2020年高二暑假数学补习训练题 (29)-0708(解析版)
2020年新版新高二暑期衔接数学讲义(含答案)
新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。
此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。
3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。
相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。
(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。
5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。
6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。
7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。
第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。
8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。
9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。
如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。
10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。
11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。
2020年高二暑假数学补习训练题 (14)-0708(解析版)
2020年高二暑假数学补习训练题 (14)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 集合A ={0,2}，B ={x ∈N|x <3}，则A ∩B =( )A. {2}B. {0,2}C. (0,2]D. [0,2]2. 复数11+i =( )A. 12−12iB. 12+12iC. 1−iD. 1+i3. sin20π3=( )A. −√32B. √32C. −12D. 124. 我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法( )A. 10种B. 16种C. 25种D. 32种 5. 函数f(x)=3x −√x+16的零点所在区间是( )A. (O,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 6. 设a =sin2，b =log 0.3π，c =40.5，则( ) A. b <a <c B. a <b <c C. c <a <bD. b <c <a7. 用min{a,b}表示a ，b 两个数中的较小值，设f(x)=min{2x −1,1x }(x >0)，则f(x)的最大值为( )A. −1B. 1C. 0D. 不存在8. 在用数学归纳法证明不等式“当n ≥2时1n+1+1n+2+⋯+13n >910”时，第2步由n =k(k ≥2)不等式成立，推证n =k +1时左边的表达式为( )A. 1k+1+1k+2+⋯+13k B. 1k+1+1k+2+⋯+13k+1C. 1k+2+1k+3+⋯+13k +13k+1+13k+2+13(k+1) D. 1k+1+1k+2+⋯+13k +13k+1+13k+2+13(k+1)9. 已知函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(−∞,3]，(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0，且f(x +3)是R 上的偶函数，若f(2a −1)≤f(4)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,32] B. (−∞,52]C. [32,52]D. (−∞,32]∪[52,+∞)10. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(2)=3，且f′(x )<1，则不等式f(x 2)<x 2+1的解集是( )．A. (−∞,−√2)B. (√2,+∞)C. (−√2,√2)D. (−∞,−√2)∪(√2,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知幂函数y =f(x)的图象经过点(2,12)，则f(12)的值为__________．12. 若函数f(x)=(k 2−3k +2)x +b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围为____________． 13. 从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的不同方案有______ 种． 14. 函数f(x)=√3sin (x 2−π4) ,x ∈R 的最小正周期为__________． 15. 二项式(√x 3−2x )8的展开式中的常数项为______．16. 如果随机变量X ～B(100,0.2)，那么D(4X +3)= ______ ．17. 已知函数f(x)={2−|x|,x ≤2(x −2)2,x >2，若方程f(x)=t 恰有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2−6x +8<0}，B ={x|(x −a)⋅(x −3a)<0}．(1)若a =1，求A ∩B ；(2)若A ∩B =⌀，求a 的取值范围．19. 从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数．(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值与方差；20. 已知函数f(x)=−x 2+2x,x ∈[−2,a]，求f(x)的值域．21. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ) ( A >0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)若x ∈[−π2,π12]，求f(x)的值域．22. 已知函数f(x)=xlnx +kx,k ∈R ．(1)求y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)若不等式f(x)≤x 2+x 恒成立，求k 的取值范围；(3)求证：当n ∈N ∗时，不等式∑ln n i=1(4i 2−1)>2n 2−n 2n+1成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}={0,1，2}，则A∩B={0,2}．故选：B．根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题．2.答案：A解析：解：11+i =1−i(1+i)(1−i)=12−i2故选A由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题3.答案：B解析：解：sin20π3=sin(6π+2π3)=sin2π3=sinπ3=√32．故选：B．运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查分步计数原理的应用，理解好题意，从一层到五层共分四步．通过层与层之间的走法，利用分步计数原理求解一层到五层的走法．【解答】解：共分4步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24=16种．故选B．5.答案：B解析：解：∵f(0)=1−1−6<0，f(1)=−72<0，f(2)=9−6−√2+1=4−√2>0，∴函数f(x)的零点在区间(1,2)能，故选：B．分别求出f(0)，f(1)，f(2)的值，得出f(1)<0，f(2)>0，从而得出答案．本题考查了函数的零点的判定定理，用特殊值代入即可求出．6.答案：A解析：【分析】本题考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．容易得出0<sin2<1, log 0.3π<0, 40.5>1，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：∵0<sin2<1，log 0.3π<log 0.31=0，40.5>40=1， ∴b <a <c ． 故选：A ． 7.答案：B解析：【分析】本小题主要考查函数单调性的应用、函数的最值及其几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．先根据符号：min{a,b}的含义化简函数f(x)的表达式，变成分段函数的形式，再画出函数的图象，观察图象的最高点即可得f(x)的最大值． 【解答】解：由方程2x −1=1x ，(x >0)， 得：x =1，∴f(x)={2x −1,0<x ≤11x,x >1,画出此函数的图象，如图，由图可知：当x =1时，f(x)的值最大，最大值为1． 故选B ． 8.答案：C解析：本题考查了数学归纳法的步骤的第二步②注意从k 到k +1的变化.显然13k 不是第k 项，应是第2k 项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k 收尾故n =k +1时最后一项应为13(k+1)所以在3k 后面还有3k +1、3k +2.最后才为3k +3即3(k +1)应选择C ． 9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性和奇偶性，以及函数的对称性，属于中档题．根据题意，由f(x +3)是R 上的偶函数，分析可得函数f(x)的图象关于直线x =3对称，进而分析可得函数f(x)在(−∞,3]上是增函数，可得在[3,+∞)上是减函数，从而将f(2a −1)≤f(4)转化为|2a −1−3|≥4−3，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，f(x +3)是R 上的偶函数， 则函数f(x)的图象关于直线x =3对称，又由函数f(x)满足对任意的x 1，x 2∈(−∞,3]，(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0， 则函数f(x)在(−∞,3]上是增函数，又由函数f(x)的图象关于直线x =3对称， 则函数f(x)在[3,+∞)上是减函数， 若f(2a −1)≤f(4)，则有|2a −1−3|≥4−3，即|a −2|≥12， 解得：a ≤32或a ≥52，所以a 的取值范围是(−∞,32]∪[52,+∞)． 故选：D ． 10.答案：D解析：【分析】本题考查利用导数研究函数单调性，以及利用构造法构造新函数解不等式，同时考查了转化思想，属于中档题．根据条件构造F(x)=f(x)−x ，利用导数研究函数的单调性，然后将f(x 2)<x 2+1可转化成f(x 2)−x 2<f(2)−2即F(x 2)<F(2)，根据单调性建立关系，解之即可． 【解答】解：令F(x)=f(x)−x ，又f ′(x )<1， 则F′(x)=f ′(x )−1<0， ∴F(x)在R 上单调递减． ∵f(2)=3，∴f(x 2)<x 2+1可转化成f(x 2)−x 2<f(2)−2， 即F(x 2)<F(2)．根据F(x)在R 上单调递减则x 2>2， 解得x ∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞)． 故选：D ． 11.答案：2解析：【分析】本题考查了幂函数的解析式和求值，属于基础题． 【解答】解：设幂函数的解析式为y =x a ，则函数y =f(x)的图象经过点(2,12)，故2a =12，解得a =−1，故函数解析式为y =x −1，则f(12)=2．故答案为2．12.答案：(1,2)解析：【分析】本题考查函数的单调性，涉及不等式的解法，问题等价于k 2−3k +2<0，解不等式可得，属基础题． 【解答】解：∵函数f(x)=(k 2−3k +2)x +b 在R 上是减函数， ∴k 2−3k +2<0，即(k −1)(k −2)<0， 解不等式可得1<k <2 ∴k 的取值范围为：(1,2) 故答案为(1,2)13.答案：2100解析：解：∵从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组， 由分层抽样知道从男生中抽取6×515=2人，从女生中抽取6×1015=4人，共有C 52C 104=2100种， 故答案为：2100．用分层抽样做出从男生中抽取2人，从女生中抽取4人，共有C 52C 104种结果，问题得以解决． 本题考查了分层抽样和排列组合的问题，属于基础题． 14.答案：4π解析：函数f(x)=√3sin (x2−π4) 的最小正周期为T =2π12=4π .15.答案：112解析：解：展开式的通项为T r+1=(−2)r C 8r x83−43r ， 令83−43r =0得r =2，所以展开式中的常数项为(−2)2C 82=112． 故答案为：112．利用二项展开式的通项公式求出二项式(√x 3−2x )8展开式的通项，令x 的指数为0求出r ，将r 的值代入通项求出展开式的常数项．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 16.答案：256解析：解：∵随机变量X ～B(100,0.2)， ∴Dξ=100×0.2×0.8=16，∴D(4X +3)=16Dξ=16×16=256．故答案为：256．利用二项分布的方差的性质求解．本题考查二项分布的方差的计算，解题时要认真审题，是基础题． 17.答案：(0,2)解析：解：已知函数的图象如图：方程f(x)=t 恰有3个不同的实数根， 则圆锥函数图象与y =t 有三个交点，由图象可知，当t ∈(0,2)满足题意；故答案为：(0,2)由题意，画出已知函数的图象，结合图象找出满足与y =t 有三个交点的t 的范围．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，考查数形结合的思想方法；难度中档．18.答案：解：(1)由A 中不等式变形得：(x −2)(x −4)<0， 解得：2<x <4，即A ={x|2<x <4}．把a =1代入B 得：(x −1)(x −3)<0，解得：1<x <3，即B ={x|1<x <3}．则A ∩B ={x|2<x <3}． (2)要满足A ∩B =⌀，当a =0时，B =⌀满足条件；当a >0时，B ={x|a <x <3a}，可得a ≥4或3a ≤2． 解得：0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ={x|3a <x <a}，显然a <0时成立， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,23]∪[4,+∞)．解析：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．(1)求出A 中不等式的解集确定出A ，把a =1代入确定出B ，求出A 与B 的交集即可； (2)由A 与B 交集为空集，分a =0，a >0与a <0三种情况求出a 的范围即可． 19.答案：解：(1)ξ可能取的值为0，1，2， 且P(ξ=0)=C 20·C 53C 73=27，P(ξ=1)=C 21·C 52C 73=47，P(ξ=2)=C 22·C 51C 73=17，所以ξ的分布列为(2)E(ξ)=0×27+1×47+2×17=67，D(ξ)=(0−67)2×27+(1−67)2×47+(2−67)2×17=140343=2049．解析：本题考查离散型随机变量及其分布列以及期望与方差的计算，属于中档题．(1)ξ可能取的值为0，1，2，求出相应的概率，进而得到分布列； (2)通过期望和方差公式计算，即可得到ξ的均值与方差．20.答案：解：f(x)=−x 2+2x =−(x −1)2+1，a >−2， (1)当−2<a ≤1时，f(x)在[−2,a]单调递增，f (x )min =f (−2)=−8,f (x )max =f (a )=−a 2+2a ， ∴f(x)的值域为[−8,−a 2+2a];(2)当1≤a ≤4时，f(x)在[−2,1]递增，在[1,a]递减，f (x )min =f (−2)=−8,f (x )max =f (1)=1, ∴f(x)的值域为[−8,1]; (3)当a >4时，f(x)在[−2,1]递增，在[1,a]递减，f (x )min =f (a )=−a 2+2a,f (x )max =f (1)=1， ∴f(x)的值域为[−a 2+2a,1]．综上：当−2<a ≤1时，f(x)的值域为[−8,−a 2+2a]; 当1≤a ≤4时，f(x)的值域为[−8,1]; 当a >4时，f(x)的值域为[−a 2+2a,1]．解析：本题考查二次函数单调性与最值问题，对称轴固定，区间不定，通过讨论a 与对称轴的关系，讨论函数在区间上的单调性与最值．21.答案：解：(1)设函数f(x)的最小正周期为T ，由图象知：A =2，14T =π6−(−π12)=π4，所以周期T =π，从而ω=2πT=2.因为函数图象过点(−π12,2)，所以sin(−π6+φ)=1.因为0<φ<π，所以−π6<−π6+φ<5π6，所以−π6+φ=π2，解得φ=2π3.因此A =2，ω=2，φ=2π3．(2)由(1)知f(x)=2sin(2x +2π3).因为x ∈[−π2,π12]， 所以−π3≤2x +2π3≤5π6，所以− √32≤sin(2x +2π3)≤1，从而函数f(x)的值域为[−√3,2]．解析：本题考查三角函数y =Asin(ωx +φ)的图像与性质，属于中档题．(1)根据函数的图像写函数的解析式；(2)由x 得范围得到−π3≤2x +2π3≤5π6，然后求得− √32≤sin(2x +2π3)≤1，从而确定函数的值域． 22.答案：解：(1)函数y =f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=1+lnx +k ，f ′(1)=1+k ，∵f(1)=k ，∴函数y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −k =(k +1)(x −1)， 即y =(k +1)x −1；(2)设g(x)=lnx −x +k −1，g ′(x)=1x −1， x ∈(0,1)，g ′(x)>0，g(x)单调递增， x ∈(1,+∞)，g ′(x)<0，g(x)单调递减， ∵不等式f(x)≤x 2+x 恒成立，且x >0， ∴lnx −x +k −1≤0，∴g(x)max =g(1)=k −2≤0即可，故k ≤2， (3)由(2)可知：当k =2时，lnx ≤x −1恒成立， 令x =14i 2−1，由于i ∈N ∗，14i 2−1>0．故，ln 14i 2−1<14i 2−1−1，整理得：ln(4i 2−1)>1−14i 2−1， 变形得：：ln(4i 2−1)>1−1(2i+1)(2i−1)， 即：ln(4i 2−1)>1−12(12i−1−12i+1) i =1，2，3……，n 时，有ln3>1−12 (1−13)’ ln5>1−12 (1−13)…………ln(4n 2−1)>1−12 (12n−1−12n+1)两边同时相加得：∑ln n i=1(4i 2−1)>n −12(1−12n+1)=2n22n+1>2n2−n 2n+1，所以不等式在n ∈N ∗上恒成立．解析：本题考查了导数的几何意义，导数证明单调性，导数恒成立问题，导数中的不等式证明，属于难题．(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；(2)构造函数g(x)=lnx −x +k −1，然后求导，结合导数可研究其单调性，由不等式的恒成立转化为求解函数的最值，可求；(3)由(2)可知：当k =2时，lnx ≤x −1恒成立，对已知不等式进行赋值，转化为所要证明的不等式的左边，利用累加法即可证明．。
2019-2020高二下学期数学期末考试模拟试卷 (1)-0708(解析版)
2019-2020高二下学期数学期末考试模拟试卷 (1)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x<3}，B={x∈Z|x2<4}，则A∩B=()A. {0,1}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，1}D. {−2,−1,0，1，2}2.已知复数z满足(1−i)z=1+i，则复数|z|=()A. √2B. 1C. √3D. 23.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6=4+a4，则S9=()A. 18B. 24C. 48D. 364.已知向量a⃗=(4,−1)，b⃗ =(2,m)，且a⃗//(a⃗+b⃗ )，则m=()A. 12B. −12C. 2D. −25.以图中的8个点为顶点的三角形的个数是()．A. 42B. 48C. 45D. 566.已知函数f(x)=sin2x+2cos2x−1，有下列四个结论：①函数f(x)在区间[−3π8,π8]上是增函数；②点(3π8,0)是函数f(x)图象的一个对称中心；③函数f(x)的图象可以由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4得到；④若x∈[0,π2]，则f(x)的值域为[0,√2].则所有正确结论的序号是()A. ①②③B. ①③C. ②④D. ①②7.若命题：“∃x0∈R,ax2−ax−2>0”为假命题，则a的取值范围是()A. (−∞,−8]∪[0,+∞)B. (−8,0)C. (−∞,0]D. [−8,0]8.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长相等，E是A1B1的中点，F是B1C1的中点，则异面直线AE和BF所成角的余弦值是()A. 710B. 23C. 750D. 129.若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，则x2 a2−y2b2=1的离心率为()A. 2B. √3C. √2D. 2√3310. sin62°cos32°−sin32°cos62°=( )A. −12B. 12C. √32D. −√3211. 已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−6n +3，则a 7+a 8+a 9+a 10等于( )A. 7B. 13C. 33D. 40 12. 如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别是F 1，F 2，点P 、Q 是C 上的两点，若2QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则椭圆C 的离心率为( )A. √53B. √73C. √55D. √75二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +12x +y ≤4y +2≥0，则z =x −2y 的最大值为__________________． 14. 函数f(x)=lg(4x −x 2)的极大值为__________．15. 在圆x 2+y 2=4上任取一点，则该点到直线x +y −2√2=0的距离d ∈[0,1]的概率为__________．16. 已知三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面是边长为√6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在四棱锥P −ABCD 中，△PAD 为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB =2AD =4．(Ⅰ)求证：平面PCD ⊥平面PAD ； (Ⅱ)求三棱锥P −ABC 的体积；(Ⅲ)在棱PC 上是否存在点E ，使得BE//平面PAD ？若存在，请确定点E 的位置并证明；若不存在，说明理由．18.如图，在△ABC中，B=π3，D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE=8，AC=4√10，∠CED=π4．(1)求CE的长；(2)若CD=5，求cos∠DAB的值．19.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对心肺疾病入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男A525女101525合计30B50抽6人，其中男性抽多少人？(2)为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并说明是否有99.5%的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．20. 已知直线l 与椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，又m ⃗⃗⃗ =(ax 1,by 1)，n ⃗ =(ax 2,by 2)，若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ 且椭圆的离心率e =√32，又椭圆经过点(√32,1)，O 为坐标原点． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)试问△AOB 的面积是否为定值？21. 已知函数f(x)=alnx −1x ，(其中a ∈R) (1)设ℎ(x)=f(x)+x ，讨论ℎ(x)的单调性． (2)若函数f(x)有唯一的零点，求a 取值范围．22. 选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为{x =cosαy =sinα(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ． (Ⅰ)求C 1、C 2交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A 的极坐标为(4,π3)，点B 是曲线C 2上的点，求ΔAOB 面积的最大值．23.(1)已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，证明1a +1b+1c≥9；(2)已知a，b，c均为正实数，且abc=1，证明√a+√b+√c≤1a +1b+1c．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|−1≤x<3}，B={x∈Z|x2<4}={−1,0，1}，则A∩B={−1,0，1}，故选：C．求出B中的元素，从而求出A、B的交集即可．本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2.答案：B解析：【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．本题考查复数的模的求法，运算法则的应用，是基础题．【解答】解：复数Z满足(1−i)z=1+i，可得|(1−i)||z|=|1+i|，即：√2|z|=√2，|z|=1．故选：B．3.答案：D解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查了等差数列的性质，属于基础题．设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式结合已知条件，可推出a5=4，即可得解．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a6=4+a4，∴a1+2d+a1+5d=4+a1+3d，即a1+4d=4，∴a5=4，=9a5=36．∴S9=9(a1+a9) 2故选D．4.答案：B解析：【解答】解：∵a⃗=(4,−1)，b⃗ =(2,m)，∴a⃗+b⃗ =(6,m−1)，又a⃗//(a⃗+b⃗ )，∴4(m−1)+6=0，即m=−1．2故选：B．【分析】由已知向量的坐标求得a⃗+b⃗ 的坐标，再由向量共线的坐标运算求解．本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．5.答案：A解析：【分析】若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为3×4个．若三角形的三个顶点都不用公共点，则有4C32+3C42个，再把这些三角形的个数相加即得所求．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，属于中档题．【解答】解：若三角形的一个顶点是公共点，则共有三角形的个数为3×4=12个．若三角形的三个顶点都不用公共点，则有4C32+3C42=12+18=30个，故总个数是12+30=42故选A．6.答案：D解析：解：函数f(x)=sin2x+2cos2x−1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)．①若x∈[−3π8,π8]，则(2x+π4)∈[−π2,π2]，因此函数f(x)在区间[−3π8,π8]上是增函数，故①正确；②∵f(3π8)=√2sin(3π4+π4)=√2sinπ=0，因此点(3π8,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故②正确；③由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4得到y=√2sin[2(x+π4)]=√2cos2x，因此由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4不能得到函数f(x)的图象，故③不正确；④若x∈[0,π2]，则(2x+π4)∈[π4,5π4]，∴sin(2x+π4)∈[−√22,1]，∴f(x)的值域为[−1,√2]，故④不正确．故选：D．函数f(x)=sin2x+2cos2x−1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，再利用正弦函数的图象与性质即可判断出正误．本题考查了正弦函数的图象与性质、倍角公式、辅助角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：D解析：【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即ax2−ax−2≤0恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案．本题的知识点是命题真假的判断与应用，其中将问题转化为恒成立问题，是解答本题的关键．【解答】解：∵命题∃x0∈R,ax2−ax−2>0”为假命题，命题“∀x∈R，ax2−ax−2≤0”为真命题，当a=0时，−2≤0成立，当a≠0时，a<0，故方程ax2−ax−2=0的△=a2+8a≤0解得：−8≤a<0，故a的取值范围是：[−8,0]故选：D．8.答案：A解析：【分析】取BC的中点，寻找AF的平行直线GF，将异面直线AE和BF所成的角转化为BF与GF所成的角，然后利用余弦定理求夹角即可．本题主要考查空间异面直线所成角的求法，利用平移直线法是解决的基本方法，本题也可以建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角．【解答】解：取AC的中点为G，连结BG，GF，EF，∵E是A1B1的中点，F是B1C1的中点，∴EF//AG，且EF=AG，即四边形AGFE是平行四边形，∴AE=GF，∴BF与GF所成的角即是异面直线AE和BF所成的角．∵正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长相等，∴设棱长为1，则BG=√32，GF=AE=√1+(12)2=√54=√52，BF=√1+(12)2=√54=√52，∴在三角形BGF中，由余弦定理得cos∠BFG=BF2+GF2−BG22⋅BF⋅GF =(√52)2+(√52)2−(√32)22⋅(√52)=710．故异面直线AE和BF所成角的余弦值是710．故选：A．9.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，属于基础题．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨设为bx+ay=0，圆(x−2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径r=2，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为d=√22−12=√3=√a2+b2，∴b2c2=c2−a2c2=34，可得e2=4，即e=2．故选A．10.答案：B解析：解：sin62°cos32°−sin32°cos62° =sin62°cos32°−cos62°sin32° =sin(62°−32°)=sin30°=12故选：B由两角和与差的正弦函数化简可得．本题考查两角和与差的正弦函数，属基础题． 11.答案：D解析：解：∵数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2−6n +3， ∴a 7+a 8+a 9+a 10 =S 10 −S 6=(102−6×10+3)−(62−6×6+3) =40． 故选：D ．由已知条件利用a 7+a 8+a 9+a 10=S 10 −S 6，能求出结果．本题考查数列的前n 项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，熟练掌握数列前n 项和的性质．12.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题．由已知条件设|QF 2|=m ，则|PF 1|=|MF 2|=2m ，在Rt △F 1MQ 中，求得m =a3，在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|=2c ，由勾股定理求出e 2=59，由此能求出椭圆的离心率． 【解答】解：2QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得到PF 1//QF 2，PF 1⊥PF 2，延长QF 2交椭圆C 于点M ，得Rt △F 1MQ ，Rt △F 1MF 2，设|QF 2|=m ，则|PF 1|=|MF 2|=2m ，根据椭圆的定义有|QF 1|=2a −m ，|MF 1|=2a −2m ，在Rt △F 1MQ 中，(2a −2m)2+(3m)2=(2a −m)2，解得m =a3， 在Rt △F 1MF 2中，(2a −2m)2+(2m)2=4c 2， 所以5a 2=9c 2，所以e =ca=√53． 故选A ．13.答案：7解析：【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数z =x −2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在y 轴上的截距最小时z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z 的最大值． 【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +12x +y ≤4y +2≥0作出可行域如图，由z =x −2y ，得y =x2−z2，由图可知，当直线y =x2−z 2过可行域内点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最大． 联立{y +2=02x +y =4，解得A(3,−2)．∴目标函数z =x −2y 的最大值为3−2×(−2)=7． 故答案为：7．14.答案：lg4解析：∵函数的定义域为，∴0<x <4 ，f′(x)=4−2x4x−x 2，令，∴4−2x >0，∴0<x <2，函数f(x)在(0,2)上递增，在(2,4)上递减，所以极大值为f(2)=lg4．15.答案：13解析：解：如图，直线x +y −2√2=0与圆x 2+y 2=4相切于D ，且OD=2，作与直线x+y−2√2=0平行的直线交圆于AB，由O到直线AB的距离OC=1，半径OA=2，可得∠AOB=2π3，∴劣弧AB⏜的长度为2π3×2=4π3，而圆的周长为4π，∴在圆x2+y2=4上任取一点，则该点到直线x+y−2√2=0的距离d∈[0,1]的概率为4π34π=13．故答案为：13．由题意画出图形，由弧长公式求出在圆x2+y2=4上任取一点，该点到直线x+y−2√2=0的距离d∈[0,1]的弧的长度，再由测度比为长度比得答案．本题考查几何概型，考查直线与圆位置关系的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．16.答案：3√3解析：【分析】求出底面中心到底面三角形顶点的距离，求出外接球的半径，然后求出棱柱的高，即可求出所求体积．本题是基础题，考查几何体的外接球的表面积的应用，三棱柱体积的求法，考查计算能力．【解答】解：如图：设球半径R，上下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OA=R，由4πR2=12π，得R=OA=√3，又AM=√2，由勾股定理可知，OM=1，所以MN=2，即棱柱的高ℎ=2，所以该三棱柱的体积为√34×(√6)2×2=3√3．故答案为3√3．17.答案：(Ⅰ)证明：∵AB//CD，AB⊥AD，∴CD⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD.∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD；(Ⅱ)解：取AD的中点O，连接PO．∵△PAD为正三角形，∴PO⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P−ABC的高．∵△PAD为正三角形，CD=2AB=2AD=4，∴PO=√3．∴V P−ABC=13S△ABC⋅PO=13×12×2×2×√3=2√33；(Ⅲ)解：在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE//平面PAD．分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF.∴EF//PD．∵AB//CD，CD=2AB，∴AB//FD，AB=FD，则四边形ABFD为平行四边形，得BF//AD．∵BF∩EF=F，AD∩PD=D，BF，EF⊂平面BEF，AD，PD⊂平面PAD，∴平面BEF//平面PAD.又BE⊂平面BEF，∴BE//平面PAD．解析：本题考查线面平行、面面垂直的判定，棱锥的体积求解，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．(Ⅰ)由AB//CD，AB⊥AD，可得CD⊥AD，再由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，从而得到平面PCD⊥平面PAD；(Ⅱ)取AD的中点O，连接PO.由△PAD为正三角形，可得PO⊥AD.进一步得到PO⊥平面ABCD，然后利用棱锥体积公式求得三棱锥P−ABC的体积；(Ⅲ)在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE//平面PAD.分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF.可得EF//PD.再由已知得四边形ABFD为平行四边形，有BF//AD.由面面平行的判定可得平面BEF//平面PAD，从而得到BE//平面PAD．18.答案：解：(1)因为，AE=8，AC=4√10．在△AEC中，由余弦定理得，所以160=64+CE2+8√2CE，所以CE2+8√2CE−96=0，解得CE=4√2．(2)(2)在△CDE中，由正弦定理得CEsin∠CDE =CDsin∠CED，所以，所以sin∠CDE =45．因为点D 在边BC 上，所以∠CDE >∠B =π3，而45<√32，所以∠CDE 只能为钝角，所以cos∠CDE =−35， 所以cos∠DAB =cos(∠CDE −π3)=cos∠CDEcos π3+sin∠CDEsin π3 =−35×12+45×√32=4√3−310．解析：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由已知可求∠AEC ，在△AEC 中，由余弦定理可得CE 2+8√2CE −96=0，，即可解得CE 的值． (2)在△CDE 中，由正弦定理可求sin∠CDE =45，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠CDE =−35，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠DAB 的值．19.答案：(1)A =20，B =30由列联表知，患心肺疾病的有30人，要抽取6人，用分层抽样的方法，则男性要抽取6×2030=4人患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计302050代入公式中，算出：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50×(20×15−10×5)230×20×25×25=8.333>7.879，查临界值表知：有99.5%把握认为心肺疾病与性别有关．解析：(1)根据题目所给的数据以及2×2列联表，通过分层抽样求出男性人数； (2)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.答案：解：(Ⅰ)由题意的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√32，则a =2b ，将(√32,1)代入y 24b 2+x 2b 2=1，即14b 2+34b 2=1，解得：b =1，则a =2，∴椭圆的标准方程为：y 24+x 2=1；(Ⅱ)由m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即4x 1x 2+y 1y 2=0，由于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在椭圆上，则{y 12+4x 12=4y 22+4x 22=4， 两式相乘，(y 12+4x 12)(y 22+4x 22)=(y 1y 2)2+16(x 1x 2)2+4(x 12y 22+x 22y 12)， =(4x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2−x 2y 1)2=4(x 1y 2−x 2y 1)2=16， ∴(x 1y 2−x 2y 1)2=4，∴△AOB 的面积S △AOB =12|x 1y 2−x 2y 1|=1，△AOB 的面积为定值1．注S △AOB =12|∣∣∣x 1y 1x 2y 2∣∣∣|或过A ，B 分别作y 轴的垂线转化为直角梯形，与直角三角形的面积问题即可．解析：(Ⅰ)根据椭圆的离心率公式求得a =2b ，将点代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值；(Ⅱ)根据向量的坐标运算，求得4x 1x 2+y 1y 2=0，由A ，B 在椭圆上，代入相乘，化简整理得(x 1y 2−x 2y 1)2=4，则△AOB 的面积S △AOB =12|x 1y 2−x 2y 1|=1．本题考查椭圆的性质及标准方程，三角形面积公式的应用，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．21.答案：解：(1)ℎ(x)=alnx −1x +x ，定义域为(0,+∞)，ℎ′(x)=a x +1x 2+1=x 2+ax +1x2 令g(x)=x 2+ax +1，判别式Δ=a 2−4，当Δ≤0即−2≤a ≤2时，g(x)≥0，ℎ′(x)≥0，此时ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增；当Δ>0即a <−2或a >2时，由g(x)=0得x 1=−a−√a2−42，x 2=−a+√a2−42，若a >2，则x 1<0，又x 1x 2=1>0，所以x 2<0，故ℎ′(x)>0在(0,+∞)恒成立． ∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增；若a <−2，则x 2>0，又x 1x 2=1>0所以x 1>0，此时，当x ∈(0,x 1)时，ℎ′(x)>0， 当x ∈(x 1,x 2)时，ℎ′(x)<0，当x ∈(x 2,+∞)时，ℎ′(x)>0， 故ℎ(x)在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减； 综上所述，当a ≥−2时，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a <−2时，ℎ(x)在(0,−a−√a 2−42)，(−a+√a2−42,+∞)上单调递增，在(−a−√a 2−42,−a+√a 2−42)上单调递减；(2)f ′(x)=a x+1x =ax+1x (x >0)，当a =0时，f(x)=−1x =0无实数根，此时函数f(x)无零点； 当a >0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增， f(1)=−1<0，而f(e 1a )=1−e −1a >0，根据零点的存在性定理，f(x)在(0,+∞)上只有唯一的零点，当a <0时，x ∈(0,−1a )时，f ′(x)>0，x ∈(−1a ,+∞)时，f ′(x)<0，故f(x)有极大值，也是最大值f(−1a)，又x→0或x→+∞时，f(x)→−∞，因此f(x)有唯一零点等价于其最大值为f(−1a )=0，即aln(−1a)+a=0，解得a=−e．综上所述，若函数f(x)有唯一的零点则a的取值范围是a=−e或a>0．解析：本题考查了函数导数与单调性、极值、最值、函数零点等基础知识，考查函数与方程的思想，数形结合思想，转化与化归思想以及考生的推理论证能力．(1)由ℎ′(x)=ax +1x2+1=x2+ax+1x2，利用单调性与导数值的关系，通过讨论a的值得出函数的单调性；(2)利用根的存在性定理判断函数的零点以及利用导数判断函数的单调性及最值，通过分类讨论求出a的取值范围．22.答案：解：(Ⅰ)C1:x2+y2=1，C2:ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x．联立方程组得{x2+y2=1x2+y2=2x，解得{x1=12y1=√32，{x2=12y2=−√32，∴所求交点的坐标为，(Ⅱ)设，则ρ=2cosθ，∴ΔAOB的面积S=12⋅|OA|⋅|OB|⋅sin∠AOB=12⋅|4ρsin(π3−θ)|=|4cosθsin(π3−θ)|=|2cos(2θ+π6)+√3|∴当θ=23π12时，S max=2+√3.解析：本题主要考查了学生对曲线的参数方程与直角坐标方程，点到直线的距离公式的综合应用能力．(1)先把曲线C1和C2的普通方程求出来，再联立方程组，求得两圆的交点坐标;(2)利用参数方程构造三角函数，求面积的最大值．23.答案：证明：(1)因为a，b，c均为正实数，∴1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=ba +ca+1+ab+cb+1+ac+bc+1=ba +ab+ac+ca+bc+cb+3≥9，当a=b=c时等号成立；(2)因为a，b，c均为正实数，∴1a +1b+1c=12(1a+1b+1a+1c+1b+1c)≥12×(2√1ab+2√1ac+2√1bc)，又因为abc=1，所以1ab =c，1ac=b，1bc=a，∴√a+√b+√c≤1a +1b+1c．当a=b=c时等号成立，即原不等式成立．解析：(1)根据a+b+c=1，利用基本不等式即可证明；(2)根据1a +1b+1c=12(1a+1b+1a+1c+1b+1c)，利用基本不等式即可证明．本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题．。
