1-1集合的基本概念和运算-板块 题库教师版
高考数学(文)一轮复习 1-1集合的概念与运算
3
板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文）
板块一 知识梳理·自主学习
4
板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文）
[必备知识]
考点 1 集合的基本概念 1．集合元素的性质：确__定__性__、__无__序__性__、__互__异 ___性_ ．
2．元素与集合的关系
8
板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文）
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．集合{x|y＝ x－1}与集合{y|y＝ x－1}是同一个集合．( × ) 2．设集合 M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则 M∩N＝M.( × ) 3．已知集合 A＝{1,2}，集合 B 满足 A∪B＝{1,2}，则集合 B 有 4 个．( √ ) 4．若 5∈{1，m＋2，m2＋4}，则 m 的取值集合为{1，－1,3}．( × ) 5．设集合 A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2＝1}，若 A⊆B，则 a＝1 或－1.( × ) 6．设全集为 R，函数 y＝ 1－x2的定义域为 M，则∁RM＝{x|x>1 或 x<－1}．( √ )
①属于，记为_∈____；②不属于，记为__∉___.
3．常见数集的符号
集合 自然数集 正整数集 整数集
符号 N
N*或 N＋ Z
有理数集 Q
实数集 R
5
板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文）
4.集合的表示方法：①_列__举__法____；②_描__述__法____；③_图__示__法__．__
1-1集合的基本概念和运算-板块2.题库
（一） 知识内容1．子集：对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．2．真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集， 记作A B Ü（或B A Ý）．∅是任意非空集合的真子集．3．相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A 与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．（二）典例分析【例1】用适当的符号填空⑴ {1}___2{|320}x x x -+=⑵ {1,2}___2{|320}x x x -+=⑶ {|2,}x x k k =∈N ___{|6,}x x ττ=∈N⑷ ∅___2{R |20}x x ∈+=【例2】用适当的符号填空：⑴ ___{0}∅⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+=⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+=⑸ {3,5}___N⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z⑺ {(2,3)}___{(3,2)}【例3】若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X ∅∈D ．{}0X ⊆【例4】用适当的符号填空⑴{}()(){}3______|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤⑵{}25_______|23x x +≤+，⑶{}31|,_______|0x x x x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R 【例5】下列说法中，正确的是（ ）板块二：集合间的基本关系A ．任何一个集合必有两个子集；B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集；D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S ==【例6】已知集合2{,,2},{,,}A a a d a d B a aq aq =++=，其中0a ≠，且A B =，则q 等于___．【例7】求集合{,}a b 的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100}的子集和真子集的个数．【例8】若全集{}0,1,2,3U =且{}2U A =ð，则集合A 的真子集共有． A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个 【例9】{,,}a b c A {,,,,,}a b c d e f ，求满足条件的A 的个数．【例10】若集合{}|6,A x x x =∈N ≤，{|B x x =是非质数}，C A B =，则C 的非空子集的个数为 ． 【例11】求满足条件{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 的个数【例12】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______ 【例13】已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围．【例14】求集合{1,2,3,,100}M =的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零）．帮助学生分析此题时，可按以下步骤：① 集合M 的所有子集的情况 ② 所有子集的元素之和 ③ 元素之和的和 ④ 空集的元素和为零 此题可适当拓展：如果{1,2,3,,}M n =（+N n ∈），则M 的子集共有2n 个．所有子集的元素和之和为221(1)2(12...)22(1)22n n n n n n n n -+⨯⨯+++=⋅=⋅+（可作为公式熟记），可由此让学生注意到补集的情形．。
1-1集合的基本概念和运算-板块3.题库学生版
板块三：集合的基本运算（一）知识内容1．相关概念：⑴并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”），即或．⑵交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作（读作“交”），即且．⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作．补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作，即且．（二）典例分析【例1】已知全集，，，求：，，，，【例2】若集合，则有（）A． B． C． D．【例3】已知全集，，表示．【例4】已知集合，若，求实数a的值．【例5】设集合，，求．【例6】若集合，，且，则的值为（）A． B． C．或 D．或或【例7】下列表述中错误的是（）A．若，则 B．若，则C． D．【例8】若且，则．【例9】若为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）⑴若，则⑵若，则⑶若，则A．个 B．个 C．个 D．个【例10】设集合，则集合（）A． B． C． D．【例11】已知全集是，，求，【例12】设全集，，，求．【例13】已知，，则．【例14】若，则= ．【例15】设集合，则【例16】已知，，则等于（）A． B． C． D．【例17】若集合，则有．A． B． C． D．【例18】集合，，满足，，求实数的值．【例19】已知，，，则等于（）A． B． C． D．【例20】设，，若，求．【例21】设，集合，；若，求的值．【例22】设全集，集合，，那么等于________________．【例23】设全集且为质数．若，且，求集合．结合集合的运算性质：⑴交换律：；⑵结合律：；；⑶分配律：；；⑷吸收律：；⑸对偶律：（德·摩根定律）．【例24】若，求．【例25】已知全集中有15个元素，集合中有3个元素，中有5个元素，中有4个元素．则集合中元素的个数（）A．3 B．4 C．5 D．6【例26】名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格人和人，项测验成绩均不及格的有人，项测验成绩都及格的人数是（）A． B． C． D．【例27】某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人．【例28】已知，，则中最小的正整数是 _________．【例29】设，集合，，．若中至少有一个不是空集，求实数的取值范围．【例30】若集合，，且．求实数的取值范围．<教师备案>1．对于集合需要注意：①集合本身是一个不加定义的概念；空集虽空，但空有所为；②元素的三个特性：确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个无序性：集合中的元素是无次序关系的．数学中一些常用的数集及其记法：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作或；全体整数组成的集合称为整数集，记作；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作；全体实数组成的集合称为实数集，记作．2.拓展讲解：⑴由于，记集合的元素个数为Card()，则如果推广到三个有限集，则有⑵利用以上的结论还可解决与自然数相关的计数问题，比如：从到的所有自然数中，能被整除但不能被整除的自然数有多少个？记{~中能被整除的自然数}，{~中能被整除的自然数}，则{~中能被整除且又能被整除的自然数}，={~中只能被整除不能被整除的自然数}，={~中不能被整除但能被整除的自然数}．经计算发现：，，；∴．因此．即到的所有自然数中，能被整除但不能被整除的自然数有个．。
1-1集合的基本概念和运算-板块1.题库教师版
内容基本要求 集合的含义会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系； 集合的表示 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等集合间的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集集合的基本运算掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．（一）知识内容 举例：⑴ 120-的所有合数 ⑵ 北京在户人口例题精讲高考要求知识框架 集合的基本概念和运算⑶ 学而思学员 ⑷ 所有的正方形这些小例中有哪些共同特征？1．集合的相关定义⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．⑵ 元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示．⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合间关系：属于∈；不属于∉．3．集合表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点}例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}（二）典例分析：【例1】用“∈”或“∉”填空：⑴ 若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ；⑵ 0___∅；⑶ 0___{0}．【例2】用符号“∈”或“∉”填空⑴0______N ， 5______N ，16______N⑵1______,π_______,e ______2-R Q Q Q ð（e 是个无理数） ⑶2323-++________{}|6,,x x a b a b =+∈∈Q Q【例3】用列举法表示下列集合⑴ 方程2260x x +-=的根；⑵ 不大于8且大于3的所有整数；⑶ 函数32y x =+与1y x=的交点组成的集合． 板块一：集合的概念与表示【例4】已知集合8|6A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎭⎩N N ，试用列举法表示集合A ．【例5】下列命题正确的有（ ）⑴很小的实数可以构成集合； ⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合； ⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素； ⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例6】用列举法表示集合：10,1M m m m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭Z Z 【例7】直角坐标平面除去两点(1,1)A 、(2,2)B -可用集合表示为（ ）A ．{}(,)|1,1,2,2x y x y x y ≠≠≠≠B ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩或22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠⎪⎩⎭C ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩且22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠-⎪⎩⎭D ．{}2222(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y x y -+--++≠ 【例8】下面有四个命题：⑴集合N 中最小的数是1；⑵若a -不属于N ，则a 属于N ； ⑶若,a b ∈∈N N ,则a b +的最小值为2； ⑷212x x +=的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例9】方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()5,4- C ．(){}5,4- D ．(){}5,4-．【例10】已知2()(R,R)f x x ax b a b =++∈∈，{|(),R}A x x f x x ==∈，A=-时，用列举法表示集合B．==∈．当{1,3}B x x f f x x{|[()],R}。
集合的概念与运算知识点总结
集合的概念与运算知识点总结一、集合的概念集合是数学中最基础的概念之一，它是由一些对象组成的整体。
集合内的每个对象称为集合的元素。
通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
集合的描述方式有两种常见方法：列举法和描述法。
列举法是指通过将集合中的元素一一列举出来来描述集合的方法，例如集合A={1, 2, 3}；描述法是指通过某些条件来描述集合的方法，例如集合B={x|x是正整数}。
