高二数学上学期第三次月考试题理(无答案)
河北省邯郸市第二十四中学高二数学理月考试题含解析
河北省邯郸市第二十四中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A． a B． a C． a D． a参考答案：A【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．【解答】解：连接A1C、MC可得=△A1DM中，A1D=，A1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以 d（设d是点C到平面A1DM的距离）∴=故选A．【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．2. 如果函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：，因为函数的导数是偶函数，所以满足，即，，，所以在原点处的切线方程为，即，故选A.考点：导数的几何意义3. 若集合，，则是A．B．C．D．参考答案：B略4. 设，记，若则（）A． B．- C． D．参考答案：B5. 下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：C6. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至少有一个大于60度D．假设三内角至多有二个大于60度参考答案：B略7. 椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B．C．D．参考答案：D8. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°，反证假设正确的是( )A. 假设三内角都大于60°B. 假设三内角都不大于60°C. 假设三内角至多有一个大于60°D. 假设三内角至多有两个大于60°参考答案：B【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于60°不成立，即假设三内角都不大于60°，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.9. 对于幂函数，若，则，大小关系是（）A． B．C． D．无法确定参考答案：A10. 若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上减函数，又，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或参考答案：C∵是偶函数，，∴，∵，∴∵在上减函数，∴，∴或∴不等式的解集为或，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率为＿＿＿＿.参考答案：12. 若x 2dx=9，则常数T的值为 ．参考答案：3【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解： ==9，解得T=3，故答案为：3．13. 给出下列3个命题：①若，则；②若，则；③若且，则，其中真命题的序号为 ▲ ．参考答案：14. 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．参考答案： 336 略15. 设变量满足约束条件则的最大值为________参考答案：4 16. 若在展开式中x 3的系数为－80，则a = ．参考答案：－2；17. 已知，且是第二象限角，则____________参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
上海理工大学附属中学2015届高三上学期月考(三)数学(理)试题 Word版无答案
月考（三）数学（理）试题1.若函数)(x f =21x +，则1(4)f-= ．2.已知{|||2}{|}A x x B x x a =≤=≥，，若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分条件，则实数a 的取值范围是 .3.函数1()arccos (1)2f x x x =≤≤的值域是 . 4.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥r r，则向量a 与b 的夹角θ= ．5. 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为6. 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是____ ．7.若1>a ，不等式log 6a x +≥的解集为[)2,+∞，则实数=a ___________．8.执行右边的框图：若输出的S 值满足811321<-<S ， 则自然数p 的值为 ． 9.已知2)21()(-+=x f x F 是R 上的奇函数，+++=)2()1()0(n f n f f a n )1(n n f -+)1(f +)(*N n ∈，若11+⋅=n n n a a b ，记}{n b 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim ． 10. 设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、，若ABC ∆的面积为S ， 且22()S a b c =--，则sin 1cos AA =- ．11.若函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于另外两点B 、C 。
O 是坐标原点，则()OB OC OA +⋅=___________； 12.已知集合M 是满足下列两个条件的函数)(x f 的全体：①)(x f 在定义域上是单调函数；②在)(x f 的定义域内存在闭区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ．若函数m x x g +-=1)(，M x g ∈)(，则实数m 的取值范围是________________．13.等比数列{}n a 共有20项，其中前四项的积是1128，末四项的积是512，则这个等比数列的各项乘积是 .14.对于定义域和值域均为[0,1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是 ． 二、选择题：（每题5分，共20分）15．已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，若该数列从第10项开始为负，则公差d 的取值范围是 ( ) A.1( )9-∞-， B.11( )89--， C.11[ )89--， D. 11[ )910--， 16．等比数列{}n a 中，11a >，前n 项和为n S ，若11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（ ） （A ）()1,+∞ （B ）()1,2 （C）( （D）(17．如果函数()1y f x =-的反函数是()11y f x -=-，则下列等式中一定成立的是（ ） （A ）()()1f x f x =- （B ）()()11f x f x --=- （C ）()()11f x f x --= （D ）()()1f x f x =--18．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上(含原点)上滑动，则OB OC ⋅的最大值是A ．1B ．C ． 2 D．三、解答题：（12分+14分+14分+16分+18分） 19．△ABC 中，已知3A π∠=，边BC =，设B x ∠=，△ABC 的周长为y .(1)求函数()y f x =的解析式，并写出函数的定义域； (2)求函数()y f x =的值域.20．设在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=， ,E F 依次为1,C C BC 的中点．（1）求异面直线1A B 、EF 所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点1B 到平面AEF 的距离．21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(P n n S n 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上。
实验中学高二数学上学期第三次月考试题理含解析
所以 ,
所以 ,故选A．
8。若实数x、y满足 ，则 的取值范围是 （ ）
A。 B。 C. D。
【答案】A
【解析】
由 满足的约束条件画出可行域,如图:
目标函数 表示区域内的动点 与定点 连线的斜率
由图可知 是 最小值，故 的取值范围是
故答案选
点睛：线性规划转化为几何意义, 转化为可行域内的点到点 连线的斜率，先画出可行域，然后计算出斜率范围．
∴∠A＝60°.
在△ABC中,由正弦定理得sin B＝ ，
∵b2＝ac,∠A＝60°，
∴ ＝ ＝sin 60°＝ .
19。解关于x的不等式ax2－（a＋1)x＋1〈0。
【答案】见解析
【解析】
【分析】
将不等式化为(ax－1)（x－1）<0，再对 的取值范围讨论，分类解不等式.
【详解】原不等式可化为（ax－1）（x－1）<0
16。设 为正数， ，则 的最大值是___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据柯西不等式直接求最值.
【详解】
当且仅当 时取等号
,即 的最大值是
故答案为：
【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.)
17.已知等差数列{an｝中，a1=1，a3=﹣3．
(II）由（I）可知an=3﹣2n，
所以Sn= =2n﹣n2，
进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，
即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，
又k∈N+,故k=7为所求．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．
高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)
2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案) 2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)总分150分，考试用时120分钟。
一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知全集集合集合，则集合为( )A. B. C. D.2.已知点，则与同方向的单位向量是( )A. B. C. D.3.命题对随意都有的否定是( )A.对随意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得4.已知函数的定义域为，则的定义域为( )A. B. C. D.5.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为( )A. B. C. D.6.已知函数的导函数为，且满意关系式，则的值等于( )A.2B.C.D.7.已知向量，，则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为( )A. B. C. D.9.函数有零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10.设分程和方程的根分别为和，函数，则( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡上.11.已知，则的值为13. 中，，，三角形面积，14.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为15.若关于的方程有实根，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)已知函数，其中为使能在时取得最大值的最小正整数.(1)求的值;(2)设的三边长、、满意，且边所对的角的取值集合为，当时，求的值域.18.(本小题满分12分)中，设、、分别为角、、的对边，角的平分线交边于， .(1)求证： ;(2)若，，求其三边、、的值.19.(本小题满分12分)工厂生产某种产品，次品率与日产量 (万件)间的关系( 为常数，且 )，已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元(1)将日盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数;(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件?(注： )20.(本小题满分13分)已知，当时， .(1)证明 ;(2)若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式.21.(本小题满分14分)已知函数 ( 为常数，为自然对数的底)(1)当时，求的单调区间;(2)若函数在上无零点，求的最小值;(3)若对随意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围.数学(理)参考答案答案DADCBDBBCA11. 12. 13. 14. 15.16.若命题为真明显或故有或5分若命题为真，就有或命题或为假命题时， 12分17.(1) ，依题意有即的最小正整数值为25分(2) 又即即 8分10分故函数的值域是 12分18.(1)即5分(2) ① 7分又② 9分由①②解得 10分又在中12分19.(1)当时，， 2分当时，4分日盈利额 (万元)与日产量 (万件)的函数关系式为5分(2)当时，日盈利额为0当时，令得或 (舍去)当时，在上单增最大值 9分当时，在上单增，在上单减最大值 10分综上：当时，日产量为万件日盈利额最大当时，日产量为3万件时日盈利额最大20.(1) 时4分(2)由得到5分又时即将代入上式得又8分又时对均成立为函数为对称轴 10分又12分13分21.(1) 时，由得得故的减区间为增区间为 3分(2)因为在上恒成立不行能故要使在上无零点，只要对随意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分(3)当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当改变时，，的改变状况如下0+↘最小值↗时，，随意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满意下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④ 当时对随意，在上存在两个不同的使成立2019届高三数学上期第三次月考试题就共享到这里了，更多相关信息请接着关注高考数学试题栏目！。
2022-2023学年四川省泸州市合江县重点中学高三上学期第三次月考试题 数学(理)(解析版)
C.若 ，则 ，
D. 的图像关于点 对称
11.如图，已知正方体 的棱长为1，点 为 上一动点，现有以下四个结论：①面 面 ；② 面 ；③当 为 的中点时， 的周长取得最小值；④三棱锥 的体积是定值，其中正确的结论个数是（）
A1B.2C.3D.4
12.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（）
8.已知某锥体的三视图如图所示，其中侧视图为等边三角形，则该锥体的体积为（）
A. B. 3C. D.
9.已知定义域为 的奇函数 的周期为 ，且 时， ，若函数 在区间 （ 且 ）上至少有5个零点，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
10.已知：函数 ，则下列说法错误的是（）
A.将 的图像向右平移 个单位长度得 的图像
所以 在 上递增，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
A. B.
C D.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13. ________．
14.若 的最小正周期为 ，则 ________.
15.已知直线 与曲线 相切，则 的最小值为________.
16.棱长为6的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为______
【解析】
【分析】
在R上的偶函数且在 上是减函数，即在 上增函数，要使 成立，而 有 结合函数的性质列不等式，求x取值范围
吉林省长春市德惠市实验中学2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试题(含答案解析)
吉林省长春市德惠市实验中学2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，288a a +=，则159a a a ++=（）A ．8B ．12C ．15D ．242．已知等差数列{}n a 中，515,a a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381217a a a a +++=（）A ．2B ．3C ．4D ．63．椭圆()222124x y a a +=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆上的一点，若1260F PF ∠=︒，那么12PF F △的面积为A ．3B ．2C ．4D ．34．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）AB ．2C D 5．已知直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[2,4]B ．[2,6]C ．D ．6．已知双曲线1C 过点)4，且与双曲线2C ：22152x y -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的焦距为（）A ．7B ．14C D ．7．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =，且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2214525x y +=C ．2213010x y +=D ．2213616x y +=8．已知椭圆2222:1(6)6y x C b b +=<上存在两点,M N 关于直线2310x y --=对称，且线段MN 中点的纵坐标为23-，则2b 的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．下列说法错误有（）A ．“1a =-”是“210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．过()11,x y ，()22,x y 两点的所有直线的方程为112121y y x xy y x x--=--C ．直线cos 10x y α++=的倾斜角θ的取值范围是30,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭D ．经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知271n S n n =-++，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是等差数列C ．当4n >时，0n a <D ．当3n =或4时，n S 取得最大值11．已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B C BD ⊥B ．点E 到直线1B C的距离为C ．直线1B E 与平面11B C C 所成的角的正弦值为23D ．点1C 到平面1B CE 的距离为23三、填空题13．数列{}n a 满足11a =，*121(N ,2)21n n a n n n a n -+=≥∈-，则n a =______．14．圆1C ：2223x y x ++=与圆2C ：2241x y y +-=的公共弦长为______．15．抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF △为等边三角形，则p =___________.16．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称.若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为___________.四、解答题17．如图，已知底面为正三角形的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AB ，D 为AB 的中点，E 为CC 1的中点.(1)证明:平面CDC 1⊥平面C 1AB ；(2)求二面角A -BC 1-E 的余弦值.18．双曲线C ：22221x y a b-=过点)(1)求双曲线方程；(2)若双曲线C 与直线l ：1y kx =+相交于两个不同的点A ，B ，M （1，3）为AB 中点，求直线l 方程．19．已知圆M ：222830x y x y ++--=与圆C 的公共弦所在的直线是l ：10x y --=，且圆C 的圆心在x 轴上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线m 与圆C 相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线m 的方程．20．已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，而焦点是双曲线2241x y -=的右顶点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线:2l y x =-与抛物线相交于A 、B 两点，则直线OA 与OB 的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为12．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)的直线l 经过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于A ，B 两点．已知点()3,0P -，求PA PB ⋅的值．22．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =l 过点()0,M b -和(,0)N a ，且坐标原点O 到直线l （1）求||MN 的长；（2）过点(3,0)E 的直线m 与椭圆C 交于A 、B 两点，当AOB 面积大时，求22||||OA OB +的值．参考答案：1．B【分析】根据等差数列的性质得到54a =，计算得到答案.【详解】28528a a a +==，故54a =，1595312a a a a ++==.故选：B 2．D【分析】由根与系数关系有5153a a +=，再根据等差数列下标和性质即可求值.【详解】由题意知5153a a +=，又{}n a 是等差数列，所以3812175152()6a a a a a a +++=+=.故选：D 3．D【详解】如图，设12,,PF m PF n ==有1222222(2)[(2)2](2)116cos 60,,22231sin 60.23PF F m n c a mn c mn mn mn S mn ∆+---======本题选择D 选项.点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．4．A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.5．B【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，从而可求出点P 到直线的距离的最大值和最小值，进而可求出ABP 面积的取值范围.【详解】解：由题意，(2,0)A -，(0,2)B -，则||AB =圆22(2)2x y -+=的圆心坐标为(2,0)圆心(2,0)到直线20x y ++=的距离d ==∴圆22(2)2x y -+=上的点P 到直线20x y ++=，最大距离为ABP ∴ 面积的最小值为122⨯=，最大值为1 6.2⨯=ABP ∴ 面积的取值范围是[2,6].故选：B 6．B【分析】首先设出与2C 共渐近线的双曲线方程，再代入点)，求出λ，从而求出1C 的方程，进而求解.【详解】设双曲线1C ：()220152x y λλλ-=≠≠且，将)4代入可得516752λ-=-=.故双曲线1C ：2211435y x -=，则7c =，则焦距214c =.故选：B 7．D【分析】设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，由||||OP OF OF =='可得PF PF '⊥，可求得8PF '=，由椭圆的定义可求得6a =，利用,,a b c 之间的关系可求得2b ，即可得到答案【详解】如图，设椭圆的右焦点为F '，则F '，连接PF '，因为||||OP OF OF =='，所以PF PF '⊥，所以8PF '===，由椭圆的定义可得2||12a PF PF =+='，则6a =，又因为||c OF ==22222616b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2213616x y +=，故选：D 8．B【分析】点,M N 关于直线2310x y --=对称，则线段MN 中点在直线2310x y --=上，求出中点坐标，MN 与直线2310x y --=垂直，根据中点关系和斜率关系即可求解.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，点,M N 关于直线2310x y --=对称，121232y y x x -=--且线段MN 中点在直线2310x y --=上，纵坐标为23-，所以横坐标为12-，121241,3x x y y +=-+=-，()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上：22112222221616y x b y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，2(6)b <，两式相减得：22221212206y y x x b --+=()()()()1212121226y y y y x x x x b +++-=-()()()()12122121206y y x x x x b y y -++=+-2110443b --+=⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅解得：23b =.故选：B【点睛】此题考查中点弦相关问题，根据点与直线的位置关系，结合点差法求解，若能熟记中点弦公式相关结论，可以大大提升解题速率.9．ABD【分析】A.由两直线互相垂直求解判断；，B.根据直线的两点式方程判断；C.利用直线的倾斜角和斜率求解判断；D 分直线经过原点和不经过原点时求解判断.【详解】A.当210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直时，20a a -=，解得0a =或1a =，故错误；B.过()11,x y ，()22,x y （且1212,x x y y ≠≠）两点的所有直线的方程为112121y y x xy y x x --=--，故错误；C.直线cos 10x y α++=的倾斜角θ，则[]tan sin 1,1θα=-∈-，所以倾斜角θ的取值范围是30,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故正确；D.经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为：当直线经过原点时为0x y -=，当直线不经过原点时，设方程为0x y a +-=，将点()1,2代入得2a =，则直线方程为30x y +-=，故错误；故选：ABD 10．