2020年高二暑假数学补习训练题 (15)-0708(解析版)
2020年高二暑假数学补习训练题 (15)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={y|y=x2−6x+5}，B={y|y=6x+3−9x2}，则A∩B=()A. {(1,0),(15,9625)} B. {y|y≥−4}C. {y|−4≤y≤4}D. {y|y≤4}2.i为虚数单位，则(1−i1+i)2017=()A. −iB. −1C. iD. 13.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若S6>S7>S5，则下列命题错误的是()A. d<0B. S11>0C. S12<0D. |a6|>|a7|4.若椭圆x216+y2b2=1过点(−2,√3)，则其焦距为()A. 2√5B. 2√3C. 4√5D. 4√35.4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有()A. 16个B. 70个C. 140个D. 256个6.如图所示的程序运行后，输出的值是()A. 8B. 9C. 10D. 117.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为()A. 65B. 105+3√342C. 70+3√342D. 608.直线y=x被圆(x−1)2+y2=1所截得的弦长为()A. √22B. 1C. √2D. 29.已知函数f(x)=sin(x−φ)−1(0<φ<π2)，且∫2π3 (f(x)+1)dx=0，则函数f(x)的一个零点是()A. π6B. π3C. 7π12D. 5π610.若ΔABC内角A、B、C所对的边分别为，且a2=c2−b2+√3ba，则∠A+∠B=()A. π6B. 5π6C. π4D. 3π411.函数f(x)=ax+bx2+c的图象如图所示，则下列结论成立的是()A. a>0，c>0B. a>0，c<0C. a<0，c>0D. a<0，c<012.函数y=cos2ωx−sin2ωx(ω>0)的最小正周期是π，则函数f(x)=2sin(ωx+π4)的一个单调递增区间是()A. [−π2,π2] B. [5π4,9π4] C. [−π4,3π4] D. [π4,5π4]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF，MN所成角的大小为_____．14.若双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2，则ba=_______．15.已知|a−8b|+(4b−1)2=0，则log2a b=__________．16.已知S为{a n}的前n项和，a1=0，若a a+1=[1+(−1)n]a n+(−2)n，则S100=________三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知a、b、c是△ABC的内角A、B、C所对的边，△ABC的面积为4√3，C=60∘，且．(1)求a+b的值；(2)若点D为AC边上一点，且BD=AD，求CD的长．18. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，二面角B −AD −S为60∘，E 为SD 中点．⑴求证：CE ⊥SA ；⑴求AB 与平面SCD 所成角的余弦值．19. 某手机公司生产某款手机，如果年返修率不超过千分之一，则生产部门当年考核优秀，现获得该公司2010−2018年的相关数据如下表所示：年份2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年生产量(万台) 3 4 5 6 7 7 9 10 12 产品年利润(千万元) 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.8 7.5 7.9 9.1 年返修量(台)474248509283728790(1)从该公司2010−2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X 表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X 的分布列和数学期望；(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y(千万元)关于年生产量x(万台)的线性回归方程(精确到0.01).部分计算结果：y =19∑y i 9i=1=6.2，∑x i 29i=1=509，∑x i 9i=1y i =434.1．附：；线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b̂=∑ni=1(x i −x)(y i −y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i −nxy∑ni=1x i2−nx 2，â=y ̂−b ̂x ．20. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的准线与x 轴交于点M ，(1)若M 点坐标为(−1,0)，求抛物线的方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线交于两点P ，Q ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0(其中F 试抛物线的焦点)，求证：直线l 的斜率为定值．21. 函数f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，求a 、b 的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 2+y 2−2y =0，倾斜角为π6的直线l 过点M(−2,0)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．(1)求C 1和C 2交点的直角坐标；(2)若直线l 与C 1交于A ，B 两点，求|MA|+|MB|的值．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】利用配方法求得两个集合函数的值域，再根据交集运算求解．【解答】根据题意得：A=[−4,+∞),B=(−∞,4]所以A∩B={y|−4≤y≤4}．故选C．2.答案：A解析：解：(1−i1+i)2017=[(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)]2017=(−i)2017=(−i)2016⋅(−i)=−i，故选：A．根据复数的运算性质计算即可．本题考查了复数的化简求值问题，是一道基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和的最值、等差数列的通项公式、前n和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．由S6>S7>S5，得a1>0，d<0，得a6>0，a7<0，S11=11a6>0，S12=12(a6+a7)>0，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S6最大，且S6>S7>S5，∴a1>0，d<0，故A正确；∵S6>S7>S5，∴a6>0，a7<0，S11=11a1+55d=11(a1+5d)=11a6>0，故B正确，S12=12a1+66d=12(a1+a12)=12(a6+a7)>0，∴D正确，C错误故选C．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质及其几何意义，属于中档题；根据条件把点(−2,√3)代入椭圆的方程可求得b2=4，得到a=4，b=2，即可求出焦距．【解答】解：由题意知，把点(−2,√3)代入椭圆的方程可求得b2=4，故椭圆的方程为x216+y24=1，所以a =4，b =2，c =√a 2−b 2=√16−4=2√3， 则其焦距为2c =4√3； 故选D ． 5.答案：B解析：【分析】此题考查排列的应用，属于基础题．先把8个数字全排列，再除以1和2重复的情况数即可． 【解答】解：4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有A 88A 44·A 44=70，故选B ．6.答案：B解析：【分析】本题考查了DO LOOP 循环语句，熟练掌握语句的含义是解答本题的关键． 【解答】解：本题是直到型循环结构的程序语句，算法的功能是求满足2i >2017的最小的正整数i 的值，∴输出i =9． 故选B ．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查三视图的应用，直接利用三视图进行复原，利用表面积公式求出结果． 【解答】解：根据三视图，该几何体是由一个三棱柱去掉一个三棱锥． 所以表面积为(2+5)×52+(2+5)×42+3×52+3×42+3×5=60故选D ． 8.答案：C解析：【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题． 先求出圆心和半径，以及圆心到直线y =x 的距离d 的值，再利用弦长公式求得弦长． 【解答】解：由于圆(x −1)2+y 2=1的圆心为(1,0)，半径等于1， 圆心到直线y =x 的距离为d =√2=√22，故弦长为2√r 2−d 2=√2． 故选C ． 9.答案：D解析：由∫2π30 (f (x )+1)dx =0得：[−cos (x −ϕ)]|2π3=0，即−cos (2π3−ϕ)+cos (x −ϕ)=0，所以sin (ϕ−π3)=0，因为0<φ<π2，所以ϕ=π3，则f (x )=sin (x −π3)−1，由sin (x −π3)=1，得x =5π6+2kπ,k ∈Z ，取k =0，得x =5π6，选D ．10.答案：B解析：【分析】本题考查余弦定理的应用．解题关键是由余弦定理变形求得，从而得C 角．【解答】解：∵，∴，在三角形中，，∴．故选B ．11.答案：A解析：【分析】本题考查了函数图象的判断，通常从定义域，值域，特殊点等方面来判断，属于中档题． 根据f(0)=0判断b =0，根据定义域判断c ，根据函数值域判断a ． 【解答】解：∵f(x)图象过原点， ∴f(0)=0，即=0，∴b =0．∵f(x)的定义域为R ，∴c >0．∵当x >0时，f(x)>0，当x <0时，f(x)<0， ∴a >0， 故选A ．12.答案：B解析：【分析】本题考查正弦函数的图象与性质，先把函数化为一个角的正弦函数，再由周期求得ω的值，利用正弦函数的单调区间解得x的范围．【解答】解：∵y=cos2ωx−sin2ωx=cos2ωx，T=2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=2sin(x+π4)单调递增区间为：2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4(k∈Z)，令k=1，∴x∈[54π,94π]．故选B．13.答案：60°解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题．由题意画出图形，连接BC1，A1C1，由M，N分别为棱A1D1，C1D1的中点，得MN//A1C1，同理可得EF//BC1，则∠A1C1B即为异面直线EF，MN所成的角，再由△A1C1B为等边三角形得答案．【解答】解：如图，连接BC1，A1C1，∵E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，∴MN//A1C1，EF//BC1，∴∠A1C1B即为异面直线EF与MN所成的角，连接A1B，则△A1C1B为等边三角形，可得．∴异面直线MN与EF所成的角大小为60°．故答案为：60°14.答案：√3解析：【分析】本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．根据双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2，可得e=ca=√a2+b2a=2，化简即可求解．【解答】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2，∴e =c a=√a 2+b 2a=2，即a 2+b 2=4a 2，∴b 2=3a 2， ∴b a=√3，故答案为√3．15.答案：14解析：【分析】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果．【解答】解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14， 所以log 2a b=log 2214=14．故答案为14．16.答案：2−21013解析：【分析】本题考查数列的递推关系及数列求和，根据递推关系分n 为奇数和n 为偶数，求出通项，即可求和，属中档题． 【解答】解：当n 为奇数时，a n+1=(−2)n ，则a 2=(−2)1,a 4=(−2)3,⋯,a 100=(−2)99，当n 为偶数时，a n +1=2a n +(−2)n =2a n +2n ， 则a 3=2a 2+22=0，同理，a 5=0，⋯，a 99=0， 因为a 1=0，所以S 100=a 2+a 4+⋯+a 100+0=(−2)1+(−2)3+⋯+(−2)99 =−2×(1−450)1−4=2−21013．故答案为2−21013．17.答案：解：，∴由正弦定理得4ca =bc ， ∴b =4a ，，∴a=2,b=8，∴a+b=10.(2)设CD=x，则BD=8−x，由余弦定理得，即(8−x)2=22+x2−4⋅x⋅12，∴x=307，∴CD=30 7.解析：(1)因为，所以由正弦定理得4ca=bc然后进行求解即可；(2)设CD=x，则BD=8−x，然后利用余弦定理进行求解即可．18.答案：解：(1)证明：取SA的中点F，连接EF，∵E为SD中点，，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE//BF，平面ABS，为二面角B−AD−S的平面角，∴∠SAB=60∘，∵AB=AS,∴BA=BS,∴BF⊥SA，∴CE⊥SA;(2)作AB中点O，由(1)知SO⊥AB,SO⊥AD，AB∩AD=D,∴SO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系O −xyz ，设BC =1， 则S(0,0,√3),C(1,1,0),D(−1,2,0),∴CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0),CS ⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,√3)， 设平面SCD 的法向量n =(x,y,z),得{−2x +y =0−x −y +√3z =0, 可取n =(1,2,√3),∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),，，∴AB 与平面SCD 所成角的余弦值为√144．解析：本题考查了线面垂直，线线垂直的证明，用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．(1)构造平行四边形，得CE//BF ，由BA =BS 得BF ⊥SA ，即可得答案．(2)建立空间直角坐标系，求出法向量，利用向量的夹角公式即可求解．19.答案：解：(1)由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 50C 43C 93=121，P(X =1)=C 51C 42C 93=514， P(X =2)=C 52C 41C 93=1021，P(X =3)=C 53C 40C 93=542，故的分布列为： X 0 1 2 3P 121 514 1021 542 ∴E(X)=0×121+1×514+2×1021+3×542=53， (2)因为x 6=x =7，b ̂=n i=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n ， 所以去掉2015年的数据后不影响b̂的值， 所以b ̂=i 9i=1i −9xy ∑x 29−9x 2=434.1−9×7×6.2509−9×72=43.568≈0.64， 去掉2015年数据后，x =7，y =9×6.2−7.88=6，所以a ̂=y −b ̂x =6−43.568×7≈1.52，故回归方程为：y ̂=0.64x +1.52．解析：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查回归直线方程的求法，(1)由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，从而X 的所有可能取值为0，1，2，3.分别示出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．(2)因为x 6=x =7，所以去掉2015年的数据后不影响b ̂的值，由公式可得b ̂的值，故可得线性回归方程．20.答案：(1)y 2=4x(2)略解析：(1)由题意知−p 2=−1，∴p =2，∴抛物线的方程为y 2=4x.(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线l 的斜率为k ，∵FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，F(p 2,0)，∴(x 1−p 2,y 1)⋅(x 2−p 2,y 2)=0，即x 1x 2−p 2(x 1+x 2)+p 24+y 1y 2=0①，直线l 的方程为y =k(x +p 2)，联立y 2=2px ，得k 2x 2+(pk 2−2p)x +k 2p 24=0，∴x 1+x 2=2p−pk 2k 2②，x 1x 2=p 24③，又y 1y 2=k 2[x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24]④，联立①②③④得k =±√22，经检验，k =±√22时，直线l 与抛物线交于两个点．21.答案：解：∵f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2，∴f′(x)=3x 2+2ax +b ，∵函数f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，∴{f′(1)=3+2a +b =0f(1)=1+a +b +a 2=10，解得{a =4b =−11，或{a =−3b =3， 当{a =4b =−11时，f′(x)=3x 2+8x −11=(3x +11)(x −1)， 当−113<x <1时，f′(x)<0，当x >1时，f′(x)>0，满足x =1处为极值点；当{a =−3b =3时，f′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2，易知在x =1的两侧f′(x)>0， 故x =1不是极值点，应舍去．故只有{a =4b =−11满足题意．解析：由题意可得{f′(1)=3+2a +b =0f(1)=1+a +b +a 2=10，解之可得a ，b 的值，验证需满足在x =1的两侧单调性相反，即导数异号才为极值点．本题考查函数在某点取得极值的条件，注意验证是解决问题的关键，属中档题．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0，联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0，解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)．(2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0， 得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0，设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2，则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4．易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外，所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题．(1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．23.答案：解：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3 x ≤12x +1 12<x <23x −3 x ≥2，不等式f (x )≥3可化为{−3x +3≥3x ≤12 或{x +1≥312<x <2 或{3x −3≥3x ≥2， 解得，不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞).(2)f (x )≥|2x −a −(x −2)|=|x −a +2|，当且仅当(2x −a )(x −2)≤0时，取“=”，∴当a ≤4时，x 的取值范围为a2≤x ≤2；当a >4时，x 的取值范围为2≤x ≤a 2.解析：本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题．(1)分三段分别求解即可；(2)f (x )≥|2x −a −(x −2)|=|x −a +2|，当且仅当(2x −a )(x −2)≤0时，取“=，讨论a 的取值得出结论．。
2020年高一暑假数学补习题 (29)-0709(解析版)
2020年高一暑假数学补习题 (29)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线2(m−1)x−3y+1=0与直线mx+(m+1)y−3=0平行，则m=()A. 12B. −2 C. −12或3 D. 12或−22.在△ABC中，∠A=60°，a=√6，b=4，满足条件的△ABC()A. 无解B. 有解C. 有两解D. 不能确定3.若点A(−1,3)关于直线x−y=0的对称点为B，则点B到直线l：3x+y−3=0的距离为()A. 3√1010B. √52C. √102D. √54.已知b<2a，3d<c，则下列不等式一定成立的是()A. 2a−c>b−3dB. 2ac>3bdC. 2a+c>b+3dD. 2a+3d>b+c5.若实数x，y满足约束条件{x−3y+4≥03x−y−4≤0x+y≥0，则z=3x−2y的最大值是()A. 2B. 1C. 5D. 76.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=a2+10a1，a5=9，则a1=()A. 2B. 73C. 19D. 37.球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是()A. 1：1B. 2：1C. 3：2D. 4：38.等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a3+a9=()A. 8B. 16C. 24D. 329.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1(底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD)中，点P是正方形A1B1C1D1内一点，则三棱锥P−BCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为()A. 32B. 1C. 2D. 5410.若不等式ax2−2ax+6>0的解集为{x|−1<x<3}，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 12D. −1211.若正实数x，y满足1x +4y=1，且x+y4≥a2−3a恒成立，则实数a的取值范围为()A. [−1,4]B. (−1,4)C. [−4,1]D. (−4,1)12.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E、F分别是BC1、BD的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF平行的截面个数为()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足S n=2n2+n−1，则通项a n=______ ．=________。
2020年暑假高二数学补习题 (1)-0715(解析版)
2020年暑假高二数学补习题 (1)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5}，集合B={3,5}，则下列正确的为()A. U=A∪BB. U=(C U A)∪BC. U=A∪(C U B)D. U=(C U A)∪(C U B)2.设z=21+i+2i，则z−的虚部是()A. 2B. 1C. −2D. −13.cos480°=()A. 12B. √32C. −12D. −√324.已知某高中的一次测验中，甲乙两个班的九科平均分的雷达图如图所示，则下列判断错误的是()A. 甲班的政治、历史、地理平均分强于乙班B. 甲班的物理、化学、生物平均分低于乙班C. 学科平均分分差最小的是语文学科D. 学科平均分分差最大的是英语学科5.若a=0.20.2，b=1.20.2，c=log1.20.2，则()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. a<c<b6.在空间中，a、b是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出a//b的是()A. a⊥α，b⊥αB. a//α，b⊂αC. a⊂α，b⊂β，α//βD. a⊥α，b⊂α7.曲线y=x3−x在点(1,0)处切线的倾斜角为α，则tanα=()A. 2B. −43C. −1D. 08.已知a⃗=(x,2)，b⃗ =(−2,1)，a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗−b⃗ |=()A. √5B. 2√5C. √10D. 109.(文科做)要得到函数y=f(2x−π3)的图象，只需将函数y=f(2x)的图象()A. 向左平行移动π3个单位 B. 向右平行移动π3个单位 C. 向左平行移动π6个单位D. 向右平行移动π6个单位学10. 函数的图象大致为( )A.B.C.D.11. 点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p >0) 与双曲线C 2:x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的一条渐近线的一个交点，若点A 到抛物线C 1的焦点的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A. √6 B. √5 C. √3 D. √212. 已知函数f(x)={x +12,x ≤122x −1,12<x <1x −1,x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n+1=f(a n )(n ∈N +)，则a 2019=( )A. 73B. 43C. 56D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={log 4x,x ≥19x ,x<1，则f(f(2))的值为___________ ．14. 在等差数列{a n }中，a 2+a 7=20，则数列{a n }的前8项之和S 8= ______ ． 15. 若直线2x +y −2=0与圆(x −1)2+(y −a)2=1相切，则a =______．16. 三棱锥S −ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA =3，△ABC 是边长为2的正三角形，则其外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 十三届全国人大二次会议于2019年3月5日在京召开.为了了解某校大学生对两会的关注程度，学校媒体在开幕后的第二天，从学生中随机抽取了180人，对是否收看2019年两会开幕会情况进行了问卷调查，统计数据得到列联表如下：收看 没收看 合计男生40女生3060合计(Ⅱ)根据上表说明，能否有99%的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关？(结果精确到0.001)附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.100.050.0250.010.005k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87918.设满足a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{1√a+√a}的前84项和．19.在△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求∠B的大小；(2)若a=2，S=√3，求b，c的值．20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，且E，F分别是BC，B1C1中点．(1)求证：A1B//平面AEC1；(2)求直线AF与平面AEC1所成角的正弦值．21.在平面直角坐标系xOy内，有一动点P到直线x=4√33的距离和到点(√3,0)的距离比值是2√33．(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)已知点A(2,0)，若P不在x轴上，过点O作线段AP的垂线l交曲线C于点D，E，求|DE||AP|的取值范围．22.已知函数f(x)=1+lnxx．(Ⅰ)若f(x)在(m,m+1)上存在极值，求实数m的取值范围；(Ⅱ)证明：当x>1时，(x+1)(x+e x)f(x)>2(1+1e)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：∵全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5}，集合B={3,5}，∴C U B={1,2,4,6,7}，∴A∪C U B={1,2,3,4,5,6,7}=U．故选C．2.答案：D解析：解：∵z=21+i +2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i，∴z−=1−i，∴z−的虚部是−1，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：cos480°=cos(360°+120°)=cos120°=−12．故选：C．直接利用诱导公式化简求值即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．4.答案：C解析：分析：先对图表信息的分析、处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对图表信息的分析及简单的合情推理，属中档题．解：由雷达图可知：选项A、B、D均正确，又由图可知学科平均分分差最小的是地理学科，即C错误，故选：C．5.答案：B解析：【分析】此题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．根据指数函数和对数函数的单调性，将a，b，c与0或1的大小进行比较，进而得出结果．【解答】解：∵0<a=0.20.2<1，b=1.20.2>1，，则c<a<b．故选B．6.答案：A解析：解：A选项正确，a⊥α，b⊥α，可由垂直于同一平面的两条直线平行这一结论得出a//bB选项不正确，因为线面平行，线与面内的线可能是异面．C选项不正确，因为两个平行平面中的两条直线的位置关系是平行或者异面．D选项不正确，因为a⊥α，b⊂α，则两线的位置关系是垂直，故选A由题设中的条件a、b是不重合的直线，α、β是不重合的平面再结合四个选项中的条件判断线线平行，得出正确选项．本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解答本题，关键是有一定的空间想像能力及熟练掌握线线平行的判断条件．本题考查了推理判断的能力，7.答案：A解析：解：y=x3−x的导数为y′=3x2−1，曲线y=x3−x在点(1,0)处切线的斜率为3−1=2，即tanα=2．故选：A．求得函数y的导数，由导数的几何意义，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，属于基础题．8.答案：C解析：解：a⃗=(x,2)，b⃗ =(−2,1)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−2x+2=0，解得x=1，∴a⃗−b⃗ =(1+2,2−1)=(3,1)，∴|a⃗−b⃗ |=√32+12=√10．故选：C．根据a⃗⊥b⃗ 时a⃗⋅b⃗ =0，求出x的值，再计算a⃗−b⃗ 的模长．本题主要考查两个向量垂直的性质与应用问题，是基础题目．9.答案：D解析：解：∵将函数y=f(2x)的图象向右平行移动π6个单位得：y=f[2(x−π6)]=f(2x−π3)，∴要得到y=f(2x−π3)的图象，只需将函数y=f(2x)的图象向右平行移动π6个单位．故选D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，掌握先周期变换后相位变换的规律是关键，属于中档题．10.答案：D解析：【分析】本题主要考查利用函数的特殊值判断函数的图像． 【解答】 解：因为，故排除A ，C 又，故排除B ， 故选D ． 11.答案：B解析：【分析】先根据条件求出店A 的坐标，再结合点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ；得到a 2b 2=14，再代入离心率计算公式即可得到答案．本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率e 和渐近线的斜率±ba 之间有关系e 2=1+(±ba )2． 【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y =ba x ， 联立{y 2=2px y =ba x⇒{x =2pa 2b 2y =2pab； 故A (2pa 2b 2,2pab).∵点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ， ∴p2+2pa 2b 2=p ；∴a 2b 2=14，∴双曲线C 2的离心率e =c a=√a 2+b 2a 2=√5．故选：B ． 12.答案：D解析：解：根据题意，函数f(x)={x +12,x ≤122x −1,12<x <1x −1,x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n+1=f(a n )，则a 2=a 1−1=43， a 3=a 2−1=13， a 4=a 3+12=56，a5=2a4−1=23，a6=2a5−1=13，a7=a6+12=56，则数列{a n}满足a n+3=a n，(n≥3)，即数列{a n}从第三项开始，组成周期为3的数列，则a2019=a3+2016=a3=13，故选：D．根据题意，由函数的解析式以及数列的递推公式求出数列{a n}的前7项，分析可得a n+3=a n，(n≥3)，即数列{a n}从第三项开始，组成周期为3的数列，据此可得a2019=a3+2016=a3，即可得答案．本题考查数列与函数的综合应用，涉及数列的递推公式以及分段函数的解析式，属于基础题．13.答案：3解析：【分析】用函数的解析式，求解f(2)，然后求解f[f(2)]的值．【解答】解：因为，故可得f(f(2))=f(12)=912=3，故答案为3．14.答案：80解析：解：由等差数列的性质可得a1+a8=a2+a7=20，∴数列{a n}的前8项之和S8=8(a1+a8)2=80故答案为：80由等差数列的性质可得a1+a8=20，代入求和公式计算可得．本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．15.答案：±√5解析：解：因为直线2x+y−2=0与圆(x−1)2+(y−a)2=1相切，所以√22+12=1，解得a=±√5．故答案为：±√5．利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径列式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．16.答案：43π3解析：【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面三角形外接圆半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径公式是解答的关键．属于中档题．【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为3的正三角形，SA⊥平面ABC，SA=3，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=2√33，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=32，故球的半径R=√r2+d2=√43+94=√4312．三棱锥S−ABC外接球的表面积为：4πR2=4π×4312=433π.故答案为：43π3．17.答案：解：Ⅰ依据题中提供的数据，完成列联表如下：收看没收看合计男生8040120女生303060合计11070180(Ⅱ)根据列联表计算K2=180×(80×30−40×30)2120×60×110×70=36077≈4.675<6.635，所以没有的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关.解析：本题考查独立性检验在解决实际问题中的应用，属于基础题．(Ⅰ)根据题中提供数据填写列联表即可；(Ⅱ)根据列联表计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)和6.635比较即可得到答案．18.答案：解：(1)由a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n，得a1=1，当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，∴12n−1a n=1，a n=2n−1(n≥2)，a1=1适合上式，∴a n=2n−1；(2)∵a+a =√a n+1−√a na n+1−a n=12(√a n+1−√a n)=12(√2n+1−√2n−1)．∴数列{a+a }的前84项和S84=12(√3−1+√5−√3+⋯+√169−√167)=12(13−1)=6．解析：(1)由已知递推式求得首项，且得到当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，与原递推式联立即可得到数列{a n}的通项公式；(2)利用裂项相消法求数列{√a +√a }的前84项和．本题考查数列递推式，考查了利用作差法求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19.答案：解：(1)由正弦定理及cosB cosC =−b 2a+c 得：cosB cosC =−sinB2sinA+sinC ，∴cosB(2sinA +sinC)=−sinBcosC ， ∴2sinAcosB +cosBsinC =−sinBcosC ， ∴−2sinAcosB =sin(B +C)=sinA ， ∵sinA ≠0， ∴cosB =−12， ∵0<B <π， ∴B =2π3，(2)由a =2,B =2π3,S =12acsinB =√3，解得：c =2，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，① 将，a =2，c =2，B =2π3代入①，得b =√22+22+2×2×2×12=2√3．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知可得：−2sinAcosB =sinA ，结合sinA ≠0，可求cos B ，结合B 的范围可求B 的值．(2)由利用三角形面积公式、及余弦定理即可求解b 、c 的值． 20.答案：证明：(1)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ， ∵ACC 1A 1为正方形，∴O 为A 1C 中点，又E 为CB 中点，∴EO 为△A 1BC 的中位线， ∴EO//A 1B ，又EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴A 1B//平面AEC 1．解：(2)作FM ⊥EC 1于M ，连接AM ， ∵AB =AC ，E 为BC 的中点， ∴AE ⊥BC ，又∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ⊥平面BCC 1B 1=BC ， AE ⊂平面ABC ，∴AE ⊥平面BCC 1B 1， 而AE ⊂平面AEC 1，∴平面AEC 1⊥平面BCC 1B 1，∴FM ⊥平面AEC 1， ∴∠FAM 即为直线AF 与平面AEC 1所成角， 设AB =AC =AA 1=1，则在Rt △AFM 中，FM =√33，AF =√62，∴直线AF 与平面AEC 1所成角的正弦值sin∠FAM =FM AF =√23．解析：(1)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ，则EO//A 1B ，由此能证明A 1B//平面AEC 1．(2)作FM ⊥EC 1于M ，连接AM ，推导出AE ⊥BC ，AE ⊥平面BCC 1B 1，从而平面AEC 1⊥平面BCC 1B 1，进而FM ⊥平面AEC 1，∠FAM 即为直线AF 与平面AEC 1所成角，由此能求出直线AF 与平面AEC 1所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)设动点P 的坐标为(x,y)， 根据题意得|x−4√33|√(x−√3)2+y 2=2√33，化简得曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅱ)∵P 不在x 轴上，故直线AP 的斜率不为0， 设直线AP 的方程为y =k(x −2)，则直线DE 的方程为y =−1k x ．联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1, 得(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0．设P(x 0,y 0)，则2+x 0=16k 21+4k 2，即x 0=8k 2−21+4k 2． 故|AP|=√(x 0−2)2+y 02=√(1+k 2)(x 0−2)2=4√1+k 21+4k 2． 设D(x 1,y 1)，由椭圆对称性可知|DE|=2|OD|．由{y =−1k x x 24+y 2=1，解得x 12=4k 24+k 2，y 12=44+k 2， |OD|=√x 12+y 12=2√1+k 2k 2+4，∴|DE|=4√1+k 2k 2+4． ∴|DE||AP|=4√1+k 2k 2+441+k 21+4k 2=2√k 2+4．设t =√k 2+4，则k 2=t 2−4，t >2．|DE||AP|=4(t 2−4)+1t =4t 2−15t (t >2)．令g(t)=4t 2−15t (t >2)，则g′(t)=4t 2+15t 2>0．∴g(t)是一个增函数，∴|DE||AP|=4t 2−15t >4×4−152=12．综上，|DE||AP|的取值范围是(12,+∞)．解析：本题考查曲线方程的求法，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(Ⅰ)由直接法即可求解．(Ⅱ)设直线AP 的方程为y =k(x −2)，则直线DE 的方程为y =−1k x.联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1得到P 点坐标，求得|AP|，设D(x 1,y 1)，由椭圆对称性可知|DE|=2|OD|，求得|DE|即可求解．22.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞)，所以 f′(x)=−lnxx 2，当0<x <1时，f′(x)>0，当x >1时，f′(x)<0．所以 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减，则 x =1是函数f(x)的极大值点，又f(x)在(m,m +1)上存在极值，则m <1<m +1⇔0<m <1，故实数m 的取值范围是(0,1)．(Ⅱ)证明：(x +1)(x +e −x )f(x)>2(1+1e )⇔1e+1⋅(x+1)(lnx+1)x >2e x−1xe x +1．令g(x)=(x+1)(lnx+1)x ，则g′(x)=x−lnxx 2， 令φ(x)=x −lnx ，则φ′(x)=1−1x =x−1x ，当x >0时,φ′(x)>0，∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增，所以φ(x)>φ(1)=1>0，∴g′(x)>0.∴g(x)在(1,+∞)上单调递增，所以当x >1时，g(x)>g(1)=2，故g(x)e+1>2e+1令ℎ(x)=2e x−1xe x +1，则ℎ′(x)=2e x−1(1−e x )(xe x +1)2∵x >1，∴1−e x <0，∴ℎ′(x)>0，则ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减．所以，ℎ(x)<ℎ(1)=2e+1，故 g(x)e+1>ℎ(x)，即(x +1)(x +e x )f(x)>2(1+1e )．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，属于中档题． (Ⅰ)求出函数的单调性，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出m 的范围； (Ⅱ)问题转化为证明1e+1⋅(x+1)(lnx+1)x >2e x−1xe x +1，令f(x)=(x+1)(lnx+1)x ，g(x)=2e x−1xe x +1，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证出结论．。