二、集合的关系1. 子集关系：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，则称集合A 是集合B的子集，记作A⊆B。
若集合A既是集合B的子集，又有至少一个元素不是集合B的元素，则称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
2. 相等关系：如果一个集合A是另一个集合B的子集并且B是A的子集，则称集合A和集合B相等，记作A=B。
3. 并集关系：集合A和集合B的并集，表示由所有属于A或属于B的元素组成的新集合，记作A∪B。
4. 交集关系：集合A和集合B的交集，表示由同时属于A和属于B的元素组成的新集合，记作A∩B。
5. 差集关系：集合A和集合B的差集，表示由属于A但不属于B的元素组成的新集合，记作A-B。
三、集合的运算规则1. 交换律：集合的并集和交集满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
2. 结合律：集合的并集和交集满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 吸收律：集合的并集和交集满足吸收律，即A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A。
4. 分配律：集合的交集对并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
5. 补集运算：集合A与它的全集U的差集被称为集合A的补集，记作A'。
补集运算满足以下规则：A∪A'=U，A∩A'=∅。
四、集合的应用场景1. 数学中的集合论可以用于解决排列组合、概率论等问题。
集合知识点汇总与练习试题
1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。
2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。
4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。
（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。
（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。
集合的概念与运算例题及答案
1 集合的概念与运算（一）目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法 如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈， ⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。
集合的概念 高中数学例题课后习题详解
第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念例1用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么{}0123456789A ,,,,,,,,,=.（2）设方程2x x =的所有实数根组成的集合为B ，那么{}0,1B =.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）的集合还可以写成{}9,8,7,6,5,4,3,2,1,0A =等.例2试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程220x -=的所有实数根组成的集合A ；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B .解：（1）设x A ∈，则x 是一个实数，且220x -=.因此，用描述法表示为{}2|20A x x =∈-=R .方程220x -=，，因此，用列举法表示为A =.（2）设x B ∈，则x 是一个整数，即x ∈Z ，且1020x <<.因此，用描述法表示为{}|1020B x x =∈<<Z .大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为{}11,12,13,14,15,16,17,18,19B =.练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）与定点A ，B 等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析.【解析】【分析】（1）与定点A ，B 等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断；（2）游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性.【详解】（1）与定点A ，B 等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的.（2）高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.【点睛】本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于基础题.2.用符号“∈”或“∉”填空：0______N ；3-______N ；0.5______Z ______Z ；13______Q ；π______R .【答案】①.∈②.∉③.∉④.∉⑤.∈⑥.∈【解析】【分析】根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断.【详解】0是自然数，则0N ∈；3-不是自然数，则3N -∉；不是整数，则0.5Z Z ∉；13是有理数，则13Q ∈；π是无理数，则R π∈故答案为：(1)∈；(2)∉；(3)∉；(4)∉；(5)∈；(6)∈【点睛】本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题.3.用适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）一次函数3y x =+与26y x =-+图象的交点组成的集合；（3）不等式453x -<的解集.【答案】（1）{3,3}-；（2）{(1,4)}；（3）{|2}x x <.【解析】【分析】（1）求出方程的根，用列举法表示即可；（2）求出交点，用列举法表示即可；（3）化简不等式，用描述法表示即可.【详解】（1）2903x x -=⇒=±，则该方程所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）由326y x y x ìïïí=+ï=-+ïî解得：14x y ==⎧⎨⎩，则图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（3）不等式453x -<可化为2x <，则该集合为{|2}x x <【点睛】本题主要考查了用列举法以及描述法表示集合，属于基础题.习题1.1复习巩固4.用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A ，美国__________A ，印度____________A ，英国_____________A ；（2）若{}2|A x x x ==，则-1_____________A ；（3）若{}2|60B x x x =+-=，则3________________B ；（4）若{|110}C x x =∈N ，则8_______________C ，9.1____________C .【答案】（1）,,,∈∉∈∉（2）∉（3）∉（4）,∈∉【解析】【分析】（1）根据国家的地理位置直接得到答案.（2）计算得到{}{}2|0,1A x x x ===，再判断关系.（3）计算得到{}{}2|602,3B x x x =+-==-，再判断关系.（4）计算得到{}{|110}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10C x x =∈≤≤=N ，再判断关系.【详解】（1）根据国家的地理位置直接得到答案：中国A ∈，美国A ∉，印度A ∈，英国A ∉；（2）{}{}2|0,1A x x x ===，故1A -∉；（3）{}{}2|602,3B x x x =+-==-，故3A ∉；（4）{}{|110}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10C x x =∈≤≤=N ，故8,9.1A A ∈∉；故答案为：（1）,,,∈∉∈∉；（2）∉；（3）∉；（4）,∈∉【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.5.用列举法表示下列集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{}(1)(2)0A x x x =-+=；（3）{}3213B x Z x =∈-<-<．【答案】（1）{}2,3,4,5（2）{}1,2A =-（3）{}0,1B =【解析】【分析】（1）根据描述直接列举出集合中的元素即可；（2）求出一元二次方程的解，即可得出结果；（3）解一元一次不等式组，进而结合整数集的概念即可得出结果.【小问1详解】大于1且小于6的整数组成的集合为{}2,3,4,5；【小问2详解】{}{}(1)(2)01,2A x x x =-+==-【小问3详解】{}{}{}3213120,1B x Z x x Z x =∈-<-<=∈-<<=综合运用6.把下列集合用另一种方法表示出来：（1）{2,4,6,8,10}；（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；（3）{|37}x N x ∈<<；（4）中国古代四大发明【答案】（1）{|2,x N x k k Z ∈=∈且111x <<}（2）{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}（3）{4,5,6}（4）{造纸术，印刷术，指南针，火药}【解析】【分析】（1）用描述法写出集合得到答案.（2）用列举法写出集合得到答案.（3）用列举法写出集合得到答案.（4）用列举法写出集合得到答案.【详解】（1）{2,4,6,8,10}={|2,x N x k k Z ∈=∈且111x <<}.（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数：{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.（3）{|37}{4,5,6}x N x ∈<<=.（4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药}【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌握.7.用适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集【答案】（1）{|4}y y ≥-（2）{|0}x x ≠（3）4|5x x ⎧⎫≥⎨⎩⎭【解析】【分析】（1）求二次函数的值域得到答案.（2）求反比例函数的定义域得到答案.（3）解不等式得到答案.【详解】（1）二次函数24y x =-的函数值为y ，∴二次函数24y x =-的函数值y 组成的集合为{}2|4,{|4}y y x x R y y =-∈=≥-.（2）反比例函数2y x =的自变量为x ∴反比例函数2y x=的自变量组成的集合为{|0}x x ≠.（3）由342x x ≥-，得45x ≥，∴不等式342x x ≥-的解集为4|5x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用.拓广探索8．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识．康托尔（Georg Cantor ，1845—1918）。
高中数学必修一北师大版第一、二章主要知识点及同步练习题
第一章：集合主要知识点：1.集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。
2.集合的表示方法：列举法、描述法。
3.集合间的基本关系：相等、子集、真子集、空集。
4.集合的运算：交集、并集、补集。
5.有限集子集个数的确定：若一集合中的元素个数为n 个，则其子集的个数为n2 非空子集的个数为12-n真子集的个数为12-n 非空真子集的个数为22-n1.1 集合的含义与表示1．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素可构成△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．集合A ＝{1，－3,5，－7,9，－11，…}，用描述法表示正确的是( )． (1){x |x ＝2n ±1，n ∈N }(2){x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N } (3){x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N }(4){x |x ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N }[来源:Z*xx*]A ．只有(4)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )． A ．2 B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可4．下列表示同一个集合的是( )． A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)，(2,3)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2} C ．M ＝{3,4}，N ＝{(3,4)}D ．M ＝{y |y ＝x 2＋1}，N ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1} 5．若集合A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，若点P (2,3)∈A ，且P (2,3)∉B ，则( )．A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞56．设集合A ＝1|,3n x x n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ，若x 1∈A ，x 2∈A ，则必有( )． A ．x 1＋x 2∈A B ．x 1x 2∈AC ．x 1－x 2∈AD ．12x A x ∈ 7．定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B 等于( )．A ．{4,8}B ．{1,2,6,10}C ．{1}D ．{2,6,10}8．已知集合A 中的元素满足性质：若a ∈A ，且a ≠1，则11A a∈-. (1)若a ＝2，试探求集合A 中一定含有的另外元素；(2)说明集合A不是单元素集．解：由a∈A，a≠1，则11a-∈A可知(1)若2∈A，则112-＝－1∈A，于是111(1)2A=∈--，1112-＝2∈A，112-＝－1∈A，……故集合A中一定含有－1，12两个元素．