CD【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a 可判断ABC ，对271n S n n =-++配方后，利用二次函数的性质可判断D.【详解】当1n =时，1211717a S ==-++=，当2n ≥时，22171[(1)7(1)1]28n n n a S S n n n n n -=-=-++---+-+=-+，17a =不满足上式，所以7,128,2n n a n n =⎧=⎨-+≥⎩，对于A ，由于17a =，24a =，所以{}n a 不是递增数列，所以A 错误，对于B ，由于17a =，24a =，32a =，所以3221a a a a -≠-，所以{}n a 不是等差数列，所以B 错误，对于C ，由280n -+<，得4n >，所以当4n >时，0n a <，所以C 正确，对于D ，227537124n S n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为*N n ∈，所以当3n =或4时，n S 取得最大值，所以D 正确，故选：CD.11．ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12．AC【分析】以点A 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.【详解】如图以点A 为原点，建立空间直角坐标系，则()()()()()()1112,0,0,2,2,0,0,2,1,2,0,2,0,2,2,2,2,2B C E B D C ，()()110,2,2,2,2,2B C BD =-=-，则110440B C BD ⋅=+-=，所以11B C BD ⊥，故A 正确；()12,2,1B E =--，则111111cos ,2B E B C B E B C B E B C ⋅==，所以1sin 2CB E ∠=，所以点E 到直线1B C的距离为11sin 2B E CB E ∠= ，故B 错误；因为11C D ⊥平面11B C C ，所以()112,0,0D C =即为平面11B C C 的一条法向量，则直线1B E 与平面11B C C 所成的角的正弦值为11111111142cos ,233D C BE D C B E D C B E ⋅===⨯ ，故C 正确；()10,0,2CC =设平面1B CE 的法向量为(),,n x y z =，则有11220220n B C y z n B E x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，可取()1,2,2n = ，则点1C 到平面1B CE 的距离为143CC n n⋅=，故D 错误.故选：AC.13．213n +【分析】利用累乘法求得正确答案.【详解】321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅ ()5721211235213n n n n ++=⋅⋅⋅⋅=≥- ，11a =也符合上式，所以213n n a +=.故答案为：213n +14．5【分析】先求得公共弦的方程，再根据点线距公式和垂径定理求解即可.【详解】解：圆1C 与圆2C 的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即210x y +-=，因为2223x y x ++=变形为()2214x y ++=，即圆1C 的圆心为()1,0-，半径1r 为2，所以，圆心1C 到x ＋2y －1＝0的距离d ==所以，两圆的公共弦长为=.故答案为：5．15．6【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB 的长，根据ABF △为等边三角形，得到关于p 的方程，即可求得答案.【详解】抛物线()220x py p =>的焦点为(0,2p F ，其准线为2p y =-，将2py =-与22133y x -=联立，得221312x p -=，解得x =则||AB =，由于ABF △为等边三角形，故||2AB p =，p =，解得6p =，故答案为：616．2【分析】设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，根据斜率公式结合题意可得：14AP AQ k k ⋅=，再结合2200221x y a b +=，整理可得离心率．【详解】已知(,0)A a -，设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，00AP y k x a ∴=+，00,AQ y k a x =-，故20002200014AP AQy y y k k x a a x a x =⋅=+--①，∵2200221x y a b+=，即2222002()b a x y a -=②，②代入①整理得：2214b a =，c e a ==．故答案为：2．17．(1)证明见解析7【分析】（1）要证平面CDC 1⊥平面C 1AB ，可证AB ⊥平面CDC 1，即证1AB CDAB CC ⊥⎧⎨⊥⎩，进而得证；（2）可采用定义法，取BC 的中点O ，连接AO ，则AO ⊥BC ，作OH ⊥BC 1于点H ，连接AH ，易证∠AHO 为二面角A -BC 1-E 的平面角，由几何关系可求解；也可取BC 的中点O ，连接AO ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴、OB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，求出平面1ABC 和平面1BC E 的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】（1）（1）∵△ABC 为等边三角形，D 是AB 的中点，∴AB ⊥CD .∵CC 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AB .∵CC 1⊂平面CDC 1，CD ⊂平面CDC 1，CC 1∩CD =C ，∴AB ⊥平面CDC 1.∵AB ⊂平面C 1AB ，∴平面CDC 1⊥平面C 1AB ；（2）解法一：取BC 的中点O ，连接AO ，则AO ⊥BC ，作OH ⊥BC 1于点H ，连接AH .∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1=BC ，AO BC ⊥，∴AO ⊥平面BCC 1B 1，又1BC ⊂ 平面11BCC B ，1AO BC ∴⊥，AO OH O ⋂=,AO ⊂平面AOH ，HO ⊂平面AOH ，所以1BC ⊥平面AOH ，又AH ⊂Q 平面AOH ，∴AH ⊥BC 1，AO ⊥OH ，∴∠AHO 为二面角A -BC 1-E 的平面角.设AB =2a ，那么AO，BO =a .∵AA 1=AB ，∴∠C 1BC =45°，∴OH=2BO=2a .在Rt △AOH 中，tan ∠AHO=AOOH=∴cos ∠AHO=7，故二面角A -BC 1-E；解法二：取BC 的中点O ，连接AO ，则AO ⊥B C.又平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1=BC ，∴AO ⊥平面BCC 1B 1.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴、OB 所在直线为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz，易知平面BC 1E 的一个法向量为()1,0,0m =.设AB =2a，则)(),0,0,0,,0A B a .∵AA 1=AB ，∴C 1()0,,2a a -.∴)()1,,0,0,2,2BA a BC a a =-=-.设平面ABC 1的法向量为(),,n x y z =.则100n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220ay ay az -=-=⎪⎩，取yx =1，z∴(n = 为平面ABC 1的一个法向量，∴cos ,m n易知二面角A -BC 1-E 为锐二面角，∴二面角A -BC 1-E.18．(1)2212y x -=；(2)不存在满足题意的直线l .【分析】(1)根据题意，利用点到直线的距离公式求得b =，根据双曲线过点2)列出方程，解之求得21a =，即可求解；(2)设点A 、B 的坐标，利用两点求出直线斜率，根据点差法求出直线的斜率，验证点(1,3)M 不在直线上即可求解.【详解】（1）由题意知，右焦点(c,0)F ，渐近线by x a=，即0bx ay -=，=b =，又双曲线过点2)，则22341a b-=，解得21a =，所以双曲线的方程为2212y x -=；（2）由题意知，直线l 与双曲线C 相交于点A 、B ，且(1,3)M 为AB 的中点，设()()1122,,A x y B x y ，，则121226x x y y +=⎧⎨+=⎩，1212y y k x x -=-，由221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减，得121212122()()()()x x x x y y y y +-=+-，即121212122y y x x x x y y -+=⨯-+，得12233k =⨯=，此时直线l 的方程为213y x =+，但点(1,3)M 不在直线上，所以不存在这样的直线l .19．(1)22650+-+=x y x(2)30x y +-±=或5y x =±【分析】（1）设圆C 的一般式方程，两圆方程相减，即可得出圆C 的方程；（2）设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径得出直线m 的方程．【详解】（1）由已知可设圆C 的方程为：220x y Dx F +++=，…①圆M ：222830x y x y ++--=…②①-②可得：(2)830D x y F -+++=，即为l 的方程，所以有283111D F -+==--，6D ⇒=-，5F ⇒=，所以圆C 的方程为22650+-+=x y x .（2）因为圆心C 的坐标为(3,0)，半径为2，由已知当直线m 不过原点时可设m 的方程为0x y a ++=，因为直线m 与圆C23a =⇒=-±，所以直线m的方程为30x y +-±=.又因为过原点的直线若与圆相切，截距相等且为0，所以又可设直线m 的方程为=y kx2k =⇒=，所以直线m的方程为y =.综上直线m的方程为30x y +-±=或5y x =±20．(1)22y x =(2)是定值，1-【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长及两点连线的斜率公式即可求解.【详解】（1）双曲线2241x y -=化为标准形式：22114x y -=，211,42a a ==，右顶点A 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，设抛物线的方程为22y px =，焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以1p =，所以抛物线C 的方程22y x =；（2）联立222y xy x ⎧=⎨=-⎩，整理得2240y y --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,2,y y y y =-+=，()()()121212121121224122242442OA OB y y y y y y k k x x y y y y y y -∴⋅===+++++++==--⨯，综上，抛物线C 的方程22y x =，OA ，OB 斜率的乘积为-1.21．(1)22143x y +=;(2)12511.【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程，解之即可求出结果;（2）联立直线l 的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以3a c +=．又椭圆的离心率是12，所以12c a =，解得2a =，1c =，从而2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程22143x y +=．（2）因为直线l，且过右焦点()1,0，所以直线l的方程为)1y x =-．联立直线l的方程与椭圆方程221)143y x x y ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2111640x x --=，其中21616110∆=+⨯>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则121611x x +=，12411x x -=．因为()3,0P -，所以()()()()112212123,3,33PA PB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++()()()()121233211x x x x =+++--()1212311x x x x =+++12511=．因此PA PB ⋅ 的值是12511．22．（1）（2）20【分析】（1）首先表示出直线l 的方程，利用点到线的距离公式及离心率公式得到方程组，解出2a 、2b ，即可得到椭圆方程，再根据两点的距离公式计算可得；（2）设直线:3m x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，则1212AOB S OE y y =-= 从而得到212t =，最后根据()()22221122223||3||OA O ty y ty y B =++++++计算可得；【详解】解：（1）因为直线l 过点()0,M b -和(,0)N a ，所以直线l 的方程为0bx ay ab --=，所以坐标原点O 到直线l的距离d =又离心率c e a ==222c a b =-，解得22164a b ⎧=⎨=⎩，即42a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆方程为221164x y +=，MN ==（2）设直线:3m x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2231164x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()224670t y ty ++-=，所以12264ty y t +=-+，12274y y t =-+，所以1212AOBS OE y y =-====124=≤=当且仅当2281716744t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+即212t =时取等号，即()max 4AOB S = ，所以()()222222221122112222|||3|3OA O y B x y x y ty y t y =++++++=+++()()()22212121618t y y t y y =+++++()2222267612618444t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--⨯-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2222222211363636143611422118118201144214444222t t t t t t ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⨯⨯⎛⎫⎢⎥⎢⎥=++-+=++-+= ⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎛⎫+++⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦。
2022-2023学年四川省广安市校高二年级上册学期第三次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省广安市校高二上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知直线l 过()1,1A -、()1,3B -两点,则直线l 的倾斜角的大小为（ ） A ．不存在 B ．π3C ．π2D ．3π4【答案】C【分析】根据两点,求出l 的直线方程,进而可求倾斜角大小. 【详解】解:由题知直线l 过()1,1A -、()1,3B -两点, 所以直线l 的方程为=1x -,故倾斜角为π2.故选:C2．在空间直角坐标系中，已知点()()4,3,5,2,1,7A B ---，则线段AB 的中点坐标是（ ） A ．()2,2,2-- B ．()1,1,1-- C ．()1,1,1 D ．()2,2,2【答案】B【分析】利用中点坐标公式即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中， 点()4,3,5-A ，()2,1,7--B ，则线段AB 的中点坐标是243157,,222---⎛⎫⎪⎝⎭ ，即()1,11--. 故选：B. 3．已知数据12,,,n x x x 是某市*(3,)n n n N ≥∈个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变；B ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变.【答案】B【分析】根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn +1后，数据的变化特征，易得年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，方差会变大．【详解】因为数据x 1，x 2，x 3，…，xn 是普通职工n （n ≥3，n ∈N *）个人的年收入， 而xn +1为世界首富的年收入则xn +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，xn ， 故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大， 中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到xn +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大. 故选：B ．4．如图是一个程序框图，若输入的a ，b 分别为8，4，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】8,4a b ==，当1n =时，8412,8a b =+==； 当2n =时，12618,16a b =+==； 当3n =时，18927,32a b =+==， 此时a b <，满足条件，所以输出的n 等于3， 故选：B.5．与圆22:(2)(2)1C x y ++-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)1x y +++= C ．22(1)(1)1x y -+-= D ．22(1)(1)1x y ++-=【答案】A【分析】设所求圆的圆心坐标为(,)a b ，列出方程组，求得圆心(2,2)C -关于10x y -+=的对称点，即可求解所求圆的方程.【详解】由题意，圆22:(2)(2)1C x y ++-=的圆心坐标(2,2)C -， 设所求圆的圆心坐标为(,)a b ，则圆心(2,2)C -关于10x y -+=的对称点， 满足2112221022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得1,1a b ==-，即所求圆的圆心坐标为(1,1)C '-，且半径与圆C 相等， 所以所求圆的方程为22(1)(1)1x y -++=，故选A.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．已知两个变量x 和y 之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组x ，y 的样本数据如下表所示：根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是（ ）A ．0.210.53y x =+ B ．0.250.21y x =+C ．0.280.16y x =+D ．0.310.11y x =+【答案】C【分析】求出x ，y ，由回归直线必过样本中心，将点（x ，y ）依次代入各项检验是否成立可得结果.【详解】∵1(12345)35x =⨯++++=，1(0.50.61 1.4 1.5)15y =⨯++++=∴回归直线必过样本中心（3,1），而A 、B 、D 项中的回归直线方程不过点（3,1），C 项的回归直线方程过点（3,1）， 故选：C.7．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可. 【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-， 从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 21a +. 故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．下列叙述中正确的是（ ）.A ．若a 、b 、R c ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”B ．集合{}20,x ax bx c x R ++=∈的元素个数有两种可能性C ．陈述句“1x =或2y >”的否定是“1x ≠且2y ≤”D ．若a 、b 、R c ∈，则“不等式20ax bx c ++≥对一切实数x 都成立”的充分条件是“240b ac -≤” 【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断A 选项的正误；利用方程根的个数可判断B 选项的正误；利用陈述句的否定可判断C 选项的正误；取1a =-，2b =-，3c =-可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，充分性：若22ab cb >，则20b >，由不等式的性质可得a c >，必要 性成立， 必要性：若a c >且0b =，则22ab cb =，充分性不成立. 所以，“22ab cb >”的充要条件为“a c >”错误，A 错；对于B 选项，若0a ≠，方程20ax bx c ++=的根的个数可能为0、1、2， 若0a =，方程0bx c +=的根的个数可能为0、1，故集合{}20,x ax bx c x R ++=∈的元素个数有三种可能性，B 错；对于C 选项，陈述句“1x =或2y >”的否定是“1x ≠且2y ≤”，C 对； 对于D 选项，若240b ac -≤，不妨取1a =-，2b =-，3c =-，则()22223140ax bx c x x x ++=---=-+-<对一切实数x 恒成立，D 错.故选：C.9．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a ==所以答案选C.【解析】椭圆的简单几何性质.10．已知O 为坐标原点，1,F 2F 分别是双曲线22143x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点（不同于双曲线的顶点）．在线段2PF 上取一点Q ，使1PQ PF =，作12F PF ∠的平分线，交线段1F Q 于点M ，则||OM =（ ） A ．12B ．2C ．4D ．1【答案】B【解析】由等腰三角形三线合一可知点M 为1F Q 的中点，利用双曲线的定理可知2QF ，再在12QF F 中，由中位线定理可知212OM QF =，即可求得答案.【详解】在双曲线22143x y -=中，2a =因为1PQ PF =，作12F PF ∠的平分线，交线段1F Q 于点M ， 由等腰三角形三线合一可知点M 为1F Q 的中点因为点P 为双曲线左支上一点，所以212PF PF a -=，即2224PF PQ QF a -===又因为点O 为12F F 的中点，那么在12QF F 中，由中位线定理可知2122OM QF ==故选：B【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形问题，多利用双曲线定义构建方程求得长度，属于较难题. 11．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，在边CD 上随机取一点P ，则使APB △的最大边是AB 的概率是（ ） A ．474- B ．74C ．378D ．722- 【答案】D【分析】由对称性知当4BE AF AB ===时，E 、F 是P 的临界位置，再根据几何概型的公式计算即可．【详解】解：由图形的对称性和题意知，当4BE AF ==，即()2242443274EF =---=-，点P 应在E ，F 之间时，APB △的最大边是AB ． 由几何概型可知，在边CD 上随机取一点P ， 则使APB △的最大边是AB 的概率为 722EF p CD -==， 故选：D ．12．设拋物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于,P Q 两点，且2π3PFQ ∠=，线段PQ 的中点A 到拋物线C 的准线的距离为d ，则2PQ d ⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．3B ．33C ．3D ．13【答案】C【分析】设出线段,FP FQ 的长度，用余弦定理求得PQ 的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而2PQ d ⎛⎫⎪⎝⎭转化为,m n 的关系式，再结合不等式即可求得其最小值.【详解】设PF m =，QF n =，过点P ，Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P '，Q '，如下所示：则PP m '=，QQ n '=，因为点A 为线段PQ 的中点，根据梯形中位线定理可得，点A 到抛物线C 的准线的距离为22PP QQ m nd '++='=， 因为2π3PFQ ∠=，所以在PFQ △中，由余弦定理得222222π2cos3PQ m n mn m n mn =+-=++， 所以()()()()()2222222224441m n mn m n mn PQ PQmn d d m n m n m n ⎡⎤+-⎡⎤+⎥=+⎛⎫⎣⎦===-⎢⎥⎪+++⎢⎝⎭⎣⎦， 又因为()24m n mn +≥，所以()214mnm n ≤+，当且仅当m n =时，等号成立，（,m n 显然存在）， 所以214134PQ d ⎛⎫⎛⎫≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为3. 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用。
江西省上高二中2014-2015学年高二上学期第三次月考试题 数学理 Word版含答案