2020年暑假高二数学提分训练题 (5)-0712(解析版)
2020年暑假高二数学提分训练题 (5)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=2i2+4的虚部为()i+1A. −3B. −1C. 1D. 22.已知集合A={x∈N|lnx≤x<3}，集合B={y|y=√2−x}，则A∪B=()A. {1,2}B. [1,2]C. (−∞,2]D. [0,+∞)3.已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是2，则xy的值为()A. 88B. 96C. 108D. 110π,c=π−2，则()4.设a=log2π,b=log12A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>b>a5.已知向量a⃗=(−2,2)，b⃗ =(1,m)，若向量a⃗//b⃗ ，则m=()D. 2A. −1B. 1C. 12)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象()6.已知函数f(x)=cos(ωx−π3A. 可由函数g(x)=cos2x的图象向左平移π个单位得到3B. 可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移π个单位得到3C. 可由函数g(x)=cos2x的图象向左平移π个单位得到6D. 可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移π个单位得到67.某同学用收集到的6组数据对(x i,y i)(i=1,2,3，4，5，6)制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程：y∧=b∧x+a，相关指数为r.现给出以下3个结论：①r>0；②直线l恰好过点D；③b∧>1；其中正确的结论是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③8.如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=4x及圆(x−1)2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围()A. (4,6)B. [4,6]C. (2,4)D. [2,4]9. 某几何体的三视图如图所示，其中网格小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 16πB. 24πC. 36πD. 32π10. 已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，ab =cosAcosB ，A =π6，BC 边上的中线长为4，则△ABC 的面积S 为( )A. 16√37B. 8√37C. 247D. 487 11. 已知实数a ，b 满足2a 2−5lna −b =0，c ∈R ，则(a −c)2+(b +c)2的最小值为( )A. 12 B. √32C. 3√22D. 92 12. 已知函数f(x)=lnx −x 3+2ex 2−(a +e 2)x 在定义域内有零点，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,1e )B. (−∞,1e ]C. (0,1e ]D. [1e ,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在某次夏令营活动中，甲、乙、丙三人都恰好报了清华大学、北京大学中的某一所大学的夏令营，三人分别给出了以下说法：甲说：“我报了清华大学的夏令营，乙也报了清华大学的夏令营，丙报了北京大学的夏令营”； 乙说：“我报了清华大学的夏令营，甲说的不完全对”； 丙说：“我报了北京大学的夏令营，乙说的对”．已知甲、乙、丙三人中，恰有一人说的不对，则报了北京大学夏令营的是________． 14. 在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是______ ．15.已知不等式组{x+y−1≥0x−y+1≥02x−y−2≤0表示的平面区域为D，若对任意的(x,y)∈D，不等式｜x−2y｜≤t恒成立，则实数t的取值范围是__________．16.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线x24−y2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB=√6，则p的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a n+a n+1)=2n(n+1)(n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n2n−1}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，AD=AP=PB=1，∠APB=90°，点E、F分别为BC、AP中点．(1)求证：EF//平面PCD；(2)求三棱锥D−PEF的体积．19.(为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元(假设这100名农民工的月工资均在[25,55](百元)内)且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：(Ⅰ)求m，n的值；(Ⅱ)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.050.010.0050.001 k0 3.841 6.6357.87910.82820.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√2，左右顶点分别为A,B，且过点(√2,1).若P(x0,y0),y0≠0为直线x=4上任意一点，PA,PB分别交椭圆E于C,D两点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=ax2−blnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=1；(Ⅰ)求实数a，b的值；(Ⅱ)求f(x)的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+2cosα,y=2sinα(α为参数)，直线l的参数方程为{x=3−t,y=1+t(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线m:θ=β(ρ⩾0)．(1)求C和l的极坐标方程；(2)设m与C和l分别交于异于原点O的P，Q两点，求|OP||OQ|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−|x|+1．(1)求不等式f(x)≥2x的解集；(2)若关于x的不等式f(x)⩾|x2+a|在[0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 解：∵z =2i 2+4i+1=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，∴复数z =2i 2+4i+1的虚部为−1．故选B ． 2.答案：D解析：【分析】本题考查并集运算和对数不等式，考查计算能力，属于基础题． 先化简A ，B ，再求并集． 【解答】解：A ∪B ={x ∈N|lnx ≤x <3}∪{y|y =√2−x}={1,2}∪{y|y ≥0}， 即A ∪B =[0,+∞)， 故选D ． 3.答案：B解析：【分析】本题主要考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，方差是2，列方程组求出x ，y ，由此能求出xy 的值． 【解答】解：∵样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，方差是2，∴{15(9+10+11+x +y)=1015[(9−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(x −10)2+(y −10)2]=2，解得{x +y =20(x −10)2+(y −10)2=8，解得{x =12y =8或{x =8y =12，∴xy =96． 故选B ． 4.答案：C解析：【分析】本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题． 【解答】解：∵a>log22=1，b=−log2π<0，0<c<π0=1，∴a>c>b，故选C．5.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(−2,2)，b⃗ =(1,m)，向量a⃗//b⃗ ，∴−21=2m，解得m=−1．故选：A．由向量a⃗//b⃗ ，列出方程，能求出m．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：D解析：【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于基础题．先由题意确定ω=2ππ=2，再根据g(x)平移可得．【解答】解：由题意，得ω=2ππ=2，则f(x)=cos(2x−π3)的图象可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移π6个单位得到．故选D．7.答案：A解析：【分析】本题考查回归统计中的回归分析，属基础题．【解答】解：①.由散点图知，相关指数为r>0，①正确；②.x=16(0+1+2+3+7+5)=3，y=16(1.5+2+2.3+3+4.2+5)=3，因为样本中心点(3,3)，所以回归直线l恰好过点D点，②正确；因为直线l的斜率接近与AD斜率，而k AD=kAD=3−1.53=12<1" role="presentation" style="margin: 0px; padding: 5px 2px; display: inline-block; ; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; font-family:"MicrosoftYaHei ", arial, SimSun, sans-serif, tahoma; position: relative;">3−1.53=12<1，所以③错误．故选A．8.答案：A解析：【分析】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B 点横坐标的范围是关键.由抛物线定义可得|AF|=x 1+1，从而△FAB 的周长=|AF|+|FB|+|BA|=(x 1+1)+2+(x 2−x 1)=x 2+3，确定B 点横坐标的范围，即可得到结论. 【解答】解：由题意知抛物线y 2=4x 的准线为x =−1， 设A 、B 两点的坐标分别为A(x 1,y 0)，B(x 2,y 0)， 则|AF|=x 1+1，由{y 2=4x (x −1)2+y 2=4， 消去y ， 整理得：x 2+2x −3=0， 解得x =1，或x =−3(舍)∵B 在圆(x −1)2+y 2=4的实线部分上运动， ∴1<x 2<3，∴ΔFAB 的周长为|AF|+|FB|+|BA|=(x 1+1)+2+(x 2−x 1)=x 2+3∈(4,6)， 故选A ．9.答案：D解析：【分析】本题考查由三视图求几何体外接球的表面积，根据三视图知几何体是三棱柱，为长方体一部分，画出直观图，由长方体的性质求出该几何体外接球的半径，利用球的表面积公式求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：几何体为三棱柱，是长方体一部分，且长方体的长、宽、高分别是2√2, 2√2、4， ∴三棱柱的外接球与长方体的相同， 设该几何体外接球的半径是R ，由长方体的性质可得，(2R )2=(2√2)2+(2√2)2+42=32， 解得R 2=8，∴该几何体外接球的表面积S =4πR 2=32π， 故选D ． 10.答案：A解析：【分析】本题主要考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于一般题．首先根据正弦定理得出sinAcosB =sinBcosA ，得到sin(A −B)=0，然后利用余弦定理结合面积公式求出结果． 【解答】解：由题得acosB =bcosA ，再由正弦定理得sinAcosB =sinBcosA ， 所以sin(A −B)=0， 故B =A =π6，得，由正弦定理得c =√3a ，由余弦定理得16=c 2+(a 2)2−2c ·a 2cos π6，得a =8√77，c =8√217， 得S =12acsinB =16√37．故选A ．11.答案：D解析：【分析】本题考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式的应用，考查求函数上一点处的切线方程，属于较难题．首先将题目转化为求曲线y =2x 2−5lnx 上一点到已知直线y +x =0距离的最小值问题，然后求出与已知直线平行且与曲线相切的直线，切点到已知直线的距离即为所求值． 【解答】分别用x 代换a ，y 代换b ，则x ，y 满足：2x 2−5lnx −y =0，即y =2x 2−5lnx(x >0)， 以x 代换c ，可得点(x,−x)，满足y +x =0．因此求√(a −c)2+(b +c)2的最小值即为求曲线y =2x 2−5lnx 上的点到直线y +x =0的距离的最小值．设直线y +x +m =0与曲线y =2x 2−5lnx =f(x)相切于点P(x 0,y 0)， f′(x)=4x −5x，则f′(x 0)=4x 0−5x 0=−1，解得x 0=1，∴切点为P(1,2)，∴点P 到直线y +x =0的距离d =√2=32√2， 据此可得：(a −c)2+(b +c)2的最小值为92． 故选D ． 12.答案：B解析：【分析】本题考查了函数与方程的综合应用问题，也考查了函数零点以及利用导数研究函数的单调性与最值问题，是中档题． 令函数f(x)=0，得出，设，利用导数求得g(x)的最大值g(x)max ，设ℎ(x)=x 2−2ex +a +e 2，根据二次函数求得ℎ(x)的最小值 ℎ(x)min ，利用ℎ(x)min ≤g(x)max 求得a 的取值范围． 【解答】解：函数f(x)=lnx −x 3+2ex 2−(a +e 2)x 的定义域为(0,+∞)， 令lnx −x 3+2ex 2−(a +e 2)x =0， 得；设，则，则当0<x <e 时，g′(x)>0，∴g(x)在区间(0,e)上单调递增； 当x >e 时，g′(x)<0，∴g(x)在区间(e,+∞)上单调递减； ∴x =e 时，函数g(x)取得最大值为g(x)max =g(e)=1e ； 设ℎ(x)=x 2−2ex +a +e 2=(x −e)2+a ，则当x =e 时，ℎ(x)取得最小值为ℎ(x)min =ℎ(e)=a ； 要使f(x)在定义域内有零点，则ℎ(x)min ≤g(x)max ， 即a ≤1e ，∴实数a 的取值范围是(−∞,1e ]. 故选B ．13.答案：甲、丙解析：【分析】本题主要考查合情推理的知识，解答本题的关键是知道合情推理的特点． 【解答】解：根据题意得，甲、乙、丙三人中，只有甲一人说的不对，则报了北京大学夏令营的是甲、丙． 故答案为甲、丙．14.答案：π8解析：【分析】本题考查了几何概型的概率求法，属于基础题．由题意，所求概率符合几何概型的概率求法，由此只要求出正方形的面积以及半圆的面积，求面积之比即可． 【解答】解：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率符合几何概型的概率， 所以豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是12π×122×2=π8，故答案为：π8．15.答案：[5,+∞)解析：【分析】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及应用问题，是中档题．画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得|x −2y|max ，即可得出实数t 的取值范围． 【解答】解：画出不等式组{x +y −1≥0x −y +1≥02x −y −2≤0表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，在点B 处|x −2y|取得最大值，由{2x −y −2=0x −y +1=0，解得B(3,4)，所以|x −2y|max =|3−2×4|=5，所以不等式|x −2y|≤t 恒成立时，实数t 的取值范围是t ≥5． 故答案为[5,+∞)．16.答案：2√6解析：【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要是准线方程和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，联立求得A ，B 的坐标，可得|AB|，解方程可得p 的值． 【解答】解：抛物线y 2=2px(p >0)的准线为l ：x =−p2， 双曲线x 24−y 2=1的两条渐近线方程为y =±12x ，可得A (−p2,−p4)，B (−p 2,p4)，则|AB |=|p4−(−p4)|=√6√6，可得p =2√6． 故答案为2√6．17.答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得{a 1+a 2=4(a1+a 2)+(a 2+a 3)=12, 即{a 1+a 2=4a 2+a 3=8, 所以{a 1+(a 1+d)=4(a 1+d)+(a 1+2d)=8，解得{a 1=1d =2, ∴a n =1+2(n −1)=2n −1； (Ⅱ)a n 2n−1=(2n −1)⋅(12)n−1，∴S n =1⋅(12)0+3⋅(12)1+5⋅(12)2+⋯+(2n −1)⋅(12)n−1①，∴12S n =1⋅(12)1+3⋅(12)2 +⋯+(2n −3)⋅(12)n−1+(2n −1)⋅(12)n② ，①− ②得12S n =1+2⋅(12)1+2⋅(12)2 +2⋅(12)3+⋯+2⋅(12)n−1−(2n −1)⋅(12)n=1+2·12(1−12n−1)1−12−(2n −1)⋅(12)n =3−(2n +3)⋅(12)n，∴S n =6−(2n +3)⋅(12)n−1=6−4n+62n．解析：本题考查了利用数列的递推公式求出通项公式和利用错位相减法求前n 项和，属于中档题． (Ⅰ)根据数列的递推公式求出公差d ，即可求出数列{a n }的通项公式， (Ⅱ)根据错位相减法即可求出前n 项和．18.答案：解：(1)证明：取PD 中点G ，连接GF ，GC ，在△PAD 中，G ，F 分别为PD 、AP 中点， ∴GF = //12AD ，在矩形ABCD中，E为BC中点，∴CE=//1AD，2∴GF=//EC，∴四边形GFEC是平行四边形，∴GC//EF，而GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，∴EF//平面PCD；(2)∵AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，∵BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC//平面PAD，∵AD=AP=PB=1，∠APB=90°，，AP⊥PB，∵平面PAD∩平面PAB=PA，平面PAD⊥平面PAB，BP⊂平面PAB，∴BP⊥平面PAD，∵BC//平面PAD，∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，而，，∴三棱锥P−DEF的体积为1．12解析：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质及判定的运用，三棱锥体积的求法，考查了空间想象能力，属于中档题．(1)取PD中点G，连接GF，GC，根据几何关系证明四边形GFEC是平行四边形，即得到GC//EF，再运用线面平行的判定定理进行判定即可得证；(2)先根据已知条件证明BP⊥平面PAD，再根据BC//平面PAD，得到点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，即，代入数据进行运算即可得解．19.答案：析：(Ⅰ)因为月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15人，所以月工资收入在[45,50)(百元)内的频率为0.15；由频率分布直方图得(0.02+2m+4n+0.01)×5+0.15=1，化简得m+2n=0.07；…①由中位数为39百元可得0.02×5+2m×5+2n×(39−35)=0.5，化简得5m+4n=0.2；…②由①②解得m=0.02，n=0.025；技术工非技术工总计月工资不高于平均数193150月工资高于平均数311950总计5050100由表中数据计算得K 2=100×(19×19−31×31)250×50×50×50=5.76<10.828，所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关．解析：本题主要考查了独立性检验和频率分布直方图的应用问题，也考查了计算能力及频率应用问题，是基础题．(Ⅰ)根据频率分布直方图列方程组求得m 、n 的值；(Ⅱ)根据题意得到列联表，计算观测值，对照数表得出结论． 20.答案：(Ⅰ)解：依题意，得{2c =2√22a2+1b2=1a 2=b 2+c 2,解得： {a 2=4b 2=2, 故椭圆方程为：x 24+y 22=1；(Ⅱ)证明：由题意，A(−2,0),B(2,0)， 设P(4,t)，t ≠0，C(x 1,y 1),D(x 2,y 2)， 则直线PA 的方程为：y =t6(x +2)， 直线PB 的方程为：y =t 2(x −2)， 联立{x 24+y 22=1y =t 6(x +2), 得(18+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−72=0， 它的两个根分别为A,C 的横坐标， 由韦达定理：−2x 1=4t 2−7218+t 2，则x 1=36−2t 218+t 2，于是y 1=t6(x 1+2)=12t18+t 2 ，联立{x 24+y 22=1y =t2(x −2)， 得(2+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−8=0， 同理可得：2x 2=4t 2−82+t2，则x 2=2t 2−42+t 2，于是y 2=−4t2+t 2， 所以直线CD 的斜率为 k =y 1−y 2x1−x 2=12t 18+t 2+4t2+t236−2t 218+t 2−2t 2−42+t 2=4t6−t 2，所以直线CD ：y +4t2+t 2=4t6−t 2(x −2t 2−42+t 2)，化简可得：y =4t6−t 2(x −1)，故直线CD 过定点(1,0)．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，以及定点问题，属于中档题． (Ⅰ)由条件可得{2c =2√22a 2+1b2=1a 2=b 2+c 2，从而求出椭圆的方程；(Ⅱ)设P(4,t)t >0，由点斜式可得直线PA 、PB 的方程，分别联立直线和椭圆方程可以得到C 、D 两点的坐标，从而表示出直线CD 的方程，可以得到定点．21.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax 2−blnx ，∴x >0，f′(x)=2ax −bx ；又∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =1， ∴{f′(1)=0f(1)=1，即{2a −b =0a =1， 解得{a =1b =2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x 2−2lnx ， f′(x)=2x −2x ，由f′(x)=2x −2x =2⋅x 2−1x=0，解得x =±1(负值舍去)，∴当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)min =f(1)=1．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，也考查了导数的几何意义，是基础题．(Ⅰ)求出函数f(x)的导数f′(x)，根据题意列出方程组{f′(1)=0f(1)=1，解方程组求出a 、b 的值；(Ⅱ)利用导数判断函数f(x)的单调性，求出f(x)在定义域上的最小值f(x)min ．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，∴曲线C 的一般方程为(x −2)2+y 2=4， 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得(ρcosθ−2)2+ρ2sin 2θ=4，可得，C 的极坐标方程为ρ=4cosθ， ∵直线l 的参数方程为{x =3−ty =1+t(t 为参数)，∴l 的普通方程为x +y −4=0，∴l 的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4=0， 即ρsin (θ+π4)=2√2； (2)设P(ρ1,β)，Q(ρ2,β)，则=sinβcosβ+cos 2β=12sin2β+12cos2β+12=√22sin(2β+ π 4)+12，由射线m 与C 相交且与直线l 相交， 则不妨设β∈(−π4,π2)，则2β+π4∈(−π4,5π4)，∴当2β+π4=π2，即β=π8时，|OP ||OQ |取得最大值，此时|OP ||OQ |=√2+12， 所以|OP ||OQ |的最大值为√2+12．解析：本题主要考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互相转化，属于中档题． (1)由曲线C 的参数方程能求出曲线C 的一般方程，再由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,能求出C 的极坐标方程；由直线l 的参数方程求出l 的普通方程，由此能求出l 的极坐标方程． (2)设P(ρ1,β)，Q(ρ2,β)，则，即可求出结果．23.答案：解：(1)x ≥0时，f(x)=x 2−x +1≥2x ，解得：0≤x ≤3−√52或x ≥3+√52，x <0时，f(x)=x 2+x +1≥2x ，解得：x <0， 综上，x ∈(−∞,3−√52]∪[3+√52,+∞)；(2)f(x)≥|x2+a|，x ∈[0,+∞)，故x 2−x +1≥|x 2+a|，故{a ≥−x 2+x2−1a ≤x 2−32x +1，解得：−1516≤a ≤716．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)分段讨论，去掉绝对值，即可求不等式 f(x)≥2x 的解集； (2)f(x)≥|x2+a|，x ∈[0,+∞)，故x 2−x +1≥|x2+a|，故{a ≥−x 2+x2−1a ≤x 2−32x +1，可得结果．。
2020年暑假高二数学提分训练题 (4)-0712(解析版)
2020年暑假高二数学提分训练题 (4)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={x|x<m}，若A⊆B，则实数m的取值范围是()A. [2,+∞)B. (2,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,0]2.若z=3+4i1−i+iz(i是虚数单位)，则|z|=()A. 32B. 2 C. 52D. 33.设a=log2π,b=log12π,c=π−2则()A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>b>a4.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为()A. 110B. 114C. 124D. 1255.函数f(x)=(21+e x−1)⋅sinx的图象大致为()A. B.C. D.6.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．在古代是用算筹来进行计数的，表示数的算筹有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为()A. B. C.D.7. 如图所示的算法框图的输出结果为( )A. 2B. 4C. 6D. 88. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√3 9. (1−x)5展开式x 3的系数是( )A. −10B. 10C. −5D. 510. 已知函数f (x )=sin(ωx +π6)(ω>0)在区间[−π4,2π3]上单调递增，则ω的取值范围为( )A. (0,83]B. (0,12]C. [12,83]D. [38,2]11. 已知点M 为双曲线C ：x 2−y28=1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|+|F 1F 2|−|MF 2|=( ) A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 12. 若函数f(2x +1)=3x −1，则函数f(−2x 2+1)的解析式为( )A. −3x 2−1B. 3x 2−1C. 3x 2+1D. −3x 2+1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若等差数列{a n }前n 项之和是S n ，且a 2+a 10=4，则S 11= ______ ．14. 已知函数f(x +1)为奇函数，函数f(x −1)为偶函数，且f(0)=2，则f(4)=__________． 15. 人们的出行方式越来越多，“共享单车”给人们带来了极大便利，2019年某公司推出“共享宝马汽车”，A ，B ，C ，D 四个家庭(每个家庭两个人)共8个人决定周末乘甲，乙两辆车出行，已知每车限坐4名(乘同一辆车的4人不考虑位置)，则乘坐甲车的4人恰有2名来自于同一个家庭且A 户家庭两人需乘坐同一辆车的概率为_________．16. 如图所示的几何体是一个五面体，四边形ABCD 为矩形，AB =4，BC =2，且MN//AB ，MN =3，△ADM 与△BCN 都是正三角形，则此五面体的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinC−√3ccosA=0．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若a=2，△ABC的面积为√3，求b，c．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1，且AB⊥AC，点M在棱CC1上，点N是BC的中点，且满足AM⊥B1N.(1)证明：AM⊥平面A1B1N；(2)若CM=C1M，求二面角A1−B1N−C1的正弦值．19.已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．(1)求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；(2)若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．20. 过双曲线x 24−y 25=1的右焦点做倾斜角为45°的弦AB.求：(1)求弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离； (2)求弦AB 的长．21. 已知函数f(x)=x(lnx −ax)．(1)当a =1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x 1，x 2，其中x 1<x 2，求证：f(x 1)>−12.22. 已知曲线C 的参数方程为{x =√t −√ty =3(t +1t )+2(t 为参数，t >0).求曲线C 的普通方程．23. 已知函数f(x)=|x −2a|−|x −a|,a ∈R ．(Ⅰ)若f(1)>1，求a 的取值范围；(Ⅱ)若a <0，对∀x,y ∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|y +2020|+|y −a|恒成立，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={x|x2−2x≤0}=[0,2]∵B={x|x<m}，A⊆B，∴m>2．故选：B．由已知中，集合A={x|x2−2x≤0}，解二次不等式求出集合A，再由A⊆B，即可得到实数m的取值范围．本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中根据集合包含关系，构造出关于参数m的不等式组是解答本题的关键．2.答案：C解析：解：∵z=3+4i1−i +iz，∴z(1−i)=3+4i1−i，则z=3+4i(1−i)2=3+4i−2i，∴|z|=|3+4i−2i |=|3+4i||−2i|=52．故选：C．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：∵a=log2π>1，b=log12π<0，c=1π2<1，∴b<c<a．4.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6 =4−2+8−2+16−2+32−2+64−2=(4+8+16+32+64)−10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】本题考查函数图象的本题考查函数图象的作法，属于较易题，根据函数的性质排除即可．【解答】解：因为，f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，D，又因为，排除B，故选A．6.答案：A解析：【分析】本题考查归纳推理，根据算筹的摆放形式有纵横两种形式，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，可得结果．【解答】解：根据题意，9117按千位、百位、十位、个位排列，依次是横式9，纵式1，横式1，纵式7，故选A．7.答案：D解析：【分析】根据程序框图得出结果．【解答】解：由程序框图可得：先把2赋给a，再把4赋给a，所以最后a的值为4+4=8．故选D．8.答案：C解析：【分析】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为，∴|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosπ3=12∴a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =1+2×12=2，故选：C9.答案：A解析：【分析】本题主要考查二项展开式的通项公式，项的系数的求解，属于基础题． 由题意利用二项展开式的通项公式，求出(1−x)5展开式x 3的系数． 【解答】解：根据(1−x)5展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(−x)r ，令r =3，可得x 3的系数是−C 53=−10，故选：A ． 10.答案：B解析：【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，函数单调性的应用，属于基础题．根据正弦函数的单调性，结合在区间[−π4,2π3]上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【解答】 解：当x ∈[−π4,2π3]时，ωx +π6∈[−π4ω+π6,2π3ω+π6]，∴[−π4ω+π6,2π3ω+π6]⊆[2kπ−π2,2kπ+π2], k ∈Z ，∴{−π4ω+π6≥2kπ−π22π3ω+π6≤2kπ+π2，解得{ω≤−8k +83ω≤3k +12(k ∈Z),又∵ω>0，∴只能取k =0，此时ω∈(0,12]． 故选B ． 11.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，由条件求得a ，b ，c ，再结合双曲线的定义求得结果． 【解答】解：双曲线C ：x 2−y 28=1，可得a =1，b =2√2，c =3，点M 为双曲线C ：x 2−y 28=1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|+|F 1F 2|−|MF 2|=−2a +2c =4． 故选B ． 12.答案：A解析：令2x +1=t ，则x =t−12，∴f(t)=32t −52，∴f(−2x 2+1)=32(−2x 2+1)−52=−3x 2−1.故选A ．13.答案：22解析：解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2+a 10=4， ∴S 11=112(a 1+a 11)=112(a 2+a 10)=22，故答案为：22．根据等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式可得S11=112(a1+a11)=112(a2+a10)，运算求得结果．本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．14.答案：−2解析：【分析】本题考查函数奇偶性，利用奇偶性求函数值，中等题；利用f(x+1)为奇函数，函数f(x−1)为偶函数，将f(4)转化即可【解答】解：由题意得f(x−1)=f(−x−1)，令x=1∴f(0)=f(−2)=2，又∵f(x+1)=−f(−x+1)，令x=3∴f(4)=−f(−2)=−2．故答案为−215.答案：1235解析：【分析】本题主要考查计数原理的运用以及古典概型的计算，属于中档题．【解答】解：由题意可将A户家庭在甲车上与A户家庭不在甲车上，进行分类讨论．