(2)若集合A是单元素集，则a＝11a-，即a2－a＋1＝0，此方程无实数解，这与已知矛盾．∴a与11a-都为集合A的元素，故A不是单元素集．9．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A是单元素集，求a的值及集合A；[m](2)求集合P＝{a∈R|a使得A至少含有一个元素}．解：(1)当a＝0时，由条件可知，1+2，符合题意；当a≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a＝0，即98a=，此时，43A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.综上所述：当a＝0时，23A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a=时，43A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.(2)由(1)知，当a＝0时，23A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭含有一个元素，符合题意．当a≠0时，若a使得A至少含有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0有实数根，∴Δ＝9－8a≥0，即98 a≤.综上所述，P＝{a∈R|a使得A至少含有一个元素}＝98a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.答案：1.D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D1.2集合的基本关系1．下列命题：①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④如果凡不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.其中，正确的是()．A．①②B．②③C．②④D．③④2．下列各式中，正确的个数是()．①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}⊆{1,2,3}；⑧{a，b}⊆{b，a}A．1 B．2C ．3D ．4[来源学科网]3．若集合A ＝{1，3，x }，B ＝{x 2 ，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．集合A ＝{1,2,3}的真子集的个数为( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．已知集合M ＝{x |5＜x ＜10}，集合P ＝{x |x ＜m ＋1}，且M ⊆P ，则实数m 的取值范围是( )．A ．m ≥9B ．m ＞9C ．m ≥4D ．m ＞46．设A 是非空集合，对于k ∈A ，如果1A k∈，那么称集合A 为“和谐集”，在集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为( )．A ．3B ．7C ．15D ．317．已知三元素集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，求x 与y 的值．答案：x ＝－1，y ＝－1.8．已知A ＝{x ||2x －3|＜a }，B ＝{x ||x |≤10}，且A B ，求实数a 的取值范围．答案：实数a 的取值范围是a ≤17.9.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ，x ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围．答案：a 的取值范围是a ≥1或a ＝0.答案：1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C1.3集合的基本运算1．已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{x |x ≤－3}，则M ∪N 等于( )． A ．∅ B ．{x |x ≥－3} C ．{x |x ≥1} D ．{x |x ＜1}2．设集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则(A ∪B )＝( )． A ．{2} B ．{3} C ．{1,2,4} D ．{1,4}3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．44．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,3,5}，N ＝{2,5}，则Venn 图中阴影部分表示的集合是( )．A ．{5}B ．{1,3}C ．{2,4}D ．{2,3,4}5．已知集合A ＝{3，a 2}，集合B ＝{0，b,1－a }，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )． A ．{0,1,3} B ．{1,2,4} C ．{0,1,2,3} D ．{0,1,2,3,4}6．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“⊕”，满足X ⊕Y ＝(X )∪Y ，则对于任意集合X ，Y ，Z ，则X ⊕(Y ⊕Z )＝( )．A ．(X ∪Y )∪(Z ) B ．(X ∩Y )∪(Z )C．[(X)∪(Y)]∩Z D．(X)∪(Y)∪Z7．如图，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()．[来源:学.科.网]A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(I S) D．(M∩P)∪(I S)8．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，()∩B＝{3,7}，()∩A＝{2,8}，()∩()＝{1,5,6}，则集合A＝__________，B＝________.答案：A＝{2,4,8,9}，B＝{3,4,7,9}9．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}．(1)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；(2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．答案：(1)∵A∪B＝B，∴A⊆B.由数轴可得，2,93, mm≤-⎧⎨+≥⎩解得－6≤m≤－2.(2)若A∩B＝∅，利用数轴可得m＋9≤－2，或m≥3.∴m≤－11，或m≥3.∴满足A∩B≠∅的实数m的取值范围为{m|－11＜m＜3}．10．某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求出全班人数．答案：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A，B，C，由题意可知A，B，C三集合中元素个数分别为27,25,27，A∩B，B∩C，A∩C，A∩B∩C的元素个数分别为10,7,11,4.画出Venn图，如图所示．可知全班人数为10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55(人)．答案：1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.C第二章：函数主要知识点：1.函数的三个要素：定义域、对应法则、值域2.判断两个函数是否相等，求函数的定义域、值域3.分段函数4.求函数的解析式5.函数图像的变换 （1）平移变换bx f y x f y bx f y x f y a x f y x f y a x f y x f y b b a a -=−−−−−−→−=+=−−−−−−→−=+=−−−−−−→−=-=−−−−−−→−=)()()()()()()()(个单位长度向下平移个单位长度向上平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移（2）对称变换)()()()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y y y y x x y x =→==→=-=−−−−→−=-=−−−−→−=轴右边的图像并把保留轴右边轴右边图像对称到轴上方图像再把保留轴下方图像对称到上方轴对称关于轴对称关于6.函数的单调性与最值（复合函数的单调性，同增异减）7.二次函数的性质8.求二次函数的解析式、最值等 9.常见幂函数的图像与性质，如12132,,,,-=====x y x y x y x y x y10.函数的奇偶性：（1）两个奇函数之和仍为奇函数 （2）两个奇函数之积是偶函数 （3）两个偶函数之和仍是偶函数 （4）两个偶函数之积仍是偶函数（5）一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数2.1 函数概念1．设x 取实数，则f (x )与g (x )表示同一个函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝2xB ．f (x )＝2()x x ，g (x )＝2()xx C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝293x x -+，g (x )＝x －32．函数f (x )＝2||xx x+-的定义域是( )．A ．[－1,2]B ．[－1,0)∪(0,2]C ．[－2,0)D ．(0,2][来源学科网ZXX3．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( )．A ．RB ．{x |x ＞0}C ．{x |0＜x ＜5}D ．552x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4．函数213x y x +=-的值域是( )． A ．(－∞，3)∪(3，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞) C ．RD ．(－∞，2)∪(3，＋∞)5．下列各图中，可表示函数y ＝f (x )图像的只可能是( )．6．已知函数y ＝f (x 2－4)的定义域是[－1,5]，则函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为__________．答案：5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知f (x )的定义域是[0,1]，且f (x ＋m )＋f (x －m )的定义域是∅，则正数m 的取值范围是________．答案：12m >8．已知函数f (x )＝641x x -+-， (1)求函数f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (12)的值； (3)若f (4－a )－f (a －4)＋8a a --＝0，求a 的值．答案：(1)要使函数f (x )＝641x x -+-有意义，需满足10,40,x x -≠⎧⎨+≥⎩即1,4,x x ≠⎧⎨≥-⎩∴x ≥－4，且x ≠1.∴函数f (x )的定义域为{x |x ≥－4，且x ≠1}．(2)f (－1)＝6143311--+=----， f (12)＝63812412111-+=--. (3)∵f (4－a )＝66448413a a a a--+=-----，f (a －4)＝6644415a a a a --+=----，[来源学科网]∴由f (4－a )－f (a －4)＋8a a --＝0得，6688035a a a a a a ---++--=--，即66035a a -=--. ∴6(28)0(3)(5)a a a -=--，∴a ＝4.9．已知函数f (x )＝11x+. (1)求f (2)与12f ⎛⎫⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现． (3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭.答案：(1)∵f (x )＝11x +，∴f (2)＝11123=+，11212312f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，11(3)134f ==+，11313413f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+. (2)由(1)中求得结果可发现f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，证明如下：11111()1111111x x f x f x x x x x x+⎛⎫+=+=+== ⎪++++⎝⎭+.(3)f (1)＝11112=+，由(2)知，f (2)＋12f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1， f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，∴原式＝201211112++++个＝14025+2 012=22.答案：1.B 2.C 3.D 4.B 5.D2.2 函数的表示法1．函数f (x )＝21,1,2,1,x x x x⎧+≤⎪⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )．A ．15B ．3C ．23D ．1392．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )．A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)3．已知f(x)＝kx＋b(k＜0)，且f[f(x)]＝4x＋1，则f(x)＝()．A．－2x－1 B．－2x＋1C．－x＋1 D．1 22x--4．已知函数f(x)＝2,0,1,0.x xx x>⎧⎨+<⎩若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()．A．－3 B．－1 C．1 D．35．设函数f(x)＝2,0,2,0,x bx c xx⎧++≤⎨>⎩若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．答案：36．若定义运算a b＝,,,,b a ba a b≥⎧⎨<⎩则函数f(x)＝x(2－x)的值域是______．答案：(－∞，1]7．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(x)＝________.答案：2 33 x+8．设f(x)＝11,0,21,0x xxx⎧-≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩若f(x)＞－1，则实数x的取值范围为________．答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)9．