2016届高二年级第三次月考数学试卷（理）张建平一、选择题（10×5=50分）1．设,[0,)a b ∈+∞，A B =A 、B 的大小关系是（ ） A ．A B ≤B ．A B ≥C ．A B <D ．A B >2．若PQ 是圆229x y +=的弦，PQ 中点是(1,2)，则直线PQ 方程是（ ） A ．230x y +-= B ．250x y +-= C ．240x y -+= D ．20y x -= 3．命题“0,1x R x ∃∈>”否定是（ ）A ．,1x R x ∀∈>B ．00,1x R x ∃∈≤C ．,1x R x ∀∈≤D ．00,1x R x ∃∈<4．抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线22154y x -=的一个焦点重合，则抛物线的标准方程可能是（ ） A ．24x y =B ．24x y =-C ．212y x =-D ．212x y =-5．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 面α，直线bβ且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．知椭圆22221()x b a b c a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若3AP PB =，则椭圆离心率是（ ）A B C ．13D ．127．椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为M 、N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率为14-，则直线PM 斜率为（ ） A ．13B ．3C ．13-D ．3-8．知,αβ是二个不同的平面，,m n 是二条不同直线，给出下列命题： ①若,m n m α⊥，则n α⊥；②若,m n ααβ⋂=，则m n ；③若,m m αβ⊥⊥，则αβ；④若,m m α⊥β，则αβ⊥，真命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．某四面体的三视图如图所示，该四面体的四个面的面积中最大的是（ ）A 11A ．8B ．C ．10D ．10．从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点P ，T为切点，M 为线段PF 的中点，O 为原点，则||||MOMT -=（ ）ABCD 二、填空题（5×5=25分）11．知第一象限的点(,)a b 在直线2310x y +-=上，则23a b+的最小值为 . 12．双曲线C 的渐近线方程为430x y ±=，一条准线方程为165y =，则双曲线方程为 .13．如图，O 为正方体AC 1的底面ABCD 的中心，异面直线B 1O 与A 1C 1所成角的大小为.14．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若M 为EF 中点，则双曲线的离心率e = .15．在正方体上任取四个顶点，它们可能是如下各种几何图形的四个顶点，这些图形序号是 .①矩形；②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体。
江西省上高二中2021届高三上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案
上高二中2021届高三数学（理科）第三次月考试卷1．已知全集U =R ，集合{}220M x N x x =∈-≤，{}21xA y y ==+，则()U M C A ⋂=（ ）A ．{}1B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}01x x ≤≤2. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若c>b>a>0，则( ) A. log a c>log b c lnc －c a >b －cbD. a b b c >a c b b 4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是( )A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5．已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<6.已知()31ln1x f x x ++=--，则函数()f x 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.7.下列命题中正确的共有（ ）个①. (0,),23x xx ∃∈+∞> ②. 23(0,1),log log x x x ∃∈<③. 131(0,),()log 2x x x ∀∈+∞> ④.1311(0,),()log 32x xx ∀∈< A ．1B. 2C. 38.已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （-x ）= -f （x+4），当x>2时，f （x ）单调递增，如果x 1+x 2<4且（x 1-2）（x 2-2）<0，则f （x 1）+f （x 2）的值（ ）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负9.已知x ，y ∈R ，且满足020(0)2y ax y ax a x -≥⎧⎪-≤>⎨⎪≤⎩，若由不等式组确定的可行域的面积为1，则目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为( ) A.32B.2C.3 10.已知函数f(x)＝1＋log a (x －2)(a>0，a ≠1)的图象经过定点A(m ，n)，若正数x ，y 满足1m nx y+=，则2xx y y++的最小值是( ) B.10 C.5＋11.已知函数y ＝f(x)在R 上可导且f(0)＝2，其导函数f'(x)满足()()2f x f x x '-->0，对于函数g(x)＝()xf x e ，下列结论错误．．的是( ) A.函数g(x)在(2，＋∞)上为单调递增函数 是函数g(x)的极小值点 ≤0时，不等式f(x)≤2e x 恒成立 D.函数g(x)至多有两个零点12．若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 71828.2=e 为自然对数的底数,则3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．eB ．2eC ．()42m m +D ．()41m m +13．已知2'()2(2)f x x xf =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14．奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________.15．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是_______.16.已知实数x ，y 满足y ≥2x>0，则92y xx x y++的最小值为 。
2022-2023学年江苏省连云港市海头高二年级上册学期第三次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省连云港市海头高级中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．过两点()2,4-和()41-,的直线在y 轴上的截距为（ ） A ．145B ．145-C ．73D ．73-【答案】C【分析】求出直线方程，令x ＝0，即可求出纵截距. 【详解】由题可知直线方程为：()()411424y x --+=⋅---，即()5416y x =---， 令x =0，则73y =，故直线在y 轴上的截距为73.故选：C.2．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为 A ．41.1 B ．51.1C ．610(1.11)⨯-D ．511(1.11)⨯-【答案】D【分析】利用等比数列的求和公式即得.【详解】依题意可得，从今年起到第五年这个厂的总产值为；52551(110%)[1(110%)]1(110%)1(110%)1(110%)11(1.11)1(110%)⋅+-+⋅++⋅+++⋅+==⨯--+.故选：D3．若双曲线经过点()，且它的两条渐近线方程是3y x =±，则双曲线的方程是（ ）．A ．2219y x -=B ．2219x y -=C ．221273y x -=D ．221273x y -=【答案】A【分析】由渐近线方程可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，再由点在双曲线上，将点代入求参数m ，即可得双曲线方程.【详解】由题设，可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，又()在双曲线上，所以36319m =-=-，则双曲线的方程是2219y x -=. 故选：A4．过圆x 2+y 2＝5上一点M （1，﹣2）作圆的切线l ，则l 的方程是（ ） A ．x +2y ﹣3＝0 B ．x ﹣2y ﹣5＝0 C ．2x ﹣y ﹣5＝0 D ．2x +y ﹣5＝0【答案】B【分析】本题先根据圆的切线的几何意义建立方程求切线的斜率，再求切线方程即可. 【详解】解：由题意：点M （1，﹣2）为切点，则1OM l k k ⋅=-，20210OM k --==--， 解得：12l k =， ∴l 的方程：1(2)(1)2y x --=-，整理得：250x y --=， 故选：B.【点睛】本题考查圆的切线的几何意义，点斜式直线方程，两线垂直其斜率相乘等于1-，是基础题. 5．已知函数()2ln af x x x x=-+在定义域内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．(),1∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】D【分析】由题意转化为()0f x '≤，0x >恒成立，参变分离后转化为()2max2a x x≥-+，求函数()()22,0g x x x x =-+>的最大值，即可求解.【详解】函数的定义域是()0,∞+， ()222221a x x af x x x x-+-'=--=， 若函数()f x 在定义域内单调递减，即220x x a -+-≤在()0,∞+恒成立，所以22a x x ≥-+，0x >恒成立，即()2max2a x x≥-+设()()22211g x x x x =-+=--+，0x >， 当1x =时，函数()g x 取得最大值1，所以1a ≥. 故选：D6．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（ ） A ．6766升 B ．176升 C ．10933升 D ．1336升【答案】A【分析】设此等差数列为{}n a ，利用方程思想求出1a 和d ，再利用通项公式进行求解． 【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{}n a ， 设其首项为1a ，公差为d ，由题意可得123478934a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩，所以114633214a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113=227=66a d ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以511376744226666a a d =+=+⨯=， 即第5节竹子的容积为6766升． 故选：A ．7．在平面直角坐标系xOy 中，线段AB 的两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，若圆22:(4)(3)1C x y -+-=上存在点M 是线段AB 的中点，则线段AB 长度的最小值为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C【分析】首先求点M 的轨迹，将问题转化为两圆有交点，即根据两圆的位置关系，求参数t 的取值范围.【详解】设AB t =，()0t >，AB 的中点为M ，则1122OM AB t ==， 故点M 的轨迹是以原点为圆心，12t 为半径的圆，问题转化为圆:M 22214x y t +=与圆()()22:431C x y -+-=有交点，所以111122t MC t -≤≤+，5MC =，即11521152t t ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得：812t ≤≤，所以线段AB 长度的最小值为8. 故选：C8．设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()2()xf x f x '>，则不等式24(2022)(2022)(2)0f x x f ---<的解集为（ ）A ．(0,2023)B ．(2022,2024)C ．2022(,)+∞D ．(,2023)-∞【答案】B【分析】构造函数2()()f x g x x =，根据()2()xf x f x '>得到2()()f x g x x =的单调性，在变形不等式由单调性求解即可.【详解】由题知，函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()2()xf x f x '>，即()2()0xf x f x '->， 设2()()f x g x x =， 所以243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， 因为24(2022)(2022)(2)0f x x f ---<， 所以22(2022)(2)(2022)2f x f x -<-，所以2022020222x x ->⎧⎨-<⎩，解得20222024x <<，所以不等式24(2022)(2022)(2)0f x x f ---<的解集为(2022,2024)， 故选：B二、多选题9．若在1和256中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2 B ．－2C ．4D ．－4【答案】CD【分析】由等比数列的性质，即可求解.【详解】由条件可知，11a =，5256a =，所以4256q =，解得：4q =±. 故选：CD10．若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（ ） A ．3x = B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【答案】AC【分析】由弦长公式得出圆心到直线距离，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，根据距离公式得出所求方程.【详解】圆的标准方程为：()()22415x y -+-=，由题意圆心到直线l的距离1d == ①当直线的斜率不存在时，直线方程为3x =，圆心到直线的距离1d =，符合题意， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为()13y k x +=-，即130kx y k ---=，圆心到直线的距离为1d ==，解得34k =，则直线方程为34130x y --=， 综上，直线 l 的方程为3x =或34130x y --=． 故选：AC ．11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则 1r =- 【答案】AC【解析】利用等比数列的定义可判断A 选项的正误；利用等比中项的性质可判断B 选项的正误；分10a <和10a >两种情况讨论，求得对应的q 的取值范围，结合数列单调性的定义可判断C 选项的正误；求得1a 、2a 、3a ，由2213a a a =求得r 的值，可判断D 选项的正误.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，且1n na q a +=. 对于A 选项，222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，数列{}2n a 是等比数列，A 选项正确； 对于B 选项，由等比中项的性质可得253764a a a ==，又因为2530a q a =>，则5a 与3a 同为正数，则58a =，B 选项错误；对于C 选项，若10a <，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q <⎧⎨<⎩，解得01q <<，则110n n a a q -=<，11n na q a +=<，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列； 若10a >，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q >⎧⎨>⎩，解得1q >，则110n n a a q -=>，11n na q a +=>，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列. 综上所述，C 选项正确；对于D 选项，111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=， 由于数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =，即()2612r +=，解得13r =-，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义、等比中项的性质以及等比求和相关命题正误的判断，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 12．已知函数()2ln f x x x=+，则下列判断正确的是（ ） A ．存在()0x ∈+∞，，使得()0f x < B ．函数()y f x x =-有且只有一个零点 C ．存在正数k ，使得()0f x kx ->恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系分析函数的单调性及最值可检验选项A ； 求得()y f x x =-的导数可得单调性, 计算1,2x x ==的函数值，可判断选项B ；由参数分离和构造函数求得导数判断单调性，可判断选项C ；构造函数()(2)(2)g t f t f t =+--，结合导数分析()g t 的性质，结合已知可分析12x x +的范围即可判断选项D. 【详解】22122()x f x x x x-'=-=，易得， 当02x << 时，()0f x '<，函数单调递减， 当 2x > 时，()0f x '>，函数单调递增，故函数在2x =处取得极小值也是最小值(2)1ln 20f =+>， 不存在,()0x ∈+∞，使得()0f x <, 故选项A 错误；()y f x x =-的导数为22222191222410x x x y x x x x ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭'=--==-<恒成立, 所以 ()y f x x =-递减，且(1)110f -=>，(2)21ln 22ln 210f -=+-=-<，可得 ()y f x x =- 有且只有一个零点，介于(1,2), 故选项B 正确；()f x kx > 等价为 2ln 0x kx x+-> ，设()2ln e h x x x =>，则()10h x x '=， 故()h x 在()2e ,+∞上为减函数，故()2lne e 2e 0h x <-=-<，故2ln e x x <>，故当22max e ,x ⎧⎫⎪⎪>⎨⎬⎝⎭⎪⎪⎩⎭，2ln 20x kx kx x +-<-<，所以()k g x <不恒成立，故选项C 错误； 设(0,2)t ∈，则2(0,2),2(2,4)t t -∈+∈， 令22242()(2)(2)ln(2)ln(2)ln 2242t t g t f t f t t t t t t t+=+--=+--+-=++---， 则 ()()222222241648()0444t t g t t t t --'=+=-<---， 故()g t 在(0,2)上单调递减，()(0)0g t g <=，不妨设12x t =-，因为()()12f x f x =，所以22x t >+， 则12224x x t t +>-++=，故选项D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查导数的运用，求单调性和极值、最值，以及函数的零点和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题.三、填空题13．已知()tan f x x =，则=3f π⎛⎫⎪⎝⎭'______．【答案】4【详解】试题分析：因为()tan f x x =，所以2222sin cos sin 1'()(tan )'()'cos cos cos x x x f x x x x x+====，所以21'()43cos 3f ππ== 【解析】1．导数的运算；14．两条平行直线433x y ++＝0与869x y +-＝0的距离是________. 【答案】32【解析】将直线869x y +-＝0化为94302x y +-=，再根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】可将直线869x y +-＝0化为94302x y +-=， 所以两条平行直线间的距离为229323243⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+. 故答案为：32.【点睛】本题考查平行线间距离公式，属于基础题.15．已知圆221O x y +=：，圆()()2241M x a y a -+-+=：.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为,A B ，使得60APB ∠=︒，则实数a 的取值范围为________. 【答案】222,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP 的距离，再由题意得到关于a 的不等式求得答案.【详解】解：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ， 过点P 作圆O 的两条切线，切点为,A B ，使得60APB ∠=︒， 则30APO ∠=︒，在Rt PAO ∆中，=2PO ， 又圆M 的半径等于1，圆心坐标(),4M a a -，min 1PO MO ∴=-，max 1PO MO =+，()224MO a a =++，∴由()()222241241a a a a ++-≤≤+++，解得：222222a -≤≤+. 故答案为：222,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键.16．已知函数2(1)e 1,0()2,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，（e 是自然对数的底数），若函数()()10f f x a -+=有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】()0,1【分析】利用导函数画出()f x 的图像，由图像可得当(())1f f x a -=-时，()1f x a 或1-，再利用图像求()1f x a =±有四个交点时a 的范围即可.【详解】令()(1)e 1(0)x g x x x =+-≤得()(2)e x g x x '=+， 所以()g x 在(,2)-∞-单调递减，在(2,0]-单调递增， 且当x →-∞时()1g x <-，2(2)e 11g --=--<-，(1)1g -=-， 所以()f x 图像如图所示：由图像可得令()1f t =-解得1t =或1-， 令()f x k =，由图像可得当0k >时，有一个解；当0k =时，有两个解；当10k -<<时有三个解；当1k =-时有两个解；当2e 11k ---<<-时有两个解；当2e k -=-时有一个解；当2e k -<-时，无解； 所以当()f x t a =+有四个不同的解时，(0,1)a ∈， 故答案为：()0,1四、解答题17．已知函数32()f x x ax =-，a ∈R ，且(1)3f '=．求： (1)a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)函数()f x 在区间[]0,2上的最大值． 【答案】(1)320x y --= (2)8【分析】（1）由题意，求出a 的值，然后根据导数的几何意义即可求解；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数()f x 在区间[0,2]上的单调性，从而即可求解. 【详解】（1）由题意，2()32f x x ax '=-， 因为()13f '=，所以23123a ⨯-=，解得0a =， 所以3()f x x =，2()3f x x '=， 因为(1)1f =，(1)3f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()131y x -=-，即320x y --=； （2）因为2()30f x x '=≥，且[0,2]x ∈， 所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以max ()(2)8f x f ==，即函数()f x 在区间[0,2]上的最大值为8.18．在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+.（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）2(1)nn +.【分析】（1）由21(1)22n n na n a n n +-+=+，两边同除以n （n +1）可得：121n n a a n n +-=+，且141a=，即可证得． （2）由（1）可得：22na n n =+，可得1111()21na n n =-+，再利用裂项求和方法即可得出． 【详解】（1）在数列{}n a 中，满足21(1)22n n na n a n n +-+=+，同时两边除以(1)n n +，得121n n a a n n +-=+，且141a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，以2为公差的等差数列. （2）由（1）得，()4+2122n a n n n=-=+，所以222n a n n =+，故2111(1)111()222(1)21n n n a n n n n n n +-===-+++， 所以111111[(1)()()]22231n S n n =-+-+⋯+-+1111111[(1)()]223231n n =+++⋯+-++⋯++11(1)212(1)n n n =-=++. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．已知圆F : 22(3)1x y ++=，直线:2,l x =动圆M 与直线l 相切且与圆F 外切.(1)记圆心M 的轨迹为曲线C ， 求曲线C 的方程；(2)若直线260x y -+=与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的长.【答案】(1)212y x =-(2)15【分析】（1）设(,)M x y ，用坐标表示题设条件化简可得；（2）设交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线方程与曲线C 方程联立消元，应用韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式求得弦长．【详解】（1）设(,)M x y ，显然点M 在直线2x =左侧，22x x -=-，12x =+-123x x =+-=-，平方整理得212y x =-，所以M 的轨迹方程是212y x =-；（2）联立方程组212260y x x y ⎧=-⎨-+=⎩，化简得，++=2x 9x 90， 设直线260x y -+=与曲线C 相交于A ，B 两点，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则129x x +=-，129x x ⋅=，15AB .20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为78,13,64n S a S ==.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =-(2)13(1)3n n T n +=+-⋅【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列方程组，求解1,a d ，即可得通项公式；（2）利用错位相减法代入计算{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）因为数列{}n a 为等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，所以1116131828642a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，所以数列{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-； （2）由（1）得(21)3n n b n =-，∴121333(21)3n n T n =⨯+⨯++-⋅，23131333(21)3n n T n +=⨯+⨯++-⋅.∴1212132323(21)3n n n T n +-=⨯+⨯++⨯--⋅()12123333(21)3n n n +=+++---⋅162(1)3n n +=---⋅.∴13(1)3n n T n +=+-⋅21．淮北市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前淮北市的空气质量位列全省前列，吸引了大量的外地游客。
