函数的性质在数列中的应用

四、利用一次函数的特点 (一)利用等差数列通项公式是一次形式的性质 【例4】 已知数列{an}，“对任意n∈N*，点 ( )
P n(n，an)都在直线y＝3x＋2上”是“{an}成等 差数列”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
解析
对任意n∈N*，点P n(n，an)都在直线y＝3x＋2
点评 Sn
在等差数列{an}中，其前n项和公式Sn可以变
Sn d 形为 ＝ n＋ a1－ ，所以 是n的一次函数，且点 2 n 2 n
d
Sn d 上．因此在解等差数 n， 均在直线y＝dx＋ 2 a1－2 n 列问题时，若能把问题转化为一次函数来研究，就 很方便快捷．
(二)利用变化等差数列的前n项和公式为一次函数的 特点解题 等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋ Sn n(n－1)d 2 是关于n的
二次函数，且 是关于n的一次函数，因此，可以 n 利用一次函数y＝kx＋b的性质研究有关等差数列的前 n项和的问题．
【例 5】 已知项数为奇数的等差数列奇数项的和为 44，偶数项的和为 33，求这个数列的项数及中间 项．
去解题，也可以利用数列的函数特征转化为函数单调 性去解决．本题用第二种思路解之．
二、巧用函数的周期性 【例2】 数列{an}满足a1＝a2＝1，a3＝2，且对任意
自然数n均有an·an＋1·an＋2≠1，又an·an＋1·an＋2 ·an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，则a1＋a2＋a3＋„＋ a100的值是______． 解析 由a1＝a2＝1，a3＝2，可得a4＝4，
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12，S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1，S2，„，S12中哪一个值最大，并说明 理由．
S ＝12a ＋12×11×d>0 1 12 2 (1)由已知得 13×12×d <0 S13＝13a1＋ 2 a3＝a1＋2d＝12， 24 解得－ <d<－3. 7
又an·an＋1·an＋2·an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3， an＋1·an＋2·an＋3·an＋4＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4，
将以上两式相减得(an－an＋4)(an＋1·an＋2·an＋3－1) ＝0， 又已知条件知an＋1·an＋2·an＋3≠1， 故an＋4＝an，故数列{an}的周期为4. ∴a1＋a2＋a3＋a4＋„＋a100＝25(a1＋a2＋a3＋a4) ＝25×8＝200. 点评 若{an}为周期数列，则周期为T(T为正整数)时，
解析
设这个数列共有2n＋1项且n为偶数，
Sn 由于f (n)＝ 是关于n的一次函数， n 44 33 77 n＋1， n， 2n＋1， 则点 ， ， 共线． n＋1 n 2n＋1 77 33 77 44 － － 2n＋1 n 2n＋1 n＋1 由斜率相等得 ＝ ⇒n＝3. 2n＋1－n 2n＋1－(n＋1) 所以该数列共有7项，中间项为11.
an 1
98 97 . n 98
如图所示，类似反比例函数的图象，显然a9最小， a10最大． 故选C.
点评 数列的通项公式就是一个函数表达式，求数 列的最大项和最小项需要分析数列的函数性质，找 准单调区间，或画出图象观察最高点和最低点．求 数列的最大项或最小项时，通常有两种方法：一是 考查数列的单调性；二是作出数列的点列图形，找 最高点和最低点．
点评
等差数列前n项和Sn图象是过原点的抛物线上 b
1 a1 一些孤立点，对称轴为n＝－ ＝ 2 － ，(1)当d>0 2a d 1 a1 时，抛物线开口向上，n取最接近于 2 － d 的正整数 时，Sn有最小值，(2)当d<0时，抛物线开口向下，n 1 a1 取最接近于 2 － d 的正整数时Sn有最大值．用该性质 解等差数列与Sn最值相关问题简洁直观． 总之，我们在解决数列问题时，应充分利用函数的 有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起 函数与数列间的桥梁，揭示它们间的内在联系，从 而有效地分解数列问题．
五、利用二次函数的特点解题 等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋ n(n－1)d 2 是关于
n的二次函数．因此，可以利用二次函数y＝ax2＋ d d bx＋c 其中a＝ ，b＝a1－ ，c＝0 解决等差数列 2 2 与Sn最值相关问题．
【例6】
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝
【例 1】 判断数列{an}的增减性，其中
1n an＝1－ . 2
1 x ＋ 解析 考察函数f (x)＝1－ (x∈R )的单调性可知它 2 1 是增函数，所以数列an＝1－ n是递增数列． 2
点评 本题可以由数列单调性定义比较an＋1与an的பைடு நூலகம்小
上，即an＝3n＋2，所以{an}成等差数列，反之，{an} 成等差数列，虽然必有对任意n∈N*，点P n(n，an)都 在直线上，但满足直线y＝3x＋2上的点不一定都是 (n，an)，故选A. 点评 公差不为0的等差数列的{an}的通项公式an＝a1＋(n
－1)d＝dn＋(a1－d)是关于n的一次函数，因此， 可以利用一次函数y＝kx＋b的性质研究等差数列的通 项问题，其中k＝d，b＝a1－d.
备课资讯 5 函数的性质在数列中的 应用
数列是一种特殊的函数： 定义域为正整数集 N*(或它 的有限子集{1,2,3，„，n})的函数，数列的通项公式 就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察 数列问题也是一种有效的途径，就此作初步探讨．
一、解答数列的增减性问题 对于数列{an}，若an＋1>an对于任意的正整数n都成 立，则数列{an}成为递增数列；若an＋1<an对于任意 的正整数n都成立，则数列{an}成为递减数列；若 an＋1＝an对于任意的正整数n都成立，则数列{an}成 为常数数列． 这一定义，类似于函数单调性的概念，但又有所 区别，我们可以利用函数思想探求数列的单调 性．
an＝an＋T，可将an转化为a1，a2，…，aT处理．
三、利用反比例函数平移后的单调性解题 【例3】 已知an＝ n－ 97 n－ 98 中，最大项和最小项分别是 A．a1，a30 C．a10，a9 解析
将an
，则在数列{an}的前30项 ( )
B．a1，a9 D．a10，a30
n 97 分离为部分分式得: n 98
解
1 (2)由a3＝12得，Sn＝n(12－2d)＋ n(n－1)d 2 d 15－242 d15－242 ＝ n－ － 2 2 ， 2 2 d d 24 n－15－ 2最小时，S 最大． ∵d<0，∴当 n 2 d 24 ∵－ <d<－3， 7 15－24 ∴6< <6.5， 2 d 24 n－15－ 2最小． ∴正整数n＝6时， 2 d 所以，S1，S2，„，S12中S6的值最大．