当m为怎样的实数时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？答案：1＜m＜510．已知函数f(x)对任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y)，且f(1)＝1，求f(x)的解析式．答案：f(x)＝2x2－1答案：1.D 2.B 3.A 4.A2.3函数的单调性1．已知函数y＝ax和byx=-在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()．A．减函数且f(0)＞0 B．增函数且f(0)＞0 C．减函数且f(0)＜0 D．增函数且f(0)＜02．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有()()f a f b b a--＞0成立，则必有( )．A ．函数f (x )是先增后减[]B ．函数f (x )是先减后增C ．f (x )在R 上是增函数D ．f (x )在R 上是减函数3．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a ∈R ，则( )． A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a )4．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b ＞0，则有( )． A ．f (a )＋f (b )＞－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )＜－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝1ax +在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )． A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1) D ．(0,1] 6．若函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 在区间[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________．答案：a ≥－37．函数f (x )＝x |x －1|的单调增区间为__________．答案：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[1，＋∞)8．已知函数f (x )＝22x -(x ∈[3,6])， (1)讨论函数f (x )在[3,6]上的单调性，并证明你的结论；[来源学科网ZXXK](2)求函数f (x )的最大值与最小值；(3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，求m 的取值范围．答案：(1)函数f (x )在[3,6]上是减函数，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈[3,6]，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＝2112122()2222(2)(2)x x x x x x --=----＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝22x -在[3,6]上是减函数． (2)由(1)知，f (x )max ＝f (3)＝2， f (x )min ＝f (6)＝12. (3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，则m 应不小于函数f (x )的最大值2，∴m 的取值范围是m ≥2.答案：1.C 2.D 3.D 4.C 5.D2.4二次函数性质的再研究1．函数y ＝x 2的图像向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为( )．A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2－1 2．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )． A ．0 B ．3[来源学科网ZXXK][来源学_科_网Z_X_X_K]C ．6D ．不能确定3．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝( )． A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－24．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )．A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)5.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定此二次函数的表达式答案：所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.6．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．答案：[25，＋∞)7．已知函数f (x )＝212x x -+在区间[m ，n ]上的值域是[3m,3n ]，则m ＝______，n ＝______. 答案：4,0.m n =-⎧⎨=⎩答案：1.C 2.C 3.B 4.C2.5简单的幂函数1．下列函数是幂函数的是( )．①y ＝x 3 ②y ＝x 0 ③y ＝－2x 2 ④y ＝3x ⑤y ＝x －2＋1 A ．①② B ．①③C ．①③④D ．①②③④2．若幂函数f (x )＝x m －1在(0，＋∞)上是减函数，则( )． A ．m ＞1 B ．不能确定 C ．m ＝1 D ．m ＜1 3．函数f (x )＝1x x-的奇偶性为( )． A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 4．f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )是增函数，则f (－π)，f (3)，f (－5)的大小关系是( )． A ．f (3)＜f (－π)＜f (－5) B ．f (－π)＜f (－5)＜f (3) C ．f (3)＜f (－5)＜f (－π) D ．f (－5)＜f (－π)＜f (3)5．如果幂函数y ＝(m 2－9m ＋19)x 2m －7的图像不过原点，则( )． A ．72m <B ．m ＝3C ．m ＝3或6D ．m 不存在[来源学科网]6．下列说法中，不正确的是( )．A ．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B ．奇函数的图像一定经过原点C ．偶函数的图像若不经过原点，则它与x 轴交点个数一定是偶数D．图像关于y轴对称的函数一定是偶函数7．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为()．A．13-B．13C．12-D．128．定义在R的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则n∈N＋时，有()．A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)9.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0＜x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)的值为________．答案：f(7.5)＝－f(0.5)＝－0.5.10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的单调递增区间．答案：(1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)成立，∴当x＞0时，－x＜0，即f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3，∴f(x)＝2243,0,43,0. x x xx x x⎧-+>⎨++≤⎩(2)图像如图所示，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞)．(写成开区间也可以)11．已知函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)．(1)求f(0)；(2)求证：f(x)是奇函数；(3)若F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，已知F(－5)＝7，求F(5)．答案：(1)∵函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)，∴令a＝b＝0得f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)，即f(0)＝0.(2)证明：令a＝b＝1得，f(1×1)＝1×f(1)＋1×f(1)，即f(1)＝0.[来源:Z|xx|]令a＝b＝－1得，f[(－1)×(－1)]＝(－1)×f(－1)＋(－1)×f(－1)，即f(－1)＝0.令a＝－1，b＝x得，f[(－1)×x]＝xf(－1)＋(－1)f(x)，即f(－x)＝xf(－1)－f(x)，∵f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－5)＝－f(5)．∵F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，且F(－5)＝7，∴af(－5)＋b×(－5)5＋c×(－5)3＋2×(－5)2＋d×(－5)＋3＝7，即af(5)＋b×55＋c×53＋d×5＝46.∴F (5)＝af (5)＋b ×55＋c ×53＋2×52＋d ×5＋3＝46＋50＋3＝99.12．函数f (x )＝21ax b x ++是定义在(－1,1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求函数f (x )的解析式；(2)证明函数f (x )在(－1,1)上是单调增函数；(3)解不等式f (m －1)＋f (m )＜0.答案：(1)∵f (x )＝21ax b x++是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (x )在x ＝0处有意义，且f (0)＝0. ∴20010a b ⨯+=+，即b ＝0. 又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴210225112a +=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴a ＝1.故f (x )＝21x x +.[来源:](2)任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，x 1x 2＜1. ∴f (x 1)－f (x 2)＝12121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x ---=+++⋅+＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )在(－1,1)上是单调增函数．(3)由f (m －1)＋f (m )＜0得，f (m －1)＜－f (m )．∵函数f (x )是奇函数，∴f (－m )＝－f (m )，∴f (m －1)＜f (－m )．∵f (x )是(－1,1)上的单调增函数，∴1<1<1111m m m m --⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，，，解得0＜m ＜12. 答案：1.A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.A 8.C。
高考数学一轮复习讲练测+专题1.1+集合的概念及其基本运算(讲)+Word版含解析
高考数学一轮复习讲练测第一章 集合与常用逻辑用语第01讲 集合的概念及其基本运算（讲）1.集合间的基本关系（1）了解集合、元素的含义及其关系.（2）理解全集、空集、子集的含义，及集合之间的包含、相等关系. （3）掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图). 2.集合的基本运算（1）会求简单集合的并集、交集. （2）理解补集的含义，且会求补集知识点1．元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）常见数集及其符号表示数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N ＋ZQR【典例1】【课标II 理2】已知集合，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【易混辨析】描述法中，集合的“代表元素”可是单个字母、有序数对（点的坐标）等，解题过程中要注意区分.本题考查集合与元素关系，点与圆的位置关系，重点考查学生对概念的理解与识别． 【变式1】【四川卷文】设集合A={x|1≤x≤5},Z 为整数集，则集合A∩Z 中元素的个数是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】B 【解析】，故中元素的个数为5，选B.知识点2．集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或B A ⊇．（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 【典例2】【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】已知集合，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N R =U【答案】B 【解析】 由题意知：，则M N ⊆本题正确选项：B【重点总结】近几年高考命题中，较多的考查集合的运算，集合的呈现往往涉及不等式、函数的定义域或值域，应注意首先明确集合中元素的“特征性质”，化简集合，再判断集合的关系或进行集合的运算. 【变式2】【山东实验中学二模】若集合， 则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】求解二次不等式可得：，则．据此可知：，选项A错误；，选项B错误；且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误．本题选择C选项．知识点3．集合的运算（1）三种基本运算的概念及表示运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }（2）三种运算的常见性质A A A =I ， A ∅=∅I ，， A A A =U ， A A ∅=U ，．，U C U =∅，U C U ∅=．，，，．