2023-2024学年河南省信阳高二上学期月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省信阳高二上册月考数学模拟试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 中61a =，则111a a +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质计算，即可得答案.【详解】由题意等差数列{}n a 中61a =，可得111622a a a +==，故选：B2．已知直线l 的方向向量()2,3,1a =-，平面α的一个法向量为()4,0,8e =r ，则直线l 与平面α的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．在平面内D ．平行或在平面内【正确答案】D【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，即可求解.【详解】根据题意，因为0a e ⋅= ，所以a e ⊥，所以直线l 与平面α的位置关系是平行或在平面内．故选：D.3．若直线1l ：310ax y ++=与2l ：()2110x a y +++=互相平行，则a 的值是（）A ．3-B ．2C ．3-或2D ．3或2-【正确答案】A【分析】根据直线1l ：310ax y ++=与2l ：()2110x a y +++=互相平行，由()123a a +=⨯求解.【详解】因为直线1l ：310ax y ++=与2l ：()2110x a y +++=互相平行，所以()123a a +=⨯，即260+-=a a ，解得3a =-或2a =，当3a =-时，直线1l ：3310x y -+=，2l ：2210x y -+=，互相平行；当2a =时，直线1l ：2310x y ++=，2l ：2310x y ++=，重合；所以3a =-，故选：A4．已知过点()2,1P 有且仅有一条直线与圆222:2210x y ax ay a a +++++-=相切，则=a （）A ．-1B ．-2C ．1或2D ．-1或-2【正确答案】A由2222210x y ax ay a a +++++-=为圆的方程可得222(2)4(21)0a a a a +-+->，又过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则点(2,1)P 在圆上，联立即可得解.【详解】解：过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则点(2,1)P 在圆上，则222214210a a a a ++++-=+，解得2a =-或1a =-，又2222210x y ax ay a a +++++-=为圆的方程，则222(2)4(21)0a a a a +-+->，即223a -<<，即1a =-，故选：A5．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±【正确答案】C【详解】2c e a ==，故2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.6．下列说法正确的是（）A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．方程()20R x my m +-=∈不能表示平行y 轴的直线C ．经过点()1,1P ，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D ．经过两点()111,P x y ，()()22212,P x y x x ≠的直线方程为()211121y y y y x x x x --=--【正确答案】D【分析】根据点斜式不能表示斜率不存在的直线判断A 选项；特殊值的思路，当0m =时直线与y 轴平行，即可判断B 选项；根据正切函数的定义域即可判断C 选项；根据斜率公式和点斜式即可判断D 选项.【详解】A 选项：当斜率不存在时，直线方程不能用()00y y k x x -=-表示，故A 错；B 选项：当0m =时，直线方程为2x =，跟y 轴平行，故B 错；C 选项：当90θ=︒时，tan θ不存在，故C 错；D 选项：经过1P ，2P 两点时，直线斜率为2121y y k x x -=-，再根据点斜式得到直线方程为()211121y y y y x x x x --=--，故D 正确.故选：D.7．在三棱锥S ABC -中，SA 、SB 、SC 两两垂直且2SA SB SC ===，点M 为S ABC -的外接球上任意一点，则MA MB ⋅的最大值为（）A ．4B ．2C．D．2【正确答案】D【分析】将三棱锥S ABC -补成正方体，计算出正方体的体对角线长，即为三棱锥S ABC -的外接球直径长，设线段AB 的中点为E ，利用点M 、球心、点E 三点共线且球心在线段EM 上时，ME 最长可求得ME 的最大值，由此可得出MA MB ⋅的最大值.【详解】因为三棱锥S ABC -中，SA 、SB 、SC 两两垂直且2SA SB SC ===，将三棱锥S ABC -补成正方体SADB CPQR -，设三棱锥S ABC -的外接球半径为R ，球心为O ，则2R ==R ∴，取AB 的中点E ，连接OE 、MO ，SA SB ⊥ ，则AB 为SAB △的外接圆的一条直径，则E 为SAB △的外接圆圆心，所以，OE ⊥平面SAB ，AB ⊂ 平面SAB ，OE AB ∴⊥，122AE AB SA === ，1OE ∴==，由球的几何性质可知，当M 、O 、E 三点共线且点O 在线段ME 上时，ME取得最大值，且max 1ME MO OE =+= .MA ME EA =+ ，MB ME EB ME EA =+=-，所以，()())22222122MA MB ME EA ME EA ME EA ME ⋅=+⋅-=-=-+-=+ .当且仅当1ME =时，等号成立.因此，MA MB ⋅的最大值为2.故选：D.方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且10a >，500S =.设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，则当数列{}n b 的前n 项和n T 取得最大值时,n 的值为A ．23B ．25C ．23或24D ．23或25【正确答案】D【分析】先依据条件知等差数列{}n a 的前25项为正数，从第26项起各项都为负数，所以可以判断{}n b 的前23项为正数，24b 为负数，25b 为正数，从第27项起各项都为负数，而24250b b +=，故{}n b 的前n 项和n T 取得最大值时，n 的值为23或25．【详解】1500,0a S >= ，等差数列{}n a 的公差0d <，且()()150502526502502a a S a a +==+=则25260,0a a ><，且2526a a =，由()12n n n n b a a a n N +++=∈，知{}n b 的前23项为正数，24b 为负数，25b 为正数，从第27项起各项都为负数，而24b 与25b 是绝对值相等，符号相反，相加为零，2325T T ∴=，之后n T 越来越小，所以数列{}n b 的前n 项和n T 取得最大值时,n 的值为23,25，故选D.本题主要考查等差数列的性质以及求数列前n 项和取最值的判断方法．二、多选题9．如图，设直线l ，m ，n 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则（）A ．23k k >B ．21k k <C ．23k k <D ．21k k >【正确答案】BCD【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角，再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小，得出答案.【详解】由图可知直线l ，m ，n 的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角，所以1230,0,0k k k ><<又直线m 最陡峭，则32k k >，121k k k >=所以21k k <，23k k <，21k k >．故选项BCD 正确.故选：BCD10．在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（）A ．若点P 总满足PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B ．若点P 到点A 2P 的轨迹是一个周长为2π的圆C ．若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D ．若点P 到平面11BAA B 与到直线CD 的距离相等，则动点P 的轨迹抛物线.【正确答案】ABD【分析】根据线面垂直的判定定理可得BD ⊥面11ACC A ，可得PA ⊂面11ACC A ，进而可得P 在面11ACC A 与面11BCC B 的交线上可判断A ；由已知可得动点P 的轨迹是以B 为圆心，1为半径的小圆（在平面11BCC B 内），可判断B ；由1PB PC BC +==可判断C ；根据点到平面的距离以及点到直线的距离结合抛物线的定义可判断D ；进而可得正确选项.【详解】对于A ：因为1CC ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，可得1CC BD ⊥，因为AC BD ⊥，1AC CC C = ，所以BD ⊥面11ACC A ，因为点P 总满足PA BD ⊥，所以PA ⊂面11ACC A ，点P ∈面11ACC A ，因为P ∈面11BCC B ，所以点P 在面11ACC A 与面11BCC B 的交线上，所以动点P 的轨迹是一条直线1CC ，故选项A 正确；对于B ：点P 的轨迹是以A 2的球面与平面11BCC B 的交线，即点P 的轨迹是小圆，设小圆的半径为r ，因为球心A 到平面11BCC B 的距离为1AB =，所以()2211r =-，交线即以B为圆心，1为半径的小圆（在平面11BCC B 内），所以小圆的周长为2π2πr =，故选项B 正确；对于C ：点P 到直线AB 的距离即是点P 到点B 的距离，即平面11BCC B 内点P 满足1PB PC BC +==，所以满足条件的点P 的轨迹是线段BC ，而不是椭圆，故选项C 不正确；对于D ：点P 到平面11BAA B 与到直线CD 的距离相等，则动点P 的轨迹是以线段BC 的中点为顶点，直线BC 为对称轴的抛物线，（在平面11BCC B 内），故选项D 正确；故选：ABD.11．已知数列{}n a 满足110a =，52a =，且()*2120n n n a a a n N ++-+=∈，则下列结论正确的是（）A ．122n a n =-B ．n a 的最小值为0C ．21231160n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=-+D ．当且仅当5n =时，123n a a a a +++⋅⋅⋅+取最大值30【正确答案】AB【分析】由递推式可知数列{}n a 是等差数列，由110a =，52a =，可求得公差d ，从而可得数列{}n a 的通项公式，即可判断选项A ；当6n =时，0n a =，可判断B ；当5n 时，0n a >，当6n 时，0n a ，从而可求得123||||||||n a a a a +++⋯+，即可判断选项C ；当6n =时，||n a 取得最小值为0，即可判断选项D ．【详解】由2120n n n a a a ++-+=，可得211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列，因为110a =，52a =，所以公差51251a a d -==--，所以()()111021122n a a n d n n =+-=--=-，故A 正确；122n a n =-，当6n =时，n a 取得最小值为0，故B 正确；当6n =时，0n a =，所以当5n <时，0n a >，当6n >时，0n a <，所以当5n <时，()212312310122112n n n n a a a a a a a a n n+-+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+==-，当6n ≥时，1231256n na a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-()()()2212312552211601160n n a a a a a a a S S n n n n =-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=-+=--+=-+，所以2123211,51160,6n n n n a a a a n n n ⎧-<+++⋅⋅⋅+=⎨-+≥⎩，故C 错误；当5n =或6n =时，123n a a a a +++⋅⋅⋅+取最大值30，故D 错误.故选：AB12．已知F 为椭圆C ：221168x y +=的左焦点，直线l ：=y kx ()0k ≠与椭圆C 交于A ，B 两点，AE x⊥轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（）A ．8AF BF +=B ．14AF BF+的最小值为2C ．直线BE 的斜率为12kD ．PAB ∠为钝角【正确答案】AC【分析】对于A ，利用椭圆与=y kx 的对称性可证得四边形AF BF '为平行四边形，进而得到8AF BF +=；对于B ，利用A 中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到14AF BF+的最小值；对于C ，由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到12BE k k =；对于D ，先由各点坐标结合椭圆方程可得到12PA PB k k =-⋅，从而可证得1PA AB k k ⋅=-，由此可知90PAB ∠=︒.【详解】由椭圆C ：221168x y +=得2216,8a b ==，则=4,a b 28c =，c =对于A ，设将圆C 的右焦点为F '，如图，连接AF '，BF '，由椭圆与=y kx 的对称性可知,AO BO OF OF '==，则四边形AF BF '为平行四边形，故28AF BF AF AF a '+=+==，故A 正确；.对于B ，()4141141588BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19588⎛⎫ ⎪≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4BF AF AF BF =，且8AF BF +=，即1623BF AF ==时，等号成立，故14AF BF +的最小值为98，故B 错误；对于C ，设()00,A x y ，()00,B x y --，()0,0E x ，故直线BE 的斜率0000001122BE y y k k x x x +==⋅=+，故C 正确；对于D ，设(),P m n ，直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，则2200022000PA PBn y n y n y k k m x m x m x -+-=-=⋅+-⋅，又点P 和点A 在椭圆C 上，故221168m n +=，22001168x y +=，两式相减得2220020168m x y n -+-=，则22022012n y m x -=--，故12PA PB k k =-⋅，易知12PB BE k k k ==，则1122PA k k ⋅=-，得1PA k k=-，所以11PA AB k k k k ⎛⎫⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭，故90PAB ∠=︒，故D 错误.故选：AC ．三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，则其通项公式n a =______．【正确答案】*2,143,2,n n n n N=⎧⎨-≥∈⎩【分析】利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-，可求出此时的通项公式，验证n =1时是否适合，可得答案.【详解】当2n ≥时，()()22121211143n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，当1n =时，12112a =-+=不适合上式，∴*2,143,2,n n a n n n N =⎧=⎨-≥∈⎩，故答案为:*2,143,2,n n n n N =⎧⎨-≥∈⎩.14．《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当[]1,2022a ∈时，符合条件的最大的a 为____________.【正确答案】2018【分析】由题意可设3253N a m n m n =+=+∈，，，则351m n =+，对m 整除5的余数分情况讨论，即可求出符合题意的n 的值，再结合[]1,2022a ∈即可求出符合条件的最大的a ．【详解】由题意可设3253N a m n m n =+=+∈，，，则351m n =+，设N k ∈，当5m k =时，1551,k n n =+不存在，当51m k =+时，153515152k n n k +=+∴=+，，n 不存在，当52m k =+时，156********k n n k n k +=+∴=+∴=+，，，满足题意，当53m k =+时，159515158k n n k +=+∴=+，，n 不存在，当54m k =+时，151********k n n k +=+∴=+，，n 不存在，即31n k =+时满足题意，158a k ∴=+，又102[2]2a ∈，，则11582022k ≤+≤，即720141515k -≤≤，故k 的最大值为134，∴符合条件的最大的a 为1513482018⨯+=．故答案为︰2018．15．如图，两条异面直线a ，b 所成角为60︒，在直线上a ，b 分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA a '⊥且AA b '⊥.已知2A E '=，3AF =，5EF =.则线段AA '=______.【正确答案】【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案.【详解】因为EF EA A A AF ''=++，所以()22EF EA A A AF''=++ 222222EA A A AF EA A A EA AF A A AF ''''''=+++⋅+⋅+⋅ ，由于AA a '⊥，AA b '⊥，则20EA A A ''⋅= ，20A A AF '⋅= ，又因为两条异面直线a ，b 所成角为60︒，所以,60EA AF '= 或120 ，故2222523223cos ,A A EA AF ''=+++⨯⨯⨯，可得A A '=.故16．设1F ，2F 分别为椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()2222222210x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e ⎡∈⎢⎣⎦，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为________________________．【正确答案】⎫⎣⎭【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.【详解】由椭圆及双曲线定义得1212MF MF a +=，1221122MF MF a MF a a -=⇒=+，212MF a a =-，因为1290F MF ∠=︒，所以()()22212124a a a a c ++-=，222122a a c +=，2212112e e +=，因为134e ⎡∈⎢⎣⎦，2198,169e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，211916,89e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222111272,98e e ⎡⎤=-∈⎢⎣⎦，则2e ∈⎣⎦，因为22a b >，221b a <，由22c e a ==，所以21e <<，因此27e ⎡∈⎢⎣．故答案为.7⎡⎫⎢⎣⎭四、解答题17．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{an }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得Sn ≥an 的n 的取值范围．【正确答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n *≤≤∈N .【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于1a 和d 的方程组，求得1a 和d 的值，利用等差数列的通项公式求得结果；（2）根据题意有50a =，根据10a >，可知0d <，根据n n S a >，得到关于n 的不等式，从而求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩，解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+；（2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-，由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-，因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤，解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n *≤≤∈N 该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.18．已知直线l 经过两条直线2x ﹣y ﹣3＝0和4x ﹣3y ﹣5＝0的交点，且与直线x +y ﹣2＝0垂直．(1)求直线l 的方程；(2)若圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C 的标准方程．【正确答案】(1)1y x =-(2)()2234x y -+=【分析】（1）先求得直线230x y --=和直线4350x y --=的交点坐标，再用点斜式求得直线l 的方程.（2）设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，根据已知条件列方程组，求得,a r ，由此求得圆C 的标准方程.【详解】（1）230243501x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩.直线20x y +-=的斜率为1-，所以直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为()112,1y x y x -=⨯-=-.（2）设圆的标准方程为()222x a y r -+=，则()2222213,2a r a r r ⎧-=⎪⎪⇒==⎨+=⎪⎪⎩，所以圆的标准方程为()2234x y -+=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，,AB CD AD AB ⊥∥，1,2AB AD PD CD PD ===⊥平面ABCD ，点M 是棱PC上的一点．(1)若3PC PM =，求证：PA 平面MBD ；(2)若M 是PC 的中点，求二面角M BD C --的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）连接AC 交BD 于N ，连接MN ，则可得ANB ∽CND △，得12AN AB NC DC ==，再结合已知可得12AN PM NC MC ==，则PA ∥MN ，然后由线面平行的判定定理可证得结论，（2）过M 作ME DC ⊥于E ，过E 作EF BD ⊥于F ，连接MF ，可得MFE ∠是二面角M BD C --的平面角，从而可求得结果【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于N ，连接MN ，因为AB ∥CD所以ANB ∽CND △，所以12AN AB NC DC ==，因为12PM MC =，所以12AN PM NC MC ==,所以PA ∥MN ,因为PA ⊄平面,MBD MN ⊂平面MBD所以PA ∥平面MBD（2）过M 作ME DC ⊥于E ，因为PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面ABCD ，因为平面PDC 平面ABCD CD =，所以ME ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以ME BD⊥过E 作EF BD ⊥于F ，连接MF ，因为ME EF E ⋂=，所以BD ⊥平面MEF ，因为MF ⊂平面MEF ，所以,MF BD ⊥所以MFE ∠是二面角M BD C --的平面角，不妨设2AB =，则122AB AD PD CD ====，因为,AB CD AD AB ⊥∥，所以2,22,4BD BC DC ===，所以222BD BC DC +=，所以BD BC ⊥，所以111,222ME PD EF BC ====，所以3MF =，所以6cos 3EF MFE MF ∠==20．已知抛物线22(0)y px p =>．过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．(1)若||2AB p ≤，求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，交x 轴于点N ，试求Rt MNQ △的面积．【正确答案】(1)24p p ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，;(2)2p .【分析】（1）设直线l 的方程为y x a =-，与抛物线方程联立，根据弦长公式可得()82AB p p a =+求解02AB p <≤即可；（2）根据中点坐标公式可求(),Q a p p +，根据两点间的距离公式可得222QMp =，又MNQ △是等腰直角三角形，从而可求MNQ S !.【详解】（1）直线l 的方程为y x a =-，将y x a =-代入22(0)y px p =>，得()2220x a p x a -++=.设()()1122,,,A x y B x y ，则()()2212212440,2,.a p a x x a p x x a ⎧+->⎪+=+⎨⎪=⎩所以AB =.因为02AB p <≤，所以20p a +>2p ，解得24p p a -<≤-.故a 的取值范围是24p p ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，.（2）设()33,Q x y ，由中点坐标公式，得1232x x x a p +==+，()()1232x a x a y p -+-==，故(),Q a p p +.所以()()222202QM a p a p p =+-+-=.因为线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，交x 轴于点N ，且直线l 的倾斜角为45︒，所以MNQ △是等腰直角三角形，所以2212MNQ S QM p ==△.21．