(1)当A户家庭两人在甲车上时，则甲车上另外两位乘客来自剩下的三个家庭中，所以此时共有C32C21C21=12种；(2)当A户家庭两人不在甲车上时，则剩下的三个家庭必有一个家庭在甲车上，剩下的2个乘客来自于剩下的家庭，所以此时共有C31C21C21=12种；所以乘坐甲车的4人恰有2名来自于同一个家庭且A户家庭两人需乘坐同一辆车的概率为P=12+12 C84=2470=1235．故答案为1235．16.答案：11√116解析：解：采用分割的方法，分别过M，N作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，如图，包含一个三棱柱EFM−NGH，两个全等的四棱锥：M−AEFD，N−GBCH，∴这个几何体的体积：V=V EFM−NGH+2V N−GBCH=S△MEF×EG+2×13S矩形GBCH×NO=12×2×√112×3+2×13×12×2×√112=11√116．故答案为：11√116． 采用分割的方法，分别过M ，N 作与平面ABCD 垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，包括一个三棱柱和两个四棱锥，其中两个四棱锥的体积相等，三者相加得到几何体的体积．本题考查不规则几何体的体积求法，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想方法和数学转化思想方法，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， asinC −√3ccosA =0，由正弦定理得sinAsinC −√3sinCcosA =0，∵sinC ≠0 ∴tanA =√3∴A =π3；(Ⅱ)a =2，△ABC 的面积为√3， ∴S =12bcsinA =√34bc =√3，可得bc =4．由a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得b 2+c 2−bc =4， 解得：b =c =2．解析：(Ⅰ)利用正弦定理以及同角三角函数的关系式，直接求角A 的大小； (Ⅱ)通过a =2，△ABC 的面积为√3，以及余弦定理，即可求b ，c ．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，同角三角函数的关系式，考查计算能力．18.答案：解：(1)证明：∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AB ⊥AC ，AC ∩AA 1=A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1，∵AM ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥AM ， ∵AB//A 1B 1，∴A 1B 1⊥AM ， 又AM ⊥B 1N ，A 1B 1∩B 1N =B 1， ∴AM ⊥平面A 1B 1N.(2)解：以AB ，AC ，AA 1分别作为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 设AA 1=a ，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(0,1，0)， B 1(1,0，a)，M(0,1，a2)，N(12,12,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，a 2)，B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,−a)，∵AM ⊥B 1N ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12−a 22=0，解得a =1，即AA 1=1， ∴B 1(1,0，1)，M(0,1，12)，C 1(0,1，1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，12)， B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,−1)，C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,−1)， 设平面B 1NC 1的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y −z =0n⃗ ⋅C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −12y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,1，0)， 由(1)由知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，12)是平面A 1B 1N 的一个法向量，∴cos <n ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√52=√105．∴二面角A 1−B 1N −C 1的正弦值为(√105)=√155．解析：(1)推导出AB ⊥平面ACC 1A 1，从而AB ⊥AM ，由AB//A 1B 1，得A 1B 1⊥AM ，再由AM ⊥B 1N ，能证明AM ⊥平面A 1B 1N.(2)以AB ，AC ，AA 1分别作为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A 1−B 1N −C 1的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则P(A)=C 32C 21C 21+C 31C 31C 22C 62C 42=730．(2)设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，则获得一等奖的概率为P 1=C 32C 22C 62C 42=130， 获得三等奖的概率为P 3=2C 32C 22+C 31C 31C 21C 21C 62C 42=715， 所以P(B)=130+730+715=1115．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．P(X =0)=(1−1115)2=16225，P(X =1)=C 21×1115×(1−1115)=88225， P(X =2)=(1115)2=121225． X所以E(X)=0×16225+1×88225+2×121225=2215．解析：(1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率．(2)设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，先求出P(B)，由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．20.答案：解：(1)双曲线x 24−y 25=1的右焦点(3,0)，直线AB 的方程为y =x −3．代入双曲线的方程，可得x 2+24x −56=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=−24，x 1x 2=−56，∴弦AB 的中点C(−12,−15)，∴弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离√(3+12)2+(0+15)2=15√2；(2)弦AB 的长=√1+1⋅√(−24)2−4×(−56)=16√5．解析：(1)求出直线AB 的方程，代入双曲线方程，求出C 的坐标，即可求弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离；(2)利用弦长公式求弦AB 的长．本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 21.答案：解：(1)a =1时，f (x )=x (lnx −x )，定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx +1−2x ，令g(x)=lnx −2x +1，则g′(x)=1x −2，当0<x <12时g′(x)>0，g(x)递增，当x >12时g′(x)<0，g(x)递减，g(x)最大值为g(12)=ln 12<0，故f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减;(2)证明：由已知条件可得f′(x)=lnx +1−2ax =0有两个相异实根x 1，x 2，令f′(x)=ℎ(x)，则ℎ′(x )=1x −2a ，x >0，①若a ≤0，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，f′(x)不可能有两根；②若a >0，令ℎ′(x)=0，得x =12a ，∴ℎ(x)在(0,12a )上单调递增，在(12a ,+∞)上单调递减，令f′(12a )>0，解得0<a <12，所以1e <12a ，f′(1e )=−2a e <0， 1a 2>12a ，f′(1a 2)=−2lna +1−2a <0，∴当0<a<1时，函数f(x)有两个极值点，2当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)−0+0−f(x)↘极小值↗极大值↘1，．令，，F(x)在(0,1)单调递减，所以F(x)>F(1)=−1，，得证．即f(x1)>−12解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、单调区间，以及函数的极值．(1)由f(x)=x(lnx−x)，得到f′(x)=lnx+1−2x，判断f′(x)<0，得到f(x)在(0,+∞)上单调递减；−2a，分类讨论a的情况，得到结果．(2)根据题意，构建f′(x)=ℎ(x)，由ℎ′(x)=1x22.答案：解：∵x=√t−√t∴x2=t+1−2t=x2+2∴t+1t)+2=3(x2+2)+2∴y=3(t+1t∴y=3x2+8∴曲线C的普通方程为：x2=y−8．3解析：根据消元法把曲线C的参数方程化为普通方程即可．本题主要考查了参数方程及普通方程之间的相互转化，属于基础题，解答此题的关键是要熟练掌握转化的方法．23.答案：解：(Ⅰ)由题意知，f(1)=|1−2a|−|1−a|>1，，则不等式化为1−2a−1+a>1，解得a<−1；若a≤12<a<1，则不等式化为2a−1−(1−a)>1，解得a>1，即不等式无解；若12若a≥1，则不等式化为2a−1+1−a>1，解得a>1，综上所述，a的取值范围是(−∞,−1)∪(1,+∞)．(Ⅱ)由题意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020|+|y−a|恒成立，只需[f(x)]max≤[|y+2020|+|y−a|]min，当x∈(−∞,a]时，|x−2a|−|x−a|≤−a，[f(x)]max=−a，因为|y+2020|+|y−a|≥|a+2020|，所以当(y+2020)(y−a)≤0时，[|y+2020|+|y−a|]min=|a+2020|，即−a≤|a+2020|，解得a≥−1010，结合a<0，所以a的取值范围是[−1010,0)．解析：本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想和转化问题，是中档题．(Ⅰ)由题意不等式化为|1−2a|−|1−a|>1，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；(Ⅱ)由题意把问题转化为[f(x)]max≤[|y+2020|+|y−a|]min，分别求出[f(x)]max和[|y+2020|+ |y−a|]min，列出不等式求解集即可．。
2020年高二暑期数学补习题(模拟高考) (20)-0711(解析版)
2020年高二暑期数学补习题（模拟高考） (20)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合P ={x|2≤x ≤3}，Q ={x|x 2≤4}，则P ∪Q =( )A. (−2,3]B. [−2,3]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪[3,+∞)2. 将正弦曲线y =sinx 经过伸缩变换{x′=12xy′=3y后得到曲线的方程的周期为( ) A. π2B. πC. 2πD. 3π3. 下列命题中，正确的是( )A. ∃x 0∈R,sinx 0+cosx 0=32B. 复数z 1,z 2,z 3∈C ，若(z 1−z 2)2+(z 2−z 3)2=0，则z 1=z 3C. “a >0,b >0”是“ba +ab ≥2”的充要条件D. 命题“∃x ∈R,x 2−x −2≥0”的否定是：“∀x ∈R,x 2−x −2<0”4. 在某市举行“市民奥运会”期间．组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A ，B ，C 三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是( ) A. 96 B. 72 C. 36 D. 24 5. 若曲线的极坐标方程为ρ=8sin θ，则它的直角坐标方程为( )A. x 2+(y +4)2=16B. x 2+(y −4)2=16C. (x −4)2+y 2=16D. (x +4)2+y 2=166. (x 2+2x )8的展开式中x 4的系数是( )A. 16B. 70C. 560D. 11207. 已知f(x)=e x −e −x2，则下列正确的是( )A. 奇函数，在R 上为增函数B. 偶函数，在R 上为增函数C. 奇函数，在R 上为减函数D. 偶函数，在R 上为减函数8. 已知椭圆x 25+y 2=1与直线y =√3(x −2)交于A ，B 两点，则AB =( )A. 8√5B. 4√5C. √5D. √529. f(x)为奇函数，且在(−∞,0)为递增，f(−2)=0，则xf(x)>0的解集为( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−2,0)∪(0,2)D. (−2,0)∪(2,+∞)10. 学校将5位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试，则每所大学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为( )A. 240B. 180C. 150D. 54011. 若M 为椭圆E ：x 24+y 23=1上动点，直线L 经过圆(x −1)2+y 2=12的圆心P ，且与圆P 交于A 、B 两点，则2MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 18 B. 17 C. 16 D. 1512. 设函数f(x)={2x ,x ≤0log 2x ,x >0，若关于x 的方程f 2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( ) A. (0,1] B. (0,2] C. (−1,1] D. (−1,2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=ln(1−lgx)的定义域为______ ． 14. 若f(x)={x,−1⩽x <0,x 2,0⩽x ⩽1,则f(log 42)=____.15. 设(2x +1)3=a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，则a 0+a 1+a 2+a 3=______． 16. 已知函数f(x)=x|x|，若f(x 0)=4，则x 0的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ−π6)−3√3=0，曲线C 的参数方程为．(1)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的最大值．18. 已知命题p:|4−x|≤6，q:(x −12m +12)(x −12m −2)≤0．(1)若p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若﹁q 是﹁p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．(结果用数字表示)(1)女生甲不在排头，女生乙不在排尾，有多少种不同的站法？(2)女生不相邻，有多少种不同的站法？(3)女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？20. (1)求函数f (x )=x +√1−2x,x ∈[0,14]的值域；(2)已知f (1−x )+2f (1+x )=3x −2，求f(x)的解析式．21. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)．(Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．22. 已知f(x)=(|x −1|−3)2．(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)−ax −2有三个零点，求实数a 的值；(Ⅱ)若对任意x ∈[−1,1]，均有f(2x )−2k−2x ≤0恒成立，求实数k 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】先分别求出集合P，Q，由此能求出P∪Q．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．【解答】解：∵集合P={x|2≤x≤3}，Q={x|x2≤4}={x|−2≤x≤2}，∴P∪Q={x|−2≤x≤3}=[−2,3]．故选：B．2.答案：B解析：解：∵{x′=12x y′=3y，∴{x=2x′y=13y′，∴13y′=sin2x′，即y′=3sin2x′，∴变换后的曲线周期为2π2=π．故选：B．根据坐标变换得出变换后的曲线解析式，利用周期公式得出．本题考查了坐标系的伸缩变换，三角函数的周期，属于基础题．3.答案：D解析：【分析】利用三角函数的有界性判断A的正误；反例判断B的正误；充要条件判断C的正误；命题的否定判断D的正误；本题考查命题的真假的判断，涉及充要条件，命题的否定，三角函数的最值，复数的应用，是基本知识的考查．【解答】解：因为y=sinx+cosx=√2sin(x+π4)≤√2<32，所以A不正确；复数z1，z2，z3∈C，若(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z3，反例z1=0，z2=i，z3=2i，所以B不正确；当a，b同号时，“ba +ab≥2”恒成立，所以C不正确；命题“∃x>0，x2−x−2≥0”的否定是：“∀x>0，x2−x−2<0”，满足命题的否定形式，所以D正确．故选D．4.答案：C解析：解：根据题意，将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则其中1个场馆2人，其余2个场馆各1人，可以分2步进行分析：①、将4人分成3组，其中1组2人，其余2组每组1人，有C42=6种分组方法，②、将分好的3组对应3个场馆，有A33=6种对应方法，则一共有6×6=36种同分配方案；故选：C．根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，关键是根据“每个场馆至少分配一名志愿者”的要求，明确分组的依据与要求．5.答案：B解析：【分析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题目．利用互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，求解即可．【解答】解：由直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即ρ2=x2+y2，可得x2+y2=8y，整理得x2+(y−4)2=16．故选B．6.答案：D解析：由于(x2+2x )8展开式中通项公式为T r+1=C8r(x2)8−r(2x)r=2r C8r x16−3r，16−3r=4，r=4，展开式中x4的系数是24C84=1120．7.答案：A解析：f(−x)=e −x−e x2,f(−x)=f(−x)，所以为奇函数；y=e x上R为增函数，y=e x在R上是减函数，在y=−e−x上R是增函数．8.答案：D解析：【分析】本题考查了直线与椭圆相交弦长问题，考查计算能力，属于中档题．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，再由弦长公式即可求出．【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立{x25+y2=1y=√3(x−2),消去y 得16x 2−60x +55=0， x 1+x 2=154,x 1.x 2=5516，所以AB =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+3√(154)2−4×5516=√52， 故选D ． 9.答案：A解析：解：f(x)为奇函数，且在(−∞,0)为递增的，f(−2)=0， 可得f(x)在(0,+∞)也单调递增，且过点(2,0)， 故函数f(x)的图象大致如图所示：由xf(x)>0，可得{x >0f(x)>0①，或{x <0f(x)<0②. 解①求得x >2，解②求得x <−2，综上可得，不等式的解集为{x|x >2或x <−2}． 故选：A ．本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 函数f(x)的图象大致如图所示，由xf(x)>0，可得{x >0f(x)>0①，或{x <0f(x)<0②，数形结合求得x 的范围．10.答案：C解析：解：根据题意，分2步进行分析： ①、先将5位同学分成3组： 若分成1−2−2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法， 若分成1−1−3的三组，有C 51C 41C 33A 22=10种分组方法，则将5人分成3组，有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组对应三所大学，有A 33=6种情况，则每所大学至少有一人参加，则不同的选派方法25×6=150种； 故选：C ．根据题意，分2步进行分析：①、先将5位同学分成3组：需要分2种情况讨论，②、将分好的三组对应三所大学，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 11.答案：B解析：解：设M(2cosθ,√3sinθ)．圆(x −1)2+y 2=12的圆心P(1,0)，半径r =√22．∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2． ∴4MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∴2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(√2)22=2[(1−2cosθ)2+(√3sinθ)2]−1=2(cosθ−2)2−1≤2×32−1=17，当cosθ=−1时取等号． ∴2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为17． 故选：B ．设M(2cosθ,√3sinθ).由圆(x −1)2+y 2=12的圆心P(1,0)，半径r =√22.由于MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .利用数量积的运算性质和余弦函数的单调性即可得出．本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则、数量积的运算性质和余弦函数的单调性、圆的对称性、椭圆的参数方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 12.答案：A解析：【分析】主要考查了函数的零点与方程的跟的关系，利用数形结合是解决此类问题的关键． 【解答】解：由题意可知：函数f(x)的图象如下：由关于x 的方程f 2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数解， 可知方程a =f(x)与f(x)=0恰有三个不同的实数解， 由于f(x)=0只有一个解x =1，所以方程a =f(x)恰有两个不同的实数解，即函数y =a 与函数y =f(x)的图象恰有两个不同的交点． 由图象易知：实数a 的取值范围为(0,1]． 故选A ．13.答案：(0,10)解析：解：由题意得{x >01−lgx >0，即{x >0x <10，得0<x <10，故函数f(x)=ln(1−lgx)的定义域为(0,10)， 故答案为：(0,10)根据对数的真数大于0，建立不等式组，解之即可求出函数的定义域本题主要考查了对数函数的定义域，以及根式函数的定义域和不等式组的解法，属于基础题．14.答案：14解析：【分析】本题考查分段函数求值，属基础题． 先求log 42=12，再求f(12)的值即可． 【解答】解： 因为log 42=12log 22=12， 所以f (log 42)=f (12)=(12)2=14． 故答案为14．15.答案：27解析：解：令x =1，a 0+a 1+a 2+a 3=33=27， 故答案为：27令x =1可得a 0+a 1+a 2+a 3的值． 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 16.答案：2解析：【分析】本题考查由函数解析式的应用，属于基础题目． 【解答】解：由题意可得f(x 0)=x 0|x 0|={x 02,x 0≥0−x 02,x 0<0，由f(x0)=4，可得当x 0=2． 故答案为2．17.答案：解：(1)由得，∴直线的直角坐标方程为x −√3y +3√3=0，由{x =cosα,y =√3sinα消α得曲线C 的直角坐标方程x 2+y 23=1； (2)设，，当时，d 取最大值，∴d max =√10+3√32．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，椭圆的参数方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，辅助角公式，属于中档题．(1)将极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程；(2)利用椭圆的参数方程和点到直线的距离公式及辅助角公式求解即可． 18.答案：解：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6，解得−2≤x ≤10． 命题q ：q ：(x −12m +12)(x −12m −2)≤0． 解得m−12≤x ≤m+42．∴¬q ：x <m−12或x >12m +2．又∵p 是¬q 充分而不必要条件， ∴m−12>10，或12m +2<−2．∴m <−8，或m >21，所以实数m 的取值范围为(−∞,−8)∪(21,+∞)． (2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12或x >12m +2．又∵￢q 是¬p 的必要而不充分条件，∴{m−12≥−212m +2≤10，∴−3≤m ≤16..所以实数m 的取值范围为[−3,16]．解析：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6. 命题q ：q ：(x −12m +12)(x −12m −2)≤0.解得m−12≤x ≤m+42.可得¬q.根据p 是¬q 充分而不必要条件，可得m−12>10，或12m +2<−2.解得实数m 的取值范围．(2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12或x >12m +2.根据q 是¬p 的必要而不充分条件，可得{m−12≥−212m +2≤10，解得m 范围． 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)根据题意，分2种情况讨论： ①女生甲排在队尾，女生乙有6个位置可选， 剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A 55种情况， 此时有6×A 55=720种站法；②女生甲不在队尾，女生甲有5个位置可选，女生乙不在队尾，女生乙有5个位置可选，剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55种情况，此时有5×5×A55=3000种站法；则一共有720+3000=3720(2)根据题意，分2步进行分析：①将4名男生全排列，有A44=24种顺序，排好后包括两端，有5个空位，②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53=60种情况，则此时有24×60=1440种站法；(3)根据题意，将7人全排列，有A77=5040种顺序，女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，则女生甲要在女生乙的右方的排法有12×A77=2520种情况．解析：本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析受到限制的元素．(1)根据题意，分2种情况讨论：①女生甲排在队尾，②女生甲不在队尾，每种情况下依次分析女生乙和其他5名女生的站法数目，由分步计数原理可得每种情况下的站法数目，由加法原理，将两种情况的站法数目相加，即可得答案；(2)根据题意，用插空法分2步进行分析：①将4名男生全排列，排好后包括两端，有5个空位，②在5个空位中任选3个，安排3名女生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；(3)根据题意，将7人全排列，计算可得7人全排列的站法数目，分析可得：女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，计算可得答案．20.答案：解：(1)设t=√1−2x，则t∈[√22,1]，x=1−t22，代入f(x)得，y=1−t22+t=−12(t−1)2+1，因为t∈[√22,1]，所以值域为[2√2+14,1]；(2)由题意得，f(x)+2f(2−x)=1−3x，①令x取2−x代入得，f(2−x)+2f(x)=3x−5，②由①②解得f(x)=3x−113．解析：(1)本题主要考查函数的值域.由题意设t=√1−2x，求出t的范围和x的表达式，代入f(x)化简后，根据一元二次函数的性质和t的范围，求出函数f(x)的值域；(2)本题主要考查函数的解析式的求解.因为f(x)+2f(2−x)=1−3x，①令x取2−x代入得，f(2−x)+2f(x)=3x−5，即可解得．21.答案：解：(Ⅰ)曲线C：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos2θ=λρsinθ，即：x2=λ2y，由于：曲线C的焦点F的极坐标为(1,π2)．即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ．得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0．所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0，且|AF|=3|FB|，故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α， 整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α， 解得：tanα=±√33， 由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 22.答案：解：(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)−ax −2=0等价于f(x)=ax +2有三个不同的解，由f(x)={(x −4)2,x ≥1(x +2)2,x <1， 可得函数图象如图所示：联立方程：(x −4)2=ax +2，由Δ=(a +8)2−56=0，可得a =−8±2√14，结合图象可知a =−8+2√14．同理(x +2)2=ax +2，由Δ=(4−a)2−8=0，可得a =4±2√2，因为4+2√2<K PQ =7，结合图象可知a =4−2√2，综上可得：a =−8+2√14或a =4−2√2．(Ⅱ)设2x =t ∈[12,2]，原不等式等价于(|t −1|−3)2≤2kt 2，两边同乘t 2得：[t(|t −1|−3)]2≤2k ，设m(t)=t(|t −1|−3)，t ∈[12,2]，原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，(1)当t ∈[1,2]时，m(t)=t(t −4)，易得m(t)∈[−4,−3]，(2)当t ∈[12,1)时，m(t)=−t(t +2)，易得m(t)∈(−3,54],所以[m(t)]2的最大值为16，即2k ≥16，故k ≥4．解析：本题是函数与方程的综合应用，属于难题．(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)−ax −2=0等价于f(x)=ax +2有三个不同的解，由f(x)={(x −4)2,x ≥1(x +2)2,x <1，画图，结合图象解方程可得a 的值； (Ⅱ)设2x =t ∈[12,2]，原不等式等价于(|t −1|−3)2≤2kt 2，两边同乘t 2得：[t(|t −1|−3)]2≤2k ，设m(t)=t(|t −1|−3)，t ∈[12,2]，原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，对t 讨论求解即可．。
2020年高一数学暑假补习题 (29)-0710(解析版)
2020年高一数学暑假补习题 (29)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知角θ的终边经过点P(4,m)，且sinθ=35，则m等于()A. −3B. 3C. 163D. ±32.若，则()A. B. C. D.3.若，则角的终边落在直线()上A. B. C. D.4.将函数f(x)=2sin(2x−π6)+2向左平移π6个单位后得函数g(x)，则g(x)在[0,2π3]上取值范围是()A. [−2,2]B. [3,4]C. [0,3]D. [0,4]5.函数y=ax2+bx与在同一直角坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.6.函数f(x)=xx2+a的图像可能是()A. (1)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)7.函数的大致图象是()A.B.C.D.8. 在中，已知60°，45°，则AC =( )A. √2B. √6C. 2√2D. 2√3 9. 函数y =log 2(6−x −x 2)的单调递减区间为( )A. (−∞,−12]B. [−12,+∞)C. (−3,−12]D. [−12,2)10. 已知，，则( )A.B.C.D.11. 函数f (x )=e x −e −xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.12. 已知0<a <b ，a +b =1，则12，b ，a 2+b 2的大小关系是( )A. 12<a 2+b 2<bB. 12<b <a 2+b2C. a 2+b 2<b <12 D. 无法确定二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 13. 已知角的终边过点(sin2π3,cos 2π3)，则=__________．14. 已知，，则____________________．15.在△ABC中，当a2+c2−b2=√3ac时，角B=_______．16.已知函数在上有意义，则的取值范围是__________17.若函数f(x)=(3−m)xx2+m的图像如所示，则m的取值范围是___________．18.已知实数满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤.其中可能关系式是__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）19.已知，且、().(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的值．20.已知函数在[0,π3]上单调递增，且满足f(x)=f(2π3−x)．(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)若f(x0)=1，求sin(2x0+π6)的值．21.如图，在△ABC中，∠B=45∘,AC=√10，cos∠C=2√55，点D是AB的中点，求：(1)边AB的长；(2)cosA的值和中线CD的长．22.(1)求函数y=x+9x−2(其中x>2)的最小值；(2)求函数y=x+9x−2(其中x≥6)的最小值．23.如图，△ABC中，sin∠ABC2=√33，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=4√33.(Ⅰ)求：BC的长；(Ⅱ)求△DBC的面积．24.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，其中点P在边DE上(包括端点).求矩形BNPM面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．利用任意角的三角函数的定义，求解即可．【解答】解：角θ的终边经过点P(4,m)，且sinθ=35，可得√16+m2=35>0，(m>0)解得m=3或m=−3(舍)．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查的是三角函数值的符号，属于基础题．根据tanα>0得出α是第一或第三象限角，讨论α是第一、第三象限角时，sin2α的符号即可．【解答】解：∵tanα>0，∴角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin2α=2sinαcosα>0；当α是第三象限角时，sinα<0，cosα<0，sin2α=2sinαcosα>0；综上，sin2α>0．故选C．3.答案：B解析：试题分析：有已知可得，即直线的斜率考点：同角间的三角函数关系及二倍角公式点评：本题涉及到的基本公式有4.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g(x)在[0,2π3]上的取值范围．【解答】解：将函数f(x)=2sin(2x−π6)+2向左平移π6个单位后得函数g(x)=2sin(2x+π3−π6)+2=2sin(2x+π6)+2，则在[0,2π3]上，2x+π6∈[π6,3π2]，∴sin(2x+π6)∈[−1,1]，g(x)∈[0,4]，故选：D．5.答案：D解析：由题意知a,b同号，故二次函数的对称轴在y轴左边，排除A，B，图C中由二次函数图象知ba>1，而对数函数中ba<1，故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查了函数图象的应用，属于基础题．因为是选择题，故适宜用特殊值法，将特殊值代入分析各选项，结合图象中特殊点坐标加以验证，可得结果．【解答】解：若a=0，则f(x)=xx2=1x，图(4)符合，若a≠0，则当x=0时，f(x)=0，图象过原点，排除(1)；a=1时，(2)符合，a=−4时，(3)符合，综上可知：图象(2)(3)(4)符合．故选C．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的图象和性质，属于中档题．利用函数的性质求解即可得结果．【解答】解：因为f(−x)=−f(x)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除C和D，当x>0时，，f′(x)=1+lnx，当x>1e 时,f′(x)>0，所以f(x)在(1e,+∞)上是增函数，故排除B．故选A．8.答案：B解析：【分析】本题考查正弦定理的应用，属于基础题，直接利用正弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC中，60°，45°，则AC=AB·sinBsinC =2×√32√22=√6．故选B．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查复合函数的单调性，根据复合函数单调性的判断方法：同增异减即可判断，求解时要将函数y=log2(6−x−x2)分解成两个基本函数：t=6−x−x2和y=log2t，易错点是不求函数的定义域．【解答】解：由6−x−x2>0得−3<x<2，所以函数y=log2(6−x−x2)的定义域为(−3,2)，令t=6−x−x2，则y=log2t，因为t=6−x−x2在(−3,−12)上单调递增，在[−12,2)上单调递减，又y=log2t单调递增，所以y=log2(6−x−x2)在[−12,2)上单调递减．故选D．10.答案：D解析：【分析】本题考查两角和差的正切公式的应用，属于较易题．【解答】解：，故选D．11.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的图象及性质，为中档题．解答本题可用排除法．【解答】解：函数f(x)=e x−e−xx2，定义域为{x|x≠0}，f(−x)=e−x−e−(−x)(−x)2=−f(x)，故f(x)为奇函数，排除A；当x=1时，f(x)=e−e−1>0，排除D；当x→+∞时，f(x)→+∞，排除C．故选B．12.答案：A解析：因为0<a<b，a+b=1，<b，所以，a<12;由于(a+b)2=1所以1−(a2+b2)=2ab<a2+b2，所以a2+b2>12由于2b>1，所以2ab>a，所以2ab+b>a+b，所以a+b−2ab<b，由于1−2ab=a2+b2，<a2+b2<b．所以a2+b2<b，因此12故选A．13.答案：解析：【分析】本题考查的是三角函数的定义.由角α终边上的点的坐标求出tanα，再根据角α的范围求出角α即可．【解答】解：根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则tanα=，结合角的范围可知，的值为．故答案为.14.答案：3√1010解析：【分析】本题考查两角的差角公式，解决问题的关键是根据所给条件展开代入计算即可．【解答】解：由题，故答案为3√1010．15.答案：π6解析：【分析】本题考查余弦定理，根据题意利用余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac =√32，进而即可求得结果．【解答】解：∵a2+c2−b2=√3ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =√32，∴B=π6．故答案为π6．16.答案：解析：函数在上有意义，等价于在上恒成立，即恒成立，记，即等价于.因为在上是增函数，因此的最大值为.所以，于是的取值范围是，故应填．17.答案：(0,3)解析：【分析】本题考查了函数图像和识别，是基础题.根据图像得出函数的定义域为R是解题的关键．【解答】解：∵函数f(x)的定义域为R，所以x2+m恒不等于0，所以m>0，当x>0时，f(x)>0，所以3−m>0，解得0<m<3．故答案为(0,3)18.答案：②④⑤解析：设，则；当时，在上为减函数，则；当时，在上为增函数，则；当时，则；故选②④⑤．19.答案：(Ⅰ)证：依题意，，则所以(Ⅱ)解：取A=B=58π，由(Ⅰ)得，所以，因为π2<58π<π,所以．解析：本题本题正切两角和差公式，属于中档题．(Ⅰ)根据，运用两角和差公式，得到，再将展开计算，即可得到答案;(Ⅱ)取A=B=58π，由(Ⅰ)得，结合角π2<58π<π,解得．20.答案：解：(Ⅰ)由函数满足满足f(x)=f(2π3−x)．得知函数f(x)关于x=π3对称，又函数f(x)在[0,π3]上单调递增，所以f(x)在x=π3取得最大值．又f(x)=sin(x+φ)+√3cos(x+φ)，=2sin(x+φ+π3)，所以f(π3)=2sin(φ+2π3)=2，故φ+2π3=2kπ+π2(k∈Z)，由于0<|φ|<π，所以：φ=−π6．(Ⅱ)由f(x0)=1，知sin(x0+π6)=12，所以：sin(2x 0−π6)， =sin[2(x 0+π6)−π2]， =−cos2(x 0+π6)，=2sin 2(x 0+π6)−1， =−12．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用及函数的求值．(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换求出函数的关系式． (Ⅱ)利用函数的关系式的变换和函数的性质求出结果．21.答案：解：(1)由cosC =2√55>0可知，∠C 是锐角，∴sinC =√1−cos 2C =(2√55)=√55， 由正弦定理ACsinB =ABsinC 得：AB =ACsinC sinB=√10×√55√22=2；(2)∵∠B =45°，∴A =180°−45°−C ， ∴cosA =cos(180°−45°−C)=cos(135°−C)=√22(−cosC +sinC)=√22×(−2√55+√55)=−√1010， 由AD =12AB =1，根据余弦定理得：CD 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅ACcosA =1+10−2×1×√10×(−√1010)=13，则CD =√13．解析：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．(1)由cos C 的值大于0，得到C 为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C 的值，再由AC ，sin C ，以及sin B 的值，利用正弦定理即可求出AB 的长；(2)由B 的度数，利用内角和定理表示出A 的度数，求出cos A 的值，再由AC ，AD ，cos A 的值，利用余弦定理即可求出CD 的长． 22.答案：(1)8(2)334解析：【分析】本题考察了函数的最值的求法.当x >2时，运用基本不等式即可得到最小值，当x ⩾6时，由导数的符号即可得单调性，可得最小值． 【解答】解：(1)y =x +9x−2(x >2)=x −2+9x−2+2⩾2√(x −2)×9x−2+2=8． 当且仅当x =5时，取得最小值8．(2)当x ⩾6时，x −2⩾4，即有y =x +9x−2的导数为y′=1−9(x−2)2>0， 即有函数在x ⩾6递增，且有x =6时，最小值为6+96−2=334．故答案为(1)8，(2)334．23.答案：解：(Ⅰ)因为sin ∠ABC 2=√33，所以cos∠ABC =1−2sin 2∠ABC 2=1−2×13=13.(2分)在△ABC 中，设BC =a ，AC =3b ，由余弦定理可得：9b 2=a 2+4−43a①(5分) 在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得： cos∠ADB =4b 2+163−416√33b ，cos∠BDC =b 2+163−a 28√33b (7分) 因为cos∠ADB =−cos∠BDC ，所以有4b 2+163−416√33b =b 2+163−a 28√33b ，所以3b 2−a 2=−6 ②由①②可得a =3，b =1，即BC =3.(9分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知cos∠ABC =13，则sin∠ABC =√1−(13)2=2√23，又AB =2，BC =3，则△ABC 的面积为12AB ⋅BCsin∠ABC =12×2×3×2√23=2√2， 又因为AD =2DC ，所以△DBC 的面积为13×2√2=2√23.(12分)解析：(Ⅰ)由sin ∠ABC 2的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC 的值，设BC =a ，AC =3b ，由AD =2DC 得到AD =2b ，DC =b ，在三角形ABC 中，利用余弦定理得到关于a 与b 的关系式，记作①，在三角形ABD 和三角形DBC 中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB 和cos∠BDC ，由于两角互补，得到cos∠ADB 等于−cos∠BDC ，两个关系式互为相反数，得到a 与b 的另一个关系式，记作②，①②联立即可求出a 与b 的值，即可得到BC 的值；(Ⅱ)由角ABC 的范围和cos∠ABC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠ABC 的值，由AB 和BC 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积，由AD =2DC ，且三角形ABD 和三角形BDC 的高相等，得到三角形BDC 的面积等于三角形ABC 面积的13，进而求出三角形BDC 的面积．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．24.答案：解：设MP =x,PN =y ，作PQ ⊥AF 于Q ， 所以PQ =8−y ，EQ =x −4， ∵在ΔEDF 中，EQPQ =EFFD ，∴x−48−y =42，∴y=−12x+10，其中x∈[4,8]，设矩形BNPM的面积为S，则：S=xy=x(10−12x)=−12(x−10)2+50，∴S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10，∴当x∈[4,8]，S(x)单调递增．∴当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．解析：本题考查二次函数的实际应用，属于难题.，设MP=x，将面积表示成x的函数，利用二次函数的性质求最大值即可．。