【典例3】【2019年浙江卷】已知全集，集合{}0,1,2A =，，则U A B =I ð（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3-【答案】A 【解析】，则【易错提醒】本题根据交集、补集的定义可得.易于因对补集、交集的概念理解有误，二导致误选. 【变式3】【年天津卷理】设全集为R ，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B 选项.考点1 集合的概念【典例4】【山西高三一模】已知单元素集合，则a =（ ）A ．0B ．-4C ．-4或1D ．-4或0 【答案】D【解析】由于只有一个元素，故判别式为零，即，故选D ．【规律方法】与集合元素有关问题的思路：(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【变式4】【豫南九校联考一】已知集合{}1,2A =，则集合中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D ．考点2 集合间的基本关系【典例5】【宁夏石嘴山市第三中学2019届三模】若集合，且，则( )A ．2B ．2，-2C ．2，，0D ．2，-2，0，1【答案】C 【解析】 因为，所以 当时，与矛盾.当时，或（舍去），即：时，满足当时，或，都满足.所以或或.故选：C【总结提高】1.判断两集合的关系常用两种方法：一是寻找两集合元素“特征性质”间的关系；二是化简集合，用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析． 【变式5】【辽宁省葫芦岛市2019届二模】已知集合，集合2{3,}B m =.若B A ⊆，则实数m的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{}3C ．{}1,1-D ．{3,3}【答案】C 【解析】若1m =，则{}1,3B =，符合B A ⊆，排除B,D 两个选项.若1m =-，则{}1,3B =，符合B A ⊆，排除A 选项.故本小题选C.考点3 集合的基本运算【典例6】【2019年新课标Ⅰ理】已知集合，则M N ⋂=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意得，，则．故选C ．【思路点拨】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．涉及不等式的解集问题，往往借助数轴，利用数形结合的思想解题．要注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．【变式6】【浙江省三校2019年5月第二次联考】已知全集，则U A ð＝( )A ．∅B ．{}1x x <C ．D ．{}0x x ≥【答案】C 【解析】 由，296t t -+，可得.故选C.。
集合的基本概念与运算
集合的基本概念与运算在数学领域中，集合是一种包含对象的集合体。
这些对象可以是数字、字母、符号、单词、人或任何其他事物。
集合的概念和运算是数学中重要的基础，本文将介绍集合的基本概念以及常见的集合运算。
一、集合的基本概念集合是由一组对象组成的，并且这些对象是无序的。
用大写字母表示集合，例如A、B、C等，而用小写字母表示集合中的元素，例如a、b、c等。
如果元素a属于集合A，我们可以表示为a∈A。
如果元素x不属于集合A，我们可以表示为x∉A。
在确定一个集合的时候，我们可以列举其中的元素，也可以使用描述集合中元素的特征或性质。
例如，可以表示“大于0的整数”为集合A，可以表示“A={x|x>0, x∈Z}”。
这样即可定义出集合A。
二、集合的基本运算1. 并集运算当我们希望将两个或多个集合合并成一个新的集合时，我们可以使用并集运算。
用符号∪表示并集。
对于集合A和集合B，A∪B表示包含所有属于集合A或属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集运算交集运算是指将两个集合中共有的元素组成一个新集合。
用符号∩表示交集。
对于集合A和集合B，A∩B表示包含所有既属于集合A又属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集运算差集运算是指从一个集合中减去另一个集合中的元素。
用符号\表示差集运算。
对于集合A和集合B，A\B表示包含属于集合A但不属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3,4}，B={3,4,5}，则A\B={1,2}。
4. 补集运算在集合理论中，我们还可以定义补集运算。
对于给定的全集U和集合A，A的补集表示U中所有不属于A的元素。
用符号A'或A表示补集。
例如，如果U为全集，A为集合A。
则A'表示U中所有不属于集合A的元素的集合。
三、集合的扩展运算除了基本的集合运算外，还存在集合的扩展运算。
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解1---集合的概念(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解1 集合的概念考点知识讲解1 元素与集合1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的叫做集合(简称为__)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：、、．答案：（1）研究对象（2）总体集（3）元素（4）确定性无序性互异性2．元素与集合的关系答案：∈∈NN*或N＋ZQR考点知识讲解2 集合的表示方法1．列举法把集合的元素出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：运用列举法表示集合，应注意：(1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；(2)元素不重复；(3)元素间无顺序；(4)“{}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略2．描述法(1)定义：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法．(2)书写形式：，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．答案：一一列举共同特征{x|p(x)}题型一对集合含义的理解1．考察下列每组对象，能构成集合的是（）①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④【答案】B【解析】①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合.故选：B.2．下列每组对象能构成一个集合是________(填序号).（1）某校2019年在校的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）帅哥；（4）平面直角坐标系内第一象限的一些点；（5.【答案】（2）【解析】（1）“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合. （2）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，故“不超过20的非负数”能构成集合；（3）“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合；（4）“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；（5）”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合.故答案为：（2）题型二元素与集合的关系3．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a =b =0时，a +b 取得最小值是0，而不是2，所以③错误; 对于④，解集中只含有元素1，故④错误. 故选：A4．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合 【答案】AD【解析】由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选：AD. 题型三 元素的特性的应用5．已知集合A ＝{x ∈Z|2x －4x －5<0}，B ＝{x|4x >2m }，若A∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，6)B ．[1，2)C ．[2，4)D ．(2，4] 【答案】C【解析】∵A ＝{x ∈Z|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x|x>}，A∩B 有三个元素，∴1≤<2，即2≤m<4. 故答案为C6．设a ，b ∈R ，集合A 中含有0，b ，ba三个元素，集合B 中含有1，a ，a +b 三个元素，且集合A 与集合B 相等，则a +2b ＝（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．不确定 【答案】A【解析】由题意可知a ≠0，则只能a +b ＝0，则有以下对应关系：01a b b a a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩①或01a b b a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩②； 由①得a ＝﹣1，b ＝1，符合题意； ②无解；则a +2b ＝﹣1+2＝1． 故选：A题型四 用列举法表示集合 7．集合M ={61aN a ∈+，且a Z ∈}，用列举法表示集合M =______________ 【答案】{}0,1,2,5 【解析】61N a ∈+016a ∴<+≤，即15a -<≤ 又a Z ∈0a ∴=时，661N a =∈+；1a =时，631N a =∈+；2a =时，621N a =∈+； 3a =时，6312N a =∉+；4a =时，6615N a =∉+；5a =时，611N a =∈+ {}0,1,2,5M ∴=本题正确结果：{}0,1,2,5 8．根据要求写出下列集合.（1）已知{}25|50x x ax -∈--=，用列举法表示集合{}2|40x x x a --=. （2）已知集合16|8A N x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法表示集合A ．（3）已知方程组10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，分别用描述法、列举法表示该集合.（4）已知集合B ={(x ，y )|2x +y -5=0，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示该集合. （5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.【答案】（1）{2}；（2）{2，4，8，16}；（3）{(x ，y )|x =1，y =2}，{(1，2)}；（4）{(0，5)，(1，3)，(2，1)}；（5）{(x ，y )|xy =0}. 【解析】（1）{}25|50x x ax -∈--=，()()25550a ∴--⨯--=，解得4a =-，2440x x -+=的解为2x =，∴用列举法表示集合{}2|40x x x a --=为{}2；（2）168N x∈-，则8x -可取的值有1，2，4，8，16，x 的可能值有7，6，4，0，8-， x N ∈，7,6,4,0x ∴=，162,4,8,168x∴=-， {}2,4,8,16A ∴=；（3）方程组10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，∴用描述法表示该集合为(){},1,2x y x y ==，列举法表示该集合为(){}1,2；（4）当0x =时，5y =；当1x =时，3y =；当2x =时，1y =，∴用列举法表示该集合为()()(){}0,5,1,3,2,1；（5）坐标轴上的点满足0x =或0y =，即0xy =， 则该集合可表示为(){},0x y xy =.题型五 用描述法表示集合9．用列举法表示集合**{(,)|5,,}A x y x y x y =+=∈∈N N 是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是_____________________． 【答案】()()()(){}1,42,33,24,1，，，{}41z x z x k k ∈=+∈，【解析】由题意{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}A =，所有被4除余1的整数组成的集合为{|41,}x Z x k k Z ∈=+∈．故答案为：{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}；{|41,}x Z x k k Z ∈=+∈ 题型六 集合表示方法的综合应用10. (1)用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且86－x ∈N ＝________.(2)集合A ＝{x ∈R |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .(1)解析 ∵x ∈Z 且86－x ∈N ，∴1≤6－x ≤8，－2≤x ≤5.当x ＝－2时，1∈N ；当x ＝－1时，87∉N ；当x＝0时，43∉N ；当x ＝1时，85∉N ；当x ＝2时，2∈N ；当x ＝3时，83∉N ；当x ＝4时，4∈N ；当x ＝5时，8∈N .综上可知A ＝{－2,2,4,5}． 答案 {－2,2,4,5} 1．下列集合中，结果是空集的是( ) A ．{x ∈R |x 2-1=0}B ．{x |x >6或x <1} C ．{(x ，y )|x 2+y 2=0}D ．{x |x >6且x <1} 【答案】D【解析】A 选项：21{|10}x R x ±∈∈-=，不是空集；B 选项：7∃∈{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x |x >6且x <1}=∅. 故选：D2．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A3．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【解析】①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；⑤的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；故③④正确.故选：A.4．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合 【答案】AD【解析】由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选：AD. 5．下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（ ） A ．