如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面,ABC PAC 为正三角形，E ，F 分别是,PC PB 上的动点.(1)求证：BC AE ⊥；(2)若E ，F 分别是,PC PB 的中点且异面直线AF 与BC AEF 与平面ABC 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC ，即可证明BC AE ⊥.（2）由已知结合线面平行的判定定理知//BC 平面AEF ，结合线面平行的性质定理知//BC l ，建立空间直角坐标系，设(2,,0)Q t ，求出平面AEF 的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.【详解】（1）证明：因为C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以BC AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面,ABC AC BC =⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面,PAC AE ⊂平面PAC .所以BC AE⊥（2）由E ，F 分别是,PC PB 的中点，连结,AE EF ，所以BC EF ∥，由（1）知BC AE ⊥，所以EF AE ⊥，所以在Rt AFE 中，AFE ∠就是异面直线AF 与BC 所成的角.因为异面直线AF 与BC所以tan 2∠=AFE，即2AE EF =又EF ⊂平面,⊄AEF BC 平面AEF ，所以//BC 平面AEF ，又BC ⊂平面ABC ，平面⋂EFA 平面=ABC l ，所以BC l∥所以在平面ABC 中，过点A 作BC 的平行线即为直线l.以C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC =.因为PAC △为正三角形所以AE =2EF =由已知E ，F 分别是,PC PB 的中点，所以24BC EF ==则(2,0,0),(0,4,0),A B P，所以11,22⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭E F ，所以3,0,,(0,2,0)22⎛=-= ⎝⎭E AF E ，因为BC l ∥，所以可设(2,,0)Q t ，平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则30220x AE m EF m y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩，取z =，得m = ，又(1,,= PQ t，则1|cos ,|0,2||||⋅⎛⎤〈〉== ⋅⎝⎦ PQ m PQ m PQ m .设直线PQ 与平面AEF 所成角为θ，则1sin 0,2⎛⎤= ⎝⎦θ.所以直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围为0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++= ．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．【正确答案】（1）12k <-；（2）证明见解析，公差为28或28-．【分析】（1）方法一：设而不求，利用点差法进行证明．（2）方法一：解出m ,进而求出点P 的坐标，得到FP ,再由两点间距离公式表示出FA ，FB ，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=.两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=，由题设知12121,22x x y y m ++==，于是34k m=-.①由题设得302m <<，故12k <-.［方法二］：【通性通法】常规设线设:AB y kx t =+，()()1122,,,A x y B x y ，当=0k 时，显然不满足题意；由22+=143=+x y y kx t ⎧⎪⎨⎪⎩得，()2223484120k x ktx t +++-=，所以，122834kt x x k +=-+，0∆>，即22430k t +->，而1212x x +=，所以2344k kt +=-，又2433044k m k t k k k+-=+=-=>，所以0k <，222434304k k k ⎛⎫++-> ⎪-⎝⎭，即214k >，解得：12k <-．［方法三］：直线与椭圆系的应用对原椭圆作关于(1,)M m 对称的椭圆为22(2)(2)143x m y --+=．两椭圆方程相减可得244133m x y m +=+，即为AB 的方程，故34k m =-．又点(1,)M m 在椭圆C 内部可得21143m +<，解得：302m <<．所以3142k m =-<-．［方法四］：直线参数方程的应用设l 的参数方程为=1+cos ,=+sin x t y m t θθ⎧⎨⎩（θ为l 倾斜角，t 为参数）代入椭圆C 中得()22223cos 4sin (6cos 8sin )940t m t m θθθθ+++-+=．设12,t t 是线段中点A ，B 对应的参数，(1,)M m 是线段AB 中点，知120t t +=得(6cos 8sin )0m θθ-+=，即3tan 4k m θ==-．而点(1,)M m 在C 内得21143m +<，解得：30,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3142k m =-<-．（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=.由（1）及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32FP = .于是122x FA =- .同理222x FB =- ，所以()121432FA FB x x +=-+= .故2FP FA FB =+ ，即FA ，FP ，FB 成等差数列.设该数列的公差为d，则12122d FB FA x x =-=- ②将34m =代入①得1k =-.所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得28d =.所以该数列的公差为28或28-.［方法二］：硬算由0FP FA FB ++= ，知点F 为PAB △的重心，由三角形重心坐标公式可得1,2P P x y m ==-，即(1,2)P m -．由点P 在椭圆上，把坐标代入方程解得34m =，即3(1,2P -．由（1）有314k m =-=-，直线l 的方程为74y x =-+，将其与椭圆方程联立消去y 得2285610x x -+=，求得1,2x =A B x x <，所以A x =B x =42||2228A x FA +=-=，同理可得，||=22B x FB -= ，所以|3|||FA FB += ，而3||=2FP ，故2FA FB FP +=．即该数列的公差为28或.［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用因为线段AB 的中点为(1,)M m ，得122x x +=．由0FP FA FB ++= ，知点F 为PAB △的重心，由三角形重心坐标公式可得1P x =，由椭圆方程可知，1e 2=由椭圆的焦半径公式得()()()1212||||e e 2e 3FA FB a x a x a x x +=-+-=-+= ，3||e 2P FP a x =-= ．所以2FA FB FP +=．由方法二硬算可得，1414A x+=或1414A x -=，从而公差为()31121222A A x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即该数列的公差为28或28-.【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解；∆>即可证出，该法是解方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据0决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法．方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，进而得证，避免联立过程，适当简化运算；方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率；（2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法；方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大；方法三：利用焦半径公式简化运算，是该题的最优解．。
【新课标】2014-2015上学期高二月考(3)数学(理) Word版含答案
2014-2015学年度上学期第三次月考高二数学（理）试题【新课标】考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单项选择1. 等差数列{}n a 前n 项和n S ,51,763==S a ,则公差d 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-32. 若2221425x y M x y x y ≠≠-=+-+-且，则的值与的大小关系是（ ） A ．5M >- B ．5M <- C ．5M =- D ．不能确定3. 已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题，假命．．题．的是（ ） A ．公差0d <； B ．在所有0<n S 中，13S 最大； C ．满足0>n S 的n 的个数有11个； D ．76a a >；4. 已知数列{n a }，若点(,)n n a （*n N ∈）在经过点(5,3)的定直l l 上，则数列{n a }的前9项和9S =( )A. 9B. 10C. 18D.275. 在等差数列{}n a 中a 3＋a 4＋a 5＝12，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则S 7 ＝( ) A.14 B.21 C.28 D.356. 等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为A. 297B. 144C. 99D. 667. 若四个正数d c b a ,,,成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是（ ）A ．y x <B ．y x >C ．y x ≤D ．y x ≥8. 设0.70.45 1.512314,8,()2y y y -===,则 （ ）A ．312y y y >> (B )213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >> 9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若,则9S 的值等于（ ）A ．54B ．45C ．36D ．27 10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( ) A.3 B.4C.5D.6第II 卷（非选择题）二、填空题11. 不等式321515>+-xx 的解集为_______12. 已知等差数列{n a }共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为13. 在等差数列3，7，11…中，第5项为14. 已知等差数列{n a }的前2006项的和20062008S =，其中所有的偶数项的和是2，则1003a 的值为 三、解答题15. 在数列{}n a 中,已知)(log 32,41,41*4111N n a b a a a n n n n ∈=+==+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）求证:数列{}n b 是等差数列;（Ⅲ)设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=,求{}n c 的前n 项和n S . 16. 已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且*(1)()2n n n a a S n N +=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设121,...2n n n nb T b b b S ==+++，求n T ． 17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S += *()n ∈N ． （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）求证：33331231111532n a a a a ++++<*()n ∈N ； （3）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅-<对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 18. 已知数列{}12n n a -⋅的前n 项和96n S n =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(3log )3n n a b n =⋅-，设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求使6n mT <恒成立的m 的最小整数值．19. 设{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，它的前10项和11010=S 且1a ，2a ，4a 成等比数列.（Ⅰ）证明d a =1； （Ⅱ）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式。
湖南省长沙市湖南师大附中2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题(含解析)
湖南师大附中2025届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟满分：150分得分：________________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合的真子集个数是（ ）A.7B.8C.15D.162.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）A.B.C.D.4.设向量，满足，等于（ ）A. B.2C.5D.85.若无论为何值，直线与双曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）A. B.C.，且 D.，且6.已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（ ）A.B.C. D.7.已知正三棱台所有顶点均在半径为5的半球球面上，且棱台的高为（ ）A.1B.4C.7D.1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：{}0,1,2,311x -<240x x -<αP ()3,4a a 0a ≠sin2α=4372524252425-a b a b += a b -=a b ⋅ θsin cos 10y x θθ⋅+⋅+=2215x y m -=m 1m ≥01m <≤05m <<1m ≠1m ≥5m ≠()2f x ()()130f x f x ++-=()2,4x ∈()()12log 2f x x m =--+()()2025112f f -=-m 132323-13-111ABC A B C -AB =11A B =“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，共层的堆积物（如图所示），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）A.2B.6C.12D.20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列正确的是（）A. B.C. D.10.对于函数和，下列说法中正确的有（）A.与有相同的零点B.与有相同的最大值点C.与有相同的最小正周期D.与的图象有相同的对称轴11.过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（）A.B.直线恒过定点C.点的轨迹方程是D.的最小值为选择题答题卡题号1234567891011得分ab cd n()()()2266n nS b d a b d c c a⎡⎤=++++-⎣⎦ab()()()()()()11,22,,11a b a b a n b n cd+++⋅++-+-=2024220240122024(12)x a a x a x a x+=++++2024a=20240120243a a a+++=012320241a a a a a-+-++=12320242320242024a a a a-+--=-()sin cosf x x x=+()sin cos22g x x xππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x()g x()f x()g x()f x()g x()f x()g x()0,2P2:4C x y=()11,A x y()22,B x yC A2y=-N NM AP⊥AB M5OA OB⋅=-MNM()22(1)10y x y-+=≠ABMN答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，的模长为1，且，则________.13.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，，则________.14.若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e 的零点，则的值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按的复利计算.（1）计算10年后，A 方案到期一次性需要付银行多少本息？（2）试比较A 、B 两方案的优劣.（结果精确到万元，参考数据：，）16.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上.（1）在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程；（2）若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）1z 2z 21111z z +=12z z +=ABC ∆A B C a b c 5a =4b =()31cos 32A B -=sin B =1x ()2e e xf x x x =--2x ()()()3e ln 1e g x x x =---()122e ex x -25%10%101.12.594≈101.259.313≈P ABCD -ABCD 222AD AB BC ===P Q AC A PCD H 2PA PD ==PAB PCD已知函数，为的导数.（1）证明：当时，；（2）设，证明：有且仅有2个零点.18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一动点，设，当时，.（1）求椭圆的标准方程.（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点、（在，之间），若为椭圆上一点，且，①求的取值范围；②求四边形的面积.19.（本小题满分17分）飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投郑出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数的均值）（2）对于两个离散型随机变量，，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：（记，）()e sin cos x f x x x =+-()f x '()f x 0x ≥()2f x '≥()()21g x f x x =--()g x xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F P C 12F PF θ∠=23πθ=12F PF ∆C ()0,2B l M N M B N Q C OQ OM ON =+ OBMOBNS S OMQN X 11()()lim ()n n k k E X kP k kP k ∞→∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑ξη()()()11,m i i ijj p x p x p x y ξ====∑()()()21,njjiji p y p y p x y η====∑ξη1x 2x ⋯nx 1y ()11,p x y ()21,p x y ⋯()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y()2,n p x y ()22p y1若已知，则事件的条件概率为.可以发现依然是一个随机变量，可以对其求期望.（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（取值不同时，期望也不同），不妨记为，求；（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记表示“甲第一次未能掷出6点”表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，表示“甲第一次第二次均掷出6点”，为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求.⋯⋯⋯⋯⋯⋯my ()1,m p x y ()2,m p x y ⋯(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x()1n p x i x ξ={}j y η={}{}{}()()1,,j i i j jii i P y x p x y Py x P x p x ηξηξξ=======∣i x ηξ=∣{}{}1mi j j i j E x y P y x ηξηξ===⋅==∑∣∣()()111,mj i j i i y p x y p x ==⋅∑ξ{}E ηξ∣{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣0ξ=1ξ=2ξ=ηE η湖南师大附中2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号1234567891011答案CACBBDABBCACDBC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合共有（个）真子集.故选C.2.A 【解析】解不等式，得，解不等式，得，所以“”是“”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念，，，故选C.4.B 【解析】.5.B 【解析】易得原点到直线的距离，故直线为单位圆的切线，由于直线与双曲线总有公共点，所以点必在双曲线内或双曲线上，则.6.D 【解析】依题意函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，因为，故函数的周期为4，则，而，所以由可得，而，所以，解得.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为，，过点，，，的截面如图：{}0,1,2,342115-=240x x -<04x <<11x -<02x <<11x -<240x x -<44tan 33y a x a α===22sin cos 2tan 24sin211tan 25ααααα===+()2211()()1911244a b a b a b ⎡⎤⋅=+--=⨯-=⎣⎦ 1d ==2215x y m -=()1,0±01m <≤()f x ()f x ()()()133f x f x f x +=--=-()f x ()()20251f f =()()11f f -=-()()2025112f f -=-()113f =()()13f f =-()121log 323m --=13m =-13r =24r =A 1A 1O 2O，，，故选A.8.B 【解析】由题意，得，，则由得，整理得，所以.因为，为正整数，所以或6.因此有或而无整数解，因此.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A ：令，则，故A 错误；对于B ：令，则，故B 正确；对于C ：令，则，故C 正确；对于D ，由，两边同时求导得，令，则，故D 错误.故选BC.10.ACD 【解析】，.令，则，；令，则，，两个函数的零点是相同的，故选项A 正确.的最大值点是，，的最大值点是，，两个函数的最大值虽然是相同的，但最大值点是不同的，故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为可知与有相同的最小正周期，故选项C 正确.曲线的对称轴为，，曲线的对称轴为，，两个函数的图象有相同的对称轴，故选项D 正确.故选ACD.11.BC 【解析】作图如下：24OO ==13OO ==211h OO OO ∴=-=6c a =+6d b =+()()()772223866b d a b dc c a ⎡⎤++++-=⎣⎦()()()()77262126623866b b a b b a a a ⎡⎤++++++++-=⎣⎦()321ab a b ++=773aba b +=-<a b 3ab =6,3a b ab +=⎧⎨=⎩5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩63a b ab +=⎧⎨=⎩6ab =0x =01a =1x =20240120243a a a +++= 1x =-012320241a a a a a -+-++= 2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ 202322023123202420242(12)232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ 1x =-12320242320244048a a a a -++-=- ()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()3244g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0f x =4x k ππ=-+k ∈Z ()0g x =34x k ππ=+k ∈Z ()f x 24k ππ+k ∈Z ()g x 324k ππ-+k ∈Z 2πω()f x ()g x 2π()y f x =4x k ππ=+k ∈Z ()y g x =54x k ππ=+k ∈Z设直线的方程为（斜率显然存在），，，联立消去整理可得，由韦达定理得，，A.，，故A 错误；B.抛物线在点处的切线为，当时，，即，直线的方程为，整理得，直线恒过定点，故B 正确；C.由选项B 可得点在以线段为直径的圆上，点除外，故点的轨迹方程是，故C 正确；D.，则，，，则，设，，当单调递增，所以，故D 错误.故选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.AB 2y tx =+211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩x 2480x tx --=124x x t +=128x x =-221212444x x y y =⋅=1212844OA OB x x y y ⋅=+=-+=- C A 21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2y =-11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-()2,2N t -MN ()122y x t t +=--xy t=-MN ()0,0M OP O M ()22(1)10y x y -+=≠2MN AB ===22ABMN ===m =m ≥12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1f m m m =-m ≥()2110f m m=+>'m ≥()f m min ()f m f==12.1【解析】设，，因为，所以.