2020高二文科数学暑假作业(含答案)
2020高二文科数学暑假作业（一） 一、选择题 1．复数22()i i+= A ．34i -- B ．34i -+ C ．34i - D ．34i +2.设全集U 是自然数集N ，集合{}{}1,2,3,1A B x N x ==∈≤，则如图所示的阴影部分的集合为 A.{}0,1B.{}1,2C.{}2,3D.{}0,1,23. 已知x 0 1 23 y 1 35 7则y 与x 的线性回归方程+=a x b y 必过点( ) A.(1.5 ,4) B. (2,2) C.(1.5 ,0) D.(1,2)4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=λλλλ11132y x (λ为参数)与y 坐标轴的交点是（ ） A ．,0( )52 B ．,0( )51 C ．,0( )4- D ．,0( )95 5.在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换公式是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧==''23.A y y x x ⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 23.B ''⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213.C ''6. 已知抛物线24y x =的准线与双曲线()2221,0x y a a-=＞交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线的离心率是 A.3B.6C.2D.37.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形且体积为12，则该几何体的俯视图可以是8．过点M(2，0)作圆221x y +=的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），则MA MB ⋅=u u u r u u u rA．532 B ． 52 C ．332 D ．329．函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 10．如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入（ ） A. k≤11? B .k≥11? C.k≤10? D .k≥10?11．已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且,则的最小值是（ )A. B. C. D. 12.已知函数()f x 满足：当()()()()211;12,log 7x x f x f x x f x f ≥=-==时，当＜时，则A.72B.74C.78D.716二、填空题13．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24， 则正（主）视图中a 的值为 .14.在复平面内，记复数对应的向量为，若向量绕坐标原点逆时针旋转 得到向量所对应的复数为___________________．15.已知实数[]0,10x ∈，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于47的概率为(,)P x y 2212516x y +=A (3,0)||1AM =u u u u r 0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r ||PM u u u u r23233i +OZ uuu r OZ uuu r60o'OZ u u u u r16．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+，当1,2,3,k =⋅⋅⋅时，观察下列等式可以推测A-B=_______________ 三、解答题 17．若函数4)(3+-=bx ax x f ．当2=x 时，函数)(x f 取得极值4-3． （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围． 18．(本小题满分12分)如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC ∆所在平面互相垂直，F 为BC 的中点， 90BAC ACD ∠=∠=︒，AE ∥CD ，22DC AC AE ===.（1）求证：平面BCD ⊥平面ABC ; （2）求证：AF ∥平面BDE ； （3）求四面体B CDE -的体积.19、己知等比数列{}n a 所有项均为正数，首11a =，且435,3,a a a 成等差数列．(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若*21()n n S n N =-∈，求实数λ的值．20．（本小题满分12分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (1)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；(3)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.2013高二文科数学暑假作业（一）答案1-5 ACABC 6-10 BADBD 11-12BB 13． 6 14． 2i 15．1/216．41 17． (1)2'()3f x ax b =- 所以'(2)0f =,4(2)3f =-.即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩,由此可解得13a =,4b =(2)31()443f x x x =-+ 2'()4(2)(2)f x x x x =-=-+所以()f x 在2x =-处取得极大值283,在2x =处取得极小值43-所以42833k -<< 18．（1）∵面ABC ⊥面ACDE ，面ABC I 面ACDE AC =，CD AC ⊥,∴DC ⊥面ABC ，又∵DC ⊂面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC . （2）取BD 的中点P ，连结EP 、FP ，则FP12DC , 又∵EA12DC ，∴EA FP ， ∴四边形AFPE 是平行四边形，∴AF ∥EP ，又∵EP ⊂面BDE 且AF ⊄面BDE ，∴AF ∥面BDE .（3）∵BA ⊥AC ，面ABC I 面ACDE =AC ， ∴BA ⊥面ACDE .∴BA 就是四面体B CDE -的高，且BA =2. ∵DC =AC =2AE =2，AE ∥DC ， ∴11(12)23,121,22ACE ACDE S S ∆=+⨯==⨯⨯=梯形 ∴312,CDES ∆=-= ∴1422.33E CDE V -=⨯⨯=19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由条件得423,3,q q q 成等差数列，所以4326q q q +=解得2,3=-=q q 或 由数列的所有项均为正数,则q =2数列{}n a 的通项公式为n a =12n -(*)n N ∈（Ⅱ）记n n n a a b λ-=+1,则112)2(22---=⋅-=n n n n b λλ 若0,0,2===n n S b λ不符合条件；若2≠λ， 则21=+nn b b ，数列{}n b 为等比数列，首项为λ-2，公比为2, 此时)12)(2()21(21)2(--=---=n n n S λλ又n S ＝21(*)n n N -∈,所以1=λ20．解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >. （1）(1)(3)f f ''=，解得23a =. （3）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >.①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞.②当102a <<时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a.③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a.（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-.。
2020年暑假高二数学补习题 (12)-0715(解析版)
2020年暑假高二数学补习题 (12)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.5+i 1−i=( )A. 2+3iB. 3+3iC. 2−3iD. 3−3i2. 设集合M ={x|x 2≥9}，N ={x|x ≤−4}，则M ∩N =( )A. (−∞,−4]B. [3,+∞)C. (−∞,−3]∪[3,+∞)D. (−∞,−3]3. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，则−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. (−12,5)B. (12,5)C. (−12,−5)D. (12,−5)4. 已知sin(π2−α)=35，则cos(π−2α)=( )A. 725B. −725C. 925D. −9255. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=1，a 8=a 6+2a 4，则a 6的值是( )A. 2√2B. 4C. 4√2D. 86. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( ) A. 336种 B. 320种 C. 192种 D. 144种 7. 已知双曲线x 2m 2+12−y 25m−1=1的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A. ±53B. ±35C. ±34D. ±438. 如图所示的算法框图的输出结果为( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A. √64B. √63C. √26 D. √3610. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减，则实数ω的取值范围是( )A. [12,54]B. [12,34]C. (0,12]D. (0,2]，11. 已知函数f(x)=2017x +log 2017(√x 2+1+x)−2017−x +3，则关于x 的不等式f(1−2x)+f(x)>6的解集为( ) A. (−∞,1) B. (1,+∞) C. (1,2) D. (1,4)12. 已知函数f(x)=(x −3)e x +a(2lnx −x +1)在(1,+∞)上有两个极值点，且f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A. (e,+∞) B. (e,2e 2) C. (2e 2,+∞) D. (e,2e 2)∪(2e 2,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{0≤x ≤20≤y ≤4x ≤2y，则2x −y 的最大值为______．14. 等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 7+a 9=16，S 7=7，则a 12= ______ ． 15. 已知(ax +1√x )6(a >0)展开式中的常数项为60，则∫(a−a sinx +|x|)dx =______．16. 抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△MNF 的面积为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n (n ∈N ∗)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1=a 1，b 4=S 3．(Ⅰ)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (Ⅱ)设c n =1bn ⋅log 2a 2n+2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12．18. 在中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且．(I)求角A 的大小； (II)已知面积为 √3，且外接圆半径 R =√3，求的周长．19.如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．(1)求证：AE⊥PD；(2)若PA=4，求二面角E−AF−C的余弦值．20.某兴趣小组在网上看见一则消息称哈尔滨工业大学男女比例近似满足4：1，由于哈工大的专业偏向理科，该小组猜想高中生的文理科选修与性别有关．为了判断高中生的文理科选修是否与性别有关，该小组随机调查了100名学生的情况，得到如下图所示的2×2列联表理科文科合计男30女3545合计60(2)试通过计算说明，能否有99%的把握认为高中生的文理科选修是与性别有关．,其中n=(a+b+c+d)附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005≥k0)K00.4450.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87921. 已知函数f(x)=(x +a)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当a <1时，试确定函数g(x)=f(x −a)−x 2的零点个数，并说明理由．22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是坐标平面内一点，且|OP|=√72，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(O 为坐标原点)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 1的直线L 与该椭圆相交于M 、N 两点，且|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求直线L 的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：5+i1−i =(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+6i 2=2+3i ．故选：A ． 2.答案：A解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 先求出集合M ，由此能求出M ∩N ． 【解答】解：∵集合M ={x|x 2≥9}={x|x ≥3或x ≤−3}， N ={x|x ≤−4}，∴M ∩N ={x|x ≤−4}=(−∞,−4]． 故选A ． 3.答案：C解析：解：∵向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−2,7+3)=(1,10)， ∴−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−5)． 故选：C ．根据平面向量的加法运算法则，进行加减运算即可．本题考查了平面向量的加减运算问题，解题时应根据平面向量的线性运算进行解答，是基础题． 4.答案：A解析：解：∵sin(π2−α)=cosα=35，∴cos(π−2α)=−cos2α=1−2cos 2α═1−2×(35)2=725，故选：A ．由已知及诱导公式可求cosα，由诱导公式和二倍角公式化简所求后代入cosα的值即可求解． 本题主要考察了诱导公式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查． 5.答案：B解析：解：∵在各项均为正数的等比数列{a n }中， a 2=1，a 8=a 6+2a 4，∴{a1q=1a1q7=a1q5+2a1q3 q>0，解得a1=√22，q=√2，∴a6=a1q5=√22×(√2)5=4．故选：B．由已知条件利用等比数列的性质求解．本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6.答案：A解析：解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21⋅C43⋅A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22⋅C42⋅A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．7.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．求出双曲线的实轴长，得到m，然后求解双曲线的渐近线方程，得到渐近线的斜率即可．【解答】解：双曲线x2m2+12−y25m−1=1的实轴长为8，可得：m2+12=16，解得m=2，m=−2(舍去)，所以双曲线的渐近线方程为：x4±y3=0，则该双曲线的渐近线的斜率：±34．故选：C．8.答案：D解析：【分析】根据程序框图得出结果．【解答】解：由程序框图可得：先把2赋给a，再把4赋给a，所以最后a的值为4+4=8．故选D．9.答案：A解析：【分析】本题考查异面直线所成的角，属于中档题．由题意得到∠CB 1C 1=60°，∠DC 1D 1=45°，设|B 1C 1|=1，|CC 1|=√3=|C 1D 1|，根据AB 1//C 1D ，所以∠AB 1C 或其补角为异面直线B 1C 和C 1D 所成角，再放在三角形AB 1C 中，求出cos∠AB 1C ，即可得到答案． 【解答】解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°， 则∠CB 1C 1=60°，∠DC 1D 1=45°，设|B 1C 1|=1，|CC 1|=√3=|C 1D 1|，因为AB 1//C 1D ，所以∠AB 1C 或其补角为异面直线B 1C 和C 1D 所成角，在三角形AB 1C 中，|AB 1|=√3+3=√6,|B 1C |=|AC |=√1+3=2，过C 作CE ⊥AB 1，垂足为E ， 则E 为AB 1的中点，所以cos∠AB 1C =|B 1E ||B1C |=√622=√64， 则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为√64． 故选A ．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题由条件利用正弦函数的减区间可得{ω⋅π2+π4≥π2ω⋅π+π4≤3π2，由此求得实数ω的取值范围． 【解答】解：∵ω>0，函数f(x)=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减，则{ω⋅π2+π4≥π2ω⋅π+π4≤3π2，求得12≤ω≤54，故选：A．11.答案：A解析：【分析】本题考查了依据函数的奇偶性和单调性来解不等式，属于中档题．先判断奇偶性和单调性，再构造不等式，求解．【解答】解：令，定义域为R，因为g(x)+g(−x)=2017x+log2017(√x2+1+x)−2017−x+2017−x+log2017(√x2+1−x)−2017x=log20171=0，定义域关于原点对称，所以g(x)为奇函数，又结合指数函数、对数函数性质易知g(x)单调递增，则f(1−2x)+f(x)>6等价于g(1−2x)+g(x)>0，所以g(1−2x)>−g(x)=g(−x)，即1−2x>−x，解得x<1．故选A．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．【解答】解：由题意，函数，可得f′(x)=e x+(x−3)e x+a(2x−1)=(x−2)(e x−ax )=(x−2)(xe x−ax)，又由函数f(x)在(1,+∞)上有两个极值点，则f′(x)=0，即在(1,+∞)(x−2)(xe x−ax)=0上有两解，即xe x−a=0在在(1,+∞)上有不等于2的解，令g(x)=xe x，则g′(x)=(x+1)e x>0,(x>1)，所以函数g(x)=xe x在(1,+∞)为单调递增函数，所以a>g(1)=e且a≠g(2)=2e2，又由f(x)在(1,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即(x−2)(xe x−ax)≥0在(1,2)上恒成立，即xe x−a≤0在(1,2)上恒成立，即a≥xe x在1，2)上恒成立，又由函数g(x)=xe x在(1,+∞)为单调递增函数，所以a>g(2)=2e2，综上所述，可得实数a的取值范围是a>2e2，即a∈(2e2,+∞)，故选C ．13.答案：3解析：解：作出{0≤x ≤20≤y ≤4x ≤2y 对应的区域(如图阴影)，设z =2x −y ，变形目标函数z =2x −y 可得y =2x −z ， 平移直线y =2x 可得：当直线经过点A(2,1)时，直线的截距最小， z 取最大值，代值计算可得2×2−1=3， 故答案为：3作出平面区域，变形目标函数z =2x −y 平移直线y =2x 可得结论．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 14.答案：15解析：解：∵a 7+a 9=2a 8=16， ∴a 8=8，∵S 7=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=7a 4=7，∴a 4=1∵2a 8=a 4+a 12， ∴a 12=15． 故答案为15．根据等差中项的性质分别根据a 7+a 9=16，S 7=7求得a 8和a 4，最后根据2a 8=a 4+a 12求得a 12． 本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题． 15.答案：4解析：解：根据题意，(ax +√x )6(a >0)展开式的通项T r+1=C 6r(ax)6−r (√x )r ， 令r =4可得，T 5=C 64(ax)2(√x )4=15a 2， 又由其展开式中的常数项为60， 即15a 2=60，且a >0，则a =2，∫(a−a sinx+|x|)dx =∫(2−2sinx +|x|)dx =∫(0−2sinx −x)dx +∫(20sinx +x)dx =(−cosx −x 22)|−20+(−cosx +x 22)|02=4；故答案为：4．根据题意，由二项式定理可得(ax +1√x )6(a >0)展开式的通项，令r =4可得其常数项，结合题意可得15a 2=60，解可得a 的值，又由定积分计算公式可得∫(a−a sinx +|x|)dx =∫(2−2sinx +|x|)dx =∫(0−2sinx−x)dx +∫(20sinx+x)dx =(−cosx −x 22)|−20+(−cosx +x 22)|02，计算可得答案．本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，关键求出a 的值．16.答案：3√22解析：【分析】本题考查了抛物线的定义，标准方程及简单性质，属于中档题．根据抛物线的性质和2NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可知NE//x 轴，从而可得E 点坐标，求出M 、N 的坐标，计算MN ，NF 即可求出三角形的面积． 【解答】解：准线方程为x =−1，焦点为F(1,0)， 不妨设N 在第三象限，∵2NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E 是MF 的中点， ∴NE =12MF =EF ，∴NE//x 轴，又E 为MF 的中点，E 在抛物线y 2=4x 上， ∴E(12,−√2)，∴N(−1,−√2)，M(0,−2√2)， ∴NF =√6，MN =√3， ∴S △MNF =12×√6×√3=3√22． 故答案为：3√22． 17.答案：(I)解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n (n ∈N ∗)，∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为1，∴a n=1×2n−1=2n−1．∵设等差数列{b n}的公差为d，满足b1=a1，b4=S3，∴b1=1，b1+3d=1+2+22，解得d=2．∴b n=1+2(n−1)=2n−1．∴a n=2n−1.b n=2n−1．(2)证明：c n=1b n⋅log2a2n+2=1(2n−1)⋅log222n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{c n}的前n项和为T n=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)，∵数列{1−12n+1}为单调递增数列，∴T1=13≤T n<12．∴13≤T n<12．解析：(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；(2)由于c n=1(2n−1)⋅log222n+1=12(12n−1−12n+1)，利用“裂项求和”可得数列{c n}的前n项和为T n=1 2(1−12n+1)，再利用数列的单调性即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：，，即，，又0<A<π，∴A=π3；，，面积为√3，，得bc=4，∵a2=b2+c2−2bccosA，∴b2+c2−bc=9，∴(b+c)2=9+3cb=9+12=21，∴b+c=√21，∴周长a+b+c=3+√21.解析：本题考查了正弦定理、余弦定理和二倍角公式及其应用，是中档题．(I)由二倍角公式化简得，即可得，得出A的大小；(II)由正弦定理得，由面积为√3，得bc=4，再由余弦定理得b +c =√21，从而得出结果．19.答案：(1)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ． 又BC//AD ，因此AE ⊥AD ．∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA ∩AD =A ， ∴AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AE ⊥PD ；(2)解：由(1)知AE 、AD 、AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0，0)，B(2√3,−2,0)，C(2√3,2，0)，D(0,4，0)，P(0,0，4)，E(2√3,0，0)，F(√3 ,1,2)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3 ,1,2). 设平面AEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，因此{2√3x 1=0√3x 1+y 1+2z 1=0，取z 1=−1，则m⃗⃗⃗ =(0,2，−1)， 连接BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ． ∵BD ⊥AC ，PA ∩AC =A ，PA 、AC ⊂平面AFC ， ∴BD ⊥平面AFC ，故BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面AFC 的法向量． 又BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,6，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√48=√155． ∵二面角E −AF −C 为锐二面角， ∴所求二面角的余弦值为√155．解析：本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求解二面角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．(1)由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形，由E 为BC 的中点，得AE ⊥BC.进一步得到AE ⊥AD.再由已知得PA ⊥AE.由线面垂直的判定可得AE ⊥平面PAD ，从而得到AE ⊥PD ； (2)由(1)知AE 、AD 、AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，求出平面AEF的一个法向量，证明BD ⊥平面AFC ，可知BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面AFC 的一个法向量．由两法向量所成角的余弦值可得二面角E−AF−C的余弦值．≈10.77>6.635，(2)K2=100(30×35−10×25)240×60×55×45∴有99%的把握认为高中生的文理科选修是与性别有关．解析：(1)根据表中数据，完成该2×2列联表．(2)利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．21.答案：(Ⅰ)解：因为f(x)=(x+a)e x，x∈R，所以f′(x)=(x+a+1)e x，令f′(x)=0，得x=−a−1，当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：故f(x)的单调减区间为(−∞,−a−1)；单调增区间为(−a−1,+∞)．(Ⅱ)解：结论：函数g(x)有且仅有一个零点．理由如下：由g(x)=f(x−a)−x2=0，得方程xe x−a=x2，显然x=0为此方程的一个实数解，所以x=0是函数g(x)的一个零点，当x≠0时，方程可化简为e x−a=x，设函数F(x)=e x−a−x，则F′(x)=e x−a−1，令F′(x)=0，得x=a，当x变化时，F(x)和F′(x)的变化情况如下：即F(x)的单调增区间为(a,+∞)；单调减区间为(−∞,a )， 所以F(x)的最小值F (x )min =F (a )=1−a >0， 因为a <1，所以F (x )min =F (a )=1−a >0， 所以对于任意x ∈R ，F (x )>0， 因此方程e x−a =x 无实数解． 所以当x ≠0时，函数g(x)不存在零点． 综上，函数g(x)有且仅有一个零点.解析：(Ⅰ)求出导函数，根据导数的正负求出函数的单调区间；(Ⅱ)由F(x)=e x−a −x ，令F′(x)=0，得x =a.求出函数的单调区间，得到F(x)的最小值为F(a)=1−a.通过a 的范围，综合得出函数的零点个数．22.答案：解：(1)设P(x 0,y 0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)．则由|OP|=√72，得x 02+y 02=74． 由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34，得(−c −x 0,−y 0)⋅(c −x 0,−y 0)=34．即x 02+y 02−c 2=34，∴c =1． 又∵c a=√22，∴a 2=2，b 2=1．因此所求椭圆的方程为：x 22+y 2=1；(2)由已知可得，直线L 的斜率显然存在， 设直线L 的方程为y =k(x +1)，联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2(k 2−1)=0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， ∴x 1+x 2=−4k 22k 2+1,x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1．∵|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x 1+c,y 1)=−2(x 2+c,y 2), ∴y 1=−2y 2， ∴{−y 2=y 1+y 2=k(x 1+x 2+2)=2k2k 2+1−2y 22=y 1y 2=k 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)=−k 22k 2+1，解得：k =±√142．∴直线L 的方程为y =±√142(x +1)．即√14x −2y +√14=0或√14x +2y +√14=0．解析：(1)设出P 点和两焦点坐标，由|OP|=√72，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34列出方程组求解c 的值，然后结合离心率和隐含条件a 2=b 2+c 2求得a ，b 的值，则椭圆的方程可求；(2)由题意可知直线L 的斜率存在，设出直线方程，和椭圆方程联立后得根与系数的关系，由|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |得到M ，N 的纵坐标的关系，结合根与系数关系列式求解k 的值，则直线L 的方程可求． 本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是由向量的关系得到坐标的关系，是高考试卷中的压轴题．。
2020年高二暑期数学补习题(模拟高考) (21)-0711(解析版)
