= , c= , 焦点在 轴上， 焦点坐标为
4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) ，焦点在 x 轴上； （2） ，焦点在y 轴上
【课堂小结】
这节课你学到了什么？ 1、椭圆的定义： 2、椭圆的标准方程： 【探究性作业】
必做：请同学们根据自己画的椭圆建立适当的直角坐标系，量出有关数据，求出椭圆的
标准方程。

选作：请同学们根据自己的情况再化简方程：
2a
y 2222=+-+++)(y )(c x c x 8222=+y x 1,4==b a 15,4==c a。