因为，，所以，所以，所以，，所以.【解析】在中，因为，所以.又，可知为锐角且.由正弦定理，，于是.将及的值代入可得，平方得，故.14.e 【解析】依题意得，，即，，，即，，，，，又，，同构函数：，则，又，，，，又，，单调递增，，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）A 方案到期时银行贷款本息为（万元）.……（3分）()1i ,z a b a b =+∈R ()2i ,z c d cd =+∈R 21111z z +=1222111z z z z z z +=111z z =221z z =121z z +=()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=1a c +=0b d +=()()12i 1z z a c b d +=+++=ABC ∆a b >A B >()31cos 32A B -=A B -()sin A B -=sin 5sin 4A aB b ==()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦()cos A B -()sin A B -3sin B B =2229sin 7cos 77sin B B B ==-sin B =1211e e 0xx x --=1211e e xx x -=10x >()()322e ln 1e 0x x ---=()()322e ln 1e x x --=2e x >()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--()()()11122e e ln 1e x x x x +∴-=--()()()21ln 11112e e ln 1e e x x x x -++⎡⎤∴-=--⎣⎦2ln 1x > 2ln 10x ->∴()()1e e ,0x F x x x +=->()()312ln 1e F x F x =-=()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+'=-+0x > 0e e 1x ∴>=e 10x ∴->1e 0x x +>()0F x ∴'>()F x 12ln 1x x ∴=-()()()31222222e ln 1e e e eeex x x x ---∴===()1010110%26⨯+≈（2）A 方案10年共获利：（万元），……（5分）到期时银行贷款本息为（万元），所以A 方案净收益为：（万元），……（7分）B 方案10年共获利：（万元），……（9分）到期时银行贷款本息为（万元），……（11分）所以B 方案净收益为：（万元），……（12分）由比较知A 方案比B 方案更优.……（13分）16.【解析】（1）连接，有平面，所以.在中，.同理，在中，有.又因为，所以，，所以，，故，即.又因为，，平面，所以平面.平面，所以平面平面.……（5分）过作垂直于点，因为平面平面，平面平面，且平面，有平面.……（7分）（2）依题意，.故为，的交点，且.所以过作直线的平行线，则，，，两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，()1091.2511125%(125%)33.31.251-+++++=≈- 1010(110%)25.9⨯+≈33.325.97-≈()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= ()()10109 1.11.11(110%)(110%)110%17.51.11-++++++=≈- 23.517.56-≈PQ PQ ⊥ABCD PQ CD ⊥ACD ∆2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC =+-⋅⋅∠=-∠ABC ∆222cos AC ABC =-∠180ABC ADC ∠+∠= 1cos 2ADC ∠=()0,180ADC ∠∈ 60ADC ∠=AC =222AC CD AD +=AC CD ⊥PQ AC Q = PQ AC ⊂PAC CD ⊥PAC CD ⊂PCD PCD ⊥PAC A AH PC H PCD ⊥PAC PCD PAC PC =AH ⊂PAC AH ⊥PCD AQ DQ ==Q AC BD 2AQ ADCQ BC==23AQ AC ==PQ ==C PQ l l AC CD C则：，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则取.同理，平面的法向量，，……（14分）故所求锐二面角余弦值为.……（15分）17.【解析】（1）由，设，则，当时，设，，，，和在上单调递增，，，当时，，，则，函数在上单调递增，，即当时，.()1,0,0D P ⎛ ⎝()A 12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CD = CP ⎛= ⎝ 0,AP ⎛= ⎝ 1,2BP ⎛= ⎝ PCD (),,m x y z =)0,0,m CD x m CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩()0,m =- PAB )1n =-1cos ,3m n m n m n ⋅==13()e cos sin xf x x x =+'+()e cos sin xh x x x =++()e sin cos xh x x x =+'-0x ≥()e 1x p x x =--()sin q x x x =-()e 10x p x ='-≥ ()1cos 0q x x ='-≥()p x ∴()q x [)0,+∞()()00p x p ∴≥=()()00q x q ≥=∴0x ≥e 1x x ≥+sin x x ≥()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0xh x x x x x x x x x =-+≥+-+=-++≥'∴()e cos sin x h x x x =++[)0,+∞()()02h x h ∴≥=0x ≥()2f x '≥（2）由已知得.①当时，，在上单调递增，又，，由零点存在定理可知，在上仅有一个零点.……（10分）②当时，设，则，在上单调递减，，，，在上单调递减，又，，由零点存在定理可知在上仅有一个零点，综上所述，有且仅有2个零点.……（15分）18.【解析】（1）设，为椭圆的焦半距，，，当时，最大，此时或，不妨设，当时，得，所以，又因为，所以，.从，而椭圆的标准方程为.……（3分）（2）由题意，直线的斜率显然存在.设，.……（4分），同理，..……（6分）联立，……（8分）()e sin cos 21xg x x x x =+---0x ≥()()e cos sin 220x g x x x f x =+='+--'≥ ()g x ∴[)0,+∞()010g =-< ()e 20g πππ=->∴()g x [)0,+∞0x <()2sin cos (0)e x x xm x x --=<()()2sin 10exx m x -=≤'()m x ∴(),0-∞()()01m x m ∴>=e cos sin 20x x x ∴++-<()e cos sin 20x g x x x ∴=++-<'()g x ∴(),0-∞()010g =-< ()e 20g πππ--=+>∴()g x (),0-∞()g x ()00,P x y c C 12122F PF p S c y ∆=⋅⋅00y b <≤ 0y b =12F PF S ∆()0,P b ()0,P b -()0,P b 23πθ=213OPF OPF π∠=∠=c =12F PF S bc ∆==1b =c =2a =∴C 2214x y +=l ()11: 2.,l y kx M x y =+()22,N x y 1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=2OBN S x ∆=12OBM OBN S xS x ∆∆∴=()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，.……（9分）又，，，同号..，，.令，则，解得，.……（12分）（3），.且四边形为平行四边形.由（2）知，，.而在椭圆上，.化简得.……（14分）线段，……（15分）到直线的距离……（16分）.……（17分）()()222Δ(16)4121416430k k k∴=-⨯⨯+=->234k ∴>1221614k x x k -+=+ 12212014x x k=>+1x ∴2x ()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===++++234k > ()2226464164,1331434k k k ⎛⎫∴=∈ ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭211216423x x x x ∴<++<()120x x λλ=≠116423λλ<++<()1,11,33λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,11,33OBM OBN S S ∆∆⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ OQ OM ON =+()1212,Q x x y y ∴++OMQN 1221614k x x k -+=+()121224414y y k x x k ∴+=++=+22164,1414k Q k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭Q C 2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2154k =∴MN ====O MN d ==OMQN S MN d ∴=⋅==四边形19.【解析】（1），，2，3，…，所以，，2，3，…，记，则.作差得：，所以，.故.……（6分）（2）（ⅰ）所有可能的取值为：，.且对应的概率，.所以，又，所以.……（12分）（ⅱ），；，；，，，故.……（17分）()11566k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭1k =()56k k k P X k ⋅==1k =()21111512666nn k kP k n =⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪⎝⎭∑ 211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ 2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ 1211111511111111661666666556616n n n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- 611155566n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()16615556n nn k kP k S n =⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑116616()()lim ()lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑{}E ηξ∣{}i E x ηξ=∣1,2,,i n = {}{}()()()1ii i p E E x p x p x ηξηξξ=====∣∣1,2,,i n = {}()()()()()111111111[{}],,nnm n m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫==⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣()()()()21111111,,,n m m n mn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣{}01E E ηξη==+∣156p ={}12E E ηξη==+∣2536p ={}22E η==3136p ={}()()5513542122636363636E E E E E E ηηηηηξ⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣42E η=。
2022-2023学年陕西省咸阳中学高二上学期第三次月考理科数学试题(解析版)
陕西省咸阳中学2022—2023学年度第一学期第三次月考高二数学理科满分: 120分时间：100分钟一单项选择题（每题5分，共12道小题，共计60分）1. 数列{a n }, 满足a 1=2,a n+1=11−a n(n ∈N ∗), 则a 2021+a 2=（） A.-2 B.-1 C.2 D.122. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题: “三百七十八里关, 初行健步不为难, 次日脚痛减一半, 六朝才得到其关, 要见次日行里数, 请公仔细算相还. ”其大意为: “有一个人走了 378 里路, 第一天健步行走, 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6 天后到达目的地. ”则此人第 4 天走了（）A.60 里B.48 里C.36 里D.24 里 3. 已知{a n }为等比数列, 且a 1a 13=π6, 则tan (a 2a 12)的值为（）A.−√3B.√33C.±√3D.−√33 4. △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c . 已知a =√6,c =2,cosA =14, 则b =（）A.√2B.1C.2D.35. 在△ABC 中,a,b,c 分别为A,B,C 的对边, 如果sinA sinB−sinC =b+c b−a, 那么∠C 的度数为（） A.π6 B.π4C.π3 D.π26. 在△ABC 中,BC =√17,AC =3,cosA =13, 则△ABC 的面积为（）A.2B.4√2C.4D.92 7. 若实数x,y 满足约束条件{y ⩽x,x +y ⩾1,2x −y ⩽2.则z =2x +y 的最大值为（）A.32B.2C.4D.68. 已知a 、b 、c 、d ∈R , 下列命题正确的是（）A.若a >b , 则ac >bcB.若a >b,c >d , 则ac >bdC.若a >b , 则1a <1bD.若1|a|<1|b|, 则|a|>|b| 9. 命题“ ∃x 0∈(0,+∞), 使得e x 0<x 0” 的否定是（）A.∃x 0∈(0,+∞), 使得e x 0>x 0B.∃x 0∈(0,+∞), 使得e x 0≥x 0C.∀x ∈(0,+∞), 均有e x >xD.∀x ∈(0,+∞), 均有e x ≥x10.平面向量a =(1,2),b =(2,k 2). 则“k =2”是 “a//b ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件11. 已知向量m =(1,2,λ),n =(2,2,1),p =(2,1,1), 满足条件(p −m)⊥n , 则λ的值为（）A.1B.−1C.2D.−212. 如图, 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中, 异面直线D 1C 与BD 所成的角为（）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘二填空题（每题5分，共4道小题，共计20分）13当x>0时, 不等式x2+mx+4>0恒成立, 则实数m的取值范围是___________.14已知x,y>0, 且满足x+y=2, 则xy+x+y的最大值为___________., 则S n=___________.15设S n是数列{a n}的前n项和, 且a n=2n(n+1)16命题“任意x∈[−1,2],x2−2x−a≤0”为真命题, 则实数a的取值范围是___________.三解答题（本题4道小题，共计40分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. （本题满分10分）如图, 在四棱锥P−ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.(1) 求证: PC⊥AD;(2) 求证: 平面PAB//平面EFG.18.（本题满分10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n, 且a2=3,S5=25. (1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 设b n=a n+2n−1, 求数列{b n}的前n项和T n. 19. （本题满分10分）在锐角△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c, 且√3a= 2csinA.(1) 求角C的大小;(2) 若c=√7, 且ab= 6, 求ΔABC的周长.20. （本题满分10分）如图, 某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长) 的矩形菜园. 设菜园的长为x米, 宽为y米.(1) 若菜园面积为36 平方米, 则x,y为何值时, 所用篱笆总长最小?(2) 若使用的篱笆总长为30 米, 求2x+y的最小值.xy陕西省咸阳中学2022—2023学年度第一学期第三次月考高二数学理科参考答案及解析一单项选择题（每题5分，共12道小题，共计60分）1. 【答案】A 【解析】根据题意, 由a 1=2, 得a 2=11−a 1=−1;a 3=11−a 2=12;a 4=11−a 3=2,……, 所以数列{a n }是以 3 为周期的周期数列, 所以a 2021+a 2=a 2+a 2=−2.故选 : A .2. 【答案】D 【解析】根据题意, 记每天走的路程里数为{a n }.可知{a n }是以12为公比的等比数列.又由S 6=378, 得S 6=a 1(1−q 6)1−q =a 1(1−126)1−12=378.解可得a 1=192.则a 4=a 1×(12)3=24. 3. 【答案】B 【解析】因为{a n }为等比数列, 所以a 2a 12=a 1a 13=π6, 所以tan (a 2a 12)=tan π6=√33. 故选: B.4. 【答案】C 【解析】由余弦定理得(√6)2=b 2+22−2×b ×2×14, 即b 2−b −2=0, 解得b =2或−1(舍去), 故选C .5. 【答案】C 【解析】因为sinA sinB−sinC =b+c b−a , 由正弦定理可得a b−c =b+c b−a , 即ab −a 2=b 2−c 2. 所以c 2=b 2+a 2−ab . 又c 2=b 2+a 2−2abcosC .所以cosC =12.因为C ∈(0,π).所以C =π3.6. 【答案】B【解析】因为BC =√17,AC =3,cosA =13,由余弦定理BC 2=AB 2+AC 2−2AB ∙ACcosA , 所以AB 2−2AB −8=0, 所以AB =4.又因为cosA =13, 所以sinA =2√23, 所以S △ABC =12AB ∙AC ∙sinA =12×4×3×2√23=4√2.7. 【答案】D 【解析】解: 画出约束条件{y ≤x,x +y ≥1,2x −y ≤2.表示的平面区域, 如图所示:目标函数z =2x +y 可化为y =−2x +z ,平移目标函数知, 直线y =−2x +z 过点A 时, 在y 轴上的截距最大, 由{y =x 2x −y =2, 解得A(2,2),所以z 的最大值为z max =2×2+2=6.8. 【答案】D【解析】对于A , 当c ≤0时不成立. 对于B , 当a =1,b =−2,c =0,b =−1时, 显然不成立. 对于C , 当a =1,b =−2时, 不成立. 对于D , 因为0<1|a|<1|b|, 所以有|a|>|b|成立, 故选 D.9. 【答案】D 【解析】命题“ ∃x 0∈(0,+∞), 使得e x 0<x 0”的否定是: “∀x ∈(0,+∞), 使得e x ≥x ”10. 【答案】A 【解析】由k =2知a//b ; 由a//b 知k 2=4, 则k =±2, 故选A . 11. 【答案】A 【解析】因为p −m =(1,−1,1−λ), 所以(p −m)∙n =1×2+(−1)×2+(1−λ)×1=0, 解得λ=1, 故选A .12. 【答案】C【解析】因为BD//B 1D 1, 则∠CD 1B 1为所求, 又△CD 1B 1是正三角形,∠CD 1B 1=60∘, 故选C .二填空题（每题5分，共4道小题，共计20分）13.【解析】∵当x >0时, 不等式x 2+mx +4>0恒成立,∴m >−(x +4x ),∵x >0,∴x +4x ⩾2√4=4(x =2时, 取等号),∴−(x +4x)⩽−4,∴m >−4,故答案为:(−4,+∞)14.因为x,y >0, 且满足x +y =2,则xy +x +y =xy +2⩽(x+y 2)2+2=3当且仅当x =y =1时取等号,所以xy +x +y 的最大值为3.故答案为:315.因为a n =2n(n+1)=2(1n −1n+1),所以S n =2(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=2(1−1n+1)=2n n+1.故答案为:2n n+1. 16.任意x ∈[−1,2],x 2−2x −a ≤0恒成立⇔x 2−2x ≤a 恒成立, 故只需(x 2−2x )max ≤a , 记f(x)=x 2−2x =(x −1)2−1,x ∈[−1,2], 易知f(x)max =f(−1)=3, 所以3≤a .故答案为:[3,+∞)三解答题（本题6道小题，共计70分，写出必要的文字说明和演算步骤） 17. 【解析】(1)详解:由PD ⊥平面ABCD , 得AD ⊥PD , 又AD ⊥CD (ABCD 是正方形 ),PD ∩CD =D , 所以AD ⊥平面PDC , 所以AD ⊥PC .(2)详解:由E,F 分别是线段PC,PD 的中点, 所以EF//CD , 又ABCD 为正方形,AB//CD , 所以EF//AB , 又EF/⊂平面PAB , 所以EF//平面PAB . 因为E,G 分别是线段PC,BC 的中点, 所以EG//PB , 又EG/⊂平面PAB , 所以EG//平面PAB . 因为EF ∩EG =E,EF,EG ⊂平面EFG , 所以平面EFG//平面PAB .18.【解析】(1): 设等差数列{a n }公差为d , 首项为a 1, 由题意, 有{a 1+d =35a 1+5×42d =25, 解得{a 1=1d =2, 所以a n =1+(n −1)×2=2n −1;(2) b n =a n +2n−1=2n −1+2n−1, 所以T n =n(1+2n−1)2+1−2n 1−2 19.【解析】(1)由√3a =2csinA 及正弦定理得a c =√3=sinAsinC 因为sinA >0, 故sinC =√32. 又∵△ABC 为锐角三角形, 所以C =π3.(2)由余弦定理a 2+b 2−2abcos π3=7,∵ab =6, 得a 2+b 2=13 解得: {a =2b =3或{a =3b =2 ∴△ABC 的周长为a +b +c =5+√7.20.【解析】(1)由题意得, xy =36, 所用篱笆总长为x +2y . 因为x +2y ≥2√2xy =2×√2×36=12√2, 当且仅当x =2y 时, 即x =6√2,y =3√2时等号成立. 所以菜园的长x 为6√2m , 宽y 为3√2m 时, 所用篱笆总长最小.(2)由题意得, x +2y =30,2x+y xy =1x +2y =130(1x +2y )(x +2y)=130(5+2y x +2x y )≥130(5+2√2y x ∙2x y )=310, 当且仅当2y x =2x y , 即x =y =10时等号成立, 所以2x+y xy 的最小值是310.。