M ={3，-1}，P ={(3，-1)} B ．M ={(3，1)}，P ={(1，3)} C ．M ={y |y =x -1}，P ={t |t =x -1}D ．集合M ={m |m +1≥5}，P ={y |y =x 2+2x +5，x ∈R } 【答案】CD【解析】在A 中，M ={3，-1}是数集，P ={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误；在B 中，M ={(3，1)}，P ={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C 中，M ={y |y =x -1}={y |y ≥-1}，P ={t |t =x -1}={t |t ≥-1}，二者表示同一集合，故正确；在D 中，M ={m |m ≥4，m ∈R }，即M 中元素为大于或等于4的所有实数，P ={y |y =(x +1)2+4}，y =(x +1)2+4≥4，所以P 中元素也为大于或等于4的所有实数，故M ，P 表示同一集合，故正确． 故选：CD 6．定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________【答案】18【解析】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18 故答案为：187．下列命题正确的个数__ （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y |y ＝x 2﹣1}与集合{（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}是同一个集合； （3）1，361,,||,0.5242-，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合{（x ，y ）|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． 【答案】0【解析】解：对于（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，所以（1）不正确．对于（2）集合{y |y ＝x 2﹣1}表示的是函数y ＝x 2﹣1的值域，而集合{（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}表示的是y ＝x 2﹣1图象上的点，故（2）不正确；对于（3）：因为3624=，10.52-=，不满足集合中的元素是互异的，故（3）不正确； 对于（4）集合{（x ，y ）|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集及两个坐标轴上的点，故（4）不正确， 故答案为：0.8．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11a - ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a -∈. 【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析. 【解析】(1)因为3∈A ， 所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--， 所以13213A =∈-， 所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. (2)因为a ∈A ， 所以11A a∈-， 所以1111111a A a a a -==-∈---. 9．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围 【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98=∴a ＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素 由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.。
专题1.1 集合(解析版)
专题1.1集合一、集合的概念和表示【思维导图】【考点总结】一、集合的含义1、元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2、元素与集合的关系3(1)列举法：①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：A＝{a1，a2，a3，…，a n}．(2)描述法：①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．二、集合间的基本关系【思维导图】【考点总结】一、子集的相关概念(1)Venn 图①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法．②适用范围：元素个数较少的集合．③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．(2)子集、真子集、集合相等的概念①子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )②集合相等如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A ＝B .③真子集的概念定义符号表示图形表示真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，称集合A 是集合B 的真子集AB (或BA )④空集定义：不含任何元素的集合叫做空集．用符号表示为：∅.规定：空集是任何集合的子集．二、集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，①若A ⊆B ，且B ⊆C ，则A ⊆C ；②若AB 且BC ，则AC .③若A B 且A ≠B ，则AB .三、集合的基本运算【思维导图】【考点总结】一、并集、交集1、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)图形语言：如图所示．2、交集(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(3)图形语言：如图所示．二、补集及综合应用补集的概念(1)全集：①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．②记法：全集通常记作U .(2)补集文字语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 符号语言∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }图形语言【常用结论】1．三种集合运用的性质(1)并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .(2)交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .(3)补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．2．集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．(2)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .空集只有一个子集，即它本身．(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若A B 且BC ，则AC .(4)含有n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个非空子集，有2n －1个真子集，有2n－2个非空真子集．1．若全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2},{2,3,4}A B ==，则()UA B =ð（）A ．{0,1}B ．{1,2,3}C ．{0}D ．{0,1,2,5}【答案】D【解析】由题得{0,1,5}U B =ð，又{0,1,2}A =，所以(){0,1,2,5}=UA B ð.故选：D.2．设13{|}{|}34M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤，都是{|01}x x ≤≤的子集，如果b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的长度，则集合M N ⋂的长度的最小值是（）A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D【解析】由题意1013m m ≤≤+≤，即203m ≤≤，3014n n ≤-≤≤，即314n ≤≤，由于M 的长度是13，N 的长度是34，13133412+=，13111212-=，所以M N ⋂长度不小于112．则首先有01m n =⎧⎨=⎩或113304m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，当01m n =⎧⎨=⎩时，11{|}43MN x x =≤≤，M N ⋂的长度为1113412-=，当113304m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，23,34m n ==，则23{|}34MN x x =≤≤，M N ⋂的长度是3214312-=．故选：D ．3．已知集合{P =正奇数}和集合{|}M x x a b a P b P ==⊕∈∈，，，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法【答案】C【解析】若3,1a b ==，则4a b +=P ∉，2a b P -=∉，13b P a =∉，因此排除ABD ．故选：C ．4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）0是自然数；（3）{}123，，是不大于3的自然数组成的集合；（4）N,N a b ∈∈，则a b +不小于2．其中正确的命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】对于（1），集合N 中最小的数是0，故错误，对于（2），0是自然数，故正确，对于（3），不大于3的自然数还包括0，故错误，对于（4），当1,0a b ==，则2a b +<，故错误，故选：A5．已知集合|,Z 44k M x x k ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合,Z 84k N x x k ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（）A ．∅B ．MC ．ND ．Z【答案】B【解析】由题意，()21|Z 8k M x x k π⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，()2,Z 8k N x x k π⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因为()()21,Z k k +∈表示所有偶数，()2Z k k -∈能表示所有整数，故M N M⋂=故选：B6．以实数x x x -，，）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解：当0x >时，||0,0x x x =>=-<，此时集合中共有2个元素；当0x =时，||0x x x =-==，此时集合中共有1个元素；当0x <时，||0x x -==，0x <，此时集合中共有2个元素；综上所述，以实数x x x -，，2个元素.故选：C.7．已知集合(){}10A x x x =-=，{}21B x x ==，则A B ⋃=（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0C ．{}1,1-D ．{}1【答案】A由已知得{}0,1A =，{}1,1B =-，则{}1,0,1A B =-U .故选：A.8．设集合{}2,M x x n n ==∈Z ，{}21,N x x n n ==+∈Z ，{}4,P x x n n ==∈Z ，则（）A ．M P ÜB ．P MÜC ．N P ⋂≠∅D ．MN ≠∅【答案】B【解析】因为{}2M x x n n ==∈Z ，，{}21N x x n n ==+∈Z ，，{}4P x x n n ==∈Z ，，所以M P P M N P MN ≠=∅=∅，，，Ü.故选：B9．已知集合11{|,N}{|,N}623n M x x m m N x x n ==+∈==-∈，，则,M N 的关系为（）A ．M N =B ．N M ÖC ．M N ÜD ．N M⊆【答案】C【解析】解：因为321{|,N}6m M x x m ⋅+==∈，32311{|,N}66n n N x x n --+===∈，所以M N Ü.故选：C ．10．集合{|32,Z}M x x k k ==-∈，{|31,Z}P y y n n ==+∈，{|61,Z}S z z m m ==+∈之间的关系是（）A ．S 真包含于P 真包含于MB ．S P =真包含于MC ．S 真包含于P M =D ．M P =真包含于S【答案】C【解析】解：{|32,Z}M x x k k ==-∈，{|31,Z}P y y n n ==+∈，{|61,Z}S y y m m ==+∈，{}8,5,2,1,4,7,10,13,16M ∴=⋯---⋯，{}8,5,2,1,4,7,10,13,16P =⋯---⋯，{}1,7,13,19,25,S =⋯⋯，S ∴真包含于P M =，故选：C ．11．已知6{N |N}6M x x=∈∈-，则集合M 的子集的个数是（）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B 【解析】解：因为6N 6x∈-，所以61,2,3,6x -=，又N x ∈，所以0,3,4,5x =，所以集合{}0,3,4,5M =，所以集合M 的子集个数为4216=个．故选：B ．12．设,A B 是两个集合，有下列四个结论：①若A B Ø，则对任意x A ∈，有x B ∉；②若A B Ø，则集合A 中的元素个数多于集合B 中的元素个数；③若A B Ø，则B A Ø；④若A B Ø，则一定存在x A ∈，有x B ∉．其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】解：对于①，不一定，比如{}{}1,2,4,1,2,3A B ==，故①错误；②若A B Ø，不一定，比如{}{}1,2,4,1,2,3,5,6A B ==，故②错误；③若B A Ü，则A B Ø，但B A Ø不成立，故③错误；④若A B Ø，则一定存在x A ∈，有x B ∉，故④正确．所以正确结论的个数为1个，故选：D.13．设全集{}2,1,1,2U =--，集合{}1,2A =-，{}2320B x x x =-+=，则()U B A =ð（）A ．{}1B ．{}2-C ．{}2,1-D ．∅【答案】B 【解析】{}{}23201,2B x x x =-+==，集合{}1,2A =-，所以{}1,1,2A B ⋃=-，全集{}2,1,1,2U =--，(){}2U A B =-ð．