2020年高二暑期数学补习题（模拟高考） (21)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=1+3i3−i，则|z|=()A. √22B. 2 C. 1 D. 122.某物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s=t2−t，则该物体在t=2时的瞬时速度是()A. 2米/秒B. 3米/秒C. 5米/秒D. 6米/秒3.已知复数z=2018+2019i2019−2018i+1，则|z|2018=()A. 22018B. 21009C. 1D. √24.在5付不同手套中任取4只，4只手套中至少有2只手套原来是同一付的可能()A. 190B. 140C. 130D. 305.已知函数f(x)=asinx在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=()A. 1B. 2C. 4D. 126.已知函数f(x)=13x3+bx2+1在x=2处取得极值，则b=()A. −1B. 1C. 54D. −547.在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是()A. 15B. 845C. 45D. 898.设随机变量X～B(2,P)，随机变量Y～B(3,P)，若P(X≥1)=59，则P(Y≥1)等于()A. 1927B. 59C. 79D. 5279.在四面体的顶点和各棱中点中，选取4个不共面的点，则不同的取法共有()A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种10.已知函数f(x)=15x2−cosx−5，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象可能是()A. B.C. D.11.已知(x+2)(2x−1)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，则a0+a2+a4=()A. 123B. 91C. −152D. −12012.已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)和e a f(0)的大小关系为()A. f(a)<e a f(0)B. f(a)>e a f(0)C. f(a)=e a f(0)D. f(a)≤e a f(0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）)5展开式中的常数项为5，则实数a=______ ．13.二项式(ax2√x14.设随机变量X～N(3,σ2)，若P(X>m)=0.3，则P(X>6−m)=_______．15.将4本不同的书送给3名同学，每人至少1本，则不同的送法有________种．16.函数f(x)=|x2−1|−a恰有两个零点，则实数a的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.当实数m 为何值时，z=(m2−2m−3)+(m2+3m+2)i．(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内．18.已知函数f(x)=bxlnx+3(b≠0)，f′(e)=4，g(x)=−x2+ax．(1)求函数f(x)的极值；(2)若对∀x∈(0,+∞)有f(x)−g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．19.某外国语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问，求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列与期望．20.某国际会议在西安召开，为了更好的做好交流工作，会务组选聘了14名男翻译和16名女翻译担任翻译工作，调查发现，男、女翻译中分别有8人和6人会俄语．(Ⅰ)根据以上数据完成以下2×2列联表：并回答能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与会俄语有关？，其中n=a+b+c+d参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(Ⅱ)会俄语的6名女翻译中有3人曾在俄罗斯工作过，若从会俄语的6名女翻译中随机抽取2人做同声翻译，求抽出的2人都在俄罗斯工作过的概率．21.设(2x+1)n=a n x n+a n−1x n−1+a n−2x n−2+⋯+a2x2+a1x+a0，已知a n、a n−1、a n−2成等差数列．(1)求n及a3的值；(2)求a0−a1+a2−a3+⋯+(−1)n a n的值．22.已知函数f(x)=(e x−1)ln(x+a)(a>0)在x=0处取得极值．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)当x≥0时，求证f(x)≥x2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵z=1+3i3−i =(1+3i)(3+i)(3−i)(3+i)=10i10=i，∴|z|=1．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查了导数的物理意义v=s′和导数的运算法则，属于基础题．利用导数的物理意义v=s′和导数的运算法则即可得出．解析：解：∵v=s′=2t−1，∴此物体在t=2时的瞬时速度v0=2×2−1=3．故选B．3.答案：B解析：【分析】本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，属于基础题．求出z，求出z的模，从而求出答案．【解答】解：∵z=2018+2019i2019−2018i+1=(2018+2019i)i (2019−2018i)i+1=(2018+2019i)i+1=i+1，∴|z|=√2，则|z|2018=21009，故选：B．4.答案：C解析：解：根据题意，从5付即10只不同的手套中任取4只，有C104=210种不同的取法，而先从5付中取4付，取出的4只没有是一付即4双中各取1只的取法有5×2×2×2×2=80种；则至少有两只是一双的不同取法有210−80=130种．故选：C．根据题意，使用间接法：首先计算从5付即10只不同的手套中任取4只的取法数目，再计算取出的4只没有是一双的取法数目，进而相减计算可得答案．本题考查排列组合的运用，如果此类题目中有“最多”“最少”等词语时，一般采用间接法，即首先计算全部的情况数目，再计算不符合要求的情况数目，进而相减可得答案．5.答案：B解析：【分析】本题考查了导数的求法及其几何意义的应用，属于基础题．由题意求导y′=acosx，从而可得acos0= 2，从而解得a的值．【解答】解：函数f(x)=asinx的导数为y′=acosx，∵函数f(x)=asinx在点(0,0)处的切线方程为y=2x，而y=2x的斜率为2，故acos0=2，解得a=2．故选B．6.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．求出函数的导数，根据f′(2)=0，求出b的值即可．【解答】解：函数f(x)=13x3+bx2+1，可得f′(x)=x2+2bx，∵f(x)在x=2处取得极值，∴f′(2)=4+4b=0，解得：b=−1；经检验，满足条件取得极值，故选A．7.答案：D解析：解：记事件A，B分别表示“第一次、第二次抽得正品”，则AB表求“第一次抽得次品，第二次取得正品”，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率：P(B|A)=P(BA)P(A)=2×810×92×910×9=89．故选：D．记事件A，B分别表示“第一次、第二次抽得正品”，则AB表求“第一次抽得次品，第二次取得正品”，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率．本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．8.答案：A解析：【分析】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，本题解题的关键是根据所给的X对应的概率值，列出方程，求出概率P的值．根据随机变量服从X～B(2,P)和P(X≥1)对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于P的方程，解出P 的值，再根据Y 符合二项分布，利用概率公式得到结果． 【解答】解：∵随机变量服从X ～B(2,P)，∴P(X ≥1)=1−P(X =0)=1−C 2(1−P)2=59，解得P =13． ∴P(Y ≥1)=1−P(Y =0)=1−C 33(1−P)3=1927，故选：A ． 9.答案：D解析：【分析】本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏． 【解答】解：从10个点中任取4个点有C 104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C 64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4顶点共面，有3种，以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C 104−4C 64−6−3=141种． 故选D ． 10.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运算以及函数的图象，属容易题． 先求导，再利用奇偶性以及特殊值求解即可． 【解答】解：∵f(x)=15x 2−cos x −5，∴f′(x)=25x +sinx ，∴f′(−x)=−25x −sinx =−f′(x)． ∴f′(x)为奇函数，即图象关于原点对称． 又当x >0时，f′(x)>0恒成立， 故选C ． 11.答案：C解析：【分析】本题考查了二项式定理及利用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题．对等式分别赋值，求得a 0+a 2+a 4+a 6=−120，又a 6=32，则a 0+a 2+a 4=−152，得解． 【解答】解：(x +2)(2x −1)5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中， 取x =1，得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=3，取x =−1，得a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5+a 6=−243， 所以2(a 0+a 2+a 4+a 6)=−240， 即a 0+a 2+a 4+a 6=−120，又(2x−1)5的通项为C5r25−r x5−r(−1)r，所以(2x−1)5的展开式中x5的系数为C50×25×(−1)0=32，所以a6=32，则a0+a2+a4=−152，故选：C．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，构造函数是解决本题的关键，考查学生的构造能力，属于中档题．构造函数g(x)=f(x)e x，判断函数g(x)的单调性，即可得到结论．【解答】解：设g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵f′(x)>f(x)，即f′(x)−f(x)>0，又e x>0，所以，g′(x)>0．∴g(x)是R上的增函数，∵a>0，∴g(a)>g(0)，∴f(a)e a >f(0)e0，所以f(a)>e a f(0)，故选B．13.答案：1解析：解：二项式(ax2√x )5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅a5−r ⋅ x10−2r ⋅ x −r2=C5r⋅a5−r ⋅ x10−52r，令10−5r2=0，解得r=4，故展开式中的常数项为C51⋅a1=5，∴a=1，故答案为1．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．再由常数项为5，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.答案：0.7解析：【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，属于基础题．随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2)，得到曲线关于x=3对称，根据曲线的对称性得到结果．【解答】解：随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，∴曲线关于x=3对称，∵P(X>m)=0.3，∴P(X>6−m)=1−0.3=0.7，故答案为0.7．15.答案：36解析：【分析】本题考查了分组分配的问题，关键是分组，属于基础题．【解答】解：3名同学每人至少一本，则这四本书可以分为2，1，1三组，有C42=6种，再分给3名同学，有A33=6种，所以不同的分法有6×6=36种.故答案为36.16.答案：a=0或a>1解析：解：函数g(x)=|x2−1|的图象如图所示，∵函数f(x)=|x2−1|−a恰有两个零点，∴a=0或a>1．故答案为：a=0或a>1．作出函数g(x)=|x2−1|的图象，即可求出实数a的取值范围．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．17.答案：解：(1)由{2−2m−3=0，解得m=3，m2+3m+2≠0∴当m=3时，复数z为纯虚数；(2)由m2+3m+2=0，得m=−1或m=−2，∴当m=−1或m=−2时，复数z为实数；(3)由{m2−2m−3<0，解得−1<m<3，m2+3m+2>0∴当−1<m<3时，复数z对应的点在第二象限内．解析：该题考查复数的基本概念、几何意义，属基础题，熟记相关概念是解题关键．(1)由纯虚数的定义可得方程，解出即得；(2)由实数的定义可得方程，解出即可；(3)由题意可得不等式组，解出即可．18.答案：解：f′(x)=b(lnx+1)，由f′(e)=b(1+1)=4，解得b =2，故f(x)=2xlnx +3(x >0)，f′(x)=2(lnx +1)．令f′(x)>0，解得x >e −1，令f′(x)<0，解得0<x <e −1， 故f(x)在(0,e −1)内递减，在(e −1,+∞)内递增， 故，无极大值；(2)若对∀x ∈(0,+∞)有f(x)−g(x)≥0恒成立，即对∀x ∈(0,+∞)都有2xlnx +3+x 2−ax ≥0恒成立， 即a ⩽2lnx +x +3x 在x ∈(0,+∞)上恒成立． 令ℎ(x )=2lnx +x +3x (x >0)， 则ℎ′(x )=2x +1−3x2=(x+3)(x−1)x 2，令ℎ′(x)>0，解得x >1，令ℎ′(x)<0，解得0<x <1，故ℎ(x)在(0,1)内递减，在(1,+∞)内递增， 故ℎ(x)min =ℎ(1)=4，故a ≤4，即a 的取值范围是(−∞,4]．解析：本题考查考查利用导数求函数的极值，及利用导数解决恒成立问题，属于中档题． (1)求导数，利用导数的正负，可得函数f(x)的单调区间，进而求出极值；(2)不等式恒成立等价于a ⩽2lnx +x +3x 在x ∈(0,+∞)上恒成立，进而求导求出最值即可求参数范围．19.答案： 解：(1)事件A “选派的三人中恰有2人会法语的概率为：P(A)=C 52C 21C 73=47；(2)x 的取值为0、1、2、3， 则P(x =0)=C 43C 73=435， P(x =1)=C 42C 31C 73=1835，P(x =2)=C 41C 32C 73=1235，P(x =3)=C 33C 73=135；分布列为： x 0 1 2 3 P 435 1835 1235 135Ex =1×1835+2×1235+3×135=4535=97．解析：本题考查离散型随机变量的分布列的应用，期望的求法，考查计算能力．(1)直接利用古典概型的概率计算方法求解即可．(2)x的取值为0、1、2、3，求出对应的概率，得到分布列然后求解期望．假设是否会俄语与性别无关，由已知数据可得，K2=30×(8×10−6×6)214×16×14×16≈1.1575<2.706，∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下，不能认为性别与会俄语有关；(Ⅱ)会俄语的6名女翻译分别为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C曾在俄罗斯工作过，从这6人中随机抽取2人，有AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种，其中2人都在俄罗斯工作过的是AB、AC、BC共3种，∴抽出的女翻译中，2人都在俄罗斯工作过的概率是P=315=15．解析：(Ⅰ)根据题意填写2×2列联表，计算观测值K2，对照临界值得出结论；(Ⅱ)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．21.答案：解：(1)依题意已知a n、a n−1、a n−2成等差数列，可得C n0⋅2n+C n2⋅2n−2=2C n1⋅2n−1，即2n+n(n−1)⋅2n−3=n⋅2n，∴n2−9n+8=0，解得n=8或1(舍去)，∴n=8．由T r+1=C8r(2x)8−r，令8−r=3，∴r=5,a3=C8523=C8323=448．(2)由(1)知n=8，在等式的两边取x=−1，得a0−a1+a2−a3+⋯+(−1)8a8=(−1)8，即a0−a1+a2−a3+⋯+a8=1．解析：本题主要考查二项式定理的应用，等差数列的性质，注意给x赋值，求得所求式子的值，属于基础题．(1)由题意利用等差数列的性质，求得n的值，再根据通项公式求得a3的值．(2)在所给的等式中，令x=−1，可得a0−a1+a2−a3+⋯+(−1)n a n的值．22.答案：解：(Ⅰ)∵f′(x)=e x ln(x +a)+e x −1x+a ，函数f(x)在x =0处取得极值，∴f′(0)=0，得lna =0，即a =1；经检验，函数f(x)在x =0处取得极值.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=(e x −1)ln(x +1)，令g(x)=(e x −1)ln(x +1)−x 2(x ≥0)，则g′(x)=e x ln(x +1)+e x −1x+1−2x ，令ℎ(x)=(x +1)g′(x)=e x (x +1)ln(x +1)+e x −1−2x(x +1)，∴ℎ′(x)=e x (x +1)ln(x +1)+e x [ln(x +1)+1]+e x −(4x +2)，令φ(x)=e x −x −1，则φ′(x)=e x −1，当x ≤0时，e x −1≤0，当x ≥0时，e x −1≥0，∴函数φ(x)在区间(−∞,0]为减函数，在区间[0,+∞)为增函数．∴φ(x)min =φ(0)=0，∴对x ∈R ，φ(x)≥0，即e x ≥x +1…①，由①知e t−1≥t …②，当t >0时，由②得lnt ≤t −1…③，当x ≥0时，以1x+1代换③式中t ，得ln(x +1)≥x x+1…④，当x ≥0时，由①，④得e x ln(x +1)≥x ，e x (x +1)ln(x +1)≥x ，∴ℎ′(x)≥x +x +2(x +1)−(4x +2)=0，∴函数y =ℎ(x)(x ≥0)为增函数，∴当x ≥0，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，即当x ≥0时，(x +1)g′(x)≥0，且x +1≥1>0， ∴g′(x)≥0，∴函数y =g(x)(x ≥0)为增函数，∴当x ≥0时，g(x)≥g(0)=0∴故f(x)=g(x)+x 2≥x 2．解析：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明问题，是一道较难题． (Ⅰ)先求出函数的导数，由f′(0)=0，从而求出a 的值；(Ⅱ)先求出f(x)的表达式，令g(x)=f(x)−x 2，通过讨论x 的范围，结合导数的应用，求出函数g(x)的单调性，从而证出结论．。
2020年暑假高二数学补习题 (18)-0715(解析版)
2020年暑假高二数学补习题 (18)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z=−2+i，若复数z+1z的虚部为b，则b等于()A. 45B. 45i C. 65D. 65i2.某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为()A. 6B. 4C. 3D. 23.进位制转换：13=( )(3)A. 101B. 110C. 111D. 214.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，设事件P：取出的都是黑球，事件Q：取出的都是白球，事件R：取出的球中至少有一个黑球，则下列结论正确的是()A. P与R互斥B. 任何两个均互斥C. Q和R互斥D. 任何两个均不互斥5.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是()A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳6.2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A. 18种B. 36种C. 48种D. 72种7.某程序框图如图所示，若其输出结果是56，则判断框中应填写的是()A. K<4B. K<5C. K<6D. K<78. 魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121+121+⋯中的“…”代表无限次重复，设x =121+121+⋯，则可以利用方程x =121+x ，求得x ，类似地可得到正数√2√2√2√⋯=( )A. 2B. 3C. 4D. 6 9. 若X −B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则p =( )A. 12B. 3C. 13D. 210. 某天，甲、乙同桌两人随机选择早上7：00−7：30的某一时刻到达学校自习，则甲比乙提前到达超过10分钟的概率为( )A. 23B. 13C. 29D. 7911. 已知定义在(0,π2)上的函数f(x)的导函数为f ′(x )，且对于任意x ∈(0,π2)，有f ′(x )sinx <f (x )cosx ，则( )A. √3f (π4)<√2f (π3) B. f (π3)>f (1) C. √2f (π6)>f (π4)D. √3f (π6)<f (π3)12. 已知函数f(x)={log 2x,x >03x ,x ≤0，且函数ℎ(x)=f(x)+x −a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A. [1,+∞) B. (1,+∞) C. (−∞,1) D. (−∞,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设i 是虚数单位，复数z 1=21+i ，则z 1=____________．14. 已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<1)=0.2，P(1≤ξ<2)=0.3，则P(ξ<3)=______．15. 某校举行演讲比赛，9位评委给选手A 打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x 应该是______ ．16. 已知函数f(x)=x 2+x +a ，若存在实数x ∈[−1,1]使得f(f(x)+a)>4af(x)成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 某公司生产甲、乙两种不同规格的产品，并且根据质量的测试指标分数进行划分，其中分数不小于70的为合格品，否则为次品，现随机抽取两种产品各100件进行检测，其结果如下：(1)根据表中数据，估计甲、乙两种产品的不合格率；(2)若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，再从这5件甲产品中随机抽取2件，求这2件产品全是合格品的概率．18. 已知二项式(√x −x 3)n 的展开式的第7项为常数项．(1)求n 的值；(2)求n −2C n 2+4C n 3+⋯+(−2)n−1C n n的值．19. 为落实国家扶贫攻坚政策，某社区应上级扶贫办的要求，对本社区所有扶贫户每年年底进行收入统计，下表是该社区扶贫户中A 户从2016年至2019年的收入统计数据：(其中y 为A 贫困户的人均年纯收入)(1)作出A 贫困户的人均年纯收入的散点图；(2)根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于年份代码x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，并估计A贫困户在2020年能否脱贫．(注：国家规定2020年的脱贫标准：人均年纯收入不低于3800元)(参考公式：b ̂=∑x i y i −nxy ni=1∑x i2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x)20. 甲居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图(例如：A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为15，路段CD 发生堵车事件的概率为18).(1)请你为甲选择一条由A 到B 的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线)，使得途中发生堵车事件的概率最小；(2)设甲在路线A →C →F →B 中遇到的堵车次数为随机变量X ，求X 的数学期望EX ．21. 已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx 在点(1,f(1))处的切线方程为3x +y +2=0．(Ⅰ)求b ，c 的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间．+2ax．22.已知函数f(x)=(2−a)lnx+1x(1)当a=2时，求函数f(x)的极值；(2)当a<0时，讨论函数f(x)的单调性．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．把z=−2+i代入z+1z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=−2+i，∴z+1=−2+i+1=−2+i+−2−i (−2+i)(−2−i)=−2+i−25−15i=−125+45i．∴b=45．故选A．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．根据分层抽样的定义直接计算即可．【解答】解：∵男生36人，女生18人，∴男生和女生人数比为36：18=2：1，∴抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为12+1×9=13×9=3，故选：C．3.答案：C解析：【分析】本题考查进位制，利用除k取余法即可求解．【解答】解：因为13÷3=4，…1，4÷3=1，…1，1÷3=0，…1，所以13=111(3)．故选C．4.答案：C解析：【分析】本题考查了互斥事件与对立事件，是基础的概念题．找出从袋中任取2个球的所有可能情况，然后借助于互斥事件的概念得答案．【解答】解：事件R：取出的球中至少有一个黑球，即取出的球为一个黑球一个白球和两个都是黑球．故事件Q和R互斥．5.答案：D解析：【分析】本题考查折线图，考查读图能力，属于基础题．结合折线图逐项分析即可．【解答】解：由图知：在A中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A错误；在B中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B错误；在C中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C错误；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选：D．6.答案：D解析：解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任前三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有C21⋅C31⋅A33=36种选派方案，②、甲、乙两人都被选中，则在前三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C32⋅A22⋅C32⋅A22=36种选派方案，则共有36+36=72中不同的选派方案；故选D．根据题意中“甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作”这一条件，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，由分步计数原理可得每种情况的选派方案的数目，进而由分类计数原理，即可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，注意根据题意中“甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作”这一条件，进行分类讨论．7.答案：C解析：解：模拟执行程序框图，可得S=1，K=1，执行循环体，S=2，K=2，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=6，K=3，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=15，K=4，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=31，K=5，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=56，K=6，此时，应不满足继续循环的条件，退出循环，输出S的值为56，故循环条件应为：K<6，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得满足题意的循环条件．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8.答案：A解析：【分析】本题考查了阅读能力及类比推理，属简单题．先阅读理解题意，再结合题意类比推理可得：设x=√2x，解得x=2，得解．【解答】解：根据题意得方程x=√2x，解方程得x=2，(x=0舍掉)，所以√2√2√2√⋯=2．故选A．9.答案：A解析：【分析】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查二项分布的期望公式与方差公式的应用，是基础题．根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于n和p的方程组，整体计算求解方程组得答案．【解答】解：∵随机变量X～B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，∴np=6，且np(1−p)=3，解得n=12，p=12，故选A．10.答案：C解析：解：设甲到校的时间为x，乙到校的时间为y；则(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域Ω，且Ω={(x,y|0≤x≤30,0≤y≤30}是一个正方形区域，对应的面积为S=30×30=900，则甲比乙提前到达超过10分钟事件A={x|x−y≥10}，对应的面积为12×20×20=200，几何概率模型可知甲比乙提前到达超过10分钟的概率为P=200900=29．故选：C．设甲到校的时间为x，乙到校的时间为y；利用不等式组表示平面区域的方法计算所求的概率值．本题考查了几何概率的概率计算问题，是基础题． 11.答案：C解析：【分析】构造函数g(x)=f(x)sinx ，利用导数判断出函数g(x)的单调性，即可判断个选项．本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题． 【解答】解：构造函数g(x)=f(x)sinx ，则g′(x)=f′(x)sinx−f(x)cosxsin 2x<0在x ∈(0,π2)恒成立，∴g(x)在(0,π2)单调递减， ∴g(π6)>g(π4)>g(1)>g(π3)，∴f(π6)12>f(π4)√22>f(1)sin1>f(π3)√32，∴√2f(π6)>f(π4)，√3f(π6)>f(π3)，√3f(π4)>√2f(π3)，sin π3f(1)>sin1f(π3)，故无法比较f(π3)与f(1)． 故选C ．12.答案：B解析：解：函数ℎ(x)=f(x)+x −a 有且只有一个零点，就是y =f(x)的图象与y =a −x 的图象有且只有一个交点， 如图：显然当a >1时，两个函数有且只有一个交点， 故选：B ．利用数形结合画出函数y =f(x)的图象，通过函数ℎ(x)=f(x)+x −a 有且只有一个零点，求出a 的范围．本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，考查分析问题解决问题的能力． 13.答案：1−i解析：【分析】本题考查复数的运算，属于基础题．由复数除法的运算法则求解即可．【解答】解：由已知z1=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i．故答案为1−i．14.答案：0.8解析：解：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<1)=0.2，P(1≤ξ<2)=0.3，对称轴为μ=2，∴P(ξ<3)=1−P(ξ>3)=1−P(ξ<1)=0.8．故答案为：0.8．根据正态分布的对称性及概率之和为1即可得出答案．本题考查了正态分布的对称性，属于基本知识的考查．15.答案：2解析：解：根据茎叶图中的数据，结合题意，得；去掉一个最低分87，去掉一个最高分94，平均分是91，则88+89+92+(90+x)+93+92+91=91×7；解得x=2．故答案为：2．根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义，求出x的值．本题考查了平均数的定义与计算问题，是基础题．16.答案：[−2,+∞)解析：解：由题意，设f(x)+a=t，可得f(t)>4a(t−a)；存在实数x∈[−1,1]可得f(x)∈[a−14,2+a]那么t∈[2a−14,2+2a]；得t2+t+a>4a(t−a)；即t2+t(1−4a)+a+4a2>0令ℎ(t)=t2+t(1−4a)+a+4a2(t∈[2a−14,2+2a])可得其对称轴t=4a−12，∴t∈[2a−14,2+2a]时，ℎ(t)单调递增，那么ℎ(t)max=ℎ(2+2a)=3a+6≥0，解得：a≥−2．故答案为：[−2,−∞)．利用换元法，设f(x)+a=t，可得f(t)>4a(t−a)成立，转化为f(t)−4a(t−a)>0，求解f(t)−4a(t−a)的最大值≥0可得a的范围．本题考查二次函数的性质和转化思想，换元法的应用，存在性问题．属于中档题．17.答案：解：(1)甲产品的不合格率为P 1=7+13100=20%，乙产品的不合格率为 P 2=9+21100=30% (2)由题意，若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，则其中恰有1件次品，4件合格品，因而可设这5件甲产品分别为a ，b ，c ，d ，E ，其中小写字母代表合格品，E 代表次品，从中随机抽取2件，则所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，aE ，bc ，bd ，bE ，cd ，cE ，dE ，共10种，设“这2件产品全是合格品”为事件M ，则事件M 所包含的情况为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共6种． 由古典概型的概率计算公式，得P(M)=610=35．解析：本题主要考查古典概型的有关知识，需要理解掌握古典概型的概念，能根据所给信息，找出需要的数据根据古典概型公式求出所需要的概率．(1)根据所给信息，计算在分别抽取的100件产品中，为合格品的元件甲，乙各有的件数，根据古典概型公式计算出元件甲、乙为合格品的频率；(2)若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，其中合格的1件，合格的4件，设5件产品分别为a ，b ，c ，d ，E ，大写代表不合格；再从这5件甲产品中随机抽取2件，列出所有可能情况为情况，这2件产品全是合格品有的情况，根据古典概型公式计算出所需概率．18.答案：解：(1)二项式通式T r+1=C n r (√x)n−r √x 3)r =(−2)r C n r x n 2−5r 6． ∵展开式的第7项为常数项，∴n 2−5×66=0，解得n =10；(2)∵n =10， ∴n −2C n 2+4C n 3+⋯+(−2)n−1C n n =10−2C 102+4C 103+⋯+(−2)9C 1010=(−2)1C 101+(−2)2C 102+(−2)3C 103+⋯+(−2)10C 1010−2=C 100+(−2)1C 101+(−2)2C 102+(−2)3C 103+⋯+(−2)10C 1010−1−2．当x =1时，(1−2)10=C 100+(−2)1C 101+(−2)2C 102+(−2)3C 103+⋯+(−2)10C 1010． 原式=(1−2)10−1−2=0．解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．(1)写出二项展开式的通项，结合展开式的第7项为常数项即可求得n 值；(2)把要求值的式子变形，结合二项式系数的性质求解．19.答案：解：(1)由表格中的数据得散点图：(2)根据表格中的数据可得：x −=1+2+3+44=52， y −=25+28+32+354=30， b ̂=∑x i 4i=1y i −4xy ∑x i 24i=1−4x 2=3.4，a ̂=y −b ̂x =30−3.4×52=21.5． 故y 关于x 的线性回归方程y ̂=3.4x +21.5，当x =5时，y ̂=38.5(百元)，∵3850>3800，∴预测A 户在2020年能脱贫．解析：(1)直接根据表格中的数据作出散点图；(2)根据表格中的数据可得：b ̂与a ̂，可得y 关于x 的线性回归方程y ̂=3.4x +21.5，取x =5求得y 值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：(1)由A 到B 的最短路线有3条，即为：A →C →D →B ，A →C →F →B ，A →E →F →BP(A →C →D →B)=1−45×78×23=64120；P(A →C →F →B)=1−45×34×56=60120；P(A →C →F →B)=1−1×9×5=75 故路线A →C →F →B 发生堵车事件的概率最小．(2)路线A →C →F →B 中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3P(ξ=0)=45×34×56=12，P(ξ=1)=15×34×56+45×14×56+45×34×16=47120，P(ξ=2)=15×14×56+15×34×16+45×14×16=12120；P(ξ=3)=15×14×16=1120 故Eξ=0×12+1×47120+2×12120+3×1120=3760．解析：本题考查离散型随机变量的期望和相互独立事件的概率，本题是一个易错题，易错点在题目中出现的道路情况比较多，需要仔细写出不要出错．(1)各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，利用相互独立事件的概率公式做出各个路段堵车的概率，得到选择路线A →C →F →B ，可使得途中发生堵车事件的概率最小．(2)由题意知路线A →C →F →B 中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件的概率公式，写出变量对应的概率，求出期望值．21.答案：解：(Ⅰ)∵f′(x)=3x 2+2bx +c ，∴k =f′(1)=3+2b +c =−3①，又∵f(1)=−5，∴−5=1+b +c②，由①②解得：b =0，c =−6.(Ⅱ)当b =0，c =−6时，f(x)=x 3−6x ，∴f′(x)=3x 2−6=3(x 2−2)=3(x +√2)(x −√2)，令f′(x)>0得：x <−√2或x >√2，令f′(x)<0得：−√2<x <√2，∴函数f(x)增区间为：(−∞,−√2),(√2,+∞)，减区间为：(−√2,√2)．解析：本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的单调性，待定系数法求解析式，属于基础题．(Ⅰ)根据导数几何意义，导数的几何意义、切点坐标的应用，得到关于a ，b 的方程组，解得即可． (Ⅱ)利用导数求出函数的单调区间即可．22.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a =2时，函数f(x)=1x +4x ，所以f′(x)=−1x 2+4=4x 2−1x 2，令f′(x)>0，所以x >12，令f′(x)<0，所以0<x <12，所以函数f(x)单调增区间是(12,+∞)，单调减区间是(0,12)，所以函数f(x)在x =12处取得极小值，f(12)=4，无极大值；(2)f′(x)=2−a x −1x 2+2a =(2x−1)(ax+1)x 2， 令f′(x)=0，得x 1=12，x 2=−1a ，当a =−2时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域(0,+∞)单调递减；当−2<a <0时，在区间(0,12)，(−1a ,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(12,−1a )上f′(x)>0，f(x)单调递增；当a <−2时，在区间(0,−1a )，(12,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(−1a ,12)上f′(x)>0，f(x)单调递增；综上所述，当a =−2时，函数f(x)的在定义域(0,+∞)内单调递减；当−2<a <0时，f(x)在区间(0,12)，(−1a ,+∞)内单调递减，在区间(12,−1a )内单调递增； 当a <−2时，f(x)在区间(0,−1a )，(12,+∞)内单调递减，在区间(−1a ,12)内单调递增．解析：本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．(1)当a =2时，求出函数f(x)的导数，利用导数判断函数f(x)的单调性与极值；(2)求出f(x)的导数f′(x)，讨论a 的取值范围，利用导数即可判断函数f(x)在定义域(0,+∞)的单调性．。
2020年高二暑假数学补习训练题 (21)-0708(解析版)