2022-2023学年浙江省台州市书生中学高二上学期第三次月考数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省台州市书生中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．已知点A '是点(2,9,6)A 在坐标平面Oxy 内的射影，则点A '的坐标为（ ） A ．(2,0,0) B ．(0,9,6)C ．(2,0,6)D ．(2,9,0)【答案】D【分析】根据空间中射影的定义即可得到答案.【详解】因为点A '是点(2,9,6)A 在坐标平面Oxy 内的射影，所以A '的竖坐标为0 ， 横、纵坐标与A 点的横、纵坐标相同，所以点A '的坐标为(2,9,0). 故选：D2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1271,6=+=a a a ，则7S =（ ） A ．19 B ．21C ．23D ．38【答案】A【分析】由已知及等差数列的通项公式得到公差d ，再利用前n 项和公式计算即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知，得12711276a a a a d =⎧⎨+=+=⎩，解得1147a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以7764711927S ⨯=⨯+⨯=. 故选：A3．设12,F F 分别是椭圆22:12516x yC +=的左、右焦点，P 是C 上的点，则12PF F △的周长为（ ）A ．13B ．16C ．20 D．10+【答案】B【分析】利用椭圆的定义及222a b c =+即可得到答案.【详解】由椭圆的定义，12||||210PF PF a +==，焦距26c ==， 所以12PF F △的周长为2216a c +=. 故选：B4．一个射手进行射击，记事件1A =“脱靶”，2A =“中靶”，3A =“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）A ．1A 与2AB ．1A 与3AC ．2A 与3AD ．以上都不对【答案】B【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答. 【详解】射手进行射击时，事件1A =“脱靶”，2A =“中靶”，3A =“中靶环数大于4”， 事件1A 与2A 不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件1A 与2A 是互斥且对立，A 不是； 事件1A 与3A 不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件1A 与3A 是互斥不对立，B 是； 事件2A 与3A 可以同时发生，即事件2A 与3A 不互斥不对立，C 不是，显然D 不正确. 故选：B5．在棱长均为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，则1AC =（ ） AB ．3 CD ．6【答案】C【分析】设AB a =，AD b =，1AA c =，利用21()AC a b c =++结合数量积的运算即可得到答案. 【详解】设AB a =，AD b =，1AA c =，由已知，得,60a b <>=，,60a c <>=，,60c b <>=， ||||||1a b c ===，所以a b ⋅=a c ⋅=12c b ⋅=， 所以22221()2226AC a b c a b c a b a c b c =++=+++⋅+⋅+⋅=. 故选：C6．已知数列{}n a 满足12a =，1,,231,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时则8a =（ ）A ．164B ．1C ．2D ．4【答案】B【分析】根据递推式以及12a =迭代即可. 【详解】由12a =，得1212a a ==，32314a a =+=，3422a a ==，4512aa ==，65314a a =+=，6722a a ==，7812aa ==. 故选：B7．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24x y =的焦点为F ，一条平行于y 轴的光线从点(1,2)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则经点B 反射后的反射光线必过点（ ） A ．(1,2)- B ．(2,4)- C ．(3,6)- D ．(4,8)-【答案】D【分析】求出A 、F 坐标可得直线AF 的方程，与抛物线方程联立求出B ，根据选项可得答案, 【详解】把1x =代入24x y =得14y =，所以11,4A ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1F 所以直线AF 的方程为114101--=-y x 即314y x =-+， 与抛物线方程联立23144⎧=-+⎪⎨⎪=⎩y x x y解得44=⎧⎨=-⎩y x ，所以()4,4B -，因为反射光线平行于y 轴，根据选项可得D 正确, 故选：D.8．已知点(2,1)C 与不重合的点A ，B 共线，若以A ，B 为圆心，2为半径的两圆均过点(1,2)D ，则DA AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,2] B ．[2,2]- C ．[8,0) D ．[8,4]--【答案】D【分析】由题意可得(,,),(,)A a b B c d 两点的坐标满足圆22:(1)(2)4D x y -+-=，然后由圆的性质可得当AB CD ⊥时，弦长AB 最小，当AB 过点D 时，弦长AB 最长，再根据向量数量积的运算律求解即可【详解】设点(,,),(,)A a b B c d ，则以A ，B 为圆心，2为半径的两圆方程分别为 22()()4x a y b -+-=和22()()4x c y d -+-=，因为两圆过(1,2)，所以22(1)(2)4a b -+-=和22(1)(2)4c d -+-=，所以(,,),(,)A a b B c d 两点的坐标满足圆22:(1)(2)4D x y -+-=， 因为点(2,1)C 与不重合的点A ，B 共线，所以AB 为圆D 的一条弦， 所以当弦长AB 最小时，AB CD ⊥，因为CD 2，所以弦长AB 的最小值为当AB 过点D 时，弦长AB 最长为4，因为21cos 2DA AB AD AB AD AB DAB AB ⋅=-⋅=-∠=-，所以当弦长AB 最小时，DA AB ⋅的最大值为(2142-⨯=-，当弦长AB 最大时，DA AB ⋅的最小值为21482-⨯=-，所以DA AB ⋅的取值范围为[8,4]--， 故选：D二、多选题9．圆224x y +=与圆222420+--+=x y x my m 的位置关系可能是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含【答案】ABC【分析】由圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系.【详解】222420+--+=x y x my m 整理为：()()2224x y m -+-=，从而圆心为()2,m ，半径为2，而224x y +=的圆心为()0,0，半径为222>+，即m >m <-22=+，此时m =±2恒成立，故当222+，即m -<2≥，故两圆不会内含或内切，综上：两圆得位置关系可能是外离，外切或相交. 故选：ABC10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（ ）A ．535a =B ．535S =C ．11n n a a n +-=+D ．1232022111120222023++++=a a a a 【答案】BC【分析】根据1a ，2a ，3a 的值，可得1n n a a n --=，利用累加法可得n a 即可判断选项A 、C ，再计算前5项的和可判断B ；利用裂项求和可判断D ，进而可得答案.【详解】依题意因为11a =，212a a -=，323a a -=，……，1n n a a n --=， 以上n 个式子累加可得：(1)123(2)2n n n a n n +=++++=≥， 又11a =满足上式，所以(1)2n n n a +=，515a =，故A 错误； 因123451,3,6,10,15a a a a a =====，所以512345136101535S a a a a a =++++=++++=，故B 正确； 因为1n n a a n --=，所以11n n a a n +-=+，故C 正确； 11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，122022111111112122320222023a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦404420233120221⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：BC11．已知曲线22:16+=-x y C m m ，12,F F 分别为C 的左、右焦点，点P 在C 上，且12PF F △是直角三角形，下列判断正确的是（ ） A ．曲线C 的焦距为26B ．若满足条件的点P 有且只有4个，则m 的取值范围是6m >且12m ≠ C ．若满足条件的点P 有且只有6个，则12m =D ．若满足条件的点P 有且只有8个，则m 的取值范围是06m << 【答案】AC【分析】依次对所给选项利用数形结合的思想进行判断即可.【详解】A.当C 表示椭圆时，因为6m m >-，所以C 的焦点在x 轴上，且6m >， 所以2(6)6c m m =--=，即6c =，所以焦距为26；当C 表示双曲线时，因为(6)0m m -<，即06m <<，所以C 的焦点在x 轴上， 所以2(6)6c m m =+-=，即6c =，所以焦距为26；故A 正确；B.若满足条件的点P 有且只有4个，则C 表示椭圆，如图1，以12F F 为直径的圆O 与C 没有公共点， 所以b c >，即66m ->，所以m 的取值范围是12m >，故B 错误；C.若满足条件的点P 有且只有6个，则C 表示椭圆，如图2，以12F F 为直径的圆O 与C 有2个公共点，所以b c =，即66m -=，所以m 的取值范围是12m =，故C 正确；D.若满足条件的点P 有且只有8个，则当C 表示椭圆时，如图3，以12F F 为直径的圆O 与C 有4个公共点，所以b c <，即66m -<，所以m 的取值范围是612m <<；当C 表示双曲线时，如图4，以12F F 为直径的圆O 与C 恒有8个公共点， 所以06m <<，综上m 的取值范围是612m <<或06m <<；故D 错误. 故选：AC12．已知边长为2的正三角形ABC 中，O 为BC 中点，动点P 在线段OB 上（不含端点），以AP 为折痕将ABP 折起，使点B 到达B '的位置．记APC α∠=，异面直线B C '与AP 所成角为β，则对于任意点P ，下列成立的是（ ）A ．0'⋅>PABC B ．αβ>C ．存在点B '，使得'⊥B P CPD ．存在点B '，使得AO ⊥平面'B PC 【答案】ABC【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断A 选项；利用空间向量夹角的数量积表示可判断B 选项；利用线面垂直的性质可判断C 选项；利用反证法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为()()PA PC PB PA PC PA PB P PA B PA PC C B ''=⋅-=⋅⋅-⋅=⋅-PA BC =⋅， 由图可知，,PA BC <>为锐角，故0PA B C PA BC '⋅=⋅>，A 对； 对于B 选项，因为BC B P PC B C ''=+>，因为cos cos ,PA BC PA BC PA BCα⋅=<>=⋅，cos cos ,PA B C PA BC PA B C PA B CPA B Cβ'⋅⋅'=<>==''⋅⋅，所以，cos cos αβ<，因为α、β均为锐角且函数cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故αβ>，B 对；对于C 选项，AO PC ⊥，过直线AO 作平面α，使得PC ⊥平面α，设B C E α'=，连接OE ，因为PC ⊥平面α，OE ⊂平面α，则OE PC ⊥，在翻折的过程中，当//PB OE '时，B P PC '⊥，故存在点B '，使得'⊥B P CP ，C 对； 对于D 选项，若AO ⊥平面'B PC ，OB '⊂平面'B PC ，则AO OB '⊥， 221OB B A AO ''∴=-=，事实上，1B P PO OB ''=+>，矛盾，故假设不成立，D 错.故选；ABC.三、填空题13．已知(1,2,1),(2,2,)=-=-a b m m ，且a b ∥，则m =_____________． 【答案】2【分析】由共线向量得22121m m -==-，解方程即可. 【详解】因为a b ∥，所以22121m m-==-，解得2m =. 故答案为：214．若等比数列{}n a 满足21311,3-=-=a a a a ，则{}n a 的前n 项和n S =____________． 【答案】21n -##12n -+【分析】由已知及等比数列的通项公式得到首项和公比，再利用前n 项和公式计算即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知，得2112311(1)1(1)3a a a q a a a q -=-=⎧⎨-=-=⎩， 解得112a q =⎧⎨=⎩，所以1(1)211n n n a q S q -==--. 故答案为：21n -15．已知P 是椭圆22:14x C y +=的上顶点，过原点的直线l 交C 于A ，B 两点，若PAB 2则l 的斜率为____________．【答案】12±【分析】设出直线AB 的方程y kx =，联立椭圆方程得到A 点横坐标满足212414x k =+，再利用11||2||22PABSOP x =⨯=，解方程即可得到答案. 【详解】设直线AB 的方程为：y kx =，11(,)A x y ，11(,)B x y -- 由2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得22(14)40k x +-=， 所以212414x k=+，又(0,1)P 所以11||2||2PAB S OP x =⨯=22214k =+，解得12k =±. 故答案为：12±16．设O 为坐标原点，F 为双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的焦点，过F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若0⋅=OA FA ，且OAB 的内切圆的半径为3a，则C 的离心率为____________．【答案】52##152【分析】01ba b a>>⇒<，作出渐近线图像，由题可知OAB 的内切圆圆心在x 轴上，过内心作OA 和AB 的垂线，可得几何关系，据此即可求解. 【详解】0a b >>∴双曲线渐近线OA 与OB 如图所示，OA 与OB 关于x 轴对称，设△OAB 的内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过点M 分别作MN ON ⊥于点,N MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥，则四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =，∴OA a =，且3a NA MN ==， ∴23a NO =， ∴1tan 2MN bAOF a NO =∠==，则e ==.四、解答题17．现有两个红球（记为1R ，2R ），两个白球（记为1W ，2W ），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球.（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率.【答案】（1）()()()()()(){}121112212212,,,,,,,,,,,R R R W R W R W R W W W Ω=；（2）23. 【分析】（1）按树形结构写出基本事件得事件空间；（2）事件空间中有6个样本点，再观察恰好抽到一个红球一个白球这个事件含有的样本点的个数后可得概率．【详解】解：（1）两个红球（记为1R ，2R ），两个白球（记为1W ，2W ）， 采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间()()()()()(){}121112212212,,,,,,,,,,,R R R W R W R W R W W W Ω=.（2）试验的样本空间()()()()()(){}121112212212,,,,,,,,,,,R R R W R W R W R W W W Ω=，包含6个样本点， 其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点， ∴恰好抽到一个红球一个白球的概率4263P ==. 18．公差不为0的等差数列{}n a 中，8102+=a a ，且91013,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ．若n S λ≥，求λ的取值范围．【答案】(1)217n a n =- (2)28λ≤-【分析】（1）利用等比数列的定义以及等差数列的性质，列出方程即可得到答案；（2）先求出{}n b 的通项，再利用{}n b 的单调性即可得到n S 的最小值，从而求得λ的取值范围．【详解】（1）依题意，210913a a a =⋅，810922a a a +==，所以91a =，设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则2(1)1(14)d d +=⨯+， 解得2d =，所以9(9)217n a a n d n =+-=-（2）2417n n b a n ==-，则数列{}n b 是递增数列， 1234560b b b b b b <<<<<<<，所以1234min (1395128)n S b b b b =+++=----=-， 若n S λ≥，则28λ≤-.19．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O 的东北方向202米的点A 处，有一360︒全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．（温馨提示：为了降低解决问题难度，以O 为原点，正东方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系）(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？请说明理由. (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度． 【答案】(1)不在，理由见解析 (2)17.5米【分析】（1）求出直线AB 的方程，再判断直线AB 与圆O 的位置关系即可得出结论；（2）摄像头监控会被建筑物遮挡，求出过点A 并与圆O 相切的直线方程，再令其与直线10y =-分别联立即可得出答案.【详解】（1）以O 为原点，正东方向为x 轴正方向建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0O ，()20,20A ，观景直道所在直线方程为10y =-， 由题意可得，游客所在点为()5,0B -， 则直线AB 的方程为()2005205y x -=++， 即45200x y -+=，故圆心O 到直线AB 的距离222044145d =<+，故直线AB 与圆O 相交，故游客不在该摄像头监控范围内；（2）由图可得：过点A 的直线l 与圆O 相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l 过A 点且与圆O 相切，（1）若直线l 垂直于x 轴，则l 不可能与圆O 相切， （2）若直线l 不垂直于x 轴，设l ：()2020y k x -=-， 即20200kx y k --+=， 故圆心O 到直线l 的距离2202041k d k -+==+，解得34k =或43k =，故直线l 的方程为()320204y x -=-或()420203y x -=-， 即34200x y -+=或43200x y --=， 设这两条直线与10y =-交于D ，E 两点，由1034200y x y =-⎧⎨-+=⎩解得20x =-， 由1043200y x y =-⎧⎨--=⎩解得 2.5x =-，故17.5DE =，故观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点1B 在底面ABC 内的射影恰好是点C ，D 是AC 的中点，且满足DA DB =．(1)求证：AB ⊥平面11BCC B ；(2)已知22AC BC ==，直线1BB 与底面ABC 所成角的大小为π3，求二面角1C BD C --的大小．【答案】(1)证明见解析； (2)4π.【分析】（1）分别证明出1B C ⊥AB 和BC ⊥AB ，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以C 为原点，1,,CA Cy CB 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.【详解】（1）因为点1B 在底面ABC 内的射影恰好是点C ， 所以1B C ⊥面ABC .因为AB ⊂面ABC ,所以1B C ⊥AB .因为D 是AC 的中点，且满足DA DB =．所以DA DB DC ==，所以,DAB DBA DCB DBC ∠=∠∠=∠. 因为DAB DBA DCB DBC π∠+∠+∠+∠=， 所以2DBA DBC π∠+∠=，即2ABC π∠=,所以BC ⊥AB .因为1B C BC C ⋂=,BC ⊂面11BCC B ,1B C ⊂面11BCC B , 所以AB ⊥平面11BCC B .（2）∵1B C ⊥面ABC ，∴直线1BB 与底面ABC 所成角为1B BC ∠，即1π3B BC ∠=. 因为1BC =，所以1tan 33B C BC π==由（1）知，2ABC π∠=，因为22AC BC ==，所以6BAC π∠=，3ACB π∠=.如图示，以C 为原点，1,,CA Cy CB 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.则()0,0,0C ,132B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()1,0,0D ,(13B ,所以113,32BB ⎛=- ⎝，13,2BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设()1,,C x y z ，由11CC BB =得，()13,,,32x y z ⎛=- ⎝，即113,32C ⎛- ⎝. 则(11,3,3BC =-.设平面BDC 1的一个法向量为(),,n x y z =，则1·33013·002n BC x y z n BD x y ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，不妨令3x =()3,1,2n =.因为1B C ⊥面ABC ，所以面DBC 的一个法向量为(13CB = 记二面角1C BD C --的平面角为θ，由图知，θ为锐角. 所以11100232cos cos ,3314CB n CB n CB nθ++====⨯++⨯,即4πθ=. 所以二面角1C BD C --的大小为4π. 21．某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A ，B 两个等级，其中B 等设备安全系数低于A 等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分B 等设备更新成A 等设备.据统计，2020年底该企业A 等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的B 等设备更新成A 等设备，与此同时，4%的A 等设备由于设备老化将降级成B 等设备.(1)在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A 等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；(2)至少在哪一年底，该企业的A 等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：340.5125⎛⎫= ⎪⎝⎭，440.40965⎛⎫= ⎪⎝⎭，540.327685⎛⎫= ⎪⎝⎭） 【答案】(1)A 等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析； (2)在2025年底实现A 等设备量超过生产设备总量的60%.【分析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过n 年后A 等设备量占总设备量的百分比为n a ，求出n a ，根据n a 的范围进行判断；(2)令n a ＞35即可求解.【详解】（1）记该企业全部生产设备总量为“1”，2020年开始，经过n 年后A 等设备量占总设备量的百分比为n a ， 则经过1年即2021年底该企业A 等设备量1396716210100101005a =⨯+⨯=， ()()14414%16%1525n n n n a a a a +=-+-=+， 可得1444555n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又142055a -=-≠ 所以数列45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以25-为首项，公比为45的等比数列，可得424555n n a ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以414525nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然有45n a <，所以A 等设备量不可能超过生产设备总量的80%. （2）由41435255nn a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得4255n⎛⎫< ⎪⎝⎭.因为45n y ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，又44255⎛⎫> ⎪⎝⎭，54255⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以在2025年底实现A 等设备量超过生产设备总量的60%.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是32，且过点()2,1P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且2OM =求AOB 面积的最大值.【答案】(1)22182x y +=； (2)2.【分析】(1)根据已知条件列出关于a 、b 、c 的方程组即可求得椭圆标准方程；(2)直线l 和x 轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB 面积；直线l 和x 轴不垂直时，设直线方程为点斜式y ＝kx ＋t ，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长2OM =k 和t 的关系，表示出△AOB 的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.【详解】（1）由题知224113a bc a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得222826a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥， 由2OM =6AB 123AOB O S M AB =⋅△ 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 得122814kt x x k -+=+，21224814t x x k -=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM ()2222214116k t k+=+.∵()()()22222212122284814141414kt t AB kx x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t kk -+=++.设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+，结合()2222214116k t k+=+化简得()()22222212411162116AOBk k S AB d k +⎛⎫=⋅=⨯ ⎪⎝⎭+△()2222212412164116k k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦≤⨯=+ 此时AOB 的面积最大，最大值为2.当且仅当221241k k =+即218k =时取等号，综上，AOB 的面积的最大值为2.。
甘肃省会宁二中2015届高三上学期第三次月考数学(理)试题 Word版