故选：B14．若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,4A =，{}1,3,5B =，则()UA B =ð（）A ．{}1,2,3,4,5B ．{}3,5C ．{}2,4D ．{}2,3,4,5,6【答案】C【解析】由题意，{}U 2,4,6B =ð，故(){}U2,4A B =ð故选：C15．以下六个写法中：①{}{}00,1,2∈；②{}1,2∅⊆；③{}0∅∈；④{}{}0,1,22,0,1=；⑤0∈∅；正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】对于①：是集合与集合的关系，应该是{}{}00,1,2⊆，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，{}1,2∅⊆，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，{}0∅⊆，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{}{}0,1,22,0,1=，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B ．16．已知集合(][),23,A =-∞-+∞，则()R Z=A ð（）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1,2--【答案】B【解析】因为(][),23,A =-∞-+∞，所以()R =2,3A -ð，所以()(){}R Z 2,3Z 1,0,1,2A =-=-ð.故选：B.17．集合{}0,1,2,4,8A =，{}2xB x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：∵{}0,1,2,4,8A =，{}2xB x A =∈，∴{}0,1,2,3B =，则{}0,1,2A B =，{}0,1,2,3,4,8A B =，选项A 中阴影部分表示的集合为A B ，即{}0,1,2，故A 错误；选项B 中阴影部分表示的集合由属于A 但不属于B 的元素构成，即{}R 4,8A B =ð，故B 正确；选项C 中阴影部分表示的集合由属于B 但不属于A 的元素构成，即{}R 3B A =ð，有1个元素，故C 错误；选项D 中阴影部分表示的集合由属于A B 但不属于A B 的元素构成，即{}3,4,8，故D 错误．18．如图，已知集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，则Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{-5，0，3}B ．{-5，1，3}C ．{0，3}D ．{1，3}【答案】A 因为集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，Venn 图中阴影部分表示的集合为∁BA={-5，0，3}．故选：A.19．设全集{}*5U x N x =∈≤，集合{}1,2M =，{}2,3,4N =，则图中阴影部分表示的集合是（）A ．{}2B ．{}3,4C ．{}2,3D ．{}2,3,4【答案】B 【解析】解：由Venn 图中阴影部分可知对应集合为N ()UM ð全集*{|5}{1U x N x =∈≤=，2，3，4，5}，集合{1M =，2}，{2N =，3，4}，U M ð={}3,4,5，N ()UM ð={}3,4．故选：B ．20．设全集U =R ，集合{}2A x x =>，{}06B x x =<≤，则集合()U A B =ð（）A ．{}02x x <<B ．{}02x x ≤<C ．{}02x x <≤D ．{}02x x ≤≤【解析】【分析】{}2A x x =>,{}2U A x x ∴=≤ð,而{}06B x x =<≤(){}02U A B x x ∴⋂=<≤ð.故选：C.。
1_1集合的概念和运算试题
第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念及运算五年高考考点一集合及其关系1.(2022全国乙理,1,5分,基础性)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁U M={1,3},则( )A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M答案 A2.(2020课标Ⅲ,1,5分,基础性)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案 B3.(2018北京,8,5分,创新性)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则( )A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉A时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤32答案 D4.(2013江西,2,5分,基础性)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )A.4B.2C.0D.0或4答案 A5.(2012湖北,1,5分,综合性)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 D考点二集合的基本运算1.(2022全国甲,1,5分,基础性)设集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|0≤x<5},则A∩B=( )2A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}答案 A2.(2022全国乙,1,5分,基础性)集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6},则M∩N=( )A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}答案 A3.(2022北京,1,4分,基础性)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<x≤1},则∁U A=( )A.(-2,1]B.(-3,-2)∪[1,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]∪(1,3)答案 D4.(2022新高考Ⅰ,1,5分,基础性)若集合M={x|√x<4},N={x|3x≥1},则M∩N=( )A.{x|0≤x<2}B.{x|1≤x<2}3C.{x|3≤x<16}D.{x|1≤x<16}3答案 D5.(2022新高考Ⅱ,1,5分,基础性)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=( )A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}答案 B6.(2022浙江,1,4分,基础性)设集合A={1,2},B={2,4,6},则A∪B=( )A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}答案 D7.(2021全国乙,1,5分,基础性)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=( )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}答案 A8.(2021全国甲,1,5分,基础性)设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=( )A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}答案 B9.(2021浙江,1,4分,基础性)设集合A={x|x≥1},B={x|-1<x<2},则A∩B=( )A.{x|x>-1}B.{x|x≥1}C.{x|-1<x<1}D.{x|1≤x<2}答案 D10.(2020新高考Ⅰ,1,5分,基础性)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=( )A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}答案 C11.(2020课标Ⅰ,1,5分,基础性)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=( )A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}答案 D12.(2020课标Ⅱ,1,5分,基础性)已知集合A={x||x|<3,x∈Z},B={x||x|>1,x∈Z},则A∩B=( )A.⌀B.{-3,-2,2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,2}答案 D三年模拟A组考点基础题组考点一集合及其关系1.(2022新疆喀什一模,1)设集合A={x|x2-x-2<0,x∈Z},则集合A∩N*的元素个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 B2.(2022黑龙江齐齐哈尔二模,2)设集合M={x∈Z||2-x|<2},则集合M的子集个数为( )A.16B.15C.8D.7答案 C3.(2022陕西宝鸡渭滨二模,1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )A.B⊆AB.A⊆BC.A=BD.A∩B=⌀答案 A4.(2021四川一模,1)已知集合A={(x,y)|y≤√3-x2,x,y∈N},则集合A中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6答案 B5.(2020南昌一模,1)已知集合A={0,1,2},B={x∈N|√2x∈A},则B=( )A.{0}B.{0,2}C.{0,1,2} D.{0,2,4}2答案 B6.(2021内蒙古赤峰二中三模,1)已知集合Q={x|2x2-7x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件的集合P的个数是( )A.8B.9C.15D.16答案 D考点二集合的基本运算1.(2022哈尔滨九中二模,1)已知集合A={x|x=2n+1,n∈Z},B={x|√x-1<3},则A∩B=( )A.{1,3}B.{1,3,5,7,9}C.{3,5,7}D.{1,3,5,7}答案 B2.(2022河南濮阳一模,1)若全集U={x|1≤x≤4},集合A={x|3≤3x≤27},则∁U A=( )A.[1,3]B.(3,4]C.[3,4]D.(3,4)3.(2022江西上饶六校二模,2)已知集合A={x|x2≤4},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=( )A.[0,2]B.[0,4]C.[-2,2]D.⌀答案 A4.(2021四川南充二模,1)已知集合A={x|x2-x-2≤0},则∁R A=( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-1]∪[2,+∞)C.[-1,2]D.(1,2)答案 A5.(2021陕西榆林一模,2)集合A={3,log2a},B={a,b},若A∩B={0},则A∪B=( )A.{0,3}B.{0,1}C.{0,2,3}D.{0,1,3}答案 D6.(2021河南焦作三模,2)已知集合A={1,a2},B={-1,0,1},若A∪B=B,则A中元素的和为( )A.0B.1C.2D.-1答案 BB组综合应用题组时间:20分钟分值：50分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2022银川一中一模,1)设不等式x2-x≤0的解集为M,函数f(x)=ln(1-x)的定义域为N,则M∩N=( )A.[0,1)B.(0,1)C.[0,1]D.(-1,0]2.(2022重庆西南大学附中模拟,1)已知集合A={x|ax-1=0},B={x ∈N *|1≤x<4},且A ∪B=B,则实数a 的所有值构成的集合是( )A.{1,12}B.{12,13}C.{1,12,13}D.{0,1,12,13}答案 D3.(2022陕西省西安中学二模,2)已知全集U=R,集合A={x|0≤x ≤2},B={x|x 2-x>0},则图中的阴影部分表示的集合为( )A.{x|x ≤1或x>2}B.{x|x<0或1<x<2}C.{x|1≤x<2}D.{x|1<x ≤2}答案 A4.(2022江西赣州一模,2)设集合A={-1,0,n},B={x|x=a ·b,a ∈A,b ∈A}.若A ∩B=A,则实数n 的值为( )A.-1B.0C.1D.2答案 C5.(2022贵州名校联盟3月大联考,2)定义集合A-B={x|x ∈A 且x ∉B}.已知集合A={0,2,4,5},B={-1,0,3},则A-B=( )A.{0}B.{-1,3}C.{2,4,5}D.{-1,0,2,3,4,5}答案 C6.(2020黑龙江省实验中学期末,1)若集合A={1,3},B={0,-2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )A.5B.4C.3D.2答案 C7.(2021陕西省西安中学二模,1)若集合M=x x=k·π2−π4,k∈Z,N=x x=k·π4+π2,k∈Z,则( )A.M=NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N=⌀答案 B8.(2021八省联考,1)已知M,N均为R的子集,且∁R M⊆N,则M∪(∁R N)=( )A.⌀B.MC.ND.R答案 B9.(2021西安经开第一中学模拟,3)集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0}.若B⊆A,则实数a的取值范围是( )A.[-13,1) B.[-13,1]C.(-∞,-1)∪[0,+∞)D.[-13,0)∪(0,1)答案 A二、填空题(共5分)10.(2022甘肃二模,14)建党百年之际,影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映,截至2021年10月底,《长津湖》票房收入已超56亿元,某市文化调查机构,在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了100人进行调查,得知其中观看了《1921》的有51人,观看了《长津湖》的有60人,观看了《革命者》的有50人,数据如图,则图中a= ,b= ,c= .答案9;8;10。
第一讲集合的概念及其运算
第一讲 集合的概念及其运算集合论是德国数学家康托尔在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言，是表达数学知识、进行数学交流的重要工具。
同时集合是高中数学的基本知识，为历年高考必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.一、 考纲解读1.考试内容：（1）集合的含义与表示；（2）集合间的基本关系；（3）集合的基本运算。