2020年高二暑假数学补习训练题 (21)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x−2<0}，B={x|2+3x>−4}，则A∩B=()A. {−1,0}B. {−1,0，1}C. {0,1}D. {−2,−1,0，1}2.在复平面内，复数z=1−2i对应的点的坐标为()A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−2)D. (2,−1)3.sin45°⋅cos15°+cos225°⋅sin15°的值为()A. −√32B. −12C. 12D. √324.如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是()A. 10B. 11C. 10或11D. 125.直线ax−y+3=0与圆(x−1)2+(y−2)2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2√3，则a=()A. −1B. 0C. 12D. 16.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a7=5+a9，则S9的值为()A. 27B. 36C. 45D. 547.已知两条不同直线m,n与三个不同平面α,β,γ，则下列命题正确的个数是()①若α⊥β，m⊥α，n//β，则m⊥n②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β③若α⊥β，m⊥β，则m//α④若m//α，m⊥n，则n⊥αA. 0B. 1C. 2D. 38.如图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入m=459，n=357，则输出m=()A. 51B. 17C. 9D. 39.某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是()A. 41πB. 48πC. 51πD. 164π10.已知双曲线C：x29−y2b2=1的左、右焦点分别是F1、F2，点P(5,1)，满足|PF1|−|PF2|=6，则双曲线C的离心率是()A. 23B. √174C. 2D. √153211.下列说法正确的是()A. 某人月收入x元不高于2000元可表示为“x<2000”B. 小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”C. 变量x不小于a可表示为“x≥a”D. 变量y不超过a可表示为“y≥a”12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x=2π3对称，则下列结论正确的是()A. f(x)在[π12,2π3]上是减函数B. 若x=x0是f(x)的一条对称轴，则一定有f′(x0)≠0C. f(x)≥1的解集是[2kπ,2kπ+π3]，k∈ZD. f(x)的一个对称中心是(−π3,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若a⃗=(1,4)，b⃗ =(1,0)，则|a⃗+2b⃗ |的值为______ ．14.(x+a)10的展开式中，x7的系数为15，则a=__________.(用数字填写答案)15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=6，a=4，B=120°，则b=_______．16.定义在R上函数f(x)满足f(1)=1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x−1的x的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a2=64，a5=8，求S7的值．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1−BC1−B1的余弦值；19.已知随机变量X的分布列为：X−2−1012P 141315m120(1)求E(X)；(2)若Y=2X−3，求E(Y)．(3)若ξ=aX+3，且E(ξ)=−112，求a的值．20.已知圆D：(x+1)2+y2=16，圆C过点B(1,0)且与圆D相切，设圆心C的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)点A(−2,0)，P，Q为曲线E上的两点(不与点A重合)，记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，若k 1k 2=2，请判断直线PQ 是否过定点．若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．21. 已知函数f(x)=lnx −ax +ax ，其中a >0．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)证明：(1+122)(1+132)(1+142)…(1+1n 2)<e 34(n ∈N ∗,n ≥2)．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，两线交于A ，B 两点． (1)求A ，B 两点的极坐标；(2)P 为曲线C 2：{x =2cosφy =sinφ(φ为参数)上的动点，求△PAB 的面积的最小值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −2|．(1)求不等式f(x)<3的解集M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a +b|<|1+ab|．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={x ∈Z|x <2}，B ={x|x >−2}； ∴A ∩B ={x ∈Z|−2<x <2}={−1,0，1}． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 2.答案：C解析：解：复数z =1−2i 对应的点的坐标为(1,−2)， 故选：C ．利用复数的运算法则、几何意义即可得出；本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题． 3.答案：C解析：【分析】本题主要考查正弦函数的两角和公式的应用．此类题常与诱导公式、倍角公式等一起考查． 先通过诱导公式cos225°=−cos45°，再利用正弦两角和公式化简即可得出答案． 【解答】解：sin45°⋅cos15°+cos225°⋅sin15°=sin45°⋅cos15°−cos45°⋅sin15° =sin(45°−15°) =sin30° =12． 故选C ． 4.答案：B解析：解：假设最可能击中目标的次数为k ，根据某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，则他击中k 次的概率为C 15k⋅0.7k ⋅0.315−k ，再由 {C 15k ⋅0.7k ⋅0.315−k ≥C 15k+1⋅0.7k+1⋅0.314−kC 15k ⋅0.7k ⋅0.315−k ≥C 15k−1⋅0.7k−1⋅0.316−k，求得10.2≤k ≤11.2， 再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为11， 故选：B ．假设最可能击中目标的次数为k ，由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率公式可得{C 15k ⋅0.7k ⋅0.315−k ≥C 15k+1⋅0.7k+1⋅0.314−k C 15k ⋅0.7k ⋅0.315−k ≥C 15k−1⋅0.7k−1⋅0.316−k，求得k 的范围，可得k 的最大值． 本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．5.答案：B解析：解：圆(x−1)2+(y−2)2=4的圆心C(1,2)，半径r=2，弦AB的中点为D，则|AD|=√3，由圆的性质得圆心到直线的距离d=1，=1，∴C到直线的距离为√a2+1解得：a=0．故选：B．先确定圆心和半径，然后利用圆中的垂径定理求得圆心到直线的距离，从而建立关于a的方程，即可求得a的值．本题考查了直线与圆相交的性质，注意圆中的直角三角形的应用，避免联立直线与圆的方程，是个基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a7=5+a9，∴2(a1+6d)=5+a1+8d，化为：a1+4d=5．=9a5=45．则S9=9(a1+a9)2故选：C．7.答案：A解析：【分析】本题考查命题真假性的判断，主要运用立体几何线面、面面关系进行分析，属于基础题．根据线面平行、线面垂直、面面垂直等相关定理逐一进行判断即可．【解答】解：对于①，当α⊥β，m⊥α，n//β时，n与m可能相交、异面或平行，故①错；对于②，当α⊥γ，β⊥γ时，α和β可能平行可能相交，故②错；对于③，当α⊥β，m⊥β时，m//α或m⊂α，故③错；对于④，当m//α，m⊥n时，则n//α或n⊥α或n⊂α，故④错，故选：A．8.答案：A解析：解：当m=459，n=357时，r=102，m=357，n=102，当m=357，n=102时，r=51，m=102，n=51，当m=102，n=51时，r=0，m=51，n=0，满足输出的条件，故输出的m=51，故选：A由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题．9.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由三视图可知，几何体为三棱锥，且一边垂直于底面，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为三棱锥，且一边垂直于底面，其外接球的直径为√42+42+32=√41，所以S=4π×(√412)2=41π，故选A．10.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质与双曲线的定义，属基础题．由双曲线的方程分析可得a的值，再结合双曲线的定义得P点在双曲线上，将P的坐标代入双曲线的标准方程可得b的值，计算可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：双曲线C的方程为x29−y2b2=1，则a=3，又由点P(5,1)满足|PF1|−|PF2|=6，则P在双曲线上，则有259−1b2=1，解可得：b=34，则c=√a2+b2=3√174，故双曲线的离心率e=ca =√174；故选B．11.答案：C解析：【分析】本题主要考查了不等式，主要提干中的关键词“不高于”，“矮”，“不小于”，“不超过”的应用．【解答】解：A项，x应满足x≤2000，故A错误；B项，x，y应满足x<y，故B错误；D项，y与a的关系可表示为“y≤a”，故D错误．故选C．12.答案：D解析：解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)， 可得f(0)=2sinφ=1，即sinφ=12，可得φ=π6， 由f(x)的图象关于直线x =2π3对称，可得2sin(2π3ω+π6)=kπ+π2， 可得ω=32k +12，由0<ω<1，可得ω=12， 则f(x)=2sin(12x +π6)， 由x ∈[π12,2π3]，可得12x +π6∈[5π24,π2]，显然f(x)递增，故A 错； 由f(x)的导数为f′(x)=cos(12x +π6)，取x 0=2π3，f(x 0)=2为最大值，则f′(x 0)=cos π2=0，故B 错；f(x)≥1即2sin(12x +π6)≥12，即有2kπ+π6≤12x +π6≤2kπ+5π6，k ∈Z ，化为4kπ≤x ≤4kπ+π3，k ∈Z ，故C 错；由f(−π3)=2sin(−π6+π6)=0，可得f(x)的一个对称中心是(−π3,0)，故D 对． 故选：D ．由题意可得f(0)=1，解得φ，由对称轴可得ω=12，则f(x)=2sin(12x +π6)，由正弦函数的单调性可判断A ；由对称轴特点和导数，可判断B ；由正弦函数的图象可得x 的不等式组，解不等式可判断C ；由对称中心的特点可判断D ．本题考查三角函数的图象和性质，考查单调性和对称性的判断和运用，考查化简运算能力，属于中档题． 13.答案：5解析：解：由a ⃗ =(1,4)，b ⃗ =(1,0)，得a ⃗ +2b ⃗ =(3,4)，所以|a ⃗ +2b ⃗ |=√32+42=5 故答案为：5 先求出a ⃗ +2b ⃗ =(3,4)，再求模即可． 本题考查向量坐标的简单计算，属于基础题．14.答案：a =12解析：T k+1=C 10k x 10−k a k 当k =3,x 7的系数为120a 3=15,a =12...15.答案：2√19解析：【分析】本题考查解三角形，考查计算能力，属基础题． 利用余弦定理求解． 【解答】解：由余弦定理， =16+36−2×4×6×(−12)=76，所以b =2√19． 故答案为2√19． 16.答案：(−∞,1)解析：解：可以设函数y =2x −1∵该直线的斜率为2，且当x =1时，y =1， ∵f(1)=1，f′(x)<2， ∴原不等式的解集为(−∞,1) 故答案为：(−∞,1)．首先，根据导数的几何意义得到直线的斜率，然后，结合两个直线的位置情况进行确定所求范围即可．本题重点考查了不等式与导数的关系等知识，考查了数形结合思想的运用，属于中档题． 17.答案：解：设数列{a n }的公比为q ． 由题设可得{a 1q =64,a 1q 4=8.解得a 1=128，q =12． 因为S n =a 1(1−q n )1−q ， 所以S 7=a 1(1−q 7)1−q=128×[1−(12)7]1−12=254解析：本题考查等比数列的前n 项和公式以及通项公式，关键是求出数列{a n }的公比． 根据题意，设数列{a n }的公比为q ，结合题意可得{a 1q =64,a 1q 4=8.，解可得a 1与q 的值，由等比数列的前n 项和公式分析可得答案．18.答案：(1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC ．因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC ， AA 1⊂平面AA 1C 1C ， 所以AA 1⊥平面ABC ．(2)解：由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ．由题知AB =3，BC =5，AC =4，所以AB ⊥AC ． 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ， 则B(0,3，0)，A 1(0,0，4)，B 1(0,3，4)，C 1(4,0，4)．设平面A 1BC 1的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−4)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，0)，则{n ⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y −4z =0n⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4x =0令z =3，则x =0，y =4，所以n⃗ =(0,4，3)． 同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(3,4，0)． 所以cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1625． 由题知二面角A 1−BC 1−B 1为锐角， 所以二面角A 1−BC 1−B 1的余弦值为1625．解析：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用．(1)由正方形性质得AA 1⊥AC ，由面面垂直得AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，由勾股定理得AC ⊥AB ，由此能证明AA 1⊥平面ABC ．(2)以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ，求出平面A 1BC 1的法向量和平面B 1BC 1的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A 1−BC 1−B 1的余弦值．19.答案：解：(1)由随机变量分布列的性质，得14+13+15+m +120=1，解得m =16，所以E(X)=(−2)×14+(−1)×13+0×15+1×16+2×120=−1730． (2)法一：由公式E(aX +b)=aE(X)+b ，得E(Y)=E(2X −3)=2E(X)−3=2×(−1730)−3=−6215． 法二：由于Y =2X −3，所以Y 的分布列如下：所以E(Y)=(−7)×14+(−5)×13+(−3)×15+(−1)×16+1×120=−6215． (3)解：E(ξ)=E(aX +3)=aE(X)+3=−1730a +3=−112，所以a =15．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题目．(1)根据概率和为1，列出方程即可求出m 的值，再利用随机变量的数学期望公式求出E(X)； (2)方法一，利用公式E(aX +b)=aE(X)+b ，结合(1)的结论即可得到答案；方法二，根据X 的分布列，得到Y 的分布列，再利用随机变量的数学期望公式求出E(Y)； (3)根据公式E(aX +b)=aE(X)+b ，得到E(ξ)=E(aX +3)=aE(X)+3，结合E(ξ)=−112，求a 的值．20.答案：解：(1)设圆C 的半径为r ，依题意，|CB|=r ，|CD|=4−r ，进而有|CB|+|CD|=4，所以圆心C 的轨迹是以D ，B 为焦点的椭圆，所以圆心C 的轨迹方程为x 24+y 23=1.…………(4分)(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，设直线PQ 的方程为y =kx +m(直线PQ 的斜率存在)， 可得(kx 1+m)(kx 2+m)=2(x 1+2)(x 2+2)，整理为：(k 2−2)x 1x 2+(km −4)(x 1+x 2)+m 2−8=0，联立{x 24+y 23=1y =kx +m，消去y 得：(4k 2+3)x 2+8kmx +(4m 2−12)=0，由△=64k 2m 2−4(4k 2+3)(4m 2−12)=48(4k 2−m 2+3)>0，有4k 2+3>m 2， 有x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，…………(6分)k 1k 2=y 1y 2(x 1+2)(x 2+2)=2，可得y 1y 2=2(x 1+2)(x 2+2)，故有：(k 2−2)4m 2−124k 2+3−(km −4)8km4k 2+3+m 2−8=0，…………(8分)整理得：44k 2−32km +5m 2=0，解得：m =2k 或m =225k ，…………(10分)当m =2k 时直线PQ 的方程为y =kx +2k ，即y =k(x +2)，过定点(−2,0)不合题意， 当m =225k 时直线PQ 的方程为y =kx +225k ，即y =k(x +225)，过定点(−225,0).……(12分)解析：(1)设圆C 的半径为r ，依题意，|CB|=r ，|CD|=4−r ，判断圆心C 的轨迹是以D ，B 为焦点的椭圆，然后求解圆心C 的轨迹方程．(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，设直线PQ 的方程为y =kx +m(直线PQ 的斜率存在)，可得(kx 1+m)(kx 2+m)=2(x 1+2)(x 2+2)，联立{x 24+y 23=1y =kx +m ，利用韦达定理，推出直线方程，然后求解恒过的定点坐标．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 21.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,+∞)， f′(x)=−ax 2+x−ax 2，令ℎ(x)=−ax 2+x −a ，记Δ=1−4a 2，当Δ≤0时，得a ≥12， 若a ≥12，则−ax 2+x −a ≤0，f′(x)≤0， 此时函数f(x)在(0,+∞)递减，当0<a <12时，由−ax 2+x −a =0，解得：x 1=1+√1−4a 22a ，x 2=1−√1−4a 22a ，显然x 1>x 2>0，故此时函数f(x)在(1−√1−4a 22a ,1+√1−4a 22a )递增，在(0,1−√1−4a 22a )和(1+√1−4a 22a,+∞)递减；综上，0<a <12时，函数f(x)在(1−√1−4a 22a,1+√1−4a 22a)递增，在(0,1−√1−4a 22a )和(1+√1−4a 22a ,+∞)递减，a ≥12时，函数f(x)在(0,+∞)递减； (Ⅱ)证明：令a =12，由(Ⅰ)中讨论可得函数f(x)在区间(0,+∞)递减， 又f(1)=0，从而当x ∈(1,+∞)时，有f(x)<0，即lnx <12x −12x ， 令x =1+1n 2,n ≥2则ln(1+1n 2)<12(1+1n 2)−12(1+1n 2)=1+2n 22n 2(n 2+1)=12(1n 2+1n 2+1)<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，从而：ln(1+122)+ln(1+132)+ln(1+142)+⋯+ln(1+1n 2)<12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n −3−1n −1+1n −2−1n +1n −1−1n +1) =12(1+12−1n −1n+1)<12(1+12)=34，则有ln(1+122)+ln(1+132)+ln(1+142)+⋯+ln(1+1n 2)<34， 可得(1+122)(1+132)(1+142)…(1+1n2)<e 34(n ∈N ∗,n ≥2)．解析：本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，考查了不等式放缩法，是一道中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出lnx <12x −12x ，令x =1+1n 2(n ≥2)，得到ln(1+1n 2)<12(1n−1−1n+1)，累加即可证明结论．22.答案：解：(1)由曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ， 直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2， 即，转化为直角坐标方程为：x −y −4=0， 联立{x 2+y 2=4xx −y =4，解得：{x =2y =−2或{x =4y =0，直线l 与曲线C 1交点的为(2,−2)或(4,0)， 所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直角坐标为(2,−2)，(4,0)， |AB|=√(2−4)2+(−2)2=2√2，因此，△PAB 的面积取得最小时也就是P 到直线l 的距离最小的时候， 设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为： d =√2=√5sin(θ−α)+4|√2， 当sin(θ−α)=−1时，d min =√5√2，所以S △PAB =12|AB|d min =12×2√2×√5√2=4−√5．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的恒等变换求出三角形的面积． 23.答案：解：(1)f(x)={2x −5,x ≥31,2<x <3−2x +5,x ≤2，∵f(x)<3， ∴{2x −5<3x ≥3或{1<32<x <3或{−2x +5<3x ≤2，解得1<x <4∴M ={x|1<x <4} 证明：(2)(a +b)2−(1+ab)2=(a 2−1)(1−b 2)， ∵a ，b ∈(1,4)，∴1−b 2<0，a 2−1>0， ∴(a +b)2<(1+ab)2，∴|a +b|<|1+ab|解析：(1)取绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，(2)当a ，b ∈M 时，(a 2−1)(b 2−1)>0，即a 2b 2+1>a 2+b 2，配方后，可证得结论．本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想、是中档题．。
2020年高二暑假数学补习训练题 (3)-0708(解析版)
2020年高二暑假数学补习训练题 (3)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知Z =−2+3i ，求|Z|=( ) A. 1 B. √2 C. √13 D. 32. 设集合M ={x ∈R|0≤x ≤2}，N ={x ∈Z|(x −3)(x +1)<0}，则M ∩N =( )A. [0,2]B. {1}C. {1}D. {0,1，2}3. 已知a =log 710，b =log 2√103，c =√1335，则( ) A. b >c >a B. a >c >b C. a >b >c D. b >a >c4. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了;乙说：甲被录用了;丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是( )A. 丙被录用了B. 乙被录用了C. 甲被录用了D. 无法确定谁被录5. 函数f(x)=cos(πx)x 2的图象大致是( )A. B.C. D.6. 某公司有350名员工参加了今年的年度考核．为了了解这350名员工的考核成绩，公司决定从中抽取50名员工的考核成绩进行统计分析．在这个问题中，50名员工的考核成绩是( )A. 总体B. 样本容量C. 个体D. 样本 7. 设向量a ⃗ =(4,3)，b ⃗ =(6,x)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 的值为( ) A. −92B. −8C. 92D. 8 8. 若α+β=3π4.则(1−tanα)(1−tanβ)= ______ ．A. 2B. 3C. 1D. −19. 执行如图所示的程序框图，若输入的x ，t 均为2，则输出的S =( )A. 4B. 5C. 6D. 710.若双曲线E:x29−y216=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于()A. 11B. 9C. 5D. 311.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c.若∠C=30°，a=√2c，则∠B等于()A. 45°B. 105°C. 15°或105°D. 45°或135°12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，M为C上的动点，N(0,√2b)，若△MNF的周长的最大值为(√6+2)a，则C的离心率为()A. √22B. 12C. √33D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．14.已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5=______．15.已知f(x)=√1−x，若cosα=35，则f(cos2α)=______ ；当x∈(π4,π2)时，f(sin2x)−f(−sin2x)=______ ．16.已知四棱锥P−ABCD的所有顶点都在球O的表面上，顶点P到底面ABCD的距离为1，若球O的体积为323π，则四棱锥P−ABCD体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某公路段在某一时刻内监测到的车速频率分布直方图如图所示．(1)求纵坐标中h的值及第三个小长方形的面积；(2)求平均车速v的估计值．18.已知等差数列{a n}中，a2=6，a3+a6=27．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{a n}的前n项和为S n，且T n=S n，若对于一切正整数n，总有T n≤m成立，求实数3⋅2n−1m的取值范围．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．(1)证明：PA//平面BMQ；(2)已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．20.设函数f(x)=lnx−ax(a∈R)(其中e=2.71828…)．(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)函数f(x)<0在(0,+∞)上恒成立时，求a的取值范围；(Ⅲ)证明：当x∈(1,+∞)时，xe x−1⋅x1x−1<e．21.设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为12，△ABF2的周长为16．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N．证明：O，M，N三点共线．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，两条曲线交于A，B两点．(1)求A，B两点的极坐标；(2)P为曲线C2：为参数)上的动点，求△PAB的面积的最小值．23.已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：1a2+1b4+1c6≥27．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵Z =−2+3i ，∴|Z|=√(−2)2+32=√13．故选：C ．直接由已知利用复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．2.答案：D解析：解：M ={x|0≤x ≤2}，N ={0,1，2}；∴M ∩N ={0,1，2}．故选：D ．可解出集合N ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．3.答案：C解析：【分析】本题考查了利用对数函数及指数函数的性质比较数的大小，属于基础题． 掌握对数及指数函数的性质是解题的关键．先比较a 和b 的大小，再借助中间量1即可得出结果．【解答】解：∵b =log 2√103=13log 210=log 810，，故a >b >1，而c =√1335<1， 故a >b >c ，故选C ．4.答案：C解析：若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了．本题选择C 选项．5.答案：A解析：解：定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(x)=cos(πx)x 2，f(−x)=cos(−πx)(−x)2=cos(πx)x 2=f(x)，∴f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数，．∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；又当x→0时，cos(πx)→1，x2→0，∴f(x)→+∞.故可排除B；而A均满足以上分析．故选：A．由于函数f(x)=cos(πx)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C、D，利用极限思想(如x→0+，x2y→+∞)可排除B，从而得到答案A．本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．6.答案：D解析：解：由题意知，350名员工的考核成绩是总体，从中抽取的50名员工的考核成绩是样本，样本容量是50，350名员工中每一个员工的考核成绩是个体．故选：D．根据总体与样本以及样本容量和个体的定义，分析求得正确的结论．本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征应用问题，是基础题．7.答案：B解析：【分析】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．根据a⃗⊥b⃗ 即可得出a⃗⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．【解答】解：∵a⃗⊥b⃗ ；∴a⃗⋅b⃗ =4×6+3x=24+3x=0；∴x=−8．故选：B．8.答案：A=−1，所以，tanα+tanβ=−1+tanαtanβ解析：解：因为tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ即：2=1−tanα−tanβ+tanαtanβ=(1−tanα)(1−tanβ)故选Ａ．利用两角和的正切公式，转化化简为(1−tanα)(1−tanβ)求解即可．本题是基础题，考查两角和的正切公式的变形应用，考查计算能力，常考题目．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础，属基础题．根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，×2=2，S=2+3=5，k=2；则第一次循环，1≤2成立，则M=11第二次循环，2≤2成立，则M =22×2=2，S =2+5=7，k =3；此时3≤2不成立，输出S =7．故选D ．10.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．【解答】解：由题意得，∴a =3，∵|PF 1|=3，∴P 在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF 2|−|PF 1|=6，∴|PF 2|=9．故选B ．11.答案：C解析：分析：根据正弦定理建立方程关系，结合三角函数的定义进行求解即可．本题主要考查正弦定理的应用，根据条件结合三角函数的特殊角的定义是解决本题的关键． 解：∵a =√2c ，C =30°，∴由正弦定理得sinA =√2sinC =√2×12=√22， ∴A =45°或135°，∠B =180°−30°−∠A =15°或者105°故选：C12.答案：A解析：解：设C 的左焦点为F 0，△MNF 的周长为l ，则l =|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+2a −|MF 0|+|NF|≤|NF 0|+|NF|+2a =2|NF|+2a=2√c 2+2b 2+2a =2√2a −c +2a=(√6+2)a ，化简得a 2=2c 2，所以e 2=12，故e =√22． 故选：A ．设出周长．利用椭圆的简单性质，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．13.答案：y =3x解析：【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题．求导，令x =0求切线斜率，即可求得切线方程．【解答】解：由y =3(x 2+x)e x ，得y′=3(2x +1)e x +3(x 2+x)e x =3(x 2+3x +1)e x ，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率为3，所以切线方程为y =3x ．故答案为y =3x ．14.答案：62解析：【分析】本题主要考查等比数列的应用，合理运用等比数列的通项公式和前n 项和公式是解决本题的关键． 根据等比数列的通项公式结合求和公式进行计算即可．【解答】解：设等比数列的公比为q ，则q >0，由a 1=2，a 2+a 3=12，得2q +2q 2=12，即q 2+q −6=0，得q =2或q =−3(舍)，则S 5=a 1(1−q 5)1−q =2×(1−25)1−2=62，故答案为：62．15.答案：4√25；−2cosx解析：解：由已知f(x)=√1−x ，cosα=35，得到cos2α=2cos 2α−1=−725，则f(cos2α)=√1−cos2α=√1+725=4√25； 当x ∈(π4,π2)时，f(sin2x)−f(−sin2x)=√1−sin2x −√1+sin2x =|sinx −cosx|−|sinx +cosx|=sinx −cosx −sinx −cosx =−2cosx ；故答案为：45√2；−2cosx ．利用三角函数的基本关系式以及倍角公式化简即可．本题考查了三角函数关系式的化简；用到了基本关系式、倍角公式等公式；注意符号以及名称． 16.答案：83解析：【分析】本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．由题意求出球O 的半径，可知要使球内接四棱锥P −ABCD 体积最大，则底面ABCD 的面积最大，则ABCD 的外接圆为球的一个大圆，且当四边形ABCD 为正方形时面积最大，求出底面正方形的面积，代入棱锥体积公式得答案．【解答】解：设球O 得半径为r ，由43πr 3=323π，可得r =2．高确定，要使球内接四棱锥P −ABCD 体积最大，则底面ABCD 的面积最大，如图，则ABCD的外接圆为球的一个大圆，且当四边形ABCD为正方形时面积最大．∵球的半径为2，则正方形ABCD的边长为2√2，∴S四边形ABCD=8．∴四棱锥P−ABCD体积的最大值为13×8×1=83．故答案为：83．17.答案：解：(1)∵频率分布直方图中所有小长形面积之和为1，∴10ℎ+10×3ℎ+10×4ℎ+10×2ℎ=1，解得ℎ=0.01，∴第三个小长方形的面积为：10×4ℎ=10×0.04=0.4(2)由频率分布直方图得：平均车速v=0.01×10×45+0.03×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75=62．解析：(1)由频率分布直方图中所有小长形面积之和为1，能求出ℎ=0.01，由此能求出第三个小长方形的面积．(2)利用频率分布直方图能求出平均车速v.的估计值．本题考查频率分布直方图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．18.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a2=6，a3+a6=27.可得a1+d=6，2a1+7d=27，解得a1=d=3，即有a n=a1+(n−1)d=3n；(2)T n=S n3⋅2n−1=12(3+3n)n3⋅2n−1=n(n+1)2n，T n+1=(n+1)(n+2)2n+1，由T n+1T n=n+22n，可得T1<T2≤T3>T4>T5>⋯>T n>⋯即有T2=T3=32，取得最大值．对于一切正整数n，总有T n≤m成立，则有m≥32．即有m的取值范围是[32,+∞)．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，计算即可得到；(2)由等差数列的求和公式和数列的单调性，可得T n的最大值，再由恒成立思想，即可得到m的范围．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)连接AC交BQ于N，连接MN，∵AD//BC，AD=2BC，Q为AD中点，∴BC=DQ，四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ，又Q为AD中点，∴N为AC中点．∵M为PC的中点，∴MN为△PAC的中位线，故MN//PA，又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ，所以PA//平面BMQ．(2)由(1)可知，PA//平面BMQ，∴点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，设为d，∴V P−BMQ=V A−BMQ=V M−ABQ，取CD中点K，连接MK、KQ、KB，∵M为PC中点，K为CD中点，∴MK//PD，且PD=2MK=2，MK=1，又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．AD=1，PD=CD=2，∠ADC=90°，又BC=12×1×2=1，∴AQ=1，BQ=2，S△ABQ=12Rt△QDK中，DQ=DK=1，QK=√2，Rt△MKQ中，MQ=√MK2+QK2=√3，Rt△BCK中，CK=CB=1，KB=√2，Rt△MKB中，MB=√MK2+KB2=√3，∴等腰△MBQ中，MN=√MB2−NB2=√2，∴V P−BMQ=V A−BMQ=V M−ABQ=13⋅S△ABQ⋅MK=13=13·S△BQM·d=13×12×2×√2·d=√23d，∴d=√22，则点P到平面BMQ的距离为√22．解析：本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．(1)连接AC交BQ于N，连接MN，只要证明MN//PA，利用线面平行的判定定理可证；(2)由(1)可知，PA//平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，进而利用等体积法可进行求解．20.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=1x−a，(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)单调递增；当a>0时，f′(x)=−a(x−1 a )x，令f′(x)>0，解得0<x<1a ；令f′(x)<0，解得x>1a．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1a )，单调递减区间为(1a,+∞)．综上可得：当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)单调递增；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1a )，单调递减区间为(1a,+∞)；(Ⅱ)lnx−ax<0在(0,+∞)上恒成立⇔a>(lnxx)max，x∈(0,+∞)．令g(x)=lnxx，x∈(0,+∞)．g′(x)=1−lnxx2，当0<x<e时，g′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，∴当x=e时，函数g(x)取得最大值，g(e)=1e，∴a>1e，∴a的范围是(1e,+∞)；(Ⅲ)证明：当x∈(1,+∞)时，要证明xe x−1⋅x1x−1<e，即证x1x−1+1<e x，即证x x x−1<e x，即证lnx x x−1<lne x．即证xx−1lnx<x，∵x>1即证lnx<x−1，令ℎ(x)=lnx−x+1，∵ℎ′(x)=1−xx<0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减，∴ℎ(x)<ℎ(1)=0，即lnx<x−1，∴当x∈(1,+∞)时，xe⋅x1x−1<e．解析：(Ⅰ)f′(x)=1x−a，(x>0)，对a分类讨论：a≤0，a>0，利用导数研究函数的单调性；(Ⅱ)lnx−ax<0在(0,+∞)上恒成立⇔a>(lnxx )max，x∈(0,+∞)，令f(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；(Ⅲ)把要证明的不等式xe x−1⋅x1x−1<e转化为lnx<x−1，构造函数g(x)=lnx−x+1，由导数加以证明．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，不等式的证明问题注意转化及运用已有结论，考查运算和推理能力，属于中档题．21.答案：(Ⅰ)解：由题意知，4a=16，a=4．又∵e=12，∴c=2，b=√16−4=2√3，∴椭圆E的方程为x216+y212=1；(Ⅱ)证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N 三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0).则x1216+y1212=1，x2216+y2212=1，相减得x12−x2216=−y12−y2212，∴y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x1=−34，即y1−y2x1−x2⋅y0x0=−34，即k⋅k OM=−34，∴k OM=−34k；同理可得k ON=−34k，∴k OM=k ON，所以O，M，N三点共线．解析：(Ⅰ)由已知椭圆E的离心率为12，△ABF2的周长为16，解得a，b的值，可得椭圆E的方程；(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0).利用点差法，可得k OM=−34k ，k ON=−34k，由此可得O，M，N 三点共线．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．22.答案：解：(1)由曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，即， 转化为直角坐标方程为：x −y −4=0，联立{x 2+y 2=4x x −y =4，解得：{x =2y =−2或{x =4y =0， 直线l 与曲线C 1交点的为(2,−2)或(4,0)， 所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直角坐标为(2,−2)，(4,0)，|AB|=√(2−4)2+(−2)2=2√2，因此，△PAB 的面积取得最小时也就是P 到直线l 的距离最小的时候，设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为：d =√2=√5sin(θ−α)+4|√2， 当sin(θ−α)=−1时，d min =√5√2，所以S △PAB =12|AB|d min =12×2√2×√5√2=4−√5．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的恒等变换求出三角形的面积．23.答案：证明：因为正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，所以1≥3√ab 2c 33，即ab 2c 3≤127， 所以1ab 2c 3≥27，因此1a 2+1b 4+1c 6≥331a 2b 4c 6≥27．解析：由正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，运用三元均值不等式，可得ab 2c 3≤127，再由均值不等式即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
高二数学暑假提分训练题(模拟高考) (29)-200710(解析版)