甘肃省会宁二中2015届高三上学期第三次月考数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数4312ii++的实部是（ ） A ．-2 B ．2C ．3D ．42．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U ⋂≥-+=≥=则 （ ） A ．}2|{<x x B ．}2|{≤x xC ．}21|{<≤x xD ．}21|{<≤-x x3. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ ） A. 8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-4. “22ab>”是 “22log log a b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5. 已知向量(cos ,2),(sin ,1),//tan()4a b a b πααα=-=-且，则 =（ ）A ．31B. 31-C. 3 D . 3- 6. 有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 7. 求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］8. 下列不等式一定成立的是（ ）A. 21lg()lg (0)4x x x +> > B. 1sin (,)sin x x k k Z xπ+≥2 ≠∈ C. 212()x x x R +≥ ∈ D.211()1x R x > ∈+ 9.的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为（ ）A． B． C． D．10. 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( )A ．285B ．4C ． 125 D ．211． 已知函数)()(),,()(x f x f x f 为的定义域为'+∞-∞的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示，且1)3(,1)2(==-f f ，则不等式1)6(2>-x f 的解集为 （ ） A ．)2,3()3,2(--⋃ B ．)2,2(-C ．（2，3）D ．),2()2,(+∞⋃--∞12．设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）A.23 B. 43 C. 32D. 3第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2021-2022学年吉林省四平市第一高二年级上册学期第三次月考数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．已知椭圆22:143x y C +=，则下列各点不在椭圆内部的是（ ）A ．()1,1B ．)1-C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于1的点即为答案.【详解】由椭圆方程为22:143x y C +=， 因为11714312+=<，所以点()1,1在椭圆内部，A 错误；因为2151436+=<，所以点)1-在椭圆内部，B 错误；因为2271436+=>，所以点在椭圆外部，C 正确；因为1119414348+=<，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆内部，D 错误.故选：C.2．抛物线26y x =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．112y =-C ．y =-6D ．=3y -【答案】A【分析】先把抛物线化成标准方程，求出p ，即可得到准线方程.【详解】抛物线26y x =的标准方程为：216x y =，令2126x y py ==，得112p =，于是该抛物线的准线为：124y =-. 故选：A3．已知椭圆22142x y +=的左顶点为A ，上顶点为B ，则AB =（ ）A ．B ．3C ．4D 【答案】D【分析】由方程得出,A B 的坐标，再由距离公式求解即可 【详解】因为椭圆22142x y +=的左顶点为A ，上顶点为B ，所以()2,0A ，(B ，所以AB =故选：D4．已知双曲线()22101x y a a a -=>+的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a 的值为（ ）A ．18B ．14C ．13D ．12【答案】A【分析】根据“虚轴长是实轴长的3倍”列方程，化简求得a 的自豪.【详解】由题意有(232⨯，解得18a =．故选：A5．已知抛物线23y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上任意一点，则PF 的最小值为（ ） A ．1 B ．34C ．43D ．32【答案】B【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线23y x =的焦点为3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为34x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，00x ≥，根据抛物线的定义有03344PF x =+≥，故PF 的最小值为34．故选：B6．已知方程22124x y m m+=--表示一个焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()2,3C ．()()2,33,4D ．()2,4【答案】B【分析】由椭圆的简单几何性质即可求解.【详解】解：因为方程22124x y m m+=--表示一个焦点在y 轴上的椭圆，所以有20,40,24,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得23m <<，所以实数m 的取值范围为23m <<， 故选：B.7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1e ，双曲线22222:1x y C a b-=的离心率为2e ，则（ ）A ．212e e =B ．112e e +=C ．22211e e =+ D ．22122e e +=【答案】D【分析】根据给定的方程求出离心率1e ，2e 的表达式，再计算判断作答.【详解】因椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为1e ，则有22221221a b b e a a -==-， 因双曲线22222:1x y C a b-=的离心率为2e ，则有22222221a b b e a a +==+，所以22122e e +=. 故选：D8．直线(0)y kx k =>与双曲线22126x y -=没有交点，则k 的取值范围为（ ）A．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．(2,)+∞ C．)+∞ D．【答案】C【解析】把直线方程代入双曲线方程，方程无解即得．【详解】由22126y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩得221126k x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此方程无实数解，则21026k -≤，解得k ≤k ≥又0k >，所以k ≥故选：C ．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作双曲线C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为12,H H ，若21120H FH ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） ABCD【答案】A【解析】转化条件为该双曲线的一条渐近线的倾斜角为30，进而可得3a b ，由离心率公式即可得解.【详解】由题意，1260H OH ∠=(O 为坐标原点)，所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为30， 所以3tan 303b a ==，即3a b ，所以离心率22423133c b e a a ==+==. 故选：A.10．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，212PF F F ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若||4bOQ =，则椭圆C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．12D ．23【答案】B【解析】由题可得212OQ PF =，代入点P 的横坐标x c =可得2by a =，则有224b b a =，解得2a b =，即可由此求出离心率.【详解】设2F 的坐标为(,0)c ，由2//OQ PF ，可得212OQ PF =， 代入点P 的横坐标x c =，有22221c y a b+=，可得2by a =，则有224b ba =，得2ab =， 则椭圆C 的离心率为222243ca b b b e a--====故选：B.11．已知抛物线2:2(0),C y px p O =>为坐标原点，点P 为抛物线上的一点，且点P 在x 轴的上方，若线段OP 的垂直平分线过点()2,0Q p ，则直线OP 的斜率为（ ） A ．1 B ．2C ．12D ．32【答案】A【分析】设出点P 的坐标，写出的线段OP 所在直线的解析式，进而求出线段OP 垂直平分线所在直线的解析式，通过线段OP 的垂直平分线过点()2,0Q p ，得到点P 的横坐标与p 的关系，即可求出直线OP 的斜率.【详解】解：由题意设(0P x，则0:OP l y x =，线段OP的中点为02x A ⎛⎝⎭∴线段OP的垂直平分线为：:AQ l y =∵线段OP 的垂直平分线过点()2,0Q p∴20p =解得：02x p =∴直线OP1=故选：A.12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线的右支相交于A ，B 两点，12224BF BF AF ==，1ABF 的周长为10，则双曲线C 的焦距为（ ） A ．3 BCD【答案】C【分析】由双曲线的定义和三角形的周长解得m 的值，再由余弦定理列式可得结果. 【详解】设2AF m =，22BF m =，14BF m =， 由双曲线的定义知：121222AF AF BF BF a m -=-==， ∴13AF m =，a =m ，∴有23410m m m m +++=，解得1m =，∵在12AF F 和12BF F 中，1212cos cos 0F F A F F B ∠+∠=，∴由余弦定理得224194416048c c c c +-+-+=，解得c =．故选：C.二、填空题13．椭圆222520x y +=的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则抛物线的标准方程为__________.【答案】2y =【分析】由已知，先将椭圆方程化为标准形式，然后读取其焦点坐标，然后再根据给出的抛物线方程，写出其焦点坐标，列出等量关系，即可求解方程. 【详解】由已知，椭圆222520x y +=，可化为：221104x y +=，所以其焦点坐标为)和()， 抛物线22(0)y px p =>，其焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，因为椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，所以2pp ==所以抛物线的标准方程为：2y =.故答案为：2y =.14．已知双曲线2214x y m +=的一条渐近线与直线6210x y --=垂直，则m 的值为__________.【答案】49-【分析】由垂直得一条渐近线的斜率，从而结合双曲线标准方程求得m 值．【详解】一条渐近线与直线6210x y --=垂直，则该渐近线的斜率为13-，双曲线的标准方程为2214x y m -=-，2a =，b =13=-，49m =-．故答案为：49-．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线C 上，212AF F F ⊥，直线1AF 与双曲线C 交于另一点B ，114F F A B =，则双曲线C 的离心率为___________.【分析】根据题目条件设点A 和B 的坐标，带入双曲线方程即可. 【详解】由于212AF F F ⊥ ，不妨设点A 的坐标为()(),0c m m >， 点B 的坐标为(),s t ，有22221c m a b -=，解得2b m a=，又由212,b F A c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,F B s c y =+，有()22,4,b c s c y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2c s =-，24b t a=，将点B 的坐标代入双曲线方程，有22221416c b a a -=，22222241,31616c b c a a a-=+=， 解得c =，双曲线C 的离心率为ce a=.三、双空题16．已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，点P 为抛物线上的一个动点，则点P 到准线l 和直线50x y -+=的距离之和的最小值为__________，此时点P 的坐标为__________.【答案】 ()32-【分析】根据抛物线的定义把点P 到l 的距离转化到点P 到焦点F 的距离，就是求点F 到直线50x y -+=的距离，从而能求出直线FP ，与抛物线2:4C y x =联立可求点P 的坐标.【详解】设过点P 分别向l 和50x y -+=作垂线，垂足分别为12,P P ， 因为抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，由抛物线的定义得：1PP PF =， 所以只需要求2PF PP +最小即可.当且仅当2,,F P P 三点共线时2PF PP +最小，且最小值为点F 到直线50x y -+=的距离，即=此时直线50x y -+=与FP 垂直，所以1FP k =-，所以直线FP 为：()1y x =--直线FP 与抛物线2:4C y x =联立得()214x x -=，即2610x x -+=，且01x <<所以32x y =-=，故点P ()32-答案为：()32-四、解答题17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点坐标为12(6,0),(6,0)F F -，且经过点()5,2P ； (2)焦点在坐标轴上，经过点(22,2),(23,2)--. 【答案】(1)2215x y -=；(2)22142x y -=.【分析】（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答. （2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.【详解】（1）因双曲线的焦点坐标为12(6,0),(6,0)F F -，且经过点()5,2P ，令双曲线实半轴长为a ， 则有2222122||||(56)2(56)23510635106a PF PF =-++-++-22(305)(305)25=+-=5a =6c =b 有2221b c a =-=，所以所求双曲线的标准方程为2215x y -=.（2）依题意，设双曲线的方程为：221(0)mx ny mn +=<，于是得8211241m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：11,42m n ==-，所以所求双曲线的标准方程为22142x y -=. 18．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，点Q 为线段PF 的中点．(1)求点Q 的轨迹方程；(2)求点Q 的轨迹与双曲线224x y -=的交点坐标． 【答案】(1)244y x =-(2)(4,，(4,-．【分析】（1）利用中点坐标公式与直接代入法即可求得点Q 的轨迹方程； （2）联立两曲线方程，解之即可得解. 【详解】（1）设点Q 的坐标为(),x y ，因为抛物线C ：28y x =，所以点F 的坐标为()2,0， 又点Q 为线段PF 的中点，所以点P 的坐标()22,2x y -，将点P 的坐标代入抛物线C 的方程，得()24822y x =-，整理为244y x =-，故点Q 的轨迹方程为244y x =-；（2）联立方222444x y y x ⎧-=⎨=-⎩，解得4x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩故点Q 的轨迹与双曲线224x y -=的交点坐标为(4,，(4,-．19．已知椭圆：22:12x C y +=，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段AB 的中点.(1)求直线l 的方程；(2)若O 为坐标原点，求OAB 的面积. 【答案】(1)2230x y +-=【分析】（1）由题意，直线l 的斜率存在，设出直线l 的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理即可求出斜率k ，从而即可得答案；（2）根据弦长公式求出弦AB 的长，由点到直线的距离公式求出高，然后由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）解：由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()112y k x -=-，即12y kx k =+-，()()1122,,,A x y B x y ，由221212y kx k x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()()222242484430k x k k x k k ++-+--=， 因为点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段AB 的中点，所以2122842142k k x x k -+==⨯+，解得1k =-，直线l 的方程为()()1112y x -=-⨯-，即2230x y +-=；（2）解：由（1）知122x x +=，21224435642k k x x k --==+， 所以AB === O 到直线l的距离d ==所以1122OABSAB d ===20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3OA OB ⋅=-. (1)求p 的值；(2)若以线段AB 为直径的圆与直线4x =相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)2(2)22y x =-或22y x =-+.【分析】（1）设点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，直线l 的方程为2pmy x =-，联立抛物线方程得2220y pmy p --=，已知3OA OB ⋅=-，利用数量积的坐标运算和韦达定理，即可求出p 的值； （2）利用韦达定理求出弦长AB ，已知以线段AB 为直径的圆与直线4x =相切，求出半径列得方程求解即可算出参数m 的值，进而得到直线方程. 【详解】（1）设点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ， 由点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p my x =-，联立方程222y pxp my x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x 后整理得2220y pmy p --=，所以122y y pm +=，212y y p =-，2221212244y y p x x p ==.又由22212123344p p OA OB x x y y p ⋅=+=-=-=-，解得2p =. 所以p 的值为2.（2）由()21212124,242y y m x x m y y m +=+=++=+，可得线段AB 中点的坐标为()221,2m m +，212244AB x x m =++=+.若以线段AB 为直径的圆与直线4x =相切， 有()221442142m m +=+-，解得12m =±. 所以直线l 的方程为112y x ±=-，即22y x =-或22y x =-+. 21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y +=，点()1-在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)过定点()0,1P 的动直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于,A B 两点，与其两条渐近线分别交于,M N （点M 在点N 的左边）两点，证明：线段AM 与线段BN 的长度始终相等.【答案】(1)2214x y -= (2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，从而求得双曲线C 的标准方程.（2）设出直线l 的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断出线段AB 和MN 共中点，从而证得线段AM 与线段BN 的长度始终相等.【详解】（1）由双曲线2222:1x y C a b-=可得渐近线方程为b y x a =-， 由渐近线方程20x y +=的斜率为12-，有12b a -=-，可得2a b =.将点()1-代入双曲线C 的方程，有22811a b-=. 联立方程222811a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩， 故双曲线C 的标准方程为2214x y -=. （2）设点,,,A B M N 的坐标分别为()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y ，线段AB 的中点D 的坐标为()55,x y ，线段MN 的中点E 的坐标为()66,x y .依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，12k ≠±， 联立方程112y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得3221x k =-+；联立方程112y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得4221x k =--. 所以可得6212242212141k x k k k ⎛⎫=--=- ⎪+--⎝⎭. 联立方程22114y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 后整理得()2241880k x kx -++=， 由()22264324132640k k k ∆=--=->解得2222k -<<，且12k ≠±， 由于直线l 与双曲线左右两支分别相交，所以1122k -<<. 所以122841k x x k +=--，可得52441k x k =--，所以56x x =， 所以线段AB 和MN 共中点，故有AM BN =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1M ：2213y x +=，椭圆2M ：22193x y +=，点P 为椭圆1M 的上顶点，点A ，C 为椭圆1M 上关于原点对称的两个动点.斜率为1k 的直线P A 与椭圆2M 交于另一点B ，斜率为2k 的直线PC 与椭圆2M 交于另一点D(1)求12k k 的值；(2)求PA PC PB PD +的值. 【答案】(1)-3 (2)109 【分析】(1)设点A 的坐标为(),m n ，则点C 的坐标为(),m n --，且2213n m +=， 根据两点斜率公式求12k k ，，由此可得12k k 的值；(2)分别联立直线AP 与椭圆方程1M ，2M 求点A 的横坐标和点B 的横坐标，由此可求PAPB ，同理可求PC PD ，再求PA PC PB PD+的值. 【详解】（1）设点A 的坐标为(),m n ，可得点C 的坐标为(),m n --，由点A 在椭圆1M 上有2213n m +=，可得2233n m -=， 点P 的坐标为()0,3，由13n k m -=，233n n k m m --+==-， 有()()221222233333n n nm k k m m m-+--====-， 故12k k 的值为-3；（2）直线AP 的方程为13y k x =+，联立方程消去y 可得()22113230k x k x ++=，解得0x =或1123k x =A 的横坐标为1123A k x =联立方程1223,1,93y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()221131630k x k x ++=，解得0x =或1163k x =，点B 的横坐标为12163B k x = 有()122112112123331336331k PA k k PB k k k -++=+-+；同理()()()22221211222221113313127273333993333PC k k k k PD k k k k ⎛⎫⨯-+ ⎪+++⎝⎭====⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 可得()()()()()()()()22222211111122222111119327103312710301093393939393k k k PA PC k k k PB PD k k k k k ++++++++=+====+++++， 故PA PC PB PD +的值为109.。
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高二数学上学期第三次月考试题理（无答案）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.平面内有两定点A、B及动点P ，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B
为焦点的椭圆”，那么
A. 甲是乙成立的充分不必要条件
B. 甲是乙成立的必要不充分条件
C. 甲是乙成立的充要条件
D. 甲是乙成立的非充分非必要条件
2.若，则的最小值为
A. 6
B. 12
C. 16
D. 24
3.抛物线的焦点为F，过焦点F 且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B 两点，若，
则抛物线的方程为
A. B. C. D.
4.已知变量满足的值范围是
A. B. C. D.
5.如图，，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A 是，在第一象限的公共点若
，则的离心率是
A. B. C. D.
6.已知命题p ：，使；命题q ：，都有给出下列结论：
命题“”是真命题；命题“”是假命题
命题“”是真命题；
命题“”是假命题；
其中正确的是
A. B. C. D.
7.已知向量，且与互相垂直，则
A. B. C. D.
8.已知椭圆，其中，则椭圆形状最圆时的方程为
A. B. C. D.
9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c ，且若，则的形
状是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
10.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的
方程为
A. B. C. D.
11.已知,
a Z
∈关于x的一元二次不等式260
x x a
-+≤的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a值之和是（）
A．13 B．18 C．21 D．26
12.过抛物线：的焦点F 作倾斜角为的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A 也在双曲线：的一条渐近线上，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前n 项和________
14.已知变量x,y满足约束条件
2
1
1
y
x y
x y
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪-≤
⎩
,则z=3|x|+y的取值范围为___________
15.直线与曲线交点的个数为______ ．
16.给出下列五个结论：
在中，若，则必有；
在中，若成等比数列，则角的取值范围为；
等比数列中，若则；
等差数列的前项和为，且，满足对恒成立，则正整数
构成集合为；
若关于的不等式的解集为，则的取值范围为．
其中正确的结论是 . 三、解答题（总6小题，共70分） 17.已知命题p ：实数m 满足方程
表示双曲线；命题q ：实数m 满足方程
表
示焦点在y 轴上的椭圆，且q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
18.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为1
2
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →
，求直线l 的方程． 19.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
的面积为
求 ；
若，
，求
的周长．
20.已知点F 是拋物线C ：
的焦点，若点
在C 上，且
．
求p 的值；
若直线l 经过点
且与C 交于A ，异于两点，证明：直线AM 与直线BM 的
斜率之积为常数．
21.已知数列是等比数列，首项，公比，其前n 项和为，且，，成等差数
列．
Ⅰ
求数列的通项公式；
Ⅱ若数列满足，为数列的前n 项和，若恒
成立，求m 的最大值．
22.已知椭圆C ：
的离心率为，且过点
求椭圆C 的方程；
设与圆O ：相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求面积的最大值．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。