2.考试要求：（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系，全集与空集的含义；（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
能用韦恩（V enn ）图表达集合的关系及运算；（3）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个集合的并集与交集。
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定集合子集的补集。
二、知识网络三、知识讲解：1.集合的有关概念（1）某些指定的对象集在一起就构成一个集合，简称集。
其中的每一个对象叫集合的元素，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征。
确定性：集合的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素。
互异性：集合中任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在一个集合中不能重复出现。
无序性：集合与组成它的元素顺序无关。
如集合}{c b a ,,与}{b a c ,,是同一个集合。
（2）元素与集合的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉。
任一元素a 与集合A 的关系是a A ∈与a A ∉二者必居其一。
（3）集合的分类：根据集合中元素的个数可将集合分为有限集、无限集和空集。
不含任何元素的集合叫做空集，用符号Φ表示。
空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
高一数学集合知识点及练习题
第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()A C B UA A U U U ==∅=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)例题讲解1.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 ( )答案 B解析 由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.2.设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U AB =ð( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x > 答案 B解析 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B =ð{|01}x x <≤3.（北京文）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<答案 A解析 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运 算的考查∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤， ∴{12}AB x x =-≤<，故选A.4.(山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4 答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 5.（全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )=( ) A.{5，7} B.{2，4} C. {2.4.8} D. {1，3，5，6，7} 答案 C6.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 答案 B解析 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 7．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-答案 C8．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝答案 D解析 {}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D 。
数学必修1—1集合的概念、关系 、运算
第1讲 集合的基本概念、基本关系、基本运算考点1 元素与集合的基本概念考法1集合的含义及判定1.下列各组对象能构成集合的是 DA.细长的矩形B.面积很大的湖泊C.所有的数学难题D.高一（1）班的学生2.下列各组对象不能构成集合的是 AA.身材高大的人B.所有的一元二次方程C.所有的有理数D.小于π的正整数3.下列各组对象能够构成集合的有 ①③④⑤①不超过10的非负整数；②高一年级视力较好的同学；③所有正三角形；④平面直角坐标系内第一象限的点；⑤到角的两边距离相等的点考法2集合元素的三个特征（1）确定性；（2）无序性；（3）互异性.1.给出下列关系，其中正确的是 DZ B.12N ∈ C.Q π∈ D.R π∈ 2.给出下列关系，其中正确的是 CA.{}{}(1,2)(2,1)=B.{}{}1,2(1,2)=C.{}{}1,22,1=D.{}0∅=3.（2012·课标全国卷）已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 DA.3B.6C.8D.104.（2012·江西）若集合{}1,1A =-，{}0,2B =，则集合{},,Z m m x y x A y B ==+∈∈中的元素的个数为 CA ．5 B.4 C.3 D.25.（2013·大纲全国卷）设集合{}1,2,3A =，{}4,5B =，{|,,M x x a b a A ==+∈ }b B ∈则M 中元素的个数为 BA.3B.4C.5D.66.已知集合M 中的三个元素,,l m n 分别是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是DA.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形 考法3集合的表示方法（列举法、描述法、Venn 图法）1.已知集合6{}3A x N Z x*=∈∈-,用列举法表示为 .{}9,6,5,4,2,1A = 2.用描述法表示偶数集为： . {}2,A x x k k Z ==∈.考点2 集合的基本关系考法1子集1.（2012·大纲全国卷）已知集合{A x x =是平行四边}形，{B x x =是矩}形， {C x x =是正方}形，{D x x =是菱}形，则 CA.A B ⊆B.C B ⊆C.D C ⊆D.A D ⊆2.（2013·江苏卷）集合}1,0,1{-共有 个子集. 328=3.设集合{M x x =≤，a =，则下列关系中正确的是 DA.a M ⊆B.a M ∉C.{}a M ∉D.{}a M ⊆4.已知集合{1}A x x =>，{}B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 .A.1a <B.1a ≤C.1a >D.1a ≥考法2集合相等1.设{2,,}A x y =，2{2,,2}B x y =，且A B =，求x ，y 的值.考法3真子集1.下列说法正确的是A.空集是任何集合的子集B.空集是任何集合的真子集C.任何集合都至少有两个子集D.任何集合是它本身的真子集2.已知集合2{3,}A m =，{1,3,21}B m =-，若A 是B 的真子集，则实数m = . 考点3 集合的基本运算考法1集合的交集1.（2015·广东卷）若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-2.（2015·全国卷Ⅰ）已知集合{}32,A x x n n N ==+∈,{}6,8,12,14B =,则集合 A B 中元素的个数为A.5B.4C.3D.23.（2013·全国卷Ⅰ）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,A x x n n A ==∈，则A B =A.{}1,4B.{}2,3C.{}9,16D.{}1,24.（2013·全国卷Ⅱ）已知集合{}31M x x =-<<，{}3,2,1,0,1M =---，则M N =A.{}2,1,0,1--B.{}3,2,1,0---｝C.{}2,1,0--D.{}3,2,1---5.（2016·全国卷Ⅰ）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}6.（2016·天津卷）已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则A B =A.}3,1{B.}2,1{C.}3,2{D.}3,2,1{7.（2017·全国卷Ⅱ）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,58.（2015·北京卷）若集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =-<<，则A B = A.{}32x x -<< B.{}52x x -<< C.{}33x x -<< D.{}53x x -<<9.（2018·全国卷Ⅱ·文科）设集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,710.（2018·全国卷Ⅰ·文科）已知集合{}0,2A =，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =A.{}0,2B.{}1,2C.{}0D.{}2,1,0,1,2-- 考法2集合的并集1.（2017·全国卷Ⅱ）设集合{}123A =，，，{}234B =，，，则A B =A.{}123,4，，B.{}123，，C.{}234，，D.{}134，，2．（2015·全国卷Ⅱ）已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B =A ．{}13x x -<<B ．{}10x x -<<C ．{}02x x <<D ．{}23x x <<3.（2017·浙江卷）已知集合{}11P x x =-<<,{}02Q x x =<<，那么P Q =A.{}12x x -<<B.{}01x x <<C.{}10x x -<<D.{}12x x << 考法3集合的补集1.（2007·陕西卷）已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}236A =，，，则集合U C A 等于A.{}1,4B.{}4,5C.{}1,4,5D.{}2,3,62.（2016·全国卷Ⅲ）设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A C B =A.{}4,8B.{}0,2,6C.{}0,2,6,10D.{}0,2,4,6,8,103.（2017·北京卷）已知U R =，集合{|22}A x x x =<->或，则U C A = A.{}22x x -<< B.{}22x x x <->或 C.{}22x x -≤≤ D.{}22x x x ≤-≥或 考法4集合的混合运算1.（2017·天津卷）设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =,{|15}C x R x =∈-≤≤,则 ()A B C =A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{|15}x R x ∈-≤≤2.（2008·陕西卷·理科）已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=， {|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U C A B 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43.（2016·山东卷）设集合{}123456U =，，，，，,{}135A =，，,{}345B =，，，则()U C A B = A.{}26， B.{}36， C.{}1345，，， D.{}124,6，，4.（2020·全国卷Ⅱ·理科）已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-， {1,2}B =，则()U C A B =A ．{2,3}-B ．{2,2,3}-C ．{2,1,0,3}--D ．{2,1,0,2,3}--4.（2008·陕西卷·文科）已知全集{12345}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()U C A B =A.{3}B.{4,5}C.{3,4,5}D.{1245}，，，5.（2010·陕西卷）集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<，则)(B C A R = A.{}1x x > B.{}1x x ≥ C.{}12x x <≤ D.{12}x x ≤≤6.（2015·天津卷·文科）已知全集{1,2,3,4,5,6}U ，集合{2,3,5}A ，集合 {1,3,4,6}B ，则集合()U A C BA.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}7.（2015·天津卷·理科）已知全集{}12345,6,78U =，，，，，，集合{}23,5,6A =，，集合{}134,6,7B =，，，则集合()U A C B =A.{}25，B.{}36，C.{}25,6，D.{}235,6,8，，8.（2015·安徽卷）设全集{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2A =，{}234B =，，，则()U A C B = A.{}1,2,5,6 B.{}1 C.{}2 D.{}1,2,3,49.（2019·浙江卷）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B =A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-10.（1989·全国卷）如果{},,,,I a b c d e =，{},,M a c d =，{},,N b d e =，其中I 是全集，那么()()I I C M C N =A.∅B.{}dC.{},a cD.{},b e11.（2016·浙江卷·文科）已知全集{}123456U =，，，，，，集合{}135P =，，，{}1,2,4Q =，则()C P Q =RA.{}1B.{}35，C.{}1246，，，D.{}12345，，，，12．（2019·全国卷Ⅰ·文科）已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =, {}2,3,6,7B =，则()U B C A =A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7。