高二数学暑假提分训练题（模拟高考） (29)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z =2018+2019i2019−2018i +1，则|z|2018=( )A. 22018B. 21009C. 1D. √22. 设集合A ={x ∈N|−1<x <3}，B ={2}，B ⊆M ⊆A ，则满足条件的集合M 的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 两人同时向一敌机射击，甲的命中率为15，乙的命中率为14，则两人中恰有一人击中敌机的概率为( )A. 720B. 1220C. 121D. 2204. 已知随机变量x 服从二项分布x ～B(6,13)，则P(x =2)=( )A. 316 B. 4243C. 16243D. 802435. 5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( )A. A 33B. 4A 33C. A 55−A 32A 33D. A 22A 33+A 21A 31A 336. 已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)=0.8413，则P(−1<ξ≤0)=( )A. 0.3413B. 0.6826C. 0.1587D. 0.07947. 的最大值为( )A. 23B. 59 C. 29 D. 348. 学校将5位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试，则每所大学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为( )A. 240B. 180C. 150D. 5409. 二项式(√x x 3)40的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A. 4项B. 7项C. 5项D. 6项且最后发现，没有充分证据显示两个变量A 和B 有关系，则a 的可能值是( )A. 200B. 720C. 100D. 18011. 从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有多少种？( ) A. 20 B. 18 C. 16 D. 1412. 今有5位同学排成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，则不同的排法共有( )A. 48种B. 24种C. 8种D. 20种 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (6−2i)−(3i +1)= ______ ．14. 有7个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有______种．(用数字作答) 15. 若(x +2x )n 的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 ． 16. 下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程ŷ=3−5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则|r|越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2的值，则K 2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．正确的命题为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t,y =12+√3t(t 为参数)，曲线C 1：为参数)(1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2：θ=π3(ρ∈R)与直线l 和曲线C 1分别交于异于原点的A ，B 两点，求|AB|的值．18.16 月份 1 2 3 4 56 销售量x(万件)10 11 13 12 8 6 利润y(万元)22 25 29 26 16 12(1)根据2～5月份的数据，画出散点图，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问所得线性回归方程是否理想？19. 春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m 元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m 元的奖金．假设顾客每次抽奖中获的概率都是13，请问：商场将奖金数额m 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？20. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，两条曲线交于A ，B 两点． (1)求A ，B 两点的极坐标； (2)P 为曲线C 2：{x =2cosφy =sinφ(φ为参数)上的动点，求△PAB 的面积的最小值．21. 随机抽取某中学高一年级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数：[50,60)，2；[60,70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x ；[90,100]，2；其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题：(1)求样本的人数及x 的值；(2)从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．22.某县教育局为了了解本县甲、乙两所学校的学生对安全知识的学习情况，在这两所学校进行了安全知识测试，随机在这两所学校各抽取20名学生的测试成绩作为样本，成绩大于或等于80分的为优秀，否则为不优秀，统计结果如下：(1)从乙校成绩优秀的学生中任选2名，求这2名学生的成绩恰有1名落在[90,100]内的概率;(2)由以上数据完成下面列联表，并回答能否在犯错的概率为1%的前提下认为学生的成绩与学校有关．甲校乙校总计优秀不优秀总计-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，属于基础题． 求出z ，求出z 的模，从而求出答案． 【解答】解：∵z =2018+2019i2019−2018i +1=(2018+2019i)i(2019−2018i)i +1=(2018+2019i)i2018+2019i+1=i +1， ∴|z|=√2，则|z|2018=21009， 故选：B ． 2.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．求出集合A ，根据B ⊆M ⊆A ，确定满足条件的集合M 的元素即可得到结论． 【解答】解：∵集合A ={x ∈N|−1<x <3}， ∴A ={0,1，2}．又B ⊆M ⊆A ，B ={2}，∴M ={2}或{0,2}或{1,2}或{0,1，2}． 故满足条件的M 有4个． 故选：D ． 3.答案：A解析：解：设A 为“甲命中“，B 为“乙命中“， 则P(A)=15，P(B)=14，∴两人中恰有一人击中敌机的概率： p =P(AB +AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =15×(1−14)+(1−15)×14 =720． 故选：A ．设A 为“甲命中“，B 为“乙命中“，则P(A)=15，P(B)=14，由此能求出两人中恰有一人击中敌机本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件同时发生的概率计算公式的求法． 4.答案：D解析：解：P(x =2)=C 62(13)2(23)4=80243 故选Dx ～B(6,13)表示6次独立重复试验，每次实验成功概率为13，P(x =2)表示6次试验中成功两次的概率． 本题考查独立重复试验中事件的概率及二项分布知识，属基本题．5.答案：C解析：【分析】本题考查排列与组合的综合应用，属于中档题． 利用间接解法即可求解． 【解答】解：此题可以从反面入手：甲、乙两人没有一人在两端，即甲、乙排在中间3个位置，故有A 32种， 剩下3人随便排即可，则有A 33种排法， 因为5个人排成一排一共有A 55种排法，所以甲、乙两人至少有一人在两端的排法有A 55−A 32A 33． 故选C ．6.答案：A解析：解：依题意得：P(ξ>1)=1−P(ξ≤1)=1−0.8413=0.1587， ∴P(−1<ξ≤0)=1−0.1587×22=0.3413．故选：A ．由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 7.答案：A解析：【分析】本题考查概率的求法，考查等差数列，离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．a ，b ，c 成等差数列，由随机变量ξ的分布列得b =13，a =13−d ，b =13+d ，求出Eξ，从而Dξ=23−4d 2，由此能求出当d =0时，Dξ的最大值．解：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴由随机变量ξ的分布列，得： {0≤a ≤10≤b ≤10≤c ≤1a +b +c =12b =a +c，解得b =13，a =13−d ，b =13+d ， E(ξ)=−1×(13−d)+0×13+1×(13+d)=2d ，D(ξ)=(−1−2d)2×(13−d)+(0−2d)2×13+(1−2d)2×(13+d)=23−4d 2．∴当d =0时，Dξ取最大值为23． 故选A ．8.答案：C解析：解：根据题意，分2步进行分析： ①、先将5位同学分成3组： 若分成1−2−2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法， 若分成1−1−3的三组，有C 51C 41C 33A 22=10种分组方法，则将5人分成3组，有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组对应三所大学，有A 33=6种情况，则每所大学至少有一人参加，则不同的选派方法25×6=150种； 故选：C ．根据题意，分2步进行分析：①、先将5位同学分成3组：需要分2种情况讨论，②、将分好的三组对应三所大学，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 9.答案：B解析：解：二项式(√x √x 3)40的展开式的通项为T r+1=C 40r ⋅(√x)40−r ⋅(x 3)r =C 40r⋅x120−5r6．∵0≤r ≤40，且r ∈N ，∴当r =0、6、12、18、24、30、36时，120−5r 6∈Z ．∴二项式(√x +√x 3)40的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．故选：B ．写出二项展开式的通项，由120−5r为整数求得r值，可得有理项的项数．6本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10.答案：B解析：【分析】本题考查独立性检验的思想方法.把列联表中所给的数据代入代入求观测值的公式，建立不等式，代入验证可知a的可能值．要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．【解答】解：∵两个分类变量A和B没有充分证据显示有关系，<2.702，∴K2=(1180+a)(200a−800⋅180)2380⋅(800+a)⋅1000⋅(180+a)代入验证可知a=720满足．故选B．11.答案：A解析：解：若取出的这2个数都是偶数，方法有C52=10种；若取出的这2个数都是奇数，方法有C52=10种；综上，所有的满足条件的取法共有10+10=20种，故选：A．分别求得取出的这2个数都是偶数；取出的这2个数都是奇数，相加，即得所求本题主要考查分步计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．12.答案：A解析：解：由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻的方法数为A22⋅A44=48种．故选：A．甲、乙两人必须相邻，利用捆绑法与其余3人全排即可．本题主要考查排列与组合及两个基本原理，正确运用捆绑法是关键．13.答案：5−5i解析：解：(6−2i)−(3i+1)=5−5i，故答案为：5−5i．根据复数代数形式的加减运算法则直接求出结果．本题考查复数代数形式的加减运算法则，属于基础题．14.答案：480解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，有A44=24种情况，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，有A52=20种情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有24×20=480种；故答案为：480． 根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 15.答案：160解析：【分析】本题考查二项展开式的特定项的系数，属于基础题．令x =1，解出n 的值，则得到展开式的通项公式，令x 的指数为0，求出常数项． 【解答】令x =1，由题意可得：3n =729，解得n =6．∴展开式的通项公式为：T r+1=2r C 6r x 6−2r， 令6−2r =0，解得r =3，∴其展开式中常数项：23C 63=8×20=160， 故答案为：160． 16.答案：①④解析：解：方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；在回归方程y ̂=3−5x 中，变量x 增加1个单位时，y 平均减小5个单位，故②不正确； 根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r ，|r|越接近于1，相关程度越强，故③不正确；对分类变量x 与y 的随机变量的观测值K 2来说，K 2越大，“x 与y 有关系”的可信程度越大，故④正确．综上所述，正确的命题为①④． 故答案为：①④．方差反映一组数据的波动大小，利用方差性质判断①的正误；通过回归方程ŷ=3−5x 的性质判断②的正误；在线性回归分析中，相关系数为r ，|r|越接近于1，相关程度越强，判断③的正误；通过K 2越大，“x 与y 有关系”的可信程度越大，判断④的正误；本题考查命题的真假的判断与应用，考查回归直线方程以及相关关系相关系数的应用，独立检验思想的应用，是基本知识的考查．17.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =2t,y =12+√3t (t 为参数)，消去t 得得√3x −2y +24=0， 转化为极坐标方程为：√3ρcosθ−2ρsinθ+24=0， 曲线C 1：为参数)，得x 2+(y −2)2=4，即x 2+y 2−4y =0，即ρ2−4ρsinθ=0，可得曲线C 1的极坐标方程：ρ=4sinθ；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l ：√3ρcosθ−2ρsinθ+24=0和曲线C 1：ρ=4sinθ的极坐标方程，可得ρA =16√3，ρB =2√3，由|AB|=|ρA −ρB |=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，属于中档题． (1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线分别代入直线l 和曲线C 1的极坐标方程，求出A ，B 的极径，从而求|AB |的值． 18.答案：解：(1)根据表中2～5月份的数据作出散点图，如图所示：计算得x =11，y =24，∑x i 5i=1y i =11×25+13×29+12×26+8×16=1092，∑x i 25i=1=112+132+122+82=498，则b ̂=∑x i 5i=1y i −4xy ∑x i 25i=1−4x2=1092−4×11×24498−4×112=187，a ̂=y −b ̂x =24−187×11=−307， 故y 关于x 的线性回归方程为y ̂=187x −307；(2)当x =10时，y ̂=187×10−307=1507，此时|1507−22|<2；当x =6时，y ̂=187×6−307=787，此时|787−12|<2，故所得的线性回归方程是理想的．解析：本题考查散点图，以及回归分析钟求出回归方程的方法及应用，属一般题．(1)根据表中2～5月份的数据作出散点图，依据数据求出回归直线方程； (2)当x =10时，y ̂=187×10−307=1507，此时|1507−22|<2；当x =6时，ŷ=187×6−307=787，此时|787−12|<2.故所得的线性回归方程是理想的．19.答案：解：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有C 83种不同的选法…(1分)，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种…(2分)所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P(A)=1−C 63C 83=914…(4分)(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，m ，3m ，6m.(单元：元)…(5分)ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=(1−13)3=827…(6分)同理，P(ξ=m)=C 31×(1−13)2×13=49…(7分)P(ξ=3m)=C 32×(1−13)1×(13)2=29…(8分)P(ξ=6m)=C 33×(13)3=127…(9分)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)=0×827+m ×49+3m ×29+6m ×127=43m …(12分)(列式(2分)，计算1分)由43m ≤100，解得m ≤75…(13分)所以故m 最高定为75元，才能使促销方案对商场有利…(14分)．解析：(1)求互斥事件的概率一般有两种方法，直接法和间接法，本小题用用间接法比较简便．事件“至少有一种是家电”的对立事件是“商品中没有家电”，用公式P(A)=1−P(A)，即运用逆向思维计算．(2)欲求m 的值，需要先求奖金总额的期望值，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额即可．本题考查古典概型、离散型随机变量的期望，以及运用互斥事件求概率的方法，同时考查期望的求法．属于中档题．20.答案：解：(1)由曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，转化为直角坐标方程为：x −y −4=0．联立{x 2+y 2=4x x −y =4， 解得：{x =2y =−2或{x =4y =0．所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直角坐标为(2,−2)，(4,0)．|AB|=√(2−4)2+(−2)2=2√2．因此，△PAB 的面积取得最小值也就是P 到直线l 的距离最小．设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为：d =√2． =√5sin(θ−α)−4|√2，当sin(θ−α)=1时，d min =√5√2． 所以S ΔPAB =12|AB|d min =12⋅2√2√5√2=4−√5．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的恒等变换求出三角形的面积．21.答案：解：(1)由题意得，分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，∴样本人数为n =20.08=25(人)，∴x 的值为x =25−(2+7+10+2)=4(人)．(2)成绩不低于80分的样本人数为4+2=6人，成绩在90分以上的人数为2人，∴ξ的取值为0，1，2，∵P(ξ=0)=C42C62=615，P(ξ=1)=C41C21C62=815，P(ξ=2)=C22C62=115，∴Eξ=0×615+1×815+2×115=23．解析：(1)由题意得，分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，由此能求出样本的人数及x的值．(2)成绩不低于80分的样本人数为6人，成绩在90分以上的人数为2人，ξ的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，解题时要认真审题，是中档题．22.答案：解：(1)∵频率分布直方图中所有矩形的面积和为1，∴0.05+20a+0.15+0.25+0.35=1，解得a=0.01．成绩落在[80,90)内的有0.015×10×20=3(人)，记为a，b，c，成绩落在[90,100]内的有0.01×10×20=2(人)，记为A，B．从乙校成绩优秀的学生中任选2名的所有基本事件有ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB，共10个，其中2名学生的成绩恰有1名落在[90,100]内的基本事件有aA，aB，bA，bB，cA，cB，共6个，∴这2名学生的成绩恰有1名落在[90,100]内的概率为610=35．(2)由已知得列联表如下：∴χ2=40×(11×15−9×5)220×20×16×24=3.75<6.635，∴不能在犯错的概率为1%的前提下认为学生的成绩与学校有关．解析：本题考查茎叶图，频率分布直方图和独立性检验，属于中档题．(1)根据频率分布直方图和古典概型概率公式即可求解；(2)根据茎叶图列出列联表，求出χ2，即可求解．。
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2020年高二暑假数学补习训练题 (29)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x||x−3|<4}，B={x|x2+2x−8≥0}，则A∩∁R B=()A. {x|−1<x<2}B. {x|−4<x<7}C. {x|−1<x<7}D. {x|x>2或x<−4}2.已知复数z=1+i，则|zi|等于()A. 4B. 2C. √2D. 123.已知a=21.2，b=2log52，c=ln13，则()A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a4.函数y=sinxcosx−1的最小正周期是()A. 4πB. 2πC. πD. π25.同时掷3枚硬币，最多有2枚正面向上的概率是()A. 78B. 58C. 38D. 186.若m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是()A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB. 如果直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α//βC. 如果直线m//平面α，直线n//平面α，那么m//nD. 如果直线m//n，且直线m//平面α，那么直线n//平面α7.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A. 12B. 56C. 76D. 7128. 已知奇函数f(x)={3x −x +a,x ≥0g(x),x <0，则g(−2)+f(3)=( )A. 7B. 17C. 27D. 379. 以抛物线x 2=4y 的焦点F 为圆心的圆交抛物线于A 、B 两点，交抛物线的准线于C 、D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆的方程为( )A. x 2+(y −1)2=3B. x 2+(y −1)2=4C. x 2+(y −1)2=12D. x 2+(y −1)2=16 10. 已知函数f(x)=xlnx ，则函数f(x)在x =1处的切线方程( )A. x −y +1=0B. x +y −1=0C. x −y −1=0D. 2x −y +1=011. 在等差数列{a n }中，3(a 2+a 6)+2(a 3+a 10+a 17)=24，则此数列前13项的和为( )A. 13B. 26C. 52D. 15612. 边长为2的正三角形ABC 中，D ，E ，M 分别是AB ，AC ，BC 的中点，N 为DE 的中点，将△ADE沿DE 折起至A′DE 位置，使A′M =√62，设MC 的中点为Q ，A′B 的中点为P ，则①A′N ⊥平面BCED ②NQ//平面A′EC ③DE ⊥平面A′MN④平面PMN//平面A′EC 以上结论正确的是( )A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 在等比数列{a n }中，已知a 1=−1，a 4=27，则a 5=__________．14. 若向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的正弦值为√22，则θ= ______ ．15. (2x −√x)6的展开式中常数项为______ ． 16. 已知点F 1，F 2为椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)和双曲线C 2：x 2a′2−y 2b ′2=1(a′>0,b′>0)的公共焦点，点P 为两曲线的一个交点，且满足∠F 1PF 2=90°，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e 12+1e 22=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，已知2sinBcosA =sin(A +C)．(1)求角A ；(2)若BC =2，△ABC 的面积是√3，求AB ．18.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面△ADM⊥平面ABCM．(1)求证：AD⊥平面BMD；(2)求二面角M一BD−C的余弦值．19.幸福指数常用于衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验．某单位对所处地区的幸福指数进行了调查，将结果分为“幸福、一般、不幸福”三类，根据年收入的不同将该地区的家庭分为高收入家庭与低收入家庭两类，其中高收入家庭2000户，低收入家庭1600户．为了解收入对幸福感的影响，按收入采用分层抽样的方法从这些家庭中共抽取了180户进行调查，统计如幸福等级幸福一般不幸福家庭收入高收入(户数)6020m低收入(户数)6012n(1)根据表中数据填写以下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“幸福与收入有关”？高收入低收入总计幸福一般或不幸福总计(2)以(1)中抽取的180户的幸福等级的频率作为该地区各个幸福等级发生的概率，且每户是否“幸福”相互独立，现从该地区家庭中随机抽取4户．记X表示这4户中调查结果为“幸福”的户数，求随机变量X的分布列和数学期望．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l:y=−x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．(Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标；(Ⅱ)设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值．21.已知函数f(x)=(x2−1)e x+x．(1)求f(x)在[−14,1]上的最小值；(2)g(x)=f(x)−ae x−x，当g(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)时．总有g(x2)≤t(2+x1)(e x2+1)，求此时实数t的值．22.在直角坐标系xOy中，点(12,√3)在曲线C：为参数)上，对应参数为φ=π3.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的极坐标为(2,π6).(1)直接写出点P的直角坐标和曲线C的极坐标方程；(2)设A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，求|OA|2+|OB|2的最小值．23.设函数f(x)=|x+1|+|x−2|．(1)解不等式f(x)<5；(2)求函数y=f(x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的运算问题，是基础题．解不等式求出集合A、B，根据补集与交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合A={x||x−3|<4}={x|−4<x−3<4}={x|−1<x<7}，B={x|x2+2x−8≥0}={x|x≤−4或x≥2}，∴∁R B={x|−4<x<2}，∴A∩∁R B={x|−1<x<2}．故选：A．2.答案：C解析：解：复数z=1+i，则|zi |=|1+ii|=|1−i|=√2．故选：C．直接利用复数的模的运算法则化简求值即可．本题考查复数求模的运算法则的应用，基本知识的考查．3.答案：A解析：解：∵a=21.2>2，0=log51<b=log54<log55=1，c=ln13<ln1=0，∴c<b<a.故选：A．利用指数函数、对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数性质的合理运用．4.答案：C解析：【分析】本题考查利用二倍角公式化简以及三角函数的周期性，属于基础题．【解答】解：函数，函数周期为，故选C ． 5.答案：A解析：解：同时掷3枚硬币， 基本事件总数n =23=8，最多有2枚正面向上的对立事件是三枚硬全都正面向上， ∴最多有2枚正面向上的概率：p =1−C 33(12)3=78．故选：A ．最多有2枚正面向上的对立事件是三枚硬全都正面向上，由此利用对立事件概率计算公式能求出最多有2枚正面向上的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． 6.答案：B解析：解：如果平面α⊥平面β，那么平面α内与两平面交线垂直的直线都垂直于平面β，故A 错误； 如果直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α//β，故B 正确；如果直线m//平面α，直线n//平面α，那么m//n 或m ，n 相交或m ，n 异面，故C 错误； 如果直线m//n ，且直线m//平面α，那么直线n//平面α或n ⊂α，故D 错误． 故选：B ．由面面垂直的性质定理可判断A ；由同垂直于一条直线的两平面平行可判断B ； 由线面平行的性质可判断C ；由线面的位置关系可判断D ．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题． 7.答案：B解析：解：执行循环前：k =1，s =1， 在执行第一次循环时，s =1−12=12， 由于k =2<3，所以执行下一次循环，s =12+13=56， k =3，直接输出s =56，故选：B ．根据题意，即可得解．本题考查程序框图和循环结构，属于基础题． 8.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性以及分段函数的性质，属于基础题．先求出a ，根据奇偶性求出f(x)在x <0时的解析式，然后分段代入求解即可． 【解答】解：∵函数f(x)是奇函数，∴f(0)=1−0−a =0， 解得a =1，∴f (3)=33−3+1=25，若x <0,则−x >0,g (x )=−f (−x )=−(3−x +x +1)， ∴g (−2)=−(32−2+1)=−8， ∴g (−2)+f (3)=−8+25=17， 故选B ． 9.答案：D解析：解：如图，连接AC ，BD ，抛物线x 2=4y 的焦点坐标(0,1)，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F(0,1)，|FA|=|FB|，设圆的半径r ， ∠FAB =θ，则A(rcosθ,1+rsinθ)，而A 在抛物线上，故r 2cos 2θ=4+4rsinθ，又rsinθ=2，所以sinθ=12，θ=π6，∴r =4，所求圆的方程为：x 2+(y −1)2=16． 故选D ．连接AC ，BD ，抛物线的定义与性质求出圆心坐标为F(0,1)，|FA|=|FB|，设圆的半径r ，∠FAB =θ，则A(rcosθ,1+rsinθ)，而A 在抛物线上，化简求解即可．本题考查抛物线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 10.答案：C解析：【分析】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题，通过求的导数，求出切点的坐标与斜率即可． 【解答】 解：∵函数，，∴在x =1处的切线的斜率k =f ′(1)=ln1+1=1， 又f(1)=0，∴函数f(x)在x =1处的切线方程为y =x −1，即x −y −1=0． 故选C ． 11.答案：B解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3(a 2+a 6)+2(a 3+a 10+a 17)=24， ∴6a 1+18d +6a 1+54d =24， 化为：a 1+6d =2， 则此数列前13项的和=13a 1+13×122d =13(a 1+6d)=26．故选：B ．设等差数列{a n }的公差为d ，根据3(a 2+a 6)+2(a 3+a 10+a 17)=24，利用通项公式可得：a 1+6d =2，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：如图所示，①由等边三角形的性质可得A ′N =AN =MN =√32，∴A ′N 2+MN 2=(√32)2×2=A′M 2.∴A′N ⊥MN ，又A′N ⊥DE ，ED ∩MN =N ，∴A′N ⊥平面BCED ，正确． ②∵NQ//AC ，NQ ⊄平面A′EC ，AC ⊂平面A′EC ，∴NQ//平面A′EC ，正确；③由①可得A′N ⊥平面BCED ，∴A′N ⊥DE ，又DE ⊥MN ，MN ∩A′N =N ，∴DE ⊥平面A′MN ，正确；④∵MN ∩平面A′EC =A ，∴平面PMN//平面A′EC 不正确． 综上可得：只有①②③正确． 故选：C ．①由等边三角形的性质可得A ′N =AN =MN =√32，可得A ′N 2+MN 2=(√32)2×2=A′M 2.可得A′N ⊥MN ，又A′N ⊥DE ，利用线面垂直的判定定理即可得出．②由于NQ//AC ，利用线面平行的判定定理可得NQ//平面A′EC ；③由①可得A′N ⊥平面BCED ，A′N ⊥DE ，又DE ⊥MN ，利用线面垂直的判定定理即可得出； ④由于MN ∩平面A′EC =A ，因此平面PMN//平面A′EC 不正确．本题综合考查了线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13.答案：−81解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式、设等比数列{a n }的公比为q ，则27=−1×q 3，解得q ，进而得出a 5． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则27=−1×q 3，解得q =−3． ∴a 5=−1×(−3)4=−81． 故答案为−81．14.答案：π4或3π4解析：解：∵向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的正弦值为√22，∴sinθ=√22， ∵0≤θ≤π， ∴θ=π4或3π4，故答案为：π4或3π4根据向量的夹角的范围和特殊角的三角函数值即可求出本题考查了向量的夹角的范围和特殊角的三角函数值，属于基础题．15.答案：60解析：【分析】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用二项展开式的通项公式即可得出．【解答】解：(2x−√x)6的展开式中的通项公式：T r+1=C6r(2x)6−r(−√x)r=(−1)r26−r C6r x3r2−6，令3r2−6=0，解得r=4．∴(2x−√x)6的展开式中常数项=(−1)4×22C64=60．故答案为60．16.答案：2解析：【分析】本题考查椭圆和双曲线的定义和离心率公式，考查勾股定理和化简整理的运算能力，属于中档题．可设P为第一象限的点，|PF1|=m，|PF2|=n，运用椭圆和双曲线的定义，可得m，n，再由勾股定理，结合离心率公式，化简可得所求值．【解答】解：可设P为第一象限的点，|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a，由双曲线的定义可得m−n=2a′，可得m=a+a′，n=a−a′，由∠F1PF2=90°，可得m2+n2=(2c)2，即为(a+a′)2+(a−a′)2=4c2，化为a2+a′2=2c2，则a2c2+a′2c2=2，即有1e12+1e22=2．故答案为：2．17.答案：解：(1)由A+B+C=π，得sin(A+C)=sinB；所以2sinBcosA=sin(A+C)=sinB，解得cosA=12，又因为A∈(0,π)，所以A=π3；(2)由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcosA =22，①因为△ABC 的面积为S △ABC =12AB ⋅ACsin π3=√3， 所以AB ⋅AC =4，② 由①、②组成方程组，解得AB =BC =2．解析：(1)根据三角形内角和定理与正弦定理，即可求出A 的值；(2)利用余弦定理和三角形的面积公式，列出方程组即可求出AB 的值．本题考查了三角形内角和定理与正弦、余弦定理、三角形面积公式的应用问题，是综合性题目． 18.答案：(1)证明：取AM 中点O ，连结DO ，∵平面ADM ⊥平面ABCM ，AD =DM ，∴DO ⊥平面ABCM ，DO ⊥BM ，可知AM ⊥BM ，∴BM ⊥平面ADM ，∴BM ⊥AD ，而AD ⊥DM ，∴AD ⊥平面BMD ；(2)解：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，(x 轴垂直AB 交AB 于E ，y 轴垂直BC 交BC 于F ，OD 为z 轴)．则A(12,−12,0)，B(12,32,0)，C(−12,32,0)，D(0,0，√22)，M(−12,12,0). BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,32,−√22)， 设n⃗ =(x,y,z)是平面BCD 的一个法向量， 由{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x =0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +32y −√22z =0，令z =√2，得n ⃗ =(0,23,√2)，|n ⃗ |=√223， 由(1)知AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面MBD 的一个法向量，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,√22)，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1． cos <n ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=431×√223=2√2211， 又∵二面角M −BC −C 为锐角，∴二面角M −BD −C 的余弦值为2√2211．解析：(1)取AM 中点O ，连结DO ，由面面垂直的性质可得DO ⊥平面ABCM ，则DO ⊥BM ，得到AM ⊥BM ，从而BM ⊥平面ADM ，则BM ⊥AD ，结合AD ⊥DM ，由线面垂直的判定可得AD ⊥平面BMD ；(2)以O 为原点建立空间直角坐标系，(x 轴垂直AB 交AB 于E ，y 轴垂直BC 交BC 于F ，OD 为z 轴)，分别求出平面BCD 与平面MBD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M −BD −C 的余弦值．本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19.答案：解：(1)设在该地区高收入家庭中抽出x 户，则x 2000=1802000+1600，解得x =100．∴m =100−80=20，n =80−72=8， 2×2K 2=180×(60×20−60×40)2120×60×100×80=4.5<6.635，∴没有99%的把握认为“幸福与收入有关”；(2)该地区家庭为“幸福”的频率为120180=23，所以从该地区家庭中随机抽取1户，结果为“幸福”的概率为23，则随机变量X ∼B(4,23)，且X 的可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=C 40(13)4(23)0=181，P(X =1)=C 41(13)3(23)1=881， P(X =2)=C 42(13)2(23)2=827P(X =3)=C 43(13)1(23)3=3281， P(X =4)=C 44(13)0(23)4=1681， 所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望E(X)=4×23=83．解析：本题考查独立性检验，和离散型随机变量求分布列和数学期望，属于中档题．(1)正确列出2×2列联表，求出K 2判断结果；(2)写出X 的取值，以及每个值对应的概率，列出分布列，求期望即可．20.答案：(Ⅰ)解：依题意可知b =c ，∴a 2=2b 2，可设椭圆方程为x 22b 2+y 2b 2=1， 即x 2+2y 2−2b 2=0，由{y =−x +3x 2+2y 2−2b 2=0，整理得3x 2−12x +18−2b 2=0， 由△=122−12(18−2b 2)=0，得b 2=3，故椭圆E 的方程为x 26+y 23=1，点T 的坐标为(2,1)；(Ⅱ)证明：设直线l′：y =12x +m (m ≠0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =12x +m y =−x +3，得P (2−23,1+23m)， ∴|PT|2=89m 2，由{y =12x +m x 26+y 23=1，3x 2+4mx +(4m 2−12)=0， ∴△=16(9−2m 2)>0，则x 1+x 2=−43m ，x 1x 2=4m 2−123， ∴|PA |=√1+(12)2|2−2m 3−x 1|=√52|2−2m 3−x 1|， 同理|PB |=√52|2−2m 3−x 2|，∴|PA |·|PB |=54|(2−2m 3)2−(2−2m 3)(x 1+x 2)+x 1x 2| =54|(2−2m 3)2−(2−2m 3)(−4m 3)+4m 2−123|=10m 29， ∴存在常数λ=45，使得PT 2=λ|PA|⋅|PB|．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程．(Ⅰ)根据椭圆的短轴端点C 与左右焦点F 1、F 2构成等腰直角三角形，结合直线l 与椭圆E 只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E 的方程和点T 的坐标；(Ⅱ)设出点P 的坐标，根据l′//OT 写出l′的参数方程，代人椭圆E 的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|⋅|PB|求出λ的值．21.答案：解：(1)函数f(x)=(x 2−1)e x +x 的定义域为R ，f ′(x)=2x ⋅e x +(x 2−1)e x +1=(x 2+2x −1)e x +1，令ℎ(x)=f ′(x)ℎ′(x)=(x 2+4x +1)e x ，∵y =x 2+4x +1在[−14,1]上单调递增，当x =−14时，y >0，∴ℎ′(x)=(x 2+4x +1)e x ≥0在[−14,1]上恒成立．∴f ′(x)=(x 2+2x −1)e x +1，在[−14,1]上单调递增，且f ′(0)=0．∴f(x)在[−14,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴f(x)min =f(0)=−1．(2)∵g(x)=f(x)−ae x −x =(x 2−1−a)e x ，∴g ′(x)=(x 2+2x −1−a)e x ，∵g(x)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)时，∴{Δ=4+4(1+a)>0x 1+x 2=−2x 1x 2=−1−a⇒a >−2,x 2∈(−1,+∞)， g(x 2)≤t(2+x 1)(e x 2+1)⇒(x 22−1−a)e x 2≤t(2+x 1)(e x 2+1)，∵x 22+2x 2−1−a =0，∴−2x 2e x 2≤t(−x 2)(e x 2+1)，当x 2=0时，t ∈R 当x 2∈(−1,0)时，t ≥2e x 2e x 2+1=2−2e x 2+1， 显然函数y =2−2e x +1在(−1,0)递增，∴t ≥1当x 2∈(0,+∞)时，t ≤2−2e x +1，显然函数y =2−2e x +1在(0,+∞)递增，∴t ≤1，综上所述，t =1．解析：本题考查了利用导数求解函数的最值、极值，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．(1)通过求导与构造函数可以得到f(x)的单调性，从而求得最值；(2)对函数求导，结合二次函数的性质，可以得到关于t 的不等式，再构造函数求得最值即可得到t 的范围．22.答案：解：(1)点P 的直角坐标为(√3,1)，由题意知，，解得{k =1m =2， 故x 2+(y 2)2=1，即， 可得曲线C 的极坐标方程为；(2)由(1)知曲线C ：， 由A ，B 是曲线C 上的两个动点，且OA ⊥OB ，不妨设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π2)，且，，∴|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22⩾204+94=165，当时，|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=165，∴|OA|2+|OB|2的最小值为165．解析：本题主要考查参数方程和极坐标方程的应用，属于中档题．(1)由极坐标公式可得点P的直角坐标为(√3,1)，将点(12,√3)代入求得{k=1m=2，即可得出答案；(2)设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π2)，则．23.答案：解：(1)函数f(x)=|x+1|+|x−2|表示数轴上的x对应点到−1、2对应点的距离之和，而−2和3对应点到−1、2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f(x)<5的解集为(−2,3)．(2)由y=|x+1|+|x−2|≥|(x+1)−(x−2)|=3可知，当(x+1)(x−2)≤0，即−1≤x≤2时，函数y=|x+1|+|x−2|取得最小值3．解析：(1)由题意利用绝对值的意义求得不等式f(x)<5的解集．(2)由条件利用绝对值三角不等式求得f(x)的最